\documentclass{amsart}

\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}

\begin{document}

\Name{��⥣�ਨ � �㭪���}{���������᪠� ������ 1}{18.09.2008}


%\Section{��⨢�஢��}

�������ࠧ�� ��㯯� (��)��������� ���������
� ������ � ������ਨ ���ᥬ��⭮. ���ਬ��,

\begin{enumerate}
\item ����������� ⮯������᪨� ����࠭�� (� �����樥�⠬� � ��窥) --- � ⮯������;
\item ��㯯� ����� $H^2(\Gal(\kk),\kk^*)$ --- � ⥮ਨ 業�ࠫ��� ������ ������;
\item ����������� ������� � �ப������ ��㯯 --- � �����ࠨ�᪮� ⥮ਨ �ᥫ;
\item ��㯯� ���७�� $\Ext^1(M,N)$ --- � ������⨢��� ������;
\item ⥮�� ����ଠ権 � �९���⢨� --- � �� ࠧ���� ������ਨ.
\end{enumerate}

���⮬� �����쭮 ����� �������� �������� �����������᪨� �㭪�஢ � �����
㤮��� �।�⢠ ��� �� ���᫥���. �������� ����⢥���� �।�� ��� �⮣�
���� ���室��� �ந������� ��⥣���. �ᯮ�짮����� �ந������� ��⥣�਩
�������� �������ࠧ�� ࠡ���� � ��묨 �����������᪨�� �㭪�ࠬ�, ����
㤮��� �।�⢠ ��� �� ���᫥��� � �������� ��७���� १����� �� �����
������ ��⥬�⨪� � �����. ��묨 ᫮����, �� �������� ��ᯮᮡ����� ��
��� ⠪��� த� ����ᮢ.

\Section{��⥣�ਨ � �㭪���}

��������, �� {\sf ��⥣���} $\CC$ --- ��
\begin{itemize}
\item ����� $\Ob \CC$, �������� ���ண� ���뢠���� {\sf ��ꥪ⠬�} $\CC$;
\item ��� ������ ���� $X,Y \in \Ob \CC$ ������⢮ $\Hom_\CC(X,Y)$, �������� ���ண�
���뢠���� {\sf ���䨧����} � $\CC$ � ����������� $\phi:X \to Y$;
\item ��� ������ �ன�� $X,Y,Z \in \Ob \CC$ �⮡ࠦ���� $\Hom_\CC(X,Y)\times\Hom_\CC(Y,Z) \to \Hom_\CC(X,Z)$,
���஥ ���뢠���� {\sf �������樥� ���䨧���} � ������砥��� $\phi,\psi \mapsto \psi\phi = \psi\circ\phi$;
\end{itemize}
㤮���⢮���騥 ��� ��ᨮ���
\begin{description}
\item[C1] ��� ��类�� ��ꥪ� $X \in \Ob \CC$ ������� {\sf ⮦���⢥���} ���䨧� $\id_X \in \Hom_\CC(X,X)$,
��� ���ண� $\id_X \circ \phi = \phi$ � $\psi\circ \id_X = \psi$ ��� ��� $Y \in \Ob \CC$ �
$\phi \in \Hom_\CC(Y,X)$, $\psi \in \Hom_\CC(X,Y)$;
\item[C2] ��������� ���䨧��� ���樠⨢�� --- $\chi\circ(\psi\circ\phi) = (\chi\circ\psi)\circ\phi$
��� ��� $X,Y,Z,W \in \Ob \CC$ � $\chi \in \Hom_\CC(X,Y)$, $\psi \in \Hom_\CC(Y,Z)$, $\phi \in \Hom_\CC(Z,W)$.
\end{description}
������ ��� ��⪮�� �� �㤥� ����� $X \in \CC$ ����� $X \in \Ob\CC$ �
$\phi \in \Hom(X,Y)$ ����� $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$
(�᫨ �᭮ � ����� ��⥣�ਨ ���� ���).

��� ��������, ��ᬠ�ਢ���� � ������ � ������ਨ ����� ��ꥪ⠬� ���室�饩 ��⥣�ਨ.
\begin{examples}\label{ex-cat}
\begin{enumerate}
\item\label{sets-cat}
��⥣��� ������� $\Sets$;
\item\label{top-cat}
��⥣��� ⮯������᪨� ����࠭�� $\Top$;
\item\label{var-cat}
��⥣��� �����ࠨ�᪨� �������ࠧ�� ��� 䨪�஢���� ����� $\Var\!/\kk$;
\item\label{groups-cat}
��⥣��� ��㯯 $\Groups$;
\item\label{ab-cat}
��⥣��� �������� ��㯯 $\Ab$;
\item\label{rings-cat}
��⥣��� ����� $\Rings$;
\item\label{comm-cat}
��⥣��� ������⨢��� ����� $\Comm$;
\item\label{rmod-cat}
��⥣�ਨ ����� � �ࠢ�� ���㫥� ��� ����殬 $R\lmod$ � $\rmod R$;
\item\label{vb-cat}
��⥣��� ������� ��᫮���� �� ⮯������᪮� ����࠭�⢥ $\VB(X)$;
\item\label{sh-cat}
��⥣��� ��窮� �������� ��㯯 $\Sh(X)$;
\item\label{qcoh-cat}
��⥣��� ���������७��� ��窮� �� �����ࠨ�᪮� �������ࠧ�� $\Qcoh(X)$;
\item\label{poset-cat}
����� $I$ --- ���筮 㯮�冷祭��� ������⢮;
������� $\Ob\CI = I$, $\Hom_\CI(i,j) = \begin{cases}\{*\}, & \text{�᫨ $i \le j$}\\ \emptyset, & \text{����}\end{cases}$.
\item\label{quiver-cat}
����� $Q$ --- ���砭 (�ਥ��஢���� ���);
������� $\Ob\CQ = \{\text{���設� $Q$}\}$, $\Hom_\CQ = \{\text{��� � $Q$}\}$.
\item\label{monoid-cat}
����� $M$ --- ������ � �����楩; ������� $\Ob *_M = \{*\}$, $\Hom_{*_M}(*,*) = M$.
\end{enumerate}
\end{examples}
����� $\{*\}$ ������砥� ������⢮ �� ������ �������.

��裡 ����� ࠧ�묨 ��⥣��ﬨ ����᢫����� �㭪�ࠬ�.
{\sf ����ਠ��� �㭪��} $F$ �� ��⥣�ਨ $\CC$ � ��⥣��� $\D$ --- ��
�⮡ࠦ���� $\Ob\CC \to \Ob\D$, $X \mapsto F(X)$ � $\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$,
$\phi \mapsto F(\phi)$ ��� ��� $X,Y \in \Ob\CC$, ⠪�� ��
$$
\begin{array}{rcll}
F(\phi\circ\psi) &=& F(\phi)\circ F(\psi),
\qquad&\text{��� ��� $X,Y,Z \in \Ob\CC$ � $\psi \in \Hom_\CC(X,Y)$, $\phi \in \Hom_\CC(Y,Z)$;}\\[.5ex]
F(\id_X) &=& \id_{F(X)},
\qquad&\text{��� ��� $X \in \Ob\CC$.}
\end{array}
$$
\begin{examples}\label{ex-fun}
\begin{enumerate}
\item\label{id-fun}
⮦���⢥��� �㭪�� $\id_\CC:\CC \to \CC$;
\item\label{i-fun}
�㭪��� �������� $\si:\Ab \to \Groups$, $\Comm \to \Rings$;
\item\label{fg-fun}
�㪭��� �������� $\sfg:\Var/\kk \to \Top \to \Sets$,
$R\lmod \to \Ab$, $\Groups \to \Sets$, $\Qcoh(X) \to \Sh(X)$;
\item\label{fr-fun}
�㭪��� ᢮������ ��ꥪ⮢ $\sfr:\Sets \to \Ab, \Groups, \Rings, \Comm$;
\item\label{cm-fun}
䠪�� �� �����⠭�� $\scm:\Groups \to \Ab$;
\item\label{gamma-fun}
�㭪�� �祭�� $\Gamma:\VB(X) \to \Sh(X)$;
\item\label{ds-fun}
�㭪�� �� ��⥣�ਨ~\ref{ex-cat}\eqref{poset-cat} � ��⥣��� $\CC$ --- �� {\sf ���ࠢ������ ��⥬�} ��ꥪ⮢ � $\CC$;
\item\label{rq-fun}
�㭪�� �� ��⥣�ਨ~\ref{ex-cat}\eqref{quiver-cat} � $\CC$ --- �� {\sf �।�⠢����� ���砭� $Q$} � $\CC$;
\item\label{mo-fun}
�㭪�� �� ��⥣�ਨ~\ref{ex-cat}\eqref{monoid-cat} � $\CC$ --- �� ��ꥪ� � $\CC$ {\sf � ����⢨�� $M$} (��� {\sf$M$-������ਠ���} ��ꥪ�).
\end{enumerate}
\end{examples}

����� �ᯮ������� {\sf ����ࠢ�ਠ��� �㭪���}, �����騥 ���ࠢ����� ���䨧���.
����� ������� ����⨥ {\sf ��⨢��������� ��⥣�ਨ}. �᫨ $\CC$ --- ��⥣���,
��।���� ��⥣��� $\CC^\opp$ ⠪:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
�������, �� $\CC^\opp$ ��⥣���.
\end{exercise}
{\sf ����ࠢ�ਠ��� �㭪��} �� $\CC$ � $\D$ --- �� ����ਠ��� �㭪�� �� $\CC^\opp$ � $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ����� �㭪権 $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item ��㯯� ���� $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}

�㭪��� ����� �������஢���.
\begin{exercise}
�������, �� ��������� ���� ����ਠ���� ��� ���� ����ࠢ�ਠ���� �㭪�஢ ����ਠ�⭠,
� ��������� ����ਠ�⭮�� � ����ࠢ�ਠ�⭮�� �㭪�஢ ����ࠢ�ਠ�⭠. �஢����,
�� ������ �������஢���� �㭪�஢ ���樠⨢��.
\end{exercise}


�㭪�� $F:\CC \to \D$ ���뢠����
\begin{itemize}
\item {\sf ��ண��}, �᫨ ���䨧� $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- �������� ��� ��� $X,Y \in \CC$;
\item {\sf �����}, �᫨ ���䨧� $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- ���ꥪ�� ��� ��� $X,Y \in \CC$;
\item {\sf ��ண� �����} ��� {\sf ������ ��ண��}, �᫨ ���䨧� $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- ������䨧� ��� ��� $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item �㭪��� �� �ਬ�஢~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} � \eqref{i-fun} ��ண� �����;
\item �㭪��� �� �ਬ�஢~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} � \eqref{fr-fun} ��ண��, �� �� �����.
\end{enumerate}
\end{examples}

��।���� {\sf �����⮢� �ந�������� ��⥣�਩} $\CC$ � $\D$. �� ��।������
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
�㭪�� $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ ���뢠���� ⠪�� {\sf ���㭪�஬}.

\begin{exercise}
�������, �� $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- ���㭪��.
\end{exercise}

%\newpage

\Section{���䨧�� �㭪�஢}

����� $F,G:\CC \to D$ --- �㭪���. {\sf ���䨧� �㭪�஢} (��� {\sf ����⢥���� �८�ࠧ������})
$\alpha:F \to G$ --- �� ����� ���䨧��� $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ ��� ��� $X \in \CC$, ⠪�� ��
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{��� ��� $X,Y \in \CC$ � $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$

���䨧�� �㭪�஢ ����� �������஢��� ��� � ��㣮� � � �㭪�ࠬ�.
\begin{exercise}
(a) ����� $F,G,H:\CC \to \D$, � $\alpha:F \to G$ � $\beta:G \to H$ --- ���䨧�� �㭪�஢.
�������, �� $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- ���䨧� �㭪�஢.
(b) ����� $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ � $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- �㭪���,
� $\alpha:G \to G'$ --- ���䨧� �㭪�஢. �������, ��
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ � $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- ���䨧�� �㭪�஢.
\end{exercise}

\begin{exercise}
����ன� ���䨧�� �㭪�஢
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%��।���� ��������� ���䨧��� �㭪�஢.
�������, �� �᫨ ��⥣��� $\CC$ --- {\sf �����} (� ���� $\Ob\CC$ --- ������⢮),
� ��� �� ��⥣�ਨ $\D$ �� �㭪��� �� $\CC$ � $\D$ ��ࠧ��� ��⥣��� $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
�������, �� $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}

���䨧� �㭪�஢ $\alpha:F \to G$ ���뢠���� {\sf ������䨧���}, �᫨ �������
���䨧� �㭪�஢ $\beta:G \to F$, ⠪�� �� $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.

%\begin{exercise}
%����� $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- �㭪���.
%�������, �� $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
����� ��ࠧ��, �� ���� ��⥣�ਨ � �㭪�ࠬ� � ����⢥ ���䨧���
��ࠧ��� ��⥣��� $\Cats$. �� ᠬ�� ����, �� ����⢥���� ��ᬠ�ਢ���
��� 2-��⥣��� --- ������ ��ꥪ⮢ � ���䨧��� � ��� ���� 2-���䨧��
(� ���� ���䨧�� ����� ���䨧���� --- � ��襬 �ਬ�� ����⢥���
�८�ࠧ������ �㭪�஢). �� �⮬ $\Cats$ ���� ��ண�� 2-��⥣�ਥ�
(��������� 1-���䨧��� ���樠⨢��), ��� ����� � 2-��⥣����
��������� 1-���䨧��� �।���������� ���樠⨢��� ⮫쪮 � �筮����
�� 2-������䨧��.
\end{remark}

�㭪�� $F:\CC \to \D$ ���뢠���� {\sf ���������⭮����}, �᫨ ������� �㭪�� $G:\D \to \CC$,
⠪ �� $F\circ G \cong \id_\D$ � $G \circ F \cong \id_\CC$. �㭪�� $G$ ���뢠���� {\sf ����������} � $F$.

\begin{remark}
����� �ਢ�筮 �룫廊� ����⨥ ������䨧�� ��⥣�਩, � �⫨稨 �� ���������⭮��, �।�������饣�
ࠢ���⢠ $F\circ G = \id_\D$ � $G \circ F = \id_\CC$. ������, �� �ࠪ⨪�, ������䨧��� ��⥣�਩
�ࠪ��᪨ �� ����砥���, � � �६� ��� ᮤ�ঠ⥫��� ���������⭮�⥩ ���쬠 �����.
\end{remark}

\begin{exercise}
����� $\Cov(X)$ --- ��⥣��� �����⨩ ⮯������᪮�� ����࠭�⢠ $X$,
� $G$-$\Sets$ --- ��⥣��� ������� � ����⢨�� ��㯯� $G = \pi_1(X,x_0)$,
��� $x_0 \in X$ --- 䨪�஢����� �窠.
�������, �� �㭪�� $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
���������⭮��� (�� �� ������䨧���!) ��� ��⥣�਩.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{fun-prod}
�������, �� $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}

����� ������, �� ��猪� ���������⭮��� ���� ��ண� ����� �㭪�஬ � ��������
������䨧� ������� ����ᮢ ������䨧�� ��ꥪ⮢. ��୮ � ���⭮�.

\begin{lemma}\label{crit-equ}
�㭪�� $F:\CC \to \D$ ���� ���������⭮���� $\LRA$ $F$ ��ண� �����
� ����⢥��� ���ꥪ⨢��, � ���� $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ ⠪�� �� $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}

������⥫��⢮ �㤥� ���� ���� �����.

\Section{�।�⠢��� �㭪���}


����� $\CC$ --- ��⥣���. ��类�� ��ꥪ�� $X \in \CC$ ᮯ��⠢�� �㭪���
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
�㭪�� $F:\CC^\opp \to \Sets$ ���뢠���� {\sf �।�⠢���}, �᫨ �� ������䥭 �㭪��� $h_X$
��� ������-���� $X \in \CC$. �������筮, �㭪�� $F:\CC \to \Sets$ ���뢠���� {\sf ���।�⠢���},
�᫨ �� ������䥭 �㭪��� $h^X$ ��� ������-���� $X \in \CC$. ��ꥪ� $X$ � �⮬ ��砥, ���뢠����
{\sf �।�⠢���騬} ({\sf ���।�⠢���騬}) �㭪�� $F$.
\begin{exercise}
�������, ��
(a) �㭪��� �������� $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ ���।�⠢���;
(b) �㭪�� $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ �।�⠢��.
\end{exercise}

�祭� ������� �⢥ত����� ���� ����� ������.

\begin{lemma}
$(a)$ ��� ��� $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ ����� $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ ��� ��� $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ ����� $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
������� �㭪� $(b)$ (�㭪� $(a)$ �����뢠���� �������筮, � $(c)$ �祢���� ᫥��� �� $(a)$ � $(b)$).
����� $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. ���ᬮ�ਬ ���䨧� $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (����⨬, �� $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ ⠪ ��� $F$ ����ࠢ�ਠ�⥭).
����� ������, �� ���䨧�� $s_Y$ ��ࠧ��� ���䨧� �㭪�஢ $h_X \to F$.
���⭮, ����� $\alpha:h_X \to F$ --- ���䨧� �㭪�஢. ����� $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
�⮡ࠦ���� �������. ����⨬, �� $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
���ᬮ�ਬ $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.

����� ��ࠧ�� �� ����ந�� �⮡ࠦ���� ����� ������⢠�� $\Hom(h_X,F)$ � $F(X)$.
�������, �� ��� ������� �����. � ᠬ�� ����, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
��⠥��� ��������, �� $\alpha_Y = s_Y$ ��� ��� $Y$.
��� �⮣� ��� ������� $\phi \in \Hom(Y,X)$ ��ᬮ�ਬ ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
�᭮, �� $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ ���孥� ��५��� ��ॢ������ � $s$,
����� �ࠢ�� ��५��� ��ॢ������ � $F(\phi)(s)$.
� ��㣮� ��஭�, ����� ��५��� $\id_X$ ��ॢ������ � $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
����� ������ ��५��� ��ॢ������ � $\alpha_Y(\phi)$.
����� $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}

\begin{corollary}
�᫨ �㭪�� $F:\CC^\opp \to \Sets$ �।�⠢��, � ��ꥪ�, �।�⠢���騩 ���,
��।���� �������筮 � �筮���� �� ������䨧��. �� �� �⭮���� � � ���।�⠢��� �㭪�ࠬ.
\end{corollary}
\begin{proof}
����� $h_X \cong F \cong h_Y$. ����� ������䨧� $h_X \cong h_Y$ ���� ������䨧� $X \cong Y$.
\end{proof}

\begin{exercise}
�������, �� �᫨ $\CC$ --- ����� ��⥣���, � �㭪��� $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ �
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- ��ண� ����� �㭪���.
\end{exercise}


%\begin{exercise}
%��⥣��� $\CC$ ���뢠���� {\sf ����饭���}, �᫨ ��直� �㭪�� $\CC \to \Sets$ ���।�⠢��,
%� ��直� �㭪�� $\CC^\opp \to \Sets$ �।�⠢��.
%�������, �� ��� �� ����� ��⥣�ਨ $\CC$ ��⥣��� $\Fun(\CC,\Sets)$ ����饭�.
%\end{exercise}


�।�⠢��� �㭪��� ��� �ᯮ������� ��� ��⥣�୮� �����㫨஢�� �⠭������ �������権.
����� $X_1,X_2 \in \CC$. ���ᬮ�ਬ �㭪�� $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. ��ꥪ�, �।�⠢���騩 ��� �㭪�� (�᫨ �� �।�⠢��),
���뢠���� {\sf �ந���������} ��ꥪ⮢ $X_1$ � $X_2$. �������筮, {\sf ���ந���������} ��ꥪ⮢
$X_1$ � $X_2$ ���뢠���� ��ꥪ�, ���।�⠢���騩 �㭪�� $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (�᫨ �� ���।�⠢��).
�������筮 ��।������� �ந�������� � ���ந�������� ��� ������⢠ ��ꥪ⮢.

\begin{exercise}
(a) �������, �� � ��⥣���� $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
�������� �ந�������� � ���ந�������� ��� ������⢠ ��ꥪ⮢.
(b) �஢����, �� �ந�������� � ��⥣�ਨ $\Comp$ ��������� ⮯������᪨� ����࠭��
������� � ���� �宭��᪨� �ந���������.
\end{exercise}

��㣮� �ਬ�� --- ��砫�� � ������ ��ꥪ��.
{\sf ��砫�� ��ꥪ�} --- �� ��ꥪ� $0_\CC$, ���।�⠢���騩 �㭪�� $I(X) = \{*\}$ ��� ��� $X \in \CC$,
� {\sf ������ ��ꥪ�} --- �� ��ꥪ� $1_\CC$, �।�⠢���騩 �㭪�� $T(X) = \{*\}$ ��� ��� $X \in \CC$.

\begin{exercise}
�������, �� �᫨ $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, � $0_\CC \cong 1_\CC$.
������ ��砫�� � ������ ��ꥪ�� � ��⥣���� $\Sets$ � ��㣨� ��⥣����.
\end{exercise}


\Section{����殮��� �㭪���}

����� $F:\CC \to \D$ � $G:\D \to \CC$ --- �㭪���.
�������, �� $F$ --- {\sf ᮯ�殮� ᫥�� � $G$}, � $G$ --- {\sf ᮯ�殮� �ࠢ� �~$F$},
�᫨ ��� ��� $X \in \CC$, $Y \in \D$ ������ ������䨧��
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ �㭪�ਠ��� �� ����� ��㬥�⠬
(� ����, �� 䨪�஢����� $X$ ���䨧�� $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ �㭪�ਠ���,
� �� 䨪�஢����� $Y$ ���䨧�� $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ �㭪�ਠ���).

\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ⮦���⢥��� �㭪�� ᮯ�殮� ᠬ ᥡ�;
\item �㭪�� $\scm:\Groups \to \Ab$ �� �ਬ��~\ref{ex-fun}(5) ᮯ�殮� ᫥�� � �㭪��� �������� $\si:\Ab \to \Groups$;
\item �㭪��� $\sfr$ �� �ਬ��~\ref{ex-fun}(4) ᮯ�殮�� ᫥�� � �㭪�ࠬ $\sfg$ �� �ਬ��~\ref{ex-fun}(3).
\item �᫨ $F:\CC \to \D$ --- ���������⭮���, � $G:\D \to \CC$ --- ���������� �㭪��, � $G$
ᮯ�殮� � $F$ � �ࠢ� � ᫥��.
\end{enumerate}
\end{examples}

\begin{lemma}\label{adjuc}
����� $(F,G)$ --- ��� ᮯ�殮���� �㭪�஢. ����� �������� ���䨧�� �㭪�஢
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ � $\eta:F \circ G \to \id_\D$, ⠪�� ��
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, �
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%�������樨
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ �
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ ⮦���⢥���.
\end{lemma}
\begin{proof}
����⨬, �� $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ �� ᮯ�殮�����. ������稬 ��� $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
���䨧�, ᮮ⢥�����騩 ���䨧�� $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. �������筮, $\eta_Y$ ᮮ⢥�����
$\id_{G(Y)}$ �� ������䨧�� $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
� ᨫ� �㭪�ਠ�쭮�� ������䨧�� $\xi$ ����� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
���䨧� $\id_X$ ����� ��ன ��५�� ��ॢ������ � $\xi_{X,Y}(\phi)$, � ��㣮� --- � $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
��஥ ࠢ���⢮ �஢������ �������筮.
\end{proof}

\begin{lemma}
�㭪��� $F$ � $G$ ᮯ�殮�� ��� ���� $\LRA$ �������� ���䨧��
�㭪�஢ $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ � $\eta:F \circ G \to \id_\D$, ⠪�� ��
�������樨
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ �
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ ⮦���⢥���.
\end{lemma}
\begin{proof}
����� ���砫� $F$ ᮯ�殮� ᫥�� � $G$. ��।���� $\epsilon$ � $\eta$ ��� � �����~\ref{adjuc}.
����� ��� ��� ���䨧�� $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ �����
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
����⠢�� $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. ����稬
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, � ���� ⮦���⢥������ ��ࢮ� �������樨.
������⢥������ ��ன �஢������ �������筮.

����� ⥯��� $F$ � $G$ �ந������, � $\epsilon$ � $\eta$ ������.
������� ���䨧�� $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ � $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
��㫠�� $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ � $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
���ᬮ�ਬ ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
� ��� ������ ������⨢�� � ᨫ� �㭪�ਠ�쭮�� $\eta$, � ��㣮�쭨� --- �� �᫮���.
��� ����砥� $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
������⢮ $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
�஢������ �������筮.
\end{proof}

\begin{lemma}
�㭪�� $F$ ����� �ࠢ� ᮯ�殮��� $\LRA$ �㭪�� $\Hom(F(-),Y)$ �।�⠢��   ��� ��� $Y \in \D$.
�㭪�� $G$ ����� ����  ᮯ�殮��� $\LRA$ �㭪�� $\Hom(X,G(-))$ ���।�⠢�� ��� ��� $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
�롥६ ������䨧�� $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ ��� ��� $Y \in \D$
� ������� $G(Y) = Y'$. ���ᬮ�ਬ ���䨧� $\phi:Y_1 \to Y_2$. ���������
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
�������� ������� ���䨧� $G(Y_1) \to G(Y_2)$, �� ������ ����ᢨ� $G$ �� ���䨧���.
�㭪�ਠ�쭮��� �祢����.
%��஥ �⢥ত���� �஢������ �������筮.
\end{proof}

��ᯮ��㥬�� ����祭�묨 १���⠬� ��� ������⥫��⢠ �����~\ref{crit-equ}. ����⢨⥫쭮, �᫨
$F$ ��ண� ����� � ����⢥��� ���ꥪ⨢��, � ��� ��类�� $Y \in \D$ ������� $X \in \CC$,
⠪�� �� $F(X) \cong Y$, ����� $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
�।�⠢��� �㭪��, ᫥����⥫쭮 ������� �ࠢ� ᮯ�殮��� � $F$ �㭪�� $G$.
����� $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ � $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- ᮮ⢥�����騥
���䨧�� �㭪�஢. �������, �� ��� ������䨧��. ���ᬮ�ਬ ���砫� ���䨧�
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. �ਬ���� �㭪�� $\Hom(X',-)$ ����砥� ���䨧�
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, ��騩�� �������樥� ���䨧�� $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
� $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, � ᫥����⥫쭮 ������䨧���.
����� $\epsilon_X$ �������� ������䨧� �।�⠢���� �㭪�஢ $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
� ����� � ᠬ ���� ������䨧���. ���ᬮ�ਬ ⥯��� ���䨧� $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
�ਬ���� �㭪�� $\Hom(F(X),-)$ ����砥� ���䨧�
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. ��� ��������� � ���䨧���
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ ࠢ�� ���䨧�� $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
᫥����⥫쭮 ���� ������䨧���. �� ��直� ��ꥪ� $Y' \in \D$ ������䥭 ��ꥪ�� $F(X)$ ��� ���室�饣� $X$,
����� ���䨧� $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ ⮦� ���� ������䨧���. ����� ��ࠧ��
$\eta_Y$ �������� ������䨧� �।�⠢���� �㭪�஢ $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
� ����� � ᠬ ���� ������䨧���.

� �����襭��, �ਢ���� �ਬ�� �㭪�஢, ��।��塞�� �१ ����⨥ ᮯ�殮�����.
����� $\CI$ --- ����� ��⥣��� (��ᬠ�ਢ����� ��� ��⥣��� �����ᮢ).
���ᬮ�ਬ �㭪�� �஥�樨 $\CC\times\CI \to \CC$. � ᨫ� ���.~\ref{fun-prod}
�� ���� �㭪�� $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, ����� �� �㤥� ���뢠�� ����ﭭ� �㭪�஬
� ��������� $\Delta$. ��� ��类�� $F \in \Fun(\CI,\CC)$ ��ᬮ�ਬ �㭪��� $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{�}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(���� ����ࠢ�ਠ�⥭, ��ன ����ਠ�⥭). �᫨ �� �㭪��� (��)�।�⠢���, �
(��)�।�⠢���\-騩 ��ꥪ�
���뢠���� {\sf ����� �।����} (��� ���� {\sf �।����}) �㭪�� $F$ �� ��⥣�ਨ $\CI$
� ������砥��� $\ilim_\CI F(i)$ � ��ࢮ� ��砥,
� {\sf ���� �।����} (��� {\sf ���।����}) �㭪�� $F$ �� ��⥣�ਨ $\CI$
� ������砥��� $\dlim_\CI F(i)$  �� ��஬.
� ᨫ� ᢮��� �।�⠢���� �㭪�஢, �᫨ �।��� ��������, � ��।����� �������筮
(� �筮���� �� ������䨧��). ����� ⮣�, �᫨ �।��� ��।����� ��� ��� $F$, ��� ����� �㭪�ࠬ�
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ � $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ ᮮ⢥��⢥���.

\begin{exercise}
(a) �������, �� �᫨ ��⥣��� $\CI$ {\sf ����⭠} (� ���� $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ ��� $i \ne j$),
� $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ � $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) ������稬 �१ $\CI_{\text{\rm discr}}$ ������� ��⥣��� � $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
����ன� ���䨧�� �㭪�஢ $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ �
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}


\end{document}

\begin{definition}
������ --- �� �ன�� $(M,\circ,1)$,
������ �� ������⢠ $M$, ����୮� ����樨 $\circ$ �� $M$
(�.�.\ �⮡ࠦ���� $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
� ������� $e\in M$, ⠪�� �� �믮����� ᫥���騥 ᢮��⢠:
\begin{description}
\item[M1] \say{���樠⨢�����}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{��ᨮ�� �������}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}

\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).

\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).

\item $M=\Map(X,X)$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$ � ᥡ�,
$\circ$ --- ������ �������樨 �⮡ࠦ����, $e=\Id_X$ --- ⮦���⢥����
�⮡ࠦ����.

\item $M=\Map(X,M')$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$ � ������ $M'$,
$\circ$ --- ����筮� 㬭������ ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
��� $\circ'$ --- ������ � $M'$), $e\equiv e'$ --- �㭪��,
⮦���⢥��� ࠢ��� ������ ������� $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}

����� 㡥������, �� ������ �� ��类� ������� �����⢥���.
����⢨⥫쭮, �᫨ $e'$ --- ��㣠� ������, �
$e' = e'\cdot e = e$. ���⮬� �� ������� ������� ����� ��
㪠�뢠�� ��� ������� --- �����筮 ���� �஢���� �� ����⢮�����.

%������ $M$ ���뢠���� \say{������⨢��}, �᫨
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.

\begin{lemma}
�᫨ $x_1,\dots,x_n$ --- �������� �������, � �� ᯮᮡ� ���⠭����
᪮��� � �ந�������� $x_1\circ\dots\circ x_n$ ���� ��������� १����.
\end{lemma}
������⥫��⢮ --- ������ �� $n$.

\begin{definition}
������ $M$ ���뢠���� ������⨢��, �᫨
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}

��� �ࠢ���, � ������⨢��� �������� ������ �����뢠���� ����⨢��
($x\circ y =: x+y$), � � ��������⨢��� ���⨯����⨢�� ($x\circ y =: xy$).

�ந�������� $n$ ���������� ������⮢
$x\circ\dots\circ x$ ������砥���
�१ $x^n$, �� �⮬ 㤮��� �������� $x^0=e$. ����� �஢����, ��
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
��� ��� ������⥫��� $m$ � $n$. �� ����⨢��� ����� ����樨 � �������
��������� ������祭��� $nx$ ����� $x^n$. �� �⮬ ᢮��⢮ $(\ref{prop1})$
�ਮ��⠥� ��� $nx + mx = (n+m)x$.

������� $x$ � ������� $M$ ���뢠���� \say{���⨬�}, �᫨ ��������
������� $y$ (\say{����  �����}), ⠪�� �� $y\circ x = e$; �
������� $z$ (\say{�ࠢ� �����}), ⠪�� �� $x\circ z = e$.

\begin{lemma}\label{inv}
�᫨ $x$ --- ���⨬, � ��直� ���� ����� � $x$ ࠢ�� ��类�� �ࠢ���
���⭮�� � $x$.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.

��� ᠬ�, ��� ��� ���⨬��� ������� $x$ ������� �����⢥��� �������,
��騩�� �����६���� �ࠢ� � ���� ����� � $x$. ��� �������
������砥��� $x^{-1}$ (�� ����⨢��� �����: $-x$) � ���뢠����
����� � $x$.
�����, 㤮��� ��������� $(x^{-1})^n$ �१ $x^{-n}$ (�� ����⨢���
����� $-nx$). ����� ᢮��⢮ $(\ref{prop1})$ �⠭������ ���� ��
���� 楫�� $n$ � $m$.

\begin{definition}
��㯯� --- �� ������, � ���஬ �� �������� ���⨬�.
\end{definition}

\begin{lemma}
�᫨ $M$ --- ������, � ������⢮ $M^*$ ���⨬�� ������⮢ � $M$
���� ��㯯��.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
�����筮 �஢����, �� ������⢮ $M^*$ ������� �⭮�⥫쭮
����樨 $\circ$, � ���� �� ��� ���� ���⨬�� ������⮢ $x,y\in M$
�ந�������� $x\circ y$ --- ⮦� ���⨬�. ����⢨⥫쭮, �᭮, ��
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
� ���� ������� $y^{-1}\circ x^{-1}$ ���� ����� � $x\circ y$.\qed

\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.

\item $(\ZZ,+)$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).

\item $(\QQ^*,\cdot)$ (��ਠ���: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).

\item \say{��㯯� ����⠭����} (ᨬ�����᪠� ��㯯�) $\FS_n$ ---
������⢮ ������䨧��� �� $n$-������⭮�� ������⢠ $\{1,\dots,n\}$
�� ᥡ� � ����樥� �������樨 �⮡ࠦ����.

\item $G = \Map(X,G')$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$
� ��㯯� $G'$.

\item ��㯯� ��⮬��䨧��� (�.\ �����~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}

\begin{lemma}\label{canc}
�᫨ � ��㯯� $G$ �믮����� ���� �� ࠢ���� $x\circ y=x\circ z$ ���
$y\circ x=z\circ x$, � $y=z$.
\end{lemma}
������⥫��⢮: �᫨ $x\circ y=x\circ z$, �
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
��ன ��砩 ࠧ��ࠥ��� �������筮.

��㯯� ���뢠���� ������⨢���, �᫨ ��� ������⨢�� ��� ������.
������⨢�� ��㯯� ⠪�� ���뢠���� \say{������묨}.



\Section{����� � ����}

\begin{definition}
�����--- �� ����� $(R,+,\cdot,0,1)$,
����騩 �� ������⢠ $R$, ������� ����権 $+$ (᫮�����) �
$\cdot$ (㬭������) �� $R$ � ������⮢ $0,1\in R$, ⠪�� ��
%$R$ ���� �������� ��㯯�� �⭮�⥫쭮 ᫮�����
�믮����� ᫥���騥 ᢮��⢠:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- ������� ��㯯�.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- ������.
\item[R3] \say{����ਡ�⨢����� (������������) 㬭������}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}

��������� � ����� ��� �����뢠�� � ���� $xy=x\cdot y$.
����� ���뢠���� ������⨢��, �᫨ ������⨢�� ������ 㬭������.

\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.

\item $\ZZ$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).

\item $R=\Map(X,R')$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$
� ����� $R'$ � �����묨 �����ﬨ.

\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
����� \say{�����童���} (\say{���������}) � �����樥�⠬� � ����� $R'$.

\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
����� \say{�ଠ���� �⥯����� �冷�} � �����樥�⠬� � ����� $R'$.

\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- ����� ����� ࠧ��� $n$ �� $n$
� �����樥�⠬� � ����� $R'$. �������� $R$ --- �� ⠡���� ����
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
� ������������ ᫮������; 㬭�������, ��������� ��㫮�
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{��� }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
�㫥��� ����楩 � ����⢥ 0 � ��������쭮� ����楩
� �����栬� �� ��������� � ����⢥ 1.

\item ����� �������䨧��� (�. �����~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}

\begin{lemma}
�᫨ $R$ --- �����, � $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
� ��⠥��� �ਬ����� �����~\ref{canc} � ����⨢��� ��㯯� �����.

\begin{definition}
�����, � ���஬ $0\ne 1$ � �� �������� �஬� ��� �����
��㯯�� �⭮�⥫쭮 㬭������, ���뢠���� \say{⥫��},
� �᫨ ��� � ⮬� �� ������⨢��, � \say{�����}.
\end{definition}

��������⨢�� ⥫� ��������� �����筮 ।��; ���⥩訩 �ਬ�� ---
⥫� ����୨���� $\HH$. � ���ﬨ ���� ���⮨� ����⥫쭮 ����.

\begin{examples} �ਬ��� �����.

\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,

\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, ��� $p$ --- ���⮥ �᫮.

\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.

\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- ���� �樮������
�㭪権 � �����樥�⠬� � ���� $K'$.

\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- ���� (�ଠ����) �冷� ��࠭� � �����樥�⠬� � ���� $K'$.

\end{enumerate}
\end{examples}

\Section{�������䨧��}

\begin{definition}
�������䨧� ��㯯 (��������) $f:G\to G'$ --- �� �⮡ࠦ����, ⠪�� ��
$f(e)=e'$ � $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
�������䨧� ����� (�����) $f:R\to R'$ --- �� �⮡ࠦ����, ��饥��
�������䨧��� �� ����⨢��� ��㯯� � ���⨯����⨢���� �������.
\end{definition}

\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item �᫨ $G$ --- ��㯯�, � $x\in G$, � �⮡ࠦ���� $n\mapsto x^n$
���� �������䨧��� ��㯯 $\ZZ\to G$.

\item �᫨ $R$ --- �����, � $x\in R$, � �⮡ࠦ���� $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
���� �������䨧��� ����� $\ZZ\to R$.

\item �஥��� $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ ���� �������䨧��� �����.

\item �⮡ࠦ���� $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ �
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ ����� �������䨧���� ��㯯.

\item �⮡ࠦ���� ���᫥��� $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
���� �������䨧��� ��㯯.

\item �᫨ $R$ --- ������⨢��� �����, � $r\in R$,
� �⮡ࠦ���� ���᫥��� $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
���� �������䨧��� �����.

\item ��直� ������� ����� $R$ ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� �����童� �⥯��� 0,
� ��直� �����童� ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� �ଠ��� �⥯����� ��,
�� 童�� ���ண�, ��稭�� � �����ண� ���� ࠢ�� ���. ��� ᠬ�
�������� �������䨧�� ����� $R \to R[x]$ � $R[x] \to R[[x]]$.

%\item �᫨ $f:R\to R'$ --- �������䨧� �����, � $r\in R$, �
%�⮡ࠦ���� $\tilde{f}:R'[x]\to R$, ��ॢ���饥
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ � $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%�������䨧� �����.
\end{enumerate}
\end{examples}

\begin{lemma}\label{hom1}
��������� �������䨧��� ���� �������䨧���.
�᫨ $f:M\to M'$ --- �������䨧� ��������, � $x\in M$ --- ���⨬�
�������, � $f(x)\in M'$ --- ���⨬ � $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
��㤠 ᫥��� ��ࢠ� ���� �����. ��� ������⥫��⢠ ��ன ���
�����筮 �������, ��
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, � ����
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed


�������䨧� (��������, ��㯯, �����, �����, � �.�.) $f:M\to M'$ ���뢠����
\say{������䨧���} (���ꥪ樥�, ����������), �᫨
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ �.�. $f(x)=z$.
�������䨧� $f$ ���뢠���� \say{�������䨧���} (��ꥪ樥�, ���������),
�᫨ �� ࠢ���⢠ $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, ᫥��� $x=y$.
�������䨧� $f:M\to M'$ ���뢠���� \say{������䨧���}, �᫨
������� �������䨧� $g:M'\to M$, ⠪�� ��
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.

\begin{lemma}
�������䨧� ��㯯 (�����) ���� ������䨧��� $\LRA$
�� ���� �����६���� �������䨧��� � ������䨧���.
\end{lemma}
������⥫��⢮: ��直� ������䨧� ����⨢��, ᫥����⥫쭮
���� �������䨧��� � ������䨧���. ���⭮, �᫨ �������䨧�
���� �������䨧��� � ������䨧��� �����६����, � �� ����⨢��,
᫥����⥫쭮 ������� ���⭮� �⮡ࠦ����, ���஥ (����� �஢����)
���� �������䨧���. \qed



��直� �������䨧� �� (�������, ��㯯�, �����, ����, � �.�.) � ᥡ�
���뢠���� \say{�������䨧���}. �������䨧�, ��騩�� ������䨧���,
���뢠���� \say{��⮬��䨧���}.

\begin{lemma}\label{endaut}
�᫨ $M$ --- �� �����ࠨ�᪠� ������� (������, ��㯯�, �����, ����),
� ������⢮ ��� ��⮬��䨧��� $\Aut(M)$ ���� ��㯯��. �᫨ $M$ ---
������� ��㯯�, � ������⢮ �� �������䨧��� $\End(M)$ ���� ����殬.
\end{lemma}
������⥫��⢮: �� �����~\ref{hom1} ᫥���, �� $\End(M)$ ���� ��������
�⭮�⥫쭮 ����樨 �������樨 �������䨧���, � $\Aut(M)$ ����
������⢮� ��� ���⨬�� �����⮢, ᫥����⥫쭮 $\Aut(M)$ --- ��㯯�.
�᫨ �� $M$ ���� �������� ��㯯��, � �� $\End(M)$ ���� ������
����筮�� ᫮����� ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), ⠪ �� $\End(M)$ �⠭������
����殬.\qed

\begin{definition}
��஬ �������䨧�� ��㯯 $f:G\to G'$ ���뢠����
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. ��ࠧ�� �������䨧��
��㯯 $f:G\to G'$ ���뢠���� $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
�������筮, �஬ �������䨧�� ����� $f:R\to R'$ ���뢠����
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. ��ࠧ�� �������䨧�� ����� $f:R\to R'$
���뢠���� $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}

����� ������, �� �� � ��ࠧ �������䨧�� ��㯯 $f:G\to G'$
����� \say{�����㯯���} (� ���� ���������⢠��, ��騬���
��㯯��� �⭮�⥫쭮 �����஢����� ����樨) � $G$ � $G'$ ᮮ�.
�������筮, �� � ��ࠧ �������䨧�� ����� $f:R\to R'$
����� \say{�������栬�} (� ���� ���������⢠��, ��騬���
����栬� �⭮�⥫쭮 �����஢����� ����権) � $R$ � $R'$ ᮮ�.

\begin{lemma}
�������䨧� $f$ ��㯯 (�����) ���� �������䨧��� $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ ᮮ�.).
�������䨧� �������� $f:M\to M'$ ���� ������䨧��� $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
������⥫��⢮: ����� $f:M\to M'$ --- �������䨧� ��㯯 � $f(x)=f(y)$. �����
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
᫥����⥫쭮 $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. ����� �祢����.

\begin{corollary}\label{field_mono}
�� �������䨧� �� ���� � ����� ���� ���������.
\end{corollary}
������⥫��⢮: �� �����~\ref{hom1} �� ���⨬� �������
���� (�⭮�⥫쭮 ���⨯����⨢��� ��������) ���室��
� ���⨬� �������. �������⥫쭮, ��直� ���㫥��� �������
���室�� �� � ����. � ��⭮��, �� �������䨧�� ࠢ�� ���,
᫥����⥫쭮 �������䨧� --- ��������. \qed


\Section{���� �ந��������}

����� $(M_1,\circ_1,e_1)$ � $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- �������.
����� �� �ந��������
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
��������� ������� �������:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
��� ������ ���뢠���� \say{���� �ந���������} �������� $M_1$ � $M_2$.

\begin{lemma}
�ந�������� ��㯯 (�����) ���� ��㯯�� (����殬).
\end{lemma}
������⥫��⢮: �祢����.

����⨢, ����� �஢����, �� �ந�������� ����� ���� ����殬,
�� �� �����. ����⢨⥫쭮, � �ந�������� ����� $K\times L$ �����
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
᫥����⥫쭮 �������� $(1_K,0_L)$ � $(0_K,1_L)$ �����⨬�.

\end{document}
