\documentclass{amsart}
\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\begin{document}


\Name{Производные функторы --- свойства и примеры}{Гомологическая алгебра 10}{26.11.2008}

\Section{}

В лекции про точные функторы, я забыл рассказать про морфизмы точных функторов.
Напомним, что точный функтор $\CT \to \CT'$ --- это пара $(F,\theta_F)$, где
$\theta_F:F\circ[1]_\CT \to [1]_{\CT'}\circ F$ --- изоморфизм функторов.
{\sf Морфизм точных функторов} $\phi:(F,\theta_F) \to (G,\theta_G)$ --- это морфизм
функторов $F \to G$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix{
F\circ[1]_\CT \ar[rr]^-{\phi\circ[1]_\CT} \ar[d]_{\theta_F} && G\circ[1]_\CT \ar[d]_{\theta_G} \\
[1]_{\CT'}\circ F \ar[rr]^-{[1]_{\CT'}\circ\phi} && [1]_{\CT'}\circ G
}
$$
коммутативна.

\begin{exercise}
Покажите, что композиция морфизмов точных функторов --- морфизм точных функторов.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что если $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор, а $G:\CT' \to \CT$ --- его правый сопряженный
(он автоматически точен), то морфизмы сопряжения $\id_\CT \to G\circ F$ и $F\circ G \to \id_{\CT'}$ ---
морфизмы точных функторов.
\end{exercise}


Напомним, что если $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор между триангулированными
категориями, а $\CN \subset \CT$ --- триангулированная подкатегория, то существует
правый и левый функтор локализации $RF,LF$ из $\CT/\CN$ в подходящее пополнение
категории $\CT'$, задаваемые формулами
$$
\Hom(Y,RF(X)) = \dlim_{(s:X \to Z) \in S(\CN)} \Hom(Y,F(Z)),
\qquad
\Hom(LF(X),Y) = \dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),Y).
$$
В категории $\CT/\CN$ есть максимальная подкатегория (область определения функтора локализации),
на которой функтор локализации принимает значения в $\CT'$. Это триангулированная подкатегория,
а ограничение функтора локализации на эту категорию является точным функтором. Есть разные
достаточные условия, обеспечивающие то, что функтор локализации всюду определен (допустимость
подкатегории $\CN$ в $\CT$, или наличие подходящей подкатегории $\CT_0 \subset \CT$).

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) морфизмы $\rho_F:F \to RF\circ Q$ и $\lambda_F:LF\circ Q \to F$ --- морфизмы точных функторов.
(b) если морфизм $\phi:F \to G\circ Q$ --- морфизм точных функторов, то морфизм $\phi':RF \to G$ ---
тоже морфизм точных функторов (аналогично для левой локализации).
\end{exercise}



В частном случае, когда $\CT = \Hot^*(\CA)$, $\CT' = \D^*(\CB)$, $\CN = \Acycl^*(\CA)$,
а функтор $F$ индуцирован аддитивным функтором из $\CA$ в $\CB$, локализации
называются производными функторами.

Пусть $F,G:\CT \to \CT'$ --- точные функторы, а $\phi:F \to G$ --- морфизм функторов.

\begin{lemma}
Существует единственный морфизм точных функторов $R\phi:RF \to RG$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix{
F \ar[rr]^-\phi \ar[d]_{\rho_F} && G \ar[d]^{\rho_G} \\ RF\circ Q \ar[rr]^-{R\phi} && RG\circ Q
}
$$
коммутативна. Он задается формулой $R\phi(X) = \dlim_{(s:X \to Z) \in S(\CN)} \phi(Z)$.
При этом $R\phi\circ R\psi = R(\phi\circ\psi)$.

Аналогично для левых производных функторов.
\end{lemma}
\begin{proof}
Легко следует из универсального свойства производных функторов.
В самом деле, рассмотрим морфизм функторов $\rho_G\circ\phi:F \to RG\circ Q$.
По униврсальному равенству найдется морфизм функторов $R\phi$ с необходимыми свойствами.
При этом равенство $R\phi\circ R\psi = R(\phi\circ\psi)$ тоже легко следует из универсального свойства.

С другой стороны, можно вывести все и из явной формулы и свойств пределов.
\end{proof}

Пусть $F:\CS \to \CT$ --- точный функтор, а $G:\CT \to \CS$ --- его левый сопряженный (тоже автоматически точный).
Пусть также $\CM \subset \CS$ и $\CN \subset \CT$ --- триангулированные подкатегории.
Обозначим через $RF:\CS/\CM \to \CT/\CN$ правую локализацию функтора $Q_\CT\circ F$, а через
$LG:\CT/\CN \to \CS/\CM$ левую локализацию функтора $Q_\CS\circ G$.

\begin{lemma}
Если функтор $RF$ определен в $X$, а $G$ определен в $Y$, то существует изоморфизм
$$
\Hom_{\CS/\CM}(LGY,X) \cong \Hom_{\CT/\CN}(Y,RFX)
$$
функториальный по $X$ и $Y$.
В частности, если $RF$ и $LG$ всюду определены, то они сопряжены.
\end{lemma}
\begin{proof}
Проще всего воспользоваться явными формулами. В левой и правой частях по определению стоят
$$
\dlim_{(W \to Y) \in S(\CN)} \Hom_\CS(G(W),X)
\qquad\text{и}\qquad
\dlim_{(X \to Z) \in S(\CM)} \Hom_\CT(Y,F(Z))
$$
соответственно. Рассмотрим также
$$
\dlim_{(W \to Y) \in S(\CN),\ (X \to Z) \in S(\CM)} \Hom_\CS(G(W),Z),
$$
то есть предел по категории $S(\CM)^X\times S(\CN)_Y$. Легко видеть,
что функторы проекции $S(\CM)^X\times S(\CN)_Y \to S(\CM)^X,S(\CN)_Y$ кофинальны,
поэтому индуцируют изоморфизмы этого предела с каждым из двух исходных
(также надо учесть, что $\Hom_\CS(G(W),X) \cong \Hom_\CT(Y,F(Z))$
ввиду сопряженности функторов $F$ и $G$).
\end{proof}



\Section{Композиция производных функторов}

Пусть $\CT_1 \stackrel{F}\to \CT_2 \stackrel{G}\to \CT'$ --- композиция точных функторов,
а $\CN_1 \subset \CT_1$ и $\CN_2 \subset \CT_2$ --- строго полные триангулированные подкатегории.
Рассмотрим правые локализации $RF:\CT_1/\CN_1 \to \CT_2/\CN_2$, $RG:\CT_2/\CN_2 \to \CT'$
и $R(G\circ F):\CT_1/\CN_1 \to \CT'$ (если они определены). Естественный вопрос --- верно ли,
что $R(G\circ F) \cong RG\circ RF$. Легко показать, что вообще говоря, это не так.

\begin{example}
Приведем пример для левых производных функторов.
Рассмотрим гомоморфизм алгебр $\kk[x] \to \kk$, $f(x) \mapsto f(0)$.
Пусть $F:\kk\lmod \to \kk[x]\lmod$ --- функтор ограничения, а $G:\kk[x]\lmod \to \kk\lmod$,
$M \mapsto \kk \otimes_{\kk[x]} M$ --- функтор индукции (геометрически $\kk[x]\lmod = \Coh(\AA^1)$,
$\kk\lmod = \Coh(\pt)$, $F = i_*$, $G = i^*$, где $i:\pt \to \AA^1$ --- естественное вложение).
Ясно, что $LF = F$, так как $F$ точен, а $LG (M) = \kk \lotimes_{\kk[x]} M$.
Пользуясь резольвентой
$$
0 \to \kk[x] \stackrel{x}\to \kk[x] \to \kk \to 0,
$$
легко показать, что $LG(LF(V)) \cong V \oplus V[1]$.
При этом $G(F(V)) = V$, так что $L(G\circ F) = L\id = \id$.
\end{example}


Ввиду вышесказанного, полезно иметь условие, гарантриующее равенство производного функтора композиции
и композиции производных функторов. Приведем одно достаточное условие.

Пусть $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор, а $Q:\CT \to \CT/\CN$ --- функтор локализации.
Объект $X$ называется {\sf приспособленным для $F$}, если $RF$ определен на $X$ и
естественный морфизм $\rho_F(X):F(X) \to RF(Q(X))$ --- изоморфизм.

\begin{exercise}
Покажите, что все объекты, приспособленные для функтора $F$ образуют полную
триангулированную подкатегорию в $\CT$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{deploye}
Пусть $F:\CA \to \CB$ --- аддитивный функтор между абелевыми категориями, а $E \subset \CA$ ---
класс объектов, замкнутый относительно прямых сумм и коядер мономорфизмов, такой что
для любой точной тройки $0 \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to 0$, если $A_1 \in E$, то тройка
$0 \to F(A_1) \to F(A_2) \to F(A_3) \to 0$ точна. Если в $\CA$ достаточно много объектов из $E$,
то любой ограниченный снизу комплекс с членами в $E$ приспособлен для $F$ в $\Hot^+(\CA)$,
а функтор $RF$ всюду определен на $\D^+(\CA)$.
\end{exercise}


%\begin{lemma}
%Объект $F$ приспособлен для $F$ $\LRA$ для любого морфизма $s:Y \to Y'$ из $S(\CN)$
%морфизм $F(s):F(Y) \to F(Y')$ имеет левый обратный, который зависит от $s$ функториально.
%\end{lemma}
%\begin{proof}
%Рассмотрим коммутативную диаграмму
%$$
%\xymatrix{
%F(Y) \ar[r]^{F(s)} \ar[d]_{\rho_F(Y)} & F(Y') \ar[d]^{\rho_F(Y')} \\ RF(Y) \ar[r]^{RF(s)} & RF(Y')
%}
%$$
%Заметим, что морфизмы $\rho_F(Y)$ и $RF(s)$ --- изоморфизмы. Поэтому коммутативность диаграммы влечет равенство
%$\rho_F(Y)^{-1}\circ RF(s)^{-1}\circ\rho_F(Y')\circ F(s) = \id_{F(Y)}$. Значит 
%$\rho_F(Y)^{-1}\circ RF(s)^{-1}\circ\rho_F(Y')$ --- левый обратный морфизм для $F(s)$.
%Его функториальность очевидна.
%
%Обратно, пусть каждому морфизму $s:Y \to Y'$ функториально по $s$ сопоставлен морфизм $\xi_s:F(Y') \to F(Y)$,
%такой что $\xi_s\circ F(s) = \id_{F(Y)}$. Рассмотрим морфизм функторов $\xi:rF(Y) \to h_F(Y)$, заданный композицией
%$$
%rF(Y)(Z) = \dlim_{(s:Y \to Y')\in S(\CN)} \Hom(Z,F(Y')) \stackrel{\xi_s}\to
%rF(Y)(Z) = \dlim_{(s:Y \to Y')\in S(\CN)} \Hom(Z,F(Y)) = \Hom(Z,F(Y)),
%% = h_{F(Y)}(Z).
%$$
%а также естественный морфизм $\rho_F:h_{F(Y)} \to rF(Y)$.
%Ясно, что $\xi\circ\rho_F = \id$.
%
%{\bf ???????????????}
%
%\end{proof}

Говорят, что в категории $\CT$ {\sf достаточно много приспособленных для $F$ объектов}, если
для всякого $X \in \CT$ найдется приспособленный для $F$ объект $X_0 \in \CT$ и морфизм
$s:X \to X_0$, лежащий в $S(\CN)$ (в случае левой локализации требуется морфимз $X_0 \to X$).

\begin{exercise}
Пусть $\CT(F) \subset \CT$ --- строго полная триангулированная подкатегория,
состоящая из всех объектов, приспособленных для $F$. Тогда $F(\CT(F)\cap\CN) = 0$.
В частности, если в категории $\CT$ достаточно много приспособленных для $F$ объектов, 
то $RF$ всюду определен и $RF(X) \cong F(X_0)$, где $X_0$ приспособленный для $F$
объект, для которого существует морфизм $s:X \to X_0$ в $S(\CN)$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $\CT_1 \stackrel{F}\to \CT_2 \stackrel{G}\to \CT'$ --- композиция точных функторов,
а $\CN_1 \subset \CT_1$ и $\CN_2 \subset \CT_2$ --- строго полные триангулированные подкатегории.
Пусть в категории $\CT_1$ достаточно много приспособленных для $F$ объектов $X$, таких что
объект $F(X)$ в $\CT_2$ приспособлен для $G$. Тогда все эти объекты приспособлены для $G\circ F$,
функтор $RF$ определен всюду, функтор $RG$ определен на $\Im RF$ и $R(G\circ F) \cong RG\circ RF$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Так как в $\CT_1$ достаточно много приспособленных для $F$ объектов, то $RF$ определен всюду.
Так как для каждого $X$ в $\CT_1$ найдется морфизм $s:X \to X_1$, такой что $s\in S(\CN_1)$,
$X_1$ приспособлен для $F$, а $F(X_1)$ приспособлен для $G$,
то $RF(X) \cong RF(X_1) \cong F(X_1)$, а $RG$ определен на $RF(X_1)$ по условию.
Значит $RG$ определен на $\Im RF$. 

Пусть теперь $\CT_0 \subset \CT_1$ --- строго полная подкатегория, состоящая из 
приспособленных для $F$ объектов $X_0$, таких что $F(X_0)$ приспособлен для $G$.
Эта подкатегория триангулирована (так как является пересечением триангулированной 
подкатегории и прообраза триангулированной подкатегории). В силу упражнения $F(\CT_0\cap \CN_1) = 0$,
значит тем более $G(F(\CT_0\cap \CN_1)) = 0$. При этом для каждого объекта $X \in \CT_1$
найдется морфизм $s:X \to X_0$ в $S(\CN_1)$, такой что $X_0 \in \CT_0$.
Значит $R(G\circ F)$ всюду определен и $R(G\circ F)(X) = G(F(X_0))$. 
В частности, если $X \in \CT_0$ можно взять $X_0 = X$, так что $R(G\circ F)(X) = G(F(X))$.
\end{proof}


\Section{Производные бифункторы}



Пусть $X^{\bullet,\bullet}$ --- {\sf бикомплекс над $\CA$}, то есть биградуированный объект над $\CA$
с двумя дифференциалами $d_I:X^{m,n} \to X^{m+1,n}$ и $d_{II}:X^{m,n} \to X^{m,n+1}$, такими что
$$
d_I^2 = 0,\qquad
d_{II}^2 = 0,\qquad\text{и}\qquad
d_I\circ d_{II} = d_{II}\circ d_I.
$$
Легко видеть, что бикомплексы образуют абелеву категорию $\Com^2(\CA)$.

Определим функторы свертки $\tot_\oplus,\tot_\pi:\Com^2(\CA) \to \Com(\CA)$ формулами
$$
\begin{array}{rcllcl}
\tot_\oplus(X^{\bullet,\bullet},d_I,d_{II}) &=& ( \oplus_{m+n=k} X^{m,n}, & d^k_{|X^{m,n}} &=& d_I^{m,n} + (-1)^m d_{II}^{m,n} ),\\
\tot_\pi(X^{\bullet,\bullet},d_I,d_{II}) &=& ( \prod_{m+n=k} X^{m,n}, & d^k_{{m,n}} &=& d_I^{m-1,n} + (-1)^m d_{II}^{m,n-1} ).
\end{array}
$$
Чтобы первый из них был определен в категории $\CA$ должны существовать бесконечные прямые суммы,
а чтобы второй был определен --- бесконечные прямые произведения.
При этом, эти функторы всегда определены и совпадают на подкатегории бикомплексов,
имеющих на каждой из диагоналей лишь конечное число ненулевых членов
(в этом случае мы будем обозначать их просто $\tot$).

%\begin{exercise}
%Покажите, что функтор свертки $\tot_\oplus$ сопряжен слева, а функтор $\tot_\pi$ справа к функтору $\Com(\CA) \to \Com^2(\CA)$,
%переводящему комплекс $X^\bullet$ в бикомплекс $X^{m,n} = X^{m+n}$, $d_I = d_{II} = d$.
%\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $f:X^\bullet \to Y^\bullet$ --- морфизм комплексов.
Положим $Z^{-1,n} = X^n$, $Z^{0,n}=Y^n$, $Z^{m,n}=0$ при $m \ne -1,0$, $d_{II}^{-1,n} = d_X^n$, $d_I^{0,n}=d_Y^n$, а $d_{II}^{-1,n}=f^n$.
Покажите, что $\tot(Z^{\bullet,\bullet}) = C(f)$.
\end{exercise}

На категории бикомплексов есть два функтора сдвига --- по первой координате и по второй
(меняющие знак соответствующего дифференциала). Обозначим их $[1]_I$ и $[1]_{II}$ соответственно.
Ясно, что они коммутируют $[1]_I\circ [1]_{II} = [1]_{II}\circ[1]_I$.

\begin{exercise}
Покажите, что существуют изоморфизмы функторов $\theta_I:\tot_*\circ[1]_I \to [1]\circ\tot_*$
и $\theta_I:\tot_*\circ[1]_I \to [1]\circ\tot_*$, такие что диаграмма
$$
\xymatrix{
\tot_*\circ[1]_I\circ[1]_{II} \ar[r]^{\theta_I} \ar[d]_{\theta_{II}} & [1]\circ\tot_*\circ[1]_{II} \ar[d]_{\theta_{II}} \\
[1]\circ\tot_*\circ[1]_I  \ar[r]^{\theta_I} & [2]\circ\tot_*
}
$$
антикоммутативна ($*$ заменяет $\oplus$ либо $\pi$).
\end{exercise}

Бифунктор $F:\CT_1 \times \CT_2 \to \CT$ между триангулированными категориями называется {\sf точным}, если 
\begin{itemize}
\item заданы изоморфзмы $\theta_1:F\circ[1]_{\CT_1} \to [1]_\CT\circ F$ и $\theta_2:F\circ[1]_{\CT_2} \to [1]_\CT\circ F$,
такие что диаграмма
$$
\xymatrix{
F\circ[1]_{\CT_1}\circ[1]_{\CT_2} \ar[r]^{\theta_1} \ar[d]_{\theta_2} & [1]\circ F\circ[1]_{\CT_2} \ar[d]_{\theta_2} \\
[1]\circ F\circ[1]_{\CT_1}  \ar[r]^{\theta_1} & [2]\circ F
}
$$
антикоммутативна;
\item для любого выделенного треугольника $X_1 \to X_2 \to X_3 \to X_1[1]_{\CT_1}$ в $\CT_1$
и любого $Y \in \CT_2$ треугольник $F(X_1,Y) \to F(X_2,Y) \to F(X_3,Y) \to F(X_1,Y)[1]_\CT$ выделен в $\CT$;
\item для любого выделенного треугольника $Y_1 \to Y_2 \to Y_3 \to Y_1[1]_{\CT_2}$ в $\CT_2$
и любого $X \in \CT_1$ треугольник $F(X,Y_1) \to F(X,Y_2) \to F(X,Y_3) \to F(X,Y_1)[1]_\CT$ выделен в $\CT$.
\end{itemize}

\begin{exercise}
Покажите, что для любого аддитивного бифунктора $F:\CA_1\times\CA_2 \to \CA$
бифунктор $F_*:\Hot^*(\CA_1)\times\Hot^*(\CA_2) \to \Hot^*(\CA)$,
заданный формулой
$$
(X^\bullet,Y^\bullet) \mapsto \tot_*(F(X^\bullet,Y^\bullet))
$$
точен.
\end{exercise}

Пусть $F:\CT_1\times\CT_2 \to \CT$ --- бифунктор, а $\CN_1 \subset \CT_1$, $\CN_2 \subset \CT_2$ --- 
триангулированные подкатегории. Бифунктор $RF:(\CT_1/\CN_1) \times (\CT_2/\CN_2) \to \CT$
называется правой локализацией бифунктора $F$, если задан морфизм бифункторов $\rho:F \to RF\circ Q$,
такой что для любого бифунктора $G:(\CT_1/\CN_1) \times (\CT_2/\CN_2) \to \CT$ и морфизма бифункторов 
$\phi:F \to G\circ Q$ существует единственный морфизм бифункторов $\phi':RF \to G$, такой что $\phi'\circ\rho = \phi$.

\begin{exercise}
Преположим, что существует полуортогональное разложение $\CT_1 = (\CI_1,\CN_1)$,
а функтор $F$ переводит $\CI_1\times\CN_2$ в ноль. Тогда он имеет правый производный $RF$
и $RF(X,Y) = F(X_I,Y)$, где $X_I$ --- проекция $X$ на $I$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{derbif}
Преположим, что существует триангулированные подкатегории $\CT_{01} \subset \CT_1$ и $\CT_{02} \subset \CT_2$
такая что если $\CN_{0i} = \CT_{0i} \cap \CN_i$, то $F(\CN_{01}\times\CT_{02}) = 0$ и $F(\CT_{01}\times\CN_{02}) = 0$,
и для всяких объектов $X \in \CT_1$, $Y \in \CT_2$ существуют морфизмы $s:X \to X_0$, $t:Y \to Y_0$,
лежащие в $S(\CN_1)$ и $S(\CN_2)$ соответственно. Докажите, что существует правый производный функтор $RF$, причем $RF(X,Y) = F(X_0,Y_0)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Сформулируйте и докажите теорему о производном функторе композиции бифункторов.
\end{exercise}


\Section{Производные функторы в алгебраической геометрии}

Пусть $X$ --- схема.

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) если $U \subset X$ --- аффинное подмножество, $j:U \to X$ --- вложение, а
$F$ --- квазикорентный пучок на $U$, соответствующий инъективному модулю,
то $j_*F$ --- инъективный объект в $\QCoh(X)$;
(b) если $X$ квазикомпактна (имеет конечное покрытие открытыми аффинными множествами), 
то в $\QCoh(X)$ достаточно инъективных объектов. В частности, любой точный справа 
функтор из $\QCoh(X)$ имеет правый производный на $\D^+(\QCoh(X))$.
\end{exercise}

В частности, если $X$ квазикомпактна, то функтор $\Gamma$ глобальных сечений 
имеет правый производный функтор $R\Gamma$ на категории $\D^+(\QCoh(X))$,
Аналогично, если $f:X \to Y$ --- морфизм из квазикомпактной схемы $X$,
то существует правый производный функтор $Rf_*:\D^+(\QCoh(X)) \to \D^+(\QCoh(Y))$.

\begin{exercise}
Покажите, что любая квазипроективная схема квазикомпактна.
\end{exercise}

С проективными объектами в категории $\QCoh(X)$ ситуация противоположная --- их,
как правило нет вообще (единственное по существо исключение --- аффинный случай).
Однако, для вычисления левого производного функтора от обратного образа и тензорного
произведения часто достаточно локально свободных пучков. 
Обозначим класс локально свободных пучков на $X$ через $\LF(X)$.

\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем.
Покажите, что класс $\LF(Y)$ удовлетворяет условиям 
упражнения~\ref{deploye} для функтора $f^*:\QCoh(Y) \to \QCoh(X)$.
В частности, если на $Y$ достаточно много локально свободных пучков, то 
существует левый производный функтор $Lf^*:\D^-(\QCoh(Y)) \to \D^-(\QCoh(X)))$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что на любой квазипроективной схеме достаточно много локально свободных пучков.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CT_1 = \CT_2 = \Hot^-(\QCoh(X))$, $\CN_1 = \CN_2 = \Acycl^-(\QCoh(X))$, $\CT = \D^-(\QCoh(X))$,
а $F(\CF^\bullet,\CG^\bullet) = Q(\tot_\oplus(\CF^\bullet\otimes\CG^\bullet))$.
Пусть на $X$ достаточно много локально свободных пучков.
Покажите, что если $\CT_{01} = \Hot^-(\LF(X))$, $\CT_{02} = \CT_2$, то условия упражнения~\ref{derbif} 
(для левых локализаций) выполнены. В частности, существует левый производный функтор
$\lotimes:\D^-(\QCoh(X))\times\D^-(\QCoh(X)) \to \D^-(\QCoh(X))$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CT_1 = \Hot^-(\QCoh(X))$, $\CT_2 = \Hot^+(\QCoh(X))$, $\CN_{1,2} = \Acycl^\mp(\QCoh(X))$, 
$\CT = \D^+(\QCoh(X))$, а $F(\CF^\bullet,\CG^\bullet) = Q(\tot_\pi(\CHom(\CF^\bullet,\CG^\bullet)))$.\\
(a) Пусть на $X$ достаточно много локально свободных пучков.
Покажите, что если $\CT_{01} = \Hot^-(\LF(X))$, $\CT_{02} = \CT_2$, то условия упражнения~\ref{derbif} 
выполнены. В частности, существует правый производный функтор
$R\CHom:\D^-(\QCoh(X))^{\opp}\times\D^+(\QCoh(X)) \to \D^+(\QCoh(X))$.\\
(b) Пусть $X$ квазикомпактна.
Покажите, что если $\CT_{01} = \CT_1$, $\CT_{02} = \Hot^+(\Inj(\QCoh(X)))$, то условия упражнения~\ref{derbif} 
выполнены и функтор 
$R\CHom:\D^-(\QCoh(X))^{\opp}\times\D^+(\QCoh(X)) \to \D^+(\QCoh(X))$ существует.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CT_1 = \Hot^-(\QCoh(X))$, $\CT_2 = \Hot^+(\QCoh(X))$, $\CN_{1,2} = \Acycl^\mp(\QCoh(X))$, 
$\CT = \D^+(\Ab)$, а $F(\CF^\bullet,\CG^\bullet) = Q(\tot_\pi(\Hom(\CF^\bullet,\CG^\bullet)))$.
Покажите, что если схема $X$ квазикомпактна, а $\CT_{01} = \CT_1$, $\CT_{02} = \Hot^+(\Inj(\QCoh(X)))$, 
то условия упражнения~\ref{derbif} выполнены. В частности, существует правый производный функтор
$R\Hom:\D^-(\QCoh(X))^{\opp}\times\D^+(\QCoh(X)) \to \D^+(\Ab)$.
\end{exercise}

На самом деле, производные функторы от всех вышеперечисленных существуют и на неограниченных
производных категориях. Это доказывается с помощью результатов типа теоремы Спальтенштейна.

Между перечисленными выше функторами есть множество соотношений.
Во-первых, соотношения сопряженности.

\begin{lemma}
Функтор $Lf^*$ сопряжен слева к функтору $Rf_*$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Немедленно следует из сопряженности функторов $f^*$ и $f_*$.
\end{proof}


\begin{lemma}
Функтор $- \lotimes \CF$ сопряжен слева к функтору $R\CHom(\CF,-)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Немедленно следует из сопряженности функторов $- \otimes \CF$ и $\CHom(\CF,-)$.
\end{proof}

Кроме того, выполнены следующие соотношения

\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ и $g:Y \to Z$ --- морфизмы схем.
Покажите, что 
(a) $L(g\circ f)^* \cong Lf^*\circ Lg^*$;
(b) $R(g\circ f)_* \cong Rg_*\circ Rf_*$;
(c) $R\Gamma(X,-) \cong R\Gamma(Y,-)\circ Rf_*$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $X$ --- схема.
Покажите, что 
(a) $R\Gamma(X,R\CHom(\CF,\CG)) \cong R\Hom(\CF,\CG)$;\\
(b) $(\CF\lotimes\CG)\lotimes\CH \cong \CF\lotimes(\CG\lotimes\CH)$;
(c) $\CF\lotimes\CG \cong \CG\lotimes\CF$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем.
Покажите, что $Lf^*(\CF\lotimes\CG) \cong (Lf^*\CF) \lotimes (Lf^*\CG)$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем.
Тогда
%(a) $Lf^*R\CHom(\CF,\CG) \cong R\CHom(Lf^*\CF,Lf^*\CG)$;
{\rm(a)} $Rf_*R\CHom(Lf^*\CF,\CG) \cong R\CHom(\CF,Rf_*\CG)$;\\
{\rm(b)} ({\sf формула проекции}) $Rf_*(Lf^*\CF\lotimes\CG) \cong \CF\lotimes Rf_*\CG$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем вначале (a). Заметим, что
\begin{multline*}
\Hom(\CH,Rf_*R\CHom(Lf^*\CF,\CG)) \cong
\Hom(Lf^*\CH,R\CHom(Lf^*\CF,\CG)) \cong
\Hom(Lf^*\CH \lotimes Lf^*\CF,\CG) \cong \\ \cong
\Hom(Lf^*(\CH \lotimes \CF),\CG) \cong
\Hom(\CH \lotimes \CF,Rf_*\CG) \cong
\Hom(\CH, R\CHom(\CF,Rf_*\CG)).
\end{multline*}
Значит наши функторы изоморфны.

Теперь проверим (b). Заметим, что
$$
\Hom(\CF\lotimes Rf_*\CG,Rf_*(Lf^*\CF\lotimes\CG)) \cong
\Hom(Lf^*(\CF\lotimes Rf_*\CG),Lf^*\CF\lotimes\CG) \cong
\Hom(Lf^*\CF\lotimes Lf^*Rf_*\CG,Lf^*\CF\lotimes\CG).
$$
Поэтому морфизм сопряженности $Lf^*Rf_*\CG \to \CG$ индуцирует морфизм $\CF\lotimes Rf_*\CG \to Rf_*(Lf^*\CF\lotimes\CG)$.
Легко видеть, что он является изоморфизмом, если $\CF$ --- ограниченный сверху комплекс локально свободных пучков,
а $\CG$ --- ограниченный снизу комплекс инъективных квазикогерентных пучков. Это дает искомый изоморфизм
на $\D^-(\QCoh(Y))\times\D^+(\QCoh(X))$ в силу обычной формулы проекции --- $f_*(f^*\CF\otimes\CG) \cong \CF\otimes f_*\CG$,
для локально свободных $\CF$. Можно далее показать, что он продолжается до изоморфизма на всей неограниченной категории.
\end{proof}


\begin{exercise}
Покажите, что $R\CHom(\CG,\CH\lotimes\CF) \cong R\CHom(\CG,\CH)\lotimes\CF \cong R\CHom(\CG\lotimes\CF^\vee,\CH)$, 
для всех $\CF \in \D^\perf(X)$, где $\CF^\vee = R\CHom(\CF,\CO_X)$.
\end{exercise}









\end{document}


\begin{lemma}
\end{lemma}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что
\end{exercise}



Пусть $\CA \subset \CB$ --- строго полная аддитивная подкатегория в аддитивной категории, и пусть функтор вложения $i:\CA \to \CB$
(он автоматически аддитивен) обладает левым сопряженным функтором $i^*$.

\begin{lemma}
Если морфизм $\xymatrix@1{i(X) \ar[r]^{i(f)} & i(Y)}$ имеет ядро в $\CB$,
то $\Ker f = i^*(\Ker i(f))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В силу изоморфизма $\Hom(i^*(\Ker f),X) \cong \Hom(\Ker f,i(X))$ естественный морфизм
$\kappa:\Ker f \to i(X)$ индуцирует морфизм $\kappa':i^*(\Ker f) \to X$.
\end{proof}


\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item
\end{enumerate}
\end{examples}


Также используются {\sf контравариантные функторы}, меняющие направление морфизмов.
Здесь полезно понятие {\sf противоположной категории}. Если $\CC$ --- категория,
определим категорию $\CC^\opp$ так:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\CC^\opp$ категория.
\end{exercise}
{\sf Контравариантный функтор} из $\CC$ в $\D$ --- это ковариантный функтор из $\CC^\opp$ в $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item кольцо функций $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item группа Галуа $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Функторы можно компонировать.
\begin{exercise}
Покажите, что композиция двух ковариантных или двух контравариантных функторов ковариантна,
а композиция ковариантного и контравариантного функторов контравариантна. Проверьте,
что операция компонирования функторов ассоциативна.
\end{exercise}

Функтор $F:\CC \to \D$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- вложение для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf полным}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- сюръекция для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf строго полным} или {\sf вполне строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- изоморфизм для всех $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} и \eqref{i-fun} строго полные;
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} и \eqref{fr-fun} строгие, но не полные.
\end{enumerate}
\end{examples}
Определим {\sf декартово произведение категорий} $\CC$ и $\D$. По определению
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
Функтор $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ называется также {\sf бифунктором}.
\begin{exercise}
Покажите, что $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- бифунктор.
\end{exercise}
%\newpage
\Section{Морфизмы функторов}
Пусть $F,G:\CC \to D$ --- функторы. {\sf Морфизм функторов} (или {\sf естественное преобразование})
$\alpha:F \to G$ --- это набор морфизмов $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ для всех $X \in \CC$, такой что
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{для всех $X,Y \in \CC$ и $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$
Морфизмы функторов можно компонировать друг с другом и с функторами.
\begin{exercise}
(a) Пусть $F,G,H:\CC \to \D$, а $\alpha:F \to G$ и $\beta:G \to H$ --- морфизмы функторов.
Покажите, что $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- морфизм функторов.
(b) Пусть $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ и $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- функторы,
а $\alpha:G \to G'$ --- морфизм функторов. Покажите, что
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ и $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- морфизмы функторов.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Постройте морфизмы функторов
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%Определите композицию морфизмов функторов.
Покажите, что если категория $\CC$ --- {\sf малая} (то есть $\Ob\CC$ --- множество),
то для любой категории $\D$ все функторы из $\CC$ в $\D$ образуют категорию $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Покажите, что $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}
Морфизм функторов $\alpha:F \to G$ называется {\sf изоморфизмом}, если существует
морфизм функторов $\beta:G \to F$, такой что $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.
%\begin{exercise}
%Пусть $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- функторы.
%Покажите, что $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
Таким образом, все малые категории с функторами в качестве морфизмов
образуют категорию $\Cats$. На самом деле, ее естественнее рассматривать
как 2-категорию --- помимо объектов и морфизмов в ней есть 2-морфизмы
(то есть морфизмы между морфизмами --- в нашем примере естественные
преобразования функторов). При этом $\Cats$ является строгой 2-категорией
(композиция 1-морфизмов ассоциативна), хотя вообще в 2-категориях
композиция 1-морфизмов предполагается ассоциативной только с точностью
до 2-изоморфизма.
\end{remark}
Функтор $F:\CC \to \D$ называется {\sf эквивалентностью}, если существует функтор $G:\D \to \CC$,
так что $F\circ G \cong \id_\D$ и $G \circ F \cong \id_\CC$. Функтор $G$ называется {\sf квазиобратным} к $F$.
\begin{remark}
Более привычно выглядит понятие изоморфизма категорий, в отличии от эквивалентности, предполагающего
равенства $F\circ G = \id_\D$ и $G \circ F = \id_\CC$. Однако, на практике, изоморфизмов категорий
практически не встречается, в то время как содержательных эквивалентностей весьма много.
\end{remark}
\begin{exercise}
Пусть $\Cov(X)$ --- категория накрытий топологического пространства $X$,
а $G$-$\Sets$ --- категория множеств с действием группы $G = \pi_1(X,x_0)$,
где $x_0 \in X$ --- фиксированная точка.
Покажите, что функтор $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
эквивалентность (но не изоморфизмом!) этих категорий.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{fun-prod}
Покажите, что $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}
Легко видеть, что всякая эквивалентность является строго полным функтором и индуцирует
изоморфизм множеств классов изоморфизма объектов. Верно и обратное.
\begin{lemma}\label{crit-equ}
Функтор $F:\CC \to \D$ является эквивалентностью $\LRA$ $F$ строго полон
и существенно сюръективен, то есть $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ такой что $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}
Доказательство будет дано чуть позже.
\Section{Представимые функторы}

Пусть $\CC$ --- категория. Всякому объекту $X \in \CC$ сопоставим функторы
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
Функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ называется {\sf представимым}, если он изоморфен функтору $h_X$
для какого-либо $X \in \CC$. Аналогично, функтор $F:\CC \to \Sets$ называется {\sf копредставимым},
если он изоморфен функтору $h^X$ для какого-либо $X \in \CC$. Объект $X$ в этом случае, называется
{\sf представляющим} ({\sf копредставляющим}) функтор $F$.
\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функторы забвения $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ копредставимы;
(b) функтор $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ представим.
\end{exercise}
Очень полезным утверждением является лемма Ионеды.
\begin{lemma}
$(a)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ имеем $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ имеем $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем пункт $(b)$ (пункт $(a)$ доказывается аналогично, а $(c)$ очевидно следует из $(a)$ и $(b)$).
Пусть $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. Рассмотрим морфизм $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (заметим, что $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ так как $F$ контравариантен).
Легко видеть, что морфизмы $s_Y$ образуют морфизм функторов $h_X \to F$.
Обратно, пусть $\alpha:h_X \to F$ --- морфизм функторов. Тогда $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
отображение множеств. Заметим, что $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
Рассмотрим $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.
Таким образом мы построили отображения между множествами $\Hom(h_X,F)$ и $F(X)$.
Покажем, что они взаимно обратны. В самом деле, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
Остается показать, что $\alpha_Y = s_Y$ для всех $Y$.
Для этого для каждого $\phi \in \Hom(Y,X)$ рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
Ясно, что $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ верхней стрелкой переводится в $s$,
который правой стрелкой переводится в $F(\phi)(s)$.
С другой стороны, левой стрелкой $\id_X$ переводится в $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
который нижней стрелкой переводится в $\alpha_Y(\phi)$.
Значит $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Если функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ представим, то объект, представляющий его,
определен однозначно с точностью до изоморфизма. То же относится и к копредставимым функторам.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $h_X \cong F \cong h_Y$. Тогда изоморфизм $h_X \cong h_Y$ дает изоморфизм $X \cong Y$.
\end{proof}
\begin{exercise}
Покажите, что если $\CC$ --- малая категория, то функторы $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ и
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- строго полные функторы.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%Категория $\CC$ называется {\sf насыщенной}, если всякий функтор $\CC \to \Sets$ копредставим,
%а всякий функтор $\CC^\opp \to \Sets$ представим.
%Покажите, что для любой малой категории $\CC$ категория $\Fun(\CC,\Sets)$ насыщена.
%\end{exercise}

Представимые функторы часто используются для категорной переформулировки стандартных конструкций.
Пусть $X_1,X_2 \in \CC$. Рассмотрим функтор $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. Объект, представляющий этот функтор (если он представим),
называется {\sf произведением} объектов $X_1$ и $X_2$. Аналогично, {\sf копроизведением} объектов
$X_1$ и $X_2$ называется объект, копредставляющий функтор $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (если он копредставим).
Аналогично определяются произведения и копроизведения любого множества объектов.
\begin{exercise}
(a) Докажите, что в категориях $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
существуют произведения и копроизведения любого множества объектов.
(b) Проверьте, что произведение в категории $\Comp$ компактных топологических пространств
существует и является тихоновским произведением.
\end{exercise}
Другой пример --- начальный и конечный объекты.
{\sf Начальный объект} --- это объект $0_\CC$, копредставляющий функтор $I(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$,
а {\sf конечный объект} --- это объект $1_\CC$, представляющий функтор $T(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$.
\begin{exercise}
Покажите, что если $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, то $0_\CC \cong 1_\CC$.
Найдите начальный и конечный объекты в категориях $\Sets$ и других категориях.
\end{exercise}

\Section{Сопряженные функторы}
Пусть $F:\CC \to \D$ и $G:\D \to \CC$ --- функторы.
Говорят, что $F$ --- {\sf сопряжен слева к $G$}, а $G$ --- {\sf сопряжен справа к~$F$},
если для всех $X \in \CC$, $Y \in \D$ заданы изоморфизмы
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ функториальные по обоим аргументам
(то есть, при фиксированном $X$ морфизмы $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ функториальны,
и при фиксированном $Y$ морфизмы $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ функториальны).
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item тождественный функтор сопряжен сам себе;
\item функтор $\scm:\Groups \to \Ab$ из примера~\ref{ex-fun}(5) сопряжен слева к функтору вложения $\si:\Ab \to \Groups$;
\item функторы $\sfr$ из примера~\ref{ex-fun}(4) сопряжены слева к функторам $\sfg$ из примера~\ref{ex-fun}(3).
\item если $F:\CC \to \D$ --- эквивалентность, а $G:\D \to \CC$ --- квазиобратный функтор, то $G$
сопряжен к $F$ и справа и слева.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{adjuc}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных функторов. Тогда существуют морфизмы функторов
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, а
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%композиции
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ по сопряженности. Обозначим черех $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
морфизм, соответствующий морфизму $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. Аналогично, $\eta_Y$ соответствует
$\id_{G(Y)}$ при изоморфизме $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
В силу функториальности изоморфизма $\xi$ имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
Морфизм $\id_X$ одной парой стрелок переводится в $\xi_{X,Y}(\phi)$, а другой --- в $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
Второе равенство проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функторы $F$ и $G$ сопряжены друг другу $\LRA$ найдутся морфизмы
функторов $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
композиции
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть вначале $F$ сопряжен слева к $G$. Определим $\epsilon$ и $\eta$ как в лемме~\ref{adjuc}.
Тогда для любого морфизма $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ имеем
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
Подставим $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. Получим
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, то есть тождественность первой композиции.
Тождественность второй проверяется аналогично.
Пусть теперь $F$ и $G$ произвольные, а $\epsilon$ и $\eta$ заданы.
Зададим морфизмы $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ и $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
формулами $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ и $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
В ней квадрат коммутативен в силу функториальности $\eta$, а треугольник --- по условию.
Отсюда получаем $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
Равенство $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функтор $F$ имеет правый сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(F(-),Y)$ представим   для всех $Y \in \D$.
Функтор $G$ имеет левый  сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(X,G(-))$ копредставим для всех $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем изоморфизмы $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ для всех $Y \in \D$
и положим $G(Y) = Y'$. Рассмотрим морфизм $\phi:Y_1 \to Y_2$. Композиция
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
индуцирует некоторый морфизм $G(Y_1) \to G(Y_2)$, что задает дейтсвие $G$ на морфизмах.
Функториальность очевидна.
%Второе утверждение проверяется аналогично.
\end{proof}
Воспользуемся полученными результатами для доказательства леммы~\ref{crit-equ}. Действительно, если
$F$ строго полон и существенно сюръективен, то для всякого $Y \in \D$ существует $X \in \CC$,
такой что $F(X) \cong Y$, значит $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
представимый функтор, следовательно существует правый сопряженный к $F$ функтор $G$.
Пусть $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- соответствующие
морфизмы функторов. Покажем, что они изоморфизмы. Рассмотрим вначале морфизм
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. Применяя функтор $\Hom(X',-)$ получаем морфизм
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, являющийся композицией морфизма $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
и $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, и следовательно изоморфизмом.
Значит $\epsilon_X$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
а значит и сам является изоморфизмом. Рассмотрим теперь морфизм $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
Применяя функтор $\Hom(F(X),-)$ получаем морфизм
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. Его композиция с морфизмом
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ равна морфизму $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
следовательно является изоморфизмом. Но всякий объект $Y' \in \D$ изоморфен объекту $F(X)$ для подходящего $X$,
значит морфизм $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ тоже является изоморфизмом. Таким образом
$\eta_Y$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
а значит и сам является изоморфизмом.
В завершение, приведем пример функторов, определяемых через понятие сопряженности.
Пусть $\CI$ --- малая категория (рассматриваемая как категория индексов).
Рассмотрим функтор проекции $\CC\times\CI \to \CC$. В силу Упр.~\ref{fun-prod}
он дает функтор $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, который мы будем называть постоянным функтором
и обозначать $\Delta$. Для всякого $F \in \Fun(\CI,\CC)$ рассмотрим функторы $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{и}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(первый контравариантен, второй ковариантен). Если эти функторы (ко)представимы, то
(ко)представляю\-щий объект
называется {\sf обратным пределом} (или просто {\sf пределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\ilim_\CI F(i)$ в первом случае,
и {\sf прямым пределом} (или {\sf копределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\dlim_\CI F(i)$  во втором.
В силу свойств представимых функторов, если пределы существуют, то определены однозначно
(с точностью до изоморфизма). Более того, если пределы определены для всех $F$, они являются функторами
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ и $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ соответственно.
\begin{exercise}
(a) Покажите, что если категория $\CI$ {\sf дискретна} (то есть $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ для $i \ne j$),
то $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ и $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) Обозначим через $\CI_{\text{\rm discr}}$ дискретную категорию с $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
Постройте морфизмы функторов $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ и
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}

\end{document}
\begin{definition}
Моноид --- это тройка $(M,\circ,1)$,
состоящая из множества $M$, бинарной операции $\circ$ на $M$
(т.е.\ отображения $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
и элемента $e\in M$, таких что выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[M1] \say{Ассоциативность}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{Аксиома единицы}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $M=\Map(X,X)$ --- множество отображений из множества $X$ в себя,
$\circ$ --- операция композиции отображений, $e=\Id_X$ --- тождественное
отображение.
\item $M=\Map(X,M')$ --- множество отображений из множества $X$ в моноид $M'$,
$\circ$ --- поточечное умножение ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
где $\circ'$ --- операция в $M'$), $e\equiv e'$ --- функция,
тождественно равная единице моноида $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Легко убедиться, что единица во всяком моноиде единственна.
Действительно, если $e'$ --- другая единица, то
$e' = e'\cdot e = e$. Поэтому при задании моноида можно не
указывать его единицу --- достаточно лишь проверить ее существование.
%Моноид $M$ называется \say{коммутативным}, если
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\begin{lemma}
Если $x_1,\dots,x_n$ --- элементы моноида, то все способы расстановки
скобок в произведении $x_1\circ\dots\circ x_n$ дают одинаковый результат.
\end{lemma}
Доказательство --- индукция по $n$.
\begin{definition}
Моноид $M$ называется коммутативным, если
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}
Как правило, в коммутативных моноидах операция записывается аддитивно
($x\circ y =: x+y$), а в некоммутативных мультипликативно ($x\circ y =: xy$).
Произведение $n$ одинаковых элементов
$x\circ\dots\circ x$ обозначается
через $x^n$, при этом удобно положить $x^0=e$. Легко проверить, что
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
для всех неотрицательных $m$ и $n$. При аддитивной записи операции в моноиде
пользуются обозначением $nx$ вместо $x^n$. При этом свойство $(\ref{prop1})$
приобретает вид $nx + mx = (n+m)x$.
Элемент $x$ в моноиде $M$ называется \say{обратимым}, если существуют
элемент $y$ (\say{левый  обратный}), такой что $y\circ x = e$; и
элемент $z$ (\say{правый обратный}), такой что $x\circ z = e$.
\begin{lemma}\label{inv}
Если $x$ --- обратим, то всякий левый обратный к $x$ равен всякому правому
обратному к $x$.
\end{lemma}
Доказательство:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Тем самым, для любого обратимого элемента $x$ существует единственный элемент,
являющийся одновременно правым и левым обратным к $x$. Этот элемент
обозначается $x^{-1}$ (при аддитивной записи: $-x$) и называется
обратным к $x$.
Далее, удобно обозначить $(x^{-1})^n$ через $x^{-n}$ (при аддитивной
записи $-nx$). Тогда свойство $(\ref{prop1})$ становится верным при
любых целых $n$ и $m$.
\begin{definition}
Группа --- это моноид, в котором все элементы обратимы.
\end{definition}
\begin{lemma}
Если $M$ --- моноид, то множество $M^*$ обратимых элементов в $M$
является группой.
\end{lemma}
Доказательство:
Достаточно проверить, что множество $M^*$ замкнуто относительно
операции $\circ$, то есть что для любых обратимых элементов $x,y\in M$
произведение $x\circ y$ --- тоже обратимо. Действительно, ясно, что
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
то есть элемент $y^{-1}\circ x^{-1}$ является обратным к $x\circ y$.\qed
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.
\item $(\ZZ,+)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\QQ^*,\cdot)$ (варианты: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).
\item \say{Группа перестановок} (симметрическая группа) $\FS_n$ ---
множество изоморфизмов из $n$-элементного множества $\{1,\dots,n\}$
на себя с операцией композиции отображений.
\item $G = \Map(X,G')$ --- множество отображений из множества $X$
в группу $G'$.
\item Группы автоморфизмов (см.\ лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{canc}
Если в группе $G$ выполнено одно из равенств $x\circ y=x\circ z$ или
$y\circ x=z\circ x$, то $y=z$.
\end{lemma}
Доказательство: если $x\circ y=x\circ z$, то
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Второй случай разбирается аналогично.
Группа называется коммутативной, если она коммутативна как моноид.
Коммутативные группы также называются \say{абелевыми}.

\Section{Кольца и поля}
\begin{definition}
Кольцо--- это набор $(R,+,\cdot,0,1)$,
состоящий из множества $R$, бинарных операций $+$ (сложение) и
$\cdot$ (умножение) на $R$ и элементов $0,1\in R$, таких что
%$R$ является абелевой группой относительно сложения
выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- абелева группа.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- моноид.
\item[R3] \say{Дистрибутивность (билинейность) умножения}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}
Умножение в кольце часто записывают в виде $xy=x\cdot y$.
Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.
\item $\ZZ$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $R=\Map(X,R')$ --- множество отображений из множества $X$
в кольцо $R'$ с поточечными операциями.
\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{многочленов} (\say{полиномов}) с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{формальных степенных рядов} с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- кольцо матриц размера $n$ на $n$
с коэффициентами в кольце $R'$. Элементы $R$ --- это таблицы вида
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
с покомпонентным сложением; умножением, задаваемым формулой
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{где }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
нулевой матрицей в качестве 0 и диагональной матрицей
с единицами на диагонале в качестве 1.
\item Кольца эндоморфизмов (см. лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}
Если $R$ --- кольцо, то $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
Доказательство:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
и остается применить лемму~\ref{canc} к аддитивной группе кольца.
\begin{definition}
Кольцо, в котором $0\ne 1$ и все элементы кроме нуля являются
группой относительно умножения, называется \say{телом},
а если оно к тому же коммутативно, то \say{полем}.
\end{definition}
Некоммутативные тела встречаются достаточно редко; простейший пример ---
тело кватернионов $\HH$. С полями дело обстоит значительно лучше.
\begin{examples} Примеры полей.
\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, где $p$ --- простое число.
\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.
\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- поле рациональных
функций с коэффициентами в поле $K'$.
\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- поле (формальных) рядов Лорана с коэффициентами в поле $K'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
\Section{Гомоморфизмы}
\begin{definition}
Гомоморфизм групп (моноидов) $f:G\to G'$ --- это отображение, такое что
$f(e)=e'$ и $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
Гомоморфизм колец (полей) $f:R\to R'$ --- это отображение, являющееся
гомоморфизмом их аддитивной группы и мультипликативного моноида.
\end{definition}
\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item Если $G$ --- группа, а $x\in G$, то отображение $n\mapsto x^n$
является гомоморфизмом групп $\ZZ\to G$.
\item Если $R$ --- кольцо, а $x\in R$, то отображение $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
является гомоморфизмом колец $\ZZ\to R$.
\item Проекция $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ является гомоморфизмом колец.
\item Отображения $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ и
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ являются гомоморфизмами групп.
\item Отображение вычисления $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
является гомоморфизмом групп.
\item Если $R$ --- коммутативное кольцо, и $r\in R$,
то отображение вычисления $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
является гомоморфизмом колец.
\item Всякий элемент кольца $R$ можно рассматривать как многочлен степени 0,
а всякий многочлен можно рассматривать как формальный степенной ряд,
все члены которого, начиная с некоторого места равны нулю. Тем самым
задаются гомоморфизмы колец $R \to R[x]$ и $R[x] \to R[[x]]$.
%\item Если $f:R\to R'$ --- гомоморфизм колец, и $r\in R$, то
%отображение $\tilde{f}:R'[x]\to R$, переводящее
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ в $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%гомоморфизм колец.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{hom1}
Композиция гомоморфизмов является гомоморфизмом.
Если $f:M\to M'$ --- гомоморфизм моноидов, а $x\in M$ --- обратимый
элемент, то $f(x)\in M'$ --- обратим и $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
Доказательство:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
откуда следует первая часть леммы. Для доказательства второй части
достаточно заметить, что
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, то есть
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed

Гомоморфизм (моноидов, групп, колец, полей, и т.д.) $f:M\to M'$ называется
\say{эпиморфизмом} (сюръекцией, наложением), если
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ т.ч. $f(x)=z$.
Гомоморфизм $f$ называется \say{мономорфизмом} (инъекцией, вложением),
если из равенства $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, следует $x=y$.
Гомоморфизм $f:M\to M'$ называется \say{изоморфизмом}, если
существует гомоморфизм $g:M'\to M$, такой что
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.
\begin{lemma}
Гомоморфизм групп (колец) является изоморфизмом $\LRA$
он является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
\end{lemma}
Доказательство: всякий изоморфизм биективен, следовательно
является мономорфизмом и эпиморфизмом. Обратно, если гомоморфизм
является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то он биективен,
следовательно существует обратное отображение, которое (легко проверить)
является гомоморфизмом. \qed

Всякий гомоморфизм из (моноида, группы, кольца, поля, и т.д.) в себя
называется \say{эндоморфизмом}. Эндоморфизм, являющийся изоморфизмом,
называется \say{автоморфизмом}.
\begin{lemma}\label{endaut}
Если $M$ --- любая алгебраическая структура (моноид, группа, кольцо, поле),
то множество его автоморфизмов $\Aut(M)$ является группой. Если $M$ ---
абелева группа, то множество ее эндоморфизмов $\End(M)$ является кольцом.
\end{lemma}
Доказательство: из леммы~\ref{hom1} следует, что $\End(M)$ является моноидом
относительно операции композиции эндоморфизмов, а $\Aut(M)$ является
множеством его обратимых эементов, следовательно $\Aut(M)$ --- группа.
Если же $M$ является абелевой группой, то на $\End(M)$ есть операция
поточечного сложения ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), так что $\End(M)$ становится
кольцом.\qed
\begin{definition}
Ядром гомоморфизма групп $f:G\to G'$ называется
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. Образом гомоморфизма
групп $f:G\to G'$ называется $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
Аналогично, ядром гомоморфизма колец $f:R\to R'$ называется
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. Образом гомоморфизма колец $f:R\to R'$
называется $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}
Легко видеть, что ядро и образ гомоморфизма групп $f:G\to G'$
являются \say{подгруппами} (то есть подмножествами, являющимися
группами относительно индуцированной операции) в $G$ и $G'$ соотв.
Аналогично, ядро и образ гомоморфизма колец $f:R\to R'$
являются \say{подкольцами} (то есть подмножествами, являющимися
кольцами относительно индуцированных операций) в $R$ и $R'$ соотв.
\begin{lemma}
Гомоморфизм $f$ групп (колец) является мономорфизмом $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ соотв.).
Гомоморфизм моноидов $f:M\to M'$ является эпиморфизмом $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
Доказательство: пусть $f:M\to M'$ --- гомоморфизм групп и $f(x)=f(y)$. Тогда
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
следовательно $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. Далее очевидно.
\begin{corollary}\label{field_mono}
Любой гомоморфизм из поля в кольцо является вложением.
\end{corollary}
Доказательство: по лемме~\ref{hom1} любой обратимый элемент
поля (относительно мультипликативной структуры) переходит
в обратимый элемент. Следовательно, всякий ненулевой элемент
переходит не в ноль. В частности, ядро гомоморфизма равно нулю,
следовательно гомоморфизм --- вложение. \qed

\Section{Прямые произведения}
Пусть $(M_1,\circ_1,e_1)$ и $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- моноиды.
Тогда на произведении
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
возникает структура моноида:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
Этот моноид называется \say{прямым произведением} моноидов $M_1$ и $M_2$.
\begin{lemma}
Произведение групп (колец) является группой (кольцом).
\end{lemma}
Доказательство: очевидно.
Напротив, легко проверить, что произведение полей является кольцом,
но не полем. Действительно, в произведении полей $K\times L$ имеем
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
следовательно элементы $(1_K,0_L)$ и $(0_K,1_L)$ необратимы.
\end{document}





Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.





В самом деле, пусть $P'$ --- другая накрывающая, такая что морфизм $P' \to X$ пропускается через $P$.
Пусть $X'' = \Ker(P' \to X)$. Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X'' \ar[r] \ar[d] & P' \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & P \ar[r] & X \ar[r] & 0
}
$$


Из единственности легко следует, что $f_k:T_k \to E_k$ --- морфизм функторов.

Проверим теперь, что $f_k$ и $f_{k-1}$ коммутируют с $\delta_{k-1}$.
Рассмотрим точный последовательности $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ и $0 \to X''' \to P \to X'' \to 0$,
где $P$ --- накрывающая для $X$, такая --- что $E_k(P) = 0$, а $X''' = \Ker(P \to X'')$.
Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X''' \ar[r] \ar[d] & P \ar[r] \ar[d] & X'' \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & X \ar[r] & X'' \ar[r] & 0
}
$$
которая дает кубическую диаграмму
$$
\xymatrix@!=3ex{
T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] \ar@{=}[dr] && T_{k-1}(X''') \ar@{->}'[d][dd] \ar[dr] \\
& T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] && T_{k-1}(X') \ar[dd] \\
%
E_k(X'') \ar@{->}'[r][rr] \ar@{=}[dr] && E_{k-1}(X''') \ar[dr] \\
& E_k(X'') \ar[rr] && E_{k-1}(X')
}
$$
Нам надо доказать коммутативность передней грани.
При этом все остальные грани коммутативны (верхняя и нижняя --- так как
$T_\bullet$ и $E_\bullet$ --- $\delta$-функторы, правая ---
в силу функториальности $f_{k-1}$, левая --- в силу равенств, а задняя --- по определению $f_k$).
Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.


В дальнейшем нам понадобится следующее свойство

\begin{lemma}
Если функтор $LF$ определен в $X$, то $\Hom(LF(X),W) \cong \dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Обозначим функтор $\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W)$ через $lF'(X)(W)$.
Построим вначале морфизм функторов $lF'(X) \to h^{LF(X)}$.
В самом деле, для всякого $W \in \CT'$ имеем морфизм
$$
lF'(X)(W) =
\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W) \stackrel{\lambda_F(Z)}\to
\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(LF(Z),W) \cong
\Hom(LF(X),W)
$$
(изоморфизм следует из того, что для всякого $s \in S(\CN)$ морфизм $LF(s)$ --- изоморфизм),
очевидно функториальный по $W$.
С другой стороны, пользуясь морфизмом $\lambda_F(X):F(X) \to LF(X)$, получаем морфизм
$$
\Hom(LF(X),W) \stackrel{\lambda_F(X)}\to \Hom(F(X),W) \to \dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W) = lF'(X)(W)
$$


$$
\Hom(LF(X),W) \cong
\Hom(\ilim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)}F(Z),W)
%
%
\Hom(h_LF(X),h_W) \cong
\Hom(\ilim_{(s:Z \to X)}h_{F(Z)},h_W) \cong
\dlim_{(s:Z \to X)} \Hom(h_{F(Z)},h_W) \cong
%
%
\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W)
$$
\end{proof}
