\documentclass{amsart}
\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\begin{document}


%\Name{Фильрации, спектральные последовательности, $t$-структуры}{Гомологическая алгебра 11}{03.12.2008}
\Name{Каноническая фильрация и $t$-структуры}{Гомологическая алгебра 11}{03.12.2008}

\Section{Каноническая фильтрации}

Для вычисления значения производного функтора на данном объекте триангулированной
категории редко используют явные проективные или инъективные резольвенты. Как правило
пользуются тем, что известна некоторая ``фильтрация'' этого объекта и значения производного
функтора на ``факторах'' этой фильтрации. Правда обычное понятие фильтрации не имеет
особого смысла в триангулированных категориях ввиду следующего обстоятельства.


\begin{lemma}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм в триангулированной категории $\CT$.
Если $f$ --- мономорфизм, то $f$ --- вложение прямым слагаемым,
а если $f$ --- эпиморфизм, то $f$ --- проекция на прямое слагаемое.
\end{lemma}
\begin{proof}
Понятия мономорфизма и эпиморфизма имеют смысл, так как триангулированная категория аддитивна.
Пусть $f$ --- мономорфизм. Значит функтор $Z \mapsto \Ker(\Hom(Z,X) \to \Hom(Z,Y))$
представим и представляется объектом $0$. Иначе говоря, для любого $Z$ морфизм $\Hom(Z,X) \to \Hom(Z,Y)$ ---
вложение. Достроим морфизм $f$ до выделенного треугольника $Z \to X \to Y \to Z[1]$. Так как композиция
$Z \to X \to Y$ равна нулю, то морфизм $Z \to X$ тоже равен нулю. Значит $f$ --- вложение прямым слагаемым.
Случай эпиморфизма разбирается аналогично.
\end{proof}

{\sf Фильтрацией} на объекте $X$ триангулированной категории $\CT$ называется любая коммутативная диаграмма
$$
\xymatrix{
\dots \ar[r] & F^{p+1}X \ar[r] \ar[d] & F^pX \ar[r] \ar[d] & F^{p-1}X \ar[r] \ar[d] & \dots\\
\dots \ar@{=}[r] & X \ar@{=}[r] & X \ar@{=}[r] & X \ar@{=}[r] & \dots
}
$$
Фильтрация называется {\sf конечной}, если при $p \gg 0$ морфизм $F^pX \to X$ --- изоморфизм,
а при $p \ll 0$ $F^pX = 0$.
Конусы морфизмов $F^{p+1}X \to F^pX$ называются факторами фильтрации:
$$
\gr^p_F X = C(F^{p+1}X \to F^pX).
$$
Они определены с точностью до (неканонического) изоморфизма.

Есть два важных примера.
Рассмотрим комплекс $X^\bullet$ в гомотопической категории $\Hot(\CA)$.

{\sf Глупой фильтрацией} на $X^{\bullet}$ называется фильтрация $F^pX = \sigma_{\ge p}X$, где
$$
(\sigma_{\ge p}X)^k = \begin{cases} X^k, & \text{если $k \ge p$}\\ 0, & \text{если $k < p$}\end{cases}
$$
{\sf Канонической фильтрацией} на $X^{\bullet}$ называется фильтрация $F^pX = \tau_{\le -p}X$, где
$$
(\tau_{\le -p}X)^k = \begin{cases} X^k, & \text{если $k < -p$}\\ \Ker d_X^p, & \text{если $k = p$}\\ 0, & \text{если $k < p$}\end{cases}
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\gr^p_\sigma X \cong X^p$, $\gr^p_\tau X \cong H^p(X)$.
\end{exercise}

Обе приведенные фильтрации функториальны в гомотопической категории --- всякий морфизм $f:X \to Y$
индуцирует морфизмы $\sigma_{\ge p}f:\sigma_{\ge p}X \to \sigma_{\ge p}Y$ и $\tau_{\le -p}f:\tau_{\le -p}X \to \tau_{\le -p}Y$,
коммутирующие со всеми морфизмами фильтрации. Однако, при попытке опустить эти филтрации
на производную категорию, результат оказывается противоположным. В самом деле, приведенное
упражнение показывает, что глупая фильтрация не опускается на производную категорию, так как
у квазиизоморфных комплексов могут быть совершенно разные члены.

\begin{lemma}
Если $s:X \to Y$ квазиизоморфизм, то $\tau_{\le -p}s:\tau_{\le -p}X \to \tau_{\le -p}Y$ --- квазиизоморфизмы.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим коммутативный квадрат
$$
\xymatrix{
\tau_{\le -p}X \ar[rr]^{\tau_{\le -p}s} \ar[d] && \tau_{\le -p}Y \ar[d] \\ X \ar[rr]^s && Y
}
$$
Переходя к когомологиям, получаем коммутативный квадрат
$$
\xymatrix{
H^k(\tau_{\le -p}X) \ar[rr]^{H^k(\tau_{\le -p}s)} \ar[d] && H^k(\tau_{\le -p}Y) \ar[d] \\ H^k(X) \ar[rr]^{H^k(s)} && H^k(Y)
}
$$
Если $k \le -p$, то вертикальные стрелки --- изоморфизмы. Нижняя стрелка тоже изоморфизм.
Значит и верхняя стрелка изоморфизм. С другой стороны, при $k > -p$ имеем
$H^k(\tau_{\le -p}X) = H^k(\tau_{\le -p}Y) = 0$, поэтому верхняя стрелка изоморфизм и в этом случае.
Значит $\tau_{\le -p}s$ --- квазиизоморфизм.
\end{proof}

Согласно универсальному свойству локализации, функторы $\tau_{\ge -p}$ опускаются на производную категорию.
Значит для любого объекта $X$ в $\D(\CA)$ имеем каноническую фильтрацию $\tau_{\ge -p}X$, такую что $\gr^p_\tau X \cong H^p(X)$,
причем функториальную.

\begin{exercise}
Покажите, что существуют также функторы $\tau_{\ge q}:\D(\CA) \to \D(\CA)$ и морфизмы функторов
$\tau_{\le q} \to \id \to \tau_{\ge g+1} \to [1]\circ\tau_{\le q}$, такие что для любого $X$
треугольник $\tau_{\le q}X \to X \to \tau_{\ge q+1}X \to (\tau_{\le q}X)[1]$ выделен.
\end{exercise}



\Section{Стандартная $t$-структура}

Свойства функторов обрезания относительно канонической фильтрации аксиоматизируются
понятием $t$-структуры. По определению, {\sf $t$-структура} на триангулированной категории $\CT$ ---
это пара строго полных (но не триангулированных!) подкатегорий $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$,
удовлетворяющих следующим свойствам.
Обозначим
$$
\CT^{\le t} := \CT^{\le 0}[-t],\qquad
\CT^{\ge t} := \CT^{\ge 0}[-t].
$$
Тогда
\begin{enumerate}
\item $\CT^{\le -1} \subset \CT^{\le 0}$, $\CT^{\ge 1} \subset \CT^{\ge 0}$;
\item $\Hom(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 1}) = 0$;
\item для любого объекта $X \in \CT$ существует выделенный треугольник $X_{\le 0} \to X \to X_{\ge 1} \to X_{\le 0}[1]$,
такой что $X_{\le 0} \in \CT^{\le 0}$, а $X_{\ge 1} \in \CT^{\ge 1}$.
\end{enumerate}
$t$-структура $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ называется {\sf невырожденной}, если
$\bigcap_{t = -\infty}^\infty \CT^{\le t} = \bigcap_{t = -\infty}^\infty \CT^{\ge t} = 0$.

Если $\CT = \D(\CA)$ --- производная категория, на ней существует $t$-структура, называемая {\sf стандартной}.
\begin{lemma}
Положим
$$
\D^{\le 0}(\CA) := \{ X \in \D(\CA)\ |\ H^p(X) = 0 \forall p > 0\},\qquad
\D^{\ge 0}(\CA) := \{ X \in \D(\CA)\ |\ H^p(X) = 0 \forall p < 0\}.
$$
Тогда $(\D^{\le 0}(\CA),\D^{\ge 0}(\CA))$ --- невырожденная $t$-структура.
\end{lemma}
\begin{proof}
Свойство (1) очевидно, а свойство (3) следует из упражнений.
Остается проверить свойство (2). Пусть $X \in \D^{\le 0}(\CA)$, $Y \in \D^{\ge 1}(\CA)$.
Меняя $X$ на квазиизоморфный ему комплекс $\tau_{\le 0}X$ можно считать, что члены
комплекса $X$ равны нулю в положительных степенях. По определению $\Hom(X,Y)$ --- множество классов
эквивалентности левых дробей $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y$, где $s$ --- квазиизоморфизм.
Так как $Y \in \D^{\ge 1}(\CA)$, то и $Z \in \D^{\ge 1}(\CA)$, поэтому морфизм $Z \to \tau_{\ge 1}Z$ ---
квазиизоморфизм, поэтому всякая такая дробь эквивалентна дроби $X \to \tau_{\ge 1}Z \leftarrow Y$.
Но у комплекса $\tau_{\ge 1}Z$ все члены в неположительных степенях равны нулю, а у комплекса $X$ --- все члены
в положительных степенях равны нулю, поэтому в гомотопической категории $\Hom(X,\tau_{\ge 1}Z) = 0$.
Значит всякая дробь эквивалентна нулю. Таким образом, перед нами $t$-структура.
Ее невырожденность очевидна --- указанное пересечение состоит из ацикличных комплексов,
а они в производной категории равны нулю.
\end{proof}

\begin{lemma}
Для любых объектов $X,Y \in \CA$ имеем 
$$
\Hom_{\D(\CA)}(X,Y[t]) \cong \begin{cases} 0, & \text{если $t < 0$}\\ \Ext_I^t(X,Y), & \text{если $t \ge 0$}\end{cases}
$$
В частности, функтор вложения $\CA \to \D(\CA)$ --- строго полный.
Более того, он индуцирует эквивалентность $\CA$ и подкатегории $\D^0(\CA) := \D^{\le 0}(\CA) \cap \D^{\ge 0}(\CA)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Если $t < 0$, то зануление морфизмов доказано в предыдущей лемме. Пусть $t > 0$.
Заменяя в левой дроби $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y[t]$, представляющей
морфизм $X \to Y[t]$ объект $Z$ на $\tau_{\ge -t}Z$, можно считать, что комплекс $Z$ 
сосредоточен в степенях $\ge -t$.
Конус морфизма $s$ --- это комплекс $0 \to Y \to Z^{-t} \to Z^{1-t} \to \dots$. Так как $s$ --- квазиизоморфизм, 
он ацикличен. В частности, морфизм $Y \to Z^{-t}$ --- вложение, а комплекс 
$0 \to Y \to Z^{-t} \to \dots \to Z^{-1} \to \Ker d_Z^0 \to 0$ --- точная последовательность,
задающая класс $\epsilon_s \in \Ext_I^t(\Ker d_Z^0,Y)$. Морфизм $f:X \to Z$ задается морфизмом $X \to \Ker d_Z^0$,
компонируя который с $\epsilon_s$ получаем класс $\epsilon_s \circ f \in \Ext_I^t(X,Y)$.

Обратно, рассмотрим расширение $0 \to Y \to Z^{-t} \to \dots \to Z^{-1} \to X \to 0$.
Положим $Z^0 = X$, тогда $Z^\bullet$ --- комплекс, вложение $Y \to Z^{-t}$ индуцирует
квазиизоморфизм $s:Y[t] \to Z$, а изоморфизм $X \to Z^0$ --- морфизм $X \to Z$.
В итоге получаем левую дробь $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y[t]$.

Покажем, что тем самым мы построили взаимно обратные отображения между $\Hom_{\D(\CA)}(X,Y[t])$
и $\Ext_I^t(X,Y)$. Во-первых, надо проверить корректность.
Пусть $t:Z \to V$ --- квазиизоморфизм комплексов, сосредоточенных в степенях $\ge -t$.
Легко видеть, что он индуцирует элементарную эквивалентность соответствующих расширений.
Обратно, элементарная эквивалентность расширений очевидно дает эквивалентность соответствующих левых дробей.

Осталось проверить взаимную обратность построенных отображений. Тождественность одной из композиций очевидна ---
если мы начнем с расширения, построим по нему левую дробь, а затем по ней расширение --- получим то же, 
с чего и начали. Обратно, если мы начнем с левой дроби, построим по ней расширение, а затем левую дробь,
то в результате комплекс $Z$ заменится на квазиизомрфный ему комплекс $Z'$, причем морфизмы $s:Y[t] \to Z$
и $f:X \to Z$ пропустятся через $Z'$. Поэтому полученная левая дробь будет эквивалентна исходной.

Пусть, наконец, $t = 0$. Всякий морфизм $X \to Y$ представляется в виде левой дроби
$X \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y$, где комплекс $Z$ сосредоточен в неотрицательных степенях.
Конус морфизма $s$ --- это комплекс $0 \to Y \to Z^0 \to Z^1 \to \dots$. Так как $s$ --- квазиизоморфизм, 
он ацикличен. Поэтому последовательность $0 \to \Hom(X,Y) \to \Hom(X,Z^0) \to \Hom(X,Z^1)$ точна слева.
Но это в точности означает, что любой морфизм из $X$ в $C(s)$ и в $C(s)[-1]$ гомотопен нулю! Из 
выделенного в $\Hot(\CA)$ треугольника $C(s)[-1] \to Y \to Z \to C(s)$ получаем 
изоморфизм $\Hom(X,Y) \cong \Hom(X,Z)$. Это доказывает то, что функтор $\CA \to \D(\CA)$ строго полон.

Остается проверить, что категория $\D^0(\CA)$ является существенным образом категории $\CA$.
В самом деле, образ $\CA$ очевидно лежит в $\D^0(\CA)$. С другой стороны, если $X \in \D^0(\CA)$, то морфизмы
$X \to \tau_{\ge 0}X$ и $\tau_{\le 0}\tau_{\ge 0}X$ --- квазиизоморфизмы, а $\tau_{\le 0}\tau_{\ge 0}X$ ---
комплекс, сосредоточенный в степени $0$, то есть лежащий в образе функтора. Значит всякий объект в $\D^0(\CA)$
изоморфен объекту в $\CA$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Пусть $X,Y \in \CA$. Покажите, что функтор $E^i(X,Y) = \Hom_{\D(\CA)}(X,Y[i])$ является $\delta$-функтором
по обоим аргументам. При этом если в $\CA$ достаточно много проективных объектов, то он стирающий по первому
аргументу, а если достаточно много инъективных, то по второму. 
\end{exercise}


Ясно, что стандартная $t$-структура индуцирует $t$-структуры и на ограниченных вариантах производной категории.
Все они тоже называются стандартными.

Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура. Обозначим $\CT^{[a,b]} := \CT^{\ge a} \cap \CT^{\le b}$.
$t$-структура называется {\sf ограниченной}, если $\CT = \bigcup_{a \le b} \CT^{[a,b]}$.

\begin{exercise}
Покажите, что стандартная $t$-структура на $\D^*(\CA)$ ограничена $\LRA$ $* = b$.
\end{exercise}

\newpage

\Section{Свойства $t$-структур}


Как видно из определения, понятие $t$-структуры очень похоже на понятие полуортогонального
разложения. Отличие в том, что в полуортогональном разложении подкатегории должны быть
инвариантными относительно всех сдвигов, а не только относительно положительных
или отрицательных.

\begin{lemma}
Если $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура на триангулированной категории $\CT$,
то существуют функторы $\tau_{\le t}:\CT \to \CT^{\le t}$, $\tau_{\ge t}:\CT \to \CT^{\ge t}$,
и морфизмы функторов $\tau_{\le t} \to \id \to \tau_{\ge t+1} \to [1]\circ\tau_{\le t}$,
такие что для любого $X$ треугольник $\tau_{\le t}X \to X \to \tau_{\ge t+1}X \to (\tau_{\le t}X)[1]$ выделен.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим вначале случай $t = 0$. Для всяких $X,Y \in \CT$ по свойству (3) определения $t$-структуры
найдутся выделенные треугольники $X_{\le 0} \to X \to X_{\ge 1} \to X_{\le 0}[1]$ и
$Y_{\le 0} \to Y \to Y_{\ge 1} \to Y_{\le 0}[1]$ в которых $X_{\le 0},Y_{\le 0} \in \CT^{\le 0}$,
а $X_{\ge 1},Y_{\ge 1} \in \CT^{\ge 1}$. Заметим, что $\Hom(X_{\le 0},Y_{\ge 1}) = 0$
по свойству (2), поэтому для любого морфизма $f:X \to Y$ найдутся морфизмы $f_{\le 0}:X_{\le 0} \to Y_{\le 0}$
и $f_{\ge 1}:X_{\ge 1} \to Y_{\ge 1}$, образующие морфизм треугольников. Более того,
$\Hom(X_{\le 0},Y_{\ge 1}[-1]) = 0$ по свойству (2), так как $Y_{\ge 1}[1] \in \CT^{\ge 2} \subset \CT^{\ge 1}$
по свойству (1), а $X_{\le 0} \in \CT^{\le 0}$. Поэтому такие морфизмы однозначно определены.
Следовательно, сопоставление $X \mapsto X_{\le 0}$, $f \mapsto f_{\le 0}$ является функтором
$\CT \to \CT^{\le 0}$ (обозначим его $\tau_{\le 0}$), а сопоставление $X \mapsto X_{\ge 1}$,
$f \mapsto f_{\le 1}$ является функтором $\CT \to \CT^{\ge 0}$ (обозначим его $\tau_{\ge 0}$).
При этом морфизмы в треугольниках задают искомые морфизмы функторов.
Остается заметить, что положив $\tau_{\le t} := [-t]\circ\tau_{\le 0}\circ[t]$,
$\tau_{\ge t+1} := [-t]\circ\tau_{\ge 1}\circ[t]$, получим остальные функторы.
\end{proof}

\begin{exercise}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура.
Покажите, что
(a) $\CT^{\le 0}[1] \subset \CT^{\le 0}$, а $\CT^{\ge 0}[-1] \subset \CT^{\ge 0}$;\\
(b) $\CT^{\le 0}$ и $\CT^{\ge 0}$ замкнуты относительно расширений (подкатегория $\CC \subset \CT$
замкнута относительно расширений, если для любого выделенного треугольника $X \to Y \to Z \to X[1]$
с $X,Z \in \CC$ выполнено $Y \in \CC$);\\
(c) функтор $\tau_{\le 0}$ сопряжен справа к функтору вложения $\CT^{\le 0} \to \CT$,
а функтор $\tau_{\ge 0}$ сопряжен слева к функтору вложения $\CT^{\ge 0} \to \CT$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{taupq}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура.
Покажите, что\\
(a) $\tau_{\le p}\circ[q] \cong [q]\circ\tau_{\le p+q}$, $\tau_{\ge p}\circ[q] \cong [q]\circ\tau_{\ge p+q}$;\\
(b) морфизм функторов $\tau_{\le p} \to \id$ при ограничении на $\CT^{\le p}$ становится изоморфизмом.
\end{exercise}



Всякая $t$-структура однозначно восстанавливается по любой из подкатегорий $\CT^{\le 0}$
или $\CT^{\ge 0}$.

\begin{lemma}
Пусть $\CT^{\le 0} \subset \CT$ --- полная подкатегория, такая что
\begin{itemize}
\item $\CT^{\le 0}[1] \subset \CT^{\le 0}$;
\item $\CT^{\le 0}$ замкнута относительно расширений;
\item функтор вложения $\CT^{\le 0} \to \CT$ допускает правый сопряженный.
\end{itemize}
Тогда существует $t$-структура $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ на $\CT$
с $\CT^{\ge 1} = (\CT^{\le 0})^\perp$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Определим $\CT^{\ge 0}$ как $(\CT^{\le 0})^\perp[1]$.
Тогда свойство (1) для категории $\CT^{\le 0}$ очевидно.
Проверим его для категории $\CT^{\ge 0}$. Пусть $Y \in \CT^{\ge 1}$.
Надо проверить, что $Y \in \CT^{\ge 0}$, то есть что $Y[-1] \in \CT^{\ge 1}$,
то есть что $\Hom(X,Y[-1]) = 0$ для всех $X \in \CT^{\le 0}$. Но ясно, что $\Hom(X,Y[-1]) = \Hom(X[1],Y) = 0$,
так как $X[1] \in \CT^{\le 0}[1] = \CT^{\le -1} \subset \CT^{\le 0}$, а $Y \in \CT^{\ge 1}$.
Далее, свойство (2) выполнено по определению категории $\CT^{\ge 1}$.
Остается проверить (3). Обозначим функтор вложения $\CT^{\le 0} \to \CT$ через $i$,
а его правый сопряженный через $i^!$. Тогда для всякого $X$ имеем естественный морфизм
$ii^!X \to X$. Заметим сразу, что из сопряженности следует, что если $Y \in \CT^{\le 0}$,
то любой морфизм $Y \to X$ единственным образом поднимается до морфизма $Y \to ii^!X$.

Дополним теперь морфизм $ii^!X \to X$ до выделенного треугольника $ii^!X \to X \to X' \to ii^!X[1]$.
Покажем, что $X' \in \CT^{\ge 1}$. Для этого возьмем произвольный $Y \in \CT^{\le 0}$ и
произвольный морфизм $f:Y \to X'$. Дополним композицию $Y \to X' \to ii^!X[1]$ до морфизма
выделенных треугольников
$$
\xymatrix{
ii^!X \ar[r] \ar@{=}[d] & \tilde{Y} \ar[r] \ar[d]^{\tilde{f}} \ar@{-->}[dl]_{\hat{f}} & Y \ar[r] \ar[d]^f & ii^!X[1] \ar@{=}[d] \\
ii^!X \ar[r] & X \ar[r] & X' \ar[r] & ii^!X[1]
}
$$
Так как $\CT^{\le 0}$ замкнута относительно расширений, $\tilde{Y} \in \CT^{\le 0}$.
Следовательно, морфизм $\tilde{f}:\tilde{Y} \to X$ поднимается до морфизма $\hat{f}:\tilde{Y} \to ii^!X$.
А из единственности поднятия, следует коммутативность левого верхнего треугольника в диаграмме.
Из нее же следует, что морфизм $ii^!X \to \tilde{Y}$ --- вложение прямого слагаемого, а значит
морфизм $Y \to ii^!X$ равен нулю. Но это в свою очередь означает, что $f$ поднимается до морфизма $Y \to X$,
который в свою очередь поднимается до морфизма $Y \to ii^!X$. Значит $f$ пропускается через композицию
$ii^!X \to X \to X'$, а значит равен нулю.
\end{proof}


Замечательным наблюдением является следующая

\begin{theorem}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- невырожденная $t$-структура на триангулированной категории $\CT$.
Тогда категория $\CT^0 = \CT^{\le 0} \cap \CT^{\ge 0}$ --- абелева.
\end{theorem}
\begin{proof}
Прямая сумма объектов является их расширением, а категории $\CT^{\le 0}$ и $\CT^{\ge 0}$
замкнуты относительно расширений. Значит $\CT^0$ тоже замкнута относительно расширений,
и в частности относительно прямых сумм. Следовательно, $\CT^0$ --- аддитивная подкатегория в $\CT$.

Проверим существование ядер и коядер в $\CT^0$.
Пусть $X,Y \in \CT^0$, а $f:X \to Y$ --- морфизм.
Дополним его до выделенного треугольника
$$
\xymatrix@1{U \ar[r]^u & X \ar[r]^f & Y \ar[r]^v & U[1].}
$$
Заметим, что $U \in \CT^{[0,1]}$. В самом деле, $X, Y[-1] \in \CT^{[0,1]}$, а
$\CT^{[0,1]} = \CT^{\ge 0} \cap \CT^{\le 1}$ замкнута относительно расширений.
Пусть $K = \tau_{\le 0}U$, $C = \tau_{\ge 0}(U[1]) = (\tau_{\ge 1}U)[1]$ и рассмотрим
композиции $K \to U \to X$ и $Y \to U[1] \to C$. Покажем, что они являются ядром
и коядром $f$ соответственно. В самом деле, пусть $Z \in \CT^0$ и $g:Z \to X$ ---
такой морфизм, что $f\circ g = 0$:
$$
\xymatrix{
& Z \ar[d]^g \ar@{-->}[dl]_{g'} \\
U \ar[r]^u & X \ar[r]^f & Y \ar[r]^v & U[1]
}
$$
Тогда существует $g':Z \to U$, такой что $u\circ g' = g$. При этом
$\Hom(Z,Y[-1]) = 0$, так как $Z \in \CT^0 \subset \CT^{\le 0}$, а $Y[-1] \in \CT^0[-1] \subset \CT^{\ge 0}[-1] = \CT^{\ge 1}$.
Поэтому такой морфизм $g'$ единственен. Наконец, так как $Z \in \CT^0$ морфизм $g':Z \to U$ единственным образом поднимается
до морфизма $g'':Z \to \tau_{\le 0}U = K$. Таким образом, универсальное свойство ядра выполнено.
Так же проверяется универсальное свойство коядра.

Остается проверить, что коядро ядра равно ядру коядра. Для этого построим диаграмму октаэдра
$$
\xymatrix{
K \ar[r] \ar@{=}[d] & U \ar[r] \ar[d] & C[-1] \ar[r] \ar[d] & K[1] \ar@{=}[d] \\
K \ar[r] & X \ar[r] \ar[d] & V \ar[r] \ar[d] & K[1] \ar[d] \\
& Y \ar@{=}[r] \ar[d] & Y \ar[r] \ar[d] & U[1] \\
& U[1] \ar[r] & C
}
$$
Так как $X \in \CT^{0}$, а $K[1] \in \CT^{-1}$, из второй строчки следует, что $V \in \CT^{[-1,0]}$.
С другой стороны, $C[-1] \in \CT^1$, $Y \in \CT^0$ значит $V \in \CT{[0,1]}$.
Сравнивая, получаем, что $V \in \CT^{[-1,0]} \cap \CT^{[0,1]} \subset \CT^{\le 0} \cap \CT^{\ge 0} = \CT^0$.
Остается заметить, что коядро ядра --- это $\tau_{\ge 0}V \cong V$,
а ядро коядра --- $\tau_{\le 0}V \cong V$, так что и коядро ядра и ядро коядра совпадают с $V$.
\end{proof}

Абелева категория $\CT^0$ называется {\sf сердцевиной} $t$-структуры $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$.
Ясно, что сердцевина стандартной $t$-структуры на $\D(\CA)$ совпадает с $\CA$.

\begin{exercise}
Покажите, что аддитивная подкатегория $\CA \subset \CT$ является сердцевиной
ограниченной $t$-структуры на $\CT$ $\LRA$ $\Hom(\CA,\CA[-t]) = 0$ для $t > 0$,
и для любого объекта $X \in \CT$ существует конечная фильтрация $F^\bullet X$,
такая что $\gr^p_F(X) \in \CA[p]$ для всех $p$.
\end{exercise}

Если $\CT = \D(\CA)$, то помимо стандартной $t$-структуры на $X$ существует и множество других.
Например, на множестве всех $t$-структур действует группа автоэквивалентностей.

\begin{exercise}
Опишите все $t$-структуры в $\D^b(\kk\lmod)$.
\end{exercise}

Бывают и более экзотические примеры.

\begin{exercise}
Пусть $\CT = \D(\ZZ\lmod)$ --- производная категория конечно порожденных абелевых групп.
Пусть
$$
\begin{array}{rcl}
\CT^{\le 0} &=& \{ X \in \D(\ZZ\lmod)\ |\ \text{$H^t(X) = 0$ при $t > 0$, а $H^0(X)$ --- группа кручения}\}\\[1ex]
\CT^{\ge 1} &=& \{ X \in \D(\ZZ\lmod)\ |\ \text{$H^t(X) = 0$ при $t < 0$, а $H^0(X)$ --- группа без кручения}\}
\end{array}
$$
Покажите, что $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- невырожденаая $t$-структура.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура. 
Если $X,Y \in \CT^0$, то $\Hom(X,Y[1]) \cong \Ext^1_I(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $f:X \to Y[1]$ --- морфизм. Достроим его до выделенного треугольника
$Y \to Z \to X \to Y[1]$. Тогда $Z \in \CT^0$, а последовательность $0 \to Y \to Z \to X \to 0$
в $\CT^0$ точна. Таким образом, получаем класс в $\Ext^1_I(X,Y)$.

Обратно, пусть $0 \to Y \to Z \to X \to 0$ --- точная тройка в $\CT^0$.
Достроим морфизм $Y \to Z$ в $\CT$ до выделенного треугольника $Y \to Z \to X' \to Y[1]$.
Так как $Y \to Z$ --- вложение в $\CT^0$, то $X'$ есть коядро этого морфизма, то есть $X' \cong X$.
Тем самым получаем морфизм $X \cong X' \to Y[1]$. Построенные отображения очевидно взаимно обратны.
\end{proof}

По аналогии часто используется обозначение $\Ext^i(X,Y) := \Hom(X,Y[i])$.
В отличии от случая $i = 1$, для $i > 1$ он не обязан являться изоморфизмом.

Естественный вопрос --- насколько отличается производная категория от сердцевины $t$-структуры
от исходной триангулированной категории. Наиболее сложный вопрос здесь --- построение функтора
$\D(\CT^0) \to \CT$, тождественного на подкатегории $\CT^0$. В общей ситуации такой функтор 
построить невозможно (ввиду нефункториальности конуса). Чтобы это сделать, нужно иметь 
дополнительную структуру на категории $\CT$. Здесь есть разные варианты, наиболее распространенный ---
структура $f$-категории (аксиоматизация фильтрованной производной категории).
После того, как функтор построен остается следующее условие --- надо чтобы морфизм 
$\Ext^i_I(X,Y) \to \Hom_\CT(X,Y[i])$, индуцированный этим функтором, был изоморфизмом.
Это условие, на самом деле эквивалентно такому: всякий морфизм
$X \to Y[i]$ в категории $\CT$, где $X,Y \in \CT^0$ раскладывался в композицию
$X \to X_1[1] \to X_2[2] \to \dots \to X_{i-1}[i-1] \to Y[i]$, где $X_1,X_2,\dots,X_{i-1} \in \CT^0$
(иначе говоря $\Ext^\bullet$ в категории $\CT$ порождается $\Ext^1$).


\Section{Когомологии относительно $t$-структуры}

\begin{lemma}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура. Тогда для всех $a \le b$ существует 
канонические изоморфизмы функторов $\tau_{\le a}\tau_{\le b} \cong \tau_{\le b}\tau_{\le a} \cong \tau_{\le a}$ и
$\tau_{\ge a}\tau_{\ge b} \cong \tau_{\ge b}\tau_{\ge a} \cong \tau_{\ge b}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Функтор вложения $\CT^{\le a} \to \CT$ раскладывается в композицию $\CT^{\le a} \to \CT^{\le b} \to \CT$.
Поэтому его сопряженный функтор $\tau_{\le a}$ раскладывается в композицию $\tau_{\le a}\tau_{\le b}$.
С другой стороны, так как функтор $\tau_{\le b}$ тождественен на $\CT^{\le b}$, а образ $\tau_{\le a}$
лежит в $\CT^{\le a} \subset \CT^{\le b}$, получаем второй изоморфизм. 
%Для функторов $\tau_{\ge p}$ доказательство аналогично.
\end{proof}

\begin{lemma}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура. Тогда для всех $a \le b$ существует 
канонический изоморфизм функторов $\tau_{\le b}\tau_{\ge a} \cong \tau_{\ge a}\tau_{\le b}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пользуясь изоморфизмом $\tau_{\le a-1}\tau_{\le b} \cong \tau_{\le a-1}$ построим диаграмму октаэдра
$$
\xymatrix{
\tau_{\le a-1}X \ar[r] \ar@{=}[d] & \tau_{\le b}X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\ge a}\tau_{\le b}X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\le a-1}X[1] \ar@{=}[d] \\
\tau_{\le a-1}X \ar[r] & X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\ge a}X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\le a-1}X[1]  \\
& \tau_{\ge b+1}X \ar@{=}[r] \ar[d] & \tau_{\ge b+1}X  \ar[d]  \\
& \tau_{\le b}X[1] \ar[r] & \tau_{\ge a}\tau_{\le b}X[1]
}
$$
Из верхней строчки следует, что $\tau_{\ge a}\tau_{\le b}X \subset \CT^{\ge b}$.
При этом $\tau_{\ge b+1}X \in \CT^{\ge b+1}$. Поэтому третий столбец является разложением
объекта $\tau_{\ge a}X$ относительно пары $(\CT^{\le b},\CT^{\ge b+1})$.
Так как такое разложение единственно, получаем изоморфизм $\tau_{\ge a}\tau_{\le b}X \cong \tau_{\le b}\tau_{\ge a}$,
функториальность которого легко проверяется.
\end{proof}

Рассмотрим случай $a = b$ и определим {\sf функтор когомологий относительно $t$-структуры} формулой
$$
H^a(X) = (\tau_{\le a}\tau_{\ge a}X)[a].
$$
\begin{exercise}
Покажите, что для стандартной $t$-структуры функторы $H^a$ являются обычными функторами когомологий.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{homh}
Покажите, что если $X \in \CT^{\le p}$, $Y \in \CT^{\ge p}$, то всякий морфизм $X \to Y$
единственным образом представляется в виде композиции 
$$
X = \tau_{\le p}X \to \tau_{\ge p}\tau_{\le p}X = H^p(X)[-p] \to H^p(Y)[-p] = \tau_{\le p}\tau_{\ge p}Y \to \tau_{\ge p}Y = Y.
$$
В частности $\Hom(X,Y) = \Hom(H^p(X),H^p(Y))$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура.
Тогда выполнен изоморфизм $H^{p+q}(X) \cong H^p(X[q])$.
Кроме того, если $X \to Y \to Z \to X[1]$ --- выделенный треугольник, то
$$
\dots \to H^p(X) \to H^p(Y) \to H^p(Z) \to H^{p+1}(X) \to \dots
$$
--- длинная точная последовательность.
\end{lemma}
\begin{proof}
Изоморфизм легко следует из упражнения~\ref{taupq}:
$$
H^p(X[q]) = (\tau_{\le p}\tau_{\ge p}(X[q]))[p] \cong (\tau_{\le p+q}\tau_{\ge p+q}X)[p+q] = H^{p+q}(X).
$$
Установим теперь точность последовательности когомологий. Прокручивая треугольник,
можно все свести к точности последовательности $H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z)$ в среднем члене.
Вначале проверим следующий факт --- если $X \in \CT^{\le 0}$, то треугольник 
$\tau_{\le 0}X \to \tau_{\le 0}Y \to \tau_{\le 0} Z \to  (\tau_{\le 0}X)[1]$ выделен,
а последовательность $H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z) \to 0$ точна справа.
В самом деле, построим диаграмму октаэдра
$$
\xymatrix@R=3ex{
\tau_{\le 0}X \ar[r] \ar@{=}[d] & \tau_{\le 0}Y \ar[r] \ar[d] & U \ar[r] \ar[d] & (\tau_{\le 0}X)[1] \ar@{=}[d] \\
X \ar[r] & Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[r] \ar[d] & X[1]  \\
& \tau_{\ge 1}Y \ar@{=}[r] \ar[d] & \tau_{\ge 1}Y  \ar[d]  \\
& (\tau_{\le 0}Y)[1] \ar[r] & U[1]
}
$$
Из верхней строки видно, что $U \in \CT^{\le 0}$. При этом $\tau_{\ge 1}Y \in \CT^{\ge 1}$. 
Поэтому из третьего столбца следует, что $\tau_{\ge 1}Y \cong \tau_{\ge 1}Z$, $U \cong \tau_{\le 0}Z$.
В частности, верхняя строка дает нужный треугольник.
Возьмем теперь произвольный $V \in \CT^0$ и применим к треугольнику функтор $\Hom(-,V)$.
Получим точную последовательность
$$
\Hom((\tau_{\le 0}X)[1],V) \to \Hom(\tau_{\le 0} Z,V) \to \Hom(\tau_{\le 0}Y,V) \to \Hom(\tau_{\le 0}X,V).
$$
Заметим теперь, что $\Hom((\tau_{\le 0}X)[1],V) = 0$, так как $(\tau_{\le 0}X)[1] \in \CT^{\le -1}$, а $V \in \CT^{\ge 0}$.
Кроме того, из упражнения~\ref{homh} следует, что $\Hom(\tau_{\le 0} X,V) = \Hom(H^0(\tau_{\le 0}X),H^0(V)) = \Hom(H^0(X),V)$
и аналогично с заменой $X$ на $Y$ и $Z$. Поэтому получаем точную последовательность
$$
0 \to \Hom(H^0(Z),V) \to \Hom(H^0(Y),V) \to \Hom(H^0(X),V).
$$
Так как $V$ произвольно, отсюда следует точность справа последовательности 
$H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z) \to 0$.

Аналогично проверяется, что если $Z \in \CT^{\ge 0}$, то треугольник 
$\tau_{\ge 0}X \to \tau_{\ge 0}Y \to \tau_{\ge 0} Z \to  (\tau_{\ge 0}X)[1]$ выделен,
а последовательность $0 \to H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z)$ точна слева.

Построим теперь такую диаграмму октаэдра
$$
\xymatrix@R=3ex{
\tau_{\le 0}X \ar[r] \ar@{=}[d] & X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\ge 1}X \ar[r] \ar[d] & (\tau_{\le 0}X)[1] \ar@{=}[d] \\
\tau_{\le 0}X \ar[r] & Y \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] \ar[d] & (\tau_{\le 0}X)[1]  \\
& Z \ar@{=}[r] \ar[d] & Z  \ar[d]  \\
& X[1] \ar[r] & (\tau_{\ge 1}X)[1]
}
$$
Так как $\tau_{\le 0}X \in \CT^{\le 0}$ и $H^0(\tau_{\le 0}X) = H^0(X)$ из второй строчки получаем
точную последовательность $H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(W) \to 0$.
Так как $(\tau_{\ge 1}X)[1] \in \CT^{\ge 0}$ и $H^0((\tau_{\ge 1}X)[1]) = H^1(X)$ из третьего столбца получаем
точную последовательность $0 \to H^0(W) \to H^0(Z) \to H^1(X)$. Склеивая их, получаем точную последовательность
$H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z) \to H^1(X)$.
\end{proof}


\begin{exercise}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- невырожденаая $t$-структура. 
Покажите, что\\
(a) $X = 0$ $\LRA$ $\forall p$ $H^p(X) = 0$;
(b) морфизм $f:X \to Y$ --- изофморфизм $\LRA$ $\forall p$ $H^p(f)$ --- изоморфизм.
\end{exercise}

Функтор $H:\CT \to \CA$ из триангулированной категории в абелеву называется {\sf когомологическим},
если для всякого выделенного треугольника $X \to Y \to Z \to X[1]$ последовательность
$\dots \to H^p(X) \to H^p(Y) \to H^p(Z) \to H^{p+1}(X) \to \dots$ точна.
Предыдущую лемму можно переформулировать как утверждение о том, что функтор
когомологий относительно $t$-структуры --- когомологический. Другой пример 
когомологического функтора --- функтор $\Hom(U,-)$.

\begin{exercise}
Покажите, что композиция когомологического и точного функтора --- когомологический функтор.
\end{exercise}

Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- невырожденаая $t$-структура, а $H^i$ --- 
соответствующие функторы когомологий. Естественный вопрос --- насколько объект $X \in \CT$
определяется своими когомологиями $H^i(X)$. Если $X$ имеет только одну нетривиальную 
когомологию $H^i(X)$, то он очевидно изоморфен $H^i(X)[-i]$.

\begin{lemma}
Если $X$ имеет ровно две нетривиальных когомологии $H^i(X)$ и $H^j(X)$ в степенях $i < j$,
то $X$ однозначно определяется морфизмом $H^j(X) \to H^i(X)[j-i+1]$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим треугольник $\tau_{\le i}X \to X \to \tau_{\ge i+1}X \to \tau_{\le i}X[1]$.
Так как $\tau_{\le i}X$ и $\tau_{\ge i+1}X$ имеют только одну когомологию, то
$\tau_{\le i}X \cong H^i(X)[-i]$, $\tau_{\ge i+1}X \cong H^j(X)[-j]$.
Поэтому треугольник имеет вид $H^i(X) \to X \to H^j(X)[-j] \to H^i(X)[1-i]$.
Так как треугольник однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется
морфизмом $H^j(X)[-j] \to H^i(X)[1-i]$, то есть морфизмом $H^j(X) \to H^i(X)[j+1-i]$.
\end{proof}

Морфизм $H^j(X) \to H^i(X)[j-i+1]$ называется {\sf морфизмом склейки}.

\begin{exercise}
Опишите, какими данными определяется объект, имеющий ровно три
нетривиальные когомологии.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- абелева категория гомологической размерности $1$
(то есть $\Ext^i_I(X,Y) = 0$ для $i \ge 2$ и всех $X,Y \in \CA$).
Докажите, что всякий объект $X \in \D(\CA)$ изоморфен $\oplus_i H^i(X)[-i]$.
\end{exercise}




\end{document}



\Section{Спектральные последовательности}


%Предположим в триангулированной категории

%Пусть $F^\bullet X$ --- фильтрация на комплексе $X \in \D(\CA)$.
%Рассмотрим


Пусть $F^\bullet X$ --- фильтрация на объекте $X$ триангулированной категории  $\CT$.
Рассмотрим



\begin{lemma}
\end{lemma}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что
\end{exercise}



Пусть $\CA \subset \CB$ --- строго полная аддитивная подкатегория в аддитивной категории, и пусть функтор вложения $i:\CA \to \CB$
(он автоматически аддитивен) обладает левым сопряженным функтором $i^*$.

\begin{lemma}
Если морфизм $\xymatrix@1{i(X) \ar[r]^{i(f)} & i(Y)}$ имеет ядро в $\CB$,
то $\Ker f = i^*(\Ker i(f))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В силу изоморфизма $\Hom(i^*(\Ker f),X) \cong \Hom(\Ker f,i(X))$ естественный морфизм
$\kappa:\Ker f \to i(X)$ индуцирует морфизм $\kappa':i^*(\Ker f) \to X$.
\end{proof}


\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item
\end{enumerate}
\end{examples}


Также используются {\sf контравариантные функторы}, меняющие направление морфизмов.
Здесь полезно понятие {\sf противоположной категории}. Если $\CC$ --- категория,
определим категорию $\CC^\opp$ так:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\CC^\opp$ категория.
\end{exercise}
{\sf Контравариантный функтор} из $\CC$ в $\D$ --- это ковариантный функтор из $\CC^\opp$ в $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item кольцо функций $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item группа Галуа $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Функторы можно компонировать.
\begin{exercise}
Покажите, что композиция двух ковариантных или двух контравариантных функторов ковариантна,
а композиция ковариантного и контравариантного функторов контравариантна. Проверьте,
что операция компонирования функторов ассоциативна.
\end{exercise}

Функтор $F:\CC \to \D$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- вложение для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf полным}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- сюръекция для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf строго полным} или {\sf вполне строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- изоморфизм для всех $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} и \eqref{i-fun} строго полные;
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} и \eqref{fr-fun} строгие, но не полные.
\end{enumerate}
\end{examples}
Определим {\sf декартово произведение категорий} $\CC$ и $\D$. По определению
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
Функтор $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ называется также {\sf бифунктором}.
\begin{exercise}
Покажите, что $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- бифунктор.
\end{exercise}
%\newpage
\Section{Морфизмы функторов}
Пусть $F,G:\CC \to D$ --- функторы. {\sf Морфизм функторов} (или {\sf естественное преобразование})
$\alpha:F \to G$ --- это набор морфизмов $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ для всех $X \in \CC$, такой что
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{для всех $X,Y \in \CC$ и $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$
Морфизмы функторов можно компонировать друг с другом и с функторами.
\begin{exercise}
(a) Пусть $F,G,H:\CC \to \D$, а $\alpha:F \to G$ и $\beta:G \to H$ --- морфизмы функторов.
Покажите, что $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- морфизм функторов.
(b) Пусть $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ и $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- функторы,
а $\alpha:G \to G'$ --- морфизм функторов. Покажите, что
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ и $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- морфизмы функторов.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Постройте морфизмы функторов
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%Определите композицию морфизмов функторов.
Покажите, что если категория $\CC$ --- {\sf малая} (то есть $\Ob\CC$ --- множество),
то для любой категории $\D$ все функторы из $\CC$ в $\D$ образуют категорию $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Покажите, что $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}
Морфизм функторов $\alpha:F \to G$ называется {\sf изоморфизмом}, если существует
морфизм функторов $\beta:G \to F$, такой что $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.
%\begin{exercise}
%Пусть $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- функторы.
%Покажите, что $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
Таким образом, все малые категории с функторами в качестве морфизмов
образуют категорию $\Cats$. На самом деле, ее естественнее рассматривать
как 2-категорию --- помимо объектов и морфизмов в ней есть 2-морфизмы
(то есть морфизмы между морфизмами --- в нашем примере естественные
преобразования функторов). При этом $\Cats$ является строгой 2-категорией
(композиция 1-морфизмов ассоциативна), хотя вообще в 2-категориях
композиция 1-морфизмов предполагается ассоциативной только с точностью
до 2-изоморфизма.
\end{remark}
Функтор $F:\CC \to \D$ называется {\sf эквивалентностью}, если существует функтор $G:\D \to \CC$,
так что $F\circ G \cong \id_\D$ и $G \circ F \cong \id_\CC$. Функтор $G$ называется {\sf квазиобратным} к $F$.
\begin{remark}
Более привычно выглядит понятие изоморфизма категорий, в отличии от эквивалентности, предполагающего
равенства $F\circ G = \id_\D$ и $G \circ F = \id_\CC$. Однако, на практике, изоморфизмов категорий
практически не встречается, в то время как содержательных эквивалентностей весьма много.
\end{remark}
\begin{exercise}
Пусть $\Cov(X)$ --- категория накрытий топологического пространства $X$,
а $G$-$\Sets$ --- категория множеств с действием группы $G = \pi_1(X,x_0)$,
где $x_0 \in X$ --- фиксированная точка.
Покажите, что функтор $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
эквивалентность (но не изоморфизмом!) этих категорий.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{fun-prod}
Покажите, что $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}
Легко видеть, что всякая эквивалентность является строго полным функтором и индуцирует
изоморфизм множеств классов изоморфизма объектов. Верно и обратное.
\begin{lemma}\label{crit-equ}
Функтор $F:\CC \to \D$ является эквивалентностью $\LRA$ $F$ строго полон
и существенно сюръективен, то есть $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ такой что $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}
Доказательство будет дано чуть позже.
\Section{Представимые функторы}

Пусть $\CC$ --- категория. Всякому объекту $X \in \CC$ сопоставим функторы
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
Функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ называется {\sf представимым}, если он изоморфен функтору $h_X$
для какого-либо $X \in \CC$. Аналогично, функтор $F:\CC \to \Sets$ называется {\sf копредставимым},
если он изоморфен функтору $h^X$ для какого-либо $X \in \CC$. Объект $X$ в этом случае, называется
{\sf представляющим} ({\sf копредставляющим}) функтор $F$.
\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функторы забвения $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ копредставимы;
(b) функтор $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ представим.
\end{exercise}
Очень полезным утверждением является лемма Ионеды.
\begin{lemma}
$(a)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ имеем $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ имеем $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем пункт $(b)$ (пункт $(a)$ доказывается аналогично, а $(c)$ очевидно следует из $(a)$ и $(b)$).
Пусть $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. Рассмотрим морфизм $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (заметим, что $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ так как $F$ контравариантен).
Легко видеть, что морфизмы $s_Y$ образуют морфизм функторов $h_X \to F$.
Обратно, пусть $\alpha:h_X \to F$ --- морфизм функторов. Тогда $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
отображение множеств. Заметим, что $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
Рассмотрим $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.
Таким образом мы построили отображения между множествами $\Hom(h_X,F)$ и $F(X)$.
Покажем, что они взаимно обратны. В самом деле, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
Остается показать, что $\alpha_Y = s_Y$ для всех $Y$.
Для этого для каждого $\phi \in \Hom(Y,X)$ рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
Ясно, что $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ верхней стрелкой переводится в $s$,
который правой стрелкой переводится в $F(\phi)(s)$.
С другой стороны, левой стрелкой $\id_X$ переводится в $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
который нижней стрелкой переводится в $\alpha_Y(\phi)$.
Значит $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Если функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ представим, то объект, представляющий его,
определен однозначно с точностью до изоморфизма. То же относится и к копредставимым функторам.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $h_X \cong F \cong h_Y$. Тогда изоморфизм $h_X \cong h_Y$ дает изоморфизм $X \cong Y$.
\end{proof}
\begin{exercise}
Покажите, что если $\CC$ --- малая категория, то функторы $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ и
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- строго полные функторы.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%Категория $\CC$ называется {\sf насыщенной}, если всякий функтор $\CC \to \Sets$ копредставим,
%а всякий функтор $\CC^\opp \to \Sets$ представим.
%Покажите, что для любой малой категории $\CC$ категория $\Fun(\CC,\Sets)$ насыщена.
%\end{exercise}

Представимые функторы часто используются для категорной переформулировки стандартных конструкций.
Пусть $X_1,X_2 \in \CC$. Рассмотрим функтор $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. Объект, представляющий этот функтор (если он представим),
называется {\sf произведением} объектов $X_1$ и $X_2$. Аналогично, {\sf копроизведением} объектов
$X_1$ и $X_2$ называется объект, копредставляющий функтор $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (если он копредставим).
Аналогично определяются произведения и копроизведения любого множества объектов.
\begin{exercise}
(a) Докажите, что в категориях $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
существуют произведения и копроизведения любого множества объектов.
(b) Проверьте, что произведение в категории $\Comp$ компактных топологических пространств
существует и является тихоновским произведением.
\end{exercise}
Другой пример --- начальный и конечный объекты.
{\sf Начальный объект} --- это объект $0_\CC$, копредставляющий функтор $I(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$,
а {\sf конечный объект} --- это объект $1_\CC$, представляющий функтор $T(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$.
\begin{exercise}
Покажите, что если $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, то $0_\CC \cong 1_\CC$.
Найдите начальный и конечный объекты в категориях $\Sets$ и других категориях.
\end{exercise}

\Section{Сопряженные функторы}
Пусть $F:\CC \to \D$ и $G:\D \to \CC$ --- функторы.
Говорят, что $F$ --- {\sf сопряжен слева к $G$}, а $G$ --- {\sf сопряжен справа к~$F$},
если для всех $X \in \CC$, $Y \in \D$ заданы изоморфизмы
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ функториальные по обоим аргументам
(то есть, при фиксированном $X$ морфизмы $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ функториальны,
и при фиксированном $Y$ морфизмы $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ функториальны).
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item тождественный функтор сопряжен сам себе;
\item функтор $\scm:\Groups \to \Ab$ из примера~\ref{ex-fun}(5) сопряжен слева к функтору вложения $\si:\Ab \to \Groups$;
\item функторы $\sfr$ из примера~\ref{ex-fun}(4) сопряжены слева к функторам $\sfg$ из примера~\ref{ex-fun}(3).
\item если $F:\CC \to \D$ --- эквивалентность, а $G:\D \to \CC$ --- квазиобратный функтор, то $G$
сопряжен к $F$ и справа и слева.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{adjuc}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных функторов. Тогда существуют морфизмы функторов
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, а
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%композиции
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ по сопряженности. Обозначим черех $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
морфизм, соответствующий морфизму $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. Аналогично, $\eta_Y$ соответствует
$\id_{G(Y)}$ при изоморфизме $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
В силу функториальности изоморфизма $\xi$ имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
Морфизм $\id_X$ одной парой стрелок переводится в $\xi_{X,Y}(\phi)$, а другой --- в $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
Второе равенство проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функторы $F$ и $G$ сопряжены друг другу $\LRA$ найдутся морфизмы
функторов $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
композиции
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть вначале $F$ сопряжен слева к $G$. Определим $\epsilon$ и $\eta$ как в лемме~\ref{adjuc}.
Тогда для любого морфизма $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ имеем
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
Подставим $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. Получим
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, то есть тождественность первой композиции.
Тождественность второй проверяется аналогично.
Пусть теперь $F$ и $G$ произвольные, а $\epsilon$ и $\eta$ заданы.
Зададим морфизмы $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ и $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
формулами $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ и $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
В ней квадрат коммутативен в силу функториальности $\eta$, а треугольник --- по условию.
Отсюда получаем $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
Равенство $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функтор $F$ имеет правый сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(F(-),Y)$ представим   для всех $Y \in \D$.
Функтор $G$ имеет левый  сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(X,G(-))$ копредставим для всех $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем изоморфизмы $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ для всех $Y \in \D$
и положим $G(Y) = Y'$. Рассмотрим морфизм $\phi:Y_1 \to Y_2$. Композиция
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
индуцирует некоторый морфизм $G(Y_1) \to G(Y_2)$, что задает дейтсвие $G$ на морфизмах.
Функториальность очевидна.
%Второе утверждение проверяется аналогично.
\end{proof}
Воспользуемся полученными результатами для доказательства леммы~\ref{crit-equ}. Действительно, если
$F$ строго полон и существенно сюръективен, то для всякого $Y \in \D$ существует $X \in \CC$,
такой что $F(X) \cong Y$, значит $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
представимый функтор, следовательно существует правый сопряженный к $F$ функтор $G$.
Пусть $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- соответствующие
морфизмы функторов. Покажем, что они изоморфизмы. Рассмотрим вначале морфизм
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. Применяя функтор $\Hom(X',-)$ получаем морфизм
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, являющийся композицией морфизма $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
и $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, и следовательно изоморфизмом.
Значит $\epsilon_X$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
а значит и сам является изоморфизмом. Рассмотрим теперь морфизм $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
Применяя функтор $\Hom(F(X),-)$ получаем морфизм
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. Его композиция с морфизмом
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ равна морфизму $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
следовательно является изоморфизмом. Но всякий объект $Y' \in \D$ изоморфен объекту $F(X)$ для подходящего $X$,
значит морфизм $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ тоже является изоморфизмом. Таким образом
$\eta_Y$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
а значит и сам является изоморфизмом.
В завершение, приведем пример функторов, определяемых через понятие сопряженности.
Пусть $\CI$ --- малая категория (рассматриваемая как категория индексов).
Рассмотрим функтор проекции $\CC\times\CI \to \CC$. В силу Упр.~\ref{fun-prod}
он дает функтор $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, который мы будем называть постоянным функтором
и обозначать $\Delta$. Для всякого $F \in \Fun(\CI,\CC)$ рассмотрим функторы $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{и}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(первый контравариантен, второй ковариантен). Если эти функторы (ко)представимы, то
(ко)представляю\-щий объект
называется {\sf обратным пределом} (или просто {\sf пределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\ilim_\CI F(i)$ в первом случае,
и {\sf прямым пределом} (или {\sf копределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\dlim_\CI F(i)$  во втором.
В силу свойств представимых функторов, если пределы существуют, то определены однозначно
(с точностью до изоморфизма). Более того, если пределы определены для всех $F$, они являются функторами
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ и $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ соответственно.
\begin{exercise}
(a) Покажите, что если категория $\CI$ {\sf дискретна} (то есть $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ для $i \ne j$),
то $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ и $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) Обозначим через $\CI_{\text{\rm discr}}$ дискретную категорию с $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
Постройте морфизмы функторов $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ и
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}

\end{document}
\begin{definition}
Моноид --- это тройка $(M,\circ,1)$,
состоящая из множества $M$, бинарной операции $\circ$ на $M$
(т.е.\ отображения $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
и элемента $e\in M$, таких что выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[M1] \say{Ассоциативность}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{Аксиома единицы}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $M=\Map(X,X)$ --- множество отображений из множества $X$ в себя,
$\circ$ --- операция композиции отображений, $e=\Id_X$ --- тождественное
отображение.
\item $M=\Map(X,M')$ --- множество отображений из множества $X$ в моноид $M'$,
$\circ$ --- поточечное умножение ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
где $\circ'$ --- операция в $M'$), $e\equiv e'$ --- функция,
тождественно равная единице моноида $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Легко убедиться, что единица во всяком моноиде единственна.
Действительно, если $e'$ --- другая единица, то
$e' = e'\cdot e = e$. Поэтому при задании моноида можно не
указывать его единицу --- достаточно лишь проверить ее существование.
%Моноид $M$ называется \say{коммутативным}, если
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\begin{lemma}
Если $x_1,\dots,x_n$ --- элементы моноида, то все способы расстановки
скобок в произведении $x_1\circ\dots\circ x_n$ дают одинаковый результат.
\end{lemma}
Доказательство --- индукция по $n$.
\begin{definition}
Моноид $M$ называется коммутативным, если
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}
Как правило, в коммутативных моноидах операция записывается аддитивно
($x\circ y =: x+y$), а в некоммутативных мультипликативно ($x\circ y =: xy$).
Произведение $n$ одинаковых элементов
$x\circ\dots\circ x$ обозначается
через $x^n$, при этом удобно положить $x^0=e$. Легко проверить, что
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
для всех неотрицательных $m$ и $n$. При аддитивной записи операции в моноиде
пользуются обозначением $nx$ вместо $x^n$. При этом свойство $(\ref{prop1})$
приобретает вид $nx + mx = (n+m)x$.
Элемент $x$ в моноиде $M$ называется \say{обратимым}, если существуют
элемент $y$ (\say{левый  обратный}), такой что $y\circ x = e$; и
элемент $z$ (\say{правый обратный}), такой что $x\circ z = e$.
\begin{lemma}\label{inv}
Если $x$ --- обратим, то всякий левый обратный к $x$ равен всякому правому
обратному к $x$.
\end{lemma}
Доказательство:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Тем самым, для любого обратимого элемента $x$ существует единственный элемент,
являющийся одновременно правым и левым обратным к $x$. Этот элемент
обозначается $x^{-1}$ (при аддитивной записи: $-x$) и называется
обратным к $x$.
Далее, удобно обозначить $(x^{-1})^n$ через $x^{-n}$ (при аддитивной
записи $-nx$). Тогда свойство $(\ref{prop1})$ становится верным при
любых целых $n$ и $m$.
\begin{definition}
Группа --- это моноид, в котором все элементы обратимы.
\end{definition}
\begin{lemma}
Если $M$ --- моноид, то множество $M^*$ обратимых элементов в $M$
является группой.
\end{lemma}
Доказательство:
Достаточно проверить, что множество $M^*$ замкнуто относительно
операции $\circ$, то есть что для любых обратимых элементов $x,y\in M$
произведение $x\circ y$ --- тоже обратимо. Действительно, ясно, что
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
то есть элемент $y^{-1}\circ x^{-1}$ является обратным к $x\circ y$.\qed
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.
\item $(\ZZ,+)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\QQ^*,\cdot)$ (варианты: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).
\item \say{Группа перестановок} (симметрическая группа) $\FS_n$ ---
множество изоморфизмов из $n$-элементного множества $\{1,\dots,n\}$
на себя с операцией композиции отображений.
\item $G = \Map(X,G')$ --- множество отображений из множества $X$
в группу $G'$.
\item Группы автоморфизмов (см.\ лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{canc}
Если в группе $G$ выполнено одно из равенств $x\circ y=x\circ z$ или
$y\circ x=z\circ x$, то $y=z$.
\end{lemma}
Доказательство: если $x\circ y=x\circ z$, то
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Второй случай разбирается аналогично.
Группа называется коммутативной, если она коммутативна как моноид.
Коммутативные группы также называются \say{абелевыми}.

\Section{Кольца и поля}
\begin{definition}
Кольцо--- это набор $(R,+,\cdot,0,1)$,
состоящий из множества $R$, бинарных операций $+$ (сложение) и
$\cdot$ (умножение) на $R$ и элементов $0,1\in R$, таких что
%$R$ является абелевой группой относительно сложения
выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- абелева группа.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- моноид.
\item[R3] \say{Дистрибутивность (билинейность) умножения}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}
Умножение в кольце часто записывают в виде $xy=x\cdot y$.
Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.
\item $\ZZ$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $R=\Map(X,R')$ --- множество отображений из множества $X$
в кольцо $R'$ с поточечными операциями.
\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{многочленов} (\say{полиномов}) с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{формальных степенных рядов} с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- кольцо матриц размера $n$ на $n$
с коэффициентами в кольце $R'$. Элементы $R$ --- это таблицы вида
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
с покомпонентным сложением; умножением, задаваемым формулой
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{где }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
нулевой матрицей в качестве 0 и диагональной матрицей
с единицами на диагонале в качестве 1.
\item Кольца эндоморфизмов (см. лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}
Если $R$ --- кольцо, то $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
Доказательство:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
и остается применить лемму~\ref{canc} к аддитивной группе кольца.
\begin{definition}
Кольцо, в котором $0\ne 1$ и все элементы кроме нуля являются
группой относительно умножения, называется \say{телом},
а если оно к тому же коммутативно, то \say{полем}.
\end{definition}
Некоммутативные тела встречаются достаточно редко; простейший пример ---
тело кватернионов $\HH$. С полями дело обстоит значительно лучше.
\begin{examples} Примеры полей.
\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, где $p$ --- простое число.
\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.
\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- поле рациональных
функций с коэффициентами в поле $K'$.
\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- поле (формальных) рядов Лорана с коэффициентами в поле $K'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
\Section{Гомоморфизмы}
\begin{definition}
Гомоморфизм групп (моноидов) $f:G\to G'$ --- это отображение, такое что
$f(e)=e'$ и $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
Гомоморфизм колец (полей) $f:R\to R'$ --- это отображение, являющееся
гомоморфизмом их аддитивной группы и мультипликативного моноида.
\end{definition}
\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item Если $G$ --- группа, а $x\in G$, то отображение $n\mapsto x^n$
является гомоморфизмом групп $\ZZ\to G$.
\item Если $R$ --- кольцо, а $x\in R$, то отображение $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
является гомоморфизмом колец $\ZZ\to R$.
\item Проекция $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ является гомоморфизмом колец.
\item Отображения $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ и
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ являются гомоморфизмами групп.
\item Отображение вычисления $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
является гомоморфизмом групп.
\item Если $R$ --- коммутативное кольцо, и $r\in R$,
то отображение вычисления $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
является гомоморфизмом колец.
\item Всякий элемент кольца $R$ можно рассматривать как многочлен степени 0,
а всякий многочлен можно рассматривать как формальный степенной ряд,
все члены которого, начиная с некоторого места равны нулю. Тем самым
задаются гомоморфизмы колец $R \to R[x]$ и $R[x] \to R[[x]]$.
%\item Если $f:R\to R'$ --- гомоморфизм колец, и $r\in R$, то
%отображение $\tilde{f}:R'[x]\to R$, переводящее
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ в $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%гомоморфизм колец.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{hom1}
Композиция гомоморфизмов является гомоморфизмом.
Если $f:M\to M'$ --- гомоморфизм моноидов, а $x\in M$ --- обратимый
элемент, то $f(x)\in M'$ --- обратим и $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
Доказательство:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
откуда следует первая часть леммы. Для доказательства второй части
достаточно заметить, что
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, то есть
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed

Гомоморфизм (моноидов, групп, колец, полей, и т.д.) $f:M\to M'$ называется
\say{эпиморфизмом} (сюръекцией, наложением), если
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ т.ч. $f(x)=z$.
Гомоморфизм $f$ называется \say{мономорфизмом} (инъекцией, вложением),
если из равенства $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, следует $x=y$.
Гомоморфизм $f:M\to M'$ называется \say{изоморфизмом}, если
существует гомоморфизм $g:M'\to M$, такой что
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.
\begin{lemma}
Гомоморфизм групп (колец) является изоморфизмом $\LRA$
он является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
\end{lemma}
Доказательство: всякий изоморфизм биективен, следовательно
является мономорфизмом и эпиморфизмом. Обратно, если гомоморфизм
является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то он биективен,
следовательно существует обратное отображение, которое (легко проверить)
является гомоморфизмом. \qed

Всякий гомоморфизм из (моноида, группы, кольца, поля, и т.д.) в себя
называется \say{эндоморфизмом}. Эндоморфизм, являющийся изоморфизмом,
называется \say{автоморфизмом}.
\begin{lemma}\label{endaut}
Если $M$ --- любая алгебраическая структура (моноид, группа, кольцо, поле),
то множество его автоморфизмов $\Aut(M)$ является группой. Если $M$ ---
абелева группа, то множество ее эндоморфизмов $\End(M)$ является кольцом.
\end{lemma}
Доказательство: из леммы~\ref{hom1} следует, что $\End(M)$ является моноидом
относительно операции композиции эндоморфизмов, а $\Aut(M)$ является
множеством его обратимых эементов, следовательно $\Aut(M)$ --- группа.
Если же $M$ является абелевой группой, то на $\End(M)$ есть операция
поточечного сложения ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), так что $\End(M)$ становится
кольцом.\qed
\begin{definition}
Ядром гомоморфизма групп $f:G\to G'$ называется
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. Образом гомоморфизма
групп $f:G\to G'$ называется $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
Аналогично, ядром гомоморфизма колец $f:R\to R'$ называется
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. Образом гомоморфизма колец $f:R\to R'$
называется $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}
Легко видеть, что ядро и образ гомоморфизма групп $f:G\to G'$
являются \say{подгруппами} (то есть подмножествами, являющимися
группами относительно индуцированной операции) в $G$ и $G'$ соотв.
Аналогично, ядро и образ гомоморфизма колец $f:R\to R'$
являются \say{подкольцами} (то есть подмножествами, являющимися
кольцами относительно индуцированных операций) в $R$ и $R'$ соотв.
\begin{lemma}
Гомоморфизм $f$ групп (колец) является мономорфизмом $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ соотв.).
Гомоморфизм моноидов $f:M\to M'$ является эпиморфизмом $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
Доказательство: пусть $f:M\to M'$ --- гомоморфизм групп и $f(x)=f(y)$. Тогда
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
следовательно $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. Далее очевидно.
\begin{corollary}\label{field_mono}
Любой гомоморфизм из поля в кольцо является вложением.
\end{corollary}
Доказательство: по лемме~\ref{hom1} любой обратимый элемент
поля (относительно мультипликативной структуры) переходит
в обратимый элемент. Следовательно, всякий ненулевой элемент
переходит не в ноль. В частности, ядро гомоморфизма равно нулю,
следовательно гомоморфизм --- вложение. \qed

\Section{Прямые произведения}
Пусть $(M_1,\circ_1,e_1)$ и $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- моноиды.
Тогда на произведении
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
возникает структура моноида:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
Этот моноид называется \say{прямым произведением} моноидов $M_1$ и $M_2$.
\begin{lemma}
Произведение групп (колец) является группой (кольцом).
\end{lemma}
Доказательство: очевидно.
Напротив, легко проверить, что произведение полей является кольцом,
но не полем. Действительно, в произведении полей $K\times L$ имеем
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
следовательно элементы $(1_K,0_L)$ и $(0_K,1_L)$ необратимы.
\end{document}





Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.





В самом деле, пусть $P'$ --- другая накрывающая, такая что морфизм $P' \to X$ пропускается через $P$.
Пусть $X'' = \Ker(P' \to X)$. Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X'' \ar[r] \ar[d] & P' \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & P \ar[r] & X \ar[r] & 0
}
$$


Из единственности легко следует, что $f_k:T_k \to E_k$ --- морфизм функторов.

Проверим теперь, что $f_k$ и $f_{k-1}$ коммутируют с $\delta_{k-1}$.
Рассмотрим точный последовательности $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ и $0 \to X''' \to P \to X'' \to 0$,
где $P$ --- накрывающая для $X$, такая --- что $E_k(P) = 0$, а $X''' = \Ker(P \to X'')$.
Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X''' \ar[r] \ar[d] & P \ar[r] \ar[d] & X'' \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & X \ar[r] & X'' \ar[r] & 0
}
$$
которая дает кубическую диаграмму
$$
\xymatrix@!=3ex{
T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] \ar@{=}[dr] && T_{k-1}(X''') \ar@{->}'[d][dd] \ar[dr] \\
& T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] && T_{k-1}(X') \ar[dd] \\
%
E_k(X'') \ar@{->}'[r][rr] \ar@{=}[dr] && E_{k-1}(X''') \ar[dr] \\
& E_k(X'') \ar[rr] && E_{k-1}(X')
}
$$
Нам надо доказать коммутативность передней грани.
При этом все остальные грани коммутативны (верхняя и нижняя --- так как
$T_\bullet$ и $E_\bullet$ --- $\delta$-функторы, правая ---
в силу функториальности $f_{k-1}$, левая --- в силу равенств, а задняя --- по определению $f_k$).
Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.


В дальнейшем нам понадобится следующее свойство

\begin{lemma}
Если функтор $LF$ определен в $X$, то $\Hom(LF(X),W) \cong \dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Обозначим функтор $\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W)$ через $lF'(X)(W)$.
Построим вначале морфизм функторов $lF'(X) \to h^{LF(X)}$.
В самом деле, для всякого $W \in \CT'$ имеем морфизм
$$
lF'(X)(W) =
\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W) \stackrel{\lambda_F(Z)}\to
\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(LF(Z),W) \cong
\Hom(LF(X),W)
$$
(изоморфизм следует из того, что для всякого $s \in S(\CN)$ морфизм $LF(s)$ --- изоморфизм),
очевидно функториальный по $W$.
С другой стороны, пользуясь морфизмом $\lambda_F(X):F(X) \to LF(X)$, получаем морфизм
$$
\Hom(LF(X),W) \stackrel{\lambda_F(X)}\to \Hom(F(X),W) \to \dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W) = lF'(X)(W)
$$


$$
\Hom(LF(X),W) \cong
\Hom(\ilim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)}F(Z),W)
%
%
\Hom(h_LF(X),h_W) \cong
\Hom(\ilim_{(s:Z \to X)}h_{F(Z)},h_W) \cong
\dlim_{(s:Z \to X)} \Hom(h_{F(Z)},h_W) \cong
%
%
\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W)
$$
\end{proof}
