\documentclass{amsart}
\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\begin{document}


%\Name{Фильрации, спектральные последовательности, $t$-структуры}{Гомологическая алгебра 11}{03.12.2008}
\Name{$DG$-категории}{Гомологическая алгебра 12}{10.12.2008}



\Section{$DG$-категории и $DG$-функторы}

Важным источником триангулированных категорий являются $DG$-категории.
{\sf $DG$-категория} --- это $\ZZ$-категория $\CA$, на множествах морфизмов которой
введена структура комплексов (то есть градуировка и дифференциал степени 1),
такая что
%тождественный морфизм замкнут степени 0,
композиция морфизмов согласована с градуировкой и удовлетворяет правилу Лейбница.
Иначе говоря, для любых $X,Y \in \CA$ задан комплекс $(\Hom^\bullet(X,Y),d^\bullet_{X,Y})$,
так что
\begin{itemize}
%\item $\id_X \in \Hom^0(X,X)$, $d_{X,X}(\id_X) = 0$;
\item если $f \in \Hom^k(X,Y)$, $g \in \Hom^l(Y,Z)$, то $g\circ f \in \Hom^{k+l}(X,Z)$;
\item если $f \in \Hom^k(X,Y)$, $g \in \Hom^l(Y,Z)$, то $d_{X,Z}(g\circ f) = (d_{Y,Z} g)\circ f + (-1)^{l}g\circ (d_{X,Y}f)$.
\end{itemize}
Заметим, что тождественный морфизм обязан иметь степень ноль и быть замкнутым.
В самом деле, пусть $\id_X = \sum e_i$, $e_i \in \Hom^i(X,X)$. Тогда
$e_i = \id_X\circ e_i = \sum e_j\circ e_i$, откуда $e_0\circ e_i = e_i$.
С другой стороны, при $e_0 = e_0\circ\id_X = \sum e_0\circ e_i = \sum e_i$,
откуда $e_i = 0$ при $i\ne 0$. Наконец, из тождества Лейбница следует, что
$d(\id_X) = d(\id_X\circ\id_X) = d(\id_X)\circ\id_X + \id_X\circ d(\id_X) = 2d(\id_X)$,
откуда $d(\id_X) = 0$.

$DG$-категория с одним объектом называется $DG$-алгеброй.

Всякую $\ZZ$-категорию можно рассматривать как $DG$-категорию, вводя на морфизмах тривиальную
градуировку и дифференциал. Другой пример --- категория комплексов.
Пусть $\CB$ --- абелева категория. Рассмотрим категорию $\CC_\dg(\CB)$, объекты которой ---
комплексы над $\CB$, а морфизмы --- формулой
$$
\Hom^k(X^\bullet,Y^\bullet) = \prod_{i \in \ZZ} \Hom_\CB(X^i,Y^{i+k}),
\qquad
d_{X,Y}(f) = ( d_Y\circ f - (-1)^k f\circ d_X ),\ \text{если $f \in \Hom^k(X^\bullet,Y^\bullet)$}.
$$
Она является $DG$-категорией, так как
\begin{multline*}
(d_{Y,Z}g) f + (-1)^l g (d_{X,Y}f) =
(d_Z g - (-1)^l g d_Y) f + (-1)^l g (d_Y f - (-1)^k f d_X) = \\ =
d_Z g f - (-1)^l g d_Y f + (-1)^l g d_Y f - (-1)^{k+l} g f d_X) =
d_Z g f - (-1)^{k+l} g f d_X) =
d_{X,Z} (g f).
\end{multline*}

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- $DG$-категория. Покажите, что если в категории $\CA^\opp$ изменить
определение композиции морфизмов $f \in \Hom^k$ и $g \in \Hom^l$ на множитель $(-1)^{kl}$,
то получится $DG$-категория.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ и $\CA'$ --- $DG$-категории. Покажите, что категория
$\CA\otimes\CA'$ с классом объектов $\CA\times\CA'$ и морфизмами
$\Hom^\bullet((X,X'),(Y,Y')) = \Hom^\bullet_\CA(X,Y)\otimes\Hom_{\CA'}^\bullet(X',Y')$
является $DG$-категорией.
\end{exercise}


Всякой $DG$-категории $\CA$ можно сопоставить две $\ZZ$-категории $Z^0(\CA)$ и $H^0(\CA)$
с тем же множеством объектов и морфизмами
$$
\Hom_{Z^0(\CA)}(X,Y) = \Ker d_{X,Y}^0 \subset \Hom^0(X,Y),\qquad
\Hom_{H^0(\CA)}(X,Y) = H^0(\Hom^\bullet(X,Y), d_{X,Y}).
$$

\begin{exercise}
Покажите, что $Z^0(\CC_\dg(\CB)) = \Com(\CB)$, $H^0(\CC_\dg(\CB)) = \Hot(\CB)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) $H^0(\CA^\opp) = H^0(\CA)^\opp$;
(b) $H^0(\CA_1\times\CA_2) = H^0(\CA_1)\times H^0(\CA_2)$.
\end{exercise}

Таким образом, категория $H^0(\CA)$ для $DG$-категории $\CA$ является обобщением гомотопической категории.
Естественный вопрос --- в каких случаях категория $H^0(\CA)$ триангулирована.
Ответить на него помогают следующие понятия.

\Section{$DG$-функторы и $DG$-модули}

Функтор $F:\CA \to {\CA'}$ между $DG$-категориями называется {\sf $DG$-функтором}, если
для всех $X,Y \in \CA$ отображение $F:\Hom_\CA^\bullet(X,Y) \to \Hom_{\CA'}^\bullet(F(X),F(Y))$
является морфизмом комплексов (то есть сохраняет градуировку и коммутирует с дифференциалом).

Пусть $F,G:\CA \to {\CA'}$ --- $DG$-функторы. Определим $\Hom^n(F,G)$ как все
наборы $\phi_X \in \Hom_{\CA'}^n(F(X),G(X))$, такие что для всех $f \in \Hom^\bullet_\CA(X,Y)$
диаграмма
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^{F(f)} \ar[d]_{\phi_X} & F(Y) \ar[d]^{\phi_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(f)} & G(Y)
}
$$
коммутативна. Дифференциалы в $\Hom_{\CA'}^\bullet(F(X),G(X))$ индуцируют
на $\Hom^\bullet(F,G) = \oplus_n \Hom^n(F,G)$ структуру комплекса.

\begin{exercise}
Покажите, что\\
(a) всякий $DG$-функтор $F:\CA \to \CA'$ индуцирует  функтор $H^0(F):H^0(\CA) \to H^0(\CA')$;\\
(b) если $F,G$ --- $DG$-функторы, то существует естественное вложение $H^0(\Hom^\bullet(F,G)) \subset \Hom(H^0(F),H^0(G))$.
\end{exercise}


Пусть $\CA$ --- $DG$-категория над полем $\kk$. {\sf Левым $DG$-модулем над $\CA$}\/
называется $DG$-функтор $\CA \to \CC_\dg(\kk)$ из категории $\CA$ в $DG$-категорию комплексов.
{\sf Правым $DG$-модулем над $\CA$}\/ называется $DG$-функтор $\CA^\opp \to \CC_\dg(\kk)$.

\begin{example}
Рассмотрим алгебру $A$ как $DG$-категорию с одним объектом, имеющим алгебру эндоморфизмов~$A$.
Тогда $DG$-модуль над $A$ --- это комплекс $X^\bullet$ и морфизм комплексов $f:A \to \Hom^\bullet(X,X)$,
согласованный с умножением. Так как алгебра $A$ сосредоточена в степени 0, морфизм $f$ задается морфизмом
$A \to \Hom^0(X,X) = \prod_i \Hom(X_i,X_i)$. Его компоненты $f_i:A \to \Hom(X_i,X_i)$
позволяют ввести действие алгебры $A$ на каждом из $X_i$, причем легко видеть, что дифференциал
комплекса $X$ согласован с этим действием. Таким образом на $X$ возникает структура комплекса $A$-модулей.
\end{example}

Пусть $\CA$ --- малая $DG$-категория. Все $DG$-модули над $\CA$ образуют $DG$-категорию,
в которой комплекс $\Hom^\bullet$ определяется как комплекс для $DG$-функторов.
Эта категория обозначается $\CA\ldgMod$.

\begin{exercise}
Покажите, что если $A$ --- алгебра, то $A\ldgMod \cong \CC_\dg(A\lMod)$.
\end{exercise}

Всякому объекту $X$ категории $A$ можно сопоставить левый и правый $DG$-модули
$$
h^X = \Hom^\bullet(X,-),\qquad
h_X = \Hom^\bullet(-,X).
$$
Эти $DG$-модули называются {\sf свободными} (легко видеть, что свободный $DG$-модуль над категорией $A$ ---
это $A$, рассматриваемый как комплекс, сосредоточенный в степени 0).
Легко видеть, что $h^\bullet:X \mapsto h^X$ и $h_\bullet:X \mapsto h_X$ --- $DG$-функторы $\CA^\opp \to \CA\ldgMod$
и $\CA \to \rdgMod\CA$ соответственно. 


\begin{exercise}\label{dg-yon}
Покажите, что функторы $h^\bullet$ и $h_\bullet$ строго полны.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Если $\CA$ --- малая $DG$-категория, то категория $\CH(\CA) := H^0(\CA\ldgMod)$ --- триангулирована.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $M$ --- $DG$-модуль над $\CA$. Определим $M[1](X) = M(X)[1]$. Ясно, что $[1]$ --- автоморфизм
категории $\CA\ldgMod$. Аналогично, пусть $f:M \to N$ --- замкнутый морфизм $\CA$-$DG$-модулей степени~0,
то есть $f \in \Hom_{Z^0(\CA\ldgMod)}(M,N)$. Для каждого объекта $X$ категории $\CA$ он задает морфизм 
комплексов $f(A):M(A) \to N(A)$. Определим $DG$-модуль $C(f)$ формулой
$$
C(f)(A) = C(f(A)).
$$
В силу функториальности конуса морфизма на категории комплексов, $C(f)$ является $DG$-функтором
из категории $\CA$ в $\CC_\dg(\kk)$, то есть $DG$-модулем. При этом возникает естественный треугольник
$$
M \to N \to C(f) \to M[1].
$$
Определенный выше функтор сдвига и класс треугольников, изоморфных треугольникам
указанного вида, задает на $\CH(\CA) = H^0(\CA\ldgMod)$ структуру триангулированной категории.
В самом деле, доказательство триангулированности гомотопической категории дословно
проходит и в этой ситуации --- нужно только следить за функториальностью (по $\CA$)
всех возникающих морфизмов.
\end{proof}


\newpage

\Section{Производная категория $DG$-категории}


Морфизм $\CA$-$DG$-модулей $f:M \to N$ (замкнутый, степени 0) называется {\sf квазиизоморфизмом},
если для всех $X \in \CA$ морфизм комплексов $f_X:M(X) \to N(X)$ --- квазиизоморфизм.
Повторяя рассуждение для гомотопической категории, можно проверить следующее.

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- малая $DG$-категория. Докажите, что класс квазиизоморфизмов в категории $\CH(\CA)$
удовлетворяет условиям Оре и согласован с триангулированной структурой.
\end{exercise}

Локализация категории $\CH(\CA)$ относительно квазиизоморфизмов называется
{\sf производной категорией категории $\CA$-$DG$-модулей}\/ и обозначается $\D(\CA)$.
В силу предыдущего упражнения она триангулирована, а функтор локализации $\CH(\CA) \to \D(\CA)$ --- точен.

$DG$-модуль $M$ над $\CA$ называется {\sf ацикличным}, если для всех $X \in \CA$ комплекс $M(X)$ ацикличен.
Обозначим через $\Acycl(\CA) \subset \CH(\CA)$ подкатегорию ацикличных $DG$-модулей.
Ясно, что $\D(\CA) = \CH(\CA) / \Acycl(\CA)$.


Производные категории от малых $DG$-категорий --- достаточно большой класс триангулированных категорий.
Например, известно, что если $X$ --- схема достаточно общего вида (квазикомпактная и квазиотделимая),
то категория $\D(\QCoh(X))$ эквивалентна категории $\D(A)$ для $DG$-категории с одним объектом!
Ввиду вышесказанного очень полезна следующая теорема.
% для построения производных функторов между $DG$-категориями.



\begin{theorem}[Keller]
Подкатегория $\Acycl(\CA) \subset \CH(\CA)$ допустима.
В частности, всякий точный функтор $F:\CH(\CA) \to \CT$ 
имеет левый и правый производные функторы $RF,LF:\D(\CA) \to \CT$.
\end{theorem}

Правый и левый ортогоналы к $\Acycl(\CA)$ в $\CH(\CA)$ (то есть $h$-проективные и $h$-инъективные объекты)
описать не очень просто. Хотя очевидно, что всякий представимый $\CA$-модуль $h$-проективен,
а всякий копредставимый $\CA$-модуль $h$-инъективен.


%$DG$-функтор $F:\CA \to \CA'$ называется {\sf квазиэквивалентностью}, если
%\begin{itemize}
%\item для всех $X,Y \in \CA$ морфизм $F:\Hom_\CA(X,Y) \to \Hom_{\CA'}(F(X),F(Y))$ --- квазиизоморфизм;
%\item функтор $H^0(F):H^0(\CA) \to H^0(\CA')$ --- эквивалентность.
%\end{itemize}






\Section{Претриангулированные категории}

Как уже отмечалось, категория $H^0(\CA)$ сама бывает триангулированной.

\begin{lemma}
Вложение $h_\bullet:\CA \to \rdgMod\CA$ индуцирует функтор
$H^0(\CA) \to H^0(\rdgMod\CA) = \CH(\CA)$, являющийся строго полным.
\end{lemma}
\begin{proof}
Согласно $DG$-лемме Ионеда (упражнение~\ref{dg-yon}) функтор $h_\bullet$ индуцирует изоморфизм
комплексов $\Hom^\bullet(X,Y) \to \Hom^\bullet(h_X,h_Y)$, значит $H^0(h_\bullet)$
индуцирует изоморфизм их нулевых когомологий.
\end{proof}

Функтор $H^0(\CA) \to \CH(\CA)$ совершенно не обязан быть эквивалентностью.
Например, если $\CA = A$ --- категория с одним объектом, то его образ ---
сам комплекс $A$. Зато используя его легко установить критерий триангулированности 
категории $H^0(\CA)$. Будем говорить, что $DG$-модуль $M$ {\sf гомотопически представим},
если $M \cong h_X$ в категории $\CH(\CA)$ для какого-либо $X \in \CA$.


\begin{lemma}
Категория $H^0(\CA)$ триангулирована, если выполнены два условия:
\begin{itemize}
\item для любых $X \in \CA$, $t \in \ZZ$ правый $DG$-модуль $h_X[t]$ гомотопически представим;
\item для любого $f \in \Hom_{Z^0(\CA)}(X,Y)$ правый $DG$-модуль $C(h_f:h_X \to h_Y)$ гомотопически представим.
\end{itemize}
\end{lemma}
\begin{proof}
Указанные условия гарантируют инвариантность образа категории $H^0(\CA)$ в $\CH(\CA)$
относительно сдвигов и конусов морфизмов, а значит его триангулированность.
Но так как вкладывающий функтор строго полон, категория $H^0(\CA)$ эквивалентна
своему образу, а значит и сама триангулирована.
\end{proof}

$DG$-категория $\CA$, для которой выполнены условия леммы называется {\sf претриангулированной}.

\begin{exercise}
Покажите, что если $\CA,\CA'$ претриангулированные $DG$-категории, а
$F:\CA \to \CA'$ --- $DG$-функтор, то функтор $H^0(F):H^0(\CA) \to H^0(\CA')$ точен.
\end{exercise}


Для претриангулированной категории $\CA$ категория $H^0(\CA)$ триангулирована.
В противном случае, все равно можно рассмотреть триангулированную оболочку в $\CH(\CA)$
категории $H^0(\CA)$. Она обозначается $\CA^\tri$.

{\sf Скрученным комплексом над $\CA$} называется формальное выражение $(\oplus_{i=1}^n X_i[r_i],q)$, где
\begin{itemize}
\item $X_1,\dots,X_n \in \CA$;
\item $r_1,\dots,r_n \in \ZZ$; и
\item $q = (q_{ij})$, $q_{ij} \in \Hom^{r_i-r_j+1}(X_j,X_i)$,
\end{itemize}
таких что $dq + q^2 = 0$ (то есть $dq_{ij} + \sum_{k=1}^n q_{ik}q_{kj} = 0$ для всех $i,j$).
Скрученный комплекс называется {\sf односторонним}, если $q_{ij} = 0$ для $i \ge j$
(то есть матрица $q$ строго верхнетреугольная).
Всякий объект $X$ категории $\CA$ можно рассматривать как тривиальный скрученный комплекс,
полагая $n = 1$, $X_1 = X$, $r_1 = 0$, $q_{11} = 0$. Кроме того, всякий замкнутый морфизм $f:X \to Y$
в категории $\CA$ можно рассматривать как скрученный комплекс,
полагая $n = 2$, $X_1 = Y$, $X_2 = X$, $r_1 = r_2 = 0$, $q_{12} = f$. 

\begin{exercise}
Введите на скрученных комплексах структуру $DG$-категории, такую что 
односторонние и тривиальный скрученные комплексы являются в ней $DG$-подкатегориями.
\end{exercise}

Категория скрученных комплексов над $\CA$ обозначается $\Tw(\CA)$, а категория
односторонних скрученных комплексов --- $\Tw^+(\CA)$.

\begin{exercise}
Постройте строго полный $DG$-функтор $\tot:\Tw(\CA) \to \rdgMod\CA$, такой что
$\tot_{|\CA} = h_\bullet$. 
Покажите, что функтор $H^0(\tot):H^0(\Tw(\CA)) \to \CH(\CA)$ строго полон,
и что $H^0(\Tw^+(\CA)) = \CA^\tri$.
В частности, категория $\Tw^+(\CA)$ претриангулирована.
%Покажите, что 
%всякий скрученный комплекс $(\oplus_{i=1}^n X_i[r_i],q)$ 
%задает $DG$-модуль $\TX$ над $\CA$, такой что $\TX = \oplus_{i=1}^n h_{X_i}[r_i]$, $d_\TX = d + q$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- претриангулированная $DG$-категория.
Покажите, что функтор $\CA \to \Tw^+(\CA)$ имеет квазиобратный $DG$-функтор 
$\tot^+:\Tw^+(\CA) \to \CA$, такой что $\tot \cong h_\bullet\circ\tot^+$.
Проверьте, что сопоставление $f \in \Hom_{Z^0(\CA)}(X,Y) \mapsto C(f) := \tot^+(X\oplus Y,f) \in \CA$
(``конус морфизма'') $DG$-функториально.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%Покажите, что категория $\Tw^+(\CA)$ вместе с $DG$-функторм $\CA \to \Tw^+(\CA)$
%удовлетворяют универсальному свойству --- если $F:\CA \to \tilde{\CA}$ --- $DG$-функтор
%в претриангулированную $DG$-категорию $\tilde{\CA}$
%\end{exercise}


%Можно показать, что для всякой $DG$-категории существует минимальная 
%претриангулированная категория $\CA^\pretr$, содержащая ее и такая, что 
%$H^0(\CA^\pretr) = \CA^\tri$. Удобнее всего описать ее следующим образом.

%\newpage

\Section{Оснащения}

{\sf Оснащением триангулированной категории $\CT$} называется 
претриангулированная $DG$-категория $\CA$ и точная эквивалентность $\alpha:H^0(\CA) \to \CT$.
{\sf Оснащением точного функтора $F:\CT \to \CT'$} между оснащенными триангулированными 
категориями называется $DG$-функтор $\TF:\CA \to \CA'$ между оснащениями и морфизм функторов
$\epsilon_F:F\circ\alpha \to \alpha'\circ H^0(\TF)$, делающий диаграмму
$$
\xymatrix{
H^0(\CA) \ar[rr]^{H^0(\TF)} \ar[d]_\alpha && H^0(\CA') \ar[d]^{\alpha'} \\ \CT \ar[rr]^F && \CT'
}
$$
коммутативной. {\sf Оснащением морфизма $\phi:F \to G$ оснащенных функторов}\/
называется замкнутый морфизм $DG$-функторов $\tilde\phi:\tilde{F} \to \tilde{G}$, такой что 
диаграмма
$$
\xymatrix{
F\circ\alpha \ar[rr]^{\epsilon_F} \ar[d]_{\phi} && \alpha'\circ\tilde{F} \ar[d]^{H^0(\tilde\phi)} \\ 
G\circ\alpha \ar[rr]^{\epsilon_G} && \alpha'\circ\tilde{G}
}
$$
коммутативна.

Наличие оснащения на триангулированной категории имеет множество следствий.
Например, такое.

\begin{lemma}
Пусть $\CT$ --- оснащенная триангулированная категория. Тогда существует точный бифунктор
$R\Hom : \CT^\opp\times\CT \to \D^b(\kk)$, такой что $H^i(R\Hom(X,Y)) = \Hom(X,Y[i])$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $(\CA,\alpha)$ --- оснащение для $\CT$. По определению $DG$-категории имеем 
бифунктор $\Hom^\bullet:\CA^\opp\times\CA \to \CC_\dg(\kk)$. Переходя к $H^0$ получаем
точный бифунктор $H^0(\CA^\opp)\times H^0(\CA) \to H^0(\CC_\dg(\kk))$.
Но $H^0(\CC_\dg(\kk)) = \Hot(\kk) = \D(\kk)$, поэтому пользуясь оснащением,
получаем искомый бифунктор.
\end{proof}

Аналогично, наличие оснащения на морфизме функторов очень полезно.

\begin{lemma}
Пусть $\phi:F \to G$ --- морфимзм оснащенных функторов $\CT \to \CT'$, допускающий оснащение.
Тогда существует точный функтор $H:\CT \to \CT'$ и морфизмы функторов $\psi:G \to H$, $\chi:H \to F[1]$,
такие что для всех $X$ в $\CT$ треугольник $F(X) \to G(X) \to H(X) \to F(X)[1]$ точен.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $\tilde{F}, \tilde{G}$ --- оснащения функторов $F,G$, а $\tilde{\phi}:\tilde{F} \to \tilde{G}$ --- 
оснащение морфизма $\phi$. Положим $\tilde{H}(X) = C(\tilde{\phi}_X:\tilde{F}(X) \to \tilde{G}(X))$
и обозначим через $\tilde{\psi}_X$, $\tilde{\chi_X}$ морфизмы в каноническом треугольнике
$$
\xymatrix@1{\tilde{F}(X) \ar[r]^{\tilde{\phi}_X} & \tilde{G}(X) \ar[r]^{\tilde{\psi}_X} & \tilde{H}(X) \ar[r]^{\tilde{\chi}_X} & \tilde{F}(X)[1]}
$$
Ввиду функториальности конуса, $\tilde{H}$ --- $DG$-функтор из $\CA$ в $\CA'$, а $\tilde\psi$
и $\tilde\chi$ --- морфизмы $DG$-функторов. Переходя к $H^0$ получаем искомый треугольник на уровне
триангулированных категорий.
\end{proof}

%В завершение приведем примеры оснащений.
%
%\begin{exercise}
%Покажите, что
%(a) производная категория малой $DG$-категории допускает оснащение; 
%(b) 
%(c)
%(d)
%\end{exercise}


\end{document}

\Section{}

\begin{lemma}
\end{lemma}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что
\end{exercise}

\Section{Спектральные последовательности}


%Предположим в триангулированной категории

%Пусть $F^\bullet X$ --- фильтрация на комплексе $X \in \D(\CA)$.
%Рассмотрим


Пусть $F^\bullet X$ --- фильтрация на объекте $X$ триангулированной категории  $\CT$.
Рассмотрим






Пусть $\CA \subset \CB$ --- строго полная аддитивная подкатегория в аддитивной категории, и пусть функтор вложения $i:\CA \to \CB$
(он автоматически аддитивен) обладает левым сопряженным функтором $i^*$.

\begin{lemma}
Если морфизм $\xymatrix@1{i(X) \ar[r]^{i(f)} & i(Y)}$ имеет ядро в $\CB$,
то $\Ker f = i^*(\Ker i(f))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В силу изоморфизма $\Hom(i^*(\Ker f),X) \cong \Hom(\Ker f,i(X))$ естественный морфизм
$\kappa:\Ker f \to i(X)$ индуцирует морфизм $\kappa':i^*(\Ker f) \to X$.
\end{proof}


\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item
\end{enumerate}
\end{examples}


Также используются {\sf контравариантные функторы}, меняющие направление морфизмов.
Здесь полезно понятие {\sf противоположной категории}. Если $\CC$ --- категория,
определим категорию $\CC^\opp$ так:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\CC^\opp$ категория.
\end{exercise}
{\sf Контравариантный функтор} из $\CC$ в $\D$ --- это ковариантный функтор из $\CC^\opp$ в $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item кольцо функций $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item группа Галуа $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Функторы можно компонировать.
\begin{exercise}
Покажите, что композиция двух ковариантных или двух контравариантных функторов ковариантна,
а композиция ковариантного и контравариантного функторов контравариантна. Проверьте,
что операция компонирования функторов ассоциативна.
\end{exercise}

Функтор $F:\CC \to \D$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- вложение для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf полным}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- сюръекция для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf строго полным} или {\sf вполне строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- изоморфизм для всех $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} и \eqref{i-fun} строго полные;
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} и \eqref{fr-fun} строгие, но не полные.
\end{enumerate}
\end{examples}
Определим {\sf декартово произведение категорий} $\CC$ и $\D$. По определению
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
Функтор $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ называется также {\sf бифунктором}.
\begin{exercise}
Покажите, что $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- бифунктор.
\end{exercise}
%\newpage
\Section{Морфизмы функторов}
Пусть $F,G:\CC \to D$ --- функторы. {\sf Морфизм функторов} (или {\sf естественное преобразование})
$\alpha:F \to G$ --- это набор морфизмов $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ для всех $X \in \CC$, такой что
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{для всех $X,Y \in \CC$ и $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$
Морфизмы функторов можно компонировать друг с другом и с функторами.
\begin{exercise}
(a) Пусть $F,G,H:\CC \to \D$, а $\alpha:F \to G$ и $\beta:G \to H$ --- морфизмы функторов.
Покажите, что $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- морфизм функторов.
(b) Пусть $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ и $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- функторы,
а $\alpha:G \to G'$ --- морфизм функторов. Покажите, что
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ и $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- морфизмы функторов.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Постройте морфизмы функторов
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%Определите композицию морфизмов функторов.
Покажите, что если категория $\CC$ --- {\sf малая} (то есть $\Ob\CC$ --- множество),
то для любой категории $\D$ все функторы из $\CC$ в $\D$ образуют категорию $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Покажите, что $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}
Морфизм функторов $\alpha:F \to G$ называется {\sf изоморфизмом}, если существует
морфизм функторов $\beta:G \to F$, такой что $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.
%\begin{exercise}
%Пусть $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- функторы.
%Покажите, что $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
Таким образом, все малые категории с функторами в качестве морфизмов
образуют категорию $\Cats$. На самом деле, ее естественнее рассматривать
как 2-категорию --- помимо объектов и морфизмов в ней есть 2-морфизмы
(то есть морфизмы между морфизмами --- в нашем примере естественные
преобразования функторов). При этом $\Cats$ является строгой 2-категорией
(композиция 1-морфизмов ассоциативна), хотя вообще в 2-категориях
композиция 1-морфизмов предполагается ассоциативной только с точностью
до 2-изоморфизма.
\end{remark}
Функтор $F:\CC \to \D$ называется {\sf эквивалентностью}, если существует функтор $G:\D \to \CC$,
так что $F\circ G \cong \id_\D$ и $G \circ F \cong \id_\CC$. Функтор $G$ называется {\sf квазиобратным} к $F$.
\begin{remark}
Более привычно выглядит понятие изоморфизма категорий, в отличии от эквивалентности, предполагающего
равенства $F\circ G = \id_\D$ и $G \circ F = \id_\CC$. Однако, на практике, изоморфизмов категорий
практически не встречается, в то время как содержательных эквивалентностей весьма много.
\end{remark}
\begin{exercise}
Пусть $\Cov(X)$ --- категория накрытий топологического пространства $X$,
а $G$-$\Sets$ --- категория множеств с действием группы $G = \pi_1(X,x_0)$,
где $x_0 \in X$ --- фиксированная точка.
Покажите, что функтор $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
эквивалентность (но не изоморфизмом!) этих категорий.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{fun-prod}
Покажите, что $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}
Легко видеть, что всякая эквивалентность является строго полным функтором и индуцирует
изоморфизм множеств классов изоморфизма объектов. Верно и обратное.
\begin{lemma}\label{crit-equ}
Функтор $F:\CC \to \D$ является эквивалентностью $\LRA$ $F$ строго полон
и существенно сюръективен, то есть $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ такой что $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}
Доказательство будет дано чуть позже.
\Section{Представимые функторы}

Пусть $\CC$ --- категория. Всякому объекту $X \in \CC$ сопоставим функторы
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
Функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ называется {\sf представимым}, если он изоморфен функтору $h_X$
для какого-либо $X \in \CC$. Аналогично, функтор $F:\CC \to \Sets$ называется {\sf копредставимым},
если он изоморфен функтору $h^X$ для какого-либо $X \in \CC$. Объект $X$ в этом случае, называется
{\sf представляющим} ({\sf копредставляющим}) функтор $F$.
\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функторы забвения $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ копредставимы;
(b) функтор $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ представим.
\end{exercise}
Очень полезным утверждением является лемма Ионеды.
\begin{lemma}
$(a)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ имеем $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ имеем $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем пункт $(b)$ (пункт $(a)$ доказывается аналогично, а $(c)$ очевидно следует из $(a)$ и $(b)$).
Пусть $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. Рассмотрим морфизм $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (заметим, что $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ так как $F$ контравариантен).
Легко видеть, что морфизмы $s_Y$ образуют морфизм функторов $h_X \to F$.
Обратно, пусть $\alpha:h_X \to F$ --- морфизм функторов. Тогда $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
отображение множеств. Заметим, что $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
Рассмотрим $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.
Таким образом мы построили отображения между множествами $\Hom(h_X,F)$ и $F(X)$.
Покажем, что они взаимно обратны. В самом деле, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
Остается показать, что $\alpha_Y = s_Y$ для всех $Y$.
Для этого для каждого $\phi \in \Hom(Y,X)$ рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
Ясно, что $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ верхней стрелкой переводится в $s$,
который правой стрелкой переводится в $F(\phi)(s)$.
С другой стороны, левой стрелкой $\id_X$ переводится в $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
который нижней стрелкой переводится в $\alpha_Y(\phi)$.
Значит $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Если функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ представим, то объект, представляющий его,
определен однозначно с точностью до изоморфизма. То же относится и к копредставимым функторам.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $h_X \cong F \cong h_Y$. Тогда изоморфизм $h_X \cong h_Y$ дает изоморфизм $X \cong Y$.
\end{proof}
\begin{exercise}
Покажите, что если $\CC$ --- малая категория, то функторы $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ и
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- строго полные функторы.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%Категория $\CC$ называется {\sf насыщенной}, если всякий функтор $\CC \to \Sets$ копредставим,
%а всякий функтор $\CC^\opp \to \Sets$ представим.
%Покажите, что для любой малой категории $\CC$ категория $\Fun(\CC,\Sets)$ насыщена.
%\end{exercise}

Представимые функторы часто используются для категорной переформулировки стандартных конструкций.
Пусть $X_1,X_2 \in \CC$. Рассмотрим функтор $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. Объект, представляющий этот функтор (если он представим),
называется {\sf произведением} объектов $X_1$ и $X_2$. Аналогично, {\sf копроизведением} объектов
$X_1$ и $X_2$ называется объект, копредставляющий функтор $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (если он копредставим).
Аналогично определяются произведения и копроизведения любого множества объектов.
\begin{exercise}
(a) Докажите, что в категориях $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
существуют произведения и копроизведения любого множества объектов.
(b) Проверьте, что произведение в категории $\Comp$ компактных топологических пространств
существует и является тихоновским произведением.
\end{exercise}
Другой пример --- начальный и конечный объекты.
{\sf Начальный объект} --- это объект $0_\CC$, копредставляющий функтор $I(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$,
а {\sf конечный объект} --- это объект $1_\CC$, представляющий функтор $T(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$.
\begin{exercise}
Покажите, что если $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, то $0_\CC \cong 1_\CC$.
Найдите начальный и конечный объекты в категориях $\Sets$ и других категориях.
\end{exercise}

\Section{Сопряженные функторы}
Пусть $F:\CC \to \D$ и $G:\D \to \CC$ --- функторы.
Говорят, что $F$ --- {\sf сопряжен слева к $G$}, а $G$ --- {\sf сопряжен справа к~$F$},
если для всех $X \in \CC$, $Y \in \D$ заданы изоморфизмы
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ функториальные по обоим аргументам
(то есть, при фиксированном $X$ морфизмы $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ функториальны,
и при фиксированном $Y$ морфизмы $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ функториальны).
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item тождественный функтор сопряжен сам себе;
\item функтор $\scm:\Groups \to \Ab$ из примера~\ref{ex-fun}(5) сопряжен слева к функтору вложения $\si:\Ab \to \Groups$;
\item функторы $\sfr$ из примера~\ref{ex-fun}(4) сопряжены слева к функторам $\sfg$ из примера~\ref{ex-fun}(3).
\item если $F:\CC \to \D$ --- эквивалентность, а $G:\D \to \CC$ --- квазиобратный функтор, то $G$
сопряжен к $F$ и справа и слева.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{adjuc}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных функторов. Тогда существуют морфизмы функторов
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, а
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%композиции
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ по сопряженности. Обозначим черех $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
морфизм, соответствующий морфизму $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. Аналогично, $\eta_Y$ соответствует
$\id_{G(Y)}$ при изоморфизме $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
В силу функториальности изоморфизма $\xi$ имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
Морфизм $\id_X$ одной парой стрелок переводится в $\xi_{X,Y}(\phi)$, а другой --- в $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
Второе равенство проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функторы $F$ и $G$ сопряжены друг другу $\LRA$ найдутся морфизмы
функторов $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
композиции
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть вначале $F$ сопряжен слева к $G$. Определим $\epsilon$ и $\eta$ как в лемме~\ref{adjuc}.
Тогда для любого морфизма $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ имеем
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
Подставим $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. Получим
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, то есть тождественность первой композиции.
Тождественность второй проверяется аналогично.
Пусть теперь $F$ и $G$ произвольные, а $\epsilon$ и $\eta$ заданы.
Зададим морфизмы $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ и $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
формулами $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ и $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
В ней квадрат коммутативен в силу функториальности $\eta$, а треугольник --- по условию.
Отсюда получаем $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
Равенство $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функтор $F$ имеет правый сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(F(-),Y)$ представим   для всех $Y \in \D$.
Функтор $G$ имеет левый  сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(X,G(-))$ копредставим для всех $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем изоморфизмы $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ для всех $Y \in \D$
и положим $G(Y) = Y'$. Рассмотрим морфизм $\phi:Y_1 \to Y_2$. Композиция
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
индуцирует некоторый морфизм $G(Y_1) \to G(Y_2)$, что задает дейтсвие $G$ на морфизмах.
Функториальность очевидна.
%Второе утверждение проверяется аналогично.
\end{proof}
Воспользуемся полученными результатами для доказательства леммы~\ref{crit-equ}. Действительно, если
$F$ строго полон и существенно сюръективен, то для всякого $Y \in \D$ существует $X \in \CC$,
такой что $F(X) \cong Y$, значит $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
представимый функтор, следовательно существует правый сопряженный к $F$ функтор $G$.
Пусть $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- соответствующие
морфизмы функторов. Покажем, что они изоморфизмы. Рассмотрим вначале морфизм
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. Применяя функтор $\Hom(X',-)$ получаем морфизм
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, являющийся композицией морфизма $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
и $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, и следовательно изоморфизмом.
Значит $\epsilon_X$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
а значит и сам является изоморфизмом. Рассмотрим теперь морфизм $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
Применяя функтор $\Hom(F(X),-)$ получаем морфизм
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. Его композиция с морфизмом
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ равна морфизму $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
следовательно является изоморфизмом. Но всякий объект $Y' \in \D$ изоморфен объекту $F(X)$ для подходящего $X$,
значит морфизм $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ тоже является изоморфизмом. Таким образом
$\eta_Y$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
а значит и сам является изоморфизмом.
В завершение, приведем пример функторов, определяемых через понятие сопряженности.
Пусть $\CI$ --- малая категория (рассматриваемая как категория индексов).
Рассмотрим функтор проекции $\CC\times\CI \to \CC$. В силу Упр.~\ref{fun-prod}
он дает функтор $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, который мы будем называть постоянным функтором
и обозначать $\Delta$. Для всякого $F \in \Fun(\CI,\CC)$ рассмотрим функторы $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{и}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(первый контравариантен, второй ковариантен). Если эти функторы (ко)представимы, то
(ко)представляю\-щий объект
называется {\sf обратным пределом} (или просто {\sf пределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\ilim_\CI F(i)$ в первом случае,
и {\sf прямым пределом} (или {\sf копределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\dlim_\CI F(i)$  во втором.
В силу свойств представимых функторов, если пределы существуют, то определены однозначно
(с точностью до изоморфизма). Более того, если пределы определены для всех $F$, они являются функторами
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ и $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ соответственно.
\begin{exercise}
(a) Покажите, что если категория $\CI$ {\sf дискретна} (то есть $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ для $i \ne j$),
то $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ и $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) Обозначим через $\CI_{\text{\rm discr}}$ дискретную категорию с $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
Постройте морфизмы функторов $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ и
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}

\end{document}
\begin{definition}
Моноид --- это тройка $(M,\circ,1)$,
состоящая из множества $M$, бинарной операции $\circ$ на $M$
(т.е.\ отображения $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
и элемента $e\in M$, таких что выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[M1] \say{Ассоциативность}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{Аксиома единицы}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $M=\Map(X,X)$ --- множество отображений из множества $X$ в себя,
$\circ$ --- операция композиции отображений, $e=\Id_X$ --- тождественное
отображение.
\item $M=\Map(X,M')$ --- множество отображений из множества $X$ в моноид $M'$,
$\circ$ --- поточечное умножение ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
где $\circ'$ --- операция в $M'$), $e\equiv e'$ --- функция,
тождественно равная единице моноида $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Легко убедиться, что единица во всяком моноиде единственна.
Действительно, если $e'$ --- другая единица, то
$e' = e'\cdot e = e$. Поэтому при задании моноида можно не
указывать его единицу --- достаточно лишь проверить ее существование.
%Моноид $M$ называется \say{коммутативным}, если
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\begin{lemma}
Если $x_1,\dots,x_n$ --- элементы моноида, то все способы расстановки
скобок в произведении $x_1\circ\dots\circ x_n$ дают одинаковый результат.
\end{lemma}
Доказательство --- индукция по $n$.
\begin{definition}
Моноид $M$ называется коммутативным, если
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}
Как правило, в коммутативных моноидах операция записывается аддитивно
($x\circ y =: x+y$), а в некоммутативных мультипликативно ($x\circ y =: xy$).
Произведение $n$ одинаковых элементов
$x\circ\dots\circ x$ обозначается
через $x^n$, при этом удобно положить $x^0=e$. Легко проверить, что
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
для всех неотрицательных $m$ и $n$. При аддитивной записи операции в моноиде
пользуются обозначением $nx$ вместо $x^n$. При этом свойство $(\ref{prop1})$
приобретает вид $nx + mx = (n+m)x$.
Элемент $x$ в моноиде $M$ называется \say{обратимым}, если существуют
элемент $y$ (\say{левый  обратный}), такой что $y\circ x = e$; и
элемент $z$ (\say{правый обратный}), такой что $x\circ z = e$.
\begin{lemma}\label{inv}
Если $x$ --- обратим, то всякий левый обратный к $x$ равен всякому правому
обратному к $x$.
\end{lemma}
Доказательство:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Тем самым, для любого обратимого элемента $x$ существует единственный элемент,
являющийся одновременно правым и левым обратным к $x$. Этот элемент
обозначается $x^{-1}$ (при аддитивной записи: $-x$) и называется
обратным к $x$.
Далее, удобно обозначить $(x^{-1})^n$ через $x^{-n}$ (при аддитивной
записи $-nx$). Тогда свойство $(\ref{prop1})$ становится верным при
любых целых $n$ и $m$.
\begin{definition}
Группа --- это моноид, в котором все элементы обратимы.
\end{definition}
\begin{lemma}
Если $M$ --- моноид, то множество $M^*$ обратимых элементов в $M$
является группой.
\end{lemma}
Доказательство:
Достаточно проверить, что множество $M^*$ замкнуто относительно
операции $\circ$, то есть что для любых обратимых элементов $x,y\in M$
произведение $x\circ y$ --- тоже обратимо. Действительно, ясно, что
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
то есть элемент $y^{-1}\circ x^{-1}$ является обратным к $x\circ y$.\qed
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.
\item $(\ZZ,+)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\QQ^*,\cdot)$ (варианты: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).
\item \say{Группа перестановок} (симметрическая группа) $\FS_n$ ---
множество изоморфизмов из $n$-элементного множества $\{1,\dots,n\}$
на себя с операцией композиции отображений.
\item $G = \Map(X,G')$ --- множество отображений из множества $X$
в группу $G'$.
\item Группы автоморфизмов (см.\ лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{canc}
Если в группе $G$ выполнено одно из равенств $x\circ y=x\circ z$ или
$y\circ x=z\circ x$, то $y=z$.
\end{lemma}
Доказательство: если $x\circ y=x\circ z$, то
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Второй случай разбирается аналогично.
Группа называется коммутативной, если она коммутативна как моноид.
Коммутативные группы также называются \say{абелевыми}.

\Section{Кольца и поля}
\begin{definition}
Кольцо--- это набор $(R,+,\cdot,0,1)$,
состоящий из множества $R$, бинарных операций $+$ (сложение) и
$\cdot$ (умножение) на $R$ и элементов $0,1\in R$, таких что
%$R$ является абелевой группой относительно сложения
выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- абелева группа.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- моноид.
\item[R3] \say{Дистрибутивность (билинейность) умножения}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}
Умножение в кольце часто записывают в виде $xy=x\cdot y$.
Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.
\item $\ZZ$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $R=\Map(X,R')$ --- множество отображений из множества $X$
в кольцо $R'$ с поточечными операциями.
\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{многочленов} (\say{полиномов}) с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{формальных степенных рядов} с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- кольцо матриц размера $n$ на $n$
с коэффициентами в кольце $R'$. Элементы $R$ --- это таблицы вида
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
с покомпонентным сложением; умножением, задаваемым формулой
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{где }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
нулевой матрицей в качестве 0 и диагональной матрицей
с единицами на диагонале в качестве 1.
\item Кольца эндоморфизмов (см. лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}
Если $R$ --- кольцо, то $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
Доказательство:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
и остается применить лемму~\ref{canc} к аддитивной группе кольца.
\begin{definition}
Кольцо, в котором $0\ne 1$ и все элементы кроме нуля являются
группой относительно умножения, называется \say{телом},
а если оно к тому же коммутативно, то \say{полем}.
\end{definition}
Некоммутативные тела встречаются достаточно редко; простейший пример ---
тело кватернионов $\HH$. С полями дело обстоит значительно лучше.
\begin{examples} Примеры полей.
\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, где $p$ --- простое число.
\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.
\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- поле рациональных
функций с коэффициентами в поле $K'$.
\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- поле (формальных) рядов Лорана с коэффициентами в поле $K'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
\Section{Гомоморфизмы}
\begin{definition}
Гомоморфизм групп (моноидов) $f:G\to G'$ --- это отображение, такое что
$f(e)=e'$ и $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
Гомоморфизм колец (полей) $f:R\to R'$ --- это отображение, являющееся
гомоморфизмом их аддитивной группы и мультипликативного моноида.
\end{definition}
\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item Если $G$ --- группа, а $x\in G$, то отображение $n\mapsto x^n$
является гомоморфизмом групп $\ZZ\to G$.
\item Если $R$ --- кольцо, а $x\in R$, то отображение $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
является гомоморфизмом колец $\ZZ\to R$.
\item Проекция $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ является гомоморфизмом колец.
\item Отображения $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ и
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ являются гомоморфизмами групп.
\item Отображение вычисления $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
является гомоморфизмом групп.
\item Если $R$ --- коммутативное кольцо, и $r\in R$,
то отображение вычисления $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
является гомоморфизмом колец.
\item Всякий элемент кольца $R$ можно рассматривать как многочлен степени 0,
а всякий многочлен можно рассматривать как формальный степенной ряд,
все члены которого, начиная с некоторого места равны нулю. Тем самым
задаются гомоморфизмы колец $R \to R[x]$ и $R[x] \to R[[x]]$.
%\item Если $f:R\to R'$ --- гомоморфизм колец, и $r\in R$, то
%отображение $\tilde{f}:R'[x]\to R$, переводящее
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ в $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%гомоморфизм колец.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{hom1}
Композиция гомоморфизмов является гомоморфизмом.
Если $f:M\to M'$ --- гомоморфизм моноидов, а $x\in M$ --- обратимый
элемент, то $f(x)\in M'$ --- обратим и $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
Доказательство:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
откуда следует первая часть леммы. Для доказательства второй части
достаточно заметить, что
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, то есть
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed

Гомоморфизм (моноидов, групп, колец, полей, и т.д.) $f:M\to M'$ называется
\say{эпиморфизмом} (сюръекцией, наложением), если
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ т.ч. $f(x)=z$.
Гомоморфизм $f$ называется \say{мономорфизмом} (инъекцией, вложением),
если из равенства $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, следует $x=y$.
Гомоморфизм $f:M\to M'$ называется \say{изоморфизмом}, если
существует гомоморфизм $g:M'\to M$, такой что
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.
\begin{lemma}
Гомоморфизм групп (колец) является изоморфизмом $\LRA$
он является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
\end{lemma}
Доказательство: всякий изоморфизм биективен, следовательно
является мономорфизмом и эпиморфизмом. Обратно, если гомоморфизм
является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то он биективен,
следовательно существует обратное отображение, которое (легко проверить)
является гомоморфизмом. \qed

Всякий гомоморфизм из (моноида, группы, кольца, поля, и т.д.) в себя
называется \say{эндоморфизмом}. Эндоморфизм, являющийся изоморфизмом,
называется \say{автоморфизмом}.
\begin{lemma}\label{endaut}
Если $M$ --- любая алгебраическая структура (моноид, группа, кольцо, поле),
то множество его автоморфизмов $\Aut(M)$ является группой. Если $M$ ---
абелева группа, то множество ее эндоморфизмов $\End(M)$ является кольцом.
\end{lemma}
Доказательство: из леммы~\ref{hom1} следует, что $\End(M)$ является моноидом
относительно операции композиции эндоморфизмов, а $\Aut(M)$ является
множеством его обратимых эементов, следовательно $\Aut(M)$ --- группа.
Если же $M$ является абелевой группой, то на $\End(M)$ есть операция
поточечного сложения ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), так что $\End(M)$ становится
кольцом.\qed
\begin{definition}
Ядром гомоморфизма групп $f:G\to G'$ называется
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. Образом гомоморфизма
групп $f:G\to G'$ называется $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
Аналогично, ядром гомоморфизма колец $f:R\to R'$ называется
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. Образом гомоморфизма колец $f:R\to R'$
называется $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}
Легко видеть, что ядро и образ гомоморфизма групп $f:G\to G'$
являются \say{подгруппами} (то есть подмножествами, являющимися
группами относительно индуцированной операции) в $G$ и $G'$ соотв.
Аналогично, ядро и образ гомоморфизма колец $f:R\to R'$
являются \say{подкольцами} (то есть подмножествами, являющимися
кольцами относительно индуцированных операций) в $R$ и $R'$ соотв.
\begin{lemma}
Гомоморфизм $f$ групп (колец) является мономорфизмом $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ соотв.).
Гомоморфизм моноидов $f:M\to M'$ является эпиморфизмом $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
Доказательство: пусть $f:M\to M'$ --- гомоморфизм групп и $f(x)=f(y)$. Тогда
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
следовательно $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. Далее очевидно.
\begin{corollary}\label{field_mono}
Любой гомоморфизм из поля в кольцо является вложением.
\end{corollary}
Доказательство: по лемме~\ref{hom1} любой обратимый элемент
поля (относительно мультипликативной структуры) переходит
в обратимый элемент. Следовательно, всякий ненулевой элемент
переходит не в ноль. В частности, ядро гомоморфизма равно нулю,
следовательно гомоморфизм --- вложение. \qed

\Section{Прямые произведения}
Пусть $(M_1,\circ_1,e_1)$ и $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- моноиды.
Тогда на произведении
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
возникает структура моноида:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
Этот моноид называется \say{прямым произведением} моноидов $M_1$ и $M_2$.
\begin{lemma}
Произведение групп (колец) является группой (кольцом).
\end{lemma}
Доказательство: очевидно.
Напротив, легко проверить, что произведение полей является кольцом,
но не полем. Действительно, в произведении полей $K\times L$ имеем
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
следовательно элементы $(1_K,0_L)$ и $(0_K,1_L)$ необратимы.
\end{document}





Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.





В самом деле, пусть $P'$ --- другая накрывающая, такая что морфизм $P' \to X$ пропускается через $P$.
Пусть $X'' = \Ker(P' \to X)$. Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X'' \ar[r] \ar[d] & P' \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & P \ar[r] & X \ar[r] & 0
}
$$


Из единственности легко следует, что $f_k:T_k \to E_k$ --- морфизм функторов.

Проверим теперь, что $f_k$ и $f_{k-1}$ коммутируют с $\delta_{k-1}$.
Рассмотрим точный последовательности $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ и $0 \to X''' \to P \to X'' \to 0$,
где $P$ --- накрывающая для $X$, такая --- что $E_k(P) = 0$, а $X''' = \Ker(P \to X'')$.
Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X''' \ar[r] \ar[d] & P \ar[r] \ar[d] & X'' \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & X \ar[r] & X'' \ar[r] & 0
}
$$
которая дает кубическую диаграмму
$$
\xymatrix@!=3ex{
T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] \ar@{=}[dr] && T_{k-1}(X''') \ar@{->}'[d][dd] \ar[dr] \\
& T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] && T_{k-1}(X') \ar[dd] \\
%
E_k(X'') \ar@{->}'[r][rr] \ar@{=}[dr] && E_{k-1}(X''') \ar[dr] \\
& E_k(X'') \ar[rr] && E_{k-1}(X')
}
$$
Нам надо доказать коммутативность передней грани.
При этом все остальные грани коммутативны (верхняя и нижняя --- так как
$T_\bullet$ и $E_\bullet$ --- $\delta$-функторы, правая ---
в силу функториальности $f_{k-1}$, левая --- в силу равенств, а задняя --- по определению $f_k$).
Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.


В дальнейшем нам понадобится следующее свойство

\begin{lemma}
Если функтор $LF$ определен в $X$, то $\Hom(LF(X),W) \cong \dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Обозначим функтор $\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W)$ через $lF'(X)(W)$.
Построим вначале морфизм функторов $lF'(X) \to h^{LF(X)}$.
В самом деле, для всякого $W \in \CT'$ имеем морфизм
$$
lF'(X)(W) =
\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W) \stackrel{\lambda_F(Z)}\to
\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(LF(Z),W) \cong
\Hom(LF(X),W)
$$
(изоморфизм следует из того, что для всякого $s \in S(\CN)$ морфизм $LF(s)$ --- изоморфизм),
очевидно функториальный по $W$.
С другой стороны, пользуясь морфизмом $\lambda_F(X):F(X) \to LF(X)$, получаем морфизм
$$
\Hom(LF(X),W) \stackrel{\lambda_F(X)}\to \Hom(F(X),W) \to \dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W) = lF'(X)(W)
$$


$$
\Hom(LF(X),W) \cong
\Hom(\ilim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)}F(Z),W)
%
%
\Hom(h_LF(X),h_W) \cong
\Hom(\ilim_{(s:Z \to X)}h_{F(Z)},h_W) \cong
\dlim_{(s:Z \to X)} \Hom(h_{F(Z)},h_W) \cong
%
%
\dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),W)
$$
\end{proof}
