\documentclass{amsart}
\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\begin{document}
\Name{Абелевы категории}{Гомологическая алгебра 1}{18.09.2008}

\Section{Аддитивные категории}
Категория $\CC$ называется {\sf $\ZZ$-категорией}, если
\begin{description}
\item[AB1] на множествах $\Hom_\CC(X,Y)$ заданы структуры абелевых
групп, так что отображение композиции $\Hom_\CC(X,Y)\times\Hom_\CC(Y,Z) \to \Hom_\CC(X,Z)$
билинейно.
\end{description}
{\sf Аддитивная категория} --- это $\ZZ$-категория $\CA$, в которой
\begin{description}
\item[AB2] начальный $0_\CA$ и конечный $1_\CA$ объект существуют и равны, т.е. $\Hom_\CA(0_\CA,X) = \Hom_\CA(X,0_\CA) = 0$;
\item[AB3] сущестуют попарные (а значит и конечные) произведения.
\end{description}
\begin{exercise}
Категории абелевых групп $\Ab$, левых и правых модулей над кольцом $R\lmod$ и $\rmod R$,
векторных расслоений на топологическом пространстве $\VB(X)$, пучков абелевых групп $\Sh(X)$
и квазикогерентных пучков на алгебраическом многообразии $\Qcoh(X)$ аддитивны.
Категория $*_M$ является $\ZZ$-категорией $\LRA$ $M$ --- кольцо с единицей, но не является аддитивной.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Если $\CA$ ---  аддитивная категория, то категория $\Fun(\CC,\CA)$ аддитивна
для любой малой категории $\CC$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
В аддитивной категории произведение является также и копроизведением: $X\sqcup Y \cong X\times Y$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Напомним, что $\Hom(Z,X\times Y) = \Hom(Z,X)\times\Hom(Z,Y)$.
Морфизм $\id_{X\times Y}$ дает пару морфизмов $p_X:X\times Y \to X$ и $p_Y:X\times Y \to Y$,
причем вышеуказанный изоморфизм переводит $\phi \in \Hom(Z,X\times Y)$ в $(p_X\circ\phi,p_Y\circ\phi)$
(это следует из доказательства леммы Ионеды --- изоморфизм $\Hom(Z,U) = h_U(Z) \cong F(Z)$ задается
применением морфизма $F(\phi):F(U) \to F(Z)$ к образу $\id_U \in h_U(U)$ в $F(U)$).
Обозначим через $i_X:X \to X\times Y$ морфизм, соответствующий
паре $(\id_X,0) \in \Hom(X,X)\times\Hom(X,Y)$, а через $i_Y:Y \to X\times Y$ морфизм,
соответствующий паре $(0,\id_Y) \in \Hom(Y,X)\times\Hom(Y,Y)$.
Тогда в силу вышеприведенного замечания имеем
\begin{equation}\label{pi}
p_X\circ i_X = \id_X,\quad
p_Y\circ i_X = 0,\qquad
p_X\circ i_Y = 0,\quad
p_Y\circ i_Y = \id_Y.
\end{equation}
Заметим также, что выполняется равенство
\begin{equation}\label{ip}
i_X\circ p_X + i_Y\circ p_Y = \id_{X\times Y}.
\end{equation}
В самом деле,
$p_X\circ(i_X\circ p_X + i_Y\circ p_Y) =
(p_X\circ i_X)\circ p_X + (p_X\circ i_Y)\circ p_Y =
\id_X \circ p_X + 0\circ p_Y = p_X$ и аналогично
$p_Y\circ(i_X\circ p_X + i_Y\circ p_Y) = p_Y$.
Теперь построим морфизмы между $\Hom(X,Z)\times\Hom(Y,Z)$ и $\Hom(X\times Y,Z)$ формулами
$$
(\phi,\psi) \mapsto \phi\circ p_X + \psi\circ p_Y,
\qquad
\chi \mapsto (\chi\circ i_X,\chi\circ i_Y).
$$
Легко видеть, что $\chi\circ i_X\circ p_X + \chi\circ i_Y\circ p_Y = \chi\circ(i_X\circ p_X + i_Y\circ p_Y) = \chi$,
$(\phi\circ p_X + \psi\circ p_Y)\circ i_X = \phi\circ p_X\circ i_X + \psi\circ p_Y\circ i_X = \phi$
и аналогично
$(\phi\circ p_X + \psi\circ p_Y)\circ i_Y = \psi$. Таким образом $h^{X\times Y} \cong h^X\times h^Y$, что и требовалось.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что в аддитивной категории любые конечные произведения
существуют и совпадают с копроизведениями. Проверьте, что при этом
бесконечные копроизведения вообще говоря отличаются от произведений.
\end{exercise}

В дальнейшем, для обозначении конечных (ко)произведений в аддитивной категории
будем пользоваться знаком $\oplus$.

\begin{exercise}\label{dcum-crit}
Пусть $Z$ --- объект в аддитивной категории $\CA$ и даны морфизмы
$i'_X:X \to Z$, $i'_Y:Y \to Z$, $p'_X:Z \to X$, $p'_Y:Z \to Y$,
удовлетворяющие условиям~\eqref{pi} и~\eqref{ip}. Покажите, что
существует единственный изоморфизм $\phi:Z \to X\times Y$, для которого
$p_X\circ\phi = p'_X$, $p_Y\circ\phi = p'_Y$,
$\phi\circ i'_X = i_X$, $\phi\circ i'_Y = i_Y$.
\end{exercise}

Для любых объектов $X,Y$ в произвольной категории $\CC$
определены морфизмы $\Delta_X = \id_X\times\id_X:X \to X\times X$
и $\nabla_Y = \id_Y\sqcup\id_Y:Y \sqcup Y \to Y$.
Кроме того, для любых $f \in \Hom(X_1,Y_1)$, $g \in \Hom(X_1,Y_2)$
определен морфизм $f\times g:\Hom(X_1\times X_2, Y_1\times Y_2)$
(он соответствует морфизмам $f\circ p_{X_1}:X_1\times X_2 \to X_1 \to Y_1$
и $g\circ p_{X_2}:X_1\times X_2 \to X_2 \to Y_2$).
%%
%
%$\Hom(X_1\sqcup X_2,Y_1\times Y_2) = \prod_{i,j}\Hom(X_j,Y_i)$, поэтому если
%$f_{ij} \in \Hom(X_j,Y_i)$, то определен морфизм
%$\left(\begin{smallmatrix}f_{11},f_{12}\\f_{21},f_{22}\end{smallmatrix}\right):X_1\sqcup X_2 \to Y_1\times Y_2$.
%%
%
%$f,g \in \Hom(X,Y)$, то определен морфизм
%$$
%(\id_Y\times 0)\circ(f\sqcup 0) + (0\times\id_Y)\circ(0\sqcup g)\id_X\times\id_X:X \sqcup X \to Y \to Y\times Y.
%$$
%Если категория $\CC$ аддитивна и $f,g\in\Hom(X,Y)$, получаем морфизмы $\Delta_X:X \to X\oplus X$, $\nabla_Y:Y\oplus Y \to Y$ и
%$f\oplus g := \left(\begin{smallmatrix}f,0\\0,g\end{smallmatrix}\right):X\oplus X \to Y\oplus Y$.
\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- аддитивна, $f,g \in \Hom(X,Y)$.
Покажите, что $f + g = \nabla_Y \circ (f \times g) \circ \Delta_X$.
\end{exercise}
\begin{remark}
Отсюда видно, что аддитивность --- это не дополнительная структура на категории,
а ее свойство. Категрия $\CC$ аддитивна $\LRA$ в $\CC$ существуют начальный объект,
совпадающий с конечным, произведения, совпадающие с копроизведениями, и операция,
определяемая формулой из упражнения задает структуру абелевой группы на морфизмах, 
относительно которой композиция билинейна.
\end{remark}

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) если $\CA$ аддитивна, то $\CA^\opp$ тоже аддитивна;
(b) если $\CA$ и $\CB$ аддитивны, то $\CA\times\CB$ тоже аддитивна.
\end{exercise}



\Section{Аддитивные функторы}

Функтор $F:\CA \to \CB$ между аддитивными категориями {\sf аддитивен},
если $F:\Hom(X,Y) \to \Hom(F(X),F(Y))$ --- гомоморфизм абелевых групп
для всех $X,Y \in \CA$.

\begin{examples}\label{ex-funadd}
Следующие функторы аддитивны:
\begin{enumerate}
\item функтор забвения $\sfg:R\lmod \to \Ab$;
\item функтор сечений $\Gamma:\VB(X) \to \Sh(X)$;
\item функтор прямой суммы $\oplus:\CA\times\CA \to \CA$;
\item тензорное умножение на $R$-модуль $R\lmod \to \Ab$ (если $R$ коммутативно, то $R\lmod \to R\lmod$);
\item ограничения скаляров $B\lmod \to A\lmod$, если $B$ --- $A$-алгебра;
\item расширения скаляров $A\lmod \to B\lmod$, если $B$ --- $A$-алгебра;
\item функторы прямого и обратного образа $f_*:\Sh(X) \to \Sh(Y)$, $f^*:\VB(Y) \to \VB(X)$,
если $f:X \to Y$ морфизм многообразий.
\end{enumerate}
\end{examples}

Пример важного неаддитивного функтора --- функтор тензорного квадрата $M \mapsto M\otimes M$, $R\lmod \to R\lmod$,
где $R$ --- коммутативное кольцо.

\begin{lemma}
Если $F:\CA \to \CB$ --- аддитивный функтор между аддитивными категориями,
то существует канонический изоморфизм $F(X\oplus Y) \cong F(X) \oplus F(Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Применим к~\eqref{pi} и~\eqref{ip} функтор $F$ и воспользуемся упражнением~\ref{dcum-crit}.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что категория $\Funadd(\CA,\CB)$ аддитивных функторов аддитивна
и является строго полной подкатегорией в $\Fun(\CA,\CB)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{biadd}
Покажите, что эквивалентность $\Fun(\CA\times\CB,\CC) \cong \Fun(\CA,\Fun(\CB,\CC))$
отождествляет подкатегории $\Funadd(\CA\times\CB,\CC)$ и $\Funadd(\CA,\Funadd(\CB,\CC))$.
\end{exercise}

Если категория $\CA$ аддитивна, то $h_X(Y) = \Hom(Y,X)$ --- абелева группа.
Значит представимый функтор $h_X$ мы можем (и будем!) рассматривать
как функтор $\CA^\opp \to \Ab$ (а функтор $h_X$ в старом смысле получается
его композицией с $\sfg:\Ab\to\Sets$). То же относится и к копредставимым функторам.

\begin{exercise}
Покажите, что (ко)представимые функторы аддитивны.
Проверьте, что функторы
$h_*:\CA \to \Funadd(\CA^\opp,\Ab)$ и $h^*:\CA^\opp \to \Funadd(\CA,\Ab)$ аддитивны.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $F:\CA \to \CB$ --- аддитивный функтор между аддитивными категориями.
Если $F$ обладает сопряженным функтором $G$, то $G$ также аддитивен,
а изоморфизм сопряжения согласован со структурами абелевых групп.
\end{lemma}
\begin{proof}
Разберем случай, когда $G$ --- правый сопряженный к $F$.
Тогда изоморфизм сопряжения $\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$ задается формулой
$\psi \mapsto \eta_Y\circ F(\psi)$, где $\eta:F\circ G \to \id_\CB$ --- коединица сопряжения.
Отображение $\psi \mapsto F(\psi)$ аддитивно, так как функтор $F$ аддитивен, а отображение
$\phi\mapsto \eta_Y\circ\phi$ аддитивно, так как категория $\CB$ аддитивна.
Наконец аддитивность функтора $G$ следует из упр.~\ref{biadd} ---
функтор $\Hom(-,G(-)) \cong \Hom(F(-),-):\CA^\opp\times\CB \to \Ab$ аддитивен в силу аддитивности $F$,
значит $G$ тоже аддитивен.
\end{proof}




\Section{Абелевы категории}

Пусть $\CA$ и $\CB$ --- аддитивные категории, а $\alpha:F \to G$ ---  морфизм
аддитивных функторов из $\CA$ в $\CB$. Определим функтор
$\Ker \alpha$ формулой
% и $\Coker \alpha$ формулами
$$
\Ker\alpha(X) := \Ker (\xymatrix@1{F(X) \ar[r]^{\alpha_X} & G(X)}).
%,\qquad
%\Coker\alpha(X) := \Coker (\xymatrix@1{F(X) \ar[r]^{\alpha_X} & G(X)}).
$$
Легко видеть, что это аддитивный функтор. В самом деле, для всякого морфизма $\phi:X \to Y$
имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & \Ker\alpha(X) \ar[r] \ar@{-->}[d] & F(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{F(\phi)} & G(X) \ar[d]_{G(\phi)} \\
%\ar[r] & \Coker\alpha(X) \ar@{-->}[d] \ar[r] & 0 \\
0 \ar[r] & \Ker\alpha(Y) \ar[r] & F(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & G(Y)
%\ar[r] & \Coker\alpha(Y) \ar[r] & 0
}
$$
Легко видеть, что пунктирная стрелка существует и единственна, откуда следует
функториальность ядра, а также его аддитивность. Кроме того, ясно что из функтора
$\Ker\alpha$ есть естественный морфизм в функтор~$F$, являющийся вложением.

Пусть теперь $f:X \to Y$ --- морфизм в аддитивной категории $\CA$.
{\sf Ядром $f$}\/ называется объект $\Ker f$, представляющий функтор $\Ker h_f:h_X \to h_Y$ (если он существует),
а {\sf коядром $f$}\/ называется объект $\Coker f$, копредставляющий функтор $\Ker h^f:h^Y \to h^X$ (если он существует).
Заметим, что морфизмы функторов $\Ker h_f \to h_X$ и $\Ker h^f \to h^Y$ по лемме Ионеды дают морфизмы
$\kappa:\Ker f \to X$ и $\gamma:Y \to \Coker f$.

\begin{exercise}
Покажите, что в категориях $\Ab$, $R\lmod$, $\rmod R$ категорные ядра и коядра совпадают с обычными ядрами и коядрами.
\end{exercise}

С коядрами в категории пучков ситуация сложнее. Дело в том, что наивное коядро морфизма пучков не является пучком
(оно только предпучок). Однако, функтор вложения $\Sh(X) \to \PreSh(X)$ категории пучков в категорию предпучков
обладает левым сопряженным функтором $a:\PreSh(X) \to \Sh(X)$ (функтором пучковизации) и можно показать, что
пучковизация наивного ядра является ядром в категорном смысле.

\begin{exercise}
Пусть $\CA \subset \CB$ --- строго полная аддитивная подкатегория в аддитивной категории, и пусть функтор вложения $i:\CA \to \CB$
(он автоматически аддитивен) обладает левым сопряженным функтором $a:\CB \to \CA$.
Покажите, что если морфизм $i(f):i(X) \to i(Y)$ имеет ядро в $\CB$,
то $a(\Ker i(f))$ --- ядро морфизма $f$ в $\CA$.
\end{exercise}

\begin{lemma}\label{kercoker}
Пусть $f:X \to Y$ --- произвольный морфизм.\\
$(a)$ Если $\exists\Ker f$ и $g:X' \to X$, то $f\circ g = 0$ $\LRA$ $g = \kappa\circ g'$ для некоторого единственного $g':X' \to \Ker f$.\\
$(b)$ Если $\exists\Coker f$ и $h:Y \to Y'$, то $h\circ f = 0$ $\LRA$ $h = h'\circ\gamma$ для некоторого единственного $h':\Coker f \to Y'$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем (a). Ясно, что $f\circ g = 0$ $\LRA$
$g \in h_X(X')$ лежит в ядре $h_f:h_X(X') \to h_Y(X')$, то есть в $(\Ker h_f)(X')$,
что равносильно тому, что $g = \kappa\circ g'$ для некоторого $g':X' \to \Ker f$.
Такой морфизм $g'$ единственнен, так как $(\Ker h_f)(X') \subset h_X(X')$.
%
%
%Во-первых, $h_{f\circ\kappa} = h_f\circ h_\kappa = 0$ по определению ядра.
%Значит $f\circ\kappa = 0$ по лемме Ионеды, и следовательно, если $g = \kappa\circ g'$,
%то $f\circ g = f\circ\kappa\circ g' = 0$. Обратно, пусть $f\circ g = 0$. Значит
%$g \in h_X(X')$ лежит в ядре
\end{proof}

\begin{exercise}
Предположим, что в аддитивной категории $\CA$ существуют ядра у всех морфизмов.
Покажите, что $(f:X \to Y) \mapsto (\kappa:\Ker f \to X)$ является аддитивным функтором
из категории представлений колчана $\bullet \to \bullet$ в $\CA$
({\sf категории стрелок в $\CA$}) в себя. Аналогично для коядер.
\end{exercise}


{\sf Кообразом морфизма} $f:X \to Y$ называется коядро ядра $f$ (то есть естественного морфизма $\Ker f \to X$), а
{\sf образом морфизма} $f$ --- ядро коядра $f$ (то есть естественного морфизма $Y \to \Coker f$):
$$
\Coim f = \Coker(\Ker f \to X),\qquad
\Im f = \Ker(Y \to \Coker f).
$$

\begin{lemma}
Если у морфизма $f:X \to Y$ существуют образ и кообраз, то
существует единственный морфизм $\bar{f}:\Coim f \to \Im f$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix{
\Ker f \ar[r]^-\kappa & X \ar[r]^-f \ar[d]_{\gamma'} & Y \ar[r]^-\gamma & \Coker f \\
& \Coim f \ar[r]^-{\bar{f}} & \Im f \ar[u]_{\kappa'}
}
$$
коммутативна.
\end{lemma}
\begin{proof}
По лемме~\ref{kercoker}(a) имеем $f\circ\kappa = 0$.
Значит по лемме~\ref{kercoker}(b) существует единственный морфизм $f':\Coim f \to Y$,
такой что $f = f'\circ\gamma'$. Покажем, что $\gamma\circ f' = 0$. В самом деле,
$\gamma\circ f'\circ \gamma' = \gamma\circ f = 0$ по лемме~\ref{kercoker}(b),
но в то же время $\gamma\circ 0 = 0$. Значит в силу единственности в лемме~\ref{kercoker}(b)
имеем $\gamma\circ f' = 0$. Применяя теперь лемму~\ref{kercoker}(a), находим $\bar{f}$.
\end{proof}

Аддитивная категория $\CA$ называется {\sf абелевой}, если
\begin{description}
\item[AB4] у всех морфизмов в $\CA$ существуют ядра и коядра, а естественный морфизм
кообраза в образ морфизма --- изоморфизм.
\end{description}

\begin{exercise}
Покажите, что категории $\Ab$, $R\lmod$, $R\rmod$, $\Sh(X)$, $\Qcoh(X)$ абелевы, а $\VB(X)$ --- не абелева.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что если категории $\CA$ и $\CB$ абелевы, то
(a) $\CA^\opp$ абелева;
(b) $\CA\times\CB$ абелева;
(c) $\Fun(\CC,\CA)$ абелева для любой малой категории $\CC$.
\end{exercise}

Морфизм с нулевым ядром называется {\sf мономорфизмом} (или {\sf вложением, инъекцией}),
а морфизм с нулевым коядром --- {\sf эпиморфизмом} (или {\sf сюръекцией}).
Объект $X$, для которого задан мономорфизм $X \to Y$, называется {\sf подобъектом в $Y$} (обозначается $X \subset Y$), а
объект $X$, для которого задан эпиморфизм $Y \to X$, называется {\sf факторобъектом объекта $Y$} (обозначается $Y \twoheadrightarrow X$).
Легко видеть, что категории подобъектов и факторобъектов фиксированного объекта изоморфны
и эквивалентны некоторому частично упорядоченному множеству.

\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм.
Покажите, что
(a) естественный морфизм $\Ker f \to X$ инъективен, а $Y \to \Coker f$ --- сюръективен;
(b) $f$ --- изоморфизм $\LRA$ $f$ инъективен и сюръективен.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{props-kc}
Пусть $f:X \to Y$ и $g:Y \to Z$ --- морфизмы в абелевой категории.
Покажите, что\\
(a) $\Ker f \subset \Ker (g\circ f)$, а если $\Ker g = 0$, то $\Ker f = \Ker(g\circ f)$;\\
(b) $\Coker (g\circ f) \twoheadrightarrow \Coker g$, а если $\Coker f = 0$, то  $\Coker(g\circ f) = \Coker g$;\\
%(a) $g\circ f$ инъективен $\RA$ $f$ инъективен;
%(b) $f$ и $g$ инъективны $\RA$ $g\circ f$ инъективен;
%(c) $g\circ f$ сюръективен $\RA$ $g$ сюръективен; 
%(d) $f$ и $g$ сюръективны $\RA$ $g\circ f$ сюръективен;
(c) если $f$ сюръективен, то $g = 0$ $\LRA$ $g\circ f = 0$;
(d) если $g$ инъективен, то $f = 0$ $\LRA$ $g\circ f = 0$.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Всякий морфизм $f:X \to Y$ в абелевой категории может быть единственным образом представлен
в виде композиции сюръекции $f':X \to I$ и инъекции $f'':I \to Y$. При этом $I \cong \Coim f \cong \Im f$,
а морфизмы $f'$ и $f''$ при этом отождествлении совпадают с $\gamma'$ и $\kappa'$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\gamma'$ сюръективен, а $\kappa'$ инъективен в силу упражнения.
Поэтому достаточно проверить единственность. Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
\Ker f \ar[r]^-\kappa & X \ar[rr]^-f \ar[dd]_{\gamma'} \ar[dr]_{f'} && Y \ar[r]^-\gamma & \Coker f \\
&& I \ar[ur]_{f''} \ar@{..>}[dr]^{i''} \\
& \Coim f \ar[rr]^-{\bar{f}}_\cong \ar@{..>}[ur]^{i'} && \Im f \ar[uu]_{\kappa'}
}
$$
Покажем, что $\gamma\circ f'' = 0$. В самом деле,
$\gamma\circ f''\circ f' = \gamma\circ f = 0$, но $f'$ сюръективен,
поэтому $\gamma\circ f'' = 0$. Значит существует единственный морфизм
$i'':I \to \Im f$, такой что $f'' = \kappa'\circ i''$, причем из инъективности $f''$
следует инъективность $i''$. Аналогично строится сюръективный морфизм $i':\Coim f \to I$.
Заметим, что по построению $\kappa'\circ i''\circ i'\circ\gamma' = f''\circ f' = f$,
поэтому в силу единственности $\bar{f}$ получаем $i''\circ i' = \bar{f}$. Так как $\bar{f}$
изоморфизм, отсюда следует инъективность $i'$ и сюръективность $i''$. Значит оба они --- изоморфизмы.
Итак, $f' = i'\circ\gamma'$, $f'' = \kappa'\circ i'' = \kappa'\circ\bar{f}\circ(i')^{-1}$.
\end{proof}

%\Section{Точные последовательности}

Последовательность морфизмов $\xymatrix@1{\dots \ar[r] & X^{i-1} \ar[r]^-{f^{i-1}} & X^i \ar[r]^-{f^i} & X^{i+1} \ar[r] & \dots}$
называется {\sf комплексом}, если для всех $i$ выполняется условие $f^i\circ f^{i-1} = 0$.

\begin{exercise}
Покажите, что последовательность морфизмов --- комплекс $\LRA$ $\Im f^{i-1} \subset \Ker f^i$.
\end{exercise}

Комплекс называется {\sf точным в члене $X^i$}, если $\Im f^{i-1} = \Ker f^i$.
Комплекс вида $0 \to X \to Y \to Z \to 0$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf точным слева}, если он точен в $X$ и $Y$;
\item {\sf точным справа}, если он точен в $Y$ и $Z$;
\item {\sf точным в середине}, если он точен в $Y$;
\item {\sf точным}, если он точен в $X$, $Y$ и $Z$.
\end{itemize}

Ясно, что точные слева тройки имеют вид $0 \to \Ker f \to X \stackrel{f}\to Y$,
а точные справа тройки имеют вид $X \stackrel{f}\to Y \to \Coker f \to 0$.

\begin{lemma}\label{crit-exact}
Тройка $0 \to X \to Y \to Z$ точна слева $\LRA$ 
$0 \to \Hom(A,X) \to \Hom(A,Y) \to \Hom(A,Z)$ точна слева при всех $A$.
Тройка $X \to Y \to Z \to 0$ точна справа $\LRA$ 
$0 \to \Hom(Z,A) \to \Hom(Y,A) \to \Hom(X,A)$ точна слева при всех $A$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Точность слева последовательности $0 \to \Hom(Z,A) \to \Hom(Y,A) \to \Hom(X,A)$ при всех $A$
равносильна тому, что $h^Z = \Ker h^f$, то есть тому, что $Z = \Coker f$, то есть точности справа
тройки $0 \to X \to Y \to Z \to 0$. Первое утверждение доказывается аналогично.
\end{proof}


\Section{Точные функторы}

Функтор $F:\CA \to \CB$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf точным слева}, если он всякую точную тройку переводит в последовательность точную слева;
\item {\sf точным справа}, если он всякую точную тройку переводит в последовательность точную справа;
%\item {\sf точным в середине}, если он всякую точную тройку переводит в последовательность точную в середине;
\item {\sf точным}, если он всякую точную тройку переводит в точную тройку.
\end{itemize}

\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы $\sfg$, $\oplus$ и ограничение скаляров из примера~\ref{ex-funadd} точны;
\item функторы $\Gamma$ и $f_*$ из примера~\ref{ex-funadd} точны слева;
\item функторы $\otimes$, $f^*$ и расширение скаляров из примера~\ref{ex-funadd} точны справа.
\end{enumerate}
\end{examples}

\begin{exercise}
Покажите, что ковариантный функтор точен слева (справа) $\LRA$ он всякую точную слева (справа) тройку
переводит в тройку точную слева (справа).
\end{exercise}

\begin{lemma}
Функторы $h_A = \Hom(-,A):\CA^\opp \to \Ab$ и $h^A = \Hom(A,-):\CA \to \Ab$ точны слева.
\end{lemma}
\begin{proof}
Это немедленно следует из леммы~\ref{crit-exact}.
\end{proof}

\begin{lemma}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных аддитивных функторов.
Тогда $F$ точен справа, а $G$ слева.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $X \to Y \to Z \to 0$ --- точная справа тройка.
Применяя функтор $F$ получим тройку $F(X) \to F(Y) \to F(Z) \to 0$.
В силу леммы~\ref{crit-exact} для этого достаточно проверить, что для всех $A$ последовательность
$0 \to \Hom(F(Z),A) \to \Hom(F(Y),A) \to \Hom(F(X),A)$ точна слева.
Но пользуясь сопряженностью функторов, ее можно переписать в виде
$0 \to \Hom(Z,G(A)) \to \Hom(Y,G(A)) \to \Hom(X,G(A))$, и ее точность 
следует из той же леммы.
\end{proof}





\end{document}

\begin{lemma}
\end{lemma}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что
\end{exercise}



Пусть $\CA \subset \CB$ --- строго полная аддитивная подкатегория в аддитивной категории, и пусть функтор вложения $i:\CA \to \CB$
(он автоматически аддитивен) обладает левым сопряженным функтором $i^*$.

\begin{lemma}
Если морфизм $\xymatrix@1{i(X) \ar[r]^{i(f)} & i(Y)}$ имеет ядро в $\CB$,
то $\Ker f = i^*(\Ker i(f))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В силу изоморфизма $\Hom(i^*(\Ker f),X) \cong \Hom(\Ker f,i(X))$ естественный морфизм
$\kappa:\Ker f \to i(X)$ индуцирует морфизм $\kappa':i^*(\Ker f) \to X$.
\end{proof}


\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item
\end{enumerate}
\end{examples}


Также используются {\sf контравариантные функторы}, меняющие направление морфизмов.
Здесь полезно понятие {\sf противоположной категории}. Если $\CC$ --- категория,
определим категорию $\CC^\opp$ так:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\CC^\opp$ категория.
\end{exercise}
{\sf Контравариантный функтор} из $\CC$ в $\D$ --- это ковариантный функтор из $\CC^\opp$ в $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item кольцо функций $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item группа Галуа $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Функторы можно компонировать.
\begin{exercise}
Покажите, что композиция двух ковариантных или двух контравариантных функторов ковариантна,
а композиция ковариантного и контравариантного функторов контравариантна. Проверьте,
что операция компонирования функторов ассоциативна.
\end{exercise}

Функтор $F:\CC \to \D$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- вложение для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf полным}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- сюръекция для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf строго полным} или {\sf вполне строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- изоморфизм для всех $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} и \eqref{i-fun} строго полные;
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} и \eqref{fr-fun} строгие, но не полные.
\end{enumerate}
\end{examples}
Определим {\sf декартово произведение категорий} $\CC$ и $\D$. По определению
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
Функтор $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ называется также {\sf бифунктором}.
\begin{exercise}
Покажите, что $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- бифунктор.
\end{exercise}
%\newpage
\Section{Морфизмы функторов}
Пусть $F,G:\CC \to D$ --- функторы. {\sf Морфизм функторов} (или {\sf естественное преобразование})
$\alpha:F \to G$ --- это набор морфизмов $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ для всех $X \in \CC$, такой что
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{для всех $X,Y \in \CC$ и $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$
Морфизмы функторов можно компонировать друг с другом и с функторами.
\begin{exercise}
(a) Пусть $F,G,H:\CC \to \D$, а $\alpha:F \to G$ и $\beta:G \to H$ --- морфизмы функторов.
Покажите, что $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- морфизм функторов.
(b) Пусть $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ и $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- функторы,
а $\alpha:G \to G'$ --- морфизм функторов. Покажите, что
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ и $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- морфизмы функторов.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Постройте морфизмы функторов
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%Определите композицию морфизмов функторов.
Покажите, что если категория $\CC$ --- {\sf малая} (то есть $\Ob\CC$ --- множество),
то для любой категории $\D$ все функторы из $\CC$ в $\D$ образуют категорию $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Покажите, что $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}
Морфизм функторов $\alpha:F \to G$ называется {\sf изоморфизмом}, если существует
морфизм функторов $\beta:G \to F$, такой что $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.
%\begin{exercise}
%Пусть $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- функторы.
%Покажите, что $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
Таким образом, все малые категории с функторами в качестве морфизмов
образуют категорию $\Cats$. На самом деле, ее естественнее рассматривать
как 2-категорию --- помимо объектов и морфизмов в ней есть 2-морфизмы
(то есть морфизмы между морфизмами --- в нашем примере естественные
преобразования функторов). При этом $\Cats$ является строгой 2-категорией
(композиция 1-морфизмов ассоциативна), хотя вообще в 2-категориях
композиция 1-морфизмов предполагается ассоциативной только с точностью
до 2-изоморфизма.
\end{remark}
Функтор $F:\CC \to \D$ называется {\sf эквивалентностью}, если существует функтор $G:\D \to \CC$,
так что $F\circ G \cong \id_\D$ и $G \circ F \cong \id_\CC$. Функтор $G$ называется {\sf квазиобратным} к $F$.
\begin{remark}
Более привычно выглядит понятие изоморфизма категорий, в отличии от эквивалентности, предполагающего
равенства $F\circ G = \id_\D$ и $G \circ F = \id_\CC$. Однако, на практике, изоморфизмов категорий
практически не встречается, в то время как содержательных эквивалентностей весьма много.
\end{remark}
\begin{exercise}
Пусть $\Cov(X)$ --- категория накрытий топологического пространства $X$,
а $G$-$\Sets$ --- категория множеств с действием группы $G = \pi_1(X,x_0)$,
где $x_0 \in X$ --- фиксированная точка.
Покажите, что функтор $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
эквивалентность (но не изоморфизмом!) этих категорий.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{fun-prod}
Покажите, что $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}
Легко видеть, что всякая эквивалентность является строго полным функтором и индуцирует
изоморфизм множеств классов изоморфизма объектов. Верно и обратное.
\begin{lemma}\label{crit-equ}
Функтор $F:\CC \to \D$ является эквивалентностью $\LRA$ $F$ строго полон
и существенно сюръективен, то есть $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ такой что $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}
Доказательство будет дано чуть позже.
\Section{Представимые функторы}

Пусть $\CC$ --- категория. Всякому объекту $X \in \CC$ сопоставим функторы
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
Функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ называется {\sf представимым}, если он изоморфен функтору $h_X$
для какого-либо $X \in \CC$. Аналогично, функтор $F:\CC \to \Sets$ называется {\sf копредставимым},
если он изоморфен функтору $h^X$ для какого-либо $X \in \CC$. Объект $X$ в этом случае, называется
{\sf представляющим} ({\sf копредставляющим}) функтор $F$.
\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функторы забвения $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ копредставимы;
(b) функтор $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ представим.
\end{exercise}
Очень полезным утверждением является лемма Ионеды.
\begin{lemma}
$(a)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ имеем $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ имеем $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем пункт $(b)$ (пункт $(a)$ доказывается аналогично, а $(c)$ очевидно следует из $(a)$ и $(b)$).
Пусть $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. Рассмотрим морфизм $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (заметим, что $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ так как $F$ контравариантен).
Легко видеть, что морфизмы $s_Y$ образуют морфизм функторов $h_X \to F$.
Обратно, пусть $\alpha:h_X \to F$ --- морфизм функторов. Тогда $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
отображение множеств. Заметим, что $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
Рассмотрим $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.
Таким образом мы построили отображения между множествами $\Hom(h_X,F)$ и $F(X)$.
Покажем, что они взаимно обратны. В самом деле, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
Остается показать, что $\alpha_Y = s_Y$ для всех $Y$.
Для этого для каждого $\phi \in \Hom(Y,X)$ рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
Ясно, что $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ верхней стрелкой переводится в $s$,
который правой стрелкой переводится в $F(\phi)(s)$.
С другой стороны, левой стрелкой $\id_X$ переводится в $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
который нижней стрелкой переводится в $\alpha_Y(\phi)$.
Значит $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Если функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ представим, то объект, представляющий его,
определен однозначно с точностью до изоморфизма. То же относится и к копредставимым функторам.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $h_X \cong F \cong h_Y$. Тогда изоморфизм $h_X \cong h_Y$ дает изоморфизм $X \cong Y$.
\end{proof}
\begin{exercise}
Покажите, что если $\CC$ --- малая категория, то функторы $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ и
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- строго полные функторы.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%Категория $\CC$ называется {\sf насыщенной}, если всякий функтор $\CC \to \Sets$ копредставим,
%а всякий функтор $\CC^\opp \to \Sets$ представим.
%Покажите, что для любой малой категории $\CC$ категория $\Fun(\CC,\Sets)$ насыщена.
%\end{exercise}

Представимые функторы часто используются для категорной переформулировки стандартных конструкций.
Пусть $X_1,X_2 \in \CC$. Рассмотрим функтор $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. Объект, представляющий этот функтор (если он представим),
называется {\sf произведением} объектов $X_1$ и $X_2$. Аналогично, {\sf копроизведением} объектов
$X_1$ и $X_2$ называется объект, копредставляющий функтор $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (если он копредставим).
Аналогично определяются произведения и копроизведения любого множества объектов.
\begin{exercise}
(a) Докажите, что в категориях $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
существуют произведения и копроизведения любого множества объектов.
(b) Проверьте, что произведение в категории $\Comp$ компактных топологических пространств
существует и является тихоновским произведением.
\end{exercise}
Другой пример --- начальный и конечный объекты.
{\sf Начальный объект} --- это объект $0_\CC$, копредставляющий функтор $I(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$,
а {\sf конечный объект} --- это объект $1_\CC$, представляющий функтор $T(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$.
\begin{exercise}
Покажите, что если $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, то $0_\CC \cong 1_\CC$.
Найдите начальный и конечный объекты в категориях $\Sets$ и других категориях.
\end{exercise}

\Section{Сопряженные функторы}
Пусть $F:\CC \to \D$ и $G:\D \to \CC$ --- функторы.
Говорят, что $F$ --- {\sf сопряжен слева к $G$}, а $G$ --- {\sf сопряжен справа к~$F$},
если для всех $X \in \CC$, $Y \in \D$ заданы изоморфизмы
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ функториальные по обоим аргументам
(то есть, при фиксированном $X$ морфизмы $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ функториальны,
и при фиксированном $Y$ морфизмы $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ функториальны).
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item тождественный функтор сопряжен сам себе;
\item функтор $\scm:\Groups \to \Ab$ из примера~\ref{ex-fun}(5) сопряжен слева к функтору вложения $\si:\Ab \to \Groups$;
\item функторы $\sfr$ из примера~\ref{ex-fun}(4) сопряжены слева к функторам $\sfg$ из примера~\ref{ex-fun}(3).
\item если $F:\CC \to \D$ --- эквивалентность, а $G:\D \to \CC$ --- квазиобратный функтор, то $G$
сопряжен к $F$ и справа и слева.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{adjuc}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных функторов. Тогда существуют морфизмы функторов
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, а
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%композиции
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ по сопряженности. Обозначим черех $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
морфизм, соответствующий морфизму $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. Аналогично, $\eta_Y$ соответствует
$\id_{G(Y)}$ при изоморфизме $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
В силу функториальности изоморфизма $\xi$ имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
Морфизм $\id_X$ одной парой стрелок переводится в $\xi_{X,Y}(\phi)$, а другой --- в $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
Второе равенство проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функторы $F$ и $G$ сопряжены друг другу $\LRA$ найдутся морфизмы
функторов $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
композиции
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть вначале $F$ сопряжен слева к $G$. Определим $\epsilon$ и $\eta$ как в лемме~\ref{adjuc}.
Тогда для любого морфизма $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ имеем
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
Подставим $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. Получим
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, то есть тождественность первой композиции.
Тождественность второй проверяется аналогично.
Пусть теперь $F$ и $G$ произвольные, а $\epsilon$ и $\eta$ заданы.
Зададим морфизмы $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ и $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
формулами $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ и $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
В ней квадрат коммутативен в силу функториальности $\eta$, а треугольник --- по условию.
Отсюда получаем $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
Равенство $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функтор $F$ имеет правый сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(F(-),Y)$ представим   для всех $Y \in \D$.
Функтор $G$ имеет левый  сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(X,G(-))$ копредставим для всех $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем изоморфизмы $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ для всех $Y \in \D$
и положим $G(Y) = Y'$. Рассмотрим морфизм $\phi:Y_1 \to Y_2$. Композиция
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
индуцирует некоторый морфизм $G(Y_1) \to G(Y_2)$, что задает дейтсвие $G$ на морфизмах.
Функториальность очевидна.
%Второе утверждение проверяется аналогично.
\end{proof}
Воспользуемся полученными результатами для доказательства леммы~\ref{crit-equ}. Действительно, если
$F$ строго полон и существенно сюръективен, то для всякого $Y \in \D$ существует $X \in \CC$,
такой что $F(X) \cong Y$, значит $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
представимый функтор, следовательно существует правый сопряженный к $F$ функтор $G$.
Пусть $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- соответствующие
морфизмы функторов. Покажем, что они изоморфизмы. Рассмотрим вначале морфизм
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. Применяя функтор $\Hom(X',-)$ получаем морфизм
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, являющийся композицией морфизма $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
и $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, и следовательно изоморфизмом.
Значит $\epsilon_X$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
а значит и сам является изоморфизмом. Рассмотрим теперь морфизм $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
Применяя функтор $\Hom(F(X),-)$ получаем морфизм
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. Его композиция с морфизмом
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ равна морфизму $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
следовательно является изоморфизмом. Но всякий объект $Y' \in \D$ изоморфен объекту $F(X)$ для подходящего $X$,
значит морфизм $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ тоже является изоморфизмом. Таким образом
$\eta_Y$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
а значит и сам является изоморфизмом.
В завершение, приведем пример функторов, определяемых через понятие сопряженности.
Пусть $\CI$ --- малая категория (рассматриваемая как категория индексов).
Рассмотрим функтор проекции $\CC\times\CI \to \CC$. В силу Упр.~\ref{fun-prod}
он дает функтор $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, который мы будем называть постоянным функтором
и обозначать $\Delta$. Для всякого $F \in \Fun(\CI,\CC)$ рассмотрим функторы $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{и}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(первый контравариантен, второй ковариантен). Если эти функторы (ко)представимы, то
(ко)представляю\-щий объект
называется {\sf обратным пределом} (или просто {\sf пределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\ilim_\CI F(i)$ в первом случае,
и {\sf прямым пределом} (или {\sf копределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\dlim_\CI F(i)$  во втором.
В силу свойств представимых функторов, если пределы существуют, то определены однозначно
(с точностью до изоморфизма). Более того, если пределы определены для всех $F$, они являются функторами
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ и $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ соответственно.
\begin{exercise}
(a) Покажите, что если категория $\CI$ {\sf дискретна} (то есть $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ для $i \ne j$),
то $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ и $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) Обозначим через $\CI_{\text{\rm discr}}$ дискретную категорию с $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
Постройте морфизмы функторов $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ и
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}

\end{document}
\begin{definition}
Моноид --- это тройка $(M,\circ,1)$,
состоящая из множества $M$, бинарной операции $\circ$ на $M$
(т.е.\ отображения $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
и элемента $e\in M$, таких что выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[M1] \say{Ассоциативность}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{Аксиома единицы}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $M=\Map(X,X)$ --- множество отображений из множества $X$ в себя,
$\circ$ --- операция композиции отображений, $e=\Id_X$ --- тождественное
отображение.
\item $M=\Map(X,M')$ --- множество отображений из множества $X$ в моноид $M'$,
$\circ$ --- поточечное умножение ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
где $\circ'$ --- операция в $M'$), $e\equiv e'$ --- функция,
тождественно равная единице моноида $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Легко убедиться, что единица во всяком моноиде единственна.
Действительно, если $e'$ --- другая единица, то
$e' = e'\cdot e = e$. Поэтому при задании моноида можно не
указывать его единицу --- достаточно лишь проверить ее существование.
%Моноид $M$ называется \say{коммутативным}, если
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\begin{lemma}
Если $x_1,\dots,x_n$ --- элементы моноида, то все способы расстановки
скобок в произведении $x_1\circ\dots\circ x_n$ дают одинаковый результат.
\end{lemma}
Доказательство --- индукция по $n$.
\begin{definition}
Моноид $M$ называется коммутативным, если
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}
Как правило, в коммутативных моноидах операция записывается аддитивно
($x\circ y =: x+y$), а в некоммутативных мультипликативно ($x\circ y =: xy$).
Произведение $n$ одинаковых элементов
$x\circ\dots\circ x$ обозначается
через $x^n$, при этом удобно положить $x^0=e$. Легко проверить, что
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
для всех неотрицательных $m$ и $n$. При аддитивной записи операции в моноиде
пользуются обозначением $nx$ вместо $x^n$. При этом свойство $(\ref{prop1})$
приобретает вид $nx + mx = (n+m)x$.
Элемент $x$ в моноиде $M$ называется \say{обратимым}, если существуют
элемент $y$ (\say{левый  обратный}), такой что $y\circ x = e$; и
элемент $z$ (\say{правый обратный}), такой что $x\circ z = e$.
\begin{lemma}\label{inv}
Если $x$ --- обратим, то всякий левый обратный к $x$ равен всякому правому
обратному к $x$.
\end{lemma}
Доказательство:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Тем самым, для любого обратимого элемента $x$ существует единственный элемент,
являющийся одновременно правым и левым обратным к $x$. Этот элемент
обозначается $x^{-1}$ (при аддитивной записи: $-x$) и называется
обратным к $x$.
Далее, удобно обозначить $(x^{-1})^n$ через $x^{-n}$ (при аддитивной
записи $-nx$). Тогда свойство $(\ref{prop1})$ становится верным при
любых целых $n$ и $m$.
\begin{definition}
Группа --- это моноид, в котором все элементы обратимы.
\end{definition}
\begin{lemma}
Если $M$ --- моноид, то множество $M^*$ обратимых элементов в $M$
является группой.
\end{lemma}
Доказательство:
Достаточно проверить, что множество $M^*$ замкнуто относительно
операции $\circ$, то есть что для любых обратимых элементов $x,y\in M$
произведение $x\circ y$ --- тоже обратимо. Действительно, ясно, что
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
то есть элемент $y^{-1}\circ x^{-1}$ является обратным к $x\circ y$.\qed
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.
\item $(\ZZ,+)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\QQ^*,\cdot)$ (варианты: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).
\item \say{Группа перестановок} (симметрическая группа) $\FS_n$ ---
множество изоморфизмов из $n$-элементного множества $\{1,\dots,n\}$
на себя с операцией композиции отображений.
\item $G = \Map(X,G')$ --- множество отображений из множества $X$
в группу $G'$.
\item Группы автоморфизмов (см.\ лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{canc}
Если в группе $G$ выполнено одно из равенств $x\circ y=x\circ z$ или
$y\circ x=z\circ x$, то $y=z$.
\end{lemma}
Доказательство: если $x\circ y=x\circ z$, то
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Второй случай разбирается аналогично.
Группа называется коммутативной, если она коммутативна как моноид.
Коммутативные группы также называются \say{абелевыми}.

\Section{Кольца и поля}
\begin{definition}
Кольцо--- это набор $(R,+,\cdot,0,1)$,
состоящий из множества $R$, бинарных операций $+$ (сложение) и
$\cdot$ (умножение) на $R$ и элементов $0,1\in R$, таких что
%$R$ является абелевой группой относительно сложения
выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- абелева группа.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- моноид.
\item[R3] \say{Дистрибутивность (билинейность) умножения}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}
Умножение в кольце часто записывают в виде $xy=x\cdot y$.
Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.
\item $\ZZ$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $R=\Map(X,R')$ --- множество отображений из множества $X$
в кольцо $R'$ с поточечными операциями.
\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{многочленов} (\say{полиномов}) с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{формальных степенных рядов} с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- кольцо матриц размера $n$ на $n$
с коэффициентами в кольце $R'$. Элементы $R$ --- это таблицы вида
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
с покомпонентным сложением; умножением, задаваемым формулой
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{где }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
нулевой матрицей в качестве 0 и диагональной матрицей
с единицами на диагонале в качестве 1.
\item Кольца эндоморфизмов (см. лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}
Если $R$ --- кольцо, то $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
Доказательство:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
и остается применить лемму~\ref{canc} к аддитивной группе кольца.
\begin{definition}
Кольцо, в котором $0\ne 1$ и все элементы кроме нуля являются
группой относительно умножения, называется \say{телом},
а если оно к тому же коммутативно, то \say{полем}.
\end{definition}
Некоммутативные тела встречаются достаточно редко; простейший пример ---
тело кватернионов $\HH$. С полями дело обстоит значительно лучше.
\begin{examples} Примеры полей.
\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, где $p$ --- простое число.
\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.
\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- поле рациональных
функций с коэффициентами в поле $K'$.
\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- поле (формальных) рядов Лорана с коэффициентами в поле $K'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
\Section{Гомоморфизмы}
\begin{definition}
Гомоморфизм групп (моноидов) $f:G\to G'$ --- это отображение, такое что
$f(e)=e'$ и $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
Гомоморфизм колец (полей) $f:R\to R'$ --- это отображение, являющееся
гомоморфизмом их аддитивной группы и мультипликативного моноида.
\end{definition}
\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item Если $G$ --- группа, а $x\in G$, то отображение $n\mapsto x^n$
является гомоморфизмом групп $\ZZ\to G$.
\item Если $R$ --- кольцо, а $x\in R$, то отображение $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
является гомоморфизмом колец $\ZZ\to R$.
\item Проекция $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ является гомоморфизмом колец.
\item Отображения $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ и
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ являются гомоморфизмами групп.
\item Отображение вычисления $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
является гомоморфизмом групп.
\item Если $R$ --- коммутативное кольцо, и $r\in R$,
то отображение вычисления $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
является гомоморфизмом колец.
\item Всякий элемент кольца $R$ можно рассматривать как многочлен степени 0,
а всякий многочлен можно рассматривать как формальный степенной ряд,
все члены которого, начиная с некоторого места равны нулю. Тем самым
задаются гомоморфизмы колец $R \to R[x]$ и $R[x] \to R[[x]]$.
%\item Если $f:R\to R'$ --- гомоморфизм колец, и $r\in R$, то
%отображение $\tilde{f}:R'[x]\to R$, переводящее
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ в $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%гомоморфизм колец.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{hom1}
Композиция гомоморфизмов является гомоморфизмом.
Если $f:M\to M'$ --- гомоморфизм моноидов, а $x\in M$ --- обратимый
элемент, то $f(x)\in M'$ --- обратим и $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
Доказательство:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
откуда следует первая часть леммы. Для доказательства второй части
достаточно заметить, что
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, то есть
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed

Гомоморфизм (моноидов, групп, колец, полей, и т.д.) $f:M\to M'$ называется
\say{эпиморфизмом} (сюръекцией, наложением), если
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ т.ч. $f(x)=z$.
Гомоморфизм $f$ называется \say{мономорфизмом} (инъекцией, вложением),
если из равенства $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, следует $x=y$.
Гомоморфизм $f:M\to M'$ называется \say{изоморфизмом}, если
существует гомоморфизм $g:M'\to M$, такой что
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.
\begin{lemma}
Гомоморфизм групп (колец) является изоморфизмом $\LRA$
он является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
\end{lemma}
Доказательство: всякий изоморфизм биективен, следовательно
является мономорфизмом и эпиморфизмом. Обратно, если гомоморфизм
является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то он биективен,
следовательно существует обратное отображение, которое (легко проверить)
является гомоморфизмом. \qed

Всякий гомоморфизм из (моноида, группы, кольца, поля, и т.д.) в себя
называется \say{эндоморфизмом}. Эндоморфизм, являющийся изоморфизмом,
называется \say{автоморфизмом}.
\begin{lemma}\label{endaut}
Если $M$ --- любая алгебраическая структура (моноид, группа, кольцо, поле),
то множество его автоморфизмов $\Aut(M)$ является группой. Если $M$ ---
абелева группа, то множество ее эндоморфизмов $\End(M)$ является кольцом.
\end{lemma}
Доказательство: из леммы~\ref{hom1} следует, что $\End(M)$ является моноидом
относительно операции композиции эндоморфизмов, а $\Aut(M)$ является
множеством его обратимых эементов, следовательно $\Aut(M)$ --- группа.
Если же $M$ является абелевой группой, то на $\End(M)$ есть операция
поточечного сложения ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), так что $\End(M)$ становится
кольцом.\qed
\begin{definition}
Ядром гомоморфизма групп $f:G\to G'$ называется
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. Образом гомоморфизма
групп $f:G\to G'$ называется $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
Аналогично, ядром гомоморфизма колец $f:R\to R'$ называется
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. Образом гомоморфизма колец $f:R\to R'$
называется $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}
Легко видеть, что ядро и образ гомоморфизма групп $f:G\to G'$
являются \say{подгруппами} (то есть подмножествами, являющимися
группами относительно индуцированной операции) в $G$ и $G'$ соотв.
Аналогично, ядро и образ гомоморфизма колец $f:R\to R'$
являются \say{подкольцами} (то есть подмножествами, являющимися
кольцами относительно индуцированных операций) в $R$ и $R'$ соотв.
\begin{lemma}
Гомоморфизм $f$ групп (колец) является мономорфизмом $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ соотв.).
Гомоморфизм моноидов $f:M\to M'$ является эпиморфизмом $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
Доказательство: пусть $f:M\to M'$ --- гомоморфизм групп и $f(x)=f(y)$. Тогда
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
следовательно $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. Далее очевидно.
\begin{corollary}\label{field_mono}
Любой гомоморфизм из поля в кольцо является вложением.
\end{corollary}
Доказательство: по лемме~\ref{hom1} любой обратимый элемент
поля (относительно мультипликативной структуры) переходит
в обратимый элемент. Следовательно, всякий ненулевой элемент
переходит не в ноль. В частности, ядро гомоморфизма равно нулю,
следовательно гомоморфизм --- вложение. \qed

\Section{Прямые произведения}
Пусть $(M_1,\circ_1,e_1)$ и $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- моноиды.
Тогда на произведении
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
возникает структура моноида:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
Этот моноид называется \say{прямым произведением} моноидов $M_1$ и $M_2$.
\begin{lemma}
Произведение групп (колец) является группой (кольцом).
\end{lemma}
Доказательство: очевидно.
Напротив, легко проверить, что произведение полей является кольцом,
но не полем. Действительно, в произведении полей $K\times L$ имеем
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
следовательно элементы $(1_K,0_L)$ и $(0_K,1_L)$ необратимы.
\end{document}
