\documentclass{amsart}
\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\begin{document}
\Name{������᪨� �ந������ �㭪���}{���������᪠� ������ 3}{01.10.2008}

\Section{���६� �������� � ����ࠬ�� ����}

� �ਢ���� �������� ��⥣����, ⠪�� ��� $\Ab$ � $R\lmod$ �⠭�����
ᯮᮡ�� �஢����� ࠫ��� ᮮ⭮襭�� ����� ��ꥪ⠬� � ���䨧���� ����
⠪ ���뢠��� ����ࠬ�� ���� (��ᬠ�ਢ����� ``��������'' �������� ��㯯�
� ��� ������� �������, �஢������ ����室��� ����祭�� ��� ࠢ���⢠).
� �ந����쭮� �������� ��⥣�ਨ, ��ꥪ�� 㦥 �� ����� ``������⮢''
� ������� ��᫥, ���⮬� ��室���� ���� �����뢠�� ��, �������� �ଠ��묨
᢮��⢠�� ��⥣�਩, ���� �ᯮ�짮���� ���� �� ᫥����� ���� (�� ������
ࠢ��ᨫ���) ���.

���� --- ��� ��� ��ꥪ� $X \in \CA$ ����� ��।����� ������⢮ ��� $Y$-������⮢
(��� $Y$ --- �� ��㣮� ��ꥪ�) ��� $\Hom(Y,X)$ � �஢����� �� ����室��� ����祭��
� ࠢ���⢠ ��� $Y$-������⮢ � �ந�����묨 $Y$. �� ������ �� ����砥�, ��
�� �⮦���⢫塞 ��⥣��� $\CA$ � �����⥣�ਥ� �।�⠢���� �㭪�஢
� ��⥣��� $\Fun(\CA^\opp,\Ab)$, � ��� �㭪�஢ �஢��塞 ����室��� ����祭��
� ࠢ���⢠ ����筮.

��㣮� ���室 ��⮨� � �ᯮ�짮����� ᫥���饩 ⥮६� ���祫�.

\begin{theorem}
����� $\CA_0$ --- ����� ������� ��⥣���. ����� ������� ����� $R$
� ��ண� ����� ��� �㭪�� $F:\CA_0 \to R\lMod$.
\end{theorem}

�� ⥮६� ���祫� ᫥���, �� ��类� �⢥ত����, ���㫨஢����� � �ନ���
�筮�� ��᫥����⥫쭮�⥩, ����⢮����� � ࠢ���⢠ ���䨧���, � �.�.,
������饥 � ᥡ� ����筮� �᫮ ��ꥪ⮢ � ���䨧��� � ��୮� � ��⥣�ਨ
���㫥� ��� ����殬, ��୮ � � �ந����쭮� �������� ��⥣�ਨ $\CA$. � ᠬ�� ����,
����� ��ᬮ���� ������ ������� �����⥣��� $\CA_0$ � $\CA$, ��஦������ ��ꥪ⠬�,
䨣�����騬� � �⢥ত����, ����ந�� �㭪�� $F:\CA_0 \to R\lMod$, � ��ᯮ�짮������
��� ��ண�� �����⮩ � �筮����.

\begin{exercise}
���ᬮ�ਬ ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X_1 \ar[r] \ar[d]_{f_1} & Y_1 \ar[r] \ar[d]_{g_1} & Z_1 \ar[r] \ar[d]_{h_1} & 0 \\
0 \ar[r] & X_2 \ar[r] & Y_2 \ar[r] & Z_2 \ar[r] & 0 \\
}
$$
� ��묨 ���窠�� (� ���� ���䨧� ���� �஥�). �������, �� �� ��� ��������� �筠� ��᫥����⥫쭮���
$0 \to \Ker f_1 \to \Ker g_1 \to \Ker h_1 \to \Coker f_1 \to \Coker g_1 \to \Coker h_1 \to 0$.
\end{exercise}

������
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^f \ar[d]_g & Y \ar[d]^p \\ Z \ar[r]^q & W
}
$$
���뢠���� {\sf �����⮢�}, �᫨ 
$\Hom(-,X) = \{(\phi,\psi) \in \Hom(-,Y)\times\Hom(-,Z)\ |\ p\phi = q\psi \}$)
($X$ ���� ��᫮����� �ந�������� $Y$ � $Z$ ��� $W$);
� {\sf �������⮢�}, �᫨ 
$\Hom(W,-) = \{(\phi,\psi) \in \Hom(Y,-)\times\Hom(Z,-)\ |\ \phi f = \psi g \}$)
($W$ ���� ����᫮���� ���ந��������� $Y$ � $Z$ ��� $X$).

\begin{exercise}\label{codec1}
�������, �� ��᫥����⥫쭮��� 
$$
\xymatrix@1{0 \ar[r] & X \ar[r]^-{f \choose g} & Y \oplus Z \ar[r]^-{(p,-q)} & W \ar[r] & 0}\leqno{(*)}
$$
(a) ���� �������ᮬ $\LRA$ ᮮ⢥�����騩 ������ ������⨢��;
(b) �筠 ᫥�� $\LRA$ ������ �����⮢;
(c) �筠 �ࠢ� $\LRA$ ������ �������⮢.
%
% ���������⭮��� ᫥����� �᫮���
%\begin{enumerate}
%\item ��᫥����⥫쭮��� $\xymatrix@1{0 \ar[r] X \ar[r]^-{f \choose g} & Y \oplus Z \ar[r]^-{(p,-q)} & W \ar[r] & 0}$ �筠;
%\item
%\item
%\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{codec2}
����� $H^0$, $H^1$ � $H^2$ --- ����������� ��᫥����⥫쭮�� $(*)$.
�������, �� \\
(a) $H^0 = \Ker(g:\Ker f \to \Ker q)$;
(b) $H^2 = \Coker(p:\Coker f \to \Coker q)$;\\
(c) ������� �筠� �ன�� $0 \to \Coker(g:\Ker f \to \Ker q) \to H^1 \to \Ker(p:\Coker f \to \Coker q) \to 0$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{codec3}
�������, �� 
(a) ������ �����⮢ $\LRA$ $g$ �������� ������䨧� $\Ker f \cong \Ker q$, � $p$ �������� �������䨧� $\Coker f \hookrightarrow \Coker q$;
(b) ������ �������⮢ $\LRA$ $p$ �������� ������䨧� $\Coker f \cong \Coker q$, � $g$ �������� ������䨧� $\Ker f \twoheadrightarrow \Ker q$.
\end{exercise}

������, �� ���饭�� � ⥮६�� ���祫� ���� ᮡ��� �������� ���஦�����.
\begin{exercise}
�������, �� � ��⥣�ਨ $R\lMod$ ��᪮��筮� �ந�������� ���� �஥� �筮,
� � ��⥣�ਨ $\Sh(X)$ ����� ������ ���.
\end{exercise}



\Section{��ꥪ⨢�� � �஥�⨢�� ��ꥪ��}

��ꥪ� $P$ � �������� ��⥣�ਨ $\CA$ ���뢠���� {\sf �஥�⨢��},
�᫨ �㭪�� $\Hom(P,-)$ �祭.
��ꥪ� $I$ � �������� ��⥣�ਨ $\CA$ ���뢠���� {\sf ��ꥪ⨢��},
�᫨ �㭪�� $\Hom(-,I)$ �祭.
��� ��� �㭪��� $\Hom(X,-)$ � $\Hom(-,X)$ �ᥣ�� ��� ᫥��,
�஥�⨢����� $P$ ࠢ��ᨫ쭠 ⮬�, �� ��� �� ���ꥪ樨
$Y \twoheadrightarrow Z$ � ��� ���䨧�� $\phi:P \to Z$
�������� ���䨧� $\tilde\phi:P \to Y$, ⠪�� �� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
P \ar[dr]^\phi \ar@{..>}[d]_{\tilde\phi} \\
Y \ar[r] & Z \ar[r] & 0
}
$$
������⨢��. �������筮, ��ꥪ⨢����� $I$ ࠢ��ᨫ쭠 ⮬�,
�� ��� �� ��ꥪ樨 $X \hookrightarrow Y$ � ��� ���䨧�� $\phi:X \to I$
�������� ���䨧� $\tilde\phi:Y \to I$, ⠪�� �� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X \ar[dr]_\phi \ar[r] & Y \ar@{..>}[d]^{\tilde\phi}  \\
&& I
}
$$
������⨢��.

\begin{exercise}
�������, �� ��ꥪ⨢�� ��ꥪ�� � $\CA$ ᮢ������ � �஥�⨢�묨 ��ꥪ⠬� � $\CA^\opp$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
$(a)$ $P$ �஥�⨢�� $\LRA$ ��� �� ���쥪樨 $p:X \twoheadrightarrow P$
������� ������䨧� $X \cong X' \oplus P$, �� ���஬ $p = p_P$;
$(b)$ $I$ ��ꥪ⨢�� $\LRA$ ��� �� ��쥪樨 $i:I \hookrightarrow X$
������� ������䨧� $X \cong X' \oplus I$, �� ���஬ $i = i_P$.
\end{lemma}
\begin{proof}
������� ��ࢮ�. �����⢨� $\RA$ �祢����. �᫨ $p:X \twoheadrightarrow P$ --- ���ꥪ��,
� ������� $i:P \to X$, ⠪ �� $p\circ i = \id_P$. ������� $X' = \Ker p$ � �����
$i':X' \to X$ --- ����⢥���� �������� (⮣�� $p\circ i' = 0$). ����⨬, ��
$p\circ(\id_X - i\circ p) = p - p\circ i\circ p = p - p = 0$,
���⮬� ������� $p':X \to X'$, ⠪�� �� $\id_X - i\circ p = i'\circ p'$.
�������, �� $p'\circ i' = \id_{X'}$, $p'\circ i = 0$.
�� ᫥��� �� ࠢ���� $(\id_X - i\circ p)\circ i' = i' - i\circ p\circ i' = i'$
� $(\id_X - i\circ p)\circ i = i - i\circ p\circ i = i - i = 0$.
�஢�ਬ ⥯��� $(\LA)$. � ᠬ�� ����, ����� $\pi:Y \twoheadrightarrow Z$ --- ���ꥪ��,
� $\phi:P \to Z$ --- �ந������ ���䨧�. ������� $X = \Ker((-\pi,\phi):Y\oplus P \to Z)$
� ����� $p:X \to P$ � $q:X \to Y$ --- �������樨 $X \to Y\oplus P \to P$ � $X \to Y\oplus P \to Y$.
�� ���ꥪ⨢���� $\pi$ ᫥��� ���ꥪ⨢����� $p$ (��ᯮ��㥬�� ����ࠬ�� ���᪮� ---
����� $x \in P$, ������ $y \in Y$, ⠪ �� $\pi(y) = \phi(x)$; ⮣�� $(y,x) \in X$ � $p(y,x) = x$).
�������⥫쭮, $X \cong X' \oplus P$. � ��⭮��, ������� ���䨧� $s:P \to X$,
⠪�� �� $p\circ s = \id_P$. ����� $\tilde\phi = q \circ s$. �����
$\pi\circ\tilde\phi = \pi\circ q \circ s = \phi\circ p\circ s = \phi$,
�� � �ॡ�������.
\end{proof}

��ꥪ� $Y$ ���뢠���� {\sf ���७���} ��ꥪ� $Z$ � ������� $X$, �᫨ ���� �筠� �ன��
$0 \to X \to Y \to Z \to 0$.

\begin{exercise}
�������, ��
(a)~������ �஥�⨢��� � ��ꥪ⨢��� ��ꥪ⮢ �������� �⭮�⥫쭮 ����� �㬬 � ���७��;
(b)~������ �஥�⨢��� � ��ꥪ⨢��� ��ꥪ⮢ �������� �⭮�⥫쭮 ����� ����� ᫠������;
(c)~����� �஥�⨢��� ��ꥪ⮢ ������� �⭮�⥫쭮 拉� ������䨧���;
(d)~����� ��ꥪ⨢��� ��ꥪ⮢ ������� �⭮�⥫쭮 ��拉� �������䨧���.
\end{exercise}

� ��⥣�ਨ $R\lMod$ �ᥣ�� ����� ��ꥪ⨢��� � �஥�⨢��� ��ꥪ⮢.

\begin{lemma}
�������� ����� � ��� ������⢮� ��ࠧ���� �஥�⨢��.
\end{lemma}
\begin{proof}
����� $R\langle S\rangle$ --- ᢮����� $R$-����� � ������⢮� ��ࠧ���� $S$.
����� $\Hom(R\langle S\rangle,M) = \Hom(S,\sfg(M)) = \prod_{s\in S} M$ --- �祭.
\end{proof}

\begin{corollary}
�஥�⨢�� $R$-���㫨 --- �� ���� ᫠����� � ᢮������ $R$-������.
\end{corollary}

\begin{corollary}
��直� $R$-����� ����뢠���� �஥�⨢�� $R$-���㫥�.
\end{corollary}
\begin{proof}
����� $M$ --- $R$-�����. �롥६ �ந����쭮� ������⢮ $S$ ��ࠧ���� ��� $M$
(���ਬ��, ����� ����� $S = M$) � ��ᬮ���� ���䨧� $R\langle S\rangle \to M$,
�����஢���� ��������� $S \to M$. �� �祢���� ���ꥪ⨢��.
\end{proof}

������ ��ꥪ⨢�� ���㫨 ᫮����. �� ��� �஢�ન ⮣�, �� �� �����筮 �����,
����� ��ᯮ�짮������ ᫥���騬� ����묨 ᮮ�ࠦ���ﬨ.

\begin{lemma}
���� $R$-����� $I$ ��ꥪ⨢�� $\LRA$ �� ���䨧� $\phi:\fa \to I$ �� ��� ������ ������ $\fa \subset R$
����� �த������ �� ���䨧�� �� $\tilde\phi:R \to I$.
\end{lemma}
\begin{proof}
$\RA$ �祢����. ������� ���⭮�. ����� $X \subset Y$ � $\phi:X \to I$. ���ᬮ�ਬ ������⢮
��� ��� $(X',\phi')$, ��� $X \subset X' \subset Y$ � $\phi':X' \to I$, ⠪�� �� $\phi = \phi'_{|X}$.
�� ����� ��ୠ � ��� ���� ���ᨬ���� ������� $(X_0,\phi_0)$. �������, �� $X_0 = Y$. � ᠬ�� ����,
���� ������� $y \in Y\setminus X_0$. ����� $X_1 = X_0 + Ry \subset Y$. ����砥� ����
��᫥����⥫쭮��� $0 \to \fa \to X_0 \oplus R \to X_1 \to 0$. �� ��ꥪ⨢���� ���䨧�� $X_0 \to X_1$
᫥��� ��ꥪ⨢����� ���䨧�� $\fa \to R$, ����� $\fa$ --- ����� � $R$. ���ᬮ�ਬ ���������
$\psi:\fa \to X_0 \stackrel{\phi_0}\to I$ � �த����� �� �� ���䨧�� $\tilde\psi:R \to I$.
��� ��� $X_1$ --- ����᫮����� ���ந�������� $X_0$ � $R$ ��� $\fa$, ���䨧�� $\phi_0$ � $\tilde\psi$
���� ���䨧� $\phi_1:X_1 \to I$, ��祬 ��� ��࠭�祭�� �� $X_0$ ᮢ������ � $\phi_0$.
����砥� ��⨢��稥 � ���ᨬ��쭮���� ���� $(X_0,\phi_0)$. ����� $X_0 = Y$, � ��⭮��
���䨧� $\phi$ �த������� �� ���䨧�� $Y \to I$.
\end{proof}

\begin{corollary}
������� ��㯯� $\QQ/\ZZ$ ��ꥪ⨢��.
\end{corollary}
\begin{proof}
������� ��㯯� --- �� $\ZZ$-���㫨, � �� ������ � $\ZZ$ ����� ��� $n\ZZ$.
���䨧� $n\ZZ \to \QQ/\ZZ$ �������� ������⮬ $t \in \QQ/\ZZ$ (��ࠧ�� $n$),
� �⮡� �த������ ��� �� ���䨧�� $\ZZ \to \QQ/\ZZ$, ���� ���� $t' \in \QQ/\ZZ$,
⠪�� �� $nt' = t$, �� � ��㯯� $\QQ/\ZZ$ �������� ��������.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{adj-pro-in}
����� $F:\CA \to \CB$ � $G:\CB \to \CA$ --- ��� ᮯ�殮���� �㭪�஢.
�᫨ $F$ �祭, � $G$ ��࠭�� ��ꥪ⨢�����.
�������筮, �᫨ $G$ �祭, � $F$ ��࠭�� �஥�⨢�����.
\end{lemma}
\begin{proof}
������� ��ࢮ�. ����� $I$ ��ꥪ⨢�� � $\CB$. ����� $\Hom(-,G(I)) \cong \Hom(F(-),I)$ --- ��� �㭪��,
����� $G(I)$ ��ꥪ⨢��.
\end{proof}

����ந� ⥯��� ������� ᮯ�殮��� ��� �㭪��� ����� ��⥣��ﬨ
$R\lMod$ � $(\rMod R)^\opp$. ����� ��ꥪ⨢�� ��ꥪ�� � $(\rMod R)^\opp$
(� ���� �஥�⨢�� �ࠢ� $R$-���㫨) ��३��� � ��ꥪ⨢�� ��ꥪ�� � $R\lMod$.
� ������, ��ᬮ�ਬ �㭪���
$$
D:R\lMod \to (\rMod R)^\opp
\quad\text{�}\quad
D':(\rMod R)^\opp \to R\lMod,
\qquad
M \mapsto \Hom_{\ZZ}(M,\QQ/\ZZ).
$$

\begin{lemma}\label{dual-adj}
�㭪��� $D$ � $D'$ ��� � ᮯ�殮�� ��� ����.
\end{lemma}
\begin{proof}
��筮��� �ࠧ� ᫥��� �� ��ꥪ⨢���� $\QQ/\ZZ$. ��� �஢�ન ᮯ�殮�����
����⨬, �� ��� ��类�� ������ $M$ ������� ���䨧� $c_M:M \to D'(D(M))$
(��ॢ���騩 $m \in M$ � ���䨧� $DM \to \QQ/\ZZ$, $f \in \Hom_\ZZ(M,\QQ/\ZZ) \mapsto f(m)$),
� ��� ��类�� �ࠢ��� $R$-����� ���䨧� $c'_M:M \to D(D'(M))$, ����� ��� �� ᫮��� �஢����
������ ���䨧�� �㭪�஢. ����⨬, �� $c'_M \in \Hom_{(\rMod R)^\opp}(D(D'(M)),M)$.
�������, �� $c$ � $c'$ ��⠭�������� ᮯ�殮��� �㭪�஢ $D$ � $D'$.
��� �⮣� ���� �஢����, �� �������樨
$DM \stackrel{c'_{DM}}\to DD'DM \stackrel{Dc_M}\to DM$ �
$D'M \stackrel{c_{D'M}}\to D'DD'M \stackrel{D'c'_M}\to D'M$ ⮦���⢥���.
��᪮��� $D$ � $D'$ �������� ����� � ⮩ �� ��㫮�, �����筮 �஢���� ��ࢮ�.
����⨬, �� $c'_{DM}$ ��ॢ���� $f \in DM$ � ���䨧� $D'DM \to \QQ/\ZZ$, $x \in \Hom(D'M,\QQ/\ZZ) \mapsto x(f)$.
� ��㣮� ��஭�, $Dc_M$ ��ॢ���� ������� $\xi \in DD'DM$ � ���䨧� $m \mapsto \xi(c_M(m))$.
����� $Dc_M \circ c'_{DM}$ ��ॢ���� $f$ � $m \mapsto f(c_M(m)) = f(m)$,
� ���� �~$f$.
\end{proof}

\begin{corollary}
��直� $R$-����� �����뢠���� � ��ꥪ⨢�� $R$-�����.
\end{corollary}
\begin{proof}
����� $M$ --- ���� $R$-�����. ����� $DM$ --- �ࠢ� $R$-�����.
�롥६ ���ꥪ�� $P \to DM$ �� �஥�⨢���� �ࠢ��� $R$-����� $P$
� ��ᬮ�ਬ ��������� $M \to D'DM \to D'P$. ��-�����, ��� �뫮 �⬥祭� ���,
$P$ --- ��ꥪ⨢�� ��ꥪ� � $(\rMod R)^\opp$, ����� � ᨫ� ����~\ref{adj-pro-in}
�~\ref{dual-adj} ��ꥪ� $DD'P$ ��ꥪ⨢�� � $R\lMod$. ��⠥��� �஢����, ��
���䨧� $M \to D'P$ ��ꥪ⨢��. ��� �஢�ન ��ꥪ⨢���� ���䨧�� $c_M:M \to D'DM$
���� �஢����, �� ��� ��� $m \in M$ �������� $f:M \to \QQ/\ZZ$, ⠪ �� $f(m) \ne 0$.
���ᬮ�ਬ 横������ �����㯯� $\langle m\rangle$ � $M$, ��஦������ $m$. �᫨ $\langle m\rangle \cong \ZZ$,
��।���� $f:\langle m\rangle \to \QQ/\ZZ$, ������� $f(m) = 1/2$, � �᫨ $\langle m\rangle \cong \ZZ/n\ZZ$ ---
������� $f(m) = 1/n$, � ��⥬ �த����� �� �� $M$, ��ᯮ�짮������ ��ꥪ⨢������ $\QQ/\ZZ$.
����� ��ࠧ�� $c_M$ ��ꥪ⨢��. ��⠥��� �������, �� $D'$ �祭, ���⮬� ��ॢ����
���ꥪ�� $P \to DM$ � ��ꥪ�� $D'DM \to D'P$.
\end{proof}



\Section{������᪨� �ந������ �㭪���}

�᭮��� ���᫨⥫�� �।�⢮� � �������� ��⥣���� ����� ��� ��᫥����⥫쭮��.
� �� ������� ������ ��ꥪ�� ��ࠦ����� �१ ����� �����. �᭮���� �� ᫮������
�� ���᫥���� ���⠢��� �� �筮��� �㭪�஢ --- �᫨ ���� �ਬ����� �㭪�� $F$
� ��ꥪ�� $X$, ��ࠦ������, ᪠��� �१ ���� ��᫥����⥫쭮��� $0 \to X \to X_1 \to X_2 \to 0$,
� ��᫥����⥫쭮��� $0 \to F(X) \to F(X_1) \to F(X_2) \to 0$ 㦥 �� �㤥� �筠,
� ���� $F(X)$ �� �㤥� ��ࠦ����� �१ $F(X_1)$ � $F(X_2)$. �⮡� ����஫�஢���
����� �������� ⠪ ���뢠��� �ந������ �㭪���. � ����� ��஭�, ��� ���������
�ந������� ���᫥���, � � ��㣮�, ᠬ� ���� ����� �ਬ��� �㭪�஢.

���� ��⮨� � ᫥���饬. �����, ���ਬ��, �㭪�� $F:\CA \to \CB$ �祭 �ࠢ�.
����� {\sf ���� ������᪨� �ந������ �㭪��� �� $F$} --- �� ��᫥����⥫쭮���
�㭪�஢ $L_iF:\CA \to \CB$, $L_0F \cong F$ � ���䨧��� �㭪�஢ $\delta_i:L_{i+1}F(X'') \to L_iF(X')$
����� �㭪�ࠬ�
$$
(0 \to X' \to X \to X'' \to 0) \mapsto L_{i+1}F(X'')
\quad\text{�}\quad
(0 \to X' \to X \to X'' \to 0) \mapsto L_iF(X'),
$$
�� ��⥣�ਨ ���� �஥� � $\CA$ � ��⥣��� $\CB$, ⠪�� ��
��� ��类� �筮� �ன�� $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ ��᫥����⥫쭮���
$$
\dots \to L_2F(X'') \stackrel{\delta_1}\to
L_1F(X') \to L_1F(X) \to L_1F(X'') \stackrel{\delta_0}\to
L_0F(X') \to L_0F(X) \to L_0F(X'') \to 0
$$
�筠, 㤮���⢮����� ᢮���� 㭨���ᠫ쭮��.

\begin{remark}
����� ��᫥����⥫쭮��� �㭪�஢ $T_i$ (��� ������䨧�� $T_0 \cong F$)
� ���䨧��� �㭪�஢ $\delta_i:T_{i+1}(X'') \to T_i(X')$ ���뢠���� {\sf ���� $\delta$-�㭪�஬}.
%����� ��᫥����⥫쭮��� �㭪�஢ (��� ᢮��⢠ 㭨���ᠫ쭮��) � ���䨧��� �㭪�஢ ���뢠���� $\delta$-�㭪�஬.
%����� ��ࠧ��, �ந������ �㭪�� --- �� 㭨���ᠫ�� $\delta$-�㭪��.
\end{remark}

�����⢮ 㭨���ᠫ쭮�� ��㫨����� ⠪: ��� ��� ������ 
$\delta$-�㭪�� $(T_\bullet,\delta_\bullet)$ � ��� ���䨧�� �㭪�஢ 
$f_0:L_0F \to T_0$ ������� �����⢥���� ��᫥����⥫쭮��� ���䨧��� �㭪�஢ 
$f_i:L_iF \to T_i$, ����������� � $\delta$.

�������筮 ��।������� �ࠢ� �ந������ �㭪��� �� �筮�� ᫥�� �㭪��.
{\sf �ࠢ� $\delta$-�㭪��} --- �� ��᫥����⥫쭮��� �㭪�஢ $T^i:\CA \to \CB$
� ���䨧��� �㭪�஢ $\delta^i:T^i(X'') \to T^{i+1}(X')$
����� �㭪�ࠬ�
$$
(0 \to X' \to X \to X'' \to 0) \mapsto T^i(X'')
\quad\text{�}\quad
(0 \to X' \to X \to X'' \to 0) \mapsto T^{i+1}(X'),
$$
�� ��⥣�ਨ ���� �஥� � $\CA$ � ��⥣��� $\CB$, ⠪�� ��
��� ��类� �筮� �ன�� $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ ��᫥����⥫쭮���
$$
0 \to T^0(X') \to T^0(X) \to T^0(X'') \stackrel{\delta^0}\to 
T^1(X') \to T^1(X) \to T^1(X'') \stackrel{\delta^1}\to 
T^2(X') \to \dots
$$
�筠.

{\sf �ࠢ� ������᪨� �ந������ �㭪�� �� $F$} --- �� �ࠢ� 
$\delta$-�㭪�� $(R^iF,\delta^i)$ � $R^0F \cong F$, 㤮���⢮���騩 
᫥���饬� ᢮���� 㭨���ᠫ쭮��: ��� ��� �ࠢ��� $\delta$-�㭪�� 
$(T^\bullet,\delta^\bullet)$ � ��� ���䨧�� �㭪�஢ $f^0:T^0 \to R^0F$ 
������� �����⢥����  ��᫥����⥫쭮��� ���䨧��� �㭪�஢ $f^i:T^i \to R^iF$, 
�த������� $f^0$ � ����������� � $\delta$.


��������� ����⢥��� ����� � ����⢮����� �ந������� �㭪�஢.
���� ࠧ�� �᫮���, �� ������ ����⢮����� ����� ��������.
����� ����� � �������� 㭨���ᠫ쭠� ��������� ⠪���.
�����, ���ਬ��, �㭪�� $F$ �祭 �ࠢ� � �����⨬, �� � ��⥣�ਨ $\CA$
�����筮 ����� �஥�⨢��� ��ꥪ⮢ (� ���� ��直� ��ꥪ� ����뢠���� �஥�⨢��).
���쬥� �ந������ ��ꥪ� $X \in \CA$ � ����ந� ���� ��᫥����⥫쭮���
$\dots \to P^{-3} \stackrel{d^{-3}}\to P^{-2} \stackrel{d^{-2}}\to P^{-1} \stackrel{d^{-1}}\to P^0 \to X \to 0$,
� ���ன �� ��ꥪ�� $P^i$ �஥�⨢��. �ਬ���� �㭪�� $F$ ����稬 ��������
$\dots \to F(P^{-3}) \stackrel{F(d^{-3})}\to F(P^{-2}) \stackrel{F(d^{-2})}\to F(P^{-1}) \stackrel{F(d^{-1})}\to F(P^0) \to 0$.
����뢠����, ��㫠 $L_iF = \Ker F(d^{-i}) / \Im F(d^{-i-1})$ ��।���� �ந������ �㭪���.
�� �⮡� �� ��������, ��� ���ॡ����� ������� ᢥ����� �� ���������.

�������筮, �᫨ �㭪�� $F:\CA \to \CB$ �祭 ᫥��, � � ��⥣�ਨ $\CA$ 
�����筮 ����� ��ꥪ⨢��� ��ꥪ⮢, ������� ����� �஥�⨢��� १��좥��� 
�� �ࠢ�� ��ꥪ⨢���, ����� ����ந�� �ࠢ� �ந������ �㭪�� �� $F$.

\end{document}

\Section{���������}


����� $(X^\bullet,d^\bullet)$ --- �������� � $\CA$.
������稬 �१
$$
H^i(X^\bullet) := \Ker d^i / \Im d^{i-1} = \Coker(\Im d^{i-1} \to \Ker d^i) \cong \Ker(\Coker d^{i-1} \to \Coim d^i)
$$
{\sf �����������} �������� � 童�� $X^i$. ���� ��᫥����⥫쭮�� --- �� ���������,
� ������ �� ����������� ࠢ�� ���. ��� ⠪�� ���뢠���� {\sf �横���묨}.


�᭮, �� ��直� ���䨧� �������ᮢ
$f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ (� ���� ����� �⮡ࠦ���� $f^i:X^i \to Y^i$,
⠪�� �� $d_Y^i\circ f^i = f^{i+1}\circ d_X^i$) �������� ���䨧� �����������
$H^i(f^\bullet):H^i(X^\bullet) \to H^i(Y^\bullet)$.

\begin{exercise}
�������, ��
(a) �᫨ ��⥣��� $\CA$ �������, � ��⥣��� �������ᮢ $\Com(\CA)$ ⮦� �������;
(b) $H^i:\Com(\CA) \to \CA$ --- ����⨢�� �㭪��, ��� ���।���.
\end{exercise}

\begin{exercise}[����� � ����]
����� $0 \to X^\bullet \to Y^\bullet \to Z^\bullet \to 0$ --- �筠� �ன�� �������ᮢ
(� ���� ��� ��类�� $i$ ��᫥����⥫쭮��� $0 \to X^i \to Y^i \to Z^i \to 0$ �筠).
�������, �� �� ��� ��������� ������� �筠� ��᫥����⥫쭮��� �����������
$\dots \to H^{i-1}(Z^\bullet) \to H^{i}(X^\bullet) \to H^{i}(Y^\bullet) \to H^{i}(Z^\bullet) \to H^{i+1}(X^\bullet) \to \dots$.
\end{exercise}


�� ��⥣�ਨ �������ᮢ ��।���� {\sf �㭪�� ᤢ���} �� �ந����쭮� 楫�� �᫮ $t$, 
����� ������砥��� ��� $[t]$, $X^\bullet \mapsto X^\bullet[t]$.
�� ��।������
$$
(X^\bullet[t])^k = X^{k+t},
\qquad
d_{X^\bullet[t]}^k = (-1)^t d_X^{k+t}.
$$

\begin{exercise}
�������, �� 
(a) $[t]$ --- ��⮬��䨧� ��⥣�ਨ �������ᮢ, ��祬 $[t]\circ[s] = [t+s]$ ��� ��� $t,s \in \ZZ$;
(b) $H^i(X[t]) \cong H^{i+t}(X)$.
\end{exercise}

���䨧� �������ᮢ $f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ ���뢠���� {\sf �����������䨧���},
�᫨ $H^i(f^\bullet):H^i(X^\bullet) \to H^i(Y^\bullet)$ --- ������䨧� �� ��� $i$.

���䨧�� �������ᮢ $f^\bullet,g^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ ���뢠���� {\sf ����⮯�묨}
(�����뢠���� $f \sim g$), �᫨ ������� ����� ���䨧��� $h^i:X^i \to Y^{i+1}$, ⠪�� �� 
$$
f^i - g^i = d_Y^{i-1}\circ h^i + h^{i+1}\circ d_X^i.
$$
��������� $X^\bullet$ � $Y^\bullet$ ���뢠���� {\sf ����⮯�묨}, �᫨ ��������
���䨧�� �������ᮢ $f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ � $g^\bullet:Y^\bullet \to X^\bullet$,
⠪�� �� $g^\bullet\circ f^\bullet \sim \id_X$, $f^\bullet\circ g^\bullet \sim \id_Y$.

\begin{lemma}
����⮯�� ���䨧�� ��������� ��������� �⮡ࠦ���� �� ������������.
� ��⭮��, ����⮯�� ��������� �������������.
\end{lemma}
\begin{proof}
�����筮 �஢����, �� ���䨧� ����⮯�� ��� �������� �㫥��� �⮡ࠦ����
�� ������������. ����� $f^i =  d_Y^{i-1}\circ h^i + h^{i+1}\circ d_X^i$.
����� $f^i_{|\Ker d_X^i} =  d_Y^{i-1}\circ h^i$ --- �ய�᪠���� �१ $\Im d_Y^{i-1}$,
� ���� $H^i(f^\bullet) = 0$.
\end{proof}


�祭� �������� ����⨥ --- {\sf ����� ���䨧�� �������ᮢ}. ����� $f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ ---
���䨧� �������ᮢ. ������� 
$$
C^k = Y^k \oplus X^{k+1},
\qquad
d_C^k = \left(\begin{smallmatrix} d_Y^k & f^{k+1} \\ 0 & -d_X^{k+1} \end{smallmatrix}\right).
$$
��।���� ⠪�� 
$$
i^k = \left(\begin{smallmatrix} \id_{Y^k} \\ 0 \end{smallmatrix}\right):Y^k \to C^k, \qquad
p^k = (0,\id_X^{k+1}):C^k \to X^{k+1}.
$$
\begin{lemma}
$(C^\bullet,d_C^\bullet)$ --- ��������, � $i^\bullet:Y^\bullet \to C^\bullet$ � $p^\bullet:C^\bullet \to X^\bullet[1]$ ---
���䨧�� �������ᮢ. ����� ⮣�, ��᫥����⥫쭮���
$$
\xymatrix@1{
\dots \ar[r] &
H^{i-1}(C^\bullet) \ar[rr]^-{H^{i-1}(p^\bullet)} &&
H^i(X^\bullet) \ar[rr]^-{H^{i}(f^\bullet)} && 
H^i(Y^\bullet) \ar[rr]^-{H^{i}(i^\bullet)} && 
H^{i}(C^\bullet) \ar[rr]^-{H^{i}(p^\bullet)} && 
H^i(X^\bullet) \ar[r] & \dots
}\leqno{(\dagger)}
$$
�筠.
\end{lemma}
\begin{proof}
������⢠ $d_C^{k+1}\circ d_C^k = 0$, $d_C^k\circ i^k = i^{k+1}\circ d_Y^k$ � $p^{k+1}\circ d_C^k = d_{X[1]}^k\circ p^k$
�஢������� �����।�⢥���. �஬� ⮣�, ����� ������, �� $p^\bullet \circ i^\bullet = 0$,
� ���䨧�� $i^\bullet\circ f^\bullet$ � $f^\bullet[1]\circ p^\bullet$ ����⮯�� ���,
���⮬� ��᫥����⥫쭮��� $(\dagger)$ ���� �������ᮬ. ��� ������⥫��⢠ �筮�� 
��ᯮ��㥬�� ������ � ����. ����� � ����ᮬ ���䨧�� $f$ ��ᬮ�ਬ ��� {\sf 樫����}: 
$$
\Cyl(f)^k = Y^k \oplus X^k \oplus X^{k+1},
\qquad
d_{\Cyl(f)}^k = \left(\begin{smallmatrix} d_Y^k & 0 & f^{k+1} \\ 0 & d_X^k & -\id_{X^{k+1}} \\ 0 & 0 & -d_X^{k+1} \\ \end{smallmatrix}\right).
$$
����� ����ந�� ᫥������ ������⨢��� ����ࠬ�� �������ᮢ
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X^\bullet \ar[r] \ar@{=}[d] & \Cyl(f) \ar[r] \ar@<.3ex>[d] & C(f) \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
& X^\bullet \ar[r] & Y^\bullet \ar[r]  \ar@<.3ex>[u] & C(f) 
}
$$
⠪�� �� ��������� ���䨧��� $Y^\bullet \to \Cyl(f) \to Y^\bullet$ ⮦���⢥���,
��������� $\Cyl(f) \to Y^\bullet \to \Cyl(f)$ ����⮯�� ⮦���⢥����� ���䨧��,
� ���䨧� $H^i(C(f)) \to H^{i+1}(X^\bullet)$, ��������騩 �� ����� � ����, �ਬ�������
� ���孥� ��ப�, ᮢ������ � �������䨧��� $H^i(p^\bullet)$.
\end{proof}

\begin{corollary}
���䨧� �������ᮢ $f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ --- �����������䨧� $\LRA$ ��� ����� $C(f)$ �横��祭.
\end{corollary}


��直� ��ꥪ� ��⥣�ਨ $\CA$ ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� ��������
��।��祭�� � �ࠤ�஢�� ���. {\sf �����좥�⮩} ��ꥪ� $X \in \CA$
���뢠���� �� �������� ������������� $X$.

�᫨ � ��⥣�ਨ $\CA$ �����筮 ����� �஥�⨢��� ��ꥪ⮢, 
� ��直� ��ꥪ� $X \in \CA$ �������� {\sf �஥�⨢��� १��좥�⮩},
��।��祭��� � ��������⥫��� �⥯����:
$$
\dots \to P^{-3} \to P^{-2} \to P^{-1} \to P^0 \to 0.
$$
�� ������� ���� ����� ��饥 �⢥ত����.
\begin{lemma}
����� $X^\bullet$ --- �������� ��࠭�祭�� ᢥ���.
����� ������� �������� $P^\bullet$, ��⠢����� �� �஥�⨢��� ��ꥪ⮢ 
� �����������䨧� $f^\bullet:P^\bullet \to X^\bullet$.
\end{lemma}
\begin{proof}
�㤥� ��ந�� $P^i$ � $f^i$ ��᫥����⥫쭮. 
��� ⠪�� $k$, �� $X^i = 0$ �� $i \ge k$, ������� $P^k = 0$.
�।�������, �� $P^i$ � ���䨧�� $f^i$ � $i > k$ 㦥 ����஥��,
��祬 ⠪ 
%�� $H^i(f^\bullet)$ --- ������䨧� �� $i \ge k+2$ �
%������䨧� �� $i = k+1$. � ᨫ� ����� � ���� �� ����砥�, ��
����� ����஥����� ���䨧�� �横��祭 � �⥯���� $\ge k+1$.
$$
\xymatrix{
&&
P^k \ar@{..>}[r]^-{d_P^k} \ar@{..>}[d]_{f^k} &
P^{k+1} \ar[r]^-{d_P^{k+1}} \ar[d]^{f^{k+1}} & 
P^{k+2} \ar[r] \ar[d]^{f^{k+2}} & \dots \\
\dots \ar[r] & 
X^{k-1} \ar[r]^-{d_X^{k-1}} & 
X^k \ar[r]^-{d_X^k} & 
X^{k+1} \ar[r]^-{d_X^{k+1}} & 
X^{k+2} \ar[r] & \dots 
}
$$
����� $Y = \Ker\left(\left(\begin{smallmatrix} d_X^k & f^{k+1} \\ 0 & -d_P^{k+1} \end{smallmatrix}\right):
X^k \oplus P^{k+1} \to X^{k+1}\oplus P^{k+2}\right)$.
�롥६ �஥�⨢��� ����뢠���� $P^k \to Y$ � ����� ��������� $P^k \to Y \to X^k \oplus P^{k+1}$
�������� ���䨧���� $f^k:P^k \to X^k$ � $-d_P^k:P^k \to P^{k+1}$.
����� 
$\left(\begin{smallmatrix} d_X^k & f^{k+1} \\ 0 & -d_P^{k+1} \end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix} f^k \\ -d_P^k \end{smallmatrix}\right) = 
\left(\begin{smallmatrix} d_X^k f^k - f^{k+1} d_P^k \\ d_P^{k+1} d_P^k \end{smallmatrix}\right)$,
��㤠 ᫥���� ࠢ���⢠ $d_X^k f^k = f^{k+1} d_P^k$ � $d_P^{k+1} d_P^k = 0$. 
����� ���䨧�� $f^k$ � $d_P^k$ ��।����� ���䨧� �������ᮢ, ��祬 ⠪��, ��
��� ����� �横��祭 ⠪�� � � �⥯��� $k$.
%
%
%����⨬, �� �ன��
%$P^k \to X^k \oplus \Ker d_P^{k+1} \to \Ker d_X^{k+1} \to 0$, ᮮ⢥������� �������
%$$
%\xymatrix{
%P^k \ar[r]^-{d_P^k} \ar[d]_{f^k} & \Ker d_P^{k+1} \ar[d]^{f^{k+1}} \\
%X^k \ar[r]^-{d_X^k} & \Ker d_X^{k+1}
%}
%$$
%�筠 � ���쥬 童��, ⠪ ��� �⮡ࠦ���� $\Ker d_P^{k+1} \to \Coker(X^k \to  \Ker d_X^{k+1}) = H^{k+1}(X^\bullet)$ ---
%������䨧� �� �᫮���, � �筠 � �।��� 童�� �� ����஥��� $P^k$ (⠪ ��� ���䨧�
%$X^k \oplus $
%�������⮢ 
%
\end{proof}


\begin{exercise}
�������, �� �᫨ $P^\bullet$ --- �஥�⨢��� १��좥�� ��ꥪ� $X$,
� ������� ���䨧� $\epsilon:P_0 \to X$, ⠪�� �� ��������
$\dots \to P^{-3} \to P^{-2} \to P^{-1} \to P^0 \stackrel{\epsilon}\to X \to 0$
�祭.
\end{exercise}

\begin{lemma}
����� $P^\bullet$ --- �஥�⨢��� १��좥�� ��� $X$, � 
$Q^\bullet$ --- �஥�⨢��� १��좥�� ���~$Y$.
����� ��� ��� ���䨧�� $f:X \to Y$ ������� �����⢥���
� �筮���� �� ����⮯�� ���䨧� �������ᮢ $f^\bullet:P^\bullet \to Q^\bullet$,
⠪�� �� $H^0(f^\bullet) = f$.
\end{lemma}
\begin{proof}
����ந� ��᫥����⥫쭮 ���䨧�� $f^i:P^i \to Q^i$, ��稭�� � $f^0$.
������稬 $P^1 = X$, $d_P^0 = \epsilon_X$, $Q^1 = Y$, $d_Q^0 = \epsilon_Y$, $f^1 = f$
� �।�������, �� ���䨧�� $f^i$ � $i > k$ 㦥 ����஥��.
$$
\xymatrix{
\dots \ar[r] & 
P^{k-1} \ar[r]^-{d_P^{k-1}} & 
P^k \ar[r]^-{d_P^k} \ar@{..>}[d]_{f^k} \ar[dr]^{\phi^k} & 
P^{k+1} \ar[r]^-{d_P^{k+1}} \ar[d]^{f^{k+1}} & 
P^{k+2} \ar[r] \ar[d]^{f^{k+2}} & \dots \\
\dots \ar[r] & 
Q^{k-1} \ar[r]^-{d_Q^{k-1}} & 
Q^k \ar[r]^-{d_Q^k} & 
Q^{k+1} \ar[r]^-{d_Q^{k+1}} & 
Q^{k+2} \ar[r] & \dots 
}
$$
���ᬮ�ਬ ���䨧� $\phi^k = f^{k+1}\circ d_P^k$. ����⨬, ��
$d_Q^{k+1}\circ\phi^k = d_Q^{k+1}\circ f^{k+1}\circ d_P^k = f^{k+2}\circ d_P^{k+1}\circ d_P^k = 0$.
�� ⠪ ��� �������� $Q^\bullet$ �祭, �� ����� �� $\Im\phi^k \subset \Ker d_Q^{k+1} = \Im d_Q^k$.
��� ��� ���䨧� $Q^k \to \Im d_Q^k$ ���ꥪ⨢��, � $P^k$ �஥�⨢��, �������� ���䨧� $f^k:P^k \to Q^k$,
⠪�� �� $\phi^k = d_Q^k\circ f^k$. ������� ��� ��楤��� ��ந� $f^\bullet$.

����� ⥯��� $f^\bullet$ � $g^\bullet$ --- ��� ���䨧��, ⠪�� �� $H^0(f^\bullet) = H^0(g^\bullet)$. 
�㤥� ��ந�� $h^i$ ��᫥����⥫쭮, ��稭�� � $h^0$. ������稬 $Q^1 = Y$, $d_Q^0 = \epsilon_Y$ 
� �।�������, �� ���䨧�� $h^i$ � $i > k$ 㦥 ����஥��.
$$
\xymatrix{
\dots \ar[rr] && 
P^{k-1} \ar[rr]^-{d_P^{k-1}} && 
P^k \ar[rr]^-{d_P^k} \ar@{..>}[dll]_{h^k} \ar@<-.3ex>[d]_{g^k} \ar@<.3ex>[d]^{f^k} && 
P^{k+1} \ar[rr]^-{d_P^{k+1}} \ar[dll]_{h^{k+1}} \ar@<-.3ex>[d]_{g^{k+1}} \ar@<.3ex>[d]^{f^{k+1}} && 
P^{k+2} \ar[rr] \ar[dll]_{h^{k+2}} \ar@<-.3ex>[d]_{g^{k+2}} \ar@<.3ex>[d]^{f^{k+2}} && \dots \\
\dots \ar[rr] && 
Q^{k-1} \ar[rr]_-{d_Q^{k-1}} && 
Q^k \ar[rr]_-{d_Q^k} && 
Q^{k+1} \ar[rr]_-{d_Q^{k+1}} && 
Q^{k+2} \ar[rr] && \dots 
}
$$
����⨬, �� 
$d_Q^k\circ(f^k - g^k - h^{k+1}\circ d_P^k) =
(f^{k+1} - g^{k+1} - d_Q^k\circ h^{k+1})\circ d_P^k =
h^{k+2}\circ d_P^{k+1}\circ d_P^k = 0$.
�� ⠪ ��� �������� $Q^\bullet$ �祭, �� ����� �� $\Im(f^k - g^k - h^{k+1}\circ d_P^k) \subset \Ker d_Q^k = \Im d_Q^{k-1}$.
��� ��� ���䨧� $Q^k \to \Im d_Q^k$ ���ꥪ⨢��, � $P^k$ �஥�⨢��, �������� ���䨧� $h^k:P^k \to Q^k$,
⠪�� �� $f^k - g^k - h^{k+1}\circ d_P^k = d_Q^{k-1}\circ h^k$. ������� ��� ��楤��� ��ந� $h^\bullet$.
\end{proof}

\begin{remark}
����⨬, �� � ������⥫��⢥ ����� �� �ᯮ�짮������ �஥�⨢����� $Q^i$ � �筮��� �������� $P^\bullet$.
���⮬� ஢�� � �� ���㦤���� �����뢠��, �� ��直� ���䨧� �� ��࠭�祭���� ᢥ��� �������� 
����饣� �� �஥�⨢��� ��ꥪ⮢ � �横���� �������� ����⮯�� ���.
\end{remark}

\begin{theorem}
����� �㭪�� $F:\CA \to \CB$ �祭 �ࠢ�, � � ��⥣�ਨ $\CA$ �����筮 �����
�஥�⨢��� ��ꥪ⮢. ��� ��类�� ��ꥪ� $X \in \CA$ �롥६ �஥�⨢��� १��좥��� $P^\bullet \cong X$
� ������� $L_iF(X) = H^{-i}(F(P^\bullet))$. ����� $L_iF$ --- �ந������ �㭪��� �㭪�� $F$.
\end{theorem}
\begin{proof}
��-�����, ������� �㭪�ਠ�쭮���. ����� $P^\bullet \cong X$ � $Q^\bullet \cong Y$ --- 
�஥�⨢�� १��좥���, � $f:X \to Y$ --- �ந������ ���䨧�.
����� $f^\bullet:P^\bullet \to Q^\bullet$ --- �ந������ ���䨧� १��좥��,
⠪�� �� $H^0(f^\bullet) = f$. ������� $L_iF(f) = H^{-i}(F(f^\bullet))$.
���� �஢����, �� ������ ��।������ �� ������ �� �롮� $f^\bullet$.
�� ��� �� �����, ࠧ�� $f^\bullet$ ����⮯��, ���⮬� ࠧ�� $F(f^\bullet)$
⮦� ����⮯��, � ����� �⮡ࠦ���� �� ������������ ���������.

�஬� ⮣�, ���� �஢����, �� ��।������ $L_iF(X)$ �� ������ �� �롮� १��좥���.
� ᠬ�� ����, �᫨ $Q^\bullet \to X$ --- ��㣠� १��좥��, � �⮡ࠦ���� $\id_X:X \to X$
���� ���䨧�� $f^\bullet:P^\bullet \to Q^\bullet$ � $g^\bullet:Q^\bullet \to P^\bullet$,
��祬 �������樨 $g^\bullet\circ f^\bullet:P^\bullet \to P^\bullet$ � 
$f^\bullet\circ g^\bullet:Q^\bullet \to Q^\bullet$ ����⮯�� ⮦���⢥���. 
�ਬ���� �㭪�� $F$ �����砥�, �� ��������� $F(P^\bullet)$ � $F(Q^\bullet)$ ����⮯��,
� ����� ����� ��������� �����������.

������ ���� ����ந�� ��뢠�騥 �������䨧�� $\delta$.

\end{proof}




\end{document}

\begin{lemma}
\end{lemma}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{exercise}
�������, ��
\end{exercise}



����� $\CA \subset \CB$ --- ��ண� ������ ����⨢��� �����⥣��� � ����⨢��� ��⥣�ਨ, � ����� �㭪�� �������� $i:\CA \to \CB$
(�� ��⮬���᪨ ����⨢��) �������� ���� ᮯ�殮��� �㭪�஬ $i^*$.

\begin{lemma}
�᫨ ���䨧� $\xymatrix@1{i(X) \ar[r]^{i(f)} & i(Y)}$ ����� �� � $\CB$,
� $\Ker f = i^*(\Ker i(f))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
� ᨫ� ������䨧�� $\Hom(i^*(\Ker f),X) \cong \Hom(\Ker f,i(X))$ ����⢥��� ���䨧�
$\kappa:\Ker f \to i(X)$ �������� ���䨧� $\kappa':i^*(\Ker f) \to X$.
\end{proof}


\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item
\end{enumerate}
\end{examples}


����� �ᯮ������� {\sf ����ࠢ�ਠ��� �㭪���}, �����騥 ���ࠢ����� ���䨧���.
����� ������� ����⨥ {\sf ��⨢��������� ��⥣�ਨ}. �᫨ $\CC$ --- ��⥣���,
��।���� ��⥣��� $\CC^\opp$ ⠪:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
�������, �� $\CC^\opp$ ��⥣���.
\end{exercise}
{\sf ����ࠢ�ਠ��� �㭪��} �� $\CC$ � $\D$ --- �� ����ਠ��� �㭪�� �� $\CC^\opp$ � $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ����� �㭪権 $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item ��㯯� ���� $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}
�㭪��� ����� �������஢���.
\begin{exercise}
�������, �� ��������� ���� ����ਠ���� ��� ���� ����ࠢ�ਠ���� �㭪�஢ ����ਠ�⭠,
� ��������� ����ਠ�⭮�� � ����ࠢ�ਠ�⭮�� �㭪�஢ ����ࠢ�ਠ�⭠. �஢����,
�� ������ �������஢���� �㭪�஢ ���樠⨢��.
\end{exercise}

�㭪�� $F:\CC \to \D$ ���뢠����
\begin{itemize}
\item {\sf ��ண��}, �᫨ ���䨧� $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- �������� ��� ��� $X,Y \in \CC$;
\item {\sf �����}, �᫨ ���䨧� $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- ���ꥪ�� ��� ��� $X,Y \in \CC$;
\item {\sf ��ண� �����} ��� {\sf ������ ��ண��}, �᫨ ���䨧� $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- ������䨧� ��� ��� $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item �㭪��� �� �ਬ�஢~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} � \eqref{i-fun} ��ண� �����;
\item �㭪��� �� �ਬ�஢~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} � \eqref{fr-fun} ��ண��, �� �� �����.
\end{enumerate}
\end{examples}
��।���� {\sf �����⮢� �ந�������� ��⥣�਩} $\CC$ � $\D$. �� ��।������
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
�㭪�� $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ ���뢠���� ⠪�� {\sf ���㭪�஬}.
\begin{exercise}
�������, �� $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- ���㭪��.
\end{exercise}
%\newpage
\Section{���䨧�� �㭪�஢}
����� $F,G:\CC \to D$ --- �㭪���. {\sf ���䨧� �㭪�஢} (��� {\sf ����⢥���� �८�ࠧ������})
$\alpha:F \to G$ --- �� ����� ���䨧��� $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ ��� ��� $X \in \CC$, ⠪�� ��
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{��� ��� $X,Y \in \CC$ � $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$
���䨧�� �㭪�஢ ����� �������஢��� ��� � ��㣮� � � �㭪�ࠬ�.
\begin{exercise}
(a) ����� $F,G,H:\CC \to \D$, � $\alpha:F \to G$ � $\beta:G \to H$ --- ���䨧�� �㭪�஢.
�������, �� $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- ���䨧� �㭪�஢.
(b) ����� $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ � $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- �㭪���,
� $\alpha:G \to G'$ --- ���䨧� �㭪�஢. �������, ��
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ � $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- ���䨧�� �㭪�஢.
\end{exercise}
\begin{exercise}
����ன� ���䨧�� �㭪�஢
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%��।���� ��������� ���䨧��� �㭪�஢.
�������, �� �᫨ ��⥣��� $\CC$ --- {\sf �����} (� ���� $\Ob\CC$ --- ������⢮),
� ��� �� ��⥣�ਨ $\D$ �� �㭪��� �� $\CC$ � $\D$ ��ࠧ��� ��⥣��� $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
�������, �� $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}
���䨧� �㭪�஢ $\alpha:F \to G$ ���뢠���� {\sf ������䨧���}, �᫨ �������
���䨧� �㭪�஢ $\beta:G \to F$, ⠪�� �� $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.
%\begin{exercise}
%����� $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- �㭪���.
%�������, �� $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
����� ��ࠧ��, �� ���� ��⥣�ਨ � �㭪�ࠬ� � ����⢥ ���䨧���
��ࠧ��� ��⥣��� $\Cats$. �� ᠬ�� ����, �� ����⢥���� ��ᬠ�ਢ���
��� 2-��⥣��� --- ������ ��ꥪ⮢ � ���䨧��� � ��� ���� 2-���䨧��
(� ���� ���䨧�� ����� ���䨧���� --- � ��襬 �ਬ�� ����⢥���
�८�ࠧ������ �㭪�஢). �� �⮬ $\Cats$ ���� ��ண�� 2-��⥣�ਥ�
(��������� 1-���䨧��� ���樠⨢��), ��� ����� � 2-��⥣����
��������� 1-���䨧��� �।���������� ���樠⨢��� ⮫쪮 � �筮����
�� 2-������䨧��.
\end{remark}
�㭪�� $F:\CC \to \D$ ���뢠���� {\sf ���������⭮����}, �᫨ ������� �㭪�� $G:\D \to \CC$,
⠪ �� $F\circ G \cong \id_\D$ � $G \circ F \cong \id_\CC$. �㭪�� $G$ ���뢠���� {\sf ����������} � $F$.
\begin{remark}
����� �ਢ�筮 �룫廊� ����⨥ ������䨧�� ��⥣�਩, � �⫨稨 �� ���������⭮��, �।�������饣�
ࠢ���⢠ $F\circ G = \id_\D$ � $G \circ F = \id_\CC$. ������, �� �ࠪ⨪�, ������䨧��� ��⥣�਩
�ࠪ��᪨ �� ����砥���, � � �६� ��� ᮤ�ঠ⥫��� ���������⭮�⥩ ���쬠 �����.
\end{remark}
\begin{exercise}
����� $\Cov(X)$ --- ��⥣��� �����⨩ ⮯������᪮�� ����࠭�⢠ $X$,
� $G$-$\Sets$ --- ��⥣��� ������� � ����⢨�� ��㯯� $G = \pi_1(X,x_0)$,
��� $x_0 \in X$ --- 䨪�஢����� �窠.
�������, �� �㭪�� $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
���������⭮��� (�� �� ������䨧���!) ��� ��⥣�਩.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{fun-prod}
�������, �� $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}
����� ������, �� ��猪� ���������⭮��� ���� ��ண� ����� �㭪�஬ � ��������
������䨧� ������� ����ᮢ ������䨧�� ��ꥪ⮢. ��୮ � ���⭮�.
\begin{lemma}\label{crit-equ}
�㭪�� $F:\CC \to \D$ ���� ���������⭮���� $\LRA$ $F$ ��ண� �����
� ����⢥��� ���ꥪ⨢��, � ���� $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ ⠪�� �� $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}
������⥫��⢮ �㤥� ���� ���� �����.
\Section{�।�⠢��� �㭪���}

����� $\CC$ --- ��⥣���. ��类�� ��ꥪ�� $X \in \CC$ ᮯ��⠢�� �㭪���
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
�㭪�� $F:\CC^\opp \to \Sets$ ���뢠���� {\sf �।�⠢���}, �᫨ �� ������䥭 �㭪��� $h_X$
��� ������-���� $X \in \CC$. �������筮, �㭪�� $F:\CC \to \Sets$ ���뢠���� {\sf ���।�⠢���},
�᫨ �� ������䥭 �㭪��� $h^X$ ��� ������-���� $X \in \CC$. ��ꥪ� $X$ � �⮬ ��砥, ���뢠����
{\sf �।�⠢���騬} ({\sf ���।�⠢���騬}) �㭪�� $F$.
\begin{exercise}
�������, ��
(a) �㭪��� �������� $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ ���।�⠢���;
(b) �㭪�� $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ �।�⠢��.
\end{exercise}
�祭� ������� �⢥ত����� ���� ����� ������.
\begin{lemma}
$(a)$ ��� ��� $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ ����� $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ ��� ��� $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ ����� $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
������� �㭪� $(b)$ (�㭪� $(a)$ �����뢠���� �������筮, � $(c)$ �祢���� ᫥��� �� $(a)$ � $(b)$).
����� $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. ���ᬮ�ਬ ���䨧� $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (����⨬, �� $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ ⠪ ��� $F$ ����ࠢ�ਠ�⥭).
����� ������, �� ���䨧�� $s_Y$ ��ࠧ��� ���䨧� �㭪�஢ $h_X \to F$.
���⭮, ����� $\alpha:h_X \to F$ --- ���䨧� �㭪�஢. ����� $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
�⮡ࠦ���� �������. ����⨬, �� $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
���ᬮ�ਬ $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.
����� ��ࠧ�� �� ����ந�� �⮡ࠦ���� ����� ������⢠�� $\Hom(h_X,F)$ � $F(X)$.
�������, �� ��� ������� �����. � ᠬ�� ����, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
��⠥��� ��������, �� $\alpha_Y = s_Y$ ��� ��� $Y$.
��� �⮣� ��� ������� $\phi \in \Hom(Y,X)$ ��ᬮ�ਬ ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
�᭮, �� $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ ���孥� ��५��� ��ॢ������ � $s$,
����� �ࠢ�� ��५��� ��ॢ������ � $F(\phi)(s)$.
� ��㣮� ��஭�, ����� ��५��� $\id_X$ ��ॢ������ � $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
����� ������ ��५��� ��ॢ������ � $\alpha_Y(\phi)$.
����� $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}
\begin{corollary}
�᫨ �㭪�� $F:\CC^\opp \to \Sets$ �।�⠢��, � ��ꥪ�, �।�⠢���騩 ���,
��।���� �������筮 � �筮���� �� ������䨧��. �� �� �⭮���� � � ���।�⠢��� �㭪�ࠬ.
\end{corollary}
\begin{proof}
����� $h_X \cong F \cong h_Y$. ����� ������䨧� $h_X \cong h_Y$ ���� ������䨧� $X \cong Y$.
\end{proof}
\begin{exercise}
�������, �� �᫨ $\CC$ --- ����� ��⥣���, � �㭪��� $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ �
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- ��ண� ����� �㭪���.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%��⥣��� $\CC$ ���뢠���� {\sf ����饭���}, �᫨ ��直� �㭪�� $\CC \to \Sets$ ���।�⠢��,
%� ��直� �㭪�� $\CC^\opp \to \Sets$ �।�⠢��.
%�������, �� ��� �� ����� ��⥣�ਨ $\CC$ ��⥣��� $\Fun(\CC,\Sets)$ ����饭�.
%\end{exercise}

�।�⠢��� �㭪��� ��� �ᯮ������� ��� ��⥣�୮� �����㫨஢�� �⠭������ �������権.
����� $X_1,X_2 \in \CC$. ���ᬮ�ਬ �㭪�� $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. ��ꥪ�, �।�⠢���騩 ��� �㭪�� (�᫨ �� �।�⠢��),
���뢠���� {\sf �ந���������} ��ꥪ⮢ $X_1$ � $X_2$. �������筮, {\sf ���ந���������} ��ꥪ⮢
$X_1$ � $X_2$ ���뢠���� ��ꥪ�, ���।�⠢���騩 �㭪�� $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (�᫨ �� ���।�⠢��).
�������筮 ��।������� �ந�������� � ���ந�������� ��� ������⢠ ��ꥪ⮢.
\begin{exercise}
(a) �������, �� � ��⥣���� $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
�������� �ந�������� � ���ந�������� ��� ������⢠ ��ꥪ⮢.
(b) �஢����, �� �ந�������� � ��⥣�ਨ $\Comp$ ��������� ⮯������᪨� ����࠭��
������� � ���� �宭��᪨� �ந���������.
\end{exercise}
��㣮� �ਬ�� --- ��砫�� � ������ ��ꥪ��.
{\sf ��砫�� ��ꥪ�} --- �� ��ꥪ� $0_\CC$, ���।�⠢���騩 �㭪�� $I(X) = \{*\}$ ��� ��� $X \in \CC$,
� {\sf ������ ��ꥪ�} --- �� ��ꥪ� $1_\CC$, �।�⠢���騩 �㭪�� $T(X) = \{*\}$ ��� ��� $X \in \CC$.
\begin{exercise}
�������, �� �᫨ $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, � $0_\CC \cong 1_\CC$.
������ ��砫�� � ������ ��ꥪ�� � ��⥣���� $\Sets$ � ��㣨� ��⥣����.
\end{exercise}

\Section{����殮��� �㭪���}
����� $F:\CC \to \D$ � $G:\D \to \CC$ --- �㭪���.
�������, �� $F$ --- {\sf ᮯ�殮� ᫥�� � $G$}, � $G$ --- {\sf ᮯ�殮� �ࠢ� �~$F$},
�᫨ ��� ��� $X \in \CC$, $Y \in \D$ ������ ������䨧��
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ �㭪�ਠ��� �� ����� ��㬥�⠬
(� ����, �� 䨪�஢����� $X$ ���䨧�� $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ �㭪�ਠ���,
� �� 䨪�஢����� $Y$ ���䨧�� $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ �㭪�ਠ���).
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ⮦���⢥��� �㭪�� ᮯ�殮� ᠬ ᥡ�;
\item �㭪�� $\scm:\Groups \to \Ab$ �� �ਬ��~\ref{ex-fun}(5) ᮯ�殮� ᫥�� � �㭪��� �������� $\si:\Ab \to \Groups$;
\item �㭪��� $\sfr$ �� �ਬ��~\ref{ex-fun}(4) ᮯ�殮�� ᫥�� � �㭪�ࠬ $\sfg$ �� �ਬ��~\ref{ex-fun}(3).
\item �᫨ $F:\CC \to \D$ --- ���������⭮���, � $G:\D \to \CC$ --- ���������� �㭪��, � $G$
ᮯ�殮� � $F$ � �ࠢ� � ᫥��.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{adjuc}
����� $(F,G)$ --- ��� ᮯ�殮���� �㭪�஢. ����� �������� ���䨧�� �㭪�஢
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ � $\eta:F \circ G \to \id_\D$, ⠪�� ��
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, �
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%�������樨
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ �
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ ⮦���⢥���.
\end{lemma}
\begin{proof}
����⨬, �� $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ �� ᮯ�殮�����. ������稬 ��� $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
���䨧�, ᮮ⢥�����騩 ���䨧�� $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. �������筮, $\eta_Y$ ᮮ⢥�����
$\id_{G(Y)}$ �� ������䨧�� $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
� ᨫ� �㭪�ਠ�쭮�� ������䨧�� $\xi$ ����� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
���䨧� $\id_X$ ����� ��ன ��५�� ��ॢ������ � $\xi_{X,Y}(\phi)$, � ��㣮� --- � $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
��஥ ࠢ���⢮ �஢������ �������筮.
\end{proof}
\begin{lemma}
�㭪��� $F$ � $G$ ᮯ�殮�� ��� ���� $\LRA$ �������� ���䨧��
�㭪�஢ $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ � $\eta:F \circ G \to \id_\D$, ⠪�� ��
�������樨
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ �
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ ⮦���⢥���.
\end{lemma}
\begin{proof}
����� ���砫� $F$ ᮯ�殮� ᫥�� � $G$. ��।���� $\epsilon$ � $\eta$ ��� � �����~\ref{adjuc}.
����� ��� ��� ���䨧�� $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ �����
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
����⠢�� $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. ����稬
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, � ���� ⮦���⢥������ ��ࢮ� �������樨.
������⢥������ ��ன �஢������ �������筮.
����� ⥯��� $F$ � $G$ �ந������, � $\epsilon$ � $\eta$ ������.
������� ���䨧�� $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ � $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
��㫠�� $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ � $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
���ᬮ�ਬ ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
� ��� ������ ������⨢�� � ᨫ� �㭪�ਠ�쭮�� $\eta$, � ��㣮�쭨� --- �� �᫮���.
��� ����砥� $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
������⢮ $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
�஢������ �������筮.
\end{proof}
\begin{lemma}
�㭪�� $F$ ����� �ࠢ� ᮯ�殮��� $\LRA$ �㭪�� $\Hom(F(-),Y)$ �।�⠢��   ��� ��� $Y \in \D$.
�㭪�� $G$ ����� ����  ᮯ�殮��� $\LRA$ �㭪�� $\Hom(X,G(-))$ ���।�⠢�� ��� ��� $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
�롥६ ������䨧�� $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ ��� ��� $Y \in \D$
� ������� $G(Y) = Y'$. ���ᬮ�ਬ ���䨧� $\phi:Y_1 \to Y_2$. ���������
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
�������� ������� ���䨧� $G(Y_1) \to G(Y_2)$, �� ������ ����ᢨ� $G$ �� ���䨧���.
�㭪�ਠ�쭮��� �祢����.
%��஥ �⢥ত���� �஢������ �������筮.
\end{proof}
��ᯮ��㥬�� ����祭�묨 १���⠬� ��� ������⥫��⢠ �����~\ref{crit-equ}. ����⢨⥫쭮, �᫨
$F$ ��ண� ����� � ����⢥��� ���ꥪ⨢��, � ��� ��类�� $Y \in \D$ ������� $X \in \CC$,
⠪�� �� $F(X) \cong Y$, ����� $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
�।�⠢��� �㭪��, ᫥����⥫쭮 ������� �ࠢ� ᮯ�殮��� � $F$ �㭪�� $G$.
����� $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ � $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- ᮮ⢥�����騥
���䨧�� �㭪�஢. �������, �� ��� ������䨧��. ���ᬮ�ਬ ���砫� ���䨧�
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. �ਬ���� �㭪�� $\Hom(X',-)$ ����砥� ���䨧�
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, ��騩�� �������樥� ���䨧�� $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
� $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, � ᫥����⥫쭮 ������䨧���.
����� $\epsilon_X$ �������� ������䨧� �।�⠢���� �㭪�஢ $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
� ����� � ᠬ ���� ������䨧���. ���ᬮ�ਬ ⥯��� ���䨧� $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
�ਬ���� �㭪�� $\Hom(F(X),-)$ ����砥� ���䨧�
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. ��� ��������� � ���䨧���
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ ࠢ�� ���䨧�� $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
᫥����⥫쭮 ���� ������䨧���. �� ��直� ��ꥪ� $Y' \in \D$ ������䥭 ��ꥪ�� $F(X)$ ��� ���室�饣� $X$,
����� ���䨧� $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ ⮦� ���� ������䨧���. ����� ��ࠧ��
$\eta_Y$ �������� ������䨧� �।�⠢���� �㭪�஢ $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
� ����� � ᠬ ���� ������䨧���.
� �����襭��, �ਢ���� �ਬ�� �㭪�஢, ��।��塞�� �१ ����⨥ ᮯ�殮�����.
����� $\CI$ --- ����� ��⥣��� (��ᬠ�ਢ����� ��� ��⥣��� �����ᮢ).
���ᬮ�ਬ �㭪�� �஥�樨 $\CC\times\CI \to \CC$. � ᨫ� ���.~\ref{fun-prod}
�� ���� �㭪�� $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, ����� �� �㤥� ���뢠�� ����ﭭ� �㭪�஬
� ��������� $\Delta$. ��� ��类�� $F \in \Fun(\CI,\CC)$ ��ᬮ�ਬ �㭪��� $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{�}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(���� ����ࠢ�ਠ�⥭, ��ன ����ਠ�⥭). �᫨ �� �㭪��� (��)�।�⠢���, �
(��)�।�⠢���\-騩 ��ꥪ�
���뢠���� {\sf ����� �।����} (��� ���� {\sf �।����}) �㭪�� $F$ �� ��⥣�ਨ $\CI$
� ������砥��� $\ilim_\CI F(i)$ � ��ࢮ� ��砥,
� {\sf ���� �।����} (��� {\sf ���।����}) �㭪�� $F$ �� ��⥣�ਨ $\CI$
� ������砥��� $\dlim_\CI F(i)$  �� ��஬.
� ᨫ� ᢮��� �।�⠢���� �㭪�஢, �᫨ �।��� ��������, � ��।����� �������筮
(� �筮���� �� ������䨧��). ����� ⮣�, �᫨ �।��� ��।����� ��� ��� $F$, ��� ����� �㭪�ࠬ�
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ � $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ ᮮ⢥��⢥���.
\begin{exercise}
(a) �������, �� �᫨ ��⥣��� $\CI$ {\sf ����⭠} (� ���� $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ ��� $i \ne j$),
� $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ � $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) ������稬 �१ $\CI_{\text{\rm discr}}$ ������� ��⥣��� � $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
����ன� ���䨧�� �㭪�஢ $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ �
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}

\end{document}
\begin{definition}
������ --- �� �ன�� $(M,\circ,1)$,
������ �� ������⢠ $M$, ����୮� ����樨 $\circ$ �� $M$
(�.�.\ �⮡ࠦ���� $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
� ������� $e\in M$, ⠪�� �� �믮����� ᫥���騥 ᢮��⢠:
\begin{description}
\item[M1] \say{���樠⨢�����}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{��ᨮ�� �������}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $M=\Map(X,X)$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$ � ᥡ�,
$\circ$ --- ������ �������樨 �⮡ࠦ����, $e=\Id_X$ --- ⮦���⢥����
�⮡ࠦ����.
\item $M=\Map(X,M')$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$ � ������ $M'$,
$\circ$ --- ����筮� 㬭������ ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
��� $\circ'$ --- ������ � $M'$), $e\equiv e'$ --- �㭪��,
⮦���⢥��� ࠢ��� ������ ������� $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
����� 㡥������, �� ������ �� ��类� ������� �����⢥���.
����⢨⥫쭮, �᫨ $e'$ --- ��㣠� ������, �
$e' = e'\cdot e = e$. ���⮬� �� ������� ������� ����� ��
㪠�뢠�� ��� ������� --- �����筮 ���� �஢���� �� ����⢮�����.
%������ $M$ ���뢠���� \say{������⨢��}, �᫨
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\begin{lemma}
�᫨ $x_1,\dots,x_n$ --- �������� �������, � �� ᯮᮡ� ���⠭����
᪮��� � �ந�������� $x_1\circ\dots\circ x_n$ ���� ��������� १����.
\end{lemma}
������⥫��⢮ --- ������ �� $n$.
\begin{definition}
������ $M$ ���뢠���� ������⨢��, �᫨
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}
��� �ࠢ���, � ������⨢��� �������� ������ �����뢠���� ����⨢��
($x\circ y =: x+y$), � � ��������⨢��� ���⨯����⨢�� ($x\circ y =: xy$).
�ந�������� $n$ ���������� ������⮢
$x\circ\dots\circ x$ ������砥���
�१ $x^n$, �� �⮬ 㤮��� �������� $x^0=e$. ����� �஢����, ��
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
��� ��� ������⥫��� $m$ � $n$. �� ����⨢��� ����� ����樨 � �������
��������� ������祭��� $nx$ ����� $x^n$. �� �⮬ ᢮��⢮ $(\ref{prop1})$
�ਮ��⠥� ��� $nx + mx = (n+m)x$.
������� $x$ � ������� $M$ ���뢠���� \say{���⨬�}, �᫨ ��������
������� $y$ (\say{����  �����}), ⠪�� �� $y\circ x = e$; �
������� $z$ (\say{�ࠢ� �����}), ⠪�� �� $x\circ z = e$.
\begin{lemma}\label{inv}
�᫨ $x$ --- ���⨬, � ��直� ���� ����� � $x$ ࠢ�� ��类�� �ࠢ���
���⭮�� � $x$.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
��� ᠬ�, ��� ��� ���⨬��� ������� $x$ ������� �����⢥��� �������,
��騩�� �����६���� �ࠢ� � ���� ����� � $x$. ��� �������
������砥��� $x^{-1}$ (�� ����⨢��� �����: $-x$) � ���뢠����
����� � $x$.
�����, 㤮��� ��������� $(x^{-1})^n$ �१ $x^{-n}$ (�� ����⨢���
����� $-nx$). ����� ᢮��⢮ $(\ref{prop1})$ �⠭������ ���� ��
���� 楫�� $n$ � $m$.
\begin{definition}
��㯯� --- �� ������, � ���஬ �� �������� ���⨬�.
\end{definition}
\begin{lemma}
�᫨ $M$ --- ������, � ������⢮ $M^*$ ���⨬�� ������⮢ � $M$
���� ��㯯��.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
�����筮 �஢����, �� ������⢮ $M^*$ ������� �⭮�⥫쭮
����樨 $\circ$, � ���� �� ��� ���� ���⨬�� ������⮢ $x,y\in M$
�ந�������� $x\circ y$ --- ⮦� ���⨬�. ����⢨⥫쭮, �᭮, ��
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
� ���� ������� $y^{-1}\circ x^{-1}$ ���� ����� � $x\circ y$.\qed
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.
\item $(\ZZ,+)$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\QQ^*,\cdot)$ (��ਠ���: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).
\item \say{��㯯� ����⠭����} (ᨬ�����᪠� ��㯯�) $\FS_n$ ---
������⢮ ������䨧��� �� $n$-������⭮�� ������⢠ $\{1,\dots,n\}$
�� ᥡ� � ����樥� �������樨 �⮡ࠦ����.
\item $G = \Map(X,G')$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$
� ��㯯� $G'$.
\item ��㯯� ��⮬��䨧��� (�.\ �����~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{canc}
�᫨ � ��㯯� $G$ �믮����� ���� �� ࠢ���� $x\circ y=x\circ z$ ���
$y\circ x=z\circ x$, � $y=z$.
\end{lemma}
������⥫��⢮: �᫨ $x\circ y=x\circ z$, �
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
��ன ��砩 ࠧ��ࠥ��� �������筮.
��㯯� ���뢠���� ������⨢���, �᫨ ��� ������⨢�� ��� ������.
������⨢�� ��㯯� ⠪�� ���뢠���� \say{������묨}.

\Section{����� � ����}
\begin{definition}
�����--- �� ����� $(R,+,\cdot,0,1)$,
����騩 �� ������⢠ $R$, ������� ����権 $+$ (᫮�����) �
$\cdot$ (㬭������) �� $R$ � ������⮢ $0,1\in R$, ⠪�� ��
%$R$ ���� �������� ��㯯�� �⭮�⥫쭮 ᫮�����
�믮����� ᫥���騥 ᢮��⢠:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- ������� ��㯯�.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- ������.
\item[R3] \say{����ਡ�⨢����� (������������) 㬭������}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}
��������� � ����� ��� �����뢠�� � ���� $xy=x\cdot y$.
����� ���뢠���� ������⨢��, �᫨ ������⨢�� ������ 㬭������.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.
\item $\ZZ$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $R=\Map(X,R')$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$
� ����� $R'$ � �����묨 �����ﬨ.
\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
����� \say{�����童���} (\say{���������}) � �����樥�⠬� � ����� $R'$.
\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
����� \say{�ଠ���� �⥯����� �冷�} � �����樥�⠬� � ����� $R'$.
\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- ����� ����� ࠧ��� $n$ �� $n$
� �����樥�⠬� � ����� $R'$. �������� $R$ --- �� ⠡���� ����
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
� ������������ ᫮������; 㬭�������, ��������� ��㫮�
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{��� }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
�㫥��� ����楩 � ����⢥ 0 � ��������쭮� ����楩
� �����栬� �� ��������� � ����⢥ 1.
\item ����� �������䨧��� (�. �����~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}
�᫨ $R$ --- �����, � $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
� ��⠥��� �ਬ����� �����~\ref{canc} � ����⨢��� ��㯯� �����.
\begin{definition}
�����, � ���஬ $0\ne 1$ � �� �������� �஬� ��� �����
��㯯�� �⭮�⥫쭮 㬭������, ���뢠���� \say{⥫��},
� �᫨ ��� � ⮬� �� ������⨢��, � \say{�����}.
\end{definition}
��������⨢�� ⥫� ��������� �����筮 ।��; ���⥩訩 �ਬ�� ---
⥫� ����୨���� $\HH$. � ���ﬨ ���� ���⮨� ����⥫쭮 ����.
\begin{examples} �ਬ��� �����.
\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, ��� $p$ --- ���⮥ �᫮.
\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.
\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- ���� �樮������
�㭪権 � �����樥�⠬� � ���� $K'$.
\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- ���� (�ଠ����) �冷� ��࠭� � �����樥�⠬� � ���� $K'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
\Section{�������䨧��}
\begin{definition}
�������䨧� ��㯯 (��������) $f:G\to G'$ --- �� �⮡ࠦ����, ⠪�� ��
$f(e)=e'$ � $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
�������䨧� ����� (�����) $f:R\to R'$ --- �� �⮡ࠦ����, ��饥��
�������䨧��� �� ����⨢��� ��㯯� � ���⨯����⨢���� �������.
\end{definition}
\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item �᫨ $G$ --- ��㯯�, � $x\in G$, � �⮡ࠦ���� $n\mapsto x^n$
���� �������䨧��� ��㯯 $\ZZ\to G$.
\item �᫨ $R$ --- �����, � $x\in R$, � �⮡ࠦ���� $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
���� �������䨧��� ����� $\ZZ\to R$.
\item �஥��� $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ ���� �������䨧��� �����.
\item �⮡ࠦ���� $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ �
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ ����� �������䨧���� ��㯯.
\item �⮡ࠦ���� ���᫥��� $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
���� �������䨧��� ��㯯.
\item �᫨ $R$ --- ������⨢��� �����, � $r\in R$,
� �⮡ࠦ���� ���᫥��� $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
���� �������䨧��� �����.
\item ��直� ������� ����� $R$ ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� �����童� �⥯��� 0,
� ��直� �����童� ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� �ଠ��� �⥯����� ��,
�� 童�� ���ண�, ��稭�� � �����ண� ���� ࠢ�� ���. ��� ᠬ�
�������� �������䨧�� ����� $R \to R[x]$ � $R[x] \to R[[x]]$.
%\item �᫨ $f:R\to R'$ --- �������䨧� �����, � $r\in R$, �
%�⮡ࠦ���� $\tilde{f}:R'[x]\to R$, ��ॢ���饥
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ � $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%�������䨧� �����.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{hom1}
��������� �������䨧��� ���� �������䨧���.
�᫨ $f:M\to M'$ --- �������䨧� ��������, � $x\in M$ --- ���⨬�
�������, � $f(x)\in M'$ --- ���⨬ � $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
��㤠 ᫥��� ��ࢠ� ���� �����. ��� ������⥫��⢠ ��ன ���
�����筮 �������, ��
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, � ����
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed

�������䨧� (��������, ��㯯, �����, �����, � �.�.) $f:M\to M'$ ���뢠����
\say{������䨧���} (���ꥪ樥�, ����������), �᫨
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ �.�. $f(x)=z$.
�������䨧� $f$ ���뢠���� \say{�������䨧���} (��ꥪ樥�, ���������),
�᫨ �� ࠢ���⢠ $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, ᫥��� $x=y$.
�������䨧� $f:M\to M'$ ���뢠���� \say{������䨧���}, �᫨
������� �������䨧� $g:M'\to M$, ⠪�� ��
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.
\begin{lemma}
�������䨧� ��㯯 (�����) ���� ������䨧��� $\LRA$
�� ���� �����६���� �������䨧��� � ������䨧���.
\end{lemma}
������⥫��⢮: ��直� ������䨧� ����⨢��, ᫥����⥫쭮
���� �������䨧��� � ������䨧���. ���⭮, �᫨ �������䨧�
���� �������䨧��� � ������䨧��� �����६����, � �� ����⨢��,
᫥����⥫쭮 ������� ���⭮� �⮡ࠦ����, ���஥ (����� �஢����)
���� �������䨧���. \qed

��直� �������䨧� �� (�������, ��㯯�, �����, ����, � �.�.) � ᥡ�
���뢠���� \say{�������䨧���}. �������䨧�, ��騩�� ������䨧���,
���뢠���� \say{��⮬��䨧���}.
\begin{lemma}\label{endaut}
�᫨ $M$ --- �� �����ࠨ�᪠� ������� (������, ��㯯�, �����, ����),
� ������⢮ ��� ��⮬��䨧��� $\Aut(M)$ ���� ��㯯��. �᫨ $M$ ---
������� ��㯯�, � ������⢮ �� �������䨧��� $\End(M)$ ���� ����殬.
\end{lemma}
������⥫��⢮: �� �����~\ref{hom1} ᫥���, �� $\End(M)$ ���� ��������
�⭮�⥫쭮 ����樨 �������樨 �������䨧���, � $\Aut(M)$ ����
������⢮� ��� ���⨬�� �����⮢, ᫥����⥫쭮 $\Aut(M)$ --- ��㯯�.
�᫨ �� $M$ ���� �������� ��㯯��, � �� $\End(M)$ ���� ������
����筮�� ᫮����� ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), ⠪ �� $\End(M)$ �⠭������
����殬.\qed
\begin{definition}
��஬ �������䨧�� ��㯯 $f:G\to G'$ ���뢠����
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. ��ࠧ�� �������䨧��
��㯯 $f:G\to G'$ ���뢠���� $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
�������筮, �஬ �������䨧�� ����� $f:R\to R'$ ���뢠����
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. ��ࠧ�� �������䨧�� ����� $f:R\to R'$
���뢠���� $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}
����� ������, �� �� � ��ࠧ �������䨧�� ��㯯 $f:G\to G'$
����� \say{�����㯯���} (� ���� ���������⢠��, ��騬���
��㯯��� �⭮�⥫쭮 �����஢����� ����樨) � $G$ � $G'$ ᮮ�.
�������筮, �� � ��ࠧ �������䨧�� ����� $f:R\to R'$
����� \say{�������栬�} (� ���� ���������⢠��, ��騬���
����栬� �⭮�⥫쭮 �����஢����� ����権) � $R$ � $R'$ ᮮ�.
\begin{lemma}
�������䨧� $f$ ��㯯 (�����) ���� �������䨧��� $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ ᮮ�.).
�������䨧� �������� $f:M\to M'$ ���� ������䨧��� $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
������⥫��⢮: ����� $f:M\to M'$ --- �������䨧� ��㯯 � $f(x)=f(y)$. �����
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
᫥����⥫쭮 $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. ����� �祢����.
\begin{corollary}\label{field_mono}
�� �������䨧� �� ���� � ����� ���� ���������.
\end{corollary}
������⥫��⢮: �� �����~\ref{hom1} �� ���⨬� �������
���� (�⭮�⥫쭮 ���⨯����⨢��� ��������) ���室��
� ���⨬� �������. �������⥫쭮, ��直� ���㫥��� �������
���室�� �� � ����. � ��⭮��, �� �������䨧�� ࠢ�� ���,
᫥����⥫쭮 �������䨧� --- ��������. \qed

\Section{���� �ந��������}
����� $(M_1,\circ_1,e_1)$ � $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- �������.
����� �� �ந��������
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
��������� ������� �������:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
��� ������ ���뢠���� \say{���� �ந���������} �������� $M_1$ � $M_2$.
\begin{lemma}
�ந�������� ��㯯 (�����) ���� ��㯯�� (����殬).
\end{lemma}
������⥫��⢮: �祢����.
����⨢, ����� �஢����, �� �ந�������� ����� ���� ����殬,
�� �� �����. ����⢨⥫쭮, � �ந�������� ����� $K\times L$ �����
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
᫥����⥫쭮 �������� $(1_K,0_L)$ � $(0_K,1_L)$ �����⨬�.
\end{document}
