\documentclass{amsart}
\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\begin{document}


\Name{Примеры производных функторов}{Гомологическая алгебра 5}{15.10.2008}

\Section{Функторы $\Ext$}

Важнейшим примеров производных функторов являются производные функторы от функтора $\Hom$.
Поскольку это функтор от двух аргументов, есть выбор --- по какому аргументу рассматривать
производный функтор. Оказывается, что ответ получается одинаковым в обоих случаях, но так как
априори это не очевидно, обозначим
$$
\Ext_1^i(X,Y) = (R^i\Hom(-,Y))(X),
\qquad
\Ext_2^i(X,Y) = (R^i\Hom(X,-))(Y).
$$
Заметим, что $\Hom(X,-):\CA \to \Ab$ --- точный слева функтор, поэтому для
его вычисления надо объект $Y$ заменять на его инъективную резольвенту в $\CA$.
С другой стороны, $\Hom(-,Y):\CA^\opp \to \Ab$ --- точный слева функтор, поэтому для
его вычисления надо объект $X$ заменять на его инъективную резольвенту в $\CA^\opp$,
то есть на проективную резольвенту в $\CA$.

Для доказательства того, что $\Ext_1^k(X,Y) \cong \Ext_2^k(X,Y)$ рассмотрим третье определение,
принадлежащее Ионеде. Рассмотрим множество $E^k(X,Y)$ всех точных последовательностей вида
$$
0 \to Y \to Z_k \to Z_{k-1} \to \dots \to Z_2 \to Z_1 \to X \to 0.
$$
Две таких точных последовательности $Z_\bullet$ и $Z'_\bullet$
называются {\sf элементарно эквивалентными}, если существует коммутативная диаграмма
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & Y \ar[r] \ar@{=}[d] & Z_k \ar[r] \ar[d] & Z_{k-1} \ar[r] \ar[d] & \dots \ar[r] & Z_2 \ar[r] \ar[d] & Z_1 \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & Y \ar[r] & Z'_k \ar[r] & Z'_{k-1} \ar[r] & \dots \ar[r] & Z'_2 \ar[r] & Z'_1 \ar[r] & X \ar[r] & 0
}
$$
Далее, две таких точных последовательности $Z_\bullet$ и $W_\bullet$
называются {\sf эквивалентными}, если существует последовательность
элементарных эквивалентностей $Z_\bullet \sim Z'_\bullet \sim \dots \sim Z^{(n)}_\bullet \sim W_\bullet$
(в которой направление морфизмов может меняться!).
При $k \ge 1$ определим $\Ext_I^k(X,Y)$ как фактор $E^k(X,Y)$ по этому отношению эквивалентности,
а при $k = 0$ положим $\Ext_I^0(X,Y) = \Hom(X,Y)$.

\begin{lemma}
$\Ext_I^k(X,Y)$ --- бифунктор, ковариантный по $Y$ и контравариантный по $X$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим класс в $\Ext_I^k(X,Y)$, представленный последовательностью $Z_\bullet$ и пусть $X' \to X$ --- морфизм.\
Пусть $Z'_1 = \Ker(Z_1 \oplus X' \to X)$ --- корасслоенное произведение $Z_1$ и $X'$ над $X$,
и $Z'_i = Z_i$ при $2 \le i \le k$. Легко видеть, что $Z'_\bullet$ задает некоторый класс в $E^k(X',Y)$,
причем при замене $Z_\bullet$ на элементарно эквивалентную последовательность, $Z'_\bullet$
тоже заменяется на элементарно эквивалентную. Поэтому получаем корректно определенное отображение
$f^*:\Ext_I^k(X,Y) \to \Ext_I^k(X',Y)$, причем легко проверить, что для любого морфизма $g:X'' \to X'$
выполнено $(f\circ g)^* = g^*\circ f^*$, так что $\Ext_I^k(X,Y)$ функториален по первому аргументу.
Функториальность по второму аргументу доказывается аналогично.
\end{proof}

\begin{theorem}
Существуют изоморфизмы функторов $\Ext_1^k(X,Y) \cong \Ext_I^k(X,Y) \cong \Ext_2^k(X,Y)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Построим, например, первый изоморфизм.
Для этого проверим, что $\Ext_I^\bullet$ является стирающим $\delta$-функтором по первому аргументу.
Вначале покажем, что если $P$ проективен, то $\Ext_I^i(P,Y) = 0$ для всех $Y$ и $i \ge 1$.
В самом деле, так как всякая сюръекция $Z_1 \to P$ изоморфна проекции $Z_1 =Z'_1 \oplus P \to P$,
всякий элемент из $E^i(P,Y)$ эквивалентен элементу, имеющему вид $0 \to Y \to Y\oplus P \to P \to 0$,
если $i = 1$ и $0 \to Y \to Y \to 0 \to \dots \to 0 \to P \to P \to 0$, если $i \ge 2$,
который мы и будем считать нулем.

Теперь построим морфизмы $\delta$. Пусть $0 \to X' \stackrel{f}\to X \stackrel{g}\to X'' \to 0$ --- точная тройка,
а последовательность $Z'_\bullet$ задает элемент из $E^{k-1}(X',Y)$. Положим $Z''_1 = X$,
а $Z''_{i+1} = Z'_i$ при $1 \le i \le k-1$. Тогда $Z''_\bullet \in E^k(X'',Y)$.
Получаем отображение $E^{k-1}(X',Y) \to E^k(X'',Y)$. Оно очевидно согласовано с
нашим отношением эквивалентности, поэтому индуцирует отображение
$\delta^{k-1}:\Ext_I^{k-1}(X',Y) \to \Ext_I^k(X'',Y) $.
\begin{exercise}
Покажите, что построенное отображение $\delta$ функториально относительно морфизмов точных последовательностей.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Покажите, что последовательность
$$
\dots \to \Ext_I^{k-1}(X,Y) \stackrel{f^*}\to \Ext_I^{k-1}(X',Y) \stackrel{\delta^{k-1}}\to \Ext_I^k(X'',Y) \stackrel{g^*}\to \Ext_I^k(X,Y) \to \dots
$$
точна.
\end{exercise}

Таким образом, $\Ext_I^\bullet$ является стирающим $\delta$-функтором по первому аргументу.
Применяя теорему из предыдущей лекции, получаем $\Ext_1^k(X,Y) \cong \Ext_I^k(X,Y)$.
Аналогично строится второй изоморфизм.
\end{proof}

\begin{corollary}
Функторы $\Ext_I^k$ аддитивны.
\end{corollary}

\begin{exercise}
Опишите операцию сложения на $\Ext^k_I(X,Y)$ в терминах точных последовательностей.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $P^\bullet \cong X$ --- проективная резольвента и $f:P^k \to Y$ --- морфизм,
представляющий класс в $\Ext_1^k(X,Y)$. Постройте по нему элемент в $E^k(X,Y)$,
представляющий его образ в $\Ext_I^k(X,Y)$.
\end{exercise}

Так как $\Ext_1^k$ канонически изоморфно $\Ext^2_k$, мы не будем их различать, и будем писать просто $\Ext^k$.

\begin{exercise}
Покажите, что в категории $\Ab$ выполнено $\Ext^i(X,Y) = 0$ при $i \ge 2$.
Вычислите $\Ext^i(X,Y)$ для $X,Y = \ZZ$, $\ZZ/n\ZZ$, $\QQ$, $\QQ/\ZZ$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ --- точная тройка. Покажите, что\\
(a) морфизм $X' \to Y$ продолжается до морфизма $X \to Y$ $\LRA$ его образ в $\Ext^1(X'',Y)$ равен нулю;\\
(b) морфизм $Y \to X''$ поднимается до морфизма $Y \to X$ $\LRA$ его образ в $\Ext^1(Y,X')$ равен нулю.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) объект $P$ проективен $\LRA$ $\Ext^1(P,Y) = 0$ для всех $Y$;
(b) объект $I$ инъективен $\LRA$ $\Ext^1(X,I) = 0$ для всех $X$.
\end{exercise}

\Section{Функторы $\Tor$}

Рассмотрим категории $R\lmod$ и $\rmod R$ левых и правых модулей над кольцом $R$
и функтор тензорного произведения над $R$: $\otimes_R:(\rmod R)\times (R\lmod) \to \Ab$, $(M,N) \mapsto M\otimes_R N$.

\begin{lemma}
Функтор тензорного произведения точен справа по каждому из аргументов.
\end{lemma}
\begin{proof}
По определению тензорного произведения имеем
$\Hom(M\otimes_R N,L) \cong \Hom_R(N,\Hom(M,L))$, значит
функтор $M\otimes_R -:R\lmod \to \Ab$ сопряжен слева к функтору $\Hom(M,-):\Ab \to R\lmod$.
Но левый сопряженный функтор всегда точен справа. Значит тензорное произведение точно по второму аргументу.
Точность по первому аргументу доказывается аналогино.
%
%Тензорное произведение $M\otimes_R N$ по определению копредставляет функтор $L \mapsto \Bilin_R(M\times N,L)$
%(множество всех $R$-билинейных отображений), поэтому надо проверить, что для всякой точной тройки
%$0 \to N_1 \stackrel{f}\to N \stackrel{g}\to N_2 \to 0$ в $R\lmod$ и для всех $M \in \rmod R$, $L \in \Ab$ последовательность
%$$
%0 \to \Bilin_R(M\times N_2,L) \stackrel{g^*}\to \Bilin_R(M\times N,L) \stackrel{f^*}\to \Bilin_R(M\times N_1,L)
%$$
%точна слева. Точность в первом члене очевидна --- если $\phi:M\times N_2 \to L$ ---
%ненулевое $R$-билинейное отображение, значит $\phi(m,n_2) \ne 0$ для каких-то $m \in M$, $n_2 \in N_2$.
%Но $g:N \to N_2$ сюръективно, значит найдется $n \in N$, так что $n_2 = g(n)$. Тогда $g^*\phi:M\times N \to L$
%нетривиально, так как $g^*\phi(m,n) = \phi(m,g(n)) \ne 0$.
%
%Пусть теперь $\phi:M\times N \to L$ и $f^*\phi = 0$. Значит $\phi$ зануляется на $M\times N_1 \subset M\times N$.
%Ясно, что тогда $\phi$ пропускается через $M\times N_2$, то есть $\phi = g^*\phi'$ для некоторого
%$\phi':M\times N_2 \to L$.
\end{proof}

Аналогично случаю с функтором $\Hom$ мы можем рассмотреть левые производные функторы
по первому и по второму аргументу. Опять же, априори их связь не очевидна, поэтому обозначим пока
$$
\Tor^1_i(X,Y) = R^i(- \otimes_R Y)(X),
\qquad
\Tor^2_i(X,Y) = R^i(X \otimes_R -)(Y).
$$
Так как $\otimes_R$ --- точный справа функтор, для вычисления функторов $\Tor$ надо объекты $X$ и $Y$
заменять на проективную резольвенту. Рассмотрим функтор $\Tor^1_i(X,Y)$ как функтор от $Y$.

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) если $P$ проективен, то $\Tor^1_i(X,P) = 0$, а функтор $- \otimes_R P$ --- точен;\\
(b) если $P^\bullet$ --- проективная резольвента для $X$, а $0 \to Y_1 \to Y_2 \to Y_3 \to 0$ --- точная последовательность,
то $0 \to P^\bullet\otimes Y_1 \to P^\bullet\otimes Y_2 \to P^\bullet\otimes Y_3 \to 0$ --- точная последовательность комплексов;\\
(c) $\Tor^1_\bullet(X,-)$ --- стирающий $\delta$-функтор по второму аргументу.
\end{exercise}

Из упражнения следует, что $\Tor^1_i(X,Y) \cong \Tor^2_i(X,Y)$,
так что мы не будем их различать, а будем писать просто $\Tor_i(X,Y)$.

\begin{exercise}
Покажите, что в категории $\Ab$ выполнено $\Tor_i(X,Y) = 0$ при $i \ge 2$.
Вычислите $\Tor_i(X,Y)$ для $X,Y = \ZZ$, $\ZZ/n\ZZ$, $\QQ$, $\QQ/\ZZ$.
\end{exercise}


\Section{Когомологии групп}

Пусть $G$ --- конечная группа, а $G\lmod$ --- категория модулей над групповым кольцом $\ZZ[G]$
(= категория абелевых групп с линейным действием группы $G$ = категория аддитивных
функторов из $*_G$ в $\Ab$). Ясно, что в этой категории достаточно проективных
и инъективных объектов.

Рассмотрим функторы {\sf инвариантов} и {\sf коинвариантов} $G\lmod \to \Ab$,
$$
M \mapsto M^G := \{ m\in M\ |\ gm = m\ \forall g \in G \},
\qquad
M \mapsto M^G := M / \langle m - gm \rangle_{m\in M,\ g\in G}.
$$
Легко видеть, что функтор инвариантов точен слева, а коинвариантов --- справа.
Их производные функторы называеются {\sf когомологиями} и {\sf гомологиями} группы $G$
с коэффициентами в $G$-модуле $M$ соответственно
$$
H^i(G,M) = R^i(-^G)(M),\qquad
H_i(G,M) = L_i(-_G)(M).
$$

\begin{exercise}
Покажите, что $H^i(G,M) \cong \Ext^i(\ZZ,M)$, $H_i(G,M) = \Tor_i(\ZZ,M)$,
где $\ZZ$ --- тривиальный $G$-модуль.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что если $G$ --- циклическая группа, то
$H^{i+2}(G,M) \cong H^i(G,M)$, $H_{i+2}(G,M) \cong H_i(G,M)$ при $i \ge 1$
(постройте для $\ZZ$ периодическую проективную резольвенту).
\end{exercise}



\Section{Ацикличные резольвенты}

Пусть функтор $F:\CA \to \CB$ точен справа.
Объект $Y$ называется {\sf $F$-ацикличным}, если $L_iF(Y) = 0$ для $i > 0$.
Аналогично, объект $Y$ называется {\sf $F$-ацикличным} для точного слева функтора $F$,
если $R^iF(Y) = 0$ для $i > 0$.

\begin{exercise}
Покажите, что для точного справа функтора $F$ все проективные объекты $F$-ацикличны,
а для точного слева функтора $F$ все инъективные объекты $F$-ацикличны.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Если $F$ точен справа, то ядро эпиморфизма $F$-ацикличных объектов $F$-ациклично.
\end{lemma}
\begin{proof}
Следует из длинной точной последовательности производных функторов.
\end{proof}

\begin{lemma}
Если $F$ точен справа, а $Y^\bullet$ --- ограниченный сверху ацикличный комплекс,
сотоящий из $F$-ацикличных объектов, то комплекс $F(Y^\bullet)$-ацикличен.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $Z^i = \Ker (d^i:Y^i \to Y^{i+1})$.
Тогда морфизм $d^i$ раскладывается в композицию $Y^i \twoheadrightarrow Z^{i+1} \hookrightarrow Y^{i+1}$,
причем каждая из последовательностей $0 \to Z^i \to Y^i \to Z^{i+1} \to 0$ точна.
Убывающей индукцией по $i$ легко проверить, что все $Z^i$ являются $F$-ацикличными.
Поэтому для каждого $i$ последовательность $0 \to F(Z^i) \to F(Y^i) \to F(Z^{i+1}) \to 0$ точна.
Но $f(d^i)$ раскладывается в композицию $F(Y^i) \to F(Z^{i+1}) \to F(Y^{i+1})$,
значит комплекс $F(Y^\bullet)$-ацикличен.
\end{proof}


\begin{theorem}
Если $Y^\bullet \cong X$ --- ограниченная справа $F$-ацикличная резольвента, то
$L_iF(X) \cong H^{-i}(F(Y^\bullet))$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Выберем для $Y^\bullet$ проективную резольвенту $P^\bullet$.
Тогда $P^\bullet$ также является проективной резольвентой для $X$.
Пусть $f:P^\bullet \to Y^\bullet$ --- квазиизоморфизм. Получаем треугольник
$P^\bullet \to Y^\bullet \to C(f)$. Из длинной точной последовательности когомологий
следует, что $C(f)$ ацикличен. Кроме того, он ограничен сверху (поскольку и $Y^\bullet$ и $P^\bullet$
ограничены сверху), и состоит из $F$-ацикличных объектов, так как каждый его член --- это сумма
$Y^i$ и $P^{i+1}$. Значит по предыдущей лемме $F(C(f))$ ацикличен. Но
$F(C(f)) \cong C(F(f))$, значит $F(f):F(P^\bullet) \to F(Y^\bullet)$ --- квазиизоморфизм,
то есть $H^{-i}(F(Y^\bullet)) \cong H^{-i}(F(P^\bullet)) =: L_iF(X)$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что если $Y$ ацикличен для функторов $\Hom(-,X)$ для всех $X$, то он проективен
(аналогично, если $Y$ ацикличен для функторов $\Hom(X,-)$ для всех $X$, то он инъективен).
\end{exercise}

$R$-модуль $M$ называется {\sf плоским}, если он ацикличен для функторов $-\otimes_R N$ для всех $N$.

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) всякий проективный модуль плоский, поэтому плоских модулей достаточно много;
(b) для вычисления функторов $\Tor$ можно использовать плоские резольвенты.
\end{exercise}

Для нетерова коммутативного кольца $R$ можно проверить, что конечно порожденный модуль $M$
плоский $\LRA$ он проективен. Однако бывают не проективные, но плоские бесконечномерные модули.



\Section{Функторы между категориями пучков}

Пусть $X$ --- топологическое пространство, а $\CA = \Sh(X)$ --- категория пучков абелевых групп на $X$.
Пусть также $\PreSh(X)$ --- категория предпучков абелевых групп на $X$. По определению,
$\Sh(X)$ --- строго полная подкатегория в $\PreSh(X)$. Обозначим через $i:\Sh(X) \to \PreSh(X)$ ---
функтор вложения. Хорошо известно, что он обладает левым сопряженным функтором $a:\PreSh(X) \to \Sh(X)$
(функтором пучковизации). Функтор $a$ точен, а функтор $i$ точен слева!

\begin{lemma}
В категории пучков достаточно много инъективных объектов.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем для каждой точки $x \in X$ абелеву группу $G_x$ и
рассмотрим топологическое пространство $\tilde{G} = \sqcup_{x \in X}G_x$ 
с дискретной топологией. Пусть $\pi:\tilde{G} \to X$ --- естественная проекция.
Рассмотрим его пучок сечений, то есть предпучок $\CG$ на $X$, такой что
$\CG(U) = \{s:X \to \pi^{-1}(U) \subset \tilde{G}\ |\ \pi\circ s = \id_U \}$.
Легко видеть, что он на самом деле пучок. Пучки такого вида называются {\sf пучками
разрывных сечений}.

Пусть теперь $\CF$ --- произвольный пучок на $X$. Для каждой точки $x \in X$ обозначим через
$\CF_x = \dlim_{x \in U}\CF(U)$ --- его слой в точке $x$.
Заметим, что $\Hom(\CF,\CG) = \prod_{x\in X}\Hom(\CF_x,G_x)$.
В самом деле, если $\phi:\CF \to \CG$, то для каждой точки $x \in X$ 
композиция $\CF_x \stackrel{\phi_x}\to \CG_x \stackrel{\ev_x}\to G_x$ 
задает морфизм $\CF_x \to G_x$. Обратно, если $\{\phi_x\}_{x\in X}$ --- набор
морфизмов $\CF_x \to G_x$ положим $\phi(s)(x) = \phi_x(s_x)$,
где $s \in \CF(U)$, $x \in U$, и $s_x$ --- образ $s$ в $\CF_x$.
Легко видеть, что $\phi$ --- морфизм пучков. Более того, легко видеть,
что построенные отображения между  $\Hom(\CF,\CG)$ и $\prod_{x\in X}\Hom(\CF_x,G_x)$ ---
взаимно обратные изоморфизмы.

Из доказанного сразу следует, что если каждая из групп $G_x$ инъективна,
то и пучок $\CG$ инъективен. Поэтому, чтобы вложить пучок $\CF$ в инъективный
пучок, достаточно для каждой точки $x \in X$ найти вложение группы $\CF_x$ 
в инъективную абелеву группу $G_x$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) последовательность пучков точна $\LRA$ она точна послойна;\\
(b) слои предпучка совпадают со слоями его пучковизации.
\end{exercise}

Рассмотрим функтор глобальных сечений $\Gamma(X,-):\Sh(X) \to \Ab$.
Легко видеть, что он точен слева (в этом состоит определение пучка).
Поскольку в категории пучков достаточно много инъективных объектов, 
он обладает правым производным функтором, который называется функтором
когомологий $X$ с коэффициентами в пучке:
$$
H^i(X,\CF) = R^i\Gamma(X,\CF).
$$
В частном случае, когда $\CF$ --- постоянный пучок (пучковизация постоянного предпучка),
построенный по группе $A$, пишут $H^i(X,\CF) = H^i(X,A)$. Для вычисления когомологий
гораздо удобнее использовать ацикличные резольвенты вместо инъективных.

Пусть $X$ паракомпактно (то есть отделимо и у каждого открытого покрытия есть локально конечное подпокрытие).
Пучок $\CF$ называется 
\begin{itemize}
\item {\sf вялым}, если $\forall$ открытого $U \subset X$ отображение ограничения $\CF(X) \to\CF(U)$ сюръективно;
\item {\sf мягким}, если $\forall$ замкнутого $Y \subset X$ отображение $\CF(X) \to\CF(Y) := \dlim_{Y \subset U} \CF(U)$ сюръективно;
\item {\sf тонким}, если $\forall$ замкнутых $Y_1,Y_2 \subset X$, таких что $Y_1 \cap Y_2 = \emptyset$
существует автоморфизм $\phi$ пучка $\CF$, такой что $\phi_{|Y_1} = \id$, $\phi_{|Y_2} = 0$.
\end{itemize}

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) вялые, мягкие и тонкие пучки $\Gamma$-ацикличны;
(b) пучки гладких сечений гладких расслоений мягкие;
(c) пучки непрерывных сечений непрерывных расслоений мягкие.
\end{exercise}

Из пункта (b) следует, что пучок гладких дифференциальных форм $\Omega^i_X$ на $X$ мягкий,
поэтому комплекс де Рама $\Omega^\bullet_X$ является мягкой (а значит ацикличной) резольвентой
постоянного пучка $\RR$. Отсюда сразу следует

\begin{theorem}[теорема де Рама]
Существует изоморфизм $H^i(X,\RR) \cong H^i(\Gamma(X,\Omega^\bullet_X))$.
\end{theorem}


\Section{Прямой и обратный образ}

Пусть $f:X \to Y$ морфизм топологических пространств, $\CF$ --- пучок на $X$, а $\CG$ --- пучок на $Y$.
Определим пучок $f_*\CF$ на $Y$  и пучок $f^{-1}\CG$ на $X$ формулами
$$
f_*\CF(U) = \CF(f^{-1}(U)),\qquad
f^{-1}\CG = a(U \mapsto \dlim_{f(U) \subset V}\CG(V)).
$$

\begin{lemma}
Функтор $f^{-1}:\Sh(Y) \to \Sh(X)$ сопряжен слева к функтору $f_*:\Sh(X) \to \Sh(Y)$.
Функтор $f^{-1}$ точен, а функтор $f_*$ точен слева.
\end{lemma}
\begin{proof}
Обозначим предпучок $U \mapsto \dlim_{f(U) \subset V}\CG(V)$ через $f'\CG$.
Пусть $\phi:f^{-1}\CG \to \CF$ --- морфизм пучков. В частности, $\phi$ дает морфизм $f^{-1}\CG(f^{-1}(U)) \to \CF(f^{-1}(U))$.
Компонируя его с морфизмом из предпучка $f'\CG$ в его пучковизацию $f^{-1}\CG$, получаем морфизм
$\CG(U) = f'\CG(f^{-1}(U)) \to \CF(f^{-1}(U)) = f_*\CF(U)$, что дает нам морфизм $\CG \to f_*\CF$.

Обратно, пусть $\psi:\CG \to f_*\CF$ --- морфизм пучков. Для каждой пары $U \subset X$, $V \subset Y$ 
такой, что $f(U) \subset V$, получаем морфизм $\CG(V) \to f_*\CF(V) = \CF(f^{-1}(V)) \to \CF(U)$.
Переходя к пределу по $V$ получаем морфизм предпучков $f'\CG \to \CF$, который по определению пучковизации
пропускается через $a(f'\CG) = f^{-1}\CG$.

Построенные отображения очевидно взаимно обратны, что доказывает сопряженность функторов.
Далее, функтор $f_*$ будучи правым сопряженным точен слева, а $f^{-1}$ аналогично точен справа.
Поэтому надо проверить лишь то, что $f^{-1}$ точен слева, то есть сохраняет мономорфизмы.
Для этого достаточно заметить, что $(f^{-1}\CG)_x = \dlim_{x \in U \subset f^{-1}(V)}\CG(V) = \CG_{f(y)}$
и что морфизм пучков мономорфизм $\LRA$ он мономорфизм на слоях.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что функтор $f_*$ переводит инъективные пучки в инъективные.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $X_d$ --- множество точек $X$ с дискретной топологией, а $\xi:X_d \to X$ ---
морфизм, тождественный на точках. Покажите, что
(a) $\Sh(X_d) \cong \Funadd(X,\Ab)$, где $X$ рассматривается как дискретная категория
(не имеющая морфизмов кроме тождественных);
(b) $\Inj(\Sh(X_d)) = \Funadd(X,\Inj(\Ab))$;
(c) пучок разрывных сечений пучка $\CF$ совпадает с $\xi_*\xi{-1}\CF$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Определим пучок $f_!\CF$ равенством $f_!\CF(U) = \{ s\in\CF(f^{-1}(U))\ |\ \text{$\supp(s)$ собственен над $U$}\}$.
Покажите, что функтор $f_!$ сопряжен слева к $f^{-1}$.
\end{exercise}

Пусть $\{ U_i \}_{i \in I}$ --- открытое покрытие $X$.
Выберем на $I$ полный порядок и для каждого набора индексов $\{i_0 < i_1 < \dots < i_n\} \in I$
рассмотрим подмножество $U_{i_0,\dots,i_n} = U_{i_0} \cap \dots \cap U_{i_n}$
и пучок $\CF_{i_0,\dots,i_n} = j_*j^{-1}\CF$, где $j:U_{i_0,\dots,i_n} \to X$ --- вложение.
Для каждого $i_k < i < i_{k+1}$ пусть $i:U_{i_0,\dots,i_k,i,i_{k+1},\dots,i_n} \to U_{i_0,\dots,i_n}$ ---
вложение. Рассмотрим естественное отображение $\CF_{i_0,\dots,i_n} = j_*j^{-1}\CF \to j_*i_*i^{-1}j^{-1}\CF$,
индуцированное сопряженностью $i_*$ и $i^{-1}$. Положим
$$
C^n(\{U_i\},\CF) = \prod_{i_0 < i_1 < \dots < i_n} \CF_{i_0,\dots,i_n}
$$
и определим отображение $\delta:C^n(\{U_i\},\CF) \to C^{n+1}(\{U_i\},\CF)$ формулой 
$$
\alpha = (\alpha_{i_0,\dots,i_n}) \mapsto (\delta\alpha)_{i_0,\dots,i_{n+1}} := 
\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k \alpha_{i_0,\dots,\hat{i}_k,\dots,i_n},
$$
где в правой части неявно используются построенный выше отображения.
Легко видеть, что $C^\bullet(\{U_i\},\CF)$ --- комплекс. Он называется {\sf комплексом Чеха} пучка $\CF$.

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) комплекс Чеха является резольвентой пучка $\CF$;
(b) если все множества $U_{i_0,\dots,i_n}$ стягиваемы, то резольвента Чеха --- $\Gamma$-ациклична.
\end{exercise}


\Section{Функторы между категориями когерентных пучков}

Пусть $X$ --- {\sf схема}, то есть локально окольцованное топологическое пространство 
локально изоморфное {\sf аффинной схеме}, то есть спектру некоторого коммутативного кольца. 
Пучок колец на $X$ обозначается $\CO_X$. Пучок $\CF$ на $X$ называется {\sf пучком $\CO_X$-модулей},
если на каждой группе $\CF(U)$ задана структура модуля над кольцом $\CO_X(U)$, так что отображения 
ограничения являются гомоморфизмами модулей. Пучок $\CO_X$-модулей называется {\sf квазикогерентным}, 
если $\CF(U) \cong \CF(V)\otimes_{\CO_X(V)}\CO_X(U)$ для всех достаточно маленьких $U \subset V \subset X$,
и {\sf когерентным}, если он квазикогерентен и $\CF(U)$ конечно порожден над $\CO_X(U)$ для всех 
достаточно маленьких $U$. Категории $\QCoh(X)$ квазикогерентных и $\Coh(X)$ когерентных пучков 
являются связующим звеном между алгеброй и геометрией.

\begin{lemma}
Если $X = \Spec A$ --- аффинная схема, то функтор $\Gamma(X,-):\QCoh(X) \to A\lMod$ --- точная
эквивалентность категорий, отождествляющая $\Coh(X)$ с $A\lmod$.
\end{lemma}

Мы не будем приводить доказательства этой леммы, а также других результатов,
которые можно отнести к основаниям алгебраической геометрии.
Вместо этого мы приведем краткое определение основных алгебро-геометрических 
функторов и перечислим их основные свойства.

В алгебро-геометрической ситуации можно определить как чисто алгебраические функторы
(типа $\Ext$ и $\Tor$), так и геометрические (глобальные сечения, прямые и обратные образы).
Начнем с алгебраических.

{\bf Функторы $\Hom$ и $\Ext$.}
Как и во всякой абелевой категории на категории квазикогерентных пучков определен функтор $\Hom$.
Хотя проективных объектов в этой категории практически нет, но инъективных объектов
достаточно много (к тому же можно вместо инъективных квазикогерентных пучков использовать 
инъективные пучки $\CO_X$-модулей), поэтому определены и функторы $\Ext$.

{\bf Функторы $\CHom$ и $\CExt$.}
Можно также определить локальные аналоги функторов $\Hom$ и $\Ext$.
Пусть $\CF$ и $\CG$ квазикогрентные пучки, а $U \subset X$ --- аффинное открытое
подмножество. Тогда $\CF(U)$ и $\CG(U)$ --- $\CO_X(U)$-модули. При этом группа 
$\Hom_{\CO_X(U)}(\CF(U),\CG(U))$ тоже обладает естественной структурой $\CO_X(U)$-модуля
(так как $\CO_X(U)$ коммутативно). Можно убедиться, что эти структуры согласованы
для разных $U$, то есть эти модули склеиваются в квазикогерентный пучок,
который обозначается $\CHom(\CF,\CG)$. Функтор $\CHom$ точен слева по каждому аргументу.

Аналогично, модули $\Ext^i_{\CO_X(U)}(\CF(U),\CG(U))$ определяют
квазикогерентный пучок $\CExt^i(\CF,\CG)$. Легко убедиться, что $\CExt^i$ --- стирающий
$\delta$-функтор по каждому из аргументов, поэтому является правым производным от $\CHom$.
Для вычисления функторов $\CExt^i$ удобнее всего использовать локально свободные
резольвенты первого аргумента (локально свободные пучки очевидно $\CHom(-,\CF)$-ацикличны
для любого $\CF$).

Функторы $\CHom$ и $\CExt$ сохраняют когерентность 
(если оба аргумента когерентны, то и результат когерентен).

{\bf Тензорное произведение и функторы $\Tor$.}
Пусть $\CF$ и $\CG$ квазикогрентные пучки, а $U \subset X$ --- аффинное открытое
подмножество. Тогда $\CF(U)$ и $\CG(U)$ --- $\CO_X(U)$-модули, значит определен
$\CO_X(U)$-модуль $\CF(U)\otimes_{\CO_X(U)}\CG(U)$. Можно убедиться, что эти структуры 
согласованы для разных $U$, то есть эти модули склеиваются в квазикогерентный пучок,
который обозначается $\CF \otimes_{\CO_X} \CG$ или $\CF \otimes \CG$.
Функтор $\otimes$ точен справа по каждому аргументу.

Аналогично, модули $\Tor_i^{\CO_X(U)}(\CF(U),\CG(U))$ определяют
квазикогерентный пучок $\Tor_i(\CF,\CG)$. Легко убедиться, что $\Tor_i$ --- 
стирающий $\delta$-функтор по каждому из аргументов, поэтому является левым производным от $\otimes$.
Для вычисления функторов $\Tor_i$ удобнее всего использовать локально свободные
резольвенты любого из аргументов (локально свободные пучки очевидно $\otimes$-ацикличны).

Функторы $\otimes$ и $\Tor$ сохраняют когерентность 
(если оба аргумента когерентны, то и результат когерентен).

\begin{remark}
Формула $(\CF\otimes\CG)(U) \cong \CF(U)\otimes_{\CO_X(U)}\CG(U)$ и аналогичные формулы
для $\Tor_i$, $\CHom$ и $\CExt^i$ верны только для аффинных открытых подмножеств $U \subset X$.
\end{remark}


{\bf Глобальные сечения.}
Так как когерентный пучок является пучком абелевых групп, определен функтор 
$\Gamma(X,-):\QCoh(X) \to \Ab$. Пусть $R = \Gamma(X,\CO_X)$. Тогда $R$ --- коммутативное кольцо,
а функтор $\Gamma$ пропускается через категорию $R$-модулей. В частности, если $X$ --- 
схема над полем $\kk$, то $\Gamma$ пропускается через категорию $\kk$-векторных пространств.

Функтор $\Gamma$ точен слева и имеет производные функторы $H^i(X,-)$. 
Для аффинной схемы $X$ функтор $\Gamma$ точен на категории квазикогерентных пучков,
поэтому $H^i(X,-) = 0$ для $i > 0$.

\begin{exercise}
Покажите, что если функтор $F$ точен, то положив $T_0 = F$, $T_i = 0$ при $i > 0$,
получим стирающий $\delta$-функтор, значит $L_iF = 0$ для $i > 0$.
Аналогично для правых производных функторов.
\end{exercise}

На произвольной схеме вычислять когомологии пучков можно, рассматривая инъективные 
(вялые, мягкие, и т.д.) резольвенты. В частности, можно показать, что если дано аффинное 
покрытие $\{U_i\}$ схемы $X$, такое что все $U_{i_0,\dots,i_n}$ тоже аффинны 
(это заведомо выполнено, если схема $X$ отделима), то комплекс Чеха является 
$\Gamma$-ацикличной резольвентой пучка и может быть использован для вычисления когомологий.
Отсюда следует, что все $H^i(X,\CF)$ являются $\Gamma(X,\CO_X)$-модулями.

\begin{exercise}
Пользуясь резольвентой Чеха, посчитайте когомологии пучков $\CO(i)$ на $\PP^n$.
\end{exercise}

При $i > \dim X$ когомологии квазикогерентных пучков обращаются в нуль:
$$
H^i(X,\CF) = 0\qquad
\text{при $i > \dim X$, если $\CF \in \QCoh(X)$}.
$$


{\bf Прямой образ.} 
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем (то есть морфизм топологических пространств
плюс морфизм пучков колец $f^\#:f^{-1}\CO_Y \to \CO_X$.
Аналогично описанному выше случаю, 
определен функтор $f_*:\QCoh(X) \to \Ab$. При этом $f_*\CF(U) = \CF(f^{-1}(U))$ является
$\CO_X(f^{-1}(U))$-модулем, поэтому морфизм $f^\#$ задает на нем структуру модуля 
над $f^{-1}\CO_Y(f^{-1}(U)) = \CO_Y(U)$. Легко проверить, что эти структуры согласованы
для разных $U$, поэтому $f_*\CF$ --- пучок $\CO_Y$-модулей, если $\CF \in \QCoh(X)$.
Более того, можно проверить, что $f_*\CF$ квазикогерентен, так что прямой образ дает функтор
$f_*:\QCoh(X) \to \QCoh(Y)$. 

Функтор $f_*$ точен слева и имеет производные функторы $R^if_*$. 
Если морфизм $f$ аффинный, то функтор $f_*$ точен на категории квазикогерентных пучков,
поэтому $R^if_* = 0$ для $i > 0$.

Для произвольного морфизма вычислять прямые образы можно с помощью комплекса Чеха
(если дано аффинное покрытие $\{U_i\}$ схемы $X$, такое что все $U_{i_0,\dots,i_n}$ 
тоже аффинны , то комплекс Чеха является  $f_*$-ацикличной резольвентой пучка). 
Отсюда следует, что все $R^if_*\CF$ являются квазикогерентными пучками.

Если слои морфизма $f$ имеют размерность не больше $n$, то 
$$
R^if_*\CF = 0\qquad
\text{при $i > n$, если $\CF \in \QCoh(X)$}.
$$


Если морфизм $f$ собственный, то (высшие) прямые образы сохраняют когерентность.
В частности, если $X$ собственная схема над полем, то когомологии когерентного пучка ---
конечномерные векторные пространства.


{\bf Обратный образ.} 
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем.
Если $\CF$ --- квазикогерентный пучок, то $f^{-1}\CF$ не имеет структуры $\CO_X$-модуля.
Однако, он является $f^{-1}\CO_Y$-модулем, поэтому пользуясь морфизмом $f^\#$ можно 
получить структуру $\CO_X$-модуля на 
$$
f^*\CF := f^{-1}\CF \otimes_{f^{-1}\CO_Y} \CO_X.
$$
Легко видеть, что $f^*\CF$ квазикогерентен.

\begin{remark}
Важно понимать, что функтор обратного образа для когерентных пучков определяется совсем не так,
как для пучков абелевых групп. В частности, он обладает совершенно другими свойствами!
\end{remark}

Функтор $f^*$ равен композиции точного функтора $f^{-1}$ и точного справа функтора тензорного
произведения, поэтому он точен справа. Можно показать, что он имеет производные функторы $L_if^*$. 
Если морфизм $f$ плоский (то есть $\CO_X$ является плоским $f^{-1}\CO_Y$-модулем), 
то функтор $f^*$ точен, поэтому $L_if^* = 0$ для $i > 0$. 

Аналогично, если $\CF$ --- плоский $\CO_Y$-модуль (например, если $\CF$ локально свободен), 
то $L_if^*\CF = 0$. Поэтому для произвольного морфизма вычислять обратные образы можно 
с помощью локально свободных резольвент.
Отсюда следует, что все $L_if^*\CF$ являются квазикогерентными пучками.

Обратные образы и их производные функторы сохраняют когерентность.

\bigskip

Между перечисленными функторами есть масса соотношений, которые мы пока не обсуждаем,
так как это гораздо удобнее сделать в рамках формализма производных категорий.
Ограничимся лишь следующими замечаниями.

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функтор $f^*$ сопряжен слева к $f_*$;
(b) $\otimes$ сопряжен слева к $\CHom$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что если $f$ --- открытое вложение, то $f^* = f^{-1}$.
\end{exercise}


\end{document}


\begin{lemma}
\end{lemma}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что
\end{exercise}



Пусть $\CA \subset \CB$ --- строго полная аддитивная подкатегория в аддитивной категории, и пусть функтор вложения $i:\CA \to \CB$
(он автоматически аддитивен) обладает левым сопряженным функтором $i^*$.

\begin{lemma}
Если морфизм $\xymatrix@1{i(X) \ar[r]^{i(f)} & i(Y)}$ имеет ядро в $\CB$,
то $\Ker f = i^*(\Ker i(f))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В силу изоморфизма $\Hom(i^*(\Ker f),X) \cong \Hom(\Ker f,i(X))$ естественный морфизм
$\kappa:\Ker f \to i(X)$ индуцирует морфизм $\kappa':i^*(\Ker f) \to X$.
\end{proof}


\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item
\end{enumerate}
\end{examples}


Также используются {\sf контравариантные функторы}, меняющие направление морфизмов.
Здесь полезно понятие {\sf противоположной категории}. Если $\CC$ --- категория,
определим категорию $\CC^\opp$ так:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\CC^\opp$ категория.
\end{exercise}
{\sf Контравариантный функтор} из $\CC$ в $\D$ --- это ковариантный функтор из $\CC^\opp$ в $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item кольцо функций $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item группа Галуа $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Функторы можно компонировать.
\begin{exercise}
Покажите, что композиция двух ковариантных или двух контравариантных функторов ковариантна,
а композиция ковариантного и контравариантного функторов контравариантна. Проверьте,
что операция компонирования функторов ассоциативна.
\end{exercise}

Функтор $F:\CC \to \D$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- вложение для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf полным}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- сюръекция для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf строго полным} или {\sf вполне строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- изоморфизм для всех $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} и \eqref{i-fun} строго полные;
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} и \eqref{fr-fun} строгие, но не полные.
\end{enumerate}
\end{examples}
Определим {\sf декартово произведение категорий} $\CC$ и $\D$. По определению
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
Функтор $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ называется также {\sf бифунктором}.
\begin{exercise}
Покажите, что $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- бифунктор.
\end{exercise}
%\newpage
\Section{Морфизмы функторов}
Пусть $F,G:\CC \to D$ --- функторы. {\sf Морфизм функторов} (или {\sf естественное преобразование})
$\alpha:F \to G$ --- это набор морфизмов $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ для всех $X \in \CC$, такой что
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{для всех $X,Y \in \CC$ и $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$
Морфизмы функторов можно компонировать друг с другом и с функторами.
\begin{exercise}
(a) Пусть $F,G,H:\CC \to \D$, а $\alpha:F \to G$ и $\beta:G \to H$ --- морфизмы функторов.
Покажите, что $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- морфизм функторов.
(b) Пусть $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ и $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- функторы,
а $\alpha:G \to G'$ --- морфизм функторов. Покажите, что
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ и $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- морфизмы функторов.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Постройте морфизмы функторов
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%Определите композицию морфизмов функторов.
Покажите, что если категория $\CC$ --- {\sf малая} (то есть $\Ob\CC$ --- множество),
то для любой категории $\D$ все функторы из $\CC$ в $\D$ образуют категорию $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Покажите, что $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}
Морфизм функторов $\alpha:F \to G$ называется {\sf изоморфизмом}, если существует
морфизм функторов $\beta:G \to F$, такой что $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.
%\begin{exercise}
%Пусть $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- функторы.
%Покажите, что $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
Таким образом, все малые категории с функторами в качестве морфизмов
образуют категорию $\Cats$. На самом деле, ее естественнее рассматривать
как 2-категорию --- помимо объектов и морфизмов в ней есть 2-морфизмы
(то есть морфизмы между морфизмами --- в нашем примере естественные
преобразования функторов). При этом $\Cats$ является строгой 2-категорией
(композиция 1-морфизмов ассоциативна), хотя вообще в 2-категориях
композиция 1-морфизмов предполагается ассоциативной только с точностью
до 2-изоморфизма.
\end{remark}
Функтор $F:\CC \to \D$ называется {\sf эквивалентностью}, если существует функтор $G:\D \to \CC$,
так что $F\circ G \cong \id_\D$ и $G \circ F \cong \id_\CC$. Функтор $G$ называется {\sf квазиобратным} к $F$.
\begin{remark}
Более привычно выглядит понятие изоморфизма категорий, в отличии от эквивалентности, предполагающего
равенства $F\circ G = \id_\D$ и $G \circ F = \id_\CC$. Однако, на практике, изоморфизмов категорий
практически не встречается, в то время как содержательных эквивалентностей весьма много.
\end{remark}
\begin{exercise}
Пусть $\Cov(X)$ --- категория накрытий топологического пространства $X$,
а $G$-$\Sets$ --- категория множеств с действием группы $G = \pi_1(X,x_0)$,
где $x_0 \in X$ --- фиксированная точка.
Покажите, что функтор $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
эквивалентность (но не изоморфизмом!) этих категорий.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{fun-prod}
Покажите, что $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}
Легко видеть, что всякая эквивалентность является строго полным функтором и индуцирует
изоморфизм множеств классов изоморфизма объектов. Верно и обратное.
\begin{lemma}\label{crit-equ}
Функтор $F:\CC \to \D$ является эквивалентностью $\LRA$ $F$ строго полон
и существенно сюръективен, то есть $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ такой что $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}
Доказательство будет дано чуть позже.
\Section{Представимые функторы}

Пусть $\CC$ --- категория. Всякому объекту $X \in \CC$ сопоставим функторы
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
Функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ называется {\sf представимым}, если он изоморфен функтору $h_X$
для какого-либо $X \in \CC$. Аналогично, функтор $F:\CC \to \Sets$ называется {\sf копредставимым},
если он изоморфен функтору $h^X$ для какого-либо $X \in \CC$. Объект $X$ в этом случае, называется
{\sf представляющим} ({\sf копредставляющим}) функтор $F$.
\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функторы забвения $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ копредставимы;
(b) функтор $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ представим.
\end{exercise}
Очень полезным утверждением является лемма Ионеды.
\begin{lemma}
$(a)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ имеем $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ имеем $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем пункт $(b)$ (пункт $(a)$ доказывается аналогично, а $(c)$ очевидно следует из $(a)$ и $(b)$).
Пусть $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. Рассмотрим морфизм $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (заметим, что $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ так как $F$ контравариантен).
Легко видеть, что морфизмы $s_Y$ образуют морфизм функторов $h_X \to F$.
Обратно, пусть $\alpha:h_X \to F$ --- морфизм функторов. Тогда $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
отображение множеств. Заметим, что $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
Рассмотрим $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.
Таким образом мы построили отображения между множествами $\Hom(h_X,F)$ и $F(X)$.
Покажем, что они взаимно обратны. В самом деле, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
Остается показать, что $\alpha_Y = s_Y$ для всех $Y$.
Для этого для каждого $\phi \in \Hom(Y,X)$ рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
Ясно, что $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ верхней стрелкой переводится в $s$,
который правой стрелкой переводится в $F(\phi)(s)$.
С другой стороны, левой стрелкой $\id_X$ переводится в $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
который нижней стрелкой переводится в $\alpha_Y(\phi)$.
Значит $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Если функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ представим, то объект, представляющий его,
определен однозначно с точностью до изоморфизма. То же относится и к копредставимым функторам.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $h_X \cong F \cong h_Y$. Тогда изоморфизм $h_X \cong h_Y$ дает изоморфизм $X \cong Y$.
\end{proof}
\begin{exercise}
Покажите, что если $\CC$ --- малая категория, то функторы $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ и
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- строго полные функторы.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%Категория $\CC$ называется {\sf насыщенной}, если всякий функтор $\CC \to \Sets$ копредставим,
%а всякий функтор $\CC^\opp \to \Sets$ представим.
%Покажите, что для любой малой категории $\CC$ категория $\Fun(\CC,\Sets)$ насыщена.
%\end{exercise}

Представимые функторы часто используются для категорной переформулировки стандартных конструкций.
Пусть $X_1,X_2 \in \CC$. Рассмотрим функтор $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. Объект, представляющий этот функтор (если он представим),
называется {\sf произведением} объектов $X_1$ и $X_2$. Аналогично, {\sf копроизведением} объектов
$X_1$ и $X_2$ называется объект, копредставляющий функтор $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (если он копредставим).
Аналогично определяются произведения и копроизведения любого множества объектов.
\begin{exercise}
(a) Докажите, что в категориях $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
существуют произведения и копроизведения любого множества объектов.
(b) Проверьте, что произведение в категории $\Comp$ компактных топологических пространств
существует и является тихоновским произведением.
\end{exercise}
Другой пример --- начальный и конечный объекты.
{\sf Начальный объект} --- это объект $0_\CC$, копредставляющий функтор $I(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$,
а {\sf конечный объект} --- это объект $1_\CC$, представляющий функтор $T(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$.
\begin{exercise}
Покажите, что если $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, то $0_\CC \cong 1_\CC$.
Найдите начальный и конечный объекты в категориях $\Sets$ и других категориях.
\end{exercise}

\Section{Сопряженные функторы}
Пусть $F:\CC \to \D$ и $G:\D \to \CC$ --- функторы.
Говорят, что $F$ --- {\sf сопряжен слева к $G$}, а $G$ --- {\sf сопряжен справа к~$F$},
если для всех $X \in \CC$, $Y \in \D$ заданы изоморфизмы
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ функториальные по обоим аргументам
(то есть, при фиксированном $X$ морфизмы $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ функториальны,
и при фиксированном $Y$ морфизмы $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ функториальны).
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item тождественный функтор сопряжен сам себе;
\item функтор $\scm:\Groups \to \Ab$ из примера~\ref{ex-fun}(5) сопряжен слева к функтору вложения $\si:\Ab \to \Groups$;
\item функторы $\sfr$ из примера~\ref{ex-fun}(4) сопряжены слева к функторам $\sfg$ из примера~\ref{ex-fun}(3).
\item если $F:\CC \to \D$ --- эквивалентность, а $G:\D \to \CC$ --- квазиобратный функтор, то $G$
сопряжен к $F$ и справа и слева.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{adjuc}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных функторов. Тогда существуют морфизмы функторов
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, а
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%композиции
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ по сопряженности. Обозначим черех $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
морфизм, соответствующий морфизму $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. Аналогично, $\eta_Y$ соответствует
$\id_{G(Y)}$ при изоморфизме $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
В силу функториальности изоморфизма $\xi$ имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
Морфизм $\id_X$ одной парой стрелок переводится в $\xi_{X,Y}(\phi)$, а другой --- в $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
Второе равенство проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функторы $F$ и $G$ сопряжены друг другу $\LRA$ найдутся морфизмы
функторов $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
композиции
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть вначале $F$ сопряжен слева к $G$. Определим $\epsilon$ и $\eta$ как в лемме~\ref{adjuc}.
Тогда для любого морфизма $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ имеем
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
Подставим $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. Получим
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, то есть тождественность первой композиции.
Тождественность второй проверяется аналогично.
Пусть теперь $F$ и $G$ произвольные, а $\epsilon$ и $\eta$ заданы.
Зададим морфизмы $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ и $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
формулами $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ и $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
В ней квадрат коммутативен в силу функториальности $\eta$, а треугольник --- по условию.
Отсюда получаем $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
Равенство $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функтор $F$ имеет правый сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(F(-),Y)$ представим   для всех $Y \in \D$.
Функтор $G$ имеет левый  сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(X,G(-))$ копредставим для всех $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем изоморфизмы $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ для всех $Y \in \D$
и положим $G(Y) = Y'$. Рассмотрим морфизм $\phi:Y_1 \to Y_2$. Композиция
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
индуцирует некоторый морфизм $G(Y_1) \to G(Y_2)$, что задает дейтсвие $G$ на морфизмах.
Функториальность очевидна.
%Второе утверждение проверяется аналогично.
\end{proof}
Воспользуемся полученными результатами для доказательства леммы~\ref{crit-equ}. Действительно, если
$F$ строго полон и существенно сюръективен, то для всякого $Y \in \D$ существует $X \in \CC$,
такой что $F(X) \cong Y$, значит $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
представимый функтор, следовательно существует правый сопряженный к $F$ функтор $G$.
Пусть $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- соответствующие
морфизмы функторов. Покажем, что они изоморфизмы. Рассмотрим вначале морфизм
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. Применяя функтор $\Hom(X',-)$ получаем морфизм
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, являющийся композицией морфизма $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
и $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, и следовательно изоморфизмом.
Значит $\epsilon_X$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
а значит и сам является изоморфизмом. Рассмотрим теперь морфизм $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
Применяя функтор $\Hom(F(X),-)$ получаем морфизм
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. Его композиция с морфизмом
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ равна морфизму $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
следовательно является изоморфизмом. Но всякий объект $Y' \in \D$ изоморфен объекту $F(X)$ для подходящего $X$,
значит морфизм $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ тоже является изоморфизмом. Таким образом
$\eta_Y$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
а значит и сам является изоморфизмом.
В завершение, приведем пример функторов, определяемых через понятие сопряженности.
Пусть $\CI$ --- малая категория (рассматриваемая как категория индексов).
Рассмотрим функтор проекции $\CC\times\CI \to \CC$. В силу Упр.~\ref{fun-prod}
он дает функтор $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, который мы будем называть постоянным функтором
и обозначать $\Delta$. Для всякого $F \in \Fun(\CI,\CC)$ рассмотрим функторы $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{и}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(первый контравариантен, второй ковариантен). Если эти функторы (ко)представимы, то
(ко)представляю\-щий объект
называется {\sf обратным пределом} (или просто {\sf пределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\ilim_\CI F(i)$ в первом случае,
и {\sf прямым пределом} (или {\sf копределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\dlim_\CI F(i)$  во втором.
В силу свойств представимых функторов, если пределы существуют, то определены однозначно
(с точностью до изоморфизма). Более того, если пределы определены для всех $F$, они являются функторами
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ и $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ соответственно.
\begin{exercise}
(a) Покажите, что если категория $\CI$ {\sf дискретна} (то есть $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ для $i \ne j$),
то $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ и $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) Обозначим через $\CI_{\text{\rm discr}}$ дискретную категорию с $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
Постройте морфизмы функторов $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ и
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}

\end{document}
\begin{definition}
Моноид --- это тройка $(M,\circ,1)$,
состоящая из множества $M$, бинарной операции $\circ$ на $M$
(т.е.\ отображения $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
и элемента $e\in M$, таких что выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[M1] \say{Ассоциативность}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{Аксиома единицы}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $M=\Map(X,X)$ --- множество отображений из множества $X$ в себя,
$\circ$ --- операция композиции отображений, $e=\Id_X$ --- тождественное
отображение.
\item $M=\Map(X,M')$ --- множество отображений из множества $X$ в моноид $M'$,
$\circ$ --- поточечное умножение ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
где $\circ'$ --- операция в $M'$), $e\equiv e'$ --- функция,
тождественно равная единице моноида $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Легко убедиться, что единица во всяком моноиде единственна.
Действительно, если $e'$ --- другая единица, то
$e' = e'\cdot e = e$. Поэтому при задании моноида можно не
указывать его единицу --- достаточно лишь проверить ее существование.
%Моноид $M$ называется \say{коммутативным}, если
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\begin{lemma}
Если $x_1,\dots,x_n$ --- элементы моноида, то все способы расстановки
скобок в произведении $x_1\circ\dots\circ x_n$ дают одинаковый результат.
\end{lemma}
Доказательство --- индукция по $n$.
\begin{definition}
Моноид $M$ называется коммутативным, если
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}
Как правило, в коммутативных моноидах операция записывается аддитивно
($x\circ y =: x+y$), а в некоммутативных мультипликативно ($x\circ y =: xy$).
Произведение $n$ одинаковых элементов
$x\circ\dots\circ x$ обозначается
через $x^n$, при этом удобно положить $x^0=e$. Легко проверить, что
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
для всех неотрицательных $m$ и $n$. При аддитивной записи операции в моноиде
пользуются обозначением $nx$ вместо $x^n$. При этом свойство $(\ref{prop1})$
приобретает вид $nx + mx = (n+m)x$.
Элемент $x$ в моноиде $M$ называется \say{обратимым}, если существуют
элемент $y$ (\say{левый  обратный}), такой что $y\circ x = e$; и
элемент $z$ (\say{правый обратный}), такой что $x\circ z = e$.
\begin{lemma}\label{inv}
Если $x$ --- обратим, то всякий левый обратный к $x$ равен всякому правому
обратному к $x$.
\end{lemma}
Доказательство:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Тем самым, для любого обратимого элемента $x$ существует единственный элемент,
являющийся одновременно правым и левым обратным к $x$. Этот элемент
обозначается $x^{-1}$ (при аддитивной записи: $-x$) и называется
обратным к $x$.
Далее, удобно обозначить $(x^{-1})^n$ через $x^{-n}$ (при аддитивной
записи $-nx$). Тогда свойство $(\ref{prop1})$ становится верным при
любых целых $n$ и $m$.
\begin{definition}
Группа --- это моноид, в котором все элементы обратимы.
\end{definition}
\begin{lemma}
Если $M$ --- моноид, то множество $M^*$ обратимых элементов в $M$
является группой.
\end{lemma}
Доказательство:
Достаточно проверить, что множество $M^*$ замкнуто относительно
операции $\circ$, то есть что для любых обратимых элементов $x,y\in M$
произведение $x\circ y$ --- тоже обратимо. Действительно, ясно, что
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
то есть элемент $y^{-1}\circ x^{-1}$ является обратным к $x\circ y$.\qed
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.
\item $(\ZZ,+)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\QQ^*,\cdot)$ (варианты: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).
\item \say{Группа перестановок} (симметрическая группа) $\FS_n$ ---
множество изоморфизмов из $n$-элементного множества $\{1,\dots,n\}$
на себя с операцией композиции отображений.
\item $G = \Map(X,G')$ --- множество отображений из множества $X$
в группу $G'$.
\item Группы автоморфизмов (см.\ лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{canc}
Если в группе $G$ выполнено одно из равенств $x\circ y=x\circ z$ или
$y\circ x=z\circ x$, то $y=z$.
\end{lemma}
Доказательство: если $x\circ y=x\circ z$, то
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Второй случай разбирается аналогично.
Группа называется коммутативной, если она коммутативна как моноид.
Коммутативные группы также называются \say{абелевыми}.

\Section{Кольца и поля}
\begin{definition}
Кольцо--- это набор $(R,+,\cdot,0,1)$,
состоящий из множества $R$, бинарных операций $+$ (сложение) и
$\cdot$ (умножение) на $R$ и элементов $0,1\in R$, таких что
%$R$ является абелевой группой относительно сложения
выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- абелева группа.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- моноид.
\item[R3] \say{Дистрибутивность (билинейность) умножения}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}
Умножение в кольце часто записывают в виде $xy=x\cdot y$.
Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.
\item $\ZZ$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $R=\Map(X,R')$ --- множество отображений из множества $X$
в кольцо $R'$ с поточечными операциями.
\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{многочленов} (\say{полиномов}) с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{формальных степенных рядов} с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- кольцо матриц размера $n$ на $n$
с коэффициентами в кольце $R'$. Элементы $R$ --- это таблицы вида
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
с покомпонентным сложением; умножением, задаваемым формулой
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{где }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
нулевой матрицей в качестве 0 и диагональной матрицей
с единицами на диагонале в качестве 1.
\item Кольца эндоморфизмов (см. лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}
Если $R$ --- кольцо, то $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
Доказательство:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
и остается применить лемму~\ref{canc} к аддитивной группе кольца.
\begin{definition}
Кольцо, в котором $0\ne 1$ и все элементы кроме нуля являются
группой относительно умножения, называется \say{телом},
а если оно к тому же коммутативно, то \say{полем}.
\end{definition}
Некоммутативные тела встречаются достаточно редко; простейший пример ---
тело кватернионов $\HH$. С полями дело обстоит значительно лучше.
\begin{examples} Примеры полей.
\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, где $p$ --- простое число.
\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.
\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- поле рациональных
функций с коэффициентами в поле $K'$.
\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- поле (формальных) рядов Лорана с коэффициентами в поле $K'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
\Section{Гомоморфизмы}
\begin{definition}
Гомоморфизм групп (моноидов) $f:G\to G'$ --- это отображение, такое что
$f(e)=e'$ и $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
Гомоморфизм колец (полей) $f:R\to R'$ --- это отображение, являющееся
гомоморфизмом их аддитивной группы и мультипликативного моноида.
\end{definition}
\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item Если $G$ --- группа, а $x\in G$, то отображение $n\mapsto x^n$
является гомоморфизмом групп $\ZZ\to G$.
\item Если $R$ --- кольцо, а $x\in R$, то отображение $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
является гомоморфизмом колец $\ZZ\to R$.
\item Проекция $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ является гомоморфизмом колец.
\item Отображения $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ и
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ являются гомоморфизмами групп.
\item Отображение вычисления $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
является гомоморфизмом групп.
\item Если $R$ --- коммутативное кольцо, и $r\in R$,
то отображение вычисления $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
является гомоморфизмом колец.
\item Всякий элемент кольца $R$ можно рассматривать как многочлен степени 0,
а всякий многочлен можно рассматривать как формальный степенной ряд,
все члены которого, начиная с некоторого места равны нулю. Тем самым
задаются гомоморфизмы колец $R \to R[x]$ и $R[x] \to R[[x]]$.
%\item Если $f:R\to R'$ --- гомоморфизм колец, и $r\in R$, то
%отображение $\tilde{f}:R'[x]\to R$, переводящее
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ в $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%гомоморфизм колец.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{hom1}
Композиция гомоморфизмов является гомоморфизмом.
Если $f:M\to M'$ --- гомоморфизм моноидов, а $x\in M$ --- обратимый
элемент, то $f(x)\in M'$ --- обратим и $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
Доказательство:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
откуда следует первая часть леммы. Для доказательства второй части
достаточно заметить, что
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, то есть
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed

Гомоморфизм (моноидов, групп, колец, полей, и т.д.) $f:M\to M'$ называется
\say{эпиморфизмом} (сюръекцией, наложением), если
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ т.ч. $f(x)=z$.
Гомоморфизм $f$ называется \say{мономорфизмом} (инъекцией, вложением),
если из равенства $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, следует $x=y$.
Гомоморфизм $f:M\to M'$ называется \say{изоморфизмом}, если
существует гомоморфизм $g:M'\to M$, такой что
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.
\begin{lemma}
Гомоморфизм групп (колец) является изоморфизмом $\LRA$
он является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
\end{lemma}
Доказательство: всякий изоморфизм биективен, следовательно
является мономорфизмом и эпиморфизмом. Обратно, если гомоморфизм
является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то он биективен,
следовательно существует обратное отображение, которое (легко проверить)
является гомоморфизмом. \qed

Всякий гомоморфизм из (моноида, группы, кольца, поля, и т.д.) в себя
называется \say{эндоморфизмом}. Эндоморфизм, являющийся изоморфизмом,
называется \say{автоморфизмом}.
\begin{lemma}\label{endaut}
Если $M$ --- любая алгебраическая структура (моноид, группа, кольцо, поле),
то множество его автоморфизмов $\Aut(M)$ является группой. Если $M$ ---
абелева группа, то множество ее эндоморфизмов $\End(M)$ является кольцом.
\end{lemma}
Доказательство: из леммы~\ref{hom1} следует, что $\End(M)$ является моноидом
относительно операции композиции эндоморфизмов, а $\Aut(M)$ является
множеством его обратимых эементов, следовательно $\Aut(M)$ --- группа.
Если же $M$ является абелевой группой, то на $\End(M)$ есть операция
поточечного сложения ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), так что $\End(M)$ становится
кольцом.\qed
\begin{definition}
Ядром гомоморфизма групп $f:G\to G'$ называется
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. Образом гомоморфизма
групп $f:G\to G'$ называется $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
Аналогично, ядром гомоморфизма колец $f:R\to R'$ называется
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. Образом гомоморфизма колец $f:R\to R'$
называется $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}
Легко видеть, что ядро и образ гомоморфизма групп $f:G\to G'$
являются \say{подгруппами} (то есть подмножествами, являющимися
группами относительно индуцированной операции) в $G$ и $G'$ соотв.
Аналогично, ядро и образ гомоморфизма колец $f:R\to R'$
являются \say{подкольцами} (то есть подмножествами, являющимися
кольцами относительно индуцированных операций) в $R$ и $R'$ соотв.
\begin{lemma}
Гомоморфизм $f$ групп (колец) является мономорфизмом $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ соотв.).
Гомоморфизм моноидов $f:M\to M'$ является эпиморфизмом $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
Доказательство: пусть $f:M\to M'$ --- гомоморфизм групп и $f(x)=f(y)$. Тогда
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
следовательно $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. Далее очевидно.
\begin{corollary}\label{field_mono}
Любой гомоморфизм из поля в кольцо является вложением.
\end{corollary}
Доказательство: по лемме~\ref{hom1} любой обратимый элемент
поля (относительно мультипликативной структуры) переходит
в обратимый элемент. Следовательно, всякий ненулевой элемент
переходит не в ноль. В частности, ядро гомоморфизма равно нулю,
следовательно гомоморфизм --- вложение. \qed

\Section{Прямые произведения}
Пусть $(M_1,\circ_1,e_1)$ и $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- моноиды.
Тогда на произведении
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
возникает структура моноида:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
Этот моноид называется \say{прямым произведением} моноидов $M_1$ и $M_2$.
\begin{lemma}
Произведение групп (колец) является группой (кольцом).
\end{lemma}
Доказательство: очевидно.
Напротив, легко проверить, что произведение полей является кольцом,
но не полем. Действительно, в произведении полей $K\times L$ имеем
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
следовательно элементы $(1_K,0_L)$ и $(0_K,1_L)$ необратимы.
\end{document}





Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.





В самом деле, пусть $P'$ --- другая накрывающая, такая что морфизм $P' \to X$ пропускается через $P$.
Пусть $X'' = \Ker(P' \to X)$. Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X'' \ar[r] \ar[d] & P' \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & P \ar[r] & X \ar[r] & 0
}
$$


Из единственности легко следует, что $f_k:T_k \to E_k$ --- морфизм функторов.

Проверим теперь, что $f_k$ и $f_{k-1}$ коммутируют с $\delta_{k-1}$.
Рассмотрим точный последовательности $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ и $0 \to X''' \to P \to X'' \to 0$,
где $P$ --- накрывающая для $X$, такая --- что $E_k(P) = 0$, а $X''' = \Ker(P \to X'')$.
Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X''' \ar[r] \ar[d] & P \ar[r] \ar[d] & X'' \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & X \ar[r] & X'' \ar[r] & 0
}
$$
которая дает кубическую диаграмму
$$
\xymatrix@!=3ex{
T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] \ar@{=}[dr] && T_{k-1}(X''') \ar@{->}'[d][dd] \ar[dr] \\
& T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] && T_{k-1}(X') \ar[dd] \\
%
E_k(X'') \ar@{->}'[r][rr] \ar@{=}[dr] && E_{k-1}(X''') \ar[dr] \\
& E_k(X'') \ar[rr] && E_{k-1}(X')
}
$$
Нам надо доказать коммутативность передней грани.
При этом все остальные грани коммутативны (верхняя и нижняя --- так как
$T_\bullet$ и $E_\bullet$ --- $\delta$-функторы, правая ---
в силу функториальности $f_{k-1}$, левая --- в силу равенств, а задняя --- по определению $f_k$).
Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.
