\documentclass{amsart}
\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\begin{document}


\Name{Производные категории}{Гомологическая алгебра 6}{22.10.2008}


\Section{Локализация категорий}

Определение производной категории очень просто.
{\sf Производная категория абелевой категории $\CA$}\/ --- это локализация
категории комплексов $\Com(\CA)$ относительно класса квазиизоморфизмов.
Единственное нетривиальное место здесь --- это понятие локализации категории.
Как это часто бывает, здесь есть два подхода.

Во-первых, есть формальное определение через универсальное свойство, от которого,
на первый взгляд, мало толку. Однако оно часто очень удачно работает. Например,
с его помощью легко строить функторы из локализованной категории (в частности
из производной категории).

Во-вторых, есть явная (относительно) конструкция локализованной категории,
которая по началу  сильно облегчает жизнь. Однако, это эффект чисто психологический ---
явная конструкция при работе с производными категориями практически никогда не используется.

Начнем с формального определения. Для всякой категории $\CC$ обозначим через $\Iso(\CC)$
класс всех изоморфизмов в $\CC$. Пусть теперь $\CC$ --- категория, а $S$ --- какой-либо
класс морфизмов в $\CC$.
{\sf Локализацией категории $\CC$ относительно класса $S$}
называется пара, состоящая из категории $\CC[S^{-1}]$ и функтора $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$,
такие что
\begin{enumerate}
\item $Q(S) \subset \Iso(\CC[S^{-1}])$;
\item для любого функтора $F:\CC \to \CC'$, такого что $F(S) \subset \Iso(\CC')$ существует единственный
с точностью до изоморфизма функтор $F':\CC[S^{-1}] \to \CC'$, такой что $F'\circ Q \cong F$.
\end{enumerate}

\begin{lemma}
Если локализация $\CC[S^{-1}]$ существует, то она определена однозначно
с точностью до эквивалентности категорий.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $Q_1:\CC \to \CC_1$ и $Q_2:\CC \to \CC_2$ --- две локализации категории $\CC$
относительно одного и того же класса морфизмов $S$. Так как $Q_1(S) \subset \Iso(\CC_1)$
и $Q_2(S) \subset \Iso(\CC_2)$, по универсальному свойству получаем функторы $F:\CC_1 \to \CC_2$
и $G:\CC_2 \to \CC_1$, такие что $F\circ Q_1 \cong Q_2$ и $G\circ Q_2 \cong Q_1$.
Следовательно, $G \circ F \circ Q_1 \cong Q_1$, поэтому в силу единственности функтора
в универсальном свойстве, получаем изоморфизм $G \circ F \cong \id_{\CC_1}$.
Аналогично $F \circ G \cong \id_{\CC_2}$. Значит $F$ и $G$ взаимно обратные эквиваллентности.
\end{proof}


\begin{exercise}
Покажите, что
(a) если $S \subset \Iso(\CC)$, то $\CC[S^{-1}] \cong \CC$, $Q \cong \id_\CC$;
(b) если $S = \Hom(\CC)$, то $\CC[S^{-1}] \cong \pi_0(\CC)$, где $\pi_0(\CC)$ ---
это категория, такая что $\Ob(\pi_0(\CC))$ --- это классы изоморфизма объектов в $\CC$,
а морфизмы --- только тождественные.
\end{exercise}


Если $S$ --- произвольный класс морфизм, обозначим через $\OS$ минимальный класс,
содержащий $S$, $\Iso(\CC)$, и такой что если $f\circ g = h$ и два из трех морфизмов
$f$, $g$ и $h$ содержатся в $S$, то содержится и третий. Класс морфизмов $S$ называется
{\sf насыщеным}, если $\OS = S$.

\begin{lemma}
Если одна из категорий $\CC[S^{-1}]$ и $\CC[\OS^{-1}]$ существует, то существует и вторая и они эквивалентны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $\CC[S^{-1}]$ существует, $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$ функтор локализации, а $F:\CC \to \CC'$ --- функтор,
такой что $F(\OS) \subset \Iso(\CC')$. Так как $S \subset \OS$, существует единственный функтор $F':\CC[S^{-1}] \to \CC'$,
такой что $F \cong F'\circ Q$. При этом ясно, что $Q(\OS) \subset \overline{Q(S)} \subset \overline{\Iso} = \Iso$.
Поэтому $\CC[S^{-1}]$ является локализацией $\CC$ в $\OS$.

Обратно, пусть $\CC[\OS^{-1}]$ существует, $\OQ:\CC \to \CC[\OS^{-1}]$ функтор локализации, а $F:\CC \to \CC'$ --- функтор,
такой что $F(S) \subset \Iso(\CC')$. Тогда $F(\OS) \subset \overline{F(S)} \subset \overline{\Iso} = \Iso$,
поэтому существует единственный функтор $F':\CC[\OS^{-1}] \to \CC'$, такой что $F \cong F'\circ \OQ$.
При этом $\OQ(S) \subset \OQ(\OS) \subset \Iso$.
Поэтому $\CC[\OS^{-1}]$ является локализацией $\CC$ в $S$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что если $S \subset T$, то $\CC[T^{-1}] \cong \CC[S^{-1}][Q_S(T)^{-1}]$.
\end{exercise}

\Section{Исчисление частных}

Явно категория $\CC[S^{-1}]$ строится с помощью ``исчисления частных''.
Для удобства будем считать класс $S$ насыщенным.
Пусть $X,Y \in \CC$. Рассмотрим диаграммы
$$
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& Z \\ X \ar[ur]^f && Y \ar[ul]_s
}}
\qquad\qquad\text{и}\qquad\qquad
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
X && Y \\ & Z \ar[ur]_f \ar[ul]^s
}}
$$
в которых $s \in S$, а $f$ --- произвольный морфизм.
Первую из этих диаграмм будем называть {\sf левой $S$-дробью} и обозначать $s^{-1}\circ f$,
а вторую --- {\sf правой $S$-дробью} и обозначать $f\circ s^{-1}$. При этом $f$ будем называть
числителем дроби, а $s$ --- знаменателем.

Кроме того, рассмотрим диаграммы вида
$$
\xymatrix@=2ex{
& Z_1 && Z_2 && \dots && Z_{n-1} && Z_n \\
X \ar[ur]^{f_1} && W_1 \ar[ul]_{s_1} \ar[ur]^{f_2} &&  \ar[ul]_{s_2} & \dots & \ar[ur]^{f_{n-1}} && W_{n-1} \ar[ul]_{s_{n-1}} \ar[ur]^{f_n} && Y \ar[ul]_{s_n}
}
$$
в которых $s_i \in S$, а $f_i$ --- произвольные морфизмы. Такие диаграммы будем называть
{\sf сложными $S$-дробями}.
Две сложные дроби будем называть элементарно эквивалентными, если одна из них получается
\begin{itemize}
\item добавлением в цепочку морфизмов фрагмента $s^{-1}\circ s$ или $s\circ s^{-1}$ для некоторого $s \in S$;
\item заменой фрагмента $g\circ \id^{-1} \circ f$ на $(g\circ f)$;
\item заменой фрагмента $s^{-1}\circ \id \circ t^{-1}$ на $(t\circ s)^{-1}$;
\end{itemize}
и просто эквивалентными, если их можно соединить цепочкой элементарных эквивалентностей.

Можно определить категорию $\CC[S^{-1}]$ следующим образом.
Объекты в $\CC[S^{-1}]$ --- это объекты в $\CC$, морфизмы из $X$ в $Y$--- классы
эквивалентности сложных дробей, начинающиеся в $X$ и кончающиеся в $Y$,
а композиция морфизмов --- присоединение сложных дробей (она очевидно согласована
с отношением эквивалентности). При этом левая дробь $\id^{-1}\circ\id$
очевидно является тождественным морфизмом. Единственная сложность --- вообще говоря,
морфизмы в этой категории не будут образовывать множество, а будут образовывать
лишь класс. Чтобы бороться с этой проблемой, приходится вводить ограничения на категорию $\CC$.
Например, можно ограничиться рассмотрением лишь малых категорий $\CC$.
Действительно, если категория $\CC$ малая, то все сложные дроби образуют
множество.


\begin{lemma}
Если $\CC$ --- малая категория, то определенная выше категория $\CC[S^{-1}]$
является локализацией категории $\CC$ относительно $S$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Покажем, что построенная категория в самом деле является локализацией.
Определим функтор $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$, являющийся тождественным
на объектах и переводящим морфизм $f$ в левую дробь $\id^{-1}\circ f$.
Так как $\id^{-1}\circ g\circ\id^{-1}\circ f \sim \id^{-1}\circ (g\circ f)$
это действительно функтор. Пусть теперь $F:\CC \to \CC'$ --- функтор, такой что
$F(S) \subset \Iso(\CC')$. Определим функтор $F':\CC[S^{-1}] \to \CC'$ таким образом.
На объектах $F'$ совпадает с $F$, а дробь $s_n^{-1}\circ f_n\circ\dots\circ s_1^{-1}\circ f_1$
переводит в морфизм $F(s_n)^{-1}\circ F(f_n)\circ\dots\circ F(s_1)^{-1}\circ F(f_1)$.
Легко видеть, что эквивалентные дроби переходят в один и тот же морфизм,
и что композиция морфизмов переходит в композицию. Поэтому это функтор.
Единственность такого функтора тоже ясна.
\end{proof}


Чтобы сокращать сложные дроби, надо уметь переносить знаменатели справа налево или слева направо.

\begin{lemma}\label{multfrac}
Предположим композиции морфизмов $W_1 \stackrel{s_1}\to Z_1 \stackrel{g}\to Z$
и $W_1 \stackrel{f_2}\to Z_2 \stackrel{t}\to Z$ равны, причем $s_1,t \in S$.
Тогда $s_2^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim (t\circ s_2)^{-1}\circ (g\circ f_1)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В самом деле,
\begin{multline*}
s_2^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim 
s_2^{-1}\circ \id\circ \id^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim 
s_2^{-1}\circ \id\circ t^{-1}\circ t\circ \id^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim \\ \sim
(ts_2)^{-1}\circ (tf_2)\circ s_1^{-1}\circ f_1 = 
%\\ =
(ts_2)^{-1}\circ (gs_1)\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim
(ts_2)^{-1}\circ g\circ \id^{-1}\circ s_1\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim \\ \sim
(ts_2)^{-1}\circ g\circ \id^{-1}\circ f_1 \sim
(ts_2)^{-1}\circ (gf_1).
\end{multline*}
\end{proof}




\begin{lemma}
Если $\CC$ имеет нулевой объект $0_\CC$, то он же является нулевым объектом в $\CC[S^{-1}]$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим вначале, что всякая левая дробь $0 \stackrel{0}\to Z \stackrel{s}\leftarrow X$ 
эквивалентна дроби $0 \stackrel{0}\to X \stackrel{\id}\leftarrow X$.
В самом деле $s^{-1}\circ 0 \sim s^{-1}\circ s\circ \id^{-1} \circ 0 \sim \id^{-1}\circ 0$.
При этом, композицию последней дроби с любой другой можно свернуть
$s^{-1}\circ f\circ \id^{-1}\circ 0 \sim (\id s)^{-1}\circ (f 0) = s^{-1}\circ 0$.
Пользуясь этими двумя замечаниями легко показать, что $\Hom_{\CC[S^{-1}]}(0,Y)$
состоит из одного элемента, то есть $0$ является начальным объектом.

Аналогично, всякая левая дробь $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{0}\leftarrow 0$ 
эквивалентна дроби $X \stackrel{0}\to 0 \stackrel{0}\leftarrow 0$.
В самом деле $0^{-1}\circ f \sim 0^{-1}\circ 0\circ 0^{-1} \circ f \sim 0^{-1}\circ 0$
(во второй эквивалентности использовалось равенство $0 = \id \in \Hom_\CC(0,0)$).
При этом, по той же причине композицию последней дроби с любой другой можно свернуть
$0^{-1}\circ 0\circ s^{-1}\circ f \sim 0^{-1}\circ f$.
Таким образом, $\Hom_{\CC[S^{-1}]}(X,0)$ состоит из одного элемента, то есть $0$ является конечным объектом.
\end{proof}


\Section{Условия Оре}

Однако, указанная конструкция имеет большие недостатки.
Во-первых, множество сложных дробей имеет непростую структуру и его сложно описать.
Во-вторых, если, например, исходная категория $\CC$ аддитивна,
совершенно непонятно, будет ли аддитивной категория $\CC[S^{-1}]$.
Обе эти проблемы исчезают, если множество $S$ удовлетворяет следующим свойствам,
которые иногда называются (левые) {\sf условия Оре}:
\begin{enumerate}
%\item тождественные морфизмы всех объектов лежат в $S$;
%\item $S$ замкнут относительно композиции;
\item класс $S$ насыщен;
\item для всякой правой $S$-дроби $g\circ t^{-1}$ найдется левая $S$-дробь $s^{-1}\circ f:X \to Y$, так что
диаграмма
$$
\xymatrix@=2ex{
& Z \\ X \ar[ur]^f && Y \ar[ul]_s \\ & W \ar[ul]^t \ar[ur]_g
}
$$
коммутативна;
\item если для морфизмов $f,g$ найдется $s \in S$, такой что $fs = gs$,
то найдется и $t \in S$, так что $tf = tg$.
\end{enumerate}
\begin{remark}
Вместо условий $(2)$ и $(3)$ можно использовать правые условия Оре, в которых левые дроби меняются с правыми ролями.
\end{remark}

\begin{lemma}
Если класс $S$
%в категории $\CC$
удовлетворяет левым условиям Оре, то
$\Hom_{\CC[S^{-1}]}(X,Y)$ есть фактор множества левых $S$-дробей из $X$ в $Y$
по отношению эквивалентности:
$s^{-1}\circ f \approx (ts)^{-1}\circ (tf)$,
где $t \in S$.
%$s_1^{-1}\circ f_1 \approx s_2^{-1}\circ f_2$,
%если существует коммутативная диаграмма
%$$\vcenter{\xymatrix{
%& Z_1 \ar[d]^{t_1} \\
%X \ar[ur]^{f_1} \ar[dr]_{f_2} & Z & Y \ar[ul]_{s_1} \ar[dl]^{s_2} \\
%& Z_2 \ar[u]_{t_2}
%}}
%$$
%в которой $t_1,t_2 \in S$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Всякую левую дробь можно рассматривать как сложную.
Так как
%
%Нам надо проверить, во-первых, что если левые дроби эквивалентны,
%то они эквивалентны и как сложные дроби, а во-вторых, что всякая
%сложная дробь эквивалентна единственной левой дроби. В самом деле,
$$
s^{-1}\circ f \sim
s^{-1}\circ\id\circ\id^{-1}\circ f \sim
s^{-1}\circ\id\circ t^{-1}\circ t\circ \id^{-1}\circ f \sim
(ts)^{-1}\circ (tf),
$$
эквивалентным левым дробям соответствуют эквивалентные сложные дроби,
значит мы получаем корректно определенное отображение из множества классов эквивалентности 
левых дробей в классы эквивалентности сложных дробей.

Построим обратное отображение. Пусть $s_n^{-1}\circ f_n\circ\dots\circ s_1^{-1}\circ f_1$ --- сложная дробь.
Пользуясь условием Оре~(2), для каждой правой дроби $f_i\circ s_{i-1}^{-1}$ найдем подходящую левую дробь
$s_{i-1,i}^{-1}\circ f_{i-1,i}$. Затем для каждой правой дроби $f_{i,i+1}\circ s_{i-1,i}^{-1}$ найдем 
подходящую левую дробь $s_{i-1,i+1}^{-1}\circ f_{i-1,i+1}$, и т.д. В результате получим коммутативную 
диаграмму вида
$$
\xymatrix@=2ex{
&&&&& Z_{15} \\
&&&& Z_{14} \ar[ur]^{f_{15}} && Z_{25} \ar[ul]_{s_{15}} \\
&&& Z_{13} \ar[ur]^{f_{14}} && Z_{24} \ar[ul]_{s_{14}} \ar[ur]^{f_{25}} &&  Z_{35} \ar[ul]_{s_{25}} \\
&& Z_{12} \ar[ur]^{f_{13}} && Z_{23} \ar[ul]_{s_{13}} \ar[ur]^{f_{24}} && 
Z_{34} \ar[ul]_{s_{24}} \ar[ur]^{f_{35}} && Z_{45} \ar[ul]_{s_{35}} \\
& Z_1 \ar[ur]^{f_{12}} && Z_2 \ar[ul]_{s_{12}} \ar[ur]^{f_{23}} && Z_3 \ar[ul]_{s_{23}} \ar[ur]^{f_{34}} && 
Z_{4} \ar[ul]_{s_{34}} \ar[ur]^{f_{45}} && Z_5 \ar[ul]_{s_{45}} \\
X \ar[ur]^{f_1} && W_1 \ar[ul]_{s_1} \ar[ur]^{f_2} &&  W_2 \ar[ul]_{s_2} \ar[ur]^{f_3} && 
W_3 \ar[ul]_{s_3} \ar[ur]^{f_4} && W_{4} \ar[ul]_{s_4} \ar[ur]^{f_5} && Y \ar[ul]_{s_5}
}
$$
Положим $f = f_{1n}\circ f_{1,n-1}\circ \dots \circ f_{12}\circ f_1$ и $s = s_{1n}\circ s_{2n}\circ \dots \circ s_{n-1,n}\circ s_n$.
Покажем, что левая дробь $s^{-1}\circ f$ определена исходной сложной дробью 
однозначно с точностью до эквивалентности (то есть меняется на эквивалентную при другом выборе
морфизмов $s_{ij}$, $f_{ij}$ и замене исходной дроби на эквивалентную).
В самом деле, поменяем например левую дробь $s_{12}^{-1}\circ f_{12}$ на $t_{12}^{-1}\circ g_{12}$
(так что $f_{12}s_1 = s_{12}f_2$  и $g_{12}s_1 = t_{12}f_2$). Рассмотрим правую дробь
$s_{12}\circ t_{12}^{-1}$ и найдем для нее подходящую левую дробь $u^{-1}\circ v$.
Тогда $vt_{12} = us_{12}$, причем $u \in S$. В силу насыщенности $S$ получаем также $v \in S$.
Теперь $vg_{12}s_1 = vt_{12}f_2 = us_{12}f_2 = uf_{12}s_1$.
Пользуясь условием Оре~(3), находим $w \in S$, такой что $wvg_{12} = wuf_{12}$.
Значит 
$$
(s_{12}s_2)^{-1}\circ (f_{12}f_1) \approx 
(wus_{12}s_2)^{-1}\circ (wuf_{12}f_1) = 
(wvt_{12}s_2)^{-1}\circ(wvg_{12}f_1) \approx 
(t_{12}s_2)^{-1}\circ (g_{12}f_1).
$$
Остается проверить, что результат нашей операции не зависит (с точностью до эквивалентности)
от замены одной из левых дробей на эквивалентную. В самом деле, пусть мы меняем $s_i^{-1}\circ f_i$
на $(t_is_i)^{-1}\circ (t_if_i)$. Найдем для правых дробей
$t_i\circ s_{i-1,i}^{-1}$ и $f_{i,i+1}\circ t_i^{-1}$ подходящие левые дроби 
$u^{-1}\circ t_{i-1,i}$ и $t_{i,i+1}^{-1}\circ g$. Как и раньше доказываем $t_{i-1,i} \in S$.
Теперь меняем левые дроби $s_{i-1,i}^{-1}\circ f_{i-1,i}$ и $s_{i,i+1}^{-1}\circ f_{i,i+1}$ 
на $(t_{i-1,i}s_{i-1,i})^{-1}\circ (t_{i-1,i}f_{i-1,i})$ и 
$(t_{i,i+1}s_{i,i+1}^{-1})\circ (t_{i,i+1}f_{i,i+1})$ соответственно.
Продолжая тем же способом, заменим всю диаграмму, в результате чего будет видно,
что результат операции будет заменен на эквивалентную левую дробь.
Следовательно, наша операция корректно определена и остается лишь проверить, что она действительно обратная,
то есть что композиции тождественны.

Случай одной из композиций очевиден. Если мы берем левую дробь, рассматриваем ее как сложную,
то диаграмма тривиальна, и результат --- исходная левая дробь. Поэтому остается заметить, что
в силу леммы~\ref{multfrac} левая дробь, построенная по сложной дроби, эквивалентна ей как сложная дробь.
%%
%%и покажем, что левая дробь $s^{-1}\circ f$ эквивалентна исходной сложной дроби.
%%
%В самом деле,
%\begin{multline*}
%s_2^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ (s_{12}f_2)\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ (f_{12}s_1)\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim \\ \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ f_{12}\circ \id^{-1} \circ s_1 \circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ f_{12}\circ \id^{-1} \circ f_1 \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ (f_{12}\circ f_1).
%\end{multline*}
%Действуя таким же способом, получаем искомую эквивалентность.
%%Значит всякая сложная дробь эквивалентна левой дроби.
%%Остается проверить, что построенная левая дробь определена исходной сложной дробью 
%%однозначно с точностью до эквивалентности (то есть меняется на эквивалентную при другом выборе
%%морфизмов $s_{ij}$, $f_{ij}$ и замене исходной дроби на эквивалентную).
%%
\end{proof}

Другой способ доказать лемму --- проверить свойство универсальности.

\begin{exercise}
Положим $\Ob \CC' = \Ob \CC$, $\Hom_{\CC'}(X,Y)$ --- фактор множества левых $S$-дробей из $X$ в $Y$
по отношению эквивалентности $\sim$. 
(a) Введите операцию композиции.
(b) Проверьте ее ассоциативность.\\
(c) Покажите, что категория $\CC'$ удовлетворяет универсальному свойству локализации.
\end{exercise}

Пользуясь условиями Оре можно приводить дроби к общему знаменателю,
что позволяет их складывать.

\begin{lemma}
Пусть категория $\CC$ аддитивна, а для $S$ выполнены условия Оре.
Тогда категория $\CC[S^{-1}]$ и функтор $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$ аддитивны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Введем операцию сложения на $\Hom_{\CC[S^{-1}]}(X,Y)$ следующим образом.
Пусть $s^{-1}\circ f$ и $t^{-1}\circ g$ --- две левых дроби из $X$ в $Y$.
Рассмотрим правую дробь $s\circ t^{-1}$ и найдем для нее подходящую левую дробь $u^{-1}\circ v$.
Тогда $w := vt = us$, причем $u \in S$. В силу насыщенности $S$ получаем также $v \in S$.
Положим 
$$
s^{-1}\circ f + t^{-1}\circ g := w^{-1}\circ (uf + vg).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) построенная операция задает структуру абелевой группы;\\
(b) операция композиции морфизмов билинейна;
(с) функтор $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$ линеен на морфизмах.
%(d) объект $0_\CC$ является начальным и конечным в $\CC[S^{-1}]$.
\end{exercise}
Остается проверить, что существуют произведения.
Для любых объектов $Y_1,Y_2 \in Y$ рассмотрим проекции $p_k:Y_1\times Y_2 \to Y_k$ и вложения $i_k:Y_k \to Y_1\times Y_2$.
Тогда $p_ki_l = \delta_{kl}$, $i_1p_1 + i_2p_2 = \id$. Так как $Q$ линеен на морфизмах,
все те же соотношения выполняются и в $\CC[S^{-1}]$, откуда следует, что $Y_1\times Y_2$ 
является произведением (а также и копроизведением) объектов $Y_1$ и $Y_2$ в $\CC[S^{-1}]$.
\end{proof}

Таким образом, при локализации категории по классу морфизмов, удовлетворяющему
условиям Оре, аддитивность категории сохраняется. Естественно спросить, сохраняется ли абелевость.
Ответ оказывается почти всегда отрицательным. Однако, в дальнейшем мы покажем, что при локализации
сохранятся другое важное свойство категории --- триангулированность --- которое является
неплохой заменой абелевости. Пока же вернемся к определению производной категории.


\Section{Производная категория как локализация гомотопической}

Итак, напомним, что производная категория $\D(\CA)$ абелевой категории $\CA$ --- 
это локализация категории комплексов $\Com(\CA)$ относительно класса квазиизоморфизмов $\Qis$:
$$
\D(\CA) := \Com(\CA)[\Qis^{-1}].
$$
\begin{exercise}
Покажите, что класс $\Qis$ насыщен.
\end{exercise}

Однако, класс $\Qis$ в категории комплексов не удовлетворяет условиям Оре.
Поэтому напрямую воспользоваться результатами предыдущей части невозможно.
Однако, все становится значительно лучше, если перейти к гомотопической категории.

{\sf Гомотопическая категория} комплексов $\Hot(\CA)$ определяется следующим образом:
$$
\Ob\Hot(\CA) = \Ob\Com(\CA),\qquad
\Hom_{\Hot(\CA)}(X,Y) = \Hom_{\Com(\CA)}(X,Y)/\sim_h,
$$
где $\sim_h$ --- гомотопическая эквивалентность.

\begin{exercise}
Покажите, что морфизмы гомотопные нулю образуют идеал
(то есть набор абелевых подгрупп в морфизмах, инвариантный
относительно композиции с произвольными морфизмами). В частности,
на $\Hot(\CA)$ существует структура категории, такая что естественный отображение
$H:\Com(\CA) \to \Hot(\CA)$ (тождественный на объектах и проекция на морфизмах)
является функтором. Проверьте, что категория $\Hot(\CA)$ и функтор $H$ аддитивны.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Функтор локализации $Q:\Com(\CA) \to \D(\CA)$ раскладывается в композицию $Q = Q'\circ H$,
где $Q':\Hot(\CA) \to \D(A)$. Более того, существует эквивалентность
$$
\D(\CA) \cong \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}],
$$ 
такая что $Q'$ изоморфен функтору локализации $Q_H:\Hot(\CA) \to \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}]$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Естественный функтор $Q_H\circ H:\Com(\CA) \to \Hot(\CA) \to \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}]$
переводит квазиизоморфизмы в изоморфизмы, и, значит пропускается через
функтор $F:\D(\CA) \to \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}]$. 
Для построения обратного функтора покажем, что функтор локализации
$Q:\Com(\CA) \to \D(\CA)$ переводит морфизмы, гомотопные нулю в нуль.
В самом деле, пусть $f:X \to Y$ и $f \sim_h 0$.
Рассмотрим конус $C(\id_X)$. Заметим, что морфизм
$$
c^k = (f^k,h^{k+1}):C(\id_X)^k = X^k \oplus X^{k+1} \to Y^k
$$
является морфизмом комплексов $c:C(\id_X) \to Y$, причем $f = c\circ i:X \to C(\id_X) \to Y$.
Значит $Q(f) = Q(c)Q(i)$. С другой стороны, комплекс $C(\id_X)$ ацикличен, то есть квазиизоморфен
нулевому, а значит $Q(C(\id_X)) \cong 0$ в $\D(\CA)$. Таким образом, морфизм $Q(f)$ пропускается
через нулевой объект, и значит равен нулю. 
Следовательно, функтор $Q$ раскладывается в композицию $Q'\circ H$.
При этом $Q'(H(\Qis)) = Q(\Qis) \subset \Iso$, поэтому $Q'$ раскладывается в композицию
$Q' = G\circ Q_H$. Получаем коммутативную диаграмму функторов
$$
\xymatrix{
\Com(\CA) \ar[rr]^H \ar[d]_Q && \Hot(\CA) \ar[dll]_{Q'} \ar[d]^{Q_H} \\
\Com(\CA)[\Qis]^{-1} \ar@<.4ex>[rr]^F && \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}] \ar@<.4ex>[ll]^G
}
$$

Покажем, что $F$ и $G$ квазиобратны. В самом деле, 
$G \circ F\circ Q = G \circ Q_H\circ H = Q' \circ H = Q$,
поэтому в силу универсальности, получаем $G\circ F \cong \id$.
Аналогично, $F \circ G \circ Q_H = F \circ Q' = Q_H$,
откуда $F \circ G \cong \id$.
\end{proof}


\begin{lemma}
В гомотопической категории $\Hot(\CA)$ класс квазиизоморфизмов удовлетворяет
и левым и правым условиям Оре.
\end{lemma}
\begin{proof}
Проверим левые условия Оре.
Насыщенность класса квазиизоморфизмов очевидна. Докажем свойство (2).
Пусть, $g:W \to Y$, $t:W \to X$ --- морфизмы в $\Com(\CA)$ (любые
морфизмы в $\Hot(\CA)$ по определению поднимаются), причем $t \in \Qis$. 
Рассмотрим морфизм $\phi = t \oplus g:W \to X \oplus Y$ и положим $Z = C(\phi)$.
Получим морфизм $i_\phi:X\oplus Y \to Z$, такой что $i_\phi\circ \phi \sim_h 0$
в силу следующего упражнения.
\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм комплексов, а $i:Y \to C(f)$ и $p:C(f) \to X[1]$ ---
естественные морфизмы. Покажите, что $i\circ f \sim_h 0$ и $f[1]\circ p \sim_h 0$.
\end{exercise}
Пусть $i_\phi = f \oplus s$, где $f:X \to Z$ и $s:Y \to Z$.
Тогда $i_\phi\circ \phi = f\circ t + s\circ g \sim_h 0$,
откуда $(-f)\circ t \sim_h s\circ g$. Остается проверить, 
что $s$ --- квазиизоморфизм. Для этого напишем точную последовательность когомологий
$$
\dots \to H^{k-1}(Z) \to H^k(W) \stackrel{H^k(\phi)}\to 
H^k(X) \oplus H^k(Y) \stackrel{H^k(i_\phi)}\to H^k(Z) \to H^{k+1}(W) \to \dots
$$
Так как $\phi = t \oplus g$, а $t$ --- квазиизоморфизм, морфизм $H^k(W) \to H^k(X) \oplus H^k(Y)$ инъективен,
значит морфизмы $H^k(Z) \to H^{k+1}(W)$ равны нулю, то есть длинная точная последовательность
разрезается на точные тройки
$$
0 \to H^k(W) \stackrel{H^k(\phi)}\to H^k(X) \oplus H^k(Y) \stackrel{H^k(i_\phi)}\to H^k(Z) \to 0.
$$
Отсюда следует, что квадрат
$$
\xymatrix{
H^k(W) \ar[rr]^{H^k(t)} \ar[d]_{H^k(g)} && H^k(X) \ar[d]^{-H^k(f)} \\
H^k(Y) \ar[rr]^{H^k(s)} && H^k(Z) 
}
$$
декартов и кодекартов, поэтому из того, что $H^k(t)$ изоморфизм следует, что $H^k(s)$ также изоморфизм.

Остается проверить свойство (3). В силу аддитивности достаточно показать, что
если для $f:X \to Y$ найдется $s:Z \to X$, $s\in\Qis$, такой что $fs \sim_h 0$, 
то найдется и $t:Y \to W$, $t\in\Qis$, такой что $tf=0$. 
Рассмотрим конус $C(s)$ и морфизм $i:X \to C(s)$. 
Пусть $h$ --- гомотопия для морфизма $fs$, так что $fs = dh + hd$. 
Рассмотрим морфизм $g^k = (f^k,h^{k+1}):C(s)^k = X^k \oplus Z^{k+1} \to Y^k$.
Тогда
$$
g d_{C(s)} = 
(f,h)\left(\begin{smallmatrix} d & s \\ 0 & -d \end{smallmatrix}\right) = 
(fd,fs-hd) = (df,dh) = d(f,h) = d_Y g,
\qquad
g i_f = (f,h)\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right) = f,
$$
значит $g$ --- морфизм комплексов и $g\circ i_f = f$. Пусть теперь $W = C(g)$ и $t=i_g:X \to W$. Тогда
$tf = i_g g i_f \sim_h 0$ так как $i_g g \sim_h 0$. С другой стороны, $C(s)$ ацикличен, так как $s$ квазиизоморфизм,
поэтому из длинной точной последовательности для $C(g)$ следует, что $t$ квазиизоморфизм.
\end{proof}

\begin{corollary}
Производная категория $\D(\CA)$ аддитивна.
\end{corollary}

%Однако, производная категория почти никогда не является абелевой.
%В следующий раз мы опишем структуру на $\D(\CA)$, заменяющую структуру абелевой категории.


%\Section{Ограниченная производная категория}

В определении производной категории можно заменить категорию комплексов
$\Com(\CA)$ на любую из следующих подкатегорий:
\begin{itemize}
\item $\Com^b(\CA)$ --- категорию ограниченных комплексов;
\item $\Com^+(\CA)$ --- категорию ограниченных снизу комплексов;
\item $\Com^-(\CA)$ --- категорию ограниченных сверху комплексов.
\end{itemize}
Поскольку взятие конуса сохраняет свойство ограниченности, все наши рассуждения применимы 
и в этой ситуации. Следовательно, определены ограниченные производные категории
$\D^b(\CA) = \Com^b(\CA)[\Qis^{-1}]$, $\D^+(\CA) = \Com^+(\CA)[\Qis^{-1}]$ и 
$\D^-(\CA) = \Com^-(\CA)[\Qis^{-1}]$, которые также являются локализациями
ограниченных гомотопических категорий $\Hot^b(\CA)$, $\Hot^+(\CA)$ и $\Hot^-(\CA)$, 
и в частности аддитивны.

Еще один вариант --- рассмотреть категорию $n$-периодических комплексов
(и $n$-периодических морфизмов). Она даст $n$-периодическую производную категорию.






\end{document}


\begin{lemma}
\end{lemma}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что
\end{exercise}



Пусть $\CA \subset \CB$ --- строго полная аддитивная подкатегория в аддитивной категории, и пусть функтор вложения $i:\CA \to \CB$
(он автоматически аддитивен) обладает левым сопряженным функтором $i^*$.

\begin{lemma}
Если морфизм $\xymatrix@1{i(X) \ar[r]^{i(f)} & i(Y)}$ имеет ядро в $\CB$,
то $\Ker f = i^*(\Ker i(f))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В силу изоморфизма $\Hom(i^*(\Ker f),X) \cong \Hom(\Ker f,i(X))$ естественный морфизм
$\kappa:\Ker f \to i(X)$ индуцирует морфизм $\kappa':i^*(\Ker f) \to X$.
\end{proof}


\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item
\end{enumerate}
\end{examples}


Также используются {\sf контравариантные функторы}, меняющие направление морфизмов.
Здесь полезно понятие {\sf противоположной категории}. Если $\CC$ --- категория,
определим категорию $\CC^\opp$ так:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\CC^\opp$ категория.
\end{exercise}
{\sf Контравариантный функтор} из $\CC$ в $\D$ --- это ковариантный функтор из $\CC^\opp$ в $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item кольцо функций $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item группа Галуа $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Функторы можно компонировать.
\begin{exercise}
Покажите, что композиция двух ковариантных или двух контравариантных функторов ковариантна,
а композиция ковариантного и контравариантного функторов контравариантна. Проверьте,
что операция компонирования функторов ассоциативна.
\end{exercise}

Функтор $F:\CC \to \D$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- вложение для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf полным}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- сюръекция для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf строго полным} или {\sf вполне строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- изоморфизм для всех $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} и \eqref{i-fun} строго полные;
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} и \eqref{fr-fun} строгие, но не полные.
\end{enumerate}
\end{examples}
Определим {\sf декартово произведение категорий} $\CC$ и $\D$. По определению
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
Функтор $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ называется также {\sf бифунктором}.
\begin{exercise}
Покажите, что $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- бифунктор.
\end{exercise}
%\newpage
\Section{Морфизмы функторов}
Пусть $F,G:\CC \to D$ --- функторы. {\sf Морфизм функторов} (или {\sf естественное преобразование})
$\alpha:F \to G$ --- это набор морфизмов $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ для всех $X \in \CC$, такой что
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{для всех $X,Y \in \CC$ и $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$
Морфизмы функторов можно компонировать друг с другом и с функторами.
\begin{exercise}
(a) Пусть $F,G,H:\CC \to \D$, а $\alpha:F \to G$ и $\beta:G \to H$ --- морфизмы функторов.
Покажите, что $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- морфизм функторов.
(b) Пусть $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ и $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- функторы,
а $\alpha:G \to G'$ --- морфизм функторов. Покажите, что
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ и $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- морфизмы функторов.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Постройте морфизмы функторов
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%Определите композицию морфизмов функторов.
Покажите, что если категория $\CC$ --- {\sf малая} (то есть $\Ob\CC$ --- множество),
то для любой категории $\D$ все функторы из $\CC$ в $\D$ образуют категорию $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Покажите, что $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}
Морфизм функторов $\alpha:F \to G$ называется {\sf изоморфизмом}, если существует
морфизм функторов $\beta:G \to F$, такой что $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.
%\begin{exercise}
%Пусть $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- функторы.
%Покажите, что $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
Таким образом, все малые категории с функторами в качестве морфизмов
образуют категорию $\Cats$. На самом деле, ее естественнее рассматривать
как 2-категорию --- помимо объектов и морфизмов в ней есть 2-морфизмы
(то есть морфизмы между морфизмами --- в нашем примере естественные
преобразования функторов). При этом $\Cats$ является строгой 2-категорией
(композиция 1-морфизмов ассоциативна), хотя вообще в 2-категориях
композиция 1-морфизмов предполагается ассоциативной только с точностью
до 2-изоморфизма.
\end{remark}
Функтор $F:\CC \to \D$ называется {\sf эквивалентностью}, если существует функтор $G:\D \to \CC$,
так что $F\circ G \cong \id_\D$ и $G \circ F \cong \id_\CC$. Функтор $G$ называется {\sf квазиобратным} к $F$.
\begin{remark}
Более привычно выглядит понятие изоморфизма категорий, в отличии от эквивалентности, предполагающего
равенства $F\circ G = \id_\D$ и $G \circ F = \id_\CC$. Однако, на практике, изоморфизмов категорий
практически не встречается, в то время как содержательных эквивалентностей весьма много.
\end{remark}
\begin{exercise}
Пусть $\Cov(X)$ --- категория накрытий топологического пространства $X$,
а $G$-$\Sets$ --- категория множеств с действием группы $G = \pi_1(X,x_0)$,
где $x_0 \in X$ --- фиксированная точка.
Покажите, что функтор $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
эквивалентность (но не изоморфизмом!) этих категорий.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{fun-prod}
Покажите, что $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}
Легко видеть, что всякая эквивалентность является строго полным функтором и индуцирует
изоморфизм множеств классов изоморфизма объектов. Верно и обратное.
\begin{lemma}\label{crit-equ}
Функтор $F:\CC \to \D$ является эквивалентностью $\LRA$ $F$ строго полон
и существенно сюръективен, то есть $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ такой что $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}
Доказательство будет дано чуть позже.
\Section{Представимые функторы}

Пусть $\CC$ --- категория. Всякому объекту $X \in \CC$ сопоставим функторы
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
Функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ называется {\sf представимым}, если он изоморфен функтору $h_X$
для какого-либо $X \in \CC$. Аналогично, функтор $F:\CC \to \Sets$ называется {\sf копредставимым},
если он изоморфен функтору $h^X$ для какого-либо $X \in \CC$. Объект $X$ в этом случае, называется
{\sf представляющим} ({\sf копредставляющим}) функтор $F$.
\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функторы забвения $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ копредставимы;
(b) функтор $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ представим.
\end{exercise}
Очень полезным утверждением является лемма Ионеды.
\begin{lemma}
$(a)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ имеем $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ имеем $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем пункт $(b)$ (пункт $(a)$ доказывается аналогично, а $(c)$ очевидно следует из $(a)$ и $(b)$).
Пусть $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. Рассмотрим морфизм $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (заметим, что $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ так как $F$ контравариантен).
Легко видеть, что морфизмы $s_Y$ образуют морфизм функторов $h_X \to F$.
Обратно, пусть $\alpha:h_X \to F$ --- морфизм функторов. Тогда $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
отображение множеств. Заметим, что $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
Рассмотрим $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.
Таким образом мы построили отображения между множествами $\Hom(h_X,F)$ и $F(X)$.
Покажем, что они взаимно обратны. В самом деле, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
Остается показать, что $\alpha_Y = s_Y$ для всех $Y$.
Для этого для каждого $\phi \in \Hom(Y,X)$ рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
Ясно, что $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ верхней стрелкой переводится в $s$,
который правой стрелкой переводится в $F(\phi)(s)$.
С другой стороны, левой стрелкой $\id_X$ переводится в $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
который нижней стрелкой переводится в $\alpha_Y(\phi)$.
Значит $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Если функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ представим, то объект, представляющий его,
определен однозначно с точностью до изоморфизма. То же относится и к копредставимым функторам.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $h_X \cong F \cong h_Y$. Тогда изоморфизм $h_X \cong h_Y$ дает изоморфизм $X \cong Y$.
\end{proof}
\begin{exercise}
Покажите, что если $\CC$ --- малая категория, то функторы $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ и
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- строго полные функторы.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%Категория $\CC$ называется {\sf насыщенной}, если всякий функтор $\CC \to \Sets$ копредставим,
%а всякий функтор $\CC^\opp \to \Sets$ представим.
%Покажите, что для любой малой категории $\CC$ категория $\Fun(\CC,\Sets)$ насыщена.
%\end{exercise}

Представимые функторы часто используются для категорной переформулировки стандартных конструкций.
Пусть $X_1,X_2 \in \CC$. Рассмотрим функтор $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. Объект, представляющий этот функтор (если он представим),
называется {\sf произведением} объектов $X_1$ и $X_2$. Аналогично, {\sf копроизведением} объектов
$X_1$ и $X_2$ называется объект, копредставляющий функтор $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (если он копредставим).
Аналогично определяются произведения и копроизведения любого множества объектов.
\begin{exercise}
(a) Докажите, что в категориях $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
существуют произведения и копроизведения любого множества объектов.
(b) Проверьте, что произведение в категории $\Comp$ компактных топологических пространств
существует и является тихоновским произведением.
\end{exercise}
Другой пример --- начальный и конечный объекты.
{\sf Начальный объект} --- это объект $0_\CC$, копредставляющий функтор $I(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$,
а {\sf конечный объект} --- это объект $1_\CC$, представляющий функтор $T(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$.
\begin{exercise}
Покажите, что если $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, то $0_\CC \cong 1_\CC$.
Найдите начальный и конечный объекты в категориях $\Sets$ и других категориях.
\end{exercise}

\Section{Сопряженные функторы}
Пусть $F:\CC \to \D$ и $G:\D \to \CC$ --- функторы.
Говорят, что $F$ --- {\sf сопряжен слева к $G$}, а $G$ --- {\sf сопряжен справа к~$F$},
если для всех $X \in \CC$, $Y \in \D$ заданы изоморфизмы
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ функториальные по обоим аргументам
(то есть, при фиксированном $X$ морфизмы $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ функториальны,
и при фиксированном $Y$ морфизмы $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ функториальны).
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item тождественный функтор сопряжен сам себе;
\item функтор $\scm:\Groups \to \Ab$ из примера~\ref{ex-fun}(5) сопряжен слева к функтору вложения $\si:\Ab \to \Groups$;
\item функторы $\sfr$ из примера~\ref{ex-fun}(4) сопряжены слева к функторам $\sfg$ из примера~\ref{ex-fun}(3).
\item если $F:\CC \to \D$ --- эквивалентность, а $G:\D \to \CC$ --- квазиобратный функтор, то $G$
сопряжен к $F$ и справа и слева.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{adjuc}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных функторов. Тогда существуют морфизмы функторов
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, а
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%композиции
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ по сопряженности. Обозначим черех $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
морфизм, соответствующий морфизму $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. Аналогично, $\eta_Y$ соответствует
$\id_{G(Y)}$ при изоморфизме $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
В силу функториальности изоморфизма $\xi$ имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
Морфизм $\id_X$ одной парой стрелок переводится в $\xi_{X,Y}(\phi)$, а другой --- в $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
Второе равенство проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функторы $F$ и $G$ сопряжены друг другу $\LRA$ найдутся морфизмы
функторов $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
композиции
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть вначале $F$ сопряжен слева к $G$. Определим $\epsilon$ и $\eta$ как в лемме~\ref{adjuc}.
Тогда для любого морфизма $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ имеем
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
Подставим $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. Получим
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, то есть тождественность первой композиции.
Тождественность второй проверяется аналогично.
Пусть теперь $F$ и $G$ произвольные, а $\epsilon$ и $\eta$ заданы.
Зададим морфизмы $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ и $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
формулами $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ и $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
В ней квадрат коммутативен в силу функториальности $\eta$, а треугольник --- по условию.
Отсюда получаем $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
Равенство $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функтор $F$ имеет правый сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(F(-),Y)$ представим   для всех $Y \in \D$.
Функтор $G$ имеет левый  сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(X,G(-))$ копредставим для всех $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем изоморфизмы $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ для всех $Y \in \D$
и положим $G(Y) = Y'$. Рассмотрим морфизм $\phi:Y_1 \to Y_2$. Композиция
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
индуцирует некоторый морфизм $G(Y_1) \to G(Y_2)$, что задает дейтсвие $G$ на морфизмах.
Функториальность очевидна.
%Второе утверждение проверяется аналогично.
\end{proof}
Воспользуемся полученными результатами для доказательства леммы~\ref{crit-equ}. Действительно, если
$F$ строго полон и существенно сюръективен, то для всякого $Y \in \D$ существует $X \in \CC$,
такой что $F(X) \cong Y$, значит $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
представимый функтор, следовательно существует правый сопряженный к $F$ функтор $G$.
Пусть $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- соответствующие
морфизмы функторов. Покажем, что они изоморфизмы. Рассмотрим вначале морфизм
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. Применяя функтор $\Hom(X',-)$ получаем морфизм
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, являющийся композицией морфизма $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
и $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, и следовательно изоморфизмом.
Значит $\epsilon_X$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
а значит и сам является изоморфизмом. Рассмотрим теперь морфизм $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
Применяя функтор $\Hom(F(X),-)$ получаем морфизм
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. Его композиция с морфизмом
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ равна морфизму $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
следовательно является изоморфизмом. Но всякий объект $Y' \in \D$ изоморфен объекту $F(X)$ для подходящего $X$,
значит морфизм $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ тоже является изоморфизмом. Таким образом
$\eta_Y$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
а значит и сам является изоморфизмом.
В завершение, приведем пример функторов, определяемых через понятие сопряженности.
Пусть $\CI$ --- малая категория (рассматриваемая как категория индексов).
Рассмотрим функтор проекции $\CC\times\CI \to \CC$. В силу Упр.~\ref{fun-prod}
он дает функтор $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, который мы будем называть постоянным функтором
и обозначать $\Delta$. Для всякого $F \in \Fun(\CI,\CC)$ рассмотрим функторы $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{и}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(первый контравариантен, второй ковариантен). Если эти функторы (ко)представимы, то
(ко)представляю\-щий объект
называется {\sf обратным пределом} (или просто {\sf пределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\ilim_\CI F(i)$ в первом случае,
и {\sf прямым пределом} (или {\sf копределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\dlim_\CI F(i)$  во втором.
В силу свойств представимых функторов, если пределы существуют, то определены однозначно
(с точностью до изоморфизма). Более того, если пределы определены для всех $F$, они являются функторами
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ и $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ соответственно.
\begin{exercise}
(a) Покажите, что если категория $\CI$ {\sf дискретна} (то есть $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ для $i \ne j$),
то $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ и $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) Обозначим через $\CI_{\text{\rm discr}}$ дискретную категорию с $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
Постройте морфизмы функторов $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ и
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}

\end{document}
\begin{definition}
Моноид --- это тройка $(M,\circ,1)$,
состоящая из множества $M$, бинарной операции $\circ$ на $M$
(т.е.\ отображения $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
и элемента $e\in M$, таких что выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[M1] \say{Ассоциативность}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{Аксиома единицы}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $M=\Map(X,X)$ --- множество отображений из множества $X$ в себя,
$\circ$ --- операция композиции отображений, $e=\Id_X$ --- тождественное
отображение.
\item $M=\Map(X,M')$ --- множество отображений из множества $X$ в моноид $M'$,
$\circ$ --- поточечное умножение ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
где $\circ'$ --- операция в $M'$), $e\equiv e'$ --- функция,
тождественно равная единице моноида $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Легко убедиться, что единица во всяком моноиде единственна.
Действительно, если $e'$ --- другая единица, то
$e' = e'\cdot e = e$. Поэтому при задании моноида можно не
указывать его единицу --- достаточно лишь проверить ее существование.
%Моноид $M$ называется \say{коммутативным}, если
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\begin{lemma}
Если $x_1,\dots,x_n$ --- элементы моноида, то все способы расстановки
скобок в произведении $x_1\circ\dots\circ x_n$ дают одинаковый результат.
\end{lemma}
Доказательство --- индукция по $n$.
\begin{definition}
Моноид $M$ называется коммутативным, если
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}
Как правило, в коммутативных моноидах операция записывается аддитивно
($x\circ y =: x+y$), а в некоммутативных мультипликативно ($x\circ y =: xy$).
Произведение $n$ одинаковых элементов
$x\circ\dots\circ x$ обозначается
через $x^n$, при этом удобно положить $x^0=e$. Легко проверить, что
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
для всех неотрицательных $m$ и $n$. При аддитивной записи операции в моноиде
пользуются обозначением $nx$ вместо $x^n$. При этом свойство $(\ref{prop1})$
приобретает вид $nx + mx = (n+m)x$.
Элемент $x$ в моноиде $M$ называется \say{обратимым}, если существуют
элемент $y$ (\say{левый  обратный}), такой что $y\circ x = e$; и
элемент $z$ (\say{правый обратный}), такой что $x\circ z = e$.
\begin{lemma}\label{inv}
Если $x$ --- обратим, то всякий левый обратный к $x$ равен всякому правому
обратному к $x$.
\end{lemma}
Доказательство:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Тем самым, для любого обратимого элемента $x$ существует единственный элемент,
являющийся одновременно правым и левым обратным к $x$. Этот элемент
обозначается $x^{-1}$ (при аддитивной записи: $-x$) и называется
обратным к $x$.
Далее, удобно обозначить $(x^{-1})^n$ через $x^{-n}$ (при аддитивной
записи $-nx$). Тогда свойство $(\ref{prop1})$ становится верным при
любых целых $n$ и $m$.
\begin{definition}
Группа --- это моноид, в котором все элементы обратимы.
\end{definition}
\begin{lemma}
Если $M$ --- моноид, то множество $M^*$ обратимых элементов в $M$
является группой.
\end{lemma}
Доказательство:
Достаточно проверить, что множество $M^*$ замкнуто относительно
операции $\circ$, то есть что для любых обратимых элементов $x,y\in M$
произведение $x\circ y$ --- тоже обратимо. Действительно, ясно, что
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
то есть элемент $y^{-1}\circ x^{-1}$ является обратным к $x\circ y$.\qed
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.
\item $(\ZZ,+)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\QQ^*,\cdot)$ (варианты: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).
\item \say{Группа перестановок} (симметрическая группа) $\FS_n$ ---
множество изоморфизмов из $n$-элементного множества $\{1,\dots,n\}$
на себя с операцией композиции отображений.
\item $G = \Map(X,G')$ --- множество отображений из множества $X$
в группу $G'$.
\item Группы автоморфизмов (см.\ лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{canc}
Если в группе $G$ выполнено одно из равенств $x\circ y=x\circ z$ или
$y\circ x=z\circ x$, то $y=z$.
\end{lemma}
Доказательство: если $x\circ y=x\circ z$, то
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Второй случай разбирается аналогично.
Группа называется коммутативной, если она коммутативна как моноид.
Коммутативные группы также называются \say{абелевыми}.

\Section{Кольца и поля}
\begin{definition}
Кольцо--- это набор $(R,+,\cdot,0,1)$,
состоящий из множества $R$, бинарных операций $+$ (сложение) и
$\cdot$ (умножение) на $R$ и элементов $0,1\in R$, таких что
%$R$ является абелевой группой относительно сложения
выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- абелева группа.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- моноид.
\item[R3] \say{Дистрибутивность (билинейность) умножения}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}
Умножение в кольце часто записывают в виде $xy=x\cdot y$.
Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.
\item $\ZZ$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $R=\Map(X,R')$ --- множество отображений из множества $X$
в кольцо $R'$ с поточечными операциями.
\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{многочленов} (\say{полиномов}) с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{формальных степенных рядов} с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- кольцо матриц размера $n$ на $n$
с коэффициентами в кольце $R'$. Элементы $R$ --- это таблицы вида
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
с покомпонентным сложением; умножением, задаваемым формулой
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{где }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
нулевой матрицей в качестве 0 и диагональной матрицей
с единицами на диагонале в качестве 1.
\item Кольца эндоморфизмов (см. лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}
Если $R$ --- кольцо, то $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
Доказательство:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
и остается применить лемму~\ref{canc} к аддитивной группе кольца.
\begin{definition}
Кольцо, в котором $0\ne 1$ и все элементы кроме нуля являются
группой относительно умножения, называется \say{телом},
а если оно к тому же коммутативно, то \say{полем}.
\end{definition}
Некоммутативные тела встречаются достаточно редко; простейший пример ---
тело кватернионов $\HH$. С полями дело обстоит значительно лучше.
\begin{examples} Примеры полей.
\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, где $p$ --- простое число.
\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.
\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- поле рациональных
функций с коэффициентами в поле $K'$.
\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- поле (формальных) рядов Лорана с коэффициентами в поле $K'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
\Section{Гомоморфизмы}
\begin{definition}
Гомоморфизм групп (моноидов) $f:G\to G'$ --- это отображение, такое что
$f(e)=e'$ и $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
Гомоморфизм колец (полей) $f:R\to R'$ --- это отображение, являющееся
гомоморфизмом их аддитивной группы и мультипликативного моноида.
\end{definition}
\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item Если $G$ --- группа, а $x\in G$, то отображение $n\mapsto x^n$
является гомоморфизмом групп $\ZZ\to G$.
\item Если $R$ --- кольцо, а $x\in R$, то отображение $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
является гомоморфизмом колец $\ZZ\to R$.
\item Проекция $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ является гомоморфизмом колец.
\item Отображения $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ и
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ являются гомоморфизмами групп.
\item Отображение вычисления $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
является гомоморфизмом групп.
\item Если $R$ --- коммутативное кольцо, и $r\in R$,
то отображение вычисления $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
является гомоморфизмом колец.
\item Всякий элемент кольца $R$ можно рассматривать как многочлен степени 0,
а всякий многочлен можно рассматривать как формальный степенной ряд,
все члены которого, начиная с некоторого места равны нулю. Тем самым
задаются гомоморфизмы колец $R \to R[x]$ и $R[x] \to R[[x]]$.
%\item Если $f:R\to R'$ --- гомоморфизм колец, и $r\in R$, то
%отображение $\tilde{f}:R'[x]\to R$, переводящее
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ в $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%гомоморфизм колец.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{hom1}
Композиция гомоморфизмов является гомоморфизмом.
Если $f:M\to M'$ --- гомоморфизм моноидов, а $x\in M$ --- обратимый
элемент, то $f(x)\in M'$ --- обратим и $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
Доказательство:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
откуда следует первая часть леммы. Для доказательства второй части
достаточно заметить, что
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, то есть
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed

Гомоморфизм (моноидов, групп, колец, полей, и т.д.) $f:M\to M'$ называется
\say{эпиморфизмом} (сюръекцией, наложением), если
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ т.ч. $f(x)=z$.
Гомоморфизм $f$ называется \say{мономорфизмом} (инъекцией, вложением),
если из равенства $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, следует $x=y$.
Гомоморфизм $f:M\to M'$ называется \say{изоморфизмом}, если
существует гомоморфизм $g:M'\to M$, такой что
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.
\begin{lemma}
Гомоморфизм групп (колец) является изоморфизмом $\LRA$
он является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
\end{lemma}
Доказательство: всякий изоморфизм биективен, следовательно
является мономорфизмом и эпиморфизмом. Обратно, если гомоморфизм
является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то он биективен,
следовательно существует обратное отображение, которое (легко проверить)
является гомоморфизмом. \qed

Всякий гомоморфизм из (моноида, группы, кольца, поля, и т.д.) в себя
называется \say{эндоморфизмом}. Эндоморфизм, являющийся изоморфизмом,
называется \say{автоморфизмом}.
\begin{lemma}\label{endaut}
Если $M$ --- любая алгебраическая структура (моноид, группа, кольцо, поле),
то множество его автоморфизмов $\Aut(M)$ является группой. Если $M$ ---
абелева группа, то множество ее эндоморфизмов $\End(M)$ является кольцом.
\end{lemma}
Доказательство: из леммы~\ref{hom1} следует, что $\End(M)$ является моноидом
относительно операции композиции эндоморфизмов, а $\Aut(M)$ является
множеством его обратимых эементов, следовательно $\Aut(M)$ --- группа.
Если же $M$ является абелевой группой, то на $\End(M)$ есть операция
поточечного сложения ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), так что $\End(M)$ становится
кольцом.\qed
\begin{definition}
Ядром гомоморфизма групп $f:G\to G'$ называется
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. Образом гомоморфизма
групп $f:G\to G'$ называется $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
Аналогично, ядром гомоморфизма колец $f:R\to R'$ называется
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. Образом гомоморфизма колец $f:R\to R'$
называется $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}
Легко видеть, что ядро и образ гомоморфизма групп $f:G\to G'$
являются \say{подгруппами} (то есть подмножествами, являющимися
группами относительно индуцированной операции) в $G$ и $G'$ соотв.
Аналогично, ядро и образ гомоморфизма колец $f:R\to R'$
являются \say{подкольцами} (то есть подмножествами, являющимися
кольцами относительно индуцированных операций) в $R$ и $R'$ соотв.
\begin{lemma}
Гомоморфизм $f$ групп (колец) является мономорфизмом $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ соотв.).
Гомоморфизм моноидов $f:M\to M'$ является эпиморфизмом $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
Доказательство: пусть $f:M\to M'$ --- гомоморфизм групп и $f(x)=f(y)$. Тогда
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
следовательно $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. Далее очевидно.
\begin{corollary}\label{field_mono}
Любой гомоморфизм из поля в кольцо является вложением.
\end{corollary}
Доказательство: по лемме~\ref{hom1} любой обратимый элемент
поля (относительно мультипликативной структуры) переходит
в обратимый элемент. Следовательно, всякий ненулевой элемент
переходит не в ноль. В частности, ядро гомоморфизма равно нулю,
следовательно гомоморфизм --- вложение. \qed

\Section{Прямые произведения}
Пусть $(M_1,\circ_1,e_1)$ и $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- моноиды.
Тогда на произведении
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
возникает структура моноида:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
Этот моноид называется \say{прямым произведением} моноидов $M_1$ и $M_2$.
\begin{lemma}
Произведение групп (колец) является группой (кольцом).
\end{lemma}
Доказательство: очевидно.
Напротив, легко проверить, что произведение полей является кольцом,
но не полем. Действительно, в произведении полей $K\times L$ имеем
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
следовательно элементы $(1_K,0_L)$ и $(0_K,1_L)$ необратимы.
\end{document}





Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.





В самом деле, пусть $P'$ --- другая накрывающая, такая что морфизм $P' \to X$ пропускается через $P$.
Пусть $X'' = \Ker(P' \to X)$. Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X'' \ar[r] \ar[d] & P' \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & P \ar[r] & X \ar[r] & 0
}
$$


Из единственности легко следует, что $f_k:T_k \to E_k$ --- морфизм функторов.

Проверим теперь, что $f_k$ и $f_{k-1}$ коммутируют с $\delta_{k-1}$.
Рассмотрим точный последовательности $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ и $0 \to X''' \to P \to X'' \to 0$,
где $P$ --- накрывающая для $X$, такая --- что $E_k(P) = 0$, а $X''' = \Ker(P \to X'')$.
Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X''' \ar[r] \ar[d] & P \ar[r] \ar[d] & X'' \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & X \ar[r] & X'' \ar[r] & 0
}
$$
которая дает кубическую диаграмму
$$
\xymatrix@!=3ex{
T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] \ar@{=}[dr] && T_{k-1}(X''') \ar@{->}'[d][dd] \ar[dr] \\
& T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] && T_{k-1}(X') \ar[dd] \\
%
E_k(X'') \ar@{->}'[r][rr] \ar@{=}[dr] && E_{k-1}(X''') \ar[dr] \\
& E_k(X'') \ar[rr] && E_{k-1}(X')
}
$$
Нам надо доказать коммутативность передней грани.
При этом все остальные грани коммутативны (верхняя и нижняя --- так как
$T_\bullet$ и $E_\bullet$ --- $\delta$-функторы, правая ---
в силу функториальности $f_{k-1}$, левая --- в силу равенств, а задняя --- по определению $f_k$).
Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.




Достаточно показать, что всякая левая дробь $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{0}\leftarrow 0$ 
эквивалентна дроби $X \stackrel{0}\to 0 \stackrel{\id}\leftarrow 0$, а всякая левая дробь
$0 \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y$ эквивалентна дроби 
$0 \stackrel{0}\to Y \stackrel{\id}\leftarrow Y$.
В самом деле, 
$$
{\tiny
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& Z \\ X \ar[ur]^f && 0 \ar[ul]_0
}} = 
%\vcenter{\xymatrix@=2ex{
%& Z && 0 \\ X \ar[ur]^f && 0 \ar[ul]_0 \ar[ur]^{1} && 0 \ar[ul]_{1}
%}} = 
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& Z && Z && 0 \\ X \ar[ur]^f && 0 \ar[ul]_0 \ar[ur]^0 && Z \ar[ul]_1 \ar[ur]^0 && 0 \ar[ul]_{1}
}} = 
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& Z && 0 \\ X \ar[ur]^f && Z \ar[ul]_1 \ar[ur]^0 && 0 \ar[ul]_{1}
}} = 
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& 0 \\ X \ar[ur]^0 && 0 \ar[ul]_{1}
}}
}
$$
Аналогично,
$$
{\tiny
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& Z \\ 0 \ar[ur]^0 && Y \ar[ul]_s
}} = 
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& Y && Z && Y \\ 0 \ar[ur]^0 && Y \ar[ul]_1 \ar[ur]^s && Y \ar[ul]_s \ar[ur]^1 && Y \ar[ul]_{1}
}} = 
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& Y && Y \\ 0 \ar[ur]^0 && Y \ar[ul]_1 \ar[ur]^1 && Y \ar[ul]_{1}
}} = 
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& Y \\ 0 \ar[ur]^0 && Y \ar[ul]_{1}
}}
}
$$
что и требовалось.
