\documentclass{amsart}
\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\begin{document}


\Name{�ਠ��㫨஢���� ��⥣�ਨ}{���������᪠� ������ 7}{29.10.2008}


\Section{��ᨮ��}

{\sf �ਠ��㫨஢����� ��⥣���}\/ --- �� ����⨢��� ��⥣��� $\CT$ � ᫥���騬� ������ࠬ�
\begin{itemize}
\item ������������⭮����, ����� �ࠤ�樮��� ������砥��� $[1]:\CT \to \CT$, $X \mapsto X[1]$;
\item ����ᮬ ��᫥����⥫쭮�⥩ ���� $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$;
\end{itemize}
(������������⭮��� ���뢠���� {\sf �㭪�஬ ᤢ���}, � ��᫥����⥫쭮�� ---
{\sf �뤥����묨 ��㣮�쭨����}), 㤮���⢮���騥 ᫥���騬 ��ᨮ���
\begin{description}
\item[TR1]
\begin{enumerate}
\item ��� ��类�� ��ꥪ� $X$ ��㣮�쭨� $0 \to X \stackrel{\id_X}\to X \to 0[1]$ �뤥���;
\item ��直� ��㣮�쭨� �������� �뤥������� �뤥���;
\item ��直� ���䨧� $u:X \to Y$ ����� ��������� �� �뤥������� ��㣮�쭨��;
\end{enumerate}
\item[TR2] ��㣮�쭨� $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$ �뤥��� $\LRA$
��㣮�쭨� $Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1] \stackrel{-u[1]}\to Y[1]$ �뤥���;
\item[TR3] �᫨ �४���쭨�� $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$
� $X' \stackrel{u'}\to Y' \stackrel{v'}\to Z' \stackrel{w'}\to X'[1]$ �뤥����, � $f:X \to X'$ � $g:Y \to Y'$ ---
���䨧��, ⠪�� �� $gu = u'f$, � ������� ���䨧� $h:Z \to Z'$, ⠪�� ��
$hv = v'g$ � $f[1]w = w'h$
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^u \ar[d]_{f} & Y \ar[r]^v \ar[d]_{g} & Z \ar[r]^w \ar@{-->}[d]_{h} & X[1] \ar[d]_{f[1]} \\
X' \ar[r]^{u'} & Y' \ar[r]^{v'} & Z' \ar[r]^{w'} & X'[1]
}
$$
\item[TR4] �᫨ $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$
� $Y \stackrel{f}\to Y' \stackrel{g}\to W \stackrel{h}\to Y[1]$ --- �뤥����� ��㣮�쭨��,
� ������� ������⨢��� ����ࠬ��
%��� ��类� ���� ���䨧��� $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{f}\to Y'$ ������� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^u \ar[d]_{\id_X} & Y \ar[r]^v \ar[d]_{f} & Z \ar[r]^w \ar[d]_{p} & X[1] \ar[d]_{\id_X} \\
X \ar[r]^{u'} & Y' \ar[r]^{v'} \ar[d]_{g} & Z' \ar[d]_{q} \ar[r]^{w'} & X[1] \ar[d]_{u[1]} \\
& W \ar[r]^{\id_W} \ar[d]_{h} & W \ar[r]^{h} \ar[d]_{r} & Y[1] \\
& Y[1] \ar[r]^{v[1]} & Z[1]
}
$$
� ���ன ��� ���孨� ��ப� � ��� �।��� �⮫�� --- �뤥����� ��㣮�쭨��.
\end{description}

��᫥���� �� ��ᮬ ���筮 ���뢠���� {\sf ��ᨮ��� ������},
��᪮��� ᮮ⢥�������� ����ࠬ�� ����� ��९���� � ���� ������,
����� ᢥ��� � ᭨�� �룫廊� ᫥���騬 ��ࠧ��:
$$
\vcenter{\xymatrix{
& Z \ar@{~>}[dl]_w & \\
X \ar[dr]_{u'} \ar[r]^u & Y  \ar[u]^v \ar[d]^f \ar@{}[ul]|(.3)\star \ar@{}[dr]|(.3)\star \ar@{}[ur]|(.3)\Box \ar@{}[dl]|(.3)\Box &
W \ar@{~>}[ul]_r \ar@{~>}[l]_h \\
& Y' \ar[ur]_g &
}}
\qquad
\vcenter{\xymatrix{
& Z \ar@{~>}[dl]_w \ar[d]_p & \\
X \ar[dr]_{u'} & Z' \ar@{~>}[l]_{w'} \ar[r]^q \ar@{}[ul]|(.3)\Box \ar@{}[dr]|(.3)\Box \ar@{}[ur]|(.3)\star \ar@{}[dl]|(.3)\star & W \ar@{~>}[ul]_r \\
& Y' \ar[u]^{v'} \ar[ur]_g &
}}
$$
����� �������� ��५�� ����ࠦ��� ���䨧�� � ��ꥪ� ᤢ����� �� �������,
��㣮�쭨�� ����祭�� �����⮬ ������⨢��, � ������� --- �뤥����.

\pagebreak

\begin{example}
������ �� ��⥣�ਨ $\kk\lmod$ ������� ����࠭�� �ਠ��㫨஢����� �������� ᫥���騬 ��ࠧ��.
������� $[1] = \id$, � �뤥����묨 ��㣮�쭨���� �㤥� ���뢠�� ��㣮�쭨�� ����
$U \oplus V \to V \oplus W \to W\oplus U \to U \oplus V$,
��� ����� ���䨧� ���� �������樥� �஥�樨 �� ��஥ ᫠������ � ��������� ��ࢮ��.
\end{example}

\begin{exercise}
�஢���� �ਠ��㫨஢������� �⮩ ��⥣�ਨ.
\end{exercise}

\begin{exercise}
�஢����, �� �᫨ $\CT$ �ਠ��㫨஢���, � $\CT^\opp$ ⮦� �ਠ��㫨஢���.
\end{exercise}

\Section{�����⢠}

�� ��।������ �㭪�� ᤢ��� ���� ���������⭮����, ����� ������� ����������
� ���� �㭪�� $[-1]:\CT \to \CT$, ⠪ �� $X[1][-1] \cong X \cong X[-1][1]$. ��ࠧ�� 㤮����
����� �㭪�� ᤢ��� ��⮬��䨧���, � �㭪�� $[-1]$ ����� � ����. �⮣� �ᥣ�� ����� ��������,
������� ��⥣��� �� ������������.

\begin{exercise}
�������, �� ������� ��⥣��� $\CT'$, ��⮬��䨧� $[1]:\CT' \to \CT'$ � ���������⭮��� $\Phi:\CT' \to \CT$,
⠪�� �� $\Phi\circ[1] \cong [1]\circ\Phi$.
(��������: $\Ob\CT' = \{(X_i,\phi_i)_{i\in\ZZ}\ |\ X_i \in \Ob\CT,\ \phi_i:X_i[1] \stackrel\cong\to X_{i+1}\}$,
$\Hom_{\CT'}((X_i,\phi_i),(Y_i,\psi_i)) = \{(f_i\in\Hom_\CT(X_i,Y_i))\ |\ f_{i+1}\circ\phi_i = \psi_i\circ f_i[1]\}$,
$(X_i,\phi_i)[1] := (X_{i+1},\phi_{i+1})$, $\Phi(X_i,\phi_i) := X_0$, $\Phi(f_i) := f_0$.)
�஢����, �� �᫨ $\CT$ �ਠ��㫨஢���, � � $\CT'$ �ਠ��㫨஢���.
\end{exercise}

� ���쭥�襬 ��� ��饭�� ��� �� �㤥� ����� �㭪�� ᤢ��� ��⮬��䨧���.
�������� �㭪�஬ ᤢ��� � ��ᨮ��� (TR2) ��直� �뤥����� ��㣮�쭨� ����� �த������
�� ��᪮��筮� � ��� ��஭� ��᫥����⥫쭮��
$$
\dots \stackrel{w[-2]}\to
X[-1] \stackrel{-u[-1]}\to Y[-1] \stackrel{-v[-1]}\to Z[-1] \stackrel{-w[-1]}\to
X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to
X[1] \stackrel{-u[1]}\to Y[1] \stackrel{-v[1]}\to Z[1] \stackrel{-w[1]}\to
X[2] \stackrel{u[2]}\to \dots,
$$
� ���ன �� ������������� ᥣ���� ���� �뤥����� ��㣮�쭨���.
����� ��᫥����⥫쭮��� ���뢠���� {\sf ᯨࠫ��},
� �室�騥 � ��� ��㣮�쭨�� --- {\sf ��⪠��}.

\begin{proposition}
����� $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$ --- �뤥����� ��㣮�쭨�.
����� ��� ��� ��ꥪ� $U \in \CT$ ��᫥����⥫쭮��
$$
\dots \to \Hom(U,X[i]) \stackrel{u_*[i]}\to \Hom(U,Y[i]) \stackrel{v_*[i]}\to
\Hom(U,Z[i]) \stackrel{w_*[i]}\to \Hom(U,X[i+1]) \stackrel{u_*[i+1]}\to \Hom(U,Y[i+1]) \to \dots,
$$
$$
\dots \to \Hom(Z[i],U) \stackrel{v^*[i]}\to \Hom(Y[i],U) \stackrel{u^*[i]}\to
\Hom(X[i],U) \stackrel{w^*[i-1]}\to \Hom(Z[i-1],U) \stackrel{v^*[i-1]}\to \Hom(Y[i-1],U) \to \dots
$$
���.
\end{proposition}
\begin{proof}
��� ��ࢮ� ��᫥����⥫쭮�� �����筮 �஢���� �筮��� � 童�� $\Hom(U,Y)$.
����� $g = u_*(f):U \to Y$, ��� $f:U \to X$. ���ᬮ�ਬ ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
U \ar[r]^{\id_U} \ar[d]_{f} & U \ar[r] \ar[d]_{g} & 0 \ar[r] & U[1] \ar[d]_{f[1]} \\
X \ar[r]^{u} & Y \ar[r]^{v} & Z \ar[r]^{w} & X[1]
}
$$
������ ���窠 --- �뤥����� ��㣮�쭨� �� (TR1) � (TR2), � ������ ������⨢��.
�����, �� (TR3) ��� ���������� ���䨧��� $h:0 \to Z$ �� ������⨢��� ����ࠬ��.
�������⥫쭮, $v_*(g) = vg = h0 = 0$.

����� ⥯��� $v_*(g) = 0$. ���ᬮ�ਬ ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
U \ar[r] \ar[d]_{g} & 0 \ar[r] \ar[d] & U[1] \ar[r]^{-\id_U} & U[1] \ar[d]_{g[1]} & \\
Y \ar[r]^{v} & Z \ar[r]^{w} & X[1] \ar[r]^{-u[1]} & X[1]
}
$$
������ � ������ ���窨 �뤥���� �� (TR1) � (TR2), � ������ ������⨢��.
�����, �� (TR3) ��� ���������� ���䨧��� $f':U[1] \to X[1]$ �� ������⨢��� ����ࠬ��.
�������⥫쭮, $-g[1] = -u[1]\circ f[1]$, ��㤠 $g = uf = u_*(f)$.
��筮��� ��ன ��᫥����⥫쭮�� �஢������ �������筮.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{fghiso}
�᫨ ���䨧�� $f$ � $g$ � ��ᨮ�� (TR3) ������䨧��, � $h$ ⮦� ������䨧�.
\end{corollary}
\begin{proof}
���쬥� �ந������ ��ꥪ� $U$ � ��ᬮ�ਬ ����ࠬ�� ���� ��᫥����⥫쭮�⥩,
����祭��� �� ���� �뤥������ ��㣮�쭨���
$$
\xymatrix{
\Hom(U,X) \ar[r]^{u_*} \ar[d]_{f_*} &
\Hom(U,Y) \ar[r]^{v_*} \ar[d]_{g_*} &
\Hom(U,Z) \ar[r]^{w_*} \ar[d]_{h_*} &
\Hom(U,X[1]) \ar[r]^{u_*[1]} \ar[d]_{f[1]_*} &
\Hom(U,Y[1]) \ar[d]_{g[1]_*} \\
\Hom(U,X') \ar[r]^{u'_*} &
\Hom(U,Y') \ar[r]^{v'_*} &
\Hom(U,Z') \ar[r]^{w'_*} &
\Hom(U,X'[1]) \ar[r]^{u'_*[1]} &
\Hom(U,Y'[1])
}
$$
��� �祢���� ������⨢��, ��祬 ��५�� $f_*$, $g_*$ $f[1]_*$ � $g[1]_*$ ������䨧��.
����� �� ����� � ��� �������䨧��� ���䨧� $h_*$ ⮦� ������䨧�.
����� $h_*:h_Z \to h_{Z'}$ --- ������䨧�, ��㤠 $h:Z \to Z'$ ⮦� ������䨧�.
\end{proof}

\begin{exercise}
�������, �� � �뤥������ ��㣮�쭨�� $vu = 0$, $wv = 0$ � $u[1]w = 0$.
\end{exercise}

\begin{corollary}
�뤥����� ��㣮�쭨�, ��������騩 �� ��ᨮ�� (TR1) ���䨧� $u:X \to Y$,
��।���� �������筮 � �筮���� �� ������䨧��.
\end{corollary}

\begin{corollary}
����� �४���쭨�� $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$
� $X' \stackrel{u'}\to Y' \stackrel{v'}\to Z' \stackrel{w'}\to X'[1]$ �뤥����, � $g:Y \to Y'$ ---
���䨧�, ⠪�� �� $v'gu = 0$. ����� ������� ���䨧�� $f:X \to X'$ � $h:Z \to Z'$, �����騥 ���䨧� ��㣮�쭨���.
�᫨ �� �� $\Hom(X,Z'[-1]) = 0$, � ⠪�� ���䨧� ��㣮�쭨��� --- �����⢥���.
\end{corollary}
\begin{proof}
���ᬮ�ਬ ���䨧� $gu:X \to Y'$. ����� �� �᫮��� $v'_*(gu) = v'gu = 0$,
����� �������� $f:X \to X'$, ⠪�� �� $gu = u'_*(f) = u'f$. ������ �������� ��ᨮ��� (TR3)
����砥� ���䨧� $h$.

����� ⥯��� $\Hom(X,Z'[-1]) = 0$. � ᨫ� �筮�� ��᫥����⥫쭮��, ���䨧� $f$, ⠪�� ��
$u'_*(f) = gu$ ��।���� �������筮 � �筮���� �� $w'[-1]_*(\Hom(X,Z'[-1])) = 0$,
� ���� �������筮. �������筮, ��� ���䨧�� $h$ ����� $v^*(h) = v'g$, ���⮬� $h$
��।���� �������筮 � �筮���� �� $w'^*(\Hom(X[1],Z')) = 0$, � ���� �������筮.
\end{proof}

��ன ����� �⮣� ᫥��⢨� �� �㤥� �祭� ��� ���짮������ � ���쭥�襬!



\Section{�ਠ��㫨஢������� ����⮯��᪮� ��⥣�ਨ}

���ᬮ�ਬ ����⮯����� ��⥣��� $\Hot(\CA)$ �������� ��⥣�ਨ $\CA$.
���ᬮ�ਬ �㭪�� ᤢ��� $[1]:\Hot(\CA) \to \Hot(\CA)$, �����஢���� ᤢ���� �������ᮢ.
������� ��㣮�쭨� � $\Hot(\CA)$ �뤥�����, �᫨ �� ������䥭 � $\Hot(\CA)$ ��㣮�쭨�� ����
$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$.

��� 楫� --- �������� �ਠ��㫨஢������� ����⮯��᪮� ��⥣�ਨ. ��筥� � �����.
\begin{lemma}
����� $0 \to X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \to 0$ --- ��童��� ��饯���� �筠� �ன�� �������ᮢ,
� $s^n:Z^n \to Y^n$ � $p^n:Y^n \to X^n$ --- ����� ��饯����� ���䨧���. ������� $w^n = - p^{n+1}\circ d_Y^n\circ s^n:Z^n \to X^{n+1}$.
����� ��㣮�쭨� $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$ �뤥��� � $\Hot(\CA)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
����⨬, ��
$$
u w =
- u p d_Y s =
(s v - \id_Y) d_Y s =
s v d_Y s - d_Y s =
s d_Z v s - d_Y s =
s d_Z - d_Y s,
$$
$$
w v =
- p d_Y s v =
- p d_Y (\id_Y - u p) =
- p d_Y + p d_Y u p =
- p d_Y + p u d_X p =
- p d_Y + d_X p.
$$
%$$
%u^{n+1} w^n =
%- u^{n+1} p^{n+1} d_Y^n s^n =
%(s^{n+1} v^{n+1} - \id) d_Y^n s^n =
%s^{n+1} v^{n+1} d_Y^n s^n - d_Y^n s^n =
%s^{n+1} d_Z^n v^n s^n - d_Y^n s^n =
%s^{n+1} d_Z^n - d_Y^n s^n,
%$$
��� ᫥���, ��
$$
u d_X w =
d_Y u w =
d_Y (s d_Z - d_Y s) =
d_Y s d_Z =
(s d_Z - u w) d_Z =
- u w d_Z,
%u^{n+2} d_X^{n+1} w^n =
%d_Y^{n+1} u^{n+1} w^n =
%d_Y^{n+1} (s^{n+1} d_Z^n - d_Y^n s^n) =
%d_Y^{n+1} s^{n+1} d_Z^n =
%(s^{n+2} d_Z^{n+1} - u^{n+2} w^{n+1}) d_Z^n =
%- u^{n+2} w^{n+1} d_Z^n,
$$
� ⠪ ��� $u$ ��������, $w$ --- ���䨧� �������ᮢ $Z \to X[1]$.
���ᬮ�ਬ ⥯��� ���䨧�� $f^n:Z^n \to C(u)^n$ � $g^n:C(u)^n \to Z^n$,
������� ��㫠��
$$
f^n =
\left(\begin{smallmatrix}
s^n \\ w^n
\end{smallmatrix}\right),
\qquad
g^n = ( v^n, 0 )
$$
�����
$$
d_C f - f d_Z =
\left(\begin{smallmatrix}
d_Y s + u w - s d_Z \\ - d_X w - w d_Z
\end{smallmatrix}\right) = 0,
\qquad
g d_C - d_Z g = (v d_Z - d_Z v, vu) = 0,
$$
����� $f$ � $g$ --- ���䨧�� �������ᮢ. ���ᬮ�ਬ ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^u \ar@{=}[d] & Y \ar[r]^v \ar@{=}[d] & Z \ar[r]^w \ar@<-.3ex>[d]_f & X[1] \ar@{=}[d] \\
X \ar[r]^u & Y \ar[r]^{i_u} & C(u) \ar@<-.3ex>[u]_g \ar[r]^{p_u} & X[1]
}
$$
����� ������, ��
$$
i_u - f v =
\left(\begin{smallmatrix}
\id_Y - s v \\ - w v
\end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix}
u p \\ p d_Y - d_X p
\end{smallmatrix}\right) =
d_C \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ p \end{smallmatrix}\right) + \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ p \end{smallmatrix}\right) d_Y,
$$
⠪ �� $f v \sim_h i_u$. �������筮,
$$
w g - p_u = (w v, - \id_X) = ( -p d_Y + d_X p, -\id_X ) = (p,0) d_C + d_{X[1]} (p,0),
$$
⠪ �� $w g \sim_h p_u$. �� �⮬ �祢����, �� $p_u f = w$ � $g i_u = v$,
���⮬� �⮡ࠦ���� ����� � ���� ����� ���䨧���� ��㣮�쭨���.
��⠥��� �������, �� $gf = vs = \id_Z$, � � �६� ���
$$
\id_C - fg =
\left(\begin{smallmatrix} \id_Y - sv & 0 \\ -wv & \id_X \end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix} up &,& 0 \\ p d_Y - d_X p &,& \id_X \end{smallmatrix}\right) =
d_C \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ p & 0 \end{smallmatrix}\right) + \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ p & 0 \end{smallmatrix}\right) d_C,
$$
� ���� $fg \sim_h \id_C$.
%
%��� �஢�ન ⮣�, �� ��直� �뤥����� ��㣮�쭨� ������䥭 ��㣮�쭨��,
%��������饬� �� ��童��� ��饯���� �ன�� ��������, ����⨬, �� ��㣮�쭨�
%$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$
%������䥭 ��㣮�쭨��
%$X \stackrel{\bar{u}}\to \Cyl(u) \stackrel{\pi_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$
%(������䨧� �������� ⮦���⢥��묨 ���䨧���� $X$ � $C(u)$,
%� ⠪�� ����⮯��᪨�� ���������⭮��ﬨ $\alpha_u:Y \to \Cyl(u)$ � $\bet_u:\Cyl(u) \to Y$),
%�����, ��� ����� ������ ��������� �� ��童��� ��饯���� �ன�� �������ᮢ
%$0 \to X \stackrel{\bar{u}}\to \Cyl(u) \stackrel{\pi_u}\to C(u) \to 0$.
\end{proof}

\begin{theorem}
����⮯��᪠� ��⥣��� �ਠ��㫨஢���.
����� ⮣�, ��直� �뤥����� ��㣮�쭨� � $\Hot(\CA)$ ������䥭 ��㣮�쭨��,
������饬��� �� ��童��� ��饯���� �筮� �ன�� �������ᮢ.
\end{theorem}
\begin{proof}
�᭮, �� $C(0 \to X) = X$, ���⮬� (TR1.1) ��୮.
�� �⮬ (TR1.2) � (TR1.3) �ࠧ� ᫥���� �� ��।������.

������ �஢�ਬ (TR2). ����� ���� ��㣮�쭨� ������䥭 ��㣮�쭨��
$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$.
����� ��ன ������䥭 ��㣮�쭨�� $Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1] \stackrel{-u[1]}\to Y[1]$.
�� ����⨬, �� ��᫥����⥫쭮��� �������ᮢ $0 \to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1] \to 0$
�筠 � ��童��� ��饯���, ���⮬� �����筮 �������, �� ���䨧� $w$, ����஥��� � ����� ᮢ������ � $-u[1]$.

����� ⥯��� ��ன ��㣮�쭨� �뤥���. �ਬ���� ������ �।��饥 ���㦤����, ����砥�, �� ��㣮�쭨�
$X[1] \stackrel{-u[1]}\to Y[1] \stackrel{-v[1]}\to Z[1] \stackrel{-w[1]}\to X[2]$ ⮦� �뤥���.
�� ������⢮ �뤥������ ��㣮�쭨��� �祢���� ����ਠ�⭮ �⭮�⥫쭮 �㭪�� ᤢ���,
᪮�����஢������ � ������� ����� �� ���䨧���.

����⨬, �� �ਢ������ ��� ���㦤���� 㦥 �����뢠�� ����� ���� ⥮६�.

������ �஢�ਬ ��ᨮ�� (TR3). �����筮 ��ᬮ���� ��砩, ����� ���� ��㣮�쭨� ����� ���
$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$, � ��ன ---
$X' \stackrel{u'}\to Y' \stackrel{i_{u'}}\to C(u') \stackrel{p_{u'}}\to X'[1]$.
����� $f:X \to X'$ � $g:Y \to Y'$ --- ⠪�� ���䨧��, �� ������ ������⨢��
� $\Hot(\CA)$, � ���� $gu - u'f = dh + hd$. ���ᬮ�ਬ ⮣�� �⮡ࠦ����
$C(u)^n = Y^n \oplus X^{n+1} \to {Y'}^n\oplus {X'}^{n+1} = C(u')^n$,
�������� ����楩
$$
c(h) = \left(\begin{smallmatrix} g & h \\ 0 & f \end{smallmatrix}\right).
$$
����� ������, ��
$$
d_{C(u')} c(h) - c(h) d_{C(u)} =
\left(\begin{smallmatrix} dg-gd &,& dh+hd+u'f-gu \\ 0 &,& fd-df \end{smallmatrix}\right) = 0,
$$
����� $c(h)$ --- ���䨧� �������ᮢ. �� �⮬ �祢���� $c(h)i_u = i_{u'}g$, $p_{u'}c(h) = f[1]p_u$,
⠪ �� $c(h)$ ���� �᪮�� ���䨧� ��㣮�쭨���.

�������, �஢�ਬ ��ᨮ�� (TR4). ����� ᪠������� ��� �����筮 ��ᬮ���� ��砩, 
����� ��� ��㣮�쭨�� ��������� �� ��童��� ��饯���� �஥� �������ᮢ.
��묨 ᫮����, ����� 
$$
{Y'}^n = X^n \oplus Z^n \oplus W^n,\qquad
d_{Y'} = \left(\begin{smallmatrix} d_X & x & y \\ 0 & d_Z & z \\ 0 & 0 & d_W \end{smallmatrix}\right).
$$
%�᫮��� $d^2_{Y'} = 0$ ࠢ��ᨫ쭮 �᫮��� $dx + xd = 0$, $dz + zd = 0$, $dy + yd + xz = 0$.
������稬 �१ $F_{[i,j]}$ ���䠪�� �������� $Y'$ ������� �� ᫠����� � ����ࠬ� �� $i$ �� $j$,
⠪ �� $Y' = F_{[0,2]}$. ����砥� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\scriptstyle\xymatrix@=5ex{
&& 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\
0 \ar[r] & F_0 \ar[r] \ar@{=}[d] & F_{[0,1]} \ar[r] \ar[d] & F_1 \ar[r] \ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & F_0 \ar[r] & F_{[0,2]} \ar[r] \ar[d] & F_{[1,2]} \ar[r] \ar[d] & 0 \\
&& F_2 \ar@{=}[r] \ar[d] & F_2 \ar[d] \\
&& 0 & 0
}
$$
� ��묨 ��ப��� � �⮫�栬�. ���⮥ ���᫥��� �����뢠��, �� ���䨧��, ����ࠨ���騥
��ப� � �⮫��� �� �뤥������ ��㣮�쭨���, ����� ���
$$
x:F_1 \to F_0[1],\qquad
(x,y):F_{[1,2]} \to F_0[1],\qquad
\left(\begin{smallmatrix} y \\ z \end{smallmatrix}\right):F_2 \to F_{[0,1]}[1],\qquad\text{�}\qquad
z:F_2 \to F_1[1].
$$
��� �ࠧ� ᫥��� ������⨢����� ���� �����⮢ � ����ࠬ�� ������,
� ��� ������⨢���� ��᫥����� ������ ���� �஢����, �� ���䨧��
$$
\left(\begin{smallmatrix} 0 & y \\ 0 & z \end{smallmatrix}\right):F_{[1,2]} \to F_{[0,1]}[1]
\qquad\text{�}\qquad
\left(\begin{smallmatrix} x & y \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right):F_{[1,2]} \to F_{[0,1]}[1]
$$
ᮢ������, � ���� �� ࠧ����� ����⮯�� ���. �� 
$$
\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)d_{F_{[1,2]}} +
d_{F_{[0,1]}[1]}\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix} d & z \\ 0 & d \end{smallmatrix}\right) -
\left(\begin{smallmatrix} d & x \\ 0 & d \end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix} -x & 0 \\ 0 & z \end{smallmatrix}\right),
$$
�� � �ॡ�������.
\end{proof}



\Section{���������� �ਠ��㫨஢����� ��⥣�਩}

�।�������, $\CT$ --- �ਠ��㫨஢����� ��⥣���, $S$ --- ����� ���䨧��� � $\CT$,
� $\CT[S^{-1}]$ --- ����������. �� 㦥 �����, �� �᫨ $S$ 㤮���⢮��� �᫮��� ��,
� ��⥣��� $\CT[S^{-1}]$ ����⨢��. ��������� �����, ���� �� ��� �ਠ��㫨஢�����.

������, �� ����� $S$ {\sf ᮣ��ᮢ�� � �ਠ��㫨஢����� ������ன}, �᫨ �믮������� ᢮��⢠
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
\item $s \in S$ $\LRA$ $s[1] \in S$;
\item �᫨ ���䨧�� $f$ � $g$ � ��ᨮ�� (TR3) ����� � $S$, � ���䨧� $h$ ⮦� ����� ����� ����騬 � $S$.
\end{enumerate}

\begin{lemma}
����� $\CT$ --- �ਠ��㫨஢����� ��⥣���, � ����� $S$ 㤮���⢮��� �᫮��� �� � 
ᮣ��ᮢ�� � �ਠ��㫨஢����� ������ன. ����� $\CT[S^{-1}]$ �������� ����⢥����
������ன �ਠ��㫨஢����� ��⥣�ਨ.
\end{lemma}
\begin{proof}
�� ����������� �� ��諮� ���樨 ��⥣��� $\CT$ ����⨢��.
���⮬� ����� ���� � ���ᠭ�� �ਠ��㫨஢����� �������� �� $\CT[S^{-1}]$.
��-�����, ��।���� �㭪�� ᤢ���. �� ��ꥪ�� �� �㤥� ����⢮����
⠪ �� ��� � � ��⥣�ਨ $\CT$, � ����� �஡� $s^{-1}\circ f$ ��ॢ����� 
� $s[1]^{-1}\circ f[1]$. � ᨫ� �᫮��� (4) �� ����� ����� �஡�, ��祬
⠪�� ����⢨� �祢���� ᮣ��ᮢ��� � �⭮襭��� ���������⭮�� �஡��,
� ��������� ����� �஡�� ���室�� � ���������. ���⮬� ����砥� ���४⭮
��।������ �����㭪�� ��⥣�ਨ $\CT[S^{-1}]$. �祢����, �� �� �㤥�
������������⭮���� (��� ���� ��⮬��䨧���, �᫨ �� �믮��﫮�� � $\CT$).

�㤥� ����� ��㣮�쭨� � $\CT[S^{-1}]$ �뤥�����, �᫨ �� ������䥭
�뤥������� ��㣮�쭨�� � $\CT$.

������ �஢�ਬ ��ᨮ��. ��ᨮ�� (TR1.1), (TR1.2) � (TR2) �祢����. �஢�ਬ (TR1.3).
����� $s^{-1}\circ f:X \to Y$ --- ���䨧�, ��� $s:Y \to Y'$, $f:X \to Y'$.
�������� � $\CT$ ���䨧� $f:X \to Y'$ �� �뤥������� ��㣮�쭨�� 
$X \stackrel{f}\to Y' \stackrel{g}\to Z \stackrel{h}\to X$ � ��ᬮ�ਬ
� $\CT[S^{-1}]$ ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^{s^{-1}\circ f} \ar[d]_{\id_X} & Y \ar[r]^{gs} \ar[d]_s & Z\ar[r]^h \ar[d]_{\id_Z}& X[1] \ar[d]^{\id_{X[1]}} \\
X \ar[r]^{f} & Y' \ar[r]^{g} & Z\ar[r]^h & X[1]
}
$$
��� ���� ������䨧��� ��㣮�쭨���, ���⮬� ������ ��ப� �뤥���� � $\CT[S^{-1}]$.

������ �஢�ਬ (TR3). ����� �����, ���室� � �������� ��㣮�쭨���, ����� �����,
�� � ��� ���� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^{u} \ar[d]_{f} & Y \ar[r]^{v} \ar[d]_g & Z \ar[r]^w & X[1] \ar[d]^{f[1]} \\
X'' & Y'' && X''[1] \\
X' \ar[r]^{u'} \ar[u]_{s} & Y' \ar[r]^{v'} \ar[u]_t & Z' \ar[r]^{w'} & X'[1] \ar[u]_{s[1]} 
}
$$
� ���ன $s,t \in S$ � $u'\circ s^{-1}\circ f = t^{-1}\circ g\circ u$.
���ᬮ�ਬ ���䨧� $t\circ u'\circ s^{-1}:X'' \to Y''$ � $\CT[S^{-1}]$.
��������� �᫮��� �� ��� ����� ��९���� ���� $r^{-1}\circ u''$, ��� $u'':X'' \to Y'''$,
$r:Y'' \to Y'''$, $r \in S$. ����⨬, �� $t^{-1}\circ g\circ u = (rt)^{-1}\circ (rg)\circ u$,
�� �⮬ $u''\circ s = (rt)\circ u'$ �� ����஥���, ��㤠 � ᢮� ��।� ᫥���, ��
$(rg)\circ u = (rt)\circ t^{-1}\circ g\circ u = (rt)\circ u'\circ s^{-1}\circ f = u''\circ s\circ s^{-1}\circ f = u''\circ f$.
���⮬�, ������� $Y''$ �� $Y'''$, $g$ �� $rg$, � $t$ �� $rt$, ����� �����,
�� ������� ���䨧� $u'':X'' \to Y''$, ⠪�� �� ��� ������ ������⨢��.
����ࠨ��� ��� ���䨧� �� �筮�� ��㣮�쭨��, ����砥� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^{u} \ar[d]_{f} & Y \ar[r]^{v} \ar[d]_g & Z \ar[r]^w & X[1] \ar[d]^{f[1]} \\
X'' \ar[r]^{u''} & Y'' \ar[r]^{v''} & Z'' \ar[r]^{w''} & X''[1] \\
X' \ar[r]^{u'} \ar[u]_{s} & Y' \ar[r]^{v'} \ar[u]_t & Z \ar[r]^{w'} & X'[1] \ar[u]_{s[1]} 
}
$$
�ਬ���� (TR3) � $\CT$ ��ந� ���䨧�� $h:Z \to Z''$ � $q:Z' \to Z''$,
⠪ �⮡� ����砫��� ���䨧�� ��㣮�쭨���. � ᨫ� ᢮��⢠ (5) ����� �����,
�� $q \in S$. ����� ���䨧�� $s^{-1}\circ f$, $t^{-1}\circ g$ � $q^{-1}\circ h$
������ ���䨧� �� ���孥�� ��㣮�쭨�� � ������ � ��⥣�ਨ $\CT[S^{-1}]$, �� � �ॡ�������.

��⠥��� �஢���� (TR4). ����� ���� ��� �뤥������ � $\CT[S^{-1}]$ ��㣮�쭨��
� ��饩 ���設��. �� ��।������, ����� �� ��� ������䥭 ��㣮�쭨��, �뤥������� � $\CT$.
�������� �᫮��ﬨ �� � ⥬� �� ���㦤���ﬨ, �� � � ������⥫��⢥ (TR1.3), ����� ��������, 
�� �� ��㣮�쭨�� ����� �������� �� �������� �� � $\CT$ �뤥����� ��㣮�쭨�� � ��饩 ���設��.
������ �ਬ���� (TR4) � $\CT$ ��ந� ����ࠬ�� ������, ����� �祢���� ���� �᪮���
����ࠬ�� ������ $\CT[S^{-1}]$.
\end{proof}

\begin{corollary}
�ந������� ��⥣��� �ਠ��㫨஢���.
\end{corollary}
\begin{proof}
�����筮 �஢����, �� ����� �����������䨧��� � $\Hot(\CA)$ 㤮���⢮��� �᫮��� (4) � (5).
�᫮��� (4) �祢����, ⠪ ��� $H^i(s[1]) = H^{i+1}(s)$. ��� �᫮��� (5) �祢���� �����筮
�஢����, �� �᫨ ���� �� ���䨧��� $f$ ��� $g$ ⮦���⢥���, � ��ன --- ����������䨧�,
� ����� ����� $h$ �����������䨧���. ����� $f = \id_X$. ����ந� ��㣮�쭨� $X \to Y \to Z \to X[1]$
� ���䨧� $g:Y \to Y'$ �� ����ࠬ� ������. ����⨬, �� � ��� ���� ��ப� ������䭠 ��஬� 
�� ���� ��㣮�쭨���, ���⮬� �����筮 �஢����, �� $p:Z \to Z'$ �����������䨧�. 
�� ⠪ ��� $g$ �����������䨧�, $W$ �横��祭, ���⮬� $p$ --- �����������䨧�. 

����� ⥯��� $g = \id_Y$. ����ந� ���䨧� $f:X \to X'$ �� �뤥������� ��㣮�쭨�� $X \to X' \to X'' \to X[1]$,
��᫥ 祣� ��� ��㣮�쭨� � ��㣮�쭨� $X' \to Y' \to Z' \to X'[1]$ ����ந� �� ����ࠬ�� ������.
����⨬, �� ���� ��ப� � ��� ������䭠 ��ࢮ�� �� ��室��� ��㣮�쭨���, ���⮬� ���� �஢����
�� ���䨧� $Z \to Z'$ � ��������饬 ��㣮�쭨�� $X'' \to Z \to Z' \to X''[1]$ ���� �����������䨧���.
�� �� �祢����, ⠪ ��� $X''$ �横��祭 ��᪮��� $f:X \to X'$ �����������䨧�.
\end{proof}


����� ������, �� ��࠭�祭�� ��ਠ��� �ந������� ��⥣�ਨ,
⠪ �� ��� � ��࠭�祭�� ��ਠ��� ����⮯��᪮� ��⥣�ਨ �ਠ��㫨஢���.
\end{document}


\begin{lemma}
\end{lemma}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{exercise}
�������, ��
\end{exercise}



\Section{���� �㭪���}

�㭪�� $F:\CT \to \CT'$ ���뢠���� {\sf ���}, �᫨ 
\begin{itemize}
\item ������� ������䨧� �㭪�஢ $\theta:F\circ[1] \to [1]\circ F$;
\item $F$ ��ॢ���� �뤥����� ��㣮�쭨�� � �뤥�����, � ���� ��� ��类�� �뤥������� ��㣮�쭨�� 
$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$ � $\CT$
��㣮�쭨�
$F(X) \stackrel{F(u)}\to F(Y) \stackrel{F(v)}\to F(Z) \stackrel{\theta_X\circ F(w)}\to F(X)[1]$ 
�뤥��� � $\CT'$.
\end{itemize}

����� �ࠢ��쭮 �뫮 �� ���뢠�� ��� �㭪�஬ ���� $(F,\theta)$.

\begin{lemma}
����� $F:\CT \to \CT'$ --- ��� �㭪��.
����� ����� $F^{-1}(\Iso(\CT'))$ ᮣ��ᮢ�� � �ਠ��㫨஢����� ������ன.
\end{lemma}
\begin{proof}
�����⢮ (4) �祢����, � (5) ᫥��� ��~\ref{fghiso}.
\end{proof}


\begin{lemma}

\end{lemma}



����� $\CA \subset \CB$ --- ��ண� ������ ����⨢��� �����⥣��� � ����⨢��� ��⥣�ਨ, � ����� �㭪�� �������� $i:\CA \to \CB$
(�� ��⮬���᪨ ����⨢��) �������� ���� ᮯ�殮��� �㭪�஬ $i^*$.

\begin{lemma}
�᫨ ���䨧� $\xymatrix@1{i(X) \ar[r]^{i(f)} & i(Y)}$ ����� �� � $\CB$,
� $\Ker f = i^*(\Ker i(f))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
� ᨫ� ������䨧�� $\Hom(i^*(\Ker f),X) \cong \Hom(\Ker f,i(X))$ ����⢥��� ���䨧�
$\kappa:\Ker f \to i(X)$ �������� ���䨧� $\kappa':i^*(\Ker f) \to X$.
\end{proof}


\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item
\end{enumerate}
\end{examples}


����� �ᯮ������� {\sf ����ࠢ�ਠ��� �㭪���}, �����騥 ���ࠢ����� ���䨧���.
����� ������� ����⨥ {\sf ��⨢��������� ��⥣�ਨ}. �᫨ $\CC$ --- ��⥣���,
��।���� ��⥣��� $\CC^\opp$ ⠪:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
�������, �� $\CC^\opp$ ��⥣���.
\end{exercise}
{\sf ����ࠢ�ਠ��� �㭪��} �� $\CC$ � $\D$ --- �� ����ਠ��� �㭪�� �� $\CC^\opp$ � $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ����� �㭪権 $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item ��㯯� ���� $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}
�㭪��� ����� �������஢���.
\begin{exercise}
�������, �� ��������� ���� ����ਠ���� ��� ���� ����ࠢ�ਠ���� �㭪�஢ ����ਠ�⭠,
� ��������� ����ਠ�⭮�� � ����ࠢ�ਠ�⭮�� �㭪�஢ ����ࠢ�ਠ�⭠. �஢����,
�� ������ �������஢���� �㭪�஢ ���樠⨢��.
\end{exercise}

�㭪�� $F:\CC \to \D$ ���뢠����
\begin{itemize}
\item {\sf ��ண��}, �᫨ ���䨧� $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- �������� ��� ��� $X,Y \in \CC$;
\item {\sf �����}, �᫨ ���䨧� $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- ���ꥪ�� ��� ��� $X,Y \in \CC$;
\item {\sf ��ண� �����} ��� {\sf ������ ��ண��}, �᫨ ���䨧� $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- ������䨧� ��� ��� $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item �㭪��� �� �ਬ�஢~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} � \eqref{i-fun} ��ண� �����;
\item �㭪��� �� �ਬ�஢~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} � \eqref{fr-fun} ��ண��, �� �� �����.
\end{enumerate}
\end{examples}
��।���� {\sf �����⮢� �ந�������� ��⥣�਩} $\CC$ � $\D$. �� ��।������
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
�㭪�� $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ ���뢠���� ⠪�� {\sf ���㭪�஬}.
\begin{exercise}
�������, �� $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- ���㭪��.
\end{exercise}
%\newpage
\Section{���䨧�� �㭪�஢}
����� $F,G:\CC \to D$ --- �㭪���. {\sf ���䨧� �㭪�஢} (��� {\sf ����⢥���� �८�ࠧ������})
$\alpha:F \to G$ --- �� ����� ���䨧��� $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ ��� ��� $X \in \CC$, ⠪�� ��
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{��� ��� $X,Y \in \CC$ � $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$
���䨧�� �㭪�஢ ����� �������஢��� ��� � ��㣮� � � �㭪�ࠬ�.
\begin{exercise}
(a) ����� $F,G,H:\CC \to \D$, � $\alpha:F \to G$ � $\beta:G \to H$ --- ���䨧�� �㭪�஢.
�������, �� $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- ���䨧� �㭪�஢.
(b) ����� $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ � $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- �㭪���,
� $\alpha:G \to G'$ --- ���䨧� �㭪�஢. �������, ��
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ � $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- ���䨧�� �㭪�஢.
\end{exercise}
\begin{exercise}
����ன� ���䨧�� �㭪�஢
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%��।���� ��������� ���䨧��� �㭪�஢.
�������, �� �᫨ ��⥣��� $\CC$ --- {\sf �����} (� ���� $\Ob\CC$ --- ������⢮),
� ��� �� ��⥣�ਨ $\D$ �� �㭪��� �� $\CC$ � $\D$ ��ࠧ��� ��⥣��� $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
�������, �� $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}
���䨧� �㭪�஢ $\alpha:F \to G$ ���뢠���� {\sf ������䨧���}, �᫨ �������
���䨧� �㭪�஢ $\beta:G \to F$, ⠪�� �� $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.
%\begin{exercise}
%����� $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- �㭪���.
%�������, �� $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
����� ��ࠧ��, �� ���� ��⥣�ਨ � �㭪�ࠬ� � ����⢥ ���䨧���
��ࠧ��� ��⥣��� $\Cats$. �� ᠬ�� ����, �� ����⢥���� ��ᬠ�ਢ���
��� 2-��⥣��� --- ������ ��ꥪ⮢ � ���䨧��� � ��� ���� 2-���䨧��
(� ���� ���䨧�� ����� ���䨧���� --- � ��襬 �ਬ�� ����⢥���
�८�ࠧ������ �㭪�஢). �� �⮬ $\Cats$ ���� ��ண�� 2-��⥣�ਥ�
(��������� 1-���䨧��� ���樠⨢��), ��� ����� � 2-��⥣����
��������� 1-���䨧��� �।���������� ���樠⨢��� ⮫쪮 � �筮����
�� 2-������䨧��.
\end{remark}
�㭪�� $F:\CC \to \D$ ���뢠���� {\sf ���������⭮����}, �᫨ ������� �㭪�� $G:\D \to \CC$,
⠪ �� $F\circ G \cong \id_\D$ � $G \circ F \cong \id_\CC$. �㭪�� $G$ ���뢠���� {\sf ����������} � $F$.
\begin{remark}
����� �ਢ�筮 �룫廊� ����⨥ ������䨧�� ��⥣�਩, � �⫨稨 �� ���������⭮��, �।�������饣�
ࠢ���⢠ $F\circ G = \id_\D$ � $G \circ F = \id_\CC$. ������, �� �ࠪ⨪�, ������䨧��� ��⥣�਩
�ࠪ��᪨ �� ����砥���, � � �६� ��� ᮤ�ঠ⥫��� ���������⭮�⥩ ���쬠 �����.
\end{remark}
\begin{exercise}
����� $\Cov(X)$ --- ��⥣��� �����⨩ ⮯������᪮�� ����࠭�⢠ $X$,
� $G$-$\Sets$ --- ��⥣��� ������� � ����⢨�� ��㯯� $G = \pi_1(X,x_0)$,
��� $x_0 \in X$ --- 䨪�஢����� �窠.
�������, �� �㭪�� $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
���������⭮��� (�� �� ������䨧���!) ��� ��⥣�਩.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{fun-prod}
�������, �� $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}
����� ������, �� ��猪� ���������⭮��� ���� ��ண� ����� �㭪�஬ � ��������
������䨧� ������� ����ᮢ ������䨧�� ��ꥪ⮢. ��୮ � ���⭮�.
\begin{lemma}\label{crit-equ}
�㭪�� $F:\CC \to \D$ ���� ���������⭮���� $\LRA$ $F$ ��ண� �����
� ����⢥��� ���ꥪ⨢��, � ���� $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ ⠪�� �� $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}
������⥫��⢮ �㤥� ���� ���� �����.
\Section{�।�⠢��� �㭪���}

����� $\CC$ --- ��⥣���. ��类�� ��ꥪ�� $X \in \CC$ ᮯ��⠢�� �㭪���
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
�㭪�� $F:\CC^\opp \to \Sets$ ���뢠���� {\sf �।�⠢���}, �᫨ �� ������䥭 �㭪��� $h_X$
��� ������-���� $X \in \CC$. �������筮, �㭪�� $F:\CC \to \Sets$ ���뢠���� {\sf ���।�⠢���},
�᫨ �� ������䥭 �㭪��� $h^X$ ��� ������-���� $X \in \CC$. ��ꥪ� $X$ � �⮬ ��砥, ���뢠����
{\sf �।�⠢���騬} ({\sf ���।�⠢���騬}) �㭪�� $F$.
\begin{exercise}
�������, ��
(a) �㭪��� �������� $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ ���।�⠢���;
(b) �㭪�� $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ �।�⠢��.
\end{exercise}
�祭� ������� �⢥ত����� ���� ����� ������.
\begin{lemma}
$(a)$ ��� ��� $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ ����� $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ ��� ��� $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ ����� $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
������� �㭪� $(b)$ (�㭪� $(a)$ �����뢠���� �������筮, � $(c)$ �祢���� ᫥��� �� $(a)$ � $(b)$).
����� $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. ���ᬮ�ਬ ���䨧� $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (����⨬, �� $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ ⠪ ��� $F$ ����ࠢ�ਠ�⥭).
����� ������, �� ���䨧�� $s_Y$ ��ࠧ��� ���䨧� �㭪�஢ $h_X \to F$.
���⭮, ����� $\alpha:h_X \to F$ --- ���䨧� �㭪�஢. ����� $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
�⮡ࠦ���� �������. ����⨬, �� $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
���ᬮ�ਬ $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.
����� ��ࠧ�� �� ����ந�� �⮡ࠦ���� ����� ������⢠�� $\Hom(h_X,F)$ � $F(X)$.
�������, �� ��� ������� �����. � ᠬ�� ����, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
��⠥��� ��������, �� $\alpha_Y = s_Y$ ��� ��� $Y$.
��� �⮣� ��� ������� $\phi \in \Hom(Y,X)$ ��ᬮ�ਬ ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
�᭮, �� $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ ���孥� ��५��� ��ॢ������ � $s$,
����� �ࠢ�� ��५��� ��ॢ������ � $F(\phi)(s)$.
� ��㣮� ��஭�, ����� ��५��� $\id_X$ ��ॢ������ � $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
����� ������ ��५��� ��ॢ������ � $\alpha_Y(\phi)$.
����� $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}
\begin{corollary}
�᫨ �㭪�� $F:\CC^\opp \to \Sets$ �।�⠢��, � ��ꥪ�, �।�⠢���騩 ���,
��।���� �������筮 � �筮���� �� ������䨧��. �� �� �⭮���� � � ���।�⠢��� �㭪�ࠬ.
\end{corollary}
\begin{proof}
����� $h_X \cong F \cong h_Y$. ����� ������䨧� $h_X \cong h_Y$ ���� ������䨧� $X \cong Y$.
\end{proof}
\begin{exercise}
�������, �� �᫨ $\CC$ --- ����� ��⥣���, � �㭪��� $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ �
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- ��ண� ����� �㭪���.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%��⥣��� $\CC$ ���뢠���� {\sf ����饭���}, �᫨ ��直� �㭪�� $\CC \to \Sets$ ���।�⠢��,
%� ��直� �㭪�� $\CC^\opp \to \Sets$ �।�⠢��.
%�������, �� ��� �� ����� ��⥣�ਨ $\CC$ ��⥣��� $\Fun(\CC,\Sets)$ ����饭�.
%\end{exercise}

�।�⠢��� �㭪��� ��� �ᯮ������� ��� ��⥣�୮� �����㫨஢�� �⠭������ �������権.
����� $X_1,X_2 \in \CC$. ���ᬮ�ਬ �㭪�� $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. ��ꥪ�, �।�⠢���騩 ��� �㭪�� (�᫨ �� �।�⠢��),
���뢠���� {\sf �ந���������} ��ꥪ⮢ $X_1$ � $X_2$. �������筮, {\sf ���ந���������} ��ꥪ⮢
$X_1$ � $X_2$ ���뢠���� ��ꥪ�, ���।�⠢���騩 �㭪�� $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (�᫨ �� ���।�⠢��).
�������筮 ��।������� �ந�������� � ���ந�������� ��� ������⢠ ��ꥪ⮢.
\begin{exercise}
(a) �������, �� � ��⥣���� $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
�������� �ந�������� � ���ந�������� ��� ������⢠ ��ꥪ⮢.
(b) �஢����, �� �ந�������� � ��⥣�ਨ $\Comp$ ��������� ⮯������᪨� ����࠭��
������� � ���� �宭��᪨� �ந���������.
\end{exercise}
��㣮� �ਬ�� --- ��砫�� � ������ ��ꥪ��.
{\sf ��砫�� ��ꥪ�} --- �� ��ꥪ� $0_\CC$, ���।�⠢���騩 �㭪�� $I(X) = \{*\}$ ��� ��� $X \in \CC$,
� {\sf ������ ��ꥪ�} --- �� ��ꥪ� $1_\CC$, �।�⠢���騩 �㭪�� $T(X) = \{*\}$ ��� ��� $X \in \CC$.
\begin{exercise}
�������, �� �᫨ $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, � $0_\CC \cong 1_\CC$.
������ ��砫�� � ������ ��ꥪ�� � ��⥣���� $\Sets$ � ��㣨� ��⥣����.
\end{exercise}

\Section{����殮��� �㭪���}
����� $F:\CC \to \D$ � $G:\D \to \CC$ --- �㭪���.
�������, �� $F$ --- {\sf ᮯ�殮� ᫥�� � $G$}, � $G$ --- {\sf ᮯ�殮� �ࠢ� �~$F$},
�᫨ ��� ��� $X \in \CC$, $Y \in \D$ ������ ������䨧��
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ �㭪�ਠ��� �� ����� ��㬥�⠬
(� ����, �� 䨪�஢����� $X$ ���䨧�� $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ �㭪�ਠ���,
� �� 䨪�஢����� $Y$ ���䨧�� $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ �㭪�ਠ���).
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ⮦���⢥��� �㭪�� ᮯ�殮� ᠬ ᥡ�;
\item �㭪�� $\scm:\Groups \to \Ab$ �� �ਬ��~\ref{ex-fun}(5) ᮯ�殮� ᫥�� � �㭪��� �������� $\si:\Ab \to \Groups$;
\item �㭪��� $\sfr$ �� �ਬ��~\ref{ex-fun}(4) ᮯ�殮�� ᫥�� � �㭪�ࠬ $\sfg$ �� �ਬ��~\ref{ex-fun}(3).
\item �᫨ $F:\CC \to \D$ --- ���������⭮���, � $G:\D \to \CC$ --- ���������� �㭪��, � $G$
ᮯ�殮� � $F$ � �ࠢ� � ᫥��.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{adjuc}
����� $(F,G)$ --- ��� ᮯ�殮���� �㭪�஢. ����� �������� ���䨧�� �㭪�஢
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ � $\eta:F \circ G \to \id_\D$, ⠪�� ��
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, �
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%�������樨
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ �
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ ⮦���⢥���.
\end{lemma}
\begin{proof}
����⨬, �� $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ �� ᮯ�殮�����. ������稬 ��� $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
���䨧�, ᮮ⢥�����騩 ���䨧�� $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. �������筮, $\eta_Y$ ᮮ⢥�����
$\id_{G(Y)}$ �� ������䨧�� $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
� ᨫ� �㭪�ਠ�쭮�� ������䨧�� $\xi$ ����� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
���䨧� $\id_X$ ����� ��ன ��५�� ��ॢ������ � $\xi_{X,Y}(\phi)$, � ��㣮� --- � $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
��஥ ࠢ���⢮ �஢������ �������筮.
\end{proof}
\begin{lemma}
�㭪��� $F$ � $G$ ᮯ�殮�� ��� ���� $\LRA$ �������� ���䨧��
�㭪�஢ $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ � $\eta:F \circ G \to \id_\D$, ⠪�� ��
�������樨
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ �
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ ⮦���⢥���.
\end{lemma}
\begin{proof}
����� ���砫� $F$ ᮯ�殮� ᫥�� � $G$. ��।���� $\epsilon$ � $\eta$ ��� � �����~\ref{adjuc}.
����� ��� ��� ���䨧�� $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ �����
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
����⠢�� $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. ����稬
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, � ���� ⮦���⢥������ ��ࢮ� �������樨.
������⢥������ ��ன �஢������ �������筮.
����� ⥯��� $F$ � $G$ �ந������, � $\epsilon$ � $\eta$ ������.
������� ���䨧�� $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ � $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
��㫠�� $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ � $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
���ᬮ�ਬ ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
� ��� ������ ������⨢�� � ᨫ� �㭪�ਠ�쭮�� $\eta$, � ��㣮�쭨� --- �� �᫮���.
��� ����砥� $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
������⢮ $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
�஢������ �������筮.
\end{proof}
\begin{lemma}
�㭪�� $F$ ����� �ࠢ� ᮯ�殮��� $\LRA$ �㭪�� $\Hom(F(-),Y)$ �।�⠢��   ��� ��� $Y \in \D$.
�㭪�� $G$ ����� ����  ᮯ�殮��� $\LRA$ �㭪�� $\Hom(X,G(-))$ ���।�⠢�� ��� ��� $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
�롥६ ������䨧�� $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ ��� ��� $Y \in \D$
� ������� $G(Y) = Y'$. ���ᬮ�ਬ ���䨧� $\phi:Y_1 \to Y_2$. ���������
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
�������� ������� ���䨧� $G(Y_1) \to G(Y_2)$, �� ������ ����ᢨ� $G$ �� ���䨧���.
�㭪�ਠ�쭮��� �祢����.
%��஥ �⢥ত���� �஢������ �������筮.
\end{proof}
��ᯮ��㥬�� ����祭�묨 १���⠬� ��� ������⥫��⢠ �����~\ref{crit-equ}. ����⢨⥫쭮, �᫨
$F$ ��ண� ����� � ����⢥��� ���ꥪ⨢��, � ��� ��类�� $Y \in \D$ ������� $X \in \CC$,
⠪�� �� $F(X) \cong Y$, ����� $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
�।�⠢��� �㭪��, ᫥����⥫쭮 ������� �ࠢ� ᮯ�殮��� � $F$ �㭪�� $G$.
����� $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ � $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- ᮮ⢥�����騥
���䨧�� �㭪�஢. �������, �� ��� ������䨧��. ���ᬮ�ਬ ���砫� ���䨧�
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. �ਬ���� �㭪�� $\Hom(X',-)$ ����砥� ���䨧�
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, ��騩�� �������樥� ���䨧�� $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
� $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, � ᫥����⥫쭮 ������䨧���.
����� $\epsilon_X$ �������� ������䨧� �।�⠢���� �㭪�஢ $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
� ����� � ᠬ ���� ������䨧���. ���ᬮ�ਬ ⥯��� ���䨧� $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
�ਬ���� �㭪�� $\Hom(F(X),-)$ ����砥� ���䨧�
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. ��� ��������� � ���䨧���
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ ࠢ�� ���䨧�� $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
᫥����⥫쭮 ���� ������䨧���. �� ��直� ��ꥪ� $Y' \in \D$ ������䥭 ��ꥪ�� $F(X)$ ��� ���室�饣� $X$,
����� ���䨧� $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ ⮦� ���� ������䨧���. ����� ��ࠧ��
$\eta_Y$ �������� ������䨧� �।�⠢���� �㭪�஢ $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
� ����� � ᠬ ���� ������䨧���.
� �����襭��, �ਢ���� �ਬ�� �㭪�஢, ��।��塞�� �१ ����⨥ ᮯ�殮�����.
����� $\CI$ --- ����� ��⥣��� (��ᬠ�ਢ����� ��� ��⥣��� �����ᮢ).
���ᬮ�ਬ �㭪�� �஥�樨 $\CC\times\CI \to \CC$. � ᨫ� ���.~\ref{fun-prod}
�� ���� �㭪�� $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, ����� �� �㤥� ���뢠�� ����ﭭ� �㭪�஬
� ��������� $\Delta$. ��� ��类�� $F \in \Fun(\CI,\CC)$ ��ᬮ�ਬ �㭪��� $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{�}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(���� ����ࠢ�ਠ�⥭, ��ன ����ਠ�⥭). �᫨ �� �㭪��� (��)�।�⠢���, �
(��)�।�⠢���\-騩 ��ꥪ�
���뢠���� {\sf ����� �।����} (��� ���� {\sf �।����}) �㭪�� $F$ �� ��⥣�ਨ $\CI$
� ������砥��� $\ilim_\CI F(i)$ � ��ࢮ� ��砥,
� {\sf ���� �।����} (��� {\sf ���।����}) �㭪�� $F$ �� ��⥣�ਨ $\CI$
� ������砥��� $\dlim_\CI F(i)$  �� ��஬.
� ᨫ� ᢮��� �।�⠢���� �㭪�஢, �᫨ �।��� ��������, � ��।����� �������筮
(� �筮���� �� ������䨧��). ����� ⮣�, �᫨ �।��� ��।����� ��� ��� $F$, ��� ����� �㭪�ࠬ�
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ � $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ ᮮ⢥��⢥���.
\begin{exercise}
(a) �������, �� �᫨ ��⥣��� $\CI$ {\sf ����⭠} (� ���� $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ ��� $i \ne j$),
� $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ � $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) ������稬 �१ $\CI_{\text{\rm discr}}$ ������� ��⥣��� � $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
����ன� ���䨧�� �㭪�஢ $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ �
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}

\end{document}
\begin{definition}
������ --- �� �ன�� $(M,\circ,1)$,
������ �� ������⢠ $M$, ����୮� ����樨 $\circ$ �� $M$
(�.�.\ �⮡ࠦ���� $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
� ������� $e\in M$, ⠪�� �� �믮����� ᫥���騥 ᢮��⢠:
\begin{description}
\item[M1] \say{���樠⨢�����}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{��ᨮ�� �������}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $M=\Map(X,X)$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$ � ᥡ�,
$\circ$ --- ������ �������樨 �⮡ࠦ����, $e=\Id_X$ --- ⮦���⢥����
�⮡ࠦ����.
\item $M=\Map(X,M')$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$ � ������ $M'$,
$\circ$ --- ����筮� 㬭������ ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
��� $\circ'$ --- ������ � $M'$), $e\equiv e'$ --- �㭪��,
⮦���⢥��� ࠢ��� ������ ������� $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
����� 㡥������, �� ������ �� ��类� ������� �����⢥���.
����⢨⥫쭮, �᫨ $e'$ --- ��㣠� ������, �
$e' = e'\cdot e = e$. ���⮬� �� ������� ������� ����� ��
㪠�뢠�� ��� ������� --- �����筮 ���� �஢���� �� ����⢮�����.
%������ $M$ ���뢠���� \say{������⨢��}, �᫨
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\begin{lemma}
�᫨ $x_1,\dots,x_n$ --- �������� �������, � �� ᯮᮡ� ���⠭����
᪮��� � �ந�������� $x_1\circ\dots\circ x_n$ ���� ��������� १����.
\end{lemma}
������⥫��⢮ --- ������ �� $n$.
\begin{definition}
������ $M$ ���뢠���� ������⨢��, �᫨
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}
��� �ࠢ���, � ������⨢��� �������� ������ �����뢠���� ����⨢��
($x\circ y =: x+y$), � � ��������⨢��� ���⨯����⨢�� ($x\circ y =: xy$).
�ந�������� $n$ ���������� ������⮢
$x\circ\dots\circ x$ ������砥���
�१ $x^n$, �� �⮬ 㤮��� �������� $x^0=e$. ����� �஢����, ��
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
��� ��� ������⥫��� $m$ � $n$. �� ����⨢��� ����� ����樨 � �������
��������� ������祭��� $nx$ ����� $x^n$. �� �⮬ ᢮��⢮ $(\ref{prop1})$
�ਮ��⠥� ��� $nx + mx = (n+m)x$.
������� $x$ � ������� $M$ ���뢠���� \say{���⨬�}, �᫨ ��������
������� $y$ (\say{����  �����}), ⠪�� �� $y\circ x = e$; �
������� $z$ (\say{�ࠢ� �����}), ⠪�� �� $x\circ z = e$.
\begin{lemma}\label{inv}
�᫨ $x$ --- ���⨬, � ��直� ���� ����� � $x$ ࠢ�� ��类�� �ࠢ���
���⭮�� � $x$.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
��� ᠬ�, ��� ��� ���⨬��� ������� $x$ ������� �����⢥��� �������,
��騩�� �����६���� �ࠢ� � ���� ����� � $x$. ��� �������
������砥��� $x^{-1}$ (�� ����⨢��� �����: $-x$) � ���뢠����
����� � $x$.
�����, 㤮��� ��������� $(x^{-1})^n$ �१ $x^{-n}$ (�� ����⨢���
����� $-nx$). ����� ᢮��⢮ $(\ref{prop1})$ �⠭������ ���� ��
���� 楫�� $n$ � $m$.
\begin{definition}
��㯯� --- �� ������, � ���஬ �� �������� ���⨬�.
\end{definition}
\begin{lemma}
�᫨ $M$ --- ������, � ������⢮ $M^*$ ���⨬�� ������⮢ � $M$
���� ��㯯��.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
�����筮 �஢����, �� ������⢮ $M^*$ ������� �⭮�⥫쭮
����樨 $\circ$, � ���� �� ��� ���� ���⨬�� ������⮢ $x,y\in M$
�ந�������� $x\circ y$ --- ⮦� ���⨬�. ����⢨⥫쭮, �᭮, ��
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
� ���� ������� $y^{-1}\circ x^{-1}$ ���� ����� � $x\circ y$.\qed
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.
\item $(\ZZ,+)$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\QQ^*,\cdot)$ (��ਠ���: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).
\item \say{��㯯� ����⠭����} (ᨬ�����᪠� ��㯯�) $\FS_n$ ---
������⢮ ������䨧��� �� $n$-������⭮�� ������⢠ $\{1,\dots,n\}$
�� ᥡ� � ����樥� �������樨 �⮡ࠦ����.
\item $G = \Map(X,G')$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$
� ��㯯� $G'$.
\item ��㯯� ��⮬��䨧��� (�.\ �����~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{canc}
�᫨ � ��㯯� $G$ �믮����� ���� �� ࠢ���� $x\circ y=x\circ z$ ���
$y\circ x=z\circ x$, � $y=z$.
\end{lemma}
������⥫��⢮: �᫨ $x\circ y=x\circ z$, �
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
��ன ��砩 ࠧ��ࠥ��� �������筮.
��㯯� ���뢠���� ������⨢���, �᫨ ��� ������⨢�� ��� ������.
������⨢�� ��㯯� ⠪�� ���뢠���� \say{������묨}.

\Section{����� � ����}
\begin{definition}
�����--- �� ����� $(R,+,\cdot,0,1)$,
����騩 �� ������⢠ $R$, ������� ����権 $+$ (᫮�����) �
$\cdot$ (㬭������) �� $R$ � ������⮢ $0,1\in R$, ⠪�� ��
%$R$ ���� �������� ��㯯�� �⭮�⥫쭮 ᫮�����
�믮����� ᫥���騥 ᢮��⢠:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- ������� ��㯯�.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- ������.
\item[R3] \say{����ਡ�⨢����� (������������) 㬭������}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}
��������� � ����� ��� �����뢠�� � ���� $xy=x\cdot y$.
����� ���뢠���� ������⨢��, �᫨ ������⨢�� ������ 㬭������.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.
\item $\ZZ$ (��ਠ���: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $R=\Map(X,R')$ --- ������⢮ �⮡ࠦ���� �� ������⢠ $X$
� ����� $R'$ � �����묨 �����ﬨ.
\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
����� \say{�����童���} (\say{���������}) � �����樥�⠬� � ����� $R'$.
\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
����� \say{�ଠ���� �⥯����� �冷�} � �����樥�⠬� � ����� $R'$.
\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- ����� ����� ࠧ��� $n$ �� $n$
� �����樥�⠬� � ����� $R'$. �������� $R$ --- �� ⠡���� ����
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
� ������������ ᫮������; 㬭�������, ��������� ��㫮�
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{��� }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
�㫥��� ����楩 � ����⢥ 0 � ��������쭮� ����楩
� �����栬� �� ��������� � ����⢥ 1.
\item ����� �������䨧��� (�. �����~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}
�᫨ $R$ --- �����, � $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
� ��⠥��� �ਬ����� �����~\ref{canc} � ����⨢��� ��㯯� �����.
\begin{definition}
�����, � ���஬ $0\ne 1$ � �� �������� �஬� ��� �����
��㯯�� �⭮�⥫쭮 㬭������, ���뢠���� \say{⥫��},
� �᫨ ��� � ⮬� �� ������⨢��, � \say{�����}.
\end{definition}
��������⨢�� ⥫� ��������� �����筮 ।��; ���⥩訩 �ਬ�� ---
⥫� ����୨���� $\HH$. � ���ﬨ ���� ���⮨� ����⥫쭮 ����.
\begin{examples} �ਬ��� �����.
\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, ��� $p$ --- ���⮥ �᫮.
\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.
\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- ���� �樮������
�㭪権 � �����樥�⠬� � ���� $K'$.
\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- ���� (�ଠ����) �冷� ��࠭� � �����樥�⠬� � ���� $K'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
\Section{�������䨧��}
\begin{definition}
�������䨧� ��㯯 (��������) $f:G\to G'$ --- �� �⮡ࠦ����, ⠪�� ��
$f(e)=e'$ � $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
�������䨧� ����� (�����) $f:R\to R'$ --- �� �⮡ࠦ����, ��饥��
�������䨧��� �� ����⨢��� ��㯯� � ���⨯����⨢���� �������.
\end{definition}
\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item �᫨ $G$ --- ��㯯�, � $x\in G$, � �⮡ࠦ���� $n\mapsto x^n$
���� �������䨧��� ��㯯 $\ZZ\to G$.
\item �᫨ $R$ --- �����, � $x\in R$, � �⮡ࠦ���� $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
���� �������䨧��� ����� $\ZZ\to R$.
\item �஥��� $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ ���� �������䨧��� �����.
\item �⮡ࠦ���� $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ �
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ ����� �������䨧���� ��㯯.
\item �⮡ࠦ���� ���᫥��� $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
���� �������䨧��� ��㯯.
\item �᫨ $R$ --- ������⨢��� �����, � $r\in R$,
� �⮡ࠦ���� ���᫥��� $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
���� �������䨧��� �����.
\item ��直� ������� ����� $R$ ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� �����童� �⥯��� 0,
� ��直� �����童� ����� ��ᬠ�ਢ��� ��� �ଠ��� �⥯����� ��,
�� 童�� ���ண�, ��稭�� � �����ண� ���� ࠢ�� ���. ��� ᠬ�
�������� �������䨧�� ����� $R \to R[x]$ � $R[x] \to R[[x]]$.
%\item �᫨ $f:R\to R'$ --- �������䨧� �����, � $r\in R$, �
%�⮡ࠦ���� $\tilde{f}:R'[x]\to R$, ��ॢ���饥
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ � $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%�������䨧� �����.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{hom1}
��������� �������䨧��� ���� �������䨧���.
�᫨ $f:M\to M'$ --- �������䨧� ��������, � $x\in M$ --- ���⨬�
�������, � $f(x)\in M'$ --- ���⨬ � $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
������⥫��⢮:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
��㤠 ᫥��� ��ࢠ� ���� �����. ��� ������⥫��⢠ ��ன ���
�����筮 �������, ��
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, � ����
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed

�������䨧� (��������, ��㯯, �����, �����, � �.�.) $f:M\to M'$ ���뢠����
\say{������䨧���} (���ꥪ樥�, ����������), �᫨
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ �.�. $f(x)=z$.
�������䨧� $f$ ���뢠���� \say{�������䨧���} (��ꥪ樥�, ���������),
�᫨ �� ࠢ���⢠ $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, ᫥��� $x=y$.
�������䨧� $f:M\to M'$ ���뢠���� \say{������䨧���}, �᫨
������� �������䨧� $g:M'\to M$, ⠪�� ��
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.
\begin{lemma}
�������䨧� ��㯯 (�����) ���� ������䨧��� $\LRA$
�� ���� �����६���� �������䨧��� � ������䨧���.
\end{lemma}
������⥫��⢮: ��直� ������䨧� ����⨢��, ᫥����⥫쭮
���� �������䨧��� � ������䨧���. ���⭮, �᫨ �������䨧�
���� �������䨧��� � ������䨧��� �����६����, � �� ����⨢��,
᫥����⥫쭮 ������� ���⭮� �⮡ࠦ����, ���஥ (����� �஢����)
���� �������䨧���. \qed

��直� �������䨧� �� (�������, ��㯯�, �����, ����, � �.�.) � ᥡ�
���뢠���� \say{�������䨧���}. �������䨧�, ��騩�� ������䨧���,
���뢠���� \say{��⮬��䨧���}.
\begin{lemma}\label{endaut}
�᫨ $M$ --- �� �����ࠨ�᪠� ������� (������, ��㯯�, �����, ����),
� ������⢮ ��� ��⮬��䨧��� $\Aut(M)$ ���� ��㯯��. �᫨ $M$ ---
������� ��㯯�, � ������⢮ �� �������䨧��� $\End(M)$ ���� ����殬.
\end{lemma}
������⥫��⢮: �� �����~\ref{hom1} ᫥���, �� $\End(M)$ ���� ��������
�⭮�⥫쭮 ����樨 �������樨 �������䨧���, � $\Aut(M)$ ����
������⢮� ��� ���⨬�� �����⮢, ᫥����⥫쭮 $\Aut(M)$ --- ��㯯�.
�᫨ �� $M$ ���� �������� ��㯯��, � �� $\End(M)$ ���� ������
����筮�� ᫮����� ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), ⠪ �� $\End(M)$ �⠭������
����殬.\qed
\begin{definition}
��஬ �������䨧�� ��㯯 $f:G\to G'$ ���뢠����
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. ��ࠧ�� �������䨧��
��㯯 $f:G\to G'$ ���뢠���� $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
�������筮, �஬ �������䨧�� ����� $f:R\to R'$ ���뢠����
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. ��ࠧ�� �������䨧�� ����� $f:R\to R'$
���뢠���� $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}
����� ������, �� �� � ��ࠧ �������䨧�� ��㯯 $f:G\to G'$
����� \say{�����㯯���} (� ���� ���������⢠��, ��騬���
��㯯��� �⭮�⥫쭮 �����஢����� ����樨) � $G$ � $G'$ ᮮ�.
�������筮, �� � ��ࠧ �������䨧�� ����� $f:R\to R'$
����� \say{�������栬�} (� ���� ���������⢠��, ��騬���
����栬� �⭮�⥫쭮 �����஢����� ����権) � $R$ � $R'$ ᮮ�.
\begin{lemma}
�������䨧� $f$ ��㯯 (�����) ���� �������䨧��� $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ ᮮ�.).
�������䨧� �������� $f:M\to M'$ ���� ������䨧��� $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
������⥫��⢮: ����� $f:M\to M'$ --- �������䨧� ��㯯 � $f(x)=f(y)$. �����
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
᫥����⥫쭮 $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. ����� �祢����.
\begin{corollary}\label{field_mono}
�� �������䨧� �� ���� � ����� ���� ���������.
\end{corollary}
������⥫��⢮: �� �����~\ref{hom1} �� ���⨬� �������
���� (�⭮�⥫쭮 ���⨯����⨢��� ��������) ���室��
� ���⨬� �������. �������⥫쭮, ��直� ���㫥��� �������
���室�� �� � ����. � ��⭮��, �� �������䨧�� ࠢ�� ���,
᫥����⥫쭮 �������䨧� --- ��������. \qed

\Section{���� �ந��������}
����� $(M_1,\circ_1,e_1)$ � $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- �������.
����� �� �ந��������
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
��������� ������� �������:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
��� ������ ���뢠���� \say{���� �ந���������} �������� $M_1$ � $M_2$.
\begin{lemma}
�ந�������� ��㯯 (�����) ���� ��㯯�� (����殬).
\end{lemma}
������⥫��⢮: �祢����.
����⨢, ����� �஢����, �� �ந�������� ����� ���� ����殬,
�� �� �����. ����⢨⥫쭮, � �ந�������� ����� $K\times L$ �����
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
᫥����⥫쭮 �������� $(1_K,0_L)$ � $(0_K,1_L)$ �����⨬�.
\end{document}





��� � �� ࠢ���� ᫥��� ������⨢����� ��।��� �࠭�.





� ᠬ�� ����, ����� $P'$ --- ��㣠� ����뢠���, ⠪�� �� ���䨧� $P' \to X$ �ய�᪠���� �१ $P$.
����� $X'' = \Ker(P' \to X)$. ����砥� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X'' \ar[r] \ar[d] & P' \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & P \ar[r] & X \ar[r] & 0
}
$$


�� �����⢥����� ����� ᫥���, �� $f_k:T_k \to E_k$ --- ���䨧� �㭪�஢.

�஢�ਬ ⥯���, �� $f_k$ � $f_{k-1}$ ���������� � $\delta_{k-1}$.
���ᬮ�ਬ ��� ��᫥����⥫쭮�� $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ � $0 \to X''' \to P \to X'' \to 0$,
��� $P$ --- ����뢠��� ��� $X$, ⠪�� --- �� $E_k(P) = 0$, � $X''' = \Ker(P \to X'')$.
����砥� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X''' \ar[r] \ar[d] & P \ar[r] \ar[d] & X'' \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & X \ar[r] & X'' \ar[r] & 0
}
$$
����� ���� �㡨���� ����ࠬ��
$$
\xymatrix@!=3ex{
T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] \ar@{=}[dr] && T_{k-1}(X''') \ar@{->}'[d][dd] \ar[dr] \\
& T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] && T_{k-1}(X') \ar[dd] \\
%
E_k(X'') \ar@{->}'[r][rr] \ar@{=}[dr] && E_{k-1}(X''') \ar[dr] \\
& E_k(X'') \ar[rr] && E_{k-1}(X')
}
$$
��� ���� �������� ������⨢����� ��।��� �࠭�.
�� �⮬ �� ��⠫�� �࠭� ������⨢�� (������ � ������ --- ⠪ ���
$T_\bullet$ � $E_\bullet$ --- $\delta$-�㭪���, �ࠢ�� ---
� ᨫ� �㭪�ਠ�쭮�� $f_{k-1}$, ����� --- � ᨫ� ࠢ����, � ������ --- �� ��।������ $f_k$).
��� � �� ࠢ���� ᫥��� ������⨢����� ��।��� �࠭�.
