\documentclass{amsart}
\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\xyoption{all}

\begin{document}


\Name{Производные функторы --- построение}{Гомологическая алгебра 9}{19.11.2008}



\Section{Определение}

Пусть $F:\CA \to \CB$ --- аддитивный функтор между абелевыми категориями.
Обозначим индуцированный точный функтор между гомотопическими категориями также через $F:\Hot(\CA) \to \Hot(\CB)$.

\begin{lemma}
Функтор $F$ сохраняет квазиизоморфизмы $\LRA$ $F$ точен (то есть сохраняет точные тройки).
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $0 \to X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \to 0$ --- точная тройка.
Значит морфизм $v$ индуцирует квазиизоморфизм комплекса $\{X \to Y\}$ и $Z$.
Следовательно $F(v)$ должен индуцировать квазиизоморфизм комплексов $\{F(X) \to F(Y)\}$ и $F(Z)$,
то есть последовательность $0 \to F(X) \to F(Y) \to F(Z) \to 0$ должна быть точна.
\end{proof}

Если функтор $F:\Hot(\CA) \to \Hot(\CB)$ сохраняет квазиизоморфизмы, то в силу универсального свойства
функтора локализации существует функтор $\D(F):\D(\CA) \to \D(\CB)$, такой что
$$
\D(F)\circ Q_\CA \cong Q_\CB\circ F.\leqno{(*)}
$$
В этом случае функтор $\D(F)$ называется {\sf производным}\/ от функтора $F$.
% (и для простоты обозначается через $F$).

Однако, если функтор $F:\CA \to \CB$ не является точным, построить функтор $\D(F)$,
удовлетворяющий свойству~$(*)$, нельзя. Единственное что можно --- это добиться некоторого
приближения к этому свойству.

Точный функтор $RF:\D(\CA) \to \D(\CB)$ называется {\sf правым производным} от $F$,
если задан морфизм функторов
$$
\rho_F:Q_\CB\circ F \to RF\circ Q_\CA,\leqno{(\dagger)}
$$
удовлетворяющий универсальному свойству: 
\begin{itemize}
\item для всякого точного функтора $G:\D(\CA) \to \D(\CB)$
и всякого морфизма функторов $\phi:Q_\CB\circ F \to G\circ Q_\CA$ существует единственный морфизм
функторов $\phi':RF \to G$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix@R=3ex{
Q_\CB\circ F \ar[rr]^-{\rho_F} \ar[rrd]_\phi && RF\circ Q_\CA \ar[d]^{\phi'} \\ && G\circ Q_\CA
}
$$
коммутативна.
\end{itemize}

Аналогично, точный функтор $LF:\D(\CA) \to \D(\CB)$ называется {\sf левым производным} от функтора $F$,
если задан морфизм функторов
$$
\lambda_F:LF\circ Q_\CA \to Q_\CB\circ F,\leqno{(\ddagger)}
$$
удовлетворяющий универсальному свойству: 
\begin{itemize}
\item для всякого точного функтора $G:\D(\CA) \to \D(\CB)$
и всякого морфизма функторов $\phi:G\circ Q_\CA \to Q_\CB\circ F$ существует единственный морфизм
функторов $\phi':G \to LF$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix@R=3ex{
G\circ Q_\CA \ar[rrd]^\phi \ar[d]_{\phi'} \\
LF\circ Q_\CA \ar[rr]_-{\lambda_F} && Q_\CB\circ F 
}
$$
коммутативна.
\end{itemize}

Легко видеть, что если $F:\CA \to \CB$ точен, то $\D(F)$ является и правым и левым производным
функтором от $F$ одновременно. Кроме того, ясно, что правый (или левый) производный функтор 
единственен (если существует). 

\newpage

\Section{Локализация функторов и полуортогональные разложения}

Определение производного функтора является специальным случаем понятия локализации функтора.

Пусть $\CT$ и $\CT'$ --- триангулированные категории, $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор,
а $\CN \subset \CT$ --- строго полная триангулированная подкатегория. Если $F(\CN) = 0$,
то функтор $F$ пропускается через $\CT/\CN$. В общем же случае, такого не бывает.

Точный функтор $RF:\CT/\CN \to \CT'$ вместе с морфизмом $\rho:F \to RF\circ Q$ называется 
{\sf правой локализацией $F$ относительно $\CN$}, если всякий морфизм функторов 
$F \to G\circ Q$ (где $G:\CT/\CN \to \CT'$ --- точный функтор) пропускается
единственным образом через морфизм $RF \to G$. Аналогично,
точный функтор $LF:\CT/\CN \to \CT'$ вместе с морфизмом $\lambda:LF\circ Q \to F$ называется 
{\sf левой локализацией $F$ относительно $\CN$}, если всякий морфизм функторов 
$G\circ Q \to F$ (где $G:\CT/\CN \to \CT'$ --- точный функтор) пропускается
единственным образом через морфизм $G \to LF$.
$$
\xymatrix@R=3ex{
F \ar[rr]^-{\rho_F} \ar[rrd]_\phi && RF\circ Q \ar[d]^{\phi'} \\ && G\circ Q
}
\qquad
\xymatrix@R=3ex{
G\circ Q \ar[rrd]^\phi \ar[d]_{\phi'} \\
LF\circ Q \ar[rr]_-{\lambda_F} && F
}
$$



Ясно, что при $\CT = \Hot(\CA)$, $\CN = \Acycl(\CA)$, $\CT' = \D(\CB)$ правая (левая) локализация 
функтора $Q_\CB\circ F$ является правым (левым) производным функтором.
Поэтому вопрос существования производных функторов является частным 
случаем вопроса существования локализаций.

Аналогично случаю производных функторов, имеем

\begin{lemma}
Если $F(\CN) = 0$, то существует функтор $F':\CT/\CN \to \CT'$, являющийся 
и правой и левой локализацией $F$ одновременно.
\end{lemma}
\begin{proof}
Если $F(\CN) = 0$, то существует $F':\CT/\CN \to \CT'$, такой что $F'\circ Q = F$. 
Обозначим через $\rho$ и $\lambda$ взаимно обратные морфизмы $F \to F'\circ Q$ и 
$F'\circ Q \to F$. Ясно, что они дают искомые локализации.
\end{proof}

Чуть сложнее проверить следующий критерий. 

\begin{proposition}\label{sod-der}
Предположим, что функтор вложения $\CN \to \CT$ имеет правый 
сопряженный функтор $\CT \to \CN$. Тогда всякий точный функтор $F:\CT \to \CT'$
имеет правую локализацию.
\end{proposition}

Для доказательства нам понадобится некоторая подготовка.


\begin{lemma}\label{sod}
Пусть $\CA \subset \CT$ и $\CB \subset \CT$ --- строго полные триангулированные подкатегории.
Предположим 
\begin{itemize}
\item $\Hom(B,A) = 0$ для всех $A \in \CA$, $B \in \CB$;
\item для всякого объекта $X \in \CT$ существует
выделенный треугольник $B_X \to X \to A_X \to B_X[1]$,
в котором $A_X \in \CA$, а $B_X \in \CB$.
\end{itemize}
Тогда функторы вложения $\alpha:\CA \to \CT$ 
и $\beta:\CB \to \CT$ имеют левый и правый
сопряженный функторы $\alpha^*:\CT \to \CA$ и $\beta^!:\CT \to \CB$
соответственно, а треугольник функториален и изоморфен треугольнику
$$
\beta\beta^!X \to X \to \alpha\alpha^*X \to \beta\beta^!X[1],
$$
в котором первые два морфизма индуцированы сопряженностью функторов.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $X,Y \in \CT$, а $B_X \to X \to A_X \to B_X[1]$ и $B_Y \to Y \to A_Y \to B_Y[1]$ --- 
соответствующие треугольники. Пусть $f:X \to Y$ --- произвольный морфизм.
Ясно, что композиция $B_X \to X \to Y \to A_Y$ равна нулю (так как $\Hom(B_X,A_Y) = 0$), 
поэтому этот морфизм продолжается до морфизма треугольников
$$
\xymatrix{
B_X \ar[r] \ar@{-->}[d]_{B_f} & X \ar[r] \ar[d]_f & A_X \ar[r] \ar@{-->}[d]_{A_f} & B_X[1] \\
B_Y \ar[r] & Y \ar[r] & A_Y \ar[r] & B_Y[1]
}
$$
Так как $\Hom(B_X,A_Y[-1]) = 0$ такое продолжение единственно.
Отсюда следует, что отображения $X \mapsto A_X$, $f \mapsto A_f$, 
а также $X \mapsto B_X$, $f \mapsto B_f$ являются функторами 
$\CT \to \CA$ и $\CT \to \CB$ соответственно.

Применим теперь к треугольнику $B_X \to X \to A_X \to B_X[1]$ функтор $\Hom(B,-)$ с $B \in \CB$.
Так как $\Hom(B,A_X) = 0$, получим изоморфизм $\Hom(\beta(B),X) \cong \Hom(B,B_X)$.
Отсюда следует, что функтор $X \mapsto B_X$ сопряжен справа к $\beta$.
Аналогично проверяется, что функтор $X \mapsto A_X$ сопряжен к $\alpha$ слева.
\end{proof}

Если выполнены условия леммы, то говорят, что подкатегории $\CA$, $\CB$ образуют
{\sf полуортогональное разложение}\/ категории $\CT$ и пишут $\CT = \langle \CA, \CB \rangle$.

Пусть теперь $\CN \subset \CT$ --- произвольная полная триангулированная подкатегория.
Обозначим через $\CN^\perp \subset \CT$ строго полную подкатегорию в $\CT$,
состоящую из всех $X \in \CT$, таких что $\Hom_\CT(N,X) = 0$ для всех $N \in \CN$.
Аналогично, обозначим через ${}^\perp\CN \subset \CT$ строго полную подкатегорию в $\CT$,
состоящую из всех $X \in \CT$, таких что $\Hom_\CT(X,N) = 0$ для всех $N \in \CN$.
Эти подкатегории называются {\sf левым}\/ и {\sf правым ортогоналом к $\CN$}\/ соответственно.

\begin{exercise}
Покажите, что $\CN^\perp$ и ${}^\perp\CN$ --- триангулированные подкатегории.
\end{exercise}



\begin{lemma}
Если функтор вложения $\CN \to \CT$ имеет правый 
сопряженный функтор, то $\CT = \langle \CN^\perp,\CN \rangle$ ---
полуортогональное разложение.
Аналогично, если функтор вложения $\CN \to \CT$ имеет левый 
сопряженный функтор, то $\CT = \langle \CN,{}^\perp\CN \rangle$ ---
полуортогональное разложение.
\end{lemma}
\begin{proof}
Надо проверить, что условия леммы~\ref{sod} выполнены.
Первое условие выполняется по определению ортогонала.
Для второго условия, заметим, что 
$\Hom(N,\alpha\alpha^!X) =
\Hom(N,\alpha^!X) \cong 
\Hom(\alpha N,X) =
\Hom(N,X)$ 
для всех $N \in \CN$, причем изоморфизм индуцирован естественным морфизмом $\alpha\alpha^!X \to X$.
Дополним естественный морфизм $\alpha\alpha^!X \to X$ до выделенного треугольника
$$
\alpha\alpha^!X \to X \to X' \to \alpha\alpha^!X[1].
$$
Применяя к нему функтор $\Hom(N,-)$ с $N \in \CN$, получаем
$\Hom(N,X') = 0$, значит $X' \in \CN^\perp$.
Таким образом второе условие тоже выполнено.
\end{proof}

Подкатегория, функтор вложения которой имеет правый сопряженный называется
{\sf допустимой справа}, а подкатегория, функтор вложения которой имеет 
левый сопряженный называется {\sf допустимой слева}. Если подкатегория допустима
и слева и справа, она называется {\sf допустимой}.

{\renewcommand{\proofname}{Доказательство предложения~$\ref{sod-der}$}
\begin{proof}
По условию $\CN$ допустима справа, поэтому $\CT = \langle \CN^\perp, \CN \rangle$ ---
полуортогональное разложение. Обозначим функторы вложения категорий $\CN$ и $\CN^\perp$ 
через $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Применим к треугольнику $\beta\beta^!X \to X \to \alpha\alpha^*X \to \beta\beta^!X[1]$
функтор $Q$. Так как $Q(\CN) = 0$, а $\Im\beta \subset \CN$, получаем треугольник
$0 \to Q(X) \to Q\alpha\alpha^*(X) \to 0$, откуда получаем изоморфизм $Q \cong Q\alpha\alpha^*$.

Пусть $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор. Положим $\TF = F\alpha\alpha^*$
и пусть $\rho:F \to F\alpha\alpha^*$ --- морфизм индуцированный естественным
морфизмом $\id \to \alpha\alpha^*$. Пусть $\phi:F \to GQ$ --- произвольный морфизм 
функторов. Компонируя с $\alpha\alpha^*$, получаем морфизм $\phi':\TF = F\alpha\alpha^* \to GQ\alpha\alpha^* \cong GQ$,
причем в силу функториальности $\phi' = \phi\circ\rho$. Единственность такого $\phi'$ очевидна.
Остается заметить, что $\TF(\CN) = 0$, поэтому $\TF$ раскладывается в композицию 
$\CT \stackrel{Q}\to \CT/\CN \stackrel{RF}\to \CT'$. Тогда $RF$ --- искомый функтор.
\end{proof}
}

\Section{Проективные и инъективные резольвенты}

Предложение~\ref{sod-der} (если оно применимо) дает эффективную
конструкцию производных функторов.


\begin{lemma}
Пусть в категории $\CA$ достаточно много инъективных объектов.
Тогда 
$$
\Hot^+(\CA) = \langle \Hot^+(\Inj(\CA)), \Acycl^+(\CA) \rangle
$$
--- полуортогональное разложение.
В частности, для всякого аддитивного функтора $F:\CA \to \CB$ на категории $\D^+(\CA)$ 
определен правый производный функтор $RF$.

Аналогично, пусть в категории $\CA$ достаточно много проективных объектов.
Тогда 
$$
\Hot^-(\CA) = \langle \Acycl^-(\CA), \Hot^-(\Proj(\CA)) \rangle
$$
--- полуортогональное разложение.
В частности, для всякого аддитивного функтора $F:\CA \to \CB$ на категории $\D^-(\CA)$ 
определен левый производный функтор $LF$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Если $I^\bullet$ --- ограниченный снизу комплекс ацикличных объектов, а
$X^\bullet$ --- ацикличный комплекс, то всякий морфизм $I^\bullet \to X^\bullet$
гомотопен нулю (это мы доказывали в лекции 4, гомотопия строится по индукции).
Поэтому категории полуортогональны. Далее, если $X^\bullet$ --- произвольный
ограниченный снизу комплекс, то у него есть инъективная резольвента, то есть
квазиизоморфизм $X^\bullet \to I^\bullet$. Его конус --- ацикличный комплекс.
Полученный треугольник показывает, что у нас и в самом деле есть полуортогональное
разложение. В частности, можно применить предложение~\ref{sod-der} и получить
правый производный функтор от произвольного аддитивного функтора $F$.
Аналогичные рассуждения доказывают вторую часть леммы.
\end{proof}

\begin{remark}
Согласно лемме, чтобы вычислить правый производный функтор $RF$ на комплексе $X$,
надо применить $F$ почленно к какой-либо из его инъективных резольвент:
$RF(X) = F(I(X))$. Аналогично, $LF(X) = F(P(X))$.
\end{remark}


На самом деле, подход с полуортогональными разложениями позволяет доказывать весьма сильные
результаты. Например, строить производные функторы на неограниченных производных категориях.
Для этого нужны следующие понятия.

Комплекс $X \in \Hot(\CA)$ называется {\sf $h$-инъективным}, если он лежит в правом ортогонале к $\Acycl(\CA)$.
Аналогично, комплекс $X \in \Hot(\CA)$ называется {\sf $h$-проективным}, если он лежит в левом ортогонале к $\Acycl(\CA)$.
Обозначим через $\hInj(\CA)$ и $\hProj(\CA)$ категории $h$-инъективных и $h$-проективных объектов в $\Hot(\CA)$
соответственно. По определению
$$
\hInj(\CA) = \Acycl(\CA)^\perp,
\qquad
\hProj(\CA) = {}^\perp\Acycl(\CA).
$$

\begin{theorem}[Спальтенштейн]
$(i)$ Пусть $R$ --- произвольное кольцо. Тогда 
$$\Hot(R\lMod) = \langle \Acycl(R\lMod), \hProj(R\lMod) \rangle
$$
--- полуортогональное разложение. В частности, любой функтор на категории $R\lMod$ имеет левый производный.

$(ii)$ Пусть $X$ --- топологическое пространство, а $\CR$ --- пучок колец на $X$.
Обозначим через $\CR\lMod$ категорию пучков $\CR$-модулей на $X$.
Тогда 
$$
\Hot(\CR\lMod) = \langle \hInj(\CR\lMod), \Acycl(\CR\lMod) \rangle
$$
--- полуортогональное разложение. В частности, любой функтор на категории $\CR\lMod$ имеет правый производный.
\end{theorem}

Есть и разные вариации на эту тему.


\Section{Связь с классическими производными функторами}

\begin{lemma}
Пусть $F:\CA \to \CB$ --- точный слева функтор, а $RF:\D^+(\CA) \to \D^+(\CB)$ --- его правый производный.
Определим функторы $R^iF:\CA \to \CB$ формулой
$$
R^iF(A) = H^i(RF(A)),
$$
где $H^i:\D^+(\CB) \to \CB$ --- функтор вычисления $i$-ых когомологий.
Тогда $R^iF$ --- классические производные функторы от $F$.
Аналогично, если $F:\CA \to \CB$ --- точный справа функтор, а $LF:\D^-(\CA) \to \D^-(\CB)$ --- его левый производный, то
$$
L_iF(A) = H^{-i}(LF(A)),
$$
--- классические производные функторы от $F$.
\end{lemma}

Для доказательства в общем случае нам пока не хватает техники.
Ограничимся случаем достаточного количества инъективных (проективных) объектов.
В этом случае утверждение тавтологично.

\begin{proof}
Как было отмечено выше $RF(A) = F(I(A))$, где $I(A)$ --- инъективная резольвента.
Тогда $H^i(RF(A)) = H^i(F(I(A)))$, что равно $R^iF(A)$ согласно результатам лекции 4.
\end{proof}



\Section{Конструкция Делиня}

Для описания производных функторов оказываются полезными понятия прямого и обратного предела 
функтора по категории. Напомним их.

Пусть $S$ --- (малая) категория, а $F:S \to \Sets$ --- функтор.
Определим
$$
\begin{array}{l}
\dlim_S F := \bigsqcup_{s\in S} F(s) / \{ x_s \sim F(f)(x_s)_t \}_{f \in \Hom_S(s,t)},\\[1ex]
\ilim_S F := \{ (x_s)_{s \in S} \in \prod_{s\in S} F(s) \ |\ \forall f \in \Hom_S(s,t)\  F(f)(x_s) = x_t\ \}.
\end{array}
$$

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) $\dlim$ и $\ilim$ --- функторы из категории $\Fun(S,\Sets)$ в $\Sets$;\\
(b) $\dlim$ сопряжен слева, а $\ilim$ справа к функтору $\Sets \to \Fun(S,\Sets)$, $X \mapsto F(s) := X$;\\
(c) $\Hom(\dlim_S F,X) = \ilim_S \Hom(F(s),X)$.
\end{exercise}

Если же функтор $F$ принимает значения в произвольной категории $\CC$, то
по определению $\dlim_S F$ --- это объект, представляющий функтор $X \mapsto \dlim_S \Hom(X,F(s))$,
а $\ilim_S F$ --- это объект, копредставляющий функтор $X \mapsto \dlim_S \Hom(F(s),X)$:
$$
h_{\dlim_S F} = \dlim_S h_F,
\qquad
h^{\ilim_S F} = \dlim_S h^F.
$$

\begin{exercise}
Покажите, что если $\CA$ --- аддитивная категория, то\\
(a) функторы $\dlim,\ilim:\Funadd(S,\CA) \to \CA$ аддитивны;
(b) $\Ker f = \ilim_{\bullet \to \bullet} f$, $\Coker = \dlim_{\bullet \to \bullet} f$.
\end{exercise}

Функтор $\Phi:T \to S$ называется {\sf кофинальным}, если для всякого объекта $s \in S$
\begin{itemize}
\item найдется $t \in T$, так что $\Hom(s,\Phi(t)) \ne \emptyset$;
\item для всяких $t_1,t_2 \in T$ и $f_1:s \to \Phi(t_1)$, $f_2:s \to \Phi(t_2)$ 
найдется $t \in T$ и морфизмы $g_1:t_1 \to t$, $g_2:t_2 \to t$, так что $\Phi(g_1)\circ f_1 = \Phi(g_2)\circ f_2$.
\end{itemize}
Категория $S$ называется {\sf фильтрованной}, если функтор $\Delta:S \to S\times S$ --- кофинальный.

\begin{exercise}
Если $\Phi:T \to S$ кофинальный функтор, то \\
(a) естественный морфизм $\dlim_T (F\circ\Phi) \to \dlim_S F$ --- изоморфизм;\\
(b) естественный морфизм $\ilim_{S^\opp} F \to \ilim_{T^\opp} (F\circ\Phi)$ --- изоморфизм.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Если категория $S$ фильтрованая, то функтор $\dlim_S:\Funadd(S,\CA) \to \CA$ точен.
\end{exercise}

Пусть $S$ --- класс морфизмов в категории $\CC$.
Для каждого объекта $X \in \CT$ обозначим через $S^X$ категорию морфизмов $s:X \to Z$, лежащих в $S$,
а через $S_X$ --- категорию морфизмов $s:Z \to X$, лежащих в $S$.

\begin{exercise}
(a) Если $S$ удовлетворяет условиям Оре, то категории $S^X$ и $S_X^\opp$ фильтрованы,
и для всякого морфизма $s:X \to Y$ лежащего в $S$ функторы $S^Y \to S^X$ и $S_X^\opp \to S_Y^\opp$ кофинальны.
(b) Если в категории $\CC$ существуют прямые пределы, то функторы $X \mapsto \dlim_{S^X} Z$
и $X \mapsto \ilim_{S_X} Z$ переводят морфизмы из $S$ в квазиизоморфизмы.
\end{exercise}

Из упражнения следует, что функторы $X \mapsto \dlim_{S^X} h_Z$ и $X \mapsto \ilim_{S_X} h_Z$
задают строго полное вложение локализации $\CC[S^{-1}]$ в $\Fun(\CC,\Sets)$.

Аналогичные соображения можно использовать для построения локализации функторов.
Пусть $S = S(\CN)$ --- класс морфизмов, соответствующий подкатегории $\CN$.
Пусть $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор. Предположим он имеет правую локализацию $RF$.
Пусть $G$ --- произвольный точный функтор $\CT/\CN \to \CT'$, а $\phi:F \to G\circ Q$ --- морфизм функторов.
Пусть $s:X \to Z$ --- морфизм из $S$. Тогда возникает коммутативная диаграмма
$$
\xymatrix{
\\
F(X) \ar[rr]_{\rho_F(X)} \ar@/^3ex/[rrrr]^{\phi(X)} \ar[d]_{F(s)} && RF(Q(X)) \ar@{..>}[rr]_{\phi'(X)} \ar[d]^{RF(Q(s))}_\cong && G(Q(X)) \ar[d]^{G(Q(s))}_\cong \\
F(Z) \ar[rr]^{\rho_F(Z)} \ar@/_3ex/[rrrr]_{\phi(Z)} && RF(Q(Z)) \ar@{..>}[rr]^{\phi'(Z)} && G(Q(Z)) 
}
$$
Заметим, что $Q(s)$ --- изоморфизм, поэтому во-первых, морфизмы $(RF(Q(s)))^{-1}\circ\rho_F(X)$ индуцируют морфизм
$\dlim_{S^X} F(Z) \to RF(X)$, который в силу универсального свойства ``должен являться изоморфизмом''.
Проводя аналогичные рассуждения для левой локализации получаем равенства
$$
RF(X) \cong \dlim_{S^X} F(Z),
\qquad
LF(X) \cong \ilim_{S_X} F(Z).\leqno{(\star)}
$$

Сделаем эти рассуждения строгими.
Для этого для каждого объекта $Z \in \CT$ рассмотрим представимый функтор $h_{F(Z)}:{\CT'}^\opp \to \Ab$.
Определим функторы $rF(X):{\CT'}^\opp \to \Ab$ и $lF(X):{\CT'}^\opp \to \Ab$ формулами
$$
rF(X) := \dlim_{S^X} h_{F(Z)},
\qquad
lF(X) := \ilim_{S_X} h_{F(Z)}
$$
Заметим, что если $F(\CN) = 0$, то $F$ переводит все морфизмы из $S$ в изоморфизмы,
поэтому все морфизмы в пределах --- изоморфизмы, значит $rF(X) \cong h_{F(X)} \cong lF(X)$.

\begin{lemma}
Если для всякого $X \in \CT$ функтор $rF(X)$ представим, то функтор $F$ имеет правую локализацию,
причем $h_{RF(X)} \cong rF(X)$.
Аналогично, если для всякого $X \in \CT$ функтор $lF(X)$ представим, то функтор $F$ имеет левую локализацию,
причем $h_{LF(X)} \cong lF(X)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим произвольный морфизм $f:X \to X'$ в $\CT$. Пусть $S^f$ --- категория коммутативных квадратов
$$
\xymatrix{X \ar[r]^f \ar[d]_s & X' \ar[d]^{s'} \\ Z \ar[r]^\tf & Z'}
$$
где $s,s' \in S$.
Имеем очевидные функторы $S^f \to S^X$ и $S^{X'}$, индуцирующие морфизмы пределов 
$$
\alpha_f:\dlim_{S^f} h_{F(Z)} \to \dlim_{S^X} h_{F(Z)} = rF(X)
\quad\text{и}\quad
\beta_f:\dlim_{S^f} h_{F(Z)} \to \dlim_{S^{X'}} h_{F(Z')} = rF(X')
$$ 
(во втором случае используется морфизм $\tf:Z \to Z'$).
Заметим, что $\alpha_f$ является изоморфизмом, так как функтор $S^f \to S^X$ 
кофинален (это одно из условий Оре). Поэтому композиция $\beta_f\circ\alpha_f^{-1}$
задает морфизм $rF(X) \to rF(X')$. Легко видеть, что тем самым определен функтор $rF:X \mapsto rF(X)$.

При этом, если морфизм $f$ лежит в классе $S$, то существует также функтор $S^{X'} \to S^f$,
$$
(s':X' \to Z') \mapsto \vcenter{\xymatrix{X \ar[r]^f \ar[d]_{s'f} & X' \ar[d]^{s'} \\ Z' \ar[r]^\id & Z'}}
$$
Композиция функторов $S^{X'} \to S^f \to S^{X'}$ очевидно тождественна, а композиция 
$S^f \to S^{X'} \to S^f$ переводит
$$
\vcenter{\xymatrix{X \ar[r]^f \ar[d]_s & X' \ar[d]^{s'} \\ Z \ar[r]^\tf & Z'}} 
\qquad\mapsto\qquad
\vcenter{\xymatrix{X \ar[r]^f \ar[d]_{s'f} & X' \ar[d]^{s'} \\ Z' \ar[r]^\id & Z'}}
$$
При этом диаграммы в правой части образуют кофинальную подкатегорию в $S^f$, 
откуда заключаем, что в этом случае морфизм $\beta_f$ является изоморфизмом. 

Пусть теперь $\TF(X) \in \CT'$ --- объект, представляющий функтор $rF(X)$.
Из функториальности $rF$ по $X$ и леммы Ионеда следует, что $\TF:\CT \to \CT'$ --- функтор.
При этом, так как $rF$ переводит морфизмы из $S$ в изоморфизмы, значит то же верно и для $\TF$,
следовательно он пропускается через факторкатегорию $\TF:\CT/\CN \to \CT'$. 

\begin{exercise}
Покажите, что функтор $\TF$ точен.
\end{exercise}

Проверим, что построенный
функтор $\TF$ удовлетворяет универсальному свойству правого производного функтора.

По определению имеем
$$
\Hom_{\CT'}(Y,\TF(X)) = 
rF(X)(Y) =
\dlim_{S^X} h_{F(Z)}(Y) =
\dlim_{S^X} \Hom_{\CT'}(Y,F(Z)).
$$
Если $Y = F(X)$, то морфизм $\id_{F(X)} \in \Hom_{\CT'}(F(X),F(X))$ (соответствующий морфизму 
$\id_X:X \to X$ из $S^X$) задает элемент предела, то есть морфизм $\rho_F(X):F(X) \to \TF(X)$.
Построение функториально по $X$, поэтому $\rho_F$ --- морфизм функторов $F \to \TF\circ Q$.
Пусть теперь $\phi:F \to G\circ Q$ произвольный морфизм функторов. Построим морфизм $\phi':\TF \to G$.
Для этого достаточно для всех $Y$ построить морфизмы $\Hom_{\CT'}(Y,\TF(X)) \to \Hom_{\CT'}(Y,G(X))$,
функториальные и по $X$ и по $Y$. Рассмотрим произвольный каждого морфизм $s:X \to Z$ из $S^X$
и произвольный морфизм $f:Y \to F(Z)$.
Тогда последний из морфизмов в строке
$$
\xymatrix@1{Y \ar[rr]^f && F(Z) \ar[rr]^-{\phi_Z} && G(Q(Z)) && G(Q(X)) \ar[ll]_-{G(Q(s))}}
$$
обратим, так что можно рассмотреть композицию $G(Q(s))^{-1}\circ\phi_Z\circ f:Y \to G(Q(X))$.
Легко видеть, что тем самым получается морфизм 
$\Hom_{\CT'}(Y,\TF(X)) = \dlim_{S^X} \Hom_{\CT'}(Y,F(Z)) \to \Hom_{\CT'}(Y,G(X))$.
Его функториальность очевидна, так что получаем искомый морфизм функторов.
Чтобы проверить, что $\phi'\circ\rho_F = \phi$ достаточно подставить $Y = F(X)$, $\rho = \rho_F(X)$.
Согласно определению последнего $\phi'$ переводит его в композицию
$G(Q(\id_X))^{-1}\circ\phi_X\circ\id_{F(X)} = \phi_X$, что и требовалось.

Остается проверить, что построенный $\phi'$ единственен. В самом деле, так как в категории $S^X$
есть начальный объект $\id_X:X \to X$, всякий морфизм $\phi':\dlim_{S^X} \Hom_{\CT'}(Y,F(Z)) \to \Hom_{\CT'}(Y,G(X))$
однозначно определяется морфизмом $\Hom_{\CT'}(Y,F(X)) \to \Hom_{\CT'}(Y,G(X))$, то есть морфизмом
$F(X) \to G(X)$, то есть композицией $\phi'\circ\rho_F$.
\end{proof}

В качестве следствия получаем такое утверждение

\begin{lemma}
Пусть в $\CT$ есть строго полная триангулированная подкатегория $\CT_0$,
такая что $F(\CN_0) = 0$, а для каждого объекта $X \in \CT$ найдется морфизм
$X \to X_0$, такой что $X_0 \in \CT_0$, конус которого лежит в~$\CN$.
Тогда функтор $F$ имеет правый производный. Причем $RF(X) \cong F(X_0)$.
Аналогично, если $F(\CN_0) = 0$, а для каждого объекта $X \in \CT$ найдется морфизм
$X_0 \to X$, такой что $X_0 \in \CT_0$, конус которого лежит в~$\CN$, то
функтор $F$ имеет левый производный, причем $LF(X) \cong F(X_0)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В самом деле, функтор $rF(X)$ изоморфен функтору $rF(X_0)$.
%Обозначим ограничение $F$ на $\CT_0$ через $F_0$, а класс морфизмов $S \cap \CT_0$ . 
Пусть $S_0 = S \cap \CT$. Тогда категория $S_0^{X_0} \subset S^{X_0}$ кофинальна
(по условию!), поэтому $rF_0(X_0) = \dlim_{S_0^{X_0}} h_{F(Z)} = \dlim_{S_0^{X}} h_{F(Z)} = rF(X_0)$,
так что остается проверить представимость функтора $rF_0(X_0)$. Но так как $F_0(\CN_0) = 0$, функтор 
$rF_0(X_0)$ представим объектом $F_0(X_0) = F(X_0)$, так что $RF(X) \cong F(X_0)$.
\end{proof}

Применяя к производным функторам, получаем следующуее 

\begin{corollary}
Пусть $F:\CA \to \CB$ --- точный слева (справа) функтор.
Если в $\CA$ существует достаточно много $F$-ацикличных объектов,
то $F$ имеет правый (левый) производный функтор на категории $\D^+(\CA)$
(соотв. $\D^-(\CA)$), причем  $RF(X) = F(A(X))$ (соотв. $LF(X) = F(A(X))$), 
где $A(X)$ --- $F$-ацикличная резольвента.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $\Acycl^F(\CA)$ --- $F$-ацикличные объекты.
Положим $\CT_0 = \Hot^*(\Acycl^F(\CA))$, где $* = \pm$.
Тогда условия леммы выполняются (то, что $F(\CN_0) = 0$
было доказано в лекции 5). 
\end{proof}


Пусть $(\CT/\CN)^F \subset \CT/\CN$ --- строго полная подкатегория в $\CT/\CN$,
состоящая из всех объектов $X$, для которых функтор $rF(X)$ представим,
а $(\CT/\CN)_F \subset \CT/\CN$ --- строго полная подкатегория в $\CT/\CN$,
состоящая из всех объектов $X$, для которых функтор $lF(X)$ представим.

\begin{exercise}
Покажите, что категории $(\CT/\CN)^F$ и $(\CT/\CN)_F$ в $\CT/\CN$ --- триангулированные.
\end{exercise}

Они называются областью определения функтора $RF$ (соотв. $LF$).

Также можно получить следующую интерпретацию.
Согласно ней, правая и левая локализации функтора существуют всегда,
задаются формулами $(\star)$, но принимают значения в пополнении 
$\dlim \CT'$ или $\ilim \CT'$ категории $\CT'$ относительно прямых 
или обратных пределов соответственно. Тогда область определения функторов $RF$ и $LF$ --- 
это прообраз подкатегории $\CT' \subset \dlim \CT'$ и $\CT' \subset \ilim \CT'$ относительно 
$RF$ и $LF$ соответственно.







\end{document}


\bigskip\hrule\bigskip

\begin{exercise}
Пусть $X$ --- схема, $Z \subset X$ --- замкнутое подмножество, а $U = X \setminus Z$.
Пусть $\D^b_Z(\Coh X)$ --- строго полная подкатегория в $\D^b(\Coh X)$, состоящая из комплексов,
все когомологии которых сосредоточены на $Z$. Тогда $\D^b(\Coh X) / \D^b_Z(\Coh X) \cong \D^b(\Coh U)$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор.
Тогда класс $S = F^{-1}(\Iso(\CT'))$ удовлетворяет условиям Оре и согласован с триангулированной структурой.
Более того категория $\CT[S^{-1}]$ --- полная подкатегория в $\CT'$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Свойство (4) очевидно, а (5) следует из~\ref{fghiso}.
\end{proof}

\end{document}


\begin{lemma}
\end{lemma}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что
\end{exercise}



\begin{lemma}

\end{lemma}



Пусть $\CA \subset \CB$ --- строго полная аддитивная подкатегория в аддитивной категории, и пусть функтор вложения $i:\CA \to \CB$
(он автоматически аддитивен) обладает левым сопряженным функтором $i^*$.

\begin{lemma}
Если морфизм $\xymatrix@1{i(X) \ar[r]^{i(f)} & i(Y)}$ имеет ядро в $\CB$,
то $\Ker f = i^*(\Ker i(f))$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В силу изоморфизма $\Hom(i^*(\Ker f),X) \cong \Hom(\Ker f,i(X))$ естественный морфизм
$\kappa:\Ker f \to i(X)$ индуцирует морфизм $\kappa':i^*(\Ker f) \to X$.
\end{proof}


\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item
\end{enumerate}
\end{examples}


Также используются {\sf контравариантные функторы}, меняющие направление морфизмов.
Здесь полезно понятие {\sf противоположной категории}. Если $\CC$ --- категория,
определим категорию $\CC^\opp$ так:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\CC^\opp$ категория.
\end{exercise}
{\sf Контравариантный функтор} из $\CC$ в $\D$ --- это ковариантный функтор из $\CC^\opp$ в $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item кольцо функций $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item группа Галуа $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Функторы можно компонировать.
\begin{exercise}
Покажите, что композиция двух ковариантных или двух контравариантных функторов ковариантна,
а композиция ковариантного и контравариантного функторов контравариантна. Проверьте,
что операция компонирования функторов ассоциативна.
\end{exercise}

Функтор $F:\CC \to \D$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- вложение для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf полным}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- сюръекция для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf строго полным} или {\sf вполне строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- изоморфизм для всех $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} и \eqref{i-fun} строго полные;
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} и \eqref{fr-fun} строгие, но не полные.
\end{enumerate}
\end{examples}
Определим {\sf декартово произведение категорий} $\CC$ и $\D$. По определению
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
Функтор $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ называется также {\sf бифунктором}.
\begin{exercise}
Покажите, что $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- бифунктор.
\end{exercise}
%\newpage
\Section{Морфизмы функторов}
Пусть $F,G:\CC \to D$ --- функторы. {\sf Морфизм функторов} (или {\sf естественное преобразование})
$\alpha:F \to G$ --- это набор морфизмов $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ для всех $X \in \CC$, такой что
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{для всех $X,Y \in \CC$ и $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$
Морфизмы функторов можно компонировать друг с другом и с функторами.
\begin{exercise}
(a) Пусть $F,G,H:\CC \to \D$, а $\alpha:F \to G$ и $\beta:G \to H$ --- морфизмы функторов.
Покажите, что $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- морфизм функторов.
(b) Пусть $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ и $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- функторы,
а $\alpha:G \to G'$ --- морфизм функторов. Покажите, что
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ и $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- морфизмы функторов.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Постройте морфизмы функторов
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%Определите композицию морфизмов функторов.
Покажите, что если категория $\CC$ --- {\sf малая} (то есть $\Ob\CC$ --- множество),
то для любой категории $\D$ все функторы из $\CC$ в $\D$ образуют категорию $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Покажите, что $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}
Морфизм функторов $\alpha:F \to G$ называется {\sf изоморфизмом}, если существует
морфизм функторов $\beta:G \to F$, такой что $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.
%\begin{exercise}
%Пусть $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- функторы.
%Покажите, что $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
Таким образом, все малые категории с функторами в качестве морфизмов
образуют категорию $\Cats$. На самом деле, ее естественнее рассматривать
как 2-категорию --- помимо объектов и морфизмов в ней есть 2-морфизмы
(то есть морфизмы между морфизмами --- в нашем примере естественные
преобразования функторов). При этом $\Cats$ является строгой 2-категорией
(композиция 1-морфизмов ассоциативна), хотя вообще в 2-категориях
композиция 1-морфизмов предполагается ассоциативной только с точностью
до 2-изоморфизма.
\end{remark}
Функтор $F:\CC \to \D$ называется {\sf эквивалентностью}, если существует функтор $G:\D \to \CC$,
так что $F\circ G \cong \id_\D$ и $G \circ F \cong \id_\CC$. Функтор $G$ называется {\sf квазиобратным} к $F$.
\begin{remark}
Более привычно выглядит понятие изоморфизма категорий, в отличии от эквивалентности, предполагающего
равенства $F\circ G = \id_\D$ и $G \circ F = \id_\CC$. Однако, на практике, изоморфизмов категорий
практически не встречается, в то время как содержательных эквивалентностей весьма много.
\end{remark}
\begin{exercise}
Пусть $\Cov(X)$ --- категория накрытий топологического пространства $X$,
а $G$-$\Sets$ --- категория множеств с действием группы $G = \pi_1(X,x_0)$,
где $x_0 \in X$ --- фиксированная точка.
Покажите, что функтор $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
эквивалентность (но не изоморфизмом!) этих категорий.
\end{exercise}
\begin{exercise}\label{fun-prod}
Покажите, что $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}
Легко видеть, что всякая эквивалентность является строго полным функтором и индуцирует
изоморфизм множеств классов изоморфизма объектов. Верно и обратное.
\begin{lemma}\label{crit-equ}
Функтор $F:\CC \to \D$ является эквивалентностью $\LRA$ $F$ строго полон
и существенно сюръективен, то есть $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ такой что $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}
Доказательство будет дано чуть позже.
\Section{Представимые функторы}

Пусть $\CC$ --- категория. Всякому объекту $X \in \CC$ сопоставим функторы
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
Функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ называется {\sf представимым}, если он изоморфен функтору $h_X$
для какого-либо $X \in \CC$. Аналогично, функтор $F:\CC \to \Sets$ называется {\sf копредставимым},
если он изоморфен функтору $h^X$ для какого-либо $X \in \CC$. Объект $X$ в этом случае, называется
{\sf представляющим} ({\sf копредставляющим}) функтор $F$.
\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функторы забвения $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ копредставимы;
(b) функтор $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ представим.
\end{exercise}
Очень полезным утверждением является лемма Ионеды.
\begin{lemma}
$(a)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ имеем $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ имеем $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем пункт $(b)$ (пункт $(a)$ доказывается аналогично, а $(c)$ очевидно следует из $(a)$ и $(b)$).
Пусть $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. Рассмотрим морфизм $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (заметим, что $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ так как $F$ контравариантен).
Легко видеть, что морфизмы $s_Y$ образуют морфизм функторов $h_X \to F$.
Обратно, пусть $\alpha:h_X \to F$ --- морфизм функторов. Тогда $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
отображение множеств. Заметим, что $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
Рассмотрим $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.
Таким образом мы построили отображения между множествами $\Hom(h_X,F)$ и $F(X)$.
Покажем, что они взаимно обратны. В самом деле, $S^X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
Остается показать, что $\alpha_Y = s_Y$ для всех $Y$.
Для этого для каждого $\phi \in \Hom(Y,X)$ рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
Ясно, что $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ верхней стрелкой переводится в $s$,
который правой стрелкой переводится в $F(\phi)(s)$.
С другой стороны, левой стрелкой $\id_X$ переводится в $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
который нижней стрелкой переводится в $\alpha_Y(\phi)$.
Значит $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Если функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ представим, то объект, представляющий его,
определен однозначно с точностью до изоморфизма. То же относится и к копредставимым функторам.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $h_X \cong F \cong h_Y$. Тогда изоморфизм $h_X \cong h_Y$ дает изоморфизм $X \cong Y$.
\end{proof}
\begin{exercise}
Покажите, что если $\CC$ --- малая категория, то функторы $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ и
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- строго полные функторы.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%Категория $\CC$ называется {\sf насыщенной}, если всякий функтор $\CC \to \Sets$ копредставим,
%а всякий функтор $\CC^\opp \to \Sets$ представим.
%Покажите, что для любой малой категории $\CC$ категория $\Fun(\CC,\Sets)$ насыщена.
%\end{exercise}

Представимые функторы часто используются для категорной переформулировки стандартных конструкций.
Пусть $X_1,X_2 \in \CC$. Рассмотрим функтор $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. Объект, представляющий этот функтор (если он представим),
называется {\sf произведением} объектов $X_1$ и $X_2$. Аналогично, {\sf копроизведением} объектов
$X_1$ и $X_2$ называется объект, копредставляющий функтор $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (если он копредставим).
Аналогично определяются произведения и копроизведения любого множества объектов.
\begin{exercise}
(a) Докажите, что в категориях $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
существуют произведения и копроизведения любого множества объектов.
(b) Проверьте, что произведение в категории $\Comp$ компактных топологических пространств
существует и является тихоновским произведением.
\end{exercise}
Другой пример --- начальный и конечный объекты.
{\sf Начальный объект} --- это объект $0_\CC$, копредставляющий функтор $I(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$,
а {\sf конечный объект} --- это объект $1_\CC$, представляющий функтор $T(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$.
\begin{exercise}
Покажите, что если $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, то $0_\CC \cong 1_\CC$.
Найдите начальный и конечный объекты в категориях $\Sets$ и других категориях.
\end{exercise}

\Section{Сопряженные функторы}
Пусть $F:\CC \to \D$ и $G:\D \to \CC$ --- функторы.
Говорят, что $F$ --- {\sf сопряжен слева к $G$}, а $G$ --- {\sf сопряжен справа к~$F$},
если для всех $X \in \CC$, $Y \in \D$ заданы изоморфизмы
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ функториальные по обоим аргументам
(то есть, при фиксированном $X$ морфизмы $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ функториальны,
и при фиксированном $Y$ морфизмы $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ функториальны).
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item тождественный функтор сопряжен сам себе;
\item функтор $\scm:\Groups \to \Ab$ из примера~\ref{ex-fun}(5) сопряжен слева к функтору вложения $\si:\Ab \to \Groups$;
\item функторы $\sfr$ из примера~\ref{ex-fun}(4) сопряжены слева к функторам $\sfg$ из примера~\ref{ex-fun}(3).
\item если $F:\CC \to \D$ --- эквивалентность, а $G:\D \to \CC$ --- квазиобратный функтор, то $G$
сопряжен к $F$ и справа и слева.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{adjuc}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных функторов. Тогда существуют морфизмы функторов
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, а
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%композиции
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ по сопряженности. Обозначим черех $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
морфизм, соответствующий морфизму $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. Аналогично, $\eta_Y$ соответствует
$\id_{G(Y)}$ при изоморфизме $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
В силу функториальности изоморфизма $\xi$ имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
Морфизм $\id_X$ одной парой стрелок переводится в $\xi_{X,Y}(\phi)$, а другой --- в $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
Второе равенство проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функторы $F$ и $G$ сопряжены друг другу $\LRA$ найдутся морфизмы
функторов $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
композиции
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть вначале $F$ сопряжен слева к $G$. Определим $\epsilon$ и $\eta$ как в лемме~\ref{adjuc}.
Тогда для любого морфизма $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ имеем
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
Подставим $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. Получим
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, то есть тождественность первой композиции.
Тождественность второй проверяется аналогично.
Пусть теперь $F$ и $G$ произвольные, а $\epsilon$ и $\eta$ заданы.
Зададим морфизмы $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ и $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
формулами $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ и $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
В ней квадрат коммутативен в силу функториальности $\eta$, а треугольник --- по условию.
Отсюда получаем $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
Равенство $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
проверяется аналогично.
\end{proof}
\begin{lemma}
Функтор $F$ имеет правый сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(F(-),Y)$ представим   для всех $Y \in \D$.
Функтор $G$ имеет левый  сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(X,G(-))$ копредставим для всех $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем изоморфизмы $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ для всех $Y \in \D$
и положим $G(Y) = Y'$. Рассмотрим морфизм $\phi:Y_1 \to Y_2$. Композиция
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
индуцирует некоторый морфизм $G(Y_1) \to G(Y_2)$, что задает дейтсвие $G$ на морфизмах.
Функториальность очевидна.
%Второе утверждение проверяется аналогично.
\end{proof}
Воспользуемся полученными результатами для доказательства леммы~\ref{crit-equ}. Действительно, если
$F$ строго полон и существенно сюръективен, то для всякого $Y \in \D$ существует $X \in \CC$,
такой что $F(X) \cong Y$, значит $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
представимый функтор, следовательно существует правый сопряженный к $F$ функтор $G$.
Пусть $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- соответствующие
морфизмы функторов. Покажем, что они изоморфизмы. Рассмотрим вначале морфизм
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. Применяя функтор $\Hom(X',-)$ получаем морфизм
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, являющийся композицией морфизма $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
и $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, и следовательно изоморфизмом.
Значит $\epsilon_X$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
а значит и сам является изоморфизмом. Рассмотрим теперь морфизм $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
Применяя функтор $\Hom(F(X),-)$ получаем морфизм
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. Его композиция с морфизмом
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ равна морфизму $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
следовательно является изоморфизмом. Но всякий объект $Y' \in \D$ изоморфен объекту $F(X)$ для подходящего $X$,
значит морфизм $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ тоже является изоморфизмом. Таким образом
$\eta_Y$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
а значит и сам является изоморфизмом.
В завершение, приведем пример функторов, определяемых через понятие сопряженности.
Пусть $\CI$ --- малая категория (рассматриваемая как категория индексов).
Рассмотрим функтор проекции $\CC\times\CI \to \CC$. В силу Упр.~\ref{fun-prod}
он дает функтор $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, который мы будем называть постоянным функтором
и обозначать $\Delta$. Для всякого $F \in \Fun(\CI,\CC)$ рассмотрим функторы $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{и}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(первый контравариантен, второй ковариантен). Если эти функторы (ко)представимы, то
(ко)представляю\-щий объект
называется {\sf обратным пределом} (или просто {\sf пределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\ilim_\CI F(i)$ в первом случае,
и {\sf прямым пределом} (или {\sf копределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\dlim_\CI F(i)$  во втором.
В силу свойств представимых функторов, если пределы существуют, то определены однозначно
(с точностью до изоморфизма). Более того, если пределы определены для всех $F$, они являются функторами
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ и $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ соответственно.
\begin{exercise}
(a) Покажите, что если категория $\CI$ {\sf дискретна} (то есть $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ для $i \ne j$),
то $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ и $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) Обозначим через $\CI_{\text{\rm discr}}$ дискретную категорию с $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
Постройте морфизмы функторов $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ и
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}

\end{document}
\begin{definition}
Моноид --- это тройка $(M,\circ,1)$,
состоящая из множества $M$, бинарной операции $\circ$ на $M$
(т.е.\ отображения $M\times M\to M$, $(x,y)\mapsto x\circ y$)
и элемента $e\in M$, таких что выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[M1] \say{Ассоциативность}:
$\forall x,y,z\in M \quad (x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$.
\item[M2] \say{Аксиома единицы}:
$\forall x\in M \quad x\circ e = e\circ x = x$.
\end{description}
\end{definition}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $(\ZZ,+,0)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\ZZ,\cdot,1)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
$\ZZ_{\ge0}$, $\QQ_{\ge0}$, $\RR_{\ge0}$,
$\ZZ_{>0}$, $\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $M=\Map(X,X)$ --- множество отображений из множества $X$ в себя,
$\circ$ --- операция композиции отображений, $e=\Id_X$ --- тождественное
отображение.
\item $M=\Map(X,M')$ --- множество отображений из множества $X$ в моноид $M'$,
$\circ$ --- поточечное умножение ($(f\circ g)(x)=f(x)\circ' g(x)$,
где $\circ'$ --- операция в $M'$), $e\equiv e'$ --- функция,
тождественно равная единице моноида $M'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Легко убедиться, что единица во всяком моноиде единственна.
Действительно, если $e'$ --- другая единица, то
$e' = e'\cdot e = e$. Поэтому при задании моноида можно не
указывать его единицу --- достаточно лишь проверить ее существование.
%Моноид $M$ называется \say{коммутативным}, если
%$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\begin{lemma}
Если $x_1,\dots,x_n$ --- элементы моноида, то все способы расстановки
скобок в произведении $x_1\circ\dots\circ x_n$ дают одинаковый результат.
\end{lemma}
Доказательство --- индукция по $n$.
\begin{definition}
Моноид $M$ называется коммутативным, если
$\forall x,y\in M\quad x\circ y=y\circ x$.
\end{definition}
Как правило, в коммутативных моноидах операция записывается аддитивно
($x\circ y =: x+y$), а в некоммутативных мультипликативно ($x\circ y =: xy$).
Произведение $n$ одинаковых элементов
$x\circ\dots\circ x$ обозначается
через $x^n$, при этом удобно положить $x^0=e$. Легко проверить, что
\begin{myeq}\label{prop1}
x^n\circ x^m=x^{n+m}
\end{myeq}%
для всех неотрицательных $m$ и $n$. При аддитивной записи операции в моноиде
пользуются обозначением $nx$ вместо $x^n$. При этом свойство $(\ref{prop1})$
приобретает вид $nx + mx = (n+m)x$.
Элемент $x$ в моноиде $M$ называется \say{обратимым}, если существуют
элемент $y$ (\say{левый  обратный}), такой что $y\circ x = e$; и
элемент $z$ (\say{правый обратный}), такой что $x\circ z = e$.
\begin{lemma}\label{inv}
Если $x$ --- обратим, то всякий левый обратный к $x$ равен всякому правому
обратному к $x$.
\end{lemma}
Доказательство:
$y = y\circ e = y\circ(x\circ z) = (y\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Тем самым, для любого обратимого элемента $x$ существует единственный элемент,
являющийся одновременно правым и левым обратным к $x$. Этот элемент
обозначается $x^{-1}$ (при аддитивной записи: $-x$) и называется
обратным к $x$.
Далее, удобно обозначить $(x^{-1})^n$ через $x^{-n}$ (при аддитивной
записи $-nx$). Тогда свойство $(\ref{prop1})$ становится верным при
любых целых $n$ и $m$.
\begin{definition}
Группа --- это моноид, в котором все элементы обратимы.
\end{definition}
\begin{lemma}
Если $M$ --- моноид, то множество $M^*$ обратимых элементов в $M$
является группой.
\end{lemma}
Доказательство:
Достаточно проверить, что множество $M^*$ замкнуто относительно
операции $\circ$, то есть что для любых обратимых элементов $x,y\in M$
произведение $x\circ y$ --- тоже обратимо. Действительно, ясно, что
$$
(x\circ y)\circ(y^{-1}\circ x^{-1}) = (y^{-1}\circ x^{-1})\circ(x\circ y) = e,
$$
то есть элемент $y^{-1}\circ x^{-1}$ является обратным к $x\circ y$.\qed
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item ${\mathbf 1} = \{e\}$.
\item $(\ZZ,+)$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $(\QQ^*,\cdot)$ (варианты: $\RR^*$, $\CC^*$, $(\ZZ/n\ZZ)^*$
$\QQ_{>0}$, $\RR_{>0}$, $\mu_n=\{z\in\CC\ |\ z^n=1\}$,
$\BS^1 = \{z\in\CC\ |\ |z|=1\}$, \dots).
\item \say{Группа перестановок} (симметрическая группа) $\FS_n$ ---
множество изоморфизмов из $n$-элементного множества $\{1,\dots,n\}$
на себя с операцией композиции отображений.
\item $G = \Map(X,G')$ --- множество отображений из множества $X$
в группу $G'$.
\item Группы автоморфизмов (см.\ лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{canc}
Если в группе $G$ выполнено одно из равенств $x\circ y=x\circ z$ или
$y\circ x=z\circ x$, то $y=z$.
\end{lemma}
Доказательство: если $x\circ y=x\circ z$, то
$y = e\circ y = (x^{-1}\circ x)\circ y = x^{-1}\circ(x\circ y) =
x^{-1}\circ(x\circ z) = (x^{-1}\circ x)\circ z = e\circ z = z$.
Второй случай разбирается аналогично.
Группа называется коммутативной, если она коммутативна как моноид.
Коммутативные группы также называются \say{абелевыми}.

\Section{Кольца и поля}
\begin{definition}
Кольцо--- это набор $(R,+,\cdot,0,1)$,
состоящий из множества $R$, бинарных операций $+$ (сложение) и
$\cdot$ (умножение) на $R$ и элементов $0,1\in R$, таких что
%$R$ является абелевой группой относительно сложения
выполнены следующие свойства:
\begin{description}
\item[R1] $(R,+,0)$ --- абелева группа.
\item[R2] $(R,\cdot,1)$ --- моноид.
\item[R3] \say{Дистрибутивность (билинейность) умножения}:
$\forall x,y,z\in R \quad x\cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z,\
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z$.
\end{description}
\end{definition}
Умножение в кольце часто записывают в виде $xy=x\cdot y$.
Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item $\{0\}$.
\item $\ZZ$ (варианты: $\QQ$, $\RR$, $\CC$, $\ZZ/n\ZZ$, \dots).
\item $R=\Map(X,R')$ --- множество отображений из множества $X$
в кольцо $R'$ с поточечными операциями.
\item $R=R'[x]=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{многочленов} (\say{полиномов}) с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=R'[[x]]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+\dots\ |\ a_0,\dots,a_n\in R'\}$ ---
кольцо \say{формальных степенных рядов} с коэффициентами в кольце $R'$.
\item $R=\Mat_{n\times n}(R')$ --- кольцо матриц размера $n$ на $n$
с коэффициентами в кольце $R'$. Элементы $R$ --- это таблицы вида
$\scriptscriptstyle\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}& \dots  & a_{1n}\\
\vdots& \ddots & \vdots\\
a_{n1}& \dots  & a_{nn}
\end{array}\right)$, $a_{ij}\in R'$
с покомпонентным сложением; умножением, задаваемым формулой
\begin{myeq}\label{matprod}
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&\dots&a_{nn}
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{ccc}
b_{11}&\dots&b_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{n1}&\dots&b_{nn}
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{ccc}
c_{11}&\dots&c_{1n}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{n1}&\dots&c_{nn}
\end{array}\right),\ \mbox{где }
c_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}
\end{myeq}%
нулевой матрицей в качестве 0 и диагональной матрицей
с единицами на диагонале в качестве 1.
\item Кольца эндоморфизмов (см. лемму~\ref{endaut}).
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}
Если $R$ --- кольцо, то $\forall x\in R\quad 0\cdot x = x\cdot 0 = 0$.
\end{lemma}
Доказательство:
$0 + 0\cdot x = 0\cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$
и остается применить лемму~\ref{canc} к аддитивной группе кольца.
\begin{definition}
Кольцо, в котором $0\ne 1$ и все элементы кроме нуля являются
группой относительно умножения, называется \say{телом},
а если оно к тому же коммутативно, то \say{полем}.
\end{definition}
Некоммутативные тела встречаются достаточно редко; простейший пример ---
тело кватернионов $\HH$. С полями дело обстоит значительно лучше.
\begin{examples} Примеры полей.
\begin{enumerate}
\item $\QQ$, $\RR$, $\CC$,
\item $\FF_p:=\ZZ/p\ZZ$, где $p$ --- простое число.
\item $\QQ[i]=\{x+yi\in\CC\ | x,y\in\QQ\}$,
$\QQ[\sqrt{2}] = \{x+y\sqrt{2}\in\RR\ | x,y\in\QQ\}$.
\item
$K = K'(x) =
\left.\left\olbrace\dfrac{f(x)}{g(x)}\ \right|\
f(x),g(x)\in K[x],\ g(x)\not\equiv0\right\orbrace$ --- поле рациональных
функций с коэффициентами в поле $K'$.
\item
$K = K'((x)) =
\{a_{-n}x^{-n} + \dots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n + \dots\ |
\ a_i\in K'\}$ --- поле (формальных) рядов Лорана с коэффициентами в поле $K'$.
\end{enumerate}
\end{examples}
\Section{Гомоморфизмы}
\begin{definition}
Гомоморфизм групп (моноидов) $f:G\to G'$ --- это отображение, такое что
$f(e)=e'$ и $\forall x,y\in G\quad f(x\circ y)=f(x)\circ'f(y)$.
Гомоморфизм колец (полей) $f:R\to R'$ --- это отображение, являющееся
гомоморфизмом их аддитивной группы и мультипликативного моноида.
\end{definition}
\begin{examples}\label{ex_hom}
\begin{enumerate}
\item Если $G$ --- группа, а $x\in G$, то отображение $n\mapsto x^n$
является гомоморфизмом групп $\ZZ\to G$.
\item Если $R$ --- кольцо, а $x\in R$, то отображение $n\mapsto nx:=x+\dots+x$
является гомоморфизмом колец $\ZZ\to R$.
\item Проекция $\ZZ\to\ZZ/n\ZZ$ является гомоморфизмом колец.
\item Отображения $\exp:\RR\to\RR_{>0}$, $\exp:\CC\to\CC^*$ и
$\ln:\RR_{>0}\to\RR$ являются гомоморфизмами групп.
\item Отображение вычисления $ev_x:\Map(X,G)\to G$, $f\mapsto f(x)$
является гомоморфизмом групп.
\item Если $R$ --- коммутативное кольцо, и $r\in R$,
то отображение вычисления $ev_r:R[x]\to R$,\\
$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\mapsto a_nr^n+\dots+a_1r+a_0$
является гомоморфизмом колец.
\item Всякий элемент кольца $R$ можно рассматривать как многочлен степени 0,
а всякий многочлен можно рассматривать как формальный степенной ряд,
все члены которого, начиная с некоторого места равны нулю. Тем самым
задаются гомоморфизмы колец $R \to R[x]$ и $R[x] \to R[[x]]$.
%\item Если $f:R\to R'$ --- гомоморфизм колец, и $r\in R$, то
%отображение $\tilde{f}:R'[x]\to R$, переводящее
%$a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\in R'[x]$ в $f(a_n)r^n+\dots+f(a_1)r+f(a_0)$ ---
%гомоморфизм колец.
\end{enumerate}
\end{examples}
\begin{lemma}\label{hom1}
Композиция гомоморфизмов является гомоморфизмом.
Если $f:M\to M'$ --- гомоморфизм моноидов, а $x\in M$ --- обратимый
элемент, то $f(x)\in M'$ --- обратим и $f(x)^{-1} = f(x^{-1})$.
\end{lemma}
Доказательство:
%$(f\circ g)(x\circ y)=
$f(g(x\circ y))=f(g(x)\circ g(y))=f(g(x))\circ f(g(y))$,
% = (f\circ g)(x)\circ(f\circ g)(y)$,
откуда следует первая часть леммы. Для доказательства второй части
достаточно заметить, что
$f(x^{-1})\circ f(x) = f(x^{-1}\circ x) = f(e) = e'$,
$f(x)\circ f(x^{-1}) = f(x\circ x^{-1}) = f(e) = e'$, то есть
$f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\qed

Гомоморфизм (моноидов, групп, колец, полей, и т.д.) $f:M\to M'$ называется
\say{эпиморфизмом} (сюръекцией, наложением), если
$\forall z\in M'\ \exists x\in M$ т.ч. $f(x)=z$.
Гомоморфизм $f$ называется \say{мономорфизмом} (инъекцией, вложением),
если из равенства $f(x)=f(y)$, $x,y\in M$, следует $x=y$.
Гомоморфизм $f:M\to M'$ называется \say{изоморфизмом}, если
существует гомоморфизм $g:M'\to M$, такой что
$g\circ f=\Id_M$, $f\circ g=\Id_{M'}$.
\begin{lemma}
Гомоморфизм групп (колец) является изоморфизмом $\LRA$
он является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
\end{lemma}
Доказательство: всякий изоморфизм биективен, следовательно
является мономорфизмом и эпиморфизмом. Обратно, если гомоморфизм
является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно, то он биективен,
следовательно существует обратное отображение, которое (легко проверить)
является гомоморфизмом. \qed

Всякий гомоморфизм из (моноида, группы, кольца, поля, и т.д.) в себя
называется \say{эндоморфизмом}. Эндоморфизм, являющийся изоморфизмом,
называется \say{автоморфизмом}.
\begin{lemma}\label{endaut}
Если $M$ --- любая алгебраическая структура (моноид, группа, кольцо, поле),
то множество его автоморфизмов $\Aut(M)$ является группой. Если $M$ ---
абелева группа, то множество ее эндоморфизмов $\End(M)$ является кольцом.
\end{lemma}
Доказательство: из леммы~\ref{hom1} следует, что $\End(M)$ является моноидом
относительно операции композиции эндоморфизмов, а $\Aut(M)$ является
множеством его обратимых эементов, следовательно $\Aut(M)$ --- группа.
Если же $M$ является абелевой группой, то на $\End(M)$ есть операция
поточечного сложения ($(f+g)(x):=f(x)+g(x)$), так что $\End(M)$ становится
кольцом.\qed
\begin{definition}
Ядром гомоморфизма групп $f:G\to G'$ называется
$\Ker f = \{x\in G\ |\ f(x)=e'\}$. Образом гомоморфизма
групп $f:G\to G'$ называется $\Im f = \{y\in G'\ |\ y=f(x), x\in G\}$.
Аналогично, ядром гомоморфизма колец $f:R\to R'$ называется
$\Ker f = \{x\in R\ |\ f(x)=0\}$. Образом гомоморфизма колец $f:R\to R'$
называется $\Im f = \{y\in R'\ |\ y=f(x), x\in R\}$.
\end{definition}
Легко видеть, что ядро и образ гомоморфизма групп $f:G\to G'$
являются \say{подгруппами} (то есть подмножествами, являющимися
группами относительно индуцированной операции) в $G$ и $G'$ соотв.
Аналогично, ядро и образ гомоморфизма колец $f:R\to R'$
являются \say{подкольцами} (то есть подмножествами, являющимися
кольцами относительно индуцированных операций) в $R$ и $R'$ соотв.
\begin{lemma}
Гомоморфизм $f$ групп (колец) является мономорфизмом $\LRA$
$\Ker f=\{e\}$ ($\Ker f=\{0\}$ соотв.).
Гомоморфизм моноидов $f:M\to M'$ является эпиморфизмом $\LRA$
$\Im f=M'$.
\end{lemma}
Доказательство: пусть $f:M\to M'$ --- гомоморфизм групп и $f(x)=f(y)$. Тогда
$f(x^{-1}\circ y) = f(x^{-1})\circ f(y) =
f(x)^{-1}\circ f(y) = (f(y))^{-1}\circ f(y) = e'$,
следовательно $x^{-1}\circ y\in\Ker f$. Далее очевидно.
\begin{corollary}\label{field_mono}
Любой гомоморфизм из поля в кольцо является вложением.
\end{corollary}
Доказательство: по лемме~\ref{hom1} любой обратимый элемент
поля (относительно мультипликативной структуры) переходит
в обратимый элемент. Следовательно, всякий ненулевой элемент
переходит не в ноль. В частности, ядро гомоморфизма равно нулю,
следовательно гомоморфизм --- вложение. \qed

\Section{Прямые произведения}
Пусть $(M_1,\circ_1,e_1)$ и $(M_2,\circ_2,e_2)$ --- моноиды.
Тогда на произведении
$M_1\times M_2=\{(x_1,x_2)\ |\ x_1\in M_1,\ x_2\in M_2\}$
возникает структура моноида:
$$
(x_1,x_2)\circ(y_1,y_2) = (x_1\circ y_1,x_2\circ y_2),\qquad e=(e_1,e_2).
$$
Этот моноид называется \say{прямым произведением} моноидов $M_1$ и $M_2$.
\begin{lemma}
Произведение групп (колец) является группой (кольцом).
\end{lemma}
Доказательство: очевидно.
Напротив, легко проверить, что произведение полей является кольцом,
но не полем. Действительно, в произведении полей $K\times L$ имеем
$$
(1_K,0_L)\cdot(0_K,1_L) = (1_K\cdot 0_K,0_L\cdot 1_L) = (0_K,0_L),
$$
следовательно элементы $(1_K,0_L)$ и $(0_K,1_L)$ необратимы.
\end{document}





Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.





В самом деле, пусть $P'$ --- другая накрывающая, такая что морфизм $P' \to X$ пропускается через $P$.
Пусть $X'' = \Ker(P' \to X)$. Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X'' \ar[r] \ar[d] & P' \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & P \ar[r] & X \ar[r] & 0
}
$$


Из единственности легко следует, что $f_k:T_k \to E_k$ --- морфизм функторов.

Проверим теперь, что $f_k$ и $f_{k-1}$ коммутируют с $\delta_{k-1}$.
Рассмотрим точный последовательности $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ и $0 \to X''' \to P \to X'' \to 0$,
где $P$ --- накрывающая для $X$, такая --- что $E_k(P) = 0$, а $X''' = \Ker(P \to X'')$.
Получаем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X''' \ar[r] \ar[d] & P \ar[r] \ar[d] & X'' \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & X' \ar[r] & X \ar[r] & X'' \ar[r] & 0
}
$$
которая дает кубическую диаграмму
$$
\xymatrix@!=3ex{
T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] \ar@{=}[dr] && T_{k-1}(X''') \ar@{->}'[d][dd] \ar[dr] \\
& T_k(X'') \ar[rr] \ar[dd] && T_{k-1}(X') \ar[dd] \\
%
E_k(X'') \ar@{->}'[r][rr] \ar@{=}[dr] && E_{k-1}(X''') \ar[dr] \\
& E_k(X'') \ar[rr] && E_{k-1}(X')
}
$$
Нам надо доказать коммутативность передней грани.
При этом все остальные грани коммутативны (верхняя и нижняя --- так как
$T_\bullet$ и $E_\bullet$ --- $\delta$-функторы, правая ---
в силу функториальности $f_{k-1}$, левая --- в силу равенств, а задняя --- по определению $f_k$).
Отсюда и из равенств следует коммутативность передней грани.
