\documentclass{amsart}

\usepackage{my_list}
\usepackage{xypic}
\xyoption{all}

\begin{document}

\Name{Категории и функторы}{Гомологическая алгебра 1}{18.09.2008}


%\Section{Мотивировка}

Разнообразные группы (ко)гомологий встречаются
в алгебре и геометрии повсеместно. Например,

\begin{enumerate}
\item когомологии топологических пространств (с коэффициентами в пучке) --- в топологии;
\item группа Брауэра $H^2(\Gal(\kk),\kk^*)$ --- в теории центральных простых алгебр;
\item когомологии конечных и проконечных групп --- в алгебраической теории чисел;
\item группа расширений $\Ext^1(M,N)$ --- в коммутативной алгебре;
\item теория дефформаций и препятствий --- в любом разделе геометрии.
\end{enumerate}

Поэтому довольно важно понимать структуру когомологических функторов и иметь
удобные средства для их вычисления. Наиболее естественной средой для этого
является подходящая производная категория. Использование производных категорий
позволяет единообразно работать с любыми когомологическими функторами, дает
удобные средства для их вычисления и позволяет переносить результаты из одной
области математики в другую. Иными словами, это наиболее приспособленный язык
для такого рода вопросов.

\Section{Категории и функторы}

Напомним, что {\sf категория} $\CC$ --- это
\begin{itemize}
\item класс $\Ob \CC$, элементы которого называются {\sf объектами} $\CC$;
\item для каждой пары $X,Y \in \Ob \CC$ множество $\Hom_\CC(X,Y)$, элементы которого
называются {\sf морфизмами} в $\CC$ и обозначаются $\phi:X \to Y$;
\item для каждой тройки $X,Y,Z \in \Ob \CC$ отображение $\Hom_\CC(X,Y)\times\Hom_\CC(Y,Z) \to \Hom_\CC(X,Z)$,
которое называется {\sf композицией морфизмов} и обозначается $\phi,\psi \mapsto \psi\phi = \psi\circ\phi$;
\end{itemize}
удовлетворяющие двум аксиомам
\begin{description}
\item[C1] для всякого объекта $X \in \Ob \CC$ существует {\sf тождественный} морфизм $\id_X \in \Hom_\CC(X,X)$,
для которого $\id_X \circ \phi = \phi$ и $\psi\circ \id_X = \psi$ для всех $Y \in \Ob \CC$ и
$\phi \in \Hom_\CC(Y,X)$, $\psi \in \Hom_\CC(X,Y)$;
\item[C2] композиция морфизмов ассоциативна --- $\chi\circ(\psi\circ\phi) = (\chi\circ\psi)\circ\phi$
для всех $X,Y,Z,W \in \Ob \CC$ и $\chi \in \Hom_\CC(X,Y)$, $\psi \in \Hom_\CC(Y,Z)$, $\phi \in \Hom_\CC(Z,W)$.
\end{description}
Иногда для краткости мы будем писать $X \in \CC$ вместо $X \in \Ob\CC$ и
$\phi \in \Hom(X,Y)$ вместо $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$
(если ясно о какой категории идет речь).

Любые структуры, рассматриваемые в алгебре и геометрии являются объектами подходящей категории.
\begin{examples}\label{ex-cat}
\begin{enumerate}
\item\label{sets-cat}
категория множеств $\Sets$;
\item\label{top-cat}
категория топологических пространств $\Top$;
\item\label{var-cat}
категория алгебраических многообразий над фиксированным полем $\Var\!/\kk$;
\item\label{groups-cat}
категория групп $\Groups$;
\item\label{ab-cat}
категория абелевых групп $\Ab$;
\item\label{rings-cat}
категория колец $\Rings$;
\item\label{comm-cat}
категория коммутативных колец $\Comm$;
\item\label{rmod-cat}
категории левых и правых модулей над кольцом $R\lmod$ и $\rmod R$;
\item\label{vb-cat}
категория векторных расслоений на топологическом пространстве $\VB(X)$;
\item\label{sh-cat}
категория пучков абелевых групп $\Sh(X)$;
\item\label{qcoh-cat}
категория квазикогерентных пучков на алгебраическом многообразии $\Qcoh(X)$;
\item\label{poset-cat}
пусть $I$ --- частично упорядоченное множество;
положим $\Ob\CI = I$, $\Hom_\CI(i,j) = \begin{cases}\{*\}, & \text{если $i \le j$}\\ \emptyset, & \text{иначе}\end{cases}$.
\item\label{quiver-cat}
пусть $Q$ --- колчан (ориентированный граф);
положим $\Ob\CQ = \{\text{вершины $Q$}\}$, $\Hom_\CQ = \{\text{пути в $Q$}\}$.
\item\label{monoid-cat}
пусть $M$ --- моноид с единицей; положим $\Ob *_M = \{*\}$, $\Hom_{*_M}(*,*) = M$.
\end{enumerate}
\end{examples}
Здесь $\{*\}$ обозначает множество из одного элемента.

Связи между разными категориями осущесвляются функторами.
{\sf Ковариантный функтор} $F$ из категории $\CC$ в категорию $\D$ --- это
отображения $\Ob\CC \to \Ob\D$, $X \mapsto F(X)$ и $\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$,
$\phi \mapsto F(\phi)$ для всех $X,Y \in \Ob\CC$, такие что
$$
\begin{array}{rcll}
F(\phi\circ\psi) &=& F(\phi)\circ F(\psi),
\qquad&\text{для всех $X,Y,Z \in \Ob\CC$ и $\psi \in \Hom_\CC(X,Y)$, $\phi \in \Hom_\CC(Y,Z)$;}\\[.5ex]
F(\id_X) &=& \id_{F(X)},
\qquad&\text{для всех $X \in \Ob\CC$.}
\end{array}
$$
\begin{examples}\label{ex-fun}
\begin{enumerate}
\item\label{id-fun}
тождественный функтор $\id_\CC:\CC \to \CC$;
\item\label{i-fun}
функторы вложения $\si:\Ab \to \Groups$, $\Comm \to \Rings$;
\item\label{fg-fun}
фукнторы забвения $\sfg:\Var/\kk \to \Top \to \Sets$,
$R\lmod \to \Ab$, $\Groups \to \Sets$, $\Qcoh(X) \to \Sh(X)$;
\item\label{fr-fun}
функторы свободных объектов $\sfr:\Sets \to \Ab, \Groups, \Rings, \Comm$;
\item\label{cm-fun}
фактор по коммутанту $\scm:\Groups \to \Ab$;
\item\label{gamma-fun}
функтор сечений $\Gamma:\VB(X) \to \Sh(X)$;
\item\label{ds-fun}
функтор из категории~\ref{ex-cat}\eqref{poset-cat} в категорию $\CC$ --- это {\sf направленная система} объектов в $\CC$;
\item\label{rq-fun}
функтор из категории~\ref{ex-cat}\eqref{quiver-cat} в $\CC$ --- это {\sf представление колчана $Q$} в $\CC$;
\item\label{mo-fun}
функтор из категории~\ref{ex-cat}\eqref{monoid-cat} в $\CC$ --- это объект в $\CC$ {\sf с действием $M$} (или {\sf$M$-эквивариантный} объект).
\end{enumerate}
\end{examples}

Также используются {\sf контравариантные функторы}, меняющие направление морфизмов.
Здесь полезно понятие {\sf противоположной категории}. Если $\CC$ --- категория,
определим категорию $\CC^\opp$ так:
$$
\Ob\CC^\opp = \Ob \CC,\qquad
\Hom_{\CC^\opp}(X,Y) = \Hom_{\CC}(Y,X).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\CC^\opp$ категория.
\end{exercise}
{\sf Контравариантный функтор} из $\CC$ в $\D$ --- это ковариантный функтор из $\CC^\opp$ в $\D$.
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item кольцо функций $\Top^\opp,(\Var/\kk)^\opp \to \Comm$;
\item группа Галуа $(\Fields/\kk)^\opp \to \Groups$.
\end{enumerate}
\end{examples}

Функторы можно компонировать.
\begin{exercise}
Покажите, что композиция двух ковариантных или двух контравариантных функторов ковариантна,
а композиция ковариантного и контравариантного функторов контравариантна. Проверьте,
что операция компонирования функторов ассоциативна.
\end{exercise}


Функтор $F:\CC \to \D$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- вложение для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf полным}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- сюръекция для всех $X,Y \in \CC$;
\item {\sf строго полным} или {\sf вполне строгим}, если морфизм $F:\Hom_\CC(X,Y) \to \Hom_\D(F(X),F(Y))$ --- изоморфизм для всех $X,Y \in \CC$.
\end{itemize}
\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{id-fun} и \eqref{i-fun} строго полные;
\item функторы из примеров~\ref{ex-fun}\eqref{fg-fun} и \eqref{fr-fun} строгие, но не полные.
\end{enumerate}
\end{examples}

Определим {\sf декартово произведение категорий} $\CC$ и $\D$. По определению
$$
\Ob(\CC\times\D) = \Ob\CC \times\Ob\D,\qquad
\Hom_{\CC\times\D}((X_1,Y_1),(X_2,Y_2)) = \Hom_\CC(X_1,X_2)\times\Hom_\D(Y_1,Y_2).
$$
Функтор $F:\CC_1\times\CC_2 \to \D$ называется также {\sf бифунктором}.

\begin{exercise}
Покажите, что $\Hom_\CC:\CC^\opp\times\CC \to \Sets$ --- бифунктор.
\end{exercise}

%\newpage

\Section{Морфизмы функторов}

Пусть $F,G:\CC \to D$ --- функторы. {\sf Морфизм функторов} (или {\sf естественное преобразование})
$\alpha:F \to G$ --- это набор морфизмов $\alpha_X \in \Hom_\D(F(X),G(X))$ для всех $X \in \CC$, такой что
$$
F(\phi)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ G(\phi)\qquad
\text{для всех $X,Y \in \CC$ и $\phi \in \Hom_\CC(X,Y)$.}\qquad
%{\tiny\vcenter{\xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(\phi)} \ar[d]_{\alpha_X} & F(Y) \ar[d]^{\alpha_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(\phi)} & G(Y) }}}
$$

Морфизмы функторов можно компонировать друг с другом и с функторами.
\begin{exercise}
(a) Пусть $F,G,H:\CC \to \D$, а $\alpha:F \to G$ и $\beta:G \to H$ --- морфизмы функторов.
Покажите, что $\beta\circ\alpha:F \to H$ --- морфизм функторов.
(b) Пусть $F:\CC_1 \to \CC_2$, $G,G':\CC_2 \to \CC_3$ и $H:\CC_3 \to \CC_4$ --- функторы,
а $\alpha:G \to G'$ --- морфизм функторов. Покажите, что
$H\circ\alpha:H\circ G \to H\circ G'$ и $\alpha\circ F:G \circ F \to G'\circ F$ --- морфизмы функторов.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Постройте морфизмы функторов
(a) $\id_\Sets \to \sfg\circ\sfr$;
(b) $\sfr\circ\sfg \to \id$;
(c) $\id_\Groups \to \si\circ\scm$;
(d) $\scm\circ\si \to \id_\Ab$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
%Определите композицию морфизмов функторов.
Покажите, что если категория $\CC$ --- {\sf малая} (то есть $\Ob\CC$ --- множество),
то для любой категории $\D$ все функторы из $\CC$ в $\D$ образуют категорию $\Fun(\CC,\D)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что $\Fun(\CC,\D)^\opp \cong \Fun(\CC^\opp,\D^\opp)$.
\end{exercise}

Морфизм функторов $\alpha:F \to G$ называется {\sf изоморфизмом}, если существует
морфизм функторов $\beta:G \to F$, такой что $\beta\circ\alpha = \id_F$, $\alpha\circ\beta = \id_G$.

%\begin{exercise}
%Пусть $F_{ij}:\CC_i \to \CC_j$ --- функторы.
%Покажите, что $(F_{34}\circ F_{23})\circ F_{12} = F_{34} \circ (F_{23}\circ F_{12})$.
%\end{exercise}
\begin{remark}
Таким образом, все малые категории с функторами в качестве морфизмов
образуют категорию $\Cats$. На самом деле, ее естественнее рассматривать
как 2-категорию --- помимо объектов и морфизмов в ней есть 2-морфизмы
(то есть морфизмы между морфизмами --- в нашем примере естественные
преобразования функторов). При этом $\Cats$ является строгой 2-категорией
(композиция 1-морфизмов ассоциативна), хотя вообще в 2-категориях
композиция 1-морфизмов предполагается ассоциативной только с точностью
до 2-изоморфизма.
\end{remark}

Функтор $F:\CC \to \D$ называется {\sf эквивалентностью}, если существует функтор $G:\D \to \CC$,
так что $F\circ G \cong \id_\D$ и $G \circ F \cong \id_\CC$. Функтор $G$ называется {\sf квазиобратным} к $F$.

\begin{remark}
Более привычно выглядит понятие изоморфизма категорий, в отличии от эквивалентности, предполагающего
равенства $F\circ G = \id_\D$ и $G \circ F = \id_\CC$. Однако, на практике, изоморфизмов категорий
практически не встречается, в то время как содержательных эквивалентностей весьма много.
\end{remark}

\begin{exercise}
Пусть $\Cov(X)$ --- категория накрытий топологического пространства $X$,
а $G$-$\Sets$ --- категория множеств с действием группы $G = \pi_1(X,x_0)$,
где $x_0 \in X$ --- фиксированная точка.
Покажите, что функтор $(p:Y \to X) \mapsto p^{-1}(x_0)$ ---
эквивалентность (но не изоморфизмом!) этих категорий.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{fun-prod}
Покажите, что $\Fun(\CC_1\times\CC_2,\D) \cong \Fun(\CC_1,\Fun(\CC_2,\D))$.
\end{exercise}

Легко видеть, что всякая эквивалентность является строго полным функтором и индуцирует
изоморфизм множеств классов изоморфизма объектов. Верно и обратное.

\begin{lemma}\label{crit-equ}
Функтор $F:\CC \to \D$ является эквивалентностью $\LRA$ $F$ строго полон
и существенно сюръективен, то есть $\forall Y \in \D$ $\exists X \in\CC$ такой что $F(X) \cong Y$.
\end{lemma}

Доказательство будет дано чуть позже.

\Section{Представимые функторы}


Пусть $\CC$ --- категория. Всякому объекту $X \in \CC$ сопоставим функторы
$$
h_X:\CC^\opp \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(Y,X),\qquad
h^X:\CC \to \Sets,\quad Y \mapsto \Hom(X,Y).
$$
Функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ называется {\sf представимым}, если он изоморфен функтору $h_X$
для какого-либо $X \in \CC$. Аналогично, функтор $F:\CC \to \Sets$ называется {\sf копредставимым},
если он изоморфен функтору $h^X$ для какого-либо $X \in \CC$. Объект $X$ в этом случае, называется
{\sf представляющим} ({\sf копредставляющим}) функтор $F$.
\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функторы забвения $\sfg:\Top,\Groups,\Ab,\Rings,\Comm \to \Sets$ копредставимы;
(b) функтор $\xymatrix@1{\Top^\circ \ar[r] & \Comm \ar[r]^\sfg & \Sets}$ представим.
\end{exercise}

Очень полезным утверждением является лемма Ионеды.

\begin{lemma}
$(a)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC,\Sets)$ имеем $\Hom(h^X,F) \cong F(X)$.\\
$(b)$ Для всех $X\in\CC$, $F\in\Fun(\CC^\opp,\Sets)$ имеем $\Hom(h_X,F) \cong F(X)$.\\
$(c)$ $\Hom(h^X,h^Y) \cong \Hom(Y,X)$, $\Hom(h_X,h_Y) \cong \Hom(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем пункт $(b)$ (пункт $(a)$ доказывается аналогично, а $(c)$ очевидно следует из $(a)$ и $(b)$).
Пусть $s \in F(X)$, $Y \in \CC$. Рассмотрим морфизм $s_Y:h_X(Y) = \Hom(Y,X) \to F(Y)$,
$\phi \mapsto F(\phi)(s)$ (заметим, что $F(\phi) \in \Hom(F(X),F(Y))$ так как $F$ контравариантен).
Легко видеть, что морфизмы $s_Y$ образуют морфизм функторов $h_X \to F$.
Обратно, пусть $\alpha:h_X \to F$ --- морфизм функторов. Тогда $\alpha_X:h_X(X) \to F(X)$ ---
отображение множеств. Заметим, что $h_X(X) = \Hom(X,X) \ni \id_X$.
Рассмотрим $s = \alpha_X(\id_X) \in F(X)$.

Таким образом мы построили отображения между множествами $\Hom(h_X,F)$ и $F(X)$.
Покажем, что они взаимно обратны. В самом деле, $s_X(\id_X) = F(\id_X)(s) = \id_{F(X)}(s) = s$.
Остается показать, что $\alpha_Y = s_Y$ для всех $Y$.
Для этого для каждого $\phi \in \Hom(Y,X)$ рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
h_X(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{h_X(\phi)} & F(X) \ar[d]^{F(\phi)} \\
h_X(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & F(Y)
}
$$
Ясно, что $\id_X \in \Hom(X,X) = h_X(X)$ верхней стрелкой переводится в $s$,
который правой стрелкой переводится в $F(\phi)(s)$.
С другой стороны, левой стрелкой $\id_X$ переводится в $\phi \in \Hom(Y,X) = h_X(Y)$,
который нижней стрелкой переводится в $\alpha_Y(\phi)$.
Значит $\alpha_Y(\phi) = F(\phi)(s) = s_Y(\phi)$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Если функтор $F:\CC^\opp \to \Sets$ представим, то объект, представляющий его,
определен однозначно с точностью до изоморфизма. То же относится и к копредставимым функторам.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $h_X \cong F \cong h_Y$. Тогда изоморфизм $h_X \cong h_Y$ дает изоморфизм $X \cong Y$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что если $\CC$ --- малая категория, то функторы $h_*:\CC \to \Fun(\CC^\opp,\Sets)$, $X \mapsto h_X$ и
$h^*:\CC^\opp \to \Fun(\CC,\Sets)$, $X \mapsto h^X$ --- строго полные функторы.
\end{exercise}


%\begin{exercise}
%Категория $\CC$ называется {\sf насыщенной}, если всякий функтор $\CC \to \Sets$ копредставим,
%а всякий функтор $\CC^\opp \to \Sets$ представим.
%Покажите, что для любой малой категории $\CC$ категория $\Fun(\CC,\Sets)$ насыщена.
%\end{exercise}


Представимые функторы часто используются для категорной переформулировки стандартных конструкций.
Пусть $X_1,X_2 \in \CC$. Рассмотрим функтор $h_{X_1}\times h_{X_2}:\CC^\opp \to \Sets$,
$X \mapsto \Hom(X,X_1)\times\Hom(X,X_2)$. Объект, представляющий этот функтор (если он представим),
называется {\sf произведением} объектов $X_1$ и $X_2$. Аналогично, {\sf копроизведением} объектов
$X_1$ и $X_2$ называется объект, копредставляющий функтор $h^{X_1}\times h^{X_2}$ (если он копредставим).
Аналогично определяются произведения и копроизведения любого множества объектов.

\begin{exercise}
(a) Докажите, что в категориях $\Sets$, $\Groups$, $\Ab$, $\Rings$, $\Comm$, $R\lmod$, $\Qcoh(X)$
существуют произведения и копроизведения любого множества объектов.
(b) Проверьте, что произведение в категории $\Comp$ компактных топологических пространств
существует и является тихоновским произведением.
\end{exercise}

Другой пример --- начальный и конечный объекты.
{\sf Начальный объект} --- это объект $0_\CC$, копредставляющий функтор $I(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$,
а {\sf конечный объект} --- это объект $1_\CC$, представляющий функтор $T(X) = \{*\}$ для всех $X \in \CC$.

\begin{exercise}
Покажите, что если $\Hom(1_\CC,0_\CC) \ne \emptyset$, то $0_\CC \cong 1_\CC$.
Найдите начальный и конечный объекты в категориях $\Sets$ и других категориях.
\end{exercise}


\Section{Сопряженные функторы}

Пусть $F:\CC \to \D$ и $G:\D \to \CC$ --- функторы.
Говорят, что $F$ --- {\sf сопряжен слева к $G$}, а $G$ --- {\sf сопряжен справа к~$F$},
если для всех $X \in \CC$, $Y \in \D$ заданы изоморфизмы
$\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \cong \Hom(X,G(Y))$ функториальные по обоим аргументам
(то есть, при фиксированном $X$ морфизмы $\xi_{X,-}:\Hom(F(X),-) \to \Hom(X,G(-))$ функториальны,
и при фиксированном $Y$ морфизмы $\xi_{-,Y}:\Hom(F(-),Y) \to \Hom(-,G(Y))$ функториальны).

\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item тождественный функтор сопряжен сам себе;
\item функтор $\scm:\Groups \to \Ab$ из примера~\ref{ex-fun}(5) сопряжен слева к функтору вложения $\si:\Ab \to \Groups$;
\item функторы $\sfr$ из примера~\ref{ex-fun}(4) сопряжены слева к функторам $\sfg$ из примера~\ref{ex-fun}(3).
\item если $F:\CC \to \D$ --- эквивалентность, а $G:\D \to \CC$ --- квазиобратный функтор, то $G$
сопряжен к $F$ и справа и слева.
\end{enumerate}
\end{examples}

\begin{lemma}\label{adjuc}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных функторов. Тогда существуют морфизмы функторов
$\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
$\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$, а
$\xi_{X,Y}^{-1}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
%композиции
%$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
%$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hom(X,G(F(X))) \cong \Hom(F(X),F(X))$ по сопряженности. Обозначим черех $\epsilon_X \in \Hom(X,G(F(X)))$
морфизм, соответствующий морфизму $\id_{F(X)} \in \Hom(F(X),F(X))$. Аналогично, $\eta_Y$ соответствует
$\id_{G(Y)}$ при изоморфизме $\Hom(F(G(Y)),Y) \cong \Hom(G(Y),G(Y))$.
В силу функториальности изоморфизма $\xi$ имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
\Hom(F(X),F(X)) \ar[rr]^-{\xi_{X,F(X)}} \ar[d]_\phi && \Hom(X,G(F(X))) \ar[d]^{G(\phi)} \\
\Hom(F(X),Y) \ar[rr]^-{\xi_{X,Y}} && \Hom(X,G(Y))
}
$$
Морфизм $\id_X$ одной парой стрелок переводится в $\xi_{X,Y}(\phi)$, а другой --- в $G(\phi)\circ\epsilon_X$.
Второе равенство проверяется аналогично.
\end{proof}

\begin{lemma}
Функторы $F$ и $G$ сопряжены друг другу $\LRA$ найдутся морфизмы
функторов $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$, такие что
композиции
$\xymatrix@1{F \ar[r]^-{F\epsilon} & F\circ G\circ F \ar[r]^-{\eta F} & F}$ и
$\xymatrix@1{G \ar[r]^-{\epsilon G} & G\circ F\circ G \ar[r]^-{G\eta} & G}$ тождественны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть вначале $F$ сопряжен слева к $G$. Определим $\epsilon$ и $\eta$ как в лемме~\ref{adjuc}.
Тогда для любого морфизма $\phi \in \Hom(F(X),Y)$ имеем
$\phi = \xi^{-1}_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi)) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X)$.
Подставим $Y = F(X)$, $\phi = \id_{F(X)}$. Получим
$\id_{F(X)} = \eta_{F(X)}\circ F(G(\id_X)) \circ F(\epsilon_X) =
\eta_{F(X)}\circ F(\epsilon_X)$, то есть тождественность первой композиции.
Тождественность второй проверяется аналогично.

Пусть теперь $F$ и $G$ произвольные, а $\epsilon$ и $\eta$ заданы.
Зададим морфизмы $\xi_{X,Y}:\Hom(F(X),Y) \to \Hom(X,G(Y))$ и $\xi'_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$
формулами $\xi_{X,Y}(\phi) = G(\phi)\circ\epsilon_X$ и $\xi'_{X,Y}(\psi) = \eta_Y\circ F(\psi)$.
Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(\epsilon_X)} \ar[rd]_{\id_{F(X)}} & F(G(F(X))) \ar[r]^-{F(G(\phi))} \ar[d]^{\eta_{F(X)}} & F(G(Y)) \ar[d]^{\eta_Y} \\
& F(X) \ar[r]^-\phi & Y
}
$$
В ней квадрат коммутативен в силу функториальности $\eta$, а треугольник --- по условию.
Отсюда получаем $\phi = \phi\circ\id_{F(X)} =
\eta_Y\circ F(G(\phi))\circ F(\epsilon_X) =
\eta_Y\circ F(G(\phi)\circ \epsilon_X) =
\xi'_{X,Y}(\xi_{X,Y}(\phi))$.
Равенство $\xi_{X,Y}(\xi'_{X,Y}(\psi)) = \psi$
проверяется аналогично.
\end{proof}

\begin{lemma}
Функтор $F$ имеет правый сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(F(-),Y)$ представим   для всех $Y \in \D$.
Функтор $G$ имеет левый  сопряженный $\LRA$ функтор $\Hom(X,G(-))$ копредставим для всех $X \in \CC$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем изоморфизмы $\Hom(F(-),Y) \cong h_{Y'}$ для всех $Y \in \D$
и положим $G(Y) = Y'$. Рассмотрим морфизм $\phi:Y_1 \to Y_2$. Композиция
$\xymatrix@1{h_{G(Y_1)} \cong \Hom(F(-),Y_1) \ar[r]^-\phi & \Hom(F(-),Y_2) \cong h_{G(Y_2)}}$
индуцирует некоторый морфизм $G(Y_1) \to G(Y_2)$, что задает дейтсвие $G$ на морфизмах.
Функториальность очевидна.
%Второе утверждение проверяется аналогично.
\end{proof}

Воспользуемся полученными результатами для доказательства леммы~\ref{crit-equ}. Действительно, если
$F$ строго полон и существенно сюръективен, то для всякого $Y \in \D$ существует $X \in \CC$,
такой что $F(X) \cong Y$, значит $\Hom(F(-),Y) \cong \Hom(F(-),F(X)) \cong \Hom(-,X) = h_X$ ---
представимый функтор, следовательно существует правый сопряженный к $F$ функтор $G$.
Пусть $\epsilon:\id_\CC \to G\circ F$ и $\eta:F \circ G \to \id_\D$ --- соответствующие
морфизмы функторов. Покажем, что они изоморфизмы. Рассмотрим вначале морфизм
$\epsilon_X:X \to G(F(X))$. Применяя функтор $\Hom(X',-)$ получаем морфизм
$\Hom(X',X) \to \Hom(X',G(F(X))$, являющийся композицией морфизма $F:\Hom(X',X) \to \Hom(F(X'),F(X))$
и $\xi_{X',F(X)}:\Hom(F(X'),F(X)) \to \Hom(X',G(F(X))$, и следовательно изоморфизмом.
Значит $\epsilon_X$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_X \cong h_{G(F(X))}$,
а значит и сам является изоморфизмом. Рассмотрим теперь морфизм $\eta_Y:F(G(Y)) \to Y$.
Применяя функтор $\Hom(F(X),-)$ получаем морфизм
$\Hom(F(X),F(G(Y))) \to \Hom(F(X),Y)$. Его композиция с морфизмом
$F:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),F(G(Y)))$ равна морфизму $\xi^{-1}_{X,Y}:\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$,
следовательно является изоморфизмом. Но всякий объект $Y' \in \D$ изоморфен объекту $F(X)$ для подходящего $X$,
значит морфизм $\Hom(Y',F(G(Y))) \to \Hom(Y',Y)$ тоже является изоморфизмом. Таким образом
$\eta_Y$ индуцирует изоморфизм представимых функторов $h_{F(G(Y))} \cong h_{Y}$,
а значит и сам является изоморфизмом.

В завершение, приведем пример функторов, определяемых через понятие сопряженности.
Пусть $\CI$ --- малая категория (рассматриваемая как категория индексов).
Рассмотрим функтор проекции $\CC\times\CI \to \CC$. В силу Упр.~\ref{fun-prod}
он дает функтор $\CC \to \Fun(\CI,\CC)$, который мы будем называть постоянным функтором
и обозначать $\Delta$. Для всякого $F \in \Fun(\CI,\CC)$ рассмотрим функторы $\CC \to \Sets$
$$
Y \mapsto \Hom(\Delta(Y),F)
\qquad\text{и}\qquad
Y \mapsto \Hom(F,\Delta(Y)):
$$
(первый контравариантен, второй ковариантен). Если эти функторы (ко)представимы, то
(ко)представляю\-щий объект
называется {\sf обратным пределом} (или просто {\sf пределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\ilim_\CI F(i)$ в первом случае,
и {\sf прямым пределом} (или {\sf копределом}) функтора $F$ по категории $\CI$
и обозначается $\dlim_\CI F(i)$  во втором.
В силу свойств представимых функторов, если пределы существуют, то определены однозначно
(с точностью до изоморфизма). Более того, если пределы определены для всех $F$, они являются функторами
$\ilim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ и $\dlim_\CI:\Fun(\CI,\CC) \to \CC$ соответственно.

\begin{exercise}
(a) Покажите, что если категория $\CI$ {\sf дискретна} (то есть $\Hom_\CI(i,j) = \emptyset$ для $i \ne j$),
то $\ilim_\CI \cong \prod_\CI$ и $\dlim_\CI \cong \coprod_\CI$.
(b) Обозначим через $\CI_{\text{\rm discr}}$ дискретную категорию с $\Ob\CI_{\text{\rm discr}} = \Ob\CI$.
Постройте морфизмы функторов $\ilim_\CI \to \prod_{\CI_{\text{\rm discr}}}$ и
$\coprod_{\CI_{\text{\rm discr}}} \to \dlim_\CI$.
\end{exercise}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\Name{Абелевы категории}{Гомологическая алгебра 2}{18.09.2008}

\Section{Аддитивные категории}
Категория $\CC$ называется {\sf $\ZZ$-категорией}, если
\begin{description}
\item[AB1] на множествах $\Hom_\CC(X,Y)$ заданы структуры абелевых
групп, так что отображение композиции $\Hom_\CC(X,Y)\times\Hom_\CC(Y,Z) \to \Hom_\CC(X,Z)$
билинейно.
\end{description}
{\sf Аддитивная категория} --- это $\ZZ$-категория $\CA$, в которой
\begin{description}
\item[AB2] начальный $0_\CA$ и конечный $1_\CA$ объект существуют и равны, т.е. $\Hom_\CA(0_\CA,X) = \Hom_\CA(X,0_\CA) = 0$;
\item[AB3] сущестуют попарные (а значит и конечные) произведения.
\end{description}
\begin{exercise}
Категории абелевых групп $\Ab$, левых и правых модулей над кольцом $R\lmod$ и $\rmod R$,
векторных расслоений на топологическом пространстве $\VB(X)$, пучков абелевых групп $\Sh(X)$
и квазикогерентных пучков на алгебраическом многообразии $\Qcoh(X)$ аддитивны.
Категория $*_M$ является $\ZZ$-категорией $\LRA$ $M$ --- кольцо с единицей, но не является аддитивной.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Если $\CA$ ---  аддитивная категория, то категория $\Fun(\CC,\CA)$ аддитивна
для любой малой категории $\CC$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
В аддитивной категории произведение является также и копроизведением: $X\sqcup Y \cong X\times Y$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Напомним, что $\Hom(Z,X\times Y) = \Hom(Z,X)\times\Hom(Z,Y)$.
Морфизм $\id_{X\times Y}$ дает пару морфизмов $p_X:X\times Y \to X$ и $p_Y:X\times Y \to Y$,
причем вышеуказанный изоморфизм переводит $\phi \in \Hom(Z,X\times Y)$ в $(p_X\circ\phi,p_Y\circ\phi)$
(это следует из доказательства леммы Ионеды --- изоморфизм $\Hom(Z,U) = h_U(Z) \cong F(Z)$ задается
применением морфизма $F(\phi):F(U) \to F(Z)$ к образу $\id_U \in h_U(U)$ в $F(U)$).
Обозначим через $i_X:X \to X\times Y$ морфизм, соответствующий
паре $(\id_X,0) \in \Hom(X,X)\times\Hom(X,Y)$, а через $i_Y:Y \to X\times Y$ морфизм,
соответствующий паре $(0,\id_Y) \in \Hom(Y,X)\times\Hom(Y,Y)$.
Тогда в силу вышеприведенного замечания имеем
\begin{equation}\label{pi}
p_X\circ i_X = \id_X,\quad
p_Y\circ i_X = 0,\qquad
p_X\circ i_Y = 0,\quad
p_Y\circ i_Y = \id_Y.
\end{equation}
Заметим также, что выполняется равенство
\begin{equation}\label{ip}
i_X\circ p_X + i_Y\circ p_Y = \id_{X\times Y}.
\end{equation}
В самом деле,
$p_X\circ(i_X\circ p_X + i_Y\circ p_Y) =
(p_X\circ i_X)\circ p_X + (p_X\circ i_Y)\circ p_Y =
\id_X \circ p_X + 0\circ p_Y = p_X$ и аналогично
$p_Y\circ(i_X\circ p_X + i_Y\circ p_Y) = p_Y$.
Теперь построим морфизмы между $\Hom(X,Z)\times\Hom(Y,Z)$ и $\Hom(X\times Y,Z)$ формулами
$$
(\phi,\psi) \mapsto \phi\circ p_X + \psi\circ p_Y,
\qquad
\chi \mapsto (\chi\circ i_X,\chi\circ i_Y).
$$
Легко видеть, что $\chi\circ i_X\circ p_X + \chi\circ i_Y\circ p_Y = \chi\circ(i_X\circ p_X + i_Y\circ p_Y) = \chi$,
$(\phi\circ p_X + \psi\circ p_Y)\circ i_X = \phi\circ p_X\circ i_X + \psi\circ p_Y\circ i_X = \phi$
и аналогично
$(\phi\circ p_X + \psi\circ p_Y)\circ i_Y = \psi$. Таким образом $h^{X\times Y} \cong h^X\times h^Y$, что и требовалось.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что в аддитивной категории любые конечные произведения
существуют и совпадают с копроизведениями. Проверьте, что при этом
бесконечные копроизведения вообще говоря отличаются от произведений.
\end{exercise}

В дальнейшем, для обозначении конечных (ко)произведений в аддитивной категории
будем пользоваться знаком $\oplus$.

\begin{exercise}\label{dcum-crit}
Пусть $Z$ --- объект в аддитивной категории $\CA$ и даны морфизмы
$i'_X:X \to Z$, $i'_Y:Y \to Z$, $p'_X:Z \to X$, $p'_Y:Z \to Y$,
удовлетворяющие условиям~\eqref{pi} и~\eqref{ip}. Покажите, что
существует единственный изоморфизм $\phi:Z \to X\times Y$, для которого
$p_X\circ\phi = p'_X$, $p_Y\circ\phi = p'_Y$,
$\phi\circ i'_X = i_X$, $\phi\circ i'_Y = i_Y$.
\end{exercise}

Для любых объектов $X,Y$ в произвольной категории $\CC$
определены морфизмы $\Delta_X = \id_X\times\id_X:X \to X\times X$
и $\nabla_Y = \id_Y\sqcup\id_Y:Y \sqcup Y \to Y$.
Кроме того, для любых $f \in \Hom(X_1,Y_1)$, $g \in \Hom(X_1,Y_2)$
определен морфизм $f\times g:\Hom(X_1\times X_2, Y_1\times Y_2)$
(он соответствует морфизмам $f\circ p_{X_1}:X_1\times X_2 \to X_1 \to Y_1$
и $g\circ p_{X_2}:X_1\times X_2 \to X_2 \to Y_2$).
%%
%
%$\Hom(X_1\sqcup X_2,Y_1\times Y_2) = \prod_{i,j}\Hom(X_j,Y_i)$, поэтому если
%$f_{ij} \in \Hom(X_j,Y_i)$, то определен морфизм
%$\left(\begin{smallmatrix}f_{11},f_{12}\\f_{21},f_{22}\end{smallmatrix}\right):X_1\sqcup X_2 \to Y_1\times Y_2$.
%%
%
%$f,g \in \Hom(X,Y)$, то определен морфизм
%$$
%(\id_Y\times 0)\circ(f\sqcup 0) + (0\times\id_Y)\circ(0\sqcup g)\id_X\times\id_X:X \sqcup X \to Y \to Y\times Y.
%$$
%Если категория $\CC$ аддитивна и $f,g\in\Hom(X,Y)$, получаем морфизмы $\Delta_X:X \to X\oplus X$, $\nabla_Y:Y\oplus Y \to Y$ и
%$f\oplus g := \left(\begin{smallmatrix}f,0\\0,g\end{smallmatrix}\right):X\oplus X \to Y\oplus Y$.
\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- аддитивна, $f,g \in \Hom(X,Y)$.
Покажите, что $f + g = \nabla_Y \circ (f \times g) \circ \Delta_X$.
\end{exercise}
\begin{remark}
Отсюда видно, что аддитивность --- это не дополнительная структура на категории,
а ее свойство. Категрия $\CC$ аддитивна $\LRA$ в $\CC$ существуют начальный объект,
совпадающий с конечным, произведения, совпадающие с копроизведениями, и операция,
определяемая формулой из упражнения задает структуру абелевой группы на морфизмах, 
относительно которой композиция билинейна.
\end{remark}

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) если $\CA$ аддитивна, то $\CA^\opp$ тоже аддитивна;
(b) если $\CA$ и $\CB$ аддитивны, то $\CA\times\CB$ тоже аддитивна.
\end{exercise}



\Section{Аддитивные функторы}

Функтор $F:\CA \to \CB$ между аддитивными категориями {\sf аддитивен},
если $F:\Hom(X,Y) \to \Hom(F(X),F(Y))$ --- гомоморфизм абелевых групп
для всех $X,Y \in \CA$.

\begin{examples}\label{ex-funadd}
Следующие функторы аддитивны:
\begin{enumerate}
\item функтор забвения $\sfg:R\lmod \to \Ab$;
\item функтор сечений $\Gamma:\VB(X) \to \Sh(X)$;
\item функтор прямой суммы $\oplus:\CA\times\CA \to \CA$;
\item тензорное умножение на $R$-модуль $R\lmod \to \Ab$ (если $R$ коммутативно, то $R\lmod \to R\lmod$);
\item ограничения скаляров $B\lmod \to A\lmod$, если $B$ --- $A$-алгебра;
\item расширения скаляров $A\lmod \to B\lmod$, если $B$ --- $A$-алгебра;
\item функторы прямого и обратного образа $f_*:\Sh(X) \to \Sh(Y)$, $f^*:\VB(Y) \to \VB(X)$,
если $f:X \to Y$ морфизм многообразий.
\end{enumerate}
\end{examples}

Пример важного неаддитивного функтора --- функтор тензорного квадрата $M \mapsto M\otimes M$, $R\lmod \to R\lmod$,
где $R$ --- коммутативное кольцо.

\begin{lemma}
Если $F:\CA \to \CB$ --- аддитивный функтор между аддитивными категориями,
то существует канонический изоморфизм $F(X\oplus Y) \cong F(X) \oplus F(Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Применим к~\eqref{pi} и~\eqref{ip} функтор $F$ и воспользуемся упражнением~\ref{dcum-crit}.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что категория $\Funadd(\CA,\CB)$ аддитивных функторов аддитивна
и является строго полной подкатегорией в $\Fun(\CA,\CB)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{biadd}
Покажите, что эквивалентность $\Fun(\CA\times\CB,\CC) \cong \Fun(\CA,\Fun(\CB,\CC))$
отождествляет подкатегории $\Funadd(\CA\times\CB,\CC)$ и $\Funadd(\CA,\Funadd(\CB,\CC))$.
\end{exercise}

Если категория $\CA$ аддитивна, то $h_X(Y) = \Hom(Y,X)$ --- абелева группа.
Значит представимый функтор $h_X$ мы можем (и будем!) рассматривать
как функтор $\CA^\opp \to \Ab$ (а функтор $h_X$ в старом смысле получается
его композицией с $\sfg:\Ab\to\Sets$). То же относится и к копредставимым функторам.

\begin{exercise}
Покажите, что (ко)представимые функторы аддитивны.
Проверьте, что функторы
$h_*:\CA \to \Funadd(\CA^\opp,\Ab)$ и $h^*:\CA^\opp \to \Funadd(\CA,\Ab)$ аддитивны.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $F:\CA \to \CB$ --- аддитивный функтор между аддитивными категориями.
Если $F$ обладает сопряженным функтором $G$, то $G$ также аддитивен,
а изоморфизм сопряжения согласован со структурами абелевых групп.
\end{lemma}
\begin{proof}
Разберем случай, когда $G$ --- правый сопряженный к $F$.
Тогда изоморфизм сопряжения $\Hom(X,G(Y)) \to \Hom(F(X),Y)$ задается формулой
$\psi \mapsto \eta_Y\circ F(\psi)$, где $\eta:F\circ G \to \id_\CB$ --- коединица сопряжения.
Отображение $\psi \mapsto F(\psi)$ аддитивно, так как функтор $F$ аддитивен, а отображение
$\phi\mapsto \eta_Y\circ\phi$ аддитивно, так как категория $\CB$ аддитивна.
Наконец аддитивность функтора $G$ следует из упр.~\ref{biadd} ---
функтор $\Hom(-,G(-)) \cong \Hom(F(-),-):\CA^\opp\times\CB \to \Ab$ аддитивен в силу аддитивности $F$,
значит $G$ тоже аддитивен.
\end{proof}




\Section{Абелевы категории}

Пусть $\CA$ и $\CB$ --- аддитивные категории, а $\alpha:F \to G$ ---  морфизм
аддитивных функторов из $\CA$ в $\CB$. Определим функтор
$\Ker \alpha$ формулой
% и $\Coker \alpha$ формулами
$$
\Ker\alpha(X) := \Ker (\xymatrix@1{F(X) \ar[r]^{\alpha_X} & G(X)}).
%,\qquad
%\Coker\alpha(X) := \Coker (\xymatrix@1{F(X) \ar[r]^{\alpha_X} & G(X)}).
$$
Легко видеть, что это аддитивный функтор. В самом деле, для всякого морфизма $\phi:X \to Y$
имеем коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & \Ker\alpha(X) \ar[r] \ar@{-->}[d] & F(X) \ar[r]^{\alpha_X} \ar[d]_{F(\phi)} & G(X) \ar[d]_{G(\phi)} \\
%\ar[r] & \Coker\alpha(X) \ar@{-->}[d] \ar[r] & 0 \\
0 \ar[r] & \Ker\alpha(Y) \ar[r] & F(Y) \ar[r]^{\alpha_Y} & G(Y)
%\ar[r] & \Coker\alpha(Y) \ar[r] & 0
}
$$
Легко видеть, что пунктирная стрелка существует и единственна, откуда следует
функториальность ядра, а также его аддитивность. Кроме того, ясно что из функтора
$\Ker\alpha$ есть естественный морфизм в функтор~$F$, являющийся вложением.

Пусть теперь $f:X \to Y$ --- морфизм в аддитивной категории $\CA$.
{\sf Ядром $f$}\/ называется объект $\Ker f$, представляющий функтор $\Ker h_f:h_X \to h_Y$ (если он существует),
а {\sf коядром $f$}\/ называется объект $\Coker f$, копредставляющий функтор $\Ker h^f:h^Y \to h^X$ (если он существует).
Заметим, что морфизмы функторов $\Ker h_f \to h_X$ и $\Ker h^f \to h^Y$ по лемме Ионеды дают морфизмы
$\kappa:\Ker f \to X$ и $\gamma:Y \to \Coker f$.

\begin{exercise}
Покажите, что в категориях $\Ab$, $R\lmod$, $\rmod R$ категорные ядра и коядра совпадают с обычными ядрами и коядрами.
\end{exercise}

С коядрами в категории пучков ситуация сложнее. Дело в том, что наивное коядро морфизма пучков не является пучком
(оно только предпучок). Однако, функтор вложения $\Sh(X) \to \PreSh(X)$ категории пучков в категорию предпучков
обладает левым сопряженным функтором $a:\PreSh(X) \to \Sh(X)$ (функтором пучковизации) и можно показать, что
пучковизация наивного ядра является ядром в категорном смысле.

\begin{exercise}
Пусть $\CA \subset \CB$ --- строго полная аддитивная подкатегория в аддитивной категории, и пусть функтор вложения $i:\CA \to \CB$
(он автоматически аддитивен) обладает левым сопряженным функтором $a:\CB \to \CA$.
Покажите, что если морфизм $i(f):i(X) \to i(Y)$ имеет ядро в $\CB$,
то $a(\Ker i(f))$ --- ядро морфизма $f$ в $\CA$.
\end{exercise}

\begin{lemma}\label{kercoker}
Пусть $f:X \to Y$ --- произвольный морфизм.\\
$(a)$ Если $\exists\Ker f$ и $g:X' \to X$, то $f\circ g = 0$ $\LRA$ $g = \kappa\circ g'$ для некоторого единственного $g':X' \to \Ker f$.\\
$(b)$ Если $\exists\Coker f$ и $h:Y \to Y'$, то $h\circ f = 0$ $\LRA$ $h = h'\circ\gamma$ для некоторого единственного $h':\Coker f \to Y'$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем (a). Ясно, что $f\circ g = 0$ $\LRA$
$g \in h_X(X')$ лежит в ядре $h_f:h_X(X') \to h_Y(X')$, то есть в $(\Ker h_f)(X')$,
что равносильно тому, что $g = \kappa\circ g'$ для некоторого $g':X' \to \Ker f$.
Такой морфизм $g'$ единственнен, так как $(\Ker h_f)(X') \subset h_X(X')$.
%
%
%Во-первых, $h_{f\circ\kappa} = h_f\circ h_\kappa = 0$ по определению ядра.
%Значит $f\circ\kappa = 0$ по лемме Ионеды, и следовательно, если $g = \kappa\circ g'$,
%то $f\circ g = f\circ\kappa\circ g' = 0$. Обратно, пусть $f\circ g = 0$. Значит
%$g \in h_X(X')$ лежит в ядре
\end{proof}

\begin{exercise}
Предположим, что в аддитивной категории $\CA$ существуют ядра у всех морфизмов.
Покажите, что $(f:X \to Y) \mapsto (\kappa:\Ker f \to X)$ является аддитивным функтором
из категории представлений колчана $\bullet \to \bullet$ в $\CA$
({\sf категории стрелок в $\CA$}) в себя. Аналогично для коядер.
\end{exercise}


{\sf Кообразом морфизма} $f:X \to Y$ называется коядро ядра $f$ (то есть естественного морфизма $\Ker f \to X$), а
{\sf образом морфизма} $f$ --- ядро коядра $f$ (то есть естественного морфизма $Y \to \Coker f$):
$$
\Coim f = \Coker(\Ker f \to X),\qquad
\Im f = \Ker(Y \to \Coker f).
$$

\begin{lemma}
Если у морфизма $f:X \to Y$ существуют образ и кообраз, то
существует единственный морфизм $\bar{f}:\Coim f \to \Im f$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix{
\Ker f \ar[r]^-\kappa & X \ar[r]^-f \ar[d]_{\gamma'} & Y \ar[r]^-\gamma & \Coker f \\
& \Coim f \ar[r]^-{\bar{f}} & \Im f \ar[u]_{\kappa'}
}
$$
коммутативна.
\end{lemma}
\begin{proof}
По лемме~\ref{kercoker}(a) имеем $f\circ\kappa = 0$.
Значит по лемме~\ref{kercoker}(b) существует единственный морфизм $f':\Coim f \to Y$,
такой что $f = f'\circ\gamma'$. Покажем, что $\gamma\circ f' = 0$. В самом деле,
$\gamma\circ f'\circ \gamma' = \gamma\circ f = 0$ по лемме~\ref{kercoker}(b),
но в то же время $\gamma\circ 0 = 0$. Значит в силу единственности в лемме~\ref{kercoker}(b)
имеем $\gamma\circ f' = 0$. Применяя теперь лемму~\ref{kercoker}(a), находим $\bar{f}$.
\end{proof}

Аддитивная категория $\CA$ называется {\sf абелевой}, если
\begin{description}
\item[AB4] у всех морфизмов в $\CA$ существуют ядра и коядра, а естественный морфизм
кообраза в образ морфизма --- изоморфизм.
\end{description}

\begin{exercise}
Покажите, что категории $\Ab$, $R\lmod$, $R\rmod$, $\Sh(X)$, $\Qcoh(X)$ абелевы, а $\VB(X)$ --- не абелева.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что если категории $\CA$ и $\CB$ абелевы, то
(a) $\CA^\opp$ абелева;
(b) $\CA\times\CB$ абелева;
(c) $\Fun(\CC,\CA)$ абелева для любой малой категории $\CC$.
\end{exercise}

Морфизм с нулевым ядром называется {\sf мономорфизмом} (или {\sf вложением, инъекцией}),
а морфизм с нулевым коядром --- {\sf эпиморфизмом} (или {\sf сюръекцией}).
Объект $X$, для которого задан мономорфизм $X \to Y$, называется {\sf подобъектом в $Y$} (обозначается $X \subset Y$), а
объект $X$, для которого задан эпиморфизм $Y \to X$, называется {\sf факторобъектом объекта $Y$} (обозначается $Y \twoheadrightarrow X$).
Легко видеть, что категории подобъектов и факторобъектов фиксированного объекта изоморфны
и эквивалентны некоторому частично упорядоченному множеству.

\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм.
Покажите, что
(a) естественный морфизм $\Ker f \to X$ инъективен, а $Y \to \Coker f$ --- сюръективен;
(b) $f$ --- изоморфизм $\LRA$ $f$ инъективен и сюръективен.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{props-kc}
Пусть $f:X \to Y$ и $g:Y \to Z$ --- морфизмы в абелевой категории.
Покажите, что\\
(a) $\Ker f \subset \Ker (g\circ f)$, а если $\Ker g = 0$, то $\Ker f = \Ker(g\circ f)$;\\
(b) $\Coker (g\circ f) \twoheadrightarrow \Coker g$, а если $\Coker f = 0$, то  $\Coker(g\circ f) = \Coker g$;\\
%(a) $g\circ f$ инъективен $\RA$ $f$ инъективен;
%(b) $f$ и $g$ инъективны $\RA$ $g\circ f$ инъективен;
%(c) $g\circ f$ сюръективен $\RA$ $g$ сюръективен; 
%(d) $f$ и $g$ сюръективны $\RA$ $g\circ f$ сюръективен;
(c) если $f$ сюръективен, то $g = 0$ $\LRA$ $g\circ f = 0$;
(d) если $g$ инъективен, то $f = 0$ $\LRA$ $g\circ f = 0$.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Всякий морфизм $f:X \to Y$ в абелевой категории может быть единственным образом представлен
в виде композиции сюръекции $f':X \to I$ и инъекции $f'':I \to Y$. При этом $I \cong \Coim f \cong \Im f$,
а морфизмы $f'$ и $f''$ при этом отождествлении совпадают с $\gamma'$ и $\kappa'$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\gamma'$ сюръективен, а $\kappa'$ инъективен в силу упражнения.
Поэтому достаточно проверить единственность. Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
\Ker f \ar[r]^-\kappa & X \ar[rr]^-f \ar[dd]_{\gamma'} \ar[dr]_{f'} && Y \ar[r]^-\gamma & \Coker f \\
&& I \ar[ur]_{f''} \ar@{..>}[dr]^{i''} \\
& \Coim f \ar[rr]^-{\bar{f}}_\cong \ar@{..>}[ur]^{i'} && \Im f \ar[uu]_{\kappa'}
}
$$
Покажем, что $\gamma\circ f'' = 0$. В самом деле,
$\gamma\circ f''\circ f' = \gamma\circ f = 0$, но $f'$ сюръективен,
поэтому $\gamma\circ f'' = 0$. Значит существует единственный морфизм
$i'':I \to \Im f$, такой что $f'' = \kappa'\circ i''$, причем из инъективности $f''$
следует инъективность $i''$. Аналогично строится сюръективный морфизм $i':\Coim f \to I$.
Заметим, что по построению $\kappa'\circ i''\circ i'\circ\gamma' = f''\circ f' = f$,
поэтому в силу единственности $\bar{f}$ получаем $i''\circ i' = \bar{f}$. Так как $\bar{f}$
изоморфизм, отсюда следует инъективность $i'$ и сюръективность $i''$. Значит оба они --- изоморфизмы.
Итак, $f' = i'\circ\gamma'$, $f'' = \kappa'\circ i'' = \kappa'\circ\bar{f}\circ(i')^{-1}$.
\end{proof}

%\Section{Точные последовательности}

Последовательность морфизмов $\xymatrix@1{\dots \ar[r] & X^{i-1} \ar[r]^-{f^{i-1}} & X^i \ar[r]^-{f^i} & X^{i+1} \ar[r] & \dots}$
называется {\sf комплексом}, если для всех $i$ выполняется условие $f^i\circ f^{i-1} = 0$.

\begin{exercise}
Покажите, что последовательность морфизмов --- комплекс $\LRA$ $\Im f^{i-1} \subset \Ker f^i$.
\end{exercise}

Комплекс называется {\sf точным в члене $X^i$}, если $\Im f^{i-1} = \Ker f^i$.
Комплекс вида $0 \to X \to Y \to Z \to 0$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf точным слева}, если он точен в $X$ и $Y$;
\item {\sf точным справа}, если он точен в $Y$ и $Z$;
\item {\sf точным в середине}, если он точен в $Y$;
\item {\sf точным}, если он точен в $X$, $Y$ и $Z$.
\end{itemize}

Ясно, что точные слева тройки имеют вид $0 \to \Ker f \to X \stackrel{f}\to Y$,
а точные справа тройки имеют вид $X \stackrel{f}\to Y \to \Coker f \to 0$.

\begin{lemma}\label{crit-exact}
Тройка $0 \to X \to Y \to Z$ точна слева $\LRA$ 
$0 \to \Hom(A,X) \to \Hom(A,Y) \to \Hom(A,Z)$ точна слева при всех $A$.
Тройка $X \to Y \to Z \to 0$ точна справа $\LRA$ 
$0 \to \Hom(Z,A) \to \Hom(Y,A) \to \Hom(X,A)$ точна слева при всех $A$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Точность слева последовательности $0 \to \Hom(Z,A) \to \Hom(Y,A) \to \Hom(X,A)$ при всех $A$
равносильна тому, что $h^Z = \Ker h^f$, то есть тому, что $Z = \Coker f$, то есть точности справа
тройки $0 \to X \to Y \to Z \to 0$. Первое утверждение доказывается аналогично.
\end{proof}


\Section{Точные функторы}

Функтор $F:\CA \to \CB$ называется
\begin{itemize}
\item {\sf точным слева}, если он всякую точную тройку переводит в последовательность точную слева;
\item {\sf точным справа}, если он всякую точную тройку переводит в последовательность точную справа;
%\item {\sf точным в середине}, если он всякую точную тройку переводит в последовательность точную в середине;
\item {\sf точным}, если он всякую точную тройку переводит в точную тройку.
\end{itemize}

\begin{examples}
\begin{enumerate}
\item функторы $\sfg$, $\oplus$ и ограничение скаляров из примера~\ref{ex-funadd} точны;
\item функторы $\Gamma$ и $f_*$ из примера~\ref{ex-funadd} точны слева;
\item функторы $\otimes$, $f^*$ и расширение скаляров из примера~\ref{ex-funadd} точны справа.
\end{enumerate}
\end{examples}

\begin{exercise}
Покажите, что ковариантный функтор точен слева (справа) $\LRA$ он всякую точную слева (справа) тройку
переводит в тройку точную слева (справа).
\end{exercise}

\begin{lemma}
Функторы $h_A = \Hom(-,A):\CA^\opp \to \Ab$ и $h^A = \Hom(A,-):\CA \to \Ab$ точны слева.
\end{lemma}
\begin{proof}
Это немедленно следует из леммы~\ref{crit-exact}.
\end{proof}

\begin{lemma}
Пусть $(F,G)$ --- пара сопряженных аддитивных функторов.
Тогда $F$ точен справа, а $G$ слева.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $X \to Y \to Z \to 0$ --- точная справа тройка.
Применяя функтор $F$ получим тройку $F(X) \to F(Y) \to F(Z) \to 0$.
В силу леммы~\ref{crit-exact} для этого достаточно проверить, что для всех $A$ последовательность
$0 \to \Hom(F(Z),A) \to \Hom(F(Y),A) \to \Hom(F(X),A)$ точна слева.
Но пользуясь сопряженностью функторов, ее можно переписать в виде
$0 \to \Hom(Z,G(A)) \to \Hom(Y,G(A)) \to \Hom(X,G(A))$, и ее точность 
следует из той же леммы.
\end{proof}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\Name{Классические производные функторы}{Гомологическая алгебра 3}{01.10.2008}

\Section{Теорема вложения и диаграмный поиск}

В привычных абелевых категориях, таких как $\Ab$ и $R\lmod$ стандартным
способом проверять раличные соотношения между объектами и морфизмами является
так называемый диаграмный поиск (рассматриваются ``элементы'' абелевой группы
и для каждого элемента, проверяется необходимые включения или равенства).
В произвольной абелевой категории, объекты уже не имеют ``элементов''
в наивном смысле, поэтому приходится либо боказывать все, пользуясь формальными
свойствами категорий, либо использовать один из следующих двух (по существу
равносильных) трюков.

Первый --- для любого объекта $X \in \CA$ можно определить множество его $Y$-элементов
(где $Y$ --- любой другой объект) как $\Hom(Y,X)$ и проверять все необходимые включения
и равенства для $Y$-элементов с произвольными $Y$. По существу это означает, что
мы отождествляем категорию $\CA$ с подкатегорией представимых функторов
в категорию $\Fun(\CA^\opp,\Ab)$, а для функторов проверяем необходимые включения
и равенства поточечно.

Другой подход состоит в использовании следующей теоремы Митчела.

\begin{theorem}
Пусть $\CA_0$ --- малая абелева категория. Тогда существует кольцо $R$
и строго полный точный функтор $F:\CA_0 \to R\lMod$.
\end{theorem}

Из теоремы Митчела следует, что всякое утверждение, сформулированное в терминах
точности последовательностей, существования и равенства морфизмов, и т.д.,
включающее в себя конечное число объектов и морфизмов и верное в категории
модулей над кольцом, верно и в произвольной абелевой категории $\CA$. В самом деле,
можно рассмотреть полную абелеву подкатегорию $\CA_0$ в $\CA$, порожденную объектами,
фигурирующими в утверждении, построить функтор $F:\CA_0 \to R\lMod$, и воспользоваться
его строгой полнотой и точностью.

\begin{exercise}
Рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X_1 \ar[r] \ar[d]_{f_1} & Y_1 \ar[r] \ar[d]_{g_1} & Z_1 \ar[r] \ar[d]_{h_1} & 0 \\
0 \ar[r] & X_2 \ar[r] & Y_2 \ar[r] & Z_2 \ar[r] & 0 \\
}
$$
с точными строчками (то есть морфизм точных троек). Покажите, что из нее возникает точная последовательность
$0 \to \Ker f_1 \to \Ker g_1 \to \Ker h_1 \to \Coker f_1 \to \Coker g_1 \to \Coker h_1 \to 0$.
\end{exercise}

Квадрат
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^f \ar[d]_g & Y \ar[d]^p \\ Z \ar[r]^q & W
}
$$
называется {\sf декартовым}, если 
$\Hom(-,X) = \{(\phi,\psi) \in \Hom(-,Y)\times\Hom(-,Z)\ |\ p\phi = q\psi \}$)
($X$ есть расслоенное произведение $Y$ и $Z$ над $W$);
и {\sf кодекартовым}, если 
$\Hom(W,-) = \{(\phi,\psi) \in \Hom(Y,-)\times\Hom(Z,-)\ |\ \phi f = \psi g \}$)
($W$ является корасслоенным копроизведением $Y$ и $Z$ под $X$).

\begin{exercise}\label{codec1}
Докажите, что последовательность 
$$
\xymatrix@1{0 \ar[r] & X \ar[r]^-{f \choose g} & Y \oplus Z \ar[r]^-{(p,-q)} & W \ar[r] & 0}\leqno{(*)}
$$
(a) является комплексом $\LRA$ соответствующий квадрат коммутативен;
(b) точна слева $\LRA$ квадрат декартов;
(c) точна справа $\LRA$ квадрат кодекартов.
%
% эквивалентность следующих условий
%\begin{enumerate}
%\item последовательность $\xymatrix@1{0 \ar[r] X \ar[r]^-{f \choose g} & Y \oplus Z \ar[r]^-{(p,-q)} & W \ar[r] & 0}$ точна;
%\item
%\item
%\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{codec2}
Пусть $H^0$, $H^1$ и $H^2$ --- когомологии последовательности $(*)$.
Покажите, что \\
(a) $H^0 = \Ker(g:\Ker f \to \Ker q)$;
(b) $H^2 = \Coker(p:\Coker f \to \Coker q)$;\\
(c) существует точная тройка $0 \to \Coker(g:\Ker f \to \Ker q) \to H^1 \to \Ker(p:\Coker f \to \Coker q) \to 0$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{codec3}
Докажите, что 
(a) квадрат декартов $\LRA$ $g$ индуцирует изоморфизм $\Ker f \cong \Ker q$, а $p$ индуцирует мономорфизм $\Coker f \hookrightarrow \Coker q$;
(b) квадрат кодекартов $\LRA$ $p$ индуцирует изоморфизм $\Coker f \cong \Coker q$, а $g$ индуцирует эпиморфизм $\Ker f \twoheadrightarrow \Ker q$.
\end{exercise}

Однако, при обращении с теоремой Митчела надо соблюдать некоторую осторожность.
\begin{exercise}
Покажите, что в категории $R\lMod$ бесконечное произведение точных троек точно,
а в категории $\Sh(X)$ вообще говоря нет.
\end{exercise}



\Section{Инъективные и проективные объекты}

Объект $P$ в абелевой категории $\CA$ называется {\sf проективным},
если функтор $\Hom(P,-)$ точен.
Объект $I$ в абелевой категории $\CA$ называется {\sf инъективным},
если функтор $\Hom(-,I)$ точен.
Так как функторы $\Hom(X,-)$ и $\Hom(-,X)$ всегда точны слева,
проективность $P$ равносильна тому, что для любой сюръекции
$Y \twoheadrightarrow Z$ и любого морфизма $\phi:P \to Z$
найдется морфизм $\tilde\phi:P \to Y$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix{
P \ar[dr]^\phi \ar@{..>}[d]_{\tilde\phi} \\
Y \ar[r] & Z \ar[r] & 0
}
$$
коммутативна. Аналогично, инъективность $I$ равносильна тому,
что для любой инъекции $X \hookrightarrow Y$ и любого морфизма $\phi:X \to I$
найдется морфизм $\tilde\phi:Y \to I$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X \ar[dr]_\phi \ar[r] & Y \ar@{..>}[d]^{\tilde\phi}  \\
&& I
}
$$
коммутативна.

\begin{exercise}
Покажите, что инъективные объекты в $\CA$ совпадают с проективными объектами в $\CA^\opp$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
$(a)$ $P$ проективен $\LRA$ для любой сюрьекции $p:X \twoheadrightarrow P$
существует изоморфизм $X \cong X' \oplus P$, при котором $p = p_P$;
$(b)$ $I$ инъективен $\LRA$ для любой иньекции $i:I \hookrightarrow X$
существует изоморфизм $X \cong X' \oplus I$, при котором $i = i_P$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем первое. Следствие $\RA$ очевидно. Если $p:X \twoheadrightarrow P$ --- сюръекция,
то существует $i:P \to X$, так что $p\circ i = \id_P$. Положим $X' = \Ker p$ и пусть
$i':X' \to X$ --- естественное вложение (тогда $p\circ i' = 0$). Заметим, что
$p\circ(\id_X - i\circ p) = p - p\circ i\circ p = p - p = 0$,
поэтому существует $p':X \to X'$, такое что $\id_X - i\circ p = i'\circ p'$.
Покажем, что $p'\circ i' = \id_{X'}$, $p'\circ i = 0$.
Это следует из равенств $(\id_X - i\circ p)\circ i' = i' - i\circ p\circ i' = i'$
и $(\id_X - i\circ p)\circ i = i - i\circ p\circ i = i - i = 0$.
Проверим теперь $(\LA)$. В самом деле, пусть $\pi:Y \twoheadrightarrow Z$ --- сюръекция,
а $\phi:P \to Z$ --- произвольный морфизм. Положим $X = \Ker((-\pi,\phi):Y\oplus P \to Z)$
и пусть $p:X \to P$ и $q:X \to Y$ --- композиции $X \to Y\oplus P \to P$ и $X \to Y\oplus P \to Y$.
Из сюръективности $\pi$ следует сюръективность $p$ (воспользуемся диаграмным поиском ---
пусть $x \in P$, найдем $y \in Y$, так что $\pi(y) = \phi(x)$; тогда $(y,x) \in X$ и $p(y,x) = x$).
Следовательно, $X \cong X' \oplus P$. В частности, существует морфизм $s:P \to X$,
такой что $p\circ s = \id_P$. Пусть $\tilde\phi = q \circ s$. Тогда
$\pi\circ\tilde\phi = \pi\circ q \circ s = \phi\circ p\circ s = \phi$,
что и требовалось.
\end{proof}

Объект $Y$ называется {\sf расширением} объекта $Z$ с помощью $X$, если дана точная тройка
$0 \to X \to Y \to Z \to 0$.

\begin{exercise}
Покажите, что
(a)~классы проективных и инъективных объектов замкнуты относительно прямых сумм и расширений;
(b)~классы проективных и инъективных объектов замкнуты относительно взятия прямых слагаемых;
(c)~класс проективных объектов замкнут относительно ядер эпиморфизмов;
(d)~класс инъективных объектов замкнут относительно коядер мономорфизмов.
\end{exercise}

В категории $R\lMod$ всегда много инъективных и проективных объектов.

\begin{lemma}
Свободный модуль с любым множеством образующих проективен.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $R\langle S\rangle$ --- свободный $R$-модуль с множеством образующих $S$.
Тогда $\Hom(R\langle S\rangle,M) = \Hom(S,\sfg(M)) = \prod_{s\in S} M$ --- точен.
\end{proof}

\begin{corollary}
Проективные $R$-модули --- это прямые слагаемые в свободных $R$-модулях.
\end{corollary}

\begin{corollary}
Всякий $R$-модуль накрывается проективным $R$-модулем.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $M$ --- $R$-модуль. Выберем произвольное множество $S$ образующих для $M$
(например, можно взять $S = M$) и рассмотреть морфизм $R\langle S\rangle \to M$,
индуцированный вложением $S \to M$. Он очевидно сюръективен.
\end{proof}

Описать инъективные модули сложнее. Но для проверки того, что их достаточно много,
можно воспользоваться следующими простыми соображениями.

\begin{lemma}
Левый $R$-модуль $I$ инъективен $\LRA$ любой морфизм $\phi:\fa \to I$ из любого левого идеала $\fa \subset R$
можно продолжить до морфизма из $\tilde\phi:R \to I$.
\end{lemma}
\begin{proof}
$\RA$ очевидно. Докажем обратное. Пусть $X \subset Y$ и $\phi:X \to I$. Рассмотрим множество
всех пар $(X',\phi')$, где $X \subset X' \subset Y$ и $\phi':X' \to I$, такой что $\phi = \phi'_{|X}$.
По лемме Цорна в нем есть максимальный элемент $(X_0,\phi_0)$. Покажем, что $X_0 = Y$. В самом деле,
иначе существует $y \in Y\setminus X_0$. Пусть $X_1 = X_0 + Ry \subset Y$. Получаем точную
последовательность $0 \to \fa \to X_0 \oplus R \to X_1 \to 0$. Из инъективности морфизма $X_0 \to X_1$
следует инъективность морфизма $\fa \to R$, значит $\fa$ --- идеал в $R$. Рассмотрим композицию
$\psi:\fa \to X_0 \stackrel{\phi_0}\to I$ и Продолжим ее до морфизма $\tilde\psi:R \to I$.
Так как $X_1$ --- корасслоенное копроизведение $X_0$ и $R$ под $\fa$, морфизмы $\phi_0$ и $\tilde\psi$
дают морфизм $\phi_1:X_1 \to I$, причем его ограничение на $X_0$ совпадает с $\phi_0$.
Получаем противоречие с максимальностью пары $(X_0,\phi_0)$. Значит $X_0 = Y$, в частности
морфизм $\phi$ продолжился до морфизма $Y \to I$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Абелева группа $\QQ/\ZZ$ инъективна.
\end{corollary}
\begin{proof}
Абелевы группы --- это $\ZZ$-модули, а все идеалы в $\ZZ$ имеют вид $n\ZZ$.
Морфизм $n\ZZ \to \QQ/\ZZ$ задается элементом $t \in \QQ/\ZZ$ (образом $n$),
а чтобы продолжить его до морфизма $\ZZ \to \QQ/\ZZ$, надо найти $t' \in \QQ/\ZZ$,
такой что $nt' = t$, что в группе $\QQ/\ZZ$ заведомо возможно.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{adj-pro-in}
Пусть $F:\CA \to \CB$ и $G:\CB \to \CA$ --- пара сопряженных функторов.
Если $F$ точен, то $G$ сохраняет инъективность.
Аналогично, если $G$ точен, то $F$ сохраняет проективность.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем первое. Пусть $I$ инъективен в $\CB$. Тогда $\Hom(-,G(I)) \cong \Hom(F(-),I)$ --- точный функтор,
значит $G(I)$ инъективен.
\end{proof}

Построим теперь взаимно сопряженные точные функторы между категориями
$R\lMod$ и $(\rMod R)^\opp$. Тогда инъективные объекты в $(\rMod R)^\opp$
(то есть проективные правые $R$-модули) перейдут в инъективные объекты в $R\lMod$.
А именно, рассмотрим функторы
$$
D:R\lMod \to (\rMod R)^\opp
\quad\text{и}\quad
D':(\rMod R)^\opp \to R\lMod,
\qquad
M \mapsto \Hom_{\ZZ}(M,\QQ/\ZZ).
$$

\begin{lemma}\label{dual-adj}
Функторы $D$ и $D'$ точны и сопряжены друг другу.
\end{lemma}
\begin{proof}
Точность сразу следует из инъективности $\QQ/\ZZ$. Для проверки сопряженности
заметим, что для всякого левого $M$ существует морфизм $c_M:M \to D'(D(M))$
(переводящий $m \in M$ в морфизм $DM \to \QQ/\ZZ$, $f \in \Hom_\ZZ(M,\QQ/\ZZ) \mapsto f(m)$),
а для всякого правого $R$-модуля морфизм $c'_M:M \to D(D'(M))$, которые как не сложно проверить
задают морфизмы функторов. Заметим, что $c'_M \in \Hom_{(\rMod R)^\opp}(D(D'(M)),M)$.
Покажем, что $c$ и $c'$ устанавливают сопряжение функторов $D$ и $D'$.
Для этого надо проверить, что композиции
$DM \stackrel{c'_{DM}}\to DD'DM \stackrel{Dc_M}\to DM$ и
$D'M \stackrel{c_{D'M}}\to D'DD'M \stackrel{D'c'_M}\to D'M$ тождественны.
Поскольку $D$ и $D'$ задаются одной и той же формулой, достаточно проверить первое.
Заметим, что $c'_{DM}$ переводит $f \in DM$ в морфизм $D'DM \to \QQ/\ZZ$, $x \in \Hom(D'M,\QQ/\ZZ) \mapsto x(f)$.
С другой стороны, $Dc_M$ переводит элемент $\xi \in DD'DM$ в морфизм $m \mapsto \xi(c_M(m))$.
Значит $Dc_M \circ c'_{DM}$ переводит $f$ в $m \mapsto f(c_M(m)) = f(m)$,
то есть в~$f$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Всякий $R$-модуль вкладывается в инъективный $R$-модуль.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $M$ --- левый $R$-модуль. Тогда $DM$ --- правый $R$-модуль.
Выберем сюръекцию $P \to DM$ из проективного правого $R$-модуля $P$
и рассмотрим композицию $M \to D'DM \to D'P$. Во-первых, как было отмечено выше,
$P$ --- инъективный объект в $(\rMod R)^\opp$, значит в силу лемм~\ref{adj-pro-in}
и~\ref{dual-adj} объект $DD'P$ инъективен в $R\lMod$. Остается проверить, что
морфизм $M \to D'P$ инъективен. Для проверки инъективности морфизма $c_M:M \to D'DM$
надо проверить, что для любого $m \in M$ найдется $f:M \to \QQ/\ZZ$, так что $f(m) \ne 0$.
Рассмотрим циклическую подгруппу $\langle m\rangle$ в $M$, порожденную $m$. Если $\langle m\rangle \cong \ZZ$,
определим $f:\langle m\rangle \to \QQ/\ZZ$, положив $f(m) = 1/2$, а если $\langle m\rangle \cong \ZZ/n\ZZ$ ---
положив $f(m) = 1/n$, а затем продолжим на все $M$, воспользовавшись инъективностью $\QQ/\ZZ$.
Таким образом $c_M$ инъективно. Остается заметить, что $D'$ точен, поэтому переводит
сюръекцию $P \to DM$ в инъекцию $D'DM \to D'P$.
\end{proof}



\Section{Классические производные функторы}

Основным вычислительным средством в абелевых категориях являются точные последовательности.
С их помощью интересные объекты выражаются через более простые. Основную же сложность
при вычислениях доставляет не точность функторов --- если надо применить функтор $F$
к объекту $X$, выраженному, скажем через точную последовательность $0 \to X \to X_1 \to X_2 \to 0$,
то последовательность $0 \to F(X) \to F(X_1) \to F(X_2) \to 0$ уже не будет точна,
то есть $F(X)$ не будет выражаться через $F(X_1)$ и $F(X_2)$. Чтобы контролировать
ситуацию вводятся так называемые производные функторы. С одной стороны, они позволяют
производить вычисления, а с другой, сами дают важные примеры функторов.

Идея состоит в следующем. Пусть, например, функтор $F:\CA \to \CB$ точен справа.
Тогда {\sf левые классические производные функторы от $F$} --- это последовательность
функторов $L_iF:\CA \to \CB$, $L_0F \cong F$ и морфизмов функторов $\delta_i:L_{i+1}F(X'') \to L_iF(X')$
между функторами
$$
(0 \to X' \to X \to X'' \to 0) \mapsto L_{i+1}F(X'')
\quad\text{и}\quad
(0 \to X' \to X \to X'' \to 0) \mapsto L_iF(X'),
$$
из категории точных троек в $\CA$ в категорию $\CB$, такие что
для всякой точной тройки $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ последовательность
$$
\dots \to L_2F(X'') \stackrel{\delta_1}\to
L_1F(X') \to L_1F(X) \to L_1F(X'') \stackrel{\delta_0}\to
L_0F(X') \to L_0F(X) \to L_0F(X'') \to 0
$$
точна, удовлетворяющая свойству универсальности.

\begin{remark}
Такая последовательность функторов $T_i$ (без изоморфизма $T_0 \cong F$)
и морфизмов функторов $\delta_i:T_{i+1}(X'') \to T_i(X')$ называется {\sf левым $\delta$-функтором}.
%Такая последовательность функторов (без свойства универсальности) и морфизмов функторов называется $\delta$-Функтором.
%Таким образом, производный функтор --- это универсальный $\delta$-функтор.
\end{remark}

Свойство универсальности формулируется так: для любого левого 
$\delta$-функтора $(T_\bullet,\delta_\bullet)$ и любого морфизма функторов 
$f_0:L_0F \to T_0$ существует единственная последовательность морфизмов функторов 
$f_i:L_iF \to T_i$, коммутирующая с $\delta$.

Аналогично определяются правые производные функторы от точного слева функтора.
{\sf Правый $\delta$-функтор} --- это последовательность функторов $T^i:\CA \to \CB$
и морфизмов функторов $\delta^i:T^i(X'') \to T^{i+1}(X')$
между функторами
$$
(0 \to X' \to X \to X'' \to 0) \mapsto T^i(X'')
\quad\text{и}\quad
(0 \to X' \to X \to X'' \to 0) \mapsto T^{i+1}(X'),
$$
из категории точных троек в $\CA$ в категорию $\CB$, такие что
для всякой точной тройки $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ последовательность
$$
0 \to T^0(X') \to T^0(X) \to T^0(X'') \stackrel{\delta^0}\to 
T^1(X') \to T^1(X) \to T^1(X'') \stackrel{\delta^1}\to 
T^2(X') \to \dots
$$
точна.

{\sf Правый классические производный функтор от $F$} --- это правый 
$\delta$-функтор $(R^iF,\delta^i)$ с $R^0F \cong F$, удовлетворяющий 
следующему свойству универсальности: для любого правого $\delta$-функтора 
$(T^\bullet,\delta^\bullet)$ и любого морфизма функторов $f^0:T^0 \to R^0F$ 
существует единственная  последовательность морфизмов функторов $f^i:T^i \to R^iF$, 
продолжающая $f^0$ и коммутирующая с $\delta$.


Возникает естественный вопрос о существовании производных функторов.
Есть разные условия, при которых существование можно доказать.
Самая простая и наиболее универсальная конструкция такова.
Пусть, например, функтор $F$ точен справа и допустим, что в категории $\CA$
достаточно много проективных объектов (то есть всякий объект накрывается проективным).
Возьмем произвольный объект $X \in \CA$ и построим точную последовательность
$\dots \to P^{-3} \stackrel{d^{-3}}\to P^{-2} \stackrel{d^{-2}}\to P^{-1} \stackrel{d^{-1}}\to P^0 \to X \to 0$,
в которой все объекты $P^i$ проективны. Применяя функтор $F$ получим комплекс
$\dots \to F(P^{-3}) \stackrel{F(d^{-3})}\to F(P^{-2}) \stackrel{F(d^{-2})}\to F(P^{-1}) \stackrel{F(d^{-1})}\to F(P^0) \to 0$.
Оказывается, формула $L_iF = \Ker F(d^{-i}) / \Im F(d^{-i-1})$ определяет производные функторы.
Но чтобы это доказать, нам потребуются некоторые сведения про комплексы.

Аналогично, если функтор $F:\CA \to \CB$ точен слева, а в категории $\CA$ 
достаточно много инъективных объектов, заменяя левую проективную резольвенту 
на правую инъективную, можно построить правый производный функтор от $F$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\Name{Классические производные функторы --- построение}{Гомологическая алгебра 4}{08.10.2008}

\Section{Комплексы}


Пусть $(X^\bullet,d^\bullet)$ --- комплекс в абелевой категории $\CA$.
Обозначим через
$$
H^i(X^\bullet) := \Ker d^i / \Im d^{i-1} = \Coker(\Im d^{i-1} \to \Ker d^i) \cong \Ker(\Coker d^{i-1} \to \Coim d^i)
$$
{\sf когомологию} комплекса в члене $X^i$. Точные последовательности --- это комплексы,
у которых все когомологии равны нулю. Такие комплексы также называются {\sf ацикличными}.


{\sf Морфизм комплексов} $f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ --- это набор отображений $f^i:X^i \to Y^i$,
таких что 
$$
d_Y^i\circ f^i = f^{i+1}\circ d_X^i.
$$
Ясно, что мофризм комплексов индуцирует морфизм когомологий
$H^i(f^\bullet):H^i(X^\bullet) \to H^i(Y^\bullet)$.

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) если категория $\CA$ абелева, то категория комплексов $\Com(\CA)$ тоже абелева;
(b) $H^i:\Com(\CA) \to \CA$ --- аддитивный функтор, точный посередине.
\end{exercise}

\begin{exercise}[Лемма о змее]
Пусть $0 \to X^\bullet \stackrel{f^\bullet}\to Y^\bullet \stackrel{g^\bullet}\to Z^\bullet \to 0$ --- 
точная тройка комплексов (то есть для всякого $i$ последовательность $0 \to X^i \to Y^i \to Z^i \to 0$ точна).
(a) Покажите, что из нее возникает длинная точная последовательность когомологий
$$
\dots \to H^{i-1}(Z^\bullet) \stackrel{\delta^{i-1}}\to 
H^{i}(X^\bullet) \to H^{i}(Y^\bullet) \to H^{i}(Z^\bullet) \stackrel{\delta^{i}}\to 
H^{i+1}(X^\bullet) \to \dots
$$
(b) Проверьте, что если тройка почленно расщепима (то есть $Y^k \cong X^k \oplus Z^k$
для каждого $k$, так что $f^k$ и $g^k$ --- стандартное вложение и проекция), то 
$\delta^k$ индуцирован морфизмом комплексов $p_{X^{k+1}}\circ d_Y^k \circ i_{Z^k}$.
\end{exercise}


На категории комплексов определен {\sf функтор сдвига} на произвольное целое число $t$, 
который обозначается как $[t]$, $X^\bullet \mapsto X^\bullet[t]$.
По определению
$$
(X^\bullet[t])^k = X^{k+t},
\qquad
d_{X^\bullet[t]}^k = (-1)^t d_X^{k+t}.
$$

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) $[t]$ --- автоморфизм категории комплексов, причем $[t]\circ[s] = [t+s]$ для всех $t,s \in \ZZ$;
(b) $H^i(X[t]) \cong H^{i+t}(X)$.
\end{exercise}

Морфизм комплексов $f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ называется {\sf квазиизоморфизмом},
если $H^i(f^\bullet):H^i(X^\bullet) \to H^i(Y^\bullet)$ --- изоморфизм при всех $i$.

\begin{exercise}
Покажите, что $X^\bullet$ ацикличен $\LRA$ 
нулевой морфизм $X^\bullet \to X^\bullet$ --- квазиизоморфизм.
\end{exercise}

Морфизмы комплексов $f^\bullet,g^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ называются {\sf гомотопными}
(записывается $f \sim g$), если существует набор морфизмов $h^i:X^i \to Y^{i+1}$, такой что 
$$
f^i - g^i = d_Y^{i-1}\circ h^i + h^{i+1}\circ d_X^i.
$$
Комплексы $X^\bullet$ и $Y^\bullet$ называются {\sf гомотопными}, если существуют
морфизмы комплексов $f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ и $g^\bullet:Y^\bullet \to X^\bullet$,
такие что $g^\bullet\circ f^\bullet \sim \id_X$, $f^\bullet\circ g^\bullet \sim \id_Y$.

\begin{lemma}
Гомотопные морфизмы индуцируют одинаковые отображения на когомологиях.
В частности, гомотопные комплексы квазиизоморфны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Достаточно проверить, что морфизм гомотопный нулю индуцирует нулевое отображение
на когомологиях. Пусть $f^i =  d_Y^{i-1}\circ h^i + h^{i+1}\circ d_X^i$.
Тогда $f^i_{|\Ker d_X^i} =  d_Y^{i-1}\circ h^i$ --- пропускается через $\Im d_Y^{i-1}$,
то есть $H^i(f^\bullet) = 0$.
\end{proof}

В отличие от квазиизоморфности, гомотопическая эквивалентность сохраняется при 
действии любых аддитивных функторов. Если два морфизма (комплекса) гомотопны, 
они остаются гомотопными после применения любого аддитивного функтора,



\Section{Конус морфизма}

Очень полезное понятие --- {\sf конус морфизма комплексов}. Пусть $f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ ---
морфизм комплексов. Положим 
$$
C(f)^k = Y^k \oplus X^{k+1},
\qquad
d_{C(f)}^k = \left(\begin{smallmatrix} d_Y^k & f^{k+1} \\ 0 & -d_X^{k+1} \end{smallmatrix}\right).
$$
Определим также 
$$
i^k = \left(\begin{smallmatrix} \id_{Y^k} \\ 0 \end{smallmatrix}\right):Y^k \to C(f)^k, \qquad
p^k = (0,\id_X^{k+1}):C(f)^k \to X^{k+1}.
$$

\begin{lemma}\label{hcone}
$(C(f)^\bullet,d_{C(f)}^\bullet)$ --- комплекс, а $i^\bullet:Y^\bullet \to C(f)^\bullet$ и $p^\bullet:C(f)^\bullet \to X^\bullet[1]$ ---
морфизмы комплексов. Более того, последовательность
$$
\xymatrix@1{
\dots \ar[r] &
H^{i-1}(C(f)^\bullet) \ar[rr]^-{H^{i-1}(p^\bullet)} &&
H^i(X^\bullet) \ar[r]^-{H^{i}(f^\bullet)} &
H^i(Y^\bullet) \ar[r]^-{H^{i}(i^\bullet)} &
H^{i}(C(f)^\bullet) \ar[rr]^-{H^{i}(p^\bullet)} && 
H^i(X^\bullet) \ar[r] & \dots
}\leqno{(\dagger)}
$$
точна.
\end{lemma}
\begin{proof}
Равенства $d_{C(f)}^{k+1}\circ d_{C(f)}^k = 0$, $d_{C(f)}^k\circ i^k = i^{k+1}\circ d_Y^k$ и $p^{k+1}\circ d_{C(f)}^k = d_{X[1]}^k\circ p^k$
проверяются непосредственно. Кроме того, легко видеть, что $p^\bullet \circ i^\bullet = 0$,
а морфизмы $i^\bullet\circ f^\bullet$ и $f^\bullet[1]\circ p^\bullet$ гомотопны нулю
(гомотопии задаются отображениями $\left(\begin{smallmatrix} 0 \\ \id_{X^k} \end{smallmatrix}\right):X^k \to C(f)^{k-1}$
и $\left(\begin{smallmatrix} \id_{Y^k} & 0 \end{smallmatrix}\right):C(f)^k \to (Y^\bullet[1])^{k-1}$ соответственно),
поэтому последовательность $(\dagger)$ является комплексом. Для доказательства точности 
заметим, что морфизмы $i^\bullet:Y^\bullet \to C(f)^\bullet$ 
и $p^\bullet:C(f)^\bullet \to X^\bullet[1]$ 
образуют точную тройку комплексов
$$
0 \to Y^\bullet \to C(f)^\bullet \to X^\bullet[1] \to 0.
$$
Пользуясь леммой о змее, получаем длинную точную последовательность
когомологий, причем согласно второй части леммы о змее связывающий
гомоморфизм в ней индуцирован морфизмом $f$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Морфизм комплексов $f^\bullet:X^\bullet \to Y^\bullet$ --- квазиизоморфизм $\LRA$ его конус $C(f)$ ацикличен.
\end{corollary}

Всякий объект категории $\CA$ можно рассматривать как комплекс
сосредоточенный в градуировке нуль. 

\begin{exercise}
Покажите, что всякий ограниченный комплекс получается последовательными 
операциями взятиями конуса морфизма и сдвига из объектов категории $\CA$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Определим {\sf цилиндр} морфизма $f$ формулой $\Cyl(f) = C(i[-1]:C(f)[-1] \to X^\bullet)$, или явно 
$$
\Cyl(f)^k = Y^k \oplus X^k \oplus X^{k+1},
\qquad
d_{\Cyl(f)}^k = \left(\begin{smallmatrix} d_Y^k & 0 & f^{k+1} \\ 0 & d_X^k & -\id_{X^{k+1}} \\ 0 & 0 & -d_X^{k+1} \end{smallmatrix}\right).
$$
Покажите, что существует точная последовательность $X^\bullet \stackrel{\bar{f}}\to \Cyl(f) \stackrel{\pi}\to C(f)$ 
и морфизмы $Y^\bullet \stackrel{\alpha}\to \Cyl(f) \stackrel{\beta}\to Y^\bullet$, такие что
$\beta\circ\alpha = \id_{Y^\bullet}$, $\alpha\circ\beta \sim \id_{\Cyl(f)}$, 
$\beta\circ\bar{f} = f$, $\pi\circ\alpha = i$.
%
%Легко построить следующую коммутативную диаграмму комплексов
%$$
%\xymatrix{
%0 \ar[r] & 
%X^\bullet \ar[rrr]^{\left(\begin{smallmatrix} 0 \\ \id_{X^k} \\ 0 \end{smallmatrix}\right)} \ar@{=}[d] &&& 
%\Cyl(f) \ar[rrr]^{\left(\begin{smallmatrix} \id_{Y^k} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \id_{X^{k+1}} \end{smallmatrix}\right)} 
%\ar@<.3ex>[d]^{\left(\begin{smallmatrix} \id_{Y^k} & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)} &&& 
%C(f) \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
%& X^\bullet \ar[rrr]^f &&& Y^\bullet \ar[rrr]^i  \ar@<.3ex>[u]^{\left(\begin{smallmatrix} \id_{Y^k} \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right)} &&& C(f) 
%}
%$$
%такую что композиция морфизмов $Y^\bullet \to \Cyl(f) \to Y^\bullet$ тождественна,
%композиция $\Cyl(f) \to Y^\bullet \to \Cyl(f)$ гомотопна тождественному морфизму,
%а морфизм $H^i(C(f)) \to H^{i+1}(X^\bullet)$, возникающий из леммы о змее, примененной
%к верхней строке, совпадает с гомоморфизмом $H^i(p^\bullet)$.
\end{exercise}


\Section{Резольвенты}

{\sf Резольвентой} объекта $X \in \CA$
называется любой комплекс квазиизоморфный $X$.

Если в категории $\CA$ достаточно много проективных объектов, 
то всякий объект $X \in \CA$ обладает {\sf проективной резольвентой},
сосредоточенной в неположительных степенях:
$$
\dots \to P^{-3} \to P^{-2} \to P^{-1} \to P^0 \to 0.
$$
Мы докажем чуть более общее утверждение.
\begin{lemma}
Пусть $X^\bullet$ --- комплекс ограниченный сверху.
Тогда существует комплекс $P^\bullet$, составленный из проективных объектов 
и квазиизоморфизм $f^\bullet:P^\bullet \to X^\bullet$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Будем строить $P^i$ и $f^i$ последовательно. 
Для таких $k$, что $X^i = 0$ при $i \ge k$, положим $P^k = 0$.
Предположим, что $P^i$ и морфизмы $f^i$ с $i > k$ уже построены,
причем так 
%что $H^i(f^\bullet)$ --- изоморфизм при $i \ge k+2$ и
%эпиморфизм при $i = k+1$. В силу леммы о змее это означает, что
конус построенного морфизма ацикличен в степенях $\ge k+1$.
$$
\xymatrix{
&&
P^k \ar@{..>}[r]^-{d_P^k} \ar@{..>}[d]_{f^k} &
P^{k+1} \ar[r]^-{d_P^{k+1}} \ar[d]^{f^{k+1}} & 
P^{k+2} \ar[r] \ar[d]^{f^{k+2}} & \dots \\
\dots \ar[r] & 
X^{k-1} \ar[r]^-{d_X^{k-1}} & 
X^k \ar[r]^-{d_X^k} & 
X^{k+1} \ar[r]^-{d_X^{k+1}} & 
X^{k+2} \ar[r] & \dots 
}
$$
Пусть $Y = \Ker\left(\left(\begin{smallmatrix} d_X^k & f^{k+1} \\ 0 & -d_P^{k+1} \end{smallmatrix}\right):
X^k \oplus P^{k+1} \to X^{k+1}\oplus P^{k+2}\right)$.
Выберем проективную накрывающую $P^k \to Y$ и пусть композиция $P^k \to Y \to X^k \oplus P^{k+1}$
задается морфизмами $f^k:P^k \to X^k$ и $-d_P^k:P^k \to P^{k+1}$.
Тогда 
$\left(\begin{smallmatrix} d_X^k & f^{k+1} \\ 0 & -d_P^{k+1} \end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix} f^k \\ -d_P^k \end{smallmatrix}\right) = 
\left(\begin{smallmatrix} d_X^k f^k - f^{k+1} d_P^k \\ d_P^{k+1} d_P^k \end{smallmatrix}\right)$,
откуда следуют равенства $d_X^k f^k = f^{k+1} d_P^k$ и $d_P^{k+1} d_P^k = 0$. 
Значит морфизмы $f^k$ и $d_P^k$ определяют морфизм комплексов, причем такой, что
его конус ацикличен также и в степени $k$.
%
%
%Заметим, что тройка
%$P^k \to X^k \oplus \Ker d_P^{k+1} \to \Ker d_X^{k+1} \to 0$, соответствующая квадрату
%$$
%\xymatrix{
%P^k \ar[r]^-{d_P^k} \ar[d]_{f^k} & \Ker d_P^{k+1} \ar[d]^{f^{k+1}} \\
%X^k \ar[r]^-{d_X^k} & \Ker d_X^{k+1}
%}
%$$
%точна в третьем члене, так как отображение $\Ker d_P^{k+1} \to \Coker(X^k \to  \Ker d_X^{k+1}) = H^{k+1}(X^\bullet)$ ---
%эпиморфизм по условию, и точна в среднем члене по построению $P^k$ (так как морфизм
%$X^k \oplus $
%кодекартов 
%
\end{proof}


\begin{exercise}
Покажите, что если $P^\bullet$ --- проективная резольвента объекта $X$,
то существует морфизм $\epsilon:P_0 \to X$, такой что комплекс
$\dots \to P^{-3} \to P^{-2} \to P^{-1} \to P^0 \stackrel{\epsilon}\to X \to 0$
ацикличен.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $P^\bullet$ --- проективная резольвента для $X$, а 
$Q^\bullet$ --- проективная резольвента для~$Y$.
Тогда для любого морфизма $f:X \to Y$ существует единственный
с точностью до гомотопии морфизм комплексов $f^\bullet:P^\bullet \to Q^\bullet$,
такой что $H^0(f^\bullet) = f$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Построим последовательно морфизмы $f^i:P^i \to Q^i$, начиная с $f^0$.
Обозначим $P^1 = X$, $d_P^0 = \epsilon_X$, $Q^1 = Y$, $d_Q^0 = \epsilon_Y$, $f^1 = f$
и предположим, что морфизмы $f^i$ с $i > k$ уже построены.
$$
\xymatrix{
\dots \ar[r] & 
P^{k-1} \ar[r]^-{d_P^{k-1}} & 
P^k \ar[r]^-{d_P^k} \ar@{..>}[d]_{f^k} \ar[dr]^{\phi^k} & 
P^{k+1} \ar[r]^-{d_P^{k+1}} \ar[d]^{f^{k+1}} & 
P^{k+2} \ar[r] \ar[d]^{f^{k+2}} & \dots \\
\dots \ar[r] & 
Q^{k-1} \ar[r]^-{d_Q^{k-1}} & 
Q^k \ar[r]^-{d_Q^k} & 
Q^{k+1} \ar[r]^-{d_Q^{k+1}} & 
Q^{k+2} \ar[r] & \dots 
}
$$
Рассмотрим морфизм $\phi^k = f^{k+1}\circ d_P^k$. Заметим, что
$d_Q^{k+1}\circ\phi^k = d_Q^{k+1}\circ f^{k+1}\circ d_P^k = f^{k+2}\circ d_P^{k+1}\circ d_P^k = 0$.
Но так как комплекс $Q^\bullet$ точен, это значит что $\Im\phi^k \subset \Ker d_Q^{k+1} = \Im d_Q^k$.
Так как морфизм $Q^k \to \Im d_Q^k$ сюръективен, а $P^k$ проективен, найдется морфизм $f^k:P^k \to Q^k$,
такой что $\phi^k = d_Q^k\circ f^k$. Повторяя эту процедуру строим $f^\bullet$.

Пусть теперь $f^\bullet$ и $g^\bullet$ --- два морфизма, такие что $H^0(f^\bullet) = H^0(g^\bullet)$. 
Будем строить $h^i$ последовательно, начиная с $h^0$. Обозначим $Q^1 = Y$, $d_Q^0 = \epsilon_Y$ 
и предположим, что морфизмы $h^i$ с $i > k$ уже построены.
$$
\xymatrix{
\dots \ar[rr] && 
P^{k-1} \ar[rr]^-{d_P^{k-1}} && 
P^k \ar[rr]^-{d_P^k} \ar@{..>}[dll]_{h^k} \ar@<-.3ex>[d]_{g^k} \ar@<.3ex>[d]^{f^k} && 
P^{k+1} \ar[rr]^-{d_P^{k+1}} \ar[dll]_{h^{k+1}} \ar@<-.3ex>[d]_{g^{k+1}} \ar@<.3ex>[d]^{f^{k+1}} && 
P^{k+2} \ar[rr] \ar[dll]_{h^{k+2}} \ar@<-.3ex>[d]_{g^{k+2}} \ar@<.3ex>[d]^{f^{k+2}} && \dots \\
\dots \ar[rr] && 
Q^{k-1} \ar[rr]_-{d_Q^{k-1}} && 
Q^k \ar[rr]_-{d_Q^k} && 
Q^{k+1} \ar[rr]_-{d_Q^{k+1}} && 
Q^{k+2} \ar[rr] && \dots 
}
$$
Заметим, что 
$d_Q^k\circ(f^k - g^k - h^{k+1}\circ d_P^k) =
(f^{k+1} - g^{k+1} - d_Q^k\circ h^{k+1})\circ d_P^k =
h^{k+2}\circ d_P^{k+1}\circ d_P^k = 0$.
Но так как комплекс $Q^\bullet$ точен, это значит что $\Im(f^k - g^k - h^{k+1}\circ d_P^k) \subset \Ker d_Q^k = \Im d_Q^{k-1}$.
Так как морфизм $Q^k \to \Im d_Q^k$ сюръективен, а $P^k$ проективен, найдется морфизм $h^k:P^k \to Q^k$,
такой что $f^k - g^k - h^{k+1}\circ d_P^k = d_Q^{k-1}\circ h^k$. Повторяя эту процедуру строим $h^\bullet$.
\end{proof}

Заметим, что в доказательстве нигде не использовалась проективность $Q^i$ и точность комплекса $P^\bullet$.
Поэтому ровно то же рассуждение доказывает, следующую лемму.

\begin{corollary}
Всякий морфизм из ограниченного сверху комплекса состоящего из проективных объектов 
в ацикличный комплекс гомотопен нулю.
\end{corollary}

Аналогичные результаты верны для инъективных резольвент, если в категории достаточно много инъективных объектов.

\begin{lemma}
Пусть $X^\bullet$ --- комплекс ограниченный снизу.
Тогда существует комплекс $I^\bullet$, составленный из инъективных объектов 
и квазиизоморфизм $f^\bullet:X^\bullet \to I^\bullet$.
В частности, всякий объект $X \in \CA$ обладает {\sf инъективной резольвентой},
сосредоточенной в неотрицательных степенях:
$$
0 \to I^0 \to I^1 \to I^2 \to I^3 \to \dots
$$
Если $I^\bullet$ --- инъективная резольвента для объекта $X$, а 
$J^\bullet$ --- инъективная резольвента для~$Y$,
то для любого морфизма $f:X \to Y$ существует единственный
с точностью до гомотопии морфизм комплексов $f^\bullet:I^\bullet \to J^\bullet$,
такой что $H^0(f^\bullet) = f$.
Всякий морфизм из ацикличного комплекса в ограниченный снизу комплекс 
состоящий из инъективных объектов гомотопен нулю.
\end{lemma}

\Section{Построение производных функторов}

\begin{theorem}
Пусть функтор $F:\CA \to \CB$ точен справа, а в категории $\CA$ достаточно много
проективных объектов. Для всякого объекта $X \in \CA$ выберем произвольную проективную 
резольвенту $P^\bullet \cong X$ и положим $L_iF(X) = H^{-i}(F(P^\bullet))$. 
Тогда $L_iF$ --- производные функторы функтора $F$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Во-первых, докажем функториальность. Пусть $P^\bullet \cong X$ и $Q^\bullet \cong Y$ --- 
проективные резольвенты, а $f:X \to Y$ --- произвольный морфизм.
Пусть $f^\bullet:P^\bullet \to Q^\bullet$ --- произвольный морфизм резольвент,
такой что $H^0(f^\bullet) = f$. Положим $L_iF(f) = H^{-i}(F(f^\bullet))$.
Надо проверить, что данное определение не зависит от выбора $f^\bullet$.
Но как мы знаем, разные $f^\bullet$ гомотопны, поэтому разные $F(f^\bullet)$
тоже гомотопны, а значит отображения на когомологиях одинаковы.

Кроме того, надо проверить, что определение $L_iF(X)$ не зависит от выбора резольвенты.
В самом деле, если $Q^\bullet \to X$ --- другая резольвента, то отображение $\id_X:X \to X$
дает морфизмы $f^\bullet:P^\bullet \to Q^\bullet$ и $g^\bullet:Q^\bullet \to P^\bullet$,
причем композиции $g^\bullet\circ f^\bullet:P^\bullet \to P^\bullet$ и 
$f^\bullet\circ g^\bullet:Q^\bullet \to Q^\bullet$ гомотопны тождественным. 
Применяя функтор $F$ заключаем, что комплексы $F(P^\bullet)$ и $F(Q^\bullet)$ гомотопны,
а значит имеют одинаковые когомологии.

Теперь надо построить связывающие гомоморфизмы $\delta$. 
Пусть $0 \to X \stackrel{f}\to Y \stackrel{g}\to Z \to 0$ ---
точная тройка в $\CA$. Выберем проективные резольвенты $P^\bullet \cong X$
и $Q^\bullet \cong Y$ и продолжим $f$ до морфизма резольвент $f^\bullet:P^\bullet \to Q^\bullet$.
Пусть $R^\bullet = C(f)$. Из леммы~\ref{hcone} получаем, что $P^\bullet \cong Z$.
При этом все $R^k = Q^k \oplus P^{k+1}$ проективны, так что $R^\bullet$ --- проективная 
резольвента для объекта $Z$.
Применяя к тругольнику $P^\bullet \to Q^\bullet \to R^\bullet \to P^\bullet[1]$
функтор $F$ получаем тройку комплексов $F(P^\bullet) \to F(Q^\bullet) \to F(R^\bullet) \to F(P^\bullet[1])$.
Заметим, что в силу аддитивности $F$ имеем 
$$
F(R^\bullet) = F(C(f)) \cong C(F(f)),
\qquad
F(P^\bullet[1]) = F(P^\bullet)[1].
$$
Применяя к этому треугольнику лемму~\ref{hcone}, получаем длинную точную последовательность
$$
\dots \to L_2F(Z) \stackrel{\delta_1}\to
L_1F(X) \to L_1F(Y) \to L_1F(Z) \stackrel{\delta_0}\to
L_0F(X) \to L_0F(Y) \to L_0F(Z) \to 0
$$

Теперь проверим функториальность связывающих гомоморфизмов. Рассмотрим морфизм
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X \ar[r]^{f} \ar[d]^\xi & Y \ar[r]^{g} \ar[d]^\eta & Z \ar[r] \ar[d]^\zeta & 0 \\
0 \ar[r] & X_1 \ar[r]^{f_1} & Y_1 \ar[r]^{g_1} & Z_1 \ar[r] & 0
}
$$
точных троек. Пусть $P^\bullet \cong X$, $Q^\bullet \cong Y$, $P_1^\bullet \cong X_1$, $Q_1^\bullet \cong Y_1$ ---
проективные резольвенты, а $f^\bullet:P^\bullet \to Q^\bullet$ и $f_1^\bullet:P_1^\bullet \to Q_1^\bullet$ ---
продолжения $f$ и $f_1$. Пусть также $\xi^\bullet:P^\bullet \to P_1^\bullet$ и $\eta^\bullet:Q^\bullet \to Q_1^\bullet$ ---
продолжения $\xi$ и $\eta$. Тогда $f_1^\bullet\circ\xi^\bullet \sim \eta^\bullet\circ f^\bullet$.
Пусть $h^k:P^k \to Q_1^{k-1}$ --- гомотопия, такая что
$$
\eta^k\circ f^k - f_1^k\circ\xi^k = d_{Q_1}^{k-1}\circ h^k + h^{k+1}\circ d_P^k.
$$
Определим отображение $\gamma_k:R^k = Q^k \oplus P^{k+1} \to R_1^k = Q_1^k \oplus P_1^{k+1}$ формулой
$\left(\begin{smallmatrix} \eta^k & h^{k+1} \\ 0 & \xi^k \end{smallmatrix}\right)$.
Легко проверить, что $\gamma^k$ --- морфизм комплексов, такой что в диаграмме
$$
\xymatrix{
P^\bullet \ar[r]^{f^\bullet} \ar[d]^{\xi^\bullet} & 
Q^\bullet \ar[r]^{i} \ar[d]^{\eta^\bullet} & 
R^\bullet \ar[r]^p \ar[d]^{\gamma^\bullet} & 
P^\bullet[1] \ar[d]^{\xi^\bullet[1]}  \\
P_1^\bullet \ar[r]^{f_1^\bullet} & Q_1^\bullet \ar[r]^{i_1} & R_1^\bullet \ar[r]^{p_1} & P_1^\bullet
}
$$
первый квадрат гомотопически коммутативен, а два другие квадрата коммутативны.
Рассматривая индуцированный морфизм на когомологиях, и пользуясь тем,
что $\xi^\bullet$ и $\eta^\bullet$ индуцируют морфизмы $\xi:X \to X_1$ и $\eta:Y \to Y_1$,
легко видеть, что $\gamma^\bullet$ индуцирует морфизм $\zeta:Z \to Z_1$.
Следовательно, $H^{-i}(F(\xi^\bullet)) = L_iF(\xi)$, $H^{-i}(F(\eta^\bullet)) = L_iF(\eta)$, 
и $H^{-i}(F(\gamma^\bullet)) = L_iF(\zeta)$. Остается заметить, что морфизмы $\delta_k$
индуцированы морфизмами $p$ и $p_1$ соответственно, поэтому из коммутативности правого 
квадрата следует их функториальность.

Таким образом, мы показали, что $L_iF$ определенные выше являются $\delta$-функтором.
Остается проверить его универсальность. Для этого нам понадобится следующие свойства.

\begin{lemma}
Если объект $P$ проективен, то $L_0F(P) \cong P$, $L_iF(P) = 0$ при $i > 0$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Если $P$ проективен, то в качестве проективной резольвенты мы можем взять
комплекс $P^\bullet$ с $P^0 = P$, $P^i = 0$ при $i \ne 0$. Применяя функтор $F$
получим комплекс с единственным членом $F(P)$ в степени $0$, а его когомологии,
очевидно, имеют указанный вид.
\end{proof}

\begin{lemma}
Для любого $X$ имеем изоморфизм функторов $L_0F(X) \cong F(X)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем для $X$ проективную резольвенту $P^\bullet \cong X$. 
Она дает точную справа тройку $P^{-1} \to P^0 \to X \to 0$.
Применяя $F$ получаем последовательность $F(P^{-1}) \to F(P^0) \to F(X) \to 0$,
которая также точна справа (так как $F$ точен справа). Отсюда 
$H^0(F(P^\bullet)) = \Coker(F(P^{-1}) \to F(P^0)) \cong F(X)$.
Функториальность изоморфизма легко проверяется.
\end{proof}

Левый (правый) $\delta$-функтор $(E_\bullet,\delta_\bullet)$ называется {\sf стирающим},
если для всякого $i > 0$ и всякого $X$ найдется сюръекция $Y \to X$ (инъекция $X \to Y$), такая что $E_i(Y) = 0$.
Заметим, что $L_\bullet F$ является стирающим в силу предыдущей леммы (в качестве $Y$ можно взять
проективную накрывающую), причем $L_0F \cong F$. Поэтому остается воспользоваться следующим результатом.
\end{proof}

\begin{theorem}
Пусть $(E_i,\delta_i)$ --- стирающий $\delta$-функтор с $E_0 \cong F$.
Тогда он универсален.
\end{theorem}
\begin{proof}
Пусть $(T_i,\delta_i)$ --- произвольный $\delta$-функтор,
а $f_0:T_0 \to E_0$ --- морфизм функторов. 
%Компонируя его с изоморфизмом
%$L_0F \cong F$ получаем морфизм функторов $T_0 \to L_0F$, который мы обозначим $f_0$.
Предположим, что $f_i:T_i \to E_i$ при $i < k$ уже построены. Построим $f_k:T_k \to E_k$.
Пусть $X$ --- произвольный объект, а $Y \to X$ --- сюръекция, такая что $E_k(Y) = 0$. 
Положим $X' = \Ker(Y \to X)$ и рассмотрим точную тройку
$$
0 \to X' \to Y \to X \to 0.
$$
Получим коммутативную диаграмму с точными строками
$$
\vcenter{\xymatrix{
\dots \ar[r] & T_k(Y) \ar[r] & T_k(X) \ar[r]^{\delta_{k-1}} \ar@{-->}[d] & 
T_{k-1}(X') \ar[r] \ar[d]_{f_{{k-1},X'}} & T_{k-1}(Y) \ar[d]_{f_{{k-1},Y}} \\
% \ar[r] & T_0(X) \ar[r] \ar[d]_{f_{0X}} & 0 \\
\dots \ar[r] & E_k(Y) \ar[r] & E_k(X) \ar[r]^{\delta_{k-1}} & E_{k-1}(X') \ar[r] & E_{k-1}(Y)
% \ar[r] & E_0(X) \ar[r] & 0
}}\leqno{(\ddagger)}
$$
Но $E_k(Y) = 0$, поэтому $E_k(X) = \Ker(E_{k-1}(X') \to E_{k-1}(Y))$,
следовательно морфизм $T_k(X) \to T_{k-1}(X') \to E_{k-1}(X')$ пропускается через $E_k(X)$,
то есть существует единственная пунктирная стрелка, делающая диаграмму коммутативной.
Обозначим ее $f_{kX}$. 

Осталось проверить, что построенный морфизм не зависит от выбора накрывающей $Y$
и что $f_k$ и $f_{k-1}$ коммутируют с $\delta_{k-1}$.
Для этого рассмотрим коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & X'_1 \ar[r] \ar[d]_{\phi'} & Y_1 \ar[r] \ar[d] & X_1 \ar[r] \ar[d]^\phi & 0 \\
0 \ar[r] & X'_2 \ar[r] & Y_2 \ar[r] & X_2 \ar[r] & 0
}\leqno{(\star)}
$$
в которой $E_k(Y_1) = 0$. Она дает кубическую диаграмму
$$
\xymatrix@!=5ex{
T_k(X_1) \ar[rr]^\delta \ar[dd]_{f_{kX_1}} \ar[dr]^{T_k(\phi)} && T_{k-1}(X'_1) \ar@{->}'[d][dd]_{f_{k-1,X'_1}} \ar[dr]^{T_{k-1}(\phi')} \\
& T_k(X_2) \ar[rr]^(.4)\delta \ar[dd]_(.3){f_{kX_2}} && T_{k-1}(X'_2) \ar[dd]^{f_{k-1,X'_2}} \\
%
E_k(X_1) \ar@{->}'[r][rr]_(.3)\delta \ar[dr]_{E_k(\phi)} && E_{k-1}(X'_1) \ar[dr]_{E_{k-1}(\phi')} \\
& E_k(X_2) \ar[rr]_\delta && E_{k-1}(X'_2) 
}
$$
Заметим, что все грани кроме левой и передней коммутативны (верхняя и нижняя --- так как
$T_\bullet$ и $E_\bullet$ --- $\delta$-функторы, правая ---
в силу функториальности $f_{k-1}$, а задняя --- по определению $f_k$).

Если теперь $E_k(Y_2) = 0$, то передняя грань тоже коммутативна.
Отсюда следует, что
\begin{multline*}
\delta\circ f_{kX_2}\circ T_k(\phi) =
f_{k-1,X'_2}\circ \delta\circ T_k(\phi) =
f_{k-1,X'_2}\circ T_{k-1}(\phi')\circ \delta = \\ =
E_{k-1}(\phi')\circ f_{k-1,X'_1}\circ \delta =
E_{k-1}(\phi')\circ \delta\circ f_{kX_1}=
\delta\circ E_{k}(\phi)\circ f_{kX_1}.
\end{multline*}
Но так как $E_k(Y_2) = 0$ морфизм $\delta:E_k(X_2) \to E_{k-1}(X'_2)$ инъективен,
значит $f_{kX_2}\circ T_k(\phi) = E_{k}(\phi)\circ f_{kX_1}$, то есть левая грань коммутативна.
Значит построенный таким образом морфизм $f_k:T_k \to E_k$ является морфизмом функторов.

Чтобы проверить корректность определения $f_{kX}$ рассмотрим предыдущую ситуацию с $X_1 = X_2 = X$
и $\phi = \id_X$ и $E_k(Y_1) = E_k(Y_2) = 0$. Так как $T_k(\phi) = \id_{T_k(X)}$,  $E_k(\phi) = \id_{E_k(X)}$,
из коммутативности левой грани следует совпадение морфизмов $f_{kX}:T_k(X) \to E_k(X)$, 
построенных по $Y_1$ и $Y_2$. Остается заметить, что для любых накрывающих $Y_1 \to X$ и $Y_2 \to X$, 
таких что $E_k(Y_1) = E_k(Y_2) = 0$, найдется накрывающая $Y \to X$, такая что
$E_k(Y) = 0$ и морфизмы $Y_1,Y_2 \to X$ пропускаются через $Y$ (достаточно взять $Y = Y_1 \oplus Y_2$).
Из предыдущего рассуждения видно, что морфизмы $T_k(X) \to E_k(X)$, построенных по $Y_1$ и $Y_2$,
совпадают с морфизмом, построенным по $Y$, а значит и между собой.
В частности, в кубической диаграмме левая грань всегда коммутативна.

Рассмотрим теперь коммутативную диаграмму $(\star)$ для $X_1 = X_2 = X$, $\phi = \id_X$
и $E_k(Y_1) = 0$, и соответствующую ей кубическую диаграмму.
Как было показано выше в ней верхняя, нижняя, правая и задняя грани коммутативны,
а левая грань тоже коммутативна в силу функториальности $f_k$.
Но тогда легко видеть, что передняя грань тоже коммутативна,
что и дает согласованность $f_\bullet$ и $\delta_\bullet$.
\end{proof}

Аналогично доказывается

\begin{theorem}
Пусть функтор $F:\CA \to \CB$ точен слева, а в категории $\CA$ достаточно много
инъективных объектов. Для всякого объекта $X \in \CA$ выберем произвольную инъективную 
резольвенту $I^\bullet \cong X$ и положим $R^iF(X) = H^{i}(F(I^\bullet))$. 
Тогда $R^\bullet F$ --- стирающий $\delta$-функтор с $R^0F \cong F$.
В частности $R^\bullet F$ --- правый производный функтор функтора $F$.
Если $X$ инъективен, то $R^iF(X) = 0$ при $i > 0$.
\end{theorem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\Name{Примеры производных функторов}{Гомологическая алгебра 5}{15.10.2008}

\Section{Функторы $\Ext$}

Важнейшим примеров производных функторов являются производные функторы от функтора $\Hom$.
Поскольку это функтор от двух аргументов, есть выбор --- по какому аргументу рассматривать
производный функтор. Оказывается, что ответ получается одинаковым в обоих случаях, но так как
априори это не очевидно, обозначим
$$
\Ext_1^i(X,Y) = (R^i\Hom(-,Y))(X),
\qquad
\Ext_2^i(X,Y) = (R^i\Hom(X,-))(Y).
$$
Заметим, что $\Hom(X,-):\CA \to \Ab$ --- точный слева функтор, поэтому для
его вычисления надо объект $Y$ заменять на его инъективную резольвенту в $\CA$.
С другой стороны, $\Hom(-,Y):\CA^\opp \to \Ab$ --- точный слева функтор, поэтому для
его вычисления надо объект $X$ заменять на его инъективную резольвенту в $\CA^\opp$,
то есть на проективную резольвенту в $\CA$.

Для доказательства того, что $\Ext_1^k(X,Y) \cong \Ext_2^k(X,Y)$ рассмотрим третье определение,
принадлежащее Ионеде. Рассмотрим множество $E^k(X,Y)$ всех точных последовательностей вида
$$
0 \to Y \to Z_k \to Z_{k-1} \to \dots \to Z_2 \to Z_1 \to X \to 0.
$$
Две таких точных последовательности $Z_\bullet$ и $Z'_\bullet$
называются {\sf элементарно эквивалентными}, если существует коммутативная диаграмма
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & Y \ar[r] \ar@{=}[d] & Z_k \ar[r] \ar[d] & Z_{k-1} \ar[r] \ar[d] & \dots \ar[r] & Z_2 \ar[r] \ar[d] & Z_1 \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & Y \ar[r] & Z'_k \ar[r] & Z'_{k-1} \ar[r] & \dots \ar[r] & Z'_2 \ar[r] & Z'_1 \ar[r] & X \ar[r] & 0
}
$$
Далее, две таких точных последовательности $Z_\bullet$ и $W_\bullet$
называются {\sf эквивалентными}, если существует последовательность
элементарных эквивалентностей $Z_\bullet \sim Z'_\bullet \sim \dots \sim Z^{(n)}_\bullet \sim W_\bullet$
(в которой направление морфизмов может меняться!).
При $k \ge 1$ определим $\Ext_I^k(X,Y)$ как фактор $E^k(X,Y)$ по этому отношению эквивалентности,
а при $k = 0$ положим $\Ext_I^0(X,Y) = \Hom(X,Y)$.

\begin{lemma}
$\Ext_I^k(X,Y)$ --- бифунктор, ковариантный по $Y$ и контравариантный по $X$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим класс в $\Ext_I^k(X,Y)$, представленный последовательностью $Z_\bullet$ и пусть $X' \to X$ --- морфизм.\
Пусть $Z'_1 = \Ker(Z_1 \oplus X' \to X)$ --- корасслоенное произведение $Z_1$ и $X'$ над $X$,
и $Z'_i = Z_i$ при $2 \le i \le k$. Легко видеть, что $Z'_\bullet$ задает некоторый класс в $E^k(X',Y)$,
причем при замене $Z_\bullet$ на элементарно эквивалентную последовательность, $Z'_\bullet$
тоже заменяется на элементарно эквивалентную. Поэтому получаем корректно определенное отображение
$f^*:\Ext_I^k(X,Y) \to \Ext_I^k(X',Y)$, причем легко проверить, что для любого морфизма $g:X'' \to X'$
выполнено $(f\circ g)^* = g^*\circ f^*$, так что $\Ext_I^k(X,Y)$ функториален по первому аргументу.
Функториальность по второму аргументу доказывается аналогично.
\end{proof}

\begin{theorem}
Существуют изоморфизмы функторов $\Ext_1^k(X,Y) \cong \Ext_I^k(X,Y) \cong \Ext_2^k(X,Y)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Построим, например, первый изоморфизм.
Для этого проверим, что $\Ext_I^\bullet$ является стирающим $\delta$-функтором по первому аргументу.
Вначале покажем, что если $P$ проективен, то $\Ext_I^i(P,Y) = 0$ для всех $Y$ и $i \ge 1$.
В самом деле, так как всякая сюръекция $Z_1 \to P$ изоморфна проекции $Z_1 =Z'_1 \oplus P \to P$,
всякий элемент из $E^i(P,Y)$ эквивалентен элементу, имеющему вид $0 \to Y \to Y\oplus P \to P \to 0$,
если $i = 1$ и $0 \to Y \to Y \to 0 \to \dots \to 0 \to P \to P \to 0$, если $i \ge 2$,
который мы и будем считать нулем.

Теперь построим морфизмы $\delta$. Пусть $0 \to X' \stackrel{f}\to X \stackrel{g}\to X'' \to 0$ --- точная тройка,
а последовательность $Z'_\bullet$ задает элемент из $E^{k-1}(X',Y)$. Положим $Z''_1 = X$,
а $Z''_{i+1} = Z'_i$ при $1 \le i \le k-1$. Тогда $Z''_\bullet \in E^k(X'',Y)$.
Получаем отображение $E^{k-1}(X',Y) \to E^k(X'',Y)$. Оно очевидно согласовано с
нашим отношением эквивалентности, поэтому индуцирует отображение
$\delta^{k-1}:\Ext_I^{k-1}(X',Y) \to \Ext_I^k(X'',Y) $.
\begin{exercise}
Покажите, что построенное отображение $\delta$ функториально относительно морфизмов точных последовательностей.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Покажите, что последовательность
$$
\dots \to \Ext_I^{k-1}(X,Y) \stackrel{f^*}\to \Ext_I^{k-1}(X',Y) \stackrel{\delta^{k-1}}\to \Ext_I^k(X'',Y) \stackrel{g^*}\to \Ext_I^k(X,Y) \to \dots
$$
точна.
\end{exercise}

Таким образом, $\Ext_I^\bullet$ является стирающим $\delta$-функтором по первому аргументу.
Применяя теорему из предыдущей лекции, получаем $\Ext_1^k(X,Y) \cong \Ext_I^k(X,Y)$.
Аналогично строится второй изоморфизм.
\end{proof}

\begin{corollary}
Функторы $\Ext_I^k$ аддитивны.
\end{corollary}

\begin{exercise}
Опишите операцию сложения на $\Ext^k_I(X,Y)$ в терминах точных последовательностей.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $P^\bullet \cong X$ --- проективная резольвента и $f:P^k \to Y$ --- морфизм,
представляющий класс в $\Ext_1^k(X,Y)$. Постройте по нему элемент в $E^k(X,Y)$,
представляющий его образ в $\Ext_I^k(X,Y)$.
\end{exercise}

Так как $\Ext_1^k$ канонически изоморфно $\Ext^2_k$, мы не будем их различать, и будем писать просто $\Ext^k$.

\begin{exercise}
Покажите, что в категории $\Ab$ выполнено $\Ext^i(X,Y) = 0$ при $i \ge 2$.
Вычислите $\Ext^i(X,Y)$ для $X,Y = \ZZ$, $\ZZ/n\ZZ$, $\QQ$, $\QQ/\ZZ$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ --- точная тройка. Покажите, что\\
(a) морфизм $X' \to Y$ продолжается до морфизма $X \to Y$ $\LRA$ его образ в $\Ext^1(X'',Y)$ равен нулю;\\
(b) морфизм $Y \to X''$ поднимается до морфизма $Y \to X$ $\LRA$ его образ в $\Ext^1(Y,X')$ равен нулю.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) объект $P$ проективен $\LRA$ $\Ext^1(P,Y) = 0$ для всех $Y$;
(b) объект $I$ инъективен $\LRA$ $\Ext^1(X,I) = 0$ для всех $X$.
\end{exercise}

\Section{Функторы $\Tor$}

Рассмотрим категории $R\lmod$ и $\rmod R$ левых и правых модулей над кольцом $R$
и функтор тензорного произведения над $R$: $\otimes_R:(\rmod R)\times (R\lmod) \to \Ab$, $(M,N) \mapsto M\otimes_R N$.

\begin{lemma}
Функтор тензорного произведения точен справа по каждому из аргументов.
\end{lemma}
\begin{proof}
По определению тензорного произведения имеем
$\Hom(M\otimes_R N,L) \cong \Hom_R(N,\Hom(M,L))$, значит
функтор $M\otimes_R -:R\lmod \to \Ab$ сопряжен слева к функтору $\Hom(M,-):\Ab \to R\lmod$.
Но левый сопряженный функтор всегда точен справа. Значит тензорное произведение точно по второму аргументу.
Точность по первому аргументу доказывается аналогино.
%
%Тензорное произведение $M\otimes_R N$ по определению копредставляет функтор $L \mapsto \Bilin_R(M\times N,L)$
%(множество всех $R$-билинейных отображений), поэтому надо проверить, что для всякой точной тройки
%$0 \to N_1 \stackrel{f}\to N \stackrel{g}\to N_2 \to 0$ в $R\lmod$ и для всех $M \in \rmod R$, $L \in \Ab$ последовательность
%$$
%0 \to \Bilin_R(M\times N_2,L) \stackrel{g^*}\to \Bilin_R(M\times N,L) \stackrel{f^*}\to \Bilin_R(M\times N_1,L)
%$$
%точна слева. Точность в первом члене очевидна --- если $\phi:M\times N_2 \to L$ ---
%ненулевое $R$-билинейное отображение, значит $\phi(m,n_2) \ne 0$ для каких-то $m \in M$, $n_2 \in N_2$.
%Но $g:N \to N_2$ сюръективно, значит найдется $n \in N$, так что $n_2 = g(n)$. Тогда $g^*\phi:M\times N \to L$
%нетривиально, так как $g^*\phi(m,n) = \phi(m,g(n)) \ne 0$.
%
%Пусть теперь $\phi:M\times N \to L$ и $f^*\phi = 0$. Значит $\phi$ зануляется на $M\times N_1 \subset M\times N$.
%Ясно, что тогда $\phi$ пропускается через $M\times N_2$, то есть $\phi = g^*\phi'$ для некоторого
%$\phi':M\times N_2 \to L$.
\end{proof}

Аналогично случаю с функтором $\Hom$ мы можем рассмотреть левые производные функторы
по первому и по второму аргументу. Опять же, априори их связь не очевидна, поэтому обозначим пока
$$
\Tor^1_i(X,Y) = R^i(- \otimes_R Y)(X),
\qquad
\Tor^2_i(X,Y) = R^i(X \otimes_R -)(Y).
$$
Так как $\otimes_R$ --- точный справа функтор, для вычисления функторов $\Tor$ надо объекты $X$ и $Y$
заменять на проективную резольвенту. Рассмотрим функтор $\Tor^1_i(X,Y)$ как функтор от $Y$.

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) если $P$ проективен, то $\Tor^1_i(X,P) = 0$, а функтор $- \otimes_R P$ --- точен;\\
(b) если $P^\bullet$ --- проективная резольвента для $X$, а $0 \to Y_1 \to Y_2 \to Y_3 \to 0$ --- точная последовательность,
то $0 \to P^\bullet\otimes Y_1 \to P^\bullet\otimes Y_2 \to P^\bullet\otimes Y_3 \to 0$ --- точная последовательность комплексов;\\
(c) $\Tor^1_\bullet(X,-)$ --- стирающий $\delta$-функтор по второму аргументу.
\end{exercise}

Из упражнения следует, что $\Tor^1_i(X,Y) \cong \Tor^2_i(X,Y)$,
так что мы не будем их различать, а будем писать просто $\Tor_i(X,Y)$.

\begin{exercise}
Покажите, что в категории $\Ab$ выполнено $\Tor_i(X,Y) = 0$ при $i \ge 2$.
Вычислите $\Tor_i(X,Y)$ для $X,Y = \ZZ$, $\ZZ/n\ZZ$, $\QQ$, $\QQ/\ZZ$.
\end{exercise}


\Section{Когомологии групп}

Пусть $G$ --- конечная группа, а $G\lmod$ --- категория модулей над групповым кольцом $\ZZ[G]$
(= категория абелевых групп с линейным действием группы $G$ = категория аддитивных
функторов из $*_G$ в $\Ab$). Ясно, что в этой категории достаточно проективных
и инъективных объектов.

Рассмотрим функторы {\sf инвариантов} и {\sf коинвариантов} $G\lmod \to \Ab$,
$$
M \mapsto M^G := \{ m\in M\ |\ gm = m\ \forall g \in G \},
\qquad
M \mapsto M^G := M / \langle m - gm \rangle_{m\in M,\ g\in G}.
$$
Легко видеть, что функтор инвариантов точен слева, а коинвариантов --- справа.
Их производные функторы называеются {\sf когомологиями} и {\sf гомологиями} группы $G$
с коэффициентами в $G$-модуле $M$ соответственно
$$
H^i(G,M) = R^i(-^G)(M),\qquad
H_i(G,M) = L_i(-_G)(M).
$$

\begin{exercise}
Покажите, что $H^i(G,M) \cong \Ext^i(\ZZ,M)$, $H_i(G,M) = \Tor_i(\ZZ,M)$,
где $\ZZ$ --- тривиальный $G$-модуль.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что если $G$ --- циклическая группа, то
$H^{i+2}(G,M) \cong H^i(G,M)$, $H_{i+2}(G,M) \cong H_i(G,M)$ при $i \ge 1$
(постройте для $\ZZ$ периодическую проективную резольвенту).
\end{exercise}



\Section{Ацикличные резольвенты}

Пусть функтор $F:\CA \to \CB$ точен справа.
Объект $Y$ называется {\sf $F$-ацикличным}, если $L_iF(Y) = 0$ для $i > 0$.
Аналогично, объект $Y$ называется {\sf $F$-ацикличным} для точного слева функтора $F$,
если $R^iF(Y) = 0$ для $i > 0$.

\begin{exercise}
Покажите, что для точного справа функтора $F$ все проективные объекты $F$-ацикличны,
а для точного слева функтора $F$ все инъективные объекты $F$-ацикличны.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Если $F$ точен справа, то ядро эпиморфизма $F$-ацикличных объектов $F$-ациклично.
\end{lemma}
\begin{proof}
Следует из длинной точной последовательности производных функторов.
\end{proof}

\begin{lemma}
Если $F$ точен справа, а $Y^\bullet$ --- ограниченный сверху ацикличный комплекс,
сотоящий из $F$-ацикличных объектов, то комплекс $F(Y^\bullet)$-ацикличен.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $Z^i = \Ker (d^i:Y^i \to Y^{i+1})$.
Тогда морфизм $d^i$ раскладывается в композицию $Y^i \twoheadrightarrow Z^{i+1} \hookrightarrow Y^{i+1}$,
причем каждая из последовательностей $0 \to Z^i \to Y^i \to Z^{i+1} \to 0$ точна.
Убывающей индукцией по $i$ легко проверить, что все $Z^i$ являются $F$-ацикличными.
Поэтому для каждого $i$ последовательность $0 \to F(Z^i) \to F(Y^i) \to F(Z^{i+1}) \to 0$ точна.
Но $f(d^i)$ раскладывается в композицию $F(Y^i) \to F(Z^{i+1}) \to F(Y^{i+1})$,
значит комплекс $F(Y^\bullet)$-ацикличен.
\end{proof}


\begin{theorem}
Если $Y^\bullet \cong X$ --- ограниченная справа $F$-ацикличная резольвента, то
$L_iF(X) \cong H^{-i}(F(Y^\bullet))$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Выберем для $Y^\bullet$ проективную резольвенту $P^\bullet$.
Тогда $P^\bullet$ также является проективной резольвентой для $X$.
Пусть $f:P^\bullet \to Y^\bullet$ --- квазиизоморфизм. Получаем треугольник
$P^\bullet \to Y^\bullet \to C(f)$. Из длинной точной последовательности когомологий
следует, что $C(f)$ ацикличен. Кроме того, он ограничен сверху (поскольку и $Y^\bullet$ и $P^\bullet$
ограничены сверху), и состоит из $F$-ацикличных объектов, так как каждый его член --- это сумма
$Y^i$ и $P^{i+1}$. Значит по предыдущей лемме $F(C(f))$ ацикличен. Но
$F(C(f)) \cong C(F(f))$, значит $F(f):F(P^\bullet) \to F(Y^\bullet)$ --- квазиизоморфизм,
то есть $H^{-i}(F(Y^\bullet)) \cong H^{-i}(F(P^\bullet)) =: L_iF(X)$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что если $Y$ ацикличен для функторов $\Hom(-,X)$ для всех $X$, то он проективен
(аналогично, если $Y$ ацикличен для функторов $\Hom(X,-)$ для всех $X$, то он инъективен).
\end{exercise}

$R$-модуль $M$ называется {\sf плоским}, если он ацикличен для функторов $-\otimes_R N$ для всех $N$.

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) всякий проективный модуль плоский, поэтому плоских модулей достаточно много;
(b) для вычисления функторов $\Tor$ можно использовать плоские резольвенты.
\end{exercise}

Для нетерова коммутативного кольца $R$ можно проверить, что конечно порожденный модуль $M$
плоский $\LRA$ он проективен. Однако бывают не проективные, но плоские бесконечномерные модули.



\Section{Функторы между категориями пучков}

Пусть $X$ --- топологическое пространство, а $\CA = \Sh(X)$ --- категория пучков абелевых групп на $X$.
Пусть также $\PreSh(X)$ --- категория предпучков абелевых групп на $X$. По определению,
$\Sh(X)$ --- строго полная подкатегория в $\PreSh(X)$. Обозначим через $i:\Sh(X) \to \PreSh(X)$ ---
функтор вложения. Хорошо известно, что он обладает левым сопряженным функтором $a:\PreSh(X) \to \Sh(X)$
(функтором пучковизации). Функтор $a$ точен, а функтор $i$ точен слева!

\begin{lemma}
В категории пучков достаточно много инъективных объектов.
\end{lemma}
\begin{proof}
Выберем для каждой точки $x \in X$ абелеву группу $G_x$ и
рассмотрим топологическое пространство $\tilde{G} = \sqcup_{x \in X}G_x$ 
с дискретной топологией. Пусть $\pi:\tilde{G} \to X$ --- естественная проекция.
Рассмотрим его пучок сечений, то есть предпучок $\CG$ на $X$, такой что
$\CG(U) = \{s:X \to \pi^{-1}(U) \subset \tilde{G}\ |\ \pi\circ s = \id_U \}$.
Легко видеть, что он на самом деле пучок. Пучки такого вида называются {\sf пучками
разрывных сечений}.

Пусть теперь $\CF$ --- произвольный пучок на $X$. Для каждой точки $x \in X$ обозначим через
$\CF_x = \dlim_{x \in U}\CF(U)$ --- его слой в точке $x$.
Заметим, что $\Hom(\CF,\CG) = \prod_{x\in X}\Hom(\CF_x,G_x)$.
В самом деле, если $\phi:\CF \to \CG$, то для каждой точки $x \in X$ 
композиция $\CF_x \stackrel{\phi_x}\to \CG_x \stackrel{\ev_x}\to G_x$ 
задает морфизм $\CF_x \to G_x$. Обратно, если $\{\phi_x\}_{x\in X}$ --- набор
морфизмов $\CF_x \to G_x$ положим $\phi(s)(x) = \phi_x(s_x)$,
где $s \in \CF(U)$, $x \in U$, и $s_x$ --- образ $s$ в $\CF_x$.
Легко видеть, что $\phi$ --- морфизм пучков. Более того, легко видеть,
что построенные отображения между  $\Hom(\CF,\CG)$ и $\prod_{x\in X}\Hom(\CF_x,G_x)$ ---
взаимно обратные изоморфизмы.

Из доказанного сразу следует, что если каждая из групп $G_x$ инъективна,
то и пучок $\CG$ инъективен. Поэтому, чтобы вложить пучок $\CF$ в инъективный
пучок, достаточно для каждой точки $x \in X$ найти вложение группы $\CF_x$ 
в инъективную абелеву группу $G_x$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) последовательность пучков точна $\LRA$ она точна послойна;\\
(b) слои предпучка совпадают со слоями его пучковизации.
\end{exercise}

Рассмотрим функтор глобальных сечений $\Gamma(X,-):\Sh(X) \to \Ab$.
Легко видеть, что он точен слева (в этом состоит определение пучка).
Поскольку в категории пучков достаточно много инъективных объектов, 
он обладает правым производным функтором, который называется функтором
когомологий $X$ с коэффициентами в пучке:
$$
H^i(X,\CF) = R^i\Gamma(X,\CF).
$$
В частном случае, когда $\CF$ --- постоянный пучок (пучковизация постоянного предпучка),
построенный по группе $A$, пишут $H^i(X,\CF) = H^i(X,A)$. Для вычисления когомологий
гораздо удобнее использовать ацикличные резольвенты вместо инъективных.

Пусть $X$ паракомпактно (то есть отделимо и у каждого открытого покрытия есть локально конечное подпокрытие).
Пучок $\CF$ называется 
\begin{itemize}
\item {\sf вялым}, если $\forall$ открытого $U \subset X$ отображение ограничения $\CF(X) \to\CF(U)$ сюръективно;
\item {\sf мягким}, если $\forall$ замкнутого $Y \subset X$ отображение $\CF(X) \to\CF(Y) := \dlim_{Y \subset U} \CF(U)$ сюръективно;
\item {\sf тонким}, если $\forall$ замкнутых $Y_1,Y_2 \subset X$, таких что $Y_1 \cap Y_2 = \emptyset$
существует автоморфизм $\phi$ пучка $\CF$, такой что $\phi_{|Y_1} = \id$, $\phi_{|Y_2} = 0$.
\end{itemize}

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) вялые, мягкие и тонкие пучки $\Gamma$-ацикличны;
(b) пучки гладких сечений гладких расслоений мягкие;
(c) пучки непрерывных сечений непрерывных расслоений мягкие.
\end{exercise}

Из пункта (b) следует, что пучок гладких дифференциальных форм $\Omega^i_X$ на $X$ мягкий,
поэтому комплекс де Рама $\Omega^\bullet_X$ является мягкой (а значит ацикличной) резольвентой
постоянного пучка $\RR$. Отсюда сразу следует

\begin{theorem}[теорема де Рама]
Существует изоморфизм $H^i(X,\RR) \cong H^i(\Gamma(X,\Omega^\bullet_X))$.
\end{theorem}


\Section{Прямой и обратный образ}

Пусть $f:X \to Y$ морфизм топологических пространств, $\CF$ --- пучок на $X$, а $\CG$ --- пучок на $Y$.
Определим пучок $f_*\CF$ на $Y$  и пучок $f^{-1}\CG$ на $X$ формулами
$$
f_*\CF(U) = \CF(f^{-1}(U)),\qquad
f^{-1}\CG = a(U \mapsto \dlim_{f(U) \subset V}\CG(V)).
$$

\begin{lemma}
Функтор $f^{-1}:\Sh(Y) \to \Sh(X)$ сопряжен слева к функтору $f_*:\Sh(X) \to \Sh(Y)$.
Функтор $f^{-1}$ точен, а функтор $f_*$ точен слева.
\end{lemma}
\begin{proof}
Обозначим предпучок $U \mapsto \dlim_{f(U) \subset V}\CG(V)$ через $f'\CG$.
Пусть $\phi:f^{-1}\CG \to \CF$ --- морфизм пучков. В частности, $\phi$ дает морфизм $f^{-1}\CG(f^{-1}(U)) \to \CF(f^{-1}(U))$.
Компонируя его с морфизмом из предпучка $f'\CG$ в его пучковизацию $f^{-1}\CG$, получаем морфизм
$\CG(U) = f'\CG(f^{-1}(U)) \to \CF(f^{-1}(U)) = f_*\CF(U)$, что дает нам морфизм $\CG \to f_*\CF$.

Обратно, пусть $\psi:\CG \to f_*\CF$ --- морфизм пучков. Для каждой пары $U \subset X$, $V \subset Y$ 
такой, что $f(U) \subset V$, получаем морфизм $\CG(V) \to f_*\CF(V) = \CF(f^{-1}(V)) \to \CF(U)$.
Переходя к пределу по $V$ получаем морфизм предпучков $f'\CG \to \CF$, который по определению пучковизации
пропускается через $a(f'\CG) = f^{-1}\CG$.

Построенные отображения очевидно взаимно обратны, что доказывает сопряженность функторов.
Далее, функтор $f_*$ будучи правым сопряженным точен слева, а $f^{-1}$ аналогично точен справа.
Поэтому надо проверить лишь то, что $f^{-1}$ точен слева, то есть сохраняет мономорфизмы.
Для этого достаточно заметить, что $(f^{-1}\CG)_x = \dlim_{x \in U \subset f^{-1}(V)}\CG(V) = \CG_{f(y)}$
и что морфизм пучков мономорфизм $\LRA$ он мономорфизм на слоях.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что функтор $f_*$ переводит инъективные пучки в инъективные.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $X_d$ --- множество точек $X$ с дискретной топологией, а $\xi:X_d \to X$ ---
морфизм, тождественный на точках. Покажите, что
(a) $\Sh(X_d) \cong \Funadd(X,\Ab)$, где $X$ рассматривается как дискретная категория
(не имеющая морфизмов кроме тождественных);
(b) $\Inj(\Sh(X_d)) = \Funadd(X,\Inj(\Ab))$;
(c) пучок разрывных сечений пучка $\CF$ совпадает с $\xi_*\xi{-1}\CF$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Определим пучок $f_!\CF$ равенством $f_!\CF(U) = \{ s\in\CF(f^{-1}(U))\ |\ \text{$\supp(s)$ собственен над $U$}\}$.
Покажите, что функтор $f_!$ сопряжен слева к $f^{-1}$.
\end{exercise}

Пусть $\{ U_i \}_{i \in I}$ --- открытое покрытие $X$.
Выберем на $I$ полный порядок и для каждого набора индексов $\{i_0 < i_1 < \dots < i_n\} \in I$
рассмотрим подмножество $U_{i_0,\dots,i_n} = U_{i_0} \cap \dots \cap U_{i_n}$
и пучок $\CF_{i_0,\dots,i_n} = j_*j^{-1}\CF$, где $j:U_{i_0,\dots,i_n} \to X$ --- вложение.
Для каждого $i_k < i < i_{k+1}$ пусть $i:U_{i_0,\dots,i_k,i,i_{k+1},\dots,i_n} \to U_{i_0,\dots,i_n}$ ---
вложение. Рассмотрим естественное отображение $\CF_{i_0,\dots,i_n} = j_*j^{-1}\CF \to j_*i_*i^{-1}j^{-1}\CF$,
индуцированное сопряженностью $i_*$ и $i^{-1}$. Положим
$$
C^n(\{U_i\},\CF) = \prod_{i_0 < i_1 < \dots < i_n} \CF_{i_0,\dots,i_n}
$$
и определим отображение $\delta:C^n(\{U_i\},\CF) \to C^{n+1}(\{U_i\},\CF)$ формулой 
$$
\alpha = (\alpha_{i_0,\dots,i_n}) \mapsto (\delta\alpha)_{i_0,\dots,i_{n+1}} := 
\sum_{k=0}^{n+1} (-1)^k \alpha_{i_0,\dots,\hat{i}_k,\dots,i_n},
$$
где в правой части неявно используются построенный выше отображения.
Легко видеть, что $C^\bullet(\{U_i\},\CF)$ --- комплекс. Он называется {\sf комплексом Чеха} пучка $\CF$.

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) комплекс Чеха является резольвентой пучка $\CF$;
(b) если все множества $U_{i_0,\dots,i_n}$ стягиваемы, то резольвента Чеха --- $\Gamma$-ациклична.
\end{exercise}


\Section{Функторы между категориями когерентных пучков}

Пусть $X$ --- {\sf схема}, то есть локально окольцованное топологическое пространство 
локально изоморфное {\sf аффинной схеме}, то есть спектру некоторого коммутативного кольца. 
Пучок колец на $X$ обозначается $\CO_X$. Пучок $\CF$ на $X$ называется {\sf пучком $\CO_X$-модулей},
если на каждой группе $\CF(U)$ задана структура модуля над кольцом $\CO_X(U)$, так что отображения 
ограничения являются гомоморфизмами модулей. Пучок $\CO_X$-модулей называется {\sf квазикогерентным}, 
если $\CF(U) \cong \CF(V)\otimes_{\CO_X(V)}\CO_X(U)$ для всех достаточно маленьких $U \subset V \subset X$,
и {\sf когерентным}, если он квазикогерентен и $\CF(U)$ конечно порожден над $\CO_X(U)$ для всех 
достаточно маленьких $U$. Категории $\QCoh(X)$ квазикогерентных и $\Coh(X)$ когерентных пучков 
являются связующим звеном между алгеброй и геометрией.

\begin{lemma}
Если $X = \Spec A$ --- аффинная схема, то функтор $\Gamma(X,-):\QCoh(X) \to A\lMod$ --- точная
эквивалентность категорий, отождествляющая $\Coh(X)$ с $A\lmod$.
\end{lemma}

Мы не будем приводить доказательства этой леммы, а также других результатов,
которые можно отнести к основаниям алгебраической геометрии.
Вместо этого мы приведем краткое определение основных алгебро-геометрических 
функторов и перечислим их основные свойства.

В алгебро-геометрической ситуации можно определить как чисто алгебраические функторы
(типа $\Ext$ и $\Tor$), так и геометрические (глобальные сечения, прямые и обратные образы).
Начнем с алгебраических.

{\bf Функторы $\Hom$ и $\Ext$.}
Как и во всякой абелевой категории на категории квазикогерентных пучков определен функтор $\Hom$.
Хотя проективных объектов в этой категории практически нет, но инъективных объектов
достаточно много (к тому же можно вместо инъективных квазикогерентных пучков использовать 
инъективные пучки $\CO_X$-модулей), поэтому определены и функторы $\Ext$.

{\bf Функторы $\CHom$ и $\CExt$.}
Можно также определить локальные аналоги функторов $\Hom$ и $\Ext$.
Пусть $\CF$ и $\CG$ квазикогрентные пучки, а $U \subset X$ --- аффинное открытое
подмножество. Тогда $\CF(U)$ и $\CG(U)$ --- $\CO_X(U)$-модули. При этом группа 
$\Hom_{\CO_X(U)}(\CF(U),\CG(U))$ тоже обладает естественной структурой $\CO_X(U)$-модуля
(так как $\CO_X(U)$ коммутативно). Можно убедиться, что эти структуры согласованы
для разных $U$, то есть эти модули склеиваются в квазикогерентный пучок,
который обозначается $\CHom(\CF,\CG)$. Функтор $\CHom$ точен слева по каждому аргументу.

Аналогично, модули $\Ext^i_{\CO_X(U)}(\CF(U),\CG(U))$ определяют
квазикогерентный пучок $\CExt^i(\CF,\CG)$. Легко убедиться, что $\CExt^i$ --- стирающий
$\delta$-функтор по каждому из аргументов, поэтому является правым производным от $\CHom$.
Для вычисления функторов $\CExt^i$ удобнее всего использовать локально свободные
резольвенты первого аргумента (локально свободные пучки очевидно $\CHom(-,\CF)$-ацикличны
для любого $\CF$).

Функторы $\CHom$ и $\CExt$ сохраняют когерентность 
(если оба аргумента когерентны, то и результат когерентен).

{\bf Тензорное произведение и функторы $\Tor$.}
Пусть $\CF$ и $\CG$ квазикогрентные пучки, а $U \subset X$ --- аффинное открытое
подмножество. Тогда $\CF(U)$ и $\CG(U)$ --- $\CO_X(U)$-модули, значит определен
$\CO_X(U)$-модуль $\CF(U)\otimes_{\CO_X(U)}\CG(U)$. Можно убедиться, что эти структуры 
согласованы для разных $U$, то есть эти модули склеиваются в квазикогерентный пучок,
который обозначается $\CF \otimes_{\CO_X} \CG$ или $\CF \otimes \CG$.
Функтор $\otimes$ точен справа по каждому аргументу.

Аналогично, модули $\Tor_i^{\CO_X(U)}(\CF(U),\CG(U))$ определяют
квазикогерентный пучок $\Tor_i(\CF,\CG)$. Легко убедиться, что $\Tor_i$ --- 
стирающий $\delta$-функтор по каждому из аргументов, поэтому является левым производным от $\otimes$.
Для вычисления функторов $\Tor_i$ удобнее всего использовать локально свободные
резольвенты любого из аргументов (локально свободные пучки очевидно $\otimes$-ацикличны).

Функторы $\otimes$ и $\Tor$ сохраняют когерентность 
(если оба аргумента когерентны, то и результат когерентен).

\begin{remark}
Формула $(\CF\otimes\CG)(U) \cong \CF(U)\otimes_{\CO_X(U)}\CG(U)$ и аналогичные формулы
для $\Tor_i$, $\CHom$ и $\CExt^i$ верны только для аффинных открытых подмножеств $U \subset X$.
\end{remark}


{\bf Глобальные сечения.}
Так как когерентный пучок является пучком абелевых групп, определен функтор 
$\Gamma(X,-):\QCoh(X) \to \Ab$. Пусть $R = \Gamma(X,\CO_X)$. Тогда $R$ --- коммутативное кольцо,
а функтор $\Gamma$ пропускается через категорию $R$-модулей. В частности, если $X$ --- 
схема над полем $\kk$, то $\Gamma$ пропускается через категорию $\kk$-векторных пространств.

Функтор $\Gamma$ точен слева и имеет производные функторы $H^i(X,-)$. 
Для аффинной схемы $X$ функтор $\Gamma$ точен на категории квазикогерентных пучков,
поэтому $H^i(X,-) = 0$ для $i > 0$.

\begin{exercise}
Покажите, что если функтор $F$ точен, то положив $T_0 = F$, $T_i = 0$ при $i > 0$,
получим стирающий $\delta$-функтор, значит $L_iF = 0$ для $i > 0$.
Аналогично для правых производных функторов.
\end{exercise}

На произвольной схеме вычислять когомологии пучков можно, рассматривая инъективные 
(вялые, мягкие, и т.д.) резольвенты. В частности, можно показать, что если дано аффинное 
покрытие $\{U_i\}$ схемы $X$, такое что все $U_{i_0,\dots,i_n}$ тоже аффинны 
(это заведомо выполнено, если схема $X$ отделима), то комплекс Чеха является 
$\Gamma$-ацикличной резольвентой пучка и может быть использован для вычисления когомологий.
Отсюда следует, что все $H^i(X,\CF)$ являются $\Gamma(X,\CO_X)$-модулями.

\begin{exercise}
Пользуясь резольвентой Чеха, посчитайте когомологии пучков $\CO(i)$ на $\PP^n$.
\end{exercise}

При $i > \dim X$ когомологии квазикогерентных пучков обращаются в нуль:
$$
H^i(X,\CF) = 0\qquad
\text{при $i > \dim X$, если $\CF \in \QCoh(X)$}.
$$


{\bf Прямой образ.} 
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем (то есть морфизм топологических пространств
плюс морфизм пучков колец $f^\#:f^{-1}\CO_Y \to \CO_X$.
Аналогично описанному выше случаю, 
определен функтор $f_*:\QCoh(X) \to \Ab$. При этом $f_*\CF(U) = \CF(f^{-1}(U))$ является
$\CO_X(f^{-1}(U))$-модулем, поэтому морфизм $f^\#$ задает на нем структуру модуля 
над $f^{-1}\CO_Y(f^{-1}(U)) = \CO_Y(U)$. Легко проверить, что эти структуры согласованы
для разных $U$, поэтому $f_*\CF$ --- пучок $\CO_Y$-модулей, если $\CF \in \QCoh(X)$.
Более того, можно проверить, что $f_*\CF$ квазикогерентен, так что прямой образ дает функтор
$f_*:\QCoh(X) \to \QCoh(Y)$. 

Функтор $f_*$ точен слева и имеет производные функторы $R^if_*$. 
Если морфизм $f$ аффинный, то функтор $f_*$ точен на категории квазикогерентных пучков,
поэтому $R^if_* = 0$ для $i > 0$.

Для произвольного морфизма вычислять прямые образы можно с помощью комплекса Чеха
(если дано аффинное покрытие $\{U_i\}$ схемы $X$, такое что все $U_{i_0,\dots,i_n}$ 
тоже аффинны , то комплекс Чеха является  $f_*$-ацикличной резольвентой пучка). 
Отсюда следует, что все $R^if_*\CF$ являются квазикогерентными пучками.

Если слои морфизма $f$ имеют размерность не больше $n$, то 
$$
R^if_*\CF = 0\qquad
\text{при $i > n$, если $\CF \in \QCoh(X)$}.
$$


Если морфизм $f$ собственный, то (высшие) прямые образы сохраняют когерентность.
В частности, если $X$ собственная схема над полем, то когомологии когерентного пучка ---
конечномерные векторные пространства.


{\bf Обратный образ.} 
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем.
Если $\CF$ --- квазикогерентный пучок, то $f^{-1}\CF$ не имеет структуры $\CO_X$-модуля.
Однако, он является $f^{-1}\CO_Y$-модулем, поэтому пользуясь морфизмом $f^\#$ можно 
получить структуру $\CO_X$-модуля на 
$$
f^*\CF := f^{-1}\CF \otimes_{f^{-1}\CO_Y} \CO_X.
$$
Легко видеть, что $f^*\CF$ квазикогерентен.

\begin{remark}
Важно понимать, что функтор обратного образа для когерентных пучков определяется совсем не так,
как для пучков абелевых групп. В частности, он обладает совершенно другими свойствами!
\end{remark}

Функтор $f^*$ равен композиции точного функтора $f^{-1}$ и точного справа функтора тензорного
произведения, поэтому он точен справа. Можно показать, что он имеет производные функторы $L_if^*$. 
Если морфизм $f$ плоский (то есть $\CO_X$ является плоским $f^{-1}\CO_Y$-модулем), 
то функтор $f^*$ точен, поэтому $L_if^* = 0$ для $i > 0$. 

Аналогично, если $\CF$ --- плоский $\CO_Y$-модуль (например, если $\CF$ локально свободен), 
то $L_if^*\CF = 0$. Поэтому для произвольного морфизма вычислять обратные образы можно 
с помощью локально свободных резольвент.
Отсюда следует, что все $L_if^*\CF$ являются квазикогерентными пучками.

Обратные образы и их производные функторы сохраняют когерентность.

\bigskip

Между перечисленными функторами есть масса соотношений, которые мы пока не обсуждаем,
так как это гораздо удобнее сделать в рамках формализма производных категорий.
Ограничимся лишь следующими замечаниями.

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) функтор $f^*$ сопряжен слева к $f_*$;
(b) $\otimes$ сопряжен слева к $\CHom$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что если $f$ --- открытое вложение, то $f^* = f^{-1}$.
\end{exercise}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\Name{Производные категории}{Гомологическая алгебра 6}{22.10.2008}


\Section{Локализация категорий}

Определение производной категории очень просто.
{\sf Производная категория абелевой категории $\CA$}\/ --- это локализация
категории комплексов $\Com(\CA)$ относительно класса квазиизоморфизмов.
Единственное нетривиальное место здесь --- это понятие локализации категории.
Как это часто бывает, здесь есть два подхода.

Во-первых, есть формальное определение через универсальное свойство, от которого,
на первый взгляд, мало толку. Однако оно часто очень удачно работает. Например,
с его помощью легко строить функторы из локализованной категории (в частности
из производной категории).

Во-вторых, есть явная (относительно) конструкция локализованной категории,
которая по началу  сильно облегчает жизнь. Однако, это эффект чисто психологический ---
явная конструкция при работе с производными категориями практически никогда не используется.

Начнем с формального определения. Для всякой категории $\CC$ обозначим через $\Iso(\CC)$
класс всех изоморфизмов в $\CC$. Пусть теперь $\CC$ --- категория, а $S$ --- какой-либо
класс морфизмов в $\CC$.
{\sf Локализацией категории $\CC$ относительно класса $S$}
называется пара, состоящая из категории $\CC[S^{-1}]$ и функтора $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$,
такие что
\begin{enumerate}
\item $Q(S) \subset \Iso(\CC[S^{-1}])$;
\item для любого функтора $F:\CC \to \CC'$, такого что $F(S) \subset \Iso(\CC')$ существует единственный
с точностью до изоморфизма функтор $F':\CC[S^{-1}] \to \CC'$, такой что $F'\circ Q \cong F$.
\end{enumerate}

\begin{lemma}
Если локализация $\CC[S^{-1}]$ существует, то она определена однозначно
с точностью до эквивалентности категорий.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $Q_1:\CC \to \CC_1$ и $Q_2:\CC \to \CC_2$ --- две локализации категории $\CC$
относительно одного и того же класса морфизмов $S$. Так как $Q_1(S) \subset \Iso(\CC_1)$
и $Q_2(S) \subset \Iso(\CC_2)$, по универсальному свойству получаем функторы $F:\CC_1 \to \CC_2$
и $G:\CC_2 \to \CC_1$, такие что $F\circ Q_1 \cong Q_2$ и $G\circ Q_2 \cong Q_1$.
Следовательно, $G \circ F \circ Q_1 \cong Q_1$, поэтому в силу единственности функтора
в универсальном свойстве, получаем изоморфизм $G \circ F \cong \id_{\CC_1}$.
Аналогично $F \circ G \cong \id_{\CC_2}$. Значит $F$ и $G$ взаимно обратные эквиваллентности.
\end{proof}


\begin{exercise}
Покажите, что
(a) если $S \subset \Iso(\CC)$, то $\CC[S^{-1}] \cong \CC$, $Q \cong \id_\CC$;
(b) если $S = \Hom(\CC)$, то $\CC[S^{-1}] \cong \pi_0(\CC)$, где $\pi_0(\CC)$ ---
это категория, такая что $\Ob(\pi_0(\CC))$ --- это классы изоморфизма объектов в $\CC$,
а морфизмы --- только тождественные.
\end{exercise}


Если $S$ --- произвольный класс морфизм, обозначим через $\OS$ минимальный класс,
содержащий $S$, $\Iso(\CC)$, и такой что если $f\circ g = h$ и два из трех морфизмов
$f$, $g$ и $h$ содержатся в $S$, то содержится и третий. Класс морфизмов $S$ называется
{\sf насыщеным}, если $\OS = S$.

\begin{lemma}
Если одна из категорий $\CC[S^{-1}]$ и $\CC[\OS^{-1}]$ существует, то существует и вторая и они эквивалентны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $\CC[S^{-1}]$ существует, $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$ функтор локализации, а $F:\CC \to \CC'$ --- функтор,
такой что $F(\OS) \subset \Iso(\CC')$. Так как $S \subset \OS$, существует единственный функтор $F':\CC[S^{-1}] \to \CC'$,
такой что $F \cong F'\circ Q$. При этом ясно, что $Q(\OS) \subset \overline{Q(S)} \subset \overline{\Iso} = \Iso$.
Поэтому $\CC[S^{-1}]$ является локализацией $\CC$ в $\OS$.

Обратно, пусть $\CC[\OS^{-1}]$ существует, $\OQ:\CC \to \CC[\OS^{-1}]$ функтор локализации, а $F:\CC \to \CC'$ --- функтор,
такой что $F(S) \subset \Iso(\CC')$. Тогда $F(\OS) \subset \overline{F(S)} \subset \overline{\Iso} = \Iso$,
поэтому существует единственный функтор $F':\CC[\OS^{-1}] \to \CC'$, такой что $F \cong F'\circ \OQ$.
При этом $\OQ(S) \subset \OQ(\OS) \subset \Iso$.
Поэтому $\CC[\OS^{-1}]$ является локализацией $\CC$ в $S$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что если $S \subset T$, то $\CC[T^{-1}] \cong \CC[S^{-1}][Q_S(T)^{-1}]$.
\end{exercise}

\Section{Исчисление частных}

Явно категория $\CC[S^{-1}]$ строится с помощью ``исчисления частных''.
Для удобства будем считать класс $S$ насыщенным.
Пусть $X,Y \in \CC$. Рассмотрим диаграммы
$$
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
& Z \\ X \ar[ur]^f && Y \ar[ul]_s
}}
\qquad\qquad\text{и}\qquad\qquad
\vcenter{\xymatrix@=2ex{
X && Y \\ & Z \ar[ur]_f \ar[ul]^s
}}
$$
в которых $s \in S$, а $f$ --- произвольный морфизм.
Первую из этих диаграмм будем называть {\sf левой $S$-дробью} и обозначать $s^{-1}\circ f$,
а вторую --- {\sf правой $S$-дробью} и обозначать $f\circ s^{-1}$. При этом $f$ будем называть
числителем дроби, а $s$ --- знаменателем.

Кроме того, рассмотрим диаграммы вида
$$
\xymatrix@=2ex{
& Z_1 && Z_2 && \dots && Z_{n-1} && Z_n \\
X \ar[ur]^{f_1} && W_1 \ar[ul]_{s_1} \ar[ur]^{f_2} &&  \ar[ul]_{s_2} & \dots & \ar[ur]^{f_{n-1}} && W_{n-1} \ar[ul]_{s_{n-1}} \ar[ur]^{f_n} && Y \ar[ul]_{s_n}
}
$$
в которых $s_i \in S$, а $f_i$ --- произвольные морфизмы. Такие диаграммы будем называть
{\sf сложными $S$-дробями}.
Две сложные дроби будем называть элементарно эквивалентными, если одна из них получается
\begin{itemize}
\item добавлением в цепочку морфизмов фрагмента $s^{-1}\circ s$ или $s\circ s^{-1}$ для некоторого $s \in S$;
\item заменой фрагмента $g\circ \id^{-1} \circ f$ на $(g\circ f)$;
\item заменой фрагмента $s^{-1}\circ \id \circ t^{-1}$ на $(t\circ s)^{-1}$;
\end{itemize}
и просто эквивалентными, если их можно соединить цепочкой элементарных эквивалентностей.

Можно определить категорию $\CC[S^{-1}]$ следующим образом.
Объекты в $\CC[S^{-1}]$ --- это объекты в $\CC$, морфизмы из $X$ в $Y$--- классы
эквивалентности сложных дробей, начинающиеся в $X$ и кончающиеся в $Y$,
а композиция морфизмов --- присоединение сложных дробей (она очевидно согласована
с отношением эквивалентности). При этом левая дробь $\id^{-1}\circ\id$
очевидно является тождественным морфизмом. Единственная сложность --- вообще говоря,
морфизмы в этой категории не будут образовывать множество, а будут образовывать
лишь класс. Чтобы бороться с этой проблемой, приходится вводить ограничения на категорию $\CC$.
Например, можно ограничиться рассмотрением лишь малых категорий $\CC$.
Действительно, если категория $\CC$ малая, то все сложные дроби образуют
множество.


\begin{lemma}
Если $\CC$ --- малая категория, то определенная выше категория $\CC[S^{-1}]$
является локализацией категории $\CC$ относительно $S$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Покажем, что построенная категория в самом деле является локализацией.
Определим функтор $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$, являющийся тождественным
на объектах и переводящим морфизм $f$ в левую дробь $\id^{-1}\circ f$.
Так как $\id^{-1}\circ g\circ\id^{-1}\circ f \sim \id^{-1}\circ (g\circ f)$
это действительно функтор. Пусть теперь $F:\CC \to \CC'$ --- функтор, такой что
$F(S) \subset \Iso(\CC')$. Определим функтор $F':\CC[S^{-1}] \to \CC'$ таким образом.
На объектах $F'$ совпадает с $F$, а дробь $s_n^{-1}\circ f_n\circ\dots\circ s_1^{-1}\circ f_1$
переводит в морфизм $F(s_n)^{-1}\circ F(f_n)\circ\dots\circ F(s_1)^{-1}\circ F(f_1)$.
Легко видеть, что эквивалентные дроби переходят в один и тот же морфизм,
и что композиция морфизмов переходит в композицию. Поэтому это функтор.
Единственность такого функтора тоже ясна.
\end{proof}


Чтобы сокращать сложные дроби, надо уметь переносить знаменатели справа налево или слева направо.

\begin{lemma}\label{multfrac}
Предположим композиции морфизмов $W_1 \stackrel{s_1}\to Z_1 \stackrel{g}\to Z$
и $W_1 \stackrel{f_2}\to Z_2 \stackrel{t}\to Z$ равны, причем $s_1,t \in S$.
Тогда $s_2^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim (t\circ s_2)^{-1}\circ (g\circ f_1)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В самом деле,
\begin{multline*}
s_2^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim 
s_2^{-1}\circ \id\circ \id^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim 
s_2^{-1}\circ \id\circ t^{-1}\circ t\circ \id^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim \\ \sim
(ts_2)^{-1}\circ (tf_2)\circ s_1^{-1}\circ f_1 = 
%\\ =
(ts_2)^{-1}\circ (gs_1)\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim
(ts_2)^{-1}\circ g\circ \id^{-1}\circ s_1\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim \\ \sim
(ts_2)^{-1}\circ g\circ \id^{-1}\circ f_1 \sim
(ts_2)^{-1}\circ (gf_1).
\end{multline*}
\end{proof}




\begin{lemma}
Если $\CC$ имеет нулевой объект $0_\CC$, то он же является нулевым объектом в $\CC[S^{-1}]$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим вначале, что всякая левая дробь $0 \stackrel{0}\to Z \stackrel{s}\leftarrow X$ 
эквивалентна дроби $0 \stackrel{0}\to X \stackrel{\id}\leftarrow X$.
В самом деле $s^{-1}\circ 0 \sim s^{-1}\circ s\circ \id^{-1} \circ 0 \sim \id^{-1}\circ 0$.
При этом, композицию последней дроби с любой другой можно свернуть
$s^{-1}\circ f\circ \id^{-1}\circ 0 \sim (\id s)^{-1}\circ (f 0) = s^{-1}\circ 0$.
Пользуясь этими двумя замечаниями легко показать, что $\Hom_{\CC[S^{-1}]}(0,Y)$
состоит из одного элемента, то есть $0$ является начальным объектом.

Аналогично, всякая левая дробь $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{0}\leftarrow 0$ 
эквивалентна дроби $X \stackrel{0}\to 0 \stackrel{0}\leftarrow 0$.
В самом деле $0^{-1}\circ f \sim 0^{-1}\circ 0\circ 0^{-1} \circ f \sim 0^{-1}\circ 0$
(во второй эквивалентности использовалось равенство $0 = \id \in \Hom_\CC(0,0)$).
При этом, по той же причине композицию последней дроби с любой другой можно свернуть
$0^{-1}\circ 0\circ s^{-1}\circ f \sim 0^{-1}\circ f$.
Таким образом, $\Hom_{\CC[S^{-1}]}(X,0)$ состоит из одного элемента, то есть $0$ является конечным объектом.
\end{proof}


\Section{Условия Оре}

Однако, указанная конструкция имеет большие недостатки.
Во-первых, множество сложных дробей имеет непростую структуру и его сложно описать.
Во-вторых, если, например, исходная категория $\CC$ аддитивна,
совершенно непонятно, будет ли аддитивной категория $\CC[S^{-1}]$.
Обе эти проблемы исчезают, если множество $S$ удовлетворяет следующим свойствам,
которые иногда называются (левые) {\sf условия Оре}:
\begin{enumerate}
%\item тождественные морфизмы всех объектов лежат в $S$;
%\item $S$ замкнут относительно композиции;
\item класс $S$ насыщен;
\item для всякой правой $S$-дроби $g\circ t^{-1}$ найдется левая $S$-дробь $s^{-1}\circ f:X \to Y$, так что
диаграмма
$$
\xymatrix@=2ex{
& Z \\ X \ar[ur]^f && Y \ar[ul]_s \\ & W \ar[ul]^t \ar[ur]_g
}
$$
коммутативна;
\item если для морфизмов $f,g$ найдется $s \in S$, такой что $fs = gs$,
то найдется и $t \in S$, так что $tf = tg$.
\end{enumerate}
\begin{remark}
Вместо условий $(2)$ и $(3)$ можно использовать правые условия Оре, в которых левые дроби меняются с правыми ролями.
\end{remark}

\begin{lemma}
Если класс $S$
%в категории $\CC$
удовлетворяет левым условиям Оре, то
$\Hom_{\CC[S^{-1}]}(X,Y)$ есть фактор множества левых $S$-дробей из $X$ в $Y$
по отношению эквивалентности:
$s^{-1}\circ f \approx (ts)^{-1}\circ (tf)$,
где $t \in S$.
%$s_1^{-1}\circ f_1 \approx s_2^{-1}\circ f_2$,
%если существует коммутативная диаграмма
%$$\vcenter{\xymatrix{
%& Z_1 \ar[d]^{t_1} \\
%X \ar[ur]^{f_1} \ar[dr]_{f_2} & Z & Y \ar[ul]_{s_1} \ar[dl]^{s_2} \\
%& Z_2 \ar[u]_{t_2}
%}}
%$$
%в которой $t_1,t_2 \in S$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Всякую левую дробь можно рассматривать как сложную.
Так как
%
%Нам надо проверить, во-первых, что если левые дроби эквивалентны,
%то они эквивалентны и как сложные дроби, а во-вторых, что всякая
%сложная дробь эквивалентна единственной левой дроби. В самом деле,
$$
s^{-1}\circ f \sim
s^{-1}\circ\id\circ\id^{-1}\circ f \sim
s^{-1}\circ\id\circ t^{-1}\circ t\circ \id^{-1}\circ f \sim
(ts)^{-1}\circ (tf),
$$
эквивалентным левым дробям соответствуют эквивалентные сложные дроби,
значит мы получаем корректно определенное отображение из множества классов эквивалентности 
левых дробей в классы эквивалентности сложных дробей.

Построим обратное отображение. Пусть $s_n^{-1}\circ f_n\circ\dots\circ s_1^{-1}\circ f_1$ --- сложная дробь.
Пользуясь условием Оре~(2), для каждой правой дроби $f_i\circ s_{i-1}^{-1}$ найдем подходящую левую дробь
$s_{i-1,i}^{-1}\circ f_{i-1,i}$. Затем для каждой правой дроби $f_{i,i+1}\circ s_{i-1,i}^{-1}$ найдем 
подходящую левую дробь $s_{i-1,i+1}^{-1}\circ f_{i-1,i+1}$, и т.д. В результате получим коммутативную 
диаграмму вида
$$
\xymatrix@=2ex{
&&&&& Z_{15} \\
&&&& Z_{14} \ar[ur]^{f_{15}} && Z_{25} \ar[ul]_{s_{15}} \\
&&& Z_{13} \ar[ur]^{f_{14}} && Z_{24} \ar[ul]_{s_{14}} \ar[ur]^{f_{25}} &&  Z_{35} \ar[ul]_{s_{25}} \\
&& Z_{12} \ar[ur]^{f_{13}} && Z_{23} \ar[ul]_{s_{13}} \ar[ur]^{f_{24}} && 
Z_{34} \ar[ul]_{s_{24}} \ar[ur]^{f_{35}} && Z_{45} \ar[ul]_{s_{35}} \\
& Z_1 \ar[ur]^{f_{12}} && Z_2 \ar[ul]_{s_{12}} \ar[ur]^{f_{23}} && Z_3 \ar[ul]_{s_{23}} \ar[ur]^{f_{34}} && 
Z_{4} \ar[ul]_{s_{34}} \ar[ur]^{f_{45}} && Z_5 \ar[ul]_{s_{45}} \\
X \ar[ur]^{f_1} && W_1 \ar[ul]_{s_1} \ar[ur]^{f_2} &&  W_2 \ar[ul]_{s_2} \ar[ur]^{f_3} && 
W_3 \ar[ul]_{s_3} \ar[ur]^{f_4} && W_{4} \ar[ul]_{s_4} \ar[ur]^{f_5} && Y \ar[ul]_{s_5}
}
$$
Положим $f = f_{1n}\circ f_{1,n-1}\circ \dots \circ f_{12}\circ f_1$ и $s = s_{1n}\circ s_{2n}\circ \dots \circ s_{n-1,n}\circ s_n$.
Покажем, что левая дробь $s^{-1}\circ f$ определена исходной сложной дробью 
однозначно с точностью до эквивалентности (то есть меняется на эквивалентную при другом выборе
морфизмов $s_{ij}$, $f_{ij}$ и замене исходной дроби на эквивалентную).
В самом деле, поменяем например левую дробь $s_{12}^{-1}\circ f_{12}$ на $t_{12}^{-1}\circ g_{12}$
(так что $f_{12}s_1 = s_{12}f_2$  и $g_{12}s_1 = t_{12}f_2$). Рассмотрим правую дробь
$s_{12}\circ t_{12}^{-1}$ и найдем для нее подходящую левую дробь $u^{-1}\circ v$.
Тогда $vt_{12} = us_{12}$, причем $u \in S$. В силу насыщенности $S$ получаем также $v \in S$.
Теперь $vg_{12}s_1 = vt_{12}f_2 = us_{12}f_2 = uf_{12}s_1$.
Пользуясь условием Оре~(3), находим $w \in S$, такой что $wvg_{12} = wuf_{12}$.
Значит 
$$
(s_{12}s_2)^{-1}\circ (f_{12}f_1) \approx 
(wus_{12}s_2)^{-1}\circ (wuf_{12}f_1) = 
(wvt_{12}s_2)^{-1}\circ(wvg_{12}f_1) \approx 
(t_{12}s_2)^{-1}\circ (g_{12}f_1).
$$
Остается проверить, что результат нашей операции не зависит (с точностью до эквивалентности)
от замены одной из левых дробей на эквивалентную. В самом деле, пусть мы меняем $s_i^{-1}\circ f_i$
на $(t_is_i)^{-1}\circ (t_if_i)$. Найдем для правых дробей
$t_i\circ s_{i-1,i}^{-1}$ и $f_{i,i+1}\circ t_i^{-1}$ подходящие левые дроби 
$u^{-1}\circ t_{i-1,i}$ и $t_{i,i+1}^{-1}\circ g$. Как и раньше доказываем $t_{i-1,i} \in S$.
Теперь меняем левые дроби $s_{i-1,i}^{-1}\circ f_{i-1,i}$ и $s_{i,i+1}^{-1}\circ f_{i,i+1}$ 
на $(t_{i-1,i}s_{i-1,i})^{-1}\circ (t_{i-1,i}f_{i-1,i})$ и 
$(t_{i,i+1}s_{i,i+1}^{-1})\circ (t_{i,i+1}f_{i,i+1})$ соответственно.
Продолжая тем же способом, заменим всю диаграмму, в результате чего будет видно,
что результат операции будет заменен на эквивалентную левую дробь.
Следовательно, наша операция корректно определена и остается лишь проверить, что она действительно обратная,
то есть что композиции тождественны.

Случай одной из композиций очевиден. Если мы берем левую дробь, рассматриваем ее как сложную,
то диаграмма тривиальна, и результат --- исходная левая дробь. Поэтому остается заметить, что
в силу леммы~\ref{multfrac} левая дробь, построенная по сложной дроби, эквивалентна ей как сложная дробь.
%%
%%и покажем, что левая дробь $s^{-1}\circ f$ эквивалентна исходной сложной дроби.
%%
%В самом деле,
%\begin{multline*}
%s_2^{-1}\circ f_2\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ (s_{12}f_2)\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ (f_{12}s_1)\circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim \\ \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ f_{12}\circ \id^{-1} \circ s_1 \circ s_1^{-1}\circ f_1 \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ f_{12}\circ \id^{-1} \circ f_1 \sim
%(s_{12}s_2)^{-1}\circ (f_{12}\circ f_1).
%\end{multline*}
%Действуя таким же способом, получаем искомую эквивалентность.
%%Значит всякая сложная дробь эквивалентна левой дроби.
%%Остается проверить, что построенная левая дробь определена исходной сложной дробью 
%%однозначно с точностью до эквивалентности (то есть меняется на эквивалентную при другом выборе
%%морфизмов $s_{ij}$, $f_{ij}$ и замене исходной дроби на эквивалентную).
%%
\end{proof}

Другой способ доказать лемму --- проверить свойство универсальности.

\begin{exercise}
Положим $\Ob \CC' = \Ob \CC$, $\Hom_{\CC'}(X,Y)$ --- фактор множества левых $S$-дробей из $X$ в $Y$
по отношению эквивалентности $\sim$. 
(a) Введите операцию композиции.
(b) Проверьте ее ассоциативность.\\
(c) Покажите, что категория $\CC'$ удовлетворяет универсальному свойству локализации.
\end{exercise}

Пользуясь условиями Оре можно приводить дроби к общему знаменателю,
что позволяет их складывать.

\begin{lemma}
Пусть категория $\CC$ аддитивна, а для $S$ выполнены условия Оре.
Тогда категория $\CC[S^{-1}]$ и функтор $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$ аддитивны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Введем операцию сложения на $\Hom_{\CC[S^{-1}]}(X,Y)$ следующим образом.
Пусть $s^{-1}\circ f$ и $t^{-1}\circ g$ --- две левых дроби из $X$ в $Y$.
Рассмотрим правую дробь $s\circ t^{-1}$ и найдем для нее подходящую левую дробь $u^{-1}\circ v$.
Тогда $w := vt = us$, причем $u \in S$. В силу насыщенности $S$ получаем также $v \in S$.
Положим 
$$
s^{-1}\circ f + t^{-1}\circ g := w^{-1}\circ (uf + vg).
$$
\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) построенная операция задает структуру абелевой группы;\\
(b) операция композиции морфизмов билинейна;
(с) функтор $Q:\CC \to \CC[S^{-1}]$ линеен на морфизмах.
%(d) объект $0_\CC$ является начальным и конечным в $\CC[S^{-1}]$.
\end{exercise}
Остается проверить, что существуют произведения.
Для любых объектов $Y_1,Y_2 \in Y$ рассмотрим проекции $p_k:Y_1\times Y_2 \to Y_k$ и вложения $i_k:Y_k \to Y_1\times Y_2$.
Тогда $p_ki_l = \delta_{kl}$, $i_1p_1 + i_2p_2 = \id$. Так как $Q$ линеен на морфизмах,
все те же соотношения выполняются и в $\CC[S^{-1}]$, откуда следует, что $Y_1\times Y_2$ 
является произведением (а также и копроизведением) объектов $Y_1$ и $Y_2$ в $\CC[S^{-1}]$.
\end{proof}

Таким образом, при локализации категории по классу морфизмов, удовлетворяющему
условиям Оре, аддитивность категории сохраняется. Естественно спросить, сохраняется ли абелевость.
Ответ оказывается почти всегда отрицательным. Однако, в дальнейшем мы покажем, что при локализации
сохранятся другое важное свойство категории --- триангулированность --- которое является
неплохой заменой абелевости. Пока же вернемся к определению производной категории.


\Section{Производная категория как локализация гомотопической}

Итак, напомним, что производная категория $\D(\CA)$ абелевой категории $\CA$ --- 
это локализация категории комплексов $\Com(\CA)$ относительно класса квазиизоморфизмов $\Qis$:
$$
\D(\CA) := \Com(\CA)[\Qis^{-1}].
$$
\begin{exercise}
Покажите, что класс $\Qis$ насыщен.
\end{exercise}

Однако, класс $\Qis$ в категории комплексов не удовлетворяет условиям Оре.
Поэтому напрямую воспользоваться результатами предыдущей части невозможно.
Однако, все становится значительно лучше, если перейти к гомотопической категории.

{\sf Гомотопическая категория} комплексов $\Hot(\CA)$ определяется следующим образом:
$$
\Ob\Hot(\CA) = \Ob\Com(\CA),\qquad
\Hom_{\Hot(\CA)}(X,Y) = \Hom_{\Com(\CA)}(X,Y)/\sim_h,
$$
где $\sim_h$ --- гомотопическая эквивалентность.

\begin{exercise}
Покажите, что морфизмы гомотопные нулю образуют идеал
(то есть набор абелевых подгрупп в морфизмах, инвариантный
относительно композиции с произвольными морфизмами). В частности,
на $\Hot(\CA)$ существует структура категории, такая что естественный отображение
$H:\Com(\CA) \to \Hot(\CA)$ (тождественный на объектах и проекция на морфизмах)
является функтором. Проверьте, что категория $\Hot(\CA)$ и функтор $H$ аддитивны.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Функтор локализации $Q:\Com(\CA) \to \D(\CA)$ раскладывается в композицию $Q = Q'\circ H$,
где $Q':\Hot(\CA) \to \D(A)$. Более того, существует эквивалентность
$$
\D(\CA) \cong \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}],
$$ 
такая что $Q'$ изоморфен функтору локализации $Q_H:\Hot(\CA) \to \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}]$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Естественный функтор $Q_H\circ H:\Com(\CA) \to \Hot(\CA) \to \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}]$
переводит квазиизоморфизмы в изоморфизмы, и, значит пропускается через
функтор $F:\D(\CA) \to \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}]$. 
Для построения обратного функтора покажем, что функтор локализации
$Q:\Com(\CA) \to \D(\CA)$ переводит морфизмы, гомотопные нулю в нуль.
В самом деле, пусть $f:X \to Y$ и $f \sim_h 0$.
Рассмотрим конус $C(\id_X)$. Заметим, что морфизм
$$
c^k = (f^k,h^{k+1}):C(\id_X)^k = X^k \oplus X^{k+1} \to Y^k
$$
является морфизмом комплексов $c:C(\id_X) \to Y$, причем $f = c\circ i:X \to C(\id_X) \to Y$.
Значит $Q(f) = Q(c)Q(i)$. С другой стороны, комплекс $C(\id_X)$ ацикличен, то есть квазиизоморфен
нулевому, а значит $Q(C(\id_X)) \cong 0$ в $\D(\CA)$. Таким образом, морфизм $Q(f)$ пропускается
через нулевой объект, и значит равен нулю. 
Следовательно, функтор $Q$ раскладывается в композицию $Q'\circ H$.
При этом $Q'(H(\Qis)) = Q(\Qis) \subset \Iso$, поэтому $Q'$ раскладывается в композицию
$Q' = G\circ Q_H$. Получаем коммутативную диаграмму функторов
$$
\xymatrix{
\Com(\CA) \ar[rr]^H \ar[d]_Q && \Hot(\CA) \ar[dll]_{Q'} \ar[d]^{Q_H} \\
\Com(\CA)[\Qis]^{-1} \ar@<.4ex>[rr]^F && \Hot(\CA)[H(\Qis)^{-1}] \ar@<.4ex>[ll]^G
}
$$

Покажем, что $F$ и $G$ квазиобратны. В самом деле, 
$G \circ F\circ Q = G \circ Q_H\circ H = Q' \circ H = Q$,
поэтому в силу универсальности, получаем $G\circ F \cong \id$.
Аналогично, $F \circ G \circ Q_H = F \circ Q' = Q_H$,
откуда $F \circ G \cong \id$.
\end{proof}


\begin{lemma}
В гомотопической категории $\Hot(\CA)$ класс квазиизоморфизмов удовлетворяет
и левым и правым условиям Оре.
\end{lemma}
\begin{proof}
Проверим левые условия Оре.
Насыщенность класса квазиизоморфизмов очевидна. Докажем свойство (2).
Пусть, $g:W \to Y$, $t:W \to X$ --- морфизмы в $\Com(\CA)$ (любые
морфизмы в $\Hot(\CA)$ по определению поднимаются), причем $t \in \Qis$. 
Рассмотрим морфизм $\phi = t \oplus g:W \to X \oplus Y$ и положим $Z = C(\phi)$.
Получим морфизм $i_\phi:X\oplus Y \to Z$, такой что $i_\phi\circ \phi \sim_h 0$
в силу следующего упражнения.
\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм комплексов, а $i:Y \to C(f)$ и $p:C(f) \to X[1]$ ---
естественные морфизмы. Покажите, что $i\circ f \sim_h 0$ и $f[1]\circ p \sim_h 0$.
\end{exercise}
Пусть $i_\phi = f \oplus s$, где $f:X \to Z$ и $s:Y \to Z$.
Тогда $i_\phi\circ \phi = f\circ t + s\circ g \sim_h 0$,
откуда $(-f)\circ t \sim_h s\circ g$. Остается проверить, 
что $s$ --- квазиизоморфизм. Для этого напишем точную последовательность когомологий
$$
\dots \to H^{k-1}(Z) \to H^k(W) \stackrel{H^k(\phi)}\to 
H^k(X) \oplus H^k(Y) \stackrel{H^k(i_\phi)}\to H^k(Z) \to H^{k+1}(W) \to \dots
$$
Так как $\phi = t \oplus g$, а $t$ --- квазиизоморфизм, морфизм $H^k(W) \to H^k(X) \oplus H^k(Y)$ инъективен,
значит морфизмы $H^k(Z) \to H^{k+1}(W)$ равны нулю, то есть длинная точная последовательность
разрезается на точные тройки
$$
0 \to H^k(W) \stackrel{H^k(\phi)}\to H^k(X) \oplus H^k(Y) \stackrel{H^k(i_\phi)}\to H^k(Z) \to 0.
$$
Отсюда следует, что квадрат
$$
\xymatrix{
H^k(W) \ar[rr]^{H^k(t)} \ar[d]_{H^k(g)} && H^k(X) \ar[d]^{-H^k(f)} \\
H^k(Y) \ar[rr]^{H^k(s)} && H^k(Z) 
}
$$
декартов и кодекартов, поэтому из того, что $H^k(t)$ изоморфизм следует, что $H^k(s)$ также изоморфизм.

Остается проверить свойство (3). В силу аддитивности достаточно показать, что
если для $f:X \to Y$ найдется $s:Z \to X$, $s\in\Qis$, такой что $fs \sim_h 0$, 
то найдется и $t:Y \to W$, $t\in\Qis$, такой что $tf=0$. 
Рассмотрим конус $C(s)$ и морфизм $i:X \to C(s)$. 
Пусть $h$ --- гомотопия для морфизма $fs$, так что $fs = dh + hd$. 
Рассмотрим морфизм $g^k = (f^k,h^{k+1}):C(s)^k = X^k \oplus Z^{k+1} \to Y^k$.
Тогда
$$
g d_{C(s)} = 
(f,h)\left(\begin{smallmatrix} d & s \\ 0 & -d \end{smallmatrix}\right) = 
(fd,fs-hd) = (df,dh) = d(f,h) = d_Y g,
\qquad
g i_f = (f,h)\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right) = f,
$$
значит $g$ --- морфизм комплексов и $g\circ i_f = f$. Пусть теперь $W = C(g)$ и $t=i_g:X \to W$. Тогда
$tf = i_g g i_f \sim_h 0$ так как $i_g g \sim_h 0$. С другой стороны, $C(s)$ ацикличен, так как $s$ квазиизоморфизм,
поэтому из длинной точной последовательности для $C(g)$ следует, что $t$ квазиизоморфизм.
\end{proof}

\begin{corollary}
Производная категория $\D(\CA)$ аддитивна.
\end{corollary}

%Однако, производная категория почти никогда не является абелевой.
%В следующий раз мы опишем структуру на $\D(\CA)$, заменяющую структуру абелевой категории.


%\Section{Ограниченная производная категория}

В определении производной категории можно заменить категорию комплексов
$\Com(\CA)$ на любую из следующих подкатегорий:
\begin{itemize}
\item $\Com^b(\CA)$ --- категорию ограниченных комплексов;
\item $\Com^+(\CA)$ --- категорию ограниченных снизу комплексов;
\item $\Com^-(\CA)$ --- категорию ограниченных сверху комплексов.
\end{itemize}
Поскольку взятие конуса сохраняет свойство ограниченности, все наши рассуждения применимы 
и в этой ситуации. Следовательно, определены ограниченные производные категории
$\D^b(\CA) = \Com^b(\CA)[\Qis^{-1}]$, $\D^+(\CA) = \Com^+(\CA)[\Qis^{-1}]$ и 
$\D^-(\CA) = \Com^-(\CA)[\Qis^{-1}]$, которые также являются локализациями
ограниченных гомотопических категорий $\Hot^b(\CA)$, $\Hot^+(\CA)$ и $\Hot^-(\CA)$, 
и в частности аддитивны.

Еще один вариант --- рассмотреть категорию $n$-периодических комплексов
(и $n$-периодических морфизмов). Она даст $n$-периодическую производную категорию.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\Name{Триангулированные категории}{Гомологическая алгебра 7}{29.10.2008}


\Section{Аксиомы}

{\sf Триангулированная категория}\/ --- это аддитивная категория $\CT$ со следующими структурами
\begin{itemize}
\item автоэквивалентностью, которая традиционно обозначается $[1]:\CT \to \CT$, $X \mapsto X[1]$;
\item классом последовательностей вида $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$;
\end{itemize}
(автоэквивалентность называется {\sf функтором сдвига}, а последовательности ---
{\sf выделенными треугольниками}), удовлетворяющие следующим аксиомам
\begin{description}
\item[TR1]
\begin{enumerate}
\item для всякого объекта $X$ треугольник $0 \to X \stackrel{\id_X}\to X \to 0[1]$ выделен;
\item всякий треугольник изоморфный выделенному выделен;
\item всякий морфизм $u:X \to Y$ можно дополнить до выделенного треугольника;
\end{enumerate}
\item[TR2] треугольник $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$ выделен $\LRA$
треугольник $Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1] \stackrel{-u[1]}\to Y[1]$ выделен;
\item[TR3] если трекгольники $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$
и $X' \stackrel{u'}\to Y' \stackrel{v'}\to Z' \stackrel{w'}\to X'[1]$ выделены, а $f:X \to X'$ и $g:Y \to Y'$ ---
морфизмы, такие что $gu = u'f$, то существует морфизм $h:Z \to Z'$, такой что
$hv = v'g$ и $f[1]w = w'h$
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^u \ar[d]_{f} & Y \ar[r]^v \ar[d]_{g} & Z \ar[r]^w \ar@{-->}[d]_{h} & X[1] \ar[d]_{f[1]} \\
X' \ar[r]^{u'} & Y' \ar[r]^{v'} & Z' \ar[r]^{w'} & X'[1]
}
$$
\item[TR4] если $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$
и $Y \stackrel{f}\to Y' \stackrel{g}\to W \stackrel{h}\to Y[1]$ --- выделенные тругольники,
то существует коммутативная диаграмма
%для всякой пары морфизмов $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{f}\to Y'$ существует коммутативная диаграмма
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^u \ar[d]_{\id_X} & Y \ar[r]^v \ar[d]_{f} & Z \ar[r]^w \ar[d]_{p} & X[1] \ar[d]_{\id_X} \\
X \ar[r]^{u'} & Y' \ar[r]^{v'} \ar[d]_{g} & Z' \ar[d]_{q} \ar[r]^{w'} & X[1] \ar[d]_{u[1]} \\
& W \ar[r]^{\id_W} \ar[d]_{h} & W \ar[r]^{h} \ar[d]_{r} & Y[1] \\
& Y[1] \ar[r]^{v[1]} & Z[1]
}
$$
в которой две верхние строки и два средних столбца --- выделенные треугольники.
\end{description}

Последняя из аксом обычно называется {\sf аксиомой октаэдра},
поскольку соответствующую диаграмму можно переписать в виде октаэдра,
который сверху и снизу выглядит следующим образом:
$$
\vcenter{\xymatrix{
& Z \ar@{~>}[dl]_w & \\
X \ar[dr]_{u'} \ar[r]^u & Y  \ar[u]^v \ar[d]^f \ar@{}[ul]|(.3)\star \ar@{}[dr]|(.3)\star \ar@{}[ur]|(.3)\Box \ar@{}[dl]|(.3)\Box &
W \ar@{~>}[ul]_r \ar@{~>}[l]_h \\
& Y' \ar[ur]_g &
}}
\qquad
\vcenter{\xymatrix{
& Z \ar@{~>}[dl]_w \ar[d]_p & \\
X \ar[dr]_{u'} & Z' \ar@{~>}[l]_{w'} \ar[r]^q \ar@{}[ul]|(.3)\Box \ar@{}[dr]|(.3)\Box \ar@{}[ur]|(.3)\star \ar@{}[dl]|(.3)\star & W \ar@{~>}[ul]_r \\
& Y' \ar[u]^{v'} \ar[ur]_g &
}}
$$
Здесь волнистые стрелки изображают морфизмы в объект сдвинутый на единицу,
треугольники помеченные квадратом коммутативны, а звездой --- выделены.

\pagebreak

\begin{example}
Введем на категории $\kk\lmod$ векторных пространств триангулированную структуру следующим образом.
Положим $[1] = \id$, а выделенными треугольниками будем называть треугольники вида
$U \oplus V \to V \oplus W \to W\oplus U \to U \oplus V$,
где каждый морфизм является композицией проекции на второе слагаемое и вложением первого.
\end{example}

\begin{exercise}
Проверьте триангулированность этой категории.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Проверьте, что если $\CT$ триангулирована, то $\CT^\opp$ тоже триангулирована.
\end{exercise}

\Section{Свойства}

По определению функтор сдвига является эквивалентностью, значит существует квазиобратный
к нему функтор $[-1]:\CT \to \CT$, так что $X[1][-1] \cong X \cong X[-1][1]$. Гораздо удобнее
считать функтор сдвига автоморфизмом, а функтор $[-1]$ обратным к нему. Этого всегда можно добиться,
заменив категорию на эквивалентную.

\begin{exercise}
Докажите, что существует категория $\CT'$, автоморфизм $[1]:\CT' \to \CT'$ и эквивалентность $\Phi:\CT' \to \CT$,
такие что $\Phi\circ[1] \cong [1]\circ\Phi$.
(Указание: $\Ob\CT' = \{(X_i,\phi_i)_{i\in\ZZ}\ |\ X_i \in \Ob\CT,\ \phi_i:X_i[1] \stackrel\cong\to X_{i+1}\}$,
$\Hom_{\CT'}((X_i,\phi_i),(Y_i,\psi_i)) = \{(f_i\in\Hom_\CT(X_i,Y_i))\ |\ f_{i+1}\circ\phi_i = \psi_i\circ f_i[1]\}$,
$(X_i,\phi_i)[1] := (X_{i+1},\phi_{i+1})$, $\Phi(X_i,\phi_i) := X_0$, $\Phi(f_i) := f_0$.)
Проверьте, что если $\CT$ триангулирована, то и $\CT'$ триангулирована.
\end{exercise}

В дальнейшем для упрощения формул мы будем считать функтор сдвига автоморфизмом.
Пользуясь функтором сдвига и аксиомой (TR2) всякий выделенный треугольник можно продолжить
до бесконечной в обе стороны последовательности
$$
\dots \stackrel{w[-2]}\to
X[-1] \stackrel{-u[-1]}\to Y[-1] \stackrel{-v[-1]}\to Z[-1] \stackrel{-w[-1]}\to
X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to
X[1] \stackrel{-u[1]}\to Y[1] \stackrel{-v[1]}\to Z[1] \stackrel{-w[1]}\to
X[2] \stackrel{u[2]}\to \dots,
$$
в которой любой четырехэлементный сегмент является выделенным треугольником.
Такая последовательность называется {\sf спиралью},
а входящие в нее треугольники --- {\sf витками}.

\begin{proposition}
Пусть $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$ --- выделенный тругольник.
Тогда для любого объекта $U \in \CT$ последовательности
$$
\dots \to \Hom(U,X[i]) \stackrel{u_*[i]}\to \Hom(U,Y[i]) \stackrel{v_*[i]}\to
\Hom(U,Z[i]) \stackrel{w_*[i]}\to \Hom(U,X[i+1]) \stackrel{u_*[i+1]}\to \Hom(U,Y[i+1]) \to \dots,
$$
$$
\dots \to \Hom(Z[i],U) \stackrel{v^*[i]}\to \Hom(Y[i],U) \stackrel{u^*[i]}\to
\Hom(X[i],U) \stackrel{w^*[i-1]}\to \Hom(Z[i-1],U) \stackrel{v^*[i-1]}\to \Hom(Y[i-1],U) \to \dots
$$
точны.
\end{proposition}
\begin{proof}
Для первой последовательности достаточно проверить точность в члене $\Hom(U,Y)$.
Пусть $g = u_*(f):U \to Y$, где $f:U \to X$. Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
U \ar[r]^{\id_U} \ar[d]_{f} & U \ar[r] \ar[d]_{g} & 0 \ar[r] & U[1] \ar[d]_{f[1]} \\
X \ar[r]^{u} & Y \ar[r]^{v} & Z \ar[r]^{w} & X[1]
}
$$
Верхняя строчка --- выделенный треугольник по (TR1) и (TR2), а квадрат коммутативен.
Значит, по (TR3) она дополняется морфизмом $h:0 \to Z$ до коммутативной диаграммы.
Следовательно, $v_*(g) = vg = h0 = 0$.

Пусть теперь $v_*(g) = 0$. Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
U \ar[r] \ar[d]_{g} & 0 \ar[r] \ar[d] & U[1] \ar[r]^{-\id_U} & U[1] \ar[d]_{g[1]} & \\
Y \ar[r]^{v} & Z \ar[r]^{w} & X[1] \ar[r]^{-u[1]} & X[1]
}
$$
Верхняя и нижняя строчки выделены по (TR1) и (TR2), а квадрат коммутативен.
Значит, по (TR3) она дополняется морфизмом $f':U[1] \to X[1]$ до коммутативной диаграммы.
Следовательно, $-g[1] = -u[1]\circ f[1]$, откуда $g = uf = u_*(f)$.
Точность второй последовательности проверяется аналогично.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{fghiso}
Если морфизмы $f$ и $g$ в аксиоме (TR3) изоморфизмы, то $h$ тоже изоморфизм.
\end{corollary}
\begin{proof}
Возьмем произвольный объект $U$ и рассмотрим диаграмму точных последовательностей,
полученных из двух выделенных треугольников
$$
\xymatrix{
\Hom(U,X) \ar[r]^{u_*} \ar[d]_{f_*} &
\Hom(U,Y) \ar[r]^{v_*} \ar[d]_{g_*} &
\Hom(U,Z) \ar[r]^{w_*} \ar[d]_{h_*} &
\Hom(U,X[1]) \ar[r]^{u_*[1]} \ar[d]_{f[1]_*} &
\Hom(U,Y[1]) \ar[d]_{g[1]_*} \\
\Hom(U,X') \ar[r]^{u'_*} &
\Hom(U,Y') \ar[r]^{v'_*} &
\Hom(U,Z') \ar[r]^{w'_*} &
\Hom(U,X'[1]) \ar[r]^{u'_*[1]} &
\Hom(U,Y'[1])
}
$$
Она очевидно коммутативна, причем стрелки $f_*$, $g_*$ $f[1]_*$ и $g[1]_*$ изоморфизмы.
Значит по лемме о пяти гомоморфизмах морфизм $h_*$ тоже изоморфизм.
Значит $h_*:h_Z \to h_{Z'}$ --- изоморфизм, откуда $h:Z \to Z'$ тоже изоморфизм.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что в выделенном треугольнике $vu = 0$, $wv = 0$ и $u[1]w = 0$.
\end{exercise}

\begin{corollary}
Выделенный треугольник, дополняющий по аксиоме (TR1) морфизм $u:X \to Y$,
определен однозначно с точностью до изоморфизма.
\end{corollary}

\begin{corollary}
Пусть трекгольники $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$
и $X' \stackrel{u'}\to Y' \stackrel{v'}\to Z' \stackrel{w'}\to X'[1]$ выделены, а $g:Y \to Y'$ ---
морфизм, такой что $v'gu = 0$. Тогда существует морфизмы $f:X \to X'$ и $h:Z \to Z'$, задающие морфизм треугольников.
Если при это $\Hom(X,Z'[-1]) = 0$, то такой морфизм треугольников --- единственный.
\end{corollary}
\begin{proof}
Рассмотрим морфизм $gu:X \to Y'$. Тогда по условию $v'_*(gu) = v'gu = 0$,
значит найдется $f:X \to X'$, такой что $gu = u'_*(f) = u'f$. Теперь пользуясь аксиомой (TR3)
получаем морфизм $h$.

Пусть теперь $\Hom(X,Z'[-1]) = 0$. В силу точности последовательности, морфизм $f$, такой что
$u'_*(f) = gu$ определен однозначно с точностью до $w'[-1]_*(\Hom(X,Z'[-1])) = 0$,
то есть однозначно. Аналогично, для морфизма $h$ имеем $v^*(h) = v'g$, поэтому $h$
определен однозначно с точностью до $w'^*(\Hom(X[1],Z')) = 0$, то есть однозначно.
\end{proof}

Второй частью этого следствия мы будем очень часто пользоваться в дальнейшем!



\Section{Триангулированность гомотопической категории}

Рассмотрим гомотопическую категорию $\Hot(\CA)$ абелевой категории $\CA$.
Рассмотрим функтор сдвига $[1]:\Hot(\CA) \to \Hot(\CA)$, индуцированный сдвигом комплексов.
Назовем треугольник в $\Hot(\CA)$ выделенным, если он изоморфен в $\Hot(\CA)$ треугольнику вида
$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$.

Наша цель --- доказать триангулированность гомотопической категории. Начнем с леммы.
\begin{lemma}
Пусть $0 \to X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \to 0$ --- почленно расщепимая точная тройка комплексов,
а $s^n:Z^n \to Y^n$ и $p^n:Y^n \to X^n$ --- набор расщепляющих морфизмов. Положим $w^n = - p^{n+1}\circ d_Y^n\circ s^n:Z^n \to X^{n+1}$.
Тогда треугольник $X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$ выделен в $\Hot(\CA)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что
$$
u w =
- u p d_Y s =
(s v - \id_Y) d_Y s =
s v d_Y s - d_Y s =
s d_Z v s - d_Y s =
s d_Z - d_Y s,
$$
$$
w v =
- p d_Y s v =
- p d_Y (\id_Y - u p) =
- p d_Y + p d_Y u p =
- p d_Y + p u d_X p =
- p d_Y + d_X p.
$$
%$$
%u^{n+1} w^n =
%- u^{n+1} p^{n+1} d_Y^n s^n =
%(s^{n+1} v^{n+1} - \id) d_Y^n s^n =
%s^{n+1} v^{n+1} d_Y^n s^n - d_Y^n s^n =
%s^{n+1} d_Z^n v^n s^n - d_Y^n s^n =
%s^{n+1} d_Z^n - d_Y^n s^n,
%$$
Отсюда следует, что
$$
u d_X w =
d_Y u w =
d_Y (s d_Z - d_Y s) =
d_Y s d_Z =
(s d_Z - u w) d_Z =
- u w d_Z,
%u^{n+2} d_X^{n+1} w^n =
%d_Y^{n+1} u^{n+1} w^n =
%d_Y^{n+1} (s^{n+1} d_Z^n - d_Y^n s^n) =
%d_Y^{n+1} s^{n+1} d_Z^n =
%(s^{n+2} d_Z^{n+1} - u^{n+2} w^{n+1}) d_Z^n =
%- u^{n+2} w^{n+1} d_Z^n,
$$
и так как $u$ вложение, $w$ --- морфизм комплексов $Z \to X[1]$.
Рассмотрим теперь морфизмы $f^n:Z^n \to C(u)^n$ и $g^n:C(u)^n \to Z^n$,
заданные формулами
$$
f^n =
\left(\begin{smallmatrix}
s^n \\ w^n
\end{smallmatrix}\right),
\qquad
g^n = ( v^n, 0 )
$$
Тогда
$$
d_C f - f d_Z =
\left(\begin{smallmatrix}
d_Y s + u w - s d_Z \\ - d_X w - w d_Z
\end{smallmatrix}\right) = 0,
\qquad
g d_C - d_Z g = (v d_Z - d_Z v, vu) = 0,
$$
значит $f$ и $g$ --- морфизмы комплексов. Рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^u \ar@{=}[d] & Y \ar[r]^v \ar@{=}[d] & Z \ar[r]^w \ar@<-.3ex>[d]_f & X[1] \ar@{=}[d] \\
X \ar[r]^u & Y \ar[r]^{i_u} & C(u) \ar@<-.3ex>[u]_g \ar[r]^{p_u} & X[1]
}
$$
Легко видеть, что
$$
i_u - f v =
\left(\begin{smallmatrix}
\id_Y - s v \\ - w v
\end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix}
u p \\ p d_Y - d_X p
\end{smallmatrix}\right) =
d_C \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ p \end{smallmatrix}\right) + \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ p \end{smallmatrix}\right) d_Y,
$$
так что $f v \sim_h i_u$. Аналогично,
$$
w g - p_u = (w v, - \id_X) = ( -p d_Y + d_X p, -\id_X ) = (p,0) d_C + d_{X[1]} (p,0),
$$
так что $w g \sim_h p_u$. При этом очевидно, что $p_u f = w$ и $g i_u = v$,
поэтому отображения вверх и вниз являются морфизмами треугольников.
Остается заметить, что $gf = vs = \id_Z$, в то время как
$$
\id_C - fg =
\left(\begin{smallmatrix} \id_Y - sv & 0 \\ -wv & \id_X \end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix} up &,& 0 \\ p d_Y - d_X p &,& \id_X \end{smallmatrix}\right) =
d_C \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ p & 0 \end{smallmatrix}\right) + \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ p & 0 \end{smallmatrix}\right) d_C,
$$
то есть $fg \sim_h \id_C$.
%
%Для проверки того, что всякий выделенный треугольник изоморфен треугольнику,
%возникающему из почленно расщепимой тройки комплекса, заметим, что треугольник
%$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$
%изоморфен треугольнику
%$X \stackrel{\bar{u}}\to \Cyl(u) \stackrel{\pi_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$
%(изоморфизм задается тождественными морфизмами $X$ и $C(u)$,
%а также гомотопическими эквивалентностями $\alpha_u:Y \to \Cyl(u)$ и $\bet_u:\Cyl(u) \to Y$),
%который, как легко видеть возникает из почленно расщепимой тройки комплексов
%$0 \to X \stackrel{\bar{u}}\to \Cyl(u) \stackrel{\pi_u}\to C(u) \to 0$.
\end{proof}

\begin{theorem}
Гомотопическая категория триангулирована.
Более того, всякий выделенный треугольник в $\Hot(\CA)$ изоморфен треугольнику,
получающемуся из почленно расщепимой точной тройки комплексов.
\end{theorem}
\begin{proof}
Ясно, что $C(0 \to X) = X$, поэтому (TR1.1) верно.
При этом (TR1.2) и (TR1.3) сразу следуют из определения.

Теперь проверим (TR2). Пусть первый треугольник изоморфен треугольнику
$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$.
Тогда второй изоморфен треугольнику $Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1] \stackrel{-u[1]}\to Y[1]$.
Но заметим, что последовательность комплексов $0 \to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1] \to 0$
точна и почленно расщепима, поэтому достаточно заметить, что морфизм $w$, построенный в лемме совпадает с $-u[1]$.

Пусть теперь второй треугольник выделен. Применяя дважды предыдущее рассуждение, получаем, что треугольник
$X[1] \stackrel{-u[1]}\to Y[1] \stackrel{-v[1]}\to Z[1] \stackrel{-w[1]}\to X[2]$ тоже выделен.
Но множество выделенных треугольников очевидно инвариантно относительно функтора сдвига,
скомпонированного с заменой знака на морфизмах.

Заметим, что приведенные выше рассуждения уже доказывают вторую часть теоремы.

Теперь проверим аксиому (TR3). Достаточно рассмотреть случай, когда первый треугольник имеет вид
$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{i_u}\to C(u) \stackrel{p_u}\to X[1]$, а второй ---
$X' \stackrel{u'}\to Y' \stackrel{i_{u'}}\to C(u') \stackrel{p_{u'}}\to X'[1]$.
Пусть $f:X \to X'$ и $g:Y \to Y'$ --- такие морфизмы, что квадрат коммутативен
в $\Hot(\CA)$, то есть $gu - u'f = dh + hd$. Рассмотрим тогда отображение
$C(u)^n = Y^n \oplus X^{n+1} \to {Y'}^n\oplus {X'}^{n+1} = C(u')^n$,
заданное матрицей
$$
c(h) = \left(\begin{smallmatrix} g & h \\ 0 & f \end{smallmatrix}\right).
$$
Легко видеть, что
$$
d_{C(u')} c(h) - c(h) d_{C(u)} =
\left(\begin{smallmatrix} dg-gd &,& dh+hd+u'f-gu \\ 0 &,& fd-df \end{smallmatrix}\right) = 0,
$$
значит $c(h)$ --- морфизм комплексов. При этом очевидно $c(h)i_u = i_{u'}g$, $p_{u'}c(h) = f[1]p_u$,
так что $c(h)$ дает искомый морфизм треугольников.

Наконец, проверим аксиому (TR4). Ввиду сказанного выще достаточно рассмотреть случай, 
когда оба треугольника получаются из почленно расщепимых троек комплексов.
Иными словами, имеем 
$$
{Y'}^n = X^n \oplus Z^n \oplus W^n,\qquad
d_{Y'} = \left(\begin{smallmatrix} d_X & x & y \\ 0 & d_Z & z \\ 0 & 0 & d_W \end{smallmatrix}\right).
$$
%Условие $d^2_{Y'} = 0$ равносильно условиям $dx + xd = 0$, $dz + zd = 0$, $dy + yd + xz = 0$.
Обозначим через $F_{[i,j]}$ подфактор комплекса $Y'$ натянутый на слагаемые с номерами от $i$ до $j$,
так что $Y' = F_{[0,2]}$. Получаем коммутативную диаграмму
$$
\scriptstyle\xymatrix@=5ex{
&& 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\
0 \ar[r] & F_0 \ar[r] \ar@{=}[d] & F_{[0,1]} \ar[r] \ar[d] & F_1 \ar[r] \ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & F_0 \ar[r] & F_{[0,2]} \ar[r] \ar[d] & F_{[1,2]} \ar[r] \ar[d] & 0 \\
&& F_2 \ar@{=}[r] \ar[d] & F_2 \ar[d] \\
&& 0 & 0
}
$$
с точными строками и столбцами. Простое вычисление показывает, что морфизмы, достраивающие
строки и столбцы до выделенных треугольников, имеют вид
$$
x:F_1 \to F_0[1],\qquad
(x,y):F_{[1,2]} \to F_0[1],\qquad
\left(\begin{smallmatrix} y \\ z \end{smallmatrix}\right):F_2 \to F_{[0,1]}[1],\qquad\text{и}\qquad
z:F_2 \to F_1[1].
$$
Отсюда сразу следует коммутативность двух квадратов в диаграмме октаэдра,
а для коммутативности последнего квадрата надо проверить, что морфизмы
$$
\left(\begin{smallmatrix} 0 & y \\ 0 & z \end{smallmatrix}\right):F_{[1,2]} \to F_{[0,1]}[1]
\qquad\text{и}\qquad
\left(\begin{smallmatrix} x & y \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right):F_{[1,2]} \to F_{[0,1]}[1]
$$
совпадают, то есть их разность гомотопна нулю. Но 
$$
\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)d_{F_{[1,2]}} +
d_{F_{[0,1]}[1]}\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix} d & z \\ 0 & d \end{smallmatrix}\right) -
\left(\begin{smallmatrix} d & x \\ 0 & d \end{smallmatrix}\right)\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right) =
\left(\begin{smallmatrix} -x & 0 \\ 0 & z \end{smallmatrix}\right),
$$
что и требовалось.
\end{proof}



\Section{Локализация триангулированных категорий}

Предположим, $\CT$ --- триангулированная категория, $S$ --- класс морфизмов в $\CT$,
а $\CT[S^{-1}]$ --- локализация. Мы уже знаем, что если $S$ удовлетворяет условиям Оре,
то категория $\CT[S^{-1}]$ аддитивна. Возникает вопрос, является ли она триангулированной.

Скажем, что класс $S$ {\sf согласован с триангулированной структурой}, если выполняются свойства
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3}
\item $s \in S$ $\LRA$ $s[1] \in S$;
\item если морфизмы $f$ и $g$ в аксиоме (TR3) лежат в $S$, то морфизм $h$ тоже можно выбрать лежащим в $S$.
\end{enumerate}

\begin{lemma}
Пусть $\CT$ --- триангулированная категория, а класс $S$ удовлетворяет условиям Оре и 
согласован с триангулированной структурой. Тогда $\CT[S^{-1}]$ обладает естественной
структурой триангулированной категории.
\end{lemma}
\begin{proof}
По доказанному на прошлой лекции категория $\CT$ аддитивна.
Поэтому начать надо с описания триангулированной структуры на $\CT[S^{-1}]$.
Во-первых, определим функтор сдвига. На объектах он будет действовать
так же как и в категории $\CT$, а левую дробь $s^{-1}\circ f$ переводить 
в $s[1]^{-1}\circ f[1]$. В силу условия (4) это опять левая дробь, причем
такое действие очевидно согласовано с отношением эквивалентности дробей,
а композиция левых дробей переходит в композицию. Поэтому получаем корректно
определенный эндофунктор категории $\CT[S^{-1}]$. Очевидно, что он будет
автоэквивалентностью (или даже автоморфизмом, если это выполнялось в $\CT$).

Будем считать треугольник в $\CT[S^{-1}]$ выделенным, если он изоморфен
выделенному треугольнику в $\CT$.

Теперь проверим аксиомы. Аксиомы (TR1.1), (TR1.2) и (TR2) очевидны. Проверим (TR1.3).
Пусть $s^{-1}\circ f:X \to Y$ --- морфизм, где $s:Y \to Y'$, $f:X \to Y'$.
Дополним в $\CT$ морфизм $f:X \to Y'$ до выделенного треугольника 
$X \stackrel{f}\to Y' \stackrel{g}\to Z \stackrel{h}\to X$ и рассмотрим
в $\CT[S^{-1}]$ коммутативную диаграмму
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^{s^{-1}\circ f} \ar[d]_{\id_X} & Y \ar[r]^{gs} \ar[d]_s & Z\ar[r]^h \ar[d]_{\id_Z}& X[1] \ar[d]^{\id_{X[1]}} \\
X \ar[r]^{f} & Y' \ar[r]^{g} & Z\ar[r]^h & X[1]
}
$$
Она является изоморфизмом треугольников, поэтому верхняя строка выделена в $\CT[S^{-1}]$.

Теперь проверим (TR3). Можно считать, переходя к изоморфным треугольникам, можно считать,
что у нас есть диаграмма
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^{u} \ar[d]_{f} & Y \ar[r]^{v} \ar[d]_g & Z \ar[r]^w & X[1] \ar[d]^{f[1]} \\
X'' & Y'' && X''[1] \\
X' \ar[r]^{u'} \ar[u]_{s} & Y' \ar[r]^{v'} \ar[u]_t & Z' \ar[r]^{w'} & X'[1] \ar[u]_{s[1]} 
}
$$
в которой $s,t \in S$ и $u'\circ s^{-1}\circ f = t^{-1}\circ g\circ u$.
Рассмотрим морфизм $t\circ u'\circ s^{-1}:X'' \to Y''$ в $\CT[S^{-1}]$.
Благодаря условиям Оре его можно переписать виде $r^{-1}\circ u''$, где $u'':X'' \to Y'''$,
$r:Y'' \to Y'''$, $r \in S$. Заметим, что $t^{-1}\circ g\circ u = (rt)^{-1}\circ (rg)\circ u$,
при этом $u''\circ s = (rt)\circ u'$ по построению, откуда в свою очередь следует, что
$(rg)\circ u = (rt)\circ t^{-1}\circ g\circ u = (rt)\circ u'\circ s^{-1}\circ f = u''\circ s\circ s^{-1}\circ f = u''\circ f$.
Поэтому, заменяя $Y''$ на $Y'''$, $g$ на $rg$, а $t$ на $rt$, можно считать,
что существует морфизм $u'':X'' \to Y''$, такой что оба квадрата коммутативны.
Достраивая этот морфизм до точного треугольника, получаем диаграмму
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^{u} \ar[d]_{f} & Y \ar[r]^{v} \ar[d]_g & Z \ar[r]^w & X[1] \ar[d]^{f[1]} \\
X'' \ar[r]^{u''} & Y'' \ar[r]^{v''} & Z'' \ar[r]^{w''} & X''[1] \\
X' \ar[r]^{u'} \ar[u]_{s} & Y' \ar[r]^{v'} \ar[u]_t & Z \ar[r]^{w'} & X'[1] \ar[u]_{s[1]} 
}
$$
Применяя (TR3) в $\CT$ строим морфизмы $h:Z \to Z''$ и $q:Z' \to Z''$,
так чтобы получались морфизмы треугольников. В силу свойства (5) можно считать,
что $q \in S$. Значит морфизмы $s^{-1}\circ f$, $t^{-1}\circ g$ и $q^{-1}\circ h$
задают морфизм из верхнего треугольника в нижний в категории $\CT[S^{-1}]$, что и требовалось.

Остается проверить (TR4). Пусть даны два выделенных в $\CT[S^{-1}]$ треугольника
с общей вершиной. По определению, каждый из них изоморфен треугольнику, выделенному в $\CT$.
Пользуясь условиями Оре и теми же рассуждениями, что м в доказательстве (TR1.3), легко показать, 
что эти треугольники можно заменить на изоморфные им в $\CT$ выделенные треугольники с общей вершиной.
Теперь применяя (TR4) в $\CT$ строим диаграмму октаэдра, которая очевидно дает искомую
диаграмму октаэдра $\CT[S^{-1}]$.
\end{proof}

\begin{corollary}
Производная категория триангулирована.
\end{corollary}
\begin{proof}
Достаточно проверить, что класс квазиизоморфизмов в $\Hot(\CA)$ удовлетворяет условиям (4) и (5).
Условие (4) очевидно, так как $H^i(s[1]) = H^{i+1}(s)$. Для условия (5) очевидно достаточно
проверить, что если один из морфизмов $f$ или $g$ тождественный, а второй --- казиизоморфизм,
то можно выбрать $h$ квазиизоморфизмом. Пусть $f = \id_X$. Достроим треугольник $X \to Y \to Z \to X[1]$
и морфизм $g:Y \to Y'$ до диаграмм октаэдра. Заметим, что в ней вторая строка изоморфна второму 
из наших треугольников, поэтому достаточно проверить, что $p:Z \to Z'$ квазиизоморфизм. 
Но так как $g$ квазиизоморфизм, $W$ ацикличен, поэтому $p$ --- квазиизоморфизм. 

Пусть теперь $g = \id_Y$. Достроим морфизм $f:X \to X'$ до выделенного треугольника $X \to X' \to X'' \to X[1]$,
после чего этот треугольник и треугольник $X' \to Y' \to Z' \to X'[1]$ достроим до диаграммы октаэдра.
Заметим, что вторая строка в ней изоморфна первому из исходных треугольников, поэтому надо проверить
что морфизм $Z \to Z'$ в возникающем треугольнике $X'' \to Z \to Z' \to X''[1]$ является квазиизоморфизмом.
Но это очевидно, так как $X''$ ацикличен поскольку $f:X \to X'$ квазиизоморфизм.
\end{proof}


Легко видеть, что ограниченные варианты производной категории,
так же как и ограниченные варианты гомотопической категории триангулированы.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage



\Name{Триангулированные подкатегории и факторкатегории}{Гомологическая алгебра 8}{12.11.2008}



\Section{Точные функторы}

Пусть $\CT$ и $\CT'$ --- триангулированные категории.
Аддитивный функтор $F:\CT \to \CT'$ называется {\sf точным}, если 
\begin{itemize}
\item существует изоморфизм функторов $\theta:F\circ[1] \to [1]\circ F$;
\item $F$ переводит выделенные треугольники в выделенные, то есть для всякого выделенного треугольника 
$X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \stackrel{w}\to X[1]$ в $\CT$
треугольник
$F(X) \stackrel{F(u)}\to F(Y) \stackrel{F(v)}\to F(Z) \stackrel{\theta_X\circ F(w)}\to F(X)[1]$ 
выделен в $\CT'$.
\end{itemize}

Более правильно было бы называть точным функтором пару $(F,\theta)$.

Легко видеть, что тождественный функтор, функтор сдвига (и все его степени) являются
точными. Другой пример точного функтора такой. 

\begin{lemma}
Если $F:\CA \to \CB$ --- аддитивный функтор между абелевыми категориями, 
то он индуцирует точный функтор $F:\Hot(\CA) \to \Hot(\CB)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Почленно применяя функтор $F$ к комплексам, получаем функтор $\Com(\CA) \to \Com(\CB)$.
Ясно, что он переводит гомотопные морфизмы в гомотопные, поэтому индуцирует функтор
между гомотопическими категориями, который коммутирует с функтором сдвига. 
Кроме того, ясно, что он переводит конус морфизма в конус морфизма, и значит точен.
\end{proof}

Обозначим категорию точных функторов между триангулированными категориями $\CT$ и $\CT'$
через $\Funex(\CT,\CT')$.

\begin{lemma}
Пусть $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор. Если функтор $G:\CT' \to \CT$ сопряжен
к $F$, то он также точен.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть например $G$ сопряжен к $F$ справа.
Вначале проверим первое свойство. Пусть $X \in \CT$, $Y \in \CT'$. 
Тогда имеем цепочку функториальных изоморфизмов
\begin{multline*}
\Hom(X,G(Y[1])) \cong
\Hom(F(X),Y[1]) \cong
\Hom(F(X)[-1],Y) \cong \\ \cong
\Hom(F(X[-1]),Y) \cong
\Hom(X[-1],G(Y)) \cong
\Hom(X,G(Y)[1])
\end{multline*}
(первый и четвертый изоморфизмы --- сопряженность функторов, второй и пятый очевидны,
а третий --- коммутирование $F$ со сдвигом). По лемме Ионеды получаем изоморфизм
$G(Y[1]) \cong G(Y)[1]$, очевидно функториальный. Остается проверить второе свойство.
Пусть $X \to Y \to Z \to X[1]$ --- выделенный треугольник в $\CT'$.
Рассмотрим треугольник $G(X) \to G(Y) \to G(Z) \to G(X)[1]$, полученный применением функтора $G$
с использованием изоморфизма $G(X[1]) \cong G(X)[1]$, построенного выше.
Дополним также морфизм $G(X) \to G(Y)$ до выделенного треугольника
$G(X) \to G(Y) \to W \to G(X)[1]$. Остается проверить, что эти треугольники изоморфны, 
то есть построить изоморфизм $W \to G(Z)$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix{
G(X) \ar[r] \ar[d]_\id & G(Y) \ar[r] \ar[d]_\id & W \ar[r] \ar@{-->}[d] & G(X)[1] \ar[d]_\id \\
G(X) \ar[r] & G(Y) \ar[r] & G(Z) \ar[r] & G(X)[1] 
}
$$
коммутативна.
Для этого рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
F(G(X)) \ar[r] \ar[d]_\eta & F(G(Y)) \ar[r] \ar[d]_\eta & F(W) \ar[r] \ar@{-->}[d] & F(G(X))[1] \ar[d]_\eta \\
X \ar[r] & Y \ar[r] & Z \ar[r] & X[1] 
}
$$
где $\eta:F\circ G \to \id$ --- морфизм сопряжения. По аксиоме (TR3) существует
морфизм $F(W) \to Z$, делающий диаграмму коммутативной. Рассмотрим соответствующий ему морфизм $W \to G(Z)$.
Легко видеть, что он также делает диаграмму коммутативной. Остается проверить, что он изоморфизм.
Для этого возьмем произвольный объект $U \in \CT$ и рассмотрим диаграмму
$$
\xymatrix{
\Hom(U,G(X)) \ar[r] \ar[d]_\id & \Hom(U,G(Y)) \ar[r] \ar[d]_\id & \Hom(U,W) \ar[r] \ar[d] & 
\Hom(U,G(X)[1]) \ar[r] \ar[d]_\id & \Hom(U,G(Y)[1]) \ar[d]_\id \\
\Hom(U,G(X)) \ar[r] & \Hom(U,G(Y)) \ar[r] & \Hom(U,G(Z)) \ar[r] & \Hom(U,G(X)[1]) \ar[r] & \Hom(U,G(Y)[1])
}
$$
Ее верхняя строка точна так как треугольник $G(X) \to G(Y) \to W \to G(X)[1]$ выделен, а нижняя точна так как
она по сопряженности изоморфна строке 
$$
\Hom(F(U),X) \to \Hom(F(U),Y) \to \Hom(F(U),Z) \to \Hom(F(U),X[1]) \to \Hom(F(U),Y[1]),
$$
получающейся из выделенного треугольника $X \to Y \to Z \to X[1]$. По лемме о пяти гомоморфизмах заключаем, что
$\Hom(U,W) \to \Hom(U,G(Z))$ --- изоморфизм, значит $W \to G(Z)$ --- изоморфизм.
\end{proof}



\Section{Триангулированные подкатегории}

Пусть $\CT$ --- триангулированные категория.
Подкатегория $\CS \subset \CT$ называется {\sf триангулированной подкатегорией},
если на $\CS$ существует структура триангулированной категории, такая что функтор
вложения точен.

\begin{lemma}
Пусть $\CS \subset \CT$ --- строго полная подкатегория (то есть со всяким объектом содержит все изоморфные
ему в $\CT$ объекты). Тогда $\CS$ триангулированная подкатегория $\LRA$ $\CS$ замкнута относительно функтора
сдвига и взятия конуса морфизмов.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть на $\CS$ задана структура триангулированной категории, такая что функтор
вложения точен. Тогда для всякого $X \in \CS$ имеем $X[1]_\CS \cong X[1]_\CT$.
Левая часть лежит в $\CS$, значит и правая тоже лежит, так что $\CS$ замкнута относительно сдвигов.
Пусть также $X \to Y$ --- морфизм в $\CS$. Дополним его в $\CS$ до выделенного треугольника
$X \to Y \to Z \to X[1]$. Тогда этот же треугольник будет выделен в $\CT$, так что конус данного
морфизма изоморфен объекту $Z$, лежащему в $\CS$. Значит $\CS$ замкнута относительно взятия 
конусов морфизмов.

Обратно, пусть $\CS$ замкнута относительно функтора сдвига и взятия конуса морфизмов. 
Определим сдвиг в $\CS$ как ограничение на $\CS$ сдвига в $\CT$, а треугольник будем считать
выделенным, если он выделен в $\CT$. Легко видеть, что все аксиомы выполнены (для (TR1.3)
и (TR4) нужна инвариантность $\CS$ относительно взятия конусов, остальное следует из полноты).
\end{proof}

Данная лемма позволяет построить много новых примеров триангулированных категорий.

\begin{exercise}
Покажите, что подкатегории $\Hot^*(\CA)$, где $* \in \{+,-,b\}$ --- 
триангулированные подкатегории в $\Hot(\CA)$.
\end{exercise}

Пусть $\CE \subset \CA$ --- класс объектов, замкнутый относительно прямых сумм
и изоморфизмов, а $\Hot^*(\CE)$ --- полная подкатегория в $\Hot^*(\CA)$, объекты которой ---
комплексы, все члены которых лежат в $\CE$.

\begin{corollary}\label{hote}
Категория $\Hot^*(\CE)$ --- строго полная триангулированная подкатегория в $\Hot^*(\CA)$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Замкнутость относительно сдвигов очевидна, а замкнутость относительно конусов следует 
из явной конструкции конуса в $\Hot(\CA)$.
\end{proof}

Другой способ такой. Пусть $\CB \subset \CA$ --- замкнутая относительно расширений 
абелева подкатегория (то есть если в точной последовательности $0 \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to 0$
объекты $A_1$ и $A_3$ лежат в $\CB$, то $A_2$ тоже лежит в $\CB$).
Пусть $\Hot^*_\CB(\CA)$ --- полная подкатегория в $\Hot^*(\CA)$, объекты которой ---
комплексы, все {\em когомологии} которых лежат в $\CB$.

\begin{corollary}\label{hotb}
Категория $\Hot^*_\CB(\CE)$ --- строго полная триангулированная подкатегория в $\Hot^*(\CE)$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Замкнутость относительно сдвигов очевидна, а замкнутость относительно конусов следует 
из явной длинной точной последовательности когомологий выделенного треугольника в $\Hot(\CA)$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что когомологически ограниченные подкатегории $\Hot_\CB(\CE)^* \subset \Hot_\CB(\CE)$  --- 
строго полные триангулированные подкатегории в $\Hot(\CA)$.
\end{exercise}

Позже мы увидим, что категории $\Hot_\CB(\CE)^*$ и $\Hot^*_\CB(\CE)$ часто эквивалентны.

Пусть $\CT$ --- триангулированная категория, а $\CE \subset \CT$ --- какое-то множество ее объектов.
Обозначим через $\langle \CE\rangle$ минимальную строго полную триангулированную подкатегорию в $\CT$,
содержащую $\CE$.

\begin{exercise}
Покажите, что $\langle \CE \rangle$ получается последовательным прибавлением конечных прямых сумм 
и конусов морфизмов.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что $\D^b(\CA) = \langle \CA \rangle$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что \\
(a) $\D^b(\ZZ\lmod) = \langle \ZZ \rangle$;\\
(b) если кольцо $R$ имеет конечную гомологическую размерность, то $\D^b(R\lmod) = \langle \Proj(R) \rangle$;\\
(c) если $X$ --- гладкое многообразие, то $\D^b(\Coh X) = \langle \VB(X) \rangle$.
\end{exercise}

В общем случае, категория $\langle \Proj(\CA) \rangle \subset \D^b(\CA)$ 
(или $\langle \VB(X) \rangle \subset \D^b(\Coh X)$ в геометрическом случае) называется 
{\sf категорией совершенных комплексов}. Будем обозначать ее $\D^\perf(\CA)$ и $\D^\perf(X)$
соответственно.


\Section{Триангулированные подкатегории и локализация}

Пусть $S$ --- класс морфизмов в триангулированной категории $\CT$, 
удовлетворяющий условиям Оре и согласованный с триангулированной структурой.

\begin{exercise}
Проверьте, что 
(a) функтор локализации $Q:\CT \to \CT[S^{-1}]$ точен;
(b) если $F:\CT \to \CT'$ точный функтор, такой что $F(S) \subset \Iso$, 
то функтор $F':\CT[S^{-1}] \to \CT'$, такой что $F = F'\circ Q$ тоже точен.
\end{exercise}

Пусть теперь $\CT' \subset \CT$ --- строго полная триангулированная подкатегория. Положим $S' = \CT'\cap S$.

\begin{lemma}\label{quff}
Пусть либо $S$ удовлетворяет левым условиям Оре и выполнено свойство
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item если $X \in \CT'$, то для всякого $s \in S$, $s:X \to Y$, найдется $s' \in S$, такой что $s's \in S'$,
%\item если $X \in \CT'$, $Y \in \CT$, $s \in S$, где $s:X \to Y$, то найдется $s' \in S$, $s':Y \to Z$, такой что $Z \in \CT'$.
\end{enumerate}
либо $S$ удовлетворяет правым условиям Оре и выполнено свойство
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{$6'$}
\item если $X \in \CT'$, то для всякого $s \in S$, $s:Y \to X$, найдется $s' \in S$, такой что $ss' \in S'$,
%\item если $X \in \CT'$, $Y \in \CT$, $s \in S$, где $s:X \to Y$, то найдется $s' \in S$, $s':Y \to Z$, такой что $Z \in \CT'$.
\end{enumerate}
Тогда класс $S'$ удовлетворяет (левым или правым) условиям Оре и согласован с триангулированной структурой в $\CT'$,
а категория $\CT'[{S'}^{-1}] \subset \CT[S^{-1}]$ --- строго полная триангулированная подкатегория.
\end{lemma}
\begin{proof}
Будем считать, что выполнены левые условия Оре и условие (6).
Насыщенность класса $S'$ очевидна. Пусть $X \stackrel{t}\leftarrow W \stackrel{g}\to Y$ --- правая $S'$-дробь в $\CT'$.
Пусть $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y$ соответствующая ей левая $S$-дробь в $\CT$. Найдем морфизм $s':Z \to Z'$
в $S$, такой что $Z' \in \CT'$. Тогда $X \stackrel{s'f}\to Z' \stackrel{s's}\leftarrow Y$ --- левая $S'$-дробь в $\CT'$,
такая что $s'sg = s'ft$. Третье условие Оре проверяется аналогично. Согласованность с триангулированной структурой очевидна.

Рассмотрим теперь функтор $\CT'[{S'}^{-1}] \to \CT[S^{-1}]$, индуцированный функтором $\CT' \to \CT \to \CT[S^{-1}]$
(который очевидно переводит морфизмы из $S'$ в изоморфизмы). Ясно, что он тождественен на объектах, а на морфизмах
устроен так: левая $S'$-дробь $s^{-1}\circ f$ переходит в ту же левую дробь, рассматриваемую как $S$-дробь.
Остается проверить, что левые $S'$-дроби эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны как $S$-дроби,
и что всякая $S$-дробь (с началом и концом в $\CT'$) эквивалентна некоторой $S'$-дроби.

В самом деле, пусть, например $s_1^{-1}\circ f_1 \sim_S s_2^{-1}\circ f_2$, где $s_i \in S'$. 
Тогда найдется $t \in S$, так что $ts_1 = ts_2$, $tf_1 = tf_2$. Но тогда по свойству (6) найдется $t' \in S$,
так что $t't \in S'$, причем $t'ts_1 = t'ts_2$, $t'tf_1 = t'tf_2$, так что $s_1^{-1}\circ f_1 \sim_{S'} s_2^{-1}\circ f_2$.
Аналогично, пусть $s^{-1}\circ f$ --- левая $S$-дробь с концом в $\CT'$. Найдем $s' \in S$, так что $s's \in S'$.
Тогда $s^{-1}\circ f \sim_S (s's)^{-1}\circ (s'f)$, а это левая $S'$-дробь.
\end{proof}

Это несложное утверждение имеет массу применений.
Пусть $\CB \subset \CA$ --- абелева подкатегория, а $\D^*_\CB(\CA) = \Hot^*_\CB(\CA)[\Qis^{-1}]$.

\begin{lemma}
Категория $D^*_\CB(\CA)$ --- строго полная триангулированная подкатегория в $\D^*(\CA)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hot^*_\CB(\CA)$ --- строго полная триангулированная подкатегория
в $\Hot^*(\CA)$ (в силу~\ref{hotb}). При этом условие (6) очевидно выполнено,
если у комплекса $X$ когомологии лежат в $\CB$, а $Y$ ему квазиизоморфен, то
у $Y$ тоже когомологии лежат в $\CB$.
\end{proof}

Вложение $\CB \to \CA$ индуцирует вложение $\Hot^*(\CB) \to \Hot^*(\CA)$,
которое очевидно пропускается через $\Hot^*_\CB(\CA)$. 

\begin{lemma}
Пусть $\CB \subset \CA$ замкнута относительно расширений. Предположим, что для всякого 
эпиморфизма $f:A \to B$, где $A \in \CA$, $B \in \CB$ найдется $B' \subset A$, такой что 
$B' \in \CB$ и $f_{|B'}:B' \to B$ --- эпимофризм. 
Тогда $\D^-_\CB(\CA) \cong \D^-(\CB)$ и $\D^b_\CB(\CA) \cong \D^b(\CB)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Hot^*(\CB)$ --- строго полная триангулированная подкатегория
в $\Hot^*(\CA)$ (в силу~\ref{hotb}). Проверим при $* = -,b$ условие (6). 
Для этого проверим, что всякий ограниченный сверху комплекс $A^\bullet$ 
с когомологиями в $\CB$, содержит квазиизоморфный ему подкомплекс $B \in \Com(\CB)$.
Будем строить $B$ почленно, начиная сверху.  Пусть $A^k = 0$ при всех $k > n$.
Положим тогда и $B^k = 0$ при всех $k > n$. Пусть теперь $B^k$ построены при $k \ge m$
так, что $H^k(B) = H^k(A)$ при $k \ge m+1$, а отображение $H^m(B) \to H^m(A)$ сюръективно. 
Построим $B^{m-1}$. Пусть $I^m = \Im(A^{m-1} \to A^m) \subset A^m$, $K^{m-1} = \Ker(A^{m-1} \to A^m)$.
Найдем $B_0^{m-1} \subset A^{m-1}$, такой что морфизм $B_0^{m-1} \to A^{m-1} \to I^m$ --- сюръекция 
на $I^m \cap B^m = \Ker(B^m \to A^m/I^m) \subset I^m$ (для этого воспользуемся условием 
по отношению к эпиморфизму $\Ker(A^{m-1} \oplus (I^m\cap B^m) \to I^m) \to I^m\cap B^m$).
Кроме того, найдем в $K^{m-1}$ подобъект $B_1^{m-1} \subset K^{m-1}$,
такой что морфизм $B_1^{m-1} \to H^{m-1}(A)$ --- сюръекция.
Наконец, положим $B^{m-1} = B_0^{m-1} + B_1^{m-1} = \Im(B_0^{m-1} \oplus B_1^{m-1} \to A^{m-1})$.
По построению $H^m(B) = H^m(A)$, а морфизм $H^{m-1}(B) \to H^{m-1}(A)$ сюръективен.
Продолжая эту процедуру построим комплекс $B$.

Остается заметить, что мы не только проверили свойство (6), которое влечет строгую полноту 
функтора вложения $D^*(\CB) \to \D^*(\CA)$, но и проверили, что этот функтор существенно 
сюръективен на подкатегорию $D^*_\CB(\CA)$. Значит $D^*(\CB) \cong \D^*_\CB(\CA)$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Покажите, что условия леммы выполнены для вложений категорий $R\lmod \subset R\lMod$ и $\Coh(X) \subset \QCoh(X)$.
В частности $\D^-(R\lmod) \cong \D^-_{R\lmod}(R\lMod)$ и $\D^-(\Coh(X)) \cong \D^-_{\Coh(X)}(\QCoh(X))$.
\end{exercise}

\Section{Триангулированные факторкатегории}

Пусть $\CT$ триангулированная категория, а $\CN \subset \CT$ --- строго полная триангулированная подкатегория.
Триангулированной факторкатегорией $\CT/\CN$ называется триангулированная категория вместе с точным функтором
$Q:\CT \to \CT/\CN$, так что $Q(\CN) = 0$ и для любой триангулированной категории $\CT'$
и точного функтора $F:\CT \to \CT'$, такого что $F(\CN) = 0$ существует единственный
(с точностью до изоморфизма) функтор $F':\CT/\CN \to \CT'$, такой что $F \cong F'\circ Q$.

Оказывается, триангулированные факторкатегория всегда существует и является локализацией
исходной категории. В самом деле, пусть $S(\CN)$ --- класс всех морфизмов $s:X \to Y$,
таких что третья вершина выделенного треугольника $X \to Y \to Z \to X[1]$ лежит в $\CN$.

\begin{lemma}
Класс $S(\CN)$ удовлетворяет условиям Оре и согласован с триангулированной структурой,
а категория $\CT[S(\CN)^{-1}]$ с функтором локализации $Q:\CT \to \CT[S(\CN)^{-1}]$
является факторкатегорией $\CT/\CN$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Проверим условия Оре. Начнем с условия (1). 
Пусть $f = gh$. Дополним морфизмы $g$ и $h$ до точных треугольников 
и применим аксиому октаэдра
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^h \ar@{=}[d] & Y \ar[r] \ar[d]^g & Z \ar[r] \ar[d] & X[1] \ar@{=}[d] \\
X \ar[r]^f & Y' \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \ar[r] & X[1] \ar[d]_{h[1]} \\
& W \ar@{=}[r] \ar[d] & W \ar[r] \ar[d] & Y[1] \\
& Y[1] \ar[r] & Z[1]
}
$$
Если два из трех морфизмов $f$, $g$ и $h$ лежат в $S(\CN)$, то две из трех вершин выделенного треугольника
$Z \to Z' \to W \to Z[1]$ лежат в $\CN$. Но тогда и третья вершина лежит там же, так как $\CN$
триангулирована, а значит и третий морфизм лежит в $S(\CN)$.

Теперь проверим (2). Далее, пусть $X \stackrel{t}\leftarrow W \stackrel{g}\to Y$ --- правая $S(\CN)$-дробь.
Дополним морфизм $W \stackrel{\left(\begin{smallmatrix} t \\ g \end{smallmatrix}\right)}\to X \oplus Y$
до выделенного треугольника
$W \stackrel{\left(\begin{smallmatrix} t \\ g \end{smallmatrix}\right)}\to 
X \oplus Y \stackrel{(-f, s)}\to Z \to W[1]$.
Так как композиция морфизмов нулевая --- имеем $sg = ft$, поэтому достаточно проверить,
что $s \in S(\CN)$. Для этого применим аксиому октаэдра к треугольникам $Y \to X \oplus Y \to X \to Y[1]$
и $X \oplus Y \to Z \to W[1]$:
$$
\xymatrix{
Y \ar[r] \ar@{=}[d] & X \oplus Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[r] \ar[d] & Y[1] \ar@{=}[d] \\
Y \ar[r]^s & Z \ar[r] \ar[d] & N \ar[d] \ar[r] & Y[1] \ar[d] \\
& W[1] \ar@{=}[r] \ar[d] & W[1] \ar[r] \ar[d]^{t[1]} & X[1] \oplus Y[1] \\
& X[1] \oplus Y[1] \ar[r] & X[1]
}
$$
Так как $t \in S(\CN)$, объект $N$ лежит в $\CN$, откуда получаем, что $s \in S(\CN)$.

Проверим теперь (3). Пусть $fs = 0$, $s \in S(\CN)$, $s:X \to Y$, $f:Y \to Z$. 
Дополним $s$ до выделенного треугольника $X \to Y \to N \to X[1]$. 
Тогда $N \in \CN$. Из $fs = 0$ следует существование $g:N \to Z$, такого что композиция
$Y \to N \to Z$ равна $f$. Дополним $g$ до выделенного треугольника $N \to Z \to W \to N[1]$.
Тогда морфизм $t:Z \to W$ лежит в $S(\CN)$, а по построению $tf = 0$.

Теперь проверим согласованность с триангулированной структурой. Условие (4) очевидно.
Пусть $f,g \in S(N)$. Дополним морфизм $u'f = gu:X \to Y'$ до выделенного треугольника
$X \to Y' \to W$. Применяя аксиому октаэдра в категории $\CT$ получим диаграммы
%морфизмы $h_1:Z \to W$
%и $h_2:W \to Z'$, так что диаграммы
$$
\vcenter{\xymatrix{
X \ar[r]^u \ar@{=}[d] & Y \ar[r]^v \ar[d]^g & Z \ar[r]^w \ar[d]^{h_1} & X[1] \ar[d] \\
X \ar[r]^{gu} & Y' \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] \ar[d] & X[1] \\
& N_1 \ar@{=}[r] \ar[d] & N_1 \ar[d] \\
& Y[1] \ar[r] & Z[1]
}}
\qquad\text{и}\qquad
\vcenter{\xymatrix{
Y' \ar[r] \ar@{=}[d] & W \ar[r] \ar[d]^{h_2} & X[1] \ar[d]^{f[1]} \ar[r]^{(u'f)[1]} & Y'[1] \ar@{=}[d] \\
Y' \ar[r]^{v'} & Z' \ar[r]^{w'} \ar[d] & X'[1] \ar[r]^{u'[1]} \ar[d] & Y'[1] \\
& N_2 \ar@{=}[r] \ar[d] & N_2 \ar[d] \\
& W[1] \ar[r] & X[2]
}}
$$
Если морфизмы $g:Y \to Y'$ и $f:X \to X'$ лежат в $S(\CN)$, то $N_1,N_2 \in \CN$,
значит $h_1,h_2 \in S(\CN)$, поэтому $h_2h_1:Z \to Z'$ --- искомый морфизм.

Остается проверить, что триангулированная категория $\CT[S(\CN)^{-1}]$ с функтором 
$Q:\CT \to \CT[S(\CN)^{-1}]$ удовлетворяет универсальному свойству факторкатегории.
Во-первых, заметим, что $Q(\CN) = 0$. В самом деле, если $N \in \CN$, то морфизм $0 \to N$ лежит в $S(\CN)$
(так как его конус равен $N$), значит $0 = Q(0) \cong Q(N)$.
Во-вторых, пусть $F:\CT \to \CT'$ точный функтор, такой что $F(\CN) = 0$. Возьмем произвольный
морфизм $s:X \to Y$, такой что $s \in S(\CN)$ и дополним его до выделенного треугольника
$X \to Y \to N \to X[1]$ (заметим, что $N \in \CN$ по определению класса $S(\CN)$).
Применяя функтор $F$ получим выделенный (в силу точности функтора $F$) треугольник
$F(X) \to F(Y) \to F(N) \to F(X)[1]$ в $\CT'$. Так как $F(N) = 0$, морфизм $F(s)$ --- изоморфизм.
Значит $F(S(\CN)) \subset \Iso$, следовательно функтор $F$ раскладывается в композицию
$F \cong F'\circ Q$, причем единственным способом.
\end{proof}

\begin{exercise}
Пусть $X \to Y \to Z \to X[1]$ --- выделенный треугольник.
Покажите, что\\
(a) если морфизм $Z \to X[1]$ --- нулевой, то треугольник изоморфен треугольнику 
$X \stackrel{i_X}\to X\oplus Z \stackrel{p_Z}\to Z \stackrel{0}\to X[1]$;\\
(b) если $Z = 0$, то морфизм $X \to Y$ --- изоморфизм.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что $\D^*(\CA) = \Hot^*(\CA)/\Acycl^*(\CA)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что $\Ker Q:\CT \to \CT/\CN$ получается добавлением к $\CN$ прямых слагаемых.
\end{exercise}

Полезно переписать на языке факторкатегорий лемму~\ref{quff}.

\begin{exercise}
Пусть $F:\CT' \to \CT$ --- точный функтор, а $\CN \subset \CT$ --- строго полная подкатегория.
Положим $\CN' = F^{-1}(\CN)$. Докажите, что существует точный функтор $F':\CT'/\CN' \to \CT/\CN$,
такой что $F'\circ Q' \cong Q\circ F$. Проверьте, что если $F$ строго полон и выполнено одно из свойств
\begin{enumerate}
\renewcommand{\theenumi}{$6''$}
\item если $X \in \CT'$, $N \in \CN$ то всякий морфизм $N \to F(X)$ 
может быть представлен в виде композиции $N \to F(N') \to F(X)$,
где $N' \in \CN'$ или
\renewcommand{\theenumi}{$6'''$}
\item если $X \in \CT'$, $N \in \CN$ то всякий морфизм $F(X) \to X$
может быть представлен в виде композиции $F(X) \to F(N') \to N$,
где $N' \in \CN'$,
\end{enumerate}
то функтор $F'$ строго полон.
\end{exercise}

Приведем несколько примеров.

\begin{lemma}
Композиция функтора вложения $\Hot^*(\Proj\CA) \to \Hot^*(\CA)$ и проекции $Q:\Hot^*(\CA) \to \D^*(\CA)$ ---
строго полное вложение для $* = -,b$. Если к тому же проективных объектов в $\CA$ достаточно много,
то $\Hot^-(\Proj\CA) \cong \D^-(\CA)$, $\Hot^-(\Proj\CA)^b \cong \D^b(\CA)$.

Аналогично, функтор $\Hot^*(\Inj\CA) \to \Hot^*(\CA) \to \D^*(\CA)$ ---
строго полное вложение для $* = +,b$, а если инъективных объектов в $\CA$ достаточно много,
то $\Hot^+(\Inj\CA) \cong \D^+(\CA)$, $\Hot^+(\Inj\CA)^b \cong \D^b(\CA)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Заметим, что $\Acycl^-(\CA) \cap \Hot^-(\Proj\CA) = 0$. В самом деле, если $P^\bullet$ --- ограниченный сверху
ацикличный комплекс, состоящий из проективных объектов, то он гомотопен нулю (и $P^\bullet$ и $0$ являются
проективными резольвентами нуля, а проективная резольвента единственна с точностью до изоморфизма,
единственного с точностью до гомотопии). Поэтому для строго полноты достаточно заметить, что
условие $(6''')$ выполняется. В самом деле, всякий морфизм из ограниченного сверху комплекса, 
состоящего из проективных объектов в ацикличный комплекс гомотопен нулю.
Наконец, если проективных объектов достаточно много, то всякий ограниченный сверху
комплекс имеет проективную резольвенту, значит функтор $\Hot^*(\CA) \to \D^*(\CA)$
существенно сюръективен.
\end{proof}


Интересно рассмотреть категорию $\D^\sing(\CA) := \D^b(\CA)/D^\perf(\CA)$,
которая называется {\sf производной категорией особенностей}.


\begin{exercise}
Пусть $\CA = \kk[x]/x^2\lmod$. Докажите, что $\D^\sing(\CA) \cong \kk\lmod$.
\end{exercise}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\Name{Производные функторы --- построение}{Гомологическая алгебра 9}{19.11.2008}



\Section{Определение}

Пусть $F:\CA \to \CB$ --- аддитивный функтор между абелевыми категориями.
Обозначим индуцированный точный функтор между гомотопическими категориями также через $F:\Hot(\CA) \to \Hot(\CB)$.

\begin{lemma}
Функтор $F$ сохраняет квазиизоморфизмы $\LRA$ $F$ точен (то есть сохраняет точные тройки).
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $0 \to X \stackrel{u}\to Y \stackrel{v}\to Z \to 0$ --- точная тройка.
Значит морфизм $v$ индуцирует квазиизоморфизм комплекса $\{X \to Y\}$ и $Z$.
Следовательно $F(v)$ должен индуцировать квазиизоморфизм комплексов $\{F(X) \to F(Y)\}$ и $F(Z)$,
то есть последовательность $0 \to F(X) \to F(Y) \to F(Z) \to 0$ должна быть точна.
\end{proof}

Если функтор $F:\Hot(\CA) \to \Hot(\CB)$ сохраняет квазиизоморфизмы, то в силу универсального свойства
функтора локализации существует функтор $\D(F):\D(\CA) \to \D(\CB)$, такой что
$$
\D(F)\circ Q_\CA \cong Q_\CB\circ F.\leqno{(*)}
$$
В этом случае функтор $\D(F)$ называется {\sf производным}\/ от функтора $F$.
% (и для простоты обозначается через $F$).

Однако, если функтор $F:\CA \to \CB$ не является точным, построить функтор $\D(F)$,
удовлетворяющий свойству~$(*)$, нельзя. Единственное что можно --- это добиться некоторого
приближения к этому свойству.

Точный функтор $RF:\D(\CA) \to \D(\CB)$ называется {\sf правым производным} от $F$,
если задан морфизм функторов
$$
\rho_F:Q_\CB\circ F \to RF\circ Q_\CA,\leqno{(\dagger)}
$$
удовлетворяющий универсальному свойству: 
\begin{itemize}
\item для всякого точного функтора $G:\D(\CA) \to \D(\CB)$
и всякого морфизма функторов $\phi:Q_\CB\circ F \to G\circ Q_\CA$ существует единственный морфизм
функторов $\phi':RF \to G$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix@R=3ex{
Q_\CB\circ F \ar[rr]^-{\rho_F} \ar[rrd]_\phi && RF\circ Q_\CA \ar[d]^{\phi'} \\ && G\circ Q_\CA
}
$$
коммутативна.
\end{itemize}

Аналогично, точный функтор $LF:\D(\CA) \to \D(\CB)$ называется {\sf левым производным} от функтора $F$,
если задан морфизм функторов
$$
\lambda_F:LF\circ Q_\CA \to Q_\CB\circ F,\leqno{(\ddagger)}
$$
удовлетворяющий универсальному свойству: 
\begin{itemize}
\item для всякого точного функтора $G:\D(\CA) \to \D(\CB)$
и всякого морфизма функторов $\phi:G\circ Q_\CA \to Q_\CB\circ F$ существует единственный морфизм
функторов $\phi':G \to LF$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix@R=3ex{
G\circ Q_\CA \ar[rrd]^\phi \ar[d]_{\phi'} \\
LF\circ Q_\CA \ar[rr]_-{\lambda_F} && Q_\CB\circ F 
}
$$
коммутативна.
\end{itemize}

Легко видеть, что если $F:\CA \to \CB$ точен, то $\D(F)$ является и правым и левым производным
функтором от $F$ одновременно. Кроме того, ясно, что правый (или левый) производный функтор 
единственен (если существует). 

\newpage

\Section{Локализация функторов и полуортогональные разложения}

Определение производного функтора является специальным случаем понятия локализации функтора.

Пусть $\CT$ и $\CT'$ --- триангулированные категории, $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор,
а $\CN \subset \CT$ --- строго полная триангулированная подкатегория. Если $F(\CN) = 0$,
то функтор $F$ пропускается через $\CT/\CN$. В общем же случае, такого не бывает.

Точный функтор $RF:\CT/\CN \to \CT'$ вместе с морфизмом $\rho:F \to RF\circ Q$ называется 
{\sf правой локализацией $F$ относительно $\CN$}, если всякий морфизм функторов 
$F \to G\circ Q$ (где $G:\CT/\CN \to \CT'$ --- точный функтор) пропускается
единственным образом через морфизм $RF \to G$. Аналогично,
точный функтор $LF:\CT/\CN \to \CT'$ вместе с морфизмом $\lambda:LF\circ Q \to F$ называется 
{\sf левой локализацией $F$ относительно $\CN$}, если всякий морфизм функторов 
$G\circ Q \to F$ (где $G:\CT/\CN \to \CT'$ --- точный функтор) пропускается
единственным образом через морфизм $G \to LF$.
$$
\xymatrix@R=3ex{
F \ar[rr]^-{\rho_F} \ar[rrd]_\phi && RF\circ Q \ar[d]^{\phi'} \\ && G\circ Q
}
\qquad
\xymatrix@R=3ex{
G\circ Q \ar[rrd]^\phi \ar[d]_{\phi'} \\
LF\circ Q \ar[rr]_-{\lambda_F} && F
}
$$



Ясно, что при $\CT = \Hot(\CA)$, $\CN = \Acycl(\CA)$, $\CT' = \D(\CB)$ правая (левая) локализация 
функтора $Q_\CB\circ F$ является правым (левым) производным функтором.
Поэтому вопрос существования производных функторов является частным 
случаем вопроса существования локализаций.

Аналогично случаю производных функторов, имеем

\begin{lemma}
Если $F(\CN) = 0$, то существует функтор $F':\CT/\CN \to \CT'$, являющийся 
и правой и левой локализацией $F$ одновременно.
\end{lemma}
\begin{proof}
Если $F(\CN) = 0$, то существует $F':\CT/\CN \to \CT'$, такой что $F'\circ Q = F$. 
Обозначим через $\rho$ и $\lambda$ взаимно обратные морфизмы $F \to F'\circ Q$ и 
$F'\circ Q \to F$. Ясно, что они дают искомые локализации.
\end{proof}

Чуть сложнее проверить следующий критерий. 

\begin{proposition}\label{sod-der}
Предположим, что функтор вложения $\CN \to \CT$ имеет правый 
сопряженный функтор $\CT \to \CN$. Тогда всякий точный функтор $F:\CT \to \CT'$
имеет правую локализацию.
\end{proposition}

Для доказательства нам понадобится некоторая подготовка.


\begin{lemma}\label{sod}
Пусть $\CA \subset \CT$ и $\CB \subset \CT$ --- строго полные триангулированные подкатегории.
Предположим 
\begin{itemize}
\item $\Hom(B,A) = 0$ для всех $A \in \CA$, $B \in \CB$;
\item для всякого объекта $X \in \CT$ существует
выделенный треугольник $B_X \to X \to A_X \to B_X[1]$,
в котором $A_X \in \CA$, а $B_X \in \CB$.
\end{itemize}
Тогда функторы вложения $\alpha:\CA \to \CT$ 
и $\beta:\CB \to \CT$ имеют левый и правый
сопряженный функторы $\alpha^*:\CT \to \CA$ и $\beta^!:\CT \to \CB$
соответственно, а треугольник функториален и изоморфен треугольнику
$$
\beta\beta^!X \to X \to \alpha\alpha^*X \to \beta\beta^!X[1],
$$
в котором первые два морфизма индуцированы сопряженностью функторов.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $X,Y \in \CT$, а $B_X \to X \to A_X \to B_X[1]$ и $B_Y \to Y \to A_Y \to B_Y[1]$ --- 
соответствующие треугольники. Пусть $f:X \to Y$ --- произвольный морфизм.
Ясно, что композиция $B_X \to X \to Y \to A_Y$ равна нулю (так как $\Hom(B_X,A_Y) = 0$), 
поэтому этот морфизм продолжается до морфизма треугольников
$$
\xymatrix{
B_X \ar[r] \ar@{-->}[d]_{B_f} & X \ar[r] \ar[d]_f & A_X \ar[r] \ar@{-->}[d]_{A_f} & B_X[1] \\
B_Y \ar[r] & Y \ar[r] & A_Y \ar[r] & B_Y[1]
}
$$
Так как $\Hom(B_X,A_Y[-1]) = 0$ такое продолжение единственно.
Отсюда следует, что отображения $X \mapsto A_X$, $f \mapsto A_f$, 
а также $X \mapsto B_X$, $f \mapsto B_f$ являются функторами 
$\CT \to \CA$ и $\CT \to \CB$ соответственно.

Применим теперь к треугольнику $B_X \to X \to A_X \to B_X[1]$ функтор $\Hom(B,-)$ с $B \in \CB$.
Так как $\Hom(B,A_X) = 0$, получим изоморфизм $\Hom(\beta(B),X) \cong \Hom(B,B_X)$.
Отсюда следует, что функтор $X \mapsto B_X$ сопряжен справа к $\beta$.
Аналогично проверяется, что функтор $X \mapsto A_X$ сопряжен к $\alpha$ слева.
\end{proof}

Если выполнены условия леммы, то говорят, что подкатегории $\CA$, $\CB$ образуют
{\sf полуортогональное разложение}\/ категории $\CT$ и пишут $\CT = \langle \CA, \CB \rangle$.

Пусть теперь $\CN \subset \CT$ --- произвольная полная триангулированная подкатегория.
Обозначим через $\CN^\perp \subset \CT$ строго полную подкатегорию в $\CT$,
состоящую из всех $X \in \CT$, таких что $\Hom_\CT(N,X) = 0$ для всех $N \in \CN$.
Аналогично, обозначим через ${}^\perp\CN \subset \CT$ строго полную подкатегорию в $\CT$,
состоящую из всех $X \in \CT$, таких что $\Hom_\CT(X,N) = 0$ для всех $N \in \CN$.
Эти подкатегории называются {\sf левым}\/ и {\sf правым ортогоналом к $\CN$}\/ соответственно.

\begin{exercise}
Покажите, что $\CN^\perp$ и ${}^\perp\CN$ --- триангулированные подкатегории.
\end{exercise}



\begin{lemma}
Если функтор вложения $\CN \to \CT$ имеет правый 
сопряженный функтор, то $\CT = \langle \CN^\perp,\CN \rangle$ ---
полуортогональное разложение.
Аналогично, если функтор вложения $\CN \to \CT$ имеет левый 
сопряженный функтор, то $\CT = \langle \CN,{}^\perp\CN \rangle$ ---
полуортогональное разложение.
\end{lemma}
\begin{proof}
Надо проверить, что условия леммы~\ref{sod} выполнены.
Первое условие выполняется по определению ортогонала.
Для второго условия, заметим, что 
$\Hom(N,\alpha\alpha^!X) =
\Hom(N,\alpha^!X) \cong 
\Hom(\alpha N,X) =
\Hom(N,X)$ 
для всех $N \in \CN$, причем изоморфизм индуцирован естественным морфизмом $\alpha\alpha^!X \to X$.
Дополним естественный морфизм $\alpha\alpha^!X \to X$ до выделенного треугольника
$$
\alpha\alpha^!X \to X \to X' \to \alpha\alpha^!X[1].
$$
Применяя к нему функтор $\Hom(N,-)$ с $N \in \CN$, получаем
$\Hom(N,X') = 0$, значит $X' \in \CN^\perp$.
Таким образом второе условие тоже выполнено.
\end{proof}

Подкатегория, функтор вложения которой имеет правый сопряженный называется
{\sf допустимой справа}, а подкатегория, функтор вложения которой имеет 
левый сопряженный называется {\sf допустимой слева}. Если подкатегория допустима
и слева и справа, она называется {\sf допустимой}.

{\renewcommand{\proofname}{Доказательство предложения~$\ref{sod-der}$}
\begin{proof}
По условию $\CN$ допустима справа, поэтому $\CT = \langle \CN^\perp, \CN \rangle$ ---
полуортогональное разложение. Обозначим функторы вложения категорий $\CN$ и $\CN^\perp$ 
через $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Применим к треугольнику $\beta\beta^!X \to X \to \alpha\alpha^*X \to \beta\beta^!X[1]$
функтор $Q$. Так как $Q(\CN) = 0$, а $\Im\beta \subset \CN$, получаем треугольник
$0 \to Q(X) \to Q\alpha\alpha^*(X) \to 0$, откуда получаем изоморфизм $Q \cong Q\alpha\alpha^*$.

Пусть $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор. Положим $\TF = F\alpha\alpha^*$
и пусть $\rho:F \to F\alpha\alpha^*$ --- морфизм индуцированный естественным
морфизмом $\id \to \alpha\alpha^*$. Пусть $\phi:F \to GQ$ --- произвольный морфизм 
функторов. Компонируя с $\alpha\alpha^*$, получаем морфизм $\phi':\TF = F\alpha\alpha^* \to GQ\alpha\alpha^* \cong GQ$,
причем в силу функториальности $\phi' = \phi\circ\rho$. Единственность такого $\phi'$ очевидна.
Остается заметить, что $\TF(\CN) = 0$, поэтому $\TF$ раскладывается в композицию 
$\CT \stackrel{Q}\to \CT/\CN \stackrel{RF}\to \CT'$. Тогда $RF$ --- искомый функтор.
\end{proof}
}

\Section{Проективные и инъективные резольвенты}

Предложение~\ref{sod-der} (если оно применимо) дает эффективную
конструкцию производных функторов.


\begin{lemma}
Пусть в категории $\CA$ достаточно много инъективных объектов.
Тогда 
$$
\Hot^+(\CA) = \langle \Hot^+(\Inj(\CA)), \Acycl^+(\CA) \rangle
$$
--- полуортогональное разложение.
В частности, для всякого аддитивного функтора $F:\CA \to \CB$ на категории $\D^+(\CA)$ 
определен правый производный функтор $RF$.

Аналогично, пусть в категории $\CA$ достаточно много проективных объектов.
Тогда 
$$
\Hot^-(\CA) = \langle \Acycl^-(\CA), \Hot^-(\Proj(\CA)) \rangle
$$
--- полуортогональное разложение.
В частности, для всякого аддитивного функтора $F:\CA \to \CB$ на категории $\D^-(\CA)$ 
определен левый производный функтор $LF$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Если $I^\bullet$ --- ограниченный снизу комплекс ацикличных объектов, а
$X^\bullet$ --- ацикличный комплекс, то всякий морфизм $I^\bullet \to X^\bullet$
гомотопен нулю (это мы доказывали в лекции 4, гомотопия строится по индукции).
Поэтому категории полуортогональны. Далее, если $X^\bullet$ --- произвольный
ограниченный снизу комплекс, то у него есть инъективная резольвента, то есть
квазиизоморфизм $X^\bullet \to I^\bullet$. Его конус --- ацикличный комплекс.
Полученный треугольник показывает, что у нас и в самом деле есть полуортогональное
разложение. В частности, можно применить предложение~\ref{sod-der} и получить
правый производный функтор от произвольного аддитивного функтора $F$.
Аналогичные рассуждения доказывают вторую часть леммы.
\end{proof}

\begin{remark}
Согласно лемме, чтобы вычислить правый производный функтор $RF$ на комплексе $X$,
надо применить $F$ почленно к какой-либо из его инъективных резольвент:
$RF(X) = F(I(X))$. Аналогично, $LF(X) = F(P(X))$.
\end{remark}


На самом деле, подход с полуортогональными разложениями позволяет доказывать весьма сильные
результаты. Например, строить производные функторы на неограниченных производных категориях.
Для этого нужны следующие понятия.

Комплекс $X \in \Hot(\CA)$ называется {\sf $h$-инъективным}, если он лежит в правом ортогонале к $\Acycl(\CA)$.
Аналогично, комплекс $X \in \Hot(\CA)$ называется {\sf $h$-проективным}, если он лежит в левом ортогонале к $\Acycl(\CA)$.
Обозначим через $\hInj(\CA)$ и $\hProj(\CA)$ категории $h$-инъективных и $h$-проективных объектов в $\Hot(\CA)$
соответственно. По определению
$$
\hInj(\CA) = \Acycl(\CA)^\perp,
\qquad
\hProj(\CA) = {}^\perp\Acycl(\CA).
$$

\begin{theorem}[Спальтенштейн]
$(i)$ Пусть $R$ --- произвольное кольцо. Тогда 
$$\Hot(R\lMod) = \langle \Acycl(R\lMod), \hProj(R\lMod) \rangle
$$
--- полуортогональное разложение. В частности, любой функтор на категории $R\lMod$ имеет левый производный.

$(ii)$ Пусть $X$ --- топологическое пространство, а $\CR$ --- пучок колец на $X$.
Обозначим через $\CR\lMod$ категорию пучков $\CR$-модулей на $X$.
Тогда 
$$
\Hot(\CR\lMod) = \langle \hInj(\CR\lMod), \Acycl(\CR\lMod) \rangle
$$
--- полуортогональное разложение. В частности, любой функтор на категории $\CR\lMod$ имеет правый производный.
\end{theorem}

Есть и разные вариации на эту тему.


\Section{Связь с классическими производными функторами}

\begin{lemma}
Пусть $F:\CA \to \CB$ --- точный слева функтор, а $RF:\D^+(\CA) \to \D^+(\CB)$ --- его правый производный.
Определим функторы $R^iF:\CA \to \CB$ формулой
$$
R^iF(A) = H^i(RF(A)),
$$
где $H^i:\D^+(\CB) \to \CB$ --- функтор вычисления $i$-ых когомологий.
Тогда $R^iF$ --- классические производные функторы от $F$.
Аналогично, если $F:\CA \to \CB$ --- точный справа функтор, а $LF:\D^-(\CA) \to \D^-(\CB)$ --- его левый производный, то
$$
L_iF(A) = H^{-i}(LF(A)),
$$
--- классические производные функторы от $F$.
\end{lemma}

Для доказательства в общем случае нам пока не хватает техники.
Ограничимся случаем достаточного количества инъективных (проективных) объектов.
В этом случае утверждение тавтологично.

\begin{proof}
Как было отмечено выше $RF(A) = F(I(A))$, где $I(A)$ --- инъективная резольвента.
Тогда $H^i(RF(A)) = H^i(F(I(A)))$, что равно $R^iF(A)$ согласно результатам лекции 4.
\end{proof}



\Section{Конструкция Делиня}

Для описания производных функторов оказываются полезными понятия прямого и обратного предела 
функтора по категории. Напомним их.

Пусть $S$ --- (малая) категория, а $F:S \to \Sets$ --- функтор.
Определим
$$
\begin{array}{l}
\dlim_S F := \bigsqcup_{s\in S} F(s) / \{ x_s \sim F(f)(x_s)_t \}_{f \in \Hom_S(s,t)},\\[1ex]
\ilim_S F := \{ (x_s)_{s \in S} \in \prod_{s\in S} F(s) \ |\ \forall f \in \Hom_S(s,t)\  F(f)(x_s) = x_t\ \}.
\end{array}
$$

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) $\dlim$ и $\ilim$ --- функторы из категории $\Fun(S,\Sets)$ в $\Sets$;\\
(b) $\dlim$ сопряжен слева, а $\ilim$ справа к функтору $\Sets \to \Fun(S,\Sets)$, $X \mapsto F(s) := X$;\\
(c) $\Hom(\dlim_S F,X) = \ilim_S \Hom(F(s),X)$.
\end{exercise}

Если же функтор $F$ принимает значения в произвольной категории $\CC$, то
по определению $\dlim_S F$ --- это объект, представляющий функтор $X \mapsto \dlim_S \Hom(X,F(s))$,
а $\ilim_S F$ --- это объект, копредставляющий функтор $X \mapsto \dlim_S \Hom(F(s),X)$:
$$
h_{\dlim_S F} = \dlim_S h_F,
\qquad
h^{\ilim_S F} = \dlim_S h^F.
$$

\begin{exercise}
Покажите, что если $\CA$ --- аддитивная категория, то\\
(a) функторы $\dlim,\ilim:\Funadd(S,\CA) \to \CA$ аддитивны;
(b) $\Ker f = \ilim_{\bullet \to \bullet} f$, $\Coker = \dlim_{\bullet \to \bullet} f$.
\end{exercise}

Функтор $\Phi:T \to S$ называется {\sf кофинальным}, если для всякого объекта $s \in S$
\begin{itemize}
\item найдется $t \in T$, так что $\Hom(s,\Phi(t)) \ne \emptyset$;
\item для всяких $t_1,t_2 \in T$ и $f_1:s \to \Phi(t_1)$, $f_2:s \to \Phi(t_2)$ 
найдется $t \in T$ и морфизмы $g_1:t_1 \to t$, $g_2:t_2 \to t$, так что $\Phi(g_1)\circ f_1 = \Phi(g_2)\circ f_2$.
\end{itemize}
Категория $S$ называется {\sf фильтрованной}, если функтор $\Delta:S \to S\times S$ --- кофинальный.

\begin{exercise}
Если $\Phi:T \to S$ кофинальный функтор, то \\
(a) естественный морфизм $\dlim_T (F\circ\Phi) \to \dlim_S F$ --- изоморфизм;\\
(b) естественный морфизм $\ilim_{S^\opp} F \to \ilim_{T^\opp} (F\circ\Phi)$ --- изоморфизм.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Если категория $S$ фильтрованая, то функтор $\dlim_S:\Funadd(S,\CA) \to \CA$ точен.
\end{exercise}

Пусть $S$ --- класс морфизмов в категории $\CC$.
Для каждого объекта $X \in \CT$ обозначим через $S^X$ категорию морфизмов $s:X \to Z$, лежащих в $S$,
а через $S_X$ --- категорию морфизмов $s:Z \to X$, лежащих в $S$.

\begin{exercise}
(a) Если $S$ удовлетворяет условиям Оре, то категории $S^X$ и $S_X^\opp$ фильтрованы,
и для всякого морфизма $s:X \to Y$ лежащего в $S$ функторы $S^Y \to S^X$ и $S_X^\opp \to S_Y^\opp$ кофинальны.
(b) Если в категории $\CC$ существуют прямые пределы, то функторы $X \mapsto \dlim_{S^X} Z$
и $X \mapsto \ilim_{S_X} Z$ переводят морфизмы из $S$ в квазиизоморфизмы.
\end{exercise}

Из упражнения следует, что функторы $X \mapsto \dlim_{S^X} h_Z$ и $X \mapsto \ilim_{S_X} h_Z$
задают строго полное вложение локализации $\CC[S^{-1}]$ в $\Fun(\CC,\Sets)$.

Аналогичные соображения можно использовать для построения локализации функторов.
Пусть $S = S(\CN)$ --- класс морфизмов, соответствующий подкатегории $\CN$.
Пусть $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор. Предположим он имеет правую локализацию $RF$.
Пусть $G$ --- произвольный точный функтор $\CT/\CN \to \CT'$, а $\phi:F \to G\circ Q$ --- морфизм функторов.
Пусть $s:X \to Z$ --- морфизм из $S$. Тогда возникает коммутативная диаграмма
$$
\xymatrix{
\\
F(X) \ar[rr]_{\rho_F(X)} \ar@/^3ex/[rrrr]^{\phi(X)} \ar[d]_{F(s)} && RF(Q(X)) \ar@{..>}[rr]_{\phi'(X)} \ar[d]^{RF(Q(s))}_\cong && G(Q(X)) \ar[d]^{G(Q(s))}_\cong \\
F(Z) \ar[rr]^{\rho_F(Z)} \ar@/_3ex/[rrrr]_{\phi(Z)} && RF(Q(Z)) \ar@{..>}[rr]^{\phi'(Z)} && G(Q(Z)) 
}
$$
Заметим, что $Q(s)$ --- изоморфизм, поэтому во-первых, морфизмы $(RF(Q(s)))^{-1}\circ\rho_F(X)$ индуцируют морфизм
$\dlim_{S^X} F(Z) \to RF(X)$, который в силу универсального свойства ``должен являться изоморфизмом''.
Проводя аналогичные рассуждения для левой локализации получаем равенства
$$
RF(X) \cong \dlim_{S^X} F(Z),
\qquad
LF(X) \cong \ilim_{S_X} F(Z).\leqno{(\star)}
$$

Сделаем эти рассуждения строгими.
Для этого для каждого объекта $Z \in \CT$ рассмотрим представимый функтор $h_{F(Z)}:{\CT'}^\opp \to \Ab$.
Определим функторы $rF(X):{\CT'}^\opp \to \Ab$ и $lF(X):{\CT'}^\opp \to \Ab$ формулами
$$
rF(X) := \dlim_{S^X} h_{F(Z)},
\qquad
lF(X) := \ilim_{S_X} h_{F(Z)}
$$
Заметим, что если $F(\CN) = 0$, то $F$ переводит все морфизмы из $S$ в изоморфизмы,
поэтому все морфизмы в пределах --- изоморфизмы, значит $rF(X) \cong h_{F(X)} \cong lF(X)$.

\begin{lemma}
Если для всякого $X \in \CT$ функтор $rF(X)$ представим, то функтор $F$ имеет правую локализацию,
причем $h_{RF(X)} \cong rF(X)$.
Аналогично, если для всякого $X \in \CT$ функтор $lF(X)$ представим, то функтор $F$ имеет левую локализацию,
причем $h_{LF(X)} \cong lF(X)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим произвольный морфизм $f:X \to X'$ в $\CT$. Пусть $S^f$ --- категория коммутативных квадратов
$$
\xymatrix{X \ar[r]^f \ar[d]_s & X' \ar[d]^{s'} \\ Z \ar[r]^\tf & Z'}
$$
где $s,s' \in S$.
Имеем очевидные функторы $S^f \to S^X$ и $S^{X'}$, индуцирующие морфизмы пределов 
$$
\alpha_f:\dlim_{S^f} h_{F(Z)} \to \dlim_{S^X} h_{F(Z)} = rF(X)
\quad\text{и}\quad
\beta_f:\dlim_{S^f} h_{F(Z)} \to \dlim_{S^{X'}} h_{F(Z')} = rF(X')
$$ 
(во втором случае используется морфизм $\tf:Z \to Z'$).
Заметим, что $\alpha_f$ является изоморфизмом, так как функтор $S^f \to S^X$ 
кофинален (это одно из условий Оре). Поэтому композиция $\beta_f\circ\alpha_f^{-1}$
задает морфизм $rF(X) \to rF(X')$. Легко видеть, что тем самым определен функтор $rF:X \mapsto rF(X)$.

При этом, если морфизм $f$ лежит в классе $S$, то существует также функтор $S^{X'} \to S^f$,
$$
(s':X' \to Z') \mapsto \vcenter{\xymatrix{X \ar[r]^f \ar[d]_{s'f} & X' \ar[d]^{s'} \\ Z' \ar[r]^\id & Z'}}
$$
Композиция функторов $S^{X'} \to S^f \to S^{X'}$ очевидно тождественна, а композиция 
$S^f \to S^{X'} \to S^f$ переводит
$$
\vcenter{\xymatrix{X \ar[r]^f \ar[d]_s & X' \ar[d]^{s'} \\ Z \ar[r]^\tf & Z'}} 
\qquad\mapsto\qquad
\vcenter{\xymatrix{X \ar[r]^f \ar[d]_{s'f} & X' \ar[d]^{s'} \\ Z' \ar[r]^\id & Z'}}
$$
При этом диаграммы в правой части образуют кофинальную подкатегорию в $S^f$, 
откуда заключаем, что в этом случае морфизм $\beta_f$ является изоморфизмом. 

Пусть теперь $\TF(X) \in \CT'$ --- объект, представляющий функтор $rF(X)$.
Из функториальности $rF$ по $X$ и леммы Ионеда следует, что $\TF:\CT \to \CT'$ --- функтор.
При этом, так как $rF$ переводит морфизмы из $S$ в изоморфизмы, значит то же верно и для $\TF$,
следовательно он пропускается через факторкатегорию $\TF:\CT/\CN \to \CT'$. 

\begin{exercise}
Покажите, что функтор $\TF$ точен.
\end{exercise}

Проверим, что построенный
функтор $\TF$ удовлетворяет универсальному свойству правого производного функтора.

По определению имеем
$$
\Hom_{\CT'}(Y,\TF(X)) = 
rF(X)(Y) =
\dlim_{S^X} h_{F(Z)}(Y) =
\dlim_{S^X} \Hom_{\CT'}(Y,F(Z)).
$$
Если $Y = F(X)$, то морфизм $\id_{F(X)} \in \Hom_{\CT'}(F(X),F(X))$ (соответствующий морфизму 
$\id_X:X \to X$ из $S^X$) задает элемент предела, то есть морфизм $\rho_F(X):F(X) \to \TF(X)$.
Построение функториально по $X$, поэтому $\rho_F$ --- морфизм функторов $F \to \TF\circ Q$.
Пусть теперь $\phi:F \to G\circ Q$ произвольный морфизм функторов. Построим морфизм $\phi':\TF \to G$.
Для этого достаточно для всех $Y$ построить морфизмы $\Hom_{\CT'}(Y,\TF(X)) \to \Hom_{\CT'}(Y,G(X))$,
функториальные и по $X$ и по $Y$. Рассмотрим произвольный каждого морфизм $s:X \to Z$ из $S^X$
и произвольный морфизм $f:Y \to F(Z)$.
Тогда последний из морфизмов в строке
$$
\xymatrix@1{Y \ar[rr]^f && F(Z) \ar[rr]^-{\phi_Z} && G(Q(Z)) && G(Q(X)) \ar[ll]_-{G(Q(s))}}
$$
обратим, так что можно рассмотреть композицию $G(Q(s))^{-1}\circ\phi_Z\circ f:Y \to G(Q(X))$.
Легко видеть, что тем самым получается морфизм 
$\Hom_{\CT'}(Y,\TF(X)) = \dlim_{S^X} \Hom_{\CT'}(Y,F(Z)) \to \Hom_{\CT'}(Y,G(X))$.
Его функториальность очевидна, так что получаем искомый морфизм функторов.
Чтобы проверить, что $\phi'\circ\rho_F = \phi$ достаточно подставить $Y = F(X)$, $\rho = \rho_F(X)$.
Согласно определению последнего $\phi'$ переводит его в композицию
$G(Q(\id_X))^{-1}\circ\phi_X\circ\id_{F(X)} = \phi_X$, что и требовалось.

Остается проверить, что построенный $\phi'$ единственен. В самом деле, так как в категории $S^X$
есть начальный объект $\id_X:X \to X$, всякий морфизм $\phi':\dlim_{S^X} \Hom_{\CT'}(Y,F(Z)) \to \Hom_{\CT'}(Y,G(X))$
однозначно определяется морфизмом $\Hom_{\CT'}(Y,F(X)) \to \Hom_{\CT'}(Y,G(X))$, то есть морфизмом
$F(X) \to G(X)$, то есть композицией $\phi'\circ\rho_F$.
\end{proof}

В качестве следствия получаем такое утверждение

\begin{lemma}
Пусть в $\CT$ есть строго полная триангулированная подкатегория $\CT_0$,
такая что $F(\CN_0) = 0$, а для каждого объекта $X \in \CT$ найдется морфизм
$X \to X_0$, такой что $X_0 \in \CT_0$, конус которого лежит в~$\CN$.
Тогда функтор $F$ имеет правый производный. Причем $RF(X) \cong F(X_0)$.
Аналогично, если $F(\CN_0) = 0$, а для каждого объекта $X \in \CT$ найдется морфизм
$X_0 \to X$, такой что $X_0 \in \CT_0$, конус которого лежит в~$\CN$, то
функтор $F$ имеет левый производный, причем $LF(X) \cong F(X_0)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
В самом деле, функтор $rF(X)$ изоморфен функтору $rF(X_0)$.
%Обозначим ограничение $F$ на $\CT_0$ через $F_0$, а класс морфизмов $S \cap \CT_0$ . 
Пусть $S_0 = S \cap \CT$. Тогда категория $S_0^{X_0} \subset S^{X_0}$ кофинальна
(по условию!), поэтому $rF_0(X_0) = \dlim_{S_0^{X_0}} h_{F(Z)} = \dlim_{S_0^{X}} h_{F(Z)} = rF(X_0)$,
так что остается проверить представимость функтора $rF_0(X_0)$. Но так как $F_0(\CN_0) = 0$, функтор 
$rF_0(X_0)$ представим объектом $F_0(X_0) = F(X_0)$, так что $RF(X) \cong F(X_0)$.
\end{proof}

Применяя к производным функторам, получаем следующуее 

\begin{corollary}
Пусть $F:\CA \to \CB$ --- точный слева (справа) функтор.
Если в $\CA$ существует достаточно много $F$-ацикличных объектов,
то $F$ имеет правый (левый) производный функтор на категории $\D^+(\CA)$
(соотв. $\D^-(\CA)$), причем  $RF(X) = F(A(X))$ (соотв. $LF(X) = F(A(X))$), 
где $A(X)$ --- $F$-ацикличная резольвента.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $\Acycl^F(\CA)$ --- $F$-ацикличные объекты.
Положим $\CT_0 = \Hot^*(\Acycl^F(\CA))$, где $* = \pm$.
Тогда условия леммы выполняются (то, что $F(\CN_0) = 0$
было доказано в лекции 5). 
\end{proof}


Пусть $(\CT/\CN)^F \subset \CT/\CN$ --- строго полная подкатегория в $\CT/\CN$,
состоящая из всех объектов $X$, для которых функтор $rF(X)$ представим,
а $(\CT/\CN)_F \subset \CT/\CN$ --- строго полная подкатегория в $\CT/\CN$,
состоящая из всех объектов $X$, для которых функтор $lF(X)$ представим.

\begin{exercise}
Покажите, что категории $(\CT/\CN)^F$ и $(\CT/\CN)_F$ в $\CT/\CN$ --- триангулированные.
\end{exercise}

Они называются областью определения функтора $RF$ (соотв. $LF$).

Также можно получить следующую интерпретацию.
Согласно ней, правая и левая локализации функтора существуют всегда,
задаются формулами $(\star)$, но принимают значения в пополнении 
$\dlim \CT'$ или $\ilim \CT'$ категории $\CT'$ относительно прямых 
или обратных пределов соответственно. Тогда область определения функторов $RF$ и $LF$ --- 
это прообраз подкатегории $\CT' \subset \dlim \CT'$ и $\CT' \subset \ilim \CT'$ относительно 
$RF$ и $LF$ соответственно.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\Name{Производные функторы --- свойства и примеры}{Гомологическая алгебра 10}{26.11.2008}

\Section{}

В лекции про точные функторы, я забыл рассказать про морфизмы точных функторов.
Напомним, что точный функтор $\CT \to \CT'$ --- это пара $(F,\theta_F)$, где
$\theta_F:F\circ[1]_\CT \to [1]_{\CT'}\circ F$ --- изоморфизм функторов.
{\sf Морфизм точных функторов} $\phi:(F,\theta_F) \to (G,\theta_G)$ --- это морфизм
функторов $F \to G$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix{
F\circ[1]_\CT \ar[rr]^-{\phi\circ[1]_\CT} \ar[d]_{\theta_F} && G\circ[1]_\CT \ar[d]_{\theta_G} \\
[1]_{\CT'}\circ F \ar[rr]^-{[1]_{\CT'}\circ\phi} && [1]_{\CT'}\circ G
}
$$
коммутативна.

\begin{exercise}
Покажите, что композиция морфизмов точных функторов --- морфизм точных функторов.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что если $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор, а $G:\CT' \to \CT$ --- его правый сопряженный
(он автоматически точен), то морфизмы сопряжения $\id_\CT \to G\circ F$ и $F\circ G \to \id_{\CT'}$ ---
морфизмы точных функторов.
\end{exercise}


Напомним, что если $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор между триангулированными
категориями, а $\CN \subset \CT$ --- триангулированная подкатегория, то существует
правый и левый функтор локализации $RF,LF$ из $\CT/\CN$ в подходящее пополнение
категории $\CT'$, задаваемые формулами
$$
\Hom(Y,RF(X)) = \dlim_{(s:X \to Z) \in S(\CN)} \Hom(Y,F(Z)),
\qquad
\Hom(LF(X),Y) = \dlim_{(s:Z \to X) \in S(\CN)} \Hom(F(Z),Y).
$$
В категории $\CT/\CN$ есть максимальная подкатегория (область определения функтора локализации),
на которой функтор локализации принимает значения в $\CT'$. Это триангулированная подкатегория,
а ограничение функтора локализации на эту категорию является точным функтором. Есть разные
достаточные условия, обеспечивающие то, что функтор локализации всюду определен (допустимость
подкатегории $\CN$ в $\CT$, или наличие подходящей подкатегории $\CT_0 \subset \CT$).

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) морфизмы $\rho_F:F \to RF\circ Q$ и $\lambda_F:LF\circ Q \to F$ --- морфизмы точных функторов.
(b) если морфизм $\phi:F \to G\circ Q$ --- морфизм точных функторов, то морфизм $\phi':RF \to G$ ---
тоже морфизм точных функторов (аналогично для левой локализации).
\end{exercise}



В частном случае, когда $\CT = \Hot^*(\CA)$, $\CT' = \D^*(\CB)$, $\CN = \Acycl^*(\CA)$,
а функтор $F$ индуцирован аддитивным функтором из $\CA$ в $\CB$, локализации
называются производными функторами.

Пусть $F,G:\CT \to \CT'$ --- точные функторы, а $\phi:F \to G$ --- морфизм функторов.

\begin{lemma}
Существует единственный морфизм точных функторов $R\phi:RF \to RG$, такой что диаграмма
$$
\xymatrix{
F \ar[rr]^-\phi \ar[d]_{\rho_F} && G \ar[d]^{\rho_G} \\ RF\circ Q \ar[rr]^-{R\phi} && RG\circ Q
}
$$
коммутативна. Он задается формулой $R\phi(X) = \dlim_{(s:X \to Z) \in S(\CN)} \phi(Z)$.
При этом $R\phi\circ R\psi = R(\phi\circ\psi)$.

Аналогично для левых производных функторов.
\end{lemma}
\begin{proof}
Легко следует из универсального свойства производных функторов.
В самом деле, рассмотрим морфизм функторов $\rho_G\circ\phi:F \to RG\circ Q$.
По униврсальному равенству найдется морфизм функторов $R\phi$ с необходимыми свойствами.
При этом равенство $R\phi\circ R\psi = R(\phi\circ\psi)$ тоже легко следует из универсального свойства.

С другой стороны, можно вывести все и из явной формулы и свойств пределов.
\end{proof}

Пусть $F:\CS \to \CT$ --- точный функтор, а $G:\CT \to \CS$ --- его левый сопряженный (тоже автоматически точный).
Пусть также $\CM \subset \CS$ и $\CN \subset \CT$ --- триангулированные подкатегории.
Обозначим через $RF:\CS/\CM \to \CT/\CN$ правую локализацию функтора $Q_\CT\circ F$, а через
$LG:\CT/\CN \to \CS/\CM$ левую локализацию функтора $Q_\CS\circ G$.

\begin{lemma}
Если функтор $RF$ определен в $X$, а $G$ определен в $Y$, то существует изоморфизм
$$
\Hom_{\CS/\CM}(LGY,X) \cong \Hom_{\CT/\CN}(Y,RFX)
$$
функториальный по $X$ и $Y$.
В частности, если $RF$ и $LG$ всюду определены, то они сопряжены.
\end{lemma}
\begin{proof}
Проще всего воспользоваться явными формулами. В левой и правой частях по определению стоят
$$
\dlim_{(W \to Y) \in S(\CN)} \Hom_\CS(G(W),X)
\qquad\text{и}\qquad
\dlim_{(X \to Z) \in S(\CM)} \Hom_\CT(Y,F(Z))
$$
соответственно. Рассмотрим также
$$
\dlim_{(W \to Y) \in S(\CN),\ (X \to Z) \in S(\CM)} \Hom_\CS(G(W),Z),
$$
то есть предел по категории $S(\CM)^X\times S(\CN)_Y$. Легко видеть,
что функторы проекции $S(\CM)^X\times S(\CN)_Y \to S(\CM)^X,S(\CN)_Y$ кофинальны,
поэтому индуцируют изоморфизмы этого предела с каждым из двух исходных
(также надо учесть, что $\Hom_\CS(G(W),X) \cong \Hom_\CT(Y,F(Z))$
ввиду сопряженности функторов $F$ и $G$).
\end{proof}



\Section{Композиция производных функторов}

Пусть $\CT_1 \stackrel{F}\to \CT_2 \stackrel{G}\to \CT'$ --- композиция точных функторов,
а $\CN_1 \subset \CT_1$ и $\CN_2 \subset \CT_2$ --- строго полные триангулированные подкатегории.
Рассмотрим правые локализации $RF:\CT_1/\CN_1 \to \CT_2/\CN_2$, $RG:\CT_2/\CN_2 \to \CT'$
и $R(G\circ F):\CT_1/\CN_1 \to \CT'$ (если они определены). Естественный вопрос --- верно ли,
что $R(G\circ F) \cong RG\circ RF$. Легко показать, что вообще говоря, это не так.

\begin{example}
Приведем пример для левых производных функторов.
Рассмотрим гомоморфизм алгебр $\kk[x] \to \kk$, $f(x) \mapsto f(0)$.
Пусть $F:\kk\lmod \to \kk[x]\lmod$ --- функтор ограничения, а $G:\kk[x]\lmod \to \kk\lmod$,
$M \mapsto \kk \otimes_{\kk[x]} M$ --- функтор индукции (геометрически $\kk[x]\lmod = \Coh(\AA^1)$,
$\kk\lmod = \Coh(\pt)$, $F = i_*$, $G = i^*$, где $i:\pt \to \AA^1$ --- естественное вложение).
Ясно, что $LF = F$, так как $F$ точен, а $LG (M) = \kk \lotimes_{\kk[x]} M$.
Пользуясь резольвентой
$$
0 \to \kk[x] \stackrel{x}\to \kk[x] \to \kk \to 0,
$$
легко показать, что $LG(LF(V)) \cong V \oplus V[1]$.
При этом $G(F(V)) = V$, так что $L(G\circ F) = L\id = \id$.
\end{example}


Ввиду вышесказанного, полезно иметь условие, гарантриующее равенство производного функтора композиции
и композиции производных функторов. Приведем одно достаточное условие.

Пусть $F:\CT \to \CT'$ --- точный функтор, а $Q:\CT \to \CT/\CN$ --- функтор локализации.
Объект $X$ называется {\sf приспособленным для $F$}, если $RF$ определен на $X$ и
естественный морфизм $\rho_F(X):F(X) \to RF(Q(X))$ --- изоморфизм.

\begin{exercise}
Покажите, что все объекты, приспособленные для функтора $F$ образуют полную
триангулированную подкатегорию в $\CT$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{deploye}
Пусть $F:\CA \to \CB$ --- аддитивный функтор между абелевыми категориями, а $E \subset \CA$ ---
класс объектов, замкнутый относительно прямых сумм и коядер мономорфизмов, такой что
для любой точной тройки $0 \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to 0$, если $A_1 \in E$, то тройка
$0 \to F(A_1) \to F(A_2) \to F(A_3) \to 0$ точна. Если в $\CA$ достаточно много объектов из $E$,
то любой ограниченный снизу комплекс с членами в $E$ приспособлен для $F$ в $\Hot^+(\CA)$,
а функтор $RF$ всюду определен на $\D^+(\CA)$.
\end{exercise}


%\begin{lemma}
%Объект $F$ приспособлен для $F$ $\LRA$ для любого морфизма $s:Y \to Y'$ из $S(\CN)$
%морфизм $F(s):F(Y) \to F(Y')$ имеет левый обратный, который зависит от $s$ функториально.
%\end{lemma}
%\begin{proof}
%Рассмотрим коммутативную диаграмму
%$$
%\xymatrix{
%F(Y) \ar[r]^{F(s)} \ar[d]_{\rho_F(Y)} & F(Y') \ar[d]^{\rho_F(Y')} \\ RF(Y) \ar[r]^{RF(s)} & RF(Y')
%}
%$$
%Заметим, что морфизмы $\rho_F(Y)$ и $RF(s)$ --- изоморфизмы. Поэтому коммутативность диаграммы влечет равенство
%$\rho_F(Y)^{-1}\circ RF(s)^{-1}\circ\rho_F(Y')\circ F(s) = \id_{F(Y)}$. Значит 
%$\rho_F(Y)^{-1}\circ RF(s)^{-1}\circ\rho_F(Y')$ --- левый обратный морфизм для $F(s)$.
%Его функториальность очевидна.
%
%Обратно, пусть каждому морфизму $s:Y \to Y'$ функториально по $s$ сопоставлен морфизм $\xi_s:F(Y') \to F(Y)$,
%такой что $\xi_s\circ F(s) = \id_{F(Y)}$. Рассмотрим морфизм функторов $\xi:rF(Y) \to h_F(Y)$, заданный композицией
%$$
%rF(Y)(Z) = \dlim_{(s:Y \to Y')\in S(\CN)} \Hom(Z,F(Y')) \stackrel{\xi_s}\to
%rF(Y)(Z) = \dlim_{(s:Y \to Y')\in S(\CN)} \Hom(Z,F(Y)) = \Hom(Z,F(Y)),
%% = h_{F(Y)}(Z).
%$$
%а также естественный морфизм $\rho_F:h_{F(Y)} \to rF(Y)$.
%Ясно, что $\xi\circ\rho_F = \id$.
%
%{\bf ???????????????}
%
%\end{proof}

Говорят, что в категории $\CT$ {\sf достаточно много приспособленных для $F$ объектов}, если
для всякого $X \in \CT$ найдется приспособленный для $F$ объект $X_0 \in \CT$ и морфизм
$s:X \to X_0$, лежащий в $S(\CN)$ (в случае левой локализации требуется морфимз $X_0 \to X$).

\begin{exercise}
Пусть $\CT(F) \subset \CT$ --- строго полная триангулированная подкатегория,
состоящая из всех объектов, приспособленных для $F$. Тогда $F(\CT(F)\cap\CN) = 0$.
В частности, если в категории $\CT$ достаточно много приспособленных для $F$ объектов, 
то $RF$ всюду определен и $RF(X) \cong F(X_0)$, где $X_0$ приспособленный для $F$
объект, для которого существует морфизм $s:X \to X_0$ в $S(\CN)$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $\CT_1 \stackrel{F}\to \CT_2 \stackrel{G}\to \CT'$ --- композиция точных функторов,
а $\CN_1 \subset \CT_1$ и $\CN_2 \subset \CT_2$ --- строго полные триангулированные подкатегории.
Пусть в категории $\CT_1$ достаточно много приспособленных для $F$ объектов $X$, таких что
объект $F(X)$ в $\CT_2$ приспособлен для $G$. Тогда все эти объекты приспособлены для $G\circ F$,
функтор $RF$ определен всюду, функтор $RG$ определен на $\Im RF$ и $R(G\circ F) \cong RG\circ RF$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Так как в $\CT_1$ достаточно много приспособленных для $F$ объектов, то $RF$ определен всюду.
Так как для каждого $X$ в $\CT_1$ найдется морфизм $s:X \to X_1$, такой что $s\in S(\CN_1)$,
$X_1$ приспособлен для $F$, а $F(X_1)$ приспособлен для $G$,
то $RF(X) \cong RF(X_1) \cong F(X_1)$, а $RG$ определен на $RF(X_1)$ по условию.
Значит $RG$ определен на $\Im RF$. 

Пусть теперь $\CT_0 \subset \CT_1$ --- строго полная подкатегория, состоящая из 
приспособленных для $F$ объектов $X_0$, таких что $F(X_0)$ приспособлен для $G$.
Эта подкатегория триангулирована (так как является пересечением триангулированной 
подкатегории и прообраза триангулированной подкатегории). В силу упражнения $F(\CT_0\cap \CN_1) = 0$,
значит тем более $G(F(\CT_0\cap \CN_1)) = 0$. При этом для каждого объекта $X \in \CT_1$
найдется морфизм $s:X \to X_0$ в $S(\CN_1)$, такой что $X_0 \in \CT_0$.
Значит $R(G\circ F)$ всюду определен и $R(G\circ F)(X) = G(F(X_0))$. 
В частности, если $X \in \CT_0$ можно взять $X_0 = X$, так что $R(G\circ F)(X) = G(F(X))$.
\end{proof}


\Section{Производные бифункторы}



Пусть $X^{\bullet,\bullet}$ --- {\sf бикомплекс над $\CA$}, то есть биградуированный объект над $\CA$
с двумя дифференциалами $d_I:X^{m,n} \to X^{m+1,n}$ и $d_{II}:X^{m,n} \to X^{m,n+1}$, такими что
$$
d_I^2 = 0,\qquad
d_{II}^2 = 0,\qquad\text{и}\qquad
d_I\circ d_{II} = d_{II}\circ d_I.
$$
Легко видеть, что бикомплексы образуют абелеву категорию $\Com^2(\CA)$.

Определим функторы свертки $\tot_\oplus,\tot_\pi:\Com^2(\CA) \to \Com(\CA)$ формулами
$$
\begin{array}{rcllcl}
\tot_\oplus(X^{\bullet,\bullet},d_I,d_{II}) &=& ( \oplus_{m+n=k} X^{m,n}, & d^k_{|X^{m,n}} &=& d_I^{m,n} + (-1)^m d_{II}^{m,n} ),\\
\tot_\pi(X^{\bullet,\bullet},d_I,d_{II}) &=& ( \prod_{m+n=k} X^{m,n}, & d^k_{{m,n}} &=& d_I^{m-1,n} + (-1)^m d_{II}^{m,n-1} ).
\end{array}
$$
Чтобы первый из них был определен в категории $\CA$ должны существовать бесконечные прямые суммы,
а чтобы второй был определен --- бесконечные прямые произведения.
При этом, эти функторы всегда определены и совпадают на подкатегории бикомплексов,
имеющих на каждой из диагоналей лишь конечное число ненулевых членов
(в этом случае мы будем обозначать их просто $\tot$).

%\begin{exercise}
%Покажите, что функтор свертки $\tot_\oplus$ сопряжен слева, а функтор $\tot_\pi$ справа к функтору $\Com(\CA) \to \Com^2(\CA)$,
%переводящему комплекс $X^\bullet$ в бикомплекс $X^{m,n} = X^{m+n}$, $d_I = d_{II} = d$.
%\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $f:X^\bullet \to Y^\bullet$ --- морфизм комплексов.
Положим $Z^{-1,n} = X^n$, $Z^{0,n}=Y^n$, $Z^{m,n}=0$ при $m \ne -1,0$, $d_{II}^{-1,n} = d_X^n$, $d_I^{0,n}=d_Y^n$, а $d_{II}^{-1,n}=f^n$.
Покажите, что $\tot(Z^{\bullet,\bullet}) = C(f)$.
\end{exercise}

На категории бикомплексов есть два функтора сдвига --- по первой координате и по второй
(меняющие знак соответствующего дифференциала). Обозначим их $[1]_I$ и $[1]_{II}$ соответственно.
Ясно, что они коммутируют $[1]_I\circ [1]_{II} = [1]_{II}\circ[1]_I$.

\begin{exercise}
Покажите, что существуют изоморфизмы функторов $\theta_I:\tot_*\circ[1]_I \to [1]\circ\tot_*$
и $\theta_I:\tot_*\circ[1]_I \to [1]\circ\tot_*$, такие что диаграмма
$$
\xymatrix{
\tot_*\circ[1]_I\circ[1]_{II} \ar[r]^{\theta_I} \ar[d]_{\theta_{II}} & [1]\circ\tot_*\circ[1]_{II} \ar[d]_{\theta_{II}} \\
[1]\circ\tot_*\circ[1]_I  \ar[r]^{\theta_I} & [2]\circ\tot_*
}
$$
антикоммутативна ($*$ заменяет $\oplus$ либо $\pi$).
\end{exercise}

Бифунктор $F:\CT_1 \times \CT_2 \to \CT$ между триангулированными категориями называется {\sf точным}, если 
\begin{itemize}
\item заданы изоморфзмы $\theta_1:F\circ[1]_{\CT_1} \to [1]_\CT\circ F$ и $\theta_2:F\circ[1]_{\CT_2} \to [1]_\CT\circ F$,
такие что диаграмма
$$
\xymatrix{
F\circ[1]_{\CT_1}\circ[1]_{\CT_2} \ar[r]^{\theta_1} \ar[d]_{\theta_2} & [1]\circ F\circ[1]_{\CT_2} \ar[d]_{\theta_2} \\
[1]\circ F\circ[1]_{\CT_1}  \ar[r]^{\theta_1} & [2]\circ F
}
$$
антикоммутативна;
\item для любого выделенного треугольника $X_1 \to X_2 \to X_3 \to X_1[1]_{\CT_1}$ в $\CT_1$
и любого $Y \in \CT_2$ треугольник $F(X_1,Y) \to F(X_2,Y) \to F(X_3,Y) \to F(X_1,Y)[1]_\CT$ выделен в $\CT$;
\item для любого выделенного треугольника $Y_1 \to Y_2 \to Y_3 \to Y_1[1]_{\CT_2}$ в $\CT_2$
и любого $X \in \CT_1$ треугольник $F(X,Y_1) \to F(X,Y_2) \to F(X,Y_3) \to F(X,Y_1)[1]_\CT$ выделен в $\CT$.
\end{itemize}

\begin{exercise}
Покажите, что для любого аддитивного бифунктора $F:\CA_1\times\CA_2 \to \CA$
бифунктор $F_*:\Hot^*(\CA_1)\times\Hot^*(\CA_2) \to \Hot^*(\CA)$,
заданный формулой
$$
(X^\bullet,Y^\bullet) \mapsto \tot_*(F(X^\bullet,Y^\bullet))
$$
точен.
\end{exercise}

Пусть $F:\CT_1\times\CT_2 \to \CT$ --- бифунктор, а $\CN_1 \subset \CT_1$, $\CN_2 \subset \CT_2$ --- 
триангулированные подкатегории. Бифунктор $RF:(\CT_1/\CN_1) \times (\CT_2/\CN_2) \to \CT$
называется правой локализацией бифунктора $F$, если задан морфизм бифункторов $\rho:F \to RF\circ Q$,
такой что для любого бифунктора $G:(\CT_1/\CN_1) \times (\CT_2/\CN_2) \to \CT$ и морфизма бифункторов 
$\phi:F \to G\circ Q$ существует единственный морфизм бифункторов $\phi':RF \to G$, такой что $\phi'\circ\rho = \phi$.

\begin{exercise}
Преположим, что существует полуортогональное разложение $\CT_1 = (\CI_1,\CN_1)$,
а функтор $F$ переводит $\CI_1\times\CN_2$ в ноль. Тогда он имеет правый производный $RF$
и $RF(X,Y) = F(X_I,Y)$, где $X_I$ --- проекция $X$ на $I$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{derbif}
Преположим, что существует триангулированные подкатегории $\CT_{01} \subset \CT_1$ и $\CT_{02} \subset \CT_2$
такая что если $\CN_{0i} = \CT_{0i} \cap \CN_i$, то $F(\CN_{01}\times\CT_{02}) = 0$ и $F(\CT_{01}\times\CN_{02}) = 0$,
и для всяких объектов $X \in \CT_1$, $Y \in \CT_2$ существуют морфизмы $s:X \to X_0$, $t:Y \to Y_0$,
лежащие в $S(\CN_1)$ и $S(\CN_2)$ соответственно. Докажите, что существует правый производный функтор $RF$, причем $RF(X,Y) = F(X_0,Y_0)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Сформулируйте и докажите теорему о производном функторе композиции бифункторов.
\end{exercise}


\Section{Производные функторы в алгебраической геометрии}

Пусть $X$ --- схема.

\begin{exercise}
Покажите, что
(a) если $U \subset X$ --- аффинное подмножество, $j:U \to X$ --- вложение, а
$F$ --- квазикорентный пучок на $U$, соответствующий инъективному модулю,
то $j_*F$ --- инъективный объект в $\QCoh(X)$;
(b) если $X$ квазикомпактна (имеет конечное покрытие открытыми аффинными множествами), 
то в $\QCoh(X)$ достаточно инъективных объектов. В частности, любой точный справа 
функтор из $\QCoh(X)$ имеет правый производный на $\D^+(\QCoh(X))$.
\end{exercise}

В частности, если $X$ квазикомпактна, то функтор $\Gamma$ глобальных сечений 
имеет правый производный функтор $R\Gamma$ на категории $\D^+(\QCoh(X))$,
Аналогично, если $f:X \to Y$ --- морфизм из квазикомпактной схемы $X$,
то существует правый производный функтор $Rf_*:\D^+(\QCoh(X)) \to \D^+(\QCoh(Y))$.

\begin{exercise}
Покажите, что любая квазипроективная схема квазикомпактна.
\end{exercise}

С проективными объектами в категории $\QCoh(X)$ ситуация противоположная --- их,
как правило нет вообще (единственное по существо исключение --- аффинный случай).
Однако, для вычисления левого производного функтора от обратного образа и тензорного
произведения часто достаточно локально свободных пучков. 
Обозначим класс локально свободных пучков на $X$ через $\LF(X)$.

\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем.
Покажите, что класс $\LF(Y)$ удовлетворяет условиям 
упражнения~\ref{deploye} для функтора $f^*:\QCoh(Y) \to \QCoh(X)$.
В частности, если на $Y$ достаточно много локально свободных пучков, то 
существует левый производный функтор $Lf^*:\D^-(\QCoh(Y)) \to \D^-(\QCoh(X)))$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что на любой квазипроективной схеме достаточно много локально свободных пучков.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CT_1 = \CT_2 = \Hot^-(\QCoh(X))$, $\CN_1 = \CN_2 = \Acycl^-(\QCoh(X))$, $\CT = \D^-(\QCoh(X))$,
а $F(\CF^\bullet,\CG^\bullet) = Q(\tot_\oplus(\CF^\bullet\otimes\CG^\bullet))$.
Пусть на $X$ достаточно много локально свободных пучков.
Покажите, что если $\CT_{01} = \Hot^-(\LF(X))$, $\CT_{02} = \CT_2$, то условия упражнения~\ref{derbif} 
(для левых локализаций) выполнены. В частности, существует левый производный функтор
$\lotimes:\D^-(\QCoh(X))\times\D^-(\QCoh(X)) \to \D^-(\QCoh(X))$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CT_1 = \Hot^-(\QCoh(X))$, $\CT_2 = \Hot^+(\QCoh(X))$, $\CN_{1,2} = \Acycl^\mp(\QCoh(X))$, 
$\CT = \D^+(\QCoh(X))$, а $F(\CF^\bullet,\CG^\bullet) = Q(\tot_\pi(\CHom(\CF^\bullet,\CG^\bullet)))$.\\
(a) Пусть на $X$ достаточно много локально свободных пучков.
Покажите, что если $\CT_{01} = \Hot^-(\LF(X))$, $\CT_{02} = \CT_2$, то условия упражнения~\ref{derbif} 
выполнены. В частности, существует правый производный функтор
$R\CHom:\D^-(\QCoh(X))^{\opp}\times\D^+(\QCoh(X)) \to \D^+(\QCoh(X))$.\\
(b) Пусть $X$ квазикомпактна.
Покажите, что если $\CT_{01} = \CT_1$, $\CT_{02} = \Hot^+(\Inj(\QCoh(X)))$, то условия упражнения~\ref{derbif} 
выполнены и функтор 
$R\CHom:\D^-(\QCoh(X))^{\opp}\times\D^+(\QCoh(X)) \to \D^+(\QCoh(X))$ существует.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CT_1 = \Hot^-(\QCoh(X))$, $\CT_2 = \Hot^+(\QCoh(X))$, $\CN_{1,2} = \Acycl^\mp(\QCoh(X))$, 
$\CT = \D^+(\Ab)$, а $F(\CF^\bullet,\CG^\bullet) = Q(\tot_\pi(\Hom(\CF^\bullet,\CG^\bullet)))$.
Покажите, что если схема $X$ квазикомпактна, а $\CT_{01} = \CT_1$, $\CT_{02} = \Hot^+(\Inj(\QCoh(X)))$, 
то условия упражнения~\ref{derbif} выполнены. В частности, существует правый производный функтор
$R\Hom:\D^-(\QCoh(X))^{\opp}\times\D^+(\QCoh(X)) \to \D^+(\Ab)$.
\end{exercise}

На самом деле, производные функторы от всех вышеперечисленных существуют и на неограниченных
производных категориях. Это доказывается с помощью результатов типа теоремы Спальтенштейна.

Между перечисленными выше функторами есть множество соотношений.
Во-первых, соотношения сопряженности.

\begin{lemma}
Функтор $Lf^*$ сопряжен слева к функтору $Rf_*$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Немедленно следует из сопряженности функторов $f^*$ и $f_*$.
\end{proof}


\begin{lemma}
Функтор $- \lotimes \CF$ сопряжен слева к функтору $R\CHom(\CF,-)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Немедленно следует из сопряженности функторов $- \otimes \CF$ и $\CHom(\CF,-)$.
\end{proof}

Кроме того, выполнены следующие соотношения

\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ и $g:Y \to Z$ --- морфизмы схем.
Покажите, что 
(a) $L(g\circ f)^* \cong Lf^*\circ Lg^*$;
(b) $R(g\circ f)_* \cong Rg_*\circ Rf_*$;
(c) $R\Gamma(X,-) \cong R\Gamma(Y,-)\circ Rf_*$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $X$ --- схема.
Покажите, что 
(a) $R\Gamma(X,R\CHom(\CF,\CG)) \cong R\Hom(\CF,\CG)$;\\
(b) $(\CF\lotimes\CG)\lotimes\CH \cong \CF\lotimes(\CG\lotimes\CH)$;
(c) $\CF\lotimes\CG \cong \CG\lotimes\CF$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем.
Покажите, что $Lf^*(\CF\lotimes\CG) \cong (Lf^*\CF) \lotimes (Lf^*\CG)$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем.
Тогда
%(a) $Lf^*R\CHom(\CF,\CG) \cong R\CHom(Lf^*\CF,Lf^*\CG)$;
{\rm(a)} $Rf_*R\CHom(Lf^*\CF,\CG) \cong R\CHom(\CF,Rf_*\CG)$;\\
{\rm(b)} ({\sf формула проекции}) $Rf_*(Lf^*\CF\lotimes\CG) \cong \CF\lotimes Rf_*\CG$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Докажем вначале (a). Заметим, что
\begin{multline*}
\Hom(\CH,Rf_*R\CHom(Lf^*\CF,\CG)) \cong
\Hom(Lf^*\CH,R\CHom(Lf^*\CF,\CG)) \cong
\Hom(Lf^*\CH \lotimes Lf^*\CF,\CG) \cong \\ \cong
\Hom(Lf^*(\CH \lotimes \CF),\CG) \cong
\Hom(\CH \lotimes \CF,Rf_*\CG) \cong
\Hom(\CH, R\CHom(\CF,Rf_*\CG)).
\end{multline*}
Значит наши функторы изоморфны.

Теперь проверим (b). Заметим, что
$$
\Hom(\CF\lotimes Rf_*\CG,Rf_*(Lf^*\CF\lotimes\CG)) \cong
\Hom(Lf^*(\CF\lotimes Rf_*\CG),Lf^*\CF\lotimes\CG) \cong
\Hom(Lf^*\CF\lotimes Lf^*Rf_*\CG,Lf^*\CF\lotimes\CG).
$$
Поэтому морфизм сопряженности $Lf^*Rf_*\CG \to \CG$ индуцирует морфизм $\CF\lotimes Rf_*\CG \to Rf_*(Lf^*\CF\lotimes\CG)$.
Легко видеть, что он является изоморфизмом, если $\CF$ --- ограниченный сверху комплекс локально свободных пучков,
а $\CG$ --- ограниченный снизу комплекс инъективных квазикогерентных пучков. Это дает искомый изоморфизм
на $\D^-(\QCoh(Y))\times\D^+(\QCoh(X))$ в силу обычной формулы проекции --- $f_*(f^*\CF\otimes\CG) \cong \CF\otimes f_*\CG$,
для локально свободных $\CF$. Можно далее показать, что он продолжается до изоморфизма на всей неограниченной категории.
\end{proof}


\begin{exercise}
Покажите, что $R\CHom(\CG,\CH\lotimes\CF) \cong R\CHom(\CG,\CH)\lotimes\CF \cong R\CHom(\CG\lotimes\CF^\vee,\CH)$, 
для всех $\CF \in \D^\perf(X)$, где $\CF^\vee = R\CHom(\CF,\CO_X)$.
\end{exercise}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\Name{Каноническая фильтрация и $t$-структуры}{Гомологическая алгебра 11}{03.12.2008}

\Section{Каноническая фильтрации}

Для вычисления значения производного функтора на данном объекте триангулированной
категории редко используют явные проективные или инъективные резольвенты. Как правило
пользуются тем, что известна некоторая ``фильтрация'' этого объекта и значения производного
функтора на ``факторах'' этой фильтрации. Правда обычное понятие фильтрации не имеет
особого смысла в триангулированных категориях ввиду следующего обстоятельства.


\begin{lemma}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм в триангулированной категории $\CT$.
Если $f$ --- мономорфизм, то $f$ --- вложение прямым слагаемым,
а если $f$ --- эпиморфизм, то $f$ --- проекция на прямое слагаемое.
\end{lemma}
\begin{proof}
Понятия мономорфизма и эпиморфизма имеют смысл, так как триангулированная категория аддитивна.
Пусть $f$ --- мономорфизм. Значит функтор $Z \mapsto \Ker(\Hom(Z,X) \to \Hom(Z,Y))$
представим и представляется объектом $0$. Иначе говоря, для любого $Z$ морфизм $\Hom(Z,X) \to \Hom(Z,Y)$ ---
вложение. Достроим морфизм $f$ до выделенного треугольника $Z \to X \to Y \to Z[1]$. Так как композиция
$Z \to X \to Y$ равна нулю, то морфизм $Z \to X$ тоже равен нулю. Значит $f$ --- вложение прямым слагаемым.
Случай эпиморфизма разбирается аналогично.
\end{proof}

{\sf Фильтрацией} на объекте $X$ триангулированной категории $\CT$ называется любая коммутативная диаграмма
$$
\xymatrix{
\dots \ar[r] & F^{p+1}X \ar[r] \ar[d] & F^pX \ar[r] \ar[d] & F^{p-1}X \ar[r] \ar[d] & \dots\\
\dots \ar@{=}[r] & X \ar@{=}[r] & X \ar@{=}[r] & X \ar@{=}[r] & \dots
}
$$
Фильтрация называется {\sf конечной}, если при $p \gg 0$ морфизм $F^pX \to X$ --- изоморфизм,
а при $p \ll 0$ $F^pX = 0$.
Конусы морфизмов $F^{p+1}X \to F^pX$ называются факторами фильтрации:
$$
\gr^p_F X = C(F^{p+1}X \to F^pX).
$$
Они определены с точностью до (неканонического) изоморфизма.

Есть два важных примера.
Рассмотрим комплекс $X^\bullet$ в гомотопической категории $\Hot(\CA)$.

{\sf Глупой фильтрацией} на $X^{\bullet}$ называется фильтрация $F^pX = \sigma_{\ge p}X$, где
$$
(\sigma_{\ge p}X)^k = \begin{cases} X^k, & \text{если $k \ge p$}\\ 0, & \text{если $k < p$}\end{cases}
$$
{\sf Канонической фильтрацией} на $X^{\bullet}$ называется фильтрация $F^pX = \tau_{\le -p}X$, где
$$
(\tau_{\le -p}X)^k = \begin{cases} X^k, & \text{если $k < -p$}\\ \Ker d_X^p, & \text{если $k = p$}\\ 0, & \text{если $k < p$}\end{cases}
$$
\begin{exercise}
Покажите, что $\gr^p_\sigma X \cong X^p$, $\gr^p_\tau X \cong H^p(X)$.
\end{exercise}

Обе приведенные фильтрации функториальны в гомотопической категории --- всякий морфизм $f:X \to Y$
индуцирует морфизмы $\sigma_{\ge p}f:\sigma_{\ge p}X \to \sigma_{\ge p}Y$ и $\tau_{\le -p}f:\tau_{\le -p}X \to \tau_{\le -p}Y$,
коммутирующие со всеми морфизмами фильтрации. Однако, при попытке опустить эти филтрации
на производную категорию, результат оказывается противоположным. В самом деле, приведенное
упражнение показывает, что глупая фильтрация не опускается на производную категорию, так как
у квазиизоморфных комплексов могут быть совершенно разные члены.

\begin{lemma}
Если $s:X \to Y$ квазиизоморфизм, то $\tau_{\le -p}s:\tau_{\le -p}X \to \tau_{\le -p}Y$ --- квазиизоморфизмы.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим коммутативный квадрат
$$
\xymatrix{
\tau_{\le -p}X \ar[rr]^{\tau_{\le -p}s} \ar[d] && \tau_{\le -p}Y \ar[d] \\ X \ar[rr]^s && Y
}
$$
Переходя к когомологиям, получаем коммутативный квадрат
$$
\xymatrix{
H^k(\tau_{\le -p}X) \ar[rr]^{H^k(\tau_{\le -p}s)} \ar[d] && H^k(\tau_{\le -p}Y) \ar[d] \\ H^k(X) \ar[rr]^{H^k(s)} && H^k(Y)
}
$$
Если $k \le -p$, то вертикальные стрелки --- изоморфизмы. Нижняя стрелка тоже изоморфизм.
Значит и верхняя стрелка изоморфизм. С другой стороны, при $k > -p$ имеем
$H^k(\tau_{\le -p}X) = H^k(\tau_{\le -p}Y) = 0$, поэтому верхняя стрелка изоморфизм и в этом случае.
Значит $\tau_{\le -p}s$ --- квазиизоморфизм.
\end{proof}

Согласно универсальному свойству локализации, функторы $\tau_{\ge -p}$ опускаются на производную категорию.
Значит для любого объекта $X$ в $\D(\CA)$ имеем каноническую фильтрацию $\tau_{\ge -p}X$, такую что $\gr^p_\tau X \cong H^p(X)$,
причем функториальную.

\begin{exercise}
Покажите, что существуют также функторы $\tau_{\ge q}:\D(\CA) \to \D(\CA)$ и морфизмы функторов
$\tau_{\le q} \to \id \to \tau_{\ge g+1} \to [1]\circ\tau_{\le q}$, такие что для любого $X$
треугольник $\tau_{\le q}X \to X \to \tau_{\ge q+1}X \to (\tau_{\le q}X)[1]$ выделен.
\end{exercise}



\Section{Стандартная $t$-структура}

Свойства функторов обрезания относительно канонической фильтрации аксиоматизируются
понятием $t$-структуры. По определению, {\sf $t$-структура} на триангулированной категории $\CT$ ---
это пара строго полных (но не триангулированных!) подкатегорий $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$,
удовлетворяющих следующим свойствам.
Обозначим
$$
\CT^{\le t} := \CT^{\le 0}[-t],\qquad
\CT^{\ge t} := \CT^{\ge 0}[-t].
$$
Тогда
\begin{enumerate}
\item $\CT^{\le -1} \subset \CT^{\le 0}$, $\CT^{\ge 1} \subset \CT^{\ge 0}$;
\item $\Hom(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 1}) = 0$;
\item для любого объекта $X \in \CT$ существует выделенный треугольник $X_{\le 0} \to X \to X_{\ge 1} \to X_{\le 0}[1]$,
такой что $X_{\le 0} \in \CT^{\le 0}$, а $X_{\ge 1} \in \CT^{\ge 1}$.
\end{enumerate}
$t$-структура $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ называется {\sf невырожденной}, если
$\bigcap_{t = -\infty}^\infty \CT^{\le t} = \bigcap_{t = -\infty}^\infty \CT^{\ge t} = 0$.

Если $\CT = \D(\CA)$ --- производная категория, на ней существует $t$-структура, называемая {\sf стандартной}.
\begin{lemma}
Положим
$$
\D^{\le 0}(\CA) := \{ X \in \D(\CA)\ |\ H^p(X) = 0 \forall p > 0\},\qquad
\D^{\ge 0}(\CA) := \{ X \in \D(\CA)\ |\ H^p(X) = 0 \forall p < 0\}.
$$
Тогда $(\D^{\le 0}(\CA),\D^{\ge 0}(\CA))$ --- невырожденная $t$-структура.
\end{lemma}
\begin{proof}
Свойство (1) очевидно, а свойство (3) следует из упражнений.
Остается проверить свойство (2). Пусть $X \in \D^{\le 0}(\CA)$, $Y \in \D^{\ge 1}(\CA)$.
Меняя $X$ на квазиизоморфный ему комплекс $\tau_{\le 0}X$ можно считать, что члены
комплекса $X$ равны нулю в положительных степенях. По определению $\Hom(X,Y)$ --- множество классов
эквивалентности левых дробей $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y$, где $s$ --- квазиизоморфизм.
Так как $Y \in \D^{\ge 1}(\CA)$, то и $Z \in \D^{\ge 1}(\CA)$, поэтому морфизм $Z \to \tau_{\ge 1}Z$ ---
квазиизоморфизм, поэтому всякая такая дробь эквивалентна дроби $X \to \tau_{\ge 1}Z \leftarrow Y$.
Но у комплекса $\tau_{\ge 1}Z$ все члены в неположительных степенях равны нулю, а у комплекса $X$ --- все члены
в положительных степенях равны нулю, поэтому в гомотопической категории $\Hom(X,\tau_{\ge 1}Z) = 0$.
Значит всякая дробь эквивалентна нулю. Таким образом, перед нами $t$-структура.
Ее невырожденность очевидна --- указанное пересечение состоит из ацикличных комплексов,
а они в производной категории равны нулю.
\end{proof}

\begin{lemma}
Для любых объектов $X,Y \in \CA$ имеем 
$$
\Hom_{\D(\CA)}(X,Y[t]) \cong \begin{cases} 0, & \text{если $t < 0$}\\ \Ext_I^t(X,Y), & \text{если $t \ge 0$}\end{cases}
$$
В частности, функтор вложения $\CA \to \D(\CA)$ --- строго полный.
Более того, он индуцирует эквивалентность $\CA$ и подкатегории $\D^0(\CA) := \D^{\le 0}(\CA) \cap \D^{\ge 0}(\CA)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Если $t < 0$, то зануление морфизмов доказано в предыдущей лемме. Пусть $t > 0$.
Заменяя в левой дроби $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y[t]$, представляющей
морфизм $X \to Y[t]$ объект $Z$ на $\tau_{\ge -t}Z$, можно считать, что комплекс $Z$ 
сосредоточен в степенях $\ge -t$.
Конус морфизма $s$ --- это комплекс $0 \to Y \to Z^{-t} \to Z^{1-t} \to \dots$. Так как $s$ --- квазиизоморфизм, 
он ацикличен. В частности, морфизм $Y \to Z^{-t}$ --- вложение, а комплекс 
$0 \to Y \to Z^{-t} \to \dots \to Z^{-1} \to \Ker d_Z^0 \to 0$ --- точная последовательность,
задающая класс $\epsilon_s \in \Ext_I^t(\Ker d_Z^0,Y)$. Морфизм $f:X \to Z$ задается морфизмом $X \to \Ker d_Z^0$,
компонируя который с $\epsilon_s$ получаем класс $\epsilon_s \circ f \in \Ext_I^t(X,Y)$.

Обратно, рассмотрим расширение $0 \to Y \to Z^{-t} \to \dots \to Z^{-1} \to X \to 0$.
Положим $Z^0 = X$, тогда $Z^\bullet$ --- комплекс, вложение $Y \to Z^{-t}$ индуцирует
квазиизоморфизм $s:Y[t] \to Z$, а изоморфизм $X \to Z^0$ --- морфизм $X \to Z$.
В итоге получаем левую дробь $X \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y[t]$.

Покажем, что тем самым мы построили взаимно обратные отображения между $\Hom_{\D(\CA)}(X,Y[t])$
и $\Ext_I^t(X,Y)$. Во-первых, надо проверить корректность.
Пусть $t:Z \to V$ --- квазиизоморфизм комплексов, сосредоточенных в степенях $\ge -t$.
Легко видеть, что он индуцирует элементарную эквивалентность соответствующих расширений.
Обратно, элементарная эквивалентность расширений очевидно дает эквивалентность соответствующих левых дробей.

Осталось проверить взаимную обратность построенных отображений. Тождественность одной из композиций очевидна ---
если мы начнем с расширения, построим по нему левую дробь, а затем по ней расширение --- получим то же, 
с чего и начали. Обратно, если мы начнем с левой дроби, построим по ней расширение, а затем левую дробь,
то в результате комплекс $Z$ заменится на квазиизомрфный ему комплекс $Z'$, причем морфизмы $s:Y[t] \to Z$
и $f:X \to Z$ пропустятся через $Z'$. Поэтому полученная левая дробь будет эквивалентна исходной.

Пусть, наконец, $t = 0$. Всякий морфизм $X \to Y$ представляется в виде левой дроби
$X \stackrel{f}\to Z \stackrel{s}\leftarrow Y$, где комплекс $Z$ сосредоточен в неотрицательных степенях.
Конус морфизма $s$ --- это комплекс $0 \to Y \to Z^0 \to Z^1 \to \dots$. Так как $s$ --- квазиизоморфизм, 
он ацикличен. Поэтому последовательность $0 \to \Hom(X,Y) \to \Hom(X,Z^0) \to \Hom(X,Z^1)$ точна слева.
Но это в точности означает, что любой морфизм из $X$ в $C(s)$ и в $C(s)[-1]$ гомотопен нулю! Из 
выделенного в $\Hot(\CA)$ треугольника $C(s)[-1] \to Y \to Z \to C(s)$ получаем 
изоморфизм $\Hom(X,Y) \cong \Hom(X,Z)$. Это доказывает то, что функтор $\CA \to \D(\CA)$ строго полон.

Остается проверить, что категория $\D^0(\CA)$ является существенным образом категории $\CA$.
В самом деле, образ $\CA$ очевидно лежит в $\D^0(\CA)$. С другой стороны, если $X \in \D^0(\CA)$, то морфизмы
$X \to \tau_{\ge 0}X$ и $\tau_{\le 0}\tau_{\ge 0}X$ --- квазиизоморфизмы, а $\tau_{\le 0}\tau_{\ge 0}X$ ---
комплекс, сосредоточенный в степени $0$, то есть лежащий в образе функтора. Значит всякий объект в $\D^0(\CA)$
изоморфен объекту в $\CA$.
\end{proof}

\begin{exercise}
Пусть $X,Y \in \CA$. Покажите, что функтор $E^i(X,Y) = \Hom_{\D(\CA)}(X,Y[i])$ является $\delta$-функтором
по обоим аргументам. При этом если в $\CA$ достаточно много проективных объектов, то он стирающий по первому
аргументу, а если достаточно много инъективных, то по второму. 
\end{exercise}


Ясно, что стандартная $t$-структура индуцирует $t$-структуры и на ограниченных вариантах производной категории.
Все они тоже называются стандартными.

Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура. Обозначим $\CT^{[a,b]} := \CT^{\ge a} \cap \CT^{\le b}$.
$t$-структура называется {\sf ограниченной}, если $\CT = \bigcup_{a \le b} \CT^{[a,b]}$.

\begin{exercise}
Покажите, что стандартная $t$-структура на $\D^*(\CA)$ ограничена $\LRA$ $* = b$.
\end{exercise}

\newpage

\Section{Свойства $t$-структур}


Как видно из определения, понятие $t$-структуры очень похоже на понятие полуортогонального
разложения. Отличие в том, что в полуортогональном разложении подкатегории должны быть
инвариантными относительно всех сдвигов, а не только относительно положительных
или отрицательных.

\begin{lemma}
Если $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура на триангулированной категории $\CT$,
то существуют функторы $\tau_{\le t}:\CT \to \CT^{\le t}$, $\tau_{\ge t}:\CT \to \CT^{\ge t}$,
и морфизмы функторов $\tau_{\le t} \to \id \to \tau_{\ge t+1} \to [1]\circ\tau_{\le t}$,
такие что для любого $X$ треугольник $\tau_{\le t}X \to X \to \tau_{\ge t+1}X \to (\tau_{\le t}X)[1]$ выделен.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим вначале случай $t = 0$. Для всяких $X,Y \in \CT$ по свойству (3) определения $t$-структуры
найдутся выделенные треугольники $X_{\le 0} \to X \to X_{\ge 1} \to X_{\le 0}[1]$ и
$Y_{\le 0} \to Y \to Y_{\ge 1} \to Y_{\le 0}[1]$ в которых $X_{\le 0},Y_{\le 0} \in \CT^{\le 0}$,
а $X_{\ge 1},Y_{\ge 1} \in \CT^{\ge 1}$. Заметим, что $\Hom(X_{\le 0},Y_{\ge 1}) = 0$
по свойству (2), поэтому для любого морфизма $f:X \to Y$ найдутся морфизмы $f_{\le 0}:X_{\le 0} \to Y_{\le 0}$
и $f_{\ge 1}:X_{\ge 1} \to Y_{\ge 1}$, образующие морфизм треугольников. Более того,
$\Hom(X_{\le 0},Y_{\ge 1}[-1]) = 0$ по свойству (2), так как $Y_{\ge 1}[1] \in \CT^{\ge 2} \subset \CT^{\ge 1}$
по свойству (1), а $X_{\le 0} \in \CT^{\le 0}$. Поэтому такие морфизмы однозначно определены.
Следовательно, сопоставление $X \mapsto X_{\le 0}$, $f \mapsto f_{\le 0}$ является функтором
$\CT \to \CT^{\le 0}$ (обозначим его $\tau_{\le 0}$), а сопоставление $X \mapsto X_{\ge 1}$,
$f \mapsto f_{\le 1}$ является функтором $\CT \to \CT^{\ge 0}$ (обозначим его $\tau_{\ge 0}$).
При этом морфизмы в треугольниках задают искомые морфизмы функторов.
Остается заметить, что положив $\tau_{\le t} := [-t]\circ\tau_{\le 0}\circ[t]$,
$\tau_{\ge t+1} := [-t]\circ\tau_{\ge 1}\circ[t]$, получим остальные функторы.
\end{proof}

\begin{exercise}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура.
Покажите, что
(a) $\CT^{\le 0}[1] \subset \CT^{\le 0}$, а $\CT^{\ge 0}[-1] \subset \CT^{\ge 0}$;\\
(b) $\CT^{\le 0}$ и $\CT^{\ge 0}$ замкнуты относительно расширений (подкатегория $\CC \subset \CT$
замкнута относительно расширений, если для любого выделенного треугольника $X \to Y \to Z \to X[1]$
с $X,Z \in \CC$ выполнено $Y \in \CC$);\\
(c) функтор $\tau_{\le 0}$ сопряжен справа к функтору вложения $\CT^{\le 0} \to \CT$,
а функтор $\tau_{\ge 0}$ сопряжен слева к функтору вложения $\CT^{\ge 0} \to \CT$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{taupq}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура.
Покажите, что\\
(a) $\tau_{\le p}\circ[q] \cong [q]\circ\tau_{\le p+q}$, $\tau_{\ge p}\circ[q] \cong [q]\circ\tau_{\ge p+q}$;\\
(b) морфизм функторов $\tau_{\le p} \to \id$ при ограничении на $\CT^{\le p}$ становится изоморфизмом.
\end{exercise}



Всякая $t$-структура однозначно восстанавливается по любой из подкатегорий $\CT^{\le 0}$
или $\CT^{\ge 0}$.

\begin{lemma}
Пусть $\CT^{\le 0} \subset \CT$ --- полная подкатегория, такая что
\begin{itemize}
\item $\CT^{\le 0}[1] \subset \CT^{\le 0}$;
\item $\CT^{\le 0}$ замкнута относительно расширений;
\item функтор вложения $\CT^{\le 0} \to \CT$ допускает правый сопряженный.
\end{itemize}
Тогда существует $t$-структура $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ на $\CT$
с $\CT^{\ge 1} = (\CT^{\le 0})^\perp$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Определим $\CT^{\ge 0}$ как $(\CT^{\le 0})^\perp[1]$.
Тогда свойство (1) для категории $\CT^{\le 0}$ очевидно.
Проверим его для категории $\CT^{\ge 0}$. Пусть $Y \in \CT^{\ge 1}$.
Надо проверить, что $Y \in \CT^{\ge 0}$, то есть что $Y[-1] \in \CT^{\ge 1}$,
то есть что $\Hom(X,Y[-1]) = 0$ для всех $X \in \CT^{\le 0}$. Но ясно, что $\Hom(X,Y[-1]) = \Hom(X[1],Y) = 0$,
так как $X[1] \in \CT^{\le 0}[1] = \CT^{\le -1} \subset \CT^{\le 0}$, а $Y \in \CT^{\ge 1}$.
Далее, свойство (2) выполнено по определению категории $\CT^{\ge 1}$.
Остается проверить (3). Обозначим функтор вложения $\CT^{\le 0} \to \CT$ через $i$,
а его правый сопряженный через $i^!$. Тогда для всякого $X$ имеем естественный морфизм
$ii^!X \to X$. Заметим сразу, что из сопряженности следует, что если $Y \in \CT^{\le 0}$,
то любой морфизм $Y \to X$ единственным образом поднимается до морфизма $Y \to ii^!X$.

Дополним теперь морфизм $ii^!X \to X$ до выделенного треугольника $ii^!X \to X \to X' \to ii^!X[1]$.
Покажем, что $X' \in \CT^{\ge 1}$. Для этого возьмем произвольный $Y \in \CT^{\le 0}$ и
произвольный морфизм $f:Y \to X'$. Дополним композицию $Y \to X' \to ii^!X[1]$ до морфизма
выделенных треугольников
$$
\xymatrix{
ii^!X \ar[r] \ar@{=}[d] & \tilde{Y} \ar[r] \ar[d]^{\tilde{f}} \ar@{-->}[dl]_{\hat{f}} & Y \ar[r] \ar[d]^f & ii^!X[1] \ar@{=}[d] \\
ii^!X \ar[r] & X \ar[r] & X' \ar[r] & ii^!X[1]
}
$$
Так как $\CT^{\le 0}$ замкнута относительно расширений, $\tilde{Y} \in \CT^{\le 0}$.
Следовательно, морфизм $\tilde{f}:\tilde{Y} \to X$ поднимается до морфизма $\hat{f}:\tilde{Y} \to ii^!X$.
А из единственности поднятия, следует коммутативность левого верхнего треугольника в диаграмме.
Из нее же следует, что морфизм $ii^!X \to \tilde{Y}$ --- вложение прямого слагаемого, а значит
морфизм $Y \to ii^!X$ равен нулю. Но это в свою очередь означает, что $f$ поднимается до морфизма $Y \to X$,
который в свою очередь поднимается до морфизма $Y \to ii^!X$. Значит $f$ пропускается через композицию
$ii^!X \to X \to X'$, а значит равен нулю.
\end{proof}


Замечательным наблюдением является следующая

\begin{theorem}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- невырожденная $t$-структура на триангулированной категории $\CT$.
Тогда категория $\CT^0 = \CT^{\le 0} \cap \CT^{\ge 0}$ --- абелева.
\end{theorem}
\begin{proof}
Прямая сумма объектов является их расширением, а категории $\CT^{\le 0}$ и $\CT^{\ge 0}$
замкнуты относительно расширений. Значит $\CT^0$ тоже замкнута относительно расширений,
и в частности относительно прямых сумм. Следовательно, $\CT^0$ --- аддитивная подкатегория в $\CT$.

Проверим существование ядер и коядер в $\CT^0$.
Пусть $X,Y \in \CT^0$, а $f:X \to Y$ --- морфизм.
Дополним его до выделенного треугольника
$$
\xymatrix@1{U \ar[r]^u & X \ar[r]^f & Y \ar[r]^v & U[1].}
$$
Заметим, что $U \in \CT^{[0,1]}$. В самом деле, $X, Y[-1] \in \CT^{[0,1]}$, а
$\CT^{[0,1]} = \CT^{\ge 0} \cap \CT^{\le 1}$ замкнута относительно расширений.
Пусть $K = \tau_{\le 0}U$, $C = \tau_{\ge 0}(U[1]) = (\tau_{\ge 1}U)[1]$ и рассмотрим
композиции $K \to U \to X$ и $Y \to U[1] \to C$. Покажем, что они являются ядром
и коядром $f$ соответственно. В самом деле, пусть $Z \in \CT^0$ и $g:Z \to X$ ---
такой морфизм, что $f\circ g = 0$:
$$
\xymatrix{
& Z \ar[d]^g \ar@{-->}[dl]_{g'} \\
U \ar[r]^u & X \ar[r]^f & Y \ar[r]^v & U[1]
}
$$
Тогда существует $g':Z \to U$, такой что $u\circ g' = g$. При этом
$\Hom(Z,Y[-1]) = 0$, так как $Z \in \CT^0 \subset \CT^{\le 0}$, а $Y[-1] \in \CT^0[-1] \subset \CT^{\ge 0}[-1] = \CT^{\ge 1}$.
Поэтому такой морфизм $g'$ единственен. Наконец, так как $Z \in \CT^0$ морфизм $g':Z \to U$ единственным образом поднимается
до морфизма $g'':Z \to \tau_{\le 0}U = K$. Таким образом, универсальное свойство ядра выполнено.
Так же проверяется универсальное свойство коядра.

Остается проверить, что коядро ядра равно ядру коядра. Для этого построим диаграмму октаэдра
$$
\xymatrix{
K \ar[r] \ar@{=}[d] & U \ar[r] \ar[d] & C[-1] \ar[r] \ar[d] & K[1] \ar@{=}[d] \\
K \ar[r] & X \ar[r] \ar[d] & V \ar[r] \ar[d] & K[1] \ar[d] \\
& Y \ar@{=}[r] \ar[d] & Y \ar[r] \ar[d] & U[1] \\
& U[1] \ar[r] & C
}
$$
Так как $X \in \CT^{0}$, а $K[1] \in \CT^{-1}$, из второй строчки следует, что $V \in \CT^{[-1,0]}$.
С другой стороны, $C[-1] \in \CT^1$, $Y \in \CT^0$ значит $V \in \CT{[0,1]}$.
Сравнивая, получаем, что $V \in \CT^{[-1,0]} \cap \CT^{[0,1]} \subset \CT^{\le 0} \cap \CT^{\ge 0} = \CT^0$.
Остается заметить, что коядро ядра --- это $\tau_{\ge 0}V \cong V$,
а ядро коядра --- $\tau_{\le 0}V \cong V$, так что и коядро ядра и ядро коядра совпадают с $V$.
\end{proof}

Абелева категория $\CT^0$ называется {\sf сердцевиной} $t$-структуры $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$.
Ясно, что сердцевина стандартной $t$-структуры на $\D(\CA)$ совпадает с $\CA$.

\begin{exercise}
Покажите, что аддитивная подкатегория $\CA \subset \CT$ является сердцевиной
ограниченной $t$-структуры на $\CT$ $\LRA$ $\Hom(\CA,\CA[-t]) = 0$ для $t > 0$,
и для любого объекта $X \in \CT$ существует конечная фильтрация $F^\bullet X$,
такая что $\gr^p_F(X) \in \CA[p]$ для всех $p$.
\end{exercise}

Если $\CT = \D(\CA)$, то помимо стандартной $t$-структуры на $X$ существует и множество других.
Например, на множестве всех $t$-структур действует группа автоэквивалентностей.

\begin{exercise}
Опишите все $t$-структуры в $\D^b(\kk\lmod)$.
\end{exercise}

Бывают и более экзотические примеры.

\begin{exercise}
Пусть $\CT = \D(\ZZ\lmod)$ --- производная категория конечно порожденных абелевых групп.
Пусть
$$
\begin{array}{rcl}
\CT^{\le 0} &=& \{ X \in \D(\ZZ\lmod)\ |\ \text{$H^t(X) = 0$ при $t > 0$, а $H^0(X)$ --- группа кручения}\}\\[1ex]
\CT^{\ge 1} &=& \{ X \in \D(\ZZ\lmod)\ |\ \text{$H^t(X) = 0$ при $t < 0$, а $H^0(X)$ --- группа без кручения}\}
\end{array}
$$
Покажите, что $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- невырожденаая $t$-структура.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура. 
Если $X,Y \in \CT^0$, то $\Hom(X,Y[1]) \cong \Ext^1_I(X,Y)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $f:X \to Y[1]$ --- морфизм. Достроим его до выделенного треугольника
$Y \to Z \to X \to Y[1]$. Тогда $Z \in \CT^0$, а последовательность $0 \to Y \to Z \to X \to 0$
в $\CT^0$ точна. Таким образом, получаем класс в $\Ext^1_I(X,Y)$.

Обратно, пусть $0 \to Y \to Z \to X \to 0$ --- точная тройка в $\CT^0$.
Достроим морфизм $Y \to Z$ в $\CT$ до выделенного треугольника $Y \to Z \to X' \to Y[1]$.
Так как $Y \to Z$ --- вложение в $\CT^0$, то $X'$ есть коядро этого морфизма, то есть $X' \cong X$.
Тем самым получаем морфизм $X \cong X' \to Y[1]$. Построенные отображения очевидно взаимно обратны.
\end{proof}

По аналогии часто используется обозначение $\Ext^i(X,Y) := \Hom(X,Y[i])$.
В отличии от случая $i = 1$, для $i > 1$ он не обязан являться изоморфизмом.

Естественный вопрос --- насколько отличается производная категория от сердцевины $t$-структуры
от исходной триангулированной категории. Наиболее сложный вопрос здесь --- построение функтора
$\D(\CT^0) \to \CT$, тождественного на подкатегории $\CT^0$. В общей ситуации такой функтор 
построить невозможно (ввиду нефункториальности конуса). Чтобы это сделать, нужно иметь 
дополнительную структуру на категории $\CT$. Здесь есть разные варианты, наиболее распространенный ---
структура $f$-категории (аксиоматизация фильтрованной производной категории).
После того, как функтор построен остается следующее условие --- надо чтобы морфизм 
$\Ext^i_I(X,Y) \to \Hom_\CT(X,Y[i])$, индуцированный этим функтором, был изоморфизмом.
Это условие, на самом деле эквивалентно такому: всякий морфизм
$X \to Y[i]$ в категории $\CT$, где $X,Y \in \CT^0$ раскладывался в композицию
$X \to X_1[1] \to X_2[2] \to \dots \to X_{i-1}[i-1] \to Y[i]$, где $X_1,X_2,\dots,X_{i-1} \in \CT^0$
(иначе говоря $\Ext^\bullet$ в категории $\CT$ порождается $\Ext^1$).


\Section{Когомологии относительно $t$-структуры}

\begin{lemma}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура. Тогда для всех $a \le b$ существует 
канонические изоморфизмы функторов $\tau_{\le a}\tau_{\le b} \cong \tau_{\le b}\tau_{\le a} \cong \tau_{\le a}$ и
$\tau_{\ge a}\tau_{\ge b} \cong \tau_{\ge b}\tau_{\ge a} \cong \tau_{\ge b}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Функтор вложения $\CT^{\le a} \to \CT$ раскладывается в композицию $\CT^{\le a} \to \CT^{\le b} \to \CT$.
Поэтому его сопряженный функтор $\tau_{\le a}$ раскладывается в композицию $\tau_{\le a}\tau_{\le b}$.
С другой стороны, так как функтор $\tau_{\le b}$ тождественен на $\CT^{\le b}$, а образ $\tau_{\le a}$
лежит в $\CT^{\le a} \subset \CT^{\le b}$, получаем второй изоморфизм. 
%Для функторов $\tau_{\ge p}$ доказательство аналогично.
\end{proof}

\begin{lemma}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура. Тогда для всех $a \le b$ существует 
канонический изоморфизм функторов $\tau_{\le b}\tau_{\ge a} \cong \tau_{\ge a}\tau_{\le b}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пользуясь изоморфизмом $\tau_{\le a-1}\tau_{\le b} \cong \tau_{\le a-1}$ построим диаграмму октаэдра
$$
\xymatrix{
\tau_{\le a-1}X \ar[r] \ar@{=}[d] & \tau_{\le b}X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\ge a}\tau_{\le b}X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\le a-1}X[1] \ar@{=}[d] \\
\tau_{\le a-1}X \ar[r] & X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\ge a}X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\le a-1}X[1]  \\
& \tau_{\ge b+1}X \ar@{=}[r] \ar[d] & \tau_{\ge b+1}X  \ar[d]  \\
& \tau_{\le b}X[1] \ar[r] & \tau_{\ge a}\tau_{\le b}X[1]
}
$$
Из верхней строчки следует, что $\tau_{\ge a}\tau_{\le b}X \subset \CT^{\ge b}$.
При этом $\tau_{\ge b+1}X \in \CT^{\ge b+1}$. Поэтому третий столбец является разложением
объекта $\tau_{\ge a}X$ относительно пары $(\CT^{\le b},\CT^{\ge b+1})$.
Так как такое разложение единственно, получаем изоморфизм $\tau_{\ge a}\tau_{\le b}X \cong \tau_{\le b}\tau_{\ge a}$,
функториальность которого легко проверяется.
\end{proof}

Рассмотрим случай $a = b$ и определим {\sf функтор когомологий относительно $t$-структуры} формулой
$$
H^a(X) = (\tau_{\le a}\tau_{\ge a}X)[a].
$$
\begin{exercise}
Покажите, что для стандартной $t$-структуры функторы $H^a$ являются обычными функторами когомологий.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{homh}
Покажите, что если $X \in \CT^{\le p}$, $Y \in \CT^{\ge p}$, то всякий морфизм $X \to Y$
единственным образом представляется в виде композиции 
$$
X = \tau_{\le p}X \to \tau_{\ge p}\tau_{\le p}X = H^p(X)[-p] \to H^p(Y)[-p] = \tau_{\le p}\tau_{\ge p}Y \to \tau_{\ge p}Y = Y.
$$
В частности $\Hom(X,Y) = \Hom(H^p(X),H^p(Y))$.
\end{exercise}

\begin{lemma}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- $t$-структура.
Тогда выполнен изоморфизм $H^{p+q}(X) \cong H^p(X[q])$.
Кроме того, если $X \to Y \to Z \to X[1]$ --- выделенный треугольник, то
$$
\dots \to H^p(X) \to H^p(Y) \to H^p(Z) \to H^{p+1}(X) \to \dots
$$
--- длинная точная последовательность.
\end{lemma}
\begin{proof}
Изоморфизм легко следует из упражнения~\ref{taupq}:
$$
H^p(X[q]) = (\tau_{\le p}\tau_{\ge p}(X[q]))[p] \cong (\tau_{\le p+q}\tau_{\ge p+q}X)[p+q] = H^{p+q}(X).
$$
Установим теперь точность последовательности когомологий. Прокручивая треугольник,
можно все свести к точности последовательности $H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z)$ в среднем члене.
Вначале проверим следующий факт --- если $X \in \CT^{\le 0}$, то треугольник 
$\tau_{\le 0}X \to \tau_{\le 0}Y \to \tau_{\le 0} Z \to  (\tau_{\le 0}X)[1]$ выделен,
а последовательность $H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z) \to 0$ точна справа.
В самом деле, построим диаграмму октаэдра
$$
\xymatrix@R=3ex{
\tau_{\le 0}X \ar[r] \ar@{=}[d] & \tau_{\le 0}Y \ar[r] \ar[d] & U \ar[r] \ar[d] & (\tau_{\le 0}X)[1] \ar@{=}[d] \\
X \ar[r] & Y \ar[r] \ar[d] & Z \ar[r] \ar[d] & X[1]  \\
& \tau_{\ge 1}Y \ar@{=}[r] \ar[d] & \tau_{\ge 1}Y  \ar[d]  \\
& (\tau_{\le 0}Y)[1] \ar[r] & U[1]
}
$$
Из верхней строки видно, что $U \in \CT^{\le 0}$. При этом $\tau_{\ge 1}Y \in \CT^{\ge 1}$. 
Поэтому из третьего столбца следует, что $\tau_{\ge 1}Y \cong \tau_{\ge 1}Z$, $U \cong \tau_{\le 0}Z$.
В частности, верхняя строка дает нужный треугольник.
Возьмем теперь произвольный $V \in \CT^0$ и применим к треугольнику функтор $\Hom(-,V)$.
Получим точную последовательность
$$
\Hom((\tau_{\le 0}X)[1],V) \to \Hom(\tau_{\le 0} Z,V) \to \Hom(\tau_{\le 0}Y,V) \to \Hom(\tau_{\le 0}X,V).
$$
Заметим теперь, что $\Hom((\tau_{\le 0}X)[1],V) = 0$, так как $(\tau_{\le 0}X)[1] \in \CT^{\le -1}$, а $V \in \CT^{\ge 0}$.
Кроме того, из упражнения~\ref{homh} следует, что $\Hom(\tau_{\le 0} X,V) = \Hom(H^0(\tau_{\le 0}X),H^0(V)) = \Hom(H^0(X),V)$
и аналогично с заменой $X$ на $Y$ и $Z$. Поэтому получаем точную последовательность
$$
0 \to \Hom(H^0(Z),V) \to \Hom(H^0(Y),V) \to \Hom(H^0(X),V).
$$
Так как $V$ произвольно, отсюда следует точность справа последовательности 
$H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z) \to 0$.

Аналогично проверяется, что если $Z \in \CT^{\ge 0}$, то треугольник 
$\tau_{\ge 0}X \to \tau_{\ge 0}Y \to \tau_{\ge 0} Z \to  (\tau_{\ge 0}X)[1]$ выделен,
а последовательность $0 \to H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z)$ точна слева.

Построим теперь такую диаграмму октаэдра
$$
\xymatrix@R=3ex{
\tau_{\le 0}X \ar[r] \ar@{=}[d] & X \ar[r] \ar[d] & \tau_{\ge 1}X \ar[r] \ar[d] & (\tau_{\le 0}X)[1] \ar@{=}[d] \\
\tau_{\le 0}X \ar[r] & Y \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] \ar[d] & (\tau_{\le 0}X)[1]  \\
& Z \ar@{=}[r] \ar[d] & Z  \ar[d]  \\
& X[1] \ar[r] & (\tau_{\ge 1}X)[1]
}
$$
Так как $\tau_{\le 0}X \in \CT^{\le 0}$ и $H^0(\tau_{\le 0}X) = H^0(X)$ из второй строчки получаем
точную последовательность $H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(W) \to 0$.
Так как $(\tau_{\ge 1}X)[1] \in \CT^{\ge 0}$ и $H^0((\tau_{\ge 1}X)[1]) = H^1(X)$ из третьего столбца получаем
точную последовательность $0 \to H^0(W) \to H^0(Z) \to H^1(X)$. Склеивая их, получаем точную последовательность
$H^0(X) \to H^0(Y) \to H^0(Z) \to H^1(X)$.
\end{proof}


\begin{exercise}
Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- невырожденаая $t$-структура. 
Покажите, что\\
(a) $X = 0$ $\LRA$ $\forall p$ $H^p(X) = 0$;
(b) морфизм $f:X \to Y$ --- изофморфизм $\LRA$ $\forall p$ $H^p(f)$ --- изоморфизм.
\end{exercise}

Функтор $H:\CT \to \CA$ из триангулированной категории в абелеву называется {\sf когомологическим},
если для всякого выделенного треугольника $X \to Y \to Z \to X[1]$ последовательность
$\dots \to H^p(X) \to H^p(Y) \to H^p(Z) \to H^{p+1}(X) \to \dots$ точна.
Предыдущую лемму можно переформулировать как утверждение о том, что функтор
когомологий относительно $t$-структуры --- когомологический. Другой пример 
когомологического функтора --- функтор $\Hom(U,-)$.

\begin{exercise}
Покажите, что композиция когомологического и точного функтора --- когомологический функтор.
\end{exercise}

Пусть $(\CT^{\le 0},\CT^{\ge 0})$ --- невырожденаая $t$-структура, а $H^i$ --- 
соответствующие функторы когомологий. Естественный вопрос --- насколько объект $X \in \CT$
определяется своими когомологиями $H^i(X)$. Если $X$ имеет только одну нетривиальную 
когомологию $H^i(X)$, то он очевидно изоморфен $H^i(X)[-i]$.

\begin{lemma}
Если $X$ имеет ровно две нетривиальных когомологии $H^i(X)$ и $H^j(X)$ в степенях $i < j$,
то $X$ однозначно определяется морфизмом $H^j(X) \to H^i(X)[j-i+1]$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Рассмотрим треугольник $\tau_{\le i}X \to X \to \tau_{\ge i+1}X \to \tau_{\le i}X[1]$.
Так как $\tau_{\le i}X$ и $\tau_{\ge i+1}X$ имеют только одну когомологию, то
$\tau_{\le i}X \cong H^i(X)[-i]$, $\tau_{\ge i+1}X \cong H^j(X)[-j]$.
Поэтому треугольник имеет вид $H^i(X) \to X \to H^j(X)[-j] \to H^i(X)[1-i]$.
Так как треугольник однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется
морфизмом $H^j(X)[-j] \to H^i(X)[1-i]$, то есть морфизмом $H^j(X) \to H^i(X)[j+1-i]$.
\end{proof}

Морфизм $H^j(X) \to H^i(X)[j-i+1]$ называется {\sf морфизмом склейки}.

\begin{exercise}
Опишите, какими данными определяется объект, имеющий ровно три
нетривиальные когомологии.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- абелева категория гомологической размерности $1$
(то есть $\Ext^i_I(X,Y) = 0$ для $i \ge 2$ и всех $X,Y \in \CA$).
Докажите, что всякий объект $X \in \D(\CA)$ изоморфен $\oplus_i H^i(X)[-i]$.
\end{exercise}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\Name{$DG$-категории}{Гомологическая алгебра 12}{10.12.2008}



\Section{$DG$-категории и $DG$-функторы}

Важным источником триангулированных категорий являются $DG$-категории.
{\sf $DG$-категория} --- это $\ZZ$-категория $\CA$, на множествах морфизмов которой
введена структура комплексов (то есть градуировка и дифференциал степени 1),
такая что
%тождественный морфизм замкнут степени 0,
композиция морфизмов согласована с градуировкой и удовлетворяет правилу Лейбница.
Иначе говоря, для любых $X,Y \in \CA$ задан комплекс $(\Hom^\bullet(X,Y),d^\bullet_{X,Y})$,
так что
\begin{itemize}
%\item $\id_X \in \Hom^0(X,X)$, $d_{X,X}(\id_X) = 0$;
\item если $f \in \Hom^k(X,Y)$, $g \in \Hom^l(Y,Z)$, то $g\circ f \in \Hom^{k+l}(X,Z)$;
\item если $f \in \Hom^k(X,Y)$, $g \in \Hom^l(Y,Z)$, то $d_{X,Z}(g\circ f) = (d_{Y,Z} g)\circ f + (-1)^{l}g\circ (d_{X,Y}f)$.
\end{itemize}
Заметим, что тождественный морфизм обязан иметь степень ноль и быть замкнутым.
В самом деле, пусть $\id_X = \sum e_i$, $e_i \in \Hom^i(X,X)$. Тогда
$e_i = \id_X\circ e_i = \sum e_j\circ e_i$, откуда $e_0\circ e_i = e_i$.
С другой стороны, при $e_0 = e_0\circ\id_X = \sum e_0\circ e_i = \sum e_i$,
откуда $e_i = 0$ при $i\ne 0$. Наконец, из тождества Лейбница следует, что
$d(\id_X) = d(\id_X\circ\id_X) = d(\id_X)\circ\id_X + \id_X\circ d(\id_X) = 2d(\id_X)$,
откуда $d(\id_X) = 0$.

$DG$-категория с одним объектом называется $DG$-алгеброй.

Всякую $\ZZ$-категорию можно рассматривать как $DG$-категорию, вводя на морфизмах тривиальную
градуировку и дифференциал. Другой пример --- категория комплексов.
Пусть $\CB$ --- абелева категория. Рассмотрим категорию $\CC_\dg(\CB)$, объекты которой ---
комплексы над $\CB$, а морфизмы --- формулой
$$
\Hom^k(X^\bullet,Y^\bullet) = \prod_{i \in \ZZ} \Hom_\CB(X^i,Y^{i+k}),
\qquad
d_{X,Y}(f) = ( d_Y\circ f - (-1)^k f\circ d_X ),\ \text{если $f \in \Hom^k(X^\bullet,Y^\bullet)$}.
$$
Она является $DG$-категорией, так как
\begin{multline*}
(d_{Y,Z}g) f + (-1)^l g (d_{X,Y}f) =
(d_Z g - (-1)^l g d_Y) f + (-1)^l g (d_Y f - (-1)^k f d_X) = \\ =
d_Z g f - (-1)^l g d_Y f + (-1)^l g d_Y f - (-1)^{k+l} g f d_X) =
d_Z g f - (-1)^{k+l} g f d_X) =
d_{X,Z} (g f).
\end{multline*}

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- $DG$-категория. Покажите, что если в категории $\CA^\opp$ изменить
определение композиции морфизмов $f \in \Hom^k$ и $g \in \Hom^l$ на множитель $(-1)^{kl}$,
то получится $DG$-категория.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ и $\CA'$ --- $DG$-категории. Покажите, что категория
$\CA\otimes\CA'$ с классом объектов $\CA\times\CA'$ и морфизмами
$\Hom^\bullet((X,X'),(Y,Y')) = \Hom^\bullet_\CA(X,Y)\otimes\Hom_{\CA'}^\bullet(X',Y')$
является $DG$-категорией.
\end{exercise}


Всякой $DG$-категории $\CA$ можно сопоставить две $\ZZ$-категории $Z^0(\CA)$ и $H^0(\CA)$
с тем же множеством объектов и морфизмами
$$
\Hom_{Z^0(\CA)}(X,Y) = \Ker d_{X,Y}^0 \subset \Hom^0(X,Y),\qquad
\Hom_{H^0(\CA)}(X,Y) = H^0(\Hom^\bullet(X,Y), d_{X,Y}).
$$

\begin{exercise}
Покажите, что $Z^0(\CC_\dg(\CB)) = \Com(\CB)$, $H^0(\CC_\dg(\CB)) = \Hot(\CB)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Покажите, что 
(a) $H^0(\CA^\opp) = H^0(\CA)^\opp$;
(b) $H^0(\CA_1\times\CA_2) = H^0(\CA_1)\times H^0(\CA_2)$.
\end{exercise}

Таким образом, категория $H^0(\CA)$ для $DG$-категории $\CA$ является обобщением гомотопической категории.
Естественный вопрос --- в каких случаях категория $H^0(\CA)$ триангулирована.
Ответить на него помогают следующие понятия.

\Section{$DG$-функторы и $DG$-модули}

Функтор $F:\CA \to {\CA'}$ между $DG$-категориями называется {\sf $DG$-функтором}, если
для всех $X,Y \in \CA$ отображение $F:\Hom_\CA^\bullet(X,Y) \to \Hom_{\CA'}^\bullet(F(X),F(Y))$
является морфизмом комплексов (то есть сохраняет градуировку и коммутирует с дифференциалом).

Пусть $F,G:\CA \to {\CA'}$ --- $DG$-функторы. Определим $\Hom^n(F,G)$ как все
наборы $\phi_X \in \Hom_{\CA'}^n(F(X),G(X))$, такие что для всех $f \in \Hom^\bullet_\CA(X,Y)$
диаграмма
$$
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^{F(f)} \ar[d]_{\phi_X} & F(Y) \ar[d]^{\phi_Y} \\ G(X) \ar[r]^{G(f)} & G(Y)
}
$$
коммутативна. Дифференциалы в $\Hom_{\CA'}^\bullet(F(X),G(X))$ индуцируют
на $\Hom^\bullet(F,G) = \oplus_n \Hom^n(F,G)$ структуру комплекса.

\begin{exercise}
Покажите, что\\
(a) всякий $DG$-функтор $F:\CA \to \CA'$ индуцирует  функтор $H^0(F):H^0(\CA) \to H^0(\CA')$;\\
(b) если $F,G$ --- $DG$-функторы, то существует естественное вложение $H^0(\Hom^\bullet(F,G)) \subset \Hom(H^0(F),H^0(G))$.
\end{exercise}


Пусть $\CA$ --- $DG$-категория над полем $\kk$. {\sf Левым $DG$-модулем над $\CA$}\/
называется $DG$-функтор $\CA \to \CC_\dg(\kk)$ из категории $\CA$ в $DG$-категорию комплексов.
{\sf Правым $DG$-модулем над $\CA$}\/ называется $DG$-функтор $\CA^\opp \to \CC_\dg(\kk)$.

\begin{example}
Рассмотрим алгебру $A$ как $DG$-категорию с одним объектом, имеющим алгебру эндоморфизмов~$A$.
Тогда $DG$-модуль над $A$ --- это комплекс $X^\bullet$ и морфизм комплексов $f:A \to \Hom^\bullet(X,X)$,
согласованный с умножением. Так как алгебра $A$ сосредоточена в степени 0, морфизм $f$ задается морфизмом
$A \to \Hom^0(X,X) = \prod_i \Hom(X_i,X_i)$. Его компоненты $f_i:A \to \Hom(X_i,X_i)$
позволяют ввести действие алгебры $A$ на каждом из $X_i$, причем легко видеть, что дифференциал
комплекса $X$ согласован с этим действием. Таким образом на $X$ возникает структура комплекса $A$-модулей.
\end{example}

Пусть $\CA$ --- малая $DG$-категория. Все $DG$-модули над $\CA$ образуют $DG$-категорию,
в которой комплекс $\Hom^\bullet$ определяется как комплекс для $DG$-функторов.
Эта категория обозначается $\CA\ldgMod$.

\begin{exercise}
Покажите, что если $A$ --- алгебра, то $A\ldgMod \cong \CC_\dg(A\lMod)$.
\end{exercise}

Всякому объекту $X$ категории $A$ можно сопоставить левый и правый $DG$-модули
$$
h^X = \Hom^\bullet(X,-),\qquad
h_X = \Hom^\bullet(-,X).
$$
Эти $DG$-модули называются {\sf свободными} (легко видеть, что свободный $DG$-модуль над категорией $A$ ---
это $A$, рассматриваемый как комплекс, сосредоточенный в степени 0).
Легко видеть, что $h^\bullet:X \mapsto h^X$ и $h_\bullet:X \mapsto h_X$ --- $DG$-функторы $\CA^\opp \to \CA\ldgMod$
и $\CA \to \rdgMod\CA$ соответственно. 


\begin{exercise}\label{dg-yon}
Покажите, что функторы $h^\bullet$ и $h_\bullet$ строго полны.
\end{exercise}


\begin{lemma}
Если $\CA$ --- малая $DG$-категория, то категория $\CH(\CA) := H^0(\CA\ldgMod)$ --- триангулирована.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $M$ --- $DG$-модуль над $\CA$. Определим $M[1](X) = M(X)[1]$. Ясно, что $[1]$ --- автоморфизм
категории $\CA\ldgMod$. Аналогично, пусть $f:M \to N$ --- замкнутый морфизм $\CA$-$DG$-модулей степени~0,
то есть $f \in \Hom_{Z^0(\CA\ldgMod)}(M,N)$. Для каждого объекта $X$ категории $\CA$ он задает морфизм 
комплексов $f(A):M(A) \to N(A)$. Определим $DG$-модуль $C(f)$ формулой
$$
C(f)(A) = C(f(A)).
$$
В силу функториальности конуса морфизма на категории комплексов, $C(f)$ является $DG$-функтором
из категории $\CA$ в $\CC_\dg(\kk)$, то есть $DG$-модулем. При этом возникает естественный треугольник
$$
M \to N \to C(f) \to M[1].
$$
Определенный выше функтор сдвига и класс треугольников, изоморфных треугольникам
указанного вида, задает на $\CH(\CA) = H^0(\CA\ldgMod)$ структуру триангулированной категории.
В самом деле, доказательство триангулированности гомотопической категории дословно
проходит и в этой ситуации --- нужно только следить за функториальностью (по $\CA$)
всех возникающих морфизмов.
\end{proof}


\newpage

\Section{Производная категория $DG$-категории}


Морфизм $\CA$-$DG$-модулей $f:M \to N$ (замкнутый, степени 0) называется {\sf квазиизоморфизмом},
если для всех $X \in \CA$ морфизм комплексов $f_X:M(X) \to N(X)$ --- квазиизоморфизм.
Повторяя рассуждение для гомотопической категории, можно проверить следующее.

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- малая $DG$-категория. Докажите, что класс квазиизоморфизмов в категории $\CH(\CA)$
удовлетворяет условиям Оре и согласован с триангулированной структурой.
\end{exercise}

Локализация категории $\CH(\CA)$ относительно квазиизоморфизмов называется
{\sf производной категорией категории $\CA$-$DG$-модулей}\/ и обозначается $\D(\CA)$.
В силу предыдущего упражнения она триангулирована, а функтор локализации $\CH(\CA) \to \D(\CA)$ --- точен.

$DG$-модуль $M$ над $\CA$ называется {\sf ацикличным}, если для всех $X \in \CA$ комплекс $M(X)$ ацикличен.
Обозначим через $\Acycl(\CA) \subset \CH(\CA)$ подкатегорию ацикличных $DG$-модулей.
Ясно, что $\D(\CA) = \CH(\CA) / \Acycl(\CA)$.


Производные категории от малых $DG$-категорий --- достаточно большой класс триангулированных категорий.
Например, известно, что если $X$ --- схема достаточно общего вида (квазикомпактная и квазиотделимая),
то категория $\D(\QCoh(X))$ эквивалентна категории $\D(A)$ для $DG$-категории с одним объектом!
Ввиду вышесказанного очень полезна следующая теорема.
% для построения производных функторов между $DG$-категориями.



\begin{theorem}[Keller]
Подкатегория $\Acycl(\CA) \subset \CH(\CA)$ допустима.
В частности, всякий точный функтор $F:\CH(\CA) \to \CT$ 
имеет левый и правый производные функторы $RF,LF:\D(\CA) \to \CT$.
\end{theorem}

Правый и левый ортогоналы к $\Acycl(\CA)$ в $\CH(\CA)$ (то есть $h$-проективные и $h$-инъективные объекты)
описать не очень просто. Хотя очевидно, что всякий представимый $\CA$-модуль $h$-проективен,
а всякий копредставимый $\CA$-модуль $h$-инъективен.


%$DG$-функтор $F:\CA \to \CA'$ называется {\sf квазиэквивалентностью}, если
%\begin{itemize}
%\item для всех $X,Y \in \CA$ морфизм $F:\Hom_\CA(X,Y) \to \Hom_{\CA'}(F(X),F(Y))$ --- квазиизоморфизм;
%\item функтор $H^0(F):H^0(\CA) \to H^0(\CA')$ --- эквивалентность.
%\end{itemize}






\Section{Претриангулированные категории}

Как уже отмечалось, категория $H^0(\CA)$ сама бывает триангулированной.

\begin{lemma}
Вложение $h_\bullet:\CA \to \rdgMod\CA$ индуцирует функтор
$H^0(\CA) \to H^0(\rdgMod\CA) = \CH(\CA)$, являющийся строго полным.
\end{lemma}
\begin{proof}
Согласно $DG$-лемме Ионеда (упражнение~\ref{dg-yon}) функтор $h_\bullet$ индуцирует изоморфизм
комплексов $\Hom^\bullet(X,Y) \to \Hom^\bullet(h_X,h_Y)$, значит $H^0(h_\bullet)$
индуцирует изоморфизм их нулевых когомологий.
\end{proof}

Функтор $H^0(\CA) \to \CH(\CA)$ совершенно не обязан быть эквивалентностью.
Например, если $\CA = A$ --- категория с одним объектом, то его образ ---
сам комплекс $A$. Зато используя его легко установить критерий триангулированности 
категории $H^0(\CA)$. Будем говорить, что $DG$-модуль $M$ {\sf гомотопически представим},
если $M \cong h_X$ в категории $\CH(\CA)$ для какого-либо $X \in \CA$.


\begin{lemma}
Категория $H^0(\CA)$ триангулирована, если выполнены два условия:
\begin{itemize}
\item для любых $X \in \CA$, $t \in \ZZ$ правый $DG$-модуль $h_X[t]$ гомотопически представим;
\item для любого $f \in \Hom_{Z^0(\CA)}(X,Y)$ правый $DG$-модуль $C(h_f:h_X \to h_Y)$ гомотопически представим.
\end{itemize}
\end{lemma}
\begin{proof}
Указанные условия гарантируют инвариантность образа категории $H^0(\CA)$ в $\CH(\CA)$
относительно сдвигов и конусов морфизмов, а значит его триангулированность.
Но так как вкладывающий функтор строго полон, категория $H^0(\CA)$ эквивалентна
своему образу, а значит и сама триангулирована.
\end{proof}

$DG$-категория $\CA$, для которой выполнены условия леммы называется {\sf претриангулированной}.

\begin{exercise}
Покажите, что если $\CA,\CA'$ претриангулированные $DG$-категории, а
$F:\CA \to \CA'$ --- $DG$-функтор, то функтор $H^0(F):H^0(\CA) \to H^0(\CA')$ точен.
\end{exercise}


Для претриангулированной категории $\CA$ категория $H^0(\CA)$ триангулирована.
В противном случае, все равно можно рассмотреть триангулированную оболочку в $\CH(\CA)$
категории $H^0(\CA)$. Она обозначается $\CA^\tri$.

{\sf Скрученным комплексом над $\CA$} называется формальное выражение $(\oplus_{i=1}^n X_i[r_i],q)$, где
\begin{itemize}
\item $X_1,\dots,X_n \in \CA$;
\item $r_1,\dots,r_n \in \ZZ$; и
\item $q = (q_{ij})$, $q_{ij} \in \Hom^{r_i-r_j+1}(X_j,X_i)$,
\end{itemize}
таких что $dq + q^2 = 0$ (то есть $dq_{ij} + \sum_{k=1}^n q_{ik}q_{kj} = 0$ для всех $i,j$).
Скрученный комплекс называется {\sf односторонним}, если $q_{ij} = 0$ для $i \ge j$
(то есть матрица $q$ строго верхнетреугольная).
Всякий объект $X$ категории $\CA$ можно рассматривать как тривиальный скрученный комплекс,
полагая $n = 1$, $X_1 = X$, $r_1 = 0$, $q_{11} = 0$. Кроме того, всякий замкнутый морфизм $f:X \to Y$
в категории $\CA$ можно рассматривать как скрученный комплекс,
полагая $n = 2$, $X_1 = Y$, $X_2 = X$, $r_1 = r_2 = 0$, $q_{12} = f$. 

\begin{exercise}
Введите на скрученных комплексах структуру $DG$-категории, такую что 
односторонние и тривиальный скрученные комплексы являются в ней $DG$-подкатегориями.
\end{exercise}

Категория скрученных комплексов над $\CA$ обозначается $\Tw(\CA)$, а категория
односторонних скрученных комплексов --- $\Tw^+(\CA)$.

\begin{exercise}
Постройте строго полный $DG$-функтор $\tot:\Tw(\CA) \to \rdgMod\CA$, такой что
$\tot_{|\CA} = h_\bullet$. 
Покажите, что функтор $H^0(\tot):H^0(\Tw(\CA)) \to \CH(\CA)$ строго полон,
и что $H^0(\Tw^+(\CA)) = \CA^\tri$.
В частности, категория $\Tw^+(\CA)$ претриангулирована.
%Покажите, что 
%всякий скрученный комплекс $(\oplus_{i=1}^n X_i[r_i],q)$ 
%задает $DG$-модуль $\TX$ над $\CA$, такой что $\TX = \oplus_{i=1}^n h_{X_i}[r_i]$, $d_\TX = d + q$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Пусть $\CA$ --- претриангулированная $DG$-категория.
Покажите, что функтор $\CA \to \Tw^+(\CA)$ имеет квазиобратный $DG$-функтор 
$\tot^+:\Tw^+(\CA) \to \CA$, такой что $\tot \cong h_\bullet\circ\tot^+$.
Проверьте, что сопоставление $f \in \Hom_{Z^0(\CA)}(X,Y) \mapsto C(f) := \tot^+(X\oplus Y,f) \in \CA$
(``конус морфизма'') $DG$-функториально.
\end{exercise}

%\begin{exercise}
%Покажите, что категория $\Tw^+(\CA)$ вместе с $DG$-функторм $\CA \to \Tw^+(\CA)$
%удовлетворяют универсальному свойству --- если $F:\CA \to \tilde{\CA}$ --- $DG$-функтор
%в претриангулированную $DG$-категорию $\tilde{\CA}$
%\end{exercise}


%Можно показать, что для всякой $DG$-категории существует минимальная 
%претриангулированная категория $\CA^\pretr$, содержащая ее и такая, что 
%$H^0(\CA^\pretr) = \CA^\tri$. Удобнее всего описать ее следующим образом.

%\newpage

\Section{Оснащения}

{\sf Оснащением триангулированной категории $\CT$} называется 
претриангулированная $DG$-категория $\CA$ и точная эквивалентность $\alpha:H^0(\CA) \to \CT$.
{\sf Оснащением точного функтора $F:\CT \to \CT'$} между оснащенными триангулированными 
категориями называется $DG$-функтор $\TF:\CA \to \CA'$ между оснащениями и морфизм функторов
$\epsilon_F:F\circ\alpha \to \alpha'\circ H^0(\TF)$, делающий диаграмму
$$
\xymatrix{
H^0(\CA) \ar[rr]^{H^0(\TF)} \ar[d]_\alpha && H^0(\CA') \ar[d]^{\alpha'} \\ \CT \ar[rr]^F && \CT'
}
$$
коммутативной. {\sf Оснащением морфизма $\phi:F \to G$ оснащенных функторов}\/
называется замкнутый морфизм $DG$-функторов $\tilde\phi:\tilde{F} \to \tilde{G}$, такой что 
диаграмма
$$
\xymatrix{
F\circ\alpha \ar[rr]^{\epsilon_F} \ar[d]_{\phi} && \alpha'\circ\tilde{F} \ar[d]^{H^0(\tilde\phi)} \\ 
G\circ\alpha \ar[rr]^{\epsilon_G} && \alpha'\circ\tilde{G}
}
$$
коммутативна.

Наличие оснащения на триангулированной категории имеет множество следствий.
Например, такое.

\begin{lemma}
Пусть $\CT$ --- оснащенная триангулированная категория. Тогда существует точный бифунктор
$R\Hom : \CT^\opp\times\CT \to \D^b(\kk)$, такой что $H^i(R\Hom(X,Y)) = \Hom(X,Y[i])$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $(\CA,\alpha)$ --- оснащение для $\CT$. По определению $DG$-категории имеем 
бифунктор $\Hom^\bullet:\CA^\opp\times\CA \to \CC_\dg(\kk)$. Переходя к $H^0$ получаем
точный бифунктор $H^0(\CA^\opp)\times H^0(\CA) \to H^0(\CC_\dg(\kk))$.
Но $H^0(\CC_\dg(\kk)) = \Hot(\kk) = \D(\kk)$, поэтому пользуясь оснащением,
получаем искомый бифунктор.
\end{proof}

Аналогично, наличие оснащения на морфизме функторов очень полезно.

\begin{lemma}
Пусть $\phi:F \to G$ --- морфимзм оснащенных функторов $\CT \to \CT'$, допускающий оснащение.
Тогда существует точный функтор $H:\CT \to \CT'$ и морфизмы функторов $\psi:G \to H$, $\chi:H \to F[1]$,
такие что для всех $X$ в $\CT$ треугольник $F(X) \to G(X) \to H(X) \to F(X)[1]$ точен.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $\tilde{F}, \tilde{G}$ --- оснащения функторов $F,G$, а $\tilde{\phi}:\tilde{F} \to \tilde{G}$ --- 
оснащение морфизма $\phi$. Положим $\tilde{H}(X) = C(\tilde{\phi}_X:\tilde{F}(X) \to \tilde{G}(X))$
и обозначим через $\tilde{\psi}_X$, $\tilde{\chi_X}$ морфизмы в каноническом треугольнике
$$
\xymatrix@1{\tilde{F}(X) \ar[r]^{\tilde{\phi}_X} & \tilde{G}(X) \ar[r]^{\tilde{\psi}_X} & \tilde{H}(X) \ar[r]^{\tilde{\chi}_X} & \tilde{F}(X)[1]}
$$
Ввиду функториальности конуса, $\tilde{H}$ --- $DG$-функтор из $\CA$ в $\CA'$, а $\tilde\psi$
и $\tilde\chi$ --- морфизмы $DG$-функторов. Переходя к $H^0$ получаем искомый треугольник на уровне
триангулированных категорий.
\end{proof}


\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
