Стабильные расслоения на кривых и теорема Нарасимхана-Сешадри

Лекции

9 февраля: понятия наклона, стабильности и полустабильности расслоения. Фильтрация Жордана—Гёльдера и фильтрация Хардера—Нарасимхана.
16 февраля: свойства полустабильных расслоений. Общее расслоение ранга 2 стабильно на кривой рода хотя бы 2. Ограниченность семейства полустабильных расслоений. Немного о Quot-схемах.
23 февраля: НЕРАБОЧИЙ ДЕНЬ, лекции не будет.
2 марта: Открытость (полу)стабильности в семействах. Лемма Фалтингса о когомологически ортогональных расслоениях, доказательство через теорию деформаций.
9 марта: НЕРАБОЧИЙ ДЕНЬ, лекции не будет.
16 марта: ОТМЕНА ЛЕКЦИИ.
23 марта: Пространства модулей полустабильных расслоений (без доказательства). Их неприводимость и собственность.
30 марта, дополнительная лекция: Связь алгебраической геометрии с комплексно-аналитической. Понятие связности, препятствие к существованию голоморфной связности.
30 марта: Соответствие Римана—Гильберта. Логарифмические связности, их вычет и монодромия в терминах вычета. Продолжение по Делиню.
6 апреля: Логарифмические связности со скалярным вычетом, их существование. Связь вычета и степени.
13 апреля: Связности с унитарной монодромией. Полустабильность расслоения через оценку норм локальных сечений. Инъективность отображения Нарасимхана—Сешадри.
20 апреля: Непрерывные семейства голоморфных расслоений. Отображение Нарасимхана--Сешадри непрерывно, а на неприводимых представлениях аналитично.
27 апреля: Отображение Нарасимхана—Сешадри инъективно на касательных пространствах. Доказательство теоремы Нарасимхана—Сешадри. Обзор вариантов и обобщений.

Аннотация курса

Векторные расслоения на многообразиях естественно возникают в алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии, математической физике и прочих разделах математики. Какие бы аспекты векторных расслоений не изучались, различные варианты понятия стабильности расслоения всегда играют критически важную роль. В этом курсе мы подробно обсудим свойства стабильных расслоений в простейшей ситуации, то есть для алгебраических кривых (эквивалентно: на римановых поверхностях). Курс начнётся с определения и простейших свойств.

Главная цель курса — теорема Нарасимхана-Сешадри, утверждающая, что на алгебраических кривых стабильные расслоения имеют в некотором смысле топологическую природу, а не алгебраическую / голоморфную, как можно было бы ожидать из определения. Попутно мы чуть-чуть обсудим некоторые аспекты теории пространств модулей векторных расслоений на кривых. До некоторой степени это курс-калейдоскоп, в ходе которого мы в доступном виде встретимся с множеством важных математических сюжетов: стабильные расслоения, свойства ограниченности для семейств, соответствие Римана-Гильберта, теория деформаций, компактификации пространств модулей и т.п.

Пререквизиты: основы алгебраической или комплексной геометрии (многообразия, векторные расслоения, двойственность Серра, когомологии пучков) и алгебраической топологии (фундаментальная группа римановой поверхности, локальные системы, когомологии де Рама).

Примерная программа курса

Наклон. Теорема Римана--Роха для расслоений в терминах наклона. Определение стабильности. Морфизмы между стабильными расслоениями.
Фильтрация Хардера--Нарасимхана. Её существование и свойства. Эффективные критерии глобальной порождённости.
Примеры стабильных расслоений. Классификация векторных расслоений на P^1 и на эллиптической кривой.
Стабильность как открытое свойство в семействах. Ограниченность семейства полустабильных расслоений. Немного о пространствах модулей расслоений.
(если будет время) Лемма Фалтингса о существовании когомологически ортогонального расслоения, интерпретация с точки зрения пространств модулей.
Локальные системы, связности с регулярными особенностями, продолжение по Делиню. Индуцированные расслоения, их (полу)стабильность.
Формулировка теорема Нарасимхана--Сешадри. Доказательство (локальной) инъективности через теорию деформаций.
Собственность пространств модулей полустабильных расслоений. Доказательство сюръективности в теореме Нарасимхана--Сешадри.
Обзор обобщений и вариантов: понятия (мн.ч.) стабильности расслоений на многомерных многообразиях, соответствие Кобаяши--Хитчина, аналитический подход Дональдсона--Уленбек--Яу, неабелева теория Ходжа и т.п.

Источники и полезные материалы

На практике самым полезным источником для этого курса оказалась первая половина книги Ле Потье "Lectures on Vector Bundles". Там аккуратно и подробно изложено доказательство основных свойств (полу)стабильных расслоений на кривых, причём примерно на том уровне общности, к которому я стремился. В частности, там можно прочитать очень хорошее описание GIT-построения пространства модулей расслоений, которое в курсе я за недостатком времени принял как данное.

Доказательство теоремы Нарасимхана--Сешадри будет изложено согласно недавней статье "The Narasimhan-Seshadri Theorem revisited" (N. Nitsure), где существенно упрощена "половина" оригинального доказательства из статьи "Stable and Unitary Vector Bundles on a Compact Riemann Surface" (M. S. Narasimhan, C. S. Seshadri); вторая половина за шестьдесят лет не изменилась.

Нам понадобится понятие связности с логарифмическими особенностями и некоторые их свойства. Классический источник --- книга Делиня "Equations différentielles à points singuliers réguliers"; вас может заинтересовать её перевод на английский от Tim Hosgood. Всё это опирается на базовый аппарат комплексной геометрии, который я по мере возможно напомню; нулевой главы Гриффитса--Харриса будет более чем достаточно, хватит и обычного курса по комплексному анализу.

Доказательство "леммы Фалтингса" (о существовании когомологически ортогональных расслоений), которое я рассказал, найти непросто: сначала надо раздобыть книгу "Linear algebraic groups and their representations" 1992 года (сборник докладов на конференции), в ней нужна последняя часть под авторством Сешадри "Vector bundles on curves", в ней восьмой раздел под названием "Appendix II (Nori's method of proving Faltings' results)", и вот там с большим количеством опечаток изложено доказательство. Beware of the leopard.