А. С. Холево. Введение в квантовую теорию информации.
Московский центр непрерывного математического образования
(МЦНМО), Москва 2002.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Недавно отмечалось 50-летие двух революционных
научных открытий, которые
по существу предопределили облик
современного мира в той важнейшей его
части, которая касается
процессов хранения, обработки и передачи информации.
Это --
изобретение транзистора, открывшее путь к миниатюризации
и
радикальному снижению материальных и энергетических затрат при
создании
систем обработки информации, и создание математических
основ теории
информации, заложивших принципы рационального и
помехоустойчивого
дизайна таких систем и обрабатываемых ими
массивов данных. В
качестве примеров эффективного применения идей
теории информации можно
привести коды Лемпеля-Зива, используемые
для сжатия файлов в UNIX и
PC, а также коды Рида-Соломона,
применяемые для исправления
ошибок при воспроизведении CD.
В
настоящее время происходит создание теоретических и экспериментальных
основ
квантовой теории информации. Построены
демонстрационные системы,
основанные на принципах квантовой
криптографии. Обсуждается идея квантового
компьютера, сулящая в
перспективе немыслимые ранее
возможности. Практическая реализация
этого проекта предполагает
технологическую революцию, по
значимости сопоставимую по крайней мере с
изобретением
транзистора. (Компетентное обсуждение возможных подходов см.
в
книге:
К. А. Валиев, А. А. Кокин, Квантовые компьютеры:
надежды и реальность,
М.-Ижевск: РХД, 2001.)
Независимо от
того, как скоро могут быть практически реализованы подобные
проекты,
квантовая теория информации является новым направлением,
дающим
ключ к пониманию фундаментальных закономерностей Природы, до
недавних
пор остававшихся вне поля зрения исследователей. Она
также стимулирует
развитие экспериментальной физики, значительно
расширяющее возможности
манипулирования состояниями микросистем и
потенциально важное для новых
эффективных приложений.
Центральным
результатом классической теории информации являются
теоремы
кодирования, устанавливающие возможность
помехоустойчивой передачи и
обработки информации при скоростях, не
превышающих некоторую вполне
определенную величину,
характеризующую данную систему преобразования
информации (для
определенности обычно говорят про канал связи)
и
называемую пропускной способностью. Почти одновременно с
появлением
пионерских работ Шеннона и с созданием математических
основ теории информации
встал вопрос о фундаментальных
ограничениях на возможности передачи
сообщений, накладываемых
природой физического носителя информации. Проблема
определения
пропускной способности квантового канала связи сформировалась в
60-е
годы и восходит к более ранним классическим трудам Габора и
Бриллюэна,
поставившим вопрос о квантово-механических пределах
точности и скорости
передачи информации. Эти работы заложили
физические основы и подняли
проблему адекватного математического
рассмотрения всего данного круга
вопросов. Принципиальные
шаги в этом направлении были сделаны в 70-е годы,
когда была
построена некоммутативная теория статистических решений,
найдено
первое доказательство квантовой энтропийной границы и
обнаружена строгая
супераддитивность шенноновской информации в
квантовом канале связи без
памяти.
Существенный прогресс
был достигнут в последние годы, когда были доказаны
прямые теоремы
кодирования, устанавливающие достижимость квантовой
энтропийной
границы, и понято, что квантовый канал характеризуется целым
набором
пропускных способностей, в зависимости от рода передаваемой
информации
и специфики используемых ресурсов. В значительной мере
этот прогресс
стимулирован современным развитием идей квантовой
теории информации и
квантового компьютинга. С другой стороны,
вопрос о пропускной способности квантового
канала связи
представляет большой интерес в связи с
квантовыми кодами,
исправляющими ошибки, исследованием эффективности и
сложности
квантовых алгоритмов, и в целым рядом других
вопросов.
Настоящие лекции посвящены в основном систематическому
изложению строгих
результатов, относящихся к понятию
квантового
канала связи и пропускных способностей. В них также
дается подробное введение
в статистическую структуру квантовой
теории, составляющую базис для квантовой
теории информации, однако
их не следует рассматривать как всеобъемлющий курс
по квантовой
теории информации: так, здесь не затрагиваются проблемы
квантовой
криптографии, а также получившая значительное развитие в
последнее
время количественная теория сцепленности
(entanglement) квантовых
состояний. Весьма фрагментарно
рассматриваются и квантовые алгоритмы.
Эти разделы читатель,
освоивший вводные главы настоящих лекций, сможет изучить
самостоятельно
по другим источникам (Одним из основных источников
новейшей информации
является Лос-Аламосский электронный
архив по квантовой физике (quant-ph),
представленный на сервере
ИТЭФ: http://xxx.itep.ru.).
Доказательства целого ряда
вспомогательных результатов
и следствий оставлены читателю в
качестве полезных упражнений. С другой
стороны, в лекциях
сформулировано несколько принципиальных открытых проблем,
решение
которых явилось бы существенным вкладом в квантовую
теорию
информации.
В основу настоящих лекций положен курс,
прочитанный автором в
Математическом институте им. В.А. Стеклова
РАН для слушателей
Колледжа математической физики Московского
Независимого
Университета.