ПРОГРАММА КУРСА «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»                        
 

1. Опыт с конечным числом равновероятных исходов. Основные комбинаторные формулы. Выбор n объектов из N (упорядоченный, неупорядоченный, с возвращением, без возвращения). Задача о выборочном контроле. Геометрические вероятности. Основные свойства вероятности.

2. Теоретико-множественное описание операций над событиями. Алгебры и сигма-алгебры событий. Вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова. Связь между непрерывностью и счетной аддитивностью вероятности.

3. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

4. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности.

5. Cxeма Бернулли. Биномиальные вероятности. Пуассоновское приближение. Закон больших чисел для сxeмы Бернулли. Локальная теорема Муавра-Лапласа.  Интегральная теорема  (без доказательства).

6. Определение случайной величины и функции распределения. Дискретные случайные величины и их распределения вероятностей. Биномиальное, гипергеометрическое, пуассоновское распределения. Основные свойства функции распределения.

7. Абсолютно непрерывные случайные величины и плотность распределения. Равномерное, показательное, нормальное распределения. Нахождение распределения функции от случайной величины. Пример квадрата случайной величины.

8. Семейства случайных величин. Функция совместного распределения и ее свойства. Вероятность попадания в многомерный полуинтервал.

9. Сигма-алгебра борелевских подмножеств в Rn. Совместное распределение  семейства случайных величин. Абсолютно непрерывные распределения и их плотности.

10. Независимость случайных величин в терминах распределений и функций совместного распределения. Независимость случайных величин, которые являются функциями от непересекающихся подсемейств семейства независимых случайных величин.

11. Независимость абсолютно непрерывных случайных величин. Равномерное распределение в ограниченном борелевском подмножестве Rn, многомерное нормальное распределение с независимыми компонентами. Распределение суммы двух (независимых) случайных величин.

12. Математическое ожидание дискретной случайной величины (со счетным множеством значений). Формула для математического ожидания функции от нескольких дискретных случайных величин. Свойства  математического ожидания дискретных случайных величин: положительность, линейность, неравенство модуля, математическое ожидание произведения независимых  случайных величин.

13. Равномерная аппроксимация произвольной  случайной величины последователь-ностью дискретных случайных величин. Определение и свойства   математического ожидания в общем случае.  Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины.

14. Математическое ожидание как интеграл Лебега в вероятностном пространстве и его связь с интегралом Лебега-Стилтьеса в  R1.  Математическое ожидание функции от нескольких случайных величин как интеграл Лебега-Стилтьеса в Rn.

15. Моменты (обычные, абсолютные, центральные). Дисперсия, ее вычисление для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин. Неравенство Чебышева. Условие обращения дисперсии в нуль, дисперсия суммы независимых  случайных величин.

16. Закон больших чисел для независимых  случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями. Применение в статистике: понятие о выборочной функции распределения. Энтропия дискретной случайной величины (с конечным множеством значений), ее максимальное значение. Понятие типичной последовательности, свойство асимптотической равнораспределенности.

17. Математическое ожидание комплексной случайной величины. Характеристическая функция, ее вычисление для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин. Характеристические функции вырожденного, биномиального, пуассоновского, равномерного, показательного, нормального распределений.

18. Основные свойства характеристических функций: нормировка, непрерывность, изменение при линейном преобразовании, характеристическая функция суммы независимых  случайных величин. Связь между моментами случайной величины и производными характеристической функции.

19. Формула обращения для функции распределения. Случай интегрируемой характеристической функции.

20. Теорема непрерывности. Слабая сходимость функций распределения, теоремы Хелли.

21.Центральная предельная теорема для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Сравнение нормального приближения и неравенства Чебышева.    Теорема  Ляпунова (без доказательства).                                           
22. Сходимости по вероятности и почти наверное. Лемма Бореля-Кантелли. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел.
23. Сигма-алгебры, порожденные конечным и счетным наборами случайных величин. Остаточные события. Закон 0 или 1 Колмогорова.


Л И Т Е РА Т У Р А

 

1. Боровков А. А. Теория вероятностей. М. Эдиториал УРСС, 1999.

2. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М. Наука, 1985.
3. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. 2-е изд. М.-Ижевск, ИКИ, 2004.
4. Ширяев А.Н. Вероятность-1. М. МЦНМО, 2004.