\documentclass[10pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\long\def\comment#1\endcomment{}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}


\newtheorem{theorem}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{�����}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{��������}
\newtheorem{prop}[theorem]{�����������}
\newtheorem{corr}[theorem]{���������}
\newtheorem{sch}[theorem]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{defn}[theorem]{�����������}
\newtheorem{remark}[theorem]{���������}
\newtheorem{example}[theorem]{������}

%%%%% Redefinition of sections

\makeatletter
\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0pt}{-3ex
plus -1ex minus -0.2ex}{-2mm plus -0pt minus
-2pt}{\normalfont\bfseries}} 
\renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{2}{0pt}{-3ex
plus -1ex minus -0.2ex}{-2mm plus -0pt minus
-2pt}{\normalfont\bfseries}} 
\makeatother

%%%%% Odds and ends 

\def\today{}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\newcommand{\wt}{\widetilde}
\newcommand{\wh}{\widehat}

\newcommand{\ratto}{\dasharrow}        % rational map
\newcommand{\onto}{\twoheadrightarrow} % surjection

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%
%%%%% Letters and operators

\newcommand{\calo}{{\cal O}}

\newcommand{\kk}{{\sf k}}
\newcommand{\Grp}{\Gamma}
\newcommand{\grp}{\gamma}

\newcommand{\tw}{ {(1)} } 
%\newcommand{\tw}{ {}^{(1)} } 
\newcommand{\fmod}{{\text{\rm -mod}^{\text{{\tt\tiny fg}}}}}

\newcommand{\A}{{\mathcal A}}
\newcommand{\B}{{\mathcal B}}
\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\C}{{\mathcal C}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\D}{{\mathcal D}}
\newcommand{\G}{{\mathcal G}}

\newcommand{\W}{{\mathcal W}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}

\newcommand{\X}{{\mathfrak X}}

\newcommand{\bW}{{\sf W}_h}
\newcommand{\bWbar}{{\sf W}}
\newcommand{\bO}{{\sf O}}

\newcommand{\Zet}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\Qu}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\R}{{\mathcal R}}
\newcommand{\Z}{{\mathcal Z}}

\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\Lotimes}{\overset{\rm L}{\otimes}}
\newcommand{\imbed}{\hookrightarrow}
\newcommand{\sur}{\twoheadrightarrow}
\newcommand{\iso}{{\widetilde\longrightarrow}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{\sf dim}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{\sf codim}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\sf id}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{\sf rk}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{\sf tr}}
\newcommand{\Fr}{\operatorname{\sf Fr}}
\newcommand{\FrN}{\operatorname{\it Frob}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Coh}{\operatorname{Coh}}
\newcommand{\spec}{\operatorname{{\cal S}{\it pec}}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}}
\newcommand{\RHom}{\operatorname{RHom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}

\newcommand{\eend}{\operatorname{{\mathcal E}{\it nd}}}

\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Hilb}{\operatorname{Hilb}}

\newcommand{\uHom}{{{\mathcal H}{\it om}}}
\newcommand{\uEnd}{{{\mathcal E}{\it nd}}}
\newcommand{\uuHom}{{\sf Hom}}
\newcommand{\bbS}{{\mathbb S}}

\newcommand{\Db}{D^b}

\newcommand{\oplusl}{\bigoplus\limits}
\newcommand{\cupl}{\bigcup\limits}
\newcommand{\capl}{\bigcap\limits}
\newcommand{\suml}{\sum\limits}
\newcommand{\prodl}{\prod\limits}


\newcommand{\gl}{{\mathfrak gl}}


\newcommand{\Gm}{{\mathbb{G}_m}}

\newcommand{\g}{{\mathfrak g}}
\newcommand{\ssp}{{{\mathfrak s}{\mathfrak p}}}
\newcommand{\m}{{\mathfrak m}}

\newcommand{\Jtil}{\widetilde{J}}
\newcommand{\K}{{\sf K}}

\newcommand{\sllash}{/\!\!\,/}

\hyphenation{Fro-b-en-i-us-con-stant}

\title{��������������� ������ ��� ��������������� ����������
������������������}

\author{�. ������������� � �. �������}

\def\today{{\em ������ ������ ����������� ������.}}

\begin{document}

\maketitle

%\tableofcontents

\section{��������.}

����� $\K$ -- ������������� ��������� ���� �������������� $0$, $V$
-- ������������� ��������� ������������ ��� $\K$, ����������
������������� ������������������ ������ $\omega\in \Lambda^2(V^*)$,
� $\Grp\subset Sp(V)$ -- �������� ���������. �����������, ��� ����
���������� ������������ ������������������ $\pi:X\to V/\Grp$ �����,
��� ��������������� ����� ������������ � ������� ����� $V/\Grp$ ��
������������� ��������� $2$-����� $\Omega \in H^0(\Omega^2_X)$. ����
��������� ������ -- �������� ��������� ���������.

\begin{theorem}\label{main}
���������� ��������������� $\calo_V^\Grp$-�������� �����������������
��������� $D^b(\Coh(X))\cong D^b(\Coh^\Grp(V))$.
\end{theorem}

�������� ������ ���� ������� ���� �������������� �. �����
\cite{reid}; ����� ����� ����������� ���� ������� ��������� �
�������� �������� �. �������� � �. ������� \cite[\S 5]{BO}.

� ������ $\dim(V)=2$ �������� ��������������� ������ ��������,
\cite{KV}, \cite{SV}; ���� ����� �������������� ��������� �� ���
����������. ������� �����������, �������� ������, ���� ��������
�. �����������, �. ������ � �. ����� \cite{BKR} ��� ����������
���������� �������������� �������� ��������� ����������� �����������
$3$. ������, �������������� � \cite{BKR}, ������ ���������, ��
��������, � ���������, ������ � $\dim 3$. ���� ������ -- ��� �������
�������� � ������ ����������� ���� �� ������, �� ���� �� ���
���������. ��� ����� �������� ������ ��� ���������������
������������������, � �� ��� ����� ��������������. �������, ������,
��� ���� �������������� ������� �� ���������� �� �������������� --
�� ����� ���� ������ ���������� ���������� $X$ ���������������
����������������� �������� ������������� ��������������� ������
(��. \cite{Ka}).

�������������� ���������� �������� � ������� �������������� �
����������� ���������������� ������������ $X_{\kk}$ ��� ����� $\kk$
�������������� $p>0$. ��� ����� ������� �� ����������� \cite{MR}.

�������� ���������� �������������� -- ����������� $X_{\kk}$,
���������� ������� �������� ��������� �� ����������� ������������
$H^0(\calo_X) = H^0(V,\calo_V)^\Grp$. �� ����� � ���� ��� ���� �����
���������� ������������ ����� $\calo_X$ � ����� ���������������
$\kk[[h]]$-������ $\calo_h(X)$, ��� ������� ���������� �������
$H^0(X,\calo_h)$ ��������������� � ����������� $\W^\Grp \subset \W$
$\Grp$-������������ �������� � (�����������) ������� ����� $\W$
���������� ������������ $V$.

�����������, ��� ��� ����� ������ $\Spec(\kk[[h]])$ ������������
������� $\calo_h$ ������������ ����� ������� ������� �� $X^\tw$,
���������-���������� $X$; ����� ��� ���� ������� ������� ��
$X^\tw_\kk$. ��������� ������� ��� ��������� ���� ���������
����������� ������ �� �����-�� ������ ��� $X^\tw$.

����� ��������, ��� ������������� ������� ������� �� $X^\tw$ {\em
������� � ����������� ������}, �.�. ����������� ������� �� ��������
���������� ������� ���� ��������������� ����� ����������� ����������
������ ������� � ����������� ���������� ������� ��� �� �����������
���������; ������ ������� ���������� ������� ��������������� �
$\bWbar^\Grp$, ��� $\bWbar$ -- �������� ������� ����� � ����� $h=1$.

����� ����, ��� ������� $p$ ����� ��������������� ������ �����
$\bWbar^\Grp$ � $\bWbar\#\Grp$, ���������� ������������� $\bWbar$ �
$\Grp$. ����� ������� �������� ��������������� �����
$D^b(\W\#\Grp\fmod)$ � ����������� ���������� ������� ��� ��������
������� �� $X^\tw$. ������� $\bWbar$ -- ������� ������� �� $V^\tw$;
��� �����, ��������� ��������������� ���������� �� ��������� ��,
����� ������, ��������� �� �����-�� �����. �����, ���������
��������� ����������� �� ������� �������, ��������� �� ������ ��
������ � ����������� ������ �� ��������������� ������������.

��� �������� ��������������� ��� ����� $\kk$ ������� �������������
��������������; ��� ����� �������������� ���� ��������� �����������
��������� � ������� ����������� ���������.

\medskip

�� �������~\ref{main} �������, �����-����� ���������������, ���
����� ���������� ���������� $X$ ����������������� $V/\Grp$ --
������������ ������� $\Grp$-�������������� ��������� ������ �� $V$,
��������������� ������-���� ������� ���� ������������ (��, ���
������ ������� �������� {\em $G$-�����������}). ��� ������ ����,
������� ����������� ����������� ��������; ������, ������� �������
���� ������������ ����� -- ������������� ������, ������� ��
��������� �������� �� ������� ��������� ������. ����� �������, �
������ $X = \Hilb^n({\mathbb A}^2)$, ����� ��������� $n$ ����� ��
�������� ���������, ��� ����������� ������ ������ ������,
���������������� �������������� ��� ���������� $n!$-��������,
���������� ������� �. �������� \cite{Haim}. ������� �����, ���, ���
������ ��������, ��� $X$ -- ������������ ������� $G$-���������,
�������~\ref{main} ����� �������� ������� \cite{BKR}; ���, ������,
�������� ������������, ��������� ��� ����, ����� �������
������������� ���������� $X$ ���������� �����, ��� �����
������������ �������~\ref{main}. ������� ��������, ���
\cite[Corollary 1.3]{BKR} � ���� ������ ������ ���������, ������ ���
�� ����� ���� ������������, ��� ���������� ���� $G$-����� ���������
(���� ��� ������ �� ��������� � ������������, � ����� ������ ��
�����������, ������� �������� ���-�� �� ���������� ��������).

\medskip

����� ������, ��� ��������� $\Grp$-�������������� ����������� ������
�� $V$ ������������ ��������� �������-����������� ������� ���
��������� ��������������� ��������. ������� �. ������ \cite{kel}
���� ����������� ��� ���������� ����� {\em ��������� ���������}
�������� ���������. ��������� ��������� ���������
�������-����������� ������� ��� �������� ����� ���������� ���������
�������; � ���������, ������ ��������� $HH_k$ ����������� ��� $k <
0$. � ������ �������, ������ ��������� ��������� $HH_k$ ���������
����������� ������ �� ������� �������������� ������������ $X$ ���
����� �������������� $0$ ��������� ����� $H^{p-k}(X,\Omega^p_X)$. ��
����������� ������� ����������� �� ��������� � ���������, �������
���������� ��������������� ����������� ���������. ������� ��
�������~\ref{main} �������, ��� $H^p(X,\Omega^q_X) = 0$ ��� $p >
q$. � ��������������� ������ ��� �������� � ����� ����������
$H^p(X,\Omega^q_X) = 0$, $p+q > \dim X$, � ��� ���� �������� �
\cite{K3} (������ �� ���������� ���� ���� � ��������������
�������~\ref{main}). � ����� ������, ������, ��������� ��������� �
���� ������ ������, � �������� ����� �������. ��-�� ����� ���������
�������� � ���, ��� �������~\ref{main} ����� ��� ����������
���������� ����� �������������� ������������������ $V/\Grp$.

\subsection{�����������.}\label{nota}
���� $\langle V,\omega\rangle$ -- ��������������� ���������
������������, $\Grp\subset Sp(V)$ -- �������� ���������, $\pi:X\to
V/\Grp$ -- ������������� ���������� ������������ �����, ��� $\omega$
������������ �� ��������������� ����� �� ���� $X$, $\eta: V\to
V/\Grp$ -- ������������ ��������. ��������� ������� ������ $\Grp$ �
�������������� � ������ $R$ ������������ ����� $R[\Grp]$. ���
������������ $\kk$-������� $A$, ���������� ��������� $\Grp$,
���������� {\em ���������� ������������} $A \# \Grp$ ��� �������,
������� ��������� � $A[\Grp]$ ��� ��������� ������������, �
��������� � ��� ������������ ����������
$$
(a_1 \cdot \gamma_1)(a_2 \cdot \gamma_2) = a_1a_2^{\gamma_1} \cdot
\gamma_1\gamma_2, \qquad a_1,a_2 \in A, \gamma_1,\gamma_2 \in
\Grp.
$$
������� ����� $\bW$ ������������ ���
$$
\bW=\kk[h]\langle V^*\rangle/\left(
  xy-yx=h\omega^{-1}(x,y)\right);
$$
���������� ������� ����� $\W$ -- $h$-��������� ���������� $\bW$.  ��
���������� � $V$ $\Grp$-�������� $V_i\subset V$ ���
$$
V_i=\{v\in V\ |\ \dim V^{Stab_\Grp(v)}\leq 2i+\dim V^\Grp\},
$$
� �������� $X_i=\pi^{-1}(V_i/\Grp)$ (��� ��� �� ����� ���� �����
������������ ������ ��� $i=0,1$). ��� ������������� ������� $\calo$
�������������� $p$ �������� $\calo^p=\{f^p\ |\ f\in \calo\}$. ���
����� $X$ ��� ����� �������������� $p$, �� $X^\tw$ ������������
���������-����������� $X$, � �� $\Fr:X\to X^\tw$ -- �����������
����������. � ����� �����������, $X$ ������ ����� ���������; � ����
������ $X^\tw =\langle X, \calo_X^p \rangle$. ����� ����, �������
���� ����� �����������, ��� ��� ����������� $X^\tw$ ��������� $X$
��� ����������� �����; ������ �������� ������ ��������� �� �� ������
�����������.
 
���� $\A$ -- ������� ������� �� ����� $X$, �� ����� $\Coh(X,\A)$ ��
����� ���������� ��������� ����������� ������ $\A$-�������.

\subsection{�������������.} �� ������ �� ������������� �. ��������,
�. ������������, �. ���������, �. ��������� � �. ������������ ��
��������� ������ � ������ �������������� �������� (� ���������,
���������~\ref{rem_pro_BKR} ��� ������ ��������). ������ ����� �����
�� ������������� ����. �. ���� �� �������� ����������. �������, ��
������ �������� ���������������� ���� ����� �. ���������� �
�. ���������. ��������� ������, �� ������� ���� ��������, ��������
��� ������� �������� ���������� �������������� �������� ��� �� ����
�� ��������� � ������ ������������� � ������������� ��������������.

��������� ��� ����� ������ ����� ������ ������ �� �������� ������
������� ����� ��. ��������, ��� ��������� � ��������� ��������� �
��������, � ���������, � ��������� ������������, ��������� ��
���������; � ��������, ��������� ������ ���� ���������� ����������
����� ���������. �� ������� ������������� �.�. �����, �������
���������� ������� � ���� ������� �������������, � � ����������� ��
���������. ��������� ������ ������������ ��� �������. � ���������,
���������� ������ ����������� � ���������� ����������� ��� ��
��������.

\section{����� �������������� �������.}

���� ����� ������� -- ��������, ��� �������~\ref{main} �
������������ ������� �������� �� ���������� ����� ��������������
����������.

\begin{defn}
��������� ������ $M$ �������� ��������� ���������� {\it �����
��������������} ���� $\Ext^i(M,M)=0$ ��� $i > 0$, � �������
$\End(M)$ ����� �������� �������������� �����������.
\end{defn}

\begin{prop}\label{CYProp} 
����� $Y$ -- ������� ������������ ������������ ��� ����� $k$,
������� ����������� ������������ �����; �����������, ��� ����������
����������� ������� �� $Y$ � �������� $k$-������������ $S$. �����
$\A$ -- ������� ������� �� $Y$. ���� $\E\in \Coh(X,\A)$ -- �����
�������������� ������, �� ������� $\F\mapsto\RHom^\hdot(\E,\F)$ ��
����������� ��������� $D^b(\Coh(X,\A))$ � ����������� ���������
$D^b(\End(\E)^{op}\fmod)$ �������-����������� $\End(\E)$-�������
������������ ����� ��������������� ���������.
\end{prop}

�����������~\ref{CYProp}, ����������� � $\A=\calo$, ����������
����������, ��� ��� �������������� �������~\ref{main} ����������
�������� ���������.

\begin{theorem}\label{evb}
���������� ����� ��������� ���������� $\E$ �� $X$, ���
\begin{enumerate}
\item $\calo_V^\Grp$-������� $\End(\E)$ ��������� �����������
������������ $\calo_V \# \Grp$,
\item $\Ext^i(\E,\E)=0$ ��� $i > 0$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

��� ������� �� � ����� ���������� � ���������� ����� ������, �����
����, ��� � ����������~\ref{pf.CY} ������� �����������~\ref{pf.CY}
(����� �������� �������� ����� ������ � ������� ��������, �������
�����, ���, ��������� $V \cong V^*$ ��� $\Grp$-������, �����
$(\calo_V\#\Grp)^{op}\cong\calo_V\#\Grp$). ����� ����, �
����������~\ref{rg} �� �������, ��� ����� �������������� �������
�������� ������������ ����������, ��� ���, � ��������, ����������
��������� ���������� $\E$ ����� �������� � ������� ��������������.

\begin{remark}
����� ��������, ��� ������� �� ��������� ���������� $\E$ �
��������\ref{evb} ������������ ���������:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\alph{enumi})}}
\item $\E_{X_0}\cong \pi^*\eta_*(\calo)|_{X_0}$

\item $\Ext^i(\E,\E)=0$ for $i>0$, � $\End(\E)\iso
\End(\E|_{X_0})$.
\end{enumerate}
\end{remark}

\subsection{��������� ������-��.}\label{CY}

�������� ��������� ����� ����� �������������� �������. ��
������������� �������� � ������ \cite{BK}.

����� ���� ���� $k$. �������, ��� $k$-�������� �����������������
��������� ����� {\em �������� ���}, ���� ��� ����� ���� ��������
$X,Y\in D$ ������������ $\Ext^\hdot(X,Y)= \bigoplus_{i\in \Zet}
\Hom(X,Y[i])$ ������������. ��� ����� ��������� ������ � ��������
\cite{BK} ���������� {\it ������� �����} ��� ����� �� (������������)
������������������� $S:D\to D$ � ����������� $\Hom(X,Y)\cong
\Hom(Y,S(X))^*$, ��������������� ��� ����� $X,Y\in D$ �
��������������� ������������ ��������. ���� ������� �����
����������, �� �� ������������ � ��������� �� �������������
�����������. ��������, ���� $D$ -- ������������ �����������
��������� ����������� ������ �� ������� ����������� ������������ $X$
��� $k$, �� $F\mapsto F\otimes K_X [\dim X]$ -- ������� ����� ���
$D$ (��� $K_X$ -- ������������ �������� ����������).

��� ����������� ��������� ��������� ����� �������. ����� $\calo$ --
�������-����������� ������������� ������� ��� �����, � ����� $D$ --
$\calo$-�������� ����������������� ���������; ����� ����,
�����������, ��� ��� ������� $\uuHom: D^{op}\times D\to
D^b(\calo\fmod)$ � �������������� ���������� $\Hom(X,Y)\cong
H^0(\uuHom(X,Y))$; ����� ����� ������ ����� �������� {\em �������
$\calo$-����������}.

����������������� ��������� $D^b(\calo\fmod)$ �������� ������������
����-��������������������, � ������, ���������������
����������-����� \cite{Ha}. ��������� ���� ������� ����� $\bbS$;
����, $\bbS: \F\mapsto R\uHom(\F,\D)$, ��� $\D$ -- ����������� �����
����������, � $\uHom$ ���������� ���������� $Hom$.

\begin{defn}
{\it ������� ����� �� ��������� � $\calo$} (��� ������ {\em
$\calo$-������� �����}) -- ��� ����� �� (������������)
������������������� $S:D\to D$ � ������������� (���������������)
����������� $\uuHom(X,Y)\cong \bbS(\uuHom(Y,S(X)))$, ���������������
�������� \cite{BK}.
\end{defn}

��������, ���� $X$ -- ������� ������������ ��� $k$, ����������
����������� ��������� $\pi:X\to \Spec(R)$, �� $D^b(\Coh(X))$ �
$\uuHom(\F,\G) =R\pi_* \uHom(\F,\G)$ -- ������� $R$-���������.
������� $\F\mapsto \F\otimes K_X[\dim X]$ ����� ������������
��������� �������� ����� �� ��������� � $R$; ��� ������� �� ����,
��� �������������� ����������-����� ����������� � ������� ��������
��� ����������� ���������, �
$$
\bbS (\uHom(\F,\G))\cong \uHom (\G, \F\otimes K_X[\dim X]).
$$
��������� ��������� ����� ����� ������������ ���������������.

\begin{lemma}\label{AzuSerre}
����� $X$ -- ������� ������������ ��� $k$, ����������, ��� ����,
����������� ��������� $\pi:X\to \Spec(R)$; � ����� $\CA$ -- �������
������� �� $X$. ����� $D^b(\Coh(X,\A))$ ����� ������������ ���������
������� $R$-���������, � ������� $\F\mapsto \F\otimes K_X[\dim X]$
-- ������������ ��������� �������� ����� �� ��������� �
$R$.\endproof
\end{lemma}

������� $\calo$-��������� ����� �������� {\it ���������� ������-��}
���� ��� ��������� ������� ����� �� ��������� � $\calo$, ����������
�������� ������ $X\mapsto X[n]$ ��� ������-������ $n\in \Zet$.

���������� ���� ������� � ����� ������ �������� �� ���������
����������.

\begin{lemma}\label{abstract} ����� $F:C\to D$ -- �����������������
������� ����� ���������� ������������������
�����������. �����������, ���
\begin{enumerate}
\item $F$ ��������� ����������� ����� $F'$, ������ �������
  ������������� $id\to F\circ F'$ -- ����������.
  
\item $C$ �����������, �.�. �� ����� ���� �������� ��� $C=C_1\oplus
  C_2$ � ���������� ������������������ ����������� $C_1,C_2$.
  
\item $C$ ��������� ��������� ������� $\calo$-��������� ���
  �����-���� ������������� ������� $\calo$ ��������� ���� ��� �����,
  ������ $C$ �� ��������� � $\calo$ ���� ��������� ������-��.
\end{enumerate}
����� ������� $F$ -- ���������������.
\end{lemma}

\proof{} �� ������� \thetag{i} �������, ��� $F'$ -- ������ ��������,
� ��� (������������) ����� (������� �� ���������� ����� $I$) --
���������� ������ ������������ � $C$. ��������, ��� ��� ������, ���
������ ������ $\F$ of $C$ ���� ����� ������� ������������ $\F_1\to
\F\to \F_2\to \F_1[1]$, ��� $\F_1\in I$, � $\F_2\in I^\perp$; �����
$$
I^\perp=\left\{\G\in C\ \mid\ Hom(\F,\G)=0\quad \forall \F\in
  I\right\}
$$
-- ������ ��������� � $C$ (����� �������� ����� ����������� ���
������� $\F$, �������� $\F_1=F'F(\F)$, � ����� � �������� �������
$\F_1\to \F$ ������� ����������, � ����� ��������� �� �� �������
������������). � ����� �������� �������, ��� $C$ ���������
����������������� ����������. �� ����������� �������, ��� ���� $S$
-- ������� ����� ��� $C$ (�� ��������� � �����-������ �������������
������� $\calo$ �����, ��� $C$ ��������� ������� $\calo$-��������
���������), �� $S^{-1}$ ��������� ������ ��������� � ������
������������ � ����� ��������� � ��� �� ������������. � ���������,
���� $C$ -- ��������� ������-�� �� ��������� � �����-������ �������
$\calo$, �� ����� ��������� � ����� ����������������� ������������
��������� � ������ �����������. ������� �������������
����������������� ���������� �� ����� ���� ������������: $C=I\oplus
I^\perp$; ��������� $D\ne 0$, �� ������� \thetag{ii} �������, ���
$I^\perp=0$, � ������� $I=C$, � $F$, $F'$ -- ���������������
���������.
\endproof

\begin{remark}\label{rem_pro_BKR}
������� (� ����� �����) ����������� �������������� � �������� �
\cite{BKR}.
\end{remark}

��� ��� ���� ������� ��������������� ����.

\begin{lemma}\label{indecompo}
����� $X$ -- ������� ���������������� ������������ ��� �����, �
����� $\CA$ -- ������� ������� �� $X$. ����� ���������
$\Db(\Coh(X,\CA))$ �����������.
\end{lemma}

\proof{} ����� $\Db(\Coh(X,\A))=D_1\oplus D_2$ -- ����������,
������������ ������������ �������� ������. ����� $P$ -- ������������
��������� ���������� $\CA$-������. ����� $L$ -- ����� ��������
�������� ���������� �� $X$, ��� $H^0(L\otimes \uHom_\calo (P,P))\ne
0$. ��� ������� $n\in \Zet$ $\CA$-������ $P\otimes L^{\otimes n}$
����������, � ������ ����� ��� � $D_1$, ��� � $D_2$. ����� ����, ���
��� ������ ����� � ����� � ��� �� ���������, ��������� $Hom(P\otimes
L^{\otimes n}, P\otimes L^{\otimes m})\ne 0$ ��� $n\leq m$. ����
$\F$ -- ������ ������� ����������, �� $Ext^\hdot (P\otimes
L^{\otimes n}, \F)=0$ ��� $n$, �� ���� �������, ���
$\F=0$. \endproof

\subsection{�������������� �����������~\ref{CYProp}.}\label{pf.CY}
�� ����������, ��� �������
$$
F:\F \mapsto \RHom^\hdot(\E,\F)
$$
������������� ��������~\ref{abstract}. � ����� ����, �����
����������� ������� �������� $F':M\mapsto M\Lotimes_{\End(\E)^{op}}
\F$; �� ��������� ������������ ��������� � ������������, ��������� �
$\End(\E)$ �������� �������������� �����������. �� ��������� � ����
$Ext^i(\E,\E)$ �������, ��� $\id\cong F'\circ F$. ����, �����
\thetag{i}. ������� \thetag{ii} �������� �� �����~\ref{indecompo},
\thetag{iii} -- �� �����~\ref{AzuSerre}. \endproof

\subsection{���������.}\label{rg}
����� $R$ -- ���������� �������� ������ � ������������ ������� $\m
\subset R$ � ����� ������� $k = R/\m$. ����� ���� ��������������
������������ $X_R$, ������� � ������� ��� $R$, � ����� $X = X_R
\otimes_R k$ -- ���� $X$ ��� $\Spec k \in Spec R$.

\begin{lemma}\label{rig}
������ ����� �������������� ���������� $\E$ �� $X$ ������������
������� ������������ �� ����� ��������������� ���������� $\wh{\E}$
�� $\X$, ���������� ���������� $X_R$ � $X \subset X_R$.
\end{lemma}

\proof{} ���������� ���������� �� $R$, �������� ��������� $\m$, �
����� ������� ����������� ���-��-�����, ��������� ��� ���� $l$ ��
������� �� $X_R \otimes_R (R/\m^l)$. �� ����������� ������
����������, �� ������ ���� ����������� � ����������� $\E$ ����� �
$\Ext^2(\E,\E)$, � ��������� ����������� ��������������� ��������
��� $\Ext^1(\E,\E)$. ��������� $\E$ ����� �������������, ��� ������
����� ����. �������� ��������, ��� ������������ ���������� $\wh{\E}$
����� �������������. � ����� ����, ��������� $\Ext^i(\E,\E) = 0$ ���
���� $i \geq 1$, ����� $\Ext^i(\wh{\E},\wh{\E}) = 0$ ��� $i \geq 1$,
$\End(\wh{\E})$ ������ ��� $R$, � ������������ �����������
$\End(\wh{\E})/\m \to \End(\E)$ -- ����������. ����� ��������, ���
������� $\End(\wh{\E})$ ����� �������� �������������� �����������,
��������� ������ $\Ext^\hdot$ � ������� ������������
������������������, ��������� � $\m$-��������� �����������.
\endproof

���� ������������, ��� �������, ����� �����������, ������ ������� ��
$\X$ � $X_R$ ������� �����������. ����� �������� ����������
����������, �� ���������� �������� $\Gm$. �����������, ��� $X_R =
\Proj\B^\hdot$ ���������� ��� �������� ������������� $\Spec \B^0$
��� $R$.

\begin{defn}
����� ��������, ��� ������ $\Gm$ ��������� �� $X_R$ {\em �
������������� �����}, ���� ��� ���� ���������������� �������� $\Gm$
�� $\B^\hdot$ ��������������.
\end{defn}

\begin{lemma}\label{glob}
� �������������� �����~\ref{rig}, ����������� �����, ��� $R$ �����
�� ��������� � $\m$-��������� ����������, $X_R$ �������� ���������
$\Gm$ � ������������� �����, � $\E$ $\Gm$-�������������. ����� $\E$
������������ ������� ������������ �� $\Gm$-���������������
���������� $\E_R$ �� $X_R$.
\end{lemma}

\proof[�������� ��������������.] ����� ���������� �����������������
������ � ������� ������������ ������ ������������; �������������,
����������� $\E$ �� $\X$, ������������ ������~\ref{rig}, ���������
$\Gm$-�������������� ���������. ��� ������� �������������� ����,
������� ���������� -- ��������������� ��������� $\Gm$-��������������
����������� ������ �� $X_R$ � �� $\X$. ����� ��������� ��������
���������������, �������������� �� ������� ����� ����������� �����
��� �������������� $\B^\hdot$-������, � �������� ������ �� ���������
$\Gm$-�������� ��������.
\endproof

�� ����� ����, ������������� ��������� �� $\E$
$\Gm$-���������������� -- ������ ����� �������������� ���������
���������� �������������� ������������� �� ��������� � ������
�������� $\Gm$ � �������������� ������. �� �������� ��������������,
��������� ��� �������� ��������; � ����� �����������,
$\Gm$-�������������� ��������� ���������� ������ ��������������
���������� (��. �����������~\ref{lifts}).

\section{�����������.}

� ���� ������� �� �������� ��������� ����� ����� � �����������
�������������� ������������ ������������� ��������������. �� ��
�������� ������� �������-������ �������� ��������, � ����������
������ ��, ��� ����� ��� �������������� �������~\ref{main}.

�� ����� ����� ������� ��������������, ��� ��� ������� ����������
��� ������������� ����� $\kk$.

\subsection{����������� �����������.}

����������� (����������) ����������� $\kk$-�������
$\langle\calo,\{-,-\}\rangle$ ������������ ������� �������; ����,
����������� ���� ������������� ������� $\kk[[h]]$-������� $\calo_h$,
������ � ��������� � ���������, ����������� ��������� $h^i\calo_h$,
� ���������� ����� ������������ $\calo_h/h\calo_h\cong \calo$, ���
���������� � $\calo_h$ ����� $h\{-,-\}\mod h^2\calo_h$.

���� $X$ -- ���������� �����, �� ����������� $X$ -- �����
$\kk[h]$-������ $\calo_h$ �� $X$, ���������� ������������
$\calo_h/h\calo_h\cong \calo_X$ � �����, ��� ������� �������
$\calo_h(U)$ �� ����� �������� �������� ������������ $U$ --
����������� $\calo(U)$. �����������, ��� ����������� ������� ������
����������� �� ����������� (��. �������� \cite[\S 2.1]{Kapranov}),
��� ��� ����������� ����������� ������� $A$ ���������� �����������
����������� ����� $X=\Spec A$.

���� �� � �������� ����� �������� � ���������, � �������
$X$ -- ��������������� ������������.

\begin{example}\label{Diff op}
��� �������� ��������� ������������ $M$ ��� $\kk$, ������� $D_h(M)$
{\it ��������������� ���������������� ����������} �� $M$ -- ���
$h$-���������� �������, ����������� $\calo_M$ � $Vect(M)$ �� ������
������� ����������� $f_1\cdot f_2=f_1f_2$, $f\cdot \xi=f\xi$,
$\xi\cdot f-f\cdot\xi=h \xi(f)$,
$\xi_1\xi_2-\xi_2\xi_1=h[\xi_1,\xi_2]$. ��� ������, �����
�����������, ��� $D_h(M)$ -- ����������� ����������������
������������ $T^*M$.

�������� �����������, ���������� ���� ������������, �������� ���
������ �������� ������������ $M$ ��� $\kk$ ����� $D_h(M)$, �������
������������ ����� ����������� $T^*M$.

�������, ��� ����� $\cchar \kk$ ������������, ��� �����������
������� � ��� ����������� ``������������'' �����������������
����������� ��������� � �������� (PD ���������������� ��������� �
������������ \cite{Ogus}), � �� � ����� ������ ����������
����������������� ����������� ���������� (������ ��������
����������� ������� ���������� ����, ������ -- ���).
\end{example}

��� ����� ����������� �������������� ������
�����������. �����������, ��� ���������� ����� $X$ ��������
��������� $\Gm$, ������ ������ �������� ����� ��� $-2$ (�������
�������, $\deg \{f,g\} = \deg f + \deg g - 2$ ��� ����� ����
���������� ��������� ������� $f$, $g$ �� $X$). ����� ��������, ���
����������� $\calo_h$ ����� $X$ {\em ������������}, ���� ���
�������� ����� ��������� $\Gm$, ��� $h$ ����� ��� $2$, � ����������
$\calo_h/h \cong \calo_X$ $\Gm$-�������������. ��������, �����������
����������� $\W$ ���������������� ���������� ������������
������������ (��. ������~\ref{Weyl algebra}).

\subsection{����������� ��� ����������.}

����������� �� ������ �� ����������� ����� ������� � ������� ������
����������. � ��������� ����� ������� ������� ��� ������� ������
���������� � ������� ��������� �������-������� � ��� ��� ����
���������������-�������������� ������� ��. � �������������� $0$,
��������, ���� ����� ����� ��������� � ������������, � ���� ��������
�����-�� �������� ����������, �� ��� ��� ��� �������: �� � ��������
������� �������� � ������������� ��������������, ��� ���������
���������������-�������������� ������ �� ������ �����. ������� ���
�������� �������� � ������������ ��� �� �����, ������������
����������� ��������. ����� ������� ������� �������� �� �������, ��
���� ������ ��� ��������� � ����������� �������� �����.

����� $X$ -- ������� ������������. ��������, ��� �� �����������
������ ����������, ���������� ������������ ����� $\calo_X$ � �������
������ ������������� ������ �������������� �������� �����������
��������� $HH^i(X)$, $i=1,2,3$ --- ����� �������, ��������
$$
\Ext^i_{X \times X}(\calo_\Delta,\calo_\Delta), \qquad i =2,3,
$$
��� $\Delta \subset X \times X$ ���������� ���������. ������
��������������� ���������� ����� � ������ $HH^2(X)$, � �����������
����� � ������ $HH^3(X)$.

\begin{lemma}\label{def}
\begin{enumerate}
\item ����� $U \subset X$ -- �������� ������������, � �����������,
��� ����������� �����������
$$
HH^i(X) \to HH^i(U)
$$
��������� ��� $i=1,2$ � ���������� ��� $i=3$. ����� �����
����������� $U$ ������������ ������� ������������ �� �����������
$X$.
\item �����������, ��� $X$ �������� ��������� $\Gm$, �������
��������� $U \subset X$, ������ ������ �������� $\{-,-\}$ �
$\calo_X$ ����� ��� $-2$, � ��������� ����� $HH^\hdot_-(X) \subset
HH^\hdot(X)$, $HH^\hdot_-(U) \subset HH^\hdot(U)$ ���������������
�������� �������������� ���� �� ��������� � $\Gm$. �����������, ���
����������� ����������� $HH^i_-(X) \to HH^i_-(U)$ ��������� ���
$i=1,2$ � ���������� ��� $i=3$. ����� ������ ��������������
����������� $U$ ������������ ������� ������������ �� ���������������
����������� $X$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\proof[�������� ��������������.] ��� ����������� $\calo_n$ �������
$n$ ������������ ����� $\calo_X$ ����� �������� ����� �������
$\kk[h]/h^{n+1}$-������ �� $X$, ���������� ������������ ������
$\calo_n/h \cong \calo_X$. ����������� ���������� $\calo_{n-1}$
������� $n-1$. ����� ��� ���������� $\calo_n$ ����� $\calo_X$
������� $n$, ���������� ������������ $\calo_n/h^n \cong
\calo_{n-1}$, ��������� �����, ��������� $HH^{\leq 3}(X)$ (���
������, ��� ��� ������-�� �������������� ��������� $C^\hdot$ �
�������� ����������� $HH^i(X)$, $i=1,2,3$, � ��� ������-��
�������������� �������� $c \in C^3$, ��� ��� ����������
��������������� ���������� $b \in C^2$ � $d(b)=c$, ������ ����������
���������� �������� ������������ ��������� $b_1$,
$b_2$). ����������, ��� ����� ���������� $\calo_U$ �������� �����,
��������� $HH^{\leq 3}(U)$. ����� �������� \thetag{i}, ��������, ���
������� ����� �����������, ��� ����������� ������ ���������������
��������������� �������, � ��������� �������� �� $n$. ����� ��������
\thetag{ii}, ��������, ��� � $\Gm$-�������������� ��������,
��������� $\deg h =2$, ��������������� ������ ������� $HH^{\leq
3}(X)_{-2n} \subset HH^{\leq 3}(X)$, �.�. ���������������� ��������
���� $-2n$. � ���� ������� �����, ��� ������ ������������ �� ������
���� $n$. \endproof

\subsection{����������� �����.}

� ���������� �������, � �� ����� ����� �������, �� ������������, ���
$\kk$ -- ���������� ���� �������������� $p>0$. ������������ �����,
��� ���������� ����� $X$ ���������.

����� ����� ������ � ������������� �������������� -- ������� �
������������ ������� $\calo_h$ �������� ������. � ��������
�������~\ref{Diff op} ��� ������� ����� ������� � �������� {\it
$p$-��������} ������� ���������.

����� � ������������� ����������: ��� ����� �����������
$\kk$-������� $\calo$ � ������ $f\in \calo$, ������� $f^p\in \calo$
����� � ������ ������� �� $\calo$; ������� ������ ��������
$\calo^p$-�������, � ���������� $\Fr_*(\calo)$ � ����������� �����
������ �� �� ����� $X^\tw=(X,\calo_X^p)$.


\begin{defn} 
����������� $\calo_h$ ����������� ����� $X$ ���������� {\it
���������-����������}, ���� �������� $\calo_X^p\imbed \calo$
����������� �� ����������� ������ ������ �� $\calo_X^p$ � �����
$\calo_h$
\end{defn}

���������-���������� ����������� ����� � ���������, ���
������������. � ������, ����� $\calo_h$ -- ���������-����������
����������� ����������� ����� $X$. ����� $\calo_h$ �� �����������
���� ����� $\calo^p$-������, � ��� ����� ������ ����������������
����� �� ���������� ����� $\widehat{X}^\tw$ -- ����������
$X^\tw\times \Spec\kk[h]$ � ����������� ���� $X^\tw\times
\{0\}$. ����� ������, ��� ���� ����� �������� �������� � ����� ����
$p^{\dim(X)}$. ��� ����������� �� ����������� ���� $\X$
������������� � $Fr_*(\calo)$. ��� � � �����~\ref{glob}, �
�������������� �������� ����� ������� ������.

\begin{lemma}\label{gra}
����� $X = \Proj \B^\hdot$ -- ����������� ������������ ��� $\Spec
\B^0$, ������� ��� $\kk$ � ���������� ��������� $\Gm$ � �����������
������� ���� $-2$. �����������, ��� �������� $\Gm$ �� $X$ �����
������������� ����. ����� ����� �������������� ���������-����������
����������� $\calo_h$ ������������ $X$ ���� ���������� �������������
$\Gm$-��������������� ����� ������� �� ������������ $X^\tw \times
\Spec\kk[h]$.
\end{lemma}

\proof{} ��� � � �����~\ref{glob}, � ���� ������� ���������������
����� ���������� ���� ��������������� ��������� ���������
$\Gm$-�������������� ����������� ������ �� $X^\tw \times \Spec
\kk[h]$ � �� $\widehat{X}^\tw$.  \endproof

���������-���������� ����������� -- ������� ���������, ��� �
��������� ����������, ��� � � ��������. ��� ��������� $X$ �������
���������� ������� ���� ��������������� ����� ���������-�����������
������������� $X$ � $\calo_X$.

�������� ����� ������� ����������� ��������� �����������.

\begin{prop}\label{Dhm} 
���� $M$ -- ������� $\kk$-������������, �� $D_h(M)$ --
���������-���������� ����������� $T^*M$.
\end{prop}
 
\proof[�������� ��������������.] ��������� ����������� �� ����������
$\calo(T^*M)^p$ � $D_h(M)$. ������� $f^p\in \calo_M^p$, �������� �
$M$, ��������� � $f^p\in D_h(M)$. ��������-�������� ������� ��
$T^*M$ ���� ���������� ���� �� $M$; ��� ����� ������� $\xi\in
Vect(M)$ �������� $\xi^p\mapsto \xi^p-h^{p-1}\xi^{[p]}$, ���
$\xi^{[p]}$ -- ������������ ������� ���������� ����
$\xi$. ���������� ����� �������������� -- ������ ���������� �
��������� ����������� (��. \cite[\S 1.2]{MR}).  \endproof

\begin{example}\label{Weyl algebra}
$h$-��������� ���������� $\W$ ������� ����� $\bW$ (��.
���������~\ref{nota}) -- ���������-���������� �����������
���������������� ������������ $V$. (��� ����� ������� �������
������� �����������~\ref{Dhm}, ��� �� $M$ ����� ����������
��������������� � $V$). ��� ����������� ������������. ������, $\bW$
����� �����������, � ������� �������� �������� �������� ��� $1$, �
$\deg(h)=2$; �������� �������� ����������������� ������ �� $\W$, �
$\bW$ ��������������� � ���������������� $\Gm$-�������� �������� �
$\bW$.
\end{example}

\begin{example}\label{Lie alg}
����� $\g$ -- ������� �� ��� $\kk$. ����� {\it ���������������
������������ �������} $U_h(\g)$ ����������� ��� $h$-����������
�������������� ������� $\kk[h]\langle
\g\rangle/(xy-yx=h[x,y])$. ���� $\g$ -- ������������ ������� ��, ��
$U_h(\g)$ -- ���������-���������� ����������� ����������
������������ $\g^*$; ����������� ����� ��������
$x^p-h^{p-1}x^{[p]}$, $x\in \g$. (�������, ��� ��� �������� ������
��������� �� ��������� � ������������ �����������, � �������
$deg(h)=1$).
\end{example}

��������� ��������� ������������ ����� �������� ����������������
���������� ��������� � ��������.

\begin{prop}\label{azu}
����� $\calo_h$ -- ���������-���������� ����������� ����������������
������������ $X$. ����� ����������� $\calo_h[h^{-1}]$ �����
$\calo_h$ �� ����� ���� ���������� ����� $\widehat X$ -- �������
������� ����� $p^{\dim X}$.
\end{prop}

\proof{} ���������-����������� $Frob(x) \subset X$ ��������� �����
$x \in X$ ������������ ��� ������ ���� $\calo_X^p$-�������
$\Fr_*\calo_X$ � ����� $x$, � ������������ ����� ����������
�����. ���������� ��������, ��� ��� ����� ��������� ����� $x \in X$
� ������ ����������� $A$ ����������� ������� ������� �� $\FrN(x)$,
����������� $A(h^{-1})$ -- ������� ������� ��� $\kk((h))$. ����� $Z$
-- ����� $A(h^{-1})$. �����
$$
\dim_{\kk((h))} Z =\dim_\kk (Z\cap A) \mod h A.
$$
������ ����� ���������� � ����������� ������ $\calo_{\FrN(x)}$,
�������, ��� ����� ������, ����� ����������� $1$. �������
$Z=\kk((h))$. ����������� ������, ��� $I\subset A(h^{-1})$ --
��������� ������������ �����. ����� $(I\cap A) \mod h$ -- ���������
����� $\calo_{\FrN(x)}$. ��������� ������������ ��������� ����
��������� ����������� ������������ � $X$ � $x$ (��� �������� ��
���������� � ��������� �����������), ��������� ����� ����������� ��
��������� �� ���� ������������������; � ������ �������, �����
���������, ��� � ������� $\calo_{\FrN(x)}$ ��� ����������� ���������
�������, ������������ ������������ ����� �����������������. �������
$(I\cap A) \mod h=A\mod h$, � $I=A$ �� ����� �������.
\endproof

\section{����� ����� � ��������������� �����������.}\label{gen}

����������� � ��������, ��������� � �����������: $V$ --
������������� ��������������� ��������� ������������, $\Grp \subset
Sp(V)$ -- �������� ���������, $\pi:X \to Y=V/\Grp$ -- �������
����������� ����������, ��������������� ����� $\omega$ �� $X_0 =
V_0/\Grp$ ������������ �� ������������� ��������������� ����� ��
$X$.

�������� $\calo^\Grp=\calo(V)^\Grp=H^0(X,\calo)$.  �����������������
������ $\Gm$ ��������� �� ��������� ������������ $V$
�����������. ��� �������� ���������� �� �������� �� $V/\Grp$, �
����� ����������� �� �������� �� $X \to V/\Grp$ (��. \cite{Ka};
�������� ��� ������������� $\cchar\kk=0$ �������������). ��� ���
�������� -- �������� � �������������� ������. ����� ��������
\cite{Ka}, ��� ����������� $X \to Y$ ������ ��������� -- �����
�������, $\dim X \times_Y X = \dim X$ (����� ��, ��������������
\cite{Ka} ������������ �������������� $0$, �� �������� ��� ���������
� ����� ��������������).

����� ����, �����������, ��� $X$ ������������� ���������� �������:
\begin{itemize}
\item $H^p(X,\Omega^q)=0$ ��� $p+q > \dim X$.
\end{itemize}
��� ��������� � �������������� $0$, ��. \cite{K3}. ������ �����, ���
����� � � ������������� ��������������, �� ��� �����-��
�������������� ��������������. � ���������, �� �� ������ ��������
����� �������������, � ������ ������ ��������� \thetag{$\bullet$}
��� ���������� ������� �� ���������� $X$.

\begin{example}
���� $\dim V=2$, �� ������ ������ $V/\Grp$ � $\Grp \subset Sp(V) =
SL(V)$ ����� ������������ ���������� $X \to V/\Grp$, � ���
������������� ���� ����� ��������������. ��� �������� ����� ������
�������; ��������� ����������� �� �������� ����, �
����������~\ref{dim2}.
\end{example}

��������, ��� �� ����� ������� �������� ������������ $V_0 \subset
V_1 \subset \dots \subset V$, � ���������� $X_i =
\pi^{-1}(V_i/\Grp)$. ��� ����������� ���� ���������� ��������
�������� ��������� ������������ $X_1 \subset X$. ���������� �������
���������� $H_\alpha \subset (V_1/\Grp)$ ���������� $(V_1/\Grp)
\setminus (V_0/\Grp)$. ������ ����� $H_\alpha$ -- ��������� ��������
� $V_1/\Grp$ ������ ������������� $2$. ���������� ����� ���������
��������������� $V_\alpha \subset V$ ������������� $2$, ���
$H_\alpha=\eta(V_\alpha\cap V_1)$, � �������� $\Grp_\alpha \subset
\Grp$ ��������� $\Grp$, ����������� �� ����� ������ ������
$V_\alpha$, ������������.

��������� ����� $\Grp'_\alpha \subset \Grp$ ������������
��������������� $V_\alpha$; ����� $\Grp_\alpha$ -- ����������
��������� � $\Grp'_\alpha$. ���������� $V$ ���
$\Grp_\alpha$-������. �� ������������ � ������������� �����
$V=W\oplus V_\alpha$, ��� $\dim W = 2$ (��� ��� $\Grp_\alpha \subset
SL(W)$). ������������ $N_\alpha = \Grp_\alpha'/\Grp_\alpha$
��������� �� $W/\Grp_\alpha$ � �� $V_\alpha$; ������ �������� --
��������������� �������� �� ��������������� ���������
������������. ������������� ����� ����� �����������, �����
$V_{\alpha,0} \subset V_\alpha$ ��������� �������� ������������
�������� � ����������� �������������� � $N_\alpha$.

�������� $\eta:V \to V/\Grp$ ���������� ������������ �����������
$$
\eta_\alpha:(W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0} \to
\left(\left(W/\Grp_\alpha\right) \times V_{\alpha,0}\right)/N_\alpha
\to V/\Grp.
$$
����������� $\eta_\alpha$ ������� ��� ���������� ����������
����������� $F_1 \subset (W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0}$,
������� �� ������������ � $\{0\} \times V_{\alpha,0}$. ��������
$\eta_\alpha^{-1}(H_\alpha)$ -- ��������� ����������� $(\{0\} \times
V_{\alpha,0}) /N_\alpha$ � ���������� ���������� ������������
$F_2 \subset (W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0}$.

��������� ����� $U_\alpha \subset (W/\Grp_\alpha) \times
V_{\alpha,0}$ ���������� � ���������� ������������ $F_1 \cup
F_2$. ����� $U_\alpha$ -- ����������� � ��������� ����������
������������ $\{0\} \times V_{\alpha,0} \subset (W/\Grp_\alpha)
\times V_{\alpha,0}$; ����������� $\eta_\alpha:U_\alpha \to V/\Grp$
�������, � $\eta_\alpha^{-1}(H_\alpha) = \{0\} \times V_{\alpha,0}
\subset U_\alpha$. ����� ����, $\eta_\alpha$ ���������� ����������
$\eta_\alpha:(\{0\} \times V_{\alpha,0})/N_\alpha \cong H_\alpha$.

����������� $\eta_\alpha:(W/\Grp_\alpha) \times V_{\alpha,0} \to
V/\Grp$ ������������ �� �����������
$$
\rho_\alpha:\left(Y_\alpha \times V_{\alpha,0}\right)/N_\alpha \to
X,
$$
��� $\pi_\alpha:Y_\alpha \to W/\Grp_\alpha$ -- ������������
���������� ���������� $W/\Grp_\alpha$ (��. �������� \cite[Section
4]{Ka}; ��������� ���������� $Y_\alpha \to W/G_\alpha$ ���������,
�������� $N_\alpha$ �� $W/\Grp_\alpha$ ������������ �������
������������ �� �������� �� $Y_\alpha$).

��������� ����� $X_\alpha \subset Y_\alpha \times V_{\alpha,0}$
�������� $(\pi_\alpha \times \id)^{-1}(U_\alpha)$ ���������
������������ $U_\alpha \subset (W/\Grp_\alpha) \times
V_{\alpha,0}$. ����������� $\rho_\alpha$ ������� �� $X_\alpha$;
�����
\begin{equation}\label{un}
\rho_\alpha^{-1}\pi^{-1}(H_\alpha) = \pi_\alpha^{-1}(\{0\}) \times
V_{\alpha,0},
\end{equation}
� ����������� $\rho_\alpha$ ���������� ����������
$$
\rho_\alpha:\left(\pi_\alpha^{-1}(\{0\}) \times
V_{\alpha,0}\right)/N_\alpha \to \pi^{-1}(H_\alpha) \subset X.
$$
��������� $X_\alpha$ ������ � $X_0 \subset X_1$ �������� ��������
�������� ������������ $X_1 \subset X$. �������� ���������
����������� ��������� ������ � �������.

\begin{lemma}\label{glue}
��������� ����������� ������ $\E$ �� $X_1$ ������������ ���������
��������� ������:
\begin{enumerate}
\item ����������� ����� $\E_0$ �� $X_0$,
\item ��� ������ ���������� $H_\alpha$ ���������� $V_1/\Grp
\setminus V_0/\Grp$, ����������� $\E_\alpha$ �����
$\rho_\alpha^*\E_0$ �� $N_\alpha$-��������������� ����� ��
$X_\alpha$.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\proof{} ��������� $X_0$ � ��� $X_\alpha$ ������ ������ ��������
�������� �������� $X_1$, ���������� ���������� $\E_0$ �� ����� ��
$\rho_\alpha(X_\alpha)$ ��� ������� $X_\alpha$. ��� ����� ����������
��������� ������ ������ ��� ��������� �����������
$\rho_\alpha:X_\alpha \to X$. ����� $X_{\alpha,0} \subset X_\alpha$
-- �������� $\rho_\alpha^{-1}(X_0)$. � ���� \eqref{un} ������������
$X_\alpha \times_X X_\alpha$ ����������� ����� ���������
��������������: $X_{\alpha,0} \times_X X_{\alpha,0}$ � $X_\alpha
\times N_\alpha$. ��������� $\E_\alpha = \rho^{-1}\E_0$ ��
$X_{\alpha,0} \subset X_\alpha$, ������ ������ �� ������
������������ ��� ����. ������ ������ �� ������ ������������
������������ $N_\alpha$-�������������� ��������� �� $\E_\alpha$.
\endproof

\begin{prop}\label{lifts}
\begin{enumerate}
\item �����������, ��� �������~\ref{evb} ����� ��� ������-��
���������� ���������� $\E$. ����� $\E$ ����� ������������
$\Gm$-�������������� ���������.
\item ����� $R$ -- ���������� ������ ��������� ������ � �����
������� $\kk$, ������������ ������� $\m \subset R$, � ����� �������
$\K$. ����� ���� ����������� ���������� ���������� $\pi:X_R \to
V_R/\Grp$, ��� $X_R$ -- ������� ����� ��� $R$. �����������, ���
�������~\ref{evb} ����� ��� ������������ ���� $X_\kk$ ����� $X_R$, �
��� ��� ������ �� �������� ���� $X_\alpha \subset Y_\alpha \times
V_{\alpha,0}$, �������� ����� $\rho^*\E$ ������������ �� ����������
���������� �� $Y_\alpha \times V_\alpha$. ����� �������~\ref{evb}
����� ��� ������ ���� $X_\K$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\proof{} ����� �������� \thetag{i}, �������, ���, ��������� $\calo_V
\subset \calo_V\#\Grp$, ������ ������ $\E$, ��������������� ��������
�������~\ref{evb}, ����� ��������� $\calo_V$-������. � ���������, ��
$X_0 \cong V_0/\Grp \subset X$ �� �����
$$
\E \cong \eta_*\wt{\E}
$$
��� ���������� ����� $\wt{\E}$ �� $V_0$. ��������� $\rk \E = |\Grp|$
����� ������� ��������� ����������� $\eta:V_0 \to V_0/\Grp$, �����
$\wt{\E}$ ���� �������� ����������. ��������� ���������� $V_0
\subset V$ ����� ������������� $\geq 2$, ������ ������
$\Pic(V_0)=\Pic(V)$ ����������; �������������, $\wt{E}=\calo_V$, �
$\E \cong \eta_*\calo_V$ �� $X_0 \subset X$. � ���������, ��
�������� ����� $X_0 \subset X$ �� ��� ���� $\Gm$-��������������
���������.

����� $a:\Gm\times X\to X$ -- ����������� ��������, � �����
$p:\Gm\times X\to X$ -- ��������. ����� �������������� ��������� ��
$\E$ �������� ������������ $a^*\E \cong p^*\E$; ��� ��� �����
���������� �� $\Gm \times X_0$, � ���� ��������, ��� �� ������������
�� $\Gm \times X$. �� �������, ��� {\em �����} ���������� $a^*(\E)
\cong p^*(\E)$, ������������ �� $\Gm \times X_0$, ������������ ��
$\Gm \times X$. � ����� ����, ����� $\X$ -- ���������� �����������
$\{1\} \times X \subset \Gm \times X$, � ����� $\X_0$ -- ����������
����������� $\{1\} \times X_0 \subset \Gm \times X_0$; �����
���������� ��������, ��� ����� ���������� $a^*\E \cong p^*\E$ ��
$\X_0$ ������������ �� $\X$. ��������� $\Ext^1(\E,\E)=0$, ����� $\E$
������������ ������� ������������ �� (�����������)
������������������� ���������� $\X$ ������������ $X$. �������
���������� ���� �� �����-�� ���������� $a^*\E \cong p^*\E$. ��
��������� $\End(\E) = \calo_V\#\Grp$ ��������� � $\End(\E_{X_0})$,
�� ������� � ���������� �������� �������, ��� ����� ������� $\uHom
(\E,\E)$ �� $\X_0$ ������������ �� $\X$; �������������, ����� ������
���������� $a^*\E \cong p^*\E$ �� $\X_0$ � ����� ���� ������������
�� $\X$.

����� �������� \thetag{ii}, �����������, ��� �������~\ref{evb} �����
��� $X_\kk$. � ���� \thetag{i} ��������������� ��������� ����������
$\E$ �� $X_\kk$ $\Gm$-�������������. ������� �� �����~\ref{glob} ���
������������ �� ����� ��������������� ���������� ���������� $\E_R$
�� $X_R$.

�� �����, ��� ������� $\End_R(\E_R)$ -- ������� ���������� �������
$\End(\E)$. �������� ��������, ��� �� ����� ���� ��� ��������� �
$Sym(V_R)\#\Grp$.

�������� �����~\ref{glob} � $\Gm$-�������������� ������ �� $V_R$,
�����, ��� ���������� ��������, ���
$$
\End(\E_\X) \cong \wh{Sym(V_R)\#\Grp},
$$
��� $\X$ -- ���������� ���������� $X_R$ ����� $X_\kk \subset X_R$, �
���������� � ������ ����� ������� � $\m$-���������
���������. ����������� ������, ��� $V = W \oplus V'$ � $\dim W = 2$,
� ��� ������ $\Grp$ ��������� ���������� �� $V'$, ��� ���, �
���������, $X = X_1$. ����� $\E \cong \eta_*\calo_V$ �� $X_0 =
V_0/\Grp \subset X_\kk$, � ��� $\Gm$-���������� �������� � ������
$$
\Ext^1(\E|_{X_0},\E|_{X_0})
$$
����� ������ ������������� ��� �� ��������� � $\Gm$-��������.
������� �� ����������� ������ ���������� ����� $\E$ �� $X_0$
������������ �� $\Gm$-��������������� ����� �� $\X_0$ {\em
������������ �������}. � ���� �����
$$
\E_{\X_0} \cong \wh{\eta_*\calo_{V}}
$$
�� $\X_0 \subset \X$. ������ ��������, ��� ����������� �� $\X_0
\subset X$ ���������� �����������
$$
\End(\E_\X) \to \End(\E_{\X_0}) \cong \wh{Sym(V_R)\#\Grp}
$$
��������� �������������� $R$-������, ������ �� ��������� �
$\m$-��������� ���������, � ��� ����������� -- ���������� �� ������
$\m$. �������������, ��� ����������.

� ����� ������ ���� �������� �� ��������, ��������� ������
$\Ext^1(\E_{X_0},\E_{X_0})$ ���������� ������� ������. ����������,
������, ����������� $\E_{X_1}$ ���������� $\E$ �� $X_1 \subset
X_\kk$. �� ����������, ���
$$
\Ext^i(\E_{X_1},\E_{X_1}) = 0
$$
��� $i=1,2$. � ����� ����, ���������� ��������� ����������
$\eend(\E)$ �� $X_1$. �� �������~\ref{evb}~\thetag{ii} �������, ���
$R^k\pi_*\eend(\E)=0$ ��� $k \geq 1$, � � ����
�������~\ref{evb}~\thetag{i} �����
$$
\Ext^i(\E,\E) \cong H^i(X_1,\eend(\E)) \cong
H^i(V_1/\Grp,\calo_V\#\Grp).
$$
������� $\calo_V\#\Grp$, ������������� ��� ����� �� $V_1/\Grp$, ����
������ ����� ������������ ����� $\calo_V \otimes \kk[\Grp]$ ��
��������� � ����������� �������� $\eta:V_1 \to
V_1/\Grp$. �������������,
$$
H^i(V_1/\Grp,\calo_V\#\Grp) = H^i(V_1,\calo_V) \otimes \kk[\Grp].
$$
��������� $\codim V \setminus V_1 \geq 4$, ������ �����
������������� ���������� ��� $i = 1,2$.

������ �������, ��� � ���� ���� �� ���������, ��� � ������ $V=W
\oplus V'$, ���������� ��������, ��� $\End(\E_{\X_1})$ ��������� ��
���������� ������������� $\wh{Sym(V_R)\#\Grp}$. ���������
$\Ext^1(\E_{X_1},\E_{X_1}) = 0$, ��������� ���������� $\E$ �� $X_1$
������������ �� ���������� ���������� �� $\X_1$ ������������
�������. ������� ���������� ��������� {\em ���� �� ����} ���������
���������� $\E'$ �� $\X_1$, ������������ $\E_{X_1}$ � �������
��������� ������� �������������. ��� ����� ���������
�����~\ref{glue}, � ���������, ��� ���������� �� ������ ��
���������� $Y_\alpha \times V_\alpha \to V/\Grp_\alpha$, ����������
�������� ������ $X_\alpha$, ��������� $N_\alpha$-��������������
����������� $\E'_\alpha$ ����� $\E_\alpha$. �� ���������
$\Grp_\alpha \subset \Grp$ ��������� �� $V_\alpha$ ����������, ��
��� ��������, ��� ����������� ���������� � �����������. � ���������,
��� $N_\alpha$-�������������.
\endproof

\section{����������� ���������������� ����������}\label{quant}

����������� ������, ��� �������� ���� $\kk$ -- ����������� ����
�������������� $p > 0$; ����������� �����, ��� $p > \dim X$, $p>
|\Grp|$. ���� ����� ������� -- ��������� ���������.

\begin{theorem}\label{thmqua} 
� ����������������� ��������������, ���������� ����� ��������������
���������-���������� ����������� $\calo_h$ ����� $X$, ���
$(\calo^\Grp)^p$-������� $H^0(X,\calo_h)$ ���������� �������
$\calo_h$ ��������� ������������ ����������� $\W^\Grp$, ������
���������� $\Gm$-�������������.
\end{theorem}

\begin{lemma}\label{H^0} 
����� �������������� ���������-���������� ����������� $\calo_h$
����� $X$ ������, ��� ��� ���������� �� �������� ����� $X_0\cong
V_0/\Grp$ ��������� $\Gm$-�������������� ������� �����
$\W|_{V_0^\tw}^\Grp$. ����� $\calo_h$ ������������� �����������
�������~\ref{thmqua}.
\end{lemma}

\proof{} ��������� ���������� $V_0$ ����� ������������� �� ������ 2,
����� $\W=H^0(\W|_{V_0^\tw})$. ������� $H^0(\calo_h)$ -- ����������
� $\W^\Grp=H^0(X_0,\calo_h|_{X_0^\tw})$. ��������� ��������� � ����
$H^1(X,\calo)$, ���������, ���
$$
H^0(\calo_h)/h H^0(\calo_h)\iso H^0(\calo)
=\calo_V^\Grp=\W^\Grp/h\W^\Grp,
$$
��� ���������� �������������� ����������� $H^0(\calo_h)\to \W^\Grp$.
\endproof

��� ���� �������������� �������. �� �����~\ref{H^0} ���������� �����
������ ����������� $X_0$ � ���������� ��� �� ����������� $X$. �
����������~\ref{toX} �� ��������� ��� �� $X_1$, � ����� �� ���
$X$. ��������� $\codim (V_1-V_0)= 2$, ����������� �� $X_1$ ��������
� ������ $\dim (V)=2$, ������� ���������� �������� �
����������~\ref{dim2}.

\subsection{������ ����������� $2$.}\label{dim2}

� ���� ���������� ������������, ��� $\dim V = 2$. ���� ���� --
��������� ���������.

\begin{prop}\label{dim2 Prop}
�������~\ref{thmqua} �����, ���� $\dim (V)=2$. ����� ����,
���������� $X$ � ����������� $\calo_h$ ������������� ������������
������������� $\Grp$ � $Sp(V)$.
\end{prop}

\subsubsection{���������� ��� ������������ ��������.}

������������� ������� ������ $\langle V,\omega,\Grp\rangle$ �
$\dim(V)=2$ ������ �������� (��� ������, ���� �� ������). ���
�������� ���������� ������� � �������� �������; � ������ ������
���������� ���������� $X$ ������� $V/\Grp$ �����������. ��������
�������� �������� $X$ ��� ����������� ������� $V$ �� $\Grp$, ������
��� � ��������� \cite{IN} (��. ����� ��������� �
\cite{N1}). ���������� ��������������� $\Grp$-����������� ����� �
����� ��������� $\Hilb^n(V)$ ������� � $V$ ����� $n$, $n=|\Grp|$, �
��������� �� $\Hilb^\Grp(V)$ �� �� ��� ������� ���������, �������
�������� �������� ���� $\bigoplus_{\gamma \in \Grp}
\calo_{\gamma(v)}$, $v\in V\setminus \{0\}$. ����� ����� $X\cong
\Hilb^\Grp(V)$.

���������� $X$ ����� ����� �������� ������������� ���������
(���������������) ���������������� ���������� ������������ ��
�������� ����������� ������; ��� ����������� (� �������������
���������) ���� ������� ������������ \cite{Kr}, � ������� � �������
�������, ��������� � ��. ������ ������� ������ ���� �����������
(��-��������, ������������� ���������), ���������� �� �������������
����� ���������� ������.

����� $R=\kk[\Grp]$ -- ���������� ������������� ������
$\Grp$. ������������ $X=Hilb^\Grp(V)$ -- ������������ ������� �����
������������� $Sym(V^*)\#\Grp$, ������� ��������� $R$ ���
$\Grp$-������ � ��������� $\Grp$-������������� ��������. ����� $R$
-- ��������������� ��������� ���������� �� $X$, �.�. ������ ����� ��
$X$ ������������ ����� ������������� $\Grp$-�������������� ��������
� $X \times V$.

����� $M$ -- ������������, ��������������� ������������� $N$ �������
$T(V^*)\#\Grp$, ���������� ������������ $\Grp$-������� $N\cong R$;
����� ����� $T$ ���������� ��������� �������. �� �����������, $M$
���� ��������� ������������
$$
M = \Hom_\Grp(V^*,\End(R)) = \Hom_\Grp(V^* \otimes R, R) = (V
\otimes \End(R))^\Grp
$$
$\Grp$-�������������� ����������� �� $V^*$ � $\End(R)$.

(����� ����� ������� $M$ ��� ������������ ������������� ���
����������� ``�������� �������'', ����������� �������� ���������
������� ���� $A$, $D$, $E$; ��. �������� \cite{Lu}).

��������� ������������ $\End(R)$ �������� �������������� ��������
����������� $\tr(ab)$ � ������� �� $[-,-]: \End(R) \otimes
\End(R)\to \End(R)$; � ��, � ������ $\Grp$-�����������. ����������,
�������� ����������� �� ��������������� ����� $\omega$ �� $V$, ����
��������������� ����� $\Omega$ �� $V \otimes \End(R)$; �����������
�� �� ��������������� $M$ $\Grp$-������������ ��������, ��������
��������������� ����� $\Omega$ �� $M$. ������, ����������� �� �����
$\omega$, ���� ������������ ����������� $V \otimes \End(R)\to
\End(R)$; ��������� ����� $\tilde\mu:M \to \End(R)$ ��� �����������
�� $M$.

������ $G=\Aut_\Grp(R)/\Gm$ ��������� �� $M$, �������� $\Omega$.
����� $\g$ -- ������� �� ������ $G$. ����� ������, ��� ����� $\tilde
\mu$ ����� � ��������������� $\g^* \subset (\End(R))^*= \End(R)$;
����� �������, ����� ����������� $\mu:M\to \g^*$. ����������
�����������, ��� $\mu$ -- ����������� �������� ��� �������� $G$ ��
$M$.

������� ���� $\mu^{-1}(0)$ ������������� �� �������������
$T(V^*)\#\Grp$, ������� ������������ ����� $Sym(V^*)\#\Grp$; ���
�����, ����� $\mu^{-1}(0)$ ������ $\Grp$-�������������� �����������
����� �� $V$. �����������, ��� ���� �� �������� $\mu^{-1}(0)$ �� $G$
� ������ �������������� ������ ����������� ��������� � $X$. �
������, ���������� ����������� $\iota:G\to \Aut(R)$ ��������
$\Aut(R) \to G$, ������� ������������� $G$ � ����������
�������������, ����������� �� $1$-������ ������������
$\Grp$-������������ ��������. ��������� �������� $\chi:G\to \Gm$,
������� $\chi(g)=\det(\iota (g))$. ����� ����� $x\in \mu^{-1}(0)$
$\chi$-��������� ���� � ������ ���� ���������������
$\Grp$-�������������� ����������� ����� �� $V$ ��������
$\Grp$-������������ �������� (��. �������� \cite{Na98}, �����
\cite{King}). ����, ��������������� ������������ $X=\Hilb^\Grp(V) =
\mu^{-1}(0) \sllash{}_\chi G$ -- ������������ �������� $M$ �� $G$.

� ���� �������� ����� ������� � ��������������� ��������� ����������
$\R$. ��� ����� ���������� ����������� ��������� ��������� �� $M$ ��
����� $R$. ��������� ����������� $\iota$, ��� ����� ��������
$G$-�������������� ����������: ���������� �������� $G$ �� $R$,
����������� ��������������� �������� � ������� $\iota$, � ������
������������ �������� $G$ �� $R\otimes \calo$.

����������� ������������� $G$-��������������� ���������� ��
$\mu^{-1}(0)$ ���������� �� ���������� ���������� ��
�������. �������� ��������� ���������� �� $X$, ������� �������������
� $\R$.

��� ������ � �������� ������������� ��������, ��� ���� ����� �������
� �������� �������: ������� ����� ������ $M\sllash{}_{\chi}G$ �
������ ������������� ������ �����������, ����� ��������� $X$ ���
��������� �������� � $M\sllash{}_{\chi}G$.

�������� ����.

\begin{prop}\label{pseudoKing}
\begin{enumerate}
\item 
����� $M^{ss}\subset M$ -- �������� ������������ �������������,
����������� $\Grp$-������������ ��������. ����� �������� $G$ ��
$M^{ss}$ ��������, � ���������� �������������� ������ $M^{ss}/G$.
���������������
$$
\left(\mu^{-1}(0) \cap M^{ss}\right)/G \subset M^{ss}/G
$$
��������� $X$, � �������� ����� $\Omega$ ����� ����� $\omega$.
  
\item ������� ����������� ��������� ���������� $R\otimes \calo$
������������ ��������� $G$. ����� ����� $R\otimes \calo_{M^{ss}}$ ��
$M^{ss}/G$ ���� $\R$ ��� ����������� �� $X \subset
M^{ss}/G$.\endproof
\end{enumerate}
\end{prop}

\subsubsection{��������� ������.}

����� �������� ������������� ��������� �����������, ������ ���������
�������.

\begin{defn}
����� $X$ -- �������������� ��������������� ������������ ��� �����
$\kk$ ������������� ��������������. ����� $G$ -- ��������������
������, ����������� �� $X$. ���������-���������� �����������
$\calo_h$ ������������ $X$ {\em ��������� $G$-���������} ���� $G$
��������� $\calo_h$ ���, ��� �������� $G$ �� ����������� ����������
$\calo^p_X[[h]]\subset \calo_h$ ��������� $h$ ������������ �
��������� � ������������ ��������� $G$ �� $\calo^p_X \subset
\calo^p_X[[h]]$.
\end{defn}

��������� ������� ������������, �� ����� �������� ``����������� ��
���������� ������������ $W$ � ����� $\F$'', ���� � ����
``����������� �� $W$ � ������������ ���������� ������� $\F$''.

\begin{defn}
����� $X$, $G$ ������, ��� � ���������� �����������, ����� $\g$ --
������� �� ������ $G$, � ����� $\calo_h(X)$ -- ���������
$G$-���������� ����������� $X$. {\it ��������� ������������
��������} ���������� ����������� $\kk[[h]]$-������ $\mu:U_h(\g)\to
\calo_h(X)$ �����, ���
\begin{enumerate}
\item ����������� $\mu$ �� ����������� ���������� $Sym(\g^\tw)[[h]]$
���������� ���������� $Sym(\g^\tw) \subset Sym(\g^\tw)[[h]]$ �
$\calo(X^\tw) \subset \calo(X^\tw)[[h]]$.
\item ��� ������ $\xi\in \g$ � ������ ���������� ������� $s$ �����
$\calo_h$, ����� $\mu(\xi)s-s\mu(\xi)=h \xi(s)$, ��� $\xi(s)$ --
�������� ������� �� $\g$ �� $\calo_h$, �������������� ���������
������ $G$.
\end{enumerate}
\end{defn}
���������� �����������, ���, ���������
\thetag{ii}, �������������� �����������
$$
\mu_0:Sym(\g^\tw) \to \calo_X^p,
$$
������������ � ���� \thetag{i}, ���� ����������� �������� ���
�������� $G$ �� $X$.

\begin{example}\label{linexample}
����� $X=V$ -- ��������������� ��������� ������������, � �����
$G=Sp(V)$. ����� ����� ��������� ����������� ��������, �����������
$x\in \ssp(V)\cong Sym^2(V)\subset V\otimes V$ � ���������������
������� $\W$.
  
���� $G\subset Sp(V)$ -- �������������� ���������, �� ��������
��������� ����������� �������� $\mu:\g\to \W$, ���������� ���
����������� �� ���������� �� $\g \subset \ssp(V)$.

�������, ��� �������������� ����������� $U_h(\g)\to \W$ (������� ��
���� ���������� ����� $\mu$) ������ � ��������� $\Gm$ �������� $\mu
(tx)=t^2\mu(x)$.
\end{example}

\begin{prop}\label{Ham_red_char_p}
����� $M$ -- ������� ��������������� ������������, ����� $G$ --
������, ����������� �� $M$, ����� $\calo_h$ -- ���������
$G$-���������� ����������� $X$, � �����������, ��� ���� ���������
����������� �������� $\mu:\g\to \calo_h$. ����� ����, �����������,
��� ���� ����� $G$-������������ �������� ������������ $U \subset X$,
��� $G$ ��������� �� $U$ ��������, � ���������� ��������������
������ $U/G$; ��� �����, �������� $\rho:U \to U/G$ ������������� $U$
� ��������� ������������� �������� $G$-���������� �� $U/G$.

����� �����
$$
(\rho_*\calo_h)^G \subset \rho_*\calo_h
$$
���� ���������-���������� ����������� ���������� ������������ $U/G$,
� ��� ������
$$
\calo_h(Z) = (\rho_*\calo_h)^G/\langle
\rho_*\calo_h\mu(\g)\rho_*\calo_h\rangle^G
$$
���� ���������-���������� ����������� ������������� ��������
$$
Z = \left(\mu_0^{-1}(0) \cap U\right)/G \subset U/G.
$$
����� ����, ���� $\F$ -- �������� ����������� $G$-��������������
����� ����� $\calo_h$-������� �� $X$, �� �����
$(\rho_*\F)^G/I(\rho_*\F)^G$ -- �������� ����������� �����
$\calo_h(Z)$-������� �� $Z$.\endproof
\end{prop}

\proof[�������� ��������������.]  ���� $S\subset U/G$ -- ��������
�������� ������������, ��, ��������� �������� $G$ �� $\rho^{-1}(S)$
��������, ������� ������� �� $\rho^{-1}(S)$ ���� ����������� ������
� ��������� �������������� $G$-�������. ��� ���������� ������
�����������. � ������ �������, ��������� �������� ��������,
$\calo(\rho^{-1}(S))$ ������ ��� $Sym(\g)$, � $\mu(\g)
\calo(\rho^{-1}(S))$ -- ����������� $G$-������. ������ ��������
����������
\begin{equation}\label{vse_ravno}
\calo_Z=\rho_*(\calo)^G/(\mu(\g)\rho_*(\calo)^G)\iso
\left( \rho_*(\calo)/ \mu(\g)\rho_*(\calo) \right) ^G.
\end{equation}
����� ����, $\calo_h(\rho^{-1}(S))$ ������ ��� $U_h(\g)$, � ����
���� $\left( \rho_*(\calo_h)/ \mu(\g)\rho_*(\calo_h) \right) ^G$ --
$h$-������� ���������� $\calo (Z)$. ���������� \eqref{vse_ravno}
����������, ���
$$
\calo_h(Z)=\rho_*(\calo_h)^G/(\mu(\g)\rho_*(\calo_h)^G) \iso \left(
\rho_*(\calo_h)/ \mu(\g)\rho_*(\calo_h) \right) ^G.
$$
��� �������� ����, ������ ����� ����� ���� $h$-������� ����������
$\calo(Z)$, � ����� ����� �������� ������������� ����������. ����,
��� ����������� ����������� � ������������ ����� ������ ����������
�� ������� ��������; ������� $\calo_h(Z)$ -- � ����� ����
����������� $\calo_Z$. �������������� ����������� ��� ������������
�������� $\calo_h$-������ ����������� �������������� ����������� ���
�������� ����� ������ $\calo_h$.
\endproof

\subsubsection{����������� ����������.}

�������� ������ � �������� �����������~\ref{dim2 Prop}. ��������
�����������~\ref{pseudoKing} � ������������~\ref{Ham_red_char_p},
�������� ���������-���������� ����������� $\calo_h$ ���������� $X
\to V/G$. �� ����������� ����, ��� ����������� $\calo_h$
������������. � ���� �����~\ref{H^0}, ����� ��������
�����������~\ref{dim2 Prop}, ������ ���������� ��������, ���
$\calo_h$ ��������� �� ����������� ������������ �� $V_0 \subset V$.

���������� ����� $\R_h$ $\calo_h$-������� �� $X^\tw$, ����������
������������� ��������� ���������� ������ $R\otimes \calo_h(M)$. ��
�����������~\ref{Ham_red_char_p} ������ �
������������~\ref{pseudoKing}~\thetag{ii}, ����� $\R_h/h\R_h\cong
\R$.

����� ����, ���������� ����������� ����� $\R_h$ �� ��������
������������ $X_0 = V_0/\Grp \subset X$. �� ����������, ���
���������� ������������ ����������
$$
\R_h \cong \calo_h \otimes_{\calo_{X_0}^p} \calo_{V_0}^p
$$
������ �� $X_0$. � ����� ����, �� ����������� $\R_h$ ���������
�������� $\calo(V^\tw)[[h]]=H^0(X^\tw,\R^\tw)[[h]]$ �� $\R_h$,
������������� � ��������� $\calo_h$. �� ����� �������� � ����
������� ��������� ����������� ������
$$
\calo^p_{V_0}\otimes_{\calo^p_{V/\Grp}} \calo_h\to \R_h.
$$
����� ������, ��� ��� ���������� ���������� �� ������ $h$; ���������
��� ����� ������ ��� $h$, ����������� ���� ����������.

������, ����� �������� �����������~\ref{dim2 Prop}, ����������
��������� ��������� ���������.

\begin{lemma}
����� $\calo_h$ -- ����� $\Gm$-�������������� ���������-����������
����������� $X$, ��� �����
$$
\calo_h|_{X_0}\otimes _{\calo_{X_0}^\tw}\calo_{V_0^\tw}
$$
$\calo_h$-������� �� $X_0=V_0/\Grp$ ������������ �� ��������
������������ $\calo_h$-������ $\R_h$ �� $X$, ����������������
$\R_h/h\R_h\cong \R$.

����� ����������� ����������� $\calo_h$ �� �������� ������������
$X_0^\tw=V_0^\tw/\Grp$ ��������� $\W|_{V_0^\tw}^\Grp$, ������
���������� ��������� � ��������� $\Gm$.
\end{lemma}

\proof{} ���������� ��������� $\Grp$-�������������� ����������
�������������� $(\calo^\Grp)^p$-������
\begin{equation}\label{H0 is W}
H^0\left(\calo_h\otimes_{\calo_{X_0}^\tw}\calo_{V_0^\tw}\right)\cong
\W.
\end{equation}
���������� ��������������� $V^* \subset \calo(V)$ �������� �������
�� $V$. � ����, ��������, \cite{KV} ����� $H^i(X,\R)=0$ ��� $i>0$.
������� �����������
$$
H^0(\R_h)=H^0(\calo_h\otimes_{\calo_{X_0}^\tw}\calo_{V_0^\tw})
\to H^0(\R) =\calo(V)
$$
�����������. � ���������, �������� $V \subset \calo(V)$ ������������
����� ����������� $\iota:V^* \to H^0(\R_h)$. ����� ����, ���
����������� ����� ������� $\Gm$-��������������, ��� ��� $\Im(\iota)$
����� � ������������ ��������� ������� $1$ �� ��������� � ��������
$\Gm$. ����� ��� ����� ���� $x,y\in V^*$ ������� $xy-yx$ ����� $h
\omega(x,y)$ �� ������ $h^2$, � ����� ������� $2$ �� ��������� �
�������� $\Gm$. �� ����� ��������� ������� �������, ��� $xy-yx =h
\omega(x,y)$. ����, ����� $\Grp$-�������������� �����������������
����������� �� ����������� ������� ����� $\W$ �
$$
H^0(\calo_h\otimes_{\calo_{X_0}^\tw}\calo_{V_0^\tw}).
$$
��������� �� ���������� ���������� �� �������������� ��������������
�������� �� ��������� � $h$-��������� ����������, �� � ��� ��������
������������.
\endproof

\subsection{����� �����.}\label{toX}

�������� � ������ ������ �������~\ref{thmqua} (������� �������������
�� $\dim V$). �������� ����������� $V_1$, $X_1$, ��������� �
����������~\ref{nota}.

\begin{prop}\label{Prop_on_X1}
����������� ����������� $\W^\Grp$ ������������ $X_0 = V_0/\Grp$
������������ �� ��������������� ���������-����������� �����������
$\calo_h$ ������������ $X_1$.
\end{prop}

\proof{} ���������-���������� ����������� $X$ ���� ����������� �����
$X\tw$, ������� � ���� ��������� �����~\ref{glue}. ��� �����,
���������� ���������� ������ ����������� $X_0 = V_0/\Grp \subset X$
�� ����������� ������ �� �������� ���� $X_\alpha$. ��������
�����������~\ref{dim2 Prop} � $Y_\alpha$, �������� ��������������
���������-���������� $N_\alpha$-�������������� �����������
$Y_\alpha$. ���� ��� ($h$-�������� �����������) ���������
������������ �� ����������� ������������ ���������� ������������
$V_\alpha$, �������� �������������� ���������-����������
$N_\alpha$-�������������� ����������� $X_\alpha \subset Y_\alpha
\times V_\alpha$.
\endproof

����� ��������� �������������� �������~\ref{thmqua}, ��������
��������, ��� ���������-���������� ����������� $\calo_h$
������������ $X_1 \subset X$ ������������ �� ���������-�����������
����������� ����� $X$. ���������� �������� ���������.

\begin{prop}\label{allX}
����� �������������� ���������-���������� ����������� $\calo_h$
������������ $X_1 \subset X$ ������������ ������� ������������ ��
��������������� ���������-����������� ����������� $X$.
\end{prop}

\proof{} ������ ����� �������, ��� ���������� ���������� $\calo_h$
�� ���������� $\calo(X)$ � ����� ������������� ������: ����� �
�������� $\Gm$, � �������� $\calo^p$ � ����� $\calo_h$ ����������� �
$X_1$ ������������ �������, ��������� $\codim (X\setminus X_1) \geq
2$.

���������� �����~\ref{def}. �������������� ����������� �������
������������ ����� ��������� � ������� ������������
������������������ ���������-��������-����������, ���� $E_2$ �������
�����
$$
H^p(X,\Lambda^q\T(X)),
$$
������������ ������� $p$ � �������������� � ����������
$\Lambda^q\T(X)$ ������������� ����� ������� $q$ �� $X$. ����� �
���� �����~\ref{def}, ����������� �������� � ���������� �����������
� ������������.

\begin{lemma}
���������� ����������� �����������
$$
\sigma:H^p(X,\Lambda^q\T(X)) \to H^p(X_1,\Lambda^q\T(X_1))
$$
�� ����� ��������� �������������� ����. ����� ��� ���� ����������
��� $p+q=1,2$, � ���������� ��� $p+q=3$.
\end{lemma}

\proof{} ��������� ����� ������������� ���� �������� ��������, �
���������� $X \setminus X_1 \subset X$ ����� ������������� ��
������� ���� $2$, ����������� $\sigma$ ��������� ��� $p=0$ �
���������� ��� $p=1$ (��� ���� �����).

�� ������ ������������ \thetag{$\bullet$} �����
$$
H^p(X,\Omega^q_X) = 0
$$
��� $p+q > \dim X$. ��������� $X$ ������������, ����� $\Omega^p_X
\cong \Lambda^{\dim X - p}\T(X)$, ��� ��� �� ����� �������, ���
$$
H^p(X,\Lambda^q\T(X)) = 0
$$
��� $p > q$. ��� $q = 0$ ��� ���� $H^p(X,\calo_X) = 0$, $p \geq 1$,
� $H^p(X_1,\calo_X) = H^p(V_1/\Grp,\calo_{V/\Grp}) =
H^p(V_1,\calo_V)^\Grp$. ��������� $\codim V \setminus V_1 \geq 4$,
�� ����� �������, ��� $H^p(X_1,\calo_X)=0$ ��� $p=1,2$. ���� $q=1$,
�������� $H^2(X,\T(X)) = 0$, ��� ��� ����������� $\sigma$
�������������� ���������� ��� $p=2$, $q=1$.

�������� ����������� ����� ��������� �������������� ���� � ������
$H^1(X,\T(X))$. ����������� $\T(X) \cong \Omega^1_X$ � �������
��������������� �����; ��������� ��������������� ����� ����� ���
$2$, ���������� ����������� ����� ��������� ���������������� ���� �
$H^1(X,\Omega^1_X)$. ����� ����, ��������� �������� $\Gm$ �� $X$
����� ������������� ����, ���������� ������� $\Gm$-������������
����� � $H^1(X,\Omega^1_X)$. �� ��� �����, ��� ����������� $\sigma$
���������� �� $H^1(X,\Omega^1_X)$. ��������� $\codim X \setminus X_1
\geq 2$, ����� �������� ���������� �� $X_1$ ������������ �� ���
$X$. ��� �����, ����� ��������� ��������������, ���������� ��������
��������� ����.

\begin{lemma}
������ $H^1(X_1,\Omega^1_X)^\Gm$ ��������� ������� ����� ��������
���������� �� $X_1$.
\end{lemma}

\proof{} ����� $\pi_*\Omega^1_X$ on $V_1/\Grp$ ��������� �
$\Grp$-������������ ������ ����� $\eta_*\Omega^1_V$, ��� $\eta:V \to
V/\Grp$ -- ����������� ��������. ��������� $\codim V \setminus V_1
\geq 4$, ����� $H^i(V_1/\Grp,\pi_*\Omega^1(X)) = 0$ ��� $i =
1,2$. �������
$$
H^1(X_1,\Omega^1_X) = H^0(V_1/\Grp,R^1\pi_*\Omega^1_X).
$$
����� $R^1\pi_*\Omega^1_X$ ������������ �� ����������
$V_1/\Grp\setminus V_0/\Grp$, ������� ����������� � ���������
����������� ��������� $H_\alpha$. ������� �� $V_1/\Grp$ �����
$$
R^1\pi_*\Omega^1_X = \bigoplus_\alpha
\left(\eta_{\alpha,*}\eta_\alpha^* R_1\pi_*\Omega^1_X
\right)^{N_\alpha},
$$
��� $\eta_\alpha:U_\alpha \to V_1/\Grp$ -- �������� �����,
����������� � �������~\ref{gen}. ������ ���� ����
$$
\eta_\alpha^*R^1\pi_*\Omega^1_X \cong
R^1\pi_*\Omega^1_{X_\alpha}.
$$
��������, ��� $X_\alpha$ -- ������� �������� ������������ �
$\overline{X}_\alpha = Y_\alpha \times V_\alpha$. �����
$\Omega^1_{\overline{X}_\alpha}$ on $\overline{X}_\alpha$
����������� � ������ �����
$$
\left( \Omega^1_{Y_\alpha} \boxtimes \calo_{V_\alpha} \right) \oplus
\left( \calo_{Y_\alpha} \boxtimes \Omega^1_{V_\alpha} \right),
$$
� ��� $H^1(Y_\alpha,\calo_{Y_\alpha})=0$, �����
$$
R^1(\pi_\alpha\times id)_* (\calo_{Y_\alpha} \boxtimes
\Omega^1_{V_\alpha})=0
$$
�� ������� ��������. �������
$$
R^1\pi_*\Omega^1_{X_\alpha} \cong
R^1\pi_{\alpha,*}\Omega^1_{Y_\alpha} \boxtimes \calo_{V_\alpha}.
$$
���������, ���
$$
H^0(V_1/\Grp, R^1\pi_*\Omega^1_{X_1}) \cong
\bigoplus_\alpha \left(H^1(Y_\alpha,\Omega^1_{Y_\alpha}) \otimes
H^0(U_\alpha,\calo_{V_{\alpha,0}})\right)^{N_\alpha},
$$
�, ��������� ���������� $V_\alpha \setminus V_{\alpha,0}$ �����
������������� �� ������� ���� $2$, �����
$$
H^0(U_\alpha,\calo_{V_{\alpha,0}}) \cong \calo_{V_\alpha}
$$
��� ������� $\alpha$. �������� ��������, ��� ������ ��������� ����
$0$ �
\begin{equation}\label{grpp}
\left(H^1(Y_\alpha,\Omega^1_{Y_\alpha}) \otimes
\calo_{V_\alpha}\right)^{N_\alpha}
\end{equation}
��������� �������� ����� $N_\alpha$-�������������� ��������
���������� �� $\overline{X}_\alpha$. �� ����� ������, ���
$H^1(Y_\alpha,\Omega^1_{Y_\alpha})$ ��������� �������� �����
��������� �������������� ������ $E = \pi_\alpha^{-1}(0) \subset
Y_\alpha$, � $\Gm$ ��������� �� ��� ������ ����������. � ������
�������, ������������ ������� ���������������� ���� �� $V_\alpha$ --
��� ���������. ����, ����� $N_\alpha$-������������ ������� ���� $0$
� ������ \eqref{grpp} ���� �������� ���������� ������� �����
��������� ���� $D \times V$, ��� $D$ -- $N_\alpha$-������������
������� � ��������� �� $E$. ������ ����� ������� $D \times V$
������������� �������� �� $X_1$.
\endproof

\section{���������������.}\label{last}

� ����� ������� �� ����� ������������ ������ �������, �����
���������� ������ ��������; ���, ��� ����� $R$-������� $A=A_R$,
������ $A \otimes_R R'$ ����� ���������� ����� $A_{R'}$.

\subsection{�������������.}\label{ass}

����������� �������������� ��������� ���� $\K$ �������������� ����,
� ����� ������ $\langle V,\omega, \Grp, X\rangle$, ������������ ���
$\K$ -- $V$ ���� ������������� ��������� ������������ ��� $\K$,
$\omega$ -- ��������������� ����� �� $V$, $\Grp \subset Sp(V)$ --
�������� ���������, � $X \to V/\Grp$ -- ����������� �������
���������� ���������� ������������������ $V/\Grp$. ����� $R\subset
K$ -- ����� $\Zet$-������� ��������� ����, ��� $\langle V,\omega,
\Grp, X\rangle$ ���������� ��� $R$; �� ������������, ��� $R\cong
{\mathbb A}^n_R$, $\omega_R$ ������������; $\Grp\subset Sp(n,R)$,
$X$ ������ ��� $R$, � $\pi: X\to V/\Grp$ ���������� (� ����������,
�� ����� ������ �������� ``���������� ��� $R$'', ������ �����������
��� ��� ������������ �������). ����� ������ ����� ���� ����������
��� $R$. ����, ��� ����� $R$ ����������.

� ���� \cite{Ka} ����������� $X \to V/\Grp$ ��������. �� \cite{K3},
�� ����� �������, ��� $H^p(X,\Omega^q_X) = 0$ ��� $p + q > \dim
X$. �������, ��������� ��� ������������� $R$, �� ����� �������, ���
�������� $X_\kk$ � ������ ��������� ���� $\Spec \kk \in \Spec R$
������������� �������������� ������������� �������
\thetag{$\bullet$} � ������ �������~\ref{quant} (����� ���������,
��� ����� ������ ����� ���� ��������� �� ���������� ��������������
���������������, ���������� �������� $\Gm$ � �������������� ������).
��� ������������� ������������� ��������� $R$, ���������� ����, ���
��� ������������� �������~\ref{quant} ��������� ��� ���� $X_\kk$.

��������� $\bWbar =\bW/(h-1)\bW$.

\begin{lemma}\label{Morita} 
���������� ����� ������� �������� �������� ������������
$\Spec(R')\subset \Spec(R)$, ��� �������� $\bWbar_{R'}$ ������
��������������� ������
$$ 
\bWbar^\Grp_{R'} \sim (\bWbar\#\Grp)_{R'}.
$$
\end{lemma}

\proof{} ����� ������������, ��� $|\Grp|^{-1}\in R$. �������
$$
e=\frac{1}{|\Grp|}\sum\limits_{\grp\in \Grp}\grp \in R[\Grp]\subset
(\bWbar\#\Grp).
$$
����� $e$ -- ����������, $\bWbar^\Grp_{R'} =e\left( (\bWbar\#\Grp)_
{R'}\right) e$, �, ��� ������ ��������, ���������� ���������, ���
$e$ ��������� ��������� ������������ ����� �
$(\bWbar\#\Grp)_{R'}$. ������� $\bWbar_{\K}$ ������; ����� �������,
��� ������� $(\bWbar_{\K}\#\Grp)$ ����� ������; ������� $e$
��������� ��������� ����� � $(\bWbar\#\Grp)_{\K}$. �������������, ��
��������� ��������� ����� � $(\bWbar\# \Grp)_{R'}$ ��� ����������
$R'\subset K$ ��������� ���� ��� $R$.
\endproof

\subsection{��������������� ��� ������� ������� � �������������
��������������.}

������� $R'$, ��������������� ���������� �����~\ref{Morita}, �
����������� ��������� ����� $\Spec\kk \in \Spec R'$. ������� $X =
X_\kk$, $V = V_\kk$. ���������� �������������� ���������-����������
����������� $\calo_h$ ������������ $X$, ����������� �
�������~\ref{thmqua}. ��������� ��� �� ����� $\bO_h$ �� $X \times
\Spec \kk[h,h^{-1}]$, ��������� �����~\ref{gra}. �������
$\bO=\bO_h/(h-1)\bO_h$; ��� ����� $\bO$ -- �������� ��������� �����
�� $X^\tw$.

\begin{lemma}
����� $H^i(\bO)=0$ ��� $i>0$, � $H^0(\bO)=\bWbar^\Grp$ ��� �������
��� $\calo(V^\tw)^\Grp$.
\end{lemma}

\proof{} ����������� ���������� ������� �� �����������; ������ ���
����������� ����, ����� ������� ��� � ��������� �����, ���������
������������ ����� �������� ����� � ��������������
�������~\ref{main}.  \endproof

� ���� �����������~\ref{azu}, ������� $\bO$ ���� ������� �������
����� $p^{\dim X}$.

\begin{theorem}\label{equivAzu}
����� ��������������� ����������� ���������
$$
D^b\left(\Coh(X,\bO)\right) \cong
D^b\left(\bWbar_{\kk}^\Grp\fmod\right)\cong
D^b\left(\bWbar{\#\Grp}_{\kk}\fmod\right),
$$
��� ������ ��������������� ������ ����������� ��������� �� ��������
���������� �������, � ������ ������ ������~\ref{Morita}.
\end{theorem}

\proof{} ������ ��������������� ������ ������~\ref{Morita}. ��������
��������, ��� ����������� ������� �� �������� ���������� �������
���� ���������������
$$
D^b\left(\Coh(X,\bO)\right) \cong
D^b\left(\bWbar_{\kk}^\Grp\fmod\right).
$$
�� ��������, ��� ��������� ������ ����� $1$ ��� $\bO$ ���� �����
�������������� ������ � $\Coh(X^\tw,\bO)$; ����� ����� ���������
����������� �������� �� �����������~\ref{CYProp}.

������� $\bWbar$ ����� �������� �������������� �����������,
��������� �������������� �������������� ������� �� ��������� �
������������ ���������� ��������� �������������� ������� $Sym(V^*)$,
�������������� ����������� ������� �������. ��������� $\cchar\kk$ ��
����� $|\Grp|$, ������� $\bWbar\#\Grp$ ����� ����� �������
�������������� �����������; � ���� ���������������, ������������
������ ~\ref{Morita}, �� �� ����� ����� ��� �������
$\bWbar^\Grp$. ��������� $H^i(X,\calo)$ ��� $i \geq 1$, ������
$\bO\in \Coh(X^\tw_{\kk },\bO)$ � ����� ���� ����� ������������.
\endproof

\subsection{���������.}

���������� ����������� ����������� ����������. �������� �������
�������.

\begin{prop}\label{untwisting}
���������� ������� ������� $\A$ �� $V^\tw/\Grp$, ����������� �������
�� $V_{0}^\tw/\Grp$ ������� $W^\Grp|_{V^\tw_0/\Grp}$.
\end{prop}

\noindent
����������� ���������� ������� �� ���������� �����.

\begin{lemma}
����� $S$ -- �������� �����, �� ������� ��������� �������� ������
$\Grp$, ������ $|\Grp|$ �������� �� $S$. ����� $p:S\to S/\Grp$ --
�������� � ���������� ������. ����� $l\in \Zet_{>0}$ ������� ������
� $|\Grp|$.  ����� $p^*$ ���������� ���������� $Br(S/\Grp)[l]\iso
Br(S)[l]^\Grp$, ��� $[l]$ ���������� $l$-��������.
\end{lemma}

\proof{} �� ������� �. ������� \cite{Ga}, ��� ����� �������� �����
$X$ ����� $Br(X)[l]=H^2(X_{et},\Gm)[l]$. ��� ������ ���������
�������� $p$, ������ ������ ������ � �������� ���������
$R^ip_*(\Gm)$, $i \geq 1$ ����������; � ����� ����, ���� �����
$R^ip_*(\Gm)$ � �������������� ����� $x$ ���� $i$-� ������
����������� ��������� ����� $\calo^*$ �� ������� ����������
�������������� ������ $R$, ��������� ��� ������ ���������� �������
(��. \cite[Theorem III.1.15]{Milne}); �� ����� ���� $R$ ������
��������� � ���� \cite[Corollary I.4.3]{Milne}, � ������ ��� ������
����������� ���������� � ����.
 
����� ����������� ����� $Nm:p_*(\Gm_S)\to \Gm_{S/\Grp}$. ���
���������� �����������
$$
Nm: Br(S)[l]=H^2\left((S/\Grp)_{et},p_*(\Gm)\right)[l] \to
H^2\left((S/\Grp)_{et}, \Gm\right)[l]=Br(S/\Grp)[l].
$$
����� $Nm\circ p^*(c)=|\Grp|\cdot c$ � $p^*\circ
Nm(c)=\sum_{\gamma\in \Grp}\gamma^*(c)$. �������� ���������
�����������.
\endproof

\begin{remark}
��� ����������� ����������� ����������� \cite{MR}, ��� ������ ������
������������� ������� ������� $\A$. ������, � {\it loc. cit.} ����
��������� ������� ������� �� ������������� ������ ������� ������� ��
$\g$ ��� ����� �������������� $p$. ��� ������� ���������� ��
������������� ������������ $U(\g)$ ��������� � ``������'' ���������
����������� ���������� $Sym({\mathfrak t})^W$; ������ �����������
�������� ���������� �� ������� ���� $-\rho$ (����� ${\mathfrak t}$
-- ���������� ������� $\g$, � $W$ -- ������ �����).
\end{remark}

\begin{theorem}\label{Thm equiv char p}
�����������, ��� ������ $\langle V,\omega, \Grp,X \rangle$ ��� �����
������� $\kk = R'/\m$ ������������� �������������� �������������
�������������� �������~\ref{equivAzu}. ����� ��� ����� �������������
���������� �������~\ref{evb} (� �������������, �
�������~\ref{main}).
\end{theorem}

\proof{} ����� $\A$ -- ������� �������, ���������� �
�����������~\ref{untwisting}. �� ����������, ��� �����������
���������������
\begin{gather}
\Coh(X^\tw)\cong \Coh(X^\tw,\bO \otimes \pi^*(\A^{op}));\label{split 1}\\
D^b\left( \Coh\left (X^\tw,\bO \otimes_{\calo_{V ^\tw }}
\A^{op} \right) \right)\cong D^b\left( \bWbar_{\kk
}^\Grp\otimes_{\calo_{V^\tw
}^\Grp} \A^{op}\fmod\right);\label{D afin untwisted}\\
\bWbar_{\kk }^\Grp\otimes_{\calo_{V^\tw }^\Grp} \A^{op}\fmod\cong
\left( \left(\bWbar_{\kk }\otimes_{\calo_{V^\tw }} \eta^*(
\A^{op})\right) \#\Grp
\right)\fmod;\label{Morita untwist}\\
\Coh^\Grp(V^\tw ) \cong \left( \left( \bWbar_{\kk
}\otimes_{\calo_{V ^\tw}} \eta^*( \A^{op})\right)
\#\Grp\right)\fmod.\label{split 2}
\end{gather}
����� \eqref{split 1}, ������������� \eqref{split 2} ����������, ���
������ �� �������, ��� ������� ������� $\bO \otimes \pi^*(\A^{op})$
(��������������, $ \bWbar_{\kk }\otimes_{\calo_{V ^\tw}} \eta^*(
\A^{op})$), ������� � ������ �����, ������������ (��������������,
��������� $\Grp$-�������������� �����������). � ����� ������� ���
���������� �� �������� ������������ � ���� �������������������
�������� $\A$; �������������, ��� ������������ ����� � ����
\cite[Corollary IV.2.6]{Milne} (������ ������� ������������
���������� ����� ������������ � ������ ������� �� ����� �����);
$\Grp$-�������������� ��������� �� ������������ ���������� ���
$\bWbar_{\kk }\otimes_{\calo_{V ^\tw}} \eta^*( \A^{op})$
������������ �� $V_0$ �� $V$, ��������� $\codim (V\setminus V_0)\geq
2$.

��������������� \eqref{Morita untwist} ����������� ��������������� �
�����~\ref{Morita}, � ������� �� ���� �����, ���, ��� ����������
$e=\frac{1}{|\Grp |}\sum_{\grp\in \Grp}$ ��������� ���������
������������ ����� � $\bWbar_{\kk}{\#\Grp}$, �� ��������� ���������
����� � � $(\bWbar_{\kk}\otimes \eta^*(\A^{op})){\#\Grp}$.

�������, ��������������� \eqref{D afin untwisted} �����������
��������������� � �������~\ref{equivAzu}. � ������, �� �������
�������� ��������
$$
H^0\left(\bO\otimes_{\calo_{V ^\tw}^\Grp} \A^{op}\right) =
\bWbar_{\kk }^\Grp\otimes_{\calo_{V^\tw }^\Grp} \A^{op}.
$$
����� �� ������� ��������� �������, ��� ������ ������ �����������
����� � ����� ����� ���������� ��������� ���������� � ����. � ����
\eqref{Morita untwist} ������� � ������ ����� ����� ��������
�������������� �����������. ������� \eqref{D afin untwisted}
�������� �� �����������~\ref{CYProp}.

�������� ��������������� \eqref{split 1}--\eqref{split 2}, �������
��������������� ����������� ��������� ����������� ������; ������ �
�������� $\E$ ����� ����� ����� ������������ �����
$\calo_V{\#\Grp}\in \Coh^\Grp(V)$ ��� ���� ���������������.

�������� ���������, ��� $\E$ -- ��������� ����������; ����� ��
��������������� ��������� �������, ��� ��� ������������� ����������
�������~\ref{evb}. ���������� ��������� ����� ��������� ��������
$\E$. ����� $\B$ -- $\bO \otimes \pi^*(\A^{op})$-������, ������
��������������� ������ ����� $\bO$ � $ \pi^*(\A)$; � ����� $B$ --
$\bW \otimes \eta^*(\A^{op})$-������, ������ ��������������� ������
����� $\bW$ � $ \eta^*(\A)$. �� ����������� �������, ��� ��� ���
��������������� ��������� ����������� ����� $\B \in Coh(X^\tw)$ �
$B\otimes\kk[\Grp]\in Coh^\Grp(V^\tw)$. ��������� ���������� $B$ ��
$V^\tw$ ���������� �� ������� �������-��������. �������
$\calo\#\Grp$ -- ������ ��������� � $B\otimes \kk[\Grp]$, � $\E$ --
������ ��������� � $\B$; � ���������, ��� ���� ��������� ����������.
\endproof

\begin{remark} ������������� ����� �������� $\E$ ����� ������
���������, ���� ������������ ������������� ����������� $\E$ ��
���������� ����������� ���� $\pi$. ����� ������� $\bO$ ������������,
� ������������ ��������� $\E$ ���� ������������ ���������
������������� ���������� ���������� ��� $\bO$.
\end{remark}

\subsection{�������������� ����.}

������ �� ����� ��������� ��������������
�������~\ref{main}. ���������� �������� �������~\ref{evb}.

\begin{lemma}\label{k1k2}
����� ���� ���� $\kk_1\subset \kk_2$ (�� ����������� �������������
���������). �����������, ��� $V$, $\omega$, $\Grp$, $X$ ����������
��� $\kk_1$. ���� ����������� �������~\ref{evb} ����� ��� $V$,
$\omega$, $\Grp$, $X$, �� ��� ����� ����� ��� $V_{\kk_2}$,
$\omega_{\kk_2}$, $\Grp$, $X_{\kk_2}$. ��������, ���� ��� ����� ���
$V_{\kk_2}$, $\omega_{\kk_2}$, $\Grp$, $X_{\kk_2}$, �� ��� ����� �
��� $V_{\kk_1'}$, $\omega_{\kk_1'}$, $\Grp$, $X_{\kk_1'}$, ���
$\kk_1'$ -- ��������� �������� ���������� $\kk_1$.
\end{lemma}

\proof{} ������ ����������� ��������. ����� �������� ������,
���������� ����� $\kk_1$-������� ��������� ���� $R\subset \kk_2$,
��� � ��������� ���������� $\E_{\kk_2}$, ������������ ��
�������~\ref{evb}, � ���������� $\End(\E)\cong \calo_V\#\Grp$
���������� ��� $R$. ����� � �������� $\kk_1'$ ����� ����� ����
������� ����� ��������� ����� $\Spec(R)$.
\endproof

\proof[�������������� �������~\ref{evb}.] �������� � ������������
����������~\ref{ass}; ������� $R$ �� $R'$, ������
������~\ref{Morita}. ������� ����� ��������� ����� $\Spec \kk \in
\Spec R$, � ������� $R$ ���������, � ���� ������� $\kk = R/\m$ �����
������������� ��������������. ����� $\wt{R}$ -- ���������� $R$ ��
$\m$-��������� ���������, � ����� $\K'$ -- ��� ���� �������. ��
�������~\ref{Thm equiv char p}, �������~\ref{evb} ����� ���
$X_\kk$. ����� ����, �� ���������� ��������� ���������� $\E$ ��
$X_\kk$ ������������� ��������������
�����������~\ref{lifts}. �������������, �������~\ref{evb} �����
����� � ��� $X_{\K'}$. �������� �����~\ref{k1k2}, ���������, ���
�������~\ref{evb} ����� ��� �������� ����������� $F$ ���� �������
������ $R$. ��������� $F$ ��������� ������� $\K$, ���������, ��� � �
�������� �������� ������� �����.
\endproof

\begin{thebibliography}{BMR}

\bibitem[BO]{Ogus} P. Berthelot and A. Ogus, {\it Notes on
crystalline cohomology}, Princeton University Press, Princeton,
N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1978.
  
\bibitem[BMR]{MR} R. Bezrukavnikov, I. Mirkovi\'c, and D. Rumynin,
{\em Localization of modules for a semisimple Lie algebra in prime
characteristic}, math.RT/0205144.
 
\bibitem[BKR]{BKR} T. Bridgeland, A. King, and M. Reid, {\em The
McKay correspondence as an equivalence of derived categories},
J. Amer. Math. Soc. {\bf 14} (2001), 535--554.

\bibitem[BK]{BK} �.�. ������ � �.�. ���������, {\it ������������
��������, �������� ����� � �����������}, ���. ��. ����, {\bf 53}
(1989), 1183--1205.

\bibitem[BOr]{BO} A. Bondal and D. Orlov, {\it Derived categories of
coherent sheaves}, Proceedings of the International Congress of
Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002), 47--56, Higher Ed. Press,
Beijing, 2002.

\bibitem[G]{Ga} O. Gabber, {\em Some theorems on Azumaya algebras},
The Brauer group (Sem., Les Plans-sur-Bex, 1980), Lecture Notes in
Math. {\bf 844}, Springer, Berlin-New York, 1981.

\bibitem[GV]{SV} G. Gonzalez-Sprinberg and J.-L. Verdier, {\em
Construction g\' eom\' etrique de la correspondance de McKay},
Ann. ENS {\bf 16} (1983), 409--449.
  
\bibitem[H]{Haim} M. Haiman, {\em Hilbert schemes, polygraphs, and
the Macdonald positivity conjecture}, JAMS {\bf 14} (2001),
941--1006.

\bibitem[Ha]{Ha} R. Hartshorne, {\em Residues and duality}, Lecture
notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard
1963/64. With an appendix by P. Deligne. Lecture Notes in Math. {\bf
20} Springer-Verlag, Berlin-New York 1966.

\bibitem[IN]{IN} Y. Ito and I. Nakamura, {\em McKay correspondence
and Hilbert schemes}, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. {\bf 72}
(1996), 135--138.
  
\bibitem[Ka1]{Ka} D. Kaledin, {\it Dynkin diagrams and crepant
resolutions of singularities}, math.AG/9903157, to appear in Selecta
Math.

\bibitem[Ka2]{K3} D. Kaledin, {\em Sommese Vanishing for non-compact
manifolds},\\ math.AG/0312271.

\bibitem[K]{Kapranov} M. Kapranov, {\it Noncommutative geometry
based on commutator expansions}, J. Reine Angew. Math. {\bf 505}
(1998), 73--118.

\bibitem[KV]{KV} M. Kapranov and E. Vasserot, {\em Kleinian
singularities, derived categories and Hall algebras}, Math. Ann.
{\bf 316} (2000), 565--576.
  
\bibitem[Ke]{kel} B. Keller, {\em On the cyclic homology of exact
categories}, J. Pure Appl. Algebra {\bf 136} (1999), 1--56.

\bibitem[Ki]{King} A. King, {\it Moduli of representations of
finite-dimensional algebras,} Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) {\bf
45} (1994), 515--530.

\bibitem[Kr]{Kr} P.B. Kronheimer, {The construction of ALE spaces as
hyper-K\"ahler quotients}, J. Diff. Geom.  {\bf 29} (1989),
665--683.

\bibitem[Lu]{Lu} G. Lusztig, {\it On quiver varieties}, Adv. Math.
{\bf 136} (1998), 141--182.
  
\bibitem[M]{Milne} J.S. Milne, {\em \'Etale cohomology}, Princeton
Math. Series, {\bf 33}, Princeton U. Press (1980). ������� �������:
��. ����, {\em �������� �����������}, �., ���, 1982.

\bibitem[N1]{Na98} H. Nakajima, {\em Quiver varieties and 
Kac-Moody algebras}, Duke Math. J. {\bf 91} (1998),
515--560.

\bibitem[N2]{N1} H. Nakajima, {\em Lectures on Hilbert schemes of
points on surfaces}, University Lecture Series, {\bf 18}. American
Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

\bibitem[R]{reid} M. Reid, {\em McKay correspondence},
alg-geom/9702016 v3, 1997.

\end{thebibliography}

\bigskip

\noindent
{\sc Northwestern University\\
Evanston IL 60208\\
USA\\
\mbox{}\\
�\\
\mbox{}\\
����� ��. ��������, ����� �������\\
��. �������, 8\\
������, ����\\
\mbox{}\\
{\em ����������� ������\/}: {\tt bezrukav@math.northwestern.edu}\\
\phantom{{\em ����������� ������\/}: }{\tt kaledin@mccme.ru}}

\end{document}
