\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} %%%%% Буквы \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, осень 2005} \begin{document} \setcounter{section}{1} \stepcounter{section} \section*{Лекция 2.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Открытые по Зарисскому множества, локализация, локальные кольца. Модули и операции над ними. Тензорные произведения. Неразветвленные накрытия, теория Галуа. \end{minipage} \end{center} На прошлой лекции мы обсуждали понятие алгебраического многообразия. Напомним вкратце основые идеи. Любой геометрический объект в математике можно исследовать двумя способами. Во-первых, можно думать про него как про множество, множество точек. Во-вторых, можно рассматривать набор заданных на нем функций. Функции можно складывать и перемножать, так что они образуют кольцо. По функции $f$ и точке $x$ можно построить число -- вычислить значение $f(x)$ функции в точке. При этом операция вычисления довольно симметрична. Можно считать, что задано множество точек, а функция -- это то, что сопоставляет точке число; а можно, наоборот, считать, что задано кольцо функций, а точка -- это то, что сопоставляет функции число. Иными словами, точка $x$ задает гомоморфизм вычисления $\ev_x$ из кольца функций в числа. Какой из этих двойственных подходов выбрать, это вопрос удобства. На прошлой лекции мы выяснили, что в алгебраической геометрии множество точек -- недостаточно тонкая вещь, и не улавливает всей геометрической структуры (например, потому, что у точек алгебраического множества естественным образом могут быть кратности). Поэтому при исследовании по крайней мере аффинных многообразий в качестве первичного объекта берут кольцо функций. Оказывается при этом, что годится любое кольцо -- на любое коммутативное кольцо $A$ можно смотреть как на геометрический объект и исследовать его, используя геометрическую интуицию. Тогда точка этого объекта -- это любой гомоморфизм из кольца $A$ в числа. Числа здесь понимаются как элементы поля, причем, чтобы теория получилась естественной, какое именно поле лучше не выбирать, а рассматривать все. \begin{opr} {\em Точкой} кольца $A$ со значениями в поле $K$ называется гомоморфизм $A \to K$. \end{opr} На самом деле, оказывается полезным даже еще ослабить это определение, и не требовать, чтобы $K$ было полем -- т.е. под числами тоже понимать элементы любого коммутативного кольца. Но нам пока такая точка зрения не понадобится. Напротив, даже гомоморфизм $A \to K$ для нас пока будет лишним данным, и вместо того, что помнить весь гомоморфизм, мы будем помнить его ядро $\pp \subset A$ -- простой идеал кольца $A$. Множество всех простых идеалов $A$ называется {\em спектром $A$} и обозначается $\Spec A$. На прошлой лекции мы описали множество $\Spec A$ в простых случаях, а также ввели на нем некоторую топологию, называемую топологией Зарисского. А именно, замкнутые по Зарисскому подмножества в $\Spec (A)$ -- это множества $V(\aA) \subset \Spec(A)$ всех простых идеалов, содержащих данный идеал $\aA \subset A$. Топология Зарисского, напомним, весьма противоречит обычной интуиции -- она нехаусдорфова и т.д. Вот, чтобы вспомнить о чем речь, простая и полезная Лемма. \begin{lemma} Если $\aA \subset A$ -- ненулевой идеал в кольце $A$ без делителей нуля, то замкнутое подможество $V(\aA) \subset \Spec A$ нигде не плотно. \end{lemma} \proof{} По определению, надо доказать, что для любого непустого открытого $U \subset \Spec A$ сушцествует такое непустое открытое $U_1 \subset U$, что $U_1 \cap V(\aA) = \emptyset$. Действительно, раз $U$ открыто, дополнение $\Spec A \setminus U$ имеет вид $V(\aA_1)$, а раз $U$ непусто, $\aA_1 \subset A$ -- ненулевой идеал. Тогда, поскольку в $A$ нет делителей нуля, $\aA \cap \aA_1 \subset A$ -- тоже ненулевой идеал, а потому $\Spec A \setminus V(\aA \cap \aA_1)$ в свою очередь непусто. Вот его и можно взять в качестве $U_1$. \endproof Обсудим теперь, какие подмножества в этой топологии открыты. Пусть дано кольцо $A$ и элемент $f \in A$. Тогда можно ``формально обратить $f$'' -- а именно, рассмотреть факторкольцо кольца многочленов $A[x]$ по идеалу, порожденному $fx-1 \in A[x]$. Это факторкольцо обозначается $A[f^{-1}]$ и называется {\em локализацией} кольца $A$ по степеням элемента $f \in A$. В явном виде, элементы $A[f^{-1}]$ это классы эквивалентности формальных выражений $a \cdot f^{-n}$, где $a \in A$, а $n$ -- неотрицательное целое число, по следующему отношению эквивалентности: $af^{m_1} \cdot f^{-(n+m_1)} \sim af^{m_2} \cdot f^{-(n+m_2)}$. Операции на этих элементах задаются так: $$ a \cdot f^{-n} + b \cdot f^{-m} = (af^m+bf^n) \cdot f^{-(n+m)} \qquad (a \cdot f^{-n})(b \cdot f^{-m}) = ab \cdot f^{-(n+m)}. $$ \begin{exc} Проверьте, что эти формулы совместимы с отношением эквивалентности. \end{exc} \begin{exc} Опишите кольцо $A[f^{-1}]$ в следующих частных случаях: (1) $f \in A$ обратим, (2) $f \in A$ нильпотентный ($f^n = 0$ для достаточно большого $n$). \end{exc} Любой идеал $\aA \subset A$ очевидным образом дает идеал $\aA[f^{-1}] \subset A[f^{-1}]$; наоборот, любой идеал $\aA \subset A[f^{-1}]$ дает идеал $\phi^{-1}(\aA) \subset A$ -- прообраз $\aA$ при естественном отображении $\phi:A \to A[f^{-1}]$. \begin{exc} Проверьте, что идеал $\aA[f^{-1}] \subset A[f^{-1}]$ собственный тогда и только тогда, когда $\aA \subset A$ собственный и не содержит никакой степени $f^n$. Проверьте также, что для любого идеала $\bb \subset A[f^{-1}]$ имеем $\bb = \phi^{-1}(\bb)[f^{-1}]$. \end{exc} Заметим, что если идеал $\aA \subset A$ простой, то по определению, если он содержит $f^n$, то он содержит и само $f$. Поэтому возможны только два варианта: или простой идеал $\pp \subset A$ содержит $f$, или $\pp[f^{-1}] \subset A[f^{-1}]$ -- собственный идеал. Легко видеть, что он также и простой, причем $\pp = \phi^{-1}(\pp[f^{-1}])$. Таким образом, имеем естественнное отождествление $\Spec A[f^{-1}] \cong \Spec A \setminus V((f))$ -- спектр $A[f^{-1}]$ отождествлен с дополнением к множеству $V((f)) \subset \Spec(A)$ нулей элемента $a \in A$. \begin{exc} Проверьте, что это отождествление -- гомеоморфизм между спектром $\Spec A[f^{-1}]$ и открытым подмножеством $\Spec A \setminus V((f)) \subset \Spec A$ с индуцированной топологией. \end{exc} Итак, дополнение к замкнутому подмножеству $V((f)) \subset \Spec A$ -- спектр локализации $A[f^{-1}]$. \begin{lemma} Открытые подмножества вида $\Spec A[f^{-1}] \subset \Spec A$ образуют базу топологии Зарисского на $\Spec A$. \end{lemma} \proof{} Возьмем произвольное открытое $U \subset \Spec A$, дополнение к замкнутому $V(\aA) \subset \Spec A$, множеству нулей идеала $\aA \subset A$. По определению, надо доказать, что $U$ есть объединение множеств вида $\Spec A[f^{-1}]$. Иными словами, пусть $x \in U$ любая точка; надо найти такое $f \in A$, что $x \in \Spec A[f^{-1}] \subset U$. Поскольку $x \in U$, соответствующий простой идеал $\pp \subset A$ не содержит $\aA \subset A$. Возьмем $f \in \aA$, не лежащее в $\pp$. Тогда $\Spec A[f^{-1}] \subset U$, а раз $f$ не лежит в $\pp$, $x \in \Spec A[f^{-1}]$. \endproof Конструкцию локализации полезно обобщить. {\em Мультипликативной системой} $S \subset A$ будем называть любое подмножество, замкнутое относительно умножения (например, все степени какого-то элемента $f \in A$). \begin{opr} {\em Локализацией} $A[S^{-1}]$ кольца $A$ по мультипликативной системе $S$ называется множество классов эквивалентности формальных выражений вида $a \cdot s^{-1}$, $a \in A$, $s \in S$, по отношению эквивалентности $as_1 \cdot (s_1s)^{-1} \sim as_2 \cdot (s_2s)^{-1}$. Операции в $A[S^{-1}]$ задаются равенствами $$ a_1 \cdot s_1^{-1} + a_2 \cdot s_2^{-1} = (a_1s_2+a_2s_1) \cdot (s_1s_2)^{-1} \qquad (a_1 \cdot s_1^{-1})(a_2 \cdot s_2^{-1}) = a_1a_2 \cdot (s_1s_2)^{-1}. $$ \end{opr} \begin{exc} Докажите, что естественное отображение $\Spec A[S^{-1}] \to \Spec A$ инъективно, и является гомеоморфизмом на свой образ. \end{exc} Если мультипликативная система $S \subset A$ конечно порождена -- т.е. все $s \in S$ представляются как произведения некоторого конечного набора образующих $s_1,\dots,s_n \in S$ -- то $\Spec A[S^{-1}] \subset \Spec A$ открыто. В общем случае это не так -- $\Spec A[S^{-1}]$ есть пересечение открытых множеств, но, возможно, бесконечного их числа. Экстремальный пример здесь такой: пусть $A$ {\em область целостности}, т.е. кольцо без делителей нуля. Тогда $S = A \setminus \{0\}$, множество всех ненулевых элементов $A$, образует мультипликативную систему, и легко видеть, что $A[S^{-1}]$ есть поле. Это поле называется {\em полем частных} кольца $A$. \begin{exc} Чему равны поля частных колец $\Z$, $k[x]$? \end{exc} При этом если $K$ -- поле частных $A$, то $\Spec K \subset \Spec A$ -- это одна точка, а именно, общая точка $\Spec A$ (отвечающая нулевому идеалу $\{0\} \subset A$). Более общо, пусть $x \in \Spec A$ -- точка, отвечающая простому идеалу $\pp \subset A$. Тогда $S_x= A \setminus \pp$ -- мультипликативная система. \begin{opr} Локализация $A[S_x^{-1}]$ называется {\em локальным кольцом} схемы $\Spec A$ в точке $x \in A$ и обозначается $A_\pp$. \end{opr} \begin{exc} Проверьте, что $\pp A_\pp \subset A_\pp$ -- максимальный идеал, и что других максимальных идеалов в кольце $A_\pp$ нет. \end{exc} \begin{exc} Опишите локальное кольцо $\Z_{(p)}$, $p$ -- простое число. \end{exc} Геометрически, $\Spec A_\pp \subset \Spec A$ -- это пересечение всех открытых подмножеств в $\Spec A$, которые содержат точку $x$. Важно помнить и понимать, что в силу особенностей топологии Зарисского, это совсем не только точка $x$! Абстрагируя эту ситуацию, вводят следующее. \begin{opr} Кольцо $A$ называется {\em локальным}, если в нем есть единственный максимальный идеал $\m \subset A$; поле вычетов $A/\m$ называется полем вычетов локального кольца $A$. \end{opr} \begin{exc} Докажите, что в локальном кольце $A$ любой элемент $a \in A$, не лежащий в максимальном идеале $\m \subset A$, обратим. \end{exc} Спектр локального кольца, таким образом, содержит только одну замкнутую точку (и, вообще говоря, довольно много незамкнутых). Это наилучшее приближение к ``маленькой окрестности точки'', которое можно получить алгебраическими средствами. Разумеется, это очень грубое приближение. В частности, интуитивно маленькие окрестности точек хорошего -- скажем, в каком-то смысле гладкого -- многообразия должны быть все одинаковые, такие как у точки в аффинном пространстве; а локальных колец бывает очень много, и мы скоро увидим, что они разные даже для очень хороших многообразий. Но тем не менее, рассматривать локальные кольца часто очень полезно. \medskip Дальше мы изучим, чему на алгебраическом языке отвечает произведение многообразий; но прежде чем сделать это, нам понадобится вспомнить некоторые факты о модулях над кольцом. Напомним, что модулем $M$ над кольцом $A$ называется группа $M$, снабженная дополнительной операцией умножения на элементы $A$: для любых $m \in M$, $a \in A$ задано произведение $am \in M$, причем выполнены аксиомы ассоциативности и дистрибутивности. Если $A$ поле, то модуль над $A$ это то же самое, что векторное пространство; в общем случае, все обычные операции линейной алгебры -- взятие образа, ядра, коядра, прямой суммы -- тоже имеют смысл, с тем же определением. Само $A$ это очевидно модуль над собой. Прямая сумма $A^{\oplus n}$ какого-то количества копий $A$ -- возможно, бесконечного -- называется {\em свободным $A$-модулем}. Любой модуль над полем свободен (любое векторное пространство имеет базис). Однако для произвольного кольца это не так. Помимо свободных модулей, важные примеры это идеалы $\aA \subset A$ (иными словами, подмодули $A$) и факторы по ним $A/\aA$ (фактормодули $A$). Бывает, что идеалы на самом деле тоже свободны. \begin{exc} Кольцо называется {\em кольцом главных идеалов}, если любой идеал $\aA \subset A$ порожден одним элементом $a \in A$. Докажите, что $k[x]$ и $\Z$ -- кольца главных идеалов, и что любой ненулевой идеал $\aA \subset A$, рассмотренный как $A$-модуль, изоморфен $A$. \end{exc} Но в общем случае это не так. Например, в некоторый момент мы докажем, что для общего кубического многочлена $f(x,y)$, факторкольцо $k[x,y]/(f(x,y))$ не есть кольцо главных идеалов (это открыл, по-видимому, Абель). Тем не менее, с модулями можно делать многое из того, что делают с идеалами. Например, их можно локализовать: если дан модуль $M$ над кольцом $A$ и мультипликативная система $S \subset A$, то локализация $M[S^{-1}]$ определяется как множество классов эквивалентности формальных выражений $m \cdot s^{-1}$, $m \in M$, $s \in S$, причем отношение эквивалентности и операции на $M[S^{-1}]$ задаются ровно теми же формулами, что для колец (проверьте, что все хорошо определено). Если $S = A \setminus \pp$ для простого идеала $\pp \subset A$, то локализация $M[S^{-1}]$ обозначается через $M_\pp$. \begin{exc} Последовательность $$ \begin{CD} M_1 @>{\phi_1}>> M_2 @>{\phi_2}>> M_3 \end{CD} $$ модулей и отображений называется {\em точной}, если $\Ker\phi_2 = \Im\phi_1$ (в частности, $\phi_2 \circ \phi_1=0$). Докажите, что если дана точная последовательность $A$-модулей и мультипликативная система $S \subset A$, то последовательность локализаций $$ \begin{CD} M_1[S^{-1}] @>{\phi_1}>> M_2[S^{-1}] @>{\phi_2}>> M_3[S^{-1}] \end{CD} $$ тоже точна. Докажите также, что $(M_1 \oplus M_2)[S^{-1}] \cong M_1[S^{-1}] \oplus M_2[S^{-1}]$. \end{exc} Чтобы получить какое-то представление о том, какие воообще говоря бывают модули, изучим модули над кольцом $k[x]$ полиномов от одной переменной. \begin{opr} Модуль $M$ над кольцом $A$ называется {\em конечно порожденным}, если существует сюръективное отображение $A^{\oplus n} \to M$, $n$ положительное целое число (иными словами, можно выбрать такие элементы $m_1,\dots,m_n \in M$, что любой $m \in M$ есть линейная комбинация $m_1,\dots,m_n$ с коэффициентами из $A$). Конечно порожденный модуль $M$ называется {\em конечно представимым}, если можно так выбрать сюръекцию $A^{\oplus n} \to M$, что ее ядро тоже конечно порождено. \end{opr} \begin{prop} Любой конечно представимый модуль $M$ над кольцом $k[x]$ полиномов от одной переменной над полем $k$ есть прямая сумма модулей вида $k[x]/(P(x))$, $P(x) \in k[x]$. \end{prop} Модуль имеет вид $k[x]/(P(x))$ тогда и только тогда, когда он порожден одним элемнтом; такой модуль называется циклическим. Поэтому это Предложение еще формулируют так: конечно представимый модуль над $k[x]$ есть сумма циклических. \proof{} По определению, $M$ есть коядро отображения $\phi:A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}$. Зададим это отображение матрицей размера $m \times n$ и воспольуемся Упражением 1.13. Легко видеть, что элементарные преобразования не меняют коядро; поэтому мы может предполагать, что $\phi$ -- диагональная матрица, а в таком случае утверждение очевидно. \endproof \begin{exc} Докажите, что без предложения конечной представимости это неверно (рассмотрите $k[x,x^{-1}]$ как модуль над $k[x]$, и, применив к нему локализацию, перейдите к векторным пространствам на полем частных $k(x)$). \end{exc} \begin{corr}[Жорданова нормальная форма] Любой эндоморфизм $A:V \to V$ конечномерного векторного пространства над алгебраически замкнутым полем $k$ имеет жорданову нормальную форму. \end{corr} \proof{} Рассмотрим $V$ как $k[x]$-модуль -- а именно, заставим $x$ действовать с помощью эндоморфизма $A$. Тогда легко видеть, что $V$ конечно представимо (например, $V$ есть коядро отображения $k[x]^n \to k[x]^n$, заданного матрицей $x\Id - A$, где $n$ -- размерность пространства $V$). Поэтому $V$ есть сумма циклических модулей, и достаточно доказать, что циклический модуль $k[x]/(P(x))$ имеет жорданову нормальную форму. А это очевидно -- достаточно разложить на множители полином $P(x)$. \endproof Между прочим, именно поэтому множество простых идеалов называют {\em спектром}: это далекое обощение понятия спектра линейного оператора, т.е. набора его собственных значений. Следующее утверждение доказывается аналогичным трюком, и, хотя оно совсем простое, применяется необычайно часто. \begin{lemma}[Лемма Накаямы] Пусть $M$ -- конечно порожденный модуль над локальным кольцом $A$, и пусть $\m \subset A$ -- максимальный идеал. Тогда если $\m M = M$, то $M=0$. \end{lemma} \proof{} Выберем образующие $m_1,\dots,m_n \in M$. Поскольку $M = \m M$, имеем $m_i = \sum m_ja_{ij}$ для каких-то $a_{ij} \in \m$, т.е. $\sum m_ja'_{ij} = 0$, причем $a'_{ij}=\delta_{ij} - a_{ij} = \delta_{ij} \mod \m$. Образуем из $a'_{ij}$ квадратную матрицу $A$ размера $n \times n$, и рассмотрим соотвествующее отображение $A:M^{\oplus n} \to M^{\oplus n}$. Тогда $A(\langle 0,\dots,m_i,\dots,0\rangle)=0$. Если $B$ -- матрица из главных миноров матрицы $A$, то $BA$ -- диагональная матрица, причем на диагонали стоит $\det A$. Тогда тем более $BA(\langle 0,\dots,m_i,\dots,0\rangle)=0$, т.е. $\det Am_i=0$, а значит, $\det A$ действует нулем на $M$. Но $\det A = 1 \mod \m$, а стало быть, обратим. \endproof \begin{corr} Если элементы $m_1,\dots,m_n \in M$ конечно порожденного модуля $M$ над локальным кольцом $A$ порождают векторное пространство $M/\m M$, то они порождают и сам $M$. \end{corr} \proof{} Пусть $M' \subset M$ -- подмодуль, порожденный $m_1,\dots,m_n$; легко видеть, что фактормодуль $M''=M/M'$ удовлетворяет $\m M'' = M''$. \endproof Введем теперь еще одну операцию линейной алгебры, которая также имеет смысл для модулей, и крайне важна -- тензорное произведение. \begin{opr} {\em Тензорным произведением} модулей $M_1$, $M_2$ над кольцом $A$ называется модуль, порожденный формальными выражениями вида $m_1 \otimes m_2$, $m_1 \in M_1$, $m_2 \in M_2$, с соотношениями $$ am_1 \otimes m_2 = a(m_1 \otimes m_2) \qquad (m_1+m_1') \otimes m_2 = m_1 \otimes m_1 + m_1' \otimes m_2, $$ плюс те же соотношения по второму сомножителю. Тензорное произведение обозначается $M_1 \otimes_A M_2$, или -- редко, когда нет риска перепутать -- просто $M_1 \otimes M_2$. \end{opr} Это определение довольно формально, его надо хорошо осознать; в частности, надо решить следующее упражнение. \begin{exc} Вычислить тензорное произведение $M_1 \otimes_A M_2$ в следующих ситуациях: \begin{enumerate} \item $M_1=A^{\otimes n}$, $M_2=A^{\otimes m}$, \item $M_1=A^{\otimes n}$, $M_2$ любой, \item $A=\Z$, $M_1 = \Z/2\Z$, $M_2 = \Z/n\Z$, \item $A=\Z$, $M_1 = \Q$, $M_2 = \Z/n\Z$, \item $A$ любое, $M_1=A/\aA_1$, $M_2=A/\aA_2$, $\aA_1$ и $\aA_2$ взаимно просты. \end{enumerate} \end{exc} \begin{exc} Докажите, что для любого модуля $M$ над кольцом $A$ и любой мультипликативной системы $S \subset A$ имеется изоморфизм $M[S^{-1}] \cong M \otimes_A A[S^{-1}]$. \end{exc} Нам потребуется следующее наблюдение. Пусть даны кольца $A$, $B$ и отображение $A \to B$. Тогда $B$ -- и более того, любой $B$-модуль -- естественным образом можно рассматривать как модуль над $A$. Наоборот, если дан $A$-модуль $M$, то тензорное произведение $M \otimes_A B$ естественным образом есть модуль над $B$: $B$ действует умножениями на второй множитель. \begin{exc} Вычислите $A^{\oplus n} \otimes_A B$. \end{exc} \begin{exc} Докажите, что для любого $A$-модуля $M$ и $B$-модуля $N$ имеется естественный изоморфизм групп \begin{equation}\label{adj} \Hom_A(A,B) \cong \Hom_B(M \otimes_A B,N). \end{equation} \end{exc} Заметим, что \eqref{adj} можно использовать как {\em определение} тензорного произведения (но тогда надо доказывать, что тензорное произведение существует). Если же нам дано кольцо $A$ и {\em два} кольца $B_1$, $B_2$ с отображениями $A \to B_1$, $A \to B_2$, то тензорное произведение $B_1 \otimes_A B_2$ имеет естественную структуру {\em кольца}: тензорные произведения $b_1 \otimes b_2 \in B_1 \otimes_A B_2$ можно перемножать почленно. При этом мы тоже имеем естественное отображение $A \to B_1 \otimes_A B_2$. Геометрически, в такой ситуации говорят, что $\Spec B_1$ и $\Spec B_2$ это {\em схемы над $\Spec A$} -- имея в виду, что заданы отображения $\Spec B_1 \to \Spec A$, $\Spec B_2 \to \Spec A$. \begin{opr} Схема $\Spec (B_1 \otimes_A B_2)$ называется {\em расслоенным произведением} $\Spec B_1$ и $\Spec B_2$ над $\Spec A$ и обозначается $\Spec B_1 \times_{\Spec_A} \Spec B_2$. \end{opr} \begin{opr} Чему равно расслоенное произведение $\Spec \C \times_{\Spec \R} \Spec \C$? \end{opr} Геометрически, расслоенным произведением $X_1 \times_Y X_2$ множеств $X_1$, $X_2$ над множеством $Y$ -- т.е. множеств $X_1$, $X_2$, снабженных отображениями $\pi_1:X_1 \to Y$, $\pi_2:X_2 \to Y$ -- называется подмножество в $X_1 \times X_2$, состоящее из пар точек $\langle x_1,x_2 \rangle$, $x_1 \in X$, $x_2 \in X_2$ таких, что $\pi_1(x_1) = \pi_2(x_2)$. Алгебраически, это формализуется с помощью тензорного произведения. При этом из-за того, что в алгебраической геометрии нет выделенной абстрактной ``точки'' -- единственная схема, в которую любая другая отображается канонически, это $\Spec \Z$, которое однако никак не точка -- понятие расслоенного произведения важнее, чем просто произведение. Это часть общей идеологии (тоже гротендиковской): в алгебраической геометрии надо все утверждения рассматривать относительно, т.е. доказывать их не для просто схемы $X$, а для схемы $X$ над ``базовой'' схемой $Y$. В случае, когда $Y = \Spec k$ -- спектр поля, схемы над $Y$ называются для простоты схемами над $k$. Отметим, что хотя понятие произведения правильно отображает геометрическую интуицию, оно плохо согласовано с нашим -- весьма расширенным -- определением того, что такое множество точек. Как говорят американцы, win some, lose some. \begin{exc} Докажите, что $\A_k^n \times_k \A_k^m = \A^{n+m}_k$ (здесь $\A^l_k = \Spec k[x_1,\dots,x_l]$ -- $l$-мерное аффинное пространство над полем $k$. \end{exc} \begin{exc} Приведите пример таких схем $\Spec A_1$, $\Spec A_2$ над полем $k$, что $$ \Spec (A_1 \otimes_k A_2) \neq (\Spec A_1) \times (\Spec A_1) $$ (здесь произведение справа понимается как произведение множества точек). \end{exc} \medskip Попробуем теперь применить развитую абстрактную технику для того, чтобы изучить конкретный геометрический объект -- разветвленные (и неразветвленные) накрытия. \begin{opr} Говорят, что модуль $M$ над кольцом $A$ {\em локально свободный ранга $n$}, если для любого простого идеала $\pp \subset A$, $M_\pp \cong A_\pp^{\oplus n}$. \end{opr} Мы будем называть морфизм схем $X = \Spec B \to Y = \Spec A$ {\em $n$-листным разветвленным накрытием}, или {\em разветвленным накрытием степени $n$}, если $B$ -- локально свободный $A$-модуль ранга $n$. Стандартный пример такой ситуации следующий. \begin{exc} Пусть $B = A[x]/(P(x))$, где $P(x)$ -- какой-то полином с коэффициентами из $A$ и обратимым старшим коэффициентом. Докажите, что $\Spec B \to \Spec A$ -- разветвленное накрытие, Какова его степень? \end{exc} Мы сначала изучим просто накрытия, неразветвленные, а потом (уже не на этой лекции) изучим ветвление. В топологии, отображение $f:X \to Y$ хаусдорфовых топологических пространств называется $n$-листным накрытием, если у каждой точки $y \in Y$ есть такая окрестность $U \subset Y$, что $f^{-1}(U)$ -- несвязное объединение $n$ копий $U$. Эквивалентно, у каждой точки $n$ прообразов, и каждая точка $x \in X$ имеет такую окрестность $U_x \subset X$, что $f:U_x \to f(U_x)$ -- гомеоморфизм. В алгебраической геометрии окрестностей слишком мало, но это определение можно пересказать так, что оно будет иметь алгебраический смысл. А именно, рассмотрим произведение $X \times X$, и объединим все окрестности $U_x$ в одну окрестность $U \subset X \times X$ диагонали $X \subset X \times X$. Тогда то условие, что $f$ взаимно-однозначно на $U_x$, перескажется так: $U \cap X \times_Y X$ есть сама диагональ. Иными словами, диагональ $X \subset X \times_Y X$ открыта в индуцированной топологии. Поскольку $X$ хаусдорфово, она еще и замкнута, а потому является компонентой связности $X \times_Y X$. \begin{opr} Морфизм схем $X \to Y$ называется {\em неразветвленным} если диагональ $X \subset X \times_Y X$ -- компонента связности $X \times_Y X$ (иными словами, существует изоморфизм $X \times_Y X \cong X \coprod X'$, где $X'$ -- какая-то схема. \end{opr} Важным частным случаем неразветвленного накрытия является следующее. \begin{opr} Морфизм схем $X \to Y$ называется (неразветвленным) {\em накрытием Галуа} если это $n$-листное неразветвленное накрытие, и более того, произведение $X \times_Y X$ разлагается в несвязное объединение $n$ схем, $$ X \times_Y X = \coprod_{1 \leq i \leq n} X_i, $$ причем $X_1$ это диагональ, и для каждого $i$ проекция $X_i \to X$ на первый сомножитель -- изоморфизм. \end{opr} Это важно вот почему. Любая замкнутая подсхема $X' \subset X \times_Y X$, для которой проекция $X' \to X$ -- изоморфизм, есть график какого-то отображения $g:X \to X$ (коммутирующего с проекцией $X \to Y$). Тем самым, если $X \to Y$ -- накрытие Галуа, имеем $n$ отображений $g_i:X \to X$. Легко проверить, что график композиции есть пересечение графиков, и поскольку все $X_i$ -- компоненты связности, отображения $g_i$ образуют конечную группу $G$ порядка $n$. Эта группа $G$ называется {\em группой Галуа} накрытия $X \to Y$. Легко видеть, что множество точек $Y$ отождествляется с множеством $G$-орбит на множестве точек $X$; и во всяких других смыслах $Y$ есть фактор $X$ по действию $G$. Для простоты, будем теперь работать локально -- предположим, что $A$ -- локальное кольцо с максимальным идеалом $\m \subset A$ (и тогда, по нашему предположению, $B = A^{\oplus n}$ как $A$-модуль). Вот что происходит при накрытии Галуа с кольцом функций. \begin{lemma} Пусть $A$ -- локальное кольцо, и пусть $X = \Spec B \to Y = \Spec A$ -- накрытие Галуа с группой Галуа $G$. Тогда $A \subset B$ совпадает с подкольцом $A^G \subset A$ $G$-инвариантных элементов. Кроме того, $B$ изоморфно $A[G]$ как $A$-модуль с действием $G$ ($A[G]$ это прямая сумма $|G|$ копий $A$, на которых $G$ действует перестановками). \end{lemma} \proof{} Очевидно, что $A \subset B^G$; надо доказать, что это изоморфизм. По определению $G$, имеем $B = (B \otimes_A B)^G$, где $G$ действует на второй сомножитель. Но поскольку $B = A^{\oplus n}$ как $A$-модуль, $B \otimes_A B = A^{\oplus n} \otimes_A B = B^{\oplus n}$, и $(B \otimes_A B)^G = (B^{\oplus n})^G = (B^G)^{\oplus n}$. Поэтому $B = A^{\oplus n} = (B^G)^{\oplus n}$, а стало быть, $A = B^G$. Далее, по определению $B[G] \cong B \otimes_A B$, где $G$ действует на второй сомножитель, и это отображение коммутирует с действием $G$ по первому сомножителю. Переходя к $G$-инвариантам, получаем изоморфизм $A[G] \cong B$. \endproof Пусть теперь дано просто неразветвленное $n$-листное накрытие $X \to Y$. Оказывается, что его можно полностью изучить с помощью накрытий Галуа. А именно, во-первых, имеем следующее наблюдение. \begin{lemma} Пусть дана последовательность схем и разветвленных накрытий $\wt{X} \to X \to Y$, причем $\wt{X} \to Y$ -- неразветвленное накрытие Галуа с группой $G$, а $\wt{X} \to X$ сюръективно. Тогда $\wt{X} \to X$ -- накрытие Галуа с группой $H \subset G$. \end{lemma} \proof{} Расслоенное произведение $\wt{X} \times_X \wt{X}$ это по определению замкнутая подсхема в $\wt{X} \times_Y \wt{X}$; поэтому это объединение некоторых из связных компонент $\wt{X} \times_Y \wt{X}$. \endproof Тем самым, для любого накрытия Галуа $\wt{X}/Y$ ``промежуточные'' накрытия $X/Y$ нумеруются подгруппами в $G$. Далее, рассмотрим $n$-кратное произведение $X^n_Y = X \times_Y X \times_Y \dots \times_Y X$. Тогда по индукции оно разлагается в несвязное объединение разных диагоналей (диагональ это подсхема, заданная условиями вида ``координаты 1-я, 13-я и 42-я равны''). В частности, имеется открыто-замкнутая подсхема $\wt{X} \subset X^n_Y$ которая есть дополнение {\em ко всем} диагоналям -- все координаты попарно не равны. \begin{exc} Докажите, что $\wt{X} \to Y$ -- $n!$-листное разветвленное накрытие, а $\wt{X} \to X$ -- $(n-1)!$-листное разветвленное накрытие. Указание: сначала рассмотрите случай, когда $A$ -- поле; чтобы доказать, что модуль локально тривиален в общем случае, используйте Лемму Накаямы. \end{exc} Заметим теперь, что симметрическая группа $S_n$ действует на $\wt{X}$, это действие совместимо с проекцией на $Y$, и в $S_n$ как раз $n!$ элементов, т.е. она транзитивно переставляет листы накрытия; таким образом, $\wt{X} \to Y$ -- накрытие Галуа с группой $G = S_n$. Аналогично, $H = S_{n-1} \subset G$ переставляет листы накрытия $\wt{X} \to X$, и оно тем самым есть накрытие Галуа с группой $H$. В классической теории Галуа рассматривают только такие накрытия $X \to Y$, что само $X$ связно; поэтому наше $\wt{X}$ не годится, и надо заменить его на его компоненту связности $\wt{X}_0$ (любую -- они все одинаковые, потому что их переставляет симметрическая группа). Группа Галуа $G$ тогда будет подгруппой в $S_n$, сохраняющей $\wt{X}_0$, а $H = S_{n-1} \cap G \subset S_n$. Все остальное останется как прежде. Таким образом, любое неразветвленное накрытие $X = \Spec B \to Y = \Spec A$ спектра локального кольца $A$ выглядит так: имеется накрытие Галуа $\wt{X} = \Spec \wt{B} \to Y$ с группой Галуа $G$, подгруппа $H \subset G$, и $X = \wt{X}/H$ -- т.е. $B = \wt{B}^H$, и $\wt{X} \to X$ -- накрытие Галуа с группой $H$. На следующей лекции мы выясним, как из локальной информации получать глобальную, как измерять ветвление, и когда, в частности, накрытие $\Spec A[x]/(P(x)) \to \Spec A$ неразветвлено. \end{document}