\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, осень 2005} \begin{document} \setcounter{section}{2} \stepcounter{section} \section*{Лекция 3.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Приведенные и неприводимые схемы, области целостности. Нетеровы модули и кольца. Теорема Гильберта о базисе. Размерность по Круллю (определение). Ассоциированные идеалы, примарные разложения. Плоские модули (определение). Ветвление и дискриминант. \end{minipage} \end{center} Чтобы продолжить изучение аффинной алгебраической геометрии, нам нужно ввести некоторые ограничения на рассматриваемые кольца. Во-первых, для удобства вводятся следующие понятия. \begin{opr} Аффинная схема $X=\Spec A$ называется {\em приведенной}, если в кольце $A$ нет нильпотентных элементов. Аффинная схема называется {\em неприводимой}, если $X$ неприводимо как топологическое пространство (с топологией Зарисского). \end{opr} \begin{exc} Докажите, что множество нильпотентных элементов кольца $A$ -- идеал (этот идеал называется {\em нильрадикалом} кольца). Докажите, что если $J \subset A$ -- нильрадикал, то $\Spec A/J$ -- приведенная схема. \end{exc} Схема $\Spec A/J$ иногда -- очень редко по-русски, чаще по-английски -- называется {\em редукцией} схемы $X = \Spec A$ и обозначается $X_{red}$. Надо сказать, что ``приведенный'' по-английски будет ``reduced'' (а ``неприводимый'' -- ``irreducible''). \begin{lemma} Нильрадикал $J \subset A$ кольца $A$ равен пересечению всех его простых идеалов. \end{lemma} \proof{} По определению, любой нильпотентный эелемент лежит в любом простом идеале. Наоборот, пусть дан элемент $a \in A$. Локализация $A[a^{-1}]$ равна нулю тогда и только тогда, когда $a$ нильпотентен (условие ``$1 \sim 0$ в $A[a^{-1}]$ тавтологически эквивалентно $a^n=0$). Если это не так, то $A[a^{-1}]$ содержит нетривиальный максимальный идеал $\m \subset A[a^{-1}]$; пересечение $\m \cap A$ тогда -- нетривиальный простой идеал в $A$, не содержащий $a$. \endproof \begin{rem} Под ``пересечением'' здесь, by abuse of notation, понимается проообраз $\m \subset A[a^{-1}]$ при каноническом отображении $A \to A[a^{-1}]$. Мы иногда и впредь будем говорить про ``пересечение $I \cap A \subset A$, имея в виду прообраз идеала $I \subset B$ в каком-то кольце $B$ при заданном отображении $A \to B$. \end{rem} \begin{corr} Схема $X = \Spec A$ приведенная и неприводимая тогда и только тогда, когда в кольце $A$ нет делителей нуля. \end{corr} \proof{} Если в кольце нет делителей нуля, то там тем более нет нильпотентов, и кроме того, $\{0\} \subset A$ -- простой идеал. Легко видеть -- и мы это уже обсуждали на Лекции 1 -- что $\Spec A$ есть замыкание соотв. своей точки, а потому неприводимо. В обратную сторону, пусть $X$ неприводима и приведена, и пусть даны $a,b \in A$ с $ab=0$. Тогда $\Spec A = V((a) \cup V((b))$. Поскольку $X$ неприводимо, $V((a))=V((b))=\Spec A$, т.е. любой простой идеал $\pp \subset A$ содержит $a$ (и $b$). Поэтому оба нильпотентны. \endproof \begin{opr} Кольцо без делителей нуля называется {\em областью целостности}, или {\em целым кольцом} (по-английски domain), а его спектр -- {\em целой схемой}. \end{opr} Неформально-геометрически, приведенные подсхемы в $\A^n$ это подсхемы ``без кратных точек'', а неприводимые -- это подсхемы, состоящие из одной компоненты. Как мы видели, избавиться от кратностей можно с помощью канонической операции редукции. Геометрически понятно, что любую приведенную подсхему в $\A^n$ можно, далее, разложить в объединение неприводимых компонент, причем конечного их числа. Но это надо доказывать; более того, если вместо $\A^n$ взять любую аффинную схему $X$, то это *неверно* -- нужно налагать на кольцо какое-то разумное условие конечности. Как показывает практика, правильное условие следующее. \begin{opr} Модуль $M$ над кольцом $A$ называется {\em нетеровым}, если любая возрастающая цепочка подмодулей $M_0 \subset M_1 \subset \dots \subset M$ стабилизируется на конечном шаге, $M_n=M_{n+1}$ для всех $n$ больших некоторой константы $N$. Кольцо $A$ называется {\em нетеровым}, есло оно нетерово как модуль над собой (иными словами, любая цепочка идеалов $\aA_0 \subset \aA_1 \subset \dots \subset A$ стабилизируется на конечном шаге). \end{opr} \begin{exc} Любой подмодуль и фактормодуль нетерова модуля тоже нетеров. Наоборот, если $M' \subset M$ и $M/M'$ нетеровы, то $M$ нетеров. \end{exc} \begin{exc} Конечно-порожденный модуль $M$ над нетеровым кольцом $A$ нетеров, нетеров модуль $M$ над нетеровым кольцом $A$ конечно порожден. И оба они конечно представимы. \end{exc} \begin{exc} Если кольцо $A$ нетерово, то любое его факторкольцо $A/\aA$ нетерово. Кроме того, любая локализация $A[S^{-1}]$ тоже нетерова (докажите сначала, что любой идеал $\aA \subset A[S^{-1}]$ имеет вид $(\aA \cap A)[S^{-1}]$). \end{exc} \begin{exc} Кольцо $A$ нетерово тогда и только тогда, когда любой идеал $I \subset A$ конечно порожден. \end{exc} Ключевое утверждение, которое показывает осмысленность понятия нетеровости, это естественно нетеровость кольца полиномов $k[x_1,\dots,x_n]$. Это выводится очевидной индукцией из следующего фундаментального факта. \begin{thm}[Теорема Гильберта о базисе.] Если $A$ -- нетерово кольцо, то кольцо полиномов $A[x]$ тоже нетерово. \end{thm} Прежде чем доказывать это, расскажем немного про историю. В конце 19го века была модная наука ``теория инвариантов'' -- люди рассматривали алгебру полиномов $k[x_1,\dots,x_n]$, брали какую-то группу $G$ -- скажем, конечную -- которая как-то действует на векторном пространстве с базисом $x_1,\dots,x_n$, и пытались выразить все ``инвариантные многочлены'' -- в современной терминологии, элементы подкольца $k[x_1,\dots,x_n]^G$ -- через некоторый конечный базовый набор. Самая известная теорема такого рода -- это что все симметрические многочлены, т.е. инварианты симметрической группы $S_n$, переставляющей $x_1,\dots,x_n$, выражаются как полиномы от $n$ штук элементарных симметрических полиномов, по одному в каждой степени от $1$ до $n$. Гильберт начал было тоже заниматься этой наукой, но в некоторый момент решил разом закрыть ее -- доказать, что конечный набор элементарных полиномов существует для любой группы (причем явно его не выписывая). Это по-видимому одно из первых в математике ``доказательств существования'', совершенно неконструктивных (надо сказать что многие, например Кронекер, даже отказывались признавать это доказательством). Ключевой момент в рассуждении Гильберта -- это что любой идеал в кольце полиномов конечно порожден. Затем, при аксиоматизации абстрактной алгебры, придумали определение с цепочками, и назвали его в честь Эмми Нетер. \proof{} Для любого идеала $I \subset A[x]$, $I^{(n)} = (I \cap x^nA[x]) \mod x^{n+1}$ -- идеал в $A$, причем $I^{(n)} \subset I^{(n+1)}$. Поскольку $A$ нетерово, цепочка идеалов $I^{(n)}$ стабилизируется на каком-то конечном шаге $N$. Обозначим $$ I^{(\infty)} = I^{(N)} = \bigcup I^{(n)}. $$ Более того, если $I_0 \subset I_1$, то $I^{(\infty)}_0 \subset I^{(\infty)}_1$. Поэтому если дана возрастающая цепочка идеалов $I_0 \subset I_1 \subset \dots \subset A[x]$, то цепочка $I_k^{(\infty)}$ стабилизируется. Выкидывая конечное число элементов, можем считать, что $I_k^{(\infty)} = I_0^{(\infty)} = I_0^{(N)}$. Тогда по определению, для любого $k \geq 0$ и $n \geq N$ $$ I_0 \cap x^nA[x] \subset I_k \cap x^nA[x], $$ причем по модулю $x^{n+1}$, $I_0 \cap x^nA[x] \subset I_k \cap x^nA[x] \subset I_0^{(\infty)}$, и левая часть в этом включении равна правой. Стало быть, обе они равны средней. По индукции, $I_0 \cap x^NA[x] = I_k \cap x^NA[x]$. Поэтому для того, чтобы доказать, что цепочка $I_k$ стабилизируется, достаточно доказать, что стабилизируется цепочка $I_k/(I_k \cap x^NA[x]) \subset A[x]/x^N$. Но $A[x]/x^N$ -- конечно-порожденный $A$-модуль. \endproof \begin{exc} Пусть $A$ -- нетерово кольцо; докажите, что кольцо формальных рядов $A[[x]]$ тоже нетерово. \end{exc} Таким образом, нетеровость сохраняется при переходе к факторкольцам, конечно порожденным алгебрам, локализациям, и даже кольцам формальных рядов. Практически все теоремы алгебраической геометрии требуют предположения нетеровости (хотя и не строго все -- иногда, особенно в последнее время, приходится рассматривать и ненетеровы кольца). \begin{exc} Пусть $B \subset A$ -- подкольцо нетерова кольцо $A$. Верно ли, что $B$ нетерово? (Рассмотрите, например, $A = k[x,y]$). \end{exc} Покажем, что для нетерова кольца $A$, $\Spec A$ состоит из конечного числа неприводимых компонент. \begin{lemma} Если $A$ -- нетерово кольцо, то $X=\Spec A$ есть объединение конечного числа неприводимых замкнутых подмножеств $X_i \subset X$ (называемых {\em неприводимыми компонентами} $X$). \end{lemma} \proof{} Т.к. кольцо $A$ нетерово, то любая убывающая последовательность $Z_0 \supset Z_1 \supset \dots \subset X$ стабилизируетыса на конечном шаге (говорят, что $X$ {\em нетерово топологическое пространство}). Рассмотрим совокупность замкнутых подмножеств в $X$, которые {\em нельзя} представить как объединение конечного числа неприводимых замкнутых подмножеств. Тогда в силу нетеровости, эта совокупность, будучи упорядочена по включению, удовлетворяет условию Леммы Цорна. Поэтому, если такие множества вообще есть, то есть и минимальное такое подмножество $Z \subset X$. Оно по условию приводимо, $Z = Z_1 \cup Z_2$, а так как оно минимально, $Z_1$ и $Z_2$ уже разлагаются в конечное объединение. Противоречие. \endproof Надо сказать, что нетеровость дает больше -- для спектров нетеровых колец можно построить разумную теорию {\em размерности} (и по крайней мере локальные кольца будут конечномерны). Это сделал Крулль. Определение следующее. \begin{opr} {\em Размерностью} (круллевской) нетерова кольца $A$ называется максимальная длина цепочки $\pp_1 \subset \pp_2 \subset \dots \subset \pp_n$ вложенных попарно различных простых идеалов в $A$. {\em Высотой} простого идеала $\pp \subset A$ называется максимальная длина такой цепочки, строго лежащей в $\pp$. \end{opr} Таким образом, высота минимального простого идеала равна $0$ -- такие идеалы отвечают неприводимым компонентам $\Spec A$. Идеалы высоты $n$ отвечают подмногообразиям коразмерности $n$, и определение Крулля фактически основана на следующем геометрически очевидном наблюдении: если одно неприводимое множество содержит другое, то его размерность должна быть строго больше. Размерность кольца обозначается $\dim A$, а высота идеала обозначается $\htt \pp$. Формально, легко видеть, что $\htt\pp = \dim A_{\pp}$. К сожалению, это {\em все}, что легко видеть -- и то, что размерность конечна, и то, что например $\dim \A^n = n$, надо доказывать, развив некоторую теорию. Мы этим займемся через некоторое время; но определение размерности полезно продумать уже сейчас. \begin{exc} Докажите, что $\dim Z$ и $\dim k[x]$, $k$ -- поле, обе равны $1$. \end{exc} \medskip Изучим теперь нетеровы модули. Идеальным результатом здесь была бы версия Предложения 2.8: каждый конечно порожденный модуль над нетеровым кольцом разлагается в прямую сумму циклических. Геометрически, модуль ``разлагается по точкам спектра''. Ничего подобного в общем случае нет -- кольцо полиномов $k[x]$ слишком хорошее (например, имеет размерность 1). Но кое-какие геометрические инварианты по модулю построить можно. \begin{opr} {\em Аннулятором} элемента $m \in M$ $A$-модуля $M$ называется идеал $\Ann(m) \subset A$ таких элементов $a \in A$, что $am=0$. {\em Аннулятором $\Ann M$} всего модуля $M$ называется пересечение $\cap_m \Ann(m) \subset A$. {\em Носителем} $\Supp M \subset \Spec A$ называется замкнутое подмножество, определенное идеалом $\Ann M$. \end{opr} Поскольку $\Ann M$ -- идеал, носитель $\Supp M$ имеет также некоторую схемную структуру, но она малоосмыслена. Более полезное понятие такое. \begin{opr} Простой идеал $\pp \subset A$ называется {\em ассоциированным идеалом} для $M$ если $\pp = \Ann(m,M)$ для какого-то $m \in M$. Множество ассоциированных простых идеалов обозначается $\Ass(M)$. \end{opr} Если $A$ -- нетерово кольцо, то множество идеалов вида $\Ann(m,M)$, $m \in M$ очевидным образом удовлетворяет условию Леммы Цорна, а потому имеет максимальные элементы. \begin{exc} Любой максимальный элемент множества идеалов $\Ann(m,M)$, $m \in M$ -- простой идеал. Идеал $\pp \subset A$ просто тогда и только тогда, когда $\Ann(a,A/\pp) = \pp$ для любого $a \in A/\pp$, $a \neq 0$. \end{exc} Таким образом, множество $\Ass(M)$ для модуля $M$ над нетеровым кольцом по крайней мере непусто. На самом деле, некоторые ассоциированные идеалы видны по носителю. \begin{lemma} Минимальные (по включению) элементы множества $\Ass(M)$ совпадают с общими точками неприводимых компонент носителя $\Supp(M)$. \end{lemma} \proof{} Заменяя $A$ на $A/\Ann(M)$, можем считать, что $\Ann(M)=0$ и $\Supp M = \Spec A$. Тогда неприводимые компоненты $\Spec A$ отвечают минимальным простым идеалам $A$, и любой ассоциированный простой идеал содержит хотя бы один минимальный. Таким образом, достаточно доказать, что любой минимальный идеал ассоциированный. Действительно, пусть $\pp \subset A$ -- минимальный простой идеал. Тогда, поскольку $\Ann(M)=0$, локализация $M_\pp$ не обращается в ноль, т.е. есть такое $m \in M$, что $\Ann(m,M) \subset \pp$. Рассматривая все такие $m$, упорядочивая $\Ann(m,M)$ по включению, и беря максимальный $\Ann(m,M)$, заключаем, что есть простой идеал $\pp' = \Ann(m',M) \subset \pp$. Поскольку $\pp$ -- минимальный простой идеал, имеем $\pp = \pp'$. \endproof \begin{opr} Неминимальные ассоциированные идеалы $\pp \in \Ass(M)$ называются {\em вложенными}. \end{opr} Таким образом, множество $\Ass(M)$ это более тонкий инвариант, чем носитель -- оно содержит и вложенные идеалы (кстати, ``вложенные'' здесь относится к соответствующим точкам $\Supp(M)$). Докажем теперь, что в нетеровой ситуации множество $\Ass(M)$ конечно. \begin{lemma}\label{filtr} Пусть $M$ -- конечно-порожденный модуль над нетеровым кольцом $A$. Тогда на $M$ существует конечная фильтрация $F_iM$, все присоединенные градуированные факторы $\gr_i^FM$ которой имеют вид $A/\pp_i$, $\pp_i$ простой. \end{lemma} \proof{} Объясним сначала терминологию. Фильтрацией (возрастающей) на модуле $M$ называется набор подмодулей $F_iM$, причем $F_iM \subset F_{i+1}M$. Присоединенные градуирвоанные факторы фильтрации -- это модули $\gr_i^FM=F_{i+1}M/F_iM$. Эта терминология совершенно общая, бывает и для векторных пространств, и для других ``линейно-алгебраических'' объектов -- ее надо запомнить. Доказательство же проводится элементарной индукцией. Берем любое $\pp_0 \in \Ass(M)$, так что $\pp_0 = \Ann(m,M)$, и полагаем $F_0M = A \cdot m \subset M$. Легко видеть, что $F_0M \cong A/\pp_0$. Далее заменяем $M$ на $M/F_0M$. Фильтрация конечна в силу нетеровости. \endproof \begin{exc}\label{extt} Пусть $M' \subset M$ -- два модуля. Докажите, что $\Ass(M) \subset \Ass(M') \cup \Ass(M/M')$. Выведите отсюда и из Леммы~\ref{filtr}, что множество $\Ass(M)$ для конечно-порожденного модуля $M$ над нетеровым кольцом $A$ конечно. \end{exc} Хочется думать, что идеалы $\pp_0$, появляющиеся в Лемме~\ref{filtr}, это как раз ассоциированные простые идеалы $M$. Однако это не так -- их, вообще говоря, появляется больше. Доказывать мы это сейчас не будем, но приведем следующее рассуждение. Если модуль $M$ над областью целостности $A$ локально тривиальный, то $\Ann(M)=0$ (почему?). Тогда $\Ass(M)$ состоит из нулевого идеала. Но, как мы вскоре докажем, если мы модуль допускал фильтрацию $F_iM$ с $\gr_i^F = A$, то он был бы тривиальным, а не только локально тривиальным. То, что происходит, описано в следующем упражнении. \begin{exc} В ситуации Упражения~\ref{extt}, приведите пример, когда объединение множеств $\Ass(M')$ и $\Ass(M/M')$ строго больше, чем $\Ass(M)$ (положите, например, $A = \Z$, $M=\Z$). \end{exc} Даже если новых простых идеалов при переходе к $\gr_\idot^FM$ не появляется, у нас все равно есть не разложение в прямую сумму, а только фильтрация. Какие-то теоремы о разложении тоже можно доказать, но они довольно слабые, и применяются редко. Важное понятие здесь такое. \begin{opr} Пусть $\pp \subset A$ -- простой идеал. Говорят, что подмодуль $M' \subset M$ -- в частности, идеал $\aA \subset A$ -- {\em примарный, отвечающий $\pp$}, если $\Ass(M/M') = \{\pp\}$. \end{opr} \begin{exc} Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом $\m \subset A$. Докажите, что идеал $\aA \subset A$ примарный тогда и только тогда, когда $\m^n \subset \aA$ для какого-то $n \geq 1$. \end{exc} Типичная ``теорема о примарном разложении'' выглядит так. \begin{prop} Пусть $M$ -- конечно-порожденный модуль над нетеровым кольцом $A$, a $\pp_1,\dots,\pp_n$ -- все ассоциированные с ним идеалы. Тогда существует вложение $$ M \hookrightarrow \bigoplus_{1 \leq i \leq n} M/N_i, $$ где $N_i \subset M$ -- примарный подмодуль, отвечающий $\pp_i$, причем ни одно из слагаемых в правой части нельзя исключить. \end{prop} \proof{} Будем говорить, что подмодуль $N \subset M$ неразложимый, если его нельзя представить как пересечение $N = N_1 \cap N_2$ собственных подмодулей $N_1,N_2 \subset M$. Неразложимый подмодуль, очевидно, примарен (если у фактора $M/N$ два разных ассоциированных идеала $\pp_1$, $\pp_2$, то в нем есть по крайней мере два разных собственных подмодуля $(A/\pp_1),(A/\pp_2) \subset M/N$. Т.к. $M$ нетеров, $0 \subset M$ можно представить как конечное пересечение $N_1 \cap \dots \cap N_m$ неразложимых собственных подмодулей $N_i \subset M$, причем так, что ни один из них нельзя исключить. Тогда $M \subset \bigoplus (M/N_i)$, поэтому $\Ass(M) \subset \cup_i Ass(M/N_i)$, и осталось доказать, что это равенство -- простой идеал $\pp_i$, ассоциированный с каждым из $M/N_i$, ассоциирован также и с $M$. Действительно, переставляя слагаемые, видим, что достаточно проверить $i=1$. Поскольку в разложении $N_1 \cap \dots \cap N_m = 0$ ничего нельзя исключить, отображение $$ \phi:M \to \bigoplus_{i \geq 2} M/N_i $$ уже не вложение. Его ядро $\Ker\phi$ тогда вкладывается в $M/N_1$, в силу чего $\Ass(\Ker\phi) \subset \Ass(M/N_1) = \{\pp_1\}$, $\pp_1$ ассоциирован с $\Ker\phi$, а следовательно, и с $M \supset \Ker\phi$. \endproof Такого типа теоремы обобщают соответствующие утверждения про идеалы, которые в свою очередь происходят из теории чисел -- заменяя элементы кольца $a \in A$ на соответствующие идеалы $(a) \subset A$, люди пытались восстановить в произвольном кольце алгебраических чисел разложение на простые множители. Примарный идеал -- это обобщение идеала вида $(p^n) \subset \Z$, $p$ простое (термин происходит оттуда же -- по-английски примарный будет primary, а простой -- prime). Но со временем вся эта деятельность заглохла, и кажется, особо глубокого смысла в ней нет. Последнее, что хотелось бы сегодня рассказать про модули -- это про понятие {\em плоского модуля}. Пусть $M$ -- модуль над кольцом $A$, и пусть для простоты $A$ -- область целостности. Если $M$ локально тривиальный, то $\Ann(M)=0$, и $\Ass(M)$ состоит только из нулевого идеала $0 \subset A$. Однако же обратное, хотя и верно для $k[x]$ и других хороших колец, в общем случае ни в коем случае неверно -- есть огромный зазор между модулями $M$ с нулевым аннулятором (они называются {\em модули без кручения}) и локально-тривиальными модулями. Чтобы удобным образом охарактеризовать локально-тривиальные модули, применяют методы гомологической алгебры. Главное определение такое. \begin{opr} Модуль $M$ над кольцом $A$ называется {\em плоским}, если для любой точной последовательности $$ \begin{CD} N_1 @>>> N_2 @>>> N_3 \end{CD} $$ последовательность $$ \begin{CD} N_1 \otimes M @>>> N_2 \otimes M @>>> N_3 \otimes M \end{CD} $$ тоже точна. \end{opr} Напомним, что (Упражение 2.11) слова ``последовательность точна'' означают, что образ левого отображения равен ядру правого. Из того же упражнения следует, что для любой мультипликативной системы $S$, $A[S^{-1}]$ -- плоский $A$-модуль. Нетрудно также показать, что локально-тривиальный модуль тоже плоский. A priori непонятно, почему плоскость это разумное свойство, и какое отношение имеют точные последовательности к интересующим нас конкретным геометрическим вещам. Оказывается, однако, что свойства точности можно эффективно контролировать -- имеется мощный систематический формализм, который позволяет многие вещи поссчитать. В частности, довольно часто нетрудно доказать, что тот или иной модуль плоский. А с другой стороны, можно доказать, например, что любой конечно-порожденный плоский модуль локально тривиален. К сожалению, все эти утверждения несложные, но только после того, как построена некоторая отдельная наука. Мы это сделаем, но через некоторое время. Пока что, полезно запомнить определение плоскости, иметь в виду что это разумное понятие, а реально воспринимать ``плоскость'' конечно-порожденного модуля как другое название для локальной тривиальности. \medskip Поговорим теперь о разветвленных накрытиях. Напомним, что {\em развевленным накрытием} степени $n$ аффинной схемы $Y = \Spec A$ мы называли такую схему $X/Y$, $X = \Spec B$, что $B$ -- локально тривиальный $A$-модуль ранга $n$. Накрытие называлось {\em неразветвленным}, если $X \times_Y X$ разлагается в несвязное объединение $X \times_Y X = X \coprod X'$ диагонали и какой-то схемы $X'$. Неразвевленное накрытие называется {\em накрытием Галуа}, если $X \times_Y X$ разлагается и дальше, в объединение $n$ штук схем $X_i$, которые все изоморфны $X$. Напомним также, что мы, для простоты, работаем локально по $Y$, т.е. предполагаем, что $A$ -- локальное кольцо с максимальным идеалом $\m \subset A$ (и соответственно, $B=A^n$ как $A$-модуль). Сегодня мы выведем некоторый критерий неразветвленности (и способ измерять ветвление). Для этого удобно воспользоваться следующей линейной алгеброй. Пусть $M \cong A^n$ -- свободный модуль над кольцом $A$. Будем говорить, что билинейная форма $Q: M \otimes_A M \to A$ {\em невырождена}, если соответствующее отображение $M \to M^*$ обратимо (здесь $M^*$ -- двойственный модуль, т.е. множество всех $A$-линейных отображений $M \to A$; легко видеть, что это $A$-модуль, и раз $M \cong A^n$, то $M^*$ тоже свободный ранга $n$). Выбирая изоморфизм $M \cong A^n$, т.е. базис в $M$, формы $Q$ можно записать матрицей; тогда $\det Q \in A$ -- детерминант этой матрицы -- есть также детерминант отображения $M \to M^*$, а потому форма $Q$ невырождена тогда и только тогда, когда $\det Q$ обратим. Важно понимать, что $\det Q$ зависит от выбора базиса в $M$, так что он {\em не определен однозначно}. Однако переход к другому базису задается матрицей, детерминант которй обратим. Поэтому {\em идеал $(\det Q) \subset A$} уже определен однозначно (в инвариантных терминах, это есть образ канонического отображения $\det_A(M) \otimes \det_A(M) \to A$, полученного из отображения $\det(Q):\det_А(M) \to \det_A(M^*) = \det_A(M)^*$; $\det_AM$ значит старшую внешнюю степень свободного модуля $M$). Форма невырождена тогда и только тогда, когда $(\det Q) = A$. \begin{exc} Пусть $M$ -- свободный $A$-модуль, снабженный невырожденной билинейной формой $Q$, и пусть $\phi:M \to M_1$ -- сюръективный гомоморфизм на свободный $A$-модуль $M_1$. Тогда существует ортогональное разложение $M = \Ker\phi \oplus M'$ по отношению к $Q$, и $\phi$ отождествляет $M'$ и $M_1$. \end{exc} Рассмотрим теперь разветвленное накрытие $X = \Spec B \to Y = \Spec A$. По нашим предположениям, $B = A^n$ -- свободный $A$-модуль. На нем можно канонически ввести билинейную форму $Q$, положив $$ Q(b_1,b_2) = \tr(b_1b_2) $$ (здесь $b_1b_2$ -- вернее, умножение на него -- понимается как эндоморфизм свободного $A$-модуля $B$, а $\tr$ -- это его след). Эта форма очевидно обладает следующим дополнительным свойством: \begin{equation}\label{inv} Q(b_1b_2,b_3)=Q(b_1,b_2b_3). \end{equation} Детерминант этой формы $Q$ -- вернее, соответствующий идеал в $A$ -- называется {\em дискриминантом} накрытия $X/Y$ и обозначается $\disc(B/A) \subset A$. \begin{lemma} Накрытие $X/Y$ неразветвлено тогда и только тогда, когда форма $\tr(b_1b_2)$ невырождена, т.е. $\disc(B/A)=A$. \end{lemma} \proof{} Если следовая форма $B/A$ невырождена, то следовая форма $(B \otimes_A B)/B$ тоже невырождена (их детерминанты тождественно равны). Поэтому имеем ортогональное разложение $B \otimes_A B = B \oplus \Ker\phi$, где $\phi:B \otimes_A B \to B$ -- отображение умножения (геометрически, вложение диагонали). Из \eqref{inv} немедленно следует, что это разложение в сумму подалгебр, т.е. накрытие $X/Y$ неразветвлено. Пусть теперь накрытиес неразветвлено. Представим его как фактор накрытия Галуа $\wt{X} \to Y$ -- иными словами, выберем такое накрытие Галуа $\wt{X}/Y$, что $\wt{X} \times_Y X$ есть несвязное объединение $n$ копий $\wt{X}$ (почему это можно сделать, мы обсуждали в прошлый раз). Тогда дискриминант $X/Y$ тождественно такой же, как дискриминант $\wt{X} \times_Y X$ над $\wt{X}$, и он обратим, поскольку следовая форма $n$ копий $\wt{X}$ представляется, очевидно, единичной матрицей. \endproof Название ``дискриминант'' берется из частного случая $B=A[x]/(P(x))$, где $P(x)$ -- многочлен степени $n$ с обратимым старшим членом. Тогда у нас есть готовый базис $1,x,\dots,x^{n-1}$ в $B$, и $\disc B/A$ можно понимать как элемент кольца $A$; причем понятно, что он задается явной универсальной формулой от коэффициентов полинома $P(x)$. Нам эта формула не понадобится (если хотите, можете проверить что для квадратичного многочлена $x^2+px+q$ получается, с точностью до знака, $p^2-4q$). Заметим только, что если $P(x)$ разложен на линейные множители, $P(x) = (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$, то можно выписать дискриминант в другом естественном базисе и получить, что -- с точностью до обратимого элемента кольца $A$ -- имеем $$ \disc P(x) = \disc B/A = \prod_{i \neq j}(\alpha_i - \alpha_j). $$ Т.е. -- как и должно быть из геометрических соображений -- дискримимант равен нулю тогда и только тогда, когда у $P(x)$ есть кратные корни. Отметим также, что наличие кратных корней можно проверять по другому -- кратный корень $P(x)$ это общий корень $P(x)$ и производной $P'(x)$, поэтому можно взять результант $\Res(P(x),P'(x))$. Оказывается, что получится то же самое -- с точностью до знакае имеем $\disc P(x) = \Res(P(x),P'(x))$. Это можно доказывать либо честно, либо с помощью обманного трюка -- свести все к ситуации, когда $A$ поле, затем заменить его на такое расширение, что $P(x)$ разлагается на линейные множители, и сравнить формулы: для любых $f(x) = (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$, $g(x) = (x-\beta_1)\cdots(x-\beta_m)$ имеем $$ \Res(f(x),g(x)) = \prod_{i,j} (\alpha_i - \beta_j) = \pm\prod_i g(\alpha_i), $$ а потому $$ \Res(P(x),P'(x)) = \pm\prod_i P'(\alpha_i) = \pm\prod_i \prod_{j \neq i} (\alpha_i-\alpha_j) = \disc P(x). $$ Нам это все пока не понадобится. Отметим на будущее две вещи: (1) в науке про ветвление появляется производная $P'(x)$, как мы в дальнейшем увидим, появляется она по делу, и (2) если $A$ поле характеристики $0$, а $P(x)$ -- неприводимый многочлен (так что $B$ тоже поле), то производная $P'(x)$ имеет меньшую степень, чем $P(x)$, а потому $P(x)$ и $P'(x)$ должны быть взаимно просты. Поэтому автоматически $\Res(P(x),P'(x)) \neq 0$, и $B/A$ неразветвлено (в науке про поля традиционно говорят ``сепарабельно''). Но в характеристике $p$ этот трюк не проходит, в силу следующего восхитительного явления -- производная $P'(x)$ может быть тавтологически равна нулю! А именно, если $P(x) = x^p$ -- или, более общо, $P(x) = Q(x^p)$ для какого-то полинома $Q(x)$ -- то $P'(x)$ это полином, все коэффициенты которого делятся на $p$, а потому обращаются в ноль. \begin{exc} Пусть $k = (\Z/p\Z)(t)$ -- поле рациональных $(\Z/p\Z)$-значных функций от одной переменной, и пусть $k' = k[x]/(x^p-t)$ -- $p$-листное накрытие $k$. Докажите, что $k'$ поле, и вычислите $k' \otimes_k k'$ (в частности, выясните, сколько точек у $\Spec (k' \otimes_k k')$). Чему равна следовая форма $\tr(b_1b_2)$ на $k'/k$? \end{exc} Приведем теперь более геометрический пример ветвления. А именно, положим $A = k[t]$, причем будем считать, что $\cchar k$ не делит число $n$, и положим $B = A[x]/(x^n-t)$. Иными словами, мы добавили к $A$ корень $n$-й степени из $t$. \begin{exc} Докажите, что $\Spec B \otimes_A B$ это объединение $n$ прямых, каждая из которых изоморфна $\Spec B$. \end{exc} Таким образом, $B/A$ разветвлено, но тем не менее ведет себя в точности как накрытие Галуа -- $\Spec B \otimes_A B$ разлагается в объединение $n$ копий $\Spec B$! Только для накрытий Галуа объединение было несвязным, и $n$ копий $\Spec B$ были компонентами связности; а здесь они пересекаются, и это только неприводимые компоненты. Тем не менее, они все равно графики отображений $g_i:B \to B$. \begin{exc} В описываемом примере, проверьте, что отображения $g_i$ образуют группу $\Z/n\Z$, и что $B = A[\Z/n\Z]$ как $A$-модуль с действием $\Z/n\Z$. \end{exc} Мы видим, по крайней мере некоторые факты теории Галуа верны и для разветвленных накрытий. Оказывается, что (1) верно довольно много, и (2) рассмотренный пример в значительной степени общий -- например, если перейти к кольцу $k[[t]]$ формальных рядов от $t$ и наложить некоторые разумные условия на кольцо $B$, то оно {\em всегда} будет иметь вид $A[x]/(x^n-t)$. Но это мы обсудим в следующий раз. \end{document}