\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, осень 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{3}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 4.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Кольца дискретного нормирования. Дивизоры. Целые замыкания,
нормальные кольца. Лемма Хартогса. Нормализация и
ветвление. Накрытия Галуа колец дискретного нормирования, группы
разложения и инерции.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Кольца дискретного нормирования.}

В прошлый раз мы определили понятие {\em размерности} для аффинных
схем, а также ввели некоторые общие классы схем и колец:
неприводимые, приведенные и целые схемы, нетеровы кольца. Сегодня мы
начнем с того, что опишем один конкретных класс очень хороших колец
размерности 1.

\begin{opr}
{\em Нормированием} (дискретным) поля $K$ называется такое
сюръективное отображение $v:K^* \to \Z$, что $v(ab)=v(a)+v(b)$ и
$v(a+b) \geq \min(v(a),v(b))$.
\end{opr}

Если $v$ -- нормирование поля $K$, то подмножество $O_v \subset K$
таких элементов $a \in K$, что $v(a) \geq 0$, есть очевидным образом
подкольцо. Кольца, которые можно получить такой процедурой,
называются {\em кольцами дискретного нормирования}. Очевидно, что
кольцо дискретного нормирования $A$ это область целостности, а поле
$K$ -- это поле частных $\Frac(A)$ кольца $A$. Очевидно также, что
нормирование $v$ достаточно задавать на $A$ -- оно продолжится на
все $K$ по формуле $v(ab^{-1}) = v(a) - v(b)$. Но если начать с
любой области целостности $A$ и нормирования $v$, то ниоткуда не
следует, что {\em все} элементы $a \in K$ поля частных $K$, для
которых $v(a) \geq 0$, лежат в кольце $A \subset K$. Это -- сильное
дополнительное условие, которое и выделяет кольца дискретного
нормирования.

\begin{exc}
Пусть $A$ -- кольцо дискретного нормирования. Докажите, что
подмножество $\m$ элементов $a \in A$ с $v(a) \geq 1$ это идеал,
причем максимальный, а $A$ -- локальное кольцо (воспользуйтесь тем,
что кольцо $A$ с максимальным идеалом $\m$ локально тогда и только
тогда, когда любой $a \in A \setminus \m$ обратим).
\end{exc}

\begin{exc}
Докажите, что любой элемент $a \in A$ с $v(a)=1$ -- такой элемент
называется {\em униформизующим} -- порождает максимальный идеал $\m
\in A$.
\end{exc}

\begin{exc}
В кольце дискретного нормирования есть однозначное разложение на
простые множители (такое кольцо по невнятным историческим причинам
по-русски называется {\em факториальным}; по-английски оно
называется куда более внятным термином unique factorization domain
-- сокращенно UDF).
\end{exc}

\begin{prop}\label{dvr}
Следующие свойства целостного кольца $A$ эквивалентны:
\begin{enumerate}
\item $A$ -- кольцо дискретного нормирования,
\item $A$ -- локальное кольцо, любой идеал в $A$ главный, причем $A$
не поле,
\item $A$ -- нетерово локальное кольцо, не поле, а максимальный
идеал $\m \subset A$ -- главный.
\end{enumerate}
\end{prop}

\proof{} \thetag{i}$\Rightarrow$\thetag{ii} Пусть $I \subset A$ --
идеал, и пусть $n = \min\{ v(a)\mid a \in I\}$. Выберем $a \in I$,
для которого $v(a)=n$. Тогда для любого другого $b \in I$ имеем
$v(ba^{-1}) \geq 0$, а потому $ba^{-1} \in A$, т.е. $b \in
(a)$. Следовательно, $I = (a) \subset I$.

\thetag{ii}$\Rightarrow$\thetag{iii} очевидно.

Наконец, докажем \thetag{iii}$\Rightarrow$\thetag{i}. Пусть $\m =
(a)$ для какого-то $a$. Если $b \in \m^n$, но $b$ не лежит в
$\m^{n+1}$, то $b = a^nc$, причем $c$ не лежит в $\m$. Поскольку $A$
локально, $c$ обратим. Легко видеть теперь, что если положить
$v(v)=n$, то получится нормирование, которое задает
$A$. Единственная проблема это доказать, что такое $n$ существует
для любого $b \in A$ -- иными словами, что $\cap_{n \geq 1}\m^n =
0$. Действительно, пусть $b \in \cap_{n \geq 1}\m^n$. Тогда $ba^{-n}
\in K$ на самом деле лежит в $A$, и $(ba^{-n}) \subset A$ --
возрастающая цепочка идеалов. В силу нетеровости, для какого-то $n$
имеем $(ba^{-n}) = (ba^{-n-1})$, откуда $ba^{-n-1} = ba^{-n}c$, $c
\in A$. Тем самым или $c = a^{-1}$ -- что невозможно по определению
-- или $b=0$.
\endproof

\begin{rem}
Крулль, который ввел кольца нормирования, на самом деле дал более
общее определение -- подкольцо $A \subset K$ поля $K$ есть кольцо
нормирования если для любого $x \in K$ или $x$, или $x^{-1}$ (или
оба) лежат в $A$. Можно доказать, что в такой ситуации $A \subset K$
всегда выделяется некоторым нормированием $v$, но со значениями не
обязательно в $\Z$, а в какой-то линейно упорядоченной абелевой
группе (говорят {\em недискретным}). Существует вполне нетривиальная
теория общих колец нормирования и вполне нетривиальные примеры -- в
том числе такие кольца нормирования $A$, что максимальный идеал $\m
\subset A$ главный. Но поскольку в силу Предложения~\ref{dvr} недискретные
нормирования дают ненетеровы кольца, в алгебраической геометрии эта
теория не нужна.
\end{rem}

\begin{exc}
Максимальный идеал $\m \subset A$ кольца $A$ главный тогда и только
тогда, когда $\m/\m^2$ -- одномерное векторное пространство над
полем вычетов $k = A/\m$.
\end{exc}

\begin{exc}
Каждый конечно порожденный модуль $M$ над кольцом дискретного
нормирования $A$ есть сумма свободного модуля и модулей вида
$A/\m^n$, $n \geq 1$.
\end{exc}

Заметим, что на самом деле, на последнем шаге доказательства
Леммы~\ref{dvr} условие $\m=(a)$ не нужно -- максимальный идеал в
{\em любом} локальном нетеровом целом кольце удовлетворяет $\cap
\m^n=0$. Но мы докажем это позже, когда будем строить теорию
размерности. Заметим также, что в силу пункта \thetag{ii}
Леммы~\ref{dvr}, в кольце дискретного нормирования только два
простых идеала -- $\m$ и $0$. Поэтому оно одномерно. В частности,
условие \thetag{iii} той же Леммы можно переписать так: $\dim A =
\dim_k \m/\m^2$. Впоследствии мы увидим, что и в старших
размерностях это условие выделяет разумный класс локальных колец.

\subsection*{Дивизоры, нормальные кольца, лемма Хартогса.}

Геометрически, кольца размерности один соответствуют
подмногообразиям коразмерности $1$ -- если $\dim A_\pp = 1$, то есть
$\htt \pp = 1$, то геометрически, простой идеал $\pp \subset A$ есть
общая точка неприводимого подмногообразия коразмерности $1$ в
$X=\Spec A$. Такие подмногообразия называются {\em
дивизорами}. Кольца дискретного нормирования отвечают тем дивизорам,
которые можно задать одним уравнением (причем не только
теоретико-множественно, а без кратностей). Соответствующее
нормирование $v$ тогда сопоставляет функции $a \in A$ порядок ее
нуля в общей точке дивизора $Y \subset X = \Spec A$.

Любой ли дивизор на аффинной схеме $X$ можно, хотя бы локально,
задать одним уравнением? Если забыть про кратности, то да, и это
сразу следует из примарного разложения -- вот соответствующее
утверждение про локализации.

\begin{exc}
Пусть $A$ -- локальное целостное кольцо размерности $1$; тогда для
любого ненулевого $a \in A$, множество $\Ass(A/(a))$ состоит только
из максимального идеала кольца $A$.
\end{exc}

Но если требовать, чтобы $a \in A$ задавало {\em подсхему} $Y$,
т.е. чтобы $a$ имело в общей точке $Y$ ноль первого порядка, то
ответ да, если $X = \A^n$ -- аффинное пространство (мы это строго
докажем чуть позже), а в общем случае конечно же нет. Пример,
который полезно иметь в виду, такой: $A = k [t^2,t^3] \subset k[t]$
-- это подкольцо, порожденное $t^2$ и $t^3$. Тогда $(t^2,t^3)
\subset A$ -- максимальный идеал с полем вычетов $k$, но
$\dim_k\m/\m^2 = 2$ (и это обстоятельство сохраняется при переходе к
локализации $A_\m$). Легко видеть, что $A = k[x,y]/(x^2-y^3)$,
т.е. $X=\Spec A$ -- кривая на плоскости; и точка $0 \in X$
``особая'' для этой кривой (в смысле геометрической интуиции --
другого у нас пока нет).

Наоборот, пусть дана какая-то функция $f \in A$ на аффинной схеме $X
= \Spec A$. Геометрически очевидно, что если взять множество нулей
$f$, и разложить его на неприводимые компоненты, забыв про кратности
-- алгебраически, взять ассоциированные простые идеалы модуля
$A/(f)$ -- то по крайней мере для $X = \A^n$ все это компоненты
будут дивизорами. Как это строго доказать, и верно ли это для других
$X$? В общем случае ответ тоже нет.

Удивительным образом оказывается, однако, что есть чисто
алгебраический способ и охарактеризовать, и строить те кольца, где
ответ на оба вопроса положительный -- все дивизоры соответствуют
кольцам нормирования, т.е. локально задаются одним уравнением, и
наоборот, все компоненты множества нулей функции имеют коразмерность
один.

\begin{opr}
Элемент $x \in B$ алгебры $B$ над кольцом $A$ называется {\em целым}
над $A$, если порожденная им подалгебра $A\langle x \rangle \subset
B$ -- конечно порожденный $A$-модуль. Алгебра $B/A$ целая, если все
ее элементы целые.
\end{opr}

\begin{exc}
Элемент $x$ целый тогда и только тогда, когда $P(x)=0$ для какого-то
многочлена с коэффициентами из $A$ и старшим коэффициентом $1$.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $B$ -- алгебра над $A$; тогда все элементы $B$, целые над $A$,
образуют подалгебру.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $B$ цело над $A$, а $C$ цело над $B$; тогда $C$ цело над $A$.
\end{exc}

\begin{opr}
{\em Целым замыканием}, или {\em нормализацией}, кольца $A$ в кольце
$B \supset A$ называется подкольцо всех элементов $B$, целых над
$A$. Целостное кольцо называется {\em целозамкнутым в $B$}, если оно
равно своему целому замыканию, и просто {\em целозамкнутым}, или
{\em нормальным}, если оно целозамкнуто в своем поле частных.
\end{opr}

\begin{exc}
Пусть $B$ -- алгебра над $A$, а $S \subset A$ -- мультипликативная
система. Тогда если $B$ целая над $A$, то $B[S^{-1}]$ целая алгебра
над $A[S^{-1}$, а если $A' \subset B$ -- целое замыкание $A$ в $B$,
то $A'[S^{-1}]$ -- целое замыкание $A[S^{-1}]$ в $B[S^{-1}]$.
\end{exc}

\begin{exc}
Докажите, что факториальное кольцо целозамкнуто (рассмотрите
уравнение с единичным старшим коэффициентом для какого-то $x$, и
подсчитайте, сколько раз входит в разные члены уравнения каждый
простой сомножитель $x$).
\end{exc}

Главная теорема про связь целозамкнутости и дивизоров такая.

\begin{lemma}
Пусть $A$ -- нетерово целостное локальное кольцо с максимальным
идеалом $\m \subset A$, и пусть $A$ целозамкнуто. Тогда если
существует главный идеал $(a) \subset A$, который $\m$-примарен, то
$A$ -- кольцо дискретного нормирования.
\end{lemma}

\proof{} То, что $(a) \subset A$ $\m$-примарен значит, что $\m \in
\Ass(A/\m)$, т.е. что $\m = \Ann(b,A/(a))$ для какого-то $b \in
A$. Чтобы доказать, что $A$ -- кольцо дискретного нормирования, нам
надо найти унформизующую -- такой элемент $c \in \m$, который
порождает все $\m$. Мы утверждаем, что годится
$c=ab^{-1}$. Действительно, рассмотрим операцию {\em деления} на
$c$, т.е. отображение $c^{-1}:K \to K$, где $K$ -- поле частных
$A$. Тогда по определению $b$, для любого $f \in \m$ произведение
$bf$ делится на $a$, т.е. $c^{-1}$ переводит $\m \subset K$ внутрь
$A \subset K$. Тогда или $c^{-1}(\m) \subset \m$, или
$c^{-1}(\m)=A$. Но по условию кольцо $A$ нетерово, а потому $\m$ --
конечно порожденный $A$-модуль. Поэтому в первом случае, по теореме
Гамильтона-Кэли $c^{-1}$ удовлетворяет какому-то полиномиальному
уравению $P(c^{-1})=0$ с единичным старшим членом, а потому в силу
целозамкнутости $c^{-1} \in A$. Тогда $b = ac^{-1} \in (a)$, что
противоречит выбору $b$. Тем самым, имеем второй случай --
$c^{-1}(\m)$ должно быть все $A$. Поэтому $c \in \m$, ведь это тот
единственный элемент из $K$, который переходит в $1$; и любое $f \in
\m$ равно $f = c \cdot fc^{-1} \in (c)$.
\endproof

\begin{prop}
Пусть $A$ -- нетерова целозамкнутая область целостности. Тогда для
любого $a \in A$, любой простой делитель $\pp \subset A$ идеала
$(a)$ -- иными словами, любой $\pp \in \Ass(A/(a))$ -- имеет высоту
$1$, а локализация $A_\pp$ есть кольцо дискретного
нормирования. Кроме того,
\begin{equation}\label{ht.1}
A = \cap_{\htt\pp=1}A_\pp.
\end{equation}
\end{prop}

\proof{} Для любого простого делителя $\pp$ идеала $(a) \subset A$,
$A_\pp$ -- локальное кольцо, а $(a) \subset A_\pp$ --
$\pp$-примарный идеал. По Лемме, $A_\pp$ -- кольцо дискретного
нормирования (и в частности, имеет размерность $1$). Наконец, пусть
какое-то $a/b$ лежит в $A_\pp$ для всех простых $\pp \subset A$
высоты $1$. Тогда по доказанному, это значит что $a/b \in A_\pp$ для
всех простых делителей идеала $(b) \subset A$; более того, поскольку
все эти $A_\pp$ есть кольца нормирования, примарное разложение $(b)$
имеет вид
$$
(b) = \cap_i \pp_i^{n_i},
$$
все $\pp_i$ высоты $1$, и $a$ лежит во всех $\pp_i^{n_i}$. 
Следовательно, $a \in (b)$.
\endproof

Обратное утверждение тоже верно.

\begin{prop}
Пусть $A$ -- нетерово целостное кольцо, причем для любого простого
идеала $\pp \subset A$ высоты $1$ кольцо $A_\pp$ есть кольцо
дискретного нормирования, и выполнено \eqref{ht.1}. Тогда $A$
целозамкнуто.
\end{prop}

\proof{} Пусть $x \in K$ удовлетворяет уравнению $P(x)=0$ с
коэффициентами из $A \subset K$ старшим коэффициентом $1$. Надо
доказать, что $x \in A$. В силу \eqref{ht.1}, достаточно доказать,
что $x \in A_\pp$ для всех простых идеалов $\pp \subset A$ высоты
$1$. Но это следует из того, что кольцо нормирования факториально, а
следовательно, целозамкнуто.
\endproof

Условие ``все локальные кольца в коразмерности $1$ суть кольца
дискретного нормирования'' называют условием регулярности в
коразмерности $1$ (и иногда обозначают $R_1$); когда мы определим
регулярные, или же гладкие кольца, мы увидим, что это именно частный
случай размерности 1 общего явления. Геометрически смысл условия в
том, что все особые точки многообразия лежат в коразмерности $\geq
2$. Условие \eqref{ht.1} известно как ``условие Серра $S_2$'' (по
причинам, которые мы изучим в следующем семестре); его
геометрический смысл такой. Элементы поля частных $K$ можно понимать
как рациональные -- или же мероморфные -- функции на $X = \Spec
A$. Они определены в общей точке $X$, но продолжаются не всюду --
могут иметь полюса и т.д. Тогда если $x \in A_\pp$ для любого $\pp
\subset A$ высоты $1$, то соответствующая функция определена на
дополнении к подмножеству коразмерности $\geq 2$, и условие
\eqref{ht.1} гласит: функция, определенная на дополнении к
подмножеству коразмерности $\geq 2$, продолжается всюду. В
комплексном анализе, соответствующее утверждение -- в качестве $X$
берется шар в $\C^n$ -- известно как Лемма Хартогса. Алгебраическая
версия проще -- кольцо полиномов факториально, потому целозамкнуто,
и стало быть \eqref{ht.1} выполнено для $\A^n$. Но нетривиально, что
условие выполнено не только для $\A^n$, а и для большого количества
других мнoгообразий, порой весьма плохих.

Можно сформулировать следующий эмпирический принцип работы с
нормальными схемами (т.е. спектрами нормальных колец): если мы хотим
построить что-то на $X$ -- например, функцию -- то сначала надо
построить ее ``в коразмерности 1'', где это бывает просто, потому
что кольца дискретного нормирования очень хорошие, а потом она
продолжится всюду автоматически, по Лемме Хартогса. Процедура эта
похожа на жульничество -- вместо того, чтобы честно разбираться, что
происходит в каждой точке, мы ограничиваемся точками коразмерности
1. Удивительно, до чего это жульничество на практике оказывается
продуктивно.

\subsection*{Нормализация и ветвление.}

Подведем некоторый итог: на этой и на прошлой лекции мы, среди
прочего, выделили несколько классов аффинных схем, каждый лучше
предыдущего. Схема может быть приведенной; приведенная схема может
быть целой; целая схема может быть нормальной. Если дана какая-то
конкретная аффинная схема $X$, ее можно последовательно улучшать:
\begin{align*}
&\text{Схема } X \Rightarrow\\
&\text{Ее редукция } Y=X_{red} \Rightarrow\\
&\text{Неприводимые компоненты } Y_i \Rightarrow\\
&\text{Их нормализации } \wt{Y}_i
\end{align*}
(Когда говорят просто нормализация целой аффиной схемы $X = \Spec
A$, имеют в виду нормализацию в собственном поле частных -- переход
к целому замыканию $A$ в $\Frac(A)$). Как мы видели, разложение на
неприводимые компоненты хорошо работает только при условии
нетеровости, которое поэтому в алгебраической геометрии всегда
накладывают.

К сожалению, взятие целого замыкание может нетеровость разрушать.

С наивной точки зрения это очень странно -- было бы естественно
ожидать даже большего: что если кольцо $B$ целое над подкольцом $A
\subset B$, то $B$ конечно порождено кам $A$-модуль (поскольку
каждое подкольцо $A\langle x \rangle$, порожденное одним элементом,
по определению конечно порождено как $A$-модуль). Но это в общем
случае неверно. Контрпример построил Акидзуки в 30х годах, и это
по-видимому первый серъезный контрпример в коммутативной
алгебре. Затем, в 50х годах, Нагата построил пример нетерова кольца
с ненетеровых целым замыканием (такое кольцо должно иметь
размерность по крайней мере $3$).

К счастью, нормализация конечна по крайней мере для тех колец,
которые появляются в ``классической'' алгебраической геометрии --
для конечномерных алгебр над полем.

Прежде чем доказывать это, мы докажем другой результат, который,
наоборот, изучает нормализацию целозамкнутого кольца, но в
алгебраическом расширении его поля частных.

\begin{lemma}\label{norm}
Пусть $A \subset K$ -- нетерова целозамкнутая область целостности в
своем поле частных, и пусть $L \supset K$ -- сепарабельное
($=$неразветвленное) алгебраическое расширение поля $K$. Тогда целое
замыкание $B \subset L$ кольце $A$ в $L$ конечно как $A$-модуль.
\end{lemma}

\proof{} Можно считать -- заменив при необходимости $L$ на большее
поле -- что $L$ это расширение Галуа поля $K$ степени $n$ с группой
Галуа $G = \{g_i, 1 \leq i \leq n\}$. Группа $G$ очевидно переводит
целые элементы целые, т.е. сохраняет $B \subset L$. Поскольку $L$ --
алгебраическое расширение $K$, оно целое над $K$, и $B \otimes_A K =
L$. Стало быть, можно выбрать такой базис $y_i$, $1 \leq i \leq n$,
векторного пространства $L$ над $K$, что все $y_i$ на самом деле
лежат в $B \subset L$. Пусть теперь $z \in B$ -- любой
элемент. Запишем его как $z = \sum c_iy_i$, $c_i \in K$. Вообще
говоря, ниоткуда не следует, что все коэффициенты $c_i$ лежат в $A
\subset K$. Но мы знаем, что для любого $g_j \in G$, $g_j(z) = \sum
c_i g_j(y_i)$ лежит в $B \subset L$. При этом все $g_j(y_i)$ тоже
лежат в $B$. 

Умножая справа на матрицу главных миноров матрицы $g_j(y_i)$,
заключаем, что $C_i = c_iD \in B$, где $D = \det(g_j(y_i))$ --
детерминант матрицы $g_j(y_i)$. Этот детерминант, вообще говоря,
лежит в $B$, но его квадрат $d = D^2$ очевидно инвариантен
относительно группы $G$, а потому $d \in K \cap B = A$. 

Мы получили, что все произведения $c_id$ принадлежат подкольцу $A
\subset K$.  На самом деле, легко видеть что $d$ это дискриминант
расширения $L/K$, и в частности $d \neq 0$. Поэтому можно взять
$d^{-1}$, а $z$ лежит в $A$-подмодуле $M \subset L$, порожденном
$d^{-1}y_i$. Поскольку $z \in B$ было любое, мы видим что $B \subset
M$, и в силу нетеровости, конечно порождено.
\endproof

Чтобы вывести отсюда, что целое замыкание конечно-порожденной
алгебры $A$ над полем $k$ конечно порождено как $A$-модуль,
используют следующий общий факт.

\begin{prop}[Лемма Нетер о нормализации.]
Пусть $A$ -- алгебра над полем $k$, порожденная конечным набором 
элементов $x_1,\dots,x_n \in A$. Тогда существуют
такие алгебраически независимые элементы $y_1,\dots,y_m \in A$, что
$A$ целое над $k[y_1,\dots,y_m] \subset A$.
\end{prop}

Геометрический смысл этого утверждения очевиден -- любое
подмногообразие $X \subset \A^n$ можно так спроектировать на
гиперплоскость, что проекция будет конечна. Доказывается оно исходя
из этой геометрической интуиции -- берем достаточно общую линейную
проекцию (мы уже использовали аргумент такого типа при обсуждении
теоремы Безу). Для простоты, мы докажем это только для бесконечного
поля $k$ (на следующей лекции, при построении теории размерности, мы
приведем в частности более точное доказательство Леммы Нетер,
которое дает больше и работает всегда).

\proof{} Индукция по числу образующих $x_1,\dots,x_n \in A$ алгебры
$A$ над $k$. Если все образующие алгебраически независимы, теорема
верна тавтологически -- берем $y_i = x_i$. В противном случае, есть
какое-то алгебраическое соотношение $P(x_1,\dots,x_n)=0$ степени $d
\geq 1$. Пусть $P_d(x_1,\dots,x_n)$ -- член степени ровно $d$ в
полиноме $P$. Поскольку поле $k$ бесконечно, можно выбрать такие
$c_1,\dots,c_{n-1} \in k$, что $P_d(c_1,\dots,c_{n-1},1) \neq
0$. Тогда если взять $y_i = x_i - c_ix_n$, $1 \leq i \leq n-1$, то
\begin{align*}
P(x_1,\dots,x_n) &= P(x_1+c_1y_1,\dots,x_{n-1}+c_{n-1}y_{n-1},x_n)\\
&=P_d(c_1,\dots,c_{n-1},1)x_n^d + g_1x_n^{d-1} + \dots + g_{d-1},
\end{align*}
причем все $g_i$ лежат в $A_0=k\langle y_1,\dots,y_{n-1}\rangle
\subset A$. Поэтому $x_n$ целое над $A_0$. Тогда и все $x_i = y_i +
c_1x_n$ целые над $A_0$, т.е. достаточно доказать теорему для $A_0$,
у которого меньше образующих.
\endproof

\begin{corr}
Пусть $A$ -- конечно-порожденная алгебра над полем $k$
характеристики $0$. Тогда целое замыкание $A'$ алгебры $A$ в ее поле
частных конечно как $A$-модуль.
\end{corr}

\proof{} По Лемме Нетер, поле частных $K$ алгебры $A$ есть конечное
расширение поля вида $k(y_1,\dots,y_m)$, причем $A \subset K$ цело
над $k[y_1,\dots,y_m] \subset k(y_1,\dots,y_m)$. Поскольку $\cchar k
= 0$, это расширение сепарабельно. По Лемме~\ref{norm}, целое
замыкание $k[y_1,\dots,y_m]$ в $K$ конечно-порождено как
$k[y_1,\dots,y_m]$-модуль, следовательно нетерово. Осталось
заметить, что это целое замыкание содержит $A$ и совпадает с $A'$;
оно тем более нетерово как $A$-модуль, а потому конечно порождено.
\endproof

В положительной характеристике это тоже верно, но требует более
тонкого доказательства -- надо проанализировать и несепарабельные
расширения; мы этого не делаем из соображений экономии места.

В завершение сегодняшней лекции, применим технику нормализации,
чтобы изучить разветвленные расширения колец дискретного
нормирования. Пусть $A$ -- кольцо дискретного нормирования с полем
частных $K$, и пусть $L$ -- сепарабельное расширение поле $K$
степени $n$ (на геометрическом языке, неразветвленное накрытие
$\Spec K \subset \Spec A$). Тогда есть канонический способ
продолжить его до накрытия всего $\Spec A$ -- а именно, надо взять
нормализацию $B \subset L$ кольца $A$ в поле $L$.

\begin{exc}
Кольцо $B$ есть свободный $A$-модуль ранга $n$ (используйте
классификацию конечно-порожденных модулей над кольцом дискретного
нормирования).
\end{exc}

Таким образом, имеем каноническое -- и уже, вообще говоря,
разветвленное -- накрытие $Y = \Spec B \to X = \Spec A$. Чтобы его
изучить, обозначим через $\m \subset A$ максимальный идеал, и
рассмотрим кольцо $B_o = B/\m B$. Геометрически, $Y_o = \Spec B_o$
это слой отображения $Y \to X$ над замкнутой точкой $Y$. Схема
$Y_o$, вообще говоря, неприведенная (из-за ветвления). Ее редукция
$\overline{Y_o}$ -- конечное множество точек. Алгебраически, они
отвечают простым делителям $\m_i \subset B$ идеала $\m B \subset B$;
поскольку $B/\m_i$ -- конечное расширение поля $A/\m A$, оно само
должно быть полем, т.е. все $\m_i \subset B$ -- максимальные идеалы.

\begin{exc}
Для каждого $\m_i \subset B$ локализация $B_{\m_i}$ -- кольцо
дискретного нормирования.
\end{exc}

Чтобы описать ситуацию более явно, предположим теперь, что $L/K$ --
расширение Галуа с группой Галуа $G$. Тогда $G$ действует
транзитивно на множестве $\{\m_i\}$. Стабилизатор $G_0 \subset G$
какого-то из $\m_i$ называется {\em подгруппой разложения}. Далее,
$k_i=B/\m_i$ -- расширение Галуа поля $k=A/\m$ с какой-то группой
Галуа $G_0'$; поскольку $G_0$ действует на $k_i$, имеем отображение
$G_0 \to G_0'$, которое, как легко проверить, сюръективно. Его ядро
$I \subset G_0$ называется {\em подгруппой инерции} или {\em
подгруппой ветвления}. Оказывается, что верен следующий
замечательный и очень полезный в геометрии факт.

\begin{lemma}
Пусть $\cchar k = 0$. Тогда группа инерции $I$ -- циклическая группа
какого-то порядка $m$.
\end{lemma}

\proof{} По определению, группа $I$ действует на $B_i = B_{\m_i}$,
причем действие на факторе $k_i = B_i/\m_i$ тривиально. Поэтому $I$
действует на одномерном векторном пространстве $\m_i/\m_i^2$
$k_i$-линейными авторморфизмами. Получаем отображение $I \to
k_i^*$. Его образ -- это некоторая группа, состоящая из корней из
единицы, а следовательно, циклическая группа. Осталось доказать, что
это ображение инъективно. Действительно, пусть какое-то $g \in I$
переходит при этом отображении в $0$. Тогда если $a \in \m_i$ --
униформизующая, $g(a) = a \mod \m_i^2$. Обозначим через $n$
минимальное такое число, что $g(a) \neq a \mod \m_i^n$. Тогда $g$
действует на векторном пространстве 
$$
\bigoplus_{1 \leq j \leq n}\m_i^j/\m_i^{j+1}
$$
нетривиальной верхнетреугольной матрицей. Но он по определению
конечного порядка; а поскольку $\cchar k = 0$, нетривиальных
верхнетреугольных матриц конечного порядка не бывает.
\endproof

Если характеристика положительна, ситуация куда более сложная --
ядро отображения $I \to k^*$, называемое группой дикого ветвления,
совершенно не обязано быть тривиально. Верно, однако, что порядок
любой верхнетреугольной матрицы делится на $p = \cchar p$; поэтому
если известно, что степень расширения $n$ взаимно проста с $p$, то
дикого ветвления нет.

\begin{exc}[необязательное]
Пусть $v_i \in B_i$ -- нормирования, отвечающее $B_i$, и пусть $a
\in \m$ -- униформизующая. Число $v_i(a)$ называется {\em индексом
ветвления}. Докажите, что для расширения Галуа, индекс ветвления
равен порядку группы инерции. Как выразить через индекс ветвления
дискриминант $\disc(B_i/A)$?
\end{exc}

\end{document}