\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\qq}{\mathfrak q} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, осень 2005} \begin{document} \setcounter{section}{4} \stepcounter{section} \section*{Лекция 5.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Градуированные модули; ряд Пуанкаре, полином Гильберта. Фильтрации и лемма Артина-Риса. Теория размерности. Пополнения. Лемма Гензеля и структура разветвленных накрытий над полным кольцом дискретного нормирования. \end{minipage} \end{center} \subsection*{Градуированные модули; ряд Пуанкаре, полином Гильберта} Сегодня мы построим теорию размерности локальных колец (в частности, докажем, что круллевская размерность любого нетерова локального кольца конечна). Для этого нам понадобится некоторый способ измерять величину конечно-порожденного модуля над нетеровым локальным кольцом. Начнем со следующего. Говорят, что абелева группа $V$ {\em градуирована} каким-то множеством $I$, если задано разложение $$ V^\hdot = \bigoplus_{i \in I}V^i. $$ Элементы подруппы $V^i \subset V$ в такой ситуации называются {\em однородными степени $i$}. В наших сегодняшних рассуждениях, множество $I$ всегда будет множеством неотрицательных целых чисел. Пусть $A^\hdot$ -- градуированное кольцо: это значит, что $A^\hdot$ градуировано как аддитивная группа, причем $A^m \cdot A^n \subset A^{n+m}$. Предложим также, что $A^0$ нетерово, и что $A^\hdot$ порождено как $A^0$-алгебра какими-то $d$ элементами из $A^1 \subset A^\hdot$. По теореме Гильберта о базисе, все кольцо $A^\hdot$ тоже нетерово. \begin{exc} Более общо, докажите, что градуированное неотрицательными целыми числами кольцо $A^\hdot$ нетерово тогда и только тогда, когда $A^0$ нетерово, а $A^\hdot$ конечно порождено как $A^0$-алгебра. \end{exc} Пусть $M^\hdot$ -- некоторый градуированный модуль над $A^\hdot$ (т.е. $M$ градуировано как группа, и $M^l \cdot A^n \subset M^{l+n}$), и пусть $M^\hdot$ конечно порожден. Заметим, что, заменив каждую образующую $M^\hdot$ на все ее однородные компоненты, можно считать, что $M^\hdot$ порожден конечным числом {\em однородных} элементов. Наконец, предположим, что дана {\em аддитивная функция} $l$ на классе всех конечно порожденных $A^0$-модулей -- а именно, каждому такому модулю $M$ сопоставлено число $l(M)$, причем если $M' \subset M$, то $l(M) = l(M') + l(M/M')$. {\em Рядом Пуанкаре} модуля $M$ по отношению к функции $l$ называется выражение $$ P(M,t) = \sum_{n \geq 0}l(M^n)t^n. $$ \begin{lemma}\label{poi} Ряд Пуанкаре $P(M,t)$ равен $P(M,t)=p(M,t)/(1-t)^d$, где $d$ -- число образующих $A^0$-алгебры $A^\hdot$ (напомним, что по предположению $A^\hdot$ порождено однородными элементами степени $1$), а $p(M,t)$ -- какой-то многочлен. \end{lemma} \proof{} Индукция по $d$. Возьмем образующую $x \in A^1$, рассмотрим отображение $x:M^\hdot \to M^{\hdot+1}$, и обозначим через $N^\hdot$ и $K^\hdot$ его ядро и коядро. Тогда в силу аддитивности, для любого $p \geq 0$ имеем $$ l(M^{p+1})-l(M^p)=l(K^{p+1})-l(N^p), $$ откуда $(1-t)P(M,t)=P(K,t)+tP(N,t)$. Но и $K$, и $N$ есть на самом деле модули над алгеброй $A^\hdot/xA^\hdot$, которая порождена $d-1$ образующими. \endproof \begin{exc} Пусть $A^\hdot=k[x_1,\dots,x_d]$ -- алгебра полиномов, градуированная по степени полинома, а $l$ -- размерность над $A^0=k$. Чему равно $P(A,t)$? \end{exc} \begin{exc}\label{hilb} Пусть $P(t)=p(t)/(1-t)^d$, где $p(t)$ -- многочлен. Разложим $P(t)=\sum_np(n)t^n$. Докажите, что существует такой многочлен $\chi(t)$ степени не больше $d$, что $p(n)=\chi(n)$ при всех достаточно больших $n$. \end{exc} По Лемме~\ref{poi} ряд Пуанкаре $P(M,t)$ удовлетворяет условию этого Упражнения; поэтому по каждому конечно порожденному модулю $M$ можно построить канонический многочлен $\chi(M,n)$. Этот многочлен называется {\em полиномом Гильберта} модуля $M$. \subsection*{Стабильные фильтрации и Лемма Артина-Риса} На практике, нам будут нужны не градуированные, а фильтрованные модули. А именно, мы будет работать в следующей ситуации. Пусть $\aA \subset A$ -- идеал в кольце $A$, и пусть $M$ -- некоторый $A$-модуль. Тогда $\aA$-фильтрацией на $M$ мы будем называть такой набор подмодулей $M_n \subset M$, $M_{n+1} \subset M_n$, что $\aA M_n \subset M_{n+1}$. Будем говорить, что $\aA$-фильтрация $M_\idot \subset M$ {\em стабильная}, если для всех $n$ начиная с какого-то $n_0$ имеем $M_n = \aA^{n-n_0}M_{n_0}$. Тривиальный пример $\aA$-фильтрации -- это $M_n = \aA^n M$ (и эта фильтрация, очевидно, стабильна). \begin{exc} Докажите, что любые две стабильные $\aA$-фильтрации $M_\idot,M'_\idot \subset M$ соизмеримы с том смысле, что для какого-то $n_0$ имеем $M_n \subset M'_{n+n_0}$ и $M'_n \subset M'_{n+n_0}$ (указание: заметьте, что можно положить $M'_n = \aA^n M$). \end{exc} \noindent Главный факт про стабильные фильтрации такой. \begin{prop}[Лемма Артина-Риса] Пусть $A$ -- нетерово кольцо, $\aA \subset A$ -- идеал, а $M$ -- нетеров $A$-модуль, снабженный стабильной $\aA$-фильтрацией $M_\idot$. Тогда для любого подмодуля $N \subset M$ фильтрация $N_n = M_n \cap N$ -- стабильная $\aA$-фильтрация на $N$. \end{prop} \proof{} Это утверждение было независимо доказано Артином (E. Artin) и Рисом (D. Rees). Существуют разные способы излагать по сути одно и то же доказательство, из которых наиболее поучителен, пожалуй, вот какой. Рассмотрим градуированную алгебру $\wt{A}^\hdot = \bigoplus_n \aA^n$ (она называется иногда алгеброй Риса). Имеем $A^0=A$, и $A$-алгебра $\wt{A}^\hdot$ очевидно порождена компонентой $A^1 = \aA$ (причем, поскольку $A$ нетерово, достаточно взять конечное число образующих). Для любого $A$-модуля $M$, снабженного $\aA$-фильтрацией $M_\idot$, сумма $\wt{M}^\hdot = \bigoplus M_n$ есть градуированный $\wt{A}^\hdot$-модуль. \begin{exc} Пусть $A$-модуль $M$ нетеров. Тогда фильтрация $M_\idot$ стабильна тогда и только тогда, когда $\wt{A}^\hdot$-модуль $\wt{M}^\hdot$ конечно порожден. \end{exc} \noindent Теперь утверждение очевидно: $\wt{A}^\hdot$-модуль $\wt{N}^\hdot$, отвечающий фильтрации $N_n = M_n \cap N \subset N$, есть подмодуль нетерова $\wt{A}^\hdot$-модуля $\wt{M}^\hdot$. \endproof \begin{corr} Пусть $\m \subset A$ -- максимальный идеал локального нетерова кольца $A$. Тогда $\cap_n \m^n = 0$. \end{corr} \proof{} Обозначим $I = \cap_n \m^n$. Тогда в силу нетеровости $I$ конечно порожден, и по Лемме Артина-Риса, примененной к $I \subset A$, имеем $I = I \cap \m^n = \m^{n-n_0}(\m^{n_0} \cap I) = \m^{n-n_0}I$ для какого-то $n_0$, откуда $I = \m I$. Следовательно, по Лемме Накаямы $I=0$. \endproof \subsection*{Теория размерности} Будем теперь строить теорию размерности локальных колец. Прежде всего опишем некоторую аддитивную функцию на модулях. Это на самом деле часть совершенно общей теории, в которой даже комутативность кольца не важна. Итак, пусть дано (не обязательно коммутативное) кольцо $B$. Тогда левый $B$-модуль называется {\em неприводимым}, если у него нет нетривиальных собственных подмодулей. Говорят, что $B$-модуль $M$ имеет {\em конечную длину}, если существует такая убывающая фильтрация $M_n \subset M$, что $M_n/M_{n+1}$ -- неприводимый $B$-модуль (такая фильтрация называется {\em насыщенной}), и $M_n = 0$ при достаточно больших $n$. Очевидно, что если $M' \subset M$ -- подмодуль, причем и $M'$, и $M/M'$ имеют конечную длину, то $M$ тоже имеет конечную длину. \begin{opr} Пусть $M$ -- $B$-модуль конечной длины, Тогда {\em длиной} $l(M)$ называется минимальное возможное число ненулевых присоединенных градуированных факторов $M_n/M_{n+1}$ в насыщенной фильтрации $M_\idot \subset M$. \end{opr} \begin{lemma} В любой насыщенной фильтрации $M_\idot$ имеется ровно $l(M)$ штук нетривиальных присоединенных градуированных факторов $M_n/M_{n+1}$. \end{lemma} \proof{} Индукция по $l(M)$. Если $l(M)=1$, то $M$ неприводим, и утверждение следует из определения неприводимого модуля. Иначе, имеем неприводимый подмодуль $M' \subset M$ с $l(М/M')=l(M)-1$. Тогда все члены насыщенной фильтрации $M_n$ начиная с некоторого момента $k$ не содержат $M'$, а до этого момента -- содержат; и для всех $n \neq k$ присоединенные градуирoванные факторы фильтрации $M_n/(M_n \cap M')$ на $M/M'$ те же, что на $M$ -- а кроме того, $M'$ нетривиально отображается в $M_k/M_{k+1}$. Поэтому $M_k/M_{k+1}=M'$, $M_k/(M_k \cap M') = M_{k+1}/(M_{k+1} \cap M)$, и соответствующий просоединенный градуированный фактор в фильтрации на $M/M'$ равен нулю. \endproof \begin{exc} Докажите, что длина $l(M)$ -- аддитивная функция, т.е. что $l(M) = l(M') + l(M/M')$ для любого подмодуля $M' \subset M$. \end{exc} Пусть теперь $A$ -- нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом $\m \subset A$. Тогда ниоткуда не следует, и неверно, что любой конечно порожденный $A$-модуль имеет конечную длину. Верно, однако, следующее. \begin{exc} Докажите, что $A$-модуль $A/\m^n$ имеет конечную длину для любого $n$. Выведите отсюда, что любой конечно порожденный $A/\m^n$-модуль $M$ имеет конечную длину. \end{exc} \begin{rem} Если разобраться, то причина, по которой это упражнение работает, такая -- в кольце $A/\m^n$ верно условие обрыва {\em убывающих} цепочек идеалов: любая цепоча вложенных идеалов $\aA_0 \supset \aA_1 \supset \cdots$ стабилизируеся на конечном шаге. Такие кольца называются {\em артиновыми}. Про них можно доказать, что они автоматически нетеровы, и развить некоторую теорию -- в частности, доказать, что любой конечно-порожденный модуль над артиновым кольцом имеет конечную длину. Терминологию эту полезно знать, но сама теория не особенно интересная, и мы пропускаем ее для экономии места. \end{rem} Пусть теперь дан $\m$-примарный идеал $\qq \subset A$ и какой-то конечно порожденный $A$-модуль $M$. Пусть дана какая-то $\qq$-стабильная фильтрация $M_\idot \subset M$. \begin{lemma}\label{char.poly} Для любого $n$, $A$-модуль $M/M_n$ имеет конечную длину. Кроме того, существует такой полином $\chi(t)=\chi(M_\idot,t)$, называемый {\em характеристическим полиномом}, что $l(M/M_n)=\chi(n)$ при достаточно больших $n$, причем степень и старший член $\chi(n)$ не зависят от выбора стабильной $\qq$-фильтрации $M_\idot$. \end{lemma} \proof{} Для любого $n$ имеем $\qq^n M \subset M_n$, т.е. $\qq^n$ аннулирует $M/M_n$; поскольку $\qq$ $\m$-примарен, он содержит какую-то степень $\m^m$, а потому $\m^{nm}$ аннулирует $M/M_n$. Следовательно, этот модуль конечной длины. Далее, поскольку фильтрация стабильна, $\wt{M}^\hdot = \bigoplus_n M_n$ -- нетеров модуль над $\wt{A}^\hdot = \bigoplus_n \qq^n$. Алгебра $$ \wt{A}^\hdot/\qq\wt{A} = \bigoplus_n \qq^n/\qq^{n+1} $$ очевидно удовлетворяет условиям Леммы~\ref{poi}, а потому для градуриванного модуля $\wt{M}^\hdot/\qq\wt{M}^\hdot$ существует полином Гильберта $\chi'(M,t)$ (по отношению к аддитивной функции длины). Поскольку $l(M/M_n) = \sum_{0 \leq j < n} l(M_j/M_{j+1})$, функция $\chi(n) = \chi'(n-1) + \chi'(n-2) + \dots + \chi'(0)$ -- тоже полином от $n$ (степени на единицу большей, чем степень $\chi'$). Наконец, чтобы проверить, что степень и старший член не зависят от выбора фильтрации, достаточно воспользоваться тем, что любые две стабильные фильтрации соизмеримы. \endproof На самом деле, верно и большее. \begin{exc} Пусть $\qq \subset A$ -- $\m$-примарный идеал. Воспользовавшись тем, что $\m^n \subset \qq \subset \m$ для какого-то $n$, докажите, что для любого нетерова модуля $M$ имеем $\deg \chi(M_\idot) = \deg \chi(M'_\idot)$, где $M_n=\m^nM$ и $M'_n=\qq^nM$. \end{exc} \begin{opr} Через $d(M)$ мы будем обозначать степень характеристического полинома $\chi(M,\m)$ модуля $M$ минус $1$. Через $\delta(A)$ мы будем обозначать минимальное количество эелементов $a_1,\dots,a_{\delta(A)} \in \m$, которые порождают $\m$-примарный идеал $\qq \subset A$, или $0$, если $0 \subset A$ уже $\m$-примарен. \end{opr} \begin{exc} Выведите из Леммы~\ref{poi} и Упражнения~\ref{hilb}, что $\delta(A) \geq d(A)$. \end{exc} Напомним, что через $\dim A$ обозначается круллевская размерность кольца $A$. Дальнейший наш план -- доказать, что $d(A) \geq \dim A \geq \delta(A)$, откуда следует, что $\dim A$ конечно (и что $\dim A = d(A) = \delta(A)$). Это делается в три шага; первый шаг такой. \begin{lemma} Пусть $x \in A$ -- не делитель нуля для модуля $M$ (т.е. $xm \neq 0$ для любого $m \in M$. Тогда $d(M/xM) \leq d(M)-1$. \end{lemma} \proof{} Обозначим через $N = xM \subset M$ образ умножения на $x$. Пскольку $x$ -- не делитель нуля, $N$ изоморфно $M$ как абстрактный модуль, и утверждение почти очевидно: для любого $n$ мы имеем точную последовательность $$ \begin{CD} 0 @>>> N/N_n @>>> M/M_n @>>> K/K_n @>>> 0, \end{CD} $$ где $K = M/xM$, $M_n=\m^nM$, $K_n=\m^nK$ и $N_n = \m^nM \cap N$, а потому $\chi(K_\idot,n)=\chi(M_\idot,n)-\chi(N_\idot,n)$, и, раз по Лемме~\ref{char.poly} степени и старшие члены $\chi(M_\idot)$ и $\chi(N_\idot)$ равны, степень $\chi(K_\idot)$ должна быть строго меньше. Единственное, что надо отметить -- это почему фильтрация $N_\idot$ стабильная. Это следует из Леммы Артина-Риса. \endproof \begin{lemma} Имеем $d(A) \geq \dim A$. \end{lemma} \proof{} Индукция по $d(A)$ (про которое мы уже знаем, что оно конечно). Если $d(A) = 0$, то длина $A/\m^nA$ постоянна начиная с некоторого $n$, а потому $\m^n=0$, все элементы $\m$ нильпотентны, $\m$ лежит в нильрадикале $A$, и следовательно, никаких других простых идеалов в $A$ нет, т.е. $\dim A = 0$. Пусть теперь $\pp_0 \subset \pp_1 \subset \cdots \subset \pp_d$ -- цепочка вложенных попарно различных простых идеалов. Положим $A' = A/\pp_0$. Тогда поскольку $\pp_0 \subset \m$, $\m A'$ есть максимальный идеал $A'$, т.е. $A'/\m^n$ всегда есть фактор $A/\m^n$, и $d(A') \leq d(A)$. С другой стороны, $A'$ есть область целостности. Возьмем любое $x \in \pp_1$; тогда по доказанному $d(A'/(x))=d(A')-1$. По индукции, $d \leq \dim (A'/(x)) + 2 \leq d(A') + 1$; поскольку цепочка идеалов была произвольная, $\dim A \leq d(A)$. \endproof \begin{lemma} Имеем $\dim A \geq \delta(A)$. \end{lemma} \proof{} Пусть $\dim A = d$; надо построить такие $a_1,\dots,a_d \subset A$, что идеал $$ (a_1,\dots,a_d) \subset A $$ $\m$-примарен. Построим сначала такие $a_1,\dots,a_d \subset A$, что любой простой идеал $\pp \subset A$, содержащий $a_1,\dots,a_i$, имеет высоту не меньше $i$. Будем делать это по индукции. Пусть $a_1,\dots,a_{i-1}$ уже построены (или, если $i=0$, ничего не построено). Рассмотрим все минимальные простые идеалы $\pp_i$, которые ассоциированы с $(a_1,\dots,a_{i-1})$ и имеют высоту ровно $i-1$ (если таких нет, тем лучше). Тогда поскольку высота $\m$ равна $d$, то $\m$ не равен ни одному из $\pp_i$. \begin{exc} Докажите, что если идеал $\aA \subset A$ содержится в конечном объединении $\cup_{1 \leq i \leq n} \pp_i$ простых идеалов $\pp_i \subset A$, то $\aA \subset \pp_i$ для какого-то $i$. Указание: по индукции, выберите сначала для любого $i$ такое $x_i \in \aA$, что $x_i \not\in \pp_j$ для $j \neq i$, а потом рассмотрите $$ y = \sum_i x_1 \dots x_{i-1}x_{i+1} \dots x_n. $$ \end{exc} Поскольку ассоциированных простых идеалов в силу нетеровости конечное число, заключаем, что можно выбрать такое $a_i \in \m$, что $a_i$ не лежит ни в одном из $\pp_i$. Тогда утверждается, что последовательность $a_1,\dots,a_i$ годится. Действительно, пусть $\qq \subset A$ -- какой-то простой идеал, содержащий $a_1,\dots,a_i$; тогда он содержит минимальный простой идеал $\pp$, ассоциированный с $(a_1,\dots,a_{i-1})$, и либо $\htt\pp=i-1$ -- но тогда по построению $a_i \not\in\pp$, а потому $\qq \neq \pp$ и $\htt\qq \geq \htt\pp+1 = i$ -- либо $\htt\pp \geq i$, и тогда тем более $\htt\qq \geq i$. Итак, имеем такую последовательность $a_1,\dots,a_d$, что любой простой идеал, содержащий $a_1,\dots,a_i$, имеет высоту не меньше $i$. В частности, любой простой идеал $\pp \subset A$, содержащий $(a_1,\dots,a_d)$, имеет высоту $\geq d$. Но поскольку $\m \subset A$ -- максимальный, а кольцо локально, то $\pp \subset \m$, а раз $\htt\pp \geq d = \htt\m$, то $\pp = \m$. Поэтому, как и требовалось, $(a_1,\dots,a_d)$ -- $\m$-примарный идеал. \endproof Итак, мы доказали, что для любого локального кольца $A$ имеем $d(A)=\delta(A)=\dim A$, и в частности, $\dim A$ конечна (теорема о размерности). \subsection*{Пополнение} Надо сказать, что изначально теорема о размерности была доказана Круллем без применения градуированных модулей, полиномов Гильберта и Леммы Артина-Риса. А Лемму Артина-Риса придумали для другого применения, которое мы сейчас и опишем. Пусть дано кольцо $A$, идеал $\aA \subset A$ и $A$-модуль $M$. Изучая модуль с точки зрения размерности, мы рассматривали систему фактормодулей $M/\aA^n M$, $n \geq 1$. Оказывается, что эти фактормодули полезно рассматривать и для многих других применений, и удобно объединить всю систему в один объект. \begin{opr} {\em Пополнением} $\wh{M}$ модуля $M$ по $\aA$-адической топологии называется проективный предел $$ \lim_{\gets} M/\aA^n M $$ -- иными словами, множество таких последовательностей $\{m_n\}$, $m_n \in M/\aA^n M$, что $m_{n+1} = m_n \mod \aA^n M$. \end{opr} Пополнение самого кольца обозначается $\wh{A}$ (предполагается, что из контекста ясно, какой именно берется идеал $\aA$). Это очевидно тоже кольцо; $\wh{M}$, очевидно, модуль над кольцом $\wh{A}$. Заметим сразу, что в определении пополнения необязательно брать именно фильтрацию $\aA^n M \subset M$. \begin{lemma} Пусть даны две убывающие фильтрации $M_n,M'_n \subset M$ на абелевой группе $M$, и пусть $M_n \subset M_n'$, так что имеем естественные отображения $M/M_n \to M/M'_n$. Пусть, кроме того, фильтрации соизмеримы. Тогда естественное отображение $$ \phi:\lim_{\gets} M/M_n \to \lim_{\gets} M/M'_n $$ -- изоморфизм. \end{lemma} \proof{} Поскольку фильтрации соизмеримы, мы можем зафиксировать такое $n_0$, что $M'_{n+n_0} \subset M_n$. Тогда легко видеть, что обратное отображение $\phi^{-1}$ должно переводить последовательность $\{m'_n\}$ в последовательность $\{m_n\}$, заданную формулой $m_n = m'_{n+n_0} \mod M_n$. \endproof Тем самым, пополнение зависит не от конкретной фильтации, а от класса соизмеримых фильтраций. Такой класс фильтраций задает на $M$ топологию, причем {\em линейную} -- у $0 \in M$ есть базис окрестностей, состоящий из абелевых подгрупп. Это объясняет, почему используется термин ``пополнение''. В частности, если кольцо $A$ нетерово, а $M$ -- нетеров $A$-модуль, у нас есть выделенный класс фильтраций на $M$ -- стабильные $\aA$-фильтрации. Соответствующая топология называется {\em $\aA$-адической}. Но на практике, у нас и так слишком много нестандартных топологий на разных объектах, поэтому проще все-таки думать про класс соизмеримых фильтраций (тем более, что естественным образом появляется именно он). \begin{exc} Пусть кольцо $A$ нетерово; докажите, что его пополнение $\wh{A}$ относительно любого идеала $\wh{a}$ тоже нетерово. Указание: докажите сначала, что кольцо формальных рядов над нетеровым кольцом нетерово. \end{exc} Вот главный технический факт про пополнения. \begin{lemma} Пусть дана короткая точная последовательность $$ \begin{CD} 0 @>>> M' @>>> M @>>> M'' @>>> 0 \end{CD} $$ нетеровых модулей над нетеровым кольцом $A$. Тогда последовательность их пополнений по $\aA$-адической топологии $$ \begin{CD} 0 @>>> \wh{M}' @>>> \wh{M} @>>> \wh{M}'' @>>> 0 \end{CD} $$ точна для любого идеала $\aA \subset A$. \end{lemma} \proof{} По Лемме Артина-Риса, можно выбрать такие стабильные $\aA$-фильтрации на всех трех модулях, что для любого $n$ последовательность $$ \begin{CD} 0 @>>> M'/M'_n @>>> M/M_n @>>> M''/M_n'' @>>> 0 \end{CD} $$ точна. Поэтому достаточно следующего: \begin{exc} Докажите, что что обратный предел точных последовательностей абелевых групп по системе сюръективных отображений точен. \end{exc} \begin{rem} Предположение сюръективности здесь можно ослабить, но нельзя отбросить совсем: в общей случае, обратный предел системы точных последовательностей точен лишь слева. Мы все это систематически изучим в следующем семестре. \end{rem} Геометрическая причина, по которой приходится использовать пополнения, в следующем. Поскольку топология Зарисского слишком слабая, мы не можем, как много раз уже отмечали, работать ``в маленькой окрестности точки''. Один из способов бороться с этим -- это работать ``в еще меньшей окрестности'', а именно, инфинитеземально: чтобы получать информацию о функциях, мы разлагаем их в ряд Тэйлора и последовательно изучаем коэффициенты ряда. При этом никаких разумных условий сходимости на ряды мы наложить не можем, и приходится использовать формальные ряды. Но то, что функции у нас алгебраические, отчасти и облегчает жизнь. Например, верно следующее. \begin{lemma} Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо с максимальным идеалом $\m$. Тогда его $\m$-адическое пополнение $\wh{A}$ тоже локально, с максимальным идеалом $\wh{\m}=\m\wh{A}$, поля вычетов $A/\m$ и $\wh{A}/\wh{\m}$ изомофрны, а естественное отображение $A \to \wh{A}$ инъективно. \end{lemma} \proof{} Элементы пополнения $\wh{A}$ можно записывать как формальные ряды $a_0 + a_1 + \dots$, где $a_i \in \m^i \subset A$. Если такой ряд не лежит в $\m\wh{A}$, то $a_0$ не лежит в $\m$, а потому обратимо. Домножая на обратный приводим ряд к виду $1 + a_1' + \dots$, а такой ряд, очевидно, обратим в кольце формальных рядов. Поэтому $\wh{A}$ локально с идеалом $\wh{\m}=\m\wh{A}$. То, что поля вычетов одинаковые, очевидно. Наконец, то, что отображение $A \to \wh{A}$ инъективно, равносильно тому, что $\cap \m^n = 0$, что, как мы знаем, верно для нетерова локального кольца. \endproof Заметим, что для $C^\infty$-функций в анализе последнее утверждение совершенно неверно: есть много гладких функций, у которых все коэффициенты ряда Тэйлора в выбранной точке равны нулю. Но все такие функции неалгебраические. Плата за использование пополнения это то, что оно {\em очень большое} -- например, даже если $A$ конечно-порожденная алгебра над полем $k$, в частности, счетномерна, пополнение $\wh{A}$ имеет размерность континуум. Но зато, с пополнением можно работать по индукции, шаг за шагов поднимаясь по последовательным факторам $A/\m^nA$. Чтобы проиллюстрировать полезность пополнения и способ работы с ним, докажем следующее частно применяемое утверждение. \begin{lemma}[Лемма Гензеля] Пусть $A$ -- полное локальное кольцо с максимальным идеалом $\m \subset A$ (т.е. $A = \wh{A}$) и полем вычетов $k = A/\m$, и пусть дан полином $P(x) \in A[x]$ над $A$ со старшим коэффициентом $1$. Пусть его редукция $\overline{P}(x) \in k[x]$ по модулю $\m$ разлагается в произведение $\overline{P}(x)= а\overline{P}_1(x) \overline{P}_2(x)$ двух взаимно простых полиномов. Тогда существуют такие полиномы $P_1(x),P_2(x) \in A[x]$, что $P_i(x) = \overline{P}_i(x) \mod \m$. \end{lemma} \proof{} По индукции. Пусть уже построены $P_i(x) \in A/\m^l[x]$, $i=1,2$ для какого-то $l \geq 1$. Продолжим их как угодно до полиномов $P'_i(x) \in A/\m^{l+1}[x]$ и обозначим $$ P'(x) = P'_1(x)P'_2(x). $$ По предположению индукции, все коэффициенты $P'(x)$ лежат в $\m^l/\m^{l+1}$. Поскольку $\overline{P}_1(x)$ и $\overline{P}_2(x)$ взаимно просты, существуют такие $q_1(x),q_2(x) \in k[x]$, что $q_2(x)\overline{P}_1(x) + q_1(x)\overline{P}_2(x) = 1$. Тогда, заменяя $P'_i(x)$ на $P'_i(x)-P'(x)q_i(x)$, добиваемся того, что $P'(x)=0$. \endproof Гензель, который ввел пополнения (в алгебраической теории чисел), как раз имел в виду эту Лемму, а особенно ее следствие, которое мы докажем только в геометрической ситуации. \begin{lemma} Пусть $A$ -- кольцо дискретного нормирования с максимальным идеалом $\m \subset A$. Предположим, что поле вычетов $A/\m$ -- алгебраически замкнутое поле характеристики $0$. Пусть $B$ -- нормализация $A$ в каком-то расширении Галуа $L$ поля частных $K=\Frac(A)$ с группой Галуа $G$, и пусть $\wh{B}$ -- пополнение $B$ относительно идеала $\m B$. Тогда имеется разложение $$ \Spec \wh{B} = \coprod_i \Spec \wh{B}_i, $$ где все $\wh{B}_i$ -- полные кольца дискретного нормирования, переставляемые группой $G$. Более того, стабилизатор любого из $B_i$ -- группа инерции $I \cong \Z/m\Z \subset G$, и $\wh{B}_i=\wh{A}[x]/(x^m-a)$, где $a \in \m$ -- униформизующая, а $\wh{A}$ -- пополнение кольца $A$. \end{lemma} Таким образом, если есть разветвленное накрытие конечно-порожденной алгебры над конечным полем, то, переходя к нормализации, ограничиваясь точками коразмерности $1$, и беря пополнение, мы получаем полное описание ветвления: все распадается в несвязное объединение эталонных циклических разветвленных накрытий $A[x]/(x^m-a)$. \proof{} По индукции, достаточно рассмотреь случай $B = A[x]/P(x)$, где $P(x)$ -- какой-то полином. Как мы уже доказали на прошлой лекции, редукция слоя $\Spec B$ над замкнутой точкой $o = \Spec k \in \Spec A$ -- это накрытие Галуа с группой Галуа $G/I$. Поскольку $k$ алгебраически замкнуто, это накрытие есть несвязное объединение копий поля $k$, т.е. полином $P(x)$ разлагается по модулю $\m$ на взаимно-простые линейные множители. По Лемме Гензеля (и индукции по числу множителей), это разложение поднимается в пополнение $\wh{B}$ и задает разложение в сумму $\wh{B}_i$. Все $\wh{B}_i$, очевидно, полные кольца дискретного нормирования. Наконец, возьмем какую-нибудь униформизующую $b \in \wh{B}_i$. Тогда $b^m$ инвариантно относительно группы инерции $I$, а потому $b^m \in \m \subset \wh{A}$. Легко видеть, что это униформизующая: поскольку $\wh{B}_i$ -- свободный $\wh{A}$-модуль ранга $m$, фактор $B/b^mB$ должен иметь длину, равную $m$ на длину $\wh{A}/b^m\wh{A}$, а следовательно, $\wh{A}/b^m\wh{A}$ это модуль длины $1$. Поэтому $a^{-1}b^m$ задается формальным рядом с ненулевым старшим членом, а из такого ряда очевидной индукцией можно извлечь корень степени $m$. \endproof \end{document}