\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, осень 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{6}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 7.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Пучки и операции с ними. Этальное пространство пучка;
ассоциированный пучок. Определение схемы.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Пучки на топологических пространствах}

Последние 6 лекций мы изучали исключительно аффинные схемы, т.е., в
сущности, не алгебраическую геометрию, а коммутативную
алгебру. Сегодня мы начнем склеивать из аффинных кусков
произвольные, не обязательно аффинные схемы (и сможем в дальнейшем
заняться собственно алгебраической геометрией). Для этого
используется техника так называемых {\em пучков}.

Пусть дано топологическое пространство $X$.

\begin{opr}
{\em Предпучком (множеств)} $\F$ на $X$ называется набор следующих
данных:
\begin{enumerate}
\item множество $\F(U)$ для любого открытого подмножества $U \subset
X$, называемое {\em множеством сечений} $\F$ на $U$,
\item отображение $\F(U_1) \to \F(U_2)$ для любой пары вложенных
открытых множеств $U_2 \subset U_1 \subset X$, называемое {\em
отображением ограничения}.
\end{enumerate}
Эти данные должны удовлетворять следующему условию: если даны три
вложенных открытых множества $U_1 \subset U_2 \subset U_3 \subset
X$, то композиция отображений ограничения $\F(U_3) \to \F(U_2) \to
\F(U_1)$ равна отображению ограничения $\F(U_3) \to \F(U_1)$. Если
на всех $\F(U)$ задана дополнительная алгебраическая структура --
группы, кольца и т.д. -- причем отображения ограничения уважают эту
структуру, то $\F$ называется {\em пучком групп, колец и т.д.}
\end{opr}

История этого определения такая. В анализе рассмативают разные
классы функций на многообразиях -- $C^\infty$, $C^k$ для какого-то
$k$, непрерывные и т.д. Часто надо рассматривать функции,
определенные только локально -- на каком-то открытом
подмножестве. Все они естественным образом объединяются в
предпучок. По мере развития анализа, появилась необходимость
рассматривать объекты вроде дельта-функции, и других обобщенных
функций, которые собственно функциями уже ни в каком смысле не
являются. Однако очень важно то, что с ними по прежнему можно
работать локально. В некоторый момент Ж. Лере -- по легенде, сидя в
немецком концлагере -- осознал, что можно и нужно полностью отделить
локальность от понятия функции: рассматривать объекты, с которыми
можно работать локально, но которые даже не притворяются
функциями. Чтобы аксиоматизировать ситуацию, он ввел понятие
предпучка -- а кроме того, обнаружил, что более правильное понятие
это понятие пучка.

\begin{opr}
Предпучок $\F$ на топологическом пространстве $X$ называется {\em
пучком}, если выполнены следующие две аксиомы:
\begin{enumerate}
\item для любого открытого покрытия $U_\alpha$ открытого
подмножества $U \subset X$, любые сечения $f,f' \in \F(U)$, которые
равны после ограничения на все $U_\alpha$, равны и как элементы
$\F(U)$,
\item пусть дано открытое покрытие $U_\alpha$ открытого подмножества
$U \subset X$, и по элементу $f_\alpha \in \F(U_\alpha)$, и пусть
для любых $\alpha, \beta$, элемент $f_\alpha$ равен $f_\beta$ после
ограничения на $U_\alpha \cap U_\beta$. Тогда существует --
единственный в силу \thetag{i} -- элемент $f \in \F(U)$, который для
любого $\alpha$ дает $f_\alpha$ в ограничении на $U_\alpha$.
\end{enumerate}
Предпучок, который удовлетворяет только \thetag{i}, называется {\em
отделимым предпучком}.
\end{opr}

Если $\F$ - предпучок абелевых групп, то обе эти аксиомы можно
компактно переформулировать на языке точных последовательностей. А
именно, пусть дано открытое покрытие $U_\alpha$ открытого
подмножества $U \subset X$. Тогда можно рассмотреть
последовательность
\begin{equation}\label{exx}
\begin{CD}
0 @>>> \F(U) @>>> \bigoplus_\alpha \F(U_\alpha) @>>>
\bigoplus_{\alpha,\beta} \F(U_\alpha \cap U_\beta)
\end{CD}
\end{equation}
абелевых групп, где отображение справа составлено из {\em разностей}
двух отображений ограничения $\F(U_\alpha) \to \F(U_\alpha \cap
U_\beta)$, $\F(U_\beta) \to \F(U_\alpha \cap U_\beta)$. В силу
определения предпучка, композиция любых двух отображений в
\eqref{exx} равна $0$; и легко видеть, что аксиома пучка \thetag{i}
эквивалентна тому, что \eqref{exx} точна слева, а \thetag{ii} --
тому, что \eqref{exx} точна в среднем члене. Для пучков множеств
тоже можно привести подобную переформулировку, используя некоторую
неаддитивную версию понятия точной слева последовательности
(т.н. ``диаграмму уравнителя''), но нам это не понадобится.

Очевидно, что непрерывные отображения из открытых подмножеств $X$ в
какое-то топологическое пространство $Y$ образуют пучок; в
частности, непрерывные $\R$-значные функции на $X$ образуют пучок
колец, и т.д. Нетрудно проверить также и следующее важное обобщение
этого факта.

\begin{exc}
Пусть дано непрерывное отображение $f:Y \to X$. Тогда сопоставляя
каждому $U \subset X$ множество непрерывных сечений $U \to Y$
отображения $f:f^{-1}(U) \to U$, получаем предпучок множеств на
$X$. Докажите, что это пучок (он называется {\em пучком сечений}
отображения $f$).
\end{exc}

Психологически, с пучками сечений работать проще -- вместо большого
количества разных множеств и отображений, надо держать в памяти одно
топологическое пространство $Y$ и одно отображение $f$. Поэтому с
технической точки зрения, очень важно, что, как выясняется, любой
пучок можно представить как пучок сечений. При этом, если наложить
на $f$ некоторое условия, такое представление будет каноническим и
единственным.

\begin{opr}
Непрерывное отображение $f:Y \to X$ называется {\em этальным}, если
у любой точки $y \in Y$ есть такая окрестность $U \subset Y$, что
$f(U)$ открыто, а $f:U \to f(U)$ -- гомеоморфизм.
\end{opr}

\begin{prop}\label{et}
Пусть $\F$ -- пучок множеств на топологическом пространстве
$X$. Тогда существует такое топологическое пространство $\Et(\F)$ с
этальным морфизмом $p:\Et(\F) \to X$, что $\F$ изоморфен пучку
сечений отображения $p$. Более того, такая пара $\langle
\Et(\F),p\rangle$ единственна с точностью до канонического
изоморфизма.
\end{prop}

\proof{} Рассмотрим несвязное объединение
$$
\wt{X} = \coprod_{U \subset X} U \times \F(U)
$$
по всем открытым подмножествам $U \subset X$ (здесь $\F(U)$
рассматривается с дискретной топологией, т.е. по сути, мы берем
несвязное объединение всех $U$, причем каждое берется столько раз,
сколько элементов в $\F(U)$). Имеем очевидное непрерывное этальное
отображение $\wt{p}:\wt{X} \to X$, $\wt{p}(u \times f)=u$. Определим
отношение эквивалентности на $\wt{X}$ следующим образом:
\begin{itemize}
\item $u \times f \sim u' \times f'$, $u \in U$, $u' \in U'$, если
$u=u' \in X$, и для какой-то его открытой окрестности $V \subset U
\cap U' \subset X$, $f|_V = f'|_V$.
\end{itemize}
Легко проверить, что это действительно отношение
эквивалентности. Возьмем в качестве $\Et(\F)$ факторпространство
$\wt{X}$ по этому отношению эквивалентности, причем с
фактортопологией: подмножество $U \subset \Et(\F)$ открыто тогда и
только тогда, когда его прообраз $\pi^{-1}(U) \subset \wt{X}$ при
естественном отображении $\pi:\wt{X} \to \Et(\F)$ открыт. По
определению $\sim$, естественное отображение $\wt{p}:\wt{X} \to X$
пропускается через отображение $p:\Et(\F) \to X$.

Поскольку $\wt{p}$ непрерывно, $p$ тоже непрерывно: для любого
открытого $U \subset X$, подмножество $\pi^{-1}(p^{-1}(U)) = \wt{p}^{-1}(U)
\subset \wt{X}$ открыто, а потому $p^{-1}(U) \subset \Et(\F)$ открыто
по определению фактортопологии. Более того, для любого $U \times f
\subset \wt{X}$ подмножество
$$
\pi^{-1}(\pi(U)) = \coprod_{U' \subset X} U \cap U
$$
открыто, а потому $\pi(U) \subset \Et(\F)$ открыто. Поскольку $\wt{p}$
биективно и гомеоморфно на $U$, отображение $p$ биективно и гомеоморфно на
$\pi(U)$, и тем самым $p:\Et(\F) \to X$ этально.

Пусть теперь дано открытое $U \subset X$. Тогда любое $f \in \F(U)$
по определению дает сечение отображения $\wt{p}$, а следовательно, и
$p$. Наоборот, пусть дано сечение $f:U \to \Et(\F)$ отображения
$p$. Тогда для любого $x \in U \subset X$, $f(x) \in \Et(\F)$
присходит из какого-то $V \times f_x \subset \wt{X}$, причем, как мы
уже выяснили, $\pi(V \times f_x) \subset \Et(\F)$ открыто. Поэтому
$U_x=f^{-1}(\pi(V \times f_x)) \subset U$ -- открытая окрестность
$x$, а раз $f$ -- сечение $p$, для любого $x' \in U_x$ имеем $f(x')
\in p^{-1}(x') \cap \pi(V \times f_x) = \pi(x' \times f_x)$. Итак,
$f = f_x$ на $U_x$ для какого-то $f_x \in \F(U_x)$. Все $f_x$
очевидно согласованы на пересечениях, и, в силу аксиом пучка, их
можно единственным образом склеить в одно сечение $f \in \F(U)$.

Наконец, чтобы доказать единственность, предположим, что $\F$ есть
пучок сечений некоторого этального отображения $q:Y \to X$. Тогда
имеем тавтологическое отображение $\tau:\Et(\F) \to Y$, $u \times f
\mapsto f(u)$. Более того, для любой точки $y \in Y$ мы можем
выбрать открытую окрестность $V \subset Y$, для которой $q:V \to
q(V)$ есть гомеоморфизм. Тогда обратное отображение $f:q(V) \to V
\subset Y$ есть непрерывное сечение $q$, а потому задает элемент $f
\in \F(q(V))$ и точку $y'=q(y) \times f \in q(V) \times \F(q(V))
\subset \wt{X}$. Легко видеть, что $\tau(y')=y$, и что любая другая
точка с этим свойством эквивалентна $y'$. Поэтому $\tau:\Et(\F) \to
Y$ биективно и, будучи по построению локальным гомеоморфизмом, есть
также и глобальный гомеоморфизм.
\endproof

Пространство $\Et(\F)$ называется {\em этальным пространством пучка}
$\F$. Его весьма удобно применять для построения теории пучков.
Так, отметим, что в конструкции этального пространства мы нигде не
использовали то, что $\F$ пучок -- все точно так же работает для
предпучков.

\begin{opr}
Пусть $\F$ -- предпучок на $X$. {\em Ассоциированным пучком} $a(\F)$
предпучка $\F$ называется пучок сечений этального пространства
$\Et(\F)$.
\end{opr}

По определению $\Et(\F)$, мы всегда имеем каноническое отображение $\F
\to a(\F)$, но оно в общем случае не изоморфизм (на самом деле,
поскольку $a(\F)$ уж точно пучок, $\F \cong a(\F)$ ровно тогда,
когда сам $\F$ был пучком).

\begin{exc}
Пусть $\F$ -- предпучок групп (или колец). Покажите, как ввести на
$a(\F)$ структуру предпучка групп (или колец).
\end{exc}

\medskip

Более того, заметим -- это нам понадобится в конце лекции -- что в
определении предпучка и пучка не обазательно даже рассматривать {\em
все} открытые подмножества $U \subset X$. А именно, предположим, что
дана база $S$ топологии на $X$ (т.е. такой набор открытых
подмножеств, замкнутый относительно конечных пересечений, что любое
открытое $U \subset X$ есть объединение каких-то $U_\alpha \in
S$). Тогда понятия предпучка и пучка verbatim переносятся в
ситуацию, когда множество сечений $\F(U)$ задано только для $U \in
S$. Такие образования мы будем называть {\em предпучками} и {\em
пучками} на $S$. Так вот, анализируя доказательство
Предложения~\ref{et}, мы видим, что оно буквально так же проходит
для предпучков и пучков на базе. Т.е. по каждому предпучку $\F$ на
$S$ мы может построить этальное пространство $\Et(\F)$, а если $\F$
был пучков, то $\F(U)$ изоморфно множеству сечений $\Et(\F)$ над $U$
для любого $U \in S$. Тем самым, в частности, любой пучок на $S$
канонически и единственным образом продолжается до пучка на $X$ (а
для предпучков это, разуммется, неверно).

\medskip

Чтобы систематизировать ситуацию, полезно использовать категорный
язык. По каждому топологическому простраству $X$ мы строим три
категории: категорию предпучков на $X$ (обозначим ее $\PShv(X)$),
категорию пучков на $X$ (обозначим ее $\Shv(X)$) и категорию
топологических пространств $Y$, снабженных этальным морфизмом в $X$
(обозначим ее $\Et(X)$). Предложение~\ref{et} показывает, что
категории $\Et(X)$ и $\Shv(X)$ эквивалентны: эквивалентность в одну
сторону сопоставляет пространству $Y \in \Et(X)$ его пучок сечений,
эквивалентность в другую сторону сопоставляет пучку $\F \in \Shv(X)$
его этальное пространство $\Et(\F) \in \Et(X)$. Кроме того, мы имеем
функтор забывания $\Shv(X) \to \PShv(X)$ (берем пучок и
рассматриваем его как предпучок), и функтор ассоциированного пучка
$a:\Shv(X) \cong \Et(X) \to \PShv(X)$.

\begin{exc}
Докажите, что функтор забывания и функтор ассоциированного пучка
{\em сопряжены}; а именно, докажите, что для любых $\F \in \Shv(X)$,
$\F' \in \PShv(X)$ имеется каноническое отождествление
$$
\Hom_{\PShv(X)}(\F',\F) \cong \Hom_{\Shv(X)}(a(\F'),\F).
$$
\end{exc}

Практическое значение этального пространства не особенно велико,
поскольку обычно оно получается очень большое. В частности, если $Y$
-- топологическое пространство, а $\F$ -- пучок отображений $U \to
Y$, то $\Et(\F) = X \times Y$ только если $Y$ дискретное. А если,
например, $Y = \R$ с естественной топологией, так что $\F = C^0(X)$
есть пучок непрерывных $\R$-значных функций на $X$, то $\Et(\F)$ это
некоторое огромное топологическое пространство, которое гораздо
больше, чем $X \times \R$ (противоречия здесь нет, т.к. хотя $\F$ и
есть пучок сечений естественной проекции $X \times \R \to X$, эта
проекция очевидным образом не этальна). 

Тем не менее, для ``маленьких'' пучков этальное пространство может
иметь приемлемый размер. В частности, самый простой пример пучка
такой. Пусть $C$ -- множество (или группа, или кольцо, и
т.д.). Тогда можно определить постоянный предпучок $C'_X$ на $X$,
просто положив $C'_X(U)=C$ для любого $U$ (а все отображения
ограничения -- тождественные).

\begin{opr}
Постоянный пучок $C_X$ -- это пучок, ассоциированный с предпучком
$C'_X$.
\end{opr}

\begin{exc}
Вычислите этальное пространство $\Et(C_X)$ и множество сечений
$C_X(U)$ для любого $U \subset X$. В частности, приведите пример
такого $U$ в таком $X$, что $C_X(U) \neq C$.
\end{exc}

В топологии также часто используется обощение постоянных пучков,
называемое {\em локально постоянными пучками}, или {\em локальными
системами}: говорят, что пучок $\F$ на $X$ локально постоянен, если
у каждой точки $x \in X$ есть такая окрестность $U \subset X$, что
$\F|_U$ -- постоянный пучок (здесь $\F|_U$ -- ограничение пучка $\F$
на $U$ -- определяется тавтологически: мы просто забываем про все
открытые $V \subset X$, которые не лежат целиком в $U$). Этальное
пространство локально постоянного пучка -- это то, что в топологии
называется {\em накрытием} $X$.

Другой полезный общий пример пучка такой. Пусть $x \in X$ -- точка
топологического пространства $X$, а $C$ -- какое-то множество (или
абелева группа).

\begin{opr}
{\em Пучок-небоскреб} $C_x$, сосредоточенный в точке $x \in X$,
определяется как
$$
C_x(U) = \begin{cases}
C, &\qquad x \in U,\\
\ppt &\qquad x \not\in U.
\end{cases}
$$
(Здесь $\ppt$ -- множество из одного элемента.)
\end{opr}

\begin{exc}
Пусть $X=\R^1$, $x = 0 \in \R$, и $C = \Z/2\Z$. Опишите этальное
пространство $\Et(C_x)$. Хаусдорфово ли оно?
\end{exc}

\subsection*{Операции с пучками}

Другое важное понятие, которое проще всего вводить через этальное
пространство, это понятия слоя пучка.

\begin{opr}
{\em Слоем} $\F_x$ пучка $\F$ на $X$ в точке $x \in X$ называется
слой $p^{-1}(x) \subset \Et(X)$ над $x$ естественной проекции
$p:\Et(\F) \to X$.
\end{opr}

Поскольку $\Et(\F)$ -- топологическое пространство, $\F_x$ тоже
наследует топологию, но легко видеть, что эта топология на самом
деле дискретная. Явным образом $\F_x$ можно описать так:
\begin{equation}\label{stalk}
\F_x = \lim_{\underset{x \in U \subset X}{\to}}\F(U).
\end{equation}
Иными словами, элемент $\F_x$ это сечение $\F$ на какой-то
окрестности $U \subset X$ точки $x$, причем два сечения задают один
элемент тогда и только тогда, когда они совпадают на меньшей
окрестности. Поэтому про элементы $\F_x$ еще говорят как про
``ростки сечений'' $\F$ в окрестности $x \in X$.

\begin{rem}[Терминологическое]
Росток по-английски будет germ (что как раз значит ``росток'', ``зародыш''
-- а также ``микроб'', но это к делу отношение не имеет). Слой пучка
называется stalk; это пытались переводить на русский как
``стебель'', но термин не прижился. При этом сам пучок будет sheaf
-- перевод французского faisceaux -- что значит скорее не ``пучок'',
а ``сноп'', или ``охапка''. Чтобы добавить путаницы, в проективной
геометрии есть традиционный термин pencil, который на русский тоже
почему-то традиционно переводится как ``пучок'' (но к счастью, нам
пока этот термин не понадобится).
\end{rem}

Обобщение этого понятия такое. Пусть дано непрерывно отображение
$f:Y \to X$ и пучок $\F$ на $X$.

\begin{exc}
Покажите, что для любого $Z \in \Et(X)$, расслоенное произведение $Z
\times_X Y$ вместе с проекцией на второй сомножитель есть объект в
$\Et(Y)$.
\end{exc}

\begin{opr}
{\em Обратным образом}, или {\em прообразом}, или {\em ограничением}
$f^{-1}(\F)$ пучка $\F$ на $Y$ называется пучок сечений этального
пространства $\Et(\F) \times_X Y \in \Et(Y)$.
\end{opr}

Если $Y = \{x\}$ -- множество из одной точки $x \in X$, то пучки
(множеств, групп, колец и т.д.) на $Y$ -- это просто множества,
группы, кольца и т.д. Тогда ограничение $\F$ на $Y$ -- это его слой
в точке $x$.

На языке пучков и открытых множеств, обратный образ описывается так:
$$
f^{-1}(\F)(U) = \lim_{\underset{V \supset f(U)}{\to}} \F(V).
$$
Это прямое обобщение формулы \eqref{stalk}. Доказательство мы
оставляем в качестве (необязательного) упражения; оно проводится
теми же методами, что доказательство Предложения~\ref{et}.

\begin{exc}
Докажите, что прообраз $f^{-1}(C_X)$ постоянного пучка $C_X$ --
постоянный пучок $C_Y$.
\end{exc}

Понятие обратного образа пучка нужно, в частности, чтобы обращаться
с сечениями пучка как с функциями. У каждой функции есть обратный
образ; у каждого сечения пучка $\F$ тоже есть обратный образ, только
он естественным образом является сечением пучка $f^{-1}(\F)$, и
взятие обратного образа получается двухступенчатой операцией:
сначала берем обратный образ пучка, потом обратный образ его
сечения.

\begin{exc}
Постройте естественное отображение
$$
f^*:\F(X) \to f^{-1}(\F)(Y).
$$
\end{exc}

Отметим еще, что множество сечений $\F(U)$ для $U \subset X$ -- в
частности, $\F(X)$ -- еще обозначают $\Gamma(U,\F)$, а если $\F$ --
пучок абелевых групп, то и $H^0(U,\F)$. Это делают по традиции, а
также когда хотят рассмотреть $\F(U)$ как функтор от $\F$.

Но на пучках есть и операция, действующая в другую сторону: операция
прямого образа. Ее как раз удобнее определять через открытые
множества.

\begin{opr}
{\em Прямым образом} $f_*(\F)$ пучка $\F$ на $Y$ при отображении
$f:Y \to X$ называется пучок, заданный как $f_*(\F)(U) =
\F(f^{-1}(U))$.
\end{opr}

\begin{exc}
Проверьте, что $f_*(\F)$ удовлетворяет аксиомам пучка.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $Y = \{x\}$, $x \in X$, а $C$ -- какое-то множество,
рассмотренное как пучок на $Y$. Докажите, что $f_*C = C_x$.
\end{exc}

Так же, как и с обратным образом, для прямого образа имеем
каноническое отображение
$$
\Gamma(Y,\F) \to \Gamma(X,f_*\F)
$$
на сечениях, которое в этом случае по определению есть просто
изоморфизм (заметим так же, что сам функтор глобальных сечений
$\Gamma(X,-)$ можно рассматривать как прямой образ при проекции в
точку $X \to \ppt$).

\begin{exc}
Проверьте, что функторы $f_*$ и $f^{-1}$ {\em сопряжены} -- а
именно, докажите, что для любых $\F \in \Shv(Y)$, $\F' \in \Shv(X)$
имеется естественный изоморфизм
\begin{equation}\label{adj}
\Hom(f^*\F',\F) \cong \Hom(\F',f_*\F).
\end{equation}
\end{exc}

По общему факту из теории категорий, если дана пара сопряженных
функторов, то любой из них однозначно определяет другой -- в
частности, можно например определить сначала $f_*$, а потом
определить $f^{-1}$ формулой \eqref{adj}. Тогда наше определение
станет теоремой (но довольно муторной и не наглядной).

\subsection*{Пучки абелевых групп}

Будем теперь рассматривать не просто пучки на топологическом
пространстве $X$, а пучки абелевых групп. Тогда оказывается, что с
ними можно проводить все те же естественные операции линейной
алгберы, что и просто с группами или с модулями над кольцом: брать
суммы, факторпучки, образы, ядра и коядра гомоморфизмов. Сразу
скажем, что имеется общая категорная аксиоматика всех этих операций
-- аксиоматика так называемых {\em абелевых категорий} (в
значительной степени и придуманная для того, чтобы рассмотреть
пучки). Но нам она пока не понадобится, и мы все будем делать
руками.

Все операции линейной алгебры с предпучками выполняются
``поточечно'' -- например, если дан предпучок $\F$ и подпредпучок
$\F' \subset \F$, то факторпредпучок $\F/\F'$ по определению
задается как $(\F/\F')(U) = \F(U)/\F'(U)$. Проблема в том, что не
все операции сохраняют аксиомы пучка. Точнее, с ядрами все в
порядке.

\begin{exc}\label{left.ex}
Пусть $\phi:\F \to \F'$ -- морфизм пучков абелевых групп на $X$;
докажите, что его ядро $\Ker\phi$ -- тоже пучок.
\end{exc}

Но про образ, коядро и факторпучок аналогичное утверждение просто
{\em неверно}. Общий способ борьбы с этим такой.

\begin{opr}
Образ и коядро отображения пучков $\phi:\F \to \F'$ опеределяются
как пучки, ассоциированные с образом и коядром этого отображения в
категории предпучков.
\end{opr}

Можно дать абстрактное категорное определение образа и коядра, и
тогда это будет не определение, а теорема. Со временeм мы это
сделаем, но пока можно просто воспринимать это как
определение. Приведем один важный факт, который мы будем
использовать в дальнейшем при честном изучении категории пучков.

\begin{exc}
Функтор ассоциированного пучка точен, т.е. переводит точные
последовательности в точные (Указание: заметьте, что по нашему
определению, нужно доказывать только точность слева -- все остальное
верно тавтологически; затем используйте Упражнение~\ref{left.ex}).
\end{exc}

\subsection*{Определение схемы}

Все остальные общие факты про пучки мы будем докзывать по мере
необходимости; пока же, перейдем к схемам. В частности, мы сможем
наконец сказать всю правду про аффинные схемы.

Итак, пусть дано коммутативное кольцо $A$, и рассмотрим $X = \Spec
A$ с топологией Зарисского. Напомним, что на $X$ есть стандартная
база топологии $S$, состоящая из открытых подмножеств вида $S_f =
\Spec A[f^{-1}] \subset X$, $f \in A$. Пусть $M$ -- какой-то
$A$-модуль. Для любого $f \in A$, имеем локализацию $M_f =
M[f^{-1}]$. Сопоставляя $S_f \mapsto M_f$, мы очевидно получаем
предпучок абелевых групп на базе $S$, который мы обозначаем через
$\wt{M}$.

\begin{lemma}
Предпучок $\wt{M}$ на $S$ является пучком (и в частности,
канонически продолжается до пучка на $X$).
\end{lemma}

\proof{} Мы воспользуемся аксиомами пучка в форме \eqref{exx}. Итак,
дано $S_f \subset X$ и его открытое покрытие $\{S_i\}$ множествами
вида $S_i = S_{f_i}$ (возможно, бесконечное). Локализуя по $f$ и
заменяя $X$ на $S_f$, можем предполагать, что $S_f=X$. Заметим
сразу, что есть один случай, когда \eqref{exx} точна по тривиальным
причинам -- а именно, когда само $S_f=X$ является одним из $S_i$. В
общем случае, чтобы доказать, что \eqref{exx} точна слева, обозначим
через $N$ ядро левого отображения. Рассмотрим аннулятор $I \subset
A$ модуля $N$. Надо доказать, что $N=0$, т.е. $I=A$. Но если это не
так, то $I$ лежит в каком-то простом идеале $\pp \subset A$,
отвечающем точке $x \in X$. Выберем такое $S_i$, которое содержит
$x$, и перейдем к локализации по $f_i$. Мы попали в вышеописанную
тривиальную ситуацию -- следовательно, последовательность
\eqref{exx} стала точной, и, поскольку локализация точна, мы
заключаем, что $N_{f_i}=0$. Поэтому $f_i \in I$, а это противоречие.

Чтобы доказать, что \eqref{exx} точна в среднем члене, рассуждаем
ровно так же, но в качестве $N$ берем ``модуль гомологий комплекса
\eqref{exx} в среднем члене'' -- т.е. фактор ядра правого
отображения по образу левого.
\endproof

\begin{exc}
Докажите, что слой $\wt{M}_x$ пучка $\wt{M}$ в точке $x \in X$,
отвечающей простому идеалу $\pp \subset A$, канонически изоморфен
локализации $M_\pp$.
\end{exc}

В частности, Лемму можно применить к $M=A$; полученный пучок на $X$
традиционно обозначается $\calo_X$ и называется {\em пучком функций}
на $X$. Заметим, что он имеет естественную структуру {\em пучка
колец}. Пучок $\wt{M}$ для любого $A$-модуля $M$ имеет структуру
пучка модулей над пучком колец $\calo_X$.

\begin{opr}
{\em Локально-окольцованным пространством} называется топологическое
пространство $X$, снабженное таким пучком колец $\calo_X$, что для
каждого $x \in X$ слой $\calo_{X,x}$ -- локальное кольцо.
\end{opr}

\begin{opr}
{\em Схемой} называется локально-окольцованное пространство 
$\langle X,\calo_X \rangle$, локально изоморфное $\Spec A$ 
для каких-то $A$. Пучок $\calo_X$-модулей $\F$ на схеме $X$ 
называется {\em квазикогерентным}, если он локально изоморфен 
пучку вида $\wt{M}$.
\end{opr}

\end{document}