\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\Pp}{{\mathbb P}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\qq}{\mathfrak q} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\calo}{{\mathcal O}} \newcommand{\F}{{\mathcal F}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Pproj}{\operatorname{Proj}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}} \newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}} \newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, осень 2005} \begin{document} \setcounter{section}{7} \stepcounter{section} \section*{Лекция 8.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Аффинные схемы как частный случай общих. Морфизмы схем. Элементарные свойств схем и когерентных пучков; операции с ними. Проективный спектр и проективные схемы. Раздутия. \end{minipage} \end{center} \subsection*{Аффинные схемы как схемы.} В конце прошлой лекции мы определили схемы и квазикогерентные пучки модулей на них. Сегодня начнем с того, что приведем пример неквазикогерентного пучка. Он на самом деле получается как частный случай общей пучковой конструкции. \begin{opr} Пусть $j:U \to X$ -- вложение открытого подмножества $U$ в топологическое пространство $X$, а $\F$ -- пучок абелевых групп на $U$. {\em Продолжение нулем} $j_!\F$ пучка $\F$ на $X$ определяется как $$ j_1\F(V) = \begin{cases} \F(V), &\qquad V \subset U,\\ 0, &\qquad \text{в противном случае}. \end{cases} $$ \end{opr} Легко видеть (проверьте это!), что $j_!\F$ это пучок. \begin{exc} Пусть $X$ -- схема, $U \subset X$ -- открытая подсхема, а $\F$ -- квазикогерентный пучок $\calo_U$-модулей. Докажите, что пучок $\calo_X$-модулей $j_!\F$ квазокогерентный тогда и только тогда, когда $U \subset X$ еще и замкнуто. \end{exc} В этом упражении неявно используется следующий очевидный факт: если $X$ -- схема, а $U \subset X$ -- открытое подмножество, то $\langle U,\calo_X|_U\rangle$ -- тоже схема (называется {\em открытой подсхемой} в $X$). Вложение $U \to X$ -- пример {\em морфизма схема}. Общее определение дается следующим образом. \begin{opr} {\em Морфизм} $f:X \to Y$ окольцованных пространств $\langle X,\calo_X \rangle$, $\langle Y,\calo_Y\rangle$ -- это пара из непрерывного отображения $f:X \to Y$ и отображения пучков колец $f^*:f^{-1}\calo_Y \to \calo_X$ (или же, что эквивалентно, $\calo_Y \to f_* \calo_X$). \end{opr} Если $X = \Spec A$ и $Y = \Spec B$ -- аффинные схемы, то любое отображение колец $f:B \to A$ очевидно индуцирует морфизм окольцованных пространств $\wt{f}:X \to Y$. При этом этот морфизм обладает дополнительным свойством. \begin{opr} Гомоморфизм $f:A \to B$ локальных колец $A$, $B$ называется {\em локальным}, если прообраз $f^{-1}\m_B$ максимального идеала $\m_B$ равен максимальному идеалу $\m_A \subset A$. Морфизм $f:X \to Y$ локально окольцованных пространств называется {\em локальным}, если для каждой точки $x \in X$ соответствующий гомоморфизм локальных колец $f^*:\calo_{Y,f(x)} \to \calo_{X,x}$ -- локальный гомоморфизм. \end{opr} \begin{opr} {\em Морфизм схем} это локальный морфизм соответствующих локально окольцованных пространств. \end{opr} \begin{lemma} Функтор $A \to \Spec A$ -- это эквивалентность между категорией, двойственной к категории колец, и категорией аффинных схем. \end{lemma} \proof{} Обратный функтор построить просто -- если $X = \Spec A$, то $A = \Gamma(X,\calo_X)$ -- кольцо глобальных сечений структурного пучка $\calo_X$ (оно еще называется кольцом глобальных функций на $X$). Гомоморфизм колец $f:A \to B$ тоже восстанавливается по соответствующему морфизму схем $\wt{f}:Y = \Spec B \to X$: естественное отображение $$ \begin{CD} A = \Gamma(X, \calo_X) @>{\wt{f}^{-1}}>> \Gamma(Y,f^{-1}\calo_X) @>{\wt{f}^*}>> \Gamma(Y,\calo_Y) = B \end{CD} $$ очевидно равно $f$. Нетривиально проверить обратное: если $g:Y \to X$ индуцирует гомоморфизм глобальных сечений $f=g^*:A \to B$, то $g = \wt{f}$. Действительно, пусть точка $y \in Y$ отвечает простому идеалу $\pp \subset B$. Тогда $\pp = B \cap \m_y$, где $\m_y = \pp B_\pp$ -- максимальный идеал локального кольца $\calo_{Y,y} = B_\pp$. И, поскольку по определению гомоморфизм $f:\calo_{X,x} \to \calo_{Y,y}$ {\em локальный}, имеем $f^{-1}(\pp) = A \cap g^*(\m_y) = A \cap \m_x$, где $x = g(y) \in Y$. Поэтому $\wt{f}(y)=x=g(y)$. \endproof \begin{exc} Постройте аффинные схемы $X = \Spec A$, $Y = \Spec B$ и (нелокальный) морфизм окольцованных пространств $f:X \to Y$, не происходящий из гомоморфизма $B \to A$. Указание: чтобы далеко не ходить, возьмите в качестве $Y = \Spec B$ спектр кольца дискретного нормирования, т.е. схему с двумя точками, а в качестве $X$ -- спектр его поля частных (схему с одной точкой). \end{exc} \begin{exc}\label{sopr} Докажите, что для любой схемы $X$ и аффинной схемы $Y = \Spec A$, множество морфизмов из схемы $X$ в $Y$ естественно отождествеляется с множеством гомоморфизмов из кольца $A$ в кольцо $\Gamma(X,\calo_X)$. \end{exc} Аналогичное утверждение есть и для модулей и квазикогерентных пучков. \begin{lemma} Пусть $X = \Spec A$ -- аффинная схема; тогда функтор $M \mapsto \wt{M}$ -- эквивалентность между категорией $A$-модулей и категорией квазикогерентных пучков $\calo_X$-модулей на $X$. \end{lemma} \proof{} Обратный функтор это глобальные сечения, $\F \mapsto \Gamma(X,\F)$. По определению $\Gamma(X,\wt{M}) = M$ для любого $A$-модуля $M$. Нетривиально проверить обратное: любой квазикогерентный пучок $\F$ на $X$ изоморфен $\wt{M}$ (хотя бы для какого-то $M$ -- тогда автоматически $M = \Gamma(X,\F)$). Это не очевидно, поскольку по определению $\F$ имеет вид $\wt{M}$ только локально: существует такое открытое аффинное покрытие $U_i$ схемы $X$, что $\F|_{U_i} \cong \wt{M}_i$, где $M_i = \F(U_i)$. Но тогда по аксиоме пучка имеем точную последовательность $$ \begin{CD} 0 @>>> M @>>> \bigoplus_i \F(U_i) @>>> \bigoplus_{i,j} \F(U_i \cap U_j), \end{CD} $$ и, поскольку локализация -- точный функтор, последовательность $$ \begin{CD} 0 @>>> M \otimes_A \calo_X(U_l) @>>> \bigoplus_i \F(U_l \cap U_j) @>>> \bigoplus_{i,j} \F(U_l \cap U_i \cap U_j) \end{CD} $$ тоже точна для любого $l$. Отсюда получаем, что $$ M \otimes_A \calo_X(U_l) \cong \F(U_l), $$ тоже для любого $l$. Теперь легко проверить, что для любого открытого $U \subset X$ имеем $M \otimes_A \calo_X(U) \cong \F(U)$, т.е. $\F \cong \wt{M}$. \endproof Таким образом, все определения, которые мы до сих пор вводили, действительно не противоречат друг другу: с любой точки зрения, изучать аффинные схемы это то же самое, что изучать коммутативные кольца. \subsection*{Элементарные свойства схем.} Опишем некоторые элементарные свойства схем -- элементарные в том смысле, что они прямо повторяют соответствующие свойства аффинных схем, которые мы уже изучили. \begin{opr} Схема $X$ называется {\em приведенной}, {\em нормальной}, если для каждой точки $x \in X$ локально кольцо $\calo_{X,x}$ приведено, нормально. Схема $X$ называется {\em неприводимой}, если она неприводима как топологическое пространство. Схема $X$ называется {\em целой}, если она неприводима и приведена. Схема $X$ называется {\em квазикомпактной}, если она компактна как топологическое пространство. Схема $X$ называется {\em нетеровой}, если она допускает аффинное покрытие $U_\alpha$, $U_\alpha = \Spec A_\alpha$, и все $A_\alpha$ -- нетеровы кольца. \end{opr} Заметим, что понятие квазикомпактности схем куда слабее, чем компактность $C^\infty$ многообразий (из-за слабости топологии Зарисского). Например, верно следующее. \begin{exc}\label{comp} Докажите, что аффинная схема $X$ квазикомпактна (иными словами, из любого открытого покрытия $U_\alpha$ можно выбрать конечно подпокрытие). Указание: сведите все к случаю, когда все $U_\alpha$ имеют вид $S_f$ для каких-то $f \in A$. \end{exc} На самом деле, для схем квазикомпактность это обычное предположение, вроде нетеровсти (довольно многие утверждения как раз и формулируются для нетеровых квазикомпактных схем). Легко видеть, что аффинная схема $X = \Spec A$ приведенная, неприводимая, целая тогда и только тогда, когда она приведенная, неприводимая, целая в смысле Лекции 3. Про нормальность это почти верно. \begin{exc} Докажите, что схема $\Spec A$ нормальна, т.е. любая локализация $A_\pp$ целая и целозамкнутая, тогда и только тогда, когда $\Spec A = \coprod \Spec A_i$, и каждое $A_i$ -- целое и целозамкнутое кольцо (рассмотрите неприводимые компоненты $\Spec A$ и докажите, что они должны быть компонентами связности). \end{exc} Про нетеровость это тоже верно. \begin{exc} Докажите, что $X = \Spec A$ покрыто нетеровыми аффинными открытыми подсхемами $U_\alpha = \Spec A_\alpha$, то кольцо $A$ нетерово (сначала, воспользовавшись Упражнением~\ref{comp}, сделайте покрытие конечным). \end{exc} \subsection*{Операции со схемами.} Опишем теперь стандартные общекатегорные операции со схемами -- склейку (прямой предел) и произведение (обратный предел). Склейка по открытым подсхемам производится очевидным образом: если у нас есть две схемы $X_1$, $X_2$ и изоморфные открытые подсхемы $U_1 \subset X_1$, $U_2 \subset X_2$, $U_1 \cong U_2$, то легко видеть, что на топологическом пространстве, склеенном из $X_1$ и $X_2$ по $U_1 \cong U_2$, естественным образом определяется пучок колец, и в результате получается схема. То же верно, когда склеиваются несколько схем $X_1,X_2,\dots,X_n$. Склейка не по открытым подмножествам иногда тоже возможна, но это тонкий вопрос, которым мы не будем заниматься, по крайней мере пока. Что до произведения, то с ним есть очевидная проблема, которую мы уже видели для аффинных схем: произведением $X \times Y$ схемы $X = \Spec A$ на схему $Y = \Spec B$ естественно считать схему $\Spec A \otimes B$, но в этом спектре больше точек, чем в произведении топ. пространства схемы $X$ на топ. пространство схемы $Y$. Поэтому {\em определение} произведения схем используют общекатегорное. \begin{opr} Коммутативный квадрат $$ \begin{CD} Z @>>> X_1\\ @VVV @VVV\\ X_2 @>>> Y \end{CD} $$ в какой-то категории называется {\em декартовым}, если для любого объекта $S$ и пары морфизмов $S \to X_1$, $S \to X_2$, для которой квадрат $$ \begin{CD} S @>>> X_1\\ @VVV @VVV\\ X_2 @>>> Y \end{CD} $$ коммутативен, существует единственный морфизм $S \to Z$, дающий морфизм коммутативных квадратов. В такой ситуации, $Z$ называют {\em расслоенным произведением} $X_1$ и $X_2$ над $Y$ и обозначают $Z = X_1 \times_Y X_2$. \end{opr} \begin{lemma} Для любых двух схем $X_1$, $X_2$, снабженных морфизмами $X_1 \to Y$, $X_2 \to Y$ в схему $Y$, существует (автоматически единственное) расслоенное произведение $X_1 \times_Y X_2$. \end{lemma} \proof[Набросок доказательства.] Доказательство, если проводить его аккуратно и полностью, довольно муторное, но совершенно безыдейное; ограничимся наброском. Если $Y = \Spec A$, $X_i = \Spec B_1$, то $X_1 \times_Y X_2$ существует и равно $\Spec B_1 \otimes_A B_2$ в силу Упражнения~\ref{sopr}. В общем случае, покроем $Y$ аффинными множествами $V^\alpha$. Покроем $X_1$ открытыми аффинными множествами $U_1^\alpha$, а $X_2$ -- открытыми аффиными множествами $U_2^\alpha$, причем так, чтобы каждое $U_i^\alpha$ проектировалось внутрь какого-нибудь $V^\alpha$. Тогда расслоенное произведение $U_1^\alpha \times_Y U_2^\beta = U_1^\alpha \times_{V^\alpha \cap V^\beta} U_2^\beta$ существует. Расслоенное произведение склеивается из этих произведений по естественным отождествлениям ($U_1^{\alpha_1} \times_Y U_2^\beta$ и $U_2^{\alpha_2} \times_Y U_2^=beta$ склеиваются по $(U_1^{\alpha_1} \cap U_1^{\alpha_2}) \times_Y U_2^\beta$, и то же для $U_2$). Чтобы проверить, что это действительно расслоенное произведение, замечаем, что отображение из тестовой схемы $S$ в $X_i$ -- это то же самое, что открытое покрытие $V^\alpha$ схемы $S$ и набор согласованных отображений $V^\alpha \to U_i^\alpha$, $i=1,2$. Поэтому общий случай следует из аффинного. \endproof \subsection*{Элементарные свойства когерентных пучков.} Определяя схемы, мы также определили квазикогерентные пучки модулей на них. Если наложить на пучок условие конечности, получится понятие когерентного пучка. \begin{opr} Квазикогерентный пучок $\F$ $\calo_X$-модулей на нетеровой схеме $X$ называется {\em когерентным}, если для каждого аффинного открытого подмножества $U \subset X$, $\calo_U$-модуль $\F(U)$ конечно порожден. \end{opr} Пусть $f:X \to Y$ -- морфизм схем. Из определения легко видеть, что прямой образ $f_*\F$ квазикогерентного пучка $\calo_X$-модулей автоматически есть квазикогерентный пучок $\calo_Y$-модулей. Когерентность при прямом образе, разумеется, не сохраняется -- например, если $X = \Spec A$ -- спектр $k$-алгебры $A$, а $Y = \Spec k$, то $f_*\calo_X = A$ очевидно совершенно не обязано быть конечно-порожденным $k$-модулем. При некоторых условиях на морфизм $f$ когерентность таки сохраняется, и это очень важно -- соответствующие факты известны как теоремы конечности, и со временем мы будем подробно их изучать. Однако обратный образ $f^{-1}\F$ квазикогерентного пучка $\calo_Y$-модулей $\F$ совершенно не обязан быть квазикогерентным -- на самом деле, на нем нет даже никакой естественой структуры $\calo_X$-модуля. Поэтому для квазикогерентных пучков понятие обратного образа надо переопределить. \begin{opr} {\em Тензорным произведением} пучков $\F_1$, $\F_2$ на топологическом пространстве называется пучок, ассоциированный с предпучком $U \mapsto \F_1(U) \otimes \F_2(U)$. {\em Обратным образом} $f^*\F$ квазикогерентного пучка $\F$ на схеме $Y$ при отображении $f:X \to Y$ называется пучок $f^*(\F) = f^{-1}(\F) \otimes_{f^{-1}(\calo_Y)} \calo_X$. \end{opr} \begin{exc} Пусть $f:X \to Y$ -- морфизм аффинных схем $X = \Spec A$, $Y = \Spec B$. Тогда для любого $B$-модуля $M$, имеем $f^*\wt{M} = \wt{M \otimes_B A}$. \end{exc} Используя это упражнение, легко проверяем, что обратный образ сохраняет квазикогерентность -- а также и когерентность. Легко также доказать, что функторы $f_*$ и $f^*$ сопряжены (как функторы на категориях квазикогерентных пучков). Отметим, в частности, что новое определение обратного образа нужно применять и для вложения точки $f:x \to X$. Поэтому под слоем $\F_x$ квазикогерентного пучка $\calo_X$-модулей $\F$ естественно понимать не просто его слой $\F^{shv}_x$ как пучка, а обратный образ $f^*\F$ -- который, как легко видеть, равен $\F^{shv}_x \otimes_{\calo_{X,x}} k(x)$, где $k(x)$ -- поле вычетов локального кольца $\calo_{X,x}$. Если пучок $\F$ когерентный, то слой $\F_x$ -- конечномерное векторное пространство над $k(x)$ (а $\F^{shv}_x$ -- конечно порожденный модуль над всем локальным кольцом $\calo_{X,x}$). Обычное соглашение такое: дляб любых пучков слой понимается в пучковом смысле, а для пучков $\calo_X$-модулей -- в смысле $\calo_X$-модулей (а если таки надо рассмотреть его слой как просто пучка, то это специально оговаривается). \subsection*{Проективные схемы.} Чтобы строить неаффинные схемы, можно, в принципе, явно склеивать их из аффинных кусочков, но на практике это неудобно, и так делают редко. Опишем крайне полезную общую конструкцию, которая позволяет строить проективное пространство и его замкнутые подсхемы (называемыми проективными схемами). Эта конструкция в значительной степени аналогична конструкции спектра $\Spec A$. Пусть дано {\em градуированное} кольцо $A^\hdot$. Будем говорить, что однородный идеал $I^\hdot \subset A^\hdot$ {\em допустим}, если $I^\hdot$ не содержит идеала $A^{\geq 1} \subset A^\hdot$ (который называется {\em идеал аугментации}). \begin{opr}\label{proj.0} {\em Проективным спектром} $\Pproj A^\hdot$ называется множество допустимых однородных простых идеалов в $A^\hdot$. Для любого однордного идеала $I^\hdot \subset A^\hdot$, {\em подмножество нулей} $V(I^\hdot) \subset \Pproj A^\hdot$ это подмножество всех простых идеалов из $\Pproj A^\hdot$, содержащих $I^\hdot$. \end{opr} Легко проверить -- это делается ровно так же, как для $\Spec$ -- что подмножества $V(I^\hdot)$, взятые в качестве замкнутых подмножеств, задают на $\Pproj A^\hdot$ некоторую топологию; она называется топологией Зарисского. Для любого однородного $f \in A^l$, $l \geq 0$, имеем открытое подмножество $S_f = \Pproj A^\hdot \setminus V((f)) \subset \Pproj A^\hdot$. Снова повторяя аргумент для $\Spec$, убеждаемся, что открытые подмножества $S_f$ образуют базу топологии Зарисского. Для любого градуированного $A^\hdot$-модуля $M^\hdot$ и любого $S_f \subset A^\hdot$, обозначим через $\wt{M^\hdot}(S_f) = (M[f^{-1}])^0$ компоненту степени $0$ в локализации $M^\hdot[f^{-1}]$. Так же, как для $\Spec$, проверяем, что это пучок, что $\wt{A^\hdot}$ это пучок колец, и что $\wt{M^\hdot}$ для любого $M^\hdot$ есть пучок $\wt{A^\hdot}$-модулей. \begin{opr} Расширяя Определение~\ref{proj.0}, {\em проективным спектром} $\Pproj A^\hdot$ будем называть множество $\Pproj A^\hdot$, снабженное топологией Зарисского и пучком колец $\wt{A^\hdot}$. \end{opr} \begin{rem} Рассматривая градуированные алгебры, мы предполагаем, что они градуриваны неотрицательными целыми числами. Для модулей это предполагать необязательно: все конструкции точно так же работают и для модулей, градуриванных любыми целыми числами. \end{rem} \begin{exc} Докажите, что $\Pproj A^\hdot$ -- схема (для этого докажите, что для любого однородного $f \in A^l$, $l \geq 1$, $S_f \cong \Spec (A[f^{-1}])^0$ как окольцованное пространство). Докажите так же, что для любого $A^\hdot$-модуля $M^\hdot$, $\wt{M^\hdot}$ -- квазикогерентный пучок на $\Pproj A^\hdot$. \end{exc} \begin{exc}\label{proj.map} Постройте естественное отображение схем $\Pproj A^\hdot \to \Spec A^0$. \end{exc} \begin{opr} Морфизм схем $\pi:X \to Y$ называется {\em проективным}, если для любой открытой подсхемы $U = \Spec A \subset X$, прообраз $\pi^{-1}(U)$ отождествлен с $\Pproj A^\hdot$ для какой-то градуированной алгебры $A^\hdot$, причем $A^0 \cong A$, а $\pi:\pi^{-1}(U) \to U$ -- естественное отображение из Упражнения~\ref{proj.map}. В такой ситуации говорят также, что схема $X$ {\em проективна над $Y$}. \end{opr} Геометрический смысл проективного спектра такой. Для любой градуированной алгебры $A^\hdot$, можно рассмотреть обычный аффинный спектр $\Spec A^\hdot$. Чтобы учесть градуировку, нужно ее закодировать каким-нибудь инвариантным способом. Предположим для простоты, что $A^\hdot$ -- алгебра над бесконечным полем $k$. Тогда стандартный способ такой: рассматривают действие мультипликативной группы $k^*$ поля $k$ на $A^\hdot$, при котором $\lambda \in k^*$ действует на компоненте $A^l \subset A^\hdot$ степени $l$ умножением на $\lambda^l$. Это действие совместимо с умножением. Поскольку поле бесконечно, градуировка однозначно восстанавливается по действию $k^*$. Надо сказать, что существует более общий и правильный способ проводить эту конструкцию -- $k^*$ надо рассматривать как так называемую ``алгебраическую группу'', тогда ее действие на чем-либо будет в точности эквивалентно градуировке, и не надо будет требовать существования бесконечного базового поля $k$. Так или иначе, однородные идеалы $I^\hdot \subset A^\hdot$ соответствуют $k^*$-инвариантным идеалам в $A^\hdot$, и однородные простые идеалы отвечают $k^*$-инвариантным точкам $\Spec A^\hdot$ -- т.е. общим точкам орбит $k^*$. Поэтому $\Pproj A^\hdot$ -- это, в первом приближении, фактор $\Spec A^\hdot$ по действию $k^*$. В первом приближении потому, что надо еще учесть условие допустимости -- поэтому на самом деле, прежде чем брать фактор, надо выкинуть из $\Spec A^\hdot$ замкнутое подмножество $V(A^{\geq 1})$ (которое, как легко видеть, естественно отождествляется с $\Spec A^0$). Итак, имеем $$ \Pproj A^\hdot = (\Spec A^\hdot \setminus \Spec A^0)/k^* $$ (по крайней мере, как топологическое пространство). Самый простой пример этой конкстукции такой: положим $A^\hdot = k[x_1,\dots,x_d]$, алгебра полиномов от $d$ переменных. \begin{opr} Проективный спектр $\Pproj k[x_1,\dots,x_d]$ называется {\em проективным пространством} $\Pp^{d-1}_k$ размерности $d-1$ над полем $k$. \end{opr} Как и должно быть, $\Pp^d_k$ это фактор $\A^{d+1} \setminus \{0\}$ по $k^*$, а его $k$-точки -- это наборы чисел $\langle z_1,\dots,z_{d+1} \rangle$, называемых {\em однородными координатами}, которые рассматриваются с точностью до одновременного умножения на $\lambda \in k^*$, и не могут все одновременно быть равны $0$. Заметим теперь, что для градуированных модулей имеется одна очевидная дополнительная операция -- сдвиг градуировки. А именно, для любого градуированного $A^\hdot$-модуля $M^\hdot$, обозначим через $M^\hdot(n)$ тот же $M^\hdot$, но с новой градуировкой: $M^l(n) = M^{l+n}$. В частности, это можно применить к самому $A^\hdot$, рассмотренному как модуль над собой. \begin{exc} Пусть $X = \Pproj A^\hdot$ -- проективная схема. Докажите, что для любого $n$, $\wt{A^\hdot(n)}$ -- локально свободный пучок ранга $1$ на $X$ (этот пучок обозначается $\calo_X(n)$). Указание: рассмотрите ограничения $\wt{A^\hdot(n)}$ на множества $S_f \subset X$ для любого $f \in A^l$, $l \geq 1$. \end{exc} Важно понимать -- и мы это явление будем изучать подробно -- что, хотя пучки $\calo_X(n)$ локально свободны и изоморфны друг другу, глобально они совершенно не изоморфны (и в частности, если схема $X$ не сводится к объединению нескольких точек, $\calo_X(n) \cong \calo_X$ только при $n=1$). В частности из-за этого примера, локально свободные пучки ранга $1$ играют в алгебраической геометрии особую роль и получили особое название. \begin{opr} Локально свободный пучок на схеме $X$ называется {\em расслоением}. Расслоение ранга $1$ называется {\em линейным}. \end{opr} \begin{rem} ``Линейное расслоение'' это попросту неправильный -- но укоренившийся -- перевод английского line bundle, которое в свою очередь есть, по-видимому, перевод французского fibr\'e en droits -- ``расслоение на прямые''. \end{rem} \subsection*{Раздутие.} Опишем существенно тривиальный, и очень важный на практике, пример $\Pproj$ -- так называемое {\em раздутие} идеала, так же известное как {\em моноидальное преобразование}. Пусть $A$ -- кольцо, а $I \subset A$ -- идеал. Рассмотрим градуриванную алгебру $A^\hdot = \bigoplus_l I^l$. \begin{opr} {\em Раздутием} аффинной схемы $X = \Spec A$ в замкнутой подсхеме $Z = \Spec (A/I) \subset X$, отвечающей $I \subset A$, называется схема $$ \Bl(X,Z) = \Pproj \bigoplus_l I^l. $$ \end{opr} \begin{rem} По-английски раздутие называется blow-up. Обозначение $\Bl$ нестандартное; стандартного обозначения для раздутия, к сожалнию, нет. \end{rem} \begin{exc} Пусть $f:\Bl(X,Z) \to X$ -- раздутие схемы $X$ в подсхеме $Z$. Тогда $f$ индуцирует изоморфизм $f:f^{-1}(U) \to U$, где $U = X \setminus Z$. \end{exc} Таким образом, вне $Z$ раздутие не меняет схему вообще. Что же происходит в $Z$? Мы рассмотрим это на базовом примере раздутия точки. Пусть $X = \A^n_k = \Spec k[x_1,\dots,x_n]$ -- $n$-мерное аффинное пространство над полем $k$, а $Z \subset X$ -- точка $0 \in \A^n_k$. Тогда, расписывая определение раздутия, мы видим, что $\Bl(X,Z)$ это замкнутая подсхема в $\A^n_k \times \Pp^{n-1}_k$, заданная уравнениями $x_iz_j=z_ix_j$, $1 \leq i,j \leq n$ (здесь $z_1,\dots,z_n$ -- однородные координаты на $\Pp^{n-1}_k$). Если вектор $\langle x_1,\dots,x_n \rangle$ не равен тождественно нулю, то из уравнений следует, что $z_i=x_i$ (разумеется, с точностью до одновременного умножения всех $z_i$ на какую-нибудь константу). Если же $x_1=\dots=x_n=0$, то $z_i$ могут быть любыми! Таким образом, слой $\Bl(X,Z) \to X$ над $0 \in X$ -- это проективное пространство $\Pp^{n-1}_k$. Если описывать этот слой инвариантно, без выбора коодинат, то можно видеть, что он естественно отождествляется с проективизацией касательного пространства $T_0\A^n_k$. \end{document}