\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, осень 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{8}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 9.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Когерентные пучки на проективном спектре --- теорема Серра.
Отображения в проективные пространства и линейные системы.
Обильные и очень обильные пучки.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Теорема Серра}

На прошлой лекции мы по $\ZZ_{\ge 0}$ градуированной алгебре $A^\hdot$
построили схему $X = \Proj A^\hdot$ (проективный спектр) над $\Spec A^0$ и
для всякого $\ZZ$-градуированного $A$-модуля $M^\hdot$ квазикогерентный
пучок $\widetilde{M^\hdot}$ на $X$. Особенно важными являются пучки
$\CO_X(n) = \widetilde{A^\hdot(n)}$, где $(n)$ означает сдвиг
градуировки на $n$.

\begin{lemma}
Если алгебра $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра,
то пучки $\CO_X(n)$ на $X$ локально свободны ранга $1$, и
$\widetilde{M^\hdot(n)} \cong \widetilde{M^\hdot}\otimes_{\CO_X}\CO_X(n)$
для любого $M^\hdot$. В частности $\CO_X(n)\otimes_{\CO_X}\CO_X(m) \cong \CO_X(n+m)$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть $f\in A^1$. На открытом множестве $S_f \subset X$ имеем
${\CO_X}_{|S_f} = \widetilde{(A[f^{-1}])^0}$,
${\CO_X(n)}_{|S_f} = \widetilde{(A[f^{-1}])^n} = f^n\widetilde{(A[f^{-1}])^0}$,
то есть на $S_f$ пучок $\CO_X(n)$ изоморфен пучку $\CO_X$.
Аналогично, $\widetilde{M^\hdot(n)}_{|S_f} = \widetilde{(M[f^{-1}])^n} = f^n\widetilde{(M[f^{-1}])^0} = \widetilde{(M[f^{-1}])^0} \otimes_{\widetilde{(A[f^{-1}])^0}} f^n\widetilde{(A[f^{-1}])^0}$,
откуда получаем изоморфизм $\widetilde{M^\hdot(n)} \cong \widetilde{M^\hdot}\otimes_{\CO_X}\CO_X(n)$ на $S_f$.
Остается заметить, что если алгебра $A^\hdot$ порождается
компонентой $A_1$, то открытые множества $S_f$, $f\in A_1$
покрывают все $X$.
\endproof

Конструкция проективного спектра во многом похожа на конструкцию аффинного
спектра. Мы знаем, что конструкция аффинного спектра обратима --
кольцо $A$ однозначно восстанавливается по схеме $\Spec A$. Обратима
ли конструкция $\Proj A^\hdot$? Вообще говоря, нет. Например,
имеется следующее явление.

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot$ -- градуированное кольцо, а $A^\hdot_m$ -- подкольцо
элементов степени, делящейся на $m$ (т.е. $A^l_m = A^{ml}$ для
любого $l$). Докажите, что $\Proj(A^\hdot) \cong \Proj(A^\hdot_m)$.
\end{exc}

Подалгебра $A_m^\hdot$ называется {\em подалгеброй Веронезе}.

Однако, если помимо самой схемы $X = \Proj(A^\hdot)$ нам даны пучки $\CO_X(n)$,
алгебра $A^\hdot$ может быть в большой степени восстановлена.
А имеено, всякому квазикогерентному пучку $\CF$ на $X$ сопоставим
градуированный $A^\hdot$-модуль $\Gamma^\hdot(\CF)$ следующим образом
$$
\Gamma^\hdot(\CF) = \bigoplus_{n\in\ZZ} \Gamma(X,\F\otimes\CO_X(n)).
$$

\begin{exc}
Постройте на $\Gamma^\hdot(\CF)$ струтуру $A^\hdot$-модуля,
покажите, что $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ является $A^\hdot$-алгеброй и проверьте, что
$\Gamma^\hdot(\CO_X) = A^\hdot$ для $X = \Pp^N_k = \Proj A^\hdot$, $A^\hdot = k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
\end{exc}

\begin{lemma}\label{gon}
Если $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль, $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$
как $A^0$-алгебра, и $A$ --- целостная алгебра, то $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ при $n\gg0$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- образующие $A^0$-модуля $A^1$.
По определению сечение расслоения $\CO_X(n)$ над $S_{z_i}$
это элемент степени $n$ в локализации $A[z_i^{-1}]$.
Так как $A$ --- целостное кольцо, все локализации $A[z_i^{-1}]$
естественно вкладываются в $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ и ясно, что
набор сечений над $S_{z_i}$ склеивается в сечение на всем $X$
тогда и только тогда, когда образы соответствующих элементов
в $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ совпадают. Итак,
$\Gamma(X,\CO_X(n))$ отождествляется с элементами степени $n$
в пересечении $\cap A[z_i^{-1}]$. Пусть теперь $x$ --- элемент
степени $n\ge 0$ в пересечении. Значит найдется $m$, такое что
$xz_i^m \in A$ при всех $i$, поэтому $x A^{\ge M} \subset A$, где $M = (m-1)(N+1) + 1$.
Но $\deg x \ge 0$, поэтому на самом деле $x A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$.
По индукции получаем $x^s A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$ для всех $s$.
Так как $A^{\ge M}$ --- конечно порожденный $A$-модуль, мы видим,
что $x$ --- цел над $A$. Следовательно, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$
цело над $A$ и, следовательно, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ является
конечно порожденным $A$-модулем.
Рассмотрим теперь фактормодуль $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$. Он конечно
порожден. С другой стороны, всякий его элемент при умножении на
$A^{\ge M}$ при достаточно большом $M$ зануляется. Поэтому
модуль $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$ сосредоточен в конечном числе степеней.
Значит $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ при $n\gg0$.
\endproof

\begin{corr}
При $m \gg 0$ $m$-ые подалгебры Веронезе алгебр $A^\hdot$ и $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ равны.
\end{corr}

Таким образом, при выполнении некоторых разумных условий,
алгебра $A$ восстанавливается по схеме $X$ и пучку $\CO_X(1)$
с точностью до конечного числа компонент.

Пусть алгебра $A^\hdot$ порождается элементами $z_0,z_1,\dots,z_N$ степени $1$.
Тогда существует сюръективный гомоморфизм $A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] \to A^\hdot$.
Ясно, что прообраз допустимого простого идеала допустим, значит возникает отображение
$\Proj A^\hdot \to \Proj A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] = \Pp_{A^0}^N$.

\begin{exc}\label{sur_clem}
Докажите, что это отображение является замкнутым вложением.
\end{exc}

\begin{opr}
Морфизм $X \to Y$ называется \emph{проективным}, если он пропускается через
замкнутое вложение в $\Pp_Y^N$ для некоторого $N$. Многообразие называется \emph{проективным},
если оно проективно над точкой.
\end{opr}

Проективный спектр любой конечно порожденной алгебры $A^\hdot$ проективен над $\Spec A^0$.

\begin{exc}
Покажите, что если схема $X$ проективна над $\Spec A$, то $X$ является
проективным спектром некоторой градуированной $A$-алгебры.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot$ --- $d$-ая подалгебра Веронезе в $k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
Докажите, что $\Proj A \cong \Pp^N$ вкладывается в $\Pp^{{\scriptscriptstyle {N+d \choose d}}-1}$.
\end{exc}

Это вложение называется $d$-кратным вложением Веронезе.

\begin{exc}
Докажите, что при $N = 1$, $d=2$ образ вложения Веронезе --- коника
{\rm(}коникой называется кривая степени $2$ в $\Pp^2${\rm)}
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot$ --- диагональная градуированная подалгебра в биградуированной алгебре
$k[z_0,z_1,\dots,z_N]\otimes k[w_0,w_1,\dots,w_M]$, {\rm(}ее компонента $A^n$ состоит
из элементов бистепени $(n,n)${\rm) в $k[z_0,z_1,\dots,z_N]\otimes k[w_0,w_1,\dots,w_M]$}.
Докажите, что $\Proj A \cong \Pp^N\times\Pp^M$ вкладывается в $\Pp^{MN + M + N}$.
\end{exc}

Это вложение называется вложением Сегре.

\begin{exc}
Докажите, что при $M = N = 1$ образ вложения Сегре --- квадрика в $\Pp^3$.
\end{exc}

\medskip


Теперь займемся пучками на проективном спектре.




\begin{lemma}
Если алгебра $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра,
то для всякого квазикогерентного пучка $\CF$ на $X = \Proj A^\hdot$
существует изоморфизм пучков $\beta:\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} \cong \CF$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть опять $f\in A^1$ и рассмотрим открытое подмножество $S_f \subset X$.
На $S_f$ имеем $\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} = \widetilde{(\Gamma^\hdot(\CF)[f^{-1}])^0}$,
поэтому всякое его сечение имеет вид $m/f^n$, где $m\in \Gamma(X,\CF\otimes\CO_X(n))$.
Ясно, что $1/f^n$ является сечением пучка $\CO_X(-n)$ на $S_f$, поэтому
$m\otimes(1/f^n)$ является сечением пучка $\CF\otimes\CO_X(n)\otimes\CO_X(-n) = \CF$
на $S_f$. Сопоставляя элемнту $m/f^n$ сечение $m\otimes(1/f^n)$ получаем изоморфизм
$\beta_f$ на $S_f$. Ясно, что изоморфизмы $\beta_f$ и $\beta_g$ согласованы
на пересечениях $S_f \cap S_g$, поэтому все они склеиваются в изоморфизм
$\beta$ на $\cup S_f = X$.
\endproof

Иначе говоря, всякий квазикогерентный пучок на схеме $\Proj A^\hdot$
представляется в виде $\widetilde{M^\hdot}$ для некоторого градуированного
$A^\hdot$-модуля $M^\hdot$.

\begin{lemma}
Если $A^0$ --- нетерово кольцо, $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль
и $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра, то
для всякого градуированного конечно порожденного $A^\hdot$-модуля $M^\hdot$
существует морфизм $A^\hdot$-модулей $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
являющийся изоморфизмом во всех степенях, начиная с некоторой.
\end{lemma}
\proof{}
Выберем набор образующих $z_0,z_1,\dots,z_n$ в $A^0$-модуле $A^1$.
Имеем естественные отображения $M^n \to (M[z_i^{-1}])^n$,
которые можно воспринимать как отображения $M^n \to \Gamma(S_{z_i},\widetilde{M^\hdot}(n))$.
Ясно, что эти отображения согласованы на пересечениях $S_{z_i}\cap S_{z_j}$
значит склеиваются в отображение $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
откуда получаем искомый гомоморфизм $\alpha$.
Остается проверить, что $\alpha$ --- изоморфизм в больших степенях.

Воспользуемся здесь результатами лекции 3 (точнее говоря, их градуированной
версией) --- на модуле $M$ существует конечная фильтрация, все присоединенные
факторы которой имеют вид $(A/\pp) (n)$, где $\pp$ --- однородный простой идеал.
Ясно, что такая фильтрация индуцирует фильтрацию на пучке $\widetilde{M^\hdot}$
и морфизм $\alpha$ согласован с фильтрацией (в силу функториальности). Поэтому достаточно доказать наше
утверждение для модулей вида $(A/\pp)(n)$. Кроме того, ясно что алгебру
$A$ можно заменить на $A/\pp$, таким образом вопрос сводится к лемме~\ref{gon}.
\endproof

Таким образом, $A^\hdot$-модуль $M^\hdot$ тоже восстанавливается
по пучку $\widetilde{M^\hdot}$ с точностью до конечно порожденного $A^0$-модуля.

\begin{exc}[необязательное]
Покажите, что категория когерентных пучков на $\Proj A$ эквивалентна
факторкатегории категории конечнопорожденных градуированных $A$-модулей
по подкатегории модулей конечно порожденных над $A^0$.
\end{exc}

%\begin{lemma}
%Для всякого градуированного $A^\hdot$-модуля $M^\hdot$ существует
%морфизм $A^\hdot$-модулей $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
%такой что ядро и коядро $\alpha$ являются модулями кручения, то есть всякий их элемент
%аннулируется некоторой степенью любого элемента из $A^{\ge 1}$.
%\end{lemma}
%\proof{}
%Для каждого $f\in A^l$ имеем естественное отображение $M^n \to (M[f^{-1}])^n$,
%которое можно воспринимать как отображение $M^n \to \Gamma(S_f,\widetilde{M^\hdot}(n))$.
%Ясно, что эти отображения согласованы на пересечениях $S_f\cap S_g$
%значит склеиваются в отображение $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%откуда получаем искомый гомоморфизм $\alpha$.
%Пусть теперь $m \in M^n$ лежит в его ядре. Значит элемент $m$
%равен нулю в локализации $M[f^{-1}]$, то есть $mf^k = 0$ для некоторого $k$.
%Поскольку это верно для любого $f$, $m$ является элементом кручения.
%
%Аналогично, если $m' \in \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%то для каждого $f$ элемент $m'$ лежит в $M[f^{-1}]^n$, то есть
%представляется в виде $m/f^k$ для некоторого $m\in M$.
%Значит $(m'f^k-m)f^l = 0$ для некоторого $l$, то есть
%$m'f^l = mf^{k+l}$, то есть образ $m'$ в коядре $\alpha$
%является элементом кручения.
%\endproof
%
%\begin{exc}
%Если $A^0$ --- нетерово кольцо, $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль
%и $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра, то
%всякий конечно порожденный градуированный модуль кручения
%сосредоточен в конечном числе степеней.
%\end{exc}
%
%\begin{prop}
%Если $A^0$ --- нетерово кольцо, $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль
%и $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра, то
%для любого конечно порожденного градуированного $A^\hdot$-модуля
%$M^\hdot$ существует целое число $n_M\in\Z$, такое что морфизм
%$\alpha:M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$
%является изоморфизмом при $n \ge n_M$.
%\end{prop}
%\proof{}
%Ясно, что кольцо $A^\hdot$ нетерово, модуль $M^\hdot$ нетеров,
%поэтому его подмодуль $\Ker\alpha$ конечно порожден,
%следовательно сосредоточен в конечном числе степеней.
%Покажем теперь, что модуль $\Gamma^\hdot(\CF)$ конечно порожден
%для любого когерентного пучка $\CF$ на $X = \Proj A^\hdot$.
%Из этого будет вытекать конечная порожденность модуля $\Coker\alpha$,
%то есть $\Coker\alpha$ тоже сосредоточен в конечном числе степеней.
%
%Пусть $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- образующие $A^0$-модуля $A^1$
%(они же являются образующими алгебры $A^\hdot$).
%На аффинных множествах $S_{z_i} = \Spec (A[z_i^{-1}])^0$
%пучок $\CF$ представляется в виде $\widetilde{M_i}$,
%где $M_i$ --- конечно порожденный $(A[z_i^{-1}])^0$-модуль.
%$M_i[z_i]$ является градуированным конечнопорожденным $A$-модулем
%и имеем очевидное вложение $\Gamma^\hdot(\CF) \subset \oplus_{i=0}^N M_i[z_i]$,
%поэтому $\Gamma^\hdot(\CF)$ действительно конечно порожден.
%\endproof
%
%Скажем еще несколько слов о проективном
%
%На прошлой лекции мы показали, что категория квазикогерентных пучков на аффинной схеме
%$\Spec A$ эквивалентна категории $A$-модулей. Естественно задать вопрос,
%можно ли описать категорию квазикогерентных пучков на проективной схеме
%$\Proj A^\hdot$ в терминах градуированной алгебры $A^\hdot$.
%
%Оказывается можно. На прошлой лекции мы сопоставили всякому градуированному
%$A^\hdot$-модулю $M^\hdot$ квазикогерентный пучок $\widetilde{M^\hdot}$.
%Пусть теперь

Часто бывают полезны относительные варианты спектра и проективного спектра.
Пусть $\CA$ --- квазикогерентный пучок $\CO_X$-алгебр на схеме $X$.
Для всякого аффинного открытого подмножества $U \subset X$
рассмотрим аффинную $U$-схему $\Spec(\CA(U))$ (проекция в $U$
возникает из морфизма алгебр $\CO_X(U) \to \CA(U)$). Отображения ограничения
$\CA(U) \to \CA(V)$ дают вложения схем$\Spec(\CA(V)) \to \Spec(\CA(U))$,
которые позволяют склеить некоторую схему над $X$, которая обозначается $\Spec_X(\CA)$
и называется относительным спектром пучка алгебр $\CA$ над $X$.

\begin{exc}
Пусть $\pi:X \to Y$ --- накрытие.
Покажите, что $X = \Spec_Y(\pi_*\CO_X)$.
\end{exc}

Аналогично для пучка градуированных $\CO_X$-алгебр определяется
относительный проективный спектр. Например, если $\CV$ --- локально свободный пучок
конечного ранга на схеме $X$, схема $\Pp_X(\CV) = \Proj_X(S^\hdot\CV^*)$
называется {\em проективизацией} пучка $\CV$, а если $i:Z \subset X$ --- замкнутая
подсхема, то схема $\Bl_Z(X) = \Proj_X(\oplus I_Z^{k})$ называется
раздутием пучка идеалов $I_Z = \Ker(\CO_X \to i_*\CO_Z)$.

\begin{exc}
Покажите, что раздутия пучков идеалов $I_Z^m$ и $I_Z$ равны.
\end{exc}








\subsection*{Обильные и очень обильные пучки.}


Пусть теперь дана абстрактная, неважно откуда взявшаяся схема $X$
над схемой $Y$ (т.е. снабженная морфизмом $X \to Y$).
Чтобы выяснить, является ли она проективной, попытаемся
построить отображение в проективное пространство $\Pp^N_Y$.

Пусть $Y= \Spec A$, $\Pp^N_Y = \Proj A[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
Линейное расслоение $\calo(1)$ на~$\Pp^N_k$ имеет $(N+1)$-мерное пространство глобальных сечений
с выделенным базисом (задаваемым образующими $z_0,z_1,\dots,z_N$). Этот набор сечений
задает морфизм пучков $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ на~$\Pp^N_Y$.

\begin{exc}
Докажите, что морфизм пучков $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ на $\Pp^N_Y$ сюръективен.
\end{exc}

Пусть теперь для простоты $X$ --- многообразие над полем $k$, и $\rho:X \to \Pp^N_k$ --- отображение.
Применяя функтор обратного образа $\rho^*$, получаем морфизм
$c_\rho:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to \rho^*\calo(1)$ на $X$. Функтор обратного образа точен справа
(он является композицией точного функтора $\rho^{-1}$ и точного справа функтора тензорного
произведения на $\calo_X$), поэтому морфизм $c_\rho$ сюръективен.
Покажем теперь, что отображение $\rho$ можно восстановить по морфизму $c_\rho$.

\begin{lemma}\label{recmap}
Пусть $L$ --- линейное расслоение на $X$ и $c:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to L$ --- сюръективный морфизм.
Тогда существует отображение $\rho:X \to \Pp^N_k$, такое что $L = \rho^*\calo(1)$ и $c = c_\rho$.
\end{lemma}
\proof{}
Отображение $\rho$ легко построить на уровне точек. Для всякой точки $x\in X$
с полем вычетов $K$ выберем изоморфизм $L_x\cong K$ (пучок $L$ локально свободен ранга $1$),
и рассмотрим набор координат $(c_x(e_0),c_x(e_1),\dots,c_x(e_N)) \in K^{N+1}$,
где $e_0,e_1,\dots,e_N$ --- стандартный базис в слое $(\calo_X^{\oplus (N+1)})_x = K^{N+1}$,
а $c_x$ --- морфизм слоев в $x$. Ясно, что полученный набор чисел не может быть нулевым,
так как морфизм $c$ сюръективен. Кроме того, замена изоморизма $L_x\cong K$ умножает весь
набор на ненулевую константу. Таким образом, получаем корректно определенную $K$-точку
проективного пространства $\Pp^N_k$. Тем самым возникает отображение $\rho:X \to \Pp^N_k$.
Опишем отображение $\rho$ локально. Пусть $x_0,x_1,\dots,x_N$ --- сечения расслоения $L$
на $X$, соответсвующие базисным векторам $e_0,\dots,e_N$. Пусть $X_i = \{x\in X\ |\ x_i(x)\ne 0\}$.
Это открытое по Зарискому подмножество (проверьте!). Рассмотрим гомоморфизм колец
$k[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^0 \to \calo_{X_i}$,
переводящий $z_j/z_i$ в $x_j/x_i$ (частное двух сечений линейного расслоения,
одно из которых нигде не обращается в нуль является корректно определенной функцией).
Легко видеть, что соответствующие отображения $\rho_i:X_i \to U_i = \{(z_0:z_1:\ldots:z_N)\in\Pp^N_k\ |\ z_i\ne 0\}$
совпадают на пересечениях $X_i\cap X_j$ и поэтому склеваются в морфизм схем $X \to \Pp^N_k$,
на уровне точек совпадающий с $\rho$.

Далее, ограничение пучка $\calo(1)$ на $U_i$ по определению соответствует свободному модулю
$z_ik[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^1$.
Сопоставляя элементу $z_i$ сечение $x_i\in L(X_i)$ получаем изоморфизм
$\rho_i^*\calo(1) \cong L_{|X_i}$. Опять же, построенные изоморфизмы
согласованы на пересечениях $X_i\cap X_j$, и поэтому дают изоморфизм $\rho^*\calo(1) \cong L$,
причем $c_\rho = c$.
\endproof

Полезно переписать это утверждение в бескоординатной форме. Пусть $V$ --- векторное пространство.
Положим $\Pp(V) = \Proj S^\hdot(V^*)$, где $S^\hdot(V^*)$ --- алгебра полиномиальных функций на $V$
(выбор базиса $z_0,z_1,\dots,z_N$ в $V^*$ дает изоморфизмы $S^\hdot(V^*) \cong k[z_0,z_1,\dots,z_N]$,
$\Pp(V) \cong \Pp^N_k$). Соответсвенно, отображению $\rho:X \to \Pp(V)$ соответсвует морфизм
$c_\rho:V^*\otimes\calo_X \to \rho^*\calo(1)$ и наоборот, всякому эпиморфизму $c:V\otimes\calo_X \to L$
отображение $\rho:X \to \Pp(V^*)$.


\begin{exc}
Докажите относительную версию леммы~$\ref{recmap}:$
если $\CV$ --- локально свободный пучок конечного ранга на схеме $Y$,
проверьте, что для всякой схемы $X$ над $Y$ с проекцией $\pi:X \to Y$,
существует биекция между морфизмами схем $X \to \Pp_Y(\CV)$ над $Y$
и эпиморфизмами пучков $\pi^*\CV^* \to L$.
\end{exc}

В частности, если мы хотим получить отображение в $\Pp^N_Y$ надо в качестве
$\CV$ взять свободный пучок, $\CV = V\otimes\CO_Y$. В этом случае
$\pi^*\CV^* = V^*\otimes\CO_X$, то есть задания такого отображения
равносильно заданию отображения $V^* \to H^0(X,L)$.

Итак, чтобы задать отображение $X$ в проективное пространство надо выбрать линейное расслоение $L$
и векторное пространство его сечений $V \to H^0(X,L)$, такое что соответствующий морфизм пучков
$V\otimes\calo_X \to L$ сюръективен (говорят, что пучок $L$ {\em порождается}\/ пространством $V$.
Ясно, что в качестве $V$ можно взять все пространство $H^0(X,L)$. Если оно порождает $L$
(в этом случае говорят, что $L$ {\em порождается глобальными сечениями}), получаем
отображение $X \to \Pp(H^0(X,L)^*)$. Кстати, обратимый пучок, некоторая положительная
степень которого порождается глобальными сечениями называется {\em полуобильным} (semiample).
%
%\begin{exc}
%Пусть $L$ --- полуобильный обратимый пучок.
%Проверьте, что пространство $V$ порождает $L$ тогда и только тогда,
%когда образ $X$ в $\Pp(H^0(X,L)^*)$ не пересекает $\Pp(V^\perp) \subset \Pp(H^0(X,L)^*)$ и что
%соответствующее отображение $X \to \Pp(V^*)$ раскладывается в композицию
%$X \to \Pp(H^0(X,L)^*)\setminus \Pp(V^\perp) \to \Pp(V^*)$, где
%второе отображение --- линейная проекция.
%\end{exc}
%
Произвольный обратимый пучок $L$ конечно не порождается глобальными сечениями.
% (и не дает морфизма).

\begin{opr}
{\em Базисным множеством} линейного расслоения $L$ называется множество
$B(L) \subset X$ таких точек $x \in X$, что все глобальные сечения
$L$ обращаются в $0$ в $x$.
\end{opr}

Это геометрическое описание; более формальное описание, которое
годится и в относительной ситуации $X/Y$, такое. Обозначим через
$\pi:X \to Y$ проекцию $X$ в $Y$. Тогда по сопряженности, имеем
естественное отображение $\eta:\pi^*\pi_*L \to L$.

\begin{exc}
Докажите, что $B(L) = \Supp \Coker\eta$ (т.е. множество точек, где
$\eta$ не сюръективно).
\end{exc}

Отсюда непосредственно очевидно, что $B(L)$ это алгебраическое
подмножество -- множество точек некоторой замкнутой подсхемы -- и
что определение на самом деле имеет смысл для любого
квазикогерентного пучка $\E$ на $X$. Пучок порождается глобальными сечениями,
если $B(L) = \emptyset$.

Итак, мы выяснили, что для задания отображения $Y$-схемы $\rho:X \to \Pp^N_Y$
достаточно указать линейное расслоение $\rho^*\CO(1)$.

\begin{opr}
Расслоение $L$ на $X/Y$ называется {\em очень обильным над $Y$}, если
существует такое проективное пространство $\Pp^N_Y$ и вложение $\rho:X \to
\Pp^N_Y$, что $L \cong \rho^*\calo(1)$. Расслоение называется просто
{\em обильным}, если какая-то его положительная тензорная степень
$L^{\otimes n}$, $n \geq 1$ очень обильна.
\end{opr}

Здесь под {\em вложением} мы вообще говоря понимаем композицию
открытого и замкнутого вложения: есть замкнутая подсхема
$\overline{X} \subset \Pp^N_Y$, и открытое вложение $X \subset \overline{X}$.



Попробуем теперь охарактеризовать обильные линейные расслоения.
Из вышесказанного ясно, что всякий обильный пучок порождается глобальными сечениями.
Обратное конечно не верно --- если дан глобально порожденный пучок
$L$, то он задает некоторое отображение $\rho:X \to \Pp(V)$,
$V = (H^0(X,L)^*)$ и ясно, что $L$ очень обилен тогда и только тогда,
когда это $\rho$ -- вложение (и это непустое условие -- например,
полезно помнить, что стуктурный пучок $\calo_X$ всегда глобально
порожден -- почему? -- но довольно часто глобальные функции на $X$
это только константы, так что $\dim V = 1$, и $\Pp(V)$ -- точка).

\begin{exc}
Морфизм схем $\rho:X \to Y$ является вложением тогда и только тогда,
когда
\begin{enumerate}
\item для любых двух разных точек $x,x' \in X$ имеем $\rho(x) \neq
\rho(x')$, и
\item для любой точки $x \in X$ и ненулевого касательного вектора (в
смысле Зарисского) $\xi$ в точке $x$, $\rho(\xi) \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}

Если отображение $\rho:X \to \Pp(V)$, отвечающее глобально
порожденному линейному расслоению $L$, удовлетворяет условию
\thetag{i}, то говорят, что $L$ {\em разделяет точки}, а если
условию \thetag{ii} -- то что $L$ {\em разделяет касательные
вектора}.

\begin{exc}
Пусть $\rho:X \to \Pp(V^*)$ --- отображение, заданное подпространством $V \subset H^0(X,L)$.
Проверьте, что условия предыдущего упражнения равносильны условиям
\begin{enumerate}
\item Для любых двух разных точек $x,x' \in X$ существует такое $s
\in H^0(X,L)$, что $s(x)=0$, а $s(x') \neq 0$.
\item для любой точки $x \in X$ и ненулевого касательного вектора (в
смысле Зарисского) $\xi$ в точке $x$, существует такое $s \in
H^0(X,L)$, что $s(x) = 0$, но $\langle ds, \xi \rangle \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}


Здесь последнее условие понимается в следующем смысле: поскольку
пучок $L$ локально свободен ранга $1$, можно считать, что $L|_U
\cong \calo_U$ в какой-то открытой окрестности $U \subset X$ точки
$x$; тогда $s$ это просто функция, и ее дифференциал $ds$ хорошо
определен. Если мы выберем другой изоморфизм $L|_U \cong \calo_U$,
то фунцкия, отвечающая $s$, умножится на обратимую функцию. Поэтому
$\langle ds,\xi \rangle$ умножится на ненулевую константу -- и тот
факт, что это число равно или не равно нулю, не зависит от выбора
изоморфизма $L|_U \cong \calo_U$.

Таким образом, линейное расслоение очень обильно, если оно (1) не
имеет базисных точек, (2) разделяет точки, и (3) разделяет
касательные вектора -- это формулировка в классическом стиле, без
схем и прочих современных технических средств.

\begin{exc}
Покажите, что если $L$ --- обильный пучок на нетеровой схеме $X$,
то для любого когерентного пучка $\CF$ найдется число $n_\CF$,
такое что для любого $n\ge n_\CF$ пучок $L^n\otimes\CF$
порождается глобальными сечениями.
\end{exc}

Конечно, существование обильного линейного расслоения на схеме $X$
еще не гарантирует ее проективности --- полученное отображение из $X$
в проективное пространство может не быть замкнутым вложением. На самом деле
это выполняется тогда и только тогда, когда $X$ обладает важным свойством ---
является {\em собственным}\/ над $Y$. Об этом свойстве мы поговорим на следующей лекции.

Последнее замечание на эту тему вот какое.
В классической геометрии всякое подпространство $V \subset H^0(X,L)$
называется {\em линейной системой}\/ (а все $H^0(X,L)$ -- {\em полной
линейной системой}). Исторически, эта терминология и само понятие
связано с другим, более геометрическим способом смотреть на сечения
линейных расслоений с помощью так называемых {\em дивизоров}. Мы это
будем обсуждать, но через некоторое время. Неполная линейная система $V$
точно так же, как и полная, имеет множество базисных точек $B(V)$ и
задает отображение $X \setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, которое может
быть или не быть вложением, разделять или не разделять точки, и т.д.

\begin{exc}
Пусть $A$ -- конечно-порожденная алгебра над полем $k$, $X = \Spec
A$ -- аффинная схема, $L = \calo_X$ -- тривиальное линейное
расслоение, а $V \subset A = H^0(X,\calo_X)$ -- конечномерное
подпространство. В каких случаях линейная система $V$ (1) очень
обильна? (2) не имеет базисных точек?
\end{exc}




\end{document}