\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\CL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, осень 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{9}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 10.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Отделимость. Собственность. Дивизоры Вейля и Картье.
Группа классов дивизоров и группа Пикара.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Отделимость и собственность}

Как уже отмечалось, топология Зариского намного грубее ``классической'' топологии,
поэтому, например, почти любая схема нехаусдорфова, а каждая нетерова схема квазикомпактна,
несмотря на то, что множества их комплексных (или вещественных) точек с индуцированной топологией
могут тем не менее быть хаусдорфовыми и некомпактными.

\begin{exc}
Покажите, что схема хаусдорфова в топологии Зариского только в том случае, если она является
несвязным объединением точек, и что множество комплексных точек любой аффинной
схемы конечного типа над $\C$ хаусдорфово.
\end{exc}

Хотелось бы сформулировать алгебраическое свойство схем, заменяющее для них
понятие хаусдорфовости. Таким свойством является отделимость.
Чтобы сформулировать соответствующее определение нам понадобится определение
диагонального морфизма.

Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем. Напомним, что существует схема $X\times_Y X$
с проекциями $p_1,p_2:X\times_Y X_2 \to X$, обладающая следующим универсальным свойством:
для любой схемы $Z$ и морфизмов $\varphi_1,\varphi_2:Z \to X$, таких что
$f\circ\varphi_1 = f\circ\varphi_2$ существует морфизм $\varphi:Z \to X\times_Y X$,
такой что $\varphi_1 = p_1\circ\varphi$, $\varphi_2 = p_2\circ\varphi$.
Эта схема называется \emph{расслоенным квадратом} $X$ над $Y$.
Пусть теперь $Z = X$ и $\varphi_1 = \varphi_2 = \id_X:X\to X$.
Индуцированный морфизм $X \to X\times_Y X$ называтся
\emph{диагональным морфизмом} и обозначается $\Delta$ или $\Delta_{X/Y}$.
По определению, имеем $p_1\circ\Delta = p_2\circ\Delta = \id_X$.

\begin{exc}
Пусть $X = \Spec A$, $Y = \Spec B$. Покажите, что диагональный морфизм $\Delta_{X/Y}:X \to X\times_Y X$
соответствует гомоморфизму умножения $A\otimes_B A \to A$.
\end{exc}

\begin{opr}
Морфизм схем $f:X \to Y$ называется \emph{отделимым} (separated), если диагональный морфизм
$\Delta_{X/Y}:X \to X\times_Y X$ является замкнутым вложением.
Схема $X$ называется \emph{отделимой}, если отделим морфизм $X \to \Spec\ZZ$,
то есть если замкнутым вложением является диагональный морфизм $\Delta_X:X\to X\times X$.
\end{opr}

Из предыдущего упражнения следует, что любой морфизм аффинных схем отделим
(гомоморфизм умножения сюръективен, так как в любом кольце есть единица!).
В частности, любая аффинная схема отделима. Однако, отделимость не является локальным
(по $X$, хотя и является локальным по $Y$) свойством, так как иначе всякий
морфизм был бы отделимым.

Стандартным примером неотделимой схемы является прямая с двойной точкой.
Пусть $U_1 = U_2 = \A^1$, $U_{12} = \A^1\setminus\{0\}$ и определим схему $X$
как склейку $U_1$ и $U_2$ вдоль $U_{12}$. Полученная схема обладает морфизмом
$p:X \to \A^1$, таким что $p$ является изоморфизмом над $\A^1\setminus\{0\}$,
но $p^{-1}(0)$ --- две точки (обозначим их $P_1$ и $P_2$). Покажем, что схема
$X$ неотделима. Для этого достаточно проверить, что точка $(P_1,P_2)\in X\times X$
лежит в замыкании диагонали $\Delta(X)\subset X\times X$. Рассмотрим вложения
$\A^1\cong U_1 \subset X$ и $\A^1\cong U_2 \subset X$. По определению произведения
получаем морфизм $\varphi:\A^1 \to X\times X$. Ясно, что
$\varphi(\A^1\setminus\{0\}) \subset \Delta(X)$, но $\varphi(0) = (P_1,P_2)$,
и в силу непрерывности $\varphi$ получаем
$(P_1,P_2) \in \overline{\varphi(\A^1\setminus\{0\})} \subset \overline{\Delta(X)}$.

\begin{rem}
На самом деле, для проверки отделимости, достаточно проверять, что \emph{диагональ},
то есть образ диагонального морфизма $\Delta_{X/Y}(X) \subset X\times_Y X$ замкнут.
Действительно, так как $\Delta(X) \cong X$ (посредством морфизмов
$\Delta_{X/Y}:X \to \Delta_{X/Y}(X)$ и, скажем, $p_1:\Delta_{X/Y}(X) \to X$),
а проверка сюръективности морфизма пучков $\CO_{X\times_Y X} \to (\Delta_{X/Y})_*\CO_X$
локальна по $X$, то есть здесь можно считать $X$ и $Y$ аффинными.
\end{rem}

Для проверки замкнутости диагонали, а значит и отделимости морфизма, удобно использовать
следующий критерий.

\begin{thm}[валюативный критерий отделимости]
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем, причем схема $X$ нетерова.
Пусть $R$ --- кольцо нормирования с полем частных $K$, $i:\Spec K \to \Spec R$ --- вложение,
соответствующее вложению $R \subset K$. Морфизм $f$ отделим, тогда и только тогда, когда
для любой коммутативной диаграммы
%\begin{equation}\label{valu}
$$
\begin{CD}
\Spec K @>>> X \\
@V{i}VV         @VV{f}V \\
\Spec R @>>> Y
\end{CD}
\eqno{(*)}
$$
%\end{equation}
существует не более одного морфизма $\Spec R \to X$, сохраняющего ее коммутативность.
\end{thm}
\proof{}
В кольце $R$ ровно два простых идеала: нулевой идеал и максимальный идеал нормирования.
Соответственно, на схеме $\Spec R$ ровно две точки, общая точка $\Spec K$ и замкнутая точка $\Spec k$,
где $k$ --- поле вычетов $R$. Заметим, что морфизм $\phi:\Spec R \to X$ однозначно определяется
своими ограничениями на $\Spec K$ и $\Spec k$. Действительно, если $\phi(\Spec k) = x\in X$
и $U = \Spec A$ --- аффинная окрестность точки $x$, то $\phi$ в силу непрерывности пропускается
через $U$ и однозначно определяется гомоморфизмом колец $A \to R$, который в свою очередь
однозначно определяется гомоморфизмом колец $A \to K$, так как $R \subset K$, то есть
ограничением морфизма $\phi$ на $\Spec K$.

Пусть теперь $f$ отделим, но $\phi_1,\phi_2:\Spec R \to X$ два разных морфизма,
сохраняющих коммутативность диаграммы. В силу вышесказанного $\phi_1(\Spec k) \ne \phi_2(\Spec k)$.
Так как $f\circ\phi_1 = f\circ\phi_2$ в силу коммутативности нижнего треугольника диаграммы, то
найдется морфизм схем $\phi:\Spec R \to X\times_Y X$, такой что
$\phi_1= p_1\circ\phi$ и $\phi_2= p_2\circ\phi$.
Заметим, что $\phi(\Spec K) = (\phi_1(\Spec K),\phi_2(\Spec K)) \in \Delta(X)$
в силу коммутативности верхнего треугольника диаграммы. С другой стороны,
$\phi(\Spec k) \in \overline{\phi(\Spec K)} \subset \overline{\Delta(X)}$,
в то время как $\phi(\Spec k) = (\phi_1(\Spec k),\phi_2(\Spec k)) \not\in \Delta(X)$.

Предположим теперь, что $f$ неотделим. Значит диагональ $\Delta(X) \subset X\times_Y X$ незамкнута.
Следовательно, найдется открытое аффинное подмножество $U = \Spec A \subset X\times_Y X$
и пара простых идеалов $\pp' \subset \pp \subset A$, так что точка $u'$, соответствующая идеалу $\pp'$
лежит в $\Delta(X)$, а точка $u$, соответствующая идеалу $\pp$ не лежит в $\Delta(X)$ и
локальное кольцо $A_{\pp}/\pp'$ одномерно.
Пусть $K$ --- поле частных кольца $A/\pp'$, а $R$ --- целое замыкание локального кольца $A_{\pp}/\pp'$ в $K$.

\begin{exc}\label{dvr}
Целое замыкание нетерова локального целостного кольца размерности $1$
в конечном расширении его поля частных --- кольцо дискретного нормирования.
\end{exc}
Итак, $R$ --- кольцо нормирования с полем частных $K$. Рассмотрим композицию естественных
отображений $A \to A_\pp \to A_\pp/\pp' \to R$ и пусть $\phi:\Spec R \to \Spec A \subset X\times_Y X$
соответствующий морфизм схем. Положим теперь $\phi_1 = p_1\circ\phi,$ $\phi_2 = p_2\circ\phi:\Spec R \to X$.
Заметим, что $f\circ\phi_1 = f\circ p_1\circ\phi = f\circ p_2\circ\phi = f\circ\phi_2$.
С другой стороны, ограничение отображения $\phi$ на $\Spec K$ соответствует гомоморфизму
$A \to A/\pp' = K$ и так как по предположению точка $u'$ лежит на диагонали, имеем
${\phi_1}_{|\Spec K} = {\phi_2}_{|\Spec K}$.
Рассмотрим коммутативную диаграмму $(*)$, в которой верхняя стрелка --- это ${\phi_1}_{|\Spec K} = {\phi_2}_{|\Spec K}$,
а нижняя стрелка --- это $f\circ\phi_1 = f\circ\phi_2$. Ясно, что моррфизмы $\phi_1$ и $\phi_2$
сохраняют ее коммутативность, так что остается показать, что $\phi_1\ne\phi_2$. Действительно,
в противном случае морфизм $\phi$ представлялся бы в виде композиции
$\phi = \Delta_{X/Y}\circ\phi_1 = \Delta_{X/Y}\circ\phi_2$ (в силу универсального свойства
расслоенного произведения), а значит точка $\phi(\Spec k)$ лежала бы на диагонали,
но $\phi(\Spec k)$ --- это точка, соответствующая идеалу $\pp$ в $A$, то есть точка $u$,
которая по предположению на диагонали не лежит.
\endproof

\begin{exc}
Пользуясь валюативным критерием докажите, что
\begin{enumerate}
\item открытые и замкнутые вложения отделимы;
\item композиция отделимых морфизмов отделима;
\item отделимость сохраняется при замене базы (если морфизм $f:X \to Y$ отделим,
то для любого морфизма $g:Y' \to Y$ (замена базы) проекция $X' = X\times_Y Y' \to Y'$
отделима);
\item произведение отделимых морфизмов отделимо;
\item если $f\circ g$ отделимо, то $g$ отделим.
\end{enumerate}
\end{exc}

\begin{exc}
Покажите, что множество комплексных точек отделимой схемы над полем $\C$ хаусдорфово относительно
классической топологии.
\end{exc}

Теперь сформулируем свойство схем, заменяющее для них
понятие компактности.

\begin{opr}
Морфизм $f:X\to Y$ называется \emph{замкнутым}, если образ любого замкнутого подмножества в $X$ замкнут в $Y$.
Морфизм $f:X\to Y$ называется \emph{универсально замкнутым}, если для любой замены базы $Y' \to Y$
морфизм $X' = X\times_Y Y' \to Y$ замкнут.
\end{opr}

Примером замкнутого, но не универсально замкнутого морфизма является проекция из $\A^1$ в точку.
Этот морфизм замкнут, так как любое подмножество точки замкнуто.
Однако, меняя базу на $\A^1$ получаем проекцию $\A^2 \to \A^1$,
которая не является замкнутым морфизмом. Действительно, образом
замкнутого множества с уравнением $xy=1$ является $\A^1\setminus\{0\}$.

\begin{opr}
Морфизм $f:X\to Y$ называется \emph{собственным} (proper),
если он конечного типа, отделим и универсально замкнут.
\end{opr}

Для проверки собственности морфизма тоже удобно использовать валюативный критерий.

\begin{thm}[валюативный критерий собственности]
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем конечного типа, причем схема $X$ нетерова.
Пусть $R$ --- кольцо нормирования с полем частных $K$, $i:\Spec K \to \Spec R$ --- вложение,
соответствующее вложению $R \subset K$. Морфизм $f$ собственный, тогда и только тогда, когда
для любой коммутативной диаграммы
%\begin{equation}\label{valu}
$$
\begin{CD}
\Spec K @>>> X \\
@V{i}VV         @VV{f}V \\
\Spec R @>>> Y
\end{CD}
\eqno{(*)}
$$
%\end{equation}
существует ровно один морфизма $\Spec R \to X$, сохраняющий ее коммутативность.
\end{thm}
\proof{}
Допустим, что морфизм $f$ собственный и дана диаграмма $(*)$. Пусть $X_R = X\times_Y\Spec R$.
Рассмотрим морфизм схемы $\Spec K \to X_R$, соответствующий верхней и левой стрелкам диаграммы $(*)$,
пусть точка $t'\in X_R$ --- ее образ, и пусть $T$ --- замыкание точки $t'$ в $X_R$.
Обозначим через $\pi$ ограничение проекции $X_R \to \Spec R$ на $T$.
Так как морфизм $X_R \to \Spec R$ замкнут в силу универсальной замкнутости морфизма $f$,
то множество $\pi(T)$ замкнуто в $\Spec R$. С другой стороны, $\pi(t') = i(\Spec K)$,
следовательно $\pi(T) = \Spec R$.
Выберем точку в $t\in T$ над замкнутой точкой в $\Spec R$ и пусть $U = \Spec A$ ---
аффинная окрестность точки $t$. Так как $t\in\overline{\{t'\}}$, имеем $t'\in \Spec A$.
$$
\begin{CD}
\Spec K @>>> \Spec A @>>> X_R        @>>> X \\
@.           @.           @V{i}VV         @VV{f}V \\
        @.           @.   \Spec R    @>>> Y
\end{CD}
\eqno{(*)}
$$
Пусть $\pp' \subset \pp \subset A$ --- простые идеалы, соответствующие точкам $t',t\in \Spec A$.
Рассмотрим гомоморфизмы $\alpha:A \to K$ и $\rho:R \to A$, соответствующие вложению $\Spec K \to \Spec A$
и проекции $\Spec A \to \Spec R$. Ясно, что $\Ker\alpha = \pp'$ и $\rho^{-1}(\pp)$ --- максимальный идеал в $R$.
Кроме того, ясно что $\alpha\circ\rho:R \to K$ --- естественное вложение.
Следовательно, $A/\pp'$ --- подкольцо в $K$, содержащее простой идеал $\pp/\pp'$,
пересечение которого с кольцом нормирования $R$ совпадает с максимальным идеалом нормирования.

\begin{exc}
Пусть $K$ --- поле, $R\subset K$ --- кольцо нормирования, а $\m\subset R$ --- идеал нормирования.
Если $A\subset K$ --- подкольцо содержащее $R$ и $\pp\subset A$ --- простой идеал,
такой что $\pp \cap R = \m$, то $A = R$.
\end{exc}
Итак, $A/\pp' = R$. Получаем гомоморфизм $A \to R$, то есть морфизм схем $\Spec R \to \Spec A$,
компонируя который с вложением $\Spec A \to X_R$ и проекцией $X_R \to X$, получаем
искомый морфизм $\Spec R \to X$. Этот морфизм единственный в силу отделемости морфизма $f$.


Предположим теперь, что выполняется критерий и установим собственность морфизма.
В силу сделанных предположений и доказанного валюативного критерия отделимости
достаточно проверить универсальную замкнутость морфизма $f$. Пусть $Y' \to Y$ ---
произвольная замена базы, $X' = X\times_Y Y'$, $f':X'\to Y'$ --- проекция,
и пусть $Z \subset X'$ --- замкнутое подмножество, такое что $f'(Z)$ не замкнуто в $Y'$.
Тогда найдется открытое аффинное подмножество $U = \Spec A \subset Y'$
и пара простых идеалов $\pp' \subset \pp \subset A$, так что точка $u'$, соответствующая идеалу $\pp'$
лежит в $f'(Z)$, а точка $u$, соответствующая идеалу $\pp$ не лежит в $f'(Z)$ и
локальное кольцо $A_{\pp}/\pp'$ одномерно. Пусть далее $u''$ --- точка в $Z$, такая что
$f'(u'') = u'$, $K$ --- ее поле вычетов (так что $A/\pp'$ --- подкольцо в $K$, причем $K$
является конечным расширением поля частных кольца $A/\pp'$), а $R$ --- целое замыкание
локального кольца $A_{\pp}/\pp'$ в $K$. Тогда по упр.~\ref{dvr} кольцо $R$ --- кольцо
нормирования с полем частных $K$.
По построению имеем морфизм $\Spec K \to Z$, компонируя который с вложением $Z \subset X'$
и проекцией $X' \to X$, получаем морфизм $\Spec K \to X$. С другой стороны, гомоморфизм колец
$A \to A_{\pp} \to A_{\pp}/\pp' \to R$ дает морфизм $\Spec R \to \Spec A$, компонируя который
с морфизмами $\Spec A \subset Y'$ и $Y' \to Y$, получаем морфизм $\Spec R \to Y$.
Получаем диаграмму $(*)$, причем коммутативную по построению.
Следовательно, существует морфизм $\Spec R \to X$, сохраняющий коммутативность диаграммы.
Пользуясь универсальным свойством расслоенного произведения, поднимаем его до морфизма
$\Spec R \to X'$. Ясно, что при этом морфизме замкнутая точка $\Spec R$ переходит в $Z$,
а ее образ в $Y'$ равен $u$, следовательно $u\in f'(Z)$, что противоречит сделанным предположениям.
\endproof

\begin{exc}
Пользуясь валюативным критерием докажите, что
\begin{enumerate}
\item замкнутые вложения собственны;
\item композиция собственных морфизмов собственна;
\item собственность сохраняется при замене базы (если морфизм $f:X \to Y$ собственный,
то для любого морфизма $g:Y' \to Y$ (замена базы) проекция $X' = X\times_Y Y' \to Y'$
собственна);
\item произведение собственных морфизмов собственное;
\item если $f\circ g$ собственный и $f$ отделимый, то $g$ собственный.
\end{enumerate}
\end{exc}

Кроме того, ясно, что собственность, так же как и отделимость, является локальным по базе свойством.

\begin{prop}
Всякий проективный морфизм собственный.
\end{prop}
\proof{}
Воспользуемся валюативным критерим собственности. Рассмотрим диаграмму $(*)$.
В силу перечисленных выше свойств можно считать, что $Y = \Spec A$, и $X = \Pp^N_A$.
Сделав замену базы $\Spec R \to Y$ можно считать, что $Y = \Spec R$ и $X = \Pp^N_R$.
и нижняя стрелка в диаграмме $(*)$ --- тождественный морфизм.
Морфизм $\Spec K \to \Pp^N_R$ --- это набор $(x_0,x_1,\dots,x_N)\in K^{N+1}\setminus\{0\}$
с точностью до умножения на константу.
С другой стороны, морфизм $\Spec R \to \Pp^N_R$ --- это набор $(y_0,y_1,\dots,y_N)\in R^{N+1}$,
такой что не все $y_i$ лежат в идеале нормирования (только тогда соответствующий морфизм
$R^{N+1} \to R$ сюръективен). Иначе говоря, это набор элементов в $K^{N+1}$, такой что
их нормирования неотрицательны, причем нормирование одного из элементов равно нулю.
Ограничение такого морфизма на $\Spec K$ задается тем же набором эелементов.
Поэтому надо убедиться, что для любого набора $(x_0,x_1,\dots,x_N)\in K^{N+1}\setminus\{0\}$
найдется единственный (с точностью до обратимого элемента кольца $R$) элемент $t\in K\setminus\{0\}$,
такой что нормы всех элементов $(x_0/t,x_1/t,\dots,x_N/t)$ неотрицательны, а одна из них равна нулю.
Но ясно, что такой элемент действительно есть и определен однозначно с точностью до обратимого элемента
кольца $R$ --- это элемент поля, норма которого равна минимальной из норм элементов в $x_0,x_1,\dots,x_N$.
\endproof

Отсюда легко вытекает критерий проективности.

\begin{exc}
Докажите, что морфизм $X \to Y$ проективен тогда и только тогда, когда он собственный
и на $X$ существует линейное расслоение обильное над $Y$.
\end{exc}


\section*{Дивизоры и обратимые пучки}

Пусть $X$ --- целая нормальная отделимая нетерова схема. Неприводимая приведенная
подсхема $Y \subset X$ коразмерности $1$ называется {\em простым дивизором}\/ на $X$.
Свободная абелева группа, порожденная всеми простыми дивизорами называется
группой дивизоров и обозначается $\Div X$, а ее элементы называются дивизорами.

Пусть $Y \subset X$ --- простой дивизор, а $R$ --- локальное кольцо его точки.
Ясно, что $R$ --- целозамкнутое нетерово одномерное подкольцо в поле $K(X)$
рациональных функций на $X$, следовательно $R$ --- кольцо дискретного нормирования
(упр.~\ref{dvr}).
Пусть $v_Y:K^* \to \ZZ$ --- соответствующее нормирование.

\begin{exc}
Покажите, что простой дивизор однозначно определеяется своим нормированием,
и приведите пример нормирования, не соответствующего никакому дивизору.
\end{exc}

Если $f\in K^*$ --- ненулевая рациональная функция на $X$, то целое число $v_Y(f)$
называется {\em кратностью $f$ вдоль $Y$}. Если кратность положительна, говорят,
что $f$ имеет на $Y$ \emph{нуль} (соответствующей кратности),
а если отрицательна --- \emph{полюс}.

\begin{lemma}
Если $f \in K^*(X)$ то существует лишь конечное число простых дивизоров $Y$ на $X$,
таких что $v_Y(f)\ne 0$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть $U \subset X$ --- открытое аффинное подмножество, на котором функция $f$ регулярна,
а $U' \subset U$ --- множество точек в $U$, в которых $f\ne 0$. Тогда $Z = X\setminus U'$ ---
замкнутое подмножество. Пусть теперь $Y \subset X$ --- простой дивизор. Если общая точка $Y$
лежит в $U'$, то ясно что $v_Y(f) = 0$. Если же нет, то $Y \subset Z$, то есть является
неприводимой компонентой в $Z$, однако в силу нетеровости схемы $X$ множество $Z$
имеет не более чем конечное количество неприводимых компонент коразмерности $1$.
\endproof

В силу этой леммы, всякой ненулевой рациональной функции соответствует дивизор
$$
(f) = \sum_{Y\subset X,\ \codim Y = 1} v_Y(f)Y.
$$
Дивизоры, представимые в таком виде, называются \emph{главными}.
Очевидно, имеем $(f/g) = (f) - (g)$, поэтому множество главных дивизоров --- подгруппа в $\Div X$.
Дивизоры $D_1$ и $D_2$, разность которых $D_1 - D_2$ есть главный дивизор, называются \emph{линейно эквивалентными}.
Это обозначается так: $D_1 \sim D_2$.
Факторгруппа группы $\Div X$ по главным дивизорам называется группой классов дивизоров на $X$
и обозначается $\Cl X$. Ее элементы --- классы линейной эквивалентности дивизоров.

Группа классов дивизоров позволяет отличать факториальные кольца от нефакторивальных.
Для этого нам понадобится

\begin{exc}
Нетерово целостное кольцо факториально тогда и толко тогда, когда
в нем всякий простой идеал высоты $1$ главный.
\end{exc}

\begin{lemma}
Пусть $X = \Spec A$ --- нетерова целая аффинная схема.
Кольцо $A$ факториально тогда и только тогда, когда
схема $X$ нормальна и $\Cl X = 0$.
\end{lemma}
\proof{}
Если кольцо факториально, то оно целозамкнуто (упр.~4.11), поэтому его спектр нормален.
Пусть $Y \subset X$ --- простой дивизор, а $\pp \subset A$ --- соответствующий
простой идеал высоты $1$. Тогда $\pp$  --- главный, то есть порождается элементом
$f\in A$. Ясно, что дивизор функции $f$ --- это $Y$. Значит $\Cl X = 0$.

Обратно, если $X$ нормальна, то кольцо $A$ целозамкнуто, так что остается проверить,
что $\Cl X = 0$ влечет факториальность. Согласно упражнению достаточно проверить,
что простые идеалы высоты $1$ главные. Пусть $\pp$ --- такой идеал, а $Y$ --- его
простой дивизор. Так как $\Cl X = 0$, $Y = (f)$, где $f\in\Frac(A)$.
По определению $v_Y(f) = 1$, но $v_{Y'}(f) = 0$ для всех остальных простых дивизоров.
В частности, $f \in \cap_{\htt\pp' = 1} A_{\pp'}$, значит $f \in A$ по предложению~4.7.
Покажем, что $f$ порождает $\pp$. Пусть $g\in \pp$ и рассмотрим $g/f$. Ясно, что
$v_Y(g/f) \ge 0$ и для всех остальных простых дивизоров $v_{Y'}(g/f) \ge 0$.
Значит $g/f \in A$, то есть $g$ лежит в идеале порожденном $f$.
\endproof

\begin{corr}
$\Cl \A^N = 0$.
\end{corr}

Аналогичные рассуждения для проективного пространства доказывают

\begin{prop}
$\Cl\Pp^N = \Z$.
\end{prop}
\proof{}
Пусть $\Pp^N = \Proj k[x_0,x_1,\dots,x_N]$.
Кольцо многочленов факториально, а всякий простой идеал высоты $1$ в факториальном
кольце --- главный, поэтому всякий простой дивизор в проективном пространстве ---
гиперповерхность, уравнение которой --- однородный многочлен от $x_i$.
Назовем степенью простого дивизора степень его уравнения, обозначается $\deg Y$.
Получаем гомоморфизм групп $\deg:\Div X \to \Z$.
С другой стороны, рациональная функция на проективном пространстве --- это
рациональная функция степени $0$ от $x_i$, поэтому всякий главный дивизор имеет
степень $0$. И обратно, если $D = \sum a_iY_i$ --- дивизор, $\deg D = 0$,
а $f_i$ --- уравнение дивизора $Y_i$, то $\prod f_i^{a_i}$ --- рациональная
функция от $x_i$, а ее дивизор равен $D$. Поэтому группа главных дивизоров ---
это $\Ker\deg$, т.е. $\Cl \Pp^N = \Z$.
\endproof

\begin{exc}
Пусть $Y \subset X$ --- замкнутое подмножество, а $Y_1,\dots,Y_n$ ---
его неприводимые компоненты коразмерности $1$. Докажите, что
существует точная последоватльность абелевых групп
$$
\begin{CD}
\Z^n @>{(Y_1,\dots,Y_n)}>> \Cl X @>>> \Cl(X - Y) @>>> 0.
\end{CD}
$$
В частности, если $\codim Y \ge 2$, то $\Cl(X-Y) = \Cl X$.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $X = \{(x,y,z)\ |\ xy = z^2\} \subset \A^3$ --- квадратичный конус.
Покажите, что $\Cl X = \Z/2\Z$ и порождается прямолинейной образующей конуса.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $X = \{(x,y,z,w)\ |\ xy = zw\} \subset \Pp^3$ --- неособая квадрика.
Покажите, что $\Cl X = \Z\oplus\Z$.
\end{exc}

Дивизоры, о которых говорилось выше, называются также \emph{дивизорами Вейля}.
К сожалению, дивизоры Вейля не определены для ненормальных схем. Кроме того,
они недостаточно функториальны. Поэтому часто используют другое определение
для дивизоров --- \emph{дивизоры Картье}. Сразу скажем, что на регулярных
схемах понятия дивизора Вейля и дивизора Картье эквивалентны.

Пусть вначале схема $X$ такая же как и выше.

\begin{opr}
\emph{Дивизором Картье} на целой нормальной отделимой нетеровой схеме $X$
называется локально главный дивизор Вейля.
\end{opr}

Иначе говоря, дивизор Вейля $D$ является дивизором Картье, если существует
покрытие $\{U_i\}$ схемы $X$, такое что на каждом из $U_i$ дивизор $D$
является дивизором рациональной функции $f_i$. Заметим, что поскольку
на пересечениях $U_i \cap U_j$ функции $f_i$ и $f_j$ задают один и тот же дивизор,
то их отношение $f_i/f_j$ регулярная обратимая функция, то есть сечение пучка $\CO^*$.
Иначе говоря, набор функций $\{f_i\}$ задает глобальное сечение на $X$ пучка $\CK^*/\CO^*$,
где $\CK^*$ --- пучок обратимых рациональных функций. Обратно, всякое глобальное сечение
пучка $\CK^*/\CO^*$ локально поднимается до рациональной функции,
поэтому задается набором ненулевых рациональных функций $\{f_i\}$
в некотором покрытии $\{U_i\}$ схемы $X$, которые на пересечениях
отличаются на обратимую регулярную функцию, и поэтому их дивизоры
склеиваются в корректно определенный локально главный дивизор Вейля на $X$.
Это наблюдение позволяет определить группу дивизоров Картье для любой схемы $X$.

\begin{opr}
\emph{Дивизор Картье} на произвольной схеме $X$ --- это глобальное сечение
пучка $\CK^*/\CO^*$.
\end{opr}

Самым важным свойством дивизоров Картье является их связь с обратимыми пучками.
Пусть $D$ --- дивизор Картье, заданный в покрытии $\{U_i\}$ набором рациональных
функций $\{f_i\}$. Рассмотрим на каждом из множеств $U_i$ пучок функций $\CO_{U_i}$
и склеим эти пучки на пересечениях $U_i/U_j$ с помощью изоморфизмов, заданных
умножением на регулярные обратимые функции $f_i/f_j$.
Иначе говоря, мы рассматриваем пучок, сечения которого
над открытым множеством $U$ --- это наборы регулярных функций $\phi_i\in\CO(U\cap U_i)$,
таких что на $U\cap U_i\cap U_j$ выполняется равенство $\phi_i/f_i = \phi_j/f_j$.
Такой пучок обозначается $\CO_X(D)$.

\begin{exc}
Пучок $\CO_X(D)$ корректно определен дивизором $D$ (не зависит от выбора покрытия $U_i$
и рациональных функций $f_i$, задающих $D$) и когерентен.
\end{exc}

Заметим сразу, что пучок $\CO_X(D)$ локально свободен ранга $1$, то есть обратимый пучок.
Кроме того, набор функций $f_i$ по которым этот пучок строился, задает глобальное
рациональное сечение этого пучка, которое корректно определено с точностью до умножения
на глобальную регулярную обратимую функцию. Обозначим это сечение $s_D$.

\begin{lemma}
Сопоставление $D \mapsto (\CO_X(D),s_D)$ задает биекцию между множеством
дивизоров Картье и обратимых пучков с ненулевым рациональным сечением
с точностью до умножения на глобальную регулярную обратимую функцию.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть $\CL$ --- обратимый пучок, а $s$ --- его рациональное сечение.
Выберем покрытие $\{U_i\}$, такое что на каждом из $U_i$ пучок $\CL$
тривиален, выберем изоморфизм $\CL_{|U_i} \cong \CO_{U_i}$ и обозначим
через $f_i$ рациональную функцию, соответствующую сечению $s_{|U_i}$.
Ясно, что на $U_i\cap U_j$ функция $f_i/f_j$ регулярная обратимая,
поэтому получаем дивизор Картье, $D$ и очевидно $\CL \cong \CO_X(D)$,
$s_D = s$.
\endproof

\begin{exc}\label{topic}
Отображение $D \mapsto \CO_X(D)$ является гомоморфизмом групп:\\
$\CO_X(D_1 + D_2) \cong \CO_X(D_1)\otimes\CO_X(D_2)$.
\end{exc}

Ясно, что дивизор рациональной функции всегда является дивизором Картье.
Поэтому определена группа классов дивизоров Картье. Кроме того, для главного
дивизора Картье пучок $\CO_X(D)$ изоморфен пучку $\CO_X$ (если все $f_i$
являются ограничением одной рациональной функции $f$, то $\phi_i = \phi_j$
на пересечениях $U_i\cap U_j$ и поэтому набор $\phi$, задающий сечение
пучка $\CO_X(D)$ над $U$ склеивается в регулярную на $U$ функцию).
Обратно, предположим, что $\CO_X(D) \cong \CO_X$. Тогда сечение $1\in\CO_X(U)$
представляется как набор регулярных обратимых функций $\phi_i$ на $U_i$,
причем $\phi_i/f_i = \phi_j/f_j$. Следовательно, набор рациональных функций
$f_i/\phi_i$ согласован на пересечениях и склеивается в глобальную рациональную
функцию $f$. Ясно, что $D = (f)$. Итак, $\CO_X(D) \cong \CO_X$ тогда и только тогда,
когда дивизор $D$ главный. Пользуясь упражнением~\ref{topic} заключаем,
что $\CO_X(D_1) \cong \CO_X(D_2)$ тогда и только тогда, когда $D_1 \sim D_2$.
Значит, отображение $D\mapsto \CO_X(D)$ задает вложение группы классов дивизоров Картье
в группу обратимых пучков, \emph{группу Пикара} схемы $X$. Группа Пикара обозначается $\Pic X$.
Обратимый пучок $\CL$ лежит в образе этого гомоморфизма, если обладает рациональным сечением.

\begin{prop}
Группа классов дивизоров Картье на целой схеме $X$ изоморфна $\Pic X$.
\end{prop}
\proof{}
Согласно вышесказанному, надо проверить, что любой обратимый пучок $\CL$ на целой схеме
имеет рациональное сечение. Выберем $U\subset X$, над которым $\CL$ тривиален
и выберем его регулярное сечение над $U$. Ясно, что оно задает рациональное сечение
$\CL$ над $\overline{U}$, то есть над $X$.
\endproof

\begin{thm}
Если $X$ --- регулярная схема, то всякий дивизор Вейля на $X$ является дивизором Картье.
В частности $\Cl X = \Pic X$.
\end{thm}
\proof{}
Регулярное кольцо факториально (лекция 6).
\endproof

\begin{corr}
$\Pic \Pp^N \cong \Z$, изоморфизм задается отображением $n\mapsto \CO_X(n)$.
\end{corr}

\begin{exc}
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем и $\CL$ --- обратимый пучок на $Y$.
Докажите, что $f^*\CL$ --- обратимый пучок на $X$, и что $f^*:\Pic Y \to \Pic X$ --- гомоморфизм групп.
\end{exc}

\begin{exc}
Докажите, что группа автоморфизмов проективного пространства --- это $PGL_n$
(покажите, что если $f$ --- автоморфизм, то $f^*\CO(1) \cong \CO(1)$).
\end{exc}

\end{document}

Продемонстрируем применение валюативного критерия



Конструкция проективного спектра во многом похожа на конструкцию аффинного
спектра. Мы знаем, что конструкция аффинного спектра обратима --
кольцо $A$ однозначно восстанавливается по схеме $\Spec A$. Обратима
ли конструкция $\Proj A^\hdot$? Вообще говоря, нет. Например,
имеется следующее явление.

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot$ -- градуированное кольцо, а $A^\hdot_m$ -- подкольцо
элементов степени, делящейся на $m$ (т.е. $A^l_m = A^{ml}$ для
любого $l$). Докажите, что $\Proj(A^\hdot) \cong \Proj(A^\hdot_m)$.
\end{exc}

Подалгебра $A_m^\hdot$ называется {\em подалгеброй Веронезе}.

Однако, если помимо самой схемы $X = \Proj(A^\hdot)$ нам даны пучки $\CO_X(n)$,
алгебра $A^\hdot$ может быть в большой степени восстановлена.
А имеено, всякому квазикогерентному пучку $\CF$ на $X$ сопоставим
градуированный $A^\hdot$-модуль $\Gamma^\hdot(\CF)$ следующим образом
$$
\Gamma^\hdot(\CF) = \bigoplus_{n\in\ZZ} \Gamma(X,\F\otimes\CO_X(n)).
$$

\begin{exc}
Постройте на $\Gamma^\hdot(\CF)$ струтуру $A^\hdot$-модуля,
покажите, что $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ является $A^\hdot$-алгеброй и проверьте, что
$\Gamma^\hdot(\CO_X) = A^\hdot$ для $X = \Pp^N_k = \Proj A^\hdot$, $A^\hdot = k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
\end{exc}

\begin{lemma}\label{gon}
Если $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль, $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$
как $A^0$-алгебра, и $A$ --- целостная алгебра, то $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ при $n\gg0$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- образующие $A^0$-модуля $A^1$.
По определению сечение расслоения $\CO_X(n)$ над $S_{z_i}$
это элемент степени $n$ в локализации $A[z_i^{-1}]$.
Так как $A$ --- целостное кольцо, все локализации $A[z_i^{-1}]$
лежат в $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ и ясно, что
набор сечений над $S_{z_i}$ склеивается в сечение на всем $X$
тогда и только тогда, когда образы соответствующих элементов
в $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ совпадают. Итак,
$\Gamma(X,\CO_X(n))$ отождествляется с элементами степени $n$
в пересечении $\cap A[z_i^{-1}]$. Пусть теперь $x$ --- элемент
степени $n\ge 0$ в пересечении. Значит найдется $m$, такое что
$xz_i^m \in A$, поэтому $x A^{\ge M} \subset A$, где $M = mN + 1$.
Но $\deg x \ge 0$, поэтому на самом деле $x A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$.
По индукции получаем $x^s A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$ для всех $s$.
Так как $A^{\ge m}$ --- конечно порожденный $A$-модуль, мы видим,
что $x$ --- цел над $A$. Следовательно, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$
цело над $A$ и, следовательно, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ является
конечно порожденным $A$-модулем.
Рассмотрим теперь фактормодуль $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$. Он конечно
порожден. С другой стороны, всякий его элемент при умножении на
$A^{\ge M}$ при достаточно большом $M$ зануляется. Поэтому
модуль $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$ сосредоточен в конечном числе степеней.
Значит $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ при $n\gg0$.
\endproof

\begin{corr}
При $m \gg 0$ $m$-ые подалгебры Веронезе алгебр $A^\hdot$ и $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ равны.
\end{corr}

Таким образом, при выполнении некоторых разумных условий,
алгебра $A$ восстанавливается по схеме $X$ и пучку $\CO_X(1)$
с точностью до конечного числа компонент.

Пусть алгебра $A^\hdot$ порождается элементами $z_0,z_1,\dots,z_N$ степени $1$.
Тогда существует сюръективный гомоморфизм $A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] \to A^\hdot$.
Ясно, что прообраз допустимого простого идеала допустим, значит возникает отображение
$\Proj A^\hdot \to \Proj A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] = \Pp_{A^0}^N$.

\begin{exc}\label{sur_clem}
Докажите, что это отображение является замкнутым вложением.
\end{exc}

\begin{opr}
Морфизм $X \to Y$ называется \emph{проективным}, если он пропускается через
замкнутое вложение в $\Pp_Y^N$ для некоторого $N$. Многообразие называется \emph{проективным},
если оно проективно над точкой.
\end{opr}

Проективный спектр любой конечно порожденной алгебры $A^\hdot$ проективен над $\Spec A^0$.

\begin{exc}
Покажите, что если схема $X$ проективна над $\Spec A$, то $X$ является
проективным спектром некоторой градуированной $A$-алгебры.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot$ --- $d$-ая подалгебра Веронезе в $k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
Докажите, что $\Proj A \cong \Pp^N$ вкладывается в $\Pp^{{\scriptscriptstyle {N+d \choose d}}-1}$.
\end{exc}

Это вложение называется $d$-кратным вложением Веронезе.

\begin{exc}
Докажите, что при $N = 1$, $d=2$ образ вложения Веронезе --- коника
{\rm(}коникой называется кривая степени $2$ в $\Pp^2${\rm)}
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot$ --- подалгебра в биградуированной алгебре
$k[z_0,z_1,\dots,z_N]\otimes k[w_0,w_1,\dots,w_M]$, {\rm(}$A^n$ состоит из элементов бистепени $(n,n)${\rm)}.
Докажите, что $\Proj A \cong \Pp^N\times\Pp^M$ вкладывается в $\Pp^{MN + M + N}$.
\end{exc}

Это вложение называется $d$-кратным вложением Сегре.

\begin{exc}
Докажите, что при $M = N = 1$ образ вложения Сегре --- квадрика в $\Pp^3$.
\end{exc}

\medskip


Теперь займемся пучками на проективном спектре.




\begin{lemma}
Если алгебра $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра,
то для всякого квазикогерентного пучка $\CF$ на $X = \Proj A^\hdot$
существует изоморфизм пучков $\beta:\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} \cong \CF$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть опять $f\in A^1$ и рассмотрим открытое подмножество $S_f \subset X$.
На $S_f$ имеем $\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} = \widetilde{(\Gamma^\hdot(\CF)[f^{-1}])^0}$,
поэтому всякое его сечение имеет вид $m/f^n$, где $m\in \Gamma(X,\CF\otimes\CO_X(n))$.
Ясно, что $1/f^n$ является сечением пучка $\CO_X(-n)$ на $S_f$, поэтому
$m\otimes(1/f^n)$ является сечением пучка $\CF\otimes\CO_X(n)\otimes\CO_X(-n) = \CF$
на $S_f$. Сопоставляя элемнту $m/f^n$ сечение $m\otimes(1/f^n)$ получаем изоморфизм
$\beta_f$ на $S_f$. Ясно, что изоморфизмы $\beta_f$ и $\beta_g$ согласованы
на пересечениях $S_f \cap S_g$, поэтому все они склеиваются в изоморфизм
$\beta$ на $\cup S_f = X$.
\endproof

Иначе говоря, всякий квазикогерентный пучок на схеме $\Proj A^\hdot$
представляется в виде $\widetilde{M^\hdot}$ для некоторого градуированного
$A^\hdot$-модуля $M^\hdot$.

\begin{lemma}
Если $A^0$ --- нетерово кольцо, $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль
и $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра, то
для всякого градуированного конечно порожденного $A^\hdot$-модуля $M^\hdot$
существует морфизм $A^\hdot$-модулей $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
являющийся изоморфизмом во всех степенях, начиная с некоторой.
\end{lemma}
\proof{}
Выберем набор образующих $z_0,z_1,\dots,z_n$ в $A^0$-модуле $A^1$.
Имеем естественные отображения $M^n \to (M[z_i^{-1}])^n$,
которые можно воспринимать как отображения $M^n \to \Gamma(S_{z_i},\widetilde{M^\hdot}(n))$.
Ясно, что эти отображения согласованы на пересечениях $S_{z_i}\cap S_{z_j}$
значит склеиваются в отображение $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
откуда получаем искомый гомоморфизм $\alpha$.
Остается проверить, что $\alpha$ --- изоморфизм в больших степенях.

Воспользуемся здесь результатами лекции 3 (точнее говоря, их градуированной
версией) --- на модуле $M$ существует конечная фильтрация, все присоединенные
факторы которой имеют вид $(A/\pp) (n)$, где $\pp$ --- однородный простой идеал.
Ясно, что такая фильтрация индуцирует фильтрацию на пучке $\widetilde{M^\hdot}$
и морфизм $\alpha$ согласован с фильтрацией. Поэтому достаточно доказать наше
утверждение для модулей вида $(A/\pp)(n)$. Кроме того, ясно что алгебру
$A$ можно заменить на $A/\pp$, таким образом вопрос сводится к лемме~\ref{gon}.
\endproof

Таким образом, $A^\hdot$-модуль $M^\hdot$ тоже восстанавливается
по пучку $\widetilde{M^\hdot}$ с точностью до конечно порожденного $A^0$-модуля.

\begin{exc}[необязательное]
Покажите, что категория когерентных пучков на $\Proj A$ эквивалентна
факторкатегории категории конечнопорожденных градуированных $A$-модулей
по подкатегории модулей конечно порожденных над $A^0$.
\end{exc}

%\begin{lemma}
%Для всякого градуированного $A^\hdot$-модуля $M^\hdot$ существует
%морфизм $A^\hdot$-модулей $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
%такой что ядро и коядро $\alpha$ являются модулями кручения, то есть всякий их элемент
%аннулируется некоторой степенью любого элемента из $A^{\ge 1}$.
%\end{lemma}
%\proof{}
%Для каждого $f\in A^l$ имеем естественное отображение $M^n \to (M[f^{-1}])^n$,
%которое можно воспринимать как отображение $M^n \to \Gamma(S_f,\widetilde{M^\hdot}(n))$.
%Ясно, что эти отображения согласованы на пересечениях $S_f\cap S_g$
%значит склеиваются в отображение $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%откуда получаем искомый гомоморфизм $\alpha$.
%Пусть теперь $m \in M^n$ лежит в его ядре. Значит элемент $m$
%равен нулю в локализации $M[f^{-1}]$, то есть $mf^k = 0$ для некоторого $k$.
%Поскольку это верно для любого $f$, $m$ является элементом кручения.
%
%Аналогично, если $m' \in \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%то для каждого $f$ элемент $m'$ лежит в $M[f^{-1}]^n$, то есть
%представляется в виде $m/f^k$ для некоторого $m\in M$.
%Значит $(m'f^k-m)f^l = 0$ для некоторого $l$, то есть
%$m'f^l = mf^{k+l}$, то есть образ $m'$ в коядре $\alpha$
%является элементом кручения.
%\endproof
%
%\begin{exc}
%Если $A^0$ --- нетерово кольцо, $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль
%и $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра, то
%всякий конечно порожденный градуированный модуль кручения
%сосредоточен в конечном числе степеней.
%\end{exc}
%
%\begin{prop}
%Если $A^0$ --- нетерово кольцо, $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль
%и $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра, то
%для любого конечно порожденного градуированного $A^\hdot$-модуля
%$M^\hdot$ существует целое число $n_M\in\Z$, такое что морфизм
%$\alpha:M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$
%является изоморфизмом при $n \ge n_M$.
%\end{prop}
%\proof{}
%Ясно, что кольцо $A^\hdot$ нетерово, модуль $M^\hdot$ нетеров,
%поэтому его подмодуль $\Ker\alpha$ конечно порожден,
%следовательно сосредоточен в конечном числе степеней.
%Покажем теперь, что модуль $\Gamma^\hdot(\CF)$ конечно порожден
%для любого когерентного пучка $\CF$ на $X = \Proj A^\hdot$.
%Из этого будет вытекать конечная порожденность модуля $\Coker\alpha$,
%то есть $\Coker\alpha$ тоже сосредоточен в конечном числе степеней.
%
%Пусть $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- образующие $A^0$-модуля $A^1$
%(они же являются образующими алгебры $A^\hdot$).
%На аффинных множествах $S_{z_i} = \Spec (A[z_i^{-1}])^0$
%пучок $\CF$ представляется в виде $\widetilde{M_i}$,
%где $M_i$ --- конечно порожденный $(A[z_i^{-1}])^0$-модуль.
%$M_i[z_i]$ является градуированным конечнопорожденным $A$-модулем
%и имеем очевидное вложение $\Gamma^\hdot(\CF) \subset \oplus_{i=0}^N M_i[z_i]$,
%поэтому $\Gamma^\hdot(\CF)$ действительно конечно порожден.
%\endproof
%
%Скажем еще несколько слов о проективном
%
%На прошлой лекции мы показали, что категория квазикогерентных пучков на аффинной схеме
%$\Spec A$ эквивалентна категории $A$-модулей. Естественно задать вопрос,
%можно ли описать категорию квазикогерентных пучков на проективной схеме
%$\Proj A^\hdot$ в терминах градуированной алгебры $A^\hdot$.
%
%Оказывается можно. На прошлой лекции мы сопоставили всякому градуированному
%$A^\hdot$-модулю $M^\hdot$ квазикогерентный пучок $\widetilde{M^\hdot}$.
%Пусть теперь

Часто бывают полезны относительные варианты спектра и проективного спектра.
Пусть $\CA$ --- квазикогерентный пучок $\CO_X$-алгебр на схеме $X$.
Для всякого аффинного открытого подмножества $U \subset X$
рассмотрим аффинную $U$-схему $\Spec(\CA(U))$ (проекция в $U$
возникает из морфизма алгебр $\CO_X(U) \to \CA(U)$). Отображения ограничения
$\CA(U) \to \CA(V)$ дают вложения схем$\Spec(\CA(V)) \to \Spec(\CA(U))$,
которые позволяют склеить некоторую схему над $X$, которая обозначается $\Spec_X(\CA)$
и называется относительным спектром пучка алгебр $\CA$ над $X$.

\begin{exc}
Пусть $\pi:X \to Y$ --- накрытие.
Покажите, что $X = \Spec_Y(\pi_*\CO_X)$.
\end{exc}

Аналогично для пучка градуированных $\CO_X$-алгебр определяется
относительный проективный спектр. Например, если $\CV$ --- локально свободный пучок
конечного ранга на схеме $X$, схема $\Pp_X(\CV) = \Proj_X(S^\hdot\CV^*)$
называется {\em проективизацией} пучка $\CV$, а если $i:Z \subset X$ --- замкнутая
подсхема, то схема $\Bl_Z(X) = \Proj_X(\oplus I_Z^{k})$ называется
раздутием пучка идеалов $I_Z = \Ker(\CO_X \to i_*\CO_Z)$.

\begin{exc}
Покажите, что раздутия пучков идеалов $I_Z^m$ и $I_Z$ равны.
\end{exc}








\subsection*{Обильные и очень обильные пучки.}


Пусть теперь дана абстрактная, неважно откуда взявшаяся схема $X$
над аффинной схемой $Y$ (т.е. снабженная морфизмом $X \to Y$).
Чтобы выяснить, является ли она проективной, попытаемся
построить отображение в проективное пространство $\Pp^N_Y$.

Пусть $Y= \Spec A$, $\Pp^N_Y = \Proj A[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
Линейное расслоение $\calo(1)$ имеет $(N+1)$-мерное пространство глобальных сечений
с выделенным базисом (задаваемым образующими $z_0,z_1,\dots,z_N$). Этот набор сечений
задает морфизм пучков $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ на~$\Pp^N_k$.

\begin{exc}
Докажите, что морфизм пучков $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ на $\Pp^N_k$ сюръективен.
\end{exc}

Пусть теперь $X$ --- многообразие над полем $k$, и $\rho:X \to \Pp^N_k$ --- отображение.
Применяя функтор обратного образа $\rho^*$, получаем морфизм
$c_\rho:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to \rho^*\calo(1)$ на $X$. Функтор обратного образа точен справа
(он является композицией точного функтора $\rho^{-1}$ и точного справа функтора тензорного
произведения на $\calo_X$), поэтому морфизм $c_\rho$ сюръективен.
Покажем теперь, что отображение $\rho$ можно восстановить по морфизму $c_\rho$.

\begin{lemma}\label{recmap}
Пусть $L$ --- линейное расслоение на $X$ и $c:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to L$ --- сюръективный морфизм.
Тогда существует отображение $\rho:X \to \Pp^N_k$, такое что $L = \rho^*\calo(1)$ и $c = c_\rho$.
\end{lemma}
\proof{}
Отображение $\rho$ легко построить на уровне точек. Для всякой точки $x\in X$
с полем вычетов $K$ выберем изоморфизм $L_x\cong K$ (пучок $L$ локально свободен ранга $1$),
и рассмотрим набор координат $(c_x(e_0),c_x(e_1),\dots,c_x(e_N)) \in K^{N+1}$,
где $e_0,e_1,\dots,e_N$ --- стандартный базис в слое $(\calo_X^{\oplus (N+1)})_x = K^{N+1}$,
а $c_x$ --- морфизм слоев в $x$. Ясно, что полученный набор чисел не может быть нулевым,
так как морфизм $c$ сюръективен. Кроме того, замена изоморизма $L_x\cong K$ умножает весь
набор на ненулевую константу. Таким образом, получаем корректно определенную $K$-точку
проективного пространства $\Pp^N_k$. Тем самым возникает отображение $\rho:X \to \Pp^N_k$.
Опишем отображение $\rho$ локально. Пусть $x_0,x_1,\dots,x_N$ --- сечения расслоения $L$
на $X$, соответсвующие базисным векторам $e_0,\dots,e_N$. Пусть $X_i = \{x\in X\ |\ x_i(x)\ne 0\}$.
Это открытое по Зарискому подмножество (проверьте!). Рассмотрим гомоморфизм колец
$k[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^0 \to \calo_{X_i}$,
переводящий $z_j/z_i$ в $x_j/x_i$ (частное двух сечений линейного расслоения,
одно из которых нигде не обращается в нуль является корректно определенной функцией).
Легко видеть, что соответствующие отображения $\rho_i:X_i \to U_i = \{(z_0:z_1:\ldots:z_N)\in\Pp^N_k\ |\ z_i\ne 0\}$
совпадают на пересечениях $X_i\cap X_j$ и поэтому склеваются в морфизм схем $X \to \Pp^N_k$,
на уровне точек совпадающий с $\rho$.

Далее, ограничение пучка $\calo(1)$ на $U_i$ по определению соответствует свободному модулю
$z_ik[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^1$.
Сопоставляя элементу $z_i$ сечение $x_i\in L(X_i)$ получаем изоморфизм
$\rho_i^*\calo(1) \cong L_{|X_i}$. Опять же, построенные изоморфизмы
согласованы на пересечениях $X_i\cap X_j$, и поэтому дают изоморфизм $\rho^*\calo(1) \cong L$,
причем $c_\rho = c$.
\endproof

Полезно переписать это утверждение в бескоординатной форме. Пусть $V$ --- векторное пространство.
Положим $\Pp(V) = \Proj S^\hdot(V^*)$, где $S^\hdot(V^*)$ --- алгебра полиномиальных функций на $V$
(выбор базиса $z_0,z_1,\dots,z_N$ в $V^*$ дает изоморфизмы $S^\hdot(V^*) \cong k[z_0,z_1,\dots,z_N]$,
$\Pp(V) \cong \Pp^N_k$). Соответсвенно, отображению $\rho:X \to \Pp(V)$ соответсвует морфизм
$c_\rho:V^*\otimes\calo_X \to \rho^*\calo(1)$ и наоборот, всякому эпиморфизму $c:V\otimes\calo_X \to L$
отображение $\rho:X \to \Pp(V^*)$.


\begin{exc}
Докажите относительную версию леммы~$\ref{recmap}:$
если $\CV$ --- локально свободный пучок конечного ранга на схеме $Y$,
проверьте, что для всякой схемы $X$ над $Y$ с проекцией $\pi:X \to Y$,
существует биекция между морфизмами схем $X \to \Pp_Y(\CV)$ над $Y$
и эпиморфизмами пучков $\pi^*\CV^* \to L$.
\end{exc}

Итак, чтобы задать отображение $X$ в проективное пространство надо выбрать линейное расслоение $L$
и векторное пространство его сечений $V \to H^0(X,L)$, такое что соответствующий морфизм пучков
$V\otimes\calo_X \to L$ сюръективен (говорят, что пучок $L$ {\em порождается}\/ пространством $V$.
Ясно, что в качестве $V$ можно взять все пространство $H^0(X,L)$. Если оно порождает $L$
(в этом случае говорят, что $L$ {\em порождается глобальными сечениями}), получаем
отображение $X \to \Pp(H^0(X,L)^*)$. Кстати, обратимый пучок, некоторая положительная
степень которого порождается глобальными сечениями называется {\em полуобильным} (semiample).
%
%\begin{exc}
%Пусть $L$ --- полуобильный обратимый пучок.
%Проверьте, что пространство $V$ порождает $L$ тогда и только тогда,
%когда образ $X$ в $\Pp(H^0(X,L)^*)$ не пересекает $\Pp(V^\perp) \subset \Pp(H^0(X,L)^*)$ и что
%соответствующее отображение $X \to \Pp(V^*)$ раскладывается в композицию
%$X \to \Pp(H^0(X,L)^*)\setminus \Pp(V^\perp) \to \Pp(V^*)$, где
%второе отображение --- линейная проекция.
%\end{exc}
%
Произвольный обратимый пучок $L$ конечно не порождается глобальными сечениями.
% (и не дает морфизма).

\begin{opr}
{\em Базисным множеством} линейного расслоения $L$ называется множество
$B(L) \subset X$ таких точек $x \in X$, что все глобальные сечения
$L$ обращаются в $0$ в $x$.
\end{opr}

Это геометрическое описание; более формальное описание, которое
годится и в относительной ситуации $X/Y$, такое. Обозначим через
$\pi:X \to Y$ проекцию $X$ в $Y$. Тогда по сопряженности, имеем
естественное отображение $\eta:\pi^*\pi_*L \to L$.

\begin{exc}
Докажите, что $B(L) = \Supp \Coker\eta$ (т.е. множество точек, где
$\eta$ не сюръективно).
\end{exc}

Отсюда непосредственно очевидно, что $B(L)$ это алгебраическое
подмножество -- множество точек некоторой замкнутой подсхемы -- и
что определение на самом деле имеет смысл для любого
квазикогерентного пучка $\E$ на $X$. Пучок порождается глобальными сечениями,
если $B(L) = \emptyset$.

Итак, мы выяснили, что для задания отображения $Y$-схемы $\rho:X \to \Pp^N_Y$
достаточно указать линейное расслоение $\rho^*\CO(1)$.

\begin{opr}
Расслоение $L$ на $X/Y$ называется {\em очень обильным над $Y$}, если
существует такое проективное пространство $\Pp^N_Y$ и вложение $\rho:X \to
\Pp^N_Y$, что $L \cong \rho^*\calo(1)$. Расслоение называется просто
{\em обильным}, если какая-то его положительная тензорная степень
$L^{\otimes n}$, $n \geq 1$ очень обильна.
\end{opr}

Здесь под {\em вложением} мы вообще говоря понимаем композицию
открытого и замкнутого вложения: есть замкнутая подсхема
$\overline{X} \subset \Pp^N_Y$, и открытое вложение $X \subset \overline{X}$.



Попробуем теперь охарактеризовать обильные линейные расслоения.
Из вышесказанного ясно, что всякий обильный пучок порождается глобальными сечениями.
Обратное конечно не верно --- если дан глобально порожденный пучок
$L$, то он задает некоторое отображение $\rho:X \to \Pp(V)$,
$V = (H^0(X,L)^*)$ и ясно, что $L$ очень обилен тогда и только тогда,
когда это $\rho$ -- вложение (и это непустое условие -- например,
полезно помнить, что стуктурный пучок $\calo_X$ всегда глобально
порожден -- почему? -- но довольно часто глобальные функции на $X$
это только константы, так что $\dim V = 1$, и $\Pp(V)$ -- точка).

\begin{exc}
Морфизм схем $\rho:X \to Y$ является вложением тогда и только тогда,
когда
\begin{enumerate}
\item для любых двух разных точек $x,x' \in X$ имеем $\rho(x) \neq
\rho(x')$, и
\item для любой точки $x \in X$ и ненулевого касательного вектора (в
смысле Зарисского) $\xi$ в точке $x$, $\rho(\xi) \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}

Если отображение $\rho:X \to \Pp(V)$, отвечающее глобально
порожденному линейному расслоению $L$, удовлетворяет условию
\thetag{i}, то говорят, что $L$ {\em разделяет точки}, а если
условию \thetag{ii} -- то что $L$ {\em разделяет касательные
вектора}.

\begin{exc}
Пусть $\rho:X \to \Pp(V^*)$ --- отображение, заданное подпространством $V \subset H^0(X,L)$.
Проверьте, что условия предыдущего упражнения равносильны условиям
\begin{enumerate}
\item Для любых двух разных точек $x,x' \in X$ существует такое $s
\in H^0(X,L)$, что $s(x)=0$, а $s(x') \neq 0$.
\item для любой точки $x \in X$ и ненулевого касательного вектора (в
смысле Зарисского) $\xi$ в точке $x$, существует такое $s \in
H^0(X,L)$, что $s(x) = 0$, но $\langle ds, \xi \rangle \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}


Здесь последнее условие понимается в следующем смысле: поскольку
пучок $L$ локально свободен ранга $1$, можно считать, что $L|_U
\cong \calo_U$ в какой-то открытой окрестности $U \subset X$ точки
$x$; тогда $s$ это просто функция, и ее дифференциал $ds$ хорошо
определен. Если мы выберем другой изоморфизм $L|_U \cong \calo_U$,
то фунцкия, отвечающая $s$, умножится на обратимую функцию. Поэтому
$\langle ds,\xi \rangle$ умножится на ненулевую константу -- и тот
факт, что это число равно или не равно нулю, не зависит от выбора
изоморфизма $L|_U \cong \calo_U$.

Таким образом, линейное расслоение очень обильно, если оно (1) не
имеет базисных точек, (2) разделяет точки, и (3) разделяет
касательные вектора -- это формулировка в классическом стиле, без
схем и прочих современных технических средств.

\begin{exc}
Покажите, что если $L$ --- обильный пучок на нетеровой схеме $X$,
то для любого когерентного пучка $\CF$ найдется число $n_\CF$,
такое что для любого $n\ge n_\CF$ пучок $L^n\otimes\CF$
порождается глобальными сечениями.
\end{exc}

Конечно, существование обильного линейного расслоения на схеме $X$
еще не гарантирует ее проективности --- полученное отображение из $X$
в проективное пространство может не быть замкнутым вложением. На самом деле
это выполняется тогда и только тогда, когда $X$ обладает важным свойством ---
является {\em собственным}\/ над $Y$. Об этом свойстве мы поговорим на следующей лекции.

Последнее замечание на эту тему вот какое.
В классической геометрии всякое подпространство $V \subset H^0(X,L)$
называется {\em линейной системой}\/ (а все $H^0(X,L)$ -- {\em полной
линейной системой}). Исторически, эта терминология и само понятие
связано с другим, более геометрическим способом смотреть на сечения
линейных расслоений с помощью так называемых {\em дивизоров}. Мы это
будем обсуждать, но через некоторое время. Неполная линейная система $V$
точно так же, как и полная, имеет множество базисных точек $B(V)$ и
задает отображение $X \setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, которое может
быть или не быть вложением, разделять или не разделять точки, и т.д.

\begin{exc}
Пусть $A$ -- конечно-порожденная алгебра над полем $k$, $X = \Spec
A$ -- аффинная схема, $L = \calo_X$ -- тривиальное линейное
расслоение, а $V \subset A = H^0(X,\calo_X)$ -- конечномерное
подпространство. В каких случаях линейная система $V$ (1) очень
обильна? (2) не имеет базисных точек?
\end{exc}



\subsection*{Рациональные отображения}

Зададимся теперь таким вопросом -- насколько конструкция $\Proj$
функториальна? Пусть задан гомоморфизм градуированных колец
$f:A^\hdot \to B^\hdot$ -- можно ли по нему построить отображение из
$Y = \Proj B^\hdot$ в $X = \Proj A^\hdot$? Ясно, что да, если $f$
сюръективно (ср. упр.~\ref{sur_clem}) --- в таком случае, $B^\hdot$ это фактор $A^\hdot$ по
однородному идеалу $I^\hdot \subset A^\hdot$, а $Y$ -- замкнутая
подсхема, заданная этим идеалом (т.е. отображение существует, да еще
и является замкнутым вложением). Ясно также, что в любом случае
существует отображение $\wt{f}:\Spec B^\hdot \to \Spec A^\hdot$. Но
напомним, что когда мы описывали $\Proj A^\hdot$ как некоторый
фактор $\Spec B^\hdot$, то нужно было предварительно выкинуть из
$\Spec A^\hdot$ подсхему $\Spec A^0 \subset \Spec A^\hdot$, заданную
идеалом аугментации. В общем случае, возможна следующая ситуация:
отображение $\wt{f}$ переводит некоторые точки не из $\Spec B^0$ в
точки из $\Spec A^0$! Таким образом, отображение $\wt{f}:Y \to X$
как бы и существует, но определено не на всем $Y$, а только на
открытом подмножестве $U \subset Y$ (полученном факторизацией
$\wt{f}^{-1}(\Spec A^\hdot \setminus \Spec A^0)$).

Самый простой пример такой: пусть $A^\hdot = k[x_1,x_2]$,
$B^\hdot=k[x_1,x_2,x_3]$, $f$ -- естественное вложение. Тогда $X =
\Pp^1$, $Y = \Pp^2$, а $\wt{f}$ -- проекция из $\Pp^2$ на $\Pp^1$ из
точки с однородными координатами $\langle 0,0,1 \rangle$. И ясно,
что в самой этой точке проекция не определена!

В общем случае, вводят следующее определение.

\begin{opr}
{\em Рациональным отображением} из схемы $X$ в схему $Y$
(обозначается $X \dashrightarrow Y$) называется пара$\langle U,f
\rangle$ из открытого плотного подмножества $U \subset Y$ и морфизма
схем $f:U \to Y$. При этом считается, что две пары $\langle U_1,f_1
\rangle$, $\langle U_1,f_1 \rangle$ задают одно и то же рациональное
отображение, если $f_1 = f_2$ в ограничении на $U_1 \cap U_2$.
\end{opr}

Вот еще одна ситуация, когда естественно возникают рациональные отображения.
Пусть $L$ --- линейное расслоение на схеме $X$, а $V\subset H^0(X,L)$ пространство
его сечений (возможно не порождающее $L$). Тогда $V$ порождает $L$ вне $B(V)$
и задает отображение $X \setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, то есть рациональное
отображение в проективное пространство. Например, пусть $V \subset H^0(\Pp^2,\CO(1))$
пространство функций, обращующихся в нуль в некоторой точке. Соответствующее
отображение $\Pp^2 \dashrightarrow \Pp^1$ --- проекция из точки.


Рациональные отображения часто можно компоновать, но не всегда --
может так случиться, что $f_1^{-1}(U_2)$ -- не плотное (например,
$f_1:X \dashrightarrow Y$ может переводить все $U_1 \subset X$
внутрь дополнения к $U_2 \subset Y$). Кроме того, крайне неприятно,
что необходимо держать в качестве дополнительного данного открытое
подмножество $U \subset X$, от которого к тому же мало что зависит
из-за дополнительного отождествления.
%Все вместе производит
%неопрятное впечатление, обычное для классической итальянской
%алгебраической геометрии.
Чтобы прояснить ситуацию, можно поступить
так.  Пусть дано рациональное отображение $f:X \dashrightarrow
Y$. Рассмотрим его график $U \subset U \times Y \subset X \times Y$,
и возьмем его {\em замыкание} $\wt{X} \subset X \times Y$. Тогда это
хорошо и однозначно определенная замкнутая подсхема в $X \times
Y$. Она более не есть график никакого отображения, потому что
прокеция $\wt{X} \to X$ -- не изоморфизм. Но эта проекция -- так
называемое бирациональное отображение.

\begin{opr}
Морфизм схем $f:X \to Y$ называется {\em бирациональным}, если для
какого-то открытого плотного подмножества $U \subset Y$ он индуцрует
изоморфизм $f:f^{-1}(U) \to U$.
\end{opr}

Таким образом, под рациональным отображением из $X$ в $Y$ можно с
тем же успехом понимать такую замкнутую подсхему $\wt{X} \subset X
\times Y$, что проекция $\wt{X} \to X$ бирациональна.

Терминология, как водится, не очень удачна. Бирациональное отображение это
морфизм схем с дополнительным свойством; рациональное отображение
это вообще не морфизм схем, а нечто более сложное и дополнительно
определяемое.

\begin{exc}
Вычислите $\wt{X}$ в рассмотренном выше примере: $Y = \Pp^1$, $X =
\Pp^2$, $f:X \dashrightarrow Y$ -- проекция из точки (указание:
должно получиться раздутие $X$ в точке $\langle 0,0,1 \rangle$).
\end{exc}

Одна вещь, которая четко видна из определения рационального
отображения через графики -- это что для каждого рационального
отображения $f:X \dashrightarrow Y$ существует одно максимальное
открытое множество $U \subset X$, на котором оно определено (это
просто объединение всех таких $U$, что проекция $\pi:\wt{X} \to X$
-- изоморфизм над $U \subset X$). Дополнение $X \setminus U$
называется {\em множеством неопределенности} рационального
отображения $f$.



Категорно, на рациональные отображения можно смотреть еще вот как:
мы берем категорию схем и формально обращаем бирациональные морфизмы
(аналогично понятую локализации для кольца). Такого сорта
общекатегорные процедуры формального обращения действительно
существуют, но хорошо работают только при некоторых условиях,
которые в этом случае выполнены не целиком. Что, в общем, и видно:
поскольку рациональные отображения можно компоновать не всегда,
категории они не образуют. Все же есть одна более специальная
ситуация, в которй эта аналогия -- по делу. А именно, во-первых,
исторически рациональные отображения рассматривали обычно в
категории целых схем (вернее, в те времена схем не было, а
неприведенные или приводимые объекты старались особо и не
рассматривать). Во-вторых, давайте рассматривать только {\em
обратимые} рациональные отображения -- а именно, такие $f:X
\dashrightarrow Y$, что $f$ индуцирует изоморфизм открытого плотного
$U \subset X$ и открытого плотного $V \subset Y$ (а не сплющивает,
например, все $U$ в какую-нибудь одну точку в $Y$).

Тогда понятно, что такие $f$ можно компоновать без проблем, т.е. они
таки образуют категорию, и к тому же в этой категории все морфизмы
обратимы (такая категория называется {\em группоид}).

Объект этой категории называется ``многообразие с точностью до
бирациональной эквивалентности'', и это довольно полезное огрубление
понятия алгебраического многообразия -- оно позволяет изучать
некоторые существенные свойства многообразий, не отвлекаясь на
частности вроде раздутий. При этом полной потери всего не
происходит. Например -- и мы это со временем докажем -- неособая
проективная алгебраическая кривая, т.е. неособая проективная схема
размерности $1$ над полем, полностью определяется своим классом
бирациональной эквивалентности. В частности, есть кривые, не
бирационально-эквивалентные проективной прямой $\Pp^1$. В общем
случае, многообразие, бирационально эквивалентное $\Pp^n$, называется
{\em рациональным}; есть довольно много конкретных мнгоообразий,
рациональность которых -- важный открытый вопрос.

Отметим следующее алгебраическое описание бирациональной категории.

\begin{exc}
Докажите, что функтор $A \mapsto \Frac(A)$ есть эквивалентной
категории полей и категории, двойственной к категории целых аффинных
схем с точностью до бирациональной эквивалентности.
\end{exc}

Разумеется, любая целая схема по определению бирационально
эквивалентна любой своей плотной открытой аффинной подсхемы, так что
ограничения аффинными схемами здесь на самом деле не нужно.

Наконец, приведем нетривиальный и весьма поучительный классический
пример бирационального изоморфизма -- а именно, возьмем $X = \Pp^2$,
и рассмотрим отображение $f:X \to X$, заданное в однородных
координатах формулой
$$
\langle z_1,z_2,z_3 \rangle \mapsto \langle z_2z_3,z_1z_3,z_1z_2
\rangle.
$$
Это называется {\em отображение Кремоны}. На первый взгляд это
хорошо определенный морфизм схем, но на самом деле это не так: есть
ненулевые наборы координат, которые переходят в запрещенную строку
$\langle 0,0,0 \rangle$. Но как рациональное отображение,
отображение Кремоны очевидно хорошо определено.

\begin{exc}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Каково множество точек неопределенности отображения Кремоны?
\item Что получится, если скомпоновать это отображение с собой?
\item Покажите, что отображение Кремоны задается линейной системой коник,
проходящих через точки $\langle 1,0,0 \rangle$, $\langle 0,1,0 \rangle$ и
$\langle 0,0,1 \rangle$.
\end{enumerate}
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $X \subset \Pp^3$ --- неособая квадрика, а $P$ --- точка на $X$.
Покажите, что проекция из точки $P$ является бирациональным отображением $X \dashrightarrow \Pp^2$.
\end{exc}

\end{document}