\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\CL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2005}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{9}
\stepcounter{section}
\section*{������ 10.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
�����������. �������������. �������� ����� � ������.
������ ������� ��������� � ������ ������.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{����������� � �������������}

��� ��� ����������, ��������� ��������� ������� ������ ``������������'' ���������,
�������, ��������, ����� ����� ����� �������������, � ������ �������� ����� ��������������,
�������� �� ��, ��� ��������� �� ����������� (��� ������������) ����� � �������������� ����������
����� ��� �� ����� ���� ������������� � �������������.

\begin{exc}
��������, ��� ����� ����������� � ��������� ��������� ������ � ��� ������, ���� ��� ��������
��������� ������������ �����, � ��� ��������� ����������� ����� ����� ��������
����� ��������� ���� ��� $\C$ �����������.
\end{exc}

�������� �� �������������� �������������� �������� ����, ���������� ��� ���
������� ��������������. ����� ��������� �������� �����������.
����� �������������� ��������������� ����������� ��� ����������� �����������
������������� ��������.

����� $f:X \to Y$ --- ������� ����. ��������, ��� ���������� ����� $X\times_Y X$
� ���������� $p_1,p_2:X\times_Y X_2 \to X$, ���������� ��������� ������������� ���������:
��� ����� ����� $Z$ � ��������� $\varphi_1,\varphi_2:Z \to X$, ����� ���
$f\circ\varphi_1 = f\circ\varphi_2$ ���������� ������� $\varphi:Z \to X\times_Y X$,
����� ��� $\varphi_1 = p_1\circ\varphi$, $\varphi_2 = p_2\circ\varphi$.
��� ����� ���������� \emph{����������� ���������} $X$ ��� $Y$.
����� ������ $Z = X$ � $\varphi_1 = \varphi_2 = \id_X:X\to X$.
�������������� ������� $X \to X\times_Y X$ ���������
\emph{������������ ���������} � ������������ $\Delta$ ��� $\Delta_{X/Y}$.
�� �����������, ����� $p_1\circ\Delta = p_2\circ\Delta = \id_X$.

\begin{exc}
����� $X = \Spec A$, $Y = \Spec B$. ��������, ��� ������������ ������� $\Delta_{X/Y}:X \to X\times_Y X$
������������� ������������ ��������� $A\otimes_B A \to A$.
\end{exc}

\begin{opr}
������� ���� $f:X \to Y$ ���������� \emph{���������} (separated), ���� ������������ �������
$\Delta_{X/Y}:X \to X\times_Y X$ �������� ��������� ���������.
����� $X$ ���������� \emph{���������}, ���� ������� ������� $X \to \Spec\ZZ$,
�� ���� ���� ��������� ��������� �������� ������������ ������� $\Delta_X:X\to X\times X$.
\end{opr}

�� ����������� ���������� �������, ��� ����� ������� �������� ���� �������
(����������� ��������� �����������, ��� ��� � ����� ������ ���� �������!).
� ���������, ����� �������� ����� ��������. ������, ����������� �� �������� ���������
(�� $X$, ���� � �������� ��������� �� $Y$) ���������, ��� ��� ����� ������
������� ��� �� ���������.

����������� �������� ����������� ����� �������� ������ � ������� ������.
����� $U_1 = U_2 = \A^1$, $U_{12} = \A^1\setminus\{0\}$ � ��������� ����� $X$
��� ������� $U_1$ � $U_2$ ����� $U_{12}$. ���������� ����� �������� ���������
$p:X \to \A^1$, ����� ��� $p$ �������� ������������ ��� $\A^1\setminus\{0\}$,
�� $p^{-1}(0)$ --- ��� ����� (��������� �� $P_1$ � $P_2$). �������, ��� �����
$X$ ����������. ��� ����� ���������� ���������, ��� ����� $(P_1,P_2)\in X\times X$
����� � ��������� ��������� $\Delta(X)\subset X\times X$. ���������� ��������
$\A^1\cong U_1 \subset X$ � $\A^1\cong U_2 \subset X$. �� ����������� ������������
�������� ������� $\varphi:\A^1 \to X\times X$. ����, ���
$\varphi(\A^1\setminus\{0\}) \subset \Delta(X)$, �� $\varphi(0) = (P_1,P_2)$,
� � ���� ������������� $\varphi$ ��������
$(P_1,P_2) \in \overline{\varphi(\A^1\setminus\{0\})} \subset \overline{\Delta(X)}$.

\begin{rem}
�� ����� ����, ��� �������� �����������, ���������� ���������, ��� \emph{���������},
�� ���� ����� ������������� �������� $\Delta_{X/Y}(X) \subset X\times_Y X$ �������.
�������������, ��� ��� $\Delta(X) \cong X$ (����������� ���������
$\Delta_{X/Y}:X \to \Delta_{X/Y}(X)$ �, ������, $p_1:\Delta_{X/Y}(X) \to X$),
� �������� �������������� �������� ������ $\CO_{X\times_Y X} \to (\Delta_{X/Y})_*\CO_X$
�������� �� $X$, �� ���� ����� ����� ������� $X$ � $Y$ ���������.
\end{rem}

��� �������� ����������� ���������, � ������ � ����������� ��������, ������ ������������
��������� ��������.

\begin{thm}[����������� �������� �����������]
����� $f:X \to Y$ --- ������� ����, ������ ����� $X$ ��������.
����� $R$ --- ������ ������������ � ����� ������� $K$, $i:\Spec K \to \Spec R$ --- ��������,
��������������� �������� $R \subset K$. ������� $f$ �������, ����� � ������ �����, �����
��� ����� ������������� ���������
%\begin{equation}\label{valu}
$$
\begin{CD}
\Spec K @>>> X \\
@V{i}VV         @VV{f}V \\
\Spec R @>>> Y
\end{CD}
\eqno{(*)}
$$
%\end{equation}
���������� �� ����� ������ �������� $\Spec R \to X$, ������������ �� ���������������.
\end{thm}
\proof{}
� ������ $R$ ����� ��� ������� ������: ������� ����� � ������������ ����� ������������.
��������������, �� ����� $\Spec R$ ����� ��� �����, ����� ����� $\Spec K$ � ��������� ����� $\Spec k$,
��� $k$ --- ���� ������� $R$. �������, ��� ������� $\phi:\Spec R \to X$ ���������� ������������
������ ������������� �� $\Spec K$ � $\Spec k$. �������������, ���� $\phi(\Spec k) = x\in X$
� $U = \Spec A$ --- �������� ����������� ����� $x$, �� $\phi$ � ���� ������������� ������������
����� $U$ � ���������� ������������ ������������� ����� $A \to R$, ������� � ���� �������
���������� ������������ ������������� ����� $A \to K$, ��� ��� $R \subset K$, �� ����
������������ �������� $\phi$ �� $\Spec K$.

����� ������ $f$ �������, �� $\phi_1,\phi_2:\Spec R \to X$ ��� ������ ��������,
����������� ��������������� ���������. � ���� �������������� $\phi_1(\Spec k) \ne \phi_2(\Spec k)$.
��� ��� $f\circ\phi_1 = f\circ\phi_2$ � ���� ��������������� ������� ������������ ���������, ��
�������� ������� ���� $\phi:\Spec R \to X\times_Y X$, ����� ���
$\phi_1= p_1\circ\phi$ � $\phi_2= p_2\circ\phi$.
�������, ��� $\phi(\Spec K) = (\phi_1(\Spec K),\phi_2(\Spec K)) \in \Delta(X)$
� ���� ��������������� �������� ������������ ���������. � ������ �������,
$\phi(\Spec k) \in \overline{\phi(\Spec K)} \subset \overline{\Delta(X)}$,
� �� ����� ��� $\phi(\Spec k) = (\phi_1(\Spec k),\phi_2(\Spec k)) \not\in \Delta(X)$.

����������� ������, ��� $f$ ���������. ������ ��������� $\Delta(X) \subset X\times_Y X$ ����������.
�������������, �������� �������� �������� ������������ $U = \Spec A \subset X\times_Y X$
� ���� ������� ������� $\pp' \subset \pp \subset A$, ��� ��� ����� $u'$, ��������������� ������ $\pp'$
����� � $\Delta(X)$, � ����� $u$, ��������������� ������ $\pp$ �� ����� � $\Delta(X)$ �
��������� ������ $A_{\pp}/\pp'$ ���������.
����� $K$ --- ���� ������� ������ $A/\pp'$, � $R$ --- ����� ��������� ���������� ������ $A_{\pp}/\pp'$ � $K$.

\begin{exc}\label{dvr}
����� ��������� �������� ���������� ���������� ������ ����������� $1$
� �������� ���������� ��� ���� ������� --- ������ ����������� ������������.
\end{exc}
����, $R$ --- ������ ������������ � ����� ������� $K$. ���������� ���������� ������������
����������� $A \to A_\pp \to A_\pp/\pp' \to R$ � ����� $\phi:\Spec R \to \Spec A \subset X\times_Y X$
��������������� ������� ����. ������� ������ $\phi_1 = p_1\circ\phi,$ $\phi_2 = p_2\circ\phi:\Spec R \to X$.
�������, ��� $f\circ\phi_1 = f\circ p_1\circ\phi = f\circ p_2\circ\phi = f\circ\phi_2$.
� ������ �������, ����������� ����������� $\phi$ �� $\Spec K$ ������������� ������������
$A \to A/\pp' = K$ � ��� ��� �� ������������� ����� $u'$ ����� �� ���������, �����
${\phi_1}_{|\Spec K} = {\phi_2}_{|\Spec K}$.
���������� ������������� ��������� $(*)$, � ������� ������� ������� --- ��� ${\phi_1}_{|\Spec K} = {\phi_2}_{|\Spec K}$,
� ������ ������� --- ��� $f\circ\phi_1 = f\circ\phi_2$. ����, ��� ��������� $\phi_1$ � $\phi_2$
��������� �� ���������������, ��� ��� �������� ��������, ��� $\phi_1\ne\phi_2$. �������������,
� ��������� ������ ������� $\phi$ ������������� �� � ���� ����������
$\phi = \Delta_{X/Y}\circ\phi_1 = \Delta_{X/Y}\circ\phi_2$ (� ���� �������������� ��������
������������ ������������), � ������ ����� $\phi(\Spec k)$ ������ �� �� ���������,
�� $\phi(\Spec k)$ --- ��� �����, ��������������� ������ $\pp$ � $A$, �� ���� ����� $u$,
������� �� ������������� �� ��������� �� �����.
\endproof

\begin{exc}
��������� ����������� ��������� ��������, ���
\begin{enumerate}
\item �������� � ��������� �������� ��������;
\item ���������� ��������� ��������� ��������;
\item ����������� ����������� ��� ������ ���� (���� ������� $f:X \to Y$ �������,
�� ��� ������ �������� $g:Y' \to Y$ (������ ����) �������� $X' = X\times_Y Y' \to Y'$
��������);
\item ������������ ��������� ��������� ��������;
\item ���� $f\circ g$ ��������, �� $g$ �������.
\end{enumerate}
\end{exc}

\begin{exc}
��������, ��� ��������� ����������� ����� ��������� ����� ��� ����� $\C$ ����������� ������������
������������ ���������.
\end{exc}

������ ������������ �������� ����, ���������� ��� ���
������� ������������.

\begin{opr}
������� $f:X\to Y$ ���������� \emph{���������}, ���� ����� ������ ���������� ������������ � $X$ ������� � $Y$.
������� $f:X\to Y$ ���������� \emph{������������ ���������}, ���� ��� ����� ������ ���� $Y' \to Y$
������� $X' = X\times_Y Y' \to Y$ �������.
\end{opr}

�������� ����������, �� �� ������������ ���������� �������� �������� �������� �� $\A^1$ � �����.
���� ������� �������, ��� ��� ����� ������������ ����� ��������.
������, ����� ���� �� $\A^1$ �������� �������� $\A^2 \to \A^1$,
������� �� �������� ��������� ���������. �������������, �������
���������� ��������� � ���������� $xy=1$ �������� $\A^1\setminus\{0\}$.

\begin{opr}
������� $f:X\to Y$ ���������� \emph{�����������} (proper),
���� �� ��������� ����, ������� � ������������ �������.
\end{opr}

��� �������� ������������� �������� ���� ������ ������������ ����������� ��������.

\begin{thm}[����������� �������� �������������]
����� $f:X \to Y$ --- ������� ���� ��������� ����, ������ ����� $X$ ��������.
����� $R$ --- ������ ������������ � ����� ������� $K$, $i:\Spec K \to \Spec R$ --- ��������,
��������������� �������� $R \subset K$. ������� $f$ �����������, ����� � ������ �����, �����
��� ����� ������������� ���������
%\begin{equation}\label{valu}
$$
\begin{CD}
\Spec K @>>> X \\
@V{i}VV         @VV{f}V \\
\Spec R @>>> Y
\end{CD}
\eqno{(*)}
$$
%\end{equation}
���������� ����� ���� �������� $\Spec R \to X$, ����������� �� ���������������.
\end{thm}
\proof{}
��������, ��� ������� $f$ ����������� � ���� ��������� $(*)$. ����� $X_R = X\times_Y\Spec R$.
���������� ������� ����� $\Spec K \to X_R$, ��������������� ������� � ����� �������� ��������� $(*)$,
����� ����� $t'\in X_R$ --- �� �����, � ����� $T$ --- ��������� ����� $t'$ � $X_R$.
��������� ����� $\pi$ ����������� �������� $X_R \to \Spec R$ �� $T$.
��� ��� ������� $X_R \to \Spec R$ ������� � ���� ������������� ����������� �������� $f$,
�� ��������� $\pi(T)$ �������� � $\Spec R$. � ������ �������, $\pi(t') = i(\Spec K)$,
������������� $\pi(T) = \Spec R$.
������� ����� � $t\in T$ ��� ��������� ������ � $\Spec R$ � ����� $U = \Spec A$ ---
�������� ����������� ����� $t$. ��� ��� $t\in\overline{\{t'\}}$, ����� $t'\in \Spec A$.
$$
\begin{CD}
\Spec K @>>> \Spec A @>>> X_R        @>>> X \\
@.           @.           @V{i}VV         @VV{f}V \\
        @.           @.   \Spec R    @>>> Y
\end{CD}
\eqno{(*)}
$$
����� $\pp' \subset \pp \subset A$ --- ������� ������, ��������������� ������ $t',t\in \Spec A$.
���������� ������������ $\alpha:A \to K$ � $\rho:R \to A$, ��������������� �������� $\Spec K \to \Spec A$
� �������� $\Spec A \to \Spec R$. ����, ��� $\Ker\alpha = \pp'$ � $\rho^{-1}(\pp)$ --- ������������ ����� � $R$.
����� ����, ���� ��� $\alpha\circ\rho:R \to K$ --- ������������ ��������.
�������������, $A/\pp'$ --- ��������� � $K$, ���������� ������� ����� $\pp/\pp'$,
����������� �������� � ������� ������������ $R$ ��������� � ������������ ������� ������������.

\begin{exc}
����� $K$ --- ����, $R\subset K$ --- ������ ������������, � $\m\subset R$ --- ����� ������������.
���� $A\subset K$ --- ��������� ���������� $R$ � $\pp\subset A$ --- ������� �����,
����� ��� $\pp \cap R = \m$, �� $A = R$.
\end{exc}
����, $A/\pp' = R$. �������� ����������� $A \to R$, �� ���� ������� ���� $\Spec R \to \Spec A$,
���������� ������� � ��������� $\Spec A \to X_R$ � ��������� $X_R \to X$, ��������
������� ������� $\Spec R \to X$. ���� ������� ������������ � ���� ����������� �������� $f$.


����������� ������, ��� ����������� �������� � ��������� ������������� ��������.
� ���� ��������� ������������� � ����������� ������������ �������� �����������
���������� ��������� ������������� ����������� �������� $f$. ����� $Y' \to Y$ ---
������������ ������ ����, $X' = X\times_Y Y'$, $f':X'\to Y'$ --- ��������,
� ����� $Z \subset X'$ --- ��������� ������������, ����� ��� $f'(Z)$ �� �������� � $Y'$.
����� �������� �������� �������� ������������ $U = \Spec A \subset Y'$
� ���� ������� ������� $\pp' \subset \pp \subset A$, ��� ��� ����� $u'$, ��������������� ������ $\pp'$
����� � $f'(Z)$, � ����� $u$, ��������������� ������ $\pp$ �� ����� � $f'(Z)$ �
��������� ������ $A_{\pp}/\pp'$ ���������. ����� ����� $u''$ --- ����� � $Z$, ����� ���
$f'(u'') = u'$, $K$ --- �� ���� ������� (��� ��� $A/\pp'$ --- ��������� � $K$, ������ $K$
�������� �������� ����������� ���� ������� ������ $A/\pp'$), � $R$ --- ����� ���������
���������� ������ $A_{\pp}/\pp'$ � $K$. ����� �� ���.~\ref{dvr} ������ $R$ --- ������
������������ � ����� ������� $K$.
�� ���������� ����� ������� $\Spec K \to Z$, ���������� ������� � ��������� $Z \subset X'$
� ��������� $X' \to X$, �������� ������� $\Spec K \to X$. � ������ �������, ����������� �����
$A \to A_{\pp} \to A_{\pp}/\pp' \to R$ ���� ������� $\Spec R \to \Spec A$, ���������� �������
� ���������� $\Spec A \subset Y'$ � $Y' \to Y$, �������� ������� $\Spec R \to Y$.
�������� ��������� $(*)$, ������ ������������� �� ����������.
�������������, ���������� ������� $\Spec R \to X$, ����������� ��������������� ���������.
��������� ������������� ��������� ������������ ������������, ��������� ��� �� ��������
$\Spec R \to X'$. ����, ��� ��� ���� �������� ��������� ����� $\Spec R$ ��������� � $Z$,
� �� ����� � $Y'$ ����� $u$, ������������� $u\in f'(Z)$, ��� ������������ ��������� ��������������.
\endproof

\begin{exc}
��������� ����������� ��������� ��������, ���
\begin{enumerate}
\item ��������� �������� ����������;
\item ���������� ����������� ��������� ����������;
\item ������������� ����������� ��� ������ ���� (���� ������� $f:X \to Y$ �����������,
�� ��� ������ �������� $g:Y' \to Y$ (������ ����) �������� $X' = X\times_Y Y' \to Y'$
����������);
\item ������������ ����������� ��������� �����������;
\item ���� $f\circ g$ ����������� � $f$ ���������, �� $g$ �����������.
\end{enumerate}
\end{exc}

����� ����, ����, ��� �������������, ��� �� ��� � �����������, �������� ��������� �� ���� ���������.

\begin{prop}
������ ����������� ������� �����������.
\end{prop}
\proof{}
������������� ����������� �������� �������������. ���������� ��������� $(*)$.
� ���� ������������� ���� ������� ����� �������, ��� $Y = \Spec A$, � $X = \Pp^N_A$.
������ ������ ���� $\Spec R \to Y$ ����� �������, ��� $Y = \Spec R$ � $X = \Pp^N_R$.
� ������ ������� � ��������� $(*)$ --- ������������� �������.
������� $\Spec K \to \Pp^N_R$ --- ��� ����� $(x_0,x_1,\dots,x_N)\in K^{N+1}\setminus\{0\}$
� ��������� �� ��������� �� ���������.
� ������ �������, ������� $\Spec R \to \Pp^N_R$ --- ��� ����� $(y_0,y_1,\dots,y_N)\in R^{N+1}$,
����� ��� �� ��� $y_i$ ����� � ������ ������������ (������ ����� ��������������� �������
$R^{N+1} \to R$ �����������). ����� ������, ��� ����� ��������� � $K^{N+1}$, ����� ���
�� ������������ ��������������, ������ ������������ ������ �� ��������� ����� ����.
����������� ������ �������� �� $\Spec K$ �������� ��� �� ������� ����������.
������� ���� ���������, ��� ��� ������ ������ $(x_0,x_1,\dots,x_N)\in K^{N+1}\setminus\{0\}$
�������� ������������ (� ��������� �� ���������� �������� ������ $R$) ������� $t\in K\setminus\{0\}$,
����� ��� ����� ���� ��������� $(x_0/t,x_1/t,\dots,x_N/t)$ ��������������, � ���� �� ��� ����� ����.
�� ����, ��� ����� ������� ������������� ���� � ��������� ���������� � ��������� �� ���������� ��������
������ $R$ --- ��� ������� ����, ����� �������� ����� ����������� �� ���� ��������� � $x_0,x_1,\dots,x_N$.
\endproof

������ ����� �������� �������� �������������.

\begin{exc}
��������, ��� ������� $X \to Y$ ���������� ����� � ������ �����, ����� �� �����������
� �� $X$ ���������� �������� ���������� �������� ��� $Y$.
\end{exc}


\section*{�������� � ��������� �����}

����� $X$ --- ����� ���������� ��������� �������� �����. ������������ �����������
�������� $Y \subset X$ ������������� $1$ ���������� {\em ������� ���������}\/ �� $X$.
��������� ������� ������, ����������� ����� �������� ���������� ����������
������� ��������� � ������������ $\Div X$, � �� �������� ���������� ����������.

����� $Y \subset X$ --- ������� �������, � $R$ --- ��������� ������ ��� �����.
����, ��� $R$ --- ������������� �������� ���������� ��������� � ���� $K(X)$
������������ ������� �� $X$, ������������� $R$ --- ������ ����������� ������������
(���.~\ref{dvr}).
����� $v_Y:K^* \to \ZZ$ --- ��������������� ������������.

\begin{exc}
��������, ��� ������� ������� ���������� ������������� ����� �������������,
� ��������� ������ ������������, �� ���������������� �������� ��������.
\end{exc}

���� $f\in K^*$ --- ��������� ������������ ������� �� $X$, �� ����� ����� $v_Y(f)$
���������� {\em ���������� $f$ ����� $Y$}. ���� ��������� ������������, �������,
��� $f$ ����� �� $Y$ \emph{����} (��������������� ���������),
� ���� ������������ --- \emph{�����}.

\begin{lemma}
���� $f \in K^*(X)$ �� ���������� ���� �������� ����� ������� ��������� $Y$ �� $X$,
����� ��� $v_Y(f)\ne 0$.
\end{lemma}
\proof{}
����� $U \subset X$ --- �������� �������� ������������, �� ������� ������� $f$ ���������,
� $U' \subset U$ --- ��������� ����� � $U$, � ������� $f\ne 0$. ����� $Z = X\setminus U'$ ---
��������� ������������. ����� ������ $Y \subset X$ --- ������� �������. ���� ����� ����� $Y$
����� � $U'$, �� ���� ��� $v_Y(f) = 0$. ���� �� ���, �� $Y \subset Z$, �� ���� ��������
������������ ����������� � $Z$, ������ � ���� ����������� ����� $X$ ��������� $Z$
����� �� ����� ��� �������� ���������� ������������ ��������� ������������� $1$.
\endproof

� ���� ���� �����, ������ ��������� ������������ ������� ������������� �������
$$
(f) = \sum_{Y\subset X,\ \codim Y = 1} v_Y(f)Y.
$$
��������, ������������ � ����� ����, ���������� \emph{��������}.
��������, ����� $(f/g) = (f) - (g)$, ������� ��������� ������� ��������� --- ��������� � $\Div X$.
�������� $D_1$ � $D_2$, �������� ������� $D_1 - D_2$ ���� ������� �������, ���������� \emph{������� ��������������}.
��� ������������ ���: $D_1 \sim D_2$.
������������ ������ $\Div X$ �� ������� ��������� ���������� ������� ������� ��������� �� $X$
� ������������ $\Cl X$. �� �������� --- ������ �������� ��������������� ���������.

������ ������� ��������� ��������� �������� ������������� ������ �� ����������������.
��� ����� ��� �����������

\begin{exc}
�������� ��������� ������ ������������ ����� � ����� �����, �����
� ��� ������ ������� ����� ������ $1$ �������.
\end{exc}

\begin{lemma}
����� $X = \Spec A$ --- �������� ����� �������� �����.
������ $A$ ������������ ����� � ������ �����, �����
����� $X$ ��������� � $\Cl X = 0$.
\end{lemma}
\proof{}
���� ������ ������������, �� ��� ������������ (���.~4.11), ������� ��� ������ ��������.
����� $Y \subset X$ --- ������� �������, � $\pp \subset A$ --- ���������������
������� ����� ������ $1$. ����� $\pp$  --- �������, �� ���� ����������� ���������
$f\in A$. ����, ��� ������� ������� $f$ --- ��� $Y$. ������ $\Cl X = 0$.

�������, ���� $X$ ���������, �� ������ $A$ ������������, ��� ��� �������� ���������,
��� $\Cl X = 0$ ������ ���������������. �������� ���������� ���������� ���������,
��� ������� ������ ������ $1$ �������. ����� $\pp$ --- ����� �����, � $Y$ --- ���
������� �������. ��� ��� $\Cl X = 0$, $Y = (f)$, ��� $f\in\Frac(A)$.
�� ����������� $v_Y(f) = 1$, �� $v_{Y'}(f) = 0$ ��� ���� ��������� ������� ���������.
� ���������, $f \in \cap_{\htt\pp' = 1} A_{\pp'}$, ������ $f \in A$ �� �����������~4.7.
�������, ��� $f$ ��������� $\pp$. ����� $g\in \pp$ � ���������� $g/f$. ����, ���
$v_Y(g/f) \ge 0$ � ��� ���� ��������� ������� ��������� $v_{Y'}(g/f) \ge 0$.
������ $g/f \in A$, �� ���� $g$ ����� � ������ ����������� $f$.
\endproof

\begin{corr}
$\Cl \A^N = 0$.
\end{corr}

����������� ����������� ��� ������������ ������������ ����������

\begin{prop}
$\Cl\Pp^N = \Z$.
\end{prop}
\proof{}
����� $\Pp^N = \Proj k[x_0,x_1,\dots,x_N]$.
������ ����������� ������������, � ������ ������� ����� ������ $1$ � �������������
������ --- �������, ������� ������ ������� ������� � ����������� ������������ ---
����������������, ��������� ������� --- ���������� ��������� �� $x_i$.
������� �������� �������� �������� ������� ��� ���������, ������������ $\deg Y$.
�������� ����������� ����� $\deg:\Div X \to \Z$.
� ������ �������, ������������ ������� �� ����������� ������������ --- ���
������������ ������� ������� $0$ �� $x_i$, ������� ������ ������� ������� �����
������� $0$. � �������, ���� $D = \sum a_iY_i$ --- �������, $\deg D = 0$,
� $f_i$ --- ��������� �������� $Y_i$, �� $\prod f_i^{a_i}$ --- ������������
������� �� $x_i$, � �� ������� ����� $D$. ������� ������ ������� ��������� ---
��� $\Ker\deg$, �.�. $\Cl \Pp^N = \Z$.
\endproof

\begin{exc}
����� $Y \subset X$ --- ��������� ������������, � $Y_1,\dots,Y_n$ ---
��� ������������ ���������� ������������� $1$. ��������, ���
���������� ������ ����������������� �������� �����
$$
\begin{CD}
\Z^n @>{(Y_1,\dots,Y_n)}>> \Cl X @>>> \Cl(X - Y) @>>> 0.
\end{CD}
$$
� ���������, ���� $\codim Y \ge 2$, �� $\Cl(X-Y) = \Cl X$.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $X = \{(x,y,z)\ |\ xy = z^2\} \subset \A^3$ --- ������������ �����.
��������, ��� $\Cl X = \Z/2\Z$ � ����������� ������������� ���������� ������.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $X = \{(x,y,z,w)\ |\ xy = zw\} \subset \Pp^3$ --- �������� ��������.
��������, ��� $\Cl X = \Z\oplus\Z$.
\end{exc}

��������, � ������� ���������� ����, ���������� ����� \emph{���������� �����}.
� ���������, �������� ����� �� ���������� ��� ������������ ����. ����� ����,
��� ������������ �������������. ������� ����� ���������� ������ �����������
��� ��������� --- \emph{�������� ������}. ����� ������, ��� �� ����������
������ ������� �������� ����� � �������� ������ ������������.

����� ������� ����� $X$ ����� �� ��� � ����.

\begin{opr}
\emph{��������� ������} �� ����� ���������� ��������� ��������� ����� $X$
���������� �������� ������� ������� �����.
\end{opr}

����� ������, ������� ����� $D$ �������� ��������� ������, ���� ����������
�������� $\{U_i\}$ ����� $X$, ����� ��� �� ������ �� $U_i$ ������� $D$
�������� ��������� ������������ ������� $f_i$. �������, ��� ���������
�� ������������ $U_i \cap U_j$ ������� $f_i$ � $f_j$ ������ ���� � ��� �� �������,
�� �� ��������� $f_i/f_j$ ���������� ��������� �������, �� ���� ������� ����� $\CO^*$.
����� ������, ����� ������� $\{f_i\}$ ������ ���������� ������� �� $X$ ����� $\CK^*/\CO^*$,
��� $\CK^*$ --- ����� ��������� ������������ �������. �������, ������ ���������� �������
����� $\CK^*/\CO^*$ �������� ����������� �� ������������ �������,
������� �������� ������� ��������� ������������ ������� $\{f_i\}$
� ��������� �������� $\{U_i\}$ ����� $X$, ������� �� ������������
���������� �� ��������� ���������� �������, � ������� �� ��������
����������� � ��������� ������������ �������� ������� ������� ����� �� $X$.
��� ���������� ��������� ���������� ������ ��������� ������ ��� ����� ����� $X$.

\begin{opr}
\emph{������� ������} �� ������������ ����� $X$ --- ��� ���������� �������
����� $\CK^*/\CO^*$.
\end{opr}

����� ������ ��������� ��������� ������ �������� �� ����� � ���������� �������.
����� $D$ --- ������� ������, �������� � �������� $\{U_i\}$ ������� ������������
������� $\{f_i\}$. ���������� �� ������ �� �������� $U_i$ ����� ������� $\CO_{U_i}$
� ������ ��� ����� �� ������������ $U_i/U_j$ � ������� ������������, ��������
���������� �� ���������� ��������� ������� $f_i/f_j$.
����� ������, �� ������������� �����, ������� ��������
��� �������� ���������� $U$ --- ��� ������ ���������� ������� $\phi_i\in\CO(U\cap U_i)$,
����� ��� �� $U\cap U_i\cap U_j$ ����������� ��������� $\phi_i/f_i = \phi_j/f_j$.
����� ����� ������������ $\CO_X(D)$.

\begin{exc}
����� $\CO_X(D)$ ��������� ��������� ��������� $D$ (�� ������� �� ������ �������� $U_i$
� ������������ ������� $f_i$, �������� $D$) � ����������.
\end{exc}

������� �����, ��� ����� $\CO_X(D)$ �������� �������� ����� $1$, �� ���� ��������� �����.
����� ����, ����� ������� $f_i$ �� ������� ���� ����� ��������, ������ ����������
������������ ������� ����� �����, ������� ��������� ���������� � ��������� �� ���������
�� ���������� ���������� ��������� �������. ��������� ��� ������� $s_D$.

\begin{lemma}
������������� $D \mapsto (\CO_X(D),s_D)$ ������ ������� ����� ����������
��������� ������ � ��������� ������ � ��������� ������������ ��������
� ��������� �� ��������� �� ���������� ���������� ��������� �������.
\end{lemma}
\proof{}
����� $\CL$ --- ��������� �����, � $s$ --- ��� ������������ �������.
������� �������� $\{U_i\}$, ����� ��� �� ������ �� $U_i$ ����� $\CL$
���������, ������� ���������� $\CL_{|U_i} \cong \CO_{U_i}$ � ���������
����� $f_i$ ������������ �������, ��������������� ������� $s_{|U_i}$.
����, ��� �� $U_i\cap U_j$ ������� $f_i/f_j$ ���������� ���������,
������� �������� ������� ������, $D$ � �������� $\CL \cong \CO_X(D)$,
$s_D = s$.
\endproof

\begin{exc}\label{topic}
����������� $D \mapsto \CO_X(D)$ �������� ������������� �����:\\
$\CO_X(D_1 + D_2) \cong \CO_X(D_1)\otimes\CO_X(D_2)$.
\end{exc}

����, ��� ������� ������������ ������� ������ �������� ��������� ������.
������� ���������� ������ ������� ��������� ������. ����� ����, ��� ��������
�������� ������ ����� $\CO_X(D)$ ��������� ����� $\CO_X$ (���� ��� $f_i$
�������� ������������ ����� ������������ ������� $f$, �� $\phi_i = \phi_j$
�� ������������ $U_i\cap U_j$ � ������� ����� $\phi$, �������� �������
����� $\CO_X(D)$ ��� $U$ ����������� � ���������� �� $U$ �������).
�������, �����������, ��� $\CO_X(D) \cong \CO_X$. ����� ������� $1\in\CO_X(U)$
�������������� ��� ����� ���������� ��������� ������� $\phi_i$ �� $U_i$,
������ $\phi_i/f_i = \phi_j/f_j$. �������������, ����� ������������ �������
$f_i/\phi_i$ ���������� �� ������������ � ����������� � ���������� ������������
������� $f$. ����, ��� $D = (f)$. ����, $\CO_X(D) \cong \CO_X$ ����� � ������ �����,
����� ������� $D$ �������. ��������� �����������~\ref{topic} ���������,
��� $\CO_X(D_1) \cong \CO_X(D_2)$ ����� � ������ �����, ����� $D_1 \sim D_2$.
������, ����������� $D\mapsto \CO_X(D)$ ������ �������� ������ ������� ��������� ������
� ������ ��������� ������, \emph{������ ������} ����� $X$. ������ ������ ������������ $\Pic X$.
��������� ����� $\CL$ ����� � ������ ����� ������������, ���� �������� ������������ ��������.

\begin{prop}
������ ������� ��������� ������ �� ����� ����� $X$ ��������� $\Pic X$.
\end{prop}
\proof{}
�������� ��������������, ���� ���������, ��� ����� ��������� ����� $\CL$ �� ����� �����
����� ������������ �������. ������� $U\subset X$, ��� ������� $\CL$ ���������
� ������� ��� ���������� ������� ��� $U$. ����, ��� ��� ������ ������������ �������
$\CL$ ��� $\overline{U}$, �� ���� ��� $X$.
\endproof

\begin{thm}
���� $X$ --- ���������� �����, �� ������ ������� ����� �� $X$ �������� ��������� ������.
� ��������� $\Cl X = \Pic X$.
\end{thm}
\proof{}
���������� ������ ������������ (������ 6).
\endproof

\begin{corr}
$\Pic \Pp^N \cong \Z$, ���������� �������� ������������ $n\mapsto \CO_X(n)$.
\end{corr}

\begin{exc}
����� $f:X \to Y$ --- ������� ���� � $\CL$ --- ��������� ����� �� $Y$.
��������, ��� $f^*\CL$ --- ��������� ����� �� $X$, � ��� $f^*:\Pic Y \to \Pic X$ --- ����������� �����.
\end{exc}

\begin{exc}
��������, ��� ������ ������������� ������������ ������������ --- ��� $PGL_n$
(��������, ��� ���� $f$ --- �����������, �� $f^*\CO(1) \cong \CO(1)$).
\end{exc}

\end{document}

���������������� ���������� ������������ ��������



����������� ������������ ������� �� ������ ������ �� ����������� ���������
�������. �� �����, ��� ����������� ��������� ������� �������� --
������ $A$ ���������� ����������������� �� ����� $\Spec A$. ��������
�� ����������� $\Proj A^\hdot$? ������ ������, ���. ��������,
������� ��������� �������.

\begin{exc}
����� $A^\hdot$ -- �������������� ������, � $A^\hdot_m$ -- ���������
��������� �������, ��������� �� $m$ (�.�. $A^l_m = A^{ml}$ ���
������ $l$). ��������, ��� $\Proj(A^\hdot) \cong \Proj(A^\hdot_m)$.
\end{exc}

���������� $A_m^\hdot$ ���������� {\em ����������� ��������}.

������, ���� ������ ����� ����� $X = \Proj(A^\hdot)$ ��� ���� ����� $\CO_X(n)$,
������� $A^\hdot$ ����� ���� � ������� ������� �������������.
� ������, ������� ����������������� ����� $\CF$ �� $X$ ����������
�������������� $A^\hdot$-������ $\Gamma^\hdot(\CF)$ ��������� �������
$$
\Gamma^\hdot(\CF) = \bigoplus_{n\in\ZZ} \Gamma(X,\F\otimes\CO_X(n)).
$$

\begin{exc}
��������� �� $\Gamma^\hdot(\CF)$ �������� $A^\hdot$-������,
��������, ��� $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ �������� $A^\hdot$-�������� � ���������, ���
$\Gamma^\hdot(\CO_X) = A^\hdot$ ��� $X = \Pp^N_k = \Proj A^\hdot$, $A^\hdot = k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
\end{exc}

\begin{lemma}\label{gon}
���� $A^1$ --- ������� ����������� $A^0$-������, $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$
��� $A^0$-�������, � $A$ --- ��������� �������, �� $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ ��� $n\gg0$.
\end{lemma}
\proof{}
����� $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- ���������� $A^0$-������ $A^1$.
�� ����������� ������� ���������� $\CO_X(n)$ ��� $S_{z_i}$
��� ������� ������� $n$ � ����������� $A[z_i^{-1}]$.
��� ��� $A$ --- ��������� ������, ��� ����������� $A[z_i^{-1}]$
����� � $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ � ����, ���
����� ������� ��� $S_{z_i}$ ����������� � ������� �� ���� $X$
����� � ������ �����, ����� ������ ��������������� ���������
� $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ ���������. ����,
$\Gamma(X,\CO_X(n))$ ��������������� � ���������� ������� $n$
� ����������� $\cap A[z_i^{-1}]$. ����� ������ $x$ --- �������
������� $n\ge 0$ � �����������. ������ �������� $m$, ����� ���
$xz_i^m \in A$, ������� $x A^{\ge M} \subset A$, ��� $M = mN + 1$.
�� $\deg x \ge 0$, ������� �� ����� ���� $x A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$.
�� �������� �������� $x^s A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$ ��� ���� $s$.
��� ��� $A^{\ge m}$ --- ������� ����������� $A$-������, �� �����,
��� $x$ --- ��� ��� $A$. �������������, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$
���� ��� $A$ �, �������������, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ ��������
������� ����������� $A$-�������.
���������� ������ ������������ $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$. �� �������
��������. � ������ �������, ������ ��� ������� ��� ��������� ��
$A^{\ge M}$ ��� ���������� ������� $M$ ����������. �������
������ $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$ ������������ � �������� ����� ��������.
������ $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ ��� $n\gg0$.
\endproof

\begin{corr}
��� $m \gg 0$ $m$-�� ���������� �������� ������ $A^\hdot$ � $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ �����.
\end{corr}

����� �������, ��� ���������� ��������� �������� �������,
������� $A$ ����������������� �� ����� $X$ � ����� $\CO_X(1)$
� ��������� �� ��������� ����� ���������.

����� ������� $A^\hdot$ ����������� ���������� $z_0,z_1,\dots,z_N$ ������� $1$.
����� ���������� ������������ ����������� $A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] \to A^\hdot$.
����, ��� �������� ����������� �������� ������ ��������, ������ ��������� �����������
$\Proj A^\hdot \to \Proj A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] = \Pp_{A^0}^N$.

\begin{exc}\label{sur_clem}
��������, ��� ��� ����������� �������� ��������� ���������.
\end{exc}

\begin{opr}
������� $X \to Y$ ���������� \emph{�����������}, ���� �� ������������ �����
��������� �������� � $\Pp_Y^N$ ��� ���������� $N$. ������������ ���������� \emph{�����������},
���� ��� ���������� ��� ������.
\end{opr}

����������� ������ ����� ������� ����������� ������� $A^\hdot$ ���������� ��� $\Spec A^0$.

\begin{exc}
��������, ��� ���� ����� $X$ ���������� ��� $\Spec A$, �� $X$ ��������
����������� �������� ��������� �������������� $A$-�������.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $A^\hdot$ --- $d$-�� ���������� �������� � $k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
��������, ��� $\Proj A \cong \Pp^N$ ������������ � $\Pp^{{\scriptscriptstyle {N+d \choose d}}-1}$.
\end{exc}

��� �������� ���������� $d$-������� ��������� ��������.

\begin{exc}
��������, ��� ��� $N = 1$, $d=2$ ����� �������� �������� --- ������
{\rm(}������� ���������� ������ ������� $2$ � $\Pp^2${\rm)}
\end{exc}

\begin{exc}
����� $A^\hdot$ --- ���������� � ���������������� �������
$k[z_0,z_1,\dots,z_N]\otimes k[w_0,w_1,\dots,w_M]$, {\rm(}$A^n$ ������� �� ��������� ��������� $(n,n)${\rm)}.
��������, ��� $\Proj A \cong \Pp^N\times\Pp^M$ ������������ � $\Pp^{MN + M + N}$.
\end{exc}

��� �������� ���������� $d$-������� ��������� �����.

\begin{exc}
��������, ��� ��� $M = N = 1$ ����� �������� ����� --- �������� � $\Pp^3$.
\end{exc}

\medskip


������ �������� ������� �� ����������� �������.




\begin{lemma}
���� ������� $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$ ��� $A^0$-�������,
�� ��� ������� ����������������� ����� $\CF$ �� $X = \Proj A^\hdot$
���������� ���������� ������ $\beta:\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} \cong \CF$.
\end{lemma}
\proof{}
����� ����� $f\in A^1$ � ���������� �������� ������������ $S_f \subset X$.
�� $S_f$ ����� $\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} = \widetilde{(\Gamma^\hdot(\CF)[f^{-1}])^0}$,
������� ������ ��� ������� ����� ��� $m/f^n$, ��� $m\in \Gamma(X,\CF\otimes\CO_X(n))$.
����, ��� $1/f^n$ �������� �������� ����� $\CO_X(-n)$ �� $S_f$, �������
$m\otimes(1/f^n)$ �������� �������� ����� $\CF\otimes\CO_X(n)\otimes\CO_X(-n) = \CF$
�� $S_f$. ����������� ������� $m/f^n$ ������� $m\otimes(1/f^n)$ �������� ����������
$\beta_f$ �� $S_f$. ����, ��� ����������� $\beta_f$ � $\beta_g$ �����������
�� ������������ $S_f \cap S_g$, ������� ��� ��� ����������� � ����������
$\beta$ �� $\cup S_f = X$.
\endproof

����� ������, ������ ���������������� ����� �� ����� $\Proj A^\hdot$
�������������� � ���� $\widetilde{M^\hdot}$ ��� ���������� ���������������
$A^\hdot$-������ $M^\hdot$.

\begin{lemma}
���� $A^0$ --- �������� ������, $A^1$ --- ������� ����������� $A^0$-������
� $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$ ��� $A^0$-�������, ��
��� ������� ��������������� ������� ������������ $A^\hdot$-������ $M^\hdot$
���������� ������� $A^\hdot$-������� $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
���������� ������������ �� ���� ��������, ������� � ���������.
\end{lemma}
\proof{}
������� ����� ���������� $z_0,z_1,\dots,z_n$ � $A^0$-������ $A^1$.
����� ������������ ����������� $M^n \to (M[z_i^{-1}])^n$,
������� ����� ������������ ��� ����������� $M^n \to \Gamma(S_{z_i},\widetilde{M^\hdot}(n))$.
����, ��� ��� ����������� ����������� �� ������������ $S_{z_i}\cap S_{z_j}$
������ ����������� � ����������� $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
������ �������� ������� ����������� $\alpha$.
�������� ���������, ��� $\alpha$ --- ���������� � ������� ��������.

������������� ����� ������������ ������ 3 (������ ������, �� ��������������
�������) --- �� ������ $M$ ���������� �������� ����������, ��� ��������������
������� ������� ����� ��� $(A/\pp) (n)$, ��� $\pp$ --- ���������� ������� �����.
����, ��� ����� ���������� ���������� ���������� �� ����� $\widetilde{M^\hdot}$
� ������� $\alpha$ ���������� � �����������. ������� ���������� �������� ����
����������� ��� ������� ���� $(A/\pp)(n)$. ����� ����, ���� ��� �������
$A$ ����� �������� �� $A/\pp$, ����� ������� ������ �������� � �����~\ref{gon}.
\endproof

����� �������, $A^\hdot$-������ $M^\hdot$ ���� �����������������
�� ����� $\widetilde{M^\hdot}$ � ��������� �� ������� ������������ $A^0$-������.

\begin{exc}[��������������]
��������, ��� ��������� ����������� ������ �� $\Proj A$ ������������
��������������� ��������� ������������������ �������������� $A$-�������
�� ������������ ������� ������� ����������� ��� $A^0$.
\end{exc}

%\begin{lemma}
%��� ������� ��������������� $A^\hdot$-������ $M^\hdot$ ����������
%������� $A^\hdot$-������� $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
%����� ��� ���� � ������ $\alpha$ �������� �������� ��������, �� ���� ������ �� �������
%������������ ��������� �������� ������ �������� �� $A^{\ge 1}$.
%\end{lemma}
%\proof{}
%��� ������� $f\in A^l$ ����� ������������ ����������� $M^n \to (M[f^{-1}])^n$,
%������� ����� ������������ ��� ����������� $M^n \to \Gamma(S_f,\widetilde{M^\hdot}(n))$.
%����, ��� ��� ����������� ����������� �� ������������ $S_f\cap S_g$
%������ ����������� � ����������� $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%������ �������� ������� ����������� $\alpha$.
%����� ������ $m \in M^n$ ����� � ��� ����. ������ ������� $m$
%����� ���� � ����������� $M[f^{-1}]$, �� ���� $mf^k = 0$ ��� ���������� $k$.
%��������� ��� ����� ��� ������ $f$, $m$ �������� ��������� ��������.
%
%����������, ���� $m' \in \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%�� ��� ������� $f$ ������� $m'$ ����� � $M[f^{-1}]^n$, �� ����
%�������������� � ���� $m/f^k$ ��� ���������� $m\in M$.
%������ $(m'f^k-m)f^l = 0$ ��� ���������� $l$, �� ����
%$m'f^l = mf^{k+l}$, �� ���� ����� $m'$ � ������ $\alpha$
%�������� ��������� ��������.
%\endproof
%
%\begin{exc}
%���� $A^0$ --- �������� ������, $A^1$ --- ������� ����������� $A^0$-������
%� $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$ ��� $A^0$-�������, ��
%������ ������� ����������� �������������� ������ ��������
%������������ � �������� ����� ��������.
%\end{exc}
%
%\begin{prop}
%���� $A^0$ --- �������� ������, $A^1$ --- ������� ����������� $A^0$-������
%� $A^\hdot$ ����������� ����������� $A^1$ ��� $A^0$-�������, ��
%��� ������ ������� ������������ ��������������� $A^\hdot$-������
%$M^\hdot$ ���������� ����� ����� $n_M\in\Z$, ����� ��� �������
%$\alpha:M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$
%�������� ������������ ��� $n \ge n_M$.
%\end{prop}
%\proof{}
%����, ��� ������ $A^\hdot$ ��������, ������ $M^\hdot$ �������,
%������� ��� ��������� $\Ker\alpha$ ������� ��������,
%������������� ������������ � �������� ����� ��������.
%������� ������, ��� ������ $\Gamma^\hdot(\CF)$ ������� ��������
%��� ������ ������������ ����� $\CF$ �� $X = \Proj A^\hdot$.
%�� ����� ����� �������� �������� ������������� ������ $\Coker\alpha$,
%�� ���� $\Coker\alpha$ ���� ������������ � �������� ����� ��������.
%
%����� $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- ���������� $A^0$-������ $A^1$
%(��� �� �������� ����������� ������� $A^\hdot$).
%�� �������� ���������� $S_{z_i} = \Spec (A[z_i^{-1}])^0$
%����� $\CF$ �������������� � ���� $\widetilde{M_i}$,
%��� $M_i$ --- ������� ����������� $(A[z_i^{-1}])^0$-������.
%$M_i[z_i]$ �������� �������������� ������������������ $A$-�������
%� ����� ��������� �������� $\Gamma^\hdot(\CF) \subset \oplus_{i=0}^N M_i[z_i]$,
%������� $\Gamma^\hdot(\CF)$ ������������� ������� ��������.
%\endproof
%
%������ ��� ��������� ���� � �����������
%
%�� ������� ������ �� ��������, ��� ��������� ���������������� ������ �� �������� �����
%$\Spec A$ ������������ ��������� $A$-�������. ����������� ������ ������,
%����� �� ������� ��������� ���������������� ������ �� ����������� �����
%$\Proj A^\hdot$ � �������� �������������� ������� $A^\hdot$.
%
%����������� �����. �� ������� ������ �� ����������� ������� ���������������
%$A^\hdot$-������ $M^\hdot$ ���������������� ����� $\widetilde{M^\hdot}$.
%����� ������

����� ������ ������� ������������� �������� ������� � ������������ �������.
����� $\CA$ --- ���������������� ����� $\CO_X$-������ �� ����� $X$.
��� ������� ��������� ��������� ������������ $U \subset X$
���������� �������� $U$-����� $\Spec(\CA(U))$ (�������� � $U$
��������� �� �������� ������ $\CO_X(U) \to \CA(U)$). ����������� �����������
$\CA(U) \to \CA(V)$ ���� �������� ����$\Spec(\CA(V)) \to \Spec(\CA(U))$,
������� ��������� ������� ��������� ����� ��� $X$, ������� ������������ $\Spec_X(\CA)$
� ���������� ������������� �������� ����� ������ $\CA$ ��� $X$.

\begin{exc}
����� $\pi:X \to Y$ --- ��������.
��������, ��� $X = \Spec_Y(\pi_*\CO_X)$.
\end{exc}

���������� ��� ����� �������������� $\CO_X$-������ ������������
������������� ����������� ������. ��������, ���� $\CV$ --- �������� ��������� �����
��������� ����� �� ����� $X$, ����� $\Pp_X(\CV) = \Proj_X(S^\hdot\CV^*)$
���������� {\em ���������������} ����� $\CV$, � ���� $i:Z \subset X$ --- ���������
��������, �� ����� $\Bl_Z(X) = \Proj_X(\oplus I_Z^{k})$ ����������
��������� ����� ������� $I_Z = \Ker(\CO_X \to i_*\CO_Z)$.

\begin{exc}
��������, ��� �������� ������ ������� $I_Z^m$ � $I_Z$ �����.
\end{exc}








\subsection*{�������� � ����� �������� �����.}


����� ������ ���� �����������, ������� ������ ��������� ����� $X$
��� �������� ������ $Y$ (�.�. ���������� ��������� $X \to Y$).
����� ��������, �������� �� ��� �����������, ����������
��������� ����������� � ����������� ������������ $\Pp^N_Y$.

����� $Y= \Spec A$, $\Pp^N_Y = \Proj A[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
�������� ���������� $\calo(1)$ ����� $(N+1)$-������ ������������ ���������� �������
� ���������� ������� (���������� ����������� $z_0,z_1,\dots,z_N$). ���� ����� �������
������ ������� ������ $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ ��~$\Pp^N_k$.

\begin{exc}
��������, ��� ������� ������ $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ �� $\Pp^N_k$ �����������.
\end{exc}

����� ������ $X$ --- ������������ ��� ����� $k$, � $\rho:X \to \Pp^N_k$ --- �����������.
�������� ������� ��������� ������ $\rho^*$, �������� �������
$c_\rho:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to \rho^*\calo(1)$ �� $X$. ������� ��������� ������ ����� ������
(�� �������� ����������� ������� �������� $\rho^{-1}$ � ������� ������ �������� ����������
������������ �� $\calo_X$), ������� ������� $c_\rho$ �����������.
������� ������, ��� ����������� $\rho$ ����� ������������ �� �������� $c_\rho$.

\begin{lemma}\label{recmap}
����� $L$ --- �������� ���������� �� $X$ � $c:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to L$ --- ������������ �������.
����� ���������� ����������� $\rho:X \to \Pp^N_k$, ����� ��� $L = \rho^*\calo(1)$ � $c = c_\rho$.
\end{lemma}
\proof{}
����������� $\rho$ ����� ��������� �� ������ �����. ��� ������ ����� $x\in X$
� ����� ������� $K$ ������� ���������� $L_x\cong K$ (����� $L$ �������� �������� ����� $1$),
� ���������� ����� ��������� $(c_x(e_0),c_x(e_1),\dots,c_x(e_N)) \in K^{N+1}$,
��� $e_0,e_1,\dots,e_N$ --- ����������� ����� � ���� $(\calo_X^{\oplus (N+1)})_x = K^{N+1}$,
� $c_x$ --- ������� ����� � $x$. ����, ��� ���������� ����� ����� �� ����� ���� �������,
��� ��� ������� $c$ �����������. ����� ����, ������ ���������� $L_x\cong K$ �������� ����
����� �� ��������� ���������. ����� �������, �������� ��������� ������������ $K$-�����
������������ ������������ $\Pp^N_k$. ��� ����� ��������� ����������� $\rho:X \to \Pp^N_k$.
������ ����������� $\rho$ ��������. ����� $x_0,x_1,\dots,x_N$ --- ������� ���������� $L$
�� $X$, �������������� �������� �������� $e_0,\dots,e_N$. ����� $X_i = \{x\in X\ |\ x_i(x)\ne 0\}$.
��� �������� �� ��������� ������������ (���������!). ���������� ����������� �����
$k[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^0 \to \calo_{X_i}$,
����������� $z_j/z_i$ � $x_j/x_i$ (������� ���� ������� ��������� ����������,
���� �� ������� ����� �� ���������� � ���� �������� ��������� ������������ ��������).
����� ������, ��� ��������������� ����������� $\rho_i:X_i \to U_i = \{(z_0:z_1:\ldots:z_N)\in\Pp^N_k\ |\ z_i\ne 0\}$
��������� �� ������������ $X_i\cap X_j$ � ������� ���������� � ������� ���� $X \to \Pp^N_k$,
�� ������ ����� ����������� � $\rho$.

�����, ����������� ����� $\calo(1)$ �� $U_i$ �� ����������� ������������� ���������� ������
$z_ik[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^1$.
����������� �������� $z_i$ ������� $x_i\in L(X_i)$ �������� ����������
$\rho_i^*\calo(1) \cong L_{|X_i}$. ����� ��, ����������� �����������
����������� �� ������������ $X_i\cap X_j$, � ������� ���� ���������� $\rho^*\calo(1) \cong L$,
������ $c_\rho = c$.
\endproof

������� ���������� ��� ����������� � ��������������� �����. ����� $V$ --- ��������� ������������.
������� $\Pp(V) = \Proj S^\hdot(V^*)$, ��� $S^\hdot(V^*)$ --- ������� �������������� ������� �� $V$
(����� ������ $z_0,z_1,\dots,z_N$ � $V^*$ ���� ����������� $S^\hdot(V^*) \cong k[z_0,z_1,\dots,z_N]$,
$\Pp(V) \cong \Pp^N_k$). �������������, ����������� $\rho:X \to \Pp(V)$ ������������ �������
$c_\rho:V^*\otimes\calo_X \to \rho^*\calo(1)$ � ��������, ������� ����������� $c:V\otimes\calo_X \to L$
����������� $\rho:X \to \Pp(V^*)$.


\begin{exc}
�������� ������������� ������ �����~$\ref{recmap}:$
���� $\CV$ --- �������� ��������� ����� ��������� ����� �� ����� $Y$,
���������, ��� ��� ������ ����� $X$ ��� $Y$ � ��������� $\pi:X \to Y$,
���������� ������� ����� ���������� ���� $X \to \Pp_Y(\CV)$ ��� $Y$
� ������������� ������ $\pi^*\CV^* \to L$.
\end{exc}

����, ����� ������ ����������� $X$ � ����������� ������������ ���� ������� �������� ���������� $L$
� ��������� ������������ ��� ������� $V \to H^0(X,L)$, ����� ��� ��������������� ������� ������
$V\otimes\calo_X \to L$ ����������� (�������, ��� ����� $L$ {\em �����������}\/ ������������� $V$.
����, ��� � �������� $V$ ����� ����� ��� ������������ $H^0(X,L)$. ���� ��� ��������� $L$
(� ���� ������ �������, ��� $L$ {\em ����������� ����������� ���������}), ��������
����������� $X \to \Pp(H^0(X,L)^*)$. ������, ��������� �����, ��������� �������������
������� �������� ����������� ����������� ��������� ���������� {\em ������������} (semiample).
%
%\begin{exc}
%����� $L$ --- ������������ ��������� �����.
%���������, ��� ������������ $V$ ��������� $L$ ����� � ������ �����,
%����� ����� $X$ � $\Pp(H^0(X,L)^*)$ �� ���������� $\Pp(V^\perp) \subset \Pp(H^0(X,L)^*)$ � ���
%��������������� ����������� $X \to \Pp(V^*)$ �������������� � ����������
%$X \to \Pp(H^0(X,L)^*)\setminus \Pp(V^\perp) \to \Pp(V^*)$, ���
%������ ����������� --- �������� ��������.
%\end{exc}
%
������������ ��������� ����� $L$ ������� �� ����������� ����������� ���������.
% (� �� ���� ��������).

\begin{opr}
{\em �������� ����������} ��������� ���������� $L$ ���������� ���������
$B(L) \subset X$ ����� ����� $x \in X$, ��� ��� ���������� �������
$L$ ���������� � $0$ � $x$.
\end{opr}

��� �������������� ��������; ����� ���������� ��������, �������
������� � � ������������� �������� $X/Y$, �����. ��������� �����
$\pi:X \to Y$ �������� $X$ � $Y$. ����� �� �������������, �����
������������ ����������� $\eta:\pi^*\pi_*L \to L$.

\begin{exc}
��������, ��� $B(L) = \Supp \Coker\eta$ (�.�. ��������� �����, ���
$\eta$ �� �����������).
\end{exc}

������ ��������������� ��������, ��� $B(L)$ ��� ��������������
������������ -- ��������� ����� ��������� ��������� �������� -- �
��� ����������� �� ����� ���� ����� ����� ��� ������
����������������� ����� $\E$ �� $X$. ����� ����������� ����������� ���������,
���� $B(L) = \emptyset$.

����, �� ��������, ��� ��� ������� ����������� $Y$-����� $\rho:X \to \Pp^N_Y$
���������� ������� �������� ���������� $\rho^*\CO(1)$.

\begin{opr}
���������� $L$ �� $X/Y$ ���������� {\em ����� �������� ��� $Y$}, ����
���������� ����� ����������� ������������ $\Pp^N_Y$ � �������� $\rho:X \to
\Pp^N_Y$, ��� $L \cong \rho^*\calo(1)$. ���������� ���������� ������
{\em ��������}, ���� �����-�� ��� ������������� ��������� �������
$L^{\otimes n}$, $n \geq 1$ ����� �������.
\end{opr}

����� ��� {\em ���������} �� ������ ������ �������� ����������
��������� � ���������� ��������: ���� ��������� ��������
$\overline{X} \subset \Pp^N_Y$, � �������� �������� $X \subset \overline{X}$.



��������� ������ ���������������� �������� �������� ����������.
�� �������������� ����, ��� ������ �������� ����� ����������� ����������� ���������.
�������� ������� �� ����� --- ���� ��� ��������� ����������� �����
$L$, �� �� ������ ��������� ����������� $\rho:X \to \Pp(V)$,
$V = (H^0(X,L)^*)$ � ����, ��� $L$ ����� ������ ����� � ������ �����,
����� ��� $\rho$ -- �������� (� ��� �������� ������� -- ��������,
������� �������, ��� ���������� ����� $\calo_X$ ������ ���������
�������� -- ������? -- �� �������� ����� ���������� ������� �� $X$
��� ������ ���������, ��� ��� $\dim V = 1$, � $\Pp(V)$ -- �����).

\begin{exc}
������� ���� $\rho:X \to Y$ �������� ��������� ����� � ������ �����,
�����
\begin{enumerate}
\item ��� ����� ���� ������ ����� $x,x' \in X$ ����� $\rho(x) \neq
\rho(x')$, �
\item ��� ����� ����� $x \in X$ � ���������� ������������ ������� (�
������ ����������) $\xi$ � ����� $x$, $\rho(\xi) \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}

���� ����������� $\rho:X \to \Pp(V)$, ���������� ���������
������������ ��������� ���������� $L$, ������������� �������
\thetag{i}, �� �������, ��� $L$ {\em ��������� �����}, � ����
������� \thetag{ii} -- �� ��� $L$ {\em ��������� �����������
�������}.

\begin{exc}
����� $\rho:X \to \Pp(V^*)$ --- �����������, �������� ���������������� $V \subset H^0(X,L)$.
���������, ��� ������� ����������� ���������� ����������� ��������
\begin{enumerate}
\item ��� ����� ���� ������ ����� $x,x' \in X$ ���������� ����� $s
\in H^0(X,L)$, ��� $s(x)=0$, � $s(x') \neq 0$.
\item ��� ����� ����� $x \in X$ � ���������� ������������ ������� (�
������ ����������) $\xi$ � ����� $x$, ���������� ����� $s \in
H^0(X,L)$, ��� $s(x) = 0$, �� $\langle ds, \xi \rangle \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}


����� ��������� ������� ���������� � ��������� ������: ���������
����� $L$ �������� �������� ����� $1$, ����� �������, ��� $L|_U
\cong \calo_U$ � �����-�� �������� ����������� $U \subset X$ �����
$x$; ����� $s$ ��� ������ �������, � �� ������������ $ds$ ������
���������. ���� �� ������� ������ ���������� $L|_U \cong \calo_U$,
�� �������, ���������� $s$, ��������� �� ��������� �������. �������
$\langle ds,\xi \rangle$ ��������� �� ��������� ��������� -- � ���
����, ��� ��� ����� ����� ��� �� ����� ����, �� ������� �� ������
����������� $L|_U \cong \calo_U$.

����� �������, �������� ���������� ����� �������, ���� ��� (1) ��
����� �������� �����, (2) ��������� �����, � (3) ���������
����������� ������� -- ��� ������������ � ������������ �����, ���
���� � ������ ����������� ����������� �������.

\begin{exc}
��������, ��� ���� $L$ --- �������� ����� �� ��������� ����� $X$,
�� ��� ������ ������������ ����� $\CF$ �������� ����� $n_\CF$,
����� ��� ��� ������ $n\ge n_\CF$ ����� $L^n\otimes\CF$
����������� ����������� ���������.
\end{exc}

�������, ������������� ��������� ��������� ���������� �� ����� $X$
��� �� ����������� �� ������������� --- ���������� ����������� �� $X$
� ����������� ������������ ����� �� ���� ��������� ���������. �� ����� ����
��� ����������� ����� � ������ �����, ����� $X$ �������� ������ ��������� ---
�������� {\em �����������}\/ ��� $Y$. �� ���� �������� �� ��������� �� ��������� ������.

��������� ��������� �� ��� ���� ��� �����.
� ������������ ��������� ������ ��������������� $V \subset H^0(X,L)$
���������� {\em �������� ��������}\/ (� ��� $H^0(X,L)$ -- {\em ������
�������� ��������}). �����������, ��� ������������ � ���� �������
������� � ������, ����� �������������� �������� �������� �� �������
�������� ���������� � ������� ��� ���������� {\em ���������}. �� ���
����� ���������, �� ����� ��������� �����. �������� �������� ������� $V$
����� ��� ��, ��� � ������, ����� ��������� �������� ����� $B(V)$ �
������ ����������� $X \setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, ������� �����
���� ��� �� ���� ���������, ��������� ��� �� ��������� �����, � �.�.

\begin{exc}
����� $A$ -- �������-����������� ������� ��� ����� $k$, $X = \Spec
A$ -- �������� �����, $L = \calo_X$ -- ����������� ��������
����������, � $V \subset A = H^0(X,\calo_X)$ -- �������������
���������������. � ����� ������� �������� ������� $V$ (1) �����
�������? (2) �� ����� �������� �����?
\end{exc}



\subsection*{������������ �����������}

��������� ������ ����� �������� -- ��������� ����������� $\Proj$
�������������? ����� ����� ����������� �������������� �����
$f:A^\hdot \to B^\hdot$ -- ����� �� �� ���� ��������� ����������� ��
$Y = \Proj B^\hdot$ � $X = \Proj A^\hdot$? ����, ��� ��, ���� $f$
����������� (��. ���.~\ref{sur_clem}) --- � ����� ������, $B^\hdot$ ��� ������ $A^\hdot$ ��
����������� ������ $I^\hdot \subset A^\hdot$, � $Y$ -- ���������
��������, �������� ���� ������� (�.�. ����������� ����������, �� ���
� �������� ��������� ���������). ���� �����, ��� � ����� ������
���������� ����������� $\wt{f}:\Spec B^\hdot \to \Spec A^\hdot$. ��
��������, ��� ����� �� ��������� $\Proj A^\hdot$ ��� ���������
������ $\Spec B^\hdot$, �� ����� ���� �������������� �������� ��
$\Spec A^\hdot$ �������� $\Spec A^0 \subset \Spec A^\hdot$, ��������
������� �����������. � ����� ������, �������� ��������� ��������:
����������� $\wt{f}$ ��������� ��������� ����� �� �� $\Spec B^0$ �
����� �� $\Spec A^0$! ����� �������, ����������� $\wt{f}:Y \to X$
��� �� � ����������, �� ���������� �� �� ���� $Y$, � ������ ��
�������� ������������ $U \subset Y$ (���������� �������������
$\wt{f}^{-1}(\Spec A^\hdot \setminus \Spec A^0)$).

����� ������� ������ �����: ����� $A^\hdot = k[x_1,x_2]$,
$B^\hdot=k[x_1,x_2,x_3]$, $f$ -- ������������ ��������. ����� $X =
\Pp^1$, $Y = \Pp^2$, � $\wt{f}$ -- �������� �� $\Pp^2$ �� $\Pp^1$ ��
����� � ����������� ������������ $\langle 0,0,1 \rangle$. � ����,
��� � ����� ���� ����� �������� �� ����������!

� ����� ������, ������ ��������� �����������.

\begin{opr}
{\em ������������ ������������} �� ����� $X$ � ����� $Y$
(������������ $X \dashrightarrow Y$) ���������� ����$\langle U,f
\rangle$ �� ��������� �������� ������������ $U \subset Y$ � ��������
���� $f:U \to Y$. ��� ���� ���������, ��� ��� ���� $\langle U_1,f_1
\rangle$, $\langle U_1,f_1 \rangle$ ������ ���� � �� �� ������������
�����������, ���� $f_1 = f_2$ � ����������� �� $U_1 \cap U_2$.
\end{opr}

��� ��� ���� ��������, ����� ����������� ��������� ������������ �����������.
����� $L$ --- �������� ���������� �� ����� $X$, � $V\subset H^0(X,L)$ ������������
��� ������� (�������� �� ����������� $L$). ����� $V$ ��������� $L$ ��� $B(V)$
� ������ ����������� $X \setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, �� ���� ������������
����������� � ����������� ������������. ��������, ����� $V \subset H^0(\Pp^2,\CO(1))$
������������ �������, ������������ � ���� � ��������� �����. ���������������
����������� $\Pp^2 \dashrightarrow \Pp^1$ --- �������� �� �����.


������������ ����������� ����� ����� �����������, �� �� ������ --
����� ��� ���������, ��� $f_1^{-1}(U_2)$ -- �� ������� (��������,
$f_1:X \dashrightarrow Y$ ����� ���������� ��� $U_1 \subset X$
������ ���������� � $U_2 \subset Y$). ����� ����, ������ ���������,
��� ���������� ������� � �������� ��������������� ������� ��������
������������ $U \subset X$, �� �������� � ���� �� ���� ��� �������
��-�� ��������������� ��������������.
%��� ������ ����������
%���������� �����������, ������� ��� ������������ �����������
%�������������� ���������.
����� ��������� ��������, ����� ���������
���.  ����� ���� ������������ ����������� $f:X \dashrightarrow
Y$. ���������� ��� ������ $U \subset U \times Y \subset X \times Y$,
� ������� ��� {\em ���������} $\wt{X} \subset X \times Y$. ����� ���
������ � ���������� ������������ ��������� �������� � $X \times
Y$. ��� ����� �� ���� ������ �������� �����������, ������ ���
�������� $\wt{X} \to X$ -- �� ����������. �� ��� �������� -- ���
���������� �������������� �����������.

\begin{opr}
������� ���� $f:X \to Y$ ���������� {\em ��������������}, ���� ���
������-�� ��������� �������� ������������ $U \subset Y$ �� ���������
���������� $f:f^{-1}(U) \to U$.
\end{opr}

����� �������, ��� ������������ ������������ �� $X$ � $Y$ ����� �
��� �� ������� �������� ����� ��������� �������� $\wt{X} \subset X
\times Y$, ��� �������� $\wt{X} \to X$ �������������.

������������, ��� �������, �� ����� ������. �������������� ����������� ���
������� ���� � �������������� ���������; ������������ �����������
��� ������ �� ������� ����, � ����� ����� ������� � �������������
������������.

\begin{exc}
��������� $\wt{X}$ � ������������� ���� �������: $Y = \Pp^1$, $X =
\Pp^2$, $f:X \dashrightarrow Y$ -- �������� �� ����� (��������:
������ ���������� �������� $X$ � ����� $\langle 0,0,1 \rangle$).
\end{exc}

���� ����, ������� ����� ����� �� ����������� �������������
����������� ����� ������� -- ��� ��� ��� ������� �������������
����������� $f:X \dashrightarrow Y$ ���������� ���� ������������
�������� ��������� $U \subset X$, �� ������� ��� ���������� (���
������ ����������� ���� ����� $U$, ��� �������� $\pi:\wt{X} \to X$
-- ���������� ��� $U \subset X$). ���������� $X \setminus U$
���������� {\em ���������� ����������������} �������������
����������� $f$.



���������, �� ������������ ����������� ����� �������� ��� ��� ���:
�� ����� ��������� ���� � ��������� �������� �������������� ��������
(���������� ������� ����������� ��� ������). ������ �����
�������������� ��������� ����������� ��������� �������������
����������, �� ������ �������� ������ ��� ��������� ��������,
������� � ���� ������ ��������� �� �������. ���, � �����, � �����:
��������� ������������ ����������� ����� ����������� �� ������,
��������� ��� �� ��������. ��� �� ���� ���� ����� �����������
��������, � ������ ��� �������� -- �� ����. � ������, ��-������,
����������� ������������ ����������� ������������� ������ �
��������� ����� ���� (������, � �� ������� ���� �� ����, �
������������� ��� ���������� ������� ��������� ����� � ��
�������������). ��-������, ������� ������������� ������ {\em
���������} ������������ ����������� -- � ������, ����� $f:X
\dashrightarrow Y$, ��� $f$ ���������� ���������� ��������� ��������
$U \subset X$ � ��������� �������� $V \subset Y$ (� �� ����������,
��������, ��� $U$ � �����-������ ���� ����� � $Y$).

����� �������, ��� ����� $f$ ����� ����������� ��� �������, �.�. ���
���� �������� ���������, � � ���� �� � ���� ��������� ��� ��������
�������� (����� ��������� ���������� {\em ��������}).

������ ���� ��������� ���������� ``������������ � ��������� ��
�������������� ���������������'', � ��� �������� �������� ����������
������� ��������������� ������������ -- ��� ��������� �������
��������� ������������ �������� ������������, �� ���������� ��
��������� ����� ��������. ��� ���� ������ ������ ����� ��
����������. �������� -- � �� ��� �� �������� ������� -- ��������
����������� �������������� ������, �.�. �������� ����������� �����
����������� $1$ ��� �����, ��������� ������������ ����� �������
�������������� ���������������. � ���������, ���� ������, ��
�������������-������������� ����������� ������ $\Pp^1$. � �����
������, ������������, ������������� ������������� $\Pp^n$, ����������
{\em ������������}; ���� �������� ����� ���������� ������������,
�������������� ������� -- ������ �������� ������.

������� ��������� �������������� �������� �������������� ���������.

\begin{exc}
��������, ��� ������� $A \mapsto \Frac(A)$ ���� �������������
��������� ����� � ���������, ������������ � ��������� ����� ��������
���� � ��������� �� �������������� ���������������.
\end{exc}

����������, ����� ����� ����� �� ����������� �������������
������������ ����� ����� ������� �������� �������� ��������, ��� ���
����������� ��������� ������� ����� �� ����� ���� �� �����.

�������, �������� ������������� � ������ ������������ ������������
������ ��������������� ����������� -- � ������, ������� $X = \Pp^2$,
� ���������� ����������� $f:X \to X$, �������� � ����������
����������� ��������
$$
\langle z_1,z_2,z_3 \rangle \mapsto \langle z_2z_3,z_1z_3,z_1z_2
\rangle.
$$
��� ���������� {\em ����������� �������}. �� ������ ������ ���
������ ������������ ������� ����, �� �� ����� ���� ��� �� ���: ����
��������� ������ ���������, ������� ��������� � ����������� ������
$\langle 0,0,0 \rangle$. �� ��� ������������ �����������,
����������� ������� �������� ������ ����������.

\begin{exc}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item ������ ��������� ����� ���������������� ����������� �������?
\item ��� ���������, ���� ������������ ��� ����������� � �����?
\item ��������, ��� ����������� ������� �������� �������� �������� �����,
���������� ����� ����� $\langle 1,0,0 \rangle$, $\langle 0,1,0 \rangle$ �
$\langle 0,0,1 \rangle$.
\end{enumerate}
\end{exc}

\begin{exc}
����� $X \subset \Pp^3$ --- �������� ��������, � $P$ --- ����� �� $X$.
��������, ��� �������� �� ����� $P$ �������� �������������� ������������ $X \dashrightarrow \Pp^2$.
\end{exc}

\end{document}
