\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CJ}{{\mathcal J}}
\newcommand{\CK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\CL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
осень 2005}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, осень 2005}

\begin{document}

\setcounter{section}{10}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 11.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Рациональные отображения. Линейные системы. Бирациональная эквивалентность.
Кривые. Дивизоры на кривых. Канонический класс и род кривой.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Рациональные отображения}

В алгебраической геометрии часто используются морфизмы схем, определенные не всюду,
а лишь на открытом подмножестве данной схемы. Простейший пример, с которым мы уже сталкивались --- рациональные функции.
Строгое определение рациональной функции на схеме $X$ --- такое: всякому аффинному открытому подмножеству
$X \supset U = \Spec A$ сопоставим полное кольцо частных $\Frac A$ кольца $A$ (если $A$ --- целостное кольцо,
то $\Frac A$ --- поле частных, в общем же случае это локализация кольца $A$ по множеству всех элементов,
не являющихся делителями нуля). Это сопоставление определяет на $X$ квазикогерентный пучок (проверьте!),
пучок рациональных функций $\CK_X$. Так вот, рациональной функцией на $X$ называется глобальное сечение пучка $\CK_X$.
Если схема $X$ целая, это понятие можно переформулировать более простым образом ввиду следующего обстоятельства:
сечение пучка $\CK_X$ над любым открытым множеством однозначно продолжается до глобального сечения.

\begin{exc}
Покажите, что пучок $\CK_X$ на целой схеме $X$ постоянен.
\end{exc}

Таким образом, рациональная функция на целой схеме определяется своим ограничением на любое
открытое подмножество. Более того, это множество можно без потери информации уменьшить настолько,
что функция станет регулярной. Поэтому можно сказать, что рациональная функция на целой схеме $X$
это класс эквивалентности пар $(U,f)$, где $U \subset X$ --- открытое подмножество, а $f$ --- регулярная
на $U$ функция, причем $(U,f) \sim (V,g)$, если $f_{|U\cap V} \equiv g_{|U\cap V}$.

Аналогично определяются рациональные отображения.

\begin{opr}
Если $X$ --- целая схема, то рациональное отображение схем $X \dashrightarrow Y$ --- это
класс эквивалентности пар $(U,f)$, где $U \subset X$ --- открытое подмножество, а $f$ ---
морфизм схем $U \to Y$, причем $(U,f) \sim (V,g)$, если $f_{|U\cap V} \equiv g_{|U\cap V}$.
\end{opr}

С рациональными отображениями надо соблюдать осторожность. Например,
рациональные отображения часто можно компоновать, но не всегда --
может так случиться, что $f_1^{-1}(U_2)$ -- не плотное (например,
$f_1:X \dashrightarrow Y$ может переводить все $U_1 \subset X$
внутрь дополнения к $U_2 \subset Y$). Кроме того, крайне неприятно,
что необходимо держать в качестве дополнительного данного открытое
подмножество $U \subset X$, от которого к тому же мало что зависит
из-за дополнительного отождествления.


На самом деле рациональные отображения очень естественно возникают в алгебраической геометрии.
Например, пусть $\CL$ --- линейное расслоение на схеме $X$, а $V\subset \Gamma(X,\CL)$ ---
пространство его сечений. Если $V$ порождает $\CL$, то у нас возникает морфизм $X \to \Pp(V^*)$.
А если нет? Априори ясно, что $V$ порождает $\CL$ вне базисного множества $B(V)$. Иначе говоря,
возникает морфизм схем $X\setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, то есть рациональное отображение
$X \dashrightarrow \Pp(V^*)$.

Заметим, кстати, что это рациональное отображение можно эквивалентным образом описать на языке дивизоров.
Пусть для простоты $X$ --- связная неособая проективная схема над полем $k$. Напомним, что дивизоры Картье
на схеме $X$ находятся во взаимно однозначном соответствии с ненулевыми рациональными сечениями
линейных расслоений с точностью до умножения на обратимую регулярную функцию на $X$, то есть
на элемент из $k^*$. При этом соответствии регулярным сечениям соответствуют \emph{эффективные дивизоры}
(то есть дивизоры вида $D = \sum a_iY_i$, где все $a_i \ge 0$), а разным сечениям одного и того же
линейного расслоения --- линейно эквивалентные дивизоры (так как отношение двух рациональных сечений
линейного расслоения это корректно определенная рациональная функция). И обратно, два линейно эквивалентных
эффективных дивизора соответствуют регулярным сечениям фиксированного линейного расслоения. Итак, всякому
линейному расслоению $\CL$ на $X$ соответствует класс линейной эквивалентности эффективных дивизоров на $X$,
представляющий из себя проективное пространство $\Pp(\Gamma(X,\CL)) = (\Gamma(X,\CL)\setminus 0)/k^*$,
и называемый \emph{полной линейной системой} дивизоров, а подпространству $V \subset H^0(X,\CL)$ ---
проективное подпространство $\Pp(V) \subset \Pp(\Gamma(X,\CL))$. Полная линейная система дивизоров
линейно эквивалентных дивизору $D$ обозначается $|D|$, а всякое линейное проективное
подпространство $\delta \subset |D|$ называется просто \emph{линейной системой}.
Например, если $P \in X$ --- точка, можно рассмотреть линейную систему $|D-P|$
эффективных дивизоров, линейно эквивалентных дивизору $D$ и проходящих через точку $P$.

Всякой линейной системе $\delta$ сопоставим множество $B(\delta)$ точек $P\in X$, таких что всякий
дивизор из $\delta$ проходит через $P$. Это множество очевидно совпадает с множеством
общих нулей соответствующего пространства сечений линейного расслоения, то есть является
базисным множеством линейной системы. Линейная система без базисных точек задает морфизм
схем $X$ в проективное пространство гиперплоскостей в $\delta$ (всякой точке сопоставляется
гиперплоскость дивизоров в $\delta$, проходящих через эту точку), а общая непустая линейная
система --- морфизм, определенный на $X\setminus B(\delta)$, то есть рациональное отображение $X$.

\begin{exc}
Пусть $X = \Pp^N$, $\delta = |H-P|$ --- линейная система гиперплоскостей, проходящих через точку $P\in\Pp^N$.
Покажите, что соответствующее рациональное отображение $\Pp^N \dashrightarrow \Pp^{N-1}$ --- проекция из точки $P$.
\end{exc}

На самом деле, рациональное отображение может оказаться регулярным на большем множестве чем $X \setminus B(\delta)$.

\begin{exc}
Пусть $\delta$ --- линейная система на $X$, а $D_0$ --- эффективный дивизор. Покажите, что
$\delta' = D_0 + \delta$ --- тоже линейная система, причем $B(\delta') = D_0 \cup B(\delta)$, но
рациональные отображения соотвествующие линейным системам $\delta'$ и $\delta$ совпадают.
\end{exc}
В этой ситуации говорят, что $D_0$ --- \emph{неподвижная компонента} линейной системы $\delta'$.
Мораль состоит в том, что рациональное отображение, задаваемое линейной системой не изменится,
если выбросить из нее неподвижные компоненты (на языке линейных расслоений это означает,
что отображение $V\otimes\CO_X \to \CL$ раскладывается в композицию $V\otimes\CO_X \to \CL(-D_0) \to \CL$).
Кстати, заметим, что всякая базисная точка линейной системы на кривой является базисной компонентой,
поэтому верна следующая

\begin{lemma}\label{bircurve}
Если $X$ --- неособая кривая, то любое рациональное отображение $X \dashrightarrow \Pp^N$ регулярно.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть рациональное отображение $X \dashrightarrow \Pp^N$ задается парой $(V,\CL)$.
Пусть $\CL'\subset \CL$ --- образ отображения $V\otimes\CO_X \to \CL$. Заметим, что
$\CL'$ --- обратимый пучок. Действительно, локальные кольца точек неособой кривой --- кольца
дискретного нормирования, поэтому локально $\CL$ изоморфен кольцу, а его подпучок $\CL'$ ---
идеалу в кольце. Но всякий идеал в кольце дискретного нормирования главный, поэтому $\CL'$ локально
свободен ранга $1$. Получаем сюръективное отображение $V\otimes\CO_X \twoheadrightarrow \CL'$,
задающее регулярный морфизм $X\to \Pp^N$, совпадающий с исходным рациональным отображением вне $B(V)$.
\endproof

%На самом деле верно более общее утверждение

\begin{exc}
Если $X$ --- неособая кривая, а $Y$ --- собственная схема, то любое рациональное отображение $X \dashrightarrow Y$ регулярно.
\end{exc}

Аналогично случаю кривых можно рассмотреть и общий случай. Пусть $X$ --- произвольная схема,
а $\phi:X \dashrightarrow \Pp^N$ --- рациональное отображение, задаваемое парой $(V,\CL)$.
Пусть $\CL'\subset \CL$ --- образ отображения $V\otimes\CO_X \to \CL$. Тогда $\CL' \cong \CL\otimes\CJ$,
где $\CJ$ --- пучок идеалов подсхемы $B(V) \subset X$ (образ отображения $V\otimes\CL^{-1} \to \CO_X)$.
Пусть $\pi:\wt X \to X$ --- раздутие пучка идеалов $\CJ$ на $X$.

\begin{exc}
Рассмотрим пучок $\CO_{\wt X/X}(1)$ на $\wt X = \Proj_X(\oplus \CJ^k)$.
Покажите, что\\
$\pi_*\CO_{\wt X/X}(1) \cong \CJ$, $\pi_*(\pi^*\CL\otimes\CO_{\wt X/X}(1)) \cong \CL'$.
\end{exc}

Сюръекция $V\otimes\CO_X \twoheadrightarrow \CL' = \pi_*(\pi^*\CL\otimes\CO_{\wt X/X}(1))$
индуцирует по сопряженности морфизм $V\otimes\CO_{\wt X} = \pi^*(V\otimes\CO_X) \to \pi^*\CL\otimes\CO_{\wt X/X}(1)$,
который тоже сюръективен (проверьте это!), поэтому получаем морфизм схем $\tilde\phi:\wt X \to \Pp^N$.
Ясно, что на $\wt X\setminus\pi^{-1}(B(V)) = X\setminus B(V)$ морфизмы $\phi$ и $\tilde\phi$ совпадают,
поэтому $\tilde\phi = \phi\circ\pi$. Полученное равенство можно переинтерпретировать так. Заметим,
что отождествление открытых множеств $\wt X\setminus\pi^{-1}(B(V)) = X\setminus B(V)$ можно рассматривать
как рациональное отображение $\pi^{-1}:X \dashrightarrow \wt X$, которое тоже называется раздутием.
Тогда получаем $\phi = \tilde\phi\circ\pi^{-1}$, то есть \emph{всякое рациональное отображение в проективное
пространство раскладывается в композицию раздутия некоторого пучка идеалов и регулярного морфизма}.

Похожее утверждение верно и для любого рационального отображения $\phi:X \dashrightarrow Y$.
Пусть $\phi$ регулярно на открытом множестве $U \subset X$. Рассмотрим в $U\times Y$ график
морфизма $\phi_{|U}$ (проверьте, что график морфизма $\Gamma_\phi(U) \subset U\times Y$
--- замкнутая подсхема, изоморфная $U$) и пусть $\wt X = \overline{\Gamma_\phi(U)} \subset X\times Y$.
Пусть $\pi$ --- ограничение проекции $X\times Y \to X$, а $\tilde\phi$ --- ограничение
проекции $X\times Y\to Y$ на $\wt X$. Тогда $\phi = \tilde\phi\circ\pi^{-1}$.
На этот раз, однако, морфизм $\pi:\wt X \to X$ не является вообще говоря раздутием
(раздутие всегда проективный морфизм). Например, если $Y = X\setminus Z$, $\phi = \id$,
то $\wt X = Y = X\setminus Z$ и $\pi$ --- вложение.
В общем случае, проекция $\pi$ --- так называемое бирациональное отображение.

\begin{opr}
Морфизм целых схем $f:X \to Y$ называется {\em бирациональным}, если для
какого-то открытого подмножества $U \subset Y$ он индуцрует
изоморфизм $f:f^{-1}(U) \to U$.
\end{opr}

Таким образом, всякий бирациональный морфизм обратим как рациональное отображение, а
\emph{всякое рациональное отображение раскладывается в композицию рационального отображения,
обратного к бирациональному морфизму и регулярного морфизма}.

Терминология, как водится, не очень удачна. Бирациональное отображение это
морфизм схем с дополнительным свойством; рациональное отображение
это вообще не морфизм схем, а нечто более сложное и дополнительно
определяемое.

\begin{exc}
Вычислите $\wt{X}$ в рассмотренном выше примере: $Y = \Pp^1$, $X =
\Pp^2$, $f:X \dashrightarrow Y$ -- проекция из точки (указание:
должно получиться раздутие $X$ в точке $\langle 0,0,1 \rangle$).
\end{exc}

Одна вещь, которая четко видна из определения рационального
отображения через графики -- это что для каждого рационального
отображения $f:X \dashrightarrow Y$ существует одно максимальное
открытое множество $U \subset X$, на котором оно определено (это
просто объединение всех таких $U$, что проекция $\pi:\wt{X} \to X$
-- изоморфизм над $U \subset X$). Дополнение $X \setminus U$
называется {\em множеством неопределенности} рационального
отображения $f$.



Категорно, на рациональные отображения можно смотреть еще вот как:
мы берем категорию схем и формально обращаем бирациональные морфизмы
(аналогично понятую локализации для кольца). Такого сорта
общекатегорные процедуры формального обращения действительно
существуют, но хорошо работают только при некоторых условиях,
которые в этом случае выполнены не целиком. Что, в общем, и видно:
поскольку рациональные отображения можно компоновать не всегда,
категории они не образуют. Все же есть одна более специальная
ситуация, в которй эта аналогия -- по делу. А именно, во-первых,
исторически рациональные отображения рассматривали обычно в
категории целых схем (вернее, в те времена схем не было, а
неприведенные или приводимые объекты старались особо и не
рассматривать). Во-вторых, давайте рассматривать только {\em
обратимые} рациональные отображения -- а именно, такие $f:X
\dashrightarrow Y$, что $f$ индуцирует изоморфизм открытого плотного
$U \subset X$ и открытого плотного $V \subset Y$ (а не сплющивает,
например, все $U$ в какую-нибудь одну точку в $Y$).

Тогда понятно, что такие $f$ можно компоновать без проблем, т.е. они
таки образуют категорию, и к тому же в этой категории все морфизмы
обратимы (такая категория называется {\em группоид}).

Объект этой категории называется ``многообразие с точностью до
бирациональной эквивалентности'', и это довольно полезное огрубление
понятия алгебраического многообразия -- оно позволяет изучать
некоторые существенные свойства многообразий, не отвлекаясь на
частности вроде раздутий. При этом полной потери всего не
происходит. Например -- и мы это со временем докажем -- неособая
проективная алгебраическая кривая, т.е. неособая проективная схема
размерности $1$ над полем, полностью определяется своим классом
бирациональной эквивалентности. В частности, есть кривые, не
бирационально-эквивалентные проективной прямой $\Pp^1$. В общем
случае, многообразие, бирационально эквивалентное $\Pp^n$, называется
{\em рациональным}; есть довольно много конкретных мнгоообразий,
рациональность которых -- важный открытый вопрос.

Отметим следующее алгебраическое описание бирациональной категории.

\begin{exc}\label{fracequiv}
Докажите, что функтор $A \mapsto \Frac(A)$ есть эквивалентной
категории полей и категории целых схем с точностью до бирациональной эквивалентности.
\end{exc}

Наконец, приведем нетривиальный и весьма поучительный классический
пример бирационального изоморфизма -- а именно, возьмем $X = \Pp^2$,
и рассмотрим отображение $f:X \to X$, заданное в однородных
координатах формулой
$$
\langle z_1,z_2,z_3 \rangle \mapsto \langle z_2z_3,z_1z_3,z_1z_2
\rangle.
$$
Это называется {\em отображение Кремоны}. На первый взгляд это
хорошо определенный морфизм схем, но на самом деле это не так: есть
ненулевые наборы координат, которые переходят в запрещенную строку
$\langle 0,0,0 \rangle$. Но как рациональное отображение,
отображение Кремоны очевидно хорошо определено.

\begin{exc}
\begin{enumerate}
\item Каково множество базисных точек отображения Кремоны?
\item Что получится, если скомпоновать это отображение с собой?
\item Покажите, что отображение Кремоны задается линейной системой $|2H-P_0-P_1-P_1|$
коник, проходящих через точки $P_0 = \langle 1,0,0 \rangle$, $P_1 = \langle 0,1,0 \rangle$ и
$P_2 = \langle 0,0,1 \rangle$.
\end{enumerate}
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $X = \Pp^1\times\Pp^1$, $H_1$ и $H_2$ --- горизонтальная и вертикальная прямые, а $P$ --- точка.
Покажите, что линейная система $|H_1 + H_2 - P|$ задает бирационально отображение $X \dashrightarrow \Pp^2$,
а обратное отображение задается линейной системой $|2H - P_1 - P_2|$ на $\Pp^2$, где $H$ --- прямая,
а $P_1$ и $P_2$ --- точки.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $P_1,\dots,P_6$ --- точки на $\Pp^2$ в общем положнии (никакие $3$ не лежат на одной прямой
и все вместе не лежат на одной конике). Докажите, что линейная система $|3H - P_1 - \dots - P_6|$
обильна (вне точек $P_i$) и задает вложение раздутия $\wt{\Pp^2} \to \Pp^2$ в точках $P_1,\dots,P_6$ в $\Pp^3$.
\end{exc}

На самом деле, образ предыдущего вложения --- кубическая поверхность.


\section*{Кривые}

\begin{opr}
Кривой называется целая регулярная одномерная схема над полем. Кривая называется
\emph{полной}, если она собственна.
\end{opr}

Пусть $C$ --- кривая над полем $k$, а $K(C)$ --- поле рациональных функций на $C$.
Расширение полей $K(C)/k$ имеет степень трансцендентности $1$. В силу упр.~\ref{fracequiv}
поле $K(C)$ определяет класс бирациональной эквивалентности кривой $C$, а в силу
леммы~\ref{bircurve} бирациональный изоморфизм полных кривых бирегулярен.
Легко предположить, что полную кривую можно востановить по полю рациональных функций.
Так оно и есть.

\begin{lemma}\label{rf_cov}
Пусть $K/k$ расширение полей степени трансцендентности $1$. Существует единственная
с точностью до изоморфизма полная кривая $C/k$, такая что $K(C) \cong K$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть $C$ --- множество всех дискретных нормирований поля $K$ и рассмотрим на $C$ топологию,
в которой замкнутыми являются конечные множества. Для всякого открытого $U \subset C$
обозначим через $\CO_C(U)$ подкольцо в $K$, состоящее из всех $f\in K$, таких что
$v_P(f) \ge 0$ для всех $P\in U$. Ясно, что $\CO_С$ --- пучок колец на $C$.
Нам надо показать, что окольцованное пространство $(C,\CO_C)$ --- схема.

Сделаем так. Пусть $x\in K$ --- трансцендентный элемент, так что $K/k(x)$ --- алгебраическое
расширение. Пусть $A_0$ --- целое замыкание кольца $k[x]$ в $K$, а $A_\infty$ --- целое замыкание
кольца $k[x^{-1}]$ в $K$. Заметим, что локализация кольца $A_0$ в $x$ равна локализации
кольца $A_\infty$ в $x^{-1}$ (и равна целому замыканию кольца $k[x,x^{-1}]$ в $K$).
Пусть $C_x$ --- склейка аффинных схем $\Spec A_0$ и $\Spec A_\infty$
вдоль $\Spec (A_0)_x = \Spec (A_\infty)_{x^{-1}}$.
Ясно, что $C$ --- целая нетерова схема над $k$. Более того, аффинные схемы
$\Spec A_0$ и $\Spec A_\infty$ являются разветвленными расширениями аффинных прямых
$\A^1_0 = \Spec k[x]$ и $A^1_\infty = \Spec k[x^{-1}]$ (которые в свою очередь
склеиваются в проективную прямую $\Pp^1$).
Поэтому $C$ --- одномерная схема. Наконец, локальные кольца замкнутых точек схемы $C$ суть
целые замыкания локальных колец замкнутых точек проективной прямой $\Pp^1$ в поле $K$,
то есть кольца дискретного нормирования, поэтому схема $C_x$ регулярна.
Итак, схема $C$ является кривой, причем $K = \Frac A_0 = \Frac A_\infty = K(C)$.
Чтобы проверить полноту кривой $C_x$, достаточно убедиться в собственности морфизма $C_x \to \Pp^1$,
а так как собственность локальна по базе --- в собственности морфизмов $\Spec A_0 \to \Spec k[x]$ и
$\Spec A_\infty \to \Spec k[x^{-1}]$.
Согласно валюативному критерию собственности, надо проверить, что для любого кольца нормирования $R'$
с полем частных $K'$ и любых согласованных морфизмов $k[x] \to R'$, $A_0 \to K'$ образ $A_0$ в $K'$
содержится в $R'$. Действительно, всякий элемент из $A_0$ цел над $k[x]$, следовательно его образ
в $K'$ цел над $R'$, а кольцо $R'$ целозамкнуто.

Остается проверить, что $C \cong C_x$. Действительно, всякое дискретное нормированное кольцо $R$ в $K$
содержит либо $A_0$, либо $A_\infty$ (если $v(x) \ge 0$, то $k[x] \subset R$, значит, всякий элемент
в $A_0$ будучи целым над $k[x]$ цел и над $R$, а $R$ целозамкнуто, а если $v(x)\le 0$,
то аналогично $A_\infty \subset R$), и следовательно является локализацией одного из этих колец.
Поэтому множества точек кривых $C$ и $C_x$ канонически отождествляются, причем так как замкнутые
по Зарискому множества в $C_x$ конечны, это отждествление --- гомеоморфизм. Наконец, регулярные
функции на открытом множестве $U \subset C_x$ естественно отождествляются с кольцом $\CO_C(U)$,
поэтому $C \cong C_x$ как окольцованное пространство.
\endproof

\begin{exc}\label{kpn}
Покажите, что всякая полная кривая проективна (проверьте проективность
построенного выше морфизма $C \to \Pp^1$).
\end{exc}

Для многообразий большей размерности это уже не верно. Можно построить пример
собственного регулярного трехмерного многообразия, не являющегося проективным.

Скажем теперь несколько слов о дивизорах на кривых. Дополнительным упрощающим
свойством в даноом случае является то, что простые дивизоры --- это просто замкнутые
точки на кривой. Поле вычетов всякой замкнутой точки является конечным расширением
базового поля. Степень этого расширения называется \emph{степенью точки}:
$$
\deg P = \deg K(P)/k.
$$
Степень по линейности продолжается на группу дивизоров и до гомоморфизма $\Div C \to \Z$.

\begin{lemma}
Степень главного дивизора равна нулю.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть $f$ --- рациональная функция на $C$. В доказательстве леммы~\ref{rf_cov}
мы убедились, что она задает морфизм $f:C \to \Pp^1$, такой что дивизор нулей функции $f$ --- это $f^{-1}(0)$,
а дивизор полюсов функции $f$ --- это $f^{-1}(\infty)$, $0,\infty \in \Pp^1$.
Покажем, что степень каждого из этих дивизоров равна степени расширения полей $K(C)/k(f)$.
Рассмотрим, например, $f^{-1}(0)$. Пусть $R = k[f]_0$ --- локальное кольцо точки $0\in\Pp^1$,
а $S$ --- целое замыкание кольца $R$ в поле $K(C)$. Проверим, что $S$ --- свободный $R$-модуль.
Пусть $\m\subset R$ --- максимальный идеал. Выберем в $R/\m = k$-модуле $S/S\m$ базис,
поднимем его до элементов $s_1,s_2,\dots,s_n\in S$ и рассмотрим гомоморфизм $R$-модулей
$\oplus Rs_i \to S$. Он сюръективен по лемме Накаямы. С другой стороны, если набор элементов $(r_i)$
лежит в его ядре, т.е.\ $\sum r_is_i = 0$, то сокращая при необходимости на наибольший
общий делитель (кольцо $R$ факториально!), можно считать, что не все $r_i$ лежат в $\m$,
и мы получаем нетривиальное соотношение между образами $s_i$ в $S/S\m$ --- противоречие.
Значит $s_i$ линейно независимы над $R$ и $S \cong R^{\oplus n}$.
С другой стороны, ясно что $s_i$ линейно независимы и над $k(f)$, но при этом порождают
$K(C)$ как $k(f)$-модуль. Значит $n = \deg K(C)/k(f)$. Остается заметить, что
$S/S\m = \oplus S_{\m_i}/S_{\m_i}\m_i^{k_i}$ (примарное разложение), где $\m_i$ ---
максимальные идеалы кольца $S$ (они соответствуют точкам $P_i \in f^{-1}(0)$),
причем $k_i = v_i(f)$, где $v_i$ --- дискретное нормирование поля $K(C)$,
соответствующее точке $P_i \in C$, поэтому
$n = \dim_k S/S\m = \sum k_i\dim S/\m_i = \sum k_i\deg P_i = \deg (\sum k_iP_i)$ ---
степень дивизора нулей функции $f$.
\endproof

В частности, гомоморфизм степени пропускается через группу классов дивизоров,
то есть его можно рассматривать как гомоморфизм
$\deg:\Cl C = \Pic C \to \Z$.
Очень важный класс дивизоров на кривой $C$ дает пучок кэлеровых дифференциалов $\Omega_C$.

\begin{lemma}
Пучок $\Omega_C$ на кривой локально свободен ранга $1$.
\end{lemma}
\proof{}
Достаточно показать, что для кольца дискретного нормирования $R$ модуль $\Omega_{R/k}$ свободен ранга $1$.
Действительно, этот модуль свободно порождается элементом $d\pi$, где $\pi\in R$ --- униформизующая.
\endproof

Обратимый пучок $\Omega_C$ называется \emph{каноническим пучком}. Для регулярного многообразия $X$
большей размерности вместо пучка дифференциалов, который тоже локально свободен, но имеет ранг равный
размерности многообразия $X$, используют его старшую внешнию степень, которая тоже называется каноническим
пучком и обозначается $\omega_X$. Класс линейной эквивалентности дивизоров на $X$, соответствующий
каноническому пучку, называется \emph{каноническим классом} и обозначается $K_X$. Итак, можно
записать $\omega_X \cong \CO_X(K_X)$.

\begin{lemma}
Канонический пучок на $\Pp^1$ изоморфен пучку $\CO(-2)$.
\end{lemma}
\proof{}
Нам надо посчитать степень канонического дивизора, то есть дивизора рационального
сечения пучка дифференциалов. Пусть $(z:w)$ --- однородные координаты на $\Pp^1$.
Рассмотрим аффинные карты $U_1 \cong \A^1 \subset \Pp^1$ и
$U_2 \cong \A^1 \subset \Pp^1$ с координатами $x = z/w$ и $y = w/z = x^{-1}$.
Ясно, что модуль дифференциалов $\Omega_{k[x]/k}$ свободен с образующей $dx$,
а модуль дифференциалов $\Omega_{k[y]/k}$ свободен с образующей $dy$.
Рассмотрим $dx$ как рациональное сечение канонического пучка.
Ясно, что $dx$ не имеет нулей и полюсов на $U_1$.
С другой стороны, $dx = d(1/y) = -(1/y^2)dy$, поэтому $dx$
имеет полюс кратности $2$ на $U_2$. Получаем $\deg K_{\Pp^1} = -2$.
\endproof

\begin{exc}
Покажите, что $K_{\Pp^N} = -(N+1)H$, где $H$ --- класс гиперплоскости.
\end{exc}

Изучим теперь вопрос о том, как можно различать разные кривые.
Удобнее всего это делать с помощью инвариантов.
Главным (и единственным дискретным) инвариантом кривых является \emph{род кривой} ---
размерность пространства глобальных сечений канонического пучка
$$
g(C) = \dim \Gamma(C,\CO_C(K_C)).
$$
Таким образом, род --- целое неотрицательное число.
К сожалению, нашей техники пока не хватает для вычисления рода.
Вместо этого мы используем связь между родом кривой и степенью канонического дивизора.
Из двойственности Серра (которую мы будем изучать в следующем году), легко выводится, что
$$
\deg K_C = 2g(С)-2.
$$
Пока мы этого не доказали, будем использовать эту формулу как определение рода.

Легко видеть, что род проективной прямой равен нулю. Над алгебраически замкнутым полем верно и обратное,
кривая рода ноль изоморфна проективной прямой. Кривые рода $1$ называются \emph{эллиптическими}.
Множество комплексных точек комплексной эллиптической кривой --- тор.
Кривые рода больше $1$ иногда называют кривыми общего типа.


Опишем теперь более явно некоторый класс кривых.
Пусть $\cchar k > 2$.
Кривая $C$ называется \emph{гиперэллиптической}, если существует двулистное
разветвленное накрытие $C \to \Pp^1$. Иначе говоря, если поле $K(C)$
является квадратичным расширением некоторого чисто трансцендентного
подполя $k(x) \subset K(C)$. Покажем, что бывают гиперэллиптические кривые
любого рода.

Пусть $p(x)$ --- многочлен без кратных корней, $\deg p = n$.
Пусть $K = k(x)[y]/(y^2 - p(x))$ и рассмотрим соответствующую гиперэллиптическую кривую $C$
(кстати, ясно, что так получается любая гиперэллиптическая кривая).

\begin{exc}
Докажите, что кольцо $k[x,y]/(y^2 - p(x)) \subset K$ целозамкнуто.
\end{exc}

Поэтому над аффинной прямой $\A^1 = \Pp^1\setminus\infty$
кривая ветвится над корнями многочлена $p(x)$. С другой стороны,
чтобы получить уравнение кривой над $\Pp^1\setminus 0$, рассмотрим
целое замыкание кольца $k[x^{-1}]$ в $K$. Ясно, что $y$ не цел над $k[x^{-1}]$,
но $yx^{-[n/2]}$ --- уже цел, причем $(yx^{-[n/2]})^2 = p(x)x^{-2[n/2]} = q(x^{-1})$
и многочлен $q$ тоже не имеет кратных корней, значит кривая $C$ ветвится над бесконечностью
тогда и только тогда, когда $q(0) = 0$, что равносильно нечетности $n$.
С другой стороны, меняя координаты на $\Pp^1$ всегда можно добиться того, чтобы $\infty$
не была точкой ветвления (если конечно $|k| > n$), то есть можно считать $n$ четным.
Итак пусть $n = 2m$. Покажем, что род кривой $C$ равен $m-1$.
Для этого нам надо посчитать степень дивизора рациональной формы на $C$.
%Пусть $f:C \to \Pp^1$ --- наша проекция.
Рассмотрим форму $f^*dx$.
Над $\Pp^1\setminus\infty$ имеем $2ydy = p'(x)d(x)$, поэтому вне множества
$y = 0$ форма $dx$ порождает модуль кэлеровых дифференциалов, следовательно
не имеет ни нулей, ни полюсов. С другой стороны, если $y = 0$, то $p(x) = 0$,
но $p'(x)\ne 0$, так как $p$ не имеет кратных корней. Поэтому в этих точках
$dx = ydy$ (с точностью до обратимого элемента), а $dy$ порождает модуль
кэлеровых дифференциалов, следовательно форма $dx$ имеет в каждой из этих $2m$
точек нуль кратности~$1$. Наконец, в точке $\infty$ на $\Pp^1$ форма $dx$
имеет полюс кратности $2$, а кривая $C$ неразветвлена. Поэтому над точкой
$\infty$ на $C$ форма $dx$ имеет два полюса кратности $2$.
Итого, степень дивизора формы $dx$ на $C$ равна $2m - 4 = 2(m-1) - 2$,
то есть род кривой $C$ равен $m-1$.

%Вышесказанное можно переформулировать следующим образом:

\begin{corr}
Гиперэллиптическая кривая рода $g$ является двулистным накрытием $\Pp^1$ разветвленным в $2g + 2$ точках.
\end{corr}

Любая кривая рода $\le 2$ гиперэллиптична. Для кривых большего рода это, вообще говоря, уже не верно.

В заключении поговорим о кривых на поверхностях. Рассмотрим вначале простейший случай.
Пусть $C \subset \Pp^2$ --- неособая кривая степени $d$.
Предположим, что точка $(0,0,1)$ не лежит на кривой, а прямая $y=0$
пересекает кривую трансверсально (иначе сделаем замену координат так, чтобы эти условия выполнялись)
и рассмотрим проекцию из этой точки $(x,y,z) \mapsto (x,y)$. Наша кривая относительно этого морфизма
является $d$-листным разветвленным накрытием проективной прямой, разветвленным в тех точках кривой,
где производная $F'_z$ обращается в нуль. По теореме Безу таких точек $d(d-1)$.
Рассматривая как и для двулистного накрытия рациональную форму $d(x/y)$ на кривой $C$,
видим, что в каждой из точек ветвления на кривой эта форма имеет простой нуль,
а в каждой из $d$ точек пересечения кривой с прямой $y = 0$ --- полюс порядка $2$.
Отсюда получаем, $\deg K_C = d(d-1) - 2d = d(d-3)$, следовательно
$$
g(C) = (d(d-3) + 2)/2 = (d-1)(d-2)/2.
$$
Итак, нами доказано

\begin{prop}
Род неособой плоской кривой степени $d$ равен $(d-1)(d-2)/2$.
\end{prop}

Далее, заметим, что дивизор построенной нами рациональной формы на кривой $C$ равен ограничению
на $C$ рационального сечения $F'_z/y^2$ линейного расслоения $\CO_{\Pp^2}(d-3)$.
Поскольку линейное расслоение однозначно определяется дивизором любого своего рационального сечения,
заключаем, что
$$
\Omega_C \cong i^*\CO_{\Pp^2}(d-3),
$$
где $i:C \to \Pp^2$ --- наше вложение.
Переписывая этот изоморфизм в терминах дивизоров и замечая, что $\CO_{\Pp^2}(d) = \CO_{\Pp^2}(C)$,
$\CO_{\Pp^2}(-3) = \CO_{\Pp^2}(K_{\Pp^2})$ (упр.~\ref{kpn}), получаем формулу
\begin{equation}\label{adj}
K_C = (K_{\Pp^2} + C)_{|C}.
\end{equation}
Эта формула --- частный случай общей формулы, выражающий канонический класс гиперповерхности,
которая называется \emph{формулой присоединения}.

Из формулы присоединения следует, что всякий однородный многочлен
$P(x,y,z)$ степени $d-3$ должен давать форму на кривой $C$. Если посмотреть внимательно
на нашу конструкцию, видно что это форма равна
$$
\frac{Py^2}{F'_z} d(x/y) = P \frac {ydx - xdy}{F'_z} .
$$

\begin{exc}
Докажите, что отображение $i^*:\Gamma(\Pp^2,\CO_{\Pp^2}(d-3)) \to \Gamma(C,\Omega_C)$ инъективно.
\end{exc}

Пространство однородных многочленов степени $d-3$ от трех переменных имеет размерность
$(d-1)(d-2)/2$. Если поверить в сюръективность построенного выше отображения
(к сожалению, нам не хватает техники, чтобы ее доказать), получим, что
$\dim \Gamma(C,\Omega_C) = (d-1)(d-2)/2$, что отлично сходится
с определением рода.

\begin{exc}
Пусть $C$ --- неособая кривая степени $(a,b)$ на $\Pp^1\times\Pp^1$
(напомним, что $\Pic(\Pp^1\times\Pp^1) = \Z\oplus\Z$).
Докажите, что $g(C) = (a-1)(b-1)$.
\end{exc}




\end{document}

\newpage

Как уже отмечалось, топология Зариского намного грубее ``классической'' топологии,
поэтому, например, почти любая схема нехаусдорфова, а каждая нетерова схема квазикомпактна,
несмотря на то, что множества их комплексных (или вещественных) точек с индуцированной топологией
могут тем не менее быть хаусдорфовыми и некомпактными.

\begin{exc}
Покажите, что схема хаусдорфова в топологии Зариского только в том случае, если она является
несвязным объединением точек, и что множество комплексных точек любой аффинной
схемы конечного типа над $\C$ хаусдорфово.
\end{exc}

Хотелось бы сформулировать алгебраическое свойство схем, заменяющее для них
понятие хаусдорфовости. Таким свойством является отделимость.
Чтобы сформулировать соответствующее определение нам понадобится определение
диагонального морфизма.

Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем. Напомним, что существует схема $X\times_Y X$
с проекциями $p_1,p_2:X\times_Y X_2 \to X$, обладающая следующим универсальным свойством:
для любой схемы $Z$ и морфизмов $\varphi_1,\varphi_2:Z \to X$, таких что
$f\circ\varphi_1 = f\circ\varphi_2$ существует морфизм $\varphi:Z \to X\times_Y X$,
такой что $\varphi_1 = p_1\circ\varphi$, $\varphi_2 = p_2\circ\varphi$.
Эта схема называется \emph{расслоенным квадратом} $X$ над $Y$.
Пусть теперь $Z = X$ и $\varphi_1 = \varphi_2 = \id_X:X\to X$.
Индуцированный морфизм $X \to X\times_Y X$ называтся
\emph{диагональным морфизмом} и обозначается $\Delta$ или $\Delta_{X/Y}$.
По определению, имеем $p_1\circ\Delta = p_2\circ\Delta = \id_X$.

\begin{exc}
Пусть $X = \Spec A$, $Y = \Spec B$. Покажите, что диагональный морфизм $\Delta_{X/Y}:X \to X\times_Y X$
соответствует гомоморфизму умножения $A\otimes_B A \to A$.
\end{exc}

\begin{opr}
Морфизм схем $f:X \to Y$ называется \emph{отделимым} (separated), если диагональный морфизм
$\Delta_{X/Y}:X \to X\times_Y X$ является замкнутым вложением.
Схема $X$ называется \emph{отделимой}, если отделим морфизм $X \to \Spec\ZZ$,
то есть если замкнутым вложением является диагональный морфизм $\Delta_X:X\to X\times X$.
\end{opr}

Из предыдущего упражнения следует, что любой морфизм аффинных схем отделим
(гомоморфизм умножения сюръективен, так как в любом кольце есть единица!).
В частности, любая аффинная схема отделима. Однако, отделимость не является локальным
(по $X$, хотя и является локальным по $Y$) свойством, так как иначе всякий
морфизм был бы отделимым.

Стандартным примером неотделимой схемы является прямая с двойной точкой.
Пусть $U_1 = U_2 = \A^1$, $U_{12} = \A^1\setminus\{0\}$ и определим схему $X$
как склейку $U_1$ и $U_2$ вдоль $U_{12}$. Полученная схема обладает морфизмом
$p:X \to \A^1$, таким что $p$ является изоморфизмом над $\A^1\setminus\{0\}$,
но $p^{-1}(0)$ --- две точки (обозначим их $P_1$ и $P_2$). Покажем, что схема
$X$ неотделима. Для этого достаточно проверить, что точка $(P_1,P_2)\in X\times X$
лежит в замыкании диагонали $\Delta(X)\subset X\times X$. Рассмотрим вложения
$\A^1\cong U_1 \subset X$ и $\A^1\cong U_2 \subset X$. По определению произведения
получаем морфизм $\varphi:\A^1 \to X\times X$. Ясно, что
$\varphi(\A^1\setminus\{0\}) \subset \Delta(X)$, но $\varphi(0) = (P_1,P_2)$,
и в силу непрерывности $\varphi$ получаем
$(P_1,P_2) \in \overline{\varphi(\A^1\setminus\{0\})} \subset \overline{\Delta(X)}$.

\begin{rem}
На самом деле, для проверки отделимости, достаточно проверять, что \emph{диагональ},
то есть образ диагонального морфизма $\Delta_{X/Y}(X) \subset X\times_Y X$ замкнут.
Действительно, так как $\Delta(X) \cong X$ (посредством морфизмов
$\Delta_{X/Y}:X \to \Delta_{X/Y}(X)$ и, скажем, $p_1:\Delta_{X/Y}(X) \to X$),
а проверка сюръективности морфизма пучков $\CO_{X\times_Y X} \to (\Delta_{X/Y})_*\CO_X$
локальна по $X$, то есть здесь можно считать $X$ и $Y$ аффинными.
\end{rem}

Для проверки замкнутости диагонали, а значит и отделимости морфизма, удобно использовать
следующий критерий.

\begin{thm}[валюативный критерий отделимости]
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем, причем схема $X$ нетерова.
Пусть $R$ --- кольцо нормирования с полем частных $K$, $i:\Spec K \to \Spec R$ --- вложение,
соответствующее вложению $R \subset K$. Морфизм $f$ отделим, тогда и только тогда, когда
для любой коммутативной диаграммы
%\begin{equation}\label{valu}
$$
\begin{CD}
\Spec K @>>> X \\
@V{i}VV         @VV{f}V \\
\Spec R @>>> Y
\end{CD}
\eqno{(*)}
$$
%\end{equation}
существует не более одного морфизма $\Spec R \to X$, сохраняющего коммутативность этой диаграммы.
\end{thm}
\proof{}
В кольце $R$ ровно два простых идеала: нулевой идеал и максимальный идеал нормирования.
Соответственно, на схеме $\Spec R$ ровно две точки, общая точка $\Spec K$ и замкнутая точка $\Spec k$,
где $k$ --- поле вычетов $R$. Заметим, что морфизм $\phi:\Spec R \to X$ однозначно определяется
своими ограничениями на $\Spec K$ и $\Spec k$. Действительно, если $\phi(\Spec k) = x\in X$
и $U = \Spec A$ --- аффинная окрестность точки $x$, то $\phi$ в силу непрерывности пропускается
через $U$ и однозначно определяется гомоморфизмом колец $A \to R$, который в свою очередь
однозначно определяется гомоморфизмом колец $A \to K$, так как $R \subset K$, то есть
ограничением морфизма $\phi$ на $\Spec K$.

Пусть теперь $f$ отделим, но $\phi_1,\phi_2:\Spec R \to X$ два разных морфизма,
сохраняющих коммутативность диаграммы. В силу вышесказанного $\phi_1(\Spec k) \ne \phi_2(\Spec k)$.
Так как $f\circ\phi_1 = f\circ\phi_2$ в силу коммутативности нижнего треугольника диаграммы, то
найдется морфизм схем $\phi:\Spec R \to X\times_Y X$, такой что
$\phi_1= p_1\circ\phi$ и $\phi_2= p_2\circ\phi$.
Заметим, что $\phi(\Spec K) = (\phi_1(\Spec K),\phi_2(\Spec K)) \in \Delta(X)$
в силу коммутативности верхнего треугольника диаграммы. С другой стороны,
$\phi(\Spec k) \in \overline{\phi(\Spec K)} \subset \overline{\Delta(X)}$,
в то время как $\phi(\Spec k) = (\phi_1(\Spec k),\phi_2(\Spec k)) \not\in \Delta(X)$.

Предположим теперь, что $f$ неотделим. Значит диагональ $\Delta(X) \subset X\times_Y X$ незамкнута.
Следовательно, найдется открытое аффинное подмножество $U = \Spec A \subset X\times_Y X$
и пара простых идеалов $\pp' \subset \pp \subset A$, так что точка $u'$, соответствующая идеалу $\pp'$
лежит в $\Delta(X)$, а точка $u$, соответствующая идеалу $\pp$ не лежит в $\Delta(X)$ и
локальное кольцо $A_{\pp}/\pp'$ одномерно.
Пусть $K$ --- поле частных кольца $A/\pp'$, а $R$ --- целое замыкание локального кольца $A_{\pp}/\pp'$ в $K$.
Тогда $R$ --- кольцо нормирования с полем частных $K$. Рассмотрим композицию естественных
отображений $A \to A_\pp \to A_\pp/\pp' \to R$ и пусть $\phi:\Spec R \to \Spec A \subset X\times_Y X$
соответствующий морфизм схем. Положим теперь $\phi_1 = p_1\circ\phi,$ $\phi_2 = p_2\circ\phi:\Spec R \to X$.
Заметим, что $f\circ\phi_1 = f\circ p_1\circ\phi = f\circ p_2\circ\phi = f\circ\phi_2$.
С другой стороны, ограничение отображения $\phi$ на $\Spec K$ соответствует гомоморфизму
$A \to A/\pp' = K$ и так как по предположению точка $u'$ лежит на диагонали, имеем
${\phi_1}_{|\Spec K} = {\phi_2}_{|\Spec K}$.
Рассмотрим коммутативную диаграмму $(*)$, в которой верхняя стрелка --- это ${\phi_1}_{|\Spec K} = {\phi_2}_{|\Spec K}$,
а нижняя стрелка --- это $f\circ\phi_1 = f\circ\phi_2$. Ясно, что моррфизмы $\phi_1$ и $\phi_2$
сохраняют ее коммутативность, так что остается показать, что $\phi_1\ne\phi_2$. Действительно,
в противном случае морфизм $\phi$ представлялся бы в виде композиции
$\phi = \Delta_{X/Y}\circ\phi_1 = \Delta_{X/Y}\circ\phi_2$ (в силу универсального свойства
расслоенного произведения), а значит точка $\phi(\Spec k)$ лежала бы на диагонали,
но $\phi(\Spec k)$ --- это точка, соответствующая идеалу $\pp$ в $A$, то есть точка $u$,
которая по предположению на диагонали не лежит.
\endproof

\begin{exc}
Пользуясь валюативным критерием докажите, что
\begin{enumerate}
\item открытые и замкнутые вложения отделимы;
\item композиция отделимых морфизмов отделима;
\item отделимость сохраняется при замене базы (если морфизм $f:X \to Y$ отделим,
то для любого морфизма $g:Y' \to Y$ (замена базы) проекция $X' = X\times_Y Y' \to Y'$
отделима);
\item произведение отделимых морфизмов отделимо;
\item если $f\circ g$ отделимо, то $g$ отделим.
\end{enumerate}
\end{exc}

\begin{exc}
Покажите, что множество комплексных точек отделимой схемы над полем $\C$ хаусдорфово относительно
классической топологии.
\end{exc}

Теперь сформулируем свойство схем, заменяющее для них
понятие компактности.

\begin{opr}
Морфизм $f:X\to Y$ называется \emph{замкнутым}, если образ любого замкнутого подмножества в $X$ замкнут в $Y$.
Морфизм $f:X\to Y$ называется \emph{универсально замкнутым}, если для любой замены базы $Y' \to Y$
морфизм $X' = X\times_Y Y' \to Y$ замкнут.
\end{opr}

Примером замкнутого, но не универсально замкнутого морфизма является проекция из $\A^1$ в точку.
Этот морфизм замкнут, так как любое подмножество точки замкнуто.
Однако, меняя базу на $\A^1$ получаем проекцию $\A^2 \to \A^1$,
которая не является замкнутым морфизмом. Действительно, образом
замкнутого множества с уравнением $xy=1$ является $\A^1\setminus\{0\}$.

\begin{opr}
Морфизм $f:X\to Y$ называется \emph{собственным} (proper),
если он конечного типа, отделим и универсально замкнут.
\end{opr}

Для проверки собственности морфизма тоже удобно использовать валюативный критерий.

\begin{thm}[валюативный критерий собственности]
Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм схем конечного типа, причем схема $X$ нетерова.
Пусть $R$ --- кольцо нормирования с полем частных $K$, $i:\Spec K \to \Spec R$ --- вложение,
соответствующее вложению $R \subset K$. Морфизм $f$ собственный, тогда и только тогда, когда
для любой коммутативной диаграммы
%\begin{equation}\label{valu}
$$
\begin{CD}
\Spec K @>>> X \\
@V{i}VV         @VV{f}V \\
\Spec R @>>> Y
\end{CD}
\eqno{(*)}
$$
%\end{equation}
существует ровно один морфизма $\Spec R \to X$, сохраняющий коммутативность этой диаграммы.
\end{thm}
\proof{}
Допустим, что морфизм $f$ собственный и дана диаграмма $(*)$. Пусть $X_R = X\times_Y\Spec R$.
Рассмотрим морфизм схемы $\Spec K \to X_R$, соответствующий верхней и левой стрелкам диаграммы $(*)$,
пусть точка $t'\in X_R$ --- ее образ, и пусть $T$ --- замыкание точки $t'$ в $X_R$.
Обозначим через $\pi$ ограничение проекции $X_R \to \Spec R$ на $T$.
Так как морфизм $X_R \to \Spec R$ замкнут в силу универсальной замкнутости морфизма $f$,
то множество $\pi(T)$ замкнуто в $\Spec R$. С другой стороны, $\pi(t') = i(\Spec K)$,
следовательно $\pi(T) = \Spec R$.
Выберем точку в $t\in T$ над замкнутой точкой в $\Spec R$ и пусть $U = \Spec A$ ---
аффинная окрестность точки $t$. Так как $t\in\overline\{t'\}$, имеем $t'\in \Spec A$.
$$
\begin{CD}
\Spec K @>>> \Spec A @>>> X_R        @>>> X \\
@.           @.           @V{i}VV         @VV{f}V \\
        @.           @.   \Spec R    @>>> Y
\end{CD}
\eqno{(*)}
$$
Пусть $\pp' \subset \pp \subset A$ --- простые идеалы, соответствующие точкам $t',t\in \Spec A$.
Рассмотрим гомоморфизмы $\alpha:A \to K$ и $\rho:R \to A$, соответствующие вложению $\Spec K \to \Spec A$
и проекции $\Spec A \to \Spec R$. Ясно, что $\Ker\alpha = \pp'$ и $\rho^{-1}(\pp)$ --- максимальный идеал в $R$.
Кроме того, ясно что $\alpha\circ\rho:R \to K$ --- естественное вложение.
Следовательно, $A/\pp'$ --- подкольцо в $K$, содержащее простой идеал $\pp/\pp'$,
пересечение которого с кольцом нормирования $R$ совпадает с максимальным идеалом нормирования.
Приведенное ниже упражнение показывает, что из этого следует, что $A/\pp' = R$.
Получаем гомоморфизм $\Spec R \to \Spec A$, компонируя который с вложением $\Spec A \to X_R$
и проекцией $X_R \to X$, получаем искомый морфизм $\Spec R \to X$.
Этот морфизм единственный в силу отделемости морфизма $f$.

\begin{exc}
Пусть $K$ --- поле, $R\subset K$ --- кольцо нормирования, а $\m\subset R$ --- идеал нормирования.
Если $A\subset K$ --- подкольцо содержащее $R$ и $\pp\subset A$ --- простой идеал,
такой что $\pp \cap R = \m$, то $A = R$.
\end{exc}

Предположим теперь, что выполняется критерий и установим собственность морфизма.
В силу сделанных предположений и доказанного валюативного критерия отделимости
достаточно проверить универсальную замкнутость морфизма $f$. Пусть $Y' \to Y$ ---
произвольная замена базы, $X' = X\times_Y Y'$, $f':X'\to Y'$ --- проекция,
и пусть $Z \subset X'$ --- замкнутое подмножество, такое что $f'(Z)$ не замкнуто в $Y'$.
Тогда найдется открытое аффинное подмножество $U = \Spec A \subset Y'$
и пара простых идеалов $\pp' \subset \pp \subset A$, так что точка $u'$, соответствующая идеалу $\pp'$
лежит в $f'(Z)$, а точка $u$, соответствующая идеалу $\pp$ не лежит в $f'(Z)$ и
локальное кольцо $A_{\pp}/\pp'$ одномерно. Пусть далее $u''$ --- точка в $Z$, такая что
$f'(u'') = u'$, $K$ --- ее поле вычетов (так что $A/\pp'$ --- подкольцо в $K$, причем $K$
является конечным расширением поля частных кольца $A/\pp'$), а $R$ --- целое замыкание
локального кольца $A_{\pp}/\pp'$ в $K$. Тогда $R$ --- кольцо нормирования с полем частных $K$.
По построению имеем морфизм $\Spec K \to Z$, компонируя который с вложением $Z \subset X'$
и проекцией $X' \to X$, получаем морфизм $\Spec K \to X$. С другой стороны, гомоморфизм колец
$A \to A_{\pp} \to A_{\pp}/\pp' \to R$ дает морфизм $\Spec R \to \Spec A$, компонируя который
с морфизмами $\Spec A \subset Y'$ и $Y' \to Y$, получаем морфизм $\Spec R \to Y$.
Получаем диаграмму $(*)$, причем коммутативную по построению.
Следовательно, существует морфизм $\Spec R \to X$, сохраняющий коммутативность диаграммы.
Пользуясь универсальным свойством расслоенного произведения, поднимаем его до морфизма
$\Spec R \to X'$. Ясно, что при этом морфизме замкнутая точка $\Spec R$ переходит в $Z$,
а ее образ в $Y'$ равен $u$, следовательно $u\in f'(Z)$, что противоречит сделанным предположениям.
\endproof

\begin{exc}
Пользуясь валюативным критерием докажите, что
\begin{enumerate}
\item замкнутые вложения собственны;
\item композиция собственных морфизмов собственна;
\item собственность сохраняется при замене базы (если морфизм $f:X \to Y$ собственный,
то для любого морфизма $g:Y' \to Y$ (замена базы) проекция $X' = X\times_Y Y' \to Y'$
собственна);
\item произведение собственных морфизмов собственное;
\item если $f\circ g$ собственный и $f$ отделимый, то $g$ собственный.
\end{enumerate}
\end{exc}

Кроме того, ясно, что собственность, так же как и отделимость, является локальным по базе свойством.

\begin{prop}
Всякий проективный морфизм собственный.
\end{prop}
\proof{}
Воспользуемся валюативным критерим собственности. Рассмотрим диаграмму $(*)$.
В силу перечисленных выше свойств можно считать, что $Y = \Spec A$, и $X = \Pp^N_A$.
Сделав замену базы $\Spec R \to Y$ можно считать, что $Y = \Spec R$ и $X = \Pp^N_R$.
и нижняя стрелка в диаграмме $(*)$ --- тождественный морфизм.
Морфизм $\Spec K \to \Pp^N_R$ --- это набор $(x_0,x_1,\dots,x_N)\in K^{N+1}\setminus\{0\}$
с точностью до умножения на константу.
С другой стороны, морфизм $\Spec R \to \Pp^N_R$ --- это набор $(y_0,y_1,\dots,y_N)\in R^{N+1}$,
такой что не все $y_i$ лежат в идеале нормирования (только тогда соответствующий морфизм
$R^{N+1} \to R$ сюръективен). Иначе говоря, это набор элементов в $K^{N+1}$, такой что
их нормирования неотрицательны, причем нормирование одного из элементов равно нулю.
Ограничение такого морфизма на $\Spec K$ задается тем же набором эелементов.
Поэтому надо убедиться, что для любого набора $(x_0,x_1,\dots,x_N)\in K^{N+1}\setminus\{0\}$
найдется единственный (с точностью до обратимого элемента кольца $R$) элемент $t\in K\setminus\{0\}$,
такой что нормы всех элементов $(x_0/t,x_1/t,\dots,x_N/t)$ неотрицательны, а одна из них равна нулю.
Но ясно, что такой элемент действительно определен однозначно --- это элемент поля, норма которого
равна минимальной из норм элементов в $x_0,x_1,\dots,x_N$.
\endproof

Отсюда легко вытекает критерий проективности.

\begin{exc}
Докажите, что морфизм $X \to Y$ проективен тогда и только тогда, когда он собственный
и на $X$ существует линейное расслоение обильное над $Y$.
\end{exc}


\section*{Дивизоры}

Пусть $X$ --- целая нормальная отделимая нетерова схема. Неприводимая приведенная
подсхема $Y \subset X$ коразмерности $1$ называется {\em простым дивизором}\/ на $X$.
Свободная абелева группа, порожденная всеми простыми дивизорами называется
группой дивизоров и обозначается $\Div X$, а ее элементы называются дивизорами.

Пусть $Y \subset X$ --- простой дивизор, а $R$ --- локальное кольцо его точки.
Ясно, что $R$ --- целозамкнутое нетерово одномерное подкольцо в поле $K(X)$
рациональных функций на $X$, следовательно $R$ --- кольцо дискретного нормирования.
Пусть $v_Y:K^* \to \ZZ$ --- соответствующее нормирование.

\begin{exc}
Покажите, что простой дивизор однозначно определеяется своим нормированием,
и приведите пример нормирования, не соответствующего никакому дивизору.
\end{exc}

Если $f\in K^*$ --- ненулевая рациональная функция на $X$, то целое число $v_Y(f)$
называется {\em кратностью $f$ вдоль $Y$}. Если кратность положительна, говорят,
что $f$ имеет на $Y$ нуль (соответствующей кратности), а если отрицательна --- полюс.

\begin{lemma}
Если $f \in K^*(X)$ то существует лишь конечное число простых дивизоров $Y$ на $X$,
таких что $v_Y(f)\ne 0$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть $U \subset X$ --- открытое аффинное подмножество, на котором функция $f$ регулярна,
а $U' \subset U$ --- множество точек в $U$, в которых $f\ne 0$. Ясно, что $Z = X\setminus U'$ ---
замкнутое подмножество. Пусть теперь $Y \subset X$ --- простой дивизор. Если общая точка $Y$
лежит в $U'$, то ясно что $v_Y(f) = 0$. Если же нет, то $Y \subset Z$, то есть является
неприводимой компонентой в $Z$, однако в силу нетеровости схемы $X$ множество $Z$
имеет не более чем конечное количество неприводимых компонент коразмерности $1$.
\endproof

В силу этой леммы, всякой ненулевой рациональной функции соответствует дивизор
$$
(f) = \sum_{Y\subset X,\ \codim Y = 1} v_Y(f)Y.
$$
Дивизоры, представимые в таком виде, называются \emph{главными}.
Очевидно, имеем $(f/g) = (f) - (g)$, поэтому множество главных дивизоров --- подгруппа в $\Div X$.
Дивизоры $D_1$ и $D_2$, разность которых $D_1 - D_2$ есть главный дивизор, называются \emph{линейно эквивалентными}.
Это обозначается так: $D_1 \sim D_2$.
Факторгруппа группы $\Div X$ по главным дивизорам называется группой классов дивизоров на $X$
и обозначается $\Cl X$. Ее элементы --- классы линейной эквивалентности дивизоров.

\begin{prop}
Группа классов дивизоров проективного пространства изоморфна $\Z$: $\Cl\Pp^N = \Z$.
\end{prop}
\proof{}
Пусть $\Pp^N = \Proj k[x_0,x_1,\dots,x_N]$.
Кольцо многочленов факториально, а всякий простой идеал высоты $1$ в факториальном
кольце --- главный, поэтому всякий простой дивизор в проективном пространстве ---
гиперповерхность, уравнение которой --- однородный многочлен от $x_i$.
Назовем степенью простого дивизора степень его уравнения, обозначается $\deg Y$.
Получаем гомоморфизм групп $\deg:\Div X \to \Z$.
С другой стороны, рациональная функция на проективном пространстве --- это
рациональная функция степени $0$ от $x_i$, поэтому всякий главный дивизор имеет
степень $0$. И обратно, если $D = \sum a_iY_i$ --- дивизор, $\deg D = 0$,
а $f_i$ --- уравнение дивизора $Y_i$, то $\prod f_i^{a_i}$ --- рациональная
функция от $x_i$, а ее дивизор равен $D$. Поэтому группа главных дивизоров ---
это $\Ker\deg$, т.е. $\Cl \Pp^N = \Z$.
\endproof

Продемонстрируем применение валюативного критерия



Конструкция проективного спектра во многом похожа на конструкцию аффинного
спектра. Мы знаем, что конструкция аффинного спектра обратима --
кольцо $A$ однозначно восстанавливается по схеме $\Spec A$. Обратима
ли конструкция $\Proj A^\hdot$? Вообще говоря, нет. Например,
имеется следующее явление.

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot$ -- градуированное кольцо, а $A^\hdot_m$ -- подкольцо
элементов степени, делящейся на $m$ (т.е. $A^l_m = A^{ml}$ для
любого $l$). Докажите, что $\Proj(A^\hdot) \cong \Proj(A^\hdot_m)$.
\end{exc}

Подалгебра $A_m^\hdot$ называется {\em подалгеброй Веронезе}.

Однако, если помимо самой схемы $X = \Proj(A^\hdot)$ нам даны пучки $\CO_X(n)$,
алгебра $A^\hdot$ может быть в большой степени восстановлена.
А имеено, всякому квазикогерентному пучку $\CF$ на $X$ сопоставим
градуированный $A^\hdot$-модуль $\Gamma^\hdot(\CF)$ следующим образом
$$
\Gamma^\hdot(\CF) = \bigoplus_{n\in\ZZ} \Gamma(X,\F\otimes\CO_X(n)).
$$

\begin{exc}
Постройте на $\Gamma^\hdot(\CF)$ струтуру $A^\hdot$-модуля,
покажите, что $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ является $A^\hdot$-алгеброй и проверьте, что
$\Gamma^\hdot(\CO_X) = A^\hdot$ для $X = \Pp^N_k = \Proj A^\hdot$, $A^\hdot = k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
\end{exc}

\begin{lemma}\label{gon}
Если $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль, $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$
как $A^0$-алгебра, и $A$ --- целостная алгебра, то $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ при $n\gg0$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- образующие $A^0$-модуля $A^1$.
По определению сечение расслоения $\CO_X(n)$ над $S_{z_i}$
это элемент степени $n$ в локализации $A[z_i^{-1}]$.
Так как $A$ --- целостное кольцо, все локализации $A[z_i^{-1}]$
лежат в $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ и ясно, что
набор сечений над $S_{z_i}$ склеивается в сечение на всем $X$
тогда и только тогда, когда образы соответствующих элементов
в $A[z_0^{-1}z_1^{-1}\cdots z_N^{-1}]$ совпадают. Итак,
$\Gamma(X,\CO_X(n))$ отождествляется с элементами степени $n$
в пересечении $\cap A[z_i^{-1}]$. Пусть теперь $x$ --- элемент
степени $n\ge 0$ в пересечении. Значит найдется $m$, такое что
$xz_i^m \in A$, поэтому $x A^{\ge M} \subset A$, где $M = mN + 1$.
Но $\deg x \ge 0$, поэтому на самом деле $x A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$.
По индукции получаем $x^s A^{\ge M} \subset A^{\ge M}$ для всех $s$.
Так как $A^{\ge m}$ --- конечно порожденный $A$-модуль, мы видим,
что $x$ --- цел над $A$. Следовательно, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$
цело над $A$ и, следовательно, $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ является
конечно порожденным $A$-модулем.
Рассмотрим теперь фактормодуль $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$. Он конечно
порожден. С другой стороны, всякий его элемент при умножении на
$A^{\ge M}$ при достаточно большом $M$ зануляется. Поэтому
модуль $\Gamma^\hdot(\CO_X)/A$ сосредоточен в конечном числе степеней.
Значит $\Gamma(X,\CO_X(n)) = A^n$ при $n\gg0$.
\endproof

\begin{corr}
При $m \gg 0$ $m$-ые подалгебры Веронезе алгебр $A^\hdot$ и $\Gamma^\hdot(\CO_X)$ равны.
\end{corr}

Таким образом, при выполнении некоторых разумных условий,
алгебра $A$ восстанавливается по схеме $X$ и пучку $\CO_X(1)$
с точностью до конечного числа компонент.

Пусть алгебра $A^\hdot$ порождается элементами $z_0,z_1,\dots,z_N$ степени $1$.
Тогда существует сюръективный гомоморфизм $A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] \to A^\hdot$.
Ясно, что прообраз допустимого простого идеала допустим, значит возникает отображение
$\Proj A^\hdot \to \Proj A^0[z_0,z_1,\dots,z_N] = \Pp_{A^0}^N$.

\begin{exc}\label{sur_clem}
Докажите, что это отображение является замкнутым вложением.
\end{exc}

\begin{opr}
Морфизм $X \to Y$ называется \emph{проективным}, если он пропускается через
замкнутое вложение в $\Pp_Y^N$ для некоторого $N$. Многообразие называется \emph{проективным},
если оно проективно над точкой.
\end{opr}

Проективный спектр любой конечно порожденной алгебры $A^\hdot$ проективен над $\Spec A^0$.

\begin{exc}
Покажите, что если схема $X$ проективна над $\Spec A$, то $X$ является
проективным спектром некоторой градуированной $A$-алгебры.
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot$ --- $d$-ая подалгебра Веронезе в $k[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
Докажите, что $\Proj A \cong \Pp^N$ вкладывается в $\Pp^{{\scriptscriptstyle {N+d \choose d}}-1}$.
\end{exc}

Это вложение называется $d$-кратным вложением Веронезе.

\begin{exc}
Докажите, что при $N = 1$, $d=2$ образ вложения Веронезе --- коника
{\rm(}коникой называется кривая степени $2$ в $\Pp^2${\rm)}
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $A^\hdot$ --- подалгебра в биградуированной алгебре
$k[z_0,z_1,\dots,z_N]\otimes k[w_0,w_1,\dots,w_M]$, {\rm(}$A^n$ состоит из элементов бистепени $(n,n)${\rm)}.
Докажите, что $\Proj A \cong \Pp^N\times\Pp^M$ вкладывается в $\Pp^{MN + M + N}$.
\end{exc}

Это вложение называется $d$-кратным вложением Сегре.

\begin{exc}
Докажите, что при $M = N = 1$ образ вложения Сегре --- квадрика в $\Pp^3$.
\end{exc}

\medskip


Теперь займемся пучками на проективном спектре.




\begin{lemma}
Если алгебра $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра,
то для всякого квазикогерентного пучка $\CF$ на $X = \Proj A^\hdot$
существует изоморфизм пучков $\beta:\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} \cong \CF$.
\end{lemma}
\proof{}
Пусть опять $f\in A^1$ и рассмотрим открытое подмножество $S_f \subset X$.
На $S_f$ имеем $\widetilde{\Gamma^\hdot(\CF)} = \widetilde{(\Gamma^\hdot(\CF)[f^{-1}])^0}$,
поэтому всякое его сечение имеет вид $m/f^n$, где $m\in \Gamma(X,\CF\otimes\CO_X(n))$.
Ясно, что $1/f^n$ является сечением пучка $\CO_X(-n)$ на $S_f$, поэтому
$m\otimes(1/f^n)$ является сечением пучка $\CF\otimes\CO_X(n)\otimes\CO_X(-n) = \CF$
на $S_f$. Сопоставляя элемнту $m/f^n$ сечение $m\otimes(1/f^n)$ получаем изоморфизм
$\beta_f$ на $S_f$. Ясно, что изоморфизмы $\beta_f$ и $\beta_g$ согласованы
на пересечениях $S_f \cap S_g$, поэтому все они склеиваются в изоморфизм
$\beta$ на $\cup S_f = X$.
\endproof

Иначе говоря, всякий квазикогерентный пучок на схеме $\Proj A^\hdot$
представляется в виде $\widetilde{M^\hdot}$ для некоторого градуированного
$A^\hdot$-модуля $M^\hdot$.

\begin{lemma}
Если $A^0$ --- нетерово кольцо, $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль
и $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра, то
для всякого градуированного конечно порожденного $A^\hdot$-модуля $M^\hdot$
существует морфизм $A^\hdot$-модулей $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
являющийся изоморфизмом во всех степенях, начиная с некоторой.
\end{lemma}
\proof{}
Выберем набор образующих $z_0,z_1,\dots,z_n$ в $A^0$-модуле $A^1$.
Имеем естественные отображения $M^n \to (M[z_i^{-1}])^n$,
которые можно воспринимать как отображения $M^n \to \Gamma(S_{z_i},\widetilde{M^\hdot}(n))$.
Ясно, что эти отображения согласованы на пересечениях $S_{z_i}\cap S_{z_j}$
значит склеиваются в отображение $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
откуда получаем искомый гомоморфизм $\alpha$.
Остается проверить, что $\alpha$ --- изоморфизм в больших степенях.

Воспользуемся здесь результатами лекции 3 (точнее говоря, их градуированной
версией) --- на модуле $M$ существует конечная фильтрация, все присоединенные
факторы которой имеют вид $(A/\pp) (n)$, где $\pp$ --- однородный простой идеал.
Ясно, что такая фильтрация индуцирует фильтрацию на пучке $\widetilde{M^\hdot}$
и морфизм $\alpha$ согласован с фильтрацией. Поэтому достаточно доказать наше
утверждение для модулей вида $(A/\pp)(n)$. Кроме того, ясно что алгебру
$A$ можно заменить на $A/\pp$, таким образом вопрос сводится к лемме~\ref{gon}.
\endproof

Таким образом, $A^\hdot$-модуль $M^\hdot$ тоже восстанавливается
по пучку $\widetilde{M^\hdot}$ с точностью до конечно порожденного $A^0$-модуля.

\begin{exc}[необязательное]
Покажите, что категория когерентных пучков на $\Proj A$ эквивалентна
факторкатегории категории конечнопорожденных градуированных $A$-модулей
по подкатегории модулей конечно порожденных над $A^0$.
\end{exc}

%\begin{lemma}
%Для всякого градуированного $A^\hdot$-модуля $M^\hdot$ существует
%морфизм $A^\hdot$-модулей $\alpha:M^\hdot \to \Gamma^\hdot(\widetilde{M^\hdot})$,
%такой что ядро и коядро $\alpha$ являются модулями кручения, то есть всякий их элемент
%аннулируется некоторой степенью любого элемента из $A^{\ge 1}$.
%\end{lemma}
%\proof{}
%Для каждого $f\in A^l$ имеем естественное отображение $M^n \to (M[f^{-1}])^n$,
%которое можно воспринимать как отображение $M^n \to \Gamma(S_f,\widetilde{M^\hdot}(n))$.
%Ясно, что эти отображения согласованы на пересечениях $S_f\cap S_g$
%значит склеиваются в отображение $M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%откуда получаем искомый гомоморфизм $\alpha$.
%Пусть теперь $m \in M^n$ лежит в его ядре. Значит элемент $m$
%равен нулю в локализации $M[f^{-1}]$, то есть $mf^k = 0$ для некоторого $k$.
%Поскольку это верно для любого $f$, $m$ является элементом кручения.
%
%Аналогично, если $m' \in \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$,
%то для каждого $f$ элемент $m'$ лежит в $M[f^{-1}]^n$, то есть
%представляется в виде $m/f^k$ для некоторого $m\in M$.
%Значит $(m'f^k-m)f^l = 0$ для некоторого $l$, то есть
%$m'f^l = mf^{k+l}$, то есть образ $m'$ в коядре $\alpha$
%является элементом кручения.
%\endproof
%
%\begin{exc}
%Если $A^0$ --- нетерово кольцо, $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль
%и $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра, то
%всякий конечно порожденный градуированный модуль кручения
%сосредоточен в конечном числе степеней.
%\end{exc}
%
%\begin{prop}
%Если $A^0$ --- нетерово кольцо, $A^1$ --- конечно порожденный $A^0$-модуль
%и $A^\hdot$ порождается компонентой $A^1$ как $A^0$-алгебра, то
%для любого конечно порожденного градуированного $A^\hdot$-модуля
%$M^\hdot$ существует целое число $n_M\in\Z$, такое что морфизм
%$\alpha:M^n \to \Gamma(X,\widetilde{M^\hdot}(n))$
%является изоморфизмом при $n \ge n_M$.
%\end{prop}
%\proof{}
%Ясно, что кольцо $A^\hdot$ нетерово, модуль $M^\hdot$ нетеров,
%поэтому его подмодуль $\Ker\alpha$ конечно порожден,
%следовательно сосредоточен в конечном числе степеней.
%Покажем теперь, что модуль $\Gamma^\hdot(\CF)$ конечно порожден
%для любого когерентного пучка $\CF$ на $X = \Proj A^\hdot$.
%Из этого будет вытекать конечная порожденность модуля $\Coker\alpha$,
%то есть $\Coker\alpha$ тоже сосредоточен в конечном числе степеней.
%
%Пусть $z_0,z_1,\dots,z_N$ --- образующие $A^0$-модуля $A^1$
%(они же являются образующими алгебры $A^\hdot$).
%На аффинных множествах $S_{z_i} = \Spec (A[z_i^{-1}])^0$
%пучок $\CF$ представляется в виде $\widetilde{M_i}$,
%где $M_i$ --- конечно порожденный $(A[z_i^{-1}])^0$-модуль.
%$M_i[z_i]$ является градуированным конечнопорожденным $A$-модулем
%и имеем очевидное вложение $\Gamma^\hdot(\CF) \subset \oplus_{i=0}^N M_i[z_i]$,
%поэтому $\Gamma^\hdot(\CF)$ действительно конечно порожден.
%\endproof
%
%Скажем еще несколько слов о проективном
%
%На прошлой лекции мы показали, что категория квазикогерентных пучков на аффинной схеме
%$\Spec A$ эквивалентна категории $A$-модулей. Естественно задать вопрос,
%можно ли описать категорию квазикогерентных пучков на проективной схеме
%$\Proj A^\hdot$ в терминах градуированной алгебры $A^\hdot$.
%
%Оказывается можно. На прошлой лекции мы сопоставили всякому градуированному
%$A^\hdot$-модулю $M^\hdot$ квазикогерентный пучок $\widetilde{M^\hdot}$.
%Пусть теперь

Часто бывают полезны относительные варианты спектра и проективного спектра.
Пусть $\CA$ --- квазикогерентный пучок $\CO_X$-алгебр на схеме $X$.
Для всякого аффинного открытого подмножества $U \subset X$
рассмотрим аффинную $U$-схему $\Spec(\CA(U))$ (проекция в $U$
возникает из морфизма алгебр $\CO_X(U) \to \CA(U)$). Отображения ограничения
$\CA(U) \to \CA(V)$ дают вложения схем$\Spec(\CA(V)) \to \Spec(\CA(U))$,
которые позволяют склеить некоторую схему над $X$, которая обозначается $\Spec_X(\CA)$
и называется относительным спектром пучка алгебр $\CA$ над $X$.

\begin{exc}
Пусть $\pi:X \to Y$ --- накрытие.
Покажите, что $X = \Spec_Y(\pi_*\CO_X)$.
\end{exc}

Аналогично для пучка градуированных $\CO_X$-алгебр определяется
относительный проективный спектр. Например, если $\CV$ --- локально свободный пучок
конечного ранга на схеме $X$, схема $\Pp_X(\CV) = \Proj_X(S^\hdot\CV^*)$
называется {\em проективизацией} пучка $\CV$, а если $i:Z \subset X$ --- замкнутая
подсхема, то схема $\Bl_Z(X) = \Proj_X(\oplus I_Z^{k})$ называется
раздутием пучка идеалов $I_Z = \Ker(\CO_X \to i_*\CO_Z)$.

\begin{exc}
Покажите, что раздутия пучков идеалов $I_Z^m$ и $I_Z$ равны.
\end{exc}








\subsection*{Обильные и очень обильные пучки.}


Пусть теперь дана абстрактная, неважно откуда взявшаяся схема $X$
над аффинной схемой $Y$ (т.е. снабженная морфизмом $X \to Y$).
Чтобы выяснить, является ли она проективной, попытаемся
построить отображение в проективное пространство $\Pp^N_Y$.

Пусть $Y= \Spec A$, $\Pp^N_Y = \Proj A[z_0,z_1,\dots,z_N]$.
Линейное расслоение $\calo(1)$ имеет $(N+1)$-мерное пространство глобальных сечений
с выделенным базисом (задаваемым образующими $z_0,z_1,\dots,z_N$). Этот набор сечений
задает морфизм пучков $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ на~$\Pp^N_k$.

\begin{exc}
Докажите, что морфизм пучков $\calo^{\oplus (N+1)} \to \calo(1)$ на $\Pp^N_k$ сюръективен.
\end{exc}

Пусть теперь $X$ --- многообразие над полем $k$, и $\rho:X \to \Pp^N_k$ --- отображение.
Применяя функтор обратного образа $\rho^*$, получаем морфизм
$c_\rho:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to \rho^*\calo(1)$ на $X$. Функтор обратного образа точен справа
(он является композицией точного функтора $\rho^{-1}$ и точного справа функтора тензорного
произведения на $\calo_X$), поэтому морфизм $c_\rho$ сюръективен.
Покажем теперь, что отображение $\rho$ можно восстановить по морфизму $c_\rho$.

\begin{lemma}\label{recmap}
Пусть $L$ --- линейное расслоение на $X$ и $c:\calo_X^{\oplus (N+1)} \to L$ --- сюръективный морфизм.
Тогда существует отображение $\rho:X \to \Pp^N_k$, такое что $L = \rho^*\calo(1)$ и $c = c_\rho$.
\end{lemma}
\proof{}
Отображение $\rho$ легко построить на уровне точек. Для всякой точки $x\in X$
с полем вычетов $K$ выберем изоморфизм $L_x\cong K$ (пучок $L$ локально свободен ранга $1$),
и рассмотрим набор координат $(c_x(e_0),c_x(e_1),\dots,c_x(e_N)) \in K^{N+1}$,
где $e_0,e_1,\dots,e_N$ --- стандартный базис в слое $(\calo_X^{\oplus (N+1)})_x = K^{N+1}$,
а $c_x$ --- морфизм слоев в $x$. Ясно, что полученный набор чисел не может быть нулевым,
так как морфизм $c$ сюръективен. Кроме того, замена изоморизма $L_x\cong K$ умножает весь
набор на ненулевую константу. Таким образом, получаем корректно определенную $K$-точку
проективного пространства $\Pp^N_k$. Тем самым возникает отображение $\rho:X \to \Pp^N_k$.
Опишем отображение $\rho$ локально. Пусть $x_0,x_1,\dots,x_N$ --- сечения расслоения $L$
на $X$, соответсвующие базисным векторам $e_0,\dots,e_N$. Пусть $X_i = \{x\in X\ |\ x_i(x)\ne 0\}$.
Это открытое по Зарискому подмножество (проверьте!). Рассмотрим гомоморфизм колец
$k[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^0 \to \calo_{X_i}$,
переводящий $z_j/z_i$ в $x_j/x_i$ (частное двух сечений линейного расслоения,
одно из которых нигде не обращается в нуль является корректно определенной функцией).
Легко видеть, что соответствующие отображения $\rho_i:X_i \to U_i = \{(z_0:z_1:\ldots:z_N)\in\Pp^N_k\ |\ z_i\ne 0\}$
совпадают на пересечениях $X_i\cap X_j$ и поэтому склеваются в морфизм схем $X \to \Pp^N_k$,
на уровне точек совпадающий с $\rho$.

Далее, ограничение пучка $\calo(1)$ на $U_i$ по определению соответствует свободному модулю
$z_ik[z_0/z_i,z_1/z_i,\dots,z_N/z_i] = (k[z_0,z_1,\dots,z_N][z_i^{-1}])^1$.
Сопоставляя элементу $z_i$ сечение $x_i\in L(X_i)$ получаем изоморфизм
$\rho_i^*\calo(1) \cong L_{|X_i}$. Опять же, построенные изоморфизмы
согласованы на пересечениях $X_i\cap X_j$, и поэтому дают изоморфизм $\rho^*\calo(1) \cong L$,
причем $c_\rho = c$.
\endproof

Полезно переписать это утверждение в бескоординатной форме. Пусть $V$ --- векторное пространство.
Положим $\Pp(V) = \Proj S^\hdot(V^*)$, где $S^\hdot(V^*)$ --- алгебра полиномиальных функций на $V$
(выбор базиса $z_0,z_1,\dots,z_N$ в $V^*$ дает изоморфизмы $S^\hdot(V^*) \cong k[z_0,z_1,\dots,z_N]$,
$\Pp(V) \cong \Pp^N_k$). Соответсвенно, отображению $\rho:X \to \Pp(V)$ соответсвует морфизм
$c_\rho:V^*\otimes\calo_X \to \rho^*\calo(1)$ и наоборот, всякому эпиморфизму $c:V\otimes\calo_X \to L$
отображение $\rho:X \to \Pp(V^*)$.


\begin{exc}
Докажите относительную версию леммы~$\ref{recmap}:$
если $\CV$ --- локально свободный пучок конечного ранга на схеме $Y$,
проверьте, что для всякой схемы $X$ над $Y$ с проекцией $\pi:X \to Y$,
существует биекция между морфизмами схем $X \to \Pp_Y(\CV)$ над $Y$
и эпиморфизмами пучков $\pi^*\CV^* \to L$.
\end{exc}

Итак, чтобы задать отображение $X$ в проективное пространство надо выбрать линейное расслоение $L$
и векторное пространство его сечений $V \to H^0(X,L)$, такое что соответствующий морфизм пучков
$V\otimes\calo_X \to L$ сюръективен (говорят, что пучок $L$ {\em порождается}\/ пространством $V$.
Ясно, что в качестве $V$ можно взять все пространство $H^0(X,L)$. Если оно порождает $L$
(в этом случае говорят, что $L$ {\em порождается глобальными сечениями}), получаем
отображение $X \to \Pp(H^0(X,L)^*)$. Кстати, обратимый пучок, некоторая положительная
степень которого порождается глобальными сечениями называется {\em полуобильным} (semiample).
%
%\begin{exc}
%Пусть $L$ --- полуобильный обратимый пучок.
%Проверьте, что пространство $V$ порождает $L$ тогда и только тогда,
%когда образ $X$ в $\Pp(H^0(X,L)^*)$ не пересекает $\Pp(V^\perp) \subset \Pp(H^0(X,L)^*)$ и что
%соответствующее отображение $X \to \Pp(V^*)$ раскладывается в композицию
%$X \to \Pp(H^0(X,L)^*)\setminus \Pp(V^\perp) \to \Pp(V^*)$, где
%второе отображение --- линейная проекция.
%\end{exc}
%
Произвольный обратимый пучок $L$ конечно не порождается глобальными сечениями.
% (и не дает морфизма).

\begin{opr}
{\em Базисным множеством} линейного расслоения $L$ называется множество
$B(L) \subset X$ таких точек $x \in X$, что все глобальные сечения
$L$ обращаются в $0$ в $x$.
\end{opr}

Это геометрическое описание; более формальное описание, которое
годится и в относительной ситуации $X/Y$, такое. Обозначим через
$\pi:X \to Y$ проекцию $X$ в $Y$. Тогда по сопряженности, имеем
естественное отображение $\eta:\pi^*\pi_*L \to L$.

\begin{exc}
Докажите, что $B(L) = \Supp \Coker\eta$ (т.е. множество точек, где
$\eta$ не сюръективно).
\end{exc}

Отсюда непосредственно очевидно, что $B(L)$ это алгебраическое
подмножество -- множество точек некоторой замкнутой подсхемы -- и
что определение на самом деле имеет смысл для любого
квазикогерентного пучка $\E$ на $X$. Пучок порождается глобальными сечениями,
если $B(L) = \emptyset$.

Итак, мы выяснили, что для задания отображения $Y$-схемы $\rho:X \to \Pp^N_Y$
достаточно указать линейное расслоение $\rho^*\CO(1)$.

\begin{opr}
Расслоение $L$ на $X/Y$ называется {\em очень обильным над $Y$}, если
существует такое проективное пространство $\Pp^N_Y$ и вложение $\rho:X \to
\Pp^N_Y$, что $L \cong \rho^*\calo(1)$. Расслоение называется просто
{\em обильным}, если какая-то его положительная тензорная степень
$L^{\otimes n}$, $n \geq 1$ очень обильна.
\end{opr}

Здесь под {\em вложением} мы вообще говоря понимаем композицию
открытого и замкнутого вложения: есть замкнутая подсхема
$\overline{X} \subset \Pp^N_Y$, и открытое вложение $X \subset \overline{X}$.



Попробуем теперь охарактеризовать обильные линейные расслоения.
Из вышесказанного ясно, что всякий обильный пучок порождается глобальными сечениями.
Обратное конечно не верно --- если дан глобально порожденный пучок
$L$, то он задает некоторое отображение $\rho:X \to \Pp(V)$,
$V = (H^0(X,L)^*)$ и ясно, что $L$ очень обилен тогда и только тогда,
когда это $\rho$ -- вложение (и это непустое условие -- например,
полезно помнить, что стуктурный пучок $\calo_X$ всегда глобально
порожден -- почему? -- но довольно часто глобальные функции на $X$
это только константы, так что $\dim V = 1$, и $\Pp(V)$ -- точка).

\begin{exc}
Морфизм схем $\rho:X \to Y$ является вложением тогда и только тогда,
когда
\begin{enumerate}
\item для любых двух разных точек $x,x' \in X$ имеем $\rho(x) \neq
\rho(x')$, и
\item для любой точки $x \in X$ и ненулевого касательного вектора (в
смысле Зарисского) $\xi$ в точке $x$, $\rho(\xi) \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}

Если отображение $\rho:X \to \Pp(V)$, отвечающее глобально
порожденному линейному расслоению $L$, удовлетворяет условию
\thetag{i}, то говорят, что $L$ {\em разделяет точки}, а если
условию \thetag{ii} -- то что $L$ {\em разделяет касательные
вектора}.

\begin{exc}
Пусть $\rho:X \to \Pp(V^*)$ --- отображение, заданное подпространством $V \subset H^0(X,L)$.
Проверьте, что условия предыдущего упражнения равносильны условиям
\begin{enumerate}
\item Для любых двух разных точек $x,x' \in X$ существует такое $s
\in H^0(X,L)$, что $s(x)=0$, а $s(x') \neq 0$.
\item для любой точки $x \in X$ и ненулевого касательного вектора (в
смысле Зарисского) $\xi$ в точке $x$, существует такое $s \in
H^0(X,L)$, что $s(x) = 0$, но $\langle ds, \xi \rangle \neq 0$.
\end{enumerate}
\end{exc}


Здесь последнее условие понимается в следующем смысле: поскольку
пучок $L$ локально свободен ранга $1$, можно считать, что $L|_U
\cong \calo_U$ в какой-то открытой окрестности $U \subset X$ точки
$x$; тогда $s$ это просто функция, и ее дифференциал $ds$ хорошо
определен. Если мы выберем другой изоморфизм $L|_U \cong \calo_U$,
то фунцкия, отвечающая $s$, умножится на обратимую функцию. Поэтому
$\langle ds,\xi \rangle$ умножится на ненулевую константу -- и тот
факт, что это число равно или не равно нулю, не зависит от выбора
изоморфизма $L|_U \cong \calo_U$.

Таким образом, линейное расслоение очень обильно, если оно (1) не
имеет базисных точек, (2) разделяет точки, и (3) разделяет
касательные вектора -- это формулировка в классическом стиле, без
схем и прочих современных технических средств.

\begin{exc}
Покажите, что если $L$ --- обильный пучок на нетеровой схеме $X$,
то для любого когерентного пучка $\CF$ найдется число $n_\CF$,
такое что для любого $n\ge n_\CF$ пучок $L^n\otimes\CF$
порождается глобальными сечениями.
\end{exc}

Конечно, существование обильного линейного расслоения на схеме $X$
еще не гарантирует ее проективности --- полученное отображение из $X$
в проективное пространство может не быть замкнутым вложением. На самом деле
это выполняется тогда и только тогда, когда $X$ обладает важным свойством ---
является {\em собственным}\/ над $Y$. Об этом свойстве мы поговорим на следующей лекции.

Последнее замечание на эту тему вот какое.
В классической геометрии всякое подпространство $V \subset H^0(X,L)$
называется {\em линейной системой}\/ (а все $H^0(X,L)$ -- {\em полной
линейной системой}). Исторически, эта терминология и само понятие
связано с другим, более геометрическим способом смотреть на сечения
линейных расслоений с помощью так называемых {\em дивизоров}. Мы это
будем обсуждать, но через некоторое время. Неполная линейная система $V$
точно так же, как и полная, имеет множество базисных точек $B(V)$ и
задает отображение $X \setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, которое может
быть или не быть вложением, разделять или не разделять точки, и т.д.

\begin{exc}
Пусть $A$ -- конечно-порожденная алгебра над полем $k$, $X = \Spec
A$ -- аффинная схема, $L = \calo_X$ -- тривиальное линейное
расслоение, а $V \subset A = H^0(X,\calo_X)$ -- конечномерное
подпространство. В каких случаях линейная система $V$ (1) очень
обильна? (2) не имеет базисных точек?
\end{exc}



\subsection*{Рациональные отображения}

Зададимся теперь таким вопросом -- насколько конструкция $\Proj$
функториальна? Пусть задан гомоморфизм градуированных колец
$f:A^\hdot \to B^\hdot$ -- можно ли по нему построить отображение из
$Y = \Proj B^\hdot$ в $X = \Proj A^\hdot$? Ясно, что да, если $f$
сюръективно (ср. упр.~\ref{sur_clem}) --- в таком случае, $B^\hdot$ это фактор $A^\hdot$ по
однородному идеалу $I^\hdot \subset A^\hdot$, а $Y$ -- замкнутая
подсхема, заданная этим идеалом (т.е. отображение существует, да еще
и является замкнутым вложением). Ясно также, что в любом случае
существует отображение $\wt{f}:\Spec B^\hdot \to \Spec A^\hdot$. Но
напомним, что когда мы описывали $\Proj A^\hdot$ как некоторый
фактор $\Spec B^\hdot$, то нужно было предварительно выкинуть из
$\Spec A^\hdot$ подсхему $\Spec A^0 \subset \Spec A^\hdot$, заданную
идеалом аугментации. В общем случае, возможна следующая ситуация:
отображение $\wt{f}$ переводит некоторые точки не из $\Spec B^0$ в
точки из $\Spec A^0$! Таким образом, отображение $\wt{f}:Y \to X$
как бы и существует, но определено не на всем $Y$, а только на
открытом подмножестве $U \subset Y$ (полученном факторизацией
$\wt{f}^{-1}(\Spec A^\hdot \setminus \Spec A^0)$).

Самый простой пример такой: пусть $A^\hdot = k[x_1,x_2]$,
$B^\hdot=k[x_1,x_2,x_3]$, $f$ -- естественное вложение. Тогда $X =
\Pp^1$, $Y = \Pp^2$, а $\wt{f}$ -- проекция из $\Pp^2$ на $\Pp^1$ из
точки с однородными координатами $\langle 0,0,1 \rangle$. И ясно,
что в самой этой точке проекция не определена!

В общем случае, вводят следующее определение.

\begin{opr}
{\em Рациональным отображением} из схемы $X$ в схему $Y$
(обозначается $X \dashrightarrow Y$) называется пара$\langle U,f
\rangle$ из открытого плотного подмножества $U \subset Y$ и морфизма
схем $f:U \to Y$. При этом считается, что две пары $\langle U_1,f_1
\rangle$, $\langle U_1,f_1 \rangle$ задают одно и то же рациональное
отображение, если $f_1 = f_2$ в ограничении на $U_1 \cap U_2$.
\end{opr}

Вот еще одна ситуация, когда естественно возникают рациональные отображения.
Пусть $L$ --- линейное расслоение на схеме $X$, а $V\subset H^0(X,L)$ пространство
его сечений (возможно не порождающее $L$). Тогда $V$ порождает $L$ вне $B(V)$
и задает отображение $X \setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, то есть рациональное
отображение в проективное пространство. Например, пусть $V \subset H^0(\Pp^2,\CO(1))$
пространство функций, обращующихся в нуль в некоторой точке. Соответствующее
отображение $\Pp^2 \dashrightarrow \Pp^1$ --- проекция из точки.


Рациональные отображения часто можно компоновать, но не всегда --
может так случиться, что $f_1^{-1}(U_2)$ -- не плотное (например,
$f_1:X \dashrightarrow Y$ может переводить все $U_1 \subset X$
внутрь дополнения к $U_2 \subset Y$). Кроме того, крайне неприятно,
что необходимо держать в качестве дополнительного данного открытое
подмножество $U \subset X$, от которого к тому же мало что зависит
из-за дополнительного отождествления.
%Все вместе производит
%неопрятное впечатление, обычное для классической итальянской
%алгебраической геометрии.
Чтобы прояснить ситуацию, можно поступить
так.  Пусть дано рациональное отображение $f:X \dashrightarrow
Y$. Рассмотрим его график $U \subset U \times Y \subset X \times Y$,
и возьмем его {\em замыкание} $\wt{X} \subset X \times Y$. Тогда это
хорошо и однозначно определенная замкнутая подсхема в $X \times
Y$. Она более не есть график никакого отображения, потому что
прокеция $\wt{X} \to X$ -- не изоморфизм. Но эта проекция -- так
называемое бирациональное отображение.

\begin{opr}Вот еще одна ситуация, когда естественно возникают рациональные отображения.
Пусть $L$ --- линейное расслоение на схеме $X$, а $V\subset H^0(X,L)$ пространство
его сечений (возможно не порождающее $L$). Тогда $V$ порождает $L$ вне $B(V)$
и задает отображение $X \setminus B(V) \to \Pp(V^*)$, то есть рациональное
отображение в проективное пространство. Например, пусть $V \subset H^0(\Pp^2,\CO(1))$
пространство функций, обращующихся в нуль в некоторой точке. Соответствующее
отображение $\Pp^2 \dashrightarrow \Pp^1$ --- проекция из точки.


Рациональные отображения часто можно компоновать, но не всегда --
может так случиться, что $f_1^{-1}(U_2)$ -- не плотное (например,
$f_1:X \dashrightarrow Y$ может переводить все $U_1 \subset X$
внутрь дополнения к $U_2 \subset Y$). Кроме того, крайне неприятно,
что необходимо держать в качестве дополнительного данного открытое
подмножество $U \subset X$, от которого к тому же мало что зависит
из-за дополнительного отождествления.
%Все вместе производит
%неопрятное впечатление, обычное для классической итальянской
%алгебраической геометрии.
Чтобы прояснить ситуацию, можно поступить
так.  Пусть дано рациональное отображение $f:X \dashrightarrow
Y$. Рассмотрим его график $U \subset U \times Y \subset X \times Y$,
и возьмем его {\em замыкание} $\wt{X} \subset X \times Y$. Тогда это
хорошо и однозначно определенная замкнутая подсхема в $X \times
Y$. Она более не есть график никакого отображения, потому что
прокеция $\wt{X} \to X$ -- не изоморфизм. Но эта проекция -- так
называемое бирациональное отображение.

Морфизм схем $f:X \to Y$ называется {\em бирациональным}, если для
какого-то открытого плотного подмножества $U \subset Y$ он индуцрует
изоморфизм $f:f^{-1}(U) \to U$.
\end{opr}

Таким образом, под рациональным отображением из $X$ в $Y$ можно с
тем же успехом понимать такую замкнутую подсхему $\wt{X} \subset X
\times Y$, что проекция $\wt{X} \to X$ бирациональна.

Терминология, как водится, не очень удачна. Бирациональное отображение это
морфизм схем с дополнительным свойством; рациональное отображение
это вообще не морфизм схем, а нечто более сложное и дополнительно
определяемое.

\begin{exc}
Вычислите $\wt{X}$ в рассмотренном выше примере: $Y = \Pp^1$, $X =
\Pp^2$, $f:X \dashrightarrow Y$ -- проекция из точки (указание:
должно получиться раздутие $X$ в точке $\langle 0,0,1 \rangle$).
\end{exc}

Одна вещь, которая четко видна из определения рационального
отображения через графики -- это что для каждого рационального
отображения $f:X \dashrightarrow Y$ существует одно максимальное
открытое множество $U \subset X$, на котором оно определено (это
просто объединение всех таких $U$, что проекция $\pi:\wt{X} \to X$
-- изоморфизм над $U \subset X$). Дополнение $X \setminus U$
называется {\em множеством неопределенности} рационального
отображения $f$.



Категорно, на рациональные отображения можно смотреть еще вот как:
мы берем категорию схем и формально обращаем бирациональные морфизмы
(аналогично понятую локализации для кольца). Такого сорта
общекатегорные процедуры формального обращения действительно
существуют, но хорошо работают только при некоторых условиях,
которые в этом случае выполнены не целиком. Что, в общем, и видно:
поскольку рациональные отображения можно компоновать не всегда,
категории они не образуют. Все же есть одна более специальная
ситуация, в которй эта аналогия -- по делу. А именно, во-первых,
исторически рациональные отображения рассматривали обычно в
категории целых схем (вернее, в те времена схем не было, а
неприведенные или приводимые объекты старались особо и не
рассматривать). Во-вторых, давайте рассматривать только {\em
обратимые} рациональные отображения -- а именно, такие $f:X
\dashrightarrow Y$, что $f$ индуцирует изоморфизм открытого плотного
$U \subset X$ и открытого плотного $V \subset Y$ (а не сплющивает,
например, все $U$ в какую-нибудь одну точку в $Y$).

Тогда понятно, что такие $f$ можно компоновать без проблем, т.е. они
таки образуют категорию, и к тому же в этой категории все морфизмы
обратимы (такая категория называется {\em группоид}).

Объект этой категории называется ``многообразие с точностью до
бирациональной эквивалентности'', и это довольно полезное огрубление
понятия алгебраического многообразия -- оно позволяет изучать
некоторые существенные свойства многообразий, не отвлекаясь на
частности вроде раздутий. При этом полной потери всего не
происходит. Например -- и мы это со временем докажем -- неособая
проективная алгебраическая кривая, т.е. неособая проективная схема
размерности $1$ над полем, полностью определяется своим классом
бирациональной эквивалентности. В частности, есть кривые, не
бирационально-эквивалентные проективной прямой $\Pp^1$. В общем
случае, многообразие, бирационально эквивалентное $\Pp^n$, называется
{\em рациональным}; есть довольно много конкретных мнгоообразий,
рациональность которых -- важный открытый вопрос.

Отметим следующее алгебраическое описание бирациональной категории.

\begin{exc}
Докажите, что функтор $A \mapsto \Frac(A)$ есть эквивалентной
категории полей и категории, двойственной к категории целых аффинных
схем с точностью до бирациональной эквивалентности.
\end{exc}

Разумеется, любая целая схема по определению бирационально
эквивалентна любой своей плотной открытой аффинной подсхемы, так что
ограничения аффинными схемами здесь на самом деле не нужно.

Наконец, приведем нетривиальный и весьма поучительный классический
пример бирационального изоморфизма -- а именно, возьмем $X = \Pp^2$,
и рассмотрим отображение $f:X \to X$, заданное в однородных
координатах формулой
$$
\langle z_1,z_2,z_3 \rangle \mapsto \langle z_2z_3,z_1z_3,z_1z_2
\rangle.
$$
Это называется {\em отображение Кремоны}. На первый взгляд это
хорошо определенный морфизм схем, но на самом деле это не так: есть
ненулевые наборы координат, которые переходят в запрещенную строку
$\langle 0,0,0 \rangle$. Но как рациональное отображение,
отображение Кремоны очевидно хорошо определено.

\begin{exc}\mbox{}
\begin{enumerate}
\item Каково множество точек неопределенности отображения Кремоны?
\item Что получится, если скомпоновать это отображение с собой?
\item Покажите, что отображение Кремоны задается линейной системой коник,
проходящих через точки $\langle 1,0,0 \rangle$, $\langle 0,1,0 \rangle$ и
$\langle 0,0,1 \rangle$.
\end{enumerate}
\end{exc}

\begin{exc}
Пусть $X \subset \Pp^3$ --- неособая квадрика, а $P$ --- точка на $X$.
Покажите, что проекция из точки $P$ является бирациональным отображением $X \dashrightarrow \Pp^2$.
\end{exc}

\end{document}