\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\qq}{\mathfrak q} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\calo}{{\mathcal O}} \newcommand{\F}{{\mathcal F}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{{\sf Ext}}} \newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}} \newcommand{\PShv}{\operatorname{PreShv}} \newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\depth}{\operatorname{{\sf depth}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006} \begin{document} \setcounter{section}{12} \stepcounter{section} \section*{Лекция 13.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Гомологическая теория локальных колец: проективная размерность, глубина и регулярные последовательности, комплекс Кошуля, характеризация Серра регулярных колец. \end{minipage} \end{center} \subsection*{Проективная размерность.} В этой лекции мы будем изучать гомологические свойства модулей над локальным кольцом. Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо, с максимальным идеалом $\m \subset A$ и полем вычетов $k = A/\m$. \begin{lemma} Пусть $M$ -- конечно порожденный $A$-модуль; тогда следующие свойства эквивалентны: \begin{enumerate} \item $M$ плоский, \item $M$ проективный, \item $M$ свободный, \item $\Tor^1(M,k)=0$. \end{enumerate} \end{lemma} \proof{} \thetag{iii} $\Rightarrow$ \thetag{ii} $\Rightarrow$ \thetag{i} $\Rightarrow$ \thetag{iv} очевидно, доказать надо \thetag{iv} $\Rightarrow$ \thetag{iii}. Действительно, поскольку $M$ конечно порожден, можно выбрать свободный модуль $F=A^{\oplus n}$ и сюръективное отображение $f:F \to M$, причем можно взять число образующих $n$ минимальным возможным, а именно, равным размерности $\dim_k M/\m M$. Тогда $\overline{f}:F/\m F \to M/ \m M$ -- изоморфизм (такую пару $\langle F,f \rangle$ будем называть {\em минимальным свободным накрытием} модуля $M$). Поэтому, если $N = \Ker f \subset F$, то $N/\m N$ сюъективно накрывается $k$-векторным пространством $\Tor^1(M,k)$. По предположению, оно равно нулю; стало быть, $N=0$ по лемме Накаямы, и $M \cong F$ -- свободный $A$-модуль. \endproof Это утверждение имеет следующее обобщение. \begin{lemma}\label{proj.dim} Пусть $M$ -- конечно порожденный $A$-модуль; тогда следующие утверждения эквивалентны: \begin{enumerate} \item $M$ имеет проективную резольвенту длины $n$, \item $\Tor^n(M,k)=0$. \end{enumerate} \end{lemma} \proof{} \thetag{i}$\Rightarrow$\thetag{ii} очевидно. В другую сторону, возьмем проективную резольвенту $P_\idot$ модуля $M$. Обозначим через $Z_0 \subset P_0$ ядро отображения аугментации $P_0 \to M$, а через $Z_i \subset P_i$, $i \geq 1$ -- ядро дифференциала $d:P_i \to P_{i-1}$. Тогда резольвента $P_\idot$ распадается в набор коротких точных последовательностей $$ \begin{CD} 0 @>>> Z_{i+1} @>>> P_{i+1} @>>> Z_i @>>> 0, \end{CD} $$ и, применяя по индукции длинную точную последовательность функторов $\Tor$, получаем $\Tor^{n-i-1}(Z_i,k)=0$. В частности, $Z_{n-2}$ -- проективный модуль. Поэтому резольвенту $P_\idot$ можно обрезать -- заменить $P_{n-1}$ на $Z_{n-2}$, а дальше поставить нулевые модули. Получаем резольвенту длины $n$. \endproof \begin{opr} {\em Проективной гомологической размерностью} модуля $M$ называется наименьшее $n$, для которого $M$ имеет проективную резольвенту длины $n+1$ -- или бесконечность, если проективной резольвенты конечной длины у $M$ вообще нет. \end{opr} Проективная гомологическая размерность модуля над коммутативным, да и не обязательно коммутативным, кольцом -- это важный инвариант. К сожалению, как раз в коммутативном случае он не особенно полезен, поскольку, как мы увидим, для нерегулярного кольца проективная размерность модуля, как правило, бесконечна. \begin{exc} Пусть $A = k[x]/x^n$. Чему равна проективная размерность $A$-модуля $k$? \end{exc} \begin{exc} Пусть $\Tor^i(k,k)=0$; докажите, что $\Tor^j(k,k)=0$ для любого $j > i$. \end{exc} \subsection*{Комплекс Кошуля.} Пусть даны $l$ штук элементов $x_1,\dots,x_l \subset \m$. {\em Комплекс Кошуля} $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(A)$ задается так: как $A$-модуль, $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(A) = A\langle \xi_1,\dots,\xi+l \rangle$ есть алгебра грассмановых полиномов над $A$ от $l$ образующих $\xi_1\dots,\xi_l$; дифференциал $d$ есть дифференцирование -- т.е. отображение, удовлетворяющее правилу Лейбница, с соотвествующими знаками -- которое на образующих равно $d(\xi_i) = x_i \in A$. \begin{exc} Проверьте, что $d^2=0$. (Указание: воспользуйтесь тем, что $d^2$ это (косо)коммутатор $d$ с собой, а потому тоже удовлетворяет правилу Лейбница.) \end{exc} Если дан $A$-модуль $M$, то комплекс Кошуля можно тензорно помножить на $M$ -- получается {\em комплекс Кошуля модуля $M$} $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M) = K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(A) \otimes_A M$. \begin{opr} Говорят, что $x_1,\dots,x_l$ -- {\em регулярная последовательность} для $M$, если комплекс Кошуля $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}$ точен везде, кроме степени $0$. \end{opr} \begin{lemma}\label{reg} Пусть дан конечно порожденный $A$-модуль $M$. Последовательность $x_1,\dots,x_l$ регулярна для $M$ тогда и только тогда, когда \begin{enumerate} \item $x_1$ -- не делитель $0$ в $M$ (т.е. $x_1m \neq 0$ для любого ненулевого $m \in M$), и \item $x_2,\dots,x_l$ -- регулярная последовательность для $M/x_1M$. \end{enumerate} \end{lemma} \proof{} В одну сторону утверждение очевидно: комплекс Кошуля $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M)$ есть конус отображения $K_\idot^{x_2,\dots,x_l}(M) \to K_\idot^{x_2,\dots,x_l}(M)$, заданного умножением на $x_1$; раз $x_1$ не делитель нуля, это отображение инъективно, и его конус квазиизоморфен его коядру; а коядро и есть в точности $K^{x_2,\dots,x_l}(M/x_1M)$. В другую сторону: пусть $x_1,\dots,x_l$ -- $M$-регулярная последовательность. Достаточно проверить условие \thetag{i}, т.е. что $x_1$ не делитель $0$ в $M$ -- тогда вышеприведенний аргумент работает так же и дает условие \thetag{ii}. Иными словами, надо доказать, что последовательность из одного элемента $x_1$ регулярна для $M$. По индукции, для этого достаточно доказать, что последовательность $x_1,\dots,x_{l-1}$ $M$-регулярна. В самом деле, представим комплекс Кошуля $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M)$, как выше, в виде конуса отображения умножения, но не на $x_1$, а на $x_l$: \begin{equation}\label{cone} \begin{aligned} K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M) &= K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M) \oplus K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M) \wedge \xi_l,\\ d = d' + x_l, \end{aligned} \end{equation} где $d'$ -- дифференциал в комплексе Кошуля $K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$, a $x_l$ -- отображение умножения на $x_l$. Пусть для какого-то $i > 0$ модуль гомологий $N=H_i(K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}})$ нетривиален. Возьмем любой элемент $[a] \in N$, представленный каким-то циклом $a \in K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$, $d'(a)=0$. Поскольку мы знаем, что комплекс Кошуля $K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(M) \supset K_\idot^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$ ацикличен в степени $i$, имеем $$ a = d(b) = d(b' + b'' \wedge \xi_l) $$ для каких-то $b' \in K_{i+1}^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$, $b'' \in K_i^{x_1,\dots,x_{l-1}}(M)$. С учетом \eqref{cone}, это значит, что $d'(b'') = 0$, и что $a = x_lb''$ по модулю образа дифференциала $d'$. Тем самым, $b''$ есть цикл, т.е. представляет какой-то класс гомологий $[b''] \in N$, и при этом $[a]=x_l[b'']$. Т.к. $[a] \in N$ был любой, мы заключаем, что умножение на $x_l$ сюръективно на $N$. В частности, оно сюръективно на $N/\m N$; а поскольку $x_l \in \m$, $N/\m N=0$, и $N=0$ по Лемме Накаямы. \endproof \begin{corr}\label{kosz} Пусть дано регулярное локальное кольцо $А$ размерности $d= \dim A$, и набор образующих $x_1,\dots,x_d$ максимального идеала $\m \subset A$. Тогда $x_1,\dots,x_d$ -- регулярная последовательность для $A$, а $\dim_k\Tor^l(k,k)=\binom{d}{l}$ (в частности, проективная размерность $k$ равна $d$). \end{corr} \proof{} То, что $x_1 \in \m$ не есть делитель нуля, легко видеть, например, из того, что он не есть делитель нуля в кольце полиномов $k[x_1,\dots,x_d]$ -- присоединенном градуированном фактор $A$ по $\m$-адической фильтрации. Так же легко видеть, что $A/x_1A$ -- регулярное кольцо размерности $d-1$. По индукции получаем первое утверждение. Второе получается, если вычислить функторы $\Tor^\hdot(k,k)$ с помощью проективной резольвенты $K_\idot^{x_1,\dots,x_d}(A)$. \endproof \subsection*{Глубина.} \begin{lemma}\label{glub} Пусть $M$ -- конечно порожденный $A$-модуль, а $n$ -- положительное целое число; тогда следующие условия эквивалентны: \begin{enumerate} \item существует $M$-регулярная последовательность $x_1,\dots,x_N \in \m$. \item $\Ext^l(k,M)=0$ при $l \leq n-1$. \end{enumerate} \end{lemma} (Функторы $\Ext^l(-,M)$ здесь -- это производные от функтора $\Hom(-,M)$, так же, как функторы $\Tor^l(-,M)$ -- производные от $- \otimes_A M$. Подробности продумайте сами или прочитайте в любом учебнике по гомологической алгебре.) \proof{} Индукция по $n$ (причем существенный шаг первый, $n=1$). Пусть $n=1$. В \thetag{i} требуется элемент $x \in \m$, который не есть делитель нуля для $M$. Иными словами, надо, чтобы объединение $\Ann(m) \subset \m$ аннуляторов всех элементов $m \in M$ не покрывало весь максимальный идеал $\m \in A$. По науке про ассоциированные идеалы, здесь достаточно взять те аннуляторы, которые просты как идеалы в $A$ -- т.е. просто все ассоциированные идеалы $M$. А поскольку простой идеал не может быть объединением других простых идеалов, которые в нем лежат собственным образом, сам $\m$ должен быть ассоциированным идеалом для $M$. Итак, \thetag{ii} для $n=1$ значит, что $\m \subset A$ не есть ассоциированный простой идеал для $M$. Это по определению значит, что $\Hom(k,M)=\Hom(A/\m,M)=0$. Пусть теперь все доказано для какого-то $n$, и надо доказать для $n+1$. Тогда замечаем, что по доказанному, существует $x_1 \in \m$, которое не есть делитель нуля для $M$, и что для любого такого $x_1$, имеем короткую точную последовательность $$ \begin{CD} 0 @>>> M @>>> M @>>>M/x_1 @>>> 0. \end{CD} $$ Рассматривая соответствующую длинную точную последовательность функторов $\Ext^l$, заключаем, что \thetag{ii} для $M$, $n+1$ эквивалентно \thetag{ii} для $M/x_1M$, $n$. То же верно для \thetag{i}, в силу Леммы~\ref{reg}. \endproof \begin{exc} Докажите, что в условии \thetag{ii} Леммы~\ref{glub} $\Ext^l(k,M)=0$ можно заменить на ``$\Ext^l(N,M)=0$ для любого $A$-модуля $N$ конечной длины''. \end{exc} \begin{opr} {\em Глубиной} $\depth M$ модуля $M$ называется наибольшее $n$, для которого верны эквивалентные условия Леммы~\ref{glub} (или $0$, если они вообще никогда не верны). \end{opr} \begin{exc} Докажите, что $\depth A \leq \dim A$ (выберите $x \in \m$, которое не есть делитель нуля, и по индукции сведите все к $A/xA$). \end{exc} Геометрический смысл глубины такой. Пусть $k$ алгебраически замкнуто, а $A$ -- локализация какой-то $k$-алгебры конечного типа в замкнутой точке. Тогда набор элементов $x_1,\dots,x_l \in A$ задает отображение $\Spec A \to \A^l$, а сами элементы $x_i$ порождают регулярное подкольцо $B \subset A$. Тогда последовательность $x_1,\dots,x_l$ регулярна тогда и только тогда, когда $A$ плоско над $B$. В частности, $\depth A = \dim A$ тогда и только тогда, когда $\Spec A$ допускает такое конечное отображение в $\A^d$ -- т.е. такую нетерову нормализацию -- что $\Spec A$ {\em плоско} над аффинным пространством $\A^d$. Впоследствии мы увидим и другие геометрические приложения понятия глубины. \begin{opr} Локальное кольцо, для которого $\depth A = \dim A$, называется {\em кольцом Коэна-Маколея}. \end{opr} \begin{lemma}[Ауслендер-Буксбаум] Пусть $M$ -- конечно порожденный $A$-модуль {\em конечной} проективной размерности $n$. Тогда $$ n + \depth M = \depth A. $$ \end{lemma} \proof{} Индукция по $n$. Случай $n=0$ очевиден. Если $n > 0$, выберем минимальное свободное накрытие $f:F \to M$ модуля $M$, и рассмотрим $Z = \Ker f \subset F$. Тогда с одной стороны, длинная точная последовательность функторов $\Tor$ показывает, что $Z$ имеет проективную размерность $n-1$. С другой стороны, из длинной точной последовательности функторов $\Ext$ следует, что $$ \Ext^l(k,Z) \cong \Ext^{l-1}(k,M) $$ для всех $l < \depth A$. Если $n > 1$, это сразу дает шаг индукции (мы используем \thetag{ii} Леммы~\ref{glub} для определения глубины). Если $n=1$, надо дополнительно доказать, что естественное отображение $\Ext^l(k,Z) \to \Ext^l(k,F)$ равно нулю и для $l = \depth A$. Это следует из минимальности $F$: отображение вложения $Z \to F$ -- а значит, и все индуцированные им отображения $\Ext^l(k,Z) \to \Ext^l(k,F)$ -- пропускается через $\m F \subset F$, а все $A$-модули $\Ext^l(k,Z)$ аннулируются максимальным идеалом $\m \subset A$. \endproof \subsection*{Теорема Серра.} Следствие~\ref{kosz} говорит, что если локальное кольцо $A$ регулярно, то проективная размерность модуля $k$ конечна (и равна $\dim A$). Из Леммы~\ref{proj.dim} следует, что тогда и проективная размерность любого конечно-порожденного $A$-модуля $M$ не превышает $\dim A$ (говорят, что ``глобальная размерность кольца $A$ равна $\dim A$''). Удивительным образом, обратное тоже верно -- имеется следующий результат Серра. \begin{thm}[Серр] Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо с полем вычетов $k$, и проективная размерность $A$-модуля $k$ конечна. Тогда $A$ регулярно. \end{thm} Доказывается это умным применением комплекса Кошуля. А именно, пусть сначала дан конечно порожденный модуль $M$ над локальным кольцом $A$. Последовательно беря {\em минимальные} свободные накрытия, получаем такую свободную резольвенту $L_\idot$ модуля $M$, что дифференциал $d:L_{i+1} \to L_i$ пропускается через $\m L_i \subset L_i$. Такая резольвента называется {\em минимальной}. \begin{exc} Докажите, что минимальная резольвента единственна {\em с точностью до изоморфизма}. \end{exc} Пусть теперь дан какой-то комплекс $K_\idot$ конечно порожденных свободных $A$-модулей -- не обязательно точный -- и пусть $L_\idot$ -- минимальная резольвента модуля $K_0/\m K_0$. \begin{lemma}\label{smart} Пусть для любого $i \geq 0$ комплекс $K_\idot$ удовлетворяет следующим двум условиям: \begin{enumerate} \item дифференциал $d:K_{i+1} \to K_i$ пропускается через $\m K_i \subset K_i$, и \item индуцированое отображение $K_{i+1}/\m K_{i+1} \to (\m/\m^2) \otimes_k (K_i/\m K_i)$ инъективно. \end{enumerate} Тогда тождественное отображение $K_0/\m K_0 \to L_0/d(L_1)$ продолжается до такого отображения комплексов $f:K_\idot \to L_\idot$, что для любого $i$ индуцированное отображение $f:K_i/\m K_i \to L_i/ \m L_i$ инъективно. \end{lemma} \proof{} Хотя комплекс $K_\idot$ и не обязан быть точным, он все же состоит из свободных -- а стало быть, проективных -- $A$-модулей. С другой стороны, $L_\idot$ -- резольвента. Поэтому обычная конструкция применима и дает отображение $f:K_\idot \to L_\idot$. Более того, поскольку $L_\idot$ -- минимальная резольвента, дифференциал в ней пропускается через $\m L_\idot \subset L_\idot$, и для любого $i$ мы имеем коммутативную диаграмму $$ \begin{CD} K_{i+1}/\m K_{i+1} @>{d}>> (K_i/\m K_i) \otimes_k (\m/\m^2)\\ @V{f}VV @VV{f}V\\ L_{i+1}/\m L_{i+1} @>{d}>> (L_i/\m L_i) \otimes_k (\m/\m^2). \end{CD} $$ По нашему предположению, верхняя строка -- инъективное отображение. Поэтому если правый столбец инъективен, то и композиция инъективна, а стало быть, левый столбец обязан быть инъективным. Осталось применить индукцию по $i$. \endproof \begin{corr} Пусть $A$ -- локальное кольцо, а $x_1,\dots,x_l$ -- минимальная система образующих максимального идеала $\m \subset A$ (т.е. $x_1,\dots,x_l$ дают базис $k$-векторного пространства $\m/\m^2$). Тогда для любого $i$ имеем $$ \dim_k \Tor^i(k,k) \geq \binom{l}{i}, $$ и в частности, проективная размерность $k$ не меньше, чем $l$. \end{corr} \proof{} Легко проверить, что, в силу минимальности $x_1,\dots,x_l$, комплекс Кошуля $K_\idot = K_\idot^{x_1,\dots,x_l}(A)$ удовлетворяет условиям Леммы~\ref{smart}: действительно, отображение, инъективность которого надо проверить, это в этом случае $$ \Lambda^i(V) \to V \otimes_k \Lambda^{i-1}(V), $$ где $V = \m/\m^2$. Поэтому если $L_\idot$ -- минимальная проективная резольвента $k = K_0/\m K_0$, то $\dim_k L_i/\m L_i \geq \dim_l K_i/\m K_i$. Левая часть по определению есть $\dim_k \Tor^i(k,k)$, а правая -- требуемый биномиальный коэффициент. \endproof \proof[Доказательство Теоремы Серра.] Пусть проективная размерность $k$ конечна и равна $l$. По Лемме Ауслендера-Буксбаума, имеем тогда $l \leq l + \depth k = \depth A$, что в свою очередь не превышает $\dim A$. С другой стороны, мы только что доказали, что $l$ не меньше, чем размерность $\dim_k \m/\m^2$. Итак, $\dim_k \m/\m^2 \leq \dim A$, а это и значит, что $A$ регулярно. \endproof \end{document}