\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\qq}{\mathfrak q} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\calo}{{\mathcal O}} \newcommand{\F}{{\mathcal F}} \newcommand{\E}{{\mathcal E}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{{\sf Ext}}} \newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}} \newcommand{\PShv}{\operatorname{PreShv}} \newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\depth}{\operatorname{{\sf depth}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006} \begin{document} \setcounter{section}{13} \stepcounter{section} \section*{Лекция 14.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Когомологии пучков, инъективные и вялые пучки. Инъективные модули над кольцом. Когомологии пучков на схеме. \end{minipage} \end{center} \subsection*{Когомологии пучков.} Понятия проективного объекта и производных функторов от точного справа функтора очевидным образом дуализуются -- надо ``обратить все стрелки''. Двойственное понятие к проективному объекту это инъективный объект. \begin{opr} Объект $I$ какой-либо категории называется {\em инъективным}, если для любого инъективного морфизма \begin{equation}\label{inj} M \to N, \end{equation} любой морфизм $M \to I$ продолжается до морфизма $N \to I$. \end{opr} Говорят, что в категории {\em достаточно инъективных объектов}, если любой объект вкладывается в инъективный. Если категория $C$ абелева (как например категория модулей над кольцом, или пучков модулей на окольцованном пространстве), и в ней достаточно инъкетивных объектов, то для любого {\em точного слева} функтора $F:C \to D$ в другую абелеву категорию $D$, производные функторы $R^iF:C \to D$ определяются так: для любого объекта $A \in C$ берем иъективную резольвенту $I^\hdot$, и тогда $R^iF(A)$ -- это $i$-е когомологии комплекса $F(I^\hdot)$. Так же, как и для проективных резольвент, легко доказывается, что это действительно определяет функтор и не зависит от выбора резольвенты; для короткой точной последовательности в $C$, имеем длинную точную последовательность производных функторов в $D$. Ситуация, в который мы сейчас будем этот формализм применять, такая: категория это категория пучков на топологическом пространстве, функтор -- функтор глобальных сечений. \begin{lemma} Пусть $X$ -- топологическое пространство, $k$ -- поле, $\Shv_k(X)$ -- категория пучков $k$-векторных пространств на $X$. Тогда в $\Shv_k(X)$ достаточно инъективных объектов. \end{lemma} \proof{} Для любой точки $x \in X$ и любого пучка $\F \in \Shv_k(X)$, по сопряженности имеем каноническое отображение $\F \to i_{x*}i_x^*\F$, где $i_x:x \to X$ -- отображение вложения точки $x$. Если взять объединение $\overline{X}$ всех точек -- т.е. $X$ с дискретной топологией -- и обознчить $i:\overline{X} \to X$, то $\F \to i_*i^*\F \cong \oplus_x i_{x*}i_x^*\F$ это {\em инъективное} отображение; поэтому достаточно доказать, что любой пучок вида $i_{x*}i_x^*\F$ инъективен. Действительно, для любого пучка $\E$ имеем $\Hom(\E,i_{x*}i_x^*\F) \cong \Hom(i_x^*\E,i_x^*\F)$; поскольку функтор ограничения $i_x^*$ точен, отсюда следует, что условие продолжения \eqref{inj} достаточно проверять после ограничения на $x$. Но категория пучков на точке -- это просто категория $k$-векторных пространств, а в категории $k$-векторных пространств очевидным образом {\em любой} объект инъективен. \endproof \begin{opr} {\em Когомологии} $H^i(X,\F)$ пучка $\F$ на топологическом пространстве $X$ это производные функторы от функтора глобальных сечений: $H^i(X,\F)=R^i\Gamma(X,\F)$. \end{opr} \subsection*{Вялые пучки.} Для определения когомологий инъективных объектов в $\Shv_k(X)$ достаточно, но для того, чтобы что-нибудь доказать, уже не всегда -- поэтому часто пользуются следующим приемом. \begin{opr} Объект $A$ абелевой категории $C$ называется {\em ацикличным} для точного слева функтора $F$, или иногда {\em приспособленным к $F$}, если $R^iF(A)=0$ для любого $i \geq 1$. \end{opr} \begin{lemma} Пусть дан точный слева функтор $F$ и резольвента $M^\hdot$ какого-то объекта $A$, состоящая из объектов, ацикличных для $F$. Тогда когомологии комплекса $F(M^\hdot)$ изоморфны $R^\hdot F(A)$.\endproof \end{lemma} Или же: производные функторы можно вычислять с помощью резольвент, составленных из ацикличных объектов. Доказательство прочитайте в учебнике или придумайте сами (указание: сначала докажите, что у любого комплекса $K^\hdot$ есть ``инъективная резольвента'', а именно, комплекс из инъективных объектов $I^\hdot$ и квазиизоморфизм $K^\hdot \to I^\hdot$). \begin{rem} На самом деле, можно определить понятие ацикличного объекта, не используя производные функторы, и тогда, чтобы определить и рассматривать производные функторы какого-то точного слева $F$, не нужно требовать, чтобы в категории было достаточно инъективных объектов -- нужно только чтобы в ней было достаточно объектов, ацикличных для $F$ (и то же, по двойственности, для функторов, точных справа). Это не такая уж и редкая ситуация: например, в категории пучков, как правило, {\em проективных} объектов недостаточно (а то и вообще нет). Нам все это не понадобится, по крайней мере пока; если хотите изучить эту тему, лучше смотреть тот текст, где все это и было впервые введено -- ``О некоторых вопросах гомологической алгебры'' А. Гротендика (он очень понятный, сжато и хорошо написан). \end{rem} \begin{opr} Пучок $\F$ на топологическом пространстве называется {\em вялым}, если для любого открытого множества $U$ и его открытого подмножества $U' \subset U$, отображение ограничения $\F(U) \to \F(U')$ {\em сюръективно}. \end{opr} \begin{exc} Докажите, что любой инъективный пучок вялый (используйте то, что продолжение пучков нулем с $U'$ на $U$ -- точный функтор). \end{exc} \begin{lemma} Любой вялый пучок $\F$ на $X$ ацикличен по отношению к функтору глобальных сечений $\Gamma(X,-)$. \end{lemma} \proof{} Надо доказать, что $H^i(X,\F)=0$ для любого $i \geq 1$ и любого вялого $\F$. Индукция по $i$. Вложим $\F$ в инъективный пучок $I$, и обозначим $\F'=I/\F$, так что есть короткая точная последовательность \begin{equation}\label{fl} \begin{CD} 0 @>>> \F @>>> I @>{f}>> \F' @>>> 0 \end{CD} \end{equation} пучков на $X$. Мы утверждаем -- и для этого утверждения неважна даже инъективность $I$ -- что отображение $\Gamma(X,I) \to \Gamma(X,\F')$ сюръективно. Действительно, выберем сечение $s \in \Gamma(X,\F')$; надо доказать, что $s = f(s')$ для какого-то сечения $s' \in \Gamma(X,I)$. Рассмотрим множество пар $\langle U,s'_U \rangle$ из открытого подмножества $U \subset X$ и такого $s'_U \in I(U)$, что $f(s'_U) = s|_U$. Это множество естественным образом частично упорядочено ($\langle U,s'_U \rangle \leq \langle U',s'_{U'} \rangle$ если $U \subset U'$ и $s_{U'}|_U=s_U$). Аксиомы пучка немедленно показывают, что оно удовлетворяет условиям Леммы Цорна. Пусть $\langle U,s'_U \rangle$ -- его максимальный элемент. Тогда если $U \neq X$, то есть точка $x \in X$, $x \not\in U$; по определению факторпучка у нее есть окрестность $V \subset X$ и такое $s'_V \in I(V)$, что $f(s'_V) = s|_V$. Тогда на пересечении $s'_U$ и $s'_V$ отличаются на сечение $t \in \F(U \cap V)$ пучка $\F$, и в силу вялости $\F$, $t$ можно продолжить до сечения $t_V \in \F(V)$ на всем $V$. Заменим $s'_V$ на $s'_V + t_V$; тогда $s'_V$ и $s'_U$ согласованы на пересечениях, а потому задают общее сечение $s' \in I(U \cup V)$, причем по-прежнему $f(s')=s$. Это противоречит максимальности $U$. Тот же аргумент работает, если вместо $X$ рассматривать сечения на каком-то открытом $U \subset X$. Отсюда немедленно вытекает, что $\F'$ тоже вялый. Из длинной точной последовательности когмологий, связанной с \eqref{fl}, получаем, что $H^1(X,\F)=0$ (база индукции) и $H^{i+1}(X,\F)=H^i(X,\F')$ (индуктивный переход). \endproof Главное достоинство вялых пучков -- это что они сохраняются при прямом образе: прямой образ вялого пучка вялый (проверьте). Это используется например для следующего. \begin{exc} Докажите, что если $f:X \to Y$ -- непрерывное отображение топологических пространств, то любой вялый пучок $\F$ на $X$ ацикличен для функтора прямого образа $f_*$. \end{exc} \begin{lemma} Пусть $f:X \to Y$ -- морфизм топологических пространств, а $\F$ -- пучок на $X$, ацикличный для $f_*$. Тогда $H^\hdot(X,\F) \cong H^\hdot(Y,f_*\F)$. \end{lemma} \proof{} Для $H^0$, т.е. для глобальных сечений, это следует из определения прямого образа (без всяких предположений на $\F$). Высшие когомологии $H^\hdot(X,\F)$ будем вычислять с помощью вялой резольвенты $F^\hdot$; тогда $f_*F^\hdot$ -- вялая резольвента для $f_*\F$. \endproof \begin{rem} Утверждение Леммы может показаться тривиальным и верным в более общей ситуации: если есть функтор $F:C \to D$, точный слева функтор $G:D \to E$ и объект $A \in C$, ацикличный для $F$, то $R^\hdot G(F(A)) \cong R^\hdot(G \circ F)(A)$. Но это неверно (даже если $F$ вообще точный). Пример: $C$ и $E$ -- категория $k$-векторных пространств, $D$ -- категория $k[x]$-модулей, $F$ -- функтор вложения, $G$ -- сопряженный функтор факторизации по $x$ ($M \mapsto M/xM$). \end{rem} \subsection*{Инъективные модули.} Чтобы обобщить вышесказанное с пучков векторных пространств на пучки модулей -- а нас в конечном счете интересуют когерентные пучки на схеме -- надо сначала разобраться в ситуации, когда $X$ просто точка. Иными словами, надо построить инъективные объекты в категории $A$-модулей для какого-то (нетерова коммутативного) кольца $A$. Они там действительно есть, но этот факт в учебниках очень не любят не доказывать, ссылаясь на другой учебник. Потратим поэтому некоторое время и разберемся в том, что происходит. \begin{exc} Докажите, что абелева группа $A$ инъективна как $\Z$-модуль тогда и только тогда, когда она {\em делима}, т.е. для любого $a \in A$ и любого ненулевого $n \in \Z$ существует такое $a' \in A$, что $a = na'$. \end{exc} \begin{exc} Докажите, что в категории модулей над кольцом $\Z_p$ $p$-адических чисел модули $\Q_p$ и $\Q_p/\Z_p$ инъективны. \end{exc} Заметим, что ни тот, ни другой не конечно порождены. Это общая ситуация: чтобы построить инъективные объекты, конечно-порожденных модулей недостаточно, и надо рассматривать все. \begin{lemma} Пусть $\pp \subset A$ -- простой идеал в коммутативном кольце $A$, а $I$ -- инъективный модуль над локализацией $A_\pp$. Тогда $I$ инъективен и как $A$-модуль. \end{lemma} \proof{} По сопряженности, для любого $A$-модуля $M$ имеем $$ \Hom_{A_\pp}(M_\pp,I) = \Hom_{A_\pp}(M \otimes_A A_\pp,I) = \Hom_A(M,I), $$ а поскольку локализация -- точный функтор, условие продолжения \eqref{inj} достаточно проверять после перехода к $A_\pp$-модулям. \endproof Итак, инъкетивные модули достаточно уметь строить для локальных колец. На самом деле, для них это можно сделать достаточно точно. \begin{opr} Инъективный модуль $I$ над локальным кольцом $A$ с максимальным идеалом $\m \subset A$ и полем вычетов $k = A/\m$ называется {\em инъективной оболочкой} $k$ (по-английски injective hull), если \begin{enumerate} \item $\Supp I = \{\m\} \subset \Spec A$, и \item $\Hom_a(k,I) = k$. \end{enumerate} \end{opr} \begin{opr} Докажите, что если инъективная оболочка существует, то она единственна с точностью до изоморфизма. \end{opr} \begin{thm}\label{inj.hull} Пусть $A$ -- нетерово локальное кольцо; тогда у поля вычетов $k = A/\m$ есть (единственная с точностью до изоморфизма) инъективная оболочка $I$. \end{thm} \begin{lemma}\label{ide} Пусть $A$-модуль $I$ удовлетворяет условию продолжения \eqref{inj} для любой пары $\aA \subset A$, где $\aA$ -- идеал в $A$. Тогда $I$ инъективен. \end{lemma} \proof{} Надо проверить условие продолжения для любой пары модулей $M \subset N$: дано $f:M \to I$, надо продолжить его до $f_N:N \to I$. Рассмотрим множество пар $\langle M',f'\rangle$, $M' \subset N$ содержит $M$, $f':M' \to I$ продолжает $f:M \to I$. Это множество частично упорядочено ``по продолжению'' и удовлетворяет условию Леммы Цорна. Поэтому достаточно взять максимальный подмодуль и, если это не все $N$, прибавить к нему один элемент. Иными словами, мы можем предполагать, что $N = M + A \cdot x$ для какого-то $x \in N$. Тогда $\aA = M \cap A \cdot x \subset A$ -- идеал, и чтобы продолжить $f$ с $M$ на $N$, достаточно продолжить его с $\aA$ на $A$. \endproof \begin{lemma}\label{fin.length} Пусть кольцо $A$ -- локальное нетерово, а $A$-модуль $I$ удовлетворяет условию продолжения для всех пар $M \subset N$ $A$-модулей конечной длины, причем $\Supp I$ -- замкнутая точка $\Spec A$. Тогда $I$ инъективен. \end{lemma} \proof{} По Лемме~\ref{ide} достаточно для любого идеала $\aA \subset A$ продолжить любое отображение $f:\aA \to I$ на все $A$. Поскольку по условию максимальный идеал $\m \subset A$ -- единственный ассоциированный идеал для $I$, любой элемент $x \in I$ аннулируется какой-то степенью $\m^n$; поскольку $\aA$ конечно порожден, $f$ обращается в ноль на $\m^N\aA \subset \aA$ для какого-то $N$. По Лемме Артина-Риса $\m^{N'} \cap \aA \subset \m^M\aA$ для какого-то большего $N'$. Поэтому $f$ определено на $\aA/(\m^{N'} \cap \aA)$, и его достаточно продолжить на $A/\m^{N'}$. Оба модуля -- конечной длины. \endproof \subsection*{Локальная двойственность (для модулей конечной длины).} Чтобы доказать Теорему~\ref{inj.hull}, нам осталось научиться строить модули, удовлетворяющие условию продолжения отображений для пар $M \subset N$ $A$-модулей конечной длины. Это можно очень просто сделать в ``геометрической'' ситуации -- когда само кольцо $A$ есть алгебра над $k$. А именно, если $A$ -- $k$-алгебра, то всякий $A$-модуль $M$ конечной длины есть также конечномерное векторное простраство над $k$. Легко видеть, что двойственное векторное пространство $M^*$ тоже имеет естественную структуру $A$-модуля конечной длины. Таким образом, имеем функтор $M \mapsto M^*$ из категории $A$-модулей конечной длины в двойственную к ней, причем не просто функтор, а эквивалентность. Пусть $\wh{A}$ -- пополнение кольца $A$, а $I=\wh{A}^*$ -- ``топологически двойственный к нему'', иными словами, просто прямой предел $\lim_{\to}(A/\m^n)^*$. Тогда легко видеть, что для любого $M$ конечной длины имеем $$ \Hom_A(M,I)=\Hom_A(A,M^*)=M^*. $$ В частности, $\Hom_A(_,I)$ -- точный функтор на модулях конечной длины, и в силу Леммы~\ref{fin.length} $I$ инъективен. Проверьте, что это и есть инъективная оболочка $k$. \begin{exc} Пусть $A$ не только $k$-алгебра, но и артинова $k$-алгебра (т.е она конечномерна как векторное пространство над $k$). Верно ли, что $A^* \cong A$? Если нет, верно ли хоть иногда? \end{exc} В общей ситуации -- полезный пример здесь $A = \Z_p$ -- эта конструкция прямо так не проходит: никакого очевидного способа построить локальную двойственность нет. И это на самом деле та же задача, что построение $I$. \begin{lemma} Пусть $I$ -- инъективная оболочка $k$; тогда $M \mapsto M^* = \Hom_A(M,I)$ -- автоантиэквивалентность категории $A$-модулей конечной длины, причем инволютивная ($M^{**} \cong M$). \end{lemma} \proof{} Поскольку $I$ инъективен, наша двойственность $M \mapsto M^*$ есть точный функтор, причем поскольку $\Hom_A(k,I)=k$, он переводит $k$ в себя. Отображение $M \mapsto M^{**}$ строится так же, как для векторных пространств; поскольку для $M=k$ оно изоморфизм, а функтор точный, оно изоморфизм для любого $M$ конечной длины. Поэтому $M \mapsto M^*$ -- эквивалентность (обратная самой себе). \endproof Если кольцо $A$ содержит хоть какое-то поле, один из способов построить и $I$, и локальную двойственность -- это заметить, что $A$ можно, ничего не меняя, заменить его пополнением, а дальше применить структурную теорему Коэна о полных локальных кольцах. Есть еще способ строить двойственность сначала для регулярных колец -- используя так называемые ``локальные когомологии'' -- а потом представить наше кольцо $A$ как фактор регулярного, и таких образом перенести двойственность на него. Но мы будем действовать честно -- явно построим $I$ для любого нетерова $A$ как прямо предел, аналогичный $\lim_{\to}(A/\m^n)*$. Для этого нам понадобится явная интерпретация функторов $\Ext^1$. А именно, пусть дана точная последовательность \begin{equation}\label{shex} \begin{CD} 0 @>>> M_1 @>>> M_2 @>>> M_3 @>>> 0 \end{CD} \end{equation} (модулей, пучков, или вообще объектов какой-то абелевой категории). Тогда длинная точная последовательность функторов $\Ext$ дает, в частности, граничное отображение $$ \delta:\Hom(M_3,M_3) \to \Ext^1(M_3,M_1). $$ Его можно применить к единичному отображению $\id \in \Hom(M_3,M_3)$ и получить класс $\delta(\id) \in \Ext^1(M_3,M_1)$. Говорят, что точная последовательность \eqref{shex} {\em представляет по Йонеде} класс $\delta(\id)$. \begin{lemma} Любой класс $a \in \Ext^1(M_3,M_1)$ представляется по Йонеде какой-то точной последовательностью вида \eqref{shex}, и два класса равны тогда и только тогда, когда представляющие их точные последовательности изоморфны.\endproof \end{lemma} Доказательство придумайте сами (это несложно). Отсюда также немедленно выводится, что $A$-модуль $I$ удовлетворяет свойству продолжения для пары модулей $M \subset N$, если имеем $\Ext^1(M/N,I)=0$. \begin{rem} Исторически, $\Ext^1$ определялся именно как класс эквивалености раширений \eqref{shex} (а $\Ext$ это слово extension, расширение). Высшие $\Ext$ обобщают его так же, как высшие $\Tor$ обощают кручение. \end{rem} Рассмотрим теперь любой $A$-модуль $M$ конечной длины. Т.к. $\Ext^\hdot(k,M)$ можно вычислять с помощью проективной резольвенты $k$, а ее можно составить из конечно порожденных модулей, все $\Ext^\hdot(k,M)$ -- конечномерные $k$-векторные пространства. В частности, $\Ext^1(k,M)$ -- конечномерное векторное пространство. Т.к. $\Ext$ коммутируют с прямой суммой, для любого конечномерного $k$-векторного пространства $V$ имеем $\Ext^1(V,M) \cong \Hom(V,M)$. Положим $V = \Ext^1(k,M)$, и рассмотрим класс в $\Ext^1(V,M)$, отвечающий при этом изоморфизме тождественному отображению $\id \in \Hom(V,\Ext^1(k,M))$. Представим его по Йонеде точной последовательностью $$ \begin{CD} 0 @>>> M @>>> I(M) @>>> V @>>> 0. \end{CD} $$ Тогда $I(M)$ -- тоже $A$-модуль конечной длины, снабженный отображением $M \to I(M)$. При этом по построению, граничный дифференциал $\Ext^1(k,M)=V=\Hom(k,V) \to \Ext^1(k,M)$ в длинной точной последовательности функторов $\Ext^1(k,-)$, связанной с расширением $I(M)$, биективен. Следовательно, $$ \Hom(k,M) \cong \Hom(k,I(M)), $$ а отображение $\Ext^1(k,M) \to \Ext^1(k,I(M))$ равно нулю. Обозначим по индукции $I^l(M) = I(I^{l-1}(M))$, и положим $I^\infty(M) = \lim_{\to}I^l(M)$. \begin{lemma} Модуль $I=I^\infty(k)$ -- инъективная оболочка $A$-модуля $k$. \end{lemma} \proof{} Поскольку функторы $\Ext^\hdot(k,-)$ можно вычислять с помощью проективной резольвенты, составленной из конечно порожденных модулей, а для любого конечно порожденного $F$ функтор $\Hom(F,-)$ коммутирует с прямыми пределами, имеем $$ \Ext^1(k,I) = \lim_{\to} \Ext^1(k,I^l(k)). $$ Но все отображения перехода в этом прямом пределе обращаются в $0$; стало быть, $\Ext^1(k,I)=0$. По длинной точной последовательности, $\Ext^1(M,I)$ равно нулю для любого $M$ конечной длины. Поэтому $I$ удовлетворяет свойству продолжения для пар модулей $M \subset N$ конечной длины. Поскольку все $I^l(k)$ конечной длины, носитель $I$ -- максимальный идеал $\{\m\} \subset \Spec A$; поэтому $I$ инъективен. Наконец, поскольку $\Hom(k,I^l(k)) \cong \Hom(k,I^{l-1}(k))$, имеем $$ \Hom(k,I) = \lim_\to \Hom(k,I^l(k)) = k, $$ и стало быть, $I$ -- действительно инъективная оболочка. \endproof \subsection*{Когомологии аффинных схем.} \begin{lemma}\label{many} Пусть $A$ -- нетерово кольцо. Тогда в категории $A$-модулей достаточно инъективных объектов. \end{lemma} \proof{} Надо любой $A$-модуль $M$ вложить в инъективный. По Лемме Цорна, можно считать, что $M$ конечно порожден. Если подмодуль $M_1 \subset M$ вложен в $I_1$, а фактормодуль $M_2 = M/M_1$ вложен в $I_2$, то вложение $M_1$ в силу инъективности продолжается до отображения $M \to I_1$ и, складывая это с вложением $M_2$, получаем отображение $M \to I_1 \oplus I_2$, которое тоже, очевидно, вложение. Поэтому по индукции можно предполагать, что $M=A/\pp$, где $\pp$ -- простой идеал. Тогда $M$ вкладывается в $A_\pp/\pp A_\pp$, а оно в свою очередь вкладывается в свою инъективную оболочку $I_\pp$. \endproof \begin{lemma} Пусть $A$ -- нетерово кольцо, $\pp$ -- простой идеал, $I_\pp$ -- инъективная оболочка поля вычетов локализации по нему. Тогда квазикогерентный пучок $\wt{I_\pp}$ на $X = \Spec A$, отвечающий $A$-модулю $I_\pp$, есть вялый пучок. \end{lemma} \proof{} Пусть $X_\pp = \Spec A_\pp$, и $f:X_\pp \to X$ -- естественное отображение. Тогда $\wt{I_\pp} = f_*\wt{I_\pp}$, и, поскольку прямой образ вялого пучка вялый, достаточно доказать, что $\wt{I_\pp}$ -- вялый пучок на $X_\pp$. Это очевидно: $\wt{I_\pp}(U)$ для открытого $U \subset X_\pp$ либо равно $0$, если $U$ не содержит замкнутую точку $X_\pp$, либо равно $I_\pp$, если $U$ эту точку содержит. \endproof \begin{thm} Для любого квазикогерентного пучка $\F$ на аффинной нетеровой схеме $X = \Spec A$ имеем $H^i(X,\F)=0$ при $i \geq 0$. \end{thm} \proof{} Мы знаем, что категория квазикогерентных пучков на $X$ эквивалентна категории $A$-модулей, и в ней поэтому достаточно много инъективных объектов -- более того, по доказательству Леммы~\ref{many}, любой модуль можно вложить в сумму объектов вида $\wt{I_\pp}$ для всяческих точек $\pp \in X$. Поскольку все они дают вялые пучки на $X$, когомологии $H^\hdot(X,\F)$ можно вычислять с помощью инъективной резольвенты $I^\hdot$ для $\Gamma(X,\F)$ -- $H^i(X,\F)$ есть когомологии комплекса $\Gamma(X,\wt{I}^\hdot)$. Но в силу экиваленентности, этот комплекс есть $I^\hdot$, и высших когомологий у него нет. \endproof \begin{exc} Пусть $f:X \to Y$ -- аффинный морфизм схем (т.е. прообраз аффинной открытой подсхемы тоже аффинный). Докажите, что $R^if_*\F=0$, $i \geq 1$, для любого квазокогерентного $\F$ на $X$. \end{exc} \end{document}