\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{Лемма}
\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\newtheorem{corr}[thm]{Следствие}
\newtheorem{exc}{Упражнение}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{Факт}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{Определение}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}

%%%%% Разное

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Буквы

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\PP}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{{\sf Ext}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\RHom}{\operatorname{{\sf RHom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}

\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\depth}{\operatorname{{\sf depth}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН,
весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ
МИАН, весна 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{14}
\stepcounter{section}
\section*{Лекция 15.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
Когомологии Чеха. Локальные когомологии. Когомологии проективного
пространства. Двойственность Серра-Гротендика, локальная и
глобальная. Теорема Серра об обращении в ноль.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{Когомологии Чеха.}

Самый наглядный способ вычислить когомологии топологического
пространства $X$ с коэффициентами в каком-то пучке $\F$ -- это так
называемые {\em когомологии Чеха}. Мы им пользоваться не будем,
потому что он требует писать много индексов, но расскажем про него
все равно.

Итак, пусть дано топологическое пространстви $X$ и пучок $\F$ на
$X$. Выберем открытое покрытие $U_i$, $i=1,\dots,l$ схемы $X$. Для
любого набора индексов $I=\langle i_0,\dots,i_p \rangle$, обозначим
через $U_I$ пересечение $U_I=U_{i_0} \cap \dots \cap U_{i_p}$, и
обозначим через $j_I:U_I \to X$ его вложение в $X$. {\em Резольвента
Чеха} $C^\hdot(\{U_i\},\F)$ пучка $\F$ строится так. Во-первых,
полагаем
$$
C^p(\{U_i\},\F) = \bigoplus_{|I|=p}j_{I*}j^I_*\F,
$$
где $|I|$ для набора $I=\langle i_0,\dots,i_p \rangle$ равно числу
$p$. Во-вторых, замечаем, что для любого индекса $i$ и набора $I$ по
сопряженности имеем каноническое отображение
$$
p_i:j_{I*}j^I_*\F \to j_{I'*}j^{I'}_*\F,
$$
где $I' = I \cup \{i\}$. Из этих канонических отображений составляем
дифференциал
$$
d = \oplus_{i,I,i \not\in I} \sigma(I,i)p_{I,i}:C^\hdot(\{U_i\},\F)
\to C^{\hdot+1}(\{U_i\},\F).
$$
Здесь $\sigma(I,i)$ это знак, который подбирается так, чтобы $d^2$
было равно нулю (обычно берут четность числа элементов из $I$,
строго меньших $i$).

\begin{lemma}
Комплекс Чеха -- резольвента пучка $\F$.
\end{lemma}

\proof{} Отображение $\F \to C^0(\{U_i\},\F)$, как и дифференциал
Чеха, строится по сопряженности. Надо доказать, что это
квазиизоморфизм, т.е. что конус $\overline{C}^\hdot(\{U_i\},\F)$
этого отображения -- ацикличный комплекс. Но это достаточно
доказывать локально, т.е. после ограничения на любое $U \in
\{U_i\}$. После такого ограничения, комплекс
$\overline{C}^\hdot(\{U_i\},\F)$ превращается в конус тождественного
эндоморфизма комплекса $\overline{C}^\hdot(\{U_i \cap U\} \setminus
\{U\},j^*\F)$, где $j:U \to X$ -- вложение $U$ в $X$.
\endproof

В частности, пусть $X$ -- схема, $\F$ -- квазикогерентный пучок, а
$\{U_i\}$ -- {\em аффинное} покрытие. Кроме того, пусть схема $X$
{\em отделима}.

\begin{lemma}
Пересечение $U \cap V \subset X$ любых двух открытых аффинных
подмножеств $U,V \subset X$ отделимой схемы $X$ аффинно.
\end{lemma}

\proof{} По определению отделимости, диагональ $\Delta \subset X
\times X$ -- замкнутая подсхема; поэтому $U \cap V = (U \times V)
\cap \Delta$ -- замкнутая подсхема аффинной схемы.
\endproof

Следовательно, все пересечения $U_I$ тоже аффинны, а вложения
$j_I:U_I \to X$ -- аффинные морфизмы, и мы имеем
$$
H^\hdot(X,j_{I*}j_I^*\F) \cong H^\hdot(U_I,j^*_I\F) = \F(U_I),
$$
а высших когомологий нет. Тем самым, все пучки $j_{I*}j^I_*\F$
ацикличны для функтора $\Gamma(X,-)$, и когомологии $H^\hdot(X,\F)$
можно вычислять с помощью резольвенты Чеха: они равны когомология
комплекса $\Gamma(X,C^\hdot(\{U_i\},\F))$.

\begin{exc}
Вычислите с помощью комплекса Чеха когомологии
$H^\hdot(\PP^1_k,\calo(n))$, где $\PP^1_k$ -- проективная прямая над
каким-либо полем $k$, а $\calo(n)$, как обычно -- $n$-я тензорная
степень пучка $\calo(1)$.
\end{exc}

Часто аффинные покрытия получают так. Пусть $X \subset P^N_A$ --
{\em проективная} схема, т.е. замкнутая подсхема в проективном
пространстве $\PP^N_A$ над каким-нибудь кольцом $A$. Тогда в
$\PP^N_A$ можно взять $N+1$ координатную гиперплоскость $H_i$,
$i=0,\dots,N$, и дополнения к ним -- аффинные пространства. Поэтому
$X \setminus (X \cap H_i)$ -- замкнутые подмножества аффинных
пространств, а потому аффинные схемы. Тем самым, они образуют
аффинное покрытие $X$.

\subsection*{Локальные когомологии.}

Мы, однако, будем вычислять когомологии проективных схем другим
способом, который дает ответ сразу, без вычислений. Идея здесь в
том, чтобы вместо проективной схемы $X$ рассматривать {\em конус над
ней} -- например, вместо $\PP^n_k$ рассматриваем $\A^{n+1}_k$, и
окрестность нуля в нем. Сначала надо развить локальную теорию.

Пусть дано нетерово локальное кольцо $A$ с максимальным идеалом $\m
\subset A$, и $A$-модуль $M$. Глобальными сечениями $M$ {\em с
носителями в $\m$} мы будем называть подмодуль $\Gamma_{\m}(M)
\subset M$, состоящий из элементов, аннулируемых какой-нибудь
степенью $\m^N$. Если модуль $M$ конечной длины, то очевидно имеем
$\Gamma_{\m}(M) = M$. Если $M$ большой -- например, $M = A$ -- то
как правило $\Gamma_{\m}(M)=0$. Тем не менее, $\Gamma_{\m}(-)$ --
хорошо определенный функтор из категории $A$-модулей в себя. Этот
функтор, очевидно, точен слева.

\begin{opr}
{\em Локальные когомологии} $H^\hdot_{\m}(-)$ -- это производные
функторы от функтора глобальных сечений $\Gamma_{\m}(-)$.
\end{opr}

Геометрический смысл локальных когомологий такой. Обозначим $X =
\Spec A$, $U = \Spec A \setminus \{\m\}$; как и прежде, через
$\wt{M}$ будем обозначать квазикогерентный пучок на $X$, отвечающий
модулю $M$.

\begin{lemma}
Существует канонический точный треугольник
\begin{equation}\label{loc}
\begin{CD}
R^\hdot\Gamma_{\m}(M) @>>> M @>>> R^\hdot\Gamma(U,\wt{M}) @>>>
\end{CD}
\end{equation}
\end{lemma}

\proof{} Заменим $M$ на его инъективную резольвенту, состоящую из
модулей вида $I_\pp$ -- инъективных оболочек полей вычетов
$A_{\pp}/\pp A_{\pp}$ по разным простым идеалам $\pp \in \Spec
A$. Тогда легко видеть, что подкомплекс, составленный из модулей
$I_{\m}$, вычисляет как раз $R^\hdot\Gamma_{\m}(M)$, а
факторкомплекс по нему -- т.е. факторкомплекс, составленный из
модулей $I_{\pp}$, $\pp \in U \subset X$ -- вычисляет
$R^\hdot\Gamma(U,\wt{M})$.
\endproof

\begin{rem}
Более общо, если $Y \subset X$ -- замкнутая подсхема схемы $X$,
можно определить на категории всех квазикогерентых пучков на $X$
функтор ``подпучок с носителями в $Y$''; для любого $\F$, имеем
треугольник, аналогичный \eqref{loc}, где -- обозначая вложение $U =
X \setminus Y \subset X$ через $j:U \to X$ -- справа стоит $R^\hdot
j_*\F$.
\end{rem}

\begin{lemma}
Пусть $M$ -- $A$-модуль, $t$ -- его глубина, а $d = \dim\Supp M$ --
размерность его носителя. Тогда $H^i_{\m}(M) = 0$ при $i < t$ и $i >
d$.
\end{lemma}

\proof{} Утверждение про глубину совсем простое. Заметим, что для
любого модуля $M$ имеем $H^\hdot_{\m}(M) =
\lim_{\to}\Ext^\hdot(A/\m^n,M)$ (достаточно проверить это для
инъективных модулей и для $\Ext^0$, что верно по определению). А
поскольку все $A/\m^n$ конечной длины, мы знаем, что
$\Ext^i(A/\m^n,M)=0$ при $i < t$. Второе утверждение доказываем
индукцией по $d$. При $d = 0$ оно очевидно: тогда $\Supp M =
\{\m\}$, у $M$ есть резольвента из инъективных модулей,
сосредоточенных в $\m$, и применение функтора $\Gamma_{\m}(-)$
ничего с этой резольвентой не делает -- она остается точной. В общем
случае, замечаем, что, т.к. когомологии коммутируют с индуктивными
пределами, можно предполагать, что $M$ конечно порожден. Выбираем
такое $x \in \m$, что $\dim \Supp M/xM$ и $\dim \Ker x$ строго меньше
$d$ -- здесь $\Ker x \subset M$ это ядро умножения на $x$, и такое
возможно по теории размерности. Тогда из длинной точной
последовательности когомологий выводим по индукции, что умножение на
$x$ биективно на $H^i_{\m}(M)$ при $i > d$ (и сюръективно при
$i=d$). Следовательно, при $i > d$ имеем
$$
H_{\m}(M) = \lim_{\to}H_{\m}(M) = H_{\m}(M(x^{-1})),
$$
где предел берется по отображениям $x:M \to M$. Но у локализации
$M(x^{-1})$ есть резольвента из инъективных модулей вида $I_\pp$,
где $\pp \in U_x \subset X$ -- точка из дополнения к множеству нулей
$x$ в $X = \Spec A$; а у всех таких инъективных модулей локальные
когомологии с носителями в $\m$ равны нулю.
\endproof

\begin{lemma}
Пусть локальное кольцо $A$ регулярно. Тогда $H^i_{\m}(A) = 0$ при $i
\neq d = \dim A$, а $H^d_{\m}(A)$ -- инъективная оболочка поля
вычетов $k = A/\m$.
\end{lemma}

\proof{} Первое утверждение мы уже знаем (поскольку $A$ регулярно,
$\depth A = \dim A = d$). Чтобы доказать второе, представим
$R^\hdot\Gamma_{\m}(A)$ комплексом инъективных $A$-модулей, и
заметим, что, в силу \eqref{loc}, имеем
$$
\Ext^\hdot(k,A) \cong \Ext^\hdot(k,R^\hdot\Gamma_{\m}(A)).
$$
Но $R^\hdot\Gamma_{\m}(A)$ это комплекс инъективных модулей с
когомологиями в одном члене, т.е. резольвента $H^d_{\m}(A)$ (с
точностью до сдвига на $d$). Тем самым,
$$
\Ext^{\hdot+d}(k,A) \cong \Ext^\hdot(k,H^d_{\m}(A)).
$$
Левую часть можно теперь вычислить с помощью резольвенты Кошуля для
$k$ и заключить, что $\Ext^1(k,H^d_{\m}(A)) = 0$ --
т.е. $H^d_{\m}(A)$ инъективен -- а кроме того, $\Hom(k,H^d_{\m}(A))
\cong k$.
\endproof

\subsection*{Когомологии проективных схем.}

Пусть теперь $X = Proj A^\hdot$ -- проективная схема над каким-либо
полем $k$, с координатной алгеброй $A^\hdot$. Обозначим через $C =
\Spec A^\hdot$ аффинный конус над $X$, и пусть $\overline{C} = C
\setminus \{0\}$. Тогда имеем естественную проекцию
$\pi:\overline{C} \to X$. Обозначим также через $j:\overline{C} \to
C$ естественное вложение.

\begin{lemma}
Имеем естественные отождествления
$$
\bigoplus_{q \in \Z} H^\hdot(X,\calo_X(q)) =
H^\hdot(\overline{C},\calo_{\overline{C}}) = \Gamma(C,R^\hdot
j_*\calo_{\overline{C}}).
$$
\end{lemma}

\proof{} Второе равенство следует из того, что $C$ аффинно. Чтобы
доказать первое, заметим, что $\pi:\overline{C} \to X$ -- аффинный
морфизм (действительно, для любого открытого аффинного $U \subset X$
имеем $\pi^{-1}(U) \cong U \times (\A^1_k \setminus
\{0\})$). Поэтому достаточно заметить, что, по определению,
$\pi_*\calo_{\overline{C}} \cong \bigoplus_q \calo_X(q)$.
\endproof

\begin{prop}\label{pn.coh}
Пусть $X=\PP^n_k$ -- $n$-мерное проективное пространство над полем
$k$. Тогда
$$
H^i(X,\calo_X(q))=\begin{cases}
0, &\qquad q \geq 0, i \geq 1,\\
0, &\qquad q \leq -(n+1), i \leq n-1,\\
0, &\qquad -(n+1) < q < 0, i \text{ любое }.
\end{cases}
$$
Кроме того, $H^n(X,\calo_X(-(n+1)-q))$ канонически изоморфно
$k$-векторному пространству, двойственному к $H^0(X,\calo_X(q))$.
\end{prop}

\proof{} Заметим, что если $X$ -- проективное пространство, то конус
$C$ над ним -- регулярная схема. Рассмотрим его локализацию в $\{0\}
\subset C$, и применим точный треугольник \eqref{loc}. Тогда
достаточно доказать, что $H^{n+1}_{\{0\}}(C,\calo_C)$ как
градуированное векторное пространство изоморфно двойственному к
$A^\hdot = \bigoplus_{q \geq 0}H^0(X,\calo_X)$, с градуировкой,
сдвинутой на $n+1$. Поскольку $C$ регулярно, как векторное
пространство это изоморфно инъективной оболочке поля вычетов точки
$\{0\} \in C$, что и требуется; надо только разобраться с
градуировкой -- а именно, вычислить степень $\Ext^{n+1}(k,A^\hdot)$,
индуцированную естественной градуировкой на $A^\hdot$. То, что эта
степень равна $n+1$, очевидно из комплекса Кошуля.
\endproof

Заметим, что ровно то же вычисление проходит для любого проективного
$X$, конус над которым -- регулярная схема (но это не особенно
осмысленное замечание, потому что $X$ в таком случае автоматически
будет проективным пространством). Для любой схемы поступают
по-другому -- вкладывают ее в проективное пространство, и пользуются
тем, что мы знаем когомологии $\PP^N_k$ с коэффициентами во {\em
всех} пучках $\calo(q)$. Вот пример.

\begin{lemma}
Пусть $X \subset \PP^2_k$ -- кубика над полем $k$ (т.е. кривая
степени $3$). Тогда $H^1(X,\calo_X)=H^0(\calo_X)=k$.
\end{lemma}

\proof{} Поскольку замкнутое вложение $i:X \to \PP^2_k$ -- аффинный
морфизм, имеем $H^\hdot(X,\calo_X) \cong
H^\hdot(\PP^2_k,i_*\calo_X)$. Поскольку $X$ степени $3$, имеем
короткую точную последовательность
$$
\begin{CD}
0 @>>> \calo(-3) @>>> \calo @>>> i_*\calo_X @>>> 0.
\end{CD}
$$
Рассматриваем длинную точную последовательность когомологий, и
получаем ответ.
\endproof

\begin{opr}
Пусть $X$ -- собственная кривая над полем $k$. {\em Арифметическим
родом} кривой $X$ называется размерность $\dim_k H^1(X,\calo_X)$.
\end{opr}

\begin{exc}
Вычислите арифметический род плоской кривой степени $d$.
\end{exc}

\subsection*{Теорема Серра об обращении в ноль.}

Следуя образовавшейся традиции, докажем теперь очередную -- и крайне
полезную! -- теорему Серра. Сначала сделаем следующее наблюдение.

\begin{lemma}\label{hom.dim}
Пусть $X$ -- нетерова отделимая схема, а $\F$ -- квазикогерентный
пучок на $X$ с носителем размерности $d$. Тогда $H^q(X,\F)=0$ при $q
> d$.
\end{lemma}

\proof{} Индукция по $d$. Случай $d=0$ очевиден (в этом случае
функтор глобальных сечений точен). Для общего $X$, мы утверждаем,
что можно предположить, что $\F$ когерентен. Действительно, любой
квазикогерентный пучок есть объединение всех своих когерентных
подпучков $\F_i$: такие подпучки образуют частично упорядоченное
множество $I$, и $\F = \lim_{I\to}\F_i$. Множество $I$ может быть
сколь угодно большим, но важно, что оно {\em направленное}: для
любых двух $i_1,i_2 \in I$ существует такое $i_3 \in I$, что
$i_1,i_2 \leq i_3$. Общий факт гомологической алгебры, который мы
оставим в качестве упражнения, говорит, что прямой предел по {\em
направленному} частично упорядоченному множеству -- точный
функтор. Поэтому $H^q(X,\F) = \lim_{I\to}H^q(X,\F_i)$.

Итак, пусть $\F$ когерентен. Действуем индукцией по $d$. По науке
про ассоциированные идеалы, достаточно рассмотреть ситуацию $\F =
i_*\F_Y$, где $i:Y \to X$ -- замкнутое вложение, $Y$ неприводимо, а
$\F_Y$ -- когерентный пучок на $Y$. Тогда $H^q(X,\F)=H^q(Y,\F_Y)$,
т.е. $X$ можно заменить на $Y$. Теперь берем открытое аффинное
множество $U \subset Y$, $j:U \to Y$, и рассматриваем короткую
точную последовательность
$$
\begin{CD}
0 @>>> \F_Y @>>> j_*j^*\F_Y @>>> \F' @>>> 0,
\end{CD}
$$
и замечаем, что факторпучок $\F'$ имеет носитель на $Y \setminus U$,
а размерность этого дополнения строго меньше $d$ в силу
неприводимости $Y$.
\endproof

\begin{thm}[Серр]\label{serre}
Пусть $X$ -- проективная схема над полем $k$, а $\F$ -- когерентный
пучок на $X$. Тогда существует такое $q$, что $H^i(X,\F(q'))=0$ для
любых $q' \geq q$, $i \geq 1$.
\end{thm}

\proof{} Можно считать, что $X = \PP^N$ (вложим $X$ в $\PP^N$ и
заменим $X$ на $\PP^N$, а $\F$ -- на его прямой образ). Убывающая
индукция по $i$! Если $i > \dim X$, $q$ можно взять любым
(независимо от $\F$). Пусть утверждение доказано для $i \geq
i_0$. Пучок $\F(q)$ для какого-то $q$ порожден глобальными сечениями
-- т.е. имеем короткую точную последовательность
$$
\begin{CD}
0 @>>> \F' @>>> H^0(X,\F(q)) \otimes_k \calo(-q) @>>> \F @>>> 0,
\end{CD}
$$
причем ядро $\F'$ -- тоже когерентный пучок. Теперь, если мы
подкрутим все на $\calo(q')$ для достаточно большого $q'$, то
средний член не будет иметь когомологий; по индукции, увеличивая
подкрутку, можно добиться того, что $H^i(X,\F'(q')) = 0$ при $i \geq
i_0$. Тогда из длинной точной последовательности получаем
$H^i(X,\F(q')) = 0$ при $i \geq i_0 - 1$.
\endproof

\subsection*{Двойственность Гротендика-Серра.}

Вернемся теперь в ситуацию Предложения~\ref{pn.coh} и подробнее
изучим построенное там каноническое спаривание. Мы рассматриваем
координатную алгебру $A^\hdot$ проективного пространства $\PP^n_k$ с
максимальным идеалом $\m = A^{\geq 1} \subset A^\hdot$, и используем
изоморфизм $H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1}) \cong I^\hdot_{\m} \cong
(A^\hdot)^*$ -- получается спраивание $H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1})
\otimes_k A^\hdot \to k$. Удобно разложить это спаривание в
композицию двух отображений:
$$
\begin{CD}
H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1}) \otimes_k A^\hdot @>>>
H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1}) @>{\tr}>> k.
\end{CD}
$$
Здесь первое отображение -- это просто действие алгебры $A^\hdot$ на
$A^\hdot$-модуле $H^{n+1}_{\m}(A^{\hdot+n+1})$, а второе --
его называют ``отображение следа'' -- это спаривание с единицей
алгебры $A^\hdot$. На языке самого проективного пространства
$X=\PP^n_k$, это выглядит так
$$
\begin{CD}
H^0(X,\calo(q)) \otimes_k H^n(X,\calo(-q-(n+1)) @>>>
H^n(X,\calo(-(n+1))) @>{\tr}>> k.
\end{CD}
$$
Оказывается -- это изобрел, по-видимому, Гротендик -- что более
правильный способ смотреть на эти вещи такой. Во-первых, для любой
схемы $X$ и любого квазикогерентного пучка $\F$ на $X$ имеем
$\Gamma(X,\F) = \Hom(\calo_X,\F)$, и следовательно, производные
функторы тоже равны -- имеем изоморфизм $H^\hdot(X,\F) \cong
\Ext^\hdot(\calo_X,\F)$. Поэтому в нашей ситуации
$H^\hdot(X,\calo(-q-(n+1))) \cong
\Ext^\hdot(\calo,\calo(-q-(n+1)))$. Во-вторых, можно тензорно
умножить обе части на $\calo(q)$. Тогда спаривание имеет вид
$$
\begin{CD}
H^\hdot(X,\calo(q)) \otimes_k \Ext^{n-\hdot}(\calo(q),\calo(-(n+1)) @>>>
H^n(X,\calo(-(n+1))) @>{\tr}>> k,
\end{CD}
$$
и первое отображение -- это просто композиция $\Ext$-групп. В такой
формулировке это невырожденное спаривание можно очень сильно
обобщить.

\begin{opr}
{\em Дуализующим комплексом} $\omega_X^\hdot$ на схеме $X$ над полем
$k$ называется такой комплекс пучков на $X$ с когерентными
когомологиями, снабженный отображением следа
$\tr:H^0(X,\omega^\hdot_X) \to k$, что для любого когерентного пучка
$\F$ на $X$ спаривание
$$
\begin{CD}
H^i(X,\F) \otimes_k \Ext^{-i}(\F,\omega_X^\hdot) @>>>
H^0(X,\omega^\hdot_X) @>{\tr}>> k
\end{CD}
$$
невырождено.
\end{opr}

\begin{lemma}
Если $X = \PP^n_k$, то комплекс $\omega_X^\hdot =
\calo_X(-(n+1))[n]$ (т.е. пучок $\calo_X(-(n+1))$, помещенный в
степень $-n$) вместе с естественным отображением следа --
дуализующий комплекс для $X$.
\end{lemma}

\proof{} Мы уже знаем, что спаривание невырождено для $\F =
\calo_x(q)$, $q \in \Z$, а также для $i > \dim X$. Далее используем
ту же убывающую индукцию по $i$, что в доказательстве
Теоремы~\ref{serre}.
\endproof

\begin{lemma}\label{facto}
Пусть дано замкнутое вложение $i:Y \to X$. Тогда функтор прямого
образа $i_*$ из когерентных пучков на $Y$ в когенрентные пучки на
$X$ имеет {\em левый} сопряженный функтор $f^!$, т.е. такой функтор
$f^!$, что для любых когерентных пучков $\F$ на $Y$ и $\E$ на $X$
имеем каноническое отождествление
$$
\Hom(i_*\F,\E) \cong \Hom(\F,f^!\E),
$$
причем функтор $f^!$ точен слева.
\end{lemma}

\proof{} Утверждение локально: если мы сумеем построить $f^!$ на
открытом покрытии $X$, то на пересечениях все будет согласовано
автоматически, в силу каноничности сопряженного функтора. Поэтому
можно считать, что $X = \Spec A$ аффинно, а $Y = \Spec A/I \subset
X$ -- замкнутая подсхема, заданная идеалом $I \subset A$. Тогда для
любого $A/I$-модуля $N$ и любого $A$-модуля $M$, любое $A$-линейное
отображение $N \to M$ аннулируется идеалом $I$, а потому
пропускается через подмодуль
$$
\Hom_A(A/I,M) \subset \Hom_A(A,M) = M,
$$
который тоже аннулируется идеалом $I$. Следовательно, можно просто
определить $f^!$, положив $f^!M = \Hom_A(A/I,M)$. Он, очевидно,
точен слева (впрочем, это следует уже из того, что у него есть
сопряженный $f_*$).
\endproof

\begin{lemma}
Пусть $X \subset \PP^n_k$ -- замкнутая подсхема проективного
пространства $\PP^n_k$ над полем $k$, а $f:X \to \PP^n_k$ --
отображение вложения. Тогда $\omega^\hdot_X = R^\hdot
f^!(\calo(-(n+1))[n])$ -- дуализующий комплекс для $X$.
\end{lemma}

\proof{} Для любого когерентного пучка $\F$ на $X$ имеем
$$
\begin{aligned}
H^\hdot(X,\F) &\cong H^\hdot(\PP^n_k,f_*X),\\
\Ext^\hdot(\F,\omega^\hdot_X) &\cong \Ext^\hdot(f_*\F,\calo(-(n+1)[n]).
\end{aligned}
$$
Поэтому утверждение следует из уже доказанных утверждений для
$\PP^n_k$.
\endproof

Заметим, что здесь действительно важно работать не с пучками, а с
комплексами. Например, если $X \subset \PP^n_k$ -- гладкая подсхема
коразмерности $d$, то не только $f^!\calo(-(n+1)) = 0$, но и
$R^if^!\calo(-(n+1)) = 0$ для любого $i < d$.

Заметим также, что если $X$ не проективно, а только квазипроективно,
то теорема двойственности вообще говоря не работает -- пространство
когомологий в ней может оказаться бесконечномерным, и с самим
понятием невырожденного спаривания будут проблемы. Однако все
отлично работает, если хотя бы не само $X$, но {\em носитель пучка}
$\F$ проективен -- в этом случае можно вложить $X$ как открытое
подмножество в проективную схему $\overline{X}$, и вычислять все
когомологии на ней -- они не изменятся. Переходя к пределу, можно
получить также теорему двойственности для когомологий $X$ с
носителями в проективной подсхеме $Y \subset X$ -- иногда это бывает
полезно.

\subsection*{Язык производных категорий.}

На самом деле, вся наука про двойственность сильно упрощается, если
с самого начала ввести категорию ``комплексов с точностью до
квазиизоморфизма'' -- так называемую {\em производную категорию}
абелевой категории пучков на $X$. Это можно сделать для любой
абелевой категории, но в общем случае это требует некоторых
технических усилий (все это отлично изложено в книге
Гельфанда-Манина). Конкретно для пучков на $X$ можно воспользоваться
тем, что есть достаточно много инъективных объектов. Тогда
производная категория $D^+(X)$ определяется так: объекты это
ограниченные снизу комплексы инъективных квазикогерентных пучков, а
морфизмы между ними -- это классы гомотопической эквивалентности
отображений комплексов. При этом, чтобы не потерять контроль над
конечностью, будем еще требовать, чтобы у комплексов были
когерентные когомологии (сами комплексы составлены из инъективных
объектов, которые когерентными не бывают, поэтому требовать чтобы
сами объекты были когерентные нельзя). Тогда для любого проективного
морфизма $f:X \to Y$ имеем естественый функтор прямого образа
$f_*:D^+(X) \to D^+(Y)$ -- производный функтор от прямого образа
пучков -- и теорема двойственности на этом языке выглядит так.

\begin{thm}\label{dv}
Для любого проективного морфизма $f:X \to Y$ существует функтор
$F^!:D^+(Y) \to D^+(X)$, сопряженный слева к $f_*:D^+(X) \to
D^+(Y)$.
\end{thm}

Фактически, мы доказали это для замкнутого вложения, и для проекции
проективного пространства в точку, $f:\PP^n_k \to \Spec k$, -- в
этой ситуации для любого комплекса векторных пространств $V^\hdot$
полагаем $f^!V^\hdot = V^\hdot \otimes_k \calo(-(n+1))[n]$, и
сопряженность есть просто переформулировка утверждения про
невырожденное спаривание. Отсюда немедленно выводится утверждение и
для композиции таких морфизмов, в частности, утверждение теоремы для
$Y = \Spec k$. В случае произвольного $Y$, надо только изучить
проекцию $\PP^n_Y \to Y$; это делается так же, как для точки, и мы
опускаем доказательство для экономии места.

Отметим, что -- это выяснил Делинь -- теорему~\ref{dv} можно вывести
из совершенно общих соображений гомологической алгебры; важно только
то, что прямой образ $f_*$ и его производные сохраняют когерентность
(условие конечности). В частности, проективность морфизма и
конкретное вычисление, давшее нам дуализующий комплекс на $\PP^n_k$,
здесь совершенно не важны -- условие проективности можно заменить на
собственность. Тем самым, если схема $X$ снабжена собственным
морфизмом в схему $Y$, и у $Y$ есть дуализующий комплекс, то он есть
и у $X$: $\omega^\hdot_X = f^!\omega^\hdot_Y$. В частности, любая
схема, собственная над $\Spec k$, имеет дуализующий комплекс.

Если условие конечности не выполнено, теорема~\ref{dv} не может
работать. Уже в самом простом примере $Y= \Spec k$, $X = \Spec A$
для какой-то $k$-алгберы $A$, бесконечномерной как $k$-векторное
пространство, мы видим, что $f^!k$ должно было бы быть $A$-модулем
$A^*$ -- двойственным векторным пространством с естественной
структурой $A$-модуля. Но это векторное пространство совершенно
огромное, континуальной по крайней мере размерности, и ведет себя
плохо (в частности, $(A^*)^*$ не равно $A$, а кроме того, все
конструкции перестают коммутировать с индуктивными пределами,
локализацией и т.д.). Философски говоря, $A^*$ надо рассматривать не
как векторное пространство, т.е. индуктивный предел конечномерных
векторных пространств, а как векторное пространство {\em с
топологией}, т.е. проективный предел пространств, причем
конечномерных -- объект такого же рода как, скажем, пополнение
$\wh{A}$. Иными словами, категория, двойственная к категории {\em
всех} векторных пространств, вовсе ей не эквивалентна. Тем не менее,
это тоже абелева категория, с которой можно работать. Доказательство
Делиня основано на далеком развитии этой идеи: он, стартуя с
категории когерентных пучков, определяет некоторую категорию,
``двойственную'' к категории пучков квазикогерентных, и полученную
добавлением {\em проективных} пределов, показывает что в ней
гомологическая алгебра тоже работает, а функтор $f^!$ определен по
тавтологическим причинам, а дальше показывает, что если рассмотреть
комплексы таких странных ``про-когерентных'' пучков, но с
когерентными когомологиями, получится все равно обычная производная
категория $D^+(X)$.

\subsection*{Локальная двойственность.}

Довольно часто надо также рассматривать схемы, собственные или
проективные не над $\Spec k$, а над $\Spec A$ для какого-то
локального кольца $A$ размерности $d$ (скажем, нам дан проективный
морфизм $f:X \to Y$, и мы хотим изучать его локально по $Y$). В этом
случае теорему~\ref{dv} можно скрестить не с двойственностью для
векторных пространств над полем, а с уже известной нам
двойственностью для модулей конечной длины над локальным кольцом
(она, кстати, называется двойственность Матлиса). Тут возникает
техническая проблема. В нашем подходе, дуализующий комплекс это
комплекс с когерентными -- на языке модулей, конечно порожденными --
когомологиями. В то же время, в двойственности Матлиса роль
дуализующего объекта выполняет инъективная оболочка $I_k$, которая
не такова.

Иными словами, и дуализующий комплекс $\omega^\hdot_A$ -- если он
есть -- и инъективная оболочка $I_k$ характеризуются одним и тем же
свойством:
\begin{itemize}
\item $\Ext^i(k,I_k) = \Ext^i(k,\omega^\hdot_A) = 0$ при $i \neq 0$,
а $\Ext^0(k,I_k)=\Ext^0(k,\omega^\hdot_A)=k$.
\end{itemize}
Будь они модулями конечной длины, из этого следовало бы, что они
совпадают; но $I_k$ это только индуктивный предел модулей конечной
длины, а $\omega^\hdot_A$ это наоборот комплекс с когомологиями хоть
и конечно порожденными, но не сосредоточенными в $\{\m\} \in \Spec
A$. Поэтому это существенно разные вещи. В частности,
$\omega^\hdot_A$ не обязан существовать.

Существование $\omega^\hdot_A$ легко выводится из общей теории для
таких $A$, которые получаются из проективных схем как локальные
кольца в замкнутых точках (геометрическая ситуация). Более общо, мы
знаем, что $\omega^\hdot_A$ существует для {\em регулярных} колец --
а именно, $\omega^\hdot_A \cong A[d]$. Применяя Лемму~\ref{facto},
легко выводим, что $\omega^\hdot_A$ существует для факторкольца
$B/I$ регулярного локального кольца $B$ по какому-либо идеалу
$I$. Условие регулярности на $B$ можно ослабить.

\begin{opr}
Локальное кольцо $A$ размерности $d$ называется {\em
горенштейновым}, если $A[d]$ -- дуализующий комплекс для $A$.
\end{opr}

\begin{exc}
Докажите, что кольцо $A$ горенштейново тогда и только тогда, когда
$\Ext^d(k,A)=k$ и $\Ext^i(k,A)=0$ при $i \neq d$
\end{exc}

При этом надо понимать, что горенштейновость не влечет регулярность:
хотя $\Ext^i(k,A)$ равно нулю при $i > d$, вполне могут быть
нетривиальные $\Ext^i(k,N)$ для любого $i$ и какого-либо другого
$A$-модуля $N$. В частности, если $d=0$, то кольцо $A$ регулярно
только в тривиальном случае $A=k$. А горенштейново оно тогда и
только тогда, когда $A^* \cong A$, и примеров таких колец довольно
много.

Кроме того, существование дуализующего комплекса можно доказать для
{\em полных} локальных колец.

\begin{prop}
Пусть $A$ -- полное нетерово локальное кольцо. Тогда существует
дуализующий комплекс $\omega^\hdot_A$.
\end{prop}

\proof{} Рассмотрим комплекс локальных когомологий
$R^\hdot\Gamma_{\m}(A)$, и попробуем применить к нему двойственность
Матлиса. Формально это сделать нельзя, т.к. $H^\hdot_{\m}(A)$ не
есть модули конечно длины; но мы знаем, что $H^\hdot_{\m}(A) =
\lim_{\to}\Ext^\hdot(A/\m^n,A)$, и может взять проективный предел
$$
\omega^\hdot_A = \lim_{\gets}\left(\RHom^\hdot(A/\m^n,A)\right)^* =
\lim_{\gets}\Hom_A(\RHom^\hdot(A/\m^n,A),I_k).
$$
Из того, что кольцо $A$ полно, легко следует, что когомологии
комплекса $\omega^\hdot_A$ -- {\em конечно порожденные} $A$-модули.
Мы утверждаем, что это дуализующий комплекс. Действительно,
$$
\begin{aligned}
\Ext^\hdot(k,\omega^\hdot_A) &=
\lim_{\gets}\Ext^\hdot(k,\left(\RHom^\hdot(A/\m^n,A)\right)^*) =
\lim_{\gets}\Ext^\hdot(\RHom^\hdot(A/\m^n,A),k) 
& = \Ext^\hdot(\R^\hdot\Gamma_{\m}(A),k),
\end{aligned}
$$
где среднее равенство есть как раз двойственность Матлиса. В силу
\eqref{loc}, правая часть отличается от $\Ext^\hdot(A,k)=k$ на
$\Ext^\hdot(R^\hdot\Gamma(U,\calo_U),k)$, и надо только доказать,
что это отличие равно нулю. На самом деле
$\Ext^\hdot(R^\hdot\Gamma(U,\F),k) = 0$ для любого квазикорегентного
пучка $\F$ на $U$; доказывается это, так же как Лемма~\ref{hom.dim},
индукцией по $\dim \Supp \F$. Сводим вопрос к когерентному $\F$ с
неприводимым носителем; выбираем $x \in \m$, не обращающееся в $0$
на $\Supp \F \subset U$, и рассматривам точную последовательность
$$
\begin{CD}
0 @>>> \F @>>> j_*j^*\F @>>> \F/(j_*j^*\F) @>>> 0,
\end{CD}
$$
где $j$ -- вложение $j:\Spec A(x^{-1}) \to U$. Тогда носитель правой
части строго меньше, чем носитель $\F$, и по индукции достаточно
доказать утверждение для $\F = j_*j^*\F$, т.е. можно заменить $U$ на
аффинное множество $\Spec A(x^{-1})$, а $\F$ -- на локализацию
какого-нибудь $A(x^{-1})$-модуля $M$. Но тогда умножение на $x$
обратимо на $M$, а стало быть, и на
$\Ext^\hdot(R^\hdot\Gamma(U,\F),k) = 0$ -- а другой стороны, $x$
действует нулем на $k$.
\endproof

Таким образом, и для полных локальных колец, и для локальных колец
``геометрического происхождения'', т.е. локализаций $k$-алгебр
конечного типа, дуализующий комплекс существует. Между этими двумя
типами колец есть огромный зазор, в котором живут все контрпирмеры в
коммутативной алгебре; в частности, бывают локальные кольца, для
которых дуализующий комплекс построить нельзя. К счастью, в
алгебраической геометрии такие кольца большая редкость.

\begin{exc}
Пусть $A$ -- локальное кольцо, допускающее дуализующий комплекс
$\omega_A^\hdot$. Докажите, что $A$ -- кольцо Коэна-Маколея
(т.е. $\depth A = \dim A$) тогда и только тогда, когда все
когомологии комплекса $\omega^\hdot_A$ сосредоточены в одной степени
(говорят ``дуализующий комплекс есть пучок'').
\end{exc}

\subsection*{Дуализующий комплекс и дифференциалы.}

Последнее, что надо рассказать про двойственность -- это связь
дуализующего комплекса и так называемого канонического расслоения.

Пусть дана гладкая схема $X$ размерности $d$ над полем
$k$. Поскольку $X$ гладкая, пучок дифференциалов $\Omega^1(X/k)$ --
плоский, локально свободный пучок ранга $d$. Можно поэтому
рассматривать его внешние степени $\Omega^i(X/k)$ -- так называемые
пучки дифференциальных форм.

\begin{opr}
Пучок $K_X=\Omega^d(X/k)$ дифференциальных форм старшей степени на
$X$ называется {\em каноническим пучком} гладкой схемы $X$.
\end{opr}

Из линейной алгебры видно, что $K_X$ -- локально свободный пучок
ранга $1$; поэтому его еще называют каноническим линейным
расслоением.

\begin{lemma}
Пусть $i:Y \to X$ -- замкнутое вложение гладкой схемы $Y$ над полем
$k$ в гладкую схему $X$ над тем же полем, и пусть $d = \dim X - \dim
Y$. Тогда $R^j i^!K_X = K_Y$ при $i = d$, и равно нулю при других
$j$.
\end{lemma}

\proof{} Выберем открытое аффинное покрытие схемы $X$; достаточно
построить для каждого элемента $U \subset X$ этого покрытия
отождествление $R^\hdot i^!K_U \cong K_{U \cap Y}[-d]$, причем
сделать это так, чтобы отождествения были согласованы на
пересечениях. Поскольку $Y \subset X$ -- гладкая подсхема гладкой
схемы, локально она задается $d$ уравнениями, т.е. можно считать,
что $X = \Spec A$, $Y = \Spec A/I$, и идеал $I \subset A$ порожден
$d$ элементами $x_1,\dots,x_d$. Кроме того, можно считать, что
$A/I$-модуль $\Omega^1((A/I)/k)$ свободный и порожден $n=\dim Y$
$1$-формами $dy_1,\dots,dy_n$. Тогда
$dx_1,\dots,dx_d,dy_1,\dots,dy_n$ дают $A$-базис в
$\Omega^1(A/k)$. Нам надо вычислить $\Ext^\hdot(A/I,K_X)$. Это можно
сделать с помощью комплекса Кошуля; получаем отождествление
$\Ext^d(A/I,K_X) \cong K_Y$, и непосредственно проверяем, что оно не
зависит от выбора $x_i$ и $y_i$.
\endproof

\begin{corr}
Для любой гладкой проективной схемы $X/k$, дуализующий комплекс
$\omega^\hdot_X$ есть канонический пучок $K_X$, помещенный в степень
$-\dim X$.
\end{corr}

\proof{} Поскольку мы знаем, как ведут себя канонические пучки при
гладких вложениях, надо только проверить утверждение для $X =
\PP^n_k$, т.е. доказать, что $K_X \cong \calo(-(n+1))$; это
несложное вычисление.
\endproof

Итак, для гладких проективных схем над полем полученный абстрактно
``дуализующий комплекс'' есть просто каноническое расслоение,
сдвинутое вниз на $-\dim X$.

Это обстоятельство, конечно же, крайне важно в приложениях -- вот
пример.

\begin{exc}
Докажите, что для гладкой проективной кривой $X$ над полем $k$
арифметический род равен размерности векторного пространства
$H^0(X,\Omega^1_X)$ (``число независимых дифференциалов'').
\end{exc}

Кроме того, оно важно по историческим причинам -- например, в
первоначальной формулировке теоремы двойственности, которую доказал
Серр, фигурировало именно каноническое расслоение $K_X$. Однако с
современной точки зрения, надо четко понимать, что есть две
совершенно независимые задачи: построение абстрактной теории
двойственности, и вычисление конкретного дуализующего комплекса для
гладких схем.

К сожалению, довольно долго стандартным и единственным источником по
двойственности Гротендика-Серра была книга Хартсхорна ``Residues and
duality'' -- запись семинара под руководством Гротендика -- где,
по-видимому из-за недопонимания автора, этот вопрос безнадежно
запутан. Там сразу введено именно каноническое расслоение. Для того,
чтобы доказать двойственность -- например, построить для $K_X$
отображение следа -- используется довольно изящная, но в общем
ненужная техника так называемых ``вычетов''. В довершение ужаса, в
этой технике нужно доказывать, что вычет не зависит от выбора
локальных координат; а поскольку Хартсхорн писал получерновик,
бесконечное количество утверждений типа ``существует канонический
изоморфизм'' там не доказано вообще. Дошло до того, что сейчас
возникла целая индустрия по переписыванию Хартсхорна набело -- на
сети есть несколько довольно длинных книг, где это сделано с той или
иной степенью полноты. Во избежание недоразумений, отметим, что все
это очень интересно, но абсолютно ненужно. Во-первых, для построения
двойственности не надо даже знать, что такое пучок
дифференциалов. Во-вторых, если все же пользоваться вычетами, то
есть очень красивый метод Тэйта в размерности 1, который обобщается
на высшие размерности с помощью современной техники
т.н. ``хохшильдовских гомологий'' абелевых категорий, и дает
определение вычета без всякого использования локальных
координат. Этот же метод, без использования вычетов, дает
отображение следа для $K_X$. В общем, единственное, что нужно читать
в книге Хартсхорна, это приложение, которое -- по-видимому, в
качестве превентивной меры -- написал Делинь, и где и построена
инвариантная общая теория двойственности, функтор $f^!$, и доказана
в максимальной полноте наша теорема~\ref{dv}.

\bigskip

\noindent
На этом и закончим.

\end{document}