\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\CA}{{\mathcal A}} \newcommand{\CE}{{\mathcal E}} \newcommand{\CF}{{\mathcal F}} \newcommand{\CG}{{\mathcal G}} \newcommand{\CH}{{\mathcal H}} \newcommand{\CJ}{{\mathcal J}} \newcommand{\CK}{{\mathcal K}} \newcommand{\CL}{{\mathcal L}} \newcommand{\CV}{{\mathcal V}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\CO}{{\mathcal O}} \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\Pp}{{\mathbb P}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\qq}{\mathfrak q} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\calo}{{\mathcal O}} \newcommand{\F}{{\mathcal F}} \newcommand{\E}{{\mathcal E}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}} \newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}} \newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}} \newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}} \newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006} \begin{document} \setcounter{section}{16} \stepcounter{section} \section*{Лекция 17.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Спектральная последовательность Лере. Когерентность высших прямых образов при проективном морфизме. Теорема полунепрерывности. \end{minipage} \end{center} \subsection*{Функториальность и когерентность высших прямых образов} Пусть $f:X \to Y$ и $g:Y \to Z$ --- морфизмы. Естественный вопрос --- как связаны функторы $R^jg_*\circ R^if_*$ и функторы $R^k(g\circ f)_*$. Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим произвольный пучок $\CF$ на $X$ и выберем вялую резольвенту $\CF \to \CF^\hdot$. Тогда $f_*(\CF^\hdot)$ --- комплекс вялых пучков, причем $\CH^i(f_*(\CF^\hdot)) \cong R^if_*(\CF)$. Теперь разрежем комплекс $f_*(\CF^\hdot)$ на короткие тройки $$ 0 \to Z^p \to f_*(\CF^p) \to B^{p+1} \to 0, \qquad 0 \to B^p \to Z^p \to \CH^p \to 0 $$ и выберем у пучков $B^p$ и $\CH^p$ инъективные резольвенты $B^p \to B^{p\hdot}$, $\CH^p \to \CH^{p\hdot}$. \begin{exc} Если $0 \to A \to B \to C \to 0$ --- точная последовательность, а $A \to A^\hdot$ и $C \to C^\hdot$ --- инъективные резольвенты, то найдется инъективная резольвента $B \to B^\hdot$, и точная последовательность резольвент $0 \to A^\hdot \to B^\hdot \to C^\hdot \to 0$, причем каждая тройка $0 \to A^n \to B^n \to C^n \to 0$ расщепима. \end{exc} Воспользуемся дважды упражнением и построим инъективные резольвенты $Z^p \to Z^{p\hdot}$ и $f_*(\CF^p) \to \CF^{p\hdot}$, вкладывающиеся в (почленно расщепимые) точные тройки $$0 \to B^{p\hdot} \to Z^{p\hdot} \to \CH^{p\hdot} \to 0 \qquad 0 \to Z^{p\hdot} \to \CF^{p\hdot} \to B^{p+1\hdot} \to 0. $$ Заметим, что композиции $\CF^{p\hdot} \to B^{p+1\hdot} \to Z^{p+1\hdot} \to \CF^{p+1\hdot}$ превращают $\CF^{\hdot\hdot}$ в бикомплекс. Рассмотрим бикомплекс $g_*(\CF^{\hdot\hdot})$ и изучим его когомологии. Начнем с общей науки. Пусть $C^{\hdot\hdot}$ --- бикомплекс с дифференциалами $d_I$ и $d_{II}$. По нему можно построить комплекс $\Tot(C^{\hdot\hdot})^\hdot$, называемый тотальным комплексом или сверкой: $$ \Tot(C^{\hdot\hdot})^n = \oplus_{p+q = n} C^{pq}, \qquad D_{|C^{pq}} = d^p_I + (-1)^pd^q_{II}. $$ Теперь вычислим когомологии комплекса $T^\hdot = \Tot(C^{\hdot\hdot})\hdot$. Рассмотрим на тотальном комплексе $T^\hdot$ фильтрацию $F^sT^n = \oplus_{p+q=n,\ p\ge s} C^{pq}$. Ясно, что фильтрация согласована с дифференциалом и индуцирует фильтрацию $F^\hdot\CH^\hdot(T^\hdot)$ на когомологиях комплекса $T^\hdot$. Опишем $Gr_F^m\CH^n(T^\hdot)$. Для этого надо описать все элементы $x_{m,n-m} \in C^{m,n-m}$, которые можно дополнить элементами $x_{pq}$, $p+q = n$, $p>m$ до элемента из $\Ker D$, с точностью до тех, которые происходят из некоторого $y_{m,n-1-m} \in C^{m,n-1-m}$. Ясно, что необходимым условием является $d_{II}(x_{m,n-m}) = 0$, то есть $x_{m,n-m}$ определяет некоторый класс в $\CH_{II}^{n-m}(C^{m\hdot})$. Следующее условие состоит в том, что $d_{I}(x_{m,n-m}) = \pm d_{II}(x_{m+1,n-1-m})$, то есть $x_{m,n-m}$ дает некоторый класс в $\CH_I^m(\CH_{II}^{n-m}(C^{\hdot\hdot}))$. Следующее условие состоит в том, что $d_I(x_{m+1,n-1-m}) = \pm d_{II}(x_{m+2,n-2-m})$. Заметим, что сопоставление $x_{m,n} \mapsto d_I(x_{m+1,n-1-m})$, где $x_{m+1,n-1-m}$ определяется равенством $d_{I}(x_{m,n-m}) = \pm d_{II}(x_{m+1,n-1-m})$ --- корректно определенный гомоморфизм $\CH_I^m(\CH_{II}^{n-m}(C^{\hdot\hdot})) \to \CH_I^{m+2}(\CH_{II}^{n-1-m}(C^{\hdot\hdot}))$, традиционно обозначаемый $d_2^{m,n-m}$. Таким образом, наше очередное условие записывается как $d_2^{m,n-m}(x_{m,n-m}) = 0$. Продолжая в том же духе, можно показать, что происходит следующее являение. Возникает последовательность биградуированных пространств $E_s^{\hdot\hdot}$ и дифференциалов $d_s^{pq}:E_s^{pq} \to E_s^{p+s,q+1-s}$, таких что $E_{s+1}^{pq} = \CH^{p,q}(E_s^{\hdot\hdot},d_s)$ ($E_0^{\hdot\hdot} = C^{\hdot\hdot}$, $d_0 = d_{II}$; $E_1^{\hdot\hdot} = \CH_{II}(C^{\hdot\hdot})$, $d_1 = d_I$; $E_2^{\hdot\hdot} = \CH_I(\CH_{II}(C^{\hdot\hdot}))$, $d_2$ построен выше; и т.д.). Кроме того, в каждой степени $(pq)$ в какой-то момент веремени наступает стабилизация (если, например, $C^{pq} = 0$ при $p\le 0$ или $q\le 0$). Обозначим через $E_\infty^{pq}$ стабилизировавшийся член в степени $(pq)$. Так вот, основное утверждение состоит в том, что $$ Gr_F^m\CH^n(T^\hdot) \cong E_\infty^{m,n-m}. $$ Доказывать его мы не будем --- все желающие могут либо сами проследить, что здесь происходит, либо прочитать доказательство в каком-либо из учебников (например, в Гельфанде--Манине). Вместо этого, обсудим терминологию. Последовательность пространств $E_s^{pq}$ и дифференциалов $d_s$ называется {\em спектральной последовательностью} бикомплекса $C^{\hdot\hdot}$. Биградуированное пространство $E_s^{\hdot\hdot}$ называется $s$-ым членом последовательности, а пространство $E_\infty^{\hdot\hdot}$ --- ее пределом. Итак, описанное нами утверждение можно сформулировать следубщим образом: существует спектральная последовательность со вторым членом $E_2^{\hdot\hdot} = \CH_I(\CH_{II}(C^{\hdot\hdot}))$, которая сходится к $\CH^\hdot(\Tot(C^{\hdot\hdot}))$ (т.е. на $\CH^\hdot(\Tot(C^{\hdot\hdot}))$ есть фильтрация $F^\hdot$, такая что $Gr_F^m\CH^\hdot(\Tot(C^{\hdot\hdot})) = E_\infty^{m,n-m}$). Заметим также, что когда мы строили спектральную последовательность бикомплекса, мы начинали с дифференциала $d_{II}$. Точно так же мы могли начать с дифференциала $d_I$, и получить другую спектральную последовательность со вторым членом $E_2^{\hdot\hdot} = \CH_{II}(\CH_I(C^{\hdot\hdot}))$, которая сходится к тому же самому прсотранству $\CH^\hdot(\Tot(C^{\hdot\hdot}))$ (правда с другой фильтрацией!). Сравним теперь две спектральные последовательности бикомплекса $g_*(\CF^{\hdot\hdot})$. Рассматривая когомологии относительно $d_{II}$ и пользуясь инъективностью пучков $\CF^{pq}$, мы видим, что $E_1^{pq} = g_*f_*\CF^p$ при $q=0$ и $0$ иначе. Рассматривая когомологии относительно $d_{II}$ и пользуясь вялостью пучков $\CF^{p}$, мы видим, что $E_2^{pq} = R^p(g\circ f)_*(\CF)$ при $q=0$ и $0$ иначе. Отсюда заключаем, что $\CH^n(\Tot(g_*(\CF^{\hdot\hdot}))) = R^n(g\circ f)_*\CF$. Рассмотрим теперь вторую спектральную последовательность. Пользуясь расщепимостью точных последовательностей, получаем, что $E_1^{pq} = g_*\CH^{pq}$. Пользуясь инъективностью пучков $\CH^{pq}$, мы видим, что $E_2^{pq} = R^qg_*(\CH^p) = R^qg_*(R^pf_*(\CF))$. Итак, \begin{thm} Существует спектральная последовательность, второй член которой равен $E_2^{pq} = R^qg_*(R^pf_*(\CF))$, сходящаяся к $R^n(g\circ f)_*(\CF)$. \end{thm} Эта спектральная последовательность называется \emph{спектральной последовательностью Лере}. \begin{exc}\label{hypercoh} Пусть $\CF^\hdot$ --- комплекс пучков на нетеровой схеме $X$, а $f:X \to Y$ --- морфизм схем. Докажите, что существуют две спектральные последовательности с начальными членами ${}'E_1^{p,q} = R^qf_*\CF^p$ и ${}''E_2^{p,q} = R^qf_*\CH^p(\F^\hdot)$, сходящиеся к одному и тому же пучку ${\mathbb R}^nf_*(\CF^\hdot)$ (который называется $n$-ым гиперпрямым образом комплекса $\CF^\hdot$, а в случае когда $Y = \Spec k$ --- $n$-ыми гиперкогомологиями). \end{exc} \begin{corr}\label{hrfs} Если $f:X \to Y$ --- морфизм схем, а $\CF$ --- пучок на $X$, то существует спектральная последовательность $E_2^{p,q} = H^p(Y,R^qf_*(\CF)) \Rightarrow H^n(X,\CF)$. \end{corr} \begin{thm} Если морфизм схем $f:X \to Y$ проективен, а пучок $\CF$ на $X$ когерентен, то пучок $R^if_*(\CF)$ на $Y$ когерентен. \end{thm} \proof{} Вопрос локален, можно считать $Y$ аффинным. Кроме того, пучки $R^jf_*(\CF)$ квазикогерентны, поэтому не имеют на $Y$ старших когомологий. Значит спектральная последовательность следствия Лере $H^p(Y,R^qf_*(\CF)) \Rightarrow H^n(X,\CF)$ вырождается во втором члене и дает изоморфизм $A$-модулей $H^i(X,\CF) \cong \Gamma(Y,R^if_*(\CF))$. Таким образом, остается проверить, что $H^i(X,\CF)$ является конечно порожденным $A$-модулем. \endproof \begin{lemma} Если $X$ --- проективная схема над кольцом $A$, а $\CF$ --- когерентный пучок на $X$, то $H^k(X,\CF)$ является конечно порожденным $A$-модулем. \end{lemma} \proof{} Выберем замкнутое вложение $i:X \to \Pp^N_A$ в проективное пространство и рассмотрим спектральную последовательность Лере $H^p(\Pp^N_A,R^qi_*(\CF)) \Rightarrow H^n(X,\CF)$. Так как морфизм $i$ является аффинным, имеем $R^{>0}i_*(\CF) = 0$, поэтому спектральная последовательность вырождается во втором члене и дает изоморфизм $H^k(X,\CF) \cong H^k(\Pp^N_A,i_*\CF)$. Таким образом, меняя $\CF$ на $i_*\CF$, сводим все к случаю $X = \Pp^N_A$. Итак, пусть $\CF$ --- когерентный пучок на $\Pp^N_A$. В прошлом семестре мы доказывали, что найдется целое число $n_0$, такое что пучок $\CF(n_0)$ порождается глобальными сечениями. Следовательно, существует эпиморфизм $\CO(-n_0)^{m_0} \to \CF$. Применяя ту же конструкцию к его ядру, получаем точную последовательность $\CO(-n_1)^{m_1} \to \CO(-n_0)^{m_0} \to \CF \to 0$. Продолжая таким же образом, строим левую резольвенту пучка $\CF^\hdot \to \CF$, в которой все пучки являются кратностями обратимых $\CF^p = \CO(-n_p)^{m_p}$. Рассмотрим теперь спектральные последовательности гиперкогомологий комплекса $\CF^\hdot$ (см.\ упр.~\ref{hypercoh}). Имеем ${}''E_2^{p,q} = H^q(\Pp^N_A,\CH^p(\CF^\hdot)) = H^q(\Pp^N_A,\CF)$ при $p=0$ и нулю при $p\ne 0$. Поэтому вторая спектральная последовательность вырождается во втором члене и дает изоморфизм ${\mathbb H}^n(\Pp^N_A,\CF^\hdot) = H^n(\Pp^N_A,\CF)$. С другой стороны, ${}'E_1^{p,q} = H^q(\Pp^N_A,\CF^p) = H^q(\Pp^N_A,\CO(-n_p)^m_p)$. Когомологии пучков $\CO(-n)$ на проективном пространстве были нами посчитаны явно, из этих вычислений в частности следует, что они являются конечно порожденными $A$-модулями. Таким образом, мы построили спектральную последовательность, первый член которой состоит из конечно порожденных $A$-модулей, и которая сходится к $H^n(\Pp^N_A,\CF)$. Отсюда очевидно следует конечная порожденность $H^n(\Pp^N_A,\CF)$. \endproof \subsection*{Теорема полунепрерывности} Напомним теорему о замене базы, доказанную на прошлой лекции. Пусть $f:X \to Y$ --- проективный морфизм нетеровых схем, $s:Y' \to Y$ --- замена базы и $X' = X\times_Y Y'$. Рассмотрим диаграмму замены базы $$ \begin{CD} X' @>{s}>> X \\ @V{f}VV @VV{f}V \\ Y' @>{s}>> Y \end{CD} $$ \begin{thm} Если $\CF$ --- когерентный пучок на $X$ плоский над $Y$, то морфизм функторов дает изоморфизм $Ls^* Rf_*\CF \cong Rf_* s^*\CF$. \end{thm} Эта теорема была доказана при условии, что $f$ --- плоский морфизм, а пучок $\CF$ на $X$ плоский. На самом деле, доказательство (на основе комплекса Чеха) полностью переносится на случай произвольного морфизма и пучка, плоского над $Y$. Рассмотрим теперь специальную ситуацию. Пусть $Y' = y$ --- точка схемы $Y$, так что $X' = X_y$ --- слой схемы $X$ над точкой $y$. Диаграмма замены базы в этом случае принимает вид $$ \begin{CD} X_y @>{s}>> X \\ @V{f}VV @VV{f}V \\ y @>{s}>> Y \end{CD} $$ а изоморфизм замены базы принимает вид $Ls^*Rf_*\CF \cong R\Gamma(X_y,\CF_{|X_y})$. Таким образом, мы можем сравнивать когомологии пучка $\CF_{|X_y}$ со слоями пучков $R^if_*\CF$ в точке $y$. Чтобы сформулировать точное утверждение нам понадобится: \begin{opr} Функция $\varphi:Y \to \ZZ$ на топологическом пространстве $Y$ называется \emph{полунепрерывной сверху}, если для всякой точки $y\in Y$ найдется окрестность $y\in U \subset Y$, такая что $\varphi(y') \le \varphi(y)$ для всех $y'\in U$. \end{opr} Заметим, что непрерывная целочисленная функция обязательно локально постоянна. \begin{lemma}\label{rank_usc} Если $F$ --- когерентный пучок на схеме $Y$, то функция $\phi(y) = \dim_{k(y)}(F \otimes k(y))$ полунепрерывна сверху. Более того, если эта функция локально постоянна, то пучок $F$ локально свободен. \end{lemma} \proof{} Вопрос локален, поэтому можно считать, что $Y = \Spec A$, $A$ --- локальное кольцо, и $F$ соответствует $A$-модулю $M$. Предположим, что значение функции $\phi$ в замкнутой точке $y \in Y$ равно $d$. Выберем базис в $M\otimes k(y)$, поднимем его в $M$ и рассмотрим соответствующий гомоморфизм $A^d \to M$. Он сюръективен по лемме Накаямы. Пусть $R$ --- его ядро. Для всякой точки $y'\in Y$ получаем точную последовательность $$ R\otimes k(y') \to k(y')^d \to M\otimes k(y') \to 0 $$ векторных пространств над $k(y')$. Отсюда $\dim (M\otimes k(y')) \le d$, что и требовалось. Предположим теперь, что $\phi(y') = d$ для всех $y'\in Y$. Морфизм $k(y')^d \to M\otimes k(y')$ является сюръективным морфизмом векторных пространств одинаковой размерности, значит он изоморфизм. Поскольку это верно для любой точки $y'$, получаем изоморфизм $A^d \cong M$, значит $M$ свободен. \endproof \begin{thm} Если $f:X \to Y$ --- проективный морфизм схем, а $\CF$ --- когерентный пучок на $X$ плоский над $Y$, то функция $h^i(y,\CF) = \dim_{k(y)} H^i(X_y,\CF_{|X_y})$ полунепрерывна сверху на~$Y$. Если же функция $h^i(y,\CF)$ постоянна, то пучок $R^if_*(\CF)$ локально свободен и для всякой точки $y\in Y$ имеем изоморфизм $R^if_*(\CF)\otimes k(y) \cong H^i(X_y,\CF_{|X_y})$. \end{thm} \proof{} %Для доказательства полунепрерывности достаточно проверить, что значение %функции $h^i(\CF)$ не уменьшается при специализации в точку коразмерности 1. %Таким образом, можно считать, что $Y = \Spec A$, где $A$ --- регулярное локальное %кольцо размерности $1$ (то есть кольцо дискретного нормирования), $y_0$ и $y_1$ --- %общая и замкнутая точки $Y$ соответственно, и надо проверить, что %$h^i(y_0,\CF) \le h^i(y_1,\CF)$. Рассмотрим прямой образ $f_*(C^\hdot(\{U_\alpha\},\CF))$ %комплекса Чеха пучка $\CF$. Это ограниченный сверху комплекс квазикогерентных %плоских пучков на $Y$, имеющий когерентные когомологии. Заметим, что для всякого %такого комплекса $C^\hdot$ найдется квазиизоморфный ему комплекс $L^\hdot$, составленный %из локально свободных пучков конечного ранга. Построить его можно индуктивно. % Выберем аффинное покрытие схемы $X$ и рассмотрим прямой образ комплекса Чеха $C^\hdot := f_*C^\hdot(\{U_\alpha\},\CF)$ пучка $\CF$. По теореме о замене базы имеем $h^i(y,\CF) \cong \dim_{k(y)}\CH^i(C^\hdot \otimes k(y))$. Заметим, что комплекс $C^\hdot$ в этой формуле можно заменить на некоторый комплекс $L^\hdot$, составленный из локально свободных пучков конечного ранга. Построить его можно индуктивно. Про комплекс $C^\hdot$ достаточно знать лишь то, что он ограничен сверху и имеет когерентные когомологии. Пусть $C^k = 0$ при $k\ge n_0$. Положим $L^k = 0$ при $k\ge n_0$. Предположим, что мы уже построили $L^k$ при $k\ge n$, и морфизм комплексов $g:L^\hdot \to C^\hdot$, так, что $\CH^k(g):\CH^k(L^\hdot) \to \CH^k(C^\hdot)$ --- изоморфизм при $k\ge n+1$ и сюръекция при $k=n$. Построим теперь $L^{n-1}$. Пусть $F = \Ker \CH^n(g)$. Заметим, что $\CH^n(L^\hdot) = \Ker(L^n \to L^{n+1}) \subset L^n$, и что $g(F) \subset \Im(C^{n-1} \to C^n)$. Пусть $G = \Ker(C^{n-1} \oplus F \to \Im(C^{n-1} \to C^n))$. Заметим, что проекция $G \to F$ --- сюръективна, а пучок $F$ когерентен (как подпучок когерентного пучка $L^n$). Воспользуемся упражнением \begin{exc} Если $G \to F$ --- сюръективный морфизм из квазикогерентного пучка $G$ в когерентный пучок $F$, то найдется когерентный подпучок $H \subset G$, такой что композиция $H \to G \to F$ сюръективна. \end{exc} Поскольку схема $Y$ аффинна, найдется также локально свободный пучок конечного ранга $M$ и морфизм $M \to G$, такой что композиция $M \to G \to F$ сюръективна. Применяя тот же метод к сюръекции $\Ker(C^{n-1} \to C^n) \to \CH^{n-1}(C^\hdot)$ найдем локально свободный пучок конечного ранга $M'$ и морфизм $M' \to \Ker(C^{n-1} \to C^n)$, такой что композиция $M' \to \CH^{n-1}(C^\hdot)$ сюръективна. Возьмем теперь $L^{n-1} = M \oplus M'$ и определим теперь дифференциал $L^{n-1} \to L^n$ как комопозицию $M \oplus M' \to M \to F \subset L^n$, а морфизм $g^{n-1}:L^{n-1} \to C^{n-1}$ как сумму композиции $M \to G \to C^{n-1}$ и $M' \to \Ker(C^{n-1} \to C^n) \subset C^{n-1}$. Легко видеть, что теперь $\CH^n(g):\CH^n(L^\hdot) \to \CH^n(C^\hdot)$ --- изоморфизм, а $\CH^{n-1}(g):\CH^{n-1}(L^\hdot) \to \CH^{n-1}(C^\hdot)$ --- сюръекция. Применяя индуктивно описанную конструкцию мы получим комплекс $L^\hdot$, составленный из локально свободных пучков конечного ранга и морфизм комплексов $g:L^\hdot \to C^\hdot$, индуцирующий изоморфизм на когомологиях. Заметим, что для всякой точки $y\in Y$ морфизм $g_y:L^\hdot\otimes k(y) \to C^\hdot\otimes k(y)$ --- квазиизоморфизм. \begin{exc} Пусть $g:B^\hdot \to C^\hdot$ --- квазиизоморфизм комплексов плоских $A$-модулей. Докажите, что для любого $A$-модуля $M$ морфизм комплексов $g\otimes 1_M:B^\hdot\otimes_A M \to C^\hdot\otimes_A M$ --- квазиизоморфизм. \end{exc} Таким образом, мы построили комплекс, состоящий из локально свободных пучков конечного ранга $L^\hdot$, такой что $$ R^if_*(\CF) \cong \CH^i(L^\hdot), \qquad\text{и}\qquad H^i(X_{y},\CF_{|X_{y}}) = \CH^i(L^\hdot \otimes k(y)), $$ для всякой точки $y\in Y$. Разрежем комплексы $L^\hdot$ и $L^\hdot \otimes k(y)$ на короткие точные последовательности $$ \begin{array}{lll} 0 \to B^k \to L^k \to W^{k} \to 0, &\qquad& 0 \to \CH^k(L^\hdot) \to W^{k-1} \to B^{k} \to 0,\\ 0 \to B^k_y \to L^k\otimes k(y) \to W^{k}_y \to 0, &\qquad& 0 \to \CH^k(L^\hdot\otimes k(y)) \to W^{k-1}_y \to B^{k}_y \to 0, \end{array} $$ где $B^k = \Im(L^{k-1} \to L^k)$, $W^k = \Coker(L^{k-1} \to L^k)$, $B^k_y = \Im(L^{k-1}\otimes k(y) \to L^k\otimes k(y))$, $W^k_y = \Coker(L^{k-1}\otimes k(y) \to L^k\otimes k(y))$. Поскольку фукнктор тензорного умножения точен справа, заключаем, что $W^k_y = W^k \otimes k(y)$. Комбинируя последние две последовательности, получаем точную последовательность $$ 0 \to \CH^i(L^\hdot\otimes k(y)) \to W^{i-1}\otimes k(y) \to L^i\otimes k(y) \to W^i\otimes k(y) \to 0. \leqno{(*)} $$ Отсюда $h^i(y,\CF) = \dim (W^{i-1}\otimes k(y)) + \dim (W^i\otimes k(y)) - \dim (L^i\otimes k(y))$. Заметим, что первые два слагаемых полунепрерывны сверху по лемме~\ref{rank_usc}, а третье слагаемое постоянно, так как $L^i$ --- локально свободный пучок. Следовательно, функция $h^i(y,\CF)$ полунепрерывна сверху. Если же функция $h^i(y,\CF)$ постоянна, то функции $\dim (W^{i-1}\otimes k(y))$ и $\dim (W^{i}\otimes k(y))$ тоже должны быть постоянны. Применяя лемму~\ref{rank_usc} заключаем, что пучки $W^{i-1}$ и $W^i$ локально свободны. Пользуясь точной последовательностью $$ 0 \to \CH^i(L^\hdot) \to W^{i-1} \to L^i \to W^i \to 0 $$ заключаем, что пучок $R^if_*(\CF) = \CH^i(L^\hdot)$ локально свободен. \begin{exc} Пусть $A$ --- локальное кольцо, а $M$ --- конечно порожденный $A$-модуль, обладающий конечной правой свободной резольвентой $0 \to M \to E_0 \to E_1 \to \dots \to E_n \to 0$. Докажите, что $M$ свободен. \end{exc} Наконец, умножая предыдущую последовательность на $k(y)$ получаем $$ 0 \to R^if_*(\CF) \otimes k(y) \to W^{i-1}\otimes k(y) \to L^i\otimes k(y) \to W^i\otimes k(y) \to 0. $$ Сравнивая ее с последовательностью $(*)$, получаем $$ H^i(X_y,\CF_{|X_y}) = \CH^i(L^\hdot\otimes k(y)) \cong R^if_*(\CF) \otimes k(y), $$ что и требовалось. \endproof \end{document}