\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CG}{{\mathcal G}}
\newcommand{\CH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\CJ}{{\mathcal J}}
\newcommand{\CK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\CL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}}

\newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2006}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{16}
\stepcounter{section}
\section*{������ 17.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
������������ ������������������ ����.
������������� ������ ������ ������� ��� ����������� ��������.
������� �����������������.
\end{minipage}
\end{center}

\subsection*{���������������� � ������������� ������ ������ �������}

����� $f:X \to Y$ � $g:Y \to Z$ --- ��������. ������������ ������ ---
��� ������� �������� $R^jg_*\circ R^if_*$ � �������� $R^k(g\circ f)_*$.

����� �������� �� ���� ������ ���������� ������������ ����� $\CF$
�� $X$ � ������� ����� ����������� $\CF \to \CF^\hdot$.
����� $f_*(\CF^\hdot)$ --- �������� ����� ������,
������ $\CH^i(f_*(\CF^\hdot)) \cong R^if_*(\CF)$.
������ �������� �������� $f_*(\CF^\hdot)$ �� �������� ������
$$
0 \to Z^p \to f_*(\CF^p) \to B^{p+1} \to 0,
\qquad
0 \to B^p \to Z^p \to \CH^p \to 0
$$
� ������� � ������ $B^p$ � $\CH^p$ ����������� �����������
$B^p \to B^{p\hdot}$, $\CH^p \to \CH^{p\hdot}$.

\begin{exc}
���� $0 \to A \to B \to C \to 0$ --- ������ ������������������,
� $A \to A^\hdot$ � $C \to C^\hdot$ --- ����������� �����������,
�� �������� ����������� ����������� $B \to B^\hdot$,
� ������ ������������������ ����������
$0 \to A^\hdot \to B^\hdot \to C^\hdot \to 0$,
������ ������ ������ $0 \to A^n \to B^n \to C^n \to 0$ ���������.
\end{exc}

������������� ������ ����������� � �������� ����������� �����������
$Z^p \to Z^{p\hdot}$ � $f_*(\CF^p) \to \CF^{p\hdot}$, ��������������
� (�������� ����������) ������ ������
$$0 \to B^{p\hdot} \to Z^{p\hdot} \to \CH^{p\hdot} \to 0
\qquad
0 \to Z^{p\hdot} \to \CF^{p\hdot} \to B^{p+1\hdot} \to 0.
$$
�������, ��� ���������� $\CF^{p\hdot} \to B^{p+1\hdot} \to Z^{p+1\hdot} \to \CF^{p+1\hdot}$
���������� $\CF^{\hdot\hdot}$ � ����������. ���������� ���������� $g_*(\CF^{\hdot\hdot})$
� ������ ��� �����������. ������ � ����� �����.

����� $C^{\hdot\hdot}$ --- ���������� � ��������������� $d_I$ � $d_{II}$. �� ���� ����� ��������� �������� $\Tot(C^{\hdot\hdot})^\hdot$,
���������� ��������� ���������� ��� �������:
$$
\Tot(C^{\hdot\hdot})^n = \oplus_{p+q = n} C^{pq},
\qquad
D_{|C^{pq}} = d^p_I + (-1)^pd^q_{II}.
$$
������ �������� ����������� ��������� $T^\hdot = \Tot(C^{\hdot\hdot})\hdot$.
���������� �� ��������� ��������� $T^\hdot$ ����������
$F^sT^n = \oplus_{p+q=n,\ p\ge s} C^{pq}$. ����, ��� ���������� ����������� � ��������������
� ���������� ���������� $F^\hdot\CH^\hdot(T^\hdot)$ �� ������������ ��������� $T^\hdot$.
������ $Gr_F^m\CH^n(T^\hdot)$. ��� ����� ���� ������� ��� �������� $x_{m,n-m} \in C^{m,n-m}$,
������� ����� ��������� ���������� $x_{pq}$, $p+q = n$, $p>m$ �� �������� �� $\Ker D$,
� ��������� �� ���, ������� ���������� �� ���������� $y_{m,n-1-m} \in C^{m,n-1-m}$.
����, ��� ����������� �������� �������� $d_{II}(x_{m,n-m}) = 0$, �� ����
$x_{m,n-m}$ ���������� ��������� ����� � $\CH_{II}^{n-m}(C^{m\hdot})$.
��������� ������� ������� � ���, ��� $d_{I}(x_{m,n-m}) = \pm d_{II}(x_{m+1,n-1-m})$,
�� ���� $x_{m,n-m}$ ���� ��������� ����� � $\CH_I^m(\CH_{II}^{n-m}(C^{\hdot\hdot}))$.
��������� ������� ������� � ���, ��� $d_I(x_{m+1,n-1-m}) = \pm d_{II}(x_{m+2,n-2-m})$.
�������, ��� ������������� $x_{m,n} \mapsto d_I(x_{m+1,n-1-m})$, ��� $x_{m+1,n-1-m}$
������������ ���������� $d_{I}(x_{m,n-m}) = \pm d_{II}(x_{m+1,n-1-m})$ --- ���������
������������ ����������� $\CH_I^m(\CH_{II}^{n-m}(C^{\hdot\hdot})) \to \CH_I^{m+2}(\CH_{II}^{n-1-m}(C^{\hdot\hdot}))$,
����������� ������������ $d_2^{m,n-m}$. ����� �������, ���� ��������� �������
������������ ��� $d_2^{m,n-m}(x_{m,n-m}) = 0$. ��������� � ��� �� ����, ����� ��������,
��� ���������� ��������� ��������. ��������� ������������������ ����������������
����������� $E_s^{\hdot\hdot}$ � �������������� $d_s^{pq}:E_s^{pq} \to E_s^{p+s,q+1-s}$,
����� ��� $E_{s+1}^{pq} = \CH^{p,q}(E_s^{\hdot\hdot},d_s)$
($E_0^{\hdot\hdot} = C^{\hdot\hdot}$, $d_0 = d_{II}$;
$E_1^{\hdot\hdot} = \CH_{II}(C^{\hdot\hdot})$, $d_1 = d_I$;
$E_2^{\hdot\hdot} = \CH_I(\CH_{II}(C^{\hdot\hdot}))$, $d_2$ �������� ����; � �.�.).
����� ����, � ������ ������� $(pq)$ � �����-�� ������ �������� ��������� ������������
(����, ��������, $C^{pq} = 0$ ��� $p\le 0$ ��� $q\le 0$). ��������� ����� $E_\infty^{pq}$
������������������� ���� � ������� $(pq)$. ��� ���, �������� ����������� ������� � ���, ���
$$
Gr_F^m\CH^n(T^\hdot) \cong E_\infty^{m,n-m}.
$$
���������� ��� �� �� ����� --- ��� �������� ����� ���� ���� ����������,
��� ����� ����������, ���� ��������� �������������� � �����-���� �� ���������
(��������, � ���������--������). ������ �����, ������� ������������.

������������������ ����������� $E_s^{pq}$ � �������������� $d_s$ ����������
{\em ������������ �������������������} ����������� $C^{\hdot\hdot}$.
���������������� ������������ $E_s^{\hdot\hdot}$ ���������� $s$-�� ������
������������������, � ������������ $E_\infty^{\hdot\hdot}$ --- �� ��������.

����, ��������� ���� ����������� ����� �������������� ��������� �������:
���������� ������������ ������������������ �� ������ ������
$E_2^{\hdot\hdot} = \CH_I(\CH_{II}(C^{\hdot\hdot}))$,
������� �������� � $\CH^\hdot(\Tot(C^{\hdot\hdot}))$
(�.�. �� $\CH^\hdot(\Tot(C^{\hdot\hdot}))$ ���� ���������� $F^\hdot$,
����� ��� $Gr_F^m\CH^\hdot(\Tot(C^{\hdot\hdot})) = E_\infty^{m,n-m}$).

������� �����, ��� ����� �� ������� ������������ ������������������ �����������,
�� �������� � ������������� $d_{II}$. ����� ��� �� �� ����� ������ � ������������� $d_I$,
� �������� ������ ������������ ������������������ �� ������ ������
$E_2^{\hdot\hdot} = \CH_{II}(\CH_I(C^{\hdot\hdot}))$,
������� �������� � ���� �� ������ ������������ $\CH^\hdot(\Tot(C^{\hdot\hdot}))$
(������ � ������ �����������!).

������� ������ ��� ������������ ������������������ ����������� $g_*(\CF^{\hdot\hdot})$.
������������ ����������� ������������ $d_{II}$ � ��������� �������������� ������ $\CF^{pq}$,
�� �����, ��� $E_1^{pq} = g_*f_*\CF^p$ ��� $q=0$ � $0$ �����.
������������ ����������� ������������ $d_{II}$ � ��������� �������� ������ $\CF^{p}$,
�� �����, ��� $E_2^{pq} = R^p(g\circ f)_*(\CF)$ ��� $q=0$ � $0$ �����.
������ ���������, ��� $\CH^n(\Tot(g_*(\CF^{\hdot\hdot}))) = R^n(g\circ f)_*\CF$.

���������� ������ ������ ������������ ������������������.
��������� ������������� ������ �������������������, ��������, ��� $E_1^{pq} = g_*\CH^{pq}$.
��������� �������������� ������ $\CH^{pq}$, �� �����, ���
$E_2^{pq} = R^qg_*(\CH^p) = R^qg_*(R^pf_*(\CF))$. ����,

\begin{thm}
���������� ������������ ������������������, ������ ���� ������� �����
$E_2^{pq} = R^qg_*(R^pf_*(\CF))$, ���������� � $R^n(g\circ f)_*(\CF)$.
\end{thm}

��� ������������ ������������������ ���������� \emph{������������ ������������������� ����}.

\begin{exc}\label{hypercoh}
����� $\CF^\hdot$ --- �������� ������ �� ��������� ����� $X$,
� $f:X \to Y$ --- ������� ����. ��������, ��� ���������� ��� ������������ ������������������
� ���������� ������� ${}'E_1^{p,q} = R^qf_*\CF^p$ � ${}''E_2^{p,q} = R^qf_*\CH^p(\F^\hdot)$,
���������� � ������ � ���� �� ����� ${\mathbb R}^nf_*(\CF^\hdot)$ (������� ���������� $n$-��
����������� ������� ��������� $\CF^\hdot$, � � ������ ����� $Y = \Spec k$ --- $n$-���
������������������).
\end{exc}

\begin{corr}\label{hrfs}
���� $f:X \to Y$ --- ������� ����, � $\CF$ --- ����� �� $X$,
�� ���������� ������������ ������������������ $E_2^{p,q} = H^p(Y,R^qf_*(\CF)) \Rightarrow H^n(X,\CF)$.
\end{corr}

\begin{thm}
���� ������� ���� $f:X \to Y$ ����������, � ����� $\CF$ �� $X$ ����������,
�� ����� $R^if_*(\CF)$ �� $Y$ ����������.
\end{thm}
\proof{}
������ �������, ����� ������� $Y$ ��������. ����� ����, ����� $R^jf_*(\CF)$
���������������, ������� �� ����� �� $Y$ ������� �����������.
������ ������������ ������������������ ��������� ����
$H^p(Y,R^qf_*(\CF)) \Rightarrow H^n(X,\CF)$
����������� �� ������ ����� � ���� ���������� $A$-�������
$H^i(X,\CF) \cong \Gamma(Y,R^if_*(\CF))$. ����� �������,
�������� ���������, ��� $H^i(X,\CF)$ �������� ������� ����������� $A$-�������.
\endproof

\begin{lemma}
���� $X$ --- ����������� ����� ��� ������� $A$, � $\CF$ --- ����������� ����� �� $X$,
�� $H^k(X,\CF)$ �������� ������� ����������� $A$-�������.
\end{lemma}
\proof{}
������� ��������� �������� $i:X \to \Pp^N_A$ � ����������� ������������ � ����������
������������ ������������������ ���� $H^p(\Pp^N_A,R^qi_*(\CF)) \Rightarrow H^n(X,\CF)$.
��� ��� ������� $i$ �������� ��������, ����� $R^{>0}i_*(\CF) = 0$, �������
������������ ������������������ ����������� �� ������ ����� � ���� ����������
$H^k(X,\CF) \cong H^k(\Pp^N_A,i_*\CF)$. ����� �������, ����� $\CF$ �� $i_*\CF$,
������ ��� � ������ $X = \Pp^N_A$.

����, ����� $\CF$ --- ����������� ����� �� $\Pp^N_A$. � ������� �������� �� ����������,
��� �������� ����� ����� $n_0$, ����� ��� ����� $\CF(n_0)$ ����������� ����������� ���������.
�������������, ���������� ���������� $\CO(-n_0)^{m_0} \to \CF$. �������� �� �� �����������
� ��� ����, �������� ������ ������������������ $\CO(-n_1)^{m_1} \to \CO(-n_0)^{m_0} \to \CF \to 0$.
��������� ����� �� �������, ������ ����� ����������� ����� $\CF^\hdot \to \CF$,
� ������� ��� ����� �������� ����������� ��������� $\CF^p = \CO(-n_p)^{m_p}$.
���������� ������ ������������ ������������������ ���������������� ��������� $\CF^\hdot$
(��.\ ���.~\ref{hypercoh}). ����� ${}''E_2^{p,q} = H^q(\Pp^N_A,\CH^p(\CF^\hdot)) = H^q(\Pp^N_A,\CF)$
��� $p=0$ � ���� ��� $p\ne 0$. ������� ������ ������������ ������������������ �����������
�� ������ ����� � ���� ���������� ${\mathbb H}^n(\Pp^N_A,\CF^\hdot) = H^n(\Pp^N_A,\CF)$.
� ������ �������, ${}'E_1^{p,q} = H^q(\Pp^N_A,\CF^p) = H^q(\Pp^N_A,\CO(-n_p)^m_p)$.
����������� ������ $\CO(-n)$ �� ����������� ������������ ���� ���� ��������� ����,
�� ���� ���������� � ��������� �������, ��� ��� �������� ������� ������������ $A$-��������.
����� �������, �� ��������� ������������ ������������������, ������ ���� �������
������� �� ������� ����������� $A$-�������, � ������� �������� � $H^n(\Pp^N_A,\CF)$.
������ �������� ������� �������� ������������� $H^n(\Pp^N_A,\CF)$.
\endproof

\subsection*{������� �����������������}

�������� ������� � ������ ����, ���������� �� ������� ������.
����� $f:X \to Y$ --- ����������� ������� ��������� ����,
$s:Y' \to Y$ --- ������ ���� � $X' = X\times_Y Y'$.
���������� ��������� ������ ����
$$
\begin{CD}
X'     @>{s}>> X        \\
@V{f}VV        @VV{f}V  \\
Y'     @>{s}>> Y
\end{CD}
$$

\begin{thm}
���� $\CF$ --- ����������� ����� �� $X$ ������� ��� $Y$,
�� ������� ��������� ���� ���������� $Ls^* Rf_*\CF \cong Rf_* s^*\CF$.
\end{thm}

��� ������� ���� �������� ��� �������, ��� $f$ --- ������� �������,
� ����� $\CF$ �� $X$ �������. �� ����� ����, ��������������
(�� ������ ��������� ����) ��������� ����������� �� ������
������������� �������� � �����, �������� ��� $Y$.

���������� ������ ����������� ��������. ����� $Y' = y$ --- ����� ����� $Y$,
��� ��� $X' = X_y$ --- ���� ����� $X$ ��� ������ $y$. ��������� ������ ����
� ���� ������ ��������� ���
$$
\begin{CD}
X_y     @>{s}>> X        \\
@V{f}VV         @VV{f}V  \\
y       @>{s}>> Y
\end{CD}
$$
� ���������� ������ ���� ��������� ���
$Ls^*Rf_*\CF \cong R\Gamma(X_y,\CF_{|X_y})$.
����� �������, �� ����� ���������� ����������� ����� $\CF_{|X_y}$
�� ������ ������ $R^if_*\CF$ � ����� $y$.
����� �������������� ������ ����������� ��� �����������:

\begin{opr}
������� $\varphi:Y \to \ZZ$ �� �������������� ������������ $Y$
���������� \emph{��������������� ������}, ���� ��� ������ �����
$y\in Y$ �������� ����������� $y\in U \subset Y$, ����� ���
$\varphi(y') \le \varphi(y)$ ��� ���� $y'\in U$.
\end{opr}

�������, ��� ����������� ������������� ������� ����������� �������� ���������.

\begin{lemma}\label{rank_usc}
���� $F$ --- ����������� ����� �� ����� $Y$, �� �������
$\phi(y) = \dim_{k(y)}(F \otimes k(y))$ �������������� ������.
����� ����, ���� ��� ������� �������� ���������, �� ����� $F$
�������� ��������.
\end{lemma}
\proof{}
������ �������, ������� ����� �������, ��� $Y = \Spec A$,
$A$ --- ��������� ������, � $F$ ������������� $A$-������ $M$.
�����������, ��� �������� ������� $\phi$ � ��������� ����� $y \in Y$
����� $d$. ������� ����� � $M\otimes k(y)$, �������� ��� � $M$ �
���������� ��������������� ����������� $A^d \to M$.
�� ����������� �� ����� �������. ����� $R$ --- ��� ����.
��� ������ ����� $y'\in Y$ �������� ������ ������������������
$$
R\otimes k(y') \to k(y')^d \to M\otimes k(y') \to 0
$$
��������� ����������� ��� $k(y')$. ������ $\dim (M\otimes k(y')) \le d$,
��� � �����������.

����������� ������, ��� $\phi(y') = d$ ��� ���� $y'\in Y$.
������� $k(y')^d \to M\otimes k(y')$
�������� ������������ ��������� ��������� ����������� ���������� �����������,
������ �� ����������. ��������� ��� ����� ��� ����� ����� $y'$, ��������
���������� $A^d \cong M$, ������ $M$ ��������.
\endproof

\begin{thm}
���� $f:X \to Y$ --- ����������� ������� ����, � $\CF$ --- �����������
����� �� $X$ ������� ��� $Y$, �� ������� $h^i(y,\CF) = \dim_{k(y)} H^i(X_y,\CF_{|X_y})$
�������������� ������ ��~$Y$. ���� �� ������� $h^i(y,\CF)$ ���������,
�� ����� $R^if_*(\CF)$ �������� �������� � ��� ������ ����� $y\in Y$
����� ���������� $R^if_*(\CF)\otimes k(y) \cong H^i(X_y,\CF_{|X_y})$.
\end{thm}
\proof{}
%��� �������������� ����������������� ���������� ���������, ��� ��������
%������� $h^i(\CF)$ �� ����������� ��� ������������� � ����� ������������� 1.
%����� �������, ����� �������, ��� $Y = \Spec A$, ��� $A$ --- ���������� ���������
%������ ����������� $1$ (�� ���� ������ ����������� ������������), $y_0$ � $y_1$ ---
%����� � ��������� ����� $Y$ ��������������, � ���� ���������, ���
%$h^i(y_0,\CF) \le h^i(y_1,\CF)$. ���������� ������ ����� $f_*(C^\hdot(\{U_\alpha\},\CF))$
%��������� ���� ����� $\CF$. ��� ������������ ������ �������� ����������������
%������� ������ �� $Y$, ������� ����������� �����������. �������, ��� ��� �������
%������ ��������� $C^\hdot$ �������� ��������������� ��� �������� $L^\hdot$, ������������
%�� �������� ��������� ������ ��������� �����. ��������� ��� ����� ����������.
%
������� �������� �������� ����� $X$ � ���������� ������ ����� ��������� ����
$C^\hdot := f_*C^\hdot(\{U_\alpha\},\CF)$ ����� $\CF$. �� ������� � ������ ���� �����
$h^i(y,\CF) \cong \dim_{k(y)}\CH^i(C^\hdot \otimes k(y))$.
�������, ��� �������� $C^\hdot$ � ���� ������� ����� �������� �� ��������� �������� $L^\hdot$,
������������ �� �������� ��������� ������ ��������� �����. ��������� ��� ����� ����������.
��� �������� $C^\hdot$ ���������� ����� ���� ��, ��� �� ��������� ������ � ����� �����������
�����������.

����� $C^k = 0$ ��� $k\ge n_0$. ������� $L^k = 0$ ��� $k\ge n_0$. �����������, ���
�� ��� ��������� $L^k$ ��� $k\ge n$, � ������� ���������� $g:L^\hdot \to C^\hdot$,
���, ��� $\CH^k(g):\CH^k(L^\hdot) \to \CH^k(C^\hdot)$ --- ���������� ��� $k\ge n+1$
� ��������� ��� $k=n$. �������� ������ $L^{n-1}$. ����� $F = \Ker \CH^n(g)$.
�������, ��� $\CH^n(L^\hdot) = \Ker(L^n \to L^{n+1}) \subset L^n$, � ���
$g(F) \subset \Im(C^{n-1} \to C^n)$. �����
$G = \Ker(C^{n-1} \oplus F \to  \Im(C^{n-1} \to C^n))$.
�������, ��� �������� $G \to F$ --- �����������, � ����� $F$ ����������
(��� �������� ������������ ����� $L^n$). ������������� �����������

\begin{exc}
���� $G \to F$ --- ������������ ������� �� ����������������� ����� $G$
� ����������� ����� $F$, �� �������� ����������� �������� $H \subset G$,
����� ��� ���������� $H \to G \to F$ �����������.
\end{exc}

��������� ����� $Y$ �������, �������� ����� �������� ��������� ����� ��������� ����� $M$
� ������� $M \to G$, ����� ��� ���������� $M \to G \to F$ �����������.
�������� ��� �� ����� � ��������� $\Ker(C^{n-1} \to C^n) \to \CH^{n-1}(C^\hdot)$
������ �������� ��������� ����� ��������� ����� $M'$
� ������� $M' \to \Ker(C^{n-1} \to C^n)$, ����� ��� ���������� $M' \to \CH^{n-1}(C^\hdot)$ �����������.
������� ������ $L^{n-1} = M \oplus M'$ � ��������� ������ ������������ $L^{n-1} \to L^n$
��� ����������� $M \oplus M' \to M \to F \subset L^n$, � ������� $g^{n-1}:L^{n-1} \to C^{n-1}$
��� ����� ���������� $M \to G \to C^{n-1}$ � $M' \to \Ker(C^{n-1} \to C^n) \subset C^{n-1}$.
����� ������, ��� ������ $\CH^n(g):\CH^n(L^\hdot) \to \CH^n(C^\hdot)$ --- ����������, �
$\CH^{n-1}(g):\CH^{n-1}(L^\hdot) \to \CH^{n-1}(C^\hdot)$ --- ���������.


�������� ���������� ��������� ����������� �� ������� �������� $L^\hdot$, ������������
�� �������� ��������� ������ ��������� ����� � ������� ����������
$g:L^\hdot \to C^\hdot$, ������������ ���������� �� ������������.
�������, ��� ��� ������ ����� $y\in Y$ �������
$g_y:L^\hdot\otimes k(y) \to C^\hdot\otimes k(y)$ --- ���������������.

\begin{exc}
����� $g:B^\hdot \to C^\hdot$ --- ��������������� ���������� ������� $A$-�������.
��������, ��� ��� ������ $A$-������ $M$ ������� ����������
$g\otimes 1_M:B^\hdot\otimes_A M \to C^\hdot\otimes_A M$ --- ���������������.
\end{exc}

����� �������, �� ��������� ��������, ��������� �� �������� ��������� ������ ��������� ����� $L^\hdot$,
����� ���
$$
R^if_*(\CF) \cong \CH^i(L^\hdot),
\qquad\text{�}\qquad
H^i(X_{y},\CF_{|X_{y}}) = \CH^i(L^\hdot \otimes k(y)),
$$
��� ������ ����� $y\in Y$.


�������� ��������� $L^\hdot$ � $L^\hdot \otimes k(y)$ �� �������� ������ ������������������
$$
\begin{array}{lll}
0 \to B^k \to L^k \to W^{k} \to 0,
&\qquad&
0 \to \CH^k(L^\hdot) \to W^{k-1} \to B^{k} \to 0,\\
0 \to B^k_y \to L^k\otimes k(y) \to W^{k}_y \to 0,
&\qquad&
0 \to \CH^k(L^\hdot\otimes k(y)) \to W^{k-1}_y \to B^{k}_y \to 0,
\end{array}
$$
��� $B^k = \Im(L^{k-1} \to L^k)$, $W^k = \Coker(L^{k-1} \to L^k)$,
$B^k_y = \Im(L^{k-1}\otimes k(y) \to L^k\otimes k(y))$, $W^k_y = \Coker(L^{k-1}\otimes k(y) \to L^k\otimes k(y))$.
��������� �������� ���������� ��������� ����� ������, ���������,
��� $W^k_y = W^k \otimes k(y)$. ���������� ��������� ��� ������������������, ��������
������ ������������������
$$
0 \to \CH^i(L^\hdot\otimes k(y)) \to W^{i-1}\otimes k(y) \to L^i\otimes k(y) \to W^i\otimes k(y) \to 0.
\leqno{(*)}
$$
������ $h^i(y,\CF) = \dim (W^{i-1}\otimes k(y)) + \dim (W^i\otimes k(y)) - \dim (L^i\otimes k(y))$.
�������, ��� ������ ��� ��������� �������������� ������ �� �����~\ref{rank_usc}, � ������
��������� ���������, ��� ��� $L^i$ --- �������� ��������� �����.
�������������, ������� $h^i(y,\CF)$ �������������� ������.

���� �� ������� $h^i(y,\CF)$ ���������, �� ������� $\dim (W^{i-1}\otimes k(y))$
� $\dim (W^{i}\otimes k(y))$ ���� ������ ���� ���������. �������� �����~\ref{rank_usc}
���������, ��� ����� $W^{i-1}$ � $W^i$ �������� ��������. ��������� ������ �������������������
$$
0 \to \CH^i(L^\hdot) \to W^{i-1} \to L^i \to W^i \to 0
$$
���������, ��� ����� $R^if_*(\CF) = \CH^i(L^\hdot)$ �������� ��������.

\begin{exc}
����� $A$ --- ��������� ������, � $M$ --- ������� ����������� $A$-������,
���������� �������� ������ ��������� ������������
$0 \to M \to E_0 \to E_1 \to \dots \to E_n \to 0$.
��������, ��� $M$ ��������.
\end{exc}

�������, ������� ���������� ������������������ �� $k(y)$ ��������
$$
0 \to R^if_*(\CF) \otimes k(y) \to W^{i-1}\otimes k(y) \to L^i\otimes k(y) \to W^i\otimes k(y) \to 0.
$$
��������� �� � ������������������� $(*)$, ��������
$$
H^i(X_y,\CF_{|X_y}) = \CH^i(L^\hdot\otimes k(y)) \cong R^if_*(\CF) \otimes k(y),
$$
��� � �����������.
\endproof



\end{document}
