\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\CA}{{\mathcal A}} \newcommand{\CE}{{\mathcal E}} \newcommand{\CF}{{\mathcal F}} \newcommand{\CG}{{\mathcal G}} \newcommand{\CH}{{\mathcal H}} \newcommand{\CJ}{{\mathcal J}} \newcommand{\CK}{{\mathcal K}} \newcommand{\CL}{{\mathcal L}} \newcommand{\CV}{{\mathcal V}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\CO}{{\mathcal O}} \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\Pp}{{\mathbb P}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\qq}{\mathfrak q} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\calo}{{\mathcal O}} \newcommand{\F}{{\mathcal F}} \newcommand{\E}{{\mathcal E}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}} \newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}} \newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}} \newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}} \newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \newcommand{\degtr}{\operatorname{{\sf deg\,tr}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006} \begin{document} \setcounter{section}{17} \stepcounter{section} \section*{Лекция 18.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Теорема о формальных функциях. Факторизация Штейна. Глакие морфизмы. Теорема Бертини. \end{minipage} \end{center} \subsection*{Теорема о формальных функциях} Пусть $f:X \to Y$ --- проективный морфизм схем, $y\in Y$ --- точка, и $X_y = X\otimes k(y)$ --- слой схемы $X$ над точкой $y$. Доказанная нами теорема полунепрерывности позволяет при выполнении некоторых условий отождествить слой пучка $R^if_*(\CF)$ в точке $y\in Y$ с пространством $H^i(X_y,\CF_{|X_y})$. В общей ситуации такого изоморфизма конечно нет. Однако, в общей ситуации можно построить изоморфизм пополнения пучка $R^if_*(\CF)$ в точке $y$ с когомологиями пучка $\CF$ на формальной окрестности слоя $X_y$. Точнее говоря, пусть $y\in Y$ --- точка. Пусть $X_y^{(n)} := X \times_Y \Spec (\CO_y/\m_y^n)$ --- $n$-ая инфинитезимальная окрестность слоя $X_y$ схемы $X$ над точкой $y \in Y$. Рассмотрим морфизмы замены базы $R^if_*(\CF) \otimes (\CO_y/\m_y^n) \to H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}})$. Переходя к обратному пределу по $n$ получаем морфизм $R^if_*(\CF)^\wedge_y \to \ilim H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}})$. \begin{thm} Пусть $f:X \to Y$ проективный морфизм, а $\CF$ --- когерентный пучок на $X$. Естественное отображение $R^if_*(\CF)^\wedge_y \to \ilim H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}})$ является изоморфизмом. \end{thm} \proof{} Рассмотрим сначала случай $X = \Pp_Y^N$. Для пучков вида $\CF = \CO_{\Pp^N_Y}(q)$ изоморфизм очевидно следует из непосредственного вычисления прямых образов и когомологий. Пусть теперь $\CF$ --- произвольный пучок. Воспользуемся убывающей индукцией по $i$. При $i > N$ обе стороны обращаются в нуль (как прямые образы так и когомологии можно вычислять по Чеху, а комплекс Чеха на проективном пространстве относительно стандартного покрытия сосредоточен в степенях от $0$ до $N$). Предположим, что для $i>k$ изоморфизм доказан и рассмотрим $i = k$. Выберем пучок $\CE$ вида $\CE = \CO(q)^m$ и сюръекцию $\CE \to \CF$. Пусть $\CG = \Ker(\CE \to \CF)$, так что возникает точная последовательность $$ 0 \to \CG \to \CE \to \CF \to 0. $$ Ограничивая ее на $X_y^{(n)}$ получаем точную последовательность $$ 0 \to \Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^n) \to \CG_{|X_y^{(n)}} \to \CE_{|X_y^{(n)}} \to \CF_{|X_y^{(n)}} \to 0. \leqno{(*)} $$ Появление в этой последовательности $\Tor_1$ --- основная причина того, что на конечном уровне изоорфизм отсутствует. Однако, сейчас мы увидим, что при переход к обратному пределу $\Tor_1$ и, соответственно, появляется изоморфизм. \begin{lemma}\label{ilimhtor} Имеем $\ilim H^i(X_y^{(n)},\Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^n)) = 0$. \end{lemma} \proof{} Достаточно проверить, что для всякого $n$ найдется $m\ge n$, такое что естественное отображение $\Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^m) \to \Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^n)$ зануляется. Это утверждение локально, поэтому можно считать, что $\CF$, $\CG$ и $\CE$ --- пучки на аффинной схеме $\Spec A$, соответствующие конечно порожденным $A$-модулям $F$, $E$ и $G$ соответственно (так что $0 \to G \to E \to F \to 0$ --- точная последовательность), причем модуль $E$ --- свободный. Тогда легко видеть, что пучок $\Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^n)$ соответствует $A$-модулю $\Tor_1(F,A/\aA^n) = (G\cap \aA^nE)/\aA^nG$ и остается заметить, что по лемме Артина--Риса для всякого $n$ найдется $m\ge n$, так что $G \cap \aA^mE \subset \aA^nG$. \endproof Продолжим доказательство теоремы. Заметим, что когомологии любого из членов точной последовательности $(*)$ являются конечно порожденным $\CO_y/\m^n_y$-модулем (так как $X$ проективно над $Y$) над артиновым кольцом $\CO_y/\m^n_y$. \begin{exc} Докажите, что обратный предел в категории конечно-порожденных модулей над артиновым кольцом является точным функтором (указание: воспользуйтесь тем, что любая проективная система $\{M_n\}$ конечно-порожденных модулей над артиновым кольцом удовлетворяет условию Миттаг--Лефлера: для любого $n$ существует $m\ge n$, такое что для всех $i,j\ge m$ образы модулей $M_i$ и $M_j$ в $M_m$ совпадают). \end{exc} Переходя к обратному пределу и пользуясь леммой~\ref{ilimhtor}, получаем длинную точную последовательность $$ {\scriptstyle \ilim H^i(X_y^{(n)},\CG_{|X_y^{(n)}}) \ \to\ \ilim H^i(X_y^{(n)},\CE_{|X_y^{(n)}}) \ \to\ \ilim H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}}) \ \to\ \ilim H^{i+1}(X_y^{(n)},\CG_{|X_y^{(n)}}) \ \to\ \ilim H^{i+1}(X_y^{(n)},\CE_{|X_y^{(n)}}) } $$ С другой стороны, рассматривая длинную точную последовательность высших прямых образов и переходя к пополнениям в $y$ получаем точную последовательность $$ {\scriptstyle R^if_*(\CG)^\wedge_y \ \to\ R^if_*(\CE)^\wedge_y \ \to\ R^if_*(\CF)^\wedge_y \ \to\ R^{i+1}f_*(\CG)^\wedge_y \ \to\ R^{i+1}f_*(\CE)^\wedge_y. } $$ Легко видеть, что эти последовательности объединяются в коммутативную диаграмму $$ \arraycolsep=2pt \begin{array}{ccccccccc} \scriptstyle R^if_*(\CG)^\wedge_y & \scriptstyle \to & \scriptstyle R^if_*(\CE)^\wedge_y & \scriptstyle \to & \scriptstyle R^if_*(\CF)^\wedge_y & \scriptstyle \to & \scriptstyle R^{i+1}f_*(\CG)^\wedge_y & \scriptstyle \to & \scriptstyle R^{i+1}f_*(\CE)^\wedge_y \\ \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\ \scriptstyle \ilim H^i(X_y^{(n)},\CG_{|X_y^{(n)}}) & \scriptstyle \to & \scriptstyle \ilim H^i(X_y^{(n)},\CE_{|X_y^{(n)}}) & \scriptstyle \to & \scriptstyle \ilim H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}}) & \scriptstyle \to & \scriptstyle \ilim H^{i+1}(X_y^{(n)},\CG_{|X_y^{(n)}}) & \scriptstyle \to & \scriptstyle \ilim H^{i+1}(X_y^{(n)},\CE_{|X_y^{(n)}}) \end{array} $$ Заметим, что в этой диаграмме вторая и пятая вертикальные стрелки являются изоморфизмами, так как пучок $\CE$ есть прямая сумма пучков $\CO(q)$, а четвертая вертикальная стрелка --- изоморфизм по предположению индукции. Следовательно третья вертикальная стрелка --- эпиморфизм. Но так как $\CF$ --- произвольный пучок, то первая вертикальная стрелка --- тоже эпиморфизм. Но отсюда следует, что третья стрелка --- изоморфизм! Остается свести произвольный случай к случаю $X = \Pp^N_Y$. Выберем вложение $i:X \to \Pp^N_Y$, такое что $f = p\circ i$, где $p:\Pp^N_Y \to Y$ --- проекция (оно существует, так как морфизм $f$ проективен) и рассмотрим пучок $i_*\CF$ на $\Pp^N_Y$. Так как морфизм $i$ --- замкнутое вложение имеем $R^{>0}i_* = 0$, поэтому $R^ip_*i_* = R^i(p\circ i)_* = R^if_*$, то есть $R^if_*(\CF)^\wedge_y = R^ip_*(i_*\CF)^\wedge_y$. С другой стороны, в расслоенном квадрате $$ \begin{CD} X_Y^{(n)} @>>> X \\ @V{i}VV @V{i}VV \\ (\Pp^N_Y)_y^{(n)} @>>> \Pp^N_Y \end{CD} $$ все морфизмы аффинны, поэтому можно воспользоваться следующим утверждением \begin{exc} Пусть в расслоенном квадрате $$ \begin{CD} X' @>{s}>> X \\ @V{f}VV @V{f}VV \\ Y' @>{s}>> Y \end{CD} $$ морфизмы $f$ и $s$ аффинны. Тогда $s^*f_*\CF \cong f_*s^*\CF$ для любого когерентного пучка $\CF$ на $X$. \end{exc} Итак, пользуясь упражнением, аключаем, что $i_*(\CF_{|X_y^{(n)}}) \cong (i_*\CF)_{|(\Pp^N_Y)_y^{(n)}}$, откуда $$ H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}}) = H^i((\Pp^N_Y)_y^{(n)},i_*(\CF_{|X_y^{(n)}})) = H^i((\Pp^N_Y)_y^{(n)},(i_*\CF)_{|(\Pp^N_Y)_y^{(n)}}), $$ и остается воспользоваться доказанным утверждением про $\Pp^N_Y$. \endproof \begin{corr} Если $f:X \to Y$ --- морфизм схем и $d = \max\{\dim X_y\}_{y\in Y}$, то $R^if_*(\CF) = 0$ при $i>d$ для всякого когерентного пучка $\CF$. \end{corr} \proof{} По теореме о формальных функциях $R^if_*(\CF)^\wedge_y = 0$ для всех $y$. Но пучок $R^if_*(\CF)$ когерентен, поэтому если его пополнение во вской точке равно нулю, то он сам тоже равен нулю. \endproof \begin{thm} Пусть $f:X \to Y$ --- проективный морфизм, такой что $f_*\CO_X \cong \CO_Y$. Тогда слои морфизма $f$ связны. \end{thm} \proof{} Предположим слой $X_y$ не связен, $X_y = X_1 \sqcup X_2$. Тогда схема $X_y^{(n)}$ тоже не связна, $X_y^{(n)} = X_1^{(n)} \sqcup X_2^{(n)}$. и $\Gamma(X_y^{(n)},\CO_{X_y^{(n)}}) = \Gamma(X_1^{(n)},\CO_{X_1^{(n)}}) \oplus \Gamma(X_2^{(n)},\CO_{X_2^{(n)}})$ и, значит, $\ilim \Gamma(X_y^{(n)},\CO_{X_y^{(n)}}) = \ilim \Gamma(X_1^{(n)},\CO_{X_1^{(n)}}) \oplus \ilim \Gamma(X_2^{(n)},\CO_{X_2^{(n)}})$. Но по теореме о формальных функциях $\ilim \Gamma(X_y^{(n)},\CO_{X_y^{(n)}}) \cong (f_*\CO_X)^\wedge_y = (\CO_Y)^\wedge_y = \CO_y^\wedge$ --- пополненное локальное кольцо точки~$y$. Остается заметить, что пополненное локальное кольцо не раскладывается в произведение двух нетривиальных колец (если бы единица представлялась в виде суммы ортогональных идемпотентов, то каждый из них был бы делителем нуля, а значит лежал бы в максимальном идеале, и их сумма не могла бы равняться единице). \endproof \begin{corr}[теорема Зариского о связности] Если $f:X \to Y$ --- проективный бирациональный морфизм целых схем, и схема $Y$ нормальна, то слои $f$ связны. \end{corr} \proof{} В силу предыдущей теоремы достаточно проверить, что $f_*\CO_X \cong \CO_Y$. Вопрос локален, так что можно считать, что $Y = \Spec A$. Положим $B = \Gamma(X,\CO_X) = \Gamma(Y,f_*\CO_X)$. Надо проверить, что $B = A$. Но $B$ является конечно-порожденным $A$-модулем (так как морфизм $f$ проективен), причем поле частных $B$ равно полю частных $A$ (так как $f$ бирационален) и, наконец, кольцо $A$ целозамкнуто (так как $Y$ нормально). Значит, действительно, $B = A$. \endproof \begin{corr}[факторизация Штейна] Пусть $f:X \to Y$ --- проективный морфизм. Существует разложение морфизма $f$ в композицию $X \stackrel{f'}\to Y' \stackrel{g}\to Y$, где $g$ --- конечный морфизм, а $f'$ имеет связные слои. \end{corr} \proof{} Рассмотрим пучок алгебр $\CA = f_*\CO_X$ на $Y$. Он является пучком конечно порожденных $\CO_Y$-алгебр (так как $f$ проективен). Рассмотрим его относительный спектр $Y' := \Spec_Y \CA$ и пусть $g:Y' \to Y$ --- естественная проекция. Легко видеть, что морфизм пропускается через $Y'$, то есть $f = g\circ f'$, $f':X \to Y'$, причем $f'_*\CO_X = \CO_Y'$. Значит $f'$ имеет связные слои. \endproof \subsection*{Гладкость морфизмов} Одна из основополагающих идей Гротендика в алгебраической геометрии состоит в том, что всякое абсолютное понятие или утверждение (для некоторой схемы) должно иметь аналог в относительной ситуации (то есть для морфизма схем). Например, понятие проективности схемы в относительной ситуации становится понятием проективности морфизма, относительный вариант когомологий пучка --- высшие прямые образы, а относительный вариант теоремы о конечномерности когомологий на проективной схеме --- теорема о когерентности высших прямых образов при проективном морфизме. %Эта идея Гротендика оказалась на удивление плодотворной. Сегодня мы поговорим об относительном варианте понятия гладкости. Напомним вначале определение гладкости в абсолютной ситуации. Здесь есть два подхода --- через регулярность локальных колец и через плоскость пучка дифференциалов. В характеристике нуль они эквивалентны, а в положительной характеристике, вообще говоря, нет. \begin{opr} Схема называется \emph{неособой}, если она целая, отделимая и все ее локальные кольца регулярны. Схема $X$ над полем $k$ называется \emph{гладкой размерности $n$}, если все ее неприводимые компоненты имеют размерность $n$, и для всякой точки $x\in X$ выполняется равенство $\dim_{k(x)}(\Omega_{X/k}\otimes k(x)) = n$. \end{opr} Заметим, что в силу доказанного на прошлой лекции для приведенной схемы условие гладкости равносильно тому, что пучок $\Omega_{X/k}$ локально свободный ранга $\dim X$. Заметим также, что если поле $k$ алгебраически замкнуто или имеет нулевую характеристику, а схема цела, то неособость эквивалентна гладкости. При этом для незамкнутого поля положительной характеристики легко видеть, что гладкость и регулярность неэквивалентны. \begin{exc} $(i)$ Пусть $\cchar(k) = 0$. Покажите, что схема $\Spec k[x]/x^2$ --- гладкая.\\ $(ii)$ Пусть $F$ --- поле положительной характеристики $p$, $k = F(t)$ и $K = k[x]/(x^p - t)$. Покажите, что схема $\Spec K$ неособа, но не является гладкой над $k$. \end{exc} \begin{opr} Морфизм схем $f:X \to Y$ называется \emph{гладким относительной размерности $n$}, если выполнены следующие условия\\ $(i)$ $f$ --- плоский;\\ $(ii)$ если $X'\subset X$, $Y'\subset Y$ --- неприводимые компоненты, $f(X') \subset Y'$, то $\dim X' = \dim Y' + n$;\\ $(iii)$ для всякой точки $x\in X$ выполняется равенство $\dim_{k(x)}(\Omega_{X/Y}\otimes k(x)) = n$. \end{opr} Если схема $X$ приведена, то условие $(iii)$ равносильно тому, что пучок $\Omega_{X/k}$ локально свободный ранга $\dim X$. Если же $X$ --- схема над полем $k$, $Y = \Spec k$ и $f$ --- структурный морфизм, то определение гладкости $f$ совпадает с определением гладкости $X$ над $k$. \begin{lemma} Если $f:X \to Y$ --- плоский морфизм, то условие $(ii)$ из определения гладкости морфизма эквивалентно условию\\ $(ii')$ всякая неприводимая компонента любого слоя $X$ над $Y$ имеет размерность $n$. \end{lemma} \proof{} %$(ii) \Rightarrow (ii')$: Пусть $Z$ --- неприводимая компонента слоя $X_y$ над точкой $y$. Пусть $x\in Z$ --- замкнутая точка, не лежащая ни в какой другой компоненте. Тогда поле $k(x)$ --- алгебраическое расширение поля $k(y)$, то есть $\degtr k(x) = \degtr k(y)$. Согласно теории размерности имеем $\dim X = \dim \CO_{X,x} - \degtr k(x)$ и $\dim Y = \dim \CO_{Y,y} - \degtr k(y)$. Отсюда следует, что $\dim \CO_{X,x} - \dim \CO_{Y,y} = \dim X - \dim Y = n$. Но так как морфизм $f$ плоский, левая часть равна $\dim\CO_{Z,x}$ по лемме 16.2. Остается заметить, что так как $x$ --- замкнутая точка $Z$, то $\dim\CO_{Z,x} = \dim Z$. \endproof \begin{prop} $(a)$ Открытое вложение --- гладко относитльной размерности $0$.\\ $(b)$ Если $f:X \to Y$ --- гладкий относительной размерности $n$ и $Y' \to Y$ --- замена базы, то морфизм $f':X' = X\times_Y Y' \to Y'$ --- гладкий относительной размерности $n$.\\ $(c)$ Если $f:X \to Y$ и $g:Y \to Z$ --- гладкие, то $g\circ f:X \to Z$ --- гладкий.\\ $(d)$ Если $f:X \to Z$ и $g:Y \to Z$ --- гладкие, то $f\times g:X\times_Z Y \to Z$ --- гладкий. \end{prop} \proof{} $(a)$ Открытое вложение $X\to Y$ плоско; слои либо пусты, либо нульмерны; и $\Omega_{X/Y} = 0$ (надо проверить, что $\Omega_{S^{-1}A/A} = 0$ --- действительно $d(1/s) = -ds/s^2 = 0$). $(b)$ Плоскость инвариантна относительно замены базы, поэтому $f'$ плоский; слои у морфизма $f'$ такие же как и у $f$; наконец, если $x' = (x,y') \in X\times_Y Y'$, и $y = f(x)$, то имеем $\Omega_{X'/Y'}\otimes k(x') = \Omega_{X/Y}\otimes k(y') \otimes k(x') = \Omega_{X/Y}\otimes k(y)\otimes k(x) = \Omega_{X/Y}\otimes k(x)$. $(c)$ Плоскость сохраняется при композиции, поэтому $g\circ f$ --- плоский. Размерность всякой компоненты $X' \subset X$ на $n$ больше размерности компоненты $Y' \subset Y$, содержащей $f(X')$, которая в свою очередь на $m$ больше размерности компоненты $Z' \subset Z$, содержащей $g(Y')$. Значит $\dim X' = \dim Z' + n + m$. Пусть теперь $x\in X$. Найдем $\dim \Omega_{X/Z}\otimes k(x)$. Рассмотрим точную последовательность $$ f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0. $$ Домножая ее на $k(x)$ получаем неравенство $$ \dim \Omega_{X/Z}\otimes k(x) \ge \dim f^*\Omega_{Y/Z}\otimes k(x) = \dim \Omega_{X/Y}\otimes k(x) = m + n. $$ С другой стороны, если $z=g(f(x))$, то $\dim \Omega_{X/Z}\otimes k(x) = \dim \Omega_{X_z/z}\otimes k(x)$, что в силу полунепрерывности не меньше, чем $\dim_K \Omega_{K/k(z)}$, где $K$ --- поле функций неприводимой компоненты $X_z$, содержащей $x$. Остается заметить, что согласно приведенному ниже упражнению это не меньше, чем $\degtr K/k(z) = \dim X_z = n + m$. Сравнивая неравенства, видим, что $\dim \Omega_{X/Z}\otimes k(x) = m + n$, значит $g\circ f$ --- гладкий. $(d)$ Разложим морфизм $f\times g:X\times_Z Y \to Z$ в композицию проекции $p:X\times_Z Y \to Y$ и морфизма $g:Y \to Z$. Ясно, что $p$ получается заменой базы из $f$, поэтому гладкий по пункту $(b)$. Применяя пункт $(c)$, заключаем, что их композиция --- тоже гладкая. \endproof \begin{exc} Пусть $K/k$ --- конечно порожденное расширение полей. Докажите, что $\dim_K \Omega_{K/k} \ge \degtr(K/k)$, причем равенство достигается только если $K$ сепарабельно порождено над $k$, то есть представляется как сепарабельное расширение чисто трансцендентного расширения поля $k$. \end{exc} \begin{corr} Если морфизмы $f:X \to Y$ и $g:Y \to Z$ --- гладкие, а схема $X$ приведена, то последовательность $$ 0 \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\leqno{(\dagger)} $$ точна с обеих сторон. В частности $\omega_{X/Z} \cong \omega_{X/Y} \otimes f^*\omega_{Y/Z}$. \end{corr} \proof{} Действительно, пучок $f^*\Omega_{Y/Z}$ в этом случае локально свободен (в частности не имеет кручения), и из доказательства пункта $(c)$ видно, что морфизм пучков $f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z}$ является вложением в общей точке любой компоненты схемы $X$. \endproof \begin{exc}\label{fibersmooth} Покажите, что плоский морфизм схем $f:X \to Y$ --- гладкий тогда и только тогда, когда для всякой точки $y\in Y$ схема $X\otimes \overline{k(y)}$ регулярна и $n$-мерна. \end{exc} Отсюда можно вывести геометрически наглядный критерий гладкости морфизма. \begin{lemma} Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм неособых многообразий над алгебраически замкнутым полем $k$. Тогда $f$ гладкий тогда и только тогда, когда для всякой замкнутой точки $x\in X$ отображение $d_xf:T_xX \to T_{f(x)}Y$ сюръективно. \end{lemma} \proof{} $(\Rightarrow)$: домножая точную последовательность $(\dagger)$ на $k(x)$ и пользуясь тем, что $\Omega_{X/Y}$ локально свободный (и, следовательно, плоский), получаем точную последовательность $$ 0 \to \Omega_{Y/k} \otimes k(f(x)) \to \Omega_{X/k} \otimes k(x) \to \Omega_{X/Y} \otimes k(x) \to 0.\leqno{(\star)} $$ В частности, первое отображение инъективно. Остается заметить, что $d_x f$ двойственно к нему, и, значит, сюръективно. $(\Leftarrow)$: прежде всего, надо проверить, что $f$ --- плоский морфизм. Для этого достаточно проверить, что локальное кольцо $\CO_{x,X}$ всякой замкнутой точки $x\in X$ плоско над $\CO_{f(x),Y}$. Так как кольцо $\CO_{f(x),Y}$ регулярно, для него существует регулярная последовательность $t_1,t_2,\dots,t_r$, порождающая идеал $\m_{f(x)}$. Так как $t_i$ образуют базис в $\m_{f(x)}/\m_{f(x)}^2$, и так как отображение $f^*:\m_{f(x)}/\m_{f(x)}^2 \to \m_x\m_x^2$ двойственно к отображению $d_x f$ и, следовательно, инъективно, то $f^*t_1,f^*t_2,\dots,f^*t_r$ --- линейно независимы в $\m_x/\m_x^2$, то есть образуют часть регулярной последовательности для кольца $\CO_{x,X}$. Применяя приведенное ниже упражнение, сводим проверку к проверке плоскости кольца $\CO_{x,X}/(f^*t_1,\dots,f^*t_r)$ над $\CO_{f(x),Y}/(t_1,\dots,t_r)$. Но второе кольцо равно $k$, следовательно первое над ним автоматически плоско. Остается заметить, что первое отображение в последовательности $(\star)$ по условию инъективно, поэтому $\dim\Omega_{X/Y} \otimes k(x) = \dim\Omega_{X/k} \otimes k(x) - \dim\Omega_{Y/k} \otimes k(f(x)) = \dim X - \dim Y$. \endproof \begin{exc}\label{lcf} Пусть $A$ --- локальное кольцо, $M$ --- $A$-модуль и $t\in A$ --- не делитель нуля. Покажите, что $M$ --- плоский тогда и только тогда, когда $t$ не является делителем нуля в $M$ и $M/tM$ --- плоский $A/tA$-модуль (указание: $M\otimes_A k = (M\otimes_A A/tA)\otimes_{A/tA} k$). \end{exc} Покажем теперь, что гладкость является открытым свойством в нулевой характеристике. \begin{lemma} Пусть $f:X \to Y$ --- доминантный морфизм целых схем над полем $k$ характеристики нуль, то %, $\cchar(k) = 0$. Тогда существует непустое открытое подмножество $U \subset X$, такое что $f_{|U}:U \to Y$ --- гладкий морфизм. \end{lemma} \proof{} Выкинем из $X$ и $Y$ особые точки и будем считать их гладкими. Заметим, что пучок $\Omega_{X/Y}$ в общей точке схемы $X$ равен $\Omega_{K(X)/K(Y)}$ (поле $K(Y)$ является подполем в $K(X)$ так как морфизм $f$ доминантен!). Но так как $\cchar k = 0$, то расширение $K(X)/K(Y)$ сепарабельно порождено, поэтому $\dim_{K(X)}\Omega_{K(X)/K(Y)} = \degtr(K(X)/K(Y)) = \dim X - \dim Y$. Но так как $\Omega_{X/Y}$ --- когерентный пучок на схеме $X$, то существует непустое открытое подмножество $U \subset X$, на котором он локально свободен и имеет такой же ранг, как и в общей точке. Ясно, что на этом открытом подмножестве морфизм $f$ гладкий. \endproof В положительной характеристике это, а также и все последующие утверждения не выполняются. Контрпримеры можно построить с помощью морфизма Фробениуса. А именно, пусть $X$ --- гладкое многообразие над полем $k$ характеристики $p > 0$. Рассмотрим морфизм $F:X \to X$, тождественный на точках, а на функциях, заданный формулой $F^*(f) = f^p$. Так как $d(f^p) = pf^{p-1}df = 0$, получаем $\Omega_F = \Omega_X$, то есть $\Omega_F$ является локально свободным ранга $\dim X$, в то время как относительная размерность равна нулю. \begin{lemma} Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм целых схем над полем $k$ характеристики нуль. Пусть $X_r = \{x\in X\ |\ \rk (d_x f:T_x T \to T_{f(x)}Y) \le r$. Тогда $\dim f(X_r) \le r$. \end{lemma} \proof{} Пусть $Y'$ --- неприводимая компонента $f(X_r)$, а $X'$ --- реприводиамая компонента $X_r$, доминирующая над $Y'$ с приведенной структурой. По предыдущей лемме найдется непустое открытое $U \subset X'$, такое что $f_{|U}:U \to Y'$ --- гладкий. Тогда для всякой точки $x\in U$ морфизм $d_x (f_{|U})$ сюръективен. Значит $\dim T_{f(x)}Y' \le \rk (d_x (f_{|U})) \le \rk d_x f \le r$, а значит и $\dim Y' \le r$. \endproof Отсюда легко вывести следующее утверждение, являющееся аналогом теоремы Сарда. \begin{thm}\label{cvc} Пусть $f:X \to Y$ --- морфизм многообразий над полем характеристики нуль, причем $X$ неособо. Тогда существует непустое открытое подмножество $U \subset Y$, такое что $f:f^{-1}(U) \to U$ --- гладкое. \end{thm} \proof{} Пусть $r = \dim Y - 1$ и положим $U = Y_{\rm sm} \setminus f(X_r)$. Тогда на $f^{-1}(U)$ отображение $d_xf$ имеет ранг равный $\dim Y$, поэтому морфизм $f$ гладкий. \endproof Отсюда легко также вывести следующую теорему. \begin{thm}[Теорема Бертини] Пусть $X$ --- неособое многообразие над полем $k$ характеристики нуль. Пусть $\delta$ --- конечномерная линейная система на $X$. %Пусть $L$ --- линейное расслоение на $X$ и $V \subset H^0(X,L)$ --- %конечномерная линейная система. Тогда почти всякий элемент из $\delta$ не имеет особенностей вне множества $B(\delta)$ базисных точек линейной системы. \end{thm} \proof{} Рассматривая $X \setminus B(\delta)$ можно считать, что $\delta$ не имеет базисных точек. Пусть $Y = |\delta|$ --- проективное пространство, параметризующее элементы линейной системы. Рассмотрим в произведении $X\times Y$ дивизор $D$, слой которого над точкой $Y$ совпадает с соответствующим дивизором линейной системы $\delta$ (если $\delta$ задается пространством $V \subset H^0(X,L)$, где $L$ --- линейное расслоение на $X$, так что $Y = \Pp(V)$, то $D$ --- дивизор, соответствующий каноническому сечению линейного расслоения $L\boxtimes\CO_{\Pp(V)}(1)$ на $X\times \Pp(V)$) и проекцию $p:D \to X$ и $q:D \to Y$. Слой проекции $p$ над точкой $x\in X$ --- это все дивизоры из линейной системы $\delta$, проходящие через $x$, и так как линейная система не имеет базисных точек, то стало быть данный слой является гиперплоскостью в проективном пространстве~$Y$. Из упражнения~\ref{fibersmooth} следует гладкость морфизма $p$, а значит многообразие $D$ тоже гладко. Применяя теперь теорему~\ref{cvc} к проекции $q:D \to Y$ находим открытое подмножество $U \subset Y$, над которым проекция $q$ гладкая. Тогда для всякой точки $y\in Y$ слой проекции $q$ над точкой $y$ гладок, так что остается заметить, что он совпадает с соответствующим дивизором линейной системы~$\delta$. \endproof Следующий случай применения теоремы Бертини является наиболее употребительным. \begin{corr}\label{embbert} Пусть $k$ --- поле характеристики нуль и $X \subset \Pp^N_k$ --- неособое подмногообразие. Тогда для почти всех гиперплоскостей $H\subset \Pp^N_k$ пересечение $X\cap H$ --- гладко. \end{corr} \proof{} Линейная система гиперплоских сечений многообразия $X$ не имеет базисных точек. \endproof \begin{exc} Докажите, что утверждение~$\ref{embbert}$ выполняется и над любым алгебраически замкнутым полем (в том числе и положительной характеристики) (указание: рассмотрите множество $Z \subset X \times (\Pp^N_k)^\vee$, состоящее из всех пар $(x,H)$, таких что $X\cap H$ особо в точке $x$, и покажите, что $Z$ --- многообразие размерности не больше чем $N - 1$). \end{exc} \end{document}