\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CG}{{\mathcal G}}
\newcommand{\CH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\CJ}{{\mathcal J}}
\newcommand{\CK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\CL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}}

\newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\newcommand{\degtr}{\operatorname{{\sf deg\,tr}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2006}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{17}
\stepcounter{section}
\section*{������ 18.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
������� � ���������� ��������.
������������ ������.
������ ��������.
������� �������.
\end{minipage}
\end{center}



\subsection*{������� � ���������� ��������}

����� $f:X \to Y$ --- ����������� ������� ����, $y\in Y$ --- �����,
� $X_y = X\otimes k(y)$ --- ���� ����� $X$ ��� ������ $y$.
���������� ���� ������� ����������������� ��������� ��� ���������� ���������
������� ������������ ���� ����� $R^if_*(\CF)$ � ����� $y\in Y$
� ������������� $H^i(X_y,\CF_{|X_y})$. � ����� �������� ������ �����������
������� ���. ������, � ����� �������� ����� ��������� ����������
���������� ����� $R^if_*(\CF)$ � ����� $y$ � ������������� ����� $\CF$
�� ���������� ����������� ���� $X_y$.

������ ������, ����� $y\in Y$ --- �����. ����� $X_y^{(n)} := X \times_Y \Spec (\CO_y/\m_y^n)$ ---
$n$-�� ����������������� ����������� ���� $X_y$ ����� $X$ ��� ������ $y \in Y$.
���������� �������� ������ ����
$R^if_*(\CF) \otimes (\CO_y/\m_y^n) \to H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}})$.
�������� � ��������� ������� �� $n$ �������� �������
$R^if_*(\CF)^\wedge_y \to \ilim H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}})$.

\begin{thm}
����� $f:X \to Y$ ����������� �������, � $\CF$ --- ����������� ����� �� $X$.
������������ ����������� $R^if_*(\CF)^\wedge_y \to \ilim H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}})$
�������� ������������.
\end{thm}
\proof{}
���������� ������� ������ $X = \Pp_Y^N$. ��� ������ ���� $\CF = \CO_{\Pp^N_Y}(q)$
���������� �������� ������� �� ����������������� ���������� ������ ������� � �����������.
����� ������ $\CF$ --- ������������ �����. ������������� ��������� ��������� �� $i$.
��� $i > N$ ��� ������� ���������� � ���� (��� ������ ������ ��� � �����������
����� ��������� �� ����, � �������� ���� �� ����������� ������������ ������������
������������ �������� ������������ � �������� �� $0$ �� $N$). �����������, ��� ��� $i>k$
���������� ������� � ���������� $i = k$. ������� ����� $\CE$ ���� $\CE = \CO(q)^m$
� ��������� $\CE \to \CF$. ����� $\CG = \Ker(\CE \to \CF)$, ��� ��� ��������� ������
������������������
$$
0 \to \CG \to \CE \to \CF \to 0.
$$
����������� �� �� $X_y^{(n)}$ �������� ������ ������������������
$$
0 \to \Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^n) \to \CG_{|X_y^{(n)}} \to \CE_{|X_y^{(n)}} \to \CF_{|X_y^{(n)}} \to 0.
\leqno{(*)}
$$
��������� � ���� ������������������ $\Tor_1$ --- �������� ������� ����, ��� �� �������� ������
��������� �����������. ������, ������ �� ������, ��� ��� ������� � ��������� ������� $\Tor_1$
�, ��������������, ���������� ����������.

\begin{lemma}\label{ilimhtor}
����� $\ilim H^i(X_y^{(n)},\Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^n)) = 0$.
\end{lemma}
\proof{}
���������� ���������, ��� ��� ������� $n$ �������� $m\ge n$, ����� ��� ������������
����������� $\Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^m) \to \Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^n)$ ����������.
��� ����������� ��������, ������� ����� �������, ��� $\CF$, $\CG$ � $\CE$ --- �����
�� �������� ����� $\Spec A$, ��������������� ������� ����������� $A$-������� $F$, $E$
� $G$ �������������� (��� ��� $0 \to G \to E \to F \to 0$ --- ������ ������������������),
������ ������ $E$ --- ���������. ����� ����� ������, ��� ����� $\Tor_1(\CF,\CO_y/\m_y^n)$
������������� $A$-������ $\Tor_1(F,A/\aA^n) = (G\cap \aA^nE)/\aA^nG$ � �������� ��������,
��� �� ����� ������--���� ��� ������� $n$ �������� $m\ge n$, ��� ��� $G \cap \aA^mE \subset \aA^nG$.
\endproof

��������� �������������� �������.
�������, ��� ����������� ������ �� ������ ������ ������������������ $(*)$ ��������
������� ����������� $\CO_y/\m^n_y$-������� (��� ��� $X$ ���������� ��� $Y$)
��� ��������� ������� $\CO_y/\m^n_y$.

\begin{exc}
��������, ��� �������� ������ � ��������� �������-����������� ������� ��� ��������� �������
�������� ������ ��������� (��������: �������������� ���, ��� ����� ����������� �������
$\{M_n\}$ �������-����������� ������� ��� ��������� ������� ������������� �������
������--�������: ��� ������ $n$ ���������� $m\ge n$, ����� ��� ��� ���� $i,j\ge m$
������ ������� $M_i$ � $M_j$ � $M_m$ ���������).
\end{exc}

�������� � ��������� ������� � ��������� ������~\ref{ilimhtor}, �������� ������� ������ ������������������
$$
{\scriptstyle
\ilim H^i(X_y^{(n)},\CG_{|X_y^{(n)}}) \ \to\
\ilim H^i(X_y^{(n)},\CE_{|X_y^{(n)}}) \ \to\
\ilim H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}}) \ \to\
\ilim H^{i+1}(X_y^{(n)},\CG_{|X_y^{(n)}}) \ \to\
\ilim H^{i+1}(X_y^{(n)},\CE_{|X_y^{(n)}})
}
$$
� ������ �������, ������������ ������� ������ ������������������ ������ ������ �������
� �������� � ����������� � $y$ �������� ������ ������������������
$$
{\scriptstyle
R^if_*(\CG)^\wedge_y     \ \to\
 R^if_*(\CE)^\wedge_y    \ \to\
R^if_*(\CF)^\wedge_y     \ \to\
R^{i+1}f_*(\CG)^\wedge_y \ \to\
R^{i+1}f_*(\CE)^\wedge_y.
}
$$
����� ������, ��� ��� ������������������ ������������ � ������������� ���������
$$
\arraycolsep=2pt
\begin{array}{ccccccccc}
\scriptstyle
R^if_*(\CG)^\wedge_y &
\scriptstyle \to &
\scriptstyle
R^if_*(\CE)^\wedge_y &
\scriptstyle \to &
\scriptstyle
R^if_*(\CF)^\wedge_y &
\scriptstyle \to &
\scriptstyle
R^{i+1}f_*(\CG)^\wedge_y &
\scriptstyle \to &
\scriptstyle
R^{i+1}f_*(\CE)^\wedge_y \\
\downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow && \downarrow \\
\scriptstyle
\ilim H^i(X_y^{(n)},\CG_{|X_y^{(n)}}) &
\scriptstyle \to &
\scriptstyle
\ilim H^i(X_y^{(n)},\CE_{|X_y^{(n)}}) &
\scriptstyle \to &
\scriptstyle
\ilim H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}}) &
\scriptstyle \to &
\scriptstyle
\ilim H^{i+1}(X_y^{(n)},\CG_{|X_y^{(n)}}) &
\scriptstyle \to &
\scriptstyle
\ilim H^{i+1}(X_y^{(n)},\CE_{|X_y^{(n)}})
\end{array}
$$
�������, ��� � ���� ��������� ������ � ����� ������������ ������� �������� �������������,
��� ��� ����� $\CE$ ���� ������ ����� ������ $\CO(q)$, � ��������� ������������ ������� ---
���������� �� ������������� ��������. ������������� ������ ������������ ������� --- ����������.
�� ��� ��� $\CF$ --- ������������ �����, �� ������ ������������ ������� --- ���� ����������.
�� ������ �������, ��� ������ ������� --- ����������!

�������� ������ ������������ ������ � ������ $X = \Pp^N_Y$. ������� �������� $i:X \to \Pp^N_Y$,
����� ��� $f = p\circ i$, ��� $p:\Pp^N_Y \to Y$ --- �������� (��� ����������, ��� ���
������� $f$ ����������) � ���������� ����� $i_*\CF$ �� $\Pp^N_Y$.
��� ��� ������� $i$ --- ��������� �������� ����� $R^{>0}i_* = 0$, �������
$R^ip_*i_* = R^i(p\circ i)_* = R^if_*$, �� ����
$R^if_*(\CF)^\wedge_y = R^ip_*(i_*\CF)^\wedge_y$.
� ������ �������, � ����������� ��������
$$
\begin{CD}
X_Y^{(n)} @>>> X \\
@V{i}VV @V{i}VV \\
(\Pp^N_Y)_y^{(n)} @>>> \Pp^N_Y
\end{CD}
$$
��� �������� �������, ������� ����� ��������������� ��������� ������������

\begin{exc}
����� � ����������� ��������
$$
\begin{CD}
X' @>{s}>> X \\
@V{f}VV @V{f}VV \\
Y' @>{s}>> Y
\end{CD}
$$
�������� $f$ � $s$ �������. ����� $s^*f_*\CF \cong f_*s^*\CF$ ��� ������ ������������
����� $\CF$ �� $X$.
\end{exc}

����, ��������� �����������, ��������, ���
$i_*(\CF_{|X_y^{(n)}}) \cong (i_*\CF)_{|(\Pp^N_Y)_y^{(n)}}$, ������
$$
H^i(X_y^{(n)},\CF_{|X_y^{(n)}}) =
H^i((\Pp^N_Y)_y^{(n)},i_*(\CF_{|X_y^{(n)}})) =
H^i((\Pp^N_Y)_y^{(n)},(i_*\CF)_{|(\Pp^N_Y)_y^{(n)}}),
$$
� �������� ��������������� ���������� ������������ ��� $\Pp^N_Y$.
\endproof


\begin{corr}
���� $f:X \to Y$ --- ������� ���� � $d = \max\{\dim X_y\}_{y\in Y}$,
�� $R^if_*(\CF) = 0$ ��� $i>d$ ��� ������� ������������ ����� $\CF$.
\end{corr}
\proof{}
�� ������� � ���������� �������� $R^if_*(\CF)^\wedge_y = 0$ ��� ���� $y$.
�� ����� $R^if_*(\CF)$ ����������, ������� ���� ��� ���������� �� ����� �����
����� ����, �� �� ��� ���� ����� ����.
\endproof


\begin{thm}
����� $f:X \to Y$ --- ����������� �������, ����� ��� $f_*\CO_X \cong \CO_Y$.
����� ���� �������� $f$ ������.
\end{thm}
\proof{}
����������� ���� $X_y$ �� ������, $X_y = X_1 \sqcup X_2$.
����� ����� $X_y^{(n)}$ ���� �� ������, $X_y^{(n)} = X_1^{(n)} \sqcup X_2^{(n)}$.
� $\Gamma(X_y^{(n)},\CO_{X_y^{(n)}}) = \Gamma(X_1^{(n)},\CO_{X_1^{(n)}}) \oplus \Gamma(X_2^{(n)},\CO_{X_2^{(n)}})$
�, ������,
$\ilim \Gamma(X_y^{(n)},\CO_{X_y^{(n)}}) = \ilim \Gamma(X_1^{(n)},\CO_{X_1^{(n)}}) \oplus \ilim \Gamma(X_2^{(n)},\CO_{X_2^{(n)}})$.
�� �� ������� � ���������� ��������
$\ilim \Gamma(X_y^{(n)},\CO_{X_y^{(n)}}) \cong (f_*\CO_X)^\wedge_y = (\CO_Y)^\wedge_y = \CO_y^\wedge$ ---
����������� ��������� ������ �����~$y$. �������� ��������, ��� ����������� ��������� ������
�� �������������� � ������������ ���� ������������� ����� (���� �� ������� ��������������
� ���� ����� ������������� ������������, �� ������ �� ��� ��� �� ��������� ����,
� ������ ����� �� � ������������ ������, � �� ����� �� ����� �� ��������� �������).
\endproof

\begin{corr}[������� ��������� � ���������]
���� $f:X \to Y$ --- ����������� �������������� ������� ����� ����,
� ����� $Y$ ���������, �� ���� $f$ ������.
\end{corr}
\proof{}
� ���� ���������� ������� ���������� ���������, ��� $f_*\CO_X \cong \CO_Y$.
������ �������, ��� ��� ����� �������, ��� $Y = \Spec A$.
������� $B = \Gamma(X,\CO_X) = \Gamma(Y,f_*\CO_X)$.
���� ���������, ��� $B = A$. �� $B$ �������� �������-����������� $A$-�������
(��� ��� ������� $f$ ����������), ������ ���� ������� $B$ ����� ���� ������� $A$
(��� ��� $f$ ������������) �, �������, ������ $A$ ������������ (��� ��� $Y$
���������). ������, �������������, $B = A$.
\endproof

\begin{corr}[������������ ������]
����� $f:X \to Y$ --- ����������� �������.
���������� ���������� �������� $f$ � ���������� $X \stackrel{f'}\to Y' \stackrel{g}\to Y$,
��� $g$ --- �������� �������, � $f'$ ����� ������� ����.
\end{corr}
\proof{}
���������� ����� ������ $\CA = f_*\CO_X$ �� $Y$. �� �������� ������
������� ����������� $\CO_Y$-������ (��� ��� $f$ ����������).
���������� ��� ������������� ������ $Y' := \Spec_Y \CA$
� ����� $g:Y' \to Y$ --- ������������ ��������.
����� ������, ��� ������� ������������ ����� $Y'$, �� ���� $f = g\circ f'$,
$f':X \to Y'$, ������ $f'_*\CO_X = \CO_Y'$.
������ $f'$ ����� ������� ����.
\endproof


\subsection*{��������� ���������}

���� �� ���������������� ���� ���������� � �������������� ��������� ������� � ���,
��� ������ ���������� ������� ��� ����������� (��� ��������� �����) ������ ����� ������
� ������������� �������� (�� ���� ��� �������� ����). ��������, ������� �������������
����� � ������������� �������� ���������� �������� ������������� ��������, �������������
������� ����������� ����� --- ������ ������ ������, � ������������� ������� �������
� ��������������� ����������� �� ����������� ����� --- ������� � ������������� ������
������ ������� ��� ����������� ��������.
%��� ���� ���������� ��������� �� ��������� ������������.
������� �� ��������� �� ������������� �������� ������� ���������.

�������� ������� ����������� ��������� � ���������� ��������.
����� ���� ��� ������� --- ����� ������������ ��������� �����
� ����� ��������� ����� ��������������. � �������������� ���� ��� ������������,
� � ������������� ��������������, ������ ������, ���.

\begin{opr}
����� ���������� \emph{��������}, ���� ��� �����, ��������� � ��� �� ��������� ������ ���������.
����� $X$ ��� ����� $k$ ���������� \emph{������� ����������� $n$}, ���� ��� �� ������������
���������� ����� ����������� $n$, � ��� ������ ����� $x\in X$
����������� ��������� $\dim_{k(x)}(\Omega_{X/k}\otimes k(x)) = n$.
\end{opr}

�������, ��� � ���� ����������� �� ������� ������ ��� ����������� ����� ������� ���������
����������� ����, ��� ����� $\Omega_{X/k}$ �������� ��������� ����� $\dim X$.
������� �����, ��� ���� ���� $k$ ������������� �������� ��� ����� �������
��������������, � ����� ����, �� ���������� ������������ ���������.
��� ���� ��� ������������ ���� ������������� �������������� ����� ������,
��� ��������� � ������������ ��������������.

\begin{exc}
$(i)$ ����� $\cchar(k) = 0$. ��������, ��� ����� $\Spec k[x]/x^2$ --- �������.\\
$(ii)$ ����� $F$ --- ���� ������������� �������������� $p$, $k = F(t)$ � $K = k[x]/(x^p - t)$.
��������, ��� ����� $\Spec K$ �������, �� �� �������� ������� ��� $k$.
\end{exc}

\begin{opr}
������� ���� $f:X \to Y$ ���������� \emph{������� ������������� ����������� $n$}, ���� ��������� ��������� �������\\
$(i)$ $f$ --- �������;\\
$(ii)$ ���� $X'\subset X$, $Y'\subset Y$ --- ������������ ����������,
$f(X') \subset Y'$, �� $\dim X' = \dim Y' + n$;\\
$(iii)$ ��� ������ ����� $x\in X$ ����������� ��������� $\dim_{k(x)}(\Omega_{X/Y}\otimes k(x)) = n$.
\end{opr}

���� ����� $X$ ���������, �� ������� $(iii)$ ����������� ����, ��� ����� $\Omega_{X/k}$
�������� ��������� ����� $\dim X$. ���� �� $X$ --- ����� ��� ����� $k$, $Y = \Spec k$
� $f$ --- ����������� �������, �� ����������� ��������� $f$ ��������� � ������������
��������� $X$ ��� $k$.


\begin{lemma}
���� $f:X \to Y$ --- ������� �������, �� ������� $(ii)$ �� ����������� ��������� ��������
������������ �������\\
$(ii')$ ������ ������������ ���������� ������ ���� $X$ ��� $Y$ ����� ����������� $n$.
\end{lemma}
\proof{}
%$(ii) \Rightarrow (ii')$:
����� $Z$ --- ������������ ���������� ���� $X_y$ ��� ������ $y$.
����� $x\in Z$ --- ��������� �����, �� ������� �� � ����� ������ ����������.
����� ���� $k(x)$ --- �������������� ���������� ���� $k(y)$, �� ���� $\degtr k(x) = \degtr k(y)$.
�������� ������ ����������� ����� $\dim X = \dim \CO_{X,x} - \degtr k(x)$ �
$\dim Y = \dim \CO_{Y,y} - \degtr k(y)$. ������ �������, ���
$\dim \CO_{X,x} - \dim \CO_{Y,y} = \dim X - \dim Y = n$.
�� ��� ��� ������� $f$ �������, ����� ����� ����� $\dim\CO_{Z,x}$ �� ����� 16.2.
�������� ��������, ��� ��� ��� $x$ --- ��������� ����� $Z$,
�� $\dim\CO_{Z,x} = \dim Z$.
\endproof

\begin{prop}
$(a)$ �������� �������� --- ������ ������������ ����������� $0$.\\
$(b)$ ���� $f:X \to Y$ --- ������� ������������� ����������� $n$ � $Y' \to Y$ --- ������ ����,
�� ������� $f':X' = X\times_Y Y' \to Y'$ --- ������� ������������� ����������� $n$.\\
$(c)$ ���� $f:X \to Y$ � $g:Y \to Z$ --- �������, �� $g\circ f:X \to Z$ --- �������.\\
$(d)$ ���� $f:X \to Z$ � $g:Y \to Z$ --- �������, �� $f\times g:X\times_Z Y \to Z$ --- �������.
\end{prop}
\proof{}
$(a)$ �������� �������� $X\to Y$ ������; ���� ���� �����, ���� ���������; � $\Omega_{X/Y} = 0$
(���� ���������, ��� $\Omega_{S^{-1}A/A} = 0$ --- ������������� $d(1/s) = -ds/s^2 = 0$).

$(b)$ ��������� ����������� ������������ ������ ����, ������� $f'$ �������;
���� � �������� $f'$ ����� �� ��� � � $f$; �������, ���� $x' = (x,y') \in X\times_Y Y'$, � $y = f(x)$,
�� ����� $\Omega_{X'/Y'}\otimes k(x') = \Omega_{X/Y}\otimes k(y') \otimes k(x') = \Omega_{X/Y}\otimes k(y)\otimes k(x) = \Omega_{X/Y}\otimes k(x)$.

$(c)$ ��������� ����������� ��� ����������, ������� $g\circ f$ --- �������.
����������� ������ ���������� $X' \subset X$ �� $n$ ������ ����������� ���������� $Y' \subset Y$,
���������� $f(X')$, ������� � ���� ������� �� $m$ ������ ����������� ���������� $Z' \subset Z$,
���������� $g(Y')$. ������ $\dim X' = \dim Z' + n + m$. ����� ������ $x\in X$. ������ $\dim \Omega_{X/Z}\otimes k(x)$.
���������� ������ ������������������
$$
f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0.
$$
�������� �� �� $k(x)$ �������� �����������
$$
\dim \Omega_{X/Z}\otimes k(x) \ge \dim f^*\Omega_{Y/Z}\otimes k(x) = \dim \Omega_{X/Y}\otimes k(x) = m + n.
$$
� ������ �������, ���� $z=g(f(x))$, �� $\dim \Omega_{X/Z}\otimes k(x) = \dim \Omega_{X_z/z}\otimes k(x)$,
��� � ���� ����������������� �� ������, ��� $\dim_K \Omega_{K/k(z)}$, ��� $K$ --- ���� �������
������������ ���������� $X_z$, ���������� $x$. �������� ��������, ��� �������� ������������ ���� ����������
��� �� ������, ��� $\degtr K/k(z) = \dim X_z = n + m$. ��������� �����������, �����, ���
$\dim \Omega_{X/Z}\otimes k(x) = m + n$, ������ $g\circ f$ --- �������.

$(d)$ �������� ������� $f\times g:X\times_Z Y \to Z$ � ���������� �������� $p:X\times_Z Y \to Y$ � �������� $g:Y \to Z$.
����, ��� $p$ ���������� ������� ���� �� $f$, ������� ������� �� ������ $(b)$. �������� ����� $(c)$, ���������,
��� �� ���������� --- ���� �������.
\endproof

\begin{exc}
����� $K/k$ --- ������� ����������� ���������� �����. ��������, ���
$\dim_K \Omega_{K/k} \ge \degtr(K/k)$, ������ ��������� �����������
������ ���� $K$ ������������ ��������� ��� $k$, �� ���� ��������������
��� ������������� ���������� ����� ���������������� ���������� ���� $k$.
\end{exc}

\begin{corr}
���� �������� $f:X \to Y$ � $g:Y \to Z$ --- �������, � ����� $X$ ���������,
�� ������������������
$$
0 \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\leqno{(\dagger)}
$$
����� � ����� ������. � ��������� $\omega_{X/Z} \cong \omega_{X/Y} \otimes f^*\omega_{Y/Z}$.
\end{corr}
\proof{}
�������������, ����� $f^*\Omega_{Y/Z}$ � ���� ������ �������� ��������
(� ��������� �� ����� ��������), � �� �������������� ������ $(c)$ �����,
��� ������� ������ $f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z}$ �������� ���������
� ����� ����� ����� ���������� ����� $X$.
\endproof

\begin{exc}\label{fibersmooth}
��������, ��� ������� ������� ���� $f:X \to Y$ --- ������� ����� � ������ �����,
����� ��� ������ ����� $y\in Y$ ����� $X\otimes \overline{k(y)}$ ��������� � $n$-�����.
\end{exc}

������ ����� ������� ������������� ��������� �������� ��������� ��������.

\begin{lemma}
����� $f:X \to Y$ --- ������� �������� ������������ ��� ������������� ��������� ����� $k$.
����� $f$ ������� ����� � ������ �����, ����� ��� ������ ��������� ����� $x\in X$
����������� $d_xf:T_xX \to T_{f(x)}Y$ �����������.
\end{lemma}
\proof{}
$(\Rightarrow)$: �������� ������ ������������������ $(\dagger)$ �� $k(x)$ � ���������
���, ��� $\Omega_{X/Y}$ �������� ��������� (�, �������������, �������), �������� ������
������������������
$$
0 \to \Omega_{Y/k} \otimes k(f(x)) \to \Omega_{X/k} \otimes k(x) \to \Omega_{X/Y} \otimes k(x) \to 0.\leqno{(\star)}
$$
� ���������, ������ ����������� ����������. �������� ��������, ��� $d_x f$ ����������� � ����,
�, ������, �����������.

$(\Leftarrow)$: ������ �����, ���� ���������, ��� $f$ --- ������� �������.
��� ����� ���������� ���������, ��� ��������� ������ $\CO_{x,X}$
������ ��������� ����� $x\in X$ ������ ��� $\CO_{f(x),Y}$.
��� ��� ������ $\CO_{f(x),Y}$ ���������, ��� ���� ����������
���������� ������������������ $t_1,t_2,\dots,t_r$, ����������� ����� $\m_{f(x)}$.
��� ��� $t_i$ �������� ����� � $\m_{f(x)}/\m_{f(x)}^2$,
� ��� ��� ����������� $f^*:\m_{f(x)}/\m_{f(x)}^2 \to \m_x\m_x^2$
����������� � ����������� $d_x f$ �, �������������, ����������,
�� $f^*t_1,f^*t_2,\dots,f^*t_r$ --- ������� ���������� � $\m_x/\m_x^2$,
�� ���� �������� ����� ���������� ������������������ ��� ������ $\CO_{x,X}$.
�������� ����������� ���� ����������, ������ �������� � �������� ���������
������ $\CO_{x,X}/(f^*t_1,\dots,f^*t_r)$ ��� $\CO_{f(x),Y}/(t_1,\dots,t_r)$.
�� ������ ������ ����� $k$, ������������� ������ ��� ��� ������������� ������.

�������� ��������, ��� ������ ����������� � ������������������ $(\star)$
�� ������� ����������, �������
$\dim\Omega_{X/Y} \otimes k(x) =
\dim\Omega_{X/k} \otimes k(x) - \dim\Omega_{Y/k} \otimes k(f(x)) =
\dim X - \dim Y$.
\endproof

\begin{exc}\label{lcf}
����� $A$ --- ��������� ������, $M$ --- $A$-������ � $t\in A$ --- �� �������� ����.
��������, ��� $M$ --- ������� ����� � ������ �����, ����� $t$ �� �������� ���������
���� � $M$ � $M/tM$ --- ������� $A/tA$-������ (��������: $M\otimes_A k = (M\otimes_A A/tA)\otimes_{A/tA} k$).
\end{exc}

������� ������, ��� ��������� �������� �������� ��������� � ������� ��������������.

\begin{lemma}
����� $f:X \to Y$ --- ����������� ������� ����� ���� ��� ����� $k$
�������������� ����, ��
%, $\cchar(k) = 0$. �����
���������� �������� �������� ������������ $U \subset X$, ����� ���
$f_{|U}:U \to Y$ --- ������� �������.
\end{lemma}
\proof{}
������� �� $X$ � $Y$ ������ ����� � ����� ������� �� ��������.
�������, ��� ����� $\Omega_{X/Y}$ � ����� ����� ����� $X$ �����
$\Omega_{K(X)/K(Y)}$ (���� $K(Y)$ �������� �������� � $K(X)$
��� ��� ������� $f$ ����������!). �� ��� ��� $\cchar k = 0$,
�� ���������� $K(X)/K(Y)$ ������������ ���������, �������
$\dim_{K(X)}\Omega_{K(X)/K(Y)} = \degtr(K(X)/K(Y)) = \dim X - \dim Y$.
�� ��� ��� $\Omega_{X/Y}$ --- ����������� ����� �� ����� $X$,
�� ���������� �������� �������� ������������ $U \subset X$, �� �������
�� �������� �������� � ����� ����� �� ����, ��� � � ����� �����.
����, ��� �� ���� �������� ������������ ������� $f$ �������.
\endproof

� ������������� �������������� ���, � ����� � ��� ����������� �����������
�� �����������. ������������ ����� ��������� � ������� �������� ����������.
� ������, ����� $X$ --- ������� ������������ ��� ����� $k$ �������������� $p > 0$.
���������� ������� $F:X \to X$, ������������� �� ������, � �� ��������,
�������� �������� $F^*(f) = f^p$. ��� ��� $d(f^p) = pf^{p-1}df = 0$,
�������� $\Omega_F = \Omega_X$, �� ���� $\Omega_F$ �������� ��������
��������� ����� $\dim X$, � �� ����� ��� ������������� ����������� ����� ����.

\begin{lemma}
����� $f:X \to Y$ --- ������� ����� ���� ��� ����� $k$
�������������� ����. ����� $X_r = \{x\in X\ |\ \rk (d_x f:T_x T \to T_{f(x)}Y) \le r$.
����� $\dim f(X_r) \le r$.
\end{lemma}
\proof{}
����� $Y'$ --- ������������ ���������� $f(X_r)$, � $X'$ --- ������������� ����������
$X_r$, ������������ ��� $Y'$ � ����������� ����������. �� ���������� �����
�������� �������� �������� $U \subset X'$, ����� ��� $f_{|U}:U \to Y'$ --- �������.
����� ��� ������ ����� $x\in U$ ������� $d_x (f_{|U})$ �����������.
������ $\dim T_{f(x)}Y' \le \rk (d_x (f_{|U})) \le \rk d_x f \le r$,
� ������ � $\dim Y' \le r$.
\endproof

������ ����� ������� ��������� �����������, ���������� �������� ������� �����.

\begin{thm}\label{cvc}
����� $f:X \to Y$ --- ������� ������������ ��� ����� �������������� ����,
������ $X$ �������. ����� ���������� �������� �������� ������������
$U \subset Y$, ����� ��� $f:f^{-1}(U) \to U$ --- �������.
\end{thm}
\proof{}
����� $r = \dim Y - 1$ � ������� $U = Y_{\rm sm} \setminus f(X_r)$.
����� �� $f^{-1}(U)$ ����������� $d_xf$ ����� ���� ������ $\dim Y$,
������� ������� $f$ �������.
\endproof

������ ����� ����� ������� ��������� �������.

\begin{thm}[������� �������]
����� $X$ --- �������� ������������ ��� ����� $k$ �������������� ����.
����� $\delta$ --- ������������� �������� ������� �� $X$.
%����� $L$ --- �������� ���������� �� $X$ � $V \subset H^0(X,L)$ ---
%������������� �������� �������.
����� ����� ������ ������� �� $\delta$ �� ����� ������������
��� ��������� $B(\delta)$ �������� ����� �������� �������.
\end{thm}
\proof{}
������������ $X \setminus B(\delta)$ ����� �������, ��� $\delta$
�� ����� �������� �����. ����� $Y = |\delta|$ --- �����������
������������, ��������������� �������� �������� �������.
���������� � ������������ $X\times Y$ ������� $D$,
���� �������� ��� ������ $Y$ ��������� � ���������������
��������� �������� ������� $\delta$ (���� $\delta$ ��������
������������� $V \subset H^0(X,L)$, ��� $L$ --- ��������
���������� �� $X$, ��� ��� $Y = \Pp(V)$, �� $D$ --- �������,
��������������� ������������� ������� ��������� ����������
$L\boxtimes\CO_{\Pp(V)}(1)$ �� $X\times \Pp(V)$)
� �������� $p:D \to X$ � $q:D \to Y$.
���� �������� $p$ ��� ������ $x\in X$ --- ��� ��� ��������
�� �������� ������� $\delta$, ���������� ����� $x$, � ��� ���
�������� ������� �� ����� �������� �����, �� ����� ���� ������ ����
�������� ��������������� � ����������� ������������~$Y$.
�� ����������~\ref{fibersmooth} ������� ��������� �������� $p$,
� ������ ������������ $D$ ���� ������. �������� ������ �������~\ref{cvc}
� �������� $q:D \to Y$ ������� �������� ������������ $U \subset Y$,
��� ������� �������� $q$ �������. ����� ��� ������ ����� $y\in Y$
���� �������� $q$ ��� ������ $y$ ������, ��� ��� �������� ��������,
��� �� ��������� � ��������������� ��������� �������� �������~$\delta$.
\endproof

��������� ������ ���������� ������� ������� �������� �������� ���������������.

\begin{corr}\label{embbert}
����� $k$ --- ���� �������������� ���� � $X \subset \Pp^N_k$ --- �������� ���������������.
����� ��� ����� ���� ��������������� $H\subset \Pp^N_k$ ����������� $X\cap H$ --- ������.
\end{corr}
\proof{}
�������� ������� ������������ ������� ������������ $X$ �� ����� �������� �����.
\endproof

\begin{exc}
��������, ��� �����������~$\ref{embbert}$ ����������� � ��� ����� �������������
��������� ����� (� ��� ����� � ������������� ��������������)
(��������: ����������� ��������� $Z \subset X \times (\Pp^N_k)^\vee$,
��������� �� ���� ��� $(x,H)$, ����� ��� $X\cap H$ ����� � ����� $x$,
� ��������, ��� $Z$ --- ������������ ����������� �� ������ ��� $N - 1$).
\end{exc}


\end{document}
