\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CG}{{\mathcal G}}
\newcommand{\CH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\CJ}{{\mathcal J}}
\newcommand{\CK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\CL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}}

\newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\newcommand{\degtr}{\operatorname{{\sf deg\,tr}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2006}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{18}
\stepcounter{section}
\section*{������ 19.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
��� ������. ������� ������--����. ������� �������. ������������������ ������. ������������ ��������. ������������� ������.
\end{minipage}
\end{center}



\subsection*{��� ������}

����� $X$ --- ����������� ����� ��� ����� $k$.
����� $H^0(X,\CO_X)$ --- ������������� ������� ���~$k$, ������ ������������� � ���� ������������� ����� $X$.
�������, ��� ���� ����� $X$ �����, �� ������� $H^0(X,\CO_X)$ �� ����� ��������� ����,
������ �������� ����� $K$, �������� ����������� ���� $k$. � ���� ������ ������ ��������� ������
����� $X$ ����� ������������ ��������� $K$-�������, �� ���� $X$ �������� ������ ��� $K$,
� ���������� ������� $X \to \Spec k$ �������������� � ���� ���������� $X \to \Spec K \to \Spec k$
(������������ ������!).
���� ���������� $K/k$ ������������, �� ��� �������� �� $X$ � $X \otimes\overline{k}$,
���� ����� ��������� ���� ������� (���� $K/k$ ������������), ��� �����������
����������� (���� $K/k$ ����� ��������������), ��� ���������� � �� � ������.

\begin{opr}
����� $X$ ���������� \emph{������������� �������} (\emph{������������� �����������},
\emph{������������� �����}, � �.�.), ���� ����� $X \otimes\overline{k}$ ������
(���������, ���� � �.�.).
\end{opr}

%����, ��� ����� $X$ ������������ ������������ ��� ����� $K$,
%� �� ��� ����� $k$. � ���������� �� ����� �������������� ����� �������.

��������, ��� ������ ���������� ������������� ����� ��������� ���������� ����� ��� ����� $k$.
� ������� �������� �� ��������, ��� ������ ����������� ������ ����������.




\begin{opr}
\emph{�������������� ���} ������ $C$ --- ��� ����� $p_a(C) = \dim H^1(C,\CO_C)$.
\emph{�������������� ���} ������ $C$ --- ��� ����� $p_g(C) = \dim H^0(C,\Omega_C)$.
\end{opr}

\begin{lemma}
���� $C$ --- �������� ����������� ������, �� $p_a(C) = p_g(C)$.
\end{lemma}
\proof{}
��� ��������������� ������� �� �������������� �����.
\endproof

��� ��� �������������� ��� ������� ����������� ������ ����� ��������������� ����,
��� �������� ����� ������ \emph{�����} � ���������� $g$. ��� ������ --- ���������
(�, ����� ����, ������������) �� ���������� ���������. �������, ��� ��� --- ������
�������������!

��������� �������������� ��������� �������� ������ �������� ���������

\begin{thm}[������� ������--����]
����� $D$ --- ������� �� ������� ����������� ������ $C$ ���� $g$ ��� ����� $k$. �����
$$
\dim_k H^0(C,\CO_C(D)) - \dim_k H^1(C,\CO_C) = \deg D + 1 - g.
$$
\end{thm}
\proof{}
����� ������� $D = 0$. ����� $\CO_C(D) = \CO_C$,
$H^0(C,\CO_C) = k$ (��� ��� $C$ ������������� ���� � ����������) �
$\dim H^1(C,\CO_C) = p_a(C) = g$ �� ����������� ����,
������� ��������� ��������� �������� �����������.

����� ������ $D$ --- ������������ ������� � $P$ --- ����� ������ $C$.
������������ ����� $P$ ��� �������, �������� ��������� ����� $\CO_C(P)$
� ��� ���������� ������� $s\in H^0(C,\CO_C(P))$, ������� �������� ��������� � $P$.
������� $s$ ������ ����������� $\CO_C(-P) \to \CO_C$. ����� ������, ��� �� ��������
���������, � ��� ������ --- ����������� ����� ����� $P$.
����� ������, ����� ������ ������������������
$$
0 \to \CO_C(-P) \to \CO_C \to \CO_P \to 0.
$$
����������� �� �� ��������� ����� $\CO_C(D)$, �������� ������ ������������������
$$
0 \to \CO_C(D-P) \to \CO_C(D) \to \CO_P \to 0\leqno{(*)}
$$
(�������, ��� $\CO_P \otimes \CO_C(D) \cong \CO_P$, ��� ��� ����� $\CO_C(D)$
� ����������� ����� $P$ ��������� ����� $\CO_C$).
�������, ��� $H^1(C,\CO_P) = H^1(P,\CO_P) = 0$, $H^0(C,\CO_P) = k(P)$.
� ���������, $\chi(\CO_P) = \dim_k k(P) = \deg P$,
�������������, $\chi(\CO_C(D)) = \chi(\CO_C(D-P)) + \deg P$.
����, �� �����, ��� ������� ������--���� ��� �������� $D$ �����������
����� � ������ �����, ����� ��� ����������� ����������� $D - P$.
�������� ��������, ��� ������ ������� ���������� �� ��������
�������� ������ �������� ����������� ��� ��������� �����.
\endproof

\begin{exc}
��������, ��� $\dim H^0(C,\CO_C(D)) \le \deg D + 1 - g$.
\end{exc}

\begin{rem}
�� ������ ������������������ ����������� ������������������ $(*)$
$$
0 \to H^0(C,\CO_C(D-P)) \to H^0(C,\CO_C(D)) \to k(P) \to H^1(C,\CO_C(D-P)) \to H^1(C,\CO_C(D)) \to 0
$$
�������, ��� $\dim H^0(C,\CO_C(D)) - \deg k(P)/k \le \dim H^0(C,\CO_C(D-P)) \le \dim H^0(C,\CO_C(D))$
� $\dim H^1(C,\CO_C(D)) \le \dim H^1(C,\CO_C(D-P)) \le \dim H^1(C,\CO_C(D)) + \deg k(P)/k$.
� ���������, ���� $k$ ������������� �������� (�, ������, $k(P) = k$), ��
$$
\begin{array}{lll}
\scriptstyle\text{���� }\dim H^0(C,\CO_C(D-P)) = \dim H^0(C,\CO_C(D)) - 1
&\scriptstyle\text{ � }
&\scriptstyle\dim H^1(C,\CO_C(D-P)) = \dim H^1(C,\CO_C(D)),\\
\scriptstyle\text{���� }\dim H^0(C,\CO_C(D-P)) = \dim H^0(C,\CO_C(D))
&\scriptstyle\text{ �  }
&\scriptstyle\dim H^1(C,\CO_C(D-P)) = \dim H^1(C,\CO_C(D)) + 1.
\end{array}
$$
\end{rem}

��������, ��� ������������ ��������� ���������� ����� ������� $K$, ��� $\CO(K) \cong \omega$.

\begin{corr}
����� $K_C$ --- ������������ ������� �� ������ $C$. ����� $\deg K_C = 2g - 2$.
\end{corr}
\proof{}
�� �������������� ����� $\dim H^0(C,\CO_C(K_C)) = g$, $\dim H^1(C,\CO_C(K_C)) = 1$,
������� $\chi(\CO_C(K_C)) = g - 1$. �������� ��������������� �������� ������--����.
\endproof

���������������� ���� ������� ������--���� �������� ������� ������� ����� �������
������--����--����������, ����������� �������� �������������� ������������� ������������ 
����� �� ������� ����������� ������������ ����� �������������� ���������� �����
(�������� �����) � �������������� ���������� ������������ (����� ����� ������������
����������).


\subsection*{������� �������}

��� ��������� ��� ������? ����, ��� ����� �� ���� ������ ������� �� ����,
��� ������ ������. �������� ������� --- ��� ������������� ������ � ����
�������� ������ ������, ���� �������� � ������������ ������� �����������.
������� �� ������ ������ ������.

����� $f:X \to Y$ --- �������� ������� ������. ��� ��� �� ������������� ����������,
��� ������������� �������� ����� $K(Y) \subset K(X)$, ������ $\deg f = \deg K(X)/K(Y)$.
�������� $f$ ���������� \emph{�������������}, ���� ������������ ���������� ����� $K(X)/K(Y)$.
����, ��� � �������������� $0$ ������ �������� ������������, � � �������������� $p$
������� ������ ����� ���������������� �������� ����� $p^n$.

\begin{exc}\label{nonsep}
��������, ��� ���� $K(X)/K(Y)$ ����� ��������������� ����������, �� $f:X \to Y$ ---
������� �������� ����������. � ���������, $X \cong Y$ � $g(X) = g(Y)$.
\end{exc}

\begin{lemma}\label{omegas}
����� $f:X \to Y$ --- ������������� �������� ������� ������.
����� ������������������ ������
$$
0 \to f^*\Omega_Y \to \Omega_X \to \Omega_{X/Y} \to 0
$$
�����. � ���������, $\Omega_{X/Y}$ --- ����� �������� �� $X$.
\end{lemma}
\proof{}
����� $f^*\Omega_Y$ � $\Omega_X$ ��������, ��� ��� $X$ � $Y$ ������� � $X$ ���������.
������� ���������� ���������, ��� ������� $f^*\Omega_Y \to \Omega_X$ �����������
� ����� �����. �� � ����� ����� ������������������ ����� ���
$$
\Omega_{K(Y)/k} \otimes_{K(Y)} K(X) \to \Omega_{K(X)/k} \to \Omega_{K(X)/K(Y)} \to 0,
$$
������ $\Omega_{K(X)/K(Y)} = 0$ ��� ��� ���������� $K(X)/K(Y)$ ������� � ������������.
�������������, ������������ ��� ������� �����������, � ������ � �����������.
\endproof

����, ����� ����� ����� ����� ������� $\Omega_X$ � $f^*\Omega_Y$ ���� ������� �����
������������� ��������������. �����������, ��� ���� $k$ ������������� ��������.
����� $x\in X$, $y = f(x) \in Y$ --- ��������� �����, � $t \in \CO_{X,x}$ �
$u\in\CO_{Y,y}$ --- ��������������. ����� $f^*u = at^e$, ��� $e$ --- ����� �����,
� $a$ --- ��������� ������� � $\CO_{X,x}$. ��������, ��� $e$ ���������� ��������
��������� �������� $f$ � ����� $x$. ���� �������������� ���� $k$ ������������ �
����� ������ ��������� $e$, ������� ��� ��������� \emph{�������} (����� �������, ���
��������� \emph{������}).

\begin{lemma}\label{fiberomega}
���� ����� $\Omega_{X/Y}$ � ��������� ����� $x\in X$ �������� ����������� �������,
$\Omega_{X/Y,x} \cong \CO_{X,x}/\m_x^r$, ������ $r = e - 1$, ���� ��������� ������,
� $r\ge e$, ���� ��������� �������.
\end{lemma}
\proof{}
����, ��� $\Omega_{X,x} \cong \CO_{X,x}dt$, $(f^*\Omega_Y)_x \cong \CO_{X,x}du$.
�������� ��������, ��� $du = d(at^e) = eat^{e-1}dt + t^eda$.
\endproof

������� $R = \sum_{P\in X} r_P P$, ��� $r_P$ --- ����� $\CO_{X,P}$-������
$\Omega_{X/Y,P}$ ���������� \emph{��������� ���������} �������� $f$ (����� �������,
��� ��� $r_P \ne 0$ ������ ��� $P \in \operatorname{\mathrm supp}\Omega_{X/Y}$, � �������� ������������
����� --- ��������� ���������).

\begin{thm}[������� �������]
����� $f:X \to Y$ --- ������������� �������� �������~$n$ ������ ��� ������������� ��������� �����.
�����
$$
K_X = f^*K_Y + R.
$$
� ���������,
$$
2g(X) - 2 = n(2g(Y) - 2) + \deg R.
$$
\end{thm}
\proof{}
��������� ������ ������������������ �����~\ref{omegas} �� �����~$\Omega_X^{-1}$:
$$
0 \to \Omega_X^{-1}\otimes f^*\Omega_Y \to \CO_X \to \Omega_{X}^{-1}\otimes\Omega_{X/Y} \to 0.
$$
�� �����~\ref{fiberomega} �������, ��� $\Omega_{X}^{-1}\otimes\Omega_{X/Y} \cong \CO_R$,
������ $\Omega_X^{-1}\otimes f^*\Omega_Y \cong \CO_X(-R)$, ������ �������� ������ ���������.
��������� ������� � ��������� ���, ��� ��� �������� ������ ������� �������� ���������� �� �������
��������, �������� ������ ����������.
\endproof

\begin{rem}
����, ��� ������� ������� ����������� � ��� ������������ ������ --- ���� ������
����� � ���������� �������� ��������� ����� ������� ��������� � ������.
����, ��� ���� ��������� ����������� ���������� ����� $k(x)/k(y)$.
����, ��������, ���������� $k(x)/k(y)$ ������������, �� ��� ��������
�� $k$ � $\overline{k}$ ����� $x$ ����������� �� $\deg k(x)/k(y)$ �����
� ������� ��������� ���������, � ���� ���������� $k(x)/k(y)$ �����
��������������, �� ��� �������� � $\overline{k}$ � ����� $x$ ���������
�������������� ������� ���������.
\end{rem}

\begin{exc}
������������� � �������� ������� ������� ��� ����������� �����.
\end{exc}

�� ������� ������� �������� ��������� ���������.

\begin{exc}
����� $f:X \to Y$ --- �������� �������� ������� $n$. ��������, ��� $g(X) = ng(Y) - n + 1$.
� ���������, �� ���������� �������� �������� ��� $\Pp^1$.
\end{exc}

\begin{corr}[������� ������]
���� $f:\Pp^1 \to C$ --- ��������, �� $g(C) = 0$.
\end{corr}
\proof{}
����������� ���������� $K(\Pp^1)/K(C)$ �� ����� ��������������� � ������������� ����������,
� ��������� �����������~\ref{nonsep}, ������ ��� � ������ ����� �������������� ����������.
� ���� ������ �� ������� ������� �������, ��� $g(C) = 0$, ��� ��� $\deg R \ge 0$.
\endproof

\begin{exc}
����� $X$ --- ������ ���� $1$. ���� $f:X \to Y$ --- ��������, �� ���� $g(Y) = 0$,
���� $g(Y) = 1$ � $f$ --- �������� �������.
\end{exc}



\subsection*{���������� ��������� �� ������}

������� ������--���� ��������� �������� �������������� ���������� �����.
������� �������������� ����������� � ��������� ������� ��������� ���� 
��������� ��� ��� �����������.

\begin{lemma}
����� $D$ --- ������� �� ������ $C$. ���� $\deg D < 0$, �� $H^0(C,\CO_C(D)) = 0$.
���� $\deg D = 0$ � $D \not\sim 0$, �� $H^0(C,\CO(D)) = 0$.
\end{lemma}
\proof{}
����� $H^0(C,\CO_C(D)) \ne 0$. ����� $s$ --- ������������� ������� ����� $\CO_C(D)$
� $D'$ --- ��� ������� �����. ����� $D' \ge 0$ � $D' \sim D$. ������ $\deg D = \deg D' \ge 0$.
������ ���� $\deg D = 0$, �� $\deg D' = 0$, ������������� $D' = 0$.
\endproof

\begin{corr}
���� $\deg D > 2g - 2$, �� $H^1(C,\CO_C(D)) = 0$.
���� $\deg D = 2g - 2$ � $D \not\sim K_C$, �� $H^1(C,\CO(D)) = 0$.
\end{corr}
\proof{}
�������� �������������� �����
$H^k(C,\CO_C(D)) \cong H^{1-k}(C,\CO_C(D)^{-1}\otimes\omega_C)^*$,
�� $\CO_C(D)^{-1}\otimes\omega_X \cong \CO_C(K_C - D)$ �
$\deg(K_C - D) = 2g - 2 - \deg D$.
\endproof

������� $D$ �� ������ $C$ ���������� \emph{�������������}, ���� $H^1(C,\CO_C(D)) = 0$.
������ ��� �� ���������, ��� ������ ������� ������� $\ge 2g - 1$ �����������.
�������, ��� ��� ������������� ��������� ������� ������--���� ���������
����������� ������������ ���������� �������.

\begin{lemma}\label{cample}
����� $D$ --- ������� �� ������ ���� $g$. ���������� ������ �������� �������~$|D|$.
���� $\deg D \ge 2g$, �� $|D|$ �� ����� �������� �����.
���� $\deg D \ge 2g + 1$, �� $|D|$ ����� �������.
\end{lemma}

\begin{exc}
����� $\delta$ --- �������� ������� �� ����� $X$.
��������, ��� $\delta$ �� ����� �������� ����� (����� �������)
����� � ������ �����, ����� ��� �� ����� �������� ����� (����� �������)
�� ����� $X \otimes \overline{k}$.
\end{exc}

\proof{}
� ���� ���������� ����� ������� ���� $k$ ������������� ���������.
����� $P$ --- �������� ����� �������� ������� $|D|$, �� ���� ������
�������, ������� ������������� $D$ �������� ����� $P$. ������
$\dim H^0(C,\CO_C(D - P)) \ge \dim  H^0(C,\CO_C(D))$.
�� ��� $\deg D \ge 2g$ ��� �������� $D$ � $D - P$ ������������,
������� ����������� ����������� ������������ ������� ������--����.

����������� ������, ��� �������� ������� $|D|$ �� ����� �������� �����,
�� �� ��������� ����� $P$ � $Q$, �� ���� ������ �������, �������
������������� $D$ � ����������, ��������, ����� $P$ �������� � ����� $Q$.
������ $\dim H^0(C,\CO_C(D - P - Q)) \ge \dim  H^0(C,\CO_C(D - P))$.
�� ��� $\deg D \ge 2g + 1$ ��� �������� $D - P$ � $D - P - Q$ ������������,
������� ����������� ����������� ������������ ������� ������--����.

�������, ����� �������� ������� �� ��������� ����������� ������� � ����� $P$,
�� ���� ������ �������, ������� ������������� $D$ � ���������� ����� $P$
����� � ����� $P$ ��������� $\ge 2$.
������ $\dim H^0(C,\CO_C(D - 2P)) \ge \dim  H^0(C,\CO_C(D - P))$.
�� ��� $\deg D \ge 2g + 1$ ��� �������� $D - 2P$ � $D - P$ ������������,
������� ����������� ����������� ������������ ������� ������--����.
\endproof

���������� ���������� ��� ��������� �������� �� ������ ����������������� �������.

\begin{lemma}
����� $C$ ������ ���� $0$ ��� ������������� ��������� �����.
����� $C \cong \Pp^1$.
\end{lemma}
\proof{}
����� $D$ --- ������� ������� $1$ �� $C$ (��������, $D = P$).
��� ��� $1 = 2g + 1$, ������� $D$ ����� ������, ������
$\dim H^0(C,\CO_C(D)) = \deg D + 1 - g = 2$,
������������� �������� ������� $f:C \to \Pp^1$,
����� ��� $f^*\CO_{\Pp^1}(1) \cong \CO_C(D)$.
��� ��� ��� �������� ������ ������������ ��������� ��������
������� ���������� ����� ���������� �� ������� ���������� �����,
�� $\deg K(C)/K(\Pp^1) = 1$, ������ $K(C) = K(\Pp^1)$, �� ���� $C = \Pp^1$,
��� ��� ������� ����������� ������ ���������� ������������ ����� ����� �������.
\endproof

\begin{exc}
����� $C \subset \Pp_k^2$ --- ������, �� ������� ����� ��� ����� $k$.
��������, ��� ��� $C$ ����� ����, �� $C \not\cong \Pp^1_k$.
���������, ��� ����� ������ ���� ���� ��������� ������
(��������: $\deg(-K_C) = 2$).
\end{exc}

������ ������ ���� $1$ ���������� \emph{������������� ������}. � ���������� �� ������,
��� ���������� ������ ������������� ������ ���� ��� ������������� ��������� �����.

\begin{exc}
��������, ��� ������ ���� $1$ ��� ������������� ��������� �����\\
$(i)$ �������������� ��� ���������� �������� $\Pp^1$;\\
$(ii)$ ��������� ���������� ������ � $\Pp^2$.
\end{exc}

������� $D$ ���������� \emph{���������}, ���� $\dim H^0(C,\CO_C(D)) \ge 2$.
����� $C$ --- ������ ���� $g\ge 1$. ����, ��� ������� ������� $D$ ������� $1$
�� ������ $C$ �� ����� ���� ��������� (����� $C \cong \Pp^1$).

\begin{lemma}
����� $D$ --- ������� ������� $2$ �� ������ $C$ ���� $g\ge 1$.
���� $D$ ��������, �� �������� ������� $|D|$ �� ����� �������� �����.
\end{lemma}
\proof{}
����� �������, ��� ���� $k$ ������������� �������� �
���� ���������, ��� $\dim H^0(C,\CO_C(D-P)) \le 1$.
�� ���� $\dim H^0(C,\CO_C(D-P)) \ge 2$, �� $D - P$
��� �� ��������� ��������� ������� $1$, ��� ���������� ��� ��� $g\ge 1$.
\endproof

�������, ��� $\dim H^0(C,\CO_C(D)) \le 2$ ��� ������� �������� ������� $2$
�� ������ ���� $\ge 1$ (����� ��� ����� $\overline{k}$ ������� $D - P$
��� �� ��������� ��������� ������� $1$). ����� �������, ������ ��������� �������
$D$ ������� $2$ �� ������ $C$ ���� $\ge 1$ ������ ����������� $C \to \Pp^1$,
�������, ��� ����� ������, �������� ���������� ���������.

\begin{opr}
������ $C$ ���� $g \ge 2$ ���������� \emph{������������������}, ���� ����������
���������� �������� $C \to \Pp^1$.
\end{opr}

������ ��� �� ��������, ��� ������ ��������������� ����� � ������ �����,
����� �� ��� ���������� ��������� ������� ������� $2$.

\begin{exc}
��������, ��� ����� ������ ���� $2$ ���������������.
\end{exc}

\begin{thm}
����� $C$ --- ������ ���� $g\ge 2$. ������������ ������� $K_C$ �� $C$ ����� ������
����� � ������ �����, ����� $C$ �� ���������������.
\end{thm}
\proof{}
��� �������� � �����~\ref{cample} ���������� ���������, ���
$$
\dim H^0(C,\CO_C(K_C - P)) = g - 1
\quad\text{�}\quad
\dim H^0(C,\CO_C(K_C - P - Q)) = g - 2
$$
��� ���� ����� $P,Q\in C\otimes\overline{k}$.
� ����� ����, ���� $\dim H^0(C,\CO_C(K_C - P)) = g$, �� �� ������� ������--���� � �������������� �����
$\dim H^0(C,\CO_C(P)) = \dim H^1(C,\CO_C(K_C - P)) = 2$, �� ���� $P$ �������� ��������� ���������
������� $1$ �� $C$, ��� ����������, ��� ��� $g \ge 2$. ����������, ���� $\dim H^0(C,\CO_C(K_C - P - Q)) = g - 1$,
�� $P + Q$ �������� ��������� ��������� ������� $2$ �� $C$, ��� ����������� ������������������ ������.
\endproof

����� $C$ --- �������������������� ������ ���� $g$. �������� ������� $|K_C|$ ������ ��������
������ $C$ � $\Pp^{g-1}$. �� ����� ���������� \emph{����������� ��������� ������}, ��� ������
\emph{������������ ������}.

\begin{exc}[�������������� ������� ������--����]
����� $C \subset \Pp^{g-1}$ --- ������������ ������ ���� $g$.
��������, ��� $\dim|P_1+P_2+\dots+P_r| + \dim\langle P_1,P_2,\dots,P_r\rangle = r - 1$,
��� $\langle P_1,P_2,\dots,P_r\rangle$ --- �������� �������� ����� $P_1,P_2,\dots,P_r$ � $\Pp^{g-1}$.
\end{exc}

\begin{exc}
��������, ��� ����� ��� ��������� �������� ������� $2$ �� ������������������ ������
������� ������������.
\end{exc}

\begin{exc}[�������������� ������� ������--����]
����� $C$ --- ������������������ ������ ���� $g$.
��������, ��� $|K_C|$ �� ����� �������� �����, � �����������, ���������� 
���� �������� �������� �������� ����������� ����������� �������� $C \to \Pp^1$
� �������� �������� $\Pp^1 \to \Pp^{g-1}$.
\end{exc}


\subsection*{������������� ������}

� ������� �� ������ ���� 0, ������� ��� ������������� ��������� �����
��� ���������~$\Pp^1$, ������������� ������ ������ ������� ��� ����� �����.
����������� ��� �������� ������� ���� $k$, $\cchar k \ne 2$.

�������� ������ �������� ���������� �������� $\Pp^1$ ������������� � ������� ������.
�������, ��� ��������� ���� �������� ������� ��������� ����� ����������� ������ ---
������������� �������������� ������������. ���������� ��� �� ������
$\Aut\Pp^1 = {\mathsf PGL}_2$, ������� ���������, �������� ����������
������, ������� ������������� ��������� ���� ������������� ������.
�������, ����� ��� ����������� ������� �������, ����� ���-��� ��������.

\begin{lemma}
����� $C$ --- ������������� ������ � $P\in C$. ���������� ������������
������������� � ����� $P$ ���������� �������� $C \to \Pp^1$.
\end{lemma}
\proof{}
����, ��� ����� �������� ������ ���������� ����������� �������� ������� $|2P|$,
������� ���������� ���������, ��� $\dim H^0(C,\CO_C(2P)) = 2$ � ��� ������� $|2P|$
�� ����� �������� �����. �� ��� ������������� ���, ��������� $\deg(2P) = 2 = 2g$.
\endproof

\begin{lemma}
��� ����� ����� $P,P'\in C$ ���������� ��������� $\sigma$ ������ $C$,
����� ��� $\sigma(P) = P'$. � ��������� ������ $\Aut C$ ���������
�� ��������� ����� �����������.
\end{lemma}
\proof{}
��� �� ��� � � ���������� ����� ���������, ��� �����������,
���������� �������� �������� $|P + P'|$ �������� ���������� ��������� $\Pp^1$.
������ ���� $K(C)$ �������� ����������� ������� 2 ���� $K(\Pp^1)$.
����� $\sigma$ --- ����������� ���� $K(C)$ ��� $K(\Pp^1)$.
����, ��� �� ��������� �� $C$ � ��������� $P$ � $P'$.
\endproof

\begin{prop}
����� $f:C \to \Pp^1$ � $f':C' \to \Pp^1$ --- ���������� ��������,
������������� � ������ $P_1,P_2,P_3,P_4$ � $P'_1,P'_2,P'_3,P'_4$
��������������. ������ $C$ � $C'$ ��������� ����� � ������ �����,
����� ���������� ����������� $g\in\Aut\Pp^1$, ����� ���
$g(f(P_i)) = f'(P'_i)$ ��� ���� $i$.
\end{prop}
\proof{}
����������� �������, ��� ������ ���������, �� ���� ����� �������, ��� $C' = C$.
��������, ���� �����, �����������, ����� �������, ��� $P'_1 = P_1$.
��� ��� �������� $f$ � $f'$ ��� ����������� � ����� $P_1$, ��� ������������,
�� ���� ���������� �� ����������� $g \in \Aut\Pp^1$. ����, ��� ���� ����������
��� � �����.

�������, ���� ��������, ��� ������������� ������ $C$ ���������� ������������
������ ������� ���������. ������� ���������� �� $\Pp^1$ ���, ����� �������
��������� ���� ����� $0,1,\infty$ � $\lambda$. ��� ��� ���� $K(C)$ ��������
����������� ������� $2$ ���� $K(\Pp^1) = k(x)$, �� ����� ����������� ��� � ����
$K(C) = k(x)[y]/(y^2 - f(x))$, ��� $f(x) \in k[x]$ �� ����� ������� ������.
���������������� ���������� (�� ��� ����������� � ������� ��������) ����������,
��� ������� $C \to \Pp^1$ ���������� ��� ������� ���������� $f(x)$, � ����
$\deg f(x)$ �������, �� ��� � ��� ������ $\infty$. ������ � ����� ������
������ �������� ���������� $y^2 = x(x-1)(x-\lambda)$.
\endproof

\begin{exc}
��������, ��� ����� ������ ����� �� $\Pp^1$ ������������� ��������� � ����� $0,1,\lambda,\infty$.
���������, ��� ����� $0,1,\lambda,\infty$ ����������� ������������� � $0,1,\mu,\infty$ ����� � ������ �����,
����� $\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{\lambda^2(\lambda-1)^2} = \frac{(\mu^2-\mu+1)^3}{\mu^2(\mu-1)^2}$.
\end{exc}

����� $C$ --- ������������� ������. ���������� �� � ���� ����������� �������� $\Pp^1$,
� ���������� �� $\Pp^1$ ������� ���, ����� ������� ��������� ���� ����� $0,1,\lambda,\infty$.
���������� ������ $C$ �����
$$
j(C) = 2^8\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{\lambda^2(\lambda-1)^2}.
$$
��� ���������� $j$-����������� ������������� ������ $C$. ����������� ����
����������� ����������

\begin{thm}
������������� ������ $C$ � $C'$ ��������� ����� � ������ �����, ����� $j(C) = j(C')$.
\end{thm}

����� �������, ��������� ���� ������������� ������ ��������������� �� ����������
���� �������� $j$-����������, �������, ��� ����� ������, ����� ��������� ����� ��������.

\begin{exc}
����� $\cchar k \ne 2,3$. ��������, ��� ������ ������������� ������������� ������, ����������� ����� $P$,
%����� ������� $\scriptstyle\begin{cases}6, & \text{���� $j = 1728$}\\4, & \text{���� $j = 0$}\\2, & \text{�����}\end{cases}$
����� �������
$$
\bullet\ \text{$6$, ���� $j = 1728$},\qquad\qquad
\bullet\ \text{$4$, ���� $j = 0$},\qquad\text{�}\qquad
\bullet\ \text{$2$, ���� $j \ne 0,1728$.}
$$
\end{exc}

���������� �������, ��� ������ ������������� ������ �������� ���������� ������.

\begin{prop}
����� $P_0 \in C$. ����������� $P \to \CO_C(P-P_0)$ ������ ����������
��������� ����� ������ $C$ �� ������ $\Pic^0(C)$ ��������� ������ ������� $0$.
\end{prop}
\proof{}
�������������: ���� $\CO_C(P-P_0) \cong \CO_C(P'-P_0)$, �� $P-P_0 \sim P'-P_0$,
�� ���� $P\sim P'$. �� ����� $|P|$ --- ��������� �������� ������� ������� $1$,
��� ����������.

��������������: ����� $\CL$ --- �������� ���������� ������� $0$. �� ������� ������--����
$\chi(\CL(P_0)) = \deg(\CL(P_0)) = 1$, ������ ����� $\CL(P_0)$ �������� ���������� ��������,
������� ������ ����� ����� ���� ���� (��� ��� $\deg\CL(P_0) = 1$). ������ $\CL(P_0) \cong \CO_C(P)$,
�� ���� $\CL \cong \CO_C(P-P_0)$.
\endproof

�� ����� ����, ������ $\Pic^0(X)$ �������� ������������ ���������� ����� ��� ������
������������ ������������ $X$ (��� �������� ��������� ������), � ����������� ����
����������� $C \to \Pic^0(C)$ �������� ������������ ����.

\end{document}
