\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\CA}{{\mathcal A}} \newcommand{\CE}{{\mathcal E}} \newcommand{\CF}{{\mathcal F}} \newcommand{\CG}{{\mathcal G}} \newcommand{\CH}{{\mathcal H}} \newcommand{\CJ}{{\mathcal J}} \newcommand{\CK}{{\mathcal K}} \newcommand{\CL}{{\mathcal L}} \newcommand{\CV}{{\mathcal V}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\CO}{{\mathcal O}} \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\Pp}{{\mathbb P}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\qq}{\mathfrak q} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\calo}{{\mathcal O}} \newcommand{\F}{{\mathcal F}} \newcommand{\E}{{\mathcal E}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}} \newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}} \newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}} \newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}} \newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \newcommand{\degtr}{\operatorname{{\sf deg\,tr}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006} \begin{document} \setcounter{section}{18} \stepcounter{section} \section*{Лекция 19.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Род кривой. Теорема Римана--Роха. Теорема Гурвица. Гиперэллиптические кривые. Каноническое вложение. Эллиптические кривые. \end{minipage} \end{center} \subsection*{Род кривой} Пусть $X$ --- проективная схема над полем $k$. Тогда $H^0(X,\CO_X)$ --- коммутативная алгебра над~$k$, причем конечномерная в силу проективности схемы $X$. Заметим, что если схема $X$ целая, то алгебра $H^0(X,\CO_X)$ не имеет делителей нуля, значит является полем $K$, конечным расширением поля $k$. В этом случае всякое локальное кольцо схемы $X$ имеет естественную структуру $K$-алгебры, то есть $X$ является схемой над $K$, а струтурный морфизм $X \to \Spec k$ представляется в виде композиции $X \to \Spec K \to \Spec k$ (факторизация Штейна!). Если расширение $K/k$ нетривиально, то при переходе от $X$ к $X \otimes\overline{k}$, наша схема перестает быть связной (если $K/k$ сепарабельно), или приобретает нильпотенты (если $K/k$ чисто несапарабельно), или происходит и то и другое. \begin{opr} Схема $X$ называется \emph{геометрически связной} (\emph{геометрически приведенной}, \emph{геометрически целой}, и т.д.), если схема $X \otimes\overline{k}$ связна (приведена, цела и т.д.). \end{opr} %Ясно, что схему $X$ естественнее расматривать над полем $K$, %а не над полем $k$. В дальнейшем мы будем придерживаться этого правила. Напомним, что кривой называется геометрически целая отделимая одномерная схема над полем $k$. В прошлом семестре мы доказали, что всякая собственная кривая проективна. \begin{opr} \emph{Арифметический род} кривой $C$ --- это число $p_a(C) = \dim H^1(C,\CO_C)$. \emph{Геометрический род} кривой $C$ --- это число $p_g(C) = \dim H^0(C,\Omega_C)$. \end{opr} \begin{lemma} Если $C$ --- неособая проективная кривая, то $p_a(C) = p_g(C)$. \end{lemma} \proof{} Это непосредственно следует из двойственности Серра. \endproof Так как арифметический род гладкой проективной кривой равен геометрическому роду, его называют также просто \emph{родом} и обозначают $g$. Род кривой --- важнейший (и, более того, единственный) ее дискретный инвариант. Заметим, что род --- всегда неотрицателен! Важнейшим вычислительным средством изучения кривых является следующая \begin{thm}[теорема Римана--Роха] Пусть $D$ --- дивизор на гладкой проективной кривой $C$ рода $g$ над полем $k$. Тогда $$ \dim_k H^0(C,\CO_C(D)) - \dim_k H^1(C,\CO_C) = \deg D + 1 - g. $$ \end{thm} \proof{} Пусть вначале $D = 0$. Тогда $\CO_C(D) = \CO_C$, $H^0(C,\CO_C) = k$ (так как $C$ геометрически цела и проективна) и $\dim H^1(C,\CO_C) = p_a(C) = g$ по определению рода, поэтому требуемое равенство очевидно выполняется. Пусть теперь $D$ --- произвольный дивизор и $P$ --- точка кривой $C$. Рассматривая точку $P$ как дивизор, получаем обратимый пучок $\CO_C(P)$ и его регулярное сечение $s\in H^0(C,\CO_C(P))$, дивизор которого совпадает с $P$. Сечение $s$ задает гомоморфизм $\CO_C(-P) \to \CO_C$. Легко видеть, что он является вложением, а его коядро --- структурный пучок точки $P$. Иначе говоря, имеем точную последовательность $$ 0 \to \CO_C(-P) \to \CO_C \to \CO_P \to 0. $$ Подкручивая ее на обратимый пучок $\CO_C(D)$, получаем точную последовательность $$ 0 \to \CO_C(D-P) \to \CO_C(D) \to \CO_P \to 0\leqno{(*)} $$ (заметим, что $\CO_P \otimes \CO_C(D) \cong \CO_P$, так как пучок $\CO_C(D)$ в окрестности точки $P$ изоморфен пучку $\CO_C$). Заметим, что $H^1(C,\CO_P) = H^1(P,\CO_P) = 0$, $H^0(C,\CO_P) = k(P)$. В частности, $\chi(\CO_P) = \dim_k k(P) = \deg P$, следовательно, $\chi(\CO_C(D)) = \chi(\CO_C(D-P)) + \deg P$. Итак, мы видим, что теорема Римана--Роха для дивизора $D$ выполняется тогда и только тогда, когда она выполняется длядивизора $D - P$. Остается заметить, что всякий дивизор получается из нулевого конечным числом операций прибавления или убавления точки. \endproof \begin{exc} Покажите, что $\dim H^0(C,\CO_C(D)) \le \deg D + 1 - g$. \end{exc} \begin{rem} Из точной последовательности когомологий последовательности $(*)$ $$ 0 \to H^0(C,\CO_C(D-P)) \to H^0(C,\CO_C(D)) \to k(P) \to H^1(C,\CO_C(D-P)) \to H^1(C,\CO_C(D)) \to 0 $$ следует, что $\dim H^0(C,\CO_C(D)) - \deg k(P)/k \le \dim H^0(C,\CO_C(D-P)) \le \dim H^0(C,\CO_C(D))$ и $\dim H^1(C,\CO_C(D)) \le \dim H^1(C,\CO_C(D-P)) \le \dim H^1(C,\CO_C(D)) + \deg k(P)/k$. В частности, если $k$ алгебраически замкнуто (и, значит, $k(P) = k$), то $$ \begin{array}{lll} \scriptstyle\text{либо }\dim H^0(C,\CO_C(D-P)) = \dim H^0(C,\CO_C(D)) - 1 &\scriptstyle\text{ и } &\scriptstyle\dim H^1(C,\CO_C(D-P)) = \dim H^1(C,\CO_C(D)),\\ \scriptstyle\text{либо }\dim H^0(C,\CO_C(D-P)) = \dim H^0(C,\CO_C(D)) &\scriptstyle\text{ и } &\scriptstyle\dim H^1(C,\CO_C(D-P)) = \dim H^1(C,\CO_C(D)) + 1. \end{array} $$ \end{rem} Напомним, что каноническим дивизором называется такой дивизор $K$, что $\CO(K) \cong \omega$. \begin{corr} Пусть $K_C$ --- канонический дивизор на кривой $C$. Тогда $\deg K_C = 2g - 2$. \end{corr} \proof{} По двойственности Серра $\dim H^0(C,\CO_C(K_C)) = g$, $\dim H^1(C,\CO_C(K_C)) = 1$, поэтому $\chi(\CO_C(K_C)) = g - 1$. Остается воспользоваться теоремой Римана--Роха. \endproof Сформулированная нами теорема Римана--Роха является частным случаем общей теоремы Римана--Роха--Хирцебруха, вычисляющей эйлерову характеристику произвольного когерентного пучка на гладком проективном многообразии через топологические инварианты пучка (характер Черна) и топологические инварианты многообразия (класс Тодда касательного расслоения). \subsection*{Теорема Гурвица} Как вычислить род кривой? Ясно, что ответ на этот вопрос зависит от того, как задана кривая. Основные способы --- это представление кривой в виде накрытия другой кривой, либо вложение в многообразие большей размерности. Сегодня мы изучим первый способ. Пусть $f:X \to Y$ --- конечный морфизм кривых. Так как он автоматически доминантен, ему соответствует вложение полей $K(Y) \subset K(X)$, причем $\deg f = \deg K(X)/K(Y)$. Накрытие $f$ называется \emph{сепарабельным}, если сепарабельно расширение полей $K(X)/K(Y)$. Ясно, что в характеристике $0$ всякое накрытие сепарабельно, а в характеристике $p$ степень любого чисто несепарабельного накрытия равна $p^n$. \begin{exc}\label{nonsep} Покажите, что если $K(X)/K(Y)$ чисто немепарабельное расширение, то $f:X \to Y$ --- степень морфизма Фробениуса. В частности, $X \cong Y$ и $g(X) = g(Y)$. \end{exc} \begin{lemma}\label{omegas} Пусть $f:X \to Y$ --- сепарабельный конечный морфизм кривых. Тогда последовательность пучков $$ 0 \to f^*\Omega_Y \to \Omega_X \to \Omega_{X/Y} \to 0 $$ точна. В частности, $\Omega_{X/Y}$ --- пучок кручения на $X$. \end{lemma} \proof{} Пучки $f^*\Omega_Y$ и $\Omega_X$ обратимы, так как $X$ и $Y$ гладкие и $X$ приведена. Поэтому достаточно проверить, что морфизм $f^*\Omega_Y \to \Omega_X$ нетривиален в общей точке. Но в общей точке последовательность имеет вид $$ \Omega_{K(Y)/k} \otimes_{K(Y)} K(X) \to \Omega_{K(X)/k} \to \Omega_{K(X)/K(Y)} \to 0, $$ причем $\Omega_{K(X)/K(Y)} = 0$ так как расширение $K(X)/K(Y)$ конечно и сепарабельно. Следовательно, интересующий нас морфизм сюръективен, а значит и нетривиален. \endproof Итак, чтобы найти связь между пучками $\Omega_X$ и $f^*\Omega_Y$ надо описать пучок относительных дифференциалов. Предположим, что поле $k$ алгебраически замкнуто. Пусть $x\in X$, $y = f(x) \in Y$ --- замкнутые точки, а $t \in \CO_{X,x}$ и $u\in\CO_{Y,y}$ --- униформизующие. Тогда $f^*u = at^e$, где $e$ --- целое число, а $a$ --- обратимый элемент в $\CO_{X,x}$. Напомним, что $e$ называется индексом ветвления морфизма $f$ в точке $x$. Если характеристика поля $k$ положительна и делит индекс ветвления $e$, говорят что ветвление \emph{сильное} (иначе говорят, что ветвление \emph{слабое}). \begin{lemma}\label{fiberomega} Слой пучка $\Omega_{X/Y}$ в замкнутой точке $x\in X$ является циклическим модулем, $\Omega_{X/Y,x} \cong \CO_{X,x}/\m_x^r$, причем $r = e - 1$, если ветвление слабое, и $r\ge e$, если ветвление сильное. \end{lemma} \proof{} Ясно, что $\Omega_{X,x} \cong \CO_{X,x}dt$, $(f^*\Omega_Y)_x \cong \CO_{X,x}du$. Остается заметить, что $du = d(at^e) = eat^{e-1}dt + t^eda$. \endproof Дивизор $R = \sum_{P\in X} r_P P$, где $r_P$ --- длина $\CO_{X,P}$-модуля $\Omega_{X/Y,P}$ называется \emph{дивизором ветвления} морфизма $f$ (сумма конечна, так как $r_P \ne 0$ только для $P \in \operatorname{\mathrm supp}\Omega_{X/Y}$, а носитель когерентного пучка --- замкнутое множество). \begin{thm}[Теорема Гурвица] Пусть $f:X \to Y$ --- сепарабельное накрытие степени~$n$ кривых над алгебраически замкнутым полем. Тогда $$ K_X = f^*K_Y + R. $$ В частности, $$ 2g(X) - 2 = n(2g(Y) - 2) + \deg R. $$ \end{thm} \proof{} Подкрутим точную последовательность леммы~\ref{omegas} на пучок~$\Omega_X^{-1}$: $$ 0 \to \Omega_X^{-1}\otimes f^*\Omega_Y \to \CO_X \to \Omega_{X}^{-1}\otimes\Omega_{X/Y} \to 0. $$ Из леммы~\ref{fiberomega} следует, что $\Omega_{X}^{-1}\otimes\Omega_{X/Y} \cong \CO_R$, значит $\Omega_X^{-1}\otimes f^*\Omega_Y \cong \CO_X(-R)$, откуда получаем первое равенство. Сравнивая степени и пользуясь тем, что при обратном образе степень дивизора умножается на степень морфизма, получаем второе равентство. \endproof \begin{rem} Ясно, что теорема Гурвица выполняется и над незамкнутыми полями --- весь вопрос здесь в вычислении дивизора ветвления через индексы ветвления в точках. Ясно, что надо учитывать возникающие расширения полей $k(x)/k(y)$. Если, например, расширение $k(x)/k(y)$ сепарабельно, то при переходе от $k$ к $\overline{k}$ точка $x$ распадается на $\deg k(x)/k(y)$ точек с равными индексами ветвления, а если расширение $k(x)/k(y)$ чисто несепарабельно, то при переходе к $\overline{k}$ в точке $x$ возникает дополнительное сильное ветвление. \end{rem} \begin{exc} Сформулируйте и докажите теорему Гурвица над незамкнутым полем. \end{exc} Из теоремы Гурвица вытекает множество следствий. \begin{exc} Пусть $f:X \to Y$ --- этальное накрытие степени $n$. Покажите, что $g(X) = ng(Y) - n + 1$. В частности, не существует этальных накрытий над $\Pp^1$. \end{exc} \begin{corr}[теорема Люрота] Если $f:\Pp^1 \to C$ --- накрытие, то $g(C) = 0$. \end{corr} \proof{} Раскладывая расширение $K(\Pp^1)/K(C)$ на чисто несепарабельное и сеперабельное расширения, и пользуясь упражнением~\ref{nonsep}, сводим все к случаю чисто сепарабельного расширения. В этом случае из теоремы Гурвица следует, что $g(C) = 0$, так как $\deg R \ge 0$. \endproof \begin{exc} Пусть $X$ --- кривая рода $1$. Если $f:X \to Y$ --- накрытие, то либо $g(Y) = 0$, либо $g(Y) = 1$ и $f$ --- этальный морфизм. \end{exc} \subsection*{Обильность дивизоров на кривой} Теорема Римана--Роха вычисляет эйлерову характеристику обратимого пучка. Простые дополнительные соображения в некоторых случаях позволяют явно вычислить все его когомологии. \begin{lemma} Пусть $D$ --- дивизор на кривой $C$. Если $\deg D < 0$, то $H^0(C,\CO_C(D)) = 0$. Если $\deg D = 0$ и $D \not\sim 0$, то $H^0(C,\CO(D)) = 0$. \end{lemma} \proof{} Пусть $H^0(C,\CO_C(D)) \ne 0$. Пусть $s$ --- нетривиальное сечение пучка $\CO_C(D)$ и $D'$ --- его дивизор нулей. Тогда $D' \ge 0$ и $D' \sim D$. Значит $\deg D = \deg D' \ge 0$. Причем если $\deg D = 0$, то $\deg D' = 0$, следовательно $D' = 0$. \endproof \begin{corr} Если $\deg D > 2g - 2$, то $H^1(C,\CO_C(D)) = 0$. Если $\deg D = 2g - 2$ и $D \not\sim K_C$, то $H^1(C,\CO(D)) = 0$. \end{corr} \proof{} Согласно двойственности Серра $H^k(C,\CO_C(D)) \cong H^{1-k}(C,\CO_C(D)^{-1}\otimes\omega_C)^*$, но $\CO_C(D)^{-1}\otimes\omega_X \cong \CO_C(K_C - D)$ и $\deg(K_C - D) = 2g - 2 - \deg D$. \endproof Дивизор $D$ на кривой $C$ называется \emph{неспециальным}, если $H^1(C,\CO_C(D)) = 0$. Только что мы проверили, что всякий дивизор степени $\ge 2g - 1$ неспециален. Заметим, что для неспециальных дивизоров теорема Римана--Роха вычисляет размерность пространства глобальных сечений. \begin{lemma}\label{cample} Пусть $D$ --- дивизор на кривой рода $g$. Рассмотрим полную линейную систему~$|D|$. Если $\deg D \ge 2g$, то $|D|$ не имеет базисных точек. Если $\deg D \ge 2g + 1$, то $|D|$ очень обильна. \end{lemma} \begin{exc} Пусть $\delta$ --- линейная система на схеме $X$. Докажите, что $\delta$ не имеет базисных точек (очень обильна) тогда и только тогда, когда она не имеет базисных точек (очень обильна) на схеме $X \otimes \overline{k}$. \end{exc} \proof{} В силу упражнения можно считать поле $k$ алгебраически замкнутым. Пусть $P$ --- базисная точка линейной системы $|D|$, то есть всякий дивизор, линейно эквивалентный $D$ проходит через $P$. Значит $\dim H^0(C,\CO_C(D - P)) \ge \dim H^0(C,\CO_C(D))$. Но при $\deg D \ge 2g$ оба дивизора $D$ и $D - P$ неспециальны, поэтому приведенное неравенство противоречит теореме Римана--Роха. Предположим теперь, что линейная система $|D|$ не имеет базисных точек, но не разделяет точки $P$ и $Q$, то есть всякий дивизор, линейно эквивалентный $D$ и проходящий, например, через $P$ проходит и через $Q$. Значит $\dim H^0(C,\CO_C(D - P - Q)) \ge \dim H^0(C,\CO_C(D - P))$. Но при $\deg D \ge 2g + 1$ оба дивизора $D - P$ и $D - P - Q$ неспециальны, поэтому приведенное неравенство противоречит теореме Римана--Роха. Наконец, пусть линейная система не разделяет касательные векторы в точке $P$, то есть всякий дивизор, линейно эквивалентный $D$ и проходящий через $P$ имеет в точке $P$ кратность $\ge 2$. Значит $\dim H^0(C,\CO_C(D - 2P)) \ge \dim H^0(C,\CO_C(D - P))$. Но при $\deg D \ge 2g + 1$ оба дивизора $D - 2P$ и $D - P$ неспециальны, поэтому приведенное неравенство противоречит теореме Римана--Роха. \endproof Полученные результаты уже позволяют ответить на первые классификационные вопросы. \begin{lemma} Пусть $C$ кривая рода $0$ над алгебраически замкнутым полем. Тогда $C \cong \Pp^1$. \end{lemma} \proof{} Пусть $D$ --- дивизор степени $1$ на $C$ (например, $D = P$). Так как $1 = 2g + 1$, дивизор $D$ очень обилен, причем $\dim H^0(C,\CO_C(D)) = \deg D + 1 - g = 2$, следовательно получаем морфизм $f:C \to \Pp^1$, такой что $f^*\CO_{\Pp^1}(1) \cong \CO_C(D)$. Так как при обратном образе относительно конечного морфизма степень обратимого пучка умножается на степень расширения полей, то $\deg K(C)/K(\Pp^1) = 1$, значит $K(C) = K(\Pp^1)$, то есть $C = \Pp^1$, так как гладкая проективная кривая однозначно определяется своим полем функций. \endproof \begin{exc} Пусть $C \subset \Pp_k^2$ --- коника, не имеющая точек над полем $k$. Покажите, что род $C$ равен нулю, но $C \not\cong \Pp^1_k$. Проверьте, что любая кривая рода нуль изоморфна конике (указание: $\deg(-K_C) = 2$). \end{exc} Всякая кривая рода $1$ называется \emph{эллиптической кривой}. В дальнейшем мы увидим, что существуют разные эллиптические кривые даже над алгебраически замкнутым полем. \begin{exc} Покажите, что кривая рода $1$ над алгебраически замкнутым полем\\ $(i)$ представляется как двулистное накрытие $\Pp^1$;\\ $(ii)$ изоморфна кубической кривой в $\Pp^2$. \end{exc} Дивизор $D$ называется \emph{подвижным}, если $\dim H^0(C,\CO_C(D)) \ge 2$. Пусть $C$ --- кривая рода $g\ge 1$. Ясно, что никакой дивизор $D$ степени $1$ на кривой $C$ не может быть подвижным (иначе $C \cong \Pp^1$). \begin{lemma} Пусть $D$ --- дивизор степени $2$ на кривой $C$ рода $g\ge 1$. Если $D$ подвижен, то линейная система $|D|$ не имеет базисных точек. \end{lemma} \proof{} Можно считать, что поле $k$ алгебраически замкнуто и надо проверить, что $\dim H^0(C,\CO_C(D-P)) \le 1$. Но если $\dim H^0(C,\CO_C(D-P)) \ge 2$, то $D - P$ был бы подвижным дивизором степени $1$, что невозможно так как $g\ge 1$. \endproof Заметим, что $\dim H^0(C,\CO_C(D)) \le 2$ для всякого дивизора степени $2$ на кривой рода $\ge 1$ (иначе над полем $\overline{k}$ дивизор $D - P$ был бы подвижным дивизором степени $1$). Таким образом, всякий подвижный дивизор $D$ степени $2$ на кривой $C$ рода $\ge 1$ задает отображение $C \to \Pp^1$, которое, как легко видеть, является двулистным накрытием. \begin{opr} Кривая $C$ рода $g \ge 2$ называется \emph{гиперэллиптической}, если существует двулистное накрытие $C \to \Pp^1$. \end{opr} Только что мы показали, что кривая гиперэллиптична тогда и только тогда, когда на ней существует подвижный дивизор степени $2$. \begin{exc} Покажите, что любая кривая рода $2$ гиперэллиптична. \end{exc} \begin{thm} Пусть $C$ --- кривая рода $g\ge 2$. Канонический дивизор $K_C$ на $C$ очень обилен тогда и только тогда, когда $C$ не гиперэллиптична. \end{thm} \proof{} Как показано в лемме~\ref{cample} достаточно проверить, что $$ \dim H^0(C,\CO_C(K_C - P)) = g - 1 \quad\text{и}\quad \dim H^0(C,\CO_C(K_C - P - Q)) = g - 2 $$ для всех точек $P,Q\in C\otimes\overline{k}$. В самом деле, если $\dim H^0(C,\CO_C(K_C - P)) = g$, то по теореме Римана--Роха и двойственности Серра $\dim H^0(C,\CO_C(P)) = \dim H^1(C,\CO_C(K_C - P)) = 2$, то есть $P$ является подвижным дивизором степени $1$ на $C$, что невозможно, так как $g \ge 2$. Аналогично, если $\dim H^0(C,\CO_C(K_C - P - Q)) = g - 1$, то $P + Q$ является подвижным дивизором степени $2$ на $C$, что равносильно гиперэллиптичности кривой. \endproof Пусть $C$ --- негиперэллиптическая кривая рода $g$. Линейная система $|K_C|$ задает вложение кривой $C$ в $\Pp^{g-1}$. Ее образ называется \emph{канонически вложенной кривой}, или просто \emph{канонической кривой}. \begin{exc}[геометрическая теорема Римана--Роха] Пусть $C \subset \Pp^{g-1}$ --- каноническая кривая рода $g$. Покажите, что $\dim|P_1+P_2+\dots+P_r| + \dim\langle P_1,P_2,\dots,P_r\rangle = r - 1$, где $\langle P_1,P_2,\dots,P_r\rangle$ --- линейная оболочка точек $P_1,P_2,\dots,P_r$ в $\Pp^{g-1}$. \end{exc} \begin{exc} Покажите, что любые два подвижных дивизора степени $2$ на гиперэллиптической кривой линейно эквивалентны. \end{exc} \begin{exc}[геометрическая теорема Римана--Роха] Пусть $C$ --- гиперэллиптическая кривая рода $g$. Покажите, что $|K_C|$ не имеет базисных точек, а отображение, задаваемое этой линейной системой является композицией двулистного накрытия $C \to \Pp^1$ и вложения Веронезе $\Pp^1 \to \Pp^{g-1}$. \end{exc} \subsection*{Эллиптические кривые} В отличии от кривых рода 0, которые над алгебраически замкнутым полем все изоморфны~$\Pp^1$, эллиптические кривые бывают разными над любым полем. Ограничимся для простоты случаем поля $k$, $\cchar k \ne 2$. Примером кривой является двулистное накрытие $\Pp^1$ разветвленное в четырех точках. Заметим, что множество всех четверок попарно различных точек проективной прямой --- четырехмерное алгебраическое многообразие. Факторизуя его по группе $\Aut\Pp^1 = {\mathsf PGL}_2$, которая трехмерна, получаем одномерный фактор, который параметризует множество всех эллиптических кривых. Конечно, чтобы это рассуждение сделать строгим, нужно кое-что доказать. \begin{lemma} Пусть $C$ --- эллиптическая кривая и $P\in C$. Существует единственное разветвленное в точке $P$ двулистное накрытие $C \to \Pp^1$. \end{lemma} \proof{} Ясно, что такое накрытие должно задаваться подсистемой линейной системы $|2P|$, поэтому достаточно проверить, что $\dim H^0(C,\CO_C(2P)) = 2$ и что система $|2P|$ не имеет базисных точек. Но это действительно так, поскольку $\deg(2P) = 2 = 2g$. \endproof \begin{lemma} Для любых точек $P,P'\in C$ существует инволюция $\sigma$ кривой $C$, такая что $\sigma(P) = P'$. В частности группа $\Aut C$ действует на множестве точек транзитивно. \end{lemma} \proof{} Так же как и в предыдущей лемме проверяем, что отображение, задаваемое линейной системой $|P + P'|$ является двулистным накрытием $\Pp^1$. Значит поле $K(C)$ является расширением степени 2 поля $K(\Pp^1)$. Пусть $\sigma$ --- автоморфизм поля $K(C)$ над $K(\Pp^1)$. Ясно, что он действует на $C$ и переводит $P$ в $P'$. \endproof \begin{prop} Пусть $f:C \to \Pp^1$ и $f':C' \to \Pp^1$ --- двулистные накрытия, разветвленные в точках $P_1,P_2,P_3,P_4$ и $P'_1,P'_2,P'_3,P'_4$ соответственно. Кривые $C$ и $C'$ изоморфны тогда и только тогда, когда существует автоморфизм $g\in\Aut\Pp^1$, такой что $g(f(P_i)) = f'(P'_i)$ для всех $i$. \end{prop} \proof{} Предположим вначале, что кривые изоморфны, то есть будем считать, что $C' = C$. Применяя, если нужно, автоморфизм, можно считать, что $P'_1 = P_1$. Так как накрытия $f$ и $f'$ оба разветвлены в точке $P_1$, они эквивалентны, то есть отличаются на автоморфизм $g \in \Aut\Pp^1$. Ясно, что этот изоморфизм нам и нужен. Обратно, надо показать, что эллиптическая кривая $C$ однозначно определяется своими точками ветвления. Выберем координаты на $\Pp^1$ так, чтобы точками ветвления были точки $0,1,\infty$ и $\lambda$. Так как поле $K(C)$ является расширением степени $2$ поля $K(\Pp^1) = k(x)$, то можно представить его в виде $K(C) = k(x)[y]/(y^2 - f(x))$, где $f(x) \in k[x]$ не имеет кратных корней. Непосредственное вычисление (мы его проделывали в прошлом семестре) показывает, что морфизм $C \to \Pp^1$ разветвлен над корнями многочлена $f(x)$, а если $\deg f(x)$ нечетна, то еще и над точкой $\infty$. Значит в нашем случае кривая задается уравнением $y^2 = x(x-1)(x-\lambda)$. \endproof \begin{exc} Покажите, что любые четыре точки на $\Pp^1$ автоморфизмом перевести в точки $0,1,\lambda,\infty$. Проверьте, что точки $0,1,\lambda,\infty$ переводятся автоморфизмом в $0,1,\mu,\infty$ тогда и только тогда, когда $\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{\lambda^2(\lambda-1)^2} = \frac{(\mu^2-\mu+1)^3}{\mu^2(\mu-1)^2}$. \end{exc} Пусть $C$ --- эллиптическая кривая. Представим ее в виде двулистного накрытия $\Pp^1$, а координату на $\Pp^1$ выберем так, чтобы точками ветвления были точки $0,1,\lambda,\infty$. Сопоставим кривой $C$ число $$ j(C) = 2^8\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{\lambda^2(\lambda-1)^2}. $$ Оно называется $j$-инвариантом эллиптической кривой $C$. Приведенные выше рассуждения доказывают \begin{thm} Эллиптические кривые $C$ и $C'$ изоморфны тогда и только тогда, когда $j(C) = j(C')$. \end{thm} Таким образом, множество всех эллиптических кривых отождествляется со множеством всех значений $j$-инварианта, который, как легко видеть, может принимать любые значения. \begin{exc} Пусть $\cchar k \ne 2,3$. Покажите, что группа автоморфизмов эллиптической кривой, сохраняющих точку $P$, %имеет порядок $\scriptstyle\begin{cases}6, & \text{если $j = 1728$}\\4, & \text{если $j = 0$}\\2, & \text{иначе}\end{cases}$ имеет порядок $$ \bullet\ \text{$6$, если $j = 1728$},\qquad\qquad \bullet\ \text{$4$, если $j = 0$},\qquad\text{и}\qquad \bullet\ \text{$2$, если $j \ne 0,1728$.} $$ \end{exc} Напоследок покажем, что всякая эллиптическая кривая обладает структурой группы. \begin{prop} Пусть $P_0 \in C$. Отображение $P \to \CO_C(P-P_0)$ задает изоморфизм множества точек кривой $C$ на группу $\Pic^0(C)$ обратимых пучков степени $0$. \end{prop} \proof{} Инъективность: если $\CO_C(P-P_0) \cong \CO_C(P'-P_0)$, то $P-P_0 \sim P'-P_0$, то есть $P\sim P'$. Но тогда $|P|$ --- подвижная линейная система степени $1$, что невозможно. Сюръективность: пусть $\CL$ --- линейное расслоение степени $0$. По теореме Римана--Роха $\chi(\CL(P_0)) = \deg(\CL(P_0)) = 1$, значит пучок $\CL(P_0)$ обладает регулярным сечением, которое должно иметь ровно один нуль (так как $\deg\CL(P_0) = 1$). Значит $\CL(P_0) \cong \CO_C(P)$, то есть $\CL \cong \CO_C(P-P_0)$. \endproof На самом деле, группа $\Pic^0(X)$ обладает естественной структурой схемы для любого проективного многообразия $X$ (она является групповой схемой), а построенное нами отображение $C \to \Pic^0(C)$ является изоморфизмом схем. \end{document}