\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CG}{{\mathcal G}}
\newcommand{\CH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\CJ}{{\mathcal J}}
\newcommand{\CK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\CL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\CN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\TX}{{\tilde{X}}}


\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}}

\newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\newcommand{\degtr}{\operatorname{{\sf deg\,tr}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2006}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{19}
\stepcounter{section}
\section*{������ 20.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
������ ����������� �� �����������. ������� �������������. ������� ������--���� �� �����������. ��������. �������������� ����������.
\end{minipage}
\end{center}



\subsection*{������ ����������� �� �����������}


��������, ��� ������������ ���������� ������������� ����� ��������� ��������� ����� ��� ����� $k$.
����������� ��������� ����������� �������� ������������ ��� ������������� ��������� �����.
(�� ����� ���� ������ ����������� �������� ����������� ��� ������������� ��������� �����
����������, ������ �� ����� ���������� �� �����).
������ �� ������ ����������� ����� ���������� ����� ����������� �������.
����� �������, ������ �� ����������� ����� ���� ������, ���������� � �������������.

� �������� ������ ������ ���� ������ ������� ������� ��������. � ������ ������������
��� ���� ������ ������� \emph{������� �����������} --- ���������� ����� �� ������ ������� ���������.
������ �� �������� �� �����������.

%����������� ������� �������� �������.
����� $C$ � $D$ --- ������� ������ �� ����������� $S$.
��������� \emph{������ �����������}
$$
C\cdot D = \begin{cases}
\dim\Gamma(S,\CO_C\otimes\CO_D), & \text{���� $C\ne D$}\\
-\deg \Tor_1(\CO_C,\CO_D), & \text{���� $C = D$}
\end{cases}
$$
����� ��������� ���������. ������� �������� $\CO_C\otimes\CO_D$.
������������� ��� ����� ��������� ������� ������������ ����� $\CO_D$
$$
0 \to \CO_S(-D) \stackrel{D}\to \CO_S \to \CO_D \to 0.
$$
�������� ������� �� �� $\CO_C$ ������� ������ ������������������
$$
0 \to \Tor_1(\CO_C,\CO_D) \to \CO_S(-D)_{|C} \stackrel{D}\to \CO_C \to \CO_C\otimes\CO_D \to 0.
$$
���� $C\ne D$, �� ����������� ��������� ������ $D$ �� $C$ ������������, ������� �������
��������� ������ $\CO_S(-D)_{|C} \stackrel{D}\to \CO_C$ �� ������ $C$ �����������,
������ $\Tor_1(\CO_C,\CO_D) = 0$, � $\CO_C\otimes\CO_D$ �������� ������ �������� �� ������ $C$ ---
����������� ������ ���������-�������� ����������� $C\cap D$ (� ���������, ���� ������ $C$ � $D$
������������ \emph{��������������}, �� ���� � ������ ����� ����������� �� ��������� ���������
��������� ������������ ����� ���� �����, �� $C\cdot D$ ����� ����� ����� ����������� $C\cap D$).
���� �� $C = D$, �� ����������� ��������� ������ $D$ �� $C$ ����������, ������� �������
��������� ������ $\CO_S(-D)_{|C} \stackrel{D}\to \CO_C$ �� ������ $C$ ���������,
������������� $\Tor_1(\CO_C,\CO_D) = \CO_S(-D)_{|C}$, $\CO_C\otimes\CO_D = \CO_C$,
��� ��� $\Tor_1(\CO_C,\CO_D)$ �������� �������� ����������� �� ������ $C = D$.

\begin{lemma}
������ ����������� ������� ������ ��������� ��������� � �����������.
����� ����, $C\cdot D = \deg \CO_S(D)_{|C} = \deg \CO_S(C)_{|D}$.
\end{lemma}
\proof{}
������������ ����������� ��������, �������������� ������� �� ��������������
�������� ���������� ������������. � ���� �������������� ���������� ���������
��������� $C\cdot D = \deg \CO_S(D)_{|C}$. � ������ $C = D$ ��� ������� �� ����,
��� $\Tor_1(\CO_C,\CO_D) = \CO_S(-D)_{|C}$, � � ������ $C \ne D$ --- �� �������
������--���� ��� ������ $C$. �������������, � ���� ������ ����� �� $C$ ������
������������������
$$
0 \to \CO_S(-D)_{|C} \to \CO_C \to \CO_C\otimes\CO_D \to 0,
$$
������
$\dim\Gamma(S,\CO_C\otimes\CO_D) =
%\dim\Gamma(C,\CO_C\otimes\CO_D) =
\chi(\CO_C\otimes\CO_D) =
\chi(\CO_C) - \chi(\CO_S(-D)_{|C}) =
- \deg \CO_S(-D)_{|C}$.
\endproof

������������� ������ ������ ����������� �� ��������, ���������� ������� ������� ������:
$$
(\sum C_i)\cdot (\sum D_j) = \sum (C_i\cdot D_j).
$$

\begin{lemma}
���� $\sum D_j \sim \sum E_k$, �� $(\sum C_i)\cdot(\sum D_j) = (\sum C_i)\cdot(\sum E_k)$.
\end{lemma}
\proof{}
���������� ����������� ������ $\sum C_i = C$. � ���� ������
$$
C\cdot(\sum D_j) = \sum C\cdot D_j = \sum \deg\CO_S(D_j)_{|C} = \deg\CO_S(\sum D_j)_{|C}
$$
� ���������� $C\cdot(\sum E_k) = \deg\CO_S(\sum E_k)_{|C}$. �������� ��������, ���
$\sum D_j\sim\sum E_k$ ������ $\CO_S(\sum D_j) \cong \CO_S(\sum E_k)$.
\endproof

����� �������������� ������ ����������� �� ��� �������� ��� �����������

\begin{lemma}[����� � ������]
������ ������� $D$ �� ����������� $S$ ������� ������������ �������� ���� $D_1 - D_2$,
��� $D_1$ � $D_2$ --- ������� ������ �� $S$.
\end{lemma}
\proof{}
����������� $S$ ����������, ������� �� ��� ���������� �������� �������~$H$.
��������� ����������� ���� ����������� ������ $n$, ����� ��� �������� $nH$
� $D+nH$ ����� �������. �� ������� ������� � �������� �������� $|nH|$ � $|D+nH|$
������� ������� �������� $D_1$ � $D_2$. ����� $D_1 - D_2 \sim D$.
\endproof

\begin{exc}
����� $D$ � $H$ --- �������� �� ����� $X$, $H$ ������. ��������, ���\\
$(i)$ ���������� $n_0$, ����� ��� �������� ������� $|D + nH|$ ������� ��� $n\ge n_0$;\\
$(ii)$ ���������� $n_1$, ����� ��� ������� $D + nH$ ����� ������ ��� $n\ge n_1$.
\end{exc}

����, ����� $C$ � $D$ --- ����� ��������. ���������� $C \sim C_1 - C_2$, $D \sim D_1 - D_2$
� �������
$$
C\cdot D = C_1\cdot D_1 - C_1\cdot D_2 - C_2\cdot D_1 + C_2\cdot D_2.
$$

\begin{thm}
������ ����������� ��������� ������������ �������������� ���������� �����
�� ������ ������� ���������.
\end{thm}
\proof{}
�������� ������������. �����������, ��� $D \sim D_1-D_2 \sim D'_1 - D'_2$.
����� $D_1 + D'_2 \sim D'_1 + D_2$, ������
$C_i\cdot D_1 + C_i\cdot D'_2 = C_i\cdot D'_1 + C_i\cdot D_2$,
������ �������
$$
C_1\cdot D_1 - C_1\cdot D_2 - C_2\cdot D_1 + C_2\cdot D_2 =
C_1\cdot D'_1 - C_1\cdot D'_2 - C_2\cdot D'_1 + C_2\cdot D'_2.
$$
�������������� �������� �� �����������. �������� ��������� ������������.
�����������, ��� $D \sim D_1 - D_2$, $D' \sim D'_1 - D'_2$ � $D + D' \sim D''_1 - D''_2$.
����� $D_1 + D'_1 + D''_2 \sim D''_1 + D_2 + D'_2$, ������
$C_i\cdot D_1 + C_i\cdot D'_1 + C_i\cdot D''_2 \sim C_i\cdot D''_1 + C_i\cdot D_2 + C_i\cdot D'_2$
� ������������ �������.
\endproof

\begin{exc}
����� $h$ --- ������ �� $\Pp^2$. ��������, ��� $h^2 = 1$.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $a$ � $b$ --- ������������ � �������������� ������ �� $\Pp^1\times\Pp^1$.
��������, ��� $a^2 = b^2 = 0$, $a\cdot b = 1$.
\end{exc}

\subsection*{������� �������������}

����� $Z \subset X$ --- ������� ��������������� �������� ������������, � $\CJ$ --- ��� ����� �������.

\begin{lemma}
����� $\CJ/\CJ^2$ --- �������� ��������� ����� �� $Z$, $\rk (\CJ/\CJ^2) = \codim_X Z$. %� ��� ���� ����� ������������� $Z$ � $X$.
\end{lemma}
\proof{}
�������� ������ ������������������
$0 \to \CJ \to \CO_X \to \CO_Z \to 0$ �� $\CJ$ �������� ������ ������������������
$0 \to \CJ\otimes\CJ \to \CJ \to \CJ\otimes\CO_Z \to 0$, ������ $\CJ/\CJ^2 \cong \CJ\otimes\CO_Z$.
������ ��� �����, ��� $\CJ/\CJ^2$ ������������ �� $Z$.
��������� ��������� ����������� ����� ��������.
����� $z\in Z$ --- �����. ������� ���������� ������������������ $f_1,\dots,f_c$,
����������� ����� $\CJ_z \subset \CO_{X,z}$ � ���������� ����������� ������
$$
\dots \to \CO_{X,z}^{\oplus {c \choose 3}} \to \CO_{X,z}^{\oplus {c \choose 2}} \to \CO_{X,z}^{\oplus c} \to \CJ \to 0
$$
�������� �� �� $\CO_{Z,z}$ �������� ��������
$$
\dots \to \CO_{Z,z}^{\oplus {c \choose 3}} \to \CO_{Z,z}^{\oplus {c \choose 2}} \to \CO_{Z,z}^{\oplus c}
$$
� �������� ��������������� (��� ��� $f_i = 0$ � $\CO_{Z,z}$).
� ���������, $\CJ_z\otimes\CO_{Z,z} \cong \CO_{Z,z}^c$.
\endproof

\begin{corr}
���� $Z \subset X$ --- ������� ��������������� �������� ������������, �� ������������������
$$
0 \to \CJ/\CJ^2 \to {\Omega_X}_{|Z} \to \Omega_Z \to 0
$$
�����.
\end{corr}
\proof{}
��� ������������������ ������ ����� ������. ������ �������, ���
����� $\Ker({\Omega_X}_{|Z} \to \Omega_Z)$ �������� �������� ��� ���� �����������
�������� ��������� ������, � ��� ���� ����� ������������� $Z$ � $X$.
������ $\CJ/\CJ^2 \to \Ker({\Omega_X}_{|Z} \to \Omega_Z)$ ---
���������� �������� ��������� ������ ����������� �����, � ������ --- ����������.
\endproof

\begin{opr}
����� $\CN_{Z/X} := (\CJ/\CJ^2)^*$ ���������� \emph{���������� ������} (��� \emph{���������� �����������}) $Z$ � $X$.
\end{opr}

\begin{thm}[������� �������������]
���� $Z \subset X$ --- ������� ��������������� �������� ������������, �� $\omega_Z \cong {\omega_X}_{|Z}\otimes\det\CN_{Z/X}$.
\end{thm}

\begin{exc}
����� $Z \subset X$ --- ��������������� ������������� $r$, ���������� ������ �����
����������� ������� �������� ���������� ����� $E$ �� $X$ ����� $r$. ��������, ���
$\CN_{Z/X} \cong E_{|Z}$. (��������: �������������� ���������� ������
$\dots \to \Lambda^2 E^* \to E^* \to \CO_X$).
\end{exc}


����� $C$ --- ������� ������ �� ����������� $S$. � ���� ����������� ����������
$\CN_{C/S} \cong \CO_S(C)_{|C}$. ����� ��� ��������� ���������� ���� ����� $\CO_C(C)$.
��������� �������� ������������� ��������

\begin{corr}
���� $C$ --- ������� ������ �� ����������� $S$, �� $K_C = (K_S + C)_{|C}$.
� ���������, $2g(C) - 2 = (K_S + C)\cdot C$.
\end{corr}

\begin{exc}
\ \\
$(i)$ ����� $C$ --- ������ ������� $d$ � $\Pp^2$. ��������, ��� $g(C) = (d-1)(d-2)/2$.\\
$(ii)$ ����� $C$ --- ������ ��������� $(a,b)$ � $\Pp^1\times\Pp^1$. ��������, ��� $g(C) = (a-1)(b-1)$.\\
$(iii)$ ����� $C$ --- ����������� ������������ ������� $d_1,d_2,\dots,d_n$ � $\Pp^{n+1}$.
��������, ��� $g(C) = d_1d_2\dots d_n(d_1+d_2+\dots+d_n-n-2)/2 + 1$.
\end{exc}

\subsection*{������� ������--����}

��� � � ������ ������ ������� ������--���� ��� ������������ ��������� �������� ��������������
����� � �������� ��� ����������� � ����������� �����������. ������� ��������� ���� �� �����������
�����������.

����� ������, $X$ --- ������� ����������� ������������. ����� $\Omega^i_X = \Lambda^i\Omega_X$ ---
����� ���������������� $i$-���� �� $X$. �������, ��� ������� ������������ ���� �������������
���������� $\Omega^i_X\otimes\Omega^{n-i}_X \to \Omega^n_X = \omega_X$, ������ �����, ���
$(\Omega^i_X)^*\otimes\omega_X \cong \Omega^{n-1}_X$.
�������
$$
h^{ij}(X) = \dim H^i(X,\Omega^j_X).
$$
����� $h^{ij}(X)$ ���������� \emph{������� �����} ������������ $X$.
�� �������������� ����� ������� �������������� ����� �����:
$$
h^{ij} = \dim H^i(X,\Omega^j_X) = \dim H^{n-i}(X,(\Omega^j_X)^*\otimes\omega_X) = \dim H^{n-i}(X,\Omega^{n-j}_X) = h^{n-i,n-j}(X).
$$

\begin{rem}
�� ����� ����, ������� ����� ��������� $h^{ij}(X) = h^{ji}(X)$. ��� ����� ����������� �����
��� ������� �� ������ �����, �������� �� ���������� ������������ ���������������� ������������
������������ $H^k(X,\C)$ ���������� � ������ ����� $H^k(X,\C) = \oplus_{i+j = k} H^{ij}(X)$,
����� ��� $H^{ji}(X) = \overline{H^{ij}(X)}$, � ��������������� $H^{ij}(X) = H^i(X,\Omega^j(X))$.
�� ������ ����� ����� �������, ��� $\sum_{i+j = k} h^{ij}(X) = b^k(X)$ --- $k$-�� ����� �����.
\end{rem}

� ������ ����������� �������� ������� ������������ ��������
\begin{itemize}
\item \emph{�������������� ���} $p_g = \dim H^0(S,\omega_S) = h^{02}(S) = h^{20}(S)$ �
\item \emph{��������������} $q = \dim H^1(S,\CO_S) = h^{10}(S)$.
\end{itemize}


\begin{thm}[������� ������--����]
����� $D$ --- ������� �� ������� ����������� ����������� $S$ ��� ����� $k$. �����
$$
\dim_k H^0(S,\CO_S(D)) - \dim_k H^1(S,\CO_S) + \dim_k H^2(S,\CO_S(D))= \frac12D\cdot(K-D) + 1 - q + p_g.
$$
\end{thm}
\proof{}
����� ������� $D = 0$. ����� $\CO_S(D) = \CO_S$,
$H^0(S,\CO_S) = k$, $\dim H^1(S,\CO_S) = q$ � $\dim H^2(S,\CO_S) = g$ �� ����������� ����,
������� ��������� ��������� �������� �����������.

����� ������ $C$ --- ������� ������, � $D$ --- ����� �������. �������� ������ ������������������
$0 \to \CO_S(-C) \to \CO_S \to \CO_C \to 0$
�� $\CO_S(D)$ ��������
$$
0 \to \CO_S(D-C) \to \CO_S(D) \to \CO_C(D) \to 0
$$
������ $\chi(\CO_S(D)) - \chi(\CO_S(D-C)) = \chi(\CO_C(D))$.
�������� ��� � ������� ������� ������--���� �� ������ $C$:
$\chi(\CO_C(D)) = C\cdot D + 1 - g(C)$, � ��� ������ ������ �� ������� �������������
$g(C) = \frac12(K + C)\cdot C + 1$.
��������
$$
\chi(\CO_S(D)) - \chi(\CO_S(D-C)) =
C\cdot D - \frac12(K + C)\cdot C
$$
� ������ �������,
$$
\frac12D\cdot(K-D) - \frac12(D-C)\cdot(K-D+C) =
\frac12(D\cdot C - C\cdot K + D\cdot C - C\cdot C) =
D\cdot C - \frac12C\cdot(K + C),
$$
������ �����, ��� ������� ������--���� ����� ��� $D$ ����� � ������ �����, ����� ��� ����� ��� $D-C$.
�������� ��������, ��� ������ ������� ����� ����������� � ���� �������� ���� ������� ������.
\endproof


\subsection*{�������� � �������������� ����������}

�������, ��� ��������� ����� ������� $\CJ$ �� ����� $X$ ���������� ����� $\Proj_X(\oplus_{m=0}^\infty \CJ^m)$.
� ������, ����� $\CJ$ --- ����� ������� �������� ��������������� $Z \subset X$, �������� $\CJ$ �����
���������� ��������� $Z$, ��� ��������� � ������� � $Z$. ����� $\pi:\TX \to X$ --- �������� ����� ������� $\CJ$.
����, ��� ����� $\pi^*\CJ$ �� $\TX$ ������������� ��������������� ������ $\oplus_{m=0}^\infty(\CJ\otimes\CJ^m)$,
� ��� ����� ��� ������������ ����������� � $\CO_\TX$ --- ������ $\oplus_{m=0}^\infty\CJ^{m+1}$, ������� � ����
������� ������������� ���������� ����� $\CO_{\TX/X}(1)$. �����������, ��� �������� �������� �������������
��������� ��������.

\begin{thm}[������������� �������� ��������]
����� $f:Y \to X$ --- �������, � ����� ������� $\CL = \Im(f^*\CJ \to \CO_Y)$ �������.
����� ���������� ������� $g:Y \to \TX$, ����� ��� $f = \pi\circ g$, ��� $\pi:\TX \to X$ ---
�������� ������ $\CJ$.
\end{thm}
\proof{}
����, ��� ������� ������ �������� ����������� ������������� ������� ��������
$Y\times_X\TX \to Y$. ������, ����� ������, ��� $Y\times_X\TX = \Proj_Y(\oplus_{m=0}^\infty(f^*\CJ^m))$
(�� ����������� $\Proj$ � ������������ ������������), � $Y = \Proj_Y(\oplus_{m=0}^\infty\CL^m)$,
������� ���������� ��������, ��� ��������� $f^*\CJ \to \CL$ ���� ���������� ������
$\oplus_{m=0}^\infty(f^*\CJ^m) \to \oplus_{m=0}^\infty\CL^m$.
\endproof

\begin{exc}
� �������� ���������� ������� �������� �������������� $g$.
\end{exc}

\begin{prop}
����� $\pi:\TX \to X$ --- �������� �������� ��������������� $Z \subset X$,
$E = \pi^{-1}(Z) \subset \TX$. ����� $\TX$ ������, $E \cong \Pp_Z(\CN_{Z/X})$,
� $\CN_{E/\TX} \cong \CO_{\TX/X}(-1)_{|E} \cong \CO_{E/Z}(-1)$.
\end{prop}
\proof{}
����, ��� $E = \pi^{-1}(Z) = \TX\times_X Z = \Proj_Z(\oplus_{m=0}^\infty(J^m \otimes \CO_Z))$
�� ����������� $\Proj$ � ������������ ������������. � ������ �������, �������� ������ ������������������
$0 \to \CJ \to \CO_X \to \CO_Z \to 0$ �� $\CJ^m$ ������� $\CJ^m\otimes\CO_Z \cong \CJ^m/\CJ^{m+1}$.
�������, ���� $Z \subset X$ --- ������� ���������������, �� $\CJ/\CJ^2 = \CN^*_{Z/X}$ --- ��������
��������� ����� �� $Z$, � $\CJ^m/\CJ^{m+1} \cong S^m\CN^*_{Z/X}$ (���� $\CJ$ �������� �����������
���������� ������������������� $f_1,f_2,\dots,f_c$, �� $\CJ^m$ ����������� ����� ��������
������� $m$ �� $f_1,f_2,\dots,f_c$, � �� ������ � $\CJ^m/\CJ^{m+1}$ �������� �����).
����� �������, $E \cong \Proj_Z(\oplus_{m=0}^\infty S^m\CN^*_{Z/X}) = \Pp_Z(\CN_{Z/X})$.

�����, ����� ������, ��� ����� ������� $\CJ_E$ �������� $E\subset\TX$ ������������� ��������������� ������
$\oplus_{m=0}^\infty\CJ^{m+1}$, �� ���� $\CJ_E = \CO_{\TX/X}(1)$.
� ��������� $\CJ_E$ --- ��������� �����, �� ���� $E$ --- ������� ������.
��� ��� $E$ ������, ��������� ��� $\TX$ ������ ����� $E$. � ������ �������,
��� ��� $\CJ_{|X\setminus Z} \cong \CO_{X\setminus Z}$, �� $\TX \setminus E = X \setminus Z$,
������� $\TX$ ������ � ��� $E$.

�������, ��� ��� $\CJ_E = \CO_{\TX/X}(1)$, ���������, ���
$\CN^*_{E/\TX} = (\CJ_E)_{|E} = \CO_{\TX/X}(1)_{|E} = \CO_{E/Z}(1)$.
����������, �������� $\CN_{E/\TX} \cong \CO_{\TX/X}(-1)_{|E} \cong \CO_{E/Z}(-1)$.
\endproof

\begin{prop}
����� ���������� $\Pic\TX \cong \Pic X \oplus \ZZ$.
\end{prop}
\proof{}
����, ��� $\Pic (X\setminus Z) = \Pic X$ � $\Pic (\TX\setminus E) = \Pic\TX / \ZZ E$, ��� ��� $X$ � $\TX$ ���������.
�� $X\setminus Z = \TX \setminus E$, ������ �������� ������ ������������������ �������� ����� $\ZZ \to \Pic\TX \to \Pic X \to 0$.
�������� ��������, ��� ������� $\ZZ \to \Pic\TX$, $k \mapsto \CO_\TX(kE)$ ����������, ��� ���
$\CO_\TX(kE)_{|E} \cong \CO_{E/Z}(-k)$, � ��� ����������� $\pi^*:\Pic X \to \Pic\TX$ ������
����������� ������������ ������ ������.
\endproof


\begin{corr}
���� $\pi:\TX \to X$ --- �������� �������� ��������������� $Z \subset X$, �� $K_\TX = \pi^*K_X + (c-1)E$,
��� $� = \codim_Z X$.
\end{corr}
\proof{}
����, ��� $\omega_\TX = \pi^*L\otimes\CO_\TX(aE)$. ����������� �� $\TX\setminus E$ �������� $L = \omega_X$, �� ����
$\omega_\TX = \pi^*\omega_X\otimes\CO_\TX(aE)$. �� ������� ������������� �������
$\omega_E = (\omega_\TX\otimes\CO_\TX(E))_{|E} = (\pi^*\omega_X\otimes\CO_\TX((a+1)E))_{|E} = \pi^*(\omega_{X|Z})\otimes\CO_{E/Z}(-a-1)$.
� ���������, ���� $E_z = \pi^{-1}(z)$ --- ���� ��� ������ $z\in Z$, �� $\omega_{E|E_z} = \CO_{E_z}(-a-1)$.
�� $\omega_{E|E_z} = \omega_{E_z}$, � $E_z$ --- ����������� ������������ ����������� $\rk(\CN_{Z/X}) = c$,
������� $a+1 = c$.
\endproof

\begin{lemma}
����� $X$ � $Y$ --- �������������� ����������� ������������,
$F_X$ --- ������������ ��������� �������, ����������� � ����� �������������� $\Omega_X$
(��������, $F_X = \Omega^i_X$ ��� $F_X = \omega_X^n$), � $F_Y$ --- ��� �� ��������� �������,
����������� � ����� $\Omega_Y$. ����� $H^0(X,F_X) \cong H^0(Y,F_Y)$.
� ���������, $\dim H^0(X,F_X)$ --- �������������� ���������.
\end{lemma}
\proof{}
����� $f:X \to Y$ --- �������������� ����������, � $U \subset X$ ---
������������ �������� ������������, �� ������� $f$ ����������.
�������, ��� $\codim_X(X-U) \ge 2$, ��� ��� �� ������ �����
������������� $1$ ������� $f$ ����� ���������� �� ������������
�������� �������������. ����� ����, ������� $f_{|U}:U \to Y$ --- ���������.
�������, ��� $F_{X|U} \cong F_U \cong f_{|U}^*F_Y$.
������ �������, ��� ����������� ����������� $H^0(X,F_X) \to H^0(U,F_U)$
� ��������� ������ $f_{|U}^*:H^0(Y,F_Y) \to H^0(U,F_U)$ �������� ����������.
�������������, ������ ������� �������� ���������� ����� $F_X$ ��� $F_Y$, ������������
� ���� � ����� �����, ����� ���� ������������. � ������ �������, �����������
$H^0(X,F_X) \to H^0(U,F_U)$ ����������� �� ������� ��������: ������� ��������
���������� ����� �� ���������� ������������, ������������ ��� ������������
������������� $\ge 2$, ������������ �� ��� ������������. ����� �������,
$H^0(Y,F_Y) \subset H^0(U,F_U) = H^0(X,F_X)$.
���������� �����������, ��� $H^0(X,F_X) \subset H^0(Y,F_Y)$.
\endproof

���������� ����� ��������� ��������� ��������� �������������� �����������.
���������� �� ��� �������� ����� ����� $h^{0i}(X) = \dim H^0(X,\Omega^i_X)$
(� ��������� �������������� ��� $p_g(X) = \dim H^0(X,\omega^i_X)$),
� ����� ��������� (��� ������� ����) $P_n(X) = \dim H^0(X,\omega_X^n)$.
������ ������ �������������� ����������� --- ����� ����� $h^{i0}(X) = \dim H^i(X,\CO_X)$
(�������, ��� ��� ����������� � ���������� $h^{ij}(X) = h^{ji}(X)$).
����������� ��������������� ����� ��� ������� ��������.

\begin{lemma}
����� $\pi:\TX \to X$ --- �������� �������� ��������������� $Z \subset X$.
����� $\pi_*\CO_\TX \cong \CO_X$, $R^{>0}\pi_*\CO_\TX = 0$.
\end{lemma}
\proof{}
����, ��� �� ���������� � $Z$ ��������� ����������� �����������.
��� �������� �� � ������������ ����� $z\in Z$ ������������� �������� � ���������� ��������
$(R^i\pi_*\CO_\TX)^\wedge_z = \ilim H^i(E_z^{(m)},\CO_{E_z^{(m)}})$.
����� $n = \dim X$, $c = \codim_X Z$ � ����� $f_1,f_2,\dots,f_n$ --- ����������
������������������, �������� ����� $\m_z$ � $\CO_{X,z}$, ����� ��� $f_1,\dots,f_c$
������ ����� $\CJ_Z$. ����, ��� ���� $E_z$ �������� ���������� �������������������
$f_0,f_{c+1},f_{c+2},\dots,f_n$, ��� $f_0$ --- ������� ���������� $\CO_\TX(E) = \CO_{\TX/X}(-1)$.
������ �����, ��� ����� $\CJ_{E_z}^m/\CJ_{E_z}^{m+1}$ �������������� � ������ �����
������ $\CO_{E_z}$, $\CO_{E_z}(1)$, \dots, $\CO_{E_z}(m)$. � ���������, ��� ���
$E_z =\Pp^{c-1}$, �� �����, ��� $H^0(\CJ_{E_z}^m/\CJ_{E_z}^{m+1}) = 0$.
�� ����� $\CO_{E_z^{(m)}} = \CO_\TX/\CJ_{E_z}^m$ �������� �����������
� ��������� $\CJ_{E_z}^k/\CJ_{E_z}^{k+1}$, $0\le k\le m-1$, ������� ����
�� ����� ������ ����������� � �� ������� � ���������� �������� ��������� $R^{>0}\pi_*\CO_\TX = 0$.

�������� ��������, ��� �������� ���� ����� $\pi_*\CO_\TX$ �������� $\CO_X$-����������� � $K(X)$,
�������� ��� $\CO_X$, ������������� ����� ��� $\CO_X$. �� $\CO_X$ ������������, ��� ��� $X$
���������, ������� $\pi_*\CO_\TX = \CO_X$.
\endproof

�������� �������������� ����� ���������, ��� ��� ������� ����� ����� �������� ��������������
�����������. � ��� ������������ --- ��������, ����������� �� ��������.
%������ ����� ���� �����.


\end{document}
