\documentclass[12pt,leqno]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem} \addtolength{\topmargin}{-23mm} \addtolength{\textheight}{60mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} \addtolength{\textwidth}{40mm} %%%%% Theorem style with a dot at the end of the header \makeatletter \begingroup \gdef\th@dotted{\normalfont\itshape \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{dotted} \newtheorem{thm}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[thm]{Лемма} \newtheorem{prop}[thm]{Предложение} \newtheorem{corr}[thm]{Следствие} \newtheorem{exc}{Упражнение}[section] \newtheorem{sch}[thm]{Факт} %%%%% Same for definitions \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}} \endgroup \makeatother \theoremstyle{upshape} \newtheorem{opr}[thm]{Определение} \newtheorem{rem}[thm]{Замечание} %%%%% Разное \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \newcommand{\proof}[1][Доказательство.]{\smallskip\noindent{\em #1}} \def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip} \renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}} \def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}} \def\eps{\varepsilon} \def\phi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \let\latexref=\ref \def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}} \setlength{\unitlength}{1pt} \newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % The dot which looks good as index for homology groups % \newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}} % % Same for cohomology % %%%%% Буквы \newcommand{\CA}{{\mathcal A}} \newcommand{\CE}{{\mathcal E}} \newcommand{\CF}{{\mathcal F}} \newcommand{\CG}{{\mathcal G}} \newcommand{\CH}{{\mathcal H}} \newcommand{\CJ}{{\mathcal J}} \newcommand{\CK}{{\mathcal K}} \newcommand{\CL}{{\mathcal L}} \newcommand{\CN}{{\mathcal N}} \newcommand{\CV}{{\mathcal V}} \newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\CO}{{\mathcal O}} \newcommand{\C}{{\mathbb C}} \newcommand{\Z}{{\mathbb Z}} \newcommand{\R}{{\mathbb R}} \newcommand{\Q}{{\mathbb Q}} \newcommand{\A}{{\mathbb A}} \newcommand{\Pp}{{\mathbb P}} \newcommand{\m}{\mathfrak m} \newcommand{\aA}{\mathfrak a} \newcommand{\pp}{\mathfrak p} \newcommand{\qq}{\mathfrak q} \newcommand{\bb}{\mathfrak b} \newcommand{\calo}{{\mathcal O}} \newcommand{\F}{{\mathcal F}} \newcommand{\E}{{\mathcal E}} \newcommand{\TX}{{\tilde{X}}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}} \newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}} \newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}} \newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}} \newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}} \newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}} \newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}} \newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}} \newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\Div}{\operatorname{Div}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}} \newcommand{\Max}{\operatorname{Max}} \newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}} \newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}} \newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}} \newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}} \newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}} \newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}} \newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}} \renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}} \newcommand{\degtr}{\operatorname{{\sf deg\,tr}}} \renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}} \newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}} \newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}} \newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}} \newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}} \newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}} \newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}} \newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}} \newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}} \def\ds{\displaystyle} \newcommand{\6}{\partial} %%%%% Pagestyle \pagestyle{myheadings} \markboth{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006}{Введение в алгебраическую геометрию -- лекции в НОЦ МИАН, весна 2006} \begin{document} \setcounter{section}{19} \stepcounter{section} \section*{Лекция 20.} \begin{center} \begin{minipage}{0.7\linewidth}\small Теория пересечения на поверхности. Формула присоединения. Теорема Римана--Роха на поверхности. Раздутия. Бирациональные инварианты. \end{minipage} \end{center} \subsection*{Теория пересечений на поверхности} Напомним, что поверхностью называется геометрически целая отделимая двумерная схема над полем $k$. Ограничимся изучением проективных неособых поверхностей над алгебраически замкнутым полем. (на самом деле всякая собственная неособая поверхность над алгебраически замкнутым полем проективна, однако мы этого доказывать не будем). Кривой на данной поверхности будет называться любой эффективный дивизор. Таким образом, кривая на поверхности может быть особой, приводимой и неприведенной. В изучении кривых важную роль играло понятие степени дивизора. В случае поверхностей его роль играет понятие \emph{индекса пересечения} --- билинейной формы на группе классов дивизоров. Сейчас мы займемся ее построением. %Ограничимся вначале гладкими кривыми. Пусть $C$ и $D$ --- гладкие кривые на поверхности $S$. Определим \emph{индекс пересечения} $$ C\cdot D = \begin{cases} \dim\Gamma(S,\CO_C\otimes\CO_D), & \text{если $C\ne D$}\\ -\deg \Tor_1(\CO_C,\CO_D), & \text{если $C = D$} \end{cases} $$ Здесь требуются пояснения. Давайте вычислим $\CO_C\otimes\CO_D$. Воспользуемся для этого следующей плоской резольвентой пучка $\CO_D$ $$ 0 \to \CO_S(-D) \stackrel{D}\to \CO_S \to \CO_D \to 0. $$ Тензорно умножив ее на $\CO_C$ получим точную последовательность $$ 0 \to \Tor_1(\CO_C,\CO_D) \to \CO_S(-D)_{|C} \stackrel{D}\to \CO_C \to \CO_C\otimes\CO_D \to 0. $$ Если $C\ne D$, то ограничение уравнения кривой $D$ на $C$ нетривиально, поэтому морфизм обратимых пучков $\CO_S(-D)_{|C} \stackrel{D}\to \CO_C$ на кривой $C$ нетривиален, значит $\Tor_1(\CO_C,\CO_D) = 0$, а $\CO_C\otimes\CO_D$ является пучком кручения на кривой $C$ --- структурным пучком теоретико-схемного пересечения $C\cap D$ (в частности, если кривые $C$ и $D$ пересекаются \emph{трансверсально}, то есть в каждой точке пересечения их локальные уравнения порождают максимальный идеал этой точки, то $C\cdot D$ равно числу точек пересечения $C\cap D$). Если же $C = D$, то ограничение уравнения кривой $D$ на $C$ тривиально, поэтому морфизм обратимых пучков $\CO_S(-D)_{|C} \stackrel{D}\to \CO_C$ на кривой $C$ тривиален, следовательно $\Tor_1(\CO_C,\CO_D) = \CO_S(-D)_{|C}$, $\CO_C\otimes\CO_D = \CO_C$, так что $\Tor_1(\CO_C,\CO_D)$ является линейным расслоением на кривой $C = D$. \begin{lemma} Индекс пересечения гладких кривых корректно определен и симметричен. Более того, $C\cdot D = \deg \CO_S(D)_{|C} = \deg \CO_S(C)_{|D}$. \end{lemma} \proof{} Корректность определения очевидна, симметричность следует из симметричности функтора тензорного произведения. В силу симметричности достаточно проверить равенство $C\cdot D = \deg \CO_S(D)_{|C}$. В случае $C = D$ оно следует из того, что $\Tor_1(\CO_C,\CO_D) = \CO_S(-D)_{|C}$, а в случае $C \ne D$ --- из теоремы Римана--Роха для кривой $C$. Действительно, в этом случае имеем на $C$ точную последовательность $$ 0 \to \CO_S(-D)_{|C} \to \CO_C \to \CO_C\otimes\CO_D \to 0, $$ откуда $\dim\Gamma(S,\CO_C\otimes\CO_D) = %\dim\Gamma(C,\CO_C\otimes\CO_D) = \chi(\CO_C\otimes\CO_D) = \chi(\CO_C) - \chi(\CO_S(-D)_{|C}) = - \deg \CO_S(-D)_{|C}$. \endproof Распространим теперь индекс пересечения на дивизоры, являющиеся суммами гладких кривых: $$ (\sum C_i)\cdot (\sum D_j) = \sum (C_i\cdot D_j). $$ \begin{lemma} Если $\sum D_j \sim \sum E_k$, то $(\sum C_i)\cdot(\sum D_j) = (\sum C_i)\cdot(\sum E_k)$. \end{lemma} \proof{} Достаточно рассмотреть случай $\sum C_i = C$. В этом случае $$ C\cdot(\sum D_j) = \sum C\cdot D_j = \sum \deg\CO_S(D_j)_{|C} = \deg\CO_S(\sum D_j)_{|C} $$ и аналогично $C\cdot(\sum E_k) = \deg\CO_S(\sum E_k)_{|C}$. Остается заметить, что $\sum D_j\sim\sum E_k$ влечет $\CO_S(\sum D_j) \cong \CO_S(\sum E_k)$. \endproof Чтобы распространить индекс пересечения на все дивизоры нам понадобится \begin{lemma}[Лемма о сдвиге] Всякий дивизор $D$ на поверхности $S$ линейно эквивалентен дивизору вида $D_1 - D_2$, где $D_1$ и $D_2$ --- гладкие кривые на $S$. \end{lemma} \proof{} Поверхность $S$ проективна, поэтому на ней существует обильный дивизор~$H$. Пользуясь приведенным ниже упражнением найдем $n$, такое что дивизоры $nH$ и $D+nH$ очень обильны. По теоерме Бертини в линейных системах $|nH|$ и $|D+nH|$ выберем гладкие дивизоры $D_1$ и $D_2$. Тогда $D_1 - D_2 \sim D$. \endproof \begin{exc} Пусть $D$ и $H$ --- дивизоры на схеме $X$, $H$ обилен. Покажите, что\\ $(i)$ существует $n_0$, такое что линейная система $|D + nH|$ непуста при $n\ge n_0$;\\ $(ii)$ существует $n_1$, такое что дивизор $D + nH$ очень обилен при $n\ge n_1$. \end{exc} Итак, пусть $C$ и $D$ --- любые дивизоры. Представим $C \sim C_1 - C_2$, $D \sim D_1 - D_2$ и положим $$ C\cdot D = C_1\cdot D_1 - C_1\cdot D_2 - C_2\cdot D_1 + C_2\cdot D_2. $$ \begin{thm} Индекс пересечения корректно определенная симметрическая билинейная форма на группе классов дивизоров. \end{thm} \proof{} Проверим корректность. Предположим, что $D \sim D_1-D_2 \sim D'_1 - D'_2$. Тогда $D_1 + D'_2 \sim D'_1 + D_2$, значит $C_i\cdot D_1 + C_i\cdot D'_2 = C_i\cdot D'_1 + C_i\cdot D_2$, откуда следует $$ C_1\cdot D_1 - C_1\cdot D_2 - C_2\cdot D_1 + C_2\cdot D_2 = C_1\cdot D'_1 - C_1\cdot D'_2 - C_2\cdot D'_1 + C_2\cdot D'_2. $$ Симметричность очевидна из определения. Остается проверить билинейность. Предположим, что $D \sim D_1 - D_2$, $D' \sim D'_1 - D'_2$ и $D + D' \sim D''_1 - D''_2$. Тогда $D_1 + D'_1 + D''_2 \sim D''_1 + D_2 + D'_2$, значит $C_i\cdot D_1 + C_i\cdot D'_1 + C_i\cdot D''_2 \sim C_i\cdot D''_1 + C_i\cdot D_2 + C_i\cdot D'_2$ и билинейность следует. \endproof \begin{exc} Пусть $h$ --- прямая на $\Pp^2$. Покажите, что $h^2 = 1$. \end{exc} \begin{exc} Пусть $a$ и $b$ --- вертикальная и горизонтальная прямые на $\Pp^1\times\Pp^1$. Покажите, что $a^2 = b^2 = 0$, $a\cdot b = 1$. \end{exc} \subsection*{Формула присоединения} Пусть $Z \subset X$ --- гладкое подмногообразие гладкого многообразия, а $\CJ$ --- его пучок идеалов. \begin{lemma} Пучок $\CJ/\CJ^2$ --- локально свободный пучок на $Z$, $\rk (\CJ/\CJ^2) = \codim_X Z$. %а его ранг равен коразмерности $Z$ в $X$. \end{lemma} \proof{} Домножая точную последовательность $0 \to \CJ \to \CO_X \to \CO_Z \to 0$ на $\CJ$ получаем точную последовательность $0 \to \CJ\otimes\CJ \to \CJ \to \CJ\otimes\CO_Z \to 0$, откуда $\CJ/\CJ^2 \cong \CJ\otimes\CO_Z$. Отсюда уже видно, что $\CJ/\CJ^2$ сосредоточен на $Z$. Проверять локальную свободность можно локально. Пусть $z\in Z$ --- точка. Выберем регулярную последовательность $f_1,\dots,f_c$, порождающую идеал $\CJ_z \subset \CO_{X,z}$ и рассмотрим резольвенту Кошуля $$ \dots \to \CO_{X,z}^{\oplus {c \choose 3}} \to \CO_{X,z}^{\oplus {c \choose 2}} \to \CO_{X,z}^{\oplus c} \to \CJ \to 0 $$ Домножая ее на $\CO_{Z,z}$ получаем комплекс $$ \dots \to \CO_{Z,z}^{\oplus {c \choose 3}} \to \CO_{Z,z}^{\oplus {c \choose 2}} \to \CO_{Z,z}^{\oplus c} $$ с нулевыми дифференциалами (так как $f_i = 0$ в $\CO_{Z,z}$). В частности, $\CJ_z\otimes\CO_{Z,z} \cong \CO_{Z,z}^c$. \endproof \begin{corr} Если $Z \subset X$ --- гладкое подмногообразие гладкого многообразия, то последовательность $$ 0 \to \CJ/\CJ^2 \to {\Omega_X}_{|Z} \to \Omega_Z \to 0 $$ точна. \end{corr} \proof{} Эта последовательность всегда точна справа. Отсюда следует, что пучок $\Ker({\Omega_X}_{|Z} \to \Omega_Z)$ локально свободен как ядро эпиморфизма локально свободных пучков, а его ранг равен коразмерности $Z$ в $X$. Значит $\CJ/\CJ^2 \to \Ker({\Omega_X}_{|Z} \to \Omega_Z)$ --- эпиморфизм локально свободных пучков одинакового ранга, а значит --- изоморфизм. \endproof \begin{opr} Пучок $\CN_{Z/X} := (\CJ/\CJ^2)^*$ называется \emph{нормальным пучком} (или \emph{нормальным расслоением}) $Z$ в $X$. \end{opr} \begin{thm}[формула присоединения] Если $Z \subset X$ --- гладкое подмногообразие гладкого многообразия, то $\omega_Z \cong {\omega_X}_{|Z}\otimes\det\CN_{Z/X}$. \end{thm} \begin{exc} Пусть $Z \subset X$ --- подмногообразие коразмерности $r$, являющееся схемой нулей глобального сечения локально свободного пучка $E$ на $X$ ранга $r$. Докажите, что $\CN_{Z/X} \cong E_{|Z}$. (Указание: воспользуйтесь комплексом Кошуля $\dots \to \Lambda^2 E^* \to E^* \to \CO_X$). \end{exc} Пусть $C$ --- гладкая кривая на поверхности $S$. В силу предыдущего упражнения $\CN_{C/S} \cong \CO_S(C)_{|C}$. Будем для краткости обозначать этот пучок $\CO_C(C)$. Пользуясь формулой присоединения получаем \begin{corr} Если $C$ --- гладкая кривая на поверхности $S$, то $K_C = (K_S + C)_{|C}$. В частности, $2g(C) - 2 = (K_S + C)\cdot C$. \end{corr} \begin{exc} \ \\ $(i)$ Пусть $C$ --- кривая степени $d$ в $\Pp^2$. Докажите, что $g(C) = (d-1)(d-2)/2$.\\ $(ii)$ Пусть $C$ --- кривая бистепени $(a,b)$ в $\Pp^1\times\Pp^1$. Докажите, что $g(C) = (a-1)(b-1)$.\\ $(iii)$ Пусть $C$ --- пересечение поверхностей степени $d_1,d_2,\dots,d_n$ в $\Pp^{n+1}$. Докажите, что $g(C) = d_1d_2\dots d_n(d_1+d_2+\dots+d_n-n-2)/2 + 1$. \end{exc} \subsection*{Теорема Римана--Роха} Как и в случае кривых теорема Римана--Роха для поверхностей вычисляет эйлерову характеристику пучка в терминах его инвариантов и инвариантов поверхности. Вначале несколько слов об инвариантах поверхности. Пусть вообще, $X$ --- гладкое проективное многообразие. Пусть $\Omega^i_X = \Lambda^i\Omega_X$ --- пучок дифференциальных $i$-форм на $X$. Заметим, что внешнее произведение дает невырожденное спаривание $\Omega^i_X\otimes\Omega^{n-i}_X \to \Omega^n_X = \omega_X$, откуда видно, что $(\Omega^i_X)^*\otimes\omega_X \cong \Omega^{n-1}_X$. Положим $$ h^{ij}(X) = \dim H^i(X,\Omega^j_X). $$ Числа $h^{ij}(X)$ называются \emph{числами Ходжа} многообразия $X$. Из двойственности Серра следует симметричность чисел Ходжа: $$ h^{ij} = \dim H^i(X,\Omega^j_X) = \dim H^{n-i}(X,(\Omega^j_X)^*\otimes\omega_X) = \dim H^{n-i}(X,\Omega^{n-j}_X) = h^{n-i,n-j}(X). $$ \begin{rem} На самом деле, имеется также равенство $h^{ij}(X) = h^{ji}(X)$. Над полем комплексных чисел оно следует из теории Ходжа, строящей на комплекных когомологиях ассоциированного комплексного многообразия $H^k(X,\C)$ разложение в прямую сумму $H^k(X,\C) = \oplus_{i+j = k} H^{ij}(X)$, такое что $H^{ji}(X) = \overline{H^{ij}(X)}$, и отождествляющей $H^{ij}(X) = H^i(X,\Omega^j(X))$. Из теории Ходжа также следует, что $\sum_{i+j = k} h^{ij}(X) = b^k(X)$ --- $k$-ое число Бетти. \end{rem} В случае поверхности наиболее важными инвариантами являются \begin{itemize} \item \emph{Геометрический род} $p_g = \dim H^0(S,\omega_S) = h^{02}(S) = h^{20}(S)$ и \item \emph{Иррегулярность} $q = \dim H^1(S,\CO_S) = h^{10}(S)$. \end{itemize} \begin{thm}[теорема Римана--Роха] Пусть $D$ --- дивизор на гладкой проективной поверхности $S$ над полем $k$. Тогда $$ \dim_k H^0(S,\CO_S(D)) - \dim_k H^1(S,\CO_S) + \dim_k H^2(S,\CO_S(D))= \frac12D\cdot(K-D) + 1 - q + p_g. $$ \end{thm} \proof{} Пусть вначале $D = 0$. Тогда $\CO_S(D) = \CO_S$, $H^0(S,\CO_S) = k$, $\dim H^1(S,\CO_S) = q$ и $\dim H^2(S,\CO_S) = g$ по определению рода, поэтому требуемое равенство очевидно выполняется. Пусть теперь $C$ --- гладкая кривая, а $D$ --- любой дивизор. Домножая точную последовательность $0 \to \CO_S(-C) \to \CO_S \to \CO_C \to 0$ на $\CO_S(D)$ получаем $$ 0 \to \CO_S(D-C) \to \CO_S(D) \to \CO_C(D) \to 0 $$ Отсюда $\chi(\CO_S(D)) - \chi(\CO_S(D-C)) = \chi(\CO_C(D))$. Вычислим его с помощью теоремы Римана--Роха на кривой $C$: $\chi(\CO_C(D)) = C\cdot D + 1 - g(C)$, а род кривой найдем из формулы присоединения $g(C) = \frac12(K + C)\cdot C + 1$. Получаем $$ \chi(\CO_S(D)) - \chi(\CO_S(D-C)) = C\cdot D - \frac12(K + C)\cdot C $$ С другой стороны, $$ \frac12D\cdot(K-D) - \frac12(D-C)\cdot(K-D+C) = \frac12(D\cdot C - C\cdot K + D\cdot C - C\cdot C) = D\cdot C - \frac12C\cdot(K + C), $$ откуда видно, что теорема Римана--Роха верна для $D$ тогда и только тогда, когда она верна для $D-C$. Остается заметить, что всякий дивизор можно представить в виде разности двух гладких кривых. \endproof \subsection*{Раздутия и бирациональные инварианты} Напомни, что раздутием пучка идеалов $\CJ$ на схеме $X$ называется схема $\Proj_X(\oplus_{m=0}^\infty \CJ^m)$. В случае, когда $\CJ$ --- пучок идеалов гладкого подмногообразия $Z \subset X$, раздутие $\CJ$ также называется раздутием $Z$, или раздутием с центром в $Z$. Пусть $\pi:\TX \to X$ --- раздутие пучка идеалов $\CJ$. Ясно, что пучок $\pi^*\CJ$ на $\TX$ соответствует градуированному модулю $\oplus_{m=0}^\infty(\CJ\otimes\CJ^m)$, а его образ при естественном отображении в $\CO_\TX$ --- модулю $\oplus_{m=0}^\infty\CJ^{m+1}$, который в свою очередь соответствует обратимому пучку $\CO_{\TX/X}(1)$. Оказывается, это свойство является универсальным свойством раздутия. \begin{thm}[универсальное свойство раздутия] Пусть $f:Y \to X$ --- морфизм, и пучок идеалов $\CL = \Im(f^*\CJ \to \CO_Y)$ обратим. Тогда существует морфизм $g:Y \to \TX$, такой что $f = \pi\circ g$, где $\pi:\TX \to X$ --- раздутие идеала $\CJ$. \end{thm} \proof{} Ясно, что наличие такого морфизма равносильно существованию сечения проекции $Y\times_X\TX \to Y$. Однако, легко видеть, что $Y\times_X\TX = \Proj_Y(\oplus_{m=0}^\infty(f^*\CJ^m))$ (по определению $\Proj$ и расслоенного произведения), а $Y = \Proj_Y(\oplus_{m=0}^\infty\CL^m)$, поэтому достаточно заметить, что сюръекция $f^*\CJ \to \CL$ дает эпиморфизм алгебр $\oplus_{m=0}^\infty(f^*\CJ^m) \to \oplus_{m=0}^\infty\CL^m$. \endproof \begin{exc} В условиях предыдущей теоремы докажите единственность $g$. \end{exc} \begin{prop} Пусть $\pi:\TX \to X$ --- раздутие гладкого подмногообразия $Z \subset X$, $E = \pi^{-1}(Z) \subset \TX$. Тогда $\TX$ гладко, $E \cong \Pp_Z(\CN_{Z/X})$, и $\CN_{E/\TX} \cong \CO_{\TX/X}(-1)_{|E} \cong \CO_{E/Z}(-1)$. \end{prop} \proof{} Ясно, что $E = \pi^{-1}(Z) = \TX\times_X Z = \Proj_Z(\oplus_{m=0}^\infty(J^m \otimes \CO_Z))$ по определению $\Proj$ и расслоенного произведения. С другой стороны, домножая точную последовательность $0 \to \CJ \to \CO_X \to \CO_Z \to 0$ на $\CJ^m$ находим $\CJ^m\otimes\CO_Z \cong \CJ^m/\CJ^{m+1}$. Наконец, если $Z \subset X$ --- гладкое подмногообразие, то $\CJ/\CJ^2 = \CN^*_{Z/X}$ --- локально свободный пучок на $Z$, а $\CJ^m/\CJ^{m+1} \cong S^m\CN^*_{Z/X}$ (если $\CJ$ локально порождается регулярной последовательнсотью $f_1,f_2,\dots,f_c$, то $\CJ^m$ порождается всеми мономами степени $m$ от $f_1,f_2,\dots,f_c$, а их образы в $\CJ^m/\CJ^{m+1}$ образуют базис). Таким образом, $E \cong \Proj_Z(\oplus_{m=0}^\infty S^m\CN^*_{Z/X}) = \Pp_Z(\CN_{Z/X})$. Далее, легко видеть, что пучок идеалов $\CJ_E$ подсхемы $E\subset\TX$ соответствует градуированному модулю $\oplus_{m=0}^\infty\CJ^{m+1}$, то есть $\CJ_E = \CO_{\TX/X}(1)$. В частности $\CJ_E$ --- обратимый пучок, то есть $E$ --- дивизор Картье. Так как $E$ гладок, заключаем что $\TX$ гладко вдоль $E$. С другой стороны, так как $\CJ_{|X\setminus Z} \cong \CO_{X\setminus Z}$, то $\TX \setminus E = X \setminus Z$, поэтому $\TX$ гладко и вне $E$. Наконец, так как $\CJ_E = \CO_{\TX/X}(1)$, заключаем, что $\CN^*_{E/\TX} = (\CJ_E)_{|E} = \CO_{\TX/X}(1)_{|E} = \CO_{E/Z}(1)$. Дуализируя, получаем $\CN_{E/\TX} \cong \CO_{\TX/X}(-1)_{|E} \cong \CO_{E/Z}(-1)$. \endproof \begin{prop} Имеем изоморфизм $\Pic\TX \cong \Pic X \oplus \ZZ$. \end{prop} \proof{} Ясно, что $\Pic (X\setminus Z) = \Pic X$ и $\Pic (\TX\setminus E) = \Pic\TX / \ZZ E$, так как $X$ и $\TX$ нормальны. Но $X\setminus Z = \TX \setminus E$, откуда получаем точную последовательность абелевых групп $\ZZ \to \Pic\TX \to \Pic X \to 0$. Остается заметить, что морфизм $\ZZ \to \Pic\TX$, $k \mapsto \CO_\TX(kE)$ инъективен, так как $\CO_\TX(kE)_{|E} \cong \CO_{E/Z}(-k)$, и что гомоморфизм $\pi^*:\Pic X \to \Pic\TX$ задает расщепление получившейся точной тройки. \endproof \begin{corr} Если $\pi:\TX \to X$ --- раздутие гладкого подмногообразия $Z \subset X$, то $K_\TX = \pi^*K_X + (c-1)E$, где $с = \codim_Z X$. \end{corr} \proof{} Ясно, что $\omega_\TX = \pi^*L\otimes\CO_\TX(aE)$. Ограничивая на $\TX\setminus E$ получаем $L = \omega_X$, то есть $\omega_\TX = \pi^*\omega_X\otimes\CO_\TX(aE)$. По формуле присоединения находим $\omega_E = (\omega_\TX\otimes\CO_\TX(E))_{|E} = (\pi^*\omega_X\otimes\CO_\TX((a+1)E))_{|E} = \pi^*(\omega_{X|Z})\otimes\CO_{E/Z}(-a-1)$. В частности, если $E_z = \pi^{-1}(z)$ --- слой над точкой $z\in Z$, то $\omega_{E|E_z} = \CO_{E_z}(-a-1)$. Но $\omega_{E|E_z} = \omega_{E_z}$, а $E_z$ --- проективное пространство размерности $\rk(\CN_{Z/X}) = c$, поэтому $a+1 = c$. \endproof \begin{lemma} Пусть $X$ и $Y$ --- бирациональные проективные многообразия, $F_X$ --- произвольный тензорный функтор, примененный к пучку дифференциалов $\Omega_X$ (например, $F_X = \Omega^i_X$ или $F_X = \omega_X^n$), а $F_Y$ --- тот же тензорный функтор, примененный к пучку $\Omega_Y$. Тогда $H^0(X,F_X) \cong H^0(Y,F_Y)$. В частности, $\dim H^0(X,F_X)$ --- бирациональный инвариант. \end{lemma} \proof{} Пусть $f:X \to Y$ --- бирациональный изоморфизм, а $U \subset X$ --- максимальное открытое подмножество, на котором $f$ определено. Заметим, что $\codim_X(X-U) \ge 2$, так как во всякую точку коразмерности $1$ морфизм $f$ можно продолжить по валюативному критерию собственности. Кроме того, морфизм $f_{|U}:U \to Y$ --- регулярен. Заметим, что $F_{X|U} \cong F_U \cong f_{|U}^*F_Y$. Отсюда следует, что отображения ограничения $H^0(X,F_X) \to H^0(U,F_U)$ и обратного образа $f_{|U}^*:H^0(Y,F_Y) \to H^0(U,F_U)$ являются вложениями. Действительно, всякое сечение локально свободного пучка $F_X$ или $F_Y$, обращающееся в нуль в общей точке, равно нулю тождественно. С другой стороны, отображение $H^0(X,F_X) \to H^0(U,F_U)$ сюръективно по теореме Хартогса: сечение локально свободного пучка на нормальном многообразии, определенное вне подмножества коразмерности $\ge 2$, продолжается на все многообразие. Таким образом, $H^0(Y,F_Y) \subset H^0(U,F_U) = H^0(X,F_X)$. Аналогично проверяется, что $H^0(X,F_X) \subset H^0(Y,F_Y)$. \endproof Доказанная лемма позволяет построить множество бирациональных инвариантов. Важнейшими из них являются числа Ходжа $h^{0i}(X) = \dim H^0(X,\Omega^i_X)$ (в частности геометрический род $p_g(X) = \dim H^0(X,\omega^i_X)$), а также плюрирода (или кратные рода) $P_n(X) = \dim H^0(X,\omega_X^n)$. Другой пример бирациональных инвариантов --- числа Ходжа $h^{i0}(X) = \dim H^i(X,\CO_X)$ (заметим, что это согласуется с симметрией $h^{ij}(X) = h^{ji}(X)$). Ограничимся доказательством этого для гладких раздутий. \begin{lemma} Пусть $\pi:\TX \to X$ --- раздутие гладкого подмногообразия $Z \subset X$. Тогда $\pi_*\CO_\TX \cong \CO_X$, $R^{>0}\pi_*\CO_\TX = 0$. \end{lemma} \proof{} Ясно, что на дополнении к $Z$ указанные изоморфизмы выполянются. Для проверки их в произвольной точке $z\in Z$ воспользуемся теоремой о формальных функциях $(R^i\pi_*\CO_\TX)^\wedge_z = \ilim H^i(E_z^{(m)},\CO_{E_z^{(m)}})$. Пусть $n = \dim X$, $c = \codim_X Z$ и пусть $f_1,f_2,\dots,f_n$ --- регулярная последовательность, задающая идеал $\m_z$ в $\CO_{X,z}$, такая что $f_1,\dots,f_c$ задает идеал $\CJ_Z$. Ясно, что слой $E_z$ задается регулярной последовательностью $f_0,f_{c+1},f_{c+2},\dots,f_n$, где $f_0$ --- сечение расслоения $\CO_\TX(E) = \CO_{\TX/X}(-1)$. Отсюда видно, что пучок $\CJ_{E_z}^m/\CJ_{E_z}^{m+1}$ раскладывается в прямую сумму пучков $\CO_{E_z}$, $\CO_{E_z}(1)$, \dots, $\CO_{E_z}(m)$. В частности, так как $E_z =\Pp^{c-1}$, мы видим, что $H^0(\CJ_{E_z}^m/\CJ_{E_z}^{m+1}) = 0$. Но пучок $\CO_{E_z^{(m)}} = \CO_\TX/\CJ_{E_z}^m$ обладает фильтрацией с факторами $\CJ_{E_z}^k/\CJ_{E_z}^{k+1}$, $0\le k\le m-1$, поэтому тоже не имеет высших когомологий и по теореме о формальных функциях заключаем $R^{>0}\pi_*\CO_\TX = 0$. Остается заметить, что локально слой пучка $\pi_*\CO_\TX$ является $\CO_X$-подалгеброй в $K(X)$, конечной над $\CO_X$, следовательно целой над $\CO_X$. Но $\CO_X$ целозамкнуто, так как $X$ нормально, поэтому $\pi_*\CO_\TX = \CO_X$. \endproof Учитывая двойственность Серра заключаем, что вся граница ромба Ходжа является бирациональным инвариантом. А вот внутренность --- наоборот, инвариантом не является. %Пример будет чуть позже. \end{document}