\documentclass[12pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\addtolength{\topmargin}{-23mm}
\addtolength{\textheight}{60mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{thm}{�������}[section]
\newtheorem{lemma}[thm]{�����}
\newtheorem{prop}[thm]{�����������}
\newtheorem{corr}[thm]{���������}
\newtheorem{exc}{����������}[section]
\newtheorem{sch}[thm]{����}

%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{opr}[thm]{�����������}
\newtheorem{rem}[thm]{���������}

%%%%% ������

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\proof}[1][��������������.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}
\def\eps{\varepsilon}
\def\phi{\varphi}
\def\wt{\widetilde}
\def\wh{\widehat}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% �����

\newcommand{\CA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\CE}{{\mathcal E}}
\newcommand{\CF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\CG}{{\mathcal G}}
\newcommand{\CH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\CJ}{{\mathcal J}}
\newcommand{\CK}{{\mathcal K}}
\newcommand{\CL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\CN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\CV}{{\mathcal V}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\CO}{{\mathcal O}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}

\newcommand{\A}{{\mathbb A}}
\newcommand{\Pp}{{\mathbb P}}

\newcommand{\m}{\mathfrak m}
\newcommand{\aA}{\mathfrak a}
\newcommand{\pp}{\mathfrak p}
\newcommand{\qq}{\mathfrak q}
\newcommand{\bb}{\mathfrak b}

\newcommand{\calo}{{\mathcal O}}
\newcommand{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand{\E}{{\mathcal E}}

\newcommand{\TX}{{\tilde{X}}}


\newcommand{\Hom}{\operatorname{{\sf Hom}}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{{\sf Sym}}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{{\sf Id}}}
\newcommand{\id}{\operatorname{{\sf id}}}

\newcommand{\hhom}{\operatorname{{\mathcal H}{\it om}}}

\renewcommand{\Im}{\operatorname{{\sf Im}}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{{\sf Ker}}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{{\sf Coker}}}
\newcommand{\Num}{\operatorname{\sf Num}}
\newcommand{\Eff}{\operatorname{\sf Eff}}


\newcommand{\Aut}{\operatorname{{\sf Aut}}}
\newcommand{\Der}{\operatorname{{\sf Der}}}
\newcommand{\Tor}{\operatorname{{\sf Tor}}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{{\sf Ext}}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{{Tot}}}

\newcommand{\Cl}{\operatorname{Cl}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\Div}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Proj}{\operatorname{Proj}}
\newcommand{\Max}{\operatorname{Max}}
\newcommand{\Ass}{\operatorname{Ass}}
\newcommand{\Supp}{\operatorname{Supp}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}

\newcommand{\Shv}{\operatorname{Shv}}
\newcommand{\PpShv}{\operatorname{PreShv}}
\newcommand{\Et}{\operatorname{\text{\'Et}}}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{{\sf dim}}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{{\sf codim}}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{{\sf rk}}}
\newcommand{\ev}{\operatorname{{\sf ev}}}
\renewcommand{\deg}{\operatorname{{\sf deg}}}
\newcommand{\degtr}{\operatorname{{\sf deg\,tr}}}
\renewcommand{\det}{\operatorname{{\sf det}}}

\newcommand{\disc}{\operatorname{{\sf disc}}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{{\sf Ann}}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{{\sf Res}}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{{\sf tr}}}
\newcommand{\gr}{\operatorname{{\sf gr}}}
\newcommand{\htt}{\operatorname{{\sf ht}}}
\newcommand{\ppt}{\operatorname{{\sf pt}}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{{\sf char}}}

\newcommand{\ilim}{{\mathop{\lim\limits_\leftarrow}\nolimits}}

\def\ds{\displaystyle}

\newcommand{\6}{\partial}

%%%%% Pagestyle

\pagestyle{myheadings}

\markboth{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ��� ����,
����� 2006}{�������� � �������������� ��������� -- ������ � ���
����, ����� 2006}

\begin{document}

\setcounter{section}{19}
\stepcounter{section}
\section*{������ 21.}

\begin{center}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}\small
�������������� �������������� ������������. ����������� ������. ��������� �������������. ���������� �����������. �������������.
\end{minipage}
\end{center}


\subsection*{�������������� �������������� ������������}

�������� ��������� �����, ��������� � ���������� ������� ���������������.
���� $X$ --- �����������, �� ������������ ������������� ������� �������� ---
�������� �����.

\begin{thm}\label{itbu}
����� $\pi:\TX \to X$ --- �������� ����� $P$ �� ����������� $X$, $E = \pi^{-1}(P)$.
����� $\TX$ --- �������, $E \cong \Pp^1$.
����� ����, $\Pic\TX = \Pic X \oplus \ZZ E$, � ������ ����������� ����� ��������� �� ��������
$(\pi^*C)\cdot(\pi^*D) = C\cdot D$, $(\pi^*C)\cdot E = 0$ � $E^2 = -1$.
�������, $K_\TX = \pi^*K_X + E$ �, � ���������, $K_\TX^2 = K_X^2 - 1$.
\end{thm}
\proof{}
��� ����������� ����� ������ ��� ������� ����������� ���� �������� ������.
����� ��������� ��� �������, �������, ��� ������ ������� �� $X$ ����� �����������
� ���� �������� ���� ������� ������, �� ���������� ����� ����� $P$ (����� �����������
������ ��������� ������ ������� �������, ������������� � �������� ��!).
������� ���������� �������, ��� $C$ � $D$ --- ����� ������. �� �����
$\pi^*C\cap E = \emptyset$, ������� $(\pi^*C)\cdot E = 0$.
����� ����, ��� ����� ����������� ������ $\pi^*C$ � $\pi^*D$
����� � $\TX\setminus E = X\setminus P$, � ����� ������, ��� ��������� ������� �����������
���������. ������� $(\pi^*C)\cdot(\pi^*D) = C\cdot D$. ������� $E^2 = \deg\CN_{E/\TX} = \deg\CO_E(-1) = -1$.
\endproof

\begin{exc}\label{h11}
����� $\pi:\TX \to X$ --- �������� ����� �� ������� ����������� $X$. ��������, ��� $h^{11}(\TX) = h^{11}(X) + 1$
(��������: ��������� ������ ������������������ $0 \to \pi^*\Omega_X \to \Omega_\TX \to \CO_E(-2) \to 0$).
\end{exc}

\begin{exc}\label{localblowup}
����� $X = \Spec A$, $A$ --- ��������� ���������� ��������� ������, $x,y$ --- ��������� ���������.
��������, ��� �������� $\TX \subset X\times\Pp^1$, �������� ���������� $uy = vx$, ��� $(u:v)$ ---
���������� ���������� �� $\Pp^1$, �������� ��������� ��������� ����� $X$.
� ���������, �������� ����������� ����� ��������� ������� $\{u\ne 0\}$
� $\{v\ne 0\}$ � ���������� ������������ $(x,v/u)$ � $(u/v,y)$ ��������������.
\end{exc}

\begin{exc}\label{pis}
����� $\pi:\TX \to X$ --- �������� ����� $P$ �� ������� ����������� $X$.
��������� ���������� �����������, ��������, ���\\
$(i)$ $L_{>1}\pi^*\CF = 0$ ��� ������� ������������ ����� $\CF$ �� $X$;\\
$(ii)$ $R^{>1}\pi_*\CG = 0$ ��� ������� ������������ ����� $\CG$ �� $\TX$;\\
$(iii)$ ��� ������� ������������ ����� $\CF$ �� $X$ ��������� $\pi_*L_1\pi^*\CF = 0$, $R^1\pi_*\pi^*\CF = 0$ �
���������� ������ ������������������ $0 \to R^1\pi_*L_1\pi^*\CF \to \CF \to \pi_*\pi^*\CF \to 0$;\\
$(iv)$ $\pi_*\CO_\TX(-kE) = \m_P^k$, $R^1\pi_*\CO_\TX(-kE) = 0$ ��� ���� $k\ge 0$;\\
$(v)$ $\pi_*\CO_\TX(kE) = \CO_X$, $R^1\pi_*\CO_\TX(kE) = (\CO_X/\m_P^{k-1})^*$ ��� ���� $k\ge 0$.
\end{exc}

�����������, ��� ������� ������������ ����� �������������� �������������� ��������
� ������������������ �������� �����.

\begin{prop}
����� $f:Y \to X$ --- ���������� �������������� ������� � ����� �������� �����������
$f^{-1}:X \to Y$ �� ���������� � ����� $P$. ����� ���������� ������� $g:Y \to \TX$,
��� $\pi:\TX \to X$ --- �������� ����� $P$, ����� ��� $f = \pi\circ g$.
\end{prop}
\proof{}
����� �������, ��� $X = \Spec A$, $A$ --- ���������� ��������� ��������� ������.
����� $(x,y)$ --- ��������� ���������� �� $X$. ���������� ��������, ��� �����,
����������� ��������� $(x,y)$ �� $Y$ --- �������� ������� (����� $g$ ����������
�� �������������� �������� ��������). �����������, ��� �� ���. ����� ����������
����� $Q \in Y$ � ������� ����� $(x,y)$ --- �� �������. �������, ��� ���������
$f^{-1}$ �� ���������� � $P$, �� $\dim f^{-1}(P) = 1$, ������ $f^{-1}(P)$ ������
�� ������� ���������. �������������, ����� ����� $Q$ �������� ������������ ������
$C \subset f^{-1}(P)$. ����� $z$ --- �� ��������� � $Q$ (����� �� ����������
��������� ���������������� ���������� ������ ����� $Q$, �� ���� ���������� $Y$).
����� $(x,y) \subset (z)$, �� ���� $x = az$, $y = bz$, ������ �� �������������
$a,b\in\m_Q$, �� ���� $x,y \in \m_Q^2$.

���������� ������ $\Gamma \subset Y\times\TX$ ������������� ����������� $g = \pi^{-1}\circ f:Y \to \TX$.
����� $q:\Gamma \to Y$ � $r:\Gamma\to \TX$ --- ��������.
��� ��� $g$ �� ��������� � $Q$, �� $\dim q^{-1}(Q) \ge 1$, ������ $\pi(r(q^{-1}(Q))) = f(q(q^{-1}(Q))) = f(Q) = P$,
�� ���� $r(q^{-1}(Q)) = E$. � ������ �������, �������� $r:\Gamma \to \TX$ �������������, ������� ��������
����� $R \in E$, ����� ��� $r$ --- ���������� ��� $R$. ����, ��� $q(r^{-1}(R)) = Q$, �� ����
$r^{-1}(R) = (Q,R)$. ������� $r$ ������ ���������� ��������� ����� $\CO_{\TX,R} \cong \CO_{\Gamma,(Q,R)}$,
� ������� $q$ --- �������� ����� $\CO_{Y,Q} \to \CO_{\Gamma,(Q,R)}$. ���������� ��, ��������
��������� �������� ��������� ����� $\CO_{Y,Q} \to \CO_{\TX,R}$. ����, ��� ��� ����������� � ���������
� ����� ���� �������, ������� ������� $x,y$ ������ ������ � $\m_R^2$. �� �� ����������~\ref{localblowup}
� ����� $R$ ���� �� ������� $x,y$ �������� ��������� �����������, �� ���� �� ����� � $\m_R^2$.
\endproof

\begin{exc}
����� $Y_0 \subset \Pp^3$ --- ������������ �����, $Q$ --- ��� �������,
� $f_0:Y_0 \to \Pp^2 = X$ --- �������� �� ����� $P_0\in Y_0\setminus Q_0$.
��������, ���\\
$(i)$ ����� $Y \to Y_0$ --- �������� ����� $P_0$. ��������, ��� ������� $f:Y \to Y_0 \to X$ --- ���������,
� $f^{-1}$ �� ��������� � ����� $P = f_0(Q)$.\\
$(ii)$ ����� $\pi:\TX \to X$ --- �������� ����� $P$. ��������, ��� ����������� $\pi^{_1}\circ f:Y \to X$
�� ���������� � ����� $Q$.
\end{exc}

\begin{corr}\label{factor}
����� $f:Y \to X$ --- �������������� ���������� ������� ����� �������� ������������ �������������.
����� $f$ �������������� � ���������� ��������� ����� �������� �����.
\end{corr}
\proof{}
������� $f^{-1}$ �� ��������� � �������� ��������� �����, �������� ������ �� �������
������ � $Y$. ����� $n$ --- ��������� ����� ������������ ��������� ���� ������.
������� $Y \to X$ ������������ ����� $Y \to \TX$ � ����, ��� ��� ���� ��������
����������� �� ���� ������ ������. �������� ��������� �������� �� $n$.
\endproof


\begin{prop}
����� $X$ --- ������� �����������, � $f:Y \to X$ �������������� ����������� �������.
�������� ������������������ �������� �����
$X_n \stackrel{\pi_n}\to X_{n-1} \to \dots \to X_1 \stackrel{\pi_1}\to X$
� ���������� ����������� $g:X_n \to Y$, ��� ��� $f\circ g = \pi_1\circ\dots\circ\pi_n$.
\end{prop}
\proof{}
����, ��� $f$ --- �������� ���������� ����� ������� $\CJ$ �� $X$.
� ���� �������������� �������� �������� ���������� ��������� �����
������������������ �������� �����, ��� $\Im(\pi_n^*\dots\pi_1^*\CJ \to \CO_{X_n})$ ---
��������� �����. ����� $\CJ$ --- ����� ������� �������� $Z \subset X$ � $P \in Z$.
����� $k\ge 1$ --- ������������ �����, ����� ��� $\CJ \subset \m_P^k$.
���������� �������� $\pi:\TX \to X$ � ����� $P$ � ��������� $\CJ' = \Im(\pi^*\CJ \to \CO_\TX)$.
�������, ��� $\Hom(\CJ,\m_P^k) = \Hom(\CJ,\pi_*\CO_\TX(-kE)) \cong \Hom(\pi^*\CJ,\CO_\TX(-kE))$,
������� $\CJ' \subset \CO_\TX(-kE)$. ����� ����, ���� ��� $\CO_\TX(-kE)/\CJ'$ --- ����������� �����
���������� �������� $Z' \subset\TX$ (�� ��� �������� ����� ����� ��� $E$ ��������� ��������, � ���� �� ��� $E$
������ � �������� ����� �����, �� �� ����� �� ������� $\CJ' \to \CO_\TX(-(k+1)E)$,
������� ����� �� �������� $J \to \m_P^{k+1}$, ��� ���������� �� ������ ����� $k$).
�������, ��� $\dim H^0(\TX,\CO_{Z'}) < \dim H^0(X,\CO_Z)$.
��� ����� �������, ��� ��� ��� ������� $\pi^*\CJ \to \CO_\TX$ ������������ ����� $\CJ'$,
�� ������� $\CJ \to \pi_*\CO_\TX = \CO_X$ ������������ ����� $\pi_*\CJ'$,
������� $\pi_*\CJ'$ --- ����� � $\CO_X$, ���������� $\CJ$.
����� ����, $R^1\pi_*\pi^*\CJ = 0$, ������� ������� ��������� $\pi^*\CJ \to \CJ'$
�������� $R^1\pi_*\CJ' = 0$.
������ �������� ������� $\pi_*$ � ������������������ $0 \to \CJ' \to \CO_\TX(-kE) \to \CO_{Z'} \to 0$
�������� ������ ������������������ $0 \to \pi_*\CJ' \to \m_P^k \to \pi_*\CO_{Z'} \to 0$,
�� ������� �������, ��� ����� $\pi_*\CO_{Z'}$ ����������� ������ $\m_P^k/\CJ$,
������
$$
\dim H^0(\TX,\CO_{Z'}) = \dim H^0(X,\pi_*\CO_{Z'}) \le \dim H^0(X,\m_P^k/\CJ) < \dim H^0(X,\CO_X/\CJ) = \dim H^0(X,\CO_Z).
$$
�������� ��������� ��������.
\endproof

\begin{corr}
������ �������������� ����������� ����� �������� ������������ �������������
�������������� � ���������� �������� ������� ����� � �������� � ��� ��������������.
\end{corr}
\proof{}
����� $f:X \to X'$ --- �������������� ����������� � $Y \subset X\times X'$ --- ��� ������.
�������� $Y \to X$ �������� ���������� �������������� ���������, ������� ��������
������������������ �������� ������� ����� $X_n \to \dots \to X_1 \to X$
� ���������� ������� $X_n \to Y$. �������� ��������� ���������� $X_n \to Y \to X'$
� ���� ���������� �������� ������� �����.
\endproof

\subsection*{����������� ������}

��� �������� ������ �� ��������, ��� � ������ �������������� ������ ����������
����� ���� ������� ����������� ������ (����� �������, �������������� �������������
������ �������� � ������������). ��� ������������ ��� ��� �������� �������,
��� ��� ����� ����������� ����� �������. ��� �� �����, ������� ��������������
�����������, ����� �������� ������������ ������� �� ������ �������������� ������.

\begin{opr}
������� ����������� ����������� $X$ ���������� \emph{�����������}, ���� �� ����������
�������������� ����������� �������� $X \to X'$ �� ������� ����������� $X'$.
\end{opr}

��� ���� �������� ����, ������ ������������� ����������� ���������� ���������,
������� �� ��� ����������� ���� ������������ ������ � �������� ��������������� $-1$ 
(��� ���������� \emph{$(-1)$-������}, ��� \emph{�������������� ������ ������� ����}). 
��������� ������� ����������, ��� ������� ����� ������ ����������� ���������������.

\begin{thm}[������������]
����� $E$ --- ������� ������������ $(-1)$-������ �� ������� ����������� ����������� $Y$.
����� ���������� ������� ����������� ����������� $X$ � ����� $P$ �� ���, ����� ���
$Y$ ��������� �������� $\TX$ � ����� $P$, � ������ $E$ �������� �������������� ��������� ��������.
\end{thm}
\proof{}
����� $H$ --- ����� �������� ������� �� $Y$ � �������� $H^1(Y,\CO_Y(H)) = 0$,
� ������� $n = H\cdot E$. �� ���������� $H$ ������� $n > 0$. ���������� ��������
������� $|H + nE|$. �������, ��� ��� �������� ������� �� ����� �������� �����.
���������� �������� ����� ��� $E$ ��������. ��� ��� $(H+nE)\cdot E = 0$,
�� ������ ������� �� ����� �������� ������� ���� �� ������������ � ������ $E$,
���� �������� ��. ����� �������, ���� ���������, ��� � ����� �������� �������
�������� �������, �� ���������� $E$. ���������� ������ ������������������
$$
0 \to \CO_Y(H+(n-1)E) \to \CO_Y(H+nE) \to \CO_E \to 0.
$$
�� ��������������� ������ ������������������ ����������� �����, ��� ���������� ���������, ���
$H^1(Y,\CO_Y(H+(n-1)E)) = 0$. ������� �� ��������, ��� $H^1(Y,\CO_Y(H+kE)) = 0$
��� $0\le k\le n-1$. ���� ��������, $k=0$, ��������� �� ������ $H$.
��� �������� ������� �� ������ ������������������ �����������, ����������� �
$$
0 \to \CO_Y(H+(k-1)E) \to \CO_Y(H+kE) \to \CO_E(n-k) \to 0,
$$
��� ��� $H^{>0}(Y,\CO_E(n-k)) = H^{>0}(\Pp^1,\CO(n-k)) = 0$ ��� $k\le n$.

���������� �����������, ���������� �������� �������� $|H+nE|$.
��������� ������������ ��� ������ ����� $X$, � �������������� ����������� $Y \to X$ ����� $\pi$.
��� ��� �������� ������� $|H+nE|$ ������� ��� $E$, �������� $E$ �� ������ ����� ����������� $Y$
� ��������� $E$ � ����� (��������� �� ����� $P$), ��
����������� $\pi:Y \to X$ ������ ���������� $Y \setminus E \cong X \setminus P$.
� ���������, $X$ ������ ��� $P$. �������, ��� $X$ ������ � � $P$.
�������� ��� ����� ���������� ���������� ������ $(\CO_{X,P})^\wedge$.
��� ��� $X$ --- ���������, �� $(\CO_{X,P})^\wedge = \ilim H^0(E^{(n)},\CO_{E^{(n)}})$
�� ������� � ���������� ��������. ������������� ������ �������������������
$$
0 \to \CJ^n_E/\CJ^{n+1}_E \to \CO_{E^{(n+1)}} \to \CO_{E^{(n)}} \to 0
$$
� ������������ $\CJ^n_E/\CJ^{n+1}_E \cong S^n(\CJ_E/\CJ^2_E) = S^n(\CO_E(1)) \cong \CO_E(n)$.
������� ����� $\{x,y\}$ � $H^0(E,\CO_E(1))$, �������� ����� $\{x^n,x^{n-1}y,\dots,xy^{n-1},y^n\}$
� $H^0(E,\CO_E(n))$, ������ �� �������� �������, ��� $H^0(E^{(n)},\CO_{E^{(n)}}) \cong k[x,y]/\m^{n+1}$,
��� $\m = (x,y)$. �������� � �������, �������� $(\CO_{X,P})^\wedge = k[[x,y]]$, ������ $X$ �������
� ����� $P$.

������ �������� ��������, ��� �������� ���������~\ref{factor} ������� $\pi$ ���� ����������
�������� �����. �� $\pi$ ��������� ����� ���� ������, ������� $\pi$ --- �������� ����� $P$,
� $E$ --- �������������� ������� ��������.
\endproof

\begin{corr}
����������� $X$ ���������� ����� � ������ �����, ����� �� ��� ��� ������������ $(-1)$-������.
\end{corr}

\begin{corr}
������ ������� ����������� ������������� ����������� �����������.
\end{corr}
\proof{}
����� $X$ --- ������� �����������. ���� �� ��� ��� ������������ $(-1)$-������,
��� ����������. ���� �� ����� ������ ����, ������ ��, ������� ����������� $X_1$.
�������� �� �� �����������, �������� ������������������ ����������
$X \to X_1 \to X_2 \to \dots$ � ���� ���� ���������, ��� ����� ������������������
�� ����� ���� �����������. � ����� ����, � ���� ����������~\ref{h11},
����� $h^{11}(X_1) = h^{11}(X) - 1$, $h^{11}(X_2) = h^{11}(X_1) - 1$, � �.�.,
�� �������� ����� $h^{11}(X)$ �� ����� ����������� �����
��� ����������� �� �������, ��������� ��� ���� ���������������!
\endproof


������ �������� �������� � �������������� ����������� ������.


\subsection*{��������� �������������}

\begin{opr}
������� $D$ �� ����������� $X$ ���������� \emph{�������� �����������}
(�� ��������� \emph{numerically effective} ��� \emph{nef}),
���� ��� ������ ������ $C$ �� $X$ ����������� $D\cdot C \ge 0$.
\end{opr}

\begin{lemma}
���� ������������ ����� �� ����������� $X$ �������� ����������, �� ����������� $X$ ����������.
\end{lemma}
\proof{}
���� $X$ �� ����������, �� �� ��� ���� ������������ $(-1)$-������ $E$.
�� ������� ������������� $-2 = 2g(E)-2 = K\cdot E + E^2 = K\cdot E - 1$,
������ $K\cdot E = -1$, �� ���� $K$ �� �������� �������� �����������.
\endproof

\begin{thm}
���� $f:X \to Y$ --- �������������� ����������� � $K_Y$ �������� ����������, �� $f$ --- ���������.
� ���������, ���� $X$ --- �����������, �� $f$ --- ����������.
\end{thm}
\proof{}
������� ����������� ������������� $f$ � ���� ���������� �������� � ����������
$$
X \leftarrow X_1 \leftarrow \dots \leftarrow X_{n-1} \leftarrow X_n = Y_m \to Y_{m-1} \to \dots \to Y_1 \to Y
$$
� ����� $E$ --- �������������� ������� �������� $X_n \to X_{n-1}$.
�������, ��� ������ $E$ �� ����������� ��������� $g:X_n \to Y$.
�������������, �����������, ��� $g(E)$ --- �����. ����� $H$ --- ����� �������� ������� �� $Y$.
����� $g^*H\cdot E = 0$ (������� ������� � �������� ������� $|H|$, �� ���������� ����� ����� $g(E)$).
�� �������~\ref{itbu} �������, ��� $g^*H = \pi^*D$, ��� $\pi:X_n \to X_{n-1}$, � $D$ --- ���������
������� �� $X_{n-1}$. �������, ���
\begin{multline*}
H^0(Y,\CO_Y(H)) \subset H^0({X_n},\CO_{X_n}(g^*H)) = H^0({X_n},\CO_{X_n}(\pi^*D))
\cong \\ \cong H^0(X_{n-1},\pi_*\pi^*\CO_{X_{n-1}}(D)) = H^0({X_{n-1}},\CO_{X_{n-1}}(D))
\end{multline*}
� ���� ����������~\ref{pis}. ���������� ����������� ${X_n} \to \Pp^N$, �������� �������������
���������� ������� $H^0(Y,\CO_Y(H))$ ����� $\CO_{X_n}(g^*H) = \CO_{X_n}(\pi^*D)$.
� ����� �������, ��� �������������� � ���������� �������� $X_n \to Y$ � �������� $Y$, ��������� �������� �������� $|H|$.
� ������ �������, ��� �������������� � ���������� �������� $X_n \to X_{n-1}$ � ��������, ��������� �� $X_{n-1}$
��������� ����������� �������� ������� $|D|$. ������ �������, ��� ��������� �������� ������� �� �����
�������� ����� � ������ ����������� $X_{n-1}$ � ����������� ������������, ����� �������� ����������
� $Y$, � ��� ����������� ������������ ���������. � ���������, �� �������� ������� $g':X_{n-1} \to Y$,
����� ��� $g = g'\circ\pi$. �������������, ������������� �������� $f$ � ���� ����� ��������
�� ����������, ��� ������������ ������ �������������.

����, �� ��������, ��� $g(E)$ --- ������. ��� ��� $K_Y$ --- �������� ����������,
�������� $g(E)\cdot K_Y \ge 0$.
������� �� ��������, ��� $g_k(E)\cdot K_{Y_k} \ge 0$, ��� $g_k:X_n \to Y_k$ --- ��������.
�������������, ����� $\sigma:Y_k \to Y_{k-1}$ --- ��������. �����
$g_k(E)\cdot\sigma^* K_{Y_{k-1}} = \sigma(g_k(E))\cdot K_{Y_{k-1}} = g_{k-1}(E)\cdot K_{Y_{k-1}} \ge 0$
�� ������������� ��������, ������
$g_k(E)\cdot K_{Y_k} =
g_k(E)\cdot(\sigma^* K_{Y_{k-1}} + E_k) =
g_k(E)\cdot \sigma^* K_{Y_{k-1}} + g_k(E)\cdot E_k$,
������ ������ ��������� �������������� ��� �������� ����,
� ������ --- ������ ����������� ��������� ������������ ������ (���� $g_k(E) = E_k$, �� $g(E)$ --- �����).

����, �� �������� �� �������� $E\cdot K_{Y_m} = E\cdot K_{X_n} \ge 0$.
�� $K_{X_n} = \pi^*K_{X_{n-1}} + E$, ������
$E\cdot K_{X_n} =
E\cdot (\pi^*K_{X_{n-1}} + E) =
E\cdot \pi^*K_{X_{n-1}} + E^2 = E^2 = -1$.
���������� ������������ ����������, ��� $X = X_n$, ������ ������� $f$ ���������.
\endproof

����� �������, ���� ������������ ����� �� ����������� ����������� �������� ����������,
�� ��� ����������� � ����� �������������� ������. ��� �� �����, ������ ������ ��������������
����������� �����������.

\begin{exc}
��������, ��� $\Pp^2$ � $\Pp^1\times\Pp^1$ ���������� � �������������.
\end{exc}

������ ����� �������� �������. � ������, �����������

\begin{thm}
���� $X$ --- ����������� �����������, � $K_X$ --- �� �������� ����������,
�� ���� $X \cong \Pp_B(\CE)$, ��� $B$ --- ������, � $\CE$ --- ���������� ����� $2$ �� $B$,
���� $X\cong \Pp^2$.
\end{thm}


� ���������, ������ � ������� �������������� ����� ����������� ������ ������,
������� �������� ���� ��� ��������. ���������� ������ ��������� �� ������ ���������
��������������� $\Num(X)$ (������� $D$ �������� ������������ ����, ���� $D\cdot C = 0$
��� ����� ������ $C$). ��� ������� ����������� ��������� ������� ������.
���������� � $\Num(X)\otimes\Q$ ��������� $\Eff(X)$ ���� ���������, ������������
������������ ���������� � ������������� ��������������. ����, ��� ��� �����.
�� ���������� ������� ����������� ������.

����� $\Eff(X)$ ������� ������ ������. ������ ���-��� ������� � ��� �����.
��-������, ���� $H$ --- �������� ������� �� $X$, �� $\Eff(X)$ ����� � ����������������
$\{D\ |\ D\cdot H\ > 0\}$. ��-������, �� �������� ��������� $\{D\ |\ D^2 > 0,\ D\cdot H > 0\}$.
�������������, ���� $D\cdot H > 0$, �� $(K - nD)\cdot H < 0$ ��� $n\gg0$, �������
$H^2(X,\CO_X(nD)) = H^0(X,\CO_X(K-nD)) = 0$, � �� ������� ������--����
$\dim H^0(X,\CO_X(nD)) \ge \chi(\CO_X(nD)) = \frac12n^2D^2 + \dots > 0$
��� $n\gg0$. ����� ������� $nD$ ���������� ��� $n\gg0$, � ������ $D\in\Eff(X)$.
��� ���� ����� $\Eff(X)$ ����� ��������� � ������� � ������������� ���������.
�������, ������, ��� ����������� $\Eff(X)\cap\{D\ |\ D\cdot K < 0\}$ �� ��������
�������� � ������������� ���������, ���� ����������� $X$ ����������. �������������, ����
$D^2 < 0$, �� �������� ������������ ���������� $E$ �������� $D$, ����� ���
$E\cdot K < 0$ � $E^2 < 0$. �� ������� ������������� ����� �������, ���
$E$ --- ������������ $(-1)$-������, ��� ������������ ������������� ����������� $X$.

����, $\overline{\Eff(X)}\cap\{D\ |\ D\cdot K < 0\} = \{D\ |\ D\cdot H > 0,\ D\cdot K < 0,\ D^2\ge 0\}$.
����� ��������, ��� ���� $\rk(\Num(X)) \ge 2$, �� �������� ������������� ������� $D$ �� �������, �� ����
$D^2 = 0$, $D\cdot H > 0$, $D\cdot K < 0$. ��������� ��� � ����, ��������
$\dim H^0(X,\CO_X(nD)) \ge \chi(\CO_X(nD)) = -\frac12nD\cdot K + \dots > 0$ ��� $n\gg0$.
������ $nD$ ���������� � ���� ��������. ��� ��� $(nD)^2 = 0$, �������� ������� $|nD|$
�� ����� �������� ����� � ������ ������� $f:X \to \Pp^N$.
����� $X \to B \to \Pp^N$ --- ������������ ������ �������� $f$.
����, ��� $B$ --- ������. ����� $F$ --- ���� �������� $X \to B$.
����, ��� $mF = D$, ������� $F^2 = 0$, $F\cdot K < 0$. ����� ����,
$F$ ���������� (���� $F = F_1\cup F_2$, �� $0 = F_i\cdot F = F_i^2 + F_i\cdot F_j > F_1^2$,
�� ���� $F_1^2< 0$ ��� $F_2^2 < 0$, ��� ����������, ��� ��� $F_i$ ����������
� ���� $F_1\cdot K < 0$, ���� $F_2\cdot K < 0$). �������� � $F$ ������� �������������
���������, ��� $F$ --- ������� ������������ ������.
����, �� ��������� ������� ������� $X \to B$ �� ����� $\Pp^1$.
����� ��������, ��� ������ ����� ������� ���� �������������� ���������� ���������� ����� $2$.

\begin{exc}
����� $f:X \to B$ --- ������� �������, ������ ���� �������� ��������� $\Pp^1$, � $B$ --- ������.
��������, ���\\
$(i)$ ������� $f$ �������������� � ���� ���������� $X \stackrel{i}\to \Pp_B(\CV) \to B$,
��� $\CV$ --- ���������� ����� $3$, $i$ --- ��������� ��������, � ���� $X_b$ ---
������ � $\Pp(\CV_b)$ (��������: $\CV = f_*(\omega_X^{-1})^*$);\\
$(ii)$ ���� $b_0$ --- ����� ����� $B$, �� ������ $X_{b_0} \subset \Pp(\CV_{b_0})$
����� ����� (������� �����);\\
$(iii)$ ������� $f:X \to B$ �������� ��������, �� ���� ���������� ������� $s:B \to X$, ����� ��� $f\circ s = \id_B$;\\
$(iv)$ ���� $\CE = (f_*\CO_X(s(B)))^*$, �� $X \cong \Pp_B(\CE)$.
\end{exc}

���� �� $\rk(\Num(X)) = 1$, �� ����� ��������, ��� $X \cong \Pp^2$.

\subsection*{���������� �����������}

����������� ���� $X = \Pp_B(\CE)$, ��� $B$ --- ������, � $\CE$ --- ���������� ����� $2$
���������� \emph{�����������}. ������ ���������� ����������� ��� ������ $B = \Pp^1$.

\begin{prop}
����� $\CE$ --- ���������� ����� $2$ �� $\Pp^1$.
����� $\CE \cong \CO_{\Pp^1}(a) \oplus \CO_{\Pp^1}(b)$.
\end{prop}
\proof{}
��� $n\gg 0$ ���������� $H^0(\Pp^1,\CE(-n)) = H^1(\Pp^1,\CE^*(2+n))^* = 0$, � ��� $n\ll0$ --- $H^0(\Pp^1,\CE(-n)) \ne 0$.
����� $b$ --- ������������ $n$, ����� ��� $H^0(\Pp^1,\CE(-n)) \ne 0$. ���������� �������� $\phi:\CO_{\Pp^1}(b) \to \CE$.
���� �� � �����-�� ����� $P\in\Pp^1$ ����������� $\phi$ ��������� �� ����, �� ��� �� �������������� � ����������
$\CO_{\Pp^1}(b) \stackrel{P}\to \CO_{\Pp^1}(b+1) \stackrel{\phi'}\to \CE$ (�������� ������� $\phi$ --- ��� ���� ������� $\phi_1,\phi_2$;
���� $\phi_1,\phi_2 \in \m_P$, �� $\phi_1 = \phi_1' t$, $\phi_2 = \phi_2' t$, ��� $t$ --- �������������� ���������� ������
����� $P$, ��� ��� $\phi = \phi'\circ t$). �� �� ����������� ����� $b$ ����� ����������, ������� � ������ ����� $P$
������� $\phi$ �����������. ���������� ����� $\CL = \Coker \phi$. �������� ������������ ���� ����������
����� $\CL$ �������� ��������. ��� ���� $\rk(\CL) = 1$, ������ $\CL \cong \CO_{\Pp^1}(a)$.
����������� ������ ������������������ $0 \to \CO_{\Pp^1}(b) \to \CE \to \CO_{\Pp^1}(a) \to 0$
�� $\CO_{\Pp^1}(-b-1)$ ������� $0 = H^0(\Pp^1,\CE(-b-1)) = H^0(\Pp^1,\CO_{\Pp^1}(a-b-1))$,
������ $a\le b$. �������� ��������, ��� $\Ext^1(\CO_{\Pp^1}(a),\CO_{\Pp^1}(b)) = H^1(\Pp^1,\CO_{\Pp^1}(b-a)) = 0$,
������� ������ ������������������ ������������ � $\CE \cong \CO_{\Pp^1}(b)\oplus\CO_{\Pp^1}(a)$.
\endproof

\begin{exc}
����� $\phi:\CF \to \CE$ --- �������� �������� ��������� ������, $\CG = \Coker\phi$.
��������, ��� $\CG$ �������� �������� ����� � ������ �����, ����� ������� $\phi$
�������� ��������� � ������ ����� (��������: $\Tor_1(\CG,\CO/\m_P) = \Ker \phi_P$).
\end{exc}

\begin{exc}
����� $\CF$ � $\CG$ --- �������� ��������� �����.
��������, ��� ������ ����������� ���������� $0 \to \CF \to \CE \to \CG \to 0$
��������� �� ������� ����������� ������������ � ������������� $H^1(\CG^*\otimes\CF)/(\Aut\CF\times\Aut\CG)$
(��������: ������������ �������� �������� $\{U_\alpha\}$, ��� ������ �� $U_\alpha$ �������� �����������
$s_\alpha\in\Gamma(U_\alpha,\CG^*\otimes\CE)$ � ��������, ��� ��������
$\epsilon_{\alpha\beta} = s_\alpha - s_\beta \in \Gamma(U_\alpha\cap U_\beta,\CG^*\otimes\CF)$).
\end{exc}

\begin{rem}
���������� ����� �������� ������� ������� ������� ����������, ������������, ���
������ �������� ��������� ����� �� $\Pp^1$ �������� ������ ������ ��������� ������
(���������� �� ��������� �� �����!). ������ ��������� ������� � ���, ���
������ �������� ��������� ����� �� ������ �������� ����������� ��������� ������.
\end{rem}

��� ��� $\Pp_{\Pp^1}(\CE) \cong \Pp_{\Pp^1}(\CE(m))$, ����� �������, ��� $\CE = \CO_{\Pp^1} \oplus \CO_{\Pp^1}(-n)$.
��������������� ����������� $\Pp_{\Pp^1}(\CO_{\Pp^1} \oplus \CO_{\Pp^1}(-n))$ ���������� $n$-�� ������������
���������� � ������������ $\Sigma_n$.
��������� ����� $E$ --- ������� �������� $\Sigma_n \to \Pp^1$, ��������������� ��������
$\CO_{\Pp^1} \to \CO_{\Pp^1} \oplus \CO_{\Pp^1}(-n)$, � ����� $F$ --- �� ����.

\begin{lemma}
����� $\Pic\Sigma_n = \Z E \oplus \Z F$, $F^2 = 0$, $E\cdot F = 1$, $E^2 = -n$.
\end{lemma}
\proof{}
�� ������ ������������������ $\ZZ E \oplus \ZZ F \to \Pic \Sigma_n \to \Pic(\Sigma_n \setminus (E\cup F)) \to 0$
� ����������� $\Sigma_n \setminus (E\cup F) \cong \A^2$ �����, ��� ������ $\Pic\Sigma_n$
����������� �������� $E$ � $F$, ��� ��� �������� ��������� �� �������������.
�������� ������� ������� �����������. ������� $F^2 = 0$ � $E\cdot F = 1$ ��������
(������ ���� ������� ������������ � �� ������������; ������ ���� ��������������
���������� $E$ � ����� �����). ����� �������, ��� ������� $E'$, ��������������� ��������
$\CO_{\Pp^1}(-n) \to \CO_{\Pp^1} \oplus \CO_{\Pp^1}(-n)$ ����� � �������� ������� $E+nF$
� ��� ���� �� ���������� $E$. ������ $0 = E\cdot(E+nF) = E^2 + nE\cdot F = E^2 + n$,
�� ���� $E^2 = -n$. ������� ������, ��� $E$ � $F$ ������� ����������.
����� $xE + yF = 0$. ������� �� $F$ �������� $x = 0$, � ������� �� $E'$ �������� $y = 0$.
\endproof

\begin{exc}
��������, ��� $K_{\Sigma_n} = -2E - (n+2)F$.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $D$ --- ����������� ������� �� $\Sigma_n$ � $D^2 = -1$. ��������, ���\\
$(i)$ $D \sim E + \frac{n-1}2 F$;\\
$(ii)$ ������ ������� $D\in|E+mF|$, ��� $0\le m < n$, ����� ��� $D = E + F_1 + \dots + F_m$;\\
$(iii)$ ����������� $\Sigma_n$ ����������, ���� $n\ne 1$.
\end{exc}

����� �������, ����������� ������ ������������ ������������ ������������� ����������� ����������
� ������������� $\Sigma_n$, $n\ne 1$.

����� ������ $B$ --- ������ ���� $g > 0$, � $\CE$ --- ���������� ����� $2$ �� $B$.

\begin{lemma}
����������� $X = \Pp_B(\CE)$ ���������� � ������������� ������������ $B\times\Pp^1$.
\end{lemma}
\proof{}
����� $C$ --- ������������ ������ �� $X$. �������� $C \to B$ �� ����� ���� ����������,
��� ��� ����� $g(B) = 0$ �� ������� ������. ������ $C$ --- ���� � $C^2 = 0$.
������ �� $X$ ��� $(-1)$-������, �� ���� $X$ ����������.
������ ����������� ��������.
\endproof

\subsection*{��������� ����������� � ������������� ������������}

��������� ����������� $\kappa(X)$ ������������ $X$ ������������ ��������� �������.
��� ������� $n > 0$ ���������� ������ �������� ������� $|nK|$.
���� ��� ����� ��� ���� $n$, ������� $\kappa(X) = -1$.
����� ����� $\kappa(X)$ --- �������� �� $n$ ����������� ������ �������������
����������� $X \to \Pp^N$, ����������� �������� �������� $|nK|$.
����, ��� $-1 \le \kappa(X) \le \dim X$.

\begin{exc}
��������, ��� $P_n(X) \sim C n^{\kappa(X)}$ ��� $n\to\infty$.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $C$ --- ������ ���� $g$. ��������, ��� $\kappa(C) = -1$, ���� $g = 0$; $\kappa(C) = 0$, ���� $g = 1$; � $\kappa(C) = 1$, ���� $g \ge 2$.
\end{exc}

\begin{thm}
����� $X$ --- ����������� ����������� ���������� ����������� $\kappa$. �����
\begin{itemize}
\item ���� $\kappa = -1$, �� $X = \Pp^2$ ��� $X$ --- ����������;
\item ���� $\kappa = 0$, �� ����
    \begin{itemize}
    \item $X$ --- ����������� ���� $K3$, �.�. $K_X = 0$, $q = 0$;
    \item $X$ --- ������� �����������, �.�. $K_X = 0$, $q = 2$;
    \item $X$ --- ������ �������� ��� $K3$-����������� �� ���������� �������� �������� ������;
    \end{itemize}
\item ���� $\kappa = 1$, �� $X$ --- ������������� �����������, �.�.
���������� ������� $X \to B$, ��� ���� �������� --- ������� �������������� ������;
\item ���� $\kappa = 2$, �� $X$ --- ����������� ������ ����.
\end{itemize}
\end{thm}

\begin{exc}
��������, ��� ��������� ����������� ����� ��� $K3$:\\
$(i)$ ���������� �������� $\Pp^2$ � ���������� � ������ ������� $6$;\\
$(ii)$ �������� � $\Pp^3$;\\
$(iii)$ ����������� �������� � ������ � $\Pp^4$;\\
$(iv)$ ����������� ���� ������� � $\Pp^5$.
\end{exc}

\begin{exc}
����� $X = B\times C$ --- ������������ ������. ��������, ���\\
$(i)$ ���� $g(B) = g(C) = 0$, �� $X = \Sigma_0$;\\
$(ii)$ ���� $g(B) = 0 < g(C)$, �� $X$ --- ����������;\\
$(iii)$ ���� $g(B) = g(C) = 1$, �� $X$ --- ������� �����������;\\
$(iv)$ ���� $g(B) = 1 < g(C)$, �� $X$ --- ������������� �����������, $\kappa(X) = 1$;\\
$(v)$ ���� $g(B),g(C) \ge 2$, �� $X$ --- ����������� ������ ����.
\end{exc}


\end{document}











\subsection*{������������� ������������}

����� $X$ --- ������������ ����������� ������������. ���������� �������������� ������
$A_X = \oplus_{m=0}^\infty H^0(X,\CO_X(mK_X))$. ��� ���������� \emph{������������ �������}
������������ $X$.


\subsection*{���������� �����������}



\begin{lemma}
����� $\pi:\TX \to X$ --- �������� �������� ��������������� $Z \subset X$ ������������� $2$.
����� $h^{ij}(\TX) = h^{ij}(X) + h^{i-1,j-1}(Z)$.
\end{lemma}
\proof{}
���������� ������� $E$. ��������� �������� $E \to Z$ ����� $\pi_E$, � �������� $E \to \TX$ ����� $i$.
�������� � ������ ������������������ $0 \to \pi_E^*\Omega_Z \to \Omega_E \to \Omega_{E/Z} \to 0$
������� $\Lambda^p$ �������� ������ ������������������
$0 \to \pi_E^*\Omega^p_Z \to \Omega^p_E \to \pi_E^*\Omega^{p-1}_Z\otimes\Omega_{E/Z} \to 0$.
���������� ������ ���������� ������������
$i^*\Omega^p_\TX = \Omega^p_{\TX|E} \to \Omega^p_E \to \pi_E^*\Omega_Z^{p-1}\otimes\Omega_{E/Z}$.
�� ������������� �� ������������� ������� $\Omega^p_\TX \to i_*(\pi_E^*\Omega^{p-1}_Z\otimes\Omega_{E/Z})$.
�������, ��� ����� ����� ������ ������������������
$$
0 \to \pi^*\Omega^p_X \to \Omega^p_\TX \to i_*(\pi_E^*\Omega^{p-1}_Z\otimes\Omega_{E/Z}) \to 0,
$$
���������� ��������� --- �������, ��� ��� ����� ����� $i^*\pi^*\Omega^p_X = \pi_E^*\Omega^p_{X|Z}$
� $\Omega^p_E$ ����� � $\pi_E^*\Omega^p_Z$. �������� ������������������ ������ ��������.
�������� ����� ���� ����� ����������� (����� $\pi^*\Omega_X$ �������� ��������,
� ������� $\pi$ � ����� ����� �������� ������������). �������� ���������� �������
�� ������������ ���� ����������.
\endproof

\begin{exc}
����� $D$ --- ������� ������� �� ������� ������������ $Y$, $i:D \to Y$ --- ��������,
� $\CG$ --- �������� ��������� ����� ����� $r$ �� $D$. ��������, ���\\
$(i)$ $\Tor_{\ge 2}(i_*\CG,-) = 0$;\\
$(ii)$ ���� $\CF \to i_*\CG$ --- ����������, � $\CF$ --- �������� ��������,
�� $\CF' = \Ker(\CF \to i_*\CG)$ --- �������� �������� � $\det\CF'\cong\det\CF(-rD)$;\\
$(iii)$ ���� $\CE \stackrel\phi\to \CF'$ --- �������� �������� ��������� ������
� $\det\CE \cong \det\CF'$, �� $\phi$ ����������;\\
$(iv)$ ���� $0 \to \CE \to \CF \to i_*\CG \to 0$ --- ������ �� ����� ������������������,
$\CE$ � $\CF$ �������� �������� � $\det\CE\cong\det\CF(-rD)$, �� ������������������ ����� � ����������.
\end{exc}
