Литература к курсу "Введение в алгебраическую геометрию"

Коммутативная алгебра, она же -- аффинная алгебраическая геометрия

• М. Атья, И. Макдональд, "Введение в коммутативную алгебру", пер. Ю.И. Манин (М. 1972, имеется дорогое переиздание 2003 года издт-ва Факториал, было и пиратское ротапринтное переиздание).
[djvu, 1.3 MB]
• Эту книжку необходимо проработать, лучше всего целиком, и решить все упражнения. Авторы -- известные математики, но *не* специалисты по коммутативной алгебре; поэтому в книжке нет ровно ничего лишнего. Единственный ее недостаток -- это что наоборот, про некоторые необходимые вещи там ничего нет.
• H. Matsumura, "Commutative Ring Theory", trans. from Japanese by M. Reid (Cambridge Univ. Press 1986).
[djvu, 4.6 MB]
• Тоже довольно хороший учебник. Мацумура по профессии алгебраист, поэтому здесь есть все, что нужно, и кое-что, без можно и прожить (какие-то его любимые темы, для общей публики ненужные и т.д.). Целиком это изучать не надо, но если вы можете эту книгу найти, она будет хорошим дополнением к Атье-Макдональду.
• H. Matsumura, "Commutative Algebra", second ed., 1980.
[djvu, 2.0 MB]
• Более старая книга Мацумуры, ориентированная на приложения к алгебраической геометрии. Тоже довольно полезна.
• D. Eisenbud, "Introduction to Commutative Algebra" (готовится русский перевод).
[djvu, 7.6 MB]
• Современный прагматичный американский учебник -- есть все, что реально применяется в алгебраической геометрии, с примерами как его применять и зачем; довольно приземленная книга в стилистике "how-to". Толстая. При этом Айзенбад, как и Мацумура -- известный и хороший алгебраист, так что отбор материала разумный. Единственное, что я бы исключил -- это назойливые описания "компьютерной алгебры", базисов Гребнера и прочих способов с помощью компьютера написать бессмысленную статью (к счастью, в наших условиях у людей меньше стимулов писать бессмысленные статьи).

Собственно алгебраическая геометрия

• Р. Хартсхорн, "Алгебраическая геометрия" (М. 1981, были переиздания).
[djvu, 6.1 MB]
• Это стандартный учебник. Он даже и не безумно хороший, некоторые темы Хартсхорн просто сам не понимает и пропустил, другие не смог внятно изложить. Но книга заняла нишу, и последние 25 лет по ней все учатся. Необходимый материал это главы 2 и 3 (глава 1 это введение, изложенное без техники схем -- на мой вкус, совершенно невнятное; главы 4 и 5 -- применение общей техники конкретно к алгебраическим кривым и поверхностям, в других местах то же изложено лучше). Необходимо также прорешать в главах 2 и 3 все упражения (это даже важнее, чем прочитать основной текст).
• И.Р. Шафаревич, "Введение в алгебраическую геометрию" (было несколько изданий, переработанных; начиная с некоторого момента -- в двух томах).
• Единственная альтернатива Хартсхорну. От Шафаревича, как вы наверное знаете, происходит вся отечественная алгебраическая геометрия и большая часть теории чисел. Книжка очень хорошая, хотя немного идиосинкратическая. В свое время это была библиографическая редкость, поэтому я учился по Хартсхорну; может быть и зря.
• Ф. Гриффитс и Дж. Харрис, "Принципы алгебраической геометрии"
• Это подробное введение в алгебраическую геометрию над C, написанное с точки зрения комплексного анализа, и с применением соответствующей техники. Тоже совершенно стандартный учебник, по этой теме. В нашем курсе мы будем работать в чисто алгебраической технике и на гротендиковском языке схем, так что к нам эта книга отношения не имеет; но про ее существование надо знать, и все, что в ней изложено, тоже надо будет со временем изучить (даже если вы занимаетесь не алгебраической геометрией а, например, теорией струн).
• Дж. Харрис, "Алгебраическая геометрия -- начальный курс" (М., издт-во MCCME, 2005)
• Эта книга для тех, кто устал от абстрактной общей техники. Здесь на максимально простом языке изложены многие -- на удивление многие -- конструкции и примеры. Харрис многие годы отвечает в Гарварде за работу с аспирантами, и большой мастер объяснять сложные вещи простыми наглядными соображениями (а также, получать из простых наглядных соображений сложные неожиданные теоремы).
• Д. Мамфорд, "Лекции о кривых на алгебраической поверхности"
[djvu, 1.6 MB]
• Это книга уже классическая. Найти ее нельзя, переизданий кажется не было, но в электронном виде она доступна. Мамфорд -- один из первых последователей Гротендика, а эта книга -- одна из первых попыток дать введение в язык схем. Вместо того, чтобы писать общее энциклопедическое введение, Мамфорд сделал так: нашел одну конкретную задачу, достаточно классическую, но такую, что для аккуратного решения действительно нужны новые гротендиковские понятия -- и построил изложение вокруг этой задачи. Книга получилась довольно тонкая, но крайне насыщенная; читать ее трудно, приходится каждую страницу разбирать, но очень полезно.