Введение в алгебраическую геометрию

Материал рассчитан на примерно годовой курс, раз в неделю; при этом материала много и он сложный, а потому необходима активная работа студентов (в том числе, студенты должны быть готовы заполнять пробелы в собственном образовании по книгам). По ходу дела, придется также изучить необходимые сведения из коммутативной алгебры. Перечислены только общие темы, которые мы будем обсуждать -- на практике, по крайней мере половину времени придется посвятить разбору общих понятий на конкретных примерах.

0. Примеры алгебраических многообразий.

• Конкретные примеры (в комплексном проективном пространстве), теорема Безу, кубические кривые, раздутия, разветвленные накрытия.

1. Аффинная алгебраическая геометрия.

• Понятие аффинного алгебраического многообразия. Словарь алгебра/геометрия: максимальный и простой спектры, накрытия и расширения Галуа, теорема Гильберта о нулях, топология Зарисского. Понятие размерности, нетеровы кольца, теорема Гильберта о базисе. Примарное разложение и неприводимые компоненты. Дивизоры и нормирования. Нильпотенты, касательные векторы, гладкость. Пополнение и кольца формальных рядов. Целозамкнутость и нормальность -- теорема Хартогса, нормализация, гладкость в коразмерности 1.

2. Понятие схемы.

• Предпучки и пучки. Окольцованные пространства. Схемы, морфизмы схем. Отделимые и собственные морфизмы, валюативные критерии. Когерентные пучки, линейные расслоения, проективные вложения. Плоские семейства, полином Гильберта. Схема как функтор точек. Формальные схемы. Пример: коммутативные групповые схемы.

3. Когомологическая техника.

• Введение в гомологическую алгебру. Когомологии когерентных пучков. Теоремы замены базы. Элементарная теория деформаций. Когомологии де Рама, фильтрация Ходжа, теоремы Лефшеца.

4. Этальная топология.

• Покрытия и накрытия, как их рассмаривать единообразно. Этальные морфизмы. Склейка и плоский/этальный спуск. Общей понятие топологии Гротендика, этальная топология. Этальные и l-адические когомологии. Основные теоремы об этальных когомологиях и пучках (конструктивные пучки, собственная и гладкая замена базы). Действие группы Галуа; собственные значения Фробениуса, веса.