\documentclass[12pt]{article}
 \usepackage{
 russcorr,
 amsmath,amsfonts,%theorem,
 amssymb,amsthm
%showkeys
}
 \pagestyle{myheadings}

% \newcommand{\ntag}[1]{} %\tag{#1}}
 \numberwithin{equation}{section}
%\newtheorem{proof}{Proof}
% \newtheorem{prop}{Proposition}[section]
 \newtheorem{prop}{Предложение}[section]
 \newtheorem{pro}{Proposition}
 \renewcommand{\thepro}{}
% \newtheorem{cor}{Corollary}[section]
 \newtheorem{cor}{Следствие}[section]
 \newtheorem{co}{Corollary}
 \renewcommand{\theco}{}
% \newtheorem{thm}{Theorem}[section]
 \newtheorem{thm}{Теорема}[section]
%  \newtheorem*{thmm}{Theorem}
 \newtheorem*{thmm}{Теорема}
  \newtheorem*{conj}{The Hessian Conjecture}
% \newtheorem{lem}{Lemma}[section]
 \newtheorem{lem}{Лемма}[section]
 %\theorembodyfont{\rmfamily}
 \newtheorem{dfn}{Definition}[section]
 \newtheorem{mcdn}{Main Condition}
 \newtheorem{warning}{Warning}
 \renewcommand{\thewarning}{}
%\newtheorem{rmkk}{Remark}[section]
 \newtheorem{rmkk}{Замечание}[section]
 %\renewcommand{\thermk}{}

 %\newenvironment{pf}{\paragraph{Proof}}{\par\bigskip}
 %\newcommand{\qed}{\ifhmode\unskip\nobreak\fi\quad\ensuremath\square}

\newenvironment{digr}[1]{\subsubsection*{#1}}{\quad$\diamondsuit$\par\bigskip}

 \newcommand{\Span}[1]{\left< #1 \right>}
 \newcommand{\half}{\textstyle\frac12}
 \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
 \newcommand{\pr}{\operatorname{pr}}
 %\newcommand{\ch}{\operatorname{ch}}
 \newcommand{\td}{\operatorname{td}}
 \newcommand{\CD}{\operatorname{CD}}
 \newcommand{\CS}{\operatorname{CS}}
 \newcommand{\BS}{\mathrm{BS}}
 \newcommand{\kBS}{k\mathrm{\text{-}BS}}
 \newcommand{\HP}{\mathrm{HP}}
 \newcommand{\KH}{\mathrm{KH}}
 \newcommand{\LC}{\mathrm{LC}}
 \newcommand{\US}{\mathrm{US}}
 \newcommand{\SDAG}{\mathrm{SDAG}}
 \newcommand{\II}{\mathrm{II}}
 \newcommand{\gen}{\mathrm{gen}}
 \newcommand{\semis}{^{\mathrm{ss}}}

% \newcommand{\can}{\mathrm{can}}
 \newcommand{\irr}{^{\mathrm{irr}}}
 \newcommand{\red}{^{\mathrm{red}}}
% \newcommand{\red}{_{\mathrm{red}}} % reduced subscheme
% \newcommand{\mi}{_{\mathrm{min}}} % minimal surface
 \newcommand{\rest}[1]{{}_{{\textstyle{|}}#1}} % restriction of map

 \newcommand{\albar}{\overline{\al}}
 \newcommand{\dbar}{\overline{\partial}}
 \newcommand{\Dbar}{\overline{D}}
 \newcommand{\gbar}{\overline{g}}
 \newcommand{\ubar}{\overline{u}}
 \newcommand{\Ibar}{\overline{I}}
 \newcommand{\p}{\partial}
 \newcommand{\wave}{\widetilde}
 \newcommand{\tensor}{\otimes}
 \newcommand{\ov}{\overline}
\newcommand{\op}{\overline{\p}}
% Script letters
 \newcommand{\sA}{\mathcal A} % sheaf of algebras A
 \newcommand{\sB}{\mathcal B} % conductor ideal
 \newcommand{\sE}{\mathcal E}
 \newcommand{\sG}{\mathcal G} % sheaf G
% \newcommand{\sJ}{\mathcal J} % sheaf J
% \newcommand{\sI}{\mathcal I}
 \newcommand{\sC}{\mathcal C}
 \newcommand{\sF}{\mathcal F}
 \newcommand{\sH}{\mathcal H}
 \newcommand{\sL}{\mathcal L}
 \newcommand{\sU}{\mathcal U}
 \newcommand{\sM}{\mathcal M}
 \newcommand{\Oh}{\mathcal O}
 \newcommand{\sP}{\mathcal P}
 \newcommand{\sS}{\mathcal S}
 \newcommand{\sW}{\mathcal W}

% \newcommand{\sF}{\mathcal F}

% short Greeks
 \newcommand{\al}{\alpha}
 \newcommand{\be}{\beta}
 \newcommand{\de}{\delta}
 \newcommand{\ep}{\varepsilon}
 \newcommand{\fie}{\varphi}
 \newcommand{\ga}{\gamma}
 \newcommand{\ka}{\kappa}
 \newcommand{\om}{\omega}
 \newcommand{\si}{\sigma}
 \newcommand{\De}{\Delta}
 \newcommand{\Ga}{\Gamma}
 \newcommand{\La}{\Lambda}
 \newcommand{\Om}{\Omega}
 \newcommand{\la}{\lambda}
 \newcommand{\Si}{\Sigma}
 \newcommand{\na}{\nabla}

 \newcommand{\PP}{\mathbb P}
 \newcommand{\C}{\mathbb C}
 \newcommand{\N}{\mathbb N}
 \newcommand{\Q}{\mathbb Q}
 \newcommand{\R}{\mathbb R}
 \newcommand{\Z}{\mathbb Z}

% \mathops
 \newcommand{\ad}{\operatorname{ad}} % adjoint bundle
% \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
% \newcommand{\res}{\operatorname{res}}
 \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
 \newcommand{\rk}{\operatorname{rank}}
 \newcommand{\hcf}{\operatorname{hcf}}
 \newcommand{\mir}{\operatorname{mir}}
 \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} % codimension
 \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
 \newcommand{\topo}{\operatorname{top}}
% \newcommand{\var}{\operatorname{var}}
% \newcommand{\vcodim}{\operatorname{v.codim}}
 \newcommand{\vdim}{\operatorname{v.dim}}
% \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}}
% \newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}
% \newcommand{\Grass}{\operatorname{Grass}} % Grassmann variety
% \newcommand{\Mod}{\operatorname{Mod}}
% \newcommand{\Mon}{\operatorname{Mon}}
 \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
 \newcommand{\End}{\operatorname{End}}
 \newcommand{\GFT}{\operatorname{GFT}}
 \newcommand{\sGFT}{\operatorname{sGFT}}
 \newcommand{\LaGr}{\operatorname{\La_{\uparrow}\!}}
% \newcommand{\orGr}{\operatorname{Gr_{\uparrow}\!}}
 \newcommand{\Hol}{\operatorname{Hol}}
 \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
% \newcommand{\Rep}{\operatorname{Rep}}
 \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
 \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} % Picard scheme
 \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
 \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
 \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
% \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
 \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
% \newcommand{\Stab}{\operatorname{Stab}} % Stabiliser group
% \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}

% Lie groups
% \renewcommand{\O}{\operatorname{O}}
 \newcommand{\SO}{\operatorname{SO}}
 \newcommand{\U}{\operatorname U} % unitary group
 \newcommand{\PU}{\operatorname{PU}}
 \newcommand{\SU}{\operatorname{SU}}
% \newcommand{\sSU}{\operatorname{\mathcal{SU}}}

 \newcommand{\fsl}{\operatorname{\mathfrak{sl}}}
\newcommand{\fsu}{\operatorname{\mathfrak{su}}}
\newcommand{\fg}{\operatorname{\mathfrak{g}}}
\def\cM{{\cal M}} \newcommand{\su}{\operatorname{\mathfrak{su}}}
% \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
% \newcommand{\SP}{\operatorname{Sp}}
% \newcommand{\odd}{\mathrm{odd}}
 \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}}

 \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

%NEW
\newcommand{\FFF}{\mathbb F}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\Coker}{\operatorname{Coker}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\thgg}{\operatorname{th}}
\newcommand{\St}{\operatorname{St}}
\newcommand{\sK}{\mathcal K}
\newcommand{\sD}{\mathcal D}
\newcommand{\sJ}{\mathcal J}
\newcommand{\DESS}{\mathcal Dess}
\newcommand{\sBB}{\mathcal B}
\newcommand{\TTT}{\mathbb T}
\newcommand{\vecr}{\overrightarrow}
\newcommand{\vecl}{\overleftarrow}
\newcommand{\vka}{\varkappa}

\begin{document}
\title{Раскрашенные графы и матричные интегралы.}
 %\markright{\hfill  \quad }
  \author{И.В.Артамкин\thanks{
  %Partially supported by
  %RFFI grants
При частичной поддержке грантов РФФИ
  07-01-92211,   07-01-00441.}}
\date{}
 \maketitle

\section{Введение.}
В этой работе обсуждаются два различных асимптотических разложения
матричных интегралов. Первоначальный подход, использующий так называемую
технику фейнмановских диаграмм, которая описана, например, в \cite{BIZ},
приводит к суммированию по классам изоморфных ленточных графов.
Асимптотические разложения более общих гауссовых интегралов, описанные в
 \cite{A_3}, представляют собой суммы  по классам изоморфных
 раскрашенных графов без всякой ленточной структуры.
Здесь мы выводим первое разложение из второго, что дает независимое
доказательство разложения, использованного Концевичем в \cite{KONC}.
Было бы весьма интересно сравнить алгебраический аппарат,
возникающий при каждом из этих подходов. Асимптотическое разложение по
ленточным графам приводит к тау-функции иерархии КДВ, в то время как
суммы по раскрашенным графам удовлетворяют достаточно простой
системе дифференциальных уравнений в частных производных,
обобщающей уравнение Бюргерса ( подробности см. \cite{A_2} или в  \cite{A_3}).


Общий подход с использованием раскрашенных графов описан во втором параграфе.
В третьем параграфе мы подробно разбираем частный случай, соответствующий
матричному интегралу, рассматриваемому в \cite{KONC}. Там же мы получаем разложение
по ленточным графам. Доказательство основано на простых топологических
соображениях, описанных в четвертом параграфе. В пятом параграфе мы
приводим явное вычисления первого члена разложения по раскрашенным графам.

Эта работа появилась  в качестве ответа на вопрос Бориса Дубровина, которому
 я благодарен за многочисленные полезные обсуждения. Я также  признателен
Международному центру теоретической физики (ICTP)  в Триесте, где была
подготовлена предварительная версия этой работы.

\section{Раскрашенные графы.}
Раскрашенные графы вводятся в работе \cite{A_2}. Говоря неформально,
раскрашенный граф --- это конечный комбинаторный объект, полученный соединением
конечного числа "деталей" следующих двух типов.
\begin{enumerate}
    \item  {\it Вершины},  имеющие конечное число {\it  хвостов} (т.е. полуребер),
каждый из которых раскрашен одним из  $r\ge 1$ заданных цветов.
Обозначим множество цветов через $\Om $; в этом разделе нам
будет удобно занумеровать цвета и считать, что
\begin{equation}\label{def_Om}
    \Om =  \{ 1, \ldots , r \} .
\end{equation}
Каждой вершине $v$ можно сопоставить ее {\it мультииндекс валентностей}
   $\nu (v)= (n_1, \ldots, n_r)$, где
    $n_i\ge 0$ --- это количество выходящих из вершины  $v$ хвостов,
окрашенных цветом $i$. Полная валентность вершины --- это $|\nu (v)| = \sum n_i$.
В общем случае раскрашенный граф является взвешенным графом, это
значит, что каждой вершине $v$ сопоставляется неотрицательное целое число
 $g(v)$, называемое {\it родом} вершины $v$. Иногда, однако, нет
 необходимости рассматривать взвешенные графы, для этого можно просто
 считать, что рода всех вершин равны нулю. Соответствующие упрощения
 обозначений описаны ниже  в замечании  \ref{remark}.
    \item Для соединения двух хвостов цветов $i$ и $j$ в одно ребро требуются детали
    второго типа, которые мы будем называть $(ij)$-{\it  коннекторами}.
    Таким образом, коннектор можно рассматривать как особого
    рода двухвалентную вершину, но, вероятно, правильнее
    представлять его как своего рода "середину" ребра.
   \end{enumerate}

Таким образом, по определению раскрашенный граф $\Ga $
представляет сбой объект, полученный при помощи соединения конечного числа
описанных деталей; некоторые хвосты могут при этом
оставаться свободными, но каждый использованный коннектор должен обязательно
соединять ровно два полуребра.
Для раскрашенного графа $\Ga $
определяется  {\it мультииндекс его хвостов}  $N (\Ga )= (N_1, \ldots, N_r)$,
где   $N_i\ge 0$  представляет собой число хвостов цвета
 $i$. {\it Родом}
    связного графа  $\Ga $ называется
    \begin{equation}\label{genus}
    g(\Ga )=b_1(\Ga ) + \sum _{v\in V(\Ga )
    } g(v),
\end{equation}
где $b_1(\Ga )$ --- первое число Бетти графа  $\Ga $.


Рассмотрим набор независимых переменных $a_{m,N}$ для всех неотрицательных
целых $m$ и всех мультииндексов  $N=( n_1, \ldots , n_r)$, где все
 $n_i\ge 0$, и рассмотрим симметрическую $r\times r$ матрицу
$\Sigma = (\si _{ij})$. Переменные $a_{m,N}$ можно рассматривать как
коэффициенты формального ряда Тейлора
\begin{equation}\label{U}
    U(X,\hbar )=\sum _{m,N}a_{m,N}\frac {Y^N}{N!}\hbar ^{m-1} \in \frac 1{\hbar }
    \C [[y_1, \ldots , y_r,\hbar ]],
\end{equation}
где $Y=( y_1, \ldots, y_r)$,  $Y^N=  y_1^{n_1} \ldots  y_r^{n_r} $
и $N!= n_1! \ldots   n_r!$.
Мы будем также использовать следующие обозначения: мультииндекс с одной
единичкой на $ i $-ом месте и остальными нулями  $ (0, \ldots ,0,1,0, \ldots ,0)$
будет обозначаться $ \{ i \}$;
 мультииндекс  $\{ i \} +\{  j \} $ будет обозначаться
  $\{ ij \}   $;  мультииндекс  $ \{ i \} +\{  j \} +\{   k \} $ будет
  обозначаться  $\{ ijk \}$ и так далее.




Рассмотрим разложение
\begin{equation}\label{U0}
    U(X,\hbar )=\sum _{m }U_ m(Y)\hbar ^{m-1}
\end{equation}
и определим его градиентный вектор (компонентами которого будут формальные ряды)
\begin{equation}\label{F}
    F(Y)=\nabla   _Y \ U_ 0(Y)=\left( \frac {\p U_ 0(Y)}{\p y_1},
     \dots ,\frac {\p U_ 0(Y)}{\p y_r}\right)  ,
\end{equation}
а также матрицу Гессе
\begin{equation}\label{H}
    H(Y)=\nabla   _Y \ F(Y); \quad H(Y)_{ij}= \frac {\p ^2 U_ 0(Y)}{\p y_i \p y_j  }.
     \end{equation}

Рассмотрим следующие производящие формальные ряды:
   \begin{multline}\label{PSI}
    \Psi ( \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si ,\hbar ) =
    %\\ =
    \sum _{ \begin{array}{c}
        \mbox{\scriptsize Все} \\
         \mbox{\scriptsize раскра-}
       \\
         \mbox{\scriptsize    шенные} \\
         \mbox{\scriptsize графы }\Ga  \\
     \end{array}    }
    \frac { Y ^{N(\Ga )}\ \hbar ^{g(\Ga )-1}}{|\Aut \Ga |}
    \prod _{v\in V(\Ga )
    }  a _{g(v),\nu (v)}
\prod _{  e\in E(\Ga ) } s_{ij}
\end{multline}
и
\begin{multline}\label{Pstable}
    \sP  ( \{ a_{m,N }\} , \Si ,\hbar ) =
    %\\ =
    \sum _{ \begin{array}{c}
       \mbox{\scriptsize Все стабильные} \\
         \mbox{\scriptsize раскрашенные} \\
         \mbox{\scriptsize графы }\Ga  \\
     \end{array}    }
    \frac  {  \hbar ^{g(\Ga )-1}}{|\Aut \Ga |}
    \prod _{v\in V(\Ga )
    }  a _{g(v),\nu (v)}
\prod _{  e\in E(\Ga ) } s_{ij}
\end{multline}
Напомним, что граф называется {\it стабильным}, если у него нет
вершин рода $0$ валентности менее, чем три, и нет отдельно
стоящих (валентности $0$) вершин рода $1$. Поэтому стабильных графов
  рода $0$
и $1$ не существует. Рассмотрим разложения
\begin{equation}\label{Psi_g}
 \Psi ( \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si ,\hbar )
 = \sum _{g\ge 0} \Psi _g( \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si )\hbar ^{g-1}
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{P_g}
 \sP  ( \{ a_{m,N }\}  ,\Si ,\hbar )
 = \sum _{g\ge 2} \sP _g( \{ a_{m,N }\}  ,\Si )\hbar ^{g-1} .
\end{equation}

Отметим, что все $\Psi _g$ являются формальными степенными рядами, в то время как
  $\sP  _g$ являются многочленами,
зависящими от конечного числа  $a_{m,N }$ с $m\le g$
и удовлетворяющими определенным условиям однородности, приведенным в  \cite{A_2}.
Там они называются {\it многочленами стабильных графов}. (В настоящей работе
явный вид соотношений однородности и другие свойства этих
многочленов нам не потребуются.)

В  \cite{A_2} доказывается, что основной производящий ряд
 $\Psi  $ можно выразить через ряды
 $F$ и $H$ (см. (\ref{F}) и  (\ref{H})) и многочлены стабильных графов.
 Чтобы сформулировать эти результаты, рассмотрим градиент
\begin{equation}\label{Phi}
    \Phi( \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si )=
    \nabla   _Y \ \Psi _ 0( \{ a_{m,N }\} ,Y ,\Si  )=
    \left( \frac {\p \Psi _ 0 }{\p y_1},
     \dots ,\frac {\p \Psi _ 0 }{\p y_r}\right)
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{Thtea}
\Theta ( \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si )= Y+\Si
    \Phi( \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si ).
\end{equation}

Приведем теперь  без доказательства результаты \cite{A_2}.
Для краткости мы будем опускать аргументы ряда
 $\Theta  $,  определенного в  (\ref{Thtea}).
\begin{enumerate}
    \item Формальный ряд
      $\Phi $ удовлетворяет функциональному уравнению
    \begin{equation}\label{fun_eq}
 \Phi( \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si )=F(\Theta ),
\end{equation}
или, что равносильно, формальные ряды
\begin{equation}\label{inv}
    Y-\Si F(Y) \quad \mbox {and} \quad \Theta = Y+\Si
    \Phi( \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si )
\end{equation}
взаимно обратны.
Обращая $   Y-\Si F(Y)   $ или решая уравнение
  (\ref{fun_eq}) и затем, интегрируя, мы   $\Phi  $ можем определить ряд $\Psi _0$.
    \item  При $g=1$
    \begin{equation}\label{Psi_1}
    \Psi _1( \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si )=U_1(\Theta )-
    \frac 12 \tr \log (E-\Si H(\Theta )),
\end{equation}
где $E$ обозначает единичную матрицу.
    \item При $g>1$
\begin{multline}\label{Psi_g}
    \Psi _g \left(   \{ a_{m,N }\} ,Y,\Si \right) %= \\
 =\sP _g \left( \left\{ \frac {\p ^N U_m}{\p Y^N}
   \left( \Theta \right)    \right\} ,
     (E-\Si H(\Theta ))^{-1} \Si \right) .
\end{multline}
   \end{enumerate}

Важным свойством производящего степенного ряда $\Psi $ (\ref{PSI}) является то, что
он является асимптотическим разложением гауссова интеграла определенного вида.
Для этого нужно рассматривать $\Si $ как
вещественную положительно определенную симметрическую матрицу и
рассмотреть гауссову меру  на $\R ^r$
\begin{equation}\label{Gaus_mes}
    d \mu _{Y,\Si } (X) = \frac 1{( 2\pi   \hbar  \det \Si )^{r/2}}
    \exp \left ( -\frac {(Y-X)^T \Si ^{-1} (Y-X)}{2 \hbar }\right) dX ,
\end{equation}
имеющую среднее значение $Y$ и матрицу ковариации $\hbar \Si $. В работе  \cite{A_3}
доказывается, что формальный ряд (\ref{PSI}) является
тогда асимптотическим разложением следующего гауссового интеграла:
\begin{equation}\label{Gaus_int}
   \log  \int \exp (U(X)) d \mu _{Y,\Si } (X) \sim
   \Psi  \left(   \{ a_{g,N }\} ,Y,\Si , \hbar  \right) .
\end{equation}
Ряд $U$ задается своим тейлоровским разложением (\ref{U}); поэтому
асимптотическое разложение любого интеграла такого типа
можно рассматривать как производящую функцию с подходящими
коэффициентами $a_{g,N }$. В наиболее часто встречающемся случае,
когда
 \begin{equation}\label{stab_a}
    a_{0,N }=0 \quad \mbox{при  }  \quad  |N|\le 2  \qquad
    \mbox{   и   }   \quad  a_{1,(0,\ldots ,0) }=0
\end{equation}
нестабильные графы не дают вклада в производящий степенной ряд
 $\Psi $ (\ref{PSI}), так что $\sP$  можно получить, подставляя в $\Psi $
 $0$ вместо $Y$:
\begin{equation}\label{Psi(0)=P}
    \sP \left(   \{ a_{g,N }\}  ,\Si , \hbar  \right) =
    \Psi  \left(   \{ a_{g,N }\} ,0,\Si , \hbar  \right) .
\end{equation}
Таким образом, в этом случае производящий степенной ряд для
многочленов стабильных графов (\ref{Pstable})
можно также рассматривать как асимптотическое разложение
гауссова интеграла
\begin{equation}\label{Gaus_int_Y=0}
   \log  \int \exp (U(X)) d \mu _{0,\Si } (X) \sim
   \sP   \left(   \{ a_{g,N }\}  ,\Si , \hbar  \right) ,
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{Gaus_mes_Y=0}
 d \mu _{0,\Si } (X) = \frac 1{( 2\pi   \hbar  \det \Si )^{r/2}}
    \exp \left ( -\frac { X ^T \Si ^{-1}   X }{2 \hbar }\right) dX .
\end{equation}

%{\bf Remark.}
\begin{rmkk} \label{remark}
Во многих случаях запись   (\ref{U}) для ряда $U$ является слишком общей.
Например, для   матричных интегралов, обсуждаемых в настоящей работе и во
многих других случаях, нет необходимости рассматривать нагруженные графы.
Тогда  достаточно просто положить
\begin{equation}\label{a_gN_=0}
    a_{g,N}=0 \quad \mbox{при} \quad g>0 .
\end{equation}
В этом случае $U=\frac{U_0}{\hbar}$ и $U_1=U_2= \ldots =0$, так что
удобно сократить обозначения и писать  $a_N$ вместо  $a_{0,N}$.

Если к тому же $U_0$ является однородным многочленом степени ${d\ge 3}$, то
\begin{equation}\label{a_N_degree_d}
    a_{ N}=0 \quad \mbox{при} \quad |N|\ne d ,
\end{equation}
так что в сумме (\ref{PSI})
достаточно рассматривать суммы только по $d$-валентным графам.
Для матричных интегралов, которые обсуждаются в этой работе,  $d=3$.
\end{rmkk}




\section{Матричные интегралы.}
Применим теперь вышеописанный подход к матричному
интегралу, рассматривавшемуся в \cite{KONC}. В этом случае
  $X$ является эрмитовой матрицей размером $n\times n$;
обозначим
\begin{equation}\label{X=Z+iV}
    X=Z+ \sqrt {-1}\ V,
\end{equation}
где $Z$ симметрическая матрица, а  $V$ --- кососимметрическая.
Таким образом, $X$ зависит от
\begin{equation}\label{r=n^2}
r=n^2
\end{equation}
действительных параметров; в  \cite{KONC} гауссова мера на $\R ^r$ задается как
\begin{equation}\label{K_mes}
d \mu _{\La   } (X) = c_{\La  }
    \exp \left ( -\tr \frac { X \La  X }{2 }\right) dX,
\end{equation}
а матричный интеграл имеет вид
\begin{equation}\label{K_int}
    \log \int \exp \left( \frac {\sqrt {-1}}6 \tr X^3\right) d \mu _{\La   } (X).
\end{equation}



Однородной заменой
\begin{equation}\label{subs_h}
   X \to \hbar ^{-1/3} X , \quad  \La \to \hbar ^{-1/3} \La
\end{equation}
 интеграл приводится к виду (\ref{Gaus_int_Y=0})
\begin{equation}\label{K_int_h}
    \log \int \exp \left( \frac {\sqrt {-1}}{6\hbar } \tr X^3 \right)
      d \tilde \mu _{\La   } (X),
\end{equation}
где
\begin{equation}\label{K_mes}
d \tilde \mu _{\La   } (X) = \tilde c_{\La  }
    \exp \left ( -\tr \frac { X \La  X }{2\hbar }\right) dX
\end{equation}

Это в точности интеграл (\ref{Gaus_int_Y=0}) для случая $r=n^2$ и
\begin{equation}\label{U_K}
 U(X)= \frac {U_0(X)}{\hbar}=  \frac {\sqrt {-1}}{6\hbar } \tr X^3  .
\end{equation}
Отметим, что наш случай в точности соответствует замечанию \ref{remark}: $a_{g,N}$
отличны от нуля только при $g=0$ и $|N|=3$.


Теперь выпишем для нашего случая явные выражения кубического многочлена $U$ и
корреляционной матрицы $\Si $.

Для этого зафиксируем следующие обозначения для координат в $\R ^r$.
Имеется $\frac {n(n+1)}2$ координат $z_{ij}$ (где $i\le j$), соответствующих
элементам симметрической матрицы $Z$ из (\ref{X=Z+iV}),
обозначим их через $x_{  \underline{ij} }$.
Остальные $\frac {n(n-1)}2$ координат
$v_{ij}$ (где $i<j$)
соответствуют внедиагональным элементам кососимметрической матрицы
 $V$ из (\ref{X=Z+iV}),
обозначим их через $x_{ \overline{ij} }$.
Нам будет удобно считать символы
$  \underline{ij} $ и  $  \overline{ij}  $ симметричными:
 $  \underline{ij}
=  \underline{ji}  $ и  $  \overline{ij}=  \overline{ji}$,
но при этом
 $x_{  \underline{ij} }$ (или $x_{ \overline{ij} }$)
всегда будет обозначать соответствующий элемент матрицы
  $Z$ (соответственно $V$) расположенный выше главной диагонали.
  Введем обозначения для подмножеств множества индексов     $\Om $:
\begin{equation}\label{Omega}
\begin{array}{cc}
  \Om _0=\{ \underline{ii} ,  &  1\le i\le   n \}  \\ & \\
   \Om _+= \{ \underline{ij} ,  &  1\le i< j \le n \}  \\ & \\
 \Om _-=   \{ \overline{ij} ,  &  1\le i< j \le n \} ,\\
 \end{array}
\end{equation}
так что
\begin{equation}\label{Om}
 \Om = \Om _0   \cup \Om _+  \cup \Om _- .
\end{equation}
Теперь нетрудно выписать $n^2 \times n^2 $ матрицу
$\Si $ для случая диагональной матрицы
\begin{equation}\label{diag_La}
    \La = \left(%
\begin{array}{ccc}
  \la _1 &   & 0 \\
    & \ddots &   \\
  0 &   & \la _n \\
 \end{array}%
\right) .
 \end{equation}
\begin{prop}\label{Prop_Sigma_diag}
Для диагональной матрицы  $\La $   (\ref{diag_La})
$\Si $ является диагональной матрицей с элементами
\begin{equation}\label{Si(La)}
    \si _{\underline{ii} \ \underline{ii}}=\frac 1{\la _i}; \qquad
 \si _{\underline{ij} \ \underline{ij}}=\frac 1{\la _i+\la _j}; \qquad
 \si _{\overline{ij} \ \overline{ij}}=\frac 1{\la _i+\la _j}
\end{equation}
\end{prop}

Нетрудно также выписать явный вид функции
${U_0(X)= \frac {\sqrt {-1}}6 \tr X^3}$.
\begin{prop}\label{prop_tr_X^3=}
\begin{equation}\label{tr_X^3=}
 U_0(X)= \sqrt {-1} \left( \sum _{1\le i\le j\le k\le n} \frac 1 {\{ ijk \} !}
x _{\underline{ij} } x _{\underline{jk} }
 x _{\underline{ik} } + \sum _{1\le i\le j\le n}  \sum _{k\ne i, k\ne j}
 \pm  \frac 1 {\{ ij \} !}
x _{\underline{ij} } x _{\overline{jk} }
 x _{\overline{ik} } \right) ,
\end{equation}
причем во второй сумме стоит знак минус, если $k$ заключено
между $i$ и $j$, и плюс в остальных случаях.
\end{prop}
\begin{cor}\label{cor_a_gN_for_tr_X^3}
1) $a_{g,N}=0$, если $g\ne 0$ или $|N|\ne 3$, \\
2) При $g= 0$ и $|N|= 3$ все ненулевые значения коэффициентов
$a_{g,N}$ задаются следующим образом:
\begin{equation}\label{a_gN_for_tr_X^3_i}
    a_{0,N}= \left \{ \begin{array}{cccc}
      \sqrt {-1} & for & N= \{\underline{ij} \ \underline{jk} \  \underline{ik}  \} &
   \forall i,j,k   \\
      & & & \\
      \pm \sqrt {-1} & for & N= \{\underline{ij} \ \overline{jk} \  \overline{ik}  \}
      &   \forall i,j,k; i\ne k, j\ne k  \\
     \end{array}   \right.
\end{equation}
причем во второй строчке стоит знак минус, если $k$ заключено
между $i$ и $j$, и плюс в остальных случаях.
\end{cor}

Далее мы воспользуемся сокращением обозначений, предложенным в
 \ref{remark}:   будем писать $a_{ \{ \al \be \ga \} } $ вместо
 $a_{0,  \{ \al \be \ga \} } $ ($ \al ,\be ,\ga \in \Om $).

Диагональность матрицы $\Si $ означает, что в этом случае оба
конца любого ребра окрашены в один и тот же цвет,
поэтому мы имеем раскраску ребер тем же самым множеством цветов $\Om $:
\begin{equation}\label{coloring_mu}
   \mu : E(\Ga ) \to \Om .
\end{equation}
Согласно следствию \ref{cor_a_gN_for_tr_X^3}
такая раскраска должна удовлетворять следующему условию: любые три
сходящиеся в одной вершине ребра должны быть окрашены либо цветами
\begin{equation}\label{cond_color_1}
   \underline{ij} , \
  \underline{jk} \quad \mbox{и  } \  \underline{ik}  \quad
   \mbox{для некоторых}  \quad i,j,k ,
\end{equation}
либо цветами
\begin{equation}\label{cond_color_2}
 \underline{ij} , \
  \overline{jk}  \quad  \mbox{и  } \  \overline{ik}   \quad
  \mbox{для некоторых}  \quad i,j,k , \ i\ne k \ne j .
\end{equation}

Мы будем также использовать {\it сокращенные раскраски}
\begin{equation}\label{coloring_mu_red}
   \varkappa : E(\Ga ) \to \Om _0 \cup \Om _+
\end{equation}
которые также должны удовлетворять условию
(\ref{cond_color_1}).

Любой раскраске $\mu $  (\ref{coloring_mu}) можно сопоставить
сокращенную раскраску $\vka _{\mu }$
определенную следующим образом:
\begin{equation}\label{mu_red}
 \vka _{  \mu} (e) = \left \{ \begin{array}{ccc}
    \mu (e) & \mbox{если} &   \mu (e) \in   \Om _0 \cup \Om _+ ; \\
     \underline{ij} & \mbox{если}    &  \mu (e)=   \overline{ij} \in   \Om _- .  \\
   \end{array}  \right .
\end{equation}
Отметим, что согласно (\ref{Si(La)}) $\si _{\mu (e)}= \si _{\vka _{\mu} (e)}$.

Сокращенная раскраска $\vka  $ определяет подграф
$\De  (  \vka  )  \subset \Ga $,
 $V(\De (  \vka  ) )=V(\Ga )$ состоящий из всех ребер, окрашенных $\Om _+$
(т.е. $ E(\De  (  \vka   ))= \vka   ^{-1} (\Om _+)  $)
и имеющий то же самое множество вершин $E(\Ga )$, что и граф  $ \Ga  $. Конечно,
$\De (  \vka  ) $ не обязательно связен; согласно
(\ref{a_gN_for_tr_X^3})  $\De $ может иметь трехвалентные,
двухвалентные и нуль-валентные вершины.

По раскраске $ {\mu}$ определим  также подграф $\eta  (\mu )
 \subset \De (  \vka _{\mu})$ как минимальный подграф, содержащий все
 ребра из $   \mu  ^{-1} (\Om _-) $. Согласно (\ref{a_gN_for_tr_X^3})
 все вершины $ \eta    (\mu ) $ двухвалентны, поэтому $ \eta  (\mu )$
 представляет собой конечное несвязное объединение  простых циклов,
 т.е. элемент $H_1(\De  (  \vka _{\mu})  ,\Z _2)$. Очевидно,
 сокращенная раскраска
 $  \vka _{\mu}$ и цикл $\eta  (\mu )$ определяют $\mu $ однозначно.

\begin{prop} \label{mu_und_mu}
Отображение  $\mu \mapsto (\vka _{\mu},\eta  (\mu ))$
является естественным взаимно-однозначным соответствием между
множеством раскрасок $\mu $ (\ref{coloring_mu}), удовлетворяющих условиям
 (\ref{cond_color_1}) и
(\ref{cond_color_2}) и
множеством пар $(
\vka ,\eta )$,  где $  \vka  $ является сокращенной раскраской
(\ref{coloring_mu_red}), удовлетворяющей
 (\ref{cond_color_1}), а  $\eta $ является произвольным циклом в
 $H_1(\De ,\Z _2)$.
\end{prop}

 Раскраску, соответствующую сокращенной раскраске
$ \vka $ и циклу $\eta  \in H_1(\De  (  \vka )  ,\Z _2)$,
мы будем обозначать $\mu ( \vka ,\eta  )$.

Теперь асимптотическое разложение (\ref{K_int_h}) можно переписать так:

\begin{multline}\label{assymp_predv_i}
   { \log \int \exp \left( \frac {\sqrt {-1}}{6\hbar } \tr X^3 \right)
      d \tilde \mu _{\La   } (X) \sim }    \\
   \sim
\sum _{\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize Все трехвалентные}
\\  \mbox{\scriptsize  графы} \  \Ga \\ \end{array}
    }
\sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\scriptsize Все раскраски}  \\
    \mu    \  \mbox{\scriptsize ребер } \ E(\Ga ) \\
     \end{array}
    }
     \frac {\hbar ^{g(\Ga )-1}}{|\Aut (\Ga , \mu )|}
     \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{\mu (e)}
  \prod _{v \in V  (\Ga )
    }  a _{ \nu (v)} = \\ =
\sum _{\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize Все трех-} \\
 \mbox{\scriptsize
валентные}
\\  \mbox{\scriptsize графы} \  \Ga \\ \end{array}
    }
\sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\scriptsize Все} \\
     \mbox{\scriptsize     сокращенные} \\   \mbox{\scriptsize раскраски}
    \    \vka    \\
    \mbox{\scriptsize ребер } \ E(\Ga ) \\
     \end{array}
    }
 \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{\vka  (e)}
\sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\scriptsize Все такие} \\
     \mbox{\scriptsize   раскраски }  \    \mu     \\
 \mbox{\scriptsize ребер } \ E(\Ga ), \\
       \mbox{\scriptsize что }    \vka _{\mu} = \vka  \\
     \end{array}
    }   \frac { \hbar ^{g(\Ga )-1}}{|\Aut (\Ga , \mu )|}
\prod _{v \in V  (\Ga )
    }  a _{ \nu (v)}
\end{multline}




  В дальнейшем нам будет удобнее пользоваться подправленными значениями
\begin{equation}\label{a_bar}
    \bar a_N = \frac  {a_N}{\sqrt {-1}},
\end{equation}
так что в соответствии со следствием \ref{cor_a_gN_for_tr_X^3}
\begin{equation}\label{a_gN_for_tr_X^3}
    \bar   a_{N}= \left \{ \begin{array}{cccc}
      1 &   \mbox{при} & N= \{\underline{ij} \ \underline{jk} \  \underline{ik}  \} &
   \forall i,j,k   \\
      & & & \\
      \pm 1 &   \mbox{при}  & N= \{\underline{ij} \ \overline{jk} \  \overline{ik}  \}
      &   \forall i,j,k; i\ne k, j\ne k  \\
     \end{array}   \right.
\end{equation}
где во второй строчке стоит знак минус, если $k$ заключено
между $i$ и $j$, и плюс в остальных случаях.
Поскольку трехвалентный граф рода   $g$ имеет  $2g-2$ вершины,
разложение можно переписать используя значения  $ \bar   a_{N}$, следующим образом:
\begin{multline}\label{assymp_predv}
   { \log \int \exp \left( \frac {\sqrt {-1}}{6\hbar } \tr X^3 \right)
      d \tilde \mu _{\La   } (X) \sim }    \\
   \sim
    \sum _{\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize Все трех-} \\
 \mbox{\scriptsize
валентные}
\\  \mbox{\scriptsize графы} \  \Ga \\ \end{array}
    }  (-\hbar )^{g(\Ga )-1}
\sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\scriptsize Все} \\
     \mbox{\scriptsize     сокращенные} \\   \mbox{\scriptsize раскраски}
    \    \vka    \\
    \mbox{\scriptsize ребер } \ E(\Ga ) \\
     \end{array}
    }
 \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{\vka  (e)}
\sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\scriptsize Все такие} \\
     \mbox{\scriptsize   раскраски }  \    \mu     \\
 \mbox{\scriptsize ребер } \ E(\Ga ), \\
       \mbox{\scriptsize что }    \vka _{\mu} = \vka  \\
     \end{array}
    }   \frac {1}{|\Aut (\Ga , \mu )|}
\prod _{ v\in V(\Ga)
%\begin{array}{c}
 %   \mbox{\scriptsize Все} \\
  %  \mbox{\scriptsize    вершины}    \\
   %  \mbox{\scriptsize графа }\Ga  \\
    % \end{array}
    }  \bar  a _{ \nu (v)}
\end{multline}

Отметим, что все значения $\bar a_{ \nu (v)}$ равны $\pm 1$
и в соответствии с (\ref{a_gN_for_tr_X^3}) отрицательные сомножители
могут давать только вершины $\eta  (\mu )$:
\begin{equation}\label{prod_by_cycles_0}
   \prod _{  v\in V(\Ga)
  % \begin{array}{c}
   % \mbox{\footnotesize вершины}    \\
    % \mbox{\footnotesize графа }\Ga  \\
    % \end{array}
    }  \bar a _{ \nu (v)}
    =
\prod _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize вершины}    \\
     \mbox{\footnotesize цикла }   \eta  (\mu )  \\
     \end{array}
    }  \bar a_{  \nu (v)} .
\end{equation}

Поскольку любой цикл
   $\eta  \in H_1(\De  (  \vka )  ,\Z _2)$ можно представить как
   объединение  непересекающихся простых циклов,

\begin{equation}\label{prod_by_cycles}
   \prod _{
v\in V(\Ga )
 %  \begin{array}{c}
  %  \mbox{\footnotesize вершины}    \\
   %  \mbox{\footnotesize графа  }\Ga  \\
    % \end{array}
    }  \bar a _{ \nu (v)}
    = \prod _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize простые циклы}    \\
     c \subset \eta  (\mu ) \\
     \end{array}
    }
\prod _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize вершины }    \\
     \mbox{\footnotesize цикла } c  \\
     \end{array}
    }  \bar a_{  \nu (v)} .
\end{equation}

Мы покажем, что для простого цикла $c$ знак произведения
\begin{equation}\label{prod_one_cycle}
\prod _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize вершины}    \\
     \mbox{\footnotesize цикла } c  \\
     \end{array}
    }  \bar a_{  \nu (v)}
\end{equation}
выражается
в топологических терминах, возникающих из рассмотрения вложения графа
 $\Ga $ в компактную поверхность $S$. По определению
 (см. \cite{Lando})  это означает, что имеется клеточное разбиение
 поверхности $S$ и изоморфизм графа
 (рассматриваемого как одномерный клеточный комплекс)
  с одномерным остовом этого клеточного
 разбиения. Обозначим через $F(S)$ множество двумерных клеток этого
   разбиения,
элементы $F(S)$ мы будем называть  {\it гранями}.


Рассмотрим какую-нибудь раскраску множества граней
\begin{equation}\label{coloring_faces}
\fie : F(S) \to \{ 1, \ldots , n \} .
\end{equation}
Очевидно, раскраска граней $ \fie  $
определяет сокращенную раскраску  $   \vka (\fie ) $
множества ребер графа  $\Ga $  (с множеством цветов $ \Om _0 \cup  \Om _+ $),
удовлетворяющую (\ref{cond_color_1}): для ребра $e$
инцидентного граням $i$ и $j$
мы полагаем
\begin{equation}\label{col_mu_f}
    \vka (\fie )  (e)=  \underline{ij} .
\end{equation}
В следующем разделе мы покажем, что любая сокращенная раскраска ребер
 $    \vka       $ порождается каким-нибудь вложением, но в общем случае такое
 вложение не единственно.




\begin{prop}\label{prop_c}
1)  Любая сокращенная раскраска   $    \vka   : E(\Ga ) \to   \Om _0 \cup  \Om _+  $,
удовлетворяющая (\ref{cond_color_1}), порождается некоторым вложением
графа $\Ga $
в некоторую поверхность $S$
и раскраской множества ее граней $\fie $ (\ref{coloring_faces}).\\
 2) Вложение и раскраска   $ \fie $ (\ref{coloring_faces})
определяются по
$    \vka    $ однозначно тогда и только тогда, когда
   $   \Ga =  \De (\vka ) $.
\end{prop}

Рассмотрим некоторую раскраску $\mu $ ребер графа   $   \Ga   $,
удовлетворяющую (\ref{cond_color_1}) и  (\ref{cond_color_2}),
и какое-нибудь вложение графа
$\Ga $ в компактную поверхность $S$,  порождающую раскраску $    \vka _{\mu}  $.
Рассмотрим простой цикл $c\in H_1(\De ( \vka _{\mu}  ) , \Z _2)$.
Тогда окрестность цикла  $c$
 в $S$ гомеоморфна либо цилиндру (ориентируемый случай), либо ленте
 Мебиуса (неориентируемый случай).
 В следующем разделе мы покажем, что это определяет знак произведения
(\ref{prod_one_cycle}) и тем самым не зависит от выбора  вложения.
\begin{prop}\label{prop_sign_cycle} Для простого цикла $c\subset \eta $
\begin{equation}\label{sign_cycle}
\prod _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize вершины}    \\
     \mbox{\footnotesize цикла } c  \\
     \end{array}
    }  \bar a_{  \nu (v)} = \left\{ \begin{array}{cl}
      1 & \mbox{если окрестность цикла} \  c \ \mbox{ориентируема; } \\
        &   \\
     -1 &    \mbox{если окрестность цикла} \  c \ \mbox{неориентируема.}    \\
     \end{array}
    \right.
     \end{equation}
\end{prop}
\begin{cor}
Зафиксируем сокращенную раскраску ребер $\vka   $. Для каждого цикла
 $\eta  \in
H_1(\De (   \vka ),\Z _2)$
рассмотрим раскраску ребер  $  \mu (   \vka   ,\eta ) $,
определенную в предложении \ref{mu_und_mu}
и рассмотрим соответствующие значения $ \bar a_N$.
Тогда отображение
\begin{equation}\label{homom_eps}
    \ep  : H_1(\De  (   \vka ),\Z _2) \to \{ \pm 1 \} ,
\end{equation}
определенное формулой
\begin{equation}\label{eps_def}
    \ep  (\eta  )=\prod _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize вершины}    \\
     \mbox{\footnotesize цикла } \eta   \\
     \end{array}
    }  \bar a_{  \nu (v)} ,
\end{equation}
является гомоморфизмом.
\end{cor}

Будем называть сокращенную раскраску ребер $ \vka   $ {\it  ориентируемой},
если окрестности всех циклов $c \in H_1( \De (  \vka  ) ,\Z _2)$
ориентируемы; в противном случае сокращенная раскраска называется
 {\it неориентируемой}. Тем самым раскраска ориентируема тогда и только
 тогда, когда
гомоморфизм (\ref{homom_eps}) тривиален. (Простой
пример неориентируемой раскраски приведен на рисунке 1.)
\begin{table}
\begin{picture}(85,85)
\put(5,5){\circle*{5}}
\put(41,32){\circle*{5}}
\put(41,77){\circle*{5}}
\put(77,5){\circle*{5}}
\put(41,32){\line(0,1){45}}
\put(41,32){\line(-4,-3){36}}
\put(41,32){\line(4,-3){36}}
\qbezier (5,5) (-1,53)(41,77)
\qbezier (77,5) (83,53)(41,77)
\qbezier (5,5) (41,-15)(77,5)
\put(34,2){$\underline{12}$}
\put(28,48){$\underline{12}$}
\put(17,24){$\underline{13}$}
\put(53,24){$\underline{23}$}
\put( -4,44){$\underline{23}$}
\put( 73,44){$\underline{13}$}
\end{picture}
\caption{Неориентируемая раскраска, соответствующая вложению графа
в вещественную проективную плоскость. Границы трех двумерных
клеток являются тремя $4$-циклами графа; эти три двумерные клетки раскрашены цветами
 $1$, $2$ и $3$.}
\end{table}

Зафиксируем теперь сокращенную раскраску $\vka  $
и рассмотрим действие $\Aut (\Ga ,\vka  )$
на  $H_1(\De (\vka ), \Z _2)$.
Орбиты этого действий находятся во взаимно-однозначном соответствии с
такими раскрасками $\mu $, что
$   \vka   _{\mu }   = \vka   $.
Знак $\ep (c)$ постоянен на орбитах действия, поэтому

\begin{multline}\label{sum_non-or}
    \frac 1{|\Aut (\Ga ,\vka  )|}\sum _{c \in H_1(\De , \Z _2)}
 \ep (c)   %= \\
 =  \sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize Орбиты } \\  \Aut (\Ga ,\vka ) \cdot c\\
   \mbox{\footnotesize действия}    \\   \Aut (\Ga ,\vka  )
      \      \mbox{\footnotesize на }  \\  H_1(\De  (\vka ), \Z _2)     \\
     \end{array}} \ep (c)  \frac  {| \Aut (\Ga ,\vka ) \cdot c  |}
     {|\Aut (\Ga ,\vka  )|} = \\
     =\sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize Орбиты } \\ \Aut (\Ga ,\vka ) \cdot c\\
   \mbox{\footnotesize действия}    \\   \Aut (\Ga ,\vka  )
      \      \mbox{\footnotesize на }  \\  H_1(\De  (\vka ), \Z _2)     \\
     \end{array}} \ep (c)  \frac 1{|\Aut (\Ga ,\vka  , c)|} %= \\
 =\sum _{\begin{array}{c} \mbox{\footnotesize Все такие } \\
 \mbox{\footnotesize   раскраски }  \mu  \\
   \mbox{\footnotesize{ ребер графа }} \Ga  ,
 \\ \mbox{\footnotesize {такие что }} \\
 \vka _{\mu}= \vka
 \end{array}}  \frac 1{|\Aut (\Ga , {\mu } )|}
 \prod _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize Вершины}    \\
     \mbox{\footnotesize цикла } \eta  (\mu )  \\
     \end{array}
    }  \bar a_{  \nu (v)} %=  \\
%=  \sum _{\begin{array}{c} \mbox{\footnotesize All such colorings } \\
% \mu  \  \mbox{\footnotesize{ of }} \Ga \\ \mbox{\footnotesize {that }}
% \vka _{\mu}= \vka
% \end{array}}  \frac 1{|\Aut (\Ga , {\mu } )|}
% \prod _{v\in \eta
%    }  \bar a_{  \nu (v)} .
\end{multline}
\begin{cor}
\begin{equation}
\sum _{\begin{array}{c} \mbox{\footnotesize Все такие } \\
 \mbox{\footnotesize   раскраски }  \mu  \\
   \mbox{\footnotesize{ ребер графа }} \Ga  ,
 \\ \mbox{\footnotesize {такие что }} \\
 \vka _{\mu}= \vka
 \end{array}}  \frac 1{|\Aut (\Ga , {\mu } )|}
 \prod _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize Вершины}    \\
     \mbox{\footnotesize цикла } \eta  (\mu )  \\
     \end{array}
    }  \bar a_{  \nu (v)}
= \left \{
    \begin{array}{ccc}
  {\displaystyle     \frac {2^{b_1( \De (  \vka   ) )}}{|\Aut (\Ga ,\vka  )|}  }
       &   \begin{array}{c} \mbox{\footnotesize для} \\
       \mbox{\footnotesize  ориентируемых} \\
         \mbox{\footnotesize раскрасок} \ \vka  \end{array}
       &  \\ & & \\
      0 &   \begin{array}{c} \mbox{\footnotesize для} \\
       \mbox{\footnotesize  неориентируемых} \\
         \mbox{\footnotesize раскрасок} \ \vka  \end{array} &  \\
     \end{array}\right.
\end{equation}


Здесь $b_1(\De  (\vka ))  $
означает первое число Бетти графа
$\De  (\vka ) $.
\end{cor}

Отсюда получается следующее асимптотическое разложение матричного интеграла.


 \begin{thm}
\begin{multline*}
   { \log \int \exp \left( \frac {\sqrt {-1}}{6\hbar } \tr X^3 \right)
      d \tilde \mu _{\La   } (X) \sim }
\end{multline*}
\begin{eqnarray}
        \sim
\sum _{\begin{array}{c}
 \mbox{\scriptsize Все трех-} \\
 \mbox{\scriptsize
валентные}
\\  \mbox{\scriptsize графы} \  \Ga
 \\ \end{array}
    }
\sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\scriptsize Все} \\
     \mbox{\scriptsize       ориентируемые} \\   \mbox{\scriptsize раскраски}
    \    \mu   \\
    \mbox{\scriptsize ребер } \ E(\Ga ) \\
     \end{array}
    }
     \frac {(-\hbar )^{g(\Ga )-1}}{|\Aut (\Ga , \mu )|}
     \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{\mu (e)} = \label{K_int_comb_1} \\ =
\sum _{\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize Все трех-} \\
 \mbox{\scriptsize
валентные}
\\  \mbox{\scriptsize графы} \  \Ga
 \\ \end{array}
    }
\sum _{\begin{array}{c}
 \mbox{\scriptsize Все} \\    \mbox{\scriptsize     ориентируемые} \\
     \mbox{\scriptsize     сокращенные} \\   \mbox{\scriptsize раскраски}
    \    \vka    \\
    \mbox{\scriptsize ребер } \ E(\Ga ) \\
     \end{array}
    }
     \frac {(-\hbar )^{g(\Ga )-1} 2^{b_1(\De (\vka    ))} }
     {|\Aut (\Ga , \vka   )|}
     \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{\vka   (e)} . \label{K_int_comb_2}
\end{eqnarray}
Здесь $b_1(\De  (\vka ))  $
означает первое число Бетти графа
$\De  (\vka ) $.
\end{thm}
%Since a coloring $\mu $ (\ref{coloring_mu}) is determined by the coloring
% $\vka _{\mu} $ and an element of $  H_1(\De , \Z _2)$ the series
%  (\ref{K_int_comb_1}) is the refinement of   (\ref{K_int_comb_2}); the first
%  expansion may
%  be obtained
% from the second one using the class formula
% \begin{equation}\label{class_mu}
%    \frac {2^{b_1(\De )}}{\Aut (\Ga , \vka _{\mu} )}=\sum _{c\in  H_1(\De , \Z _2)}
% \frac 1{\Aut (\Ga , \vka _{\mu} ,c)}
%\end{equation}

Конечно, слагаемые в  (\ref{K_int_comb_1}) и  (\ref{K_int_comb_2})
однородны по $\La $ и
$\hbar $: слагаемые, соответствующие графам рода $g$
имеют степень $-3g+3$ по  $\La $.


%There are only two genus $2$ trivalent graphs (see fig.1).
Для удобства мы приводим эти же разложения еще раз
после подстановки, обратной к (\ref{subs_h})):
\begin{multline*}
{\log \int \exp \left( \frac {\sqrt {-1}}{6  } \tr X^3 \right)
      d   \mu _{\La   } (X) \sim }
\end{multline*}
\begin{eqnarray}
   \sim
\sum _{\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize Все трех-} \\
 \mbox{\scriptsize
валентные}
\\  \mbox{\scriptsize графы} \  \Ga
 \\  \end{array}
    } (-1 )^{g(\Ga )-1}
\sum _{\begin{array}{c}
     \mbox{\scriptsize Все} \\
     \mbox{\scriptsize       ориентируемые} \\   \mbox{\scriptsize раскраски}
    \    \mu   \\
    \mbox{\scriptsize ребер } \ E(\Ga ) \\
     \end{array}
    }
     \frac 1{|\Aut (\Ga , \mu )|}
     \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{\mu (e)} =
       \label{K_int_comb_bez_h_1}  \\
=
\sum _{\begin{array}{c}
\mbox{\scriptsize Все трех-} \\
 \mbox{\scriptsize
валентные}
\\  \mbox{\scriptsize графы} \  \Ga
 \\  \end{array}  } (-1 )^{g(\Ga )-1}
\sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\scriptsize Все} \\    \mbox{\scriptsize     ориентируемые} \\
     \mbox{\scriptsize     сокращенные} \\   \mbox{\scriptsize раскраски}
    \    \vka    \\
    \mbox{\scriptsize ребер } \ E(\Ga ) \\
     \end{array}
    }
     \frac {2^{b_1(\De (\vka ))}}{|\Aut (\Ga , \vka   )|}
     \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{\vka (e)} . \label{K_int_comb_bez_h_2}
     \end{eqnarray}
В работе \cite{KONC} это же асимптотическое разложение описано
в терминах ленточных графов.
По определению ленточным графом называется граф   с зафиксированным
циклическим упорядочением полуребер в каждой вершине; этот дополнительный
набор  данных
мы будем обозначать $\sD $. Пара $(\Ga , \sD )$
однозначно определяет вложение графа в ориентируемую поверхность вместе с выбором
стороны этой поверхности (т.е ориентации).
Раскраска граней $\fie $ (\ref{coloring_faces}) определяет раскраску
 $\vka (\fie )$ (\ref{col_mu_f}) ребер $E(\Ga )$ и тем самым
 множители
 $\si _{\vka (\fie )} (e)$ оказываются определены для всех ребер $\Ga $.
В этих терминах описание \cite{KONC} выглядит следующим образом.
 \begin{thm} \label{th_KONC} (\cite{KONC})
\begin{multline}\label{K_int_ribb}
    \log \int \exp \left( \frac {\sqrt {-1}}{6  } \tr X^3 \right)
      d   \mu _{\La   } (X) \sim  \\  \sim
\sum _{\begin{array}{c}
 \mbox{\scriptsize Все трех-} \\
 \mbox{\scriptsize
валентные} \\  \mbox{\scriptsize ленточные}
\\  \mbox{\scriptsize графы} \    ( \Ga ,\sD )
 \\
 \end{array}
    } (\sqrt {-1} )^{|V(\Ga )|}
\sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\scriptsize Все }    \\
     \mbox{\scriptsize раскраски}   \\
     \mbox{\scriptsize граней} \ \fie   \\
     \end{array}
    }
  \frac { 2 ^{|E (\De (\vka (\fie ) ))|-|V(\Ga )|} }{|\Aut (\Ga , \sD , f) |}
     \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{{\vka (\fie )}}(e) .
\end{multline}
\end{thm}

Теперь нетрудно узнать в (\ref{K_int_comb_bez_h_2})
измельчение (\ref{K_int_ribb}).
Соответствие задается следующей формулой классов, связывающей автоморфизмы
раскрашенных ленточных графов и обычных раскрашенных графов.

\begin{prop}\label{class_rib_prop}
Пусть $\Ga $ --- трехвалентный граф,
\begin{equation}\label{col_m}
    \vka : E(\Ga ) \to \Om _0 \cup  \Om _+
\end{equation}
---
ориентируемая сокращенная раскраска, удовлетворяющая
(\ref{cond_color_1}). Тогда
\begin{equation}\label{class_rib}
    \frac { 2^{ b_0(\De (\vka ))}}{\Aut (\Ga , \vka )}=
    %^{|E (\De )|-|V(\Ga )|}
    \sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\scriptsize Все структуры}    \\
   \mbox{\scriptsize летночного}   \\
     \mbox{\scriptsize графа} \    \sD \\ \mbox{\scriptsize на графе} \ \Ga    \\
     \end{array}
    }
 \sum _{\begin{array}{c}   \mbox{\scriptsize Все такие}    \\
    \mbox{\scriptsize раскраски}    \\
     \mbox{\scriptsize граней} \ \fie  ,  \\
     \mbox{\scriptsize что}  \ \vka (\fie ) =\vka    \\
     \end{array}
    }
    \frac 1{\Aut (\Ga , \sD , \fie )} ,
\end{equation}
где $  b_0(\De (\vka ) )$
--- нулевое число Бетти (число связных компонент)
графа $\De (\vka ) $.
\end{prop}
Мы докажем это предложение в следующем разделе; поскольку
 \begin{equation}
 |E(\De (\vka )|-|V(\Ga )|=b_1 (\De (\vka ))-b_0 (\De (\vka ))
 \end {equation}
формула (\ref{class_rib})
 доставляет доказательство теоремы
\ref{th_KONC},  независимое от \cite{KONC}.

{\bf Замечание.} Отметим два предельных частных случая
формулы (\ref{class_rib}).

В случае {\it правильной} раскраски $\vka $ все ребра
окрашены разными цветами; это означает, что $\De  (\vka ) =\Ga $
и тем самым $  b_0(\De   (\vka )) =1$. Согласно предложению
\ref{prop_c} вложение и раскраска граней в этом случае
определены однозначно, так что в правой части
(\ref{class_rib}) стоит самое большее два слагаемых,
соответствующих двум способам выбора ориентации на поверхности $S$.
Если два получающиеся при этом ленточные графа не изоморфны, то они оба имеют
ту же группу автоморфизмов, что и $(\Ga ,\vka )$.
Если же они изоморфны, то правая часть(\ref{class_rib})
состоит из единственного слагаемого.

Противоположный случай $n=1$ означает, что  на самом деле никакой раскраски нет.
Поэтому в правой части стоит просто сумма по всем структурам ленточного графа
$ \sD $ на графе $\Ga $. В этом случае (\ref{class_rib}) дает:

\begin{equation}\label{class_rib_0}
    \frac { 2^{|V(\Ga )|}}{\Aut (\Ga )}=
    %^{|E (\De )|-|V(\Ga )|}
    \sum _{\begin{array}{c}
    \mbox{\footnotesize Все структуры}    \\
     \mbox{\footnotesize ленточного графа  }  \sD   \\
     \mbox{\footnotesize на графе}   \ \Ga    \\
     \end{array}
    }
     \frac 1{\Aut (\Ga , \sD )} .
\end{equation}

\section{Ленточные графы и раскрашенные графы.}

Здесь мы докажем все топологические утверждения о ленточных графах
и раскрашенных графах,
сформулированные в предыдущем разделе.
Для этого напомним понятие (дискретной)  {\it связности}  на
графе, введенное А.Н.Тюриным в \cite{Tyu}.
Мы будем использовать следующие обозначения. Ориентированное ребро
графа мы будем обозначать $ \overrightarrow{e} $; то
же самое ребро с противоположной ориентацией будет обозначаться
 $ \overleftarrow{e} $. Две вершины, инцидентные ребру $ \overrightarrow{e} $
 обозначаются $ s(\overrightarrow{e} )$  и  $t( \overrightarrow{e} )$,
так что  $ \overrightarrow{e} $ направлено от  $ s(\overrightarrow{e} )$
к  $t( \overrightarrow{e} )$.
 {\it Путем} $\overrightarrow{l}$ называется такая  последовательность
 ориентированных ребер
$ \overrightarrow{l}  = [
 \overrightarrow{e}_1, \ldots  \overrightarrow{e}_m ]$,
что $t(\overrightarrow{e}_i)= s(\overrightarrow{e}_{i+1}) $ и
 $ \overrightarrow{e}_i \ne   \overleftarrow{e}_{i+1}  $; для замкнутого пути
 еще необходимо потребовать $ \overrightarrow{e_1} \ne   \overleftarrow{e_{m}}  $
 и   $t(\overrightarrow{e}_m)= s(\overrightarrow{e}_{ 1}) $.
Для пути
  $\overrightarrow{l}$ определим  $s(\overrightarrow{l})=s(\overrightarrow{e}_{ 1})$
  и $t(\overrightarrow{l})=t(\overrightarrow{e}_m)$.  Путь называется
  {\it простым}, если все ребра $e_1, \ldots , e_m$ различны;
простой путь в трехвалентном графе очевидно представляет собой
простой ориентированный цикл.

Для графа без хвостов естественно отождествить множество полуребер,
инцидентных вершине  $v$, с множеством ориентированных ребер,  исходящих из
этой вершины. Мы будем обозначать это множество $\St (v)$. Для трехвалентного графа
все множества $\St (v)$ состоят из трех элементов.


По определению {\it связностью} $\nabla $ на графе $\Ga $ называется
набор отождествлений
\begin{equation}\label{connection}
    \nabla _ { \overrightarrow{e}} : \St (s( \overrightarrow{e})) \to
 \St (t( \overrightarrow{e})) ,
\end{equation}
такой что
\begin{equation}\label{conn_1}
    \nabla _ { \overrightarrow{e}}  ( \overrightarrow{e}) = \overleftarrow{e}
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{conn_2}
    \nabla _ { \overrightarrow{e}} ^{-1}   =  \nabla _ { \overleftarrow{e}} .
\end{equation}
Тогда для любого пути $\overrightarrow{l}  = [
 \overrightarrow{e}_1, \ldots  \overrightarrow{e}_m ]$ можно определить
\begin{equation}\label{conn_path}
  \nabla _ {\overrightarrow{l}}=    \nabla _ { \overrightarrow{e}_m} \circ  \ldots
    \circ  \nabla _ {\overrightarrow{e}_1} : \St (s(\overrightarrow{l})
    ) \to  \St (t(\overrightarrow{l})
    ) ;
\end{equation}
для замкнутого пути $ \overrightarrow{l}$ с
 $s(\overrightarrow{l} )= t(\overrightarrow{l} )=v $ имеется отображение монодромии
\begin{equation}\label{monodromy}
    \nabla _ { \overrightarrow{l}} : \St (v) \to \St (v) .
 \end{equation}



 Путь  $\overrightarrow{l}  = [
 \overrightarrow{e}_1, \ldots  \overrightarrow{e}_m ]$  называется
  {\it геодезическим},  если
\begin{equation}\label{geodes}
    \nabla _ { \overrightarrow{e}_{i+1}}  ( \overleftarrow{e}_i) =
    \overrightarrow{e}_{i+2} ,
\end{equation}
очевидно, обратный путь $\overleftarrow{l}  = [
 \overleftarrow{e}_m, \ldots  \overleftarrow{e}_1 ]$ тогда тоже является
 геодезическим.

Нетрудно проверить (см. \cite{Tyu}), что все максимальные геодезические замкнуты;
любые два инцидентные одной вершине полуребра определяют геодезическую однозначно с
точностью до ориентации;  любое ребро входит ровно в две различные геодезические или
дважды в одну  и ту же
 геодезическую. Следовательно, приклеивая к каждой
замкнутой геодезической границу двумерной клетки, мы получим
компактную поверхность  $S_{\nabla }$ вместе с вложением графа
 $\Ga $ в нее.
Очевидно, набор замкнутых геодезических определяет связность однозначно,
поэтому вложение графа в поверхность всегда однозначно определяет связность.

Теперь начнем с графа $\Ga $ с сокращенной раскраской ребер
\begin{equation}\label{col_m_4}
   \vka : E(\Ga ) \to \Om _0 \cup  \Om _+ .
\end{equation}
Мы хотим построить связность $\nabla $ на $\Ga $, удовлетворяющую
следующему условию:
\begin{equation}\label{color_property}
\begin{array}{l}
 \mbox{Для любой замкнутой геодезической существует такое} \ i , \\
   \mbox{что все ребра этой геодезической раскрашены цветами}   \\
 \ \underline{ij} \ \mbox{с каким-нибудь } \ j . \
\mbox{(При этом }  j  \   \mbox{ может быть разным}     \\
\mbox{ для разных ребер этой геодезической.)}    \\
 \end{array}
\end{equation}
Если ребро $e \in E$ окрашено цветом $\underline{ij}\in \Om _+$
(т.е. $i\ne j$), то условие  (\ref{color_property})
определяет $\nabla _{\overrightarrow{e}}$ однозначно:
остальные два инцидентные вершине $s(\overrightarrow{e})$
ребра окрашены цветами
 $\underline{ik}$ и  $\underline{jk}$ при некотором $k$,
а ребра, инцидентные вершине $t(\overrightarrow{e})$,
 окрашены цветами $\underline{il}$ и  $\underline{jl}$   при некотором  $l$.
Поэтому
 $\nabla _{\overrightarrow{e}}$ должно отображать  $\underline{ik}$-ребро
 в
 $\underline{il}$-ребро  и $\underline{jk}$-ребро
 в
 $\underline{jl}$-ребро.
Наоборот, при $i=j$ оба способа определить
 $\nabla _{\overrightarrow{e}}$ удовлетворяют  (\ref{color_property}).
Таким образом, получается следующее утверждение.
\begin{prop} \label{prop_nabla}
Пусть $\Ga $
--- трехвалентный граф с сокращенной раскраской ребер
 $ \vka $ (\ref{col_m_4}),
удовлетворяющей условию (\ref{cond_color_1}). \\
1) Существует взаимно-однозначное соответствие между вложениями
графа $\Ga $ в компактную поверхность $S$ вместе с раскрасками граней
\begin{equation}\label{coloring_faces_5}
\fie : F(S) \to \{ 1, \ldots , n \} ,
\end{equation}
порождающими $ \vka $, и  связностями на  $\Ga $,
удовлетворяющими (\ref{color_property}).\\
2) Связность $ \nabla $ на $\Ga $,
удовлетворяющая (\ref{color_property}),  определена однозначно на
подграфе
$\De (\vka )$
и может быть определена произвольно на ребрах, окрашенных $\Om _0$.
Такая связность единственна тогда и только тогда, когда $\Ga     =  \De (\vka ) $.
\end{prop}

Как следствие мы получаем предложение \ref{prop_c}.


Теперь докажем  предложение  \ref{prop_sign_cycle}. Рассмотрим раскраску
\begin{equation}\label{coloring_mu_4}
   \mu : E(\Ga ) \to \Om ,
\end{equation}
определенную раскраской $ \vka $
(\ref{col_m_4}) и циклом $\eta  \in H_1 (\De  (\vka ), \Z _2)$.
Напомним (см предложение  \ref{mu_und_mu}), что  $\mu $ получается из
 $\vka $ перекраской ребер цикла $\eta $ из $\underline{ij}$ в
 $\overline{ij}$.
Раскраска $\mu  $ в свою очередь определяет значения
 $a_{\nu (v)}$  для вершин графа согласно формуле (\ref{a_gN_for_tr_X^3}).
Рассмотрим вложение графа $\Ga $ в компактную поверхность $S$ и
раскраску граней $\fie $ (\ref{coloring_faces_5}),  удовлетворяющую (\ref{col_mu_f}).
Цикл $\eta  $ является суммой простых циклов; выберем один из этих
простых циклов $c$ и зафиксируем на нем какую-нибудь ориентацию. Рассмотрим
небольшую окрестность $S_c$ цикла $c$ на поверхности $S$; обозначим пересечение грани
 $f\in F(S)$ с $S_c$ через
$\bar f =f\cap S_c$.
Для каждого ребра $\vecr e$ цикла $\vecr c$ рассмотрим две грани
 $f', f'' \in F(S)$, инцидентные ребру $e$; обозначим
      $W_e = \bar f' \cup \bar f''$.
Поскольку $e\in \eta  \ $,   $\ \mu (e)\in \Om _-$, так что
 $\fie  (f')\ne \fie  (f'')$,
пусть, скажем,  $\fie  (f')> \fie  (f'')$. Тогда выберем ориентацию на
 $W_e$ таким образом, чтобы ориентация $\vecr e$
 индуцировалась бы ориентацией $f'$.

Возьмем произвольную вершину $v$ цикла $c$ и рассмотрим три инцидентные
 $v$ полуребра $e_1$, $e_2$ и  $e_3$ и три сходящиеся в $v$ грани
$f_1,f_2$ и $f_3$, так что  $e_m$ не инцидентна  $\bar  f_m$
при $m=1,2,3$.
Пусть $e_1,e_2 \in c$ и $e_3 \notin c$, тогда $W_{e_1}\cap W_{e_2}=\bar f_3$.
Очевидно, что определенные нами ориентации на  $W_{e_1}$ и $ W_{e_2}$
совпадают на  $\bar f_3$  тогда и только тогда,
когда $
\bar a_{\{\mu (e_1)  \mu (e_2)    \mu (e_3) \} } =1
$, и эти ориентации противоположны при $
\bar a_{\{\mu (e_1)  \mu (e_2)    \mu (e_3) \} } =-1$.
Следовательно, окрестность $S_c$ ориентируема тогда и только тогда,
когда
   $c$ содержит четное количество отрицательных вершин, что
   и доказывает предложение \ref{prop_sign_cycle}.

 Тем самым мы доказали, что если хотя бы для одного
 цикла $c \in H_1 (\De  (\vka ), \Z _2)$ произведение (\ref{prod_one_cycle})
отрицательно, то поверхность $S$ неориентрируема. В предыдущем разделе
мы назвали такую раскраску неориентируемой. К сожалению, ориентируемая раскраска
также может иногда порождаться и вложением графа в неориентируемую поверхность.
Однако вложения в ориентируемые поверхности   нетрудно перечислить.

\begin{prop}   Пусть  $\Ga $ --- трехвалентный граф с сокращенной
ориентируемой раскраской ребер $\vka $ (\ref{coloring_mu_red}).
Тогда имеется ровно
\begin{equation}\label{2^b_0-1}
    2^{b_0(\De  (\vka ))-1}
\end{equation}
различных связностей   $\nabla $  на графе $\Ga $, удовлетворяющих
 (\ref{color_property}) и таких, что поверхность
$S_{\nabla }$ ориентируема.
\end{prop}
\begin{cor} Имеется ровно
\begin{equation}\label{2^b_0}
    2^{b_0(\De )}
\end{equation}
различных структур ленточного графа (вместе с раскраской граней)  на
$\Ga $,
порождающих раскраску ребер $\vka $.
\end{cor}

Напомним, что структура ленточного графа $\sD $ на графе $\Ga $
представляет собой набор циклических перестановок $\de _v$
полуребер из $\St (v)$ для всех вершин графа:
\begin{equation}\label{ribb_def}
    \sD = \{ \de _v :\St (v) \to \St (v) \ , \
    \de _v \ \mbox {циклическая перестановка} \ , \ v\in V(\Ga ) \}
\end{equation}

Структура ленточного графа $\sD$ определяет вложение графа в
ориентируемую поверхность $S$ вместе с выбором стороны этой
поверхности (т.е. ориентации)
и однозначно определяется этими данными. Поэтому $\sD$
определяет связность $\nabla _{\sD}$ on $\Ga $;
противоположная структура ленточного
графа $   \sD ^{-1} = \{ \de _v  ^{-1}\ , \ v\in V(\Ga ) \} $,
соответствующая выбору другой стороны той же поверхности (т.е. смены ориентации)
определяет то же самое вложение и, следовательно, ту же самую связность
 $\nabla _{\sD}= \nabla _{\sD   ^{-1} } $. Циклы $\de _v$ для смежных вершин
 антисопряжены связностью: для ориентированного ребра $\vecr e$
\begin{equation}\label{conjug_conn_rybb}
    \de _{t(\vecr e)}=\nabla  _{ \vecr e } \  \de _{s(\vecr e)} ^{-1}
    \nabla  _{ \vecr e } ^{-1}.
\end{equation}

Обратное, очевидно, также верно: любая структура ленточного графа
 $\sD $, для всех ребер удовлетворяющая
  (\ref{conjug_conn_rybb}), определяет в точности вложение  $S_{\nabla}$.


Для каждой вершины  $v\in V(\Ga )$ обозначим через  $\sJ _v$ множество
циклических упорядочений $\St (v)$; для трехвалентного графа $\sJ _v$
состоит в точности из двух элементов.
Определим действие  $\nabla _*$ связности $\nabla $ на
$\sJ$ в соответствии с (\ref{conjug_conn_rybb}):
\begin{equation}\label{nabla_act_on_rybb_2}
    \nabla  _{ \vecr e *}   :  \sJ _{s(\overrightarrow{e})
    } \to  \sJ _{t(\overrightarrow{e})}
\end{equation}
\begin{equation}\label{nabla_act_on_rybb_2}
    \nabla  _{ \vecr e *}  (\de )=\nabla  _{ \vecr e } \  \de   ^{-1}
    \nabla  _{ \vecr e } ^{-1}.
\end{equation}
Тогда для любого ребра
$e \in E(\Ga )$ композиция
$\nabla  _{ \vecl e *} \circ \nabla  _{ \vecr e *}$ является
тождественным отображением $\sJ  _{ s(\vecr e )}$.
Теперь для любого пути $\overrightarrow{l}  = [
 \overrightarrow{e}_1, \ldots  \overrightarrow{e}_m ]$ можно определить
\begin{equation}\label{path_act_on_D}
  \nabla _ {\overrightarrow{l} *}=    \nabla _ { \overrightarrow{e}_m *} \circ  \ldots
    \circ  \nabla _ {\overrightarrow{e}_1 *} : \sJ _{s(\overrightarrow{l})
    } \to  \sJ _{t(\overrightarrow{l})
    } ;
\end{equation}
для замкнутого пути $ \overrightarrow{l}$ with
 $s(\overrightarrow{l} )= t(\overrightarrow{l} )=v $ имеется отображение монодромии
\begin{equation}\label{monodromy_on_D}
    \nabla _ { \overrightarrow{l} *} : \sJ _v \to  \sJ _v   .
 \end{equation}

Связность $\nabla $ называется  {\it плоской,}\footnote{Отметим, что наше
определение плоской связности  не совпадает с приведенным в
 \cite{Tyu}.}
если для любого замкнутого пути $\vecr l$
монодромия тривиальна:
\begin{equation}\label{monodromy_triv}
 \nabla _ {\overrightarrow{l} *}=
\Id _{ \sJ _{s(\vecr l)}} .
 \end{equation}
Очевидно, что связность является плоской, если (\ref{monodromy_triv})
выполняется для любого простого цикла $ \vecr l $.


\begin{prop} 1) Связность $\nabla $ является плоской тогда и только тогда, когда
поверхность
 $S_{\nabla }$ ориентируема. \\
 2) Пусть $\nabla $ --- плоская связность на  $\Ga $.
Две возможные структуры ленточного графа, возникающие из вложения графа
 $\Ga $ в  $S_{\nabla }$, определяются выбором циклического упорядочения
 $\de _0 \in  \sJ _{v_0}$ в любой одной фиксированной вершине
$v_0 \in V(\Ga )$; соответствующее циклическое упорядочение в
любой другой вершине
$v  \in V(\Ga )$ определяется как  $\nabla _ {\vecr {l} *} (\de _0)$,
где $\overrightarrow{l}$ --- произвольный путь, соединяющий $v_0$ и $v$
(т. е.  $v_0=s(\vecr {l})$ и $v =t(\vecr {l})$).
\end{prop}

 Это предложение является тривиальным следствием наших определений;
следующая лемма описывает продолжение плоской связности с подграфа на
больший граф.



\begin{lem} \label{lem_ext}
1) Пусть $\Ga '$ --- связный подграф графа $\Ga $. Рассмотрим ребро  $e\in E(\Ga )$,
соединяющее две вершины подграфа $\Ga '$, такое что
 $e\notin  E(\Ga ')$ и
 $e$ окрашено цветом $\underline{ii}\in \Om _0$.
 Пусть $\nabla $ --- плоская связность на $\Ga '$,
 удовлетворяющая  (\ref{color_property}).
Тогда $\nabla $
однозначно продолжается до плоской связности на графе
 $\Ga '  \cup \{ e \} $ удовлетворяющей свойству (\ref{color_property}).\\
2) Пусть $\Ga '$ и  $\Ga ''$  --- два связных подграфа $\Ga $,
$\Ga '\cap \Ga ''= \emptyset$.
 Рассмотрим ребро $e\in E(\Ga )$, соединяющее вершину из  $\Ga '$
 с вершиной из  $\Ga ''$  (так  что
   $e\notin  E(\Ga ')$,  $e\notin  E(\Ga ')$),
  причем
 $e$ окрашено цветом  $\underline{ii}\in \Om _0$.
 Пусть $\nabla $ --- плоская связность на $\Ga '\cup \Ga ''$,
 удовлетворяющая  (\ref{color_property}).
Тогда любой из двух возможных способов продолжения связности $\nabla $ на $e$
дает плоскую связность на  $\Ga '\cup \Ga ''   \cup   \{ e \}  $,
удовлетворяющей свойству (\ref{color_property}).
\end{lem}


Мы уже видели, что если ребро $e$  окрашено $\Om _0$, то любой из
двух возможных способов определить $\nabla _e$  удовлетворяет (\ref{color_property}),
так что нам нужно только обеспечить плоскость продолжения. В случае, обсуждаемом
во второй части
леммы, $e$ не входит ни в какой простой цикл графа $\Ga '\cup \Ga ''  \cup  \{ e \}  $
и поэтому любое из двух возможных продолжений автоматически плоско. В случае
первой части
имеется две возможности: $e$ может быть или не быть петлей.
 В  случае петли плоскость означает, что  $\nabla _ {\overrightarrow{e} *}$
 тождественно, поэтому $   \nabla _ {\overrightarrow{e} } $ должно быть транспозицией
 двух полуребер петли. Очевидно, это дает плоскую связность на $\Ga '  \cup \{ e \} $.
 Если же $e$   не   петля, то существует простой путь $\overrightarrow{l}$
 в графе $\Ga '$, соединяющий концы ребра $e$. Для определенности ориентируем
 ребро $  \overrightarrow{e}$ таким образом, чтобы
 $  s(\overrightarrow{e})=  s(\overrightarrow{l}) $ и
 $  t(\overrightarrow{e})=  t(\overrightarrow{l}) $, тогда условие
 плоскости дает
 \begin{equation}\label{nabla_e}
    \nabla _ {\overrightarrow{e} *}=  \nabla _ {\overrightarrow{l} *} .
\end{equation}
Поскольку $\nabla $ плоско на  $\Ga ' $, правая часть равенства не зависит от выбора
пути $  \overrightarrow{l} $, поэтому (\ref{nabla_e}) определяет
требуемое продолжение;
нетрудно видеть, что $    \nabla _ {\overrightarrow{e}  } $
определяется соотношением  (\ref{nabla_e}) однозначно.


Лемма \ref{lem_ext} позволяет   явно  описать все возможные плоские связности на
графе $\Ga $, удовлетворяющие (\ref{color_property}).
Напомним, что мы уже получили, что на $\De  (\vka )$ связность
определена однозначно. ($\De  (\vka )$ определялся как подграф, имеющий то же
самое множество вершин $V(\Ga )$, но содержащий только ребра, окрашенные  $ \Om _+ $.)
 Рассмотрим связную компоненту $\Ga '$
 подграфа $\De  (\vka )$; мы видели, что $\nabla $ определена на  $\Ga '$ однозначно.
Возьмем другую связную компоненту $\Ga ''$ подграфа $\De  (\vka )$, такую
что существует ребро, соединяющее
 $\Ga '$ и $\Ga ''$; тогда вторая часть леммы
 \ref{lem_ext} утверждает, что имеется ровно два продолжения
 $\nabla $ на $\Ga '\cup \Ga ''   \cup   \{ e \}  $.
Теперь возьмем граф $\Ga '\cup \Ga ''   \cup   \{ e \}  $
в качестве $\Ga '$ и найдем следующую связную компоненту
подграфа $\De  (\vka )$, связанную с   $\Ga '$  ребром и повторим
описанную процедуру до тех пор, пока мы не соединим все компоненты
 $\De  (\vka )$. Ясно, что число возможных плоских связностей при этом
 будет
 \begin{equation}\label{numb_of_conn}
    2^{b_0(\De  (\vka ))-1} .
\end{equation}
Остается продолжить $\nabla $ на все оставшиеся ребра, окрашенные
$\Om _0$; но согласно первой части леммы \ref{lem_ext}, такое продолжение
существует и однозначно. Тем самым мы доказали следующее утверждение.


\begin{prop} Трехвалентный граф $\Ga $
с сокращенной ориентируемой раскраской ребер
\begin{equation}\label{col_m_4_prop}
    \vka : E(\Ga ) \to \Om _0 \cup  \Om _+ ,
\end{equation}
удовлетворяющей (\ref{cond_color_1}),  допускает в точности
\begin{equation}\label{numb_of_conn_prop}
    2^{b_0(\De  (\vka ))-1}
\end{equation}
плоских связностей, удовлетворяющих цветовому условию (\ref{color_property}).
Каждая такая плоская связность определяет вложение графа $\Ga $
в компактную ориентируемую поверхность
  $S_{\nabla } $ и раскраску граней
 \begin{equation}\label{coloring_faces_4}
\fie : F(S_{\nabla } ) \to \{ 1, \ldots , n \}  ,
\end{equation}
порождающую раскраску граней $   \vka   $ (т.е.
удовлетворяющую (\ref{col_mu_f})).
\end{prop}
Поскольку каждое вложение соответствует в точности двум
структурам ленточного графа, мы получаем следующее следствие.
\begin{cor} Имеется ровно
\begin{equation}\label{numb_of_ribb_str}
    2^{b_0(\De  (\vka )) }
\end{equation}
структур ленточного графа $\sD $ на $\Ga $ (вместе с раскраской граней
$\fie $  (\ref{coloring_faces_4})),
порождающих сокращенную ориентируемую раскраску ребер $   \vka   $.
\end{cor}

Теперь доказательство предложения \ref{class_rib_prop} становится тривиальным.
Группа $\Aut (\Ga ,\vka  )$ действует на множестве всех структур ленточного графа
на $ \Ga  $, а орбиты этого действия соответствуют всем возможным
ленточным графам с раскраской граней (\ref{coloring_faces_4}),
совместимой с раскраской $ \vka  $.


\section{Первый член разложения.}

Здесь мы приводим список всех раскрашенных графов рода
 $2$, соответствующих первому слагаемому разложения (\ref{K_int_comb_2}).
Имеются только два стабильных трехвалентных графа рода $2$, причем нетрудно убедиться,
что любая сокращенная раскраска этих графов ориентируема.

Ребра подграфа $\De ( \vka ) $ выделены жирными линиями. Конечно, нетрудно
 убедиться, что сумма выражений в правом столбце таблицы в соответствии
  с  \cite{KONC} есть в точности
 \begin{equation}\label{first_term}
    \frac 16 \left( \sum \frac 1{\la _i } \right) ^3 +
    \frac 1{24} \sum \frac 1{\la _i ^3} .
\end{equation}

%\bigskip

\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline
граф $\Ga $ & $|\Aut( \Ga ,\vka )|$ & $b_1 (\De ( \vka ))$
&  {\Large  $  \frac { 2^{b_1(\De (\vka    ))} }  {|\Aut (\Ga , \vka   )|}
    \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{\vka   (e)} $  } \\
\hline
\begin{picture}(70,60)
\put(30,10){\circle*{5}}
\put(30,50){\circle*{5}}
%{\linethickness{0.8mm}
\put(30,10){\line(0,1){40}}
\qbezier (30,10) (-20,30)(30,50)
\qbezier (30,10) (80,30)(30,50)    %}
\put(-5,27){$\underline{ii}$}
\put(22,27){$\underline{ii}$}
\put(58,27){$\underline{ii}$}
\end{picture}
& $12$ & $0$ & {\Large $
  \frac 1{12} \frac 1{\la _i ^3}  $ } \\ \hline
\begin{picture}(60,140)
\put(30,50){\circle*{5}}
\put(30,80){\circle*{5}}
\qbezier (30,10) (-20,10)(30,50)
\qbezier (30,10) (80,10)(30,50)
%\put(30,30){\circle{40}}
\qbezier (30,80) (-20,120)(30,120)
\qbezier (30,80) (80,120)(30,120)
%\put(30,100){\circle{40}}
\put(30,50){\line(0,1){30}}
\put(-5,20){$\underline{ii}$}
\put(-5,100){$\underline{ii}$}
\put(20,60){$\underline{ii}$}
\end{picture}
& $8$ & $0$ & {\Large $ \frac 1{8} \frac 1{\la _i ^3} $ }   \\ \hline
\begin{picture}(70,60)
\put(30,10){\circle*{5}}
\put(30,50){\circle*{5}}
\put(30,10){\line(0,1){40}}
{\linethickness{0.5mm}
\qbezier (30,10) (-20,30)(30,50)
\qbezier (30,10) (80,30)(30,50)    }
\put(-7,27){$\underline{ik}$}
\put(22,27){$\underline{ii}$}
\put(58,27){$\underline{ik}$}
\put(22,-2){$i\ne k$}
\end{picture}
& $4$ & $1$ &
  {\Large $ \frac 1{ 2} \frac 1{\la _i  } \frac 1{(\la _i  + \la _k)^2 } $}
 \\ \hline
 \begin{picture}(60,140)
\put(30,50){\circle*{5}}
\put(30,80){\circle*{5}}
{\linethickness{0.5mm}
\qbezier (30,10) (-20,10)(30,50)
\qbezier (30,10) (80,10)(30,50)
\qbezier (30,80) (-20,120)(30,120)
\qbezier (30,80) (80,120)(30,120)
}
\put(30,50){\line(0,1){30}}
\put(-7,20){$\underline{ik}$}
\put(-7,100){$\underline{ik}$}
\put(20,60){$\underline{ii}$}
\put(22,-2){$i\ne k$}
\end{picture}
& $8$ & $2$ & {\Large  $\frac 1{2} \frac 1{\la _i} \frac 1{(\la _i + \la _k)^2 } $ }
\\ \hline
\end{tabular}


\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline
граф $\Ga $ & $|\Aut( \Ga ,\vka )|$ & $b_1 (\De ( \vka ))$
&  {\Large  $  \frac { 2^{b_1(\De (\vka    ))} }  {|\Aut (\Ga , \vka   )|}
    \prod _{e\in E(\Ga )} \si _{\vka   (e)} $  } \\
\hline
\begin{picture}(60,140)
\put(30,50){\circle*{5}}
\put(30,80){\circle*{5}}
{\linethickness{0.5mm}
\qbezier (30,10) (-20,10)(30,50)
\qbezier (30,10) (80,10)(30,50)
}
\qbezier (30,80) (-20,120)(30,120)
\qbezier (30,80) (80,120)(30,120)
%\put(30,100){\circle{40}}
\put(30,50){\line(0,1){30}}
\put(-7,20){$\underline{ik}$}
\put(-5,100){$\underline{ii}$}
\put(20,60){$\underline{ii}$}
\put(22,-2){$i\ne k$}
\end{picture}
& $4$ & $1$ &  {\Large $\frac 1{2} \frac 1{\la _i ^2} \frac 1{ \la _i + \la _k } $ }
\\ \hline
\begin{picture}(90,60)
\put(30,10){\circle*{5}}
\put(30,50){\circle*{5}}
{\linethickness{0.5mm}
\put(30,10){\line(0,1){40}}
\qbezier (30,10) (-20,30)(30,50)
\qbezier (30,10) (80,30)(30,50)    }
\put(-7,27){$\underline{ij}$}
\put(19,27){$\underline{ik}$}
\put(58,27){$\underline{jk}$}
\put(-5,-2){$i\ne j,i\ne k, j\ne k      $}
\end{picture}
& $2$ & $2$ &  {\Large
$  \frac 2{(\la _i + \la _j)(\la _i + \la _k) (\la _j + \la _k)} $ } \\ \hline
\begin{picture}(90,140)
\put(30,50){\circle*{5}}
\put(30,80){\circle*{5}}
{\linethickness{0.5mm}
\qbezier (30,10) (-20,10)(30,50)
\qbezier (30,10) (80,10)(30,50)
\qbezier (30,80) (-20,120)(30,120)
\qbezier (30,80) (80,120)(30,120)
}
\put(30,50){\line(0,1){30}}
\put(-7,20){$\underline{ik}$}
\put(-7,100){$\underline{ij}$}
\put(20,60){$\underline{ii}$}
\put(-5,-2){$i\ne j,i\ne k, j\ne k $}
\end{picture}
& $4$ & $2$ &  {\Large $\frac 1{\la _i(\la _i + \la _j)(\la _i + \la _k)}  $ }
\\ \hline
\end{tabular}


\begin{thebibliography}{99}
% \bibitem{A_1} Artamkin I.V. Generating functions for modular graphs and
% Burgers equation, Sbornik Mathematics,
% 2005, 196:12, 1715-1743 (English translation).
 \bibitem{A_2} Artamkin I.V. Coloured graphs, Burgers equation and
 Jacobian conjecture, Preprint MPI-06-98 (2006).
\bibitem{A_3} Artamkin I.V. Asymptotic expansion of Gaussian integrals
and Burgers equation. To appear, Preprint MPI  (2007).
% \bibitem{BCW} H.Bass, E.H.Connell, and D.Wright, The Jacobian conjecture:
%reduction of degree and formal expansion of the inverse, Bull. Amer. Math.
%Soc. (N.S.) 7 (1982), no. 2, 287-330.
%\bibitem{HZ}
%Harer J., Zagier D. The Euler characteristic of the moduli
%space of curves, Invent. Math., 85, 457-485 (1986).
\bibitem{BIZ} Bessis D.,Itzykson C., Zuber J.-B. Quantum field theory
techniques in graphical enumeration. Adv. Appl. Math. 1, 109-157 (1980).
\bibitem{KONC} Kontsevich M.  Intersection theory on the moduli space of
curves and the matrix Airy function, Commun. Math. Phys.
147, 1-23 (1992).
% \bibitem{Man} Manin Yu.I. Generating functions in algebraic
% geometry and sums over trees,
% in: The moduli spaces of curves, eds. Dijkgraaf et al. Birkhauser, 1995,
% 199-230  (1995).
\bibitem{Lando} Lando S., Zvonkine A.
  Graphs on Surfaces and Their Applications, Springer-Verlag, 2004.
\bibitem{Tyu} Tyurin A.N.
  Quantization, classical and quantum field theories  and theta-functions,
  CRM Monograph Series, 21. American Mathematical Society,
Providence, RI, 2003.
\end{thebibliography}



\end{document}


