\documentclass[12pt]{amsart}

\usepackage{amsmath,amssymb,amscd,enumerate}
\usepackage{cite}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\pagestyle{plain}
\sloppy


\renewcommand{\MR}[1]{}

\renewcommand{\MR}[1]{}

%%%%%%%%%%
% DOTS
%%%%%%%%


\newcommand{\ldot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
\newcommand{\udot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}





\newcommand{\titl}{ОБ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ НАБОРАХ НА ГРАССМАНИАНАХ}

\title{{\titl}}
\author{В. В. Голышев}
\date{}

%%%%%%%%%%%%%%
% LAYOUT
%%%%%%%%%%%%%%%%%


%\addtolength{\textwidth}{36pt}
%%\addtolength{\textheight}{10pt}
%%\addtolength{\tomargin}{-10pt}
%   \addtolength{\oddsidemargin}{-18pt}
%\addtolength{\evensidemargin}{-18pt}
%\sloppy
%

%%%%%%%%%%%%%%%%
% TYPEFACE
%%%%%%%%%%

\newcommand{\cal}{\mathcal}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% LETTERS
%%%%%%%%%%%%



\def\R{{\Bbb{R}}}
\def\C{{\Bbb{C}}}
\def\Q{{\Bbb{Q}}}
\def\Z{{\Bbb{Z}}}
\def\T{{\Bbb{T}}}
\def\S{{\bl{S}}}
\def\g{{\frak{g}}}

\def\EE{{\cal{E}}}
\def\GG{{\cal{G}}}
\def\HH{{\cal{H}}}
\def\DD{{\cal{D}}}
\def\JJ{{\cal{J}}}
\def\SS{{\cal{S}}}
\def\LL{{\cal{L}}}
\def\PP{{\cal{P}}}
\def \DD {\mathcal{D}}
\def \eps {\varepsilon}
\newcommand{\TT}{{\mathcal{T}}}
\newcommand{\MM}{{\mathcal{M}}}
\def\OO{{\mathcal{O}}}
\renewcommand{\phi}{{\varphi}}
\def\one{{\mathbf 1}}
\newcommand{\Fp}{{\mathbb{F}_p}}
\newcommand{\ZZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\VV}{\mathcal{V}}
\renewcommand{\AA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\RR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\Chi}{{\mathrm{X}}}
%%%%%%%%%%%%%%
% OPERATORS
%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\End{{\rm E}{\rm n}{\rm d}}
\def\Hom{{\rm H}{\rm o}{\rm m}}
\def\GL{{\rm G}{\rm L}}
\def \NS {\mathrm{NS}}

\newcommand{\spec}{\mathrm{spec}\,}
\newcommand{\Gal}{\mathrm{Gal}\,}
\newcommand{\cD}{{\cal D}}
\newcommand{\coh}{{\cD^b_{coh}}}
\newcommand{\Auteq}{{AutEq}}
\newcommand{\Ob}{{Ob}}
\newcommand{\Ker}{\mathop{Ker}}
\newcommand{\SO}{{\mathrm SO}}
\newcommand{\inv}{{\mathrm{inv}}}
\newcommand{\FT}{{\mathrm{FT}}}
\newcommand{\rk}{{\mathrm rk \;}}
\newcommand{\deter}{{\mathrm det \;}}
\newcommand{\dimens}{{\mathrm{dim \;} }}
\newcommand{\Res}{{\mathrm Res \; }}
\newcommand{\Pic}{{\mathrm Pic \; }}

\newcommand{\Spec}{{\text{Spec }}}


\newcommand{\Real}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\Imaginary}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\im}{\mathop{\mathrm{Im}}}
\newcommand{\chern}{\mathop{\mathrm{ch}}}
\newcommand{\diag}{\mathop{\mathrm{diag}}}
\newcommand{\Rep}{\mathop{\mathrm{Rep}}}
\newcommand{\Aut}{\mathop{\mathrm{Aut}}}
\newcommand{\LCM}{\mathop{\mathrm{LCM}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% BINARY OPERATIONS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\orthogonal{\perp}
\def\subs{\subset}
\def\implies{\Rightarrow}
\def\isomorphic{\cong}
\newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\tensor}{\otimes}
\newcommand{\mapto}{\mapsto}
\def\conv{{*}}
\def\union{\bigcup}
\newcommand{\modulo}{\mathbin{{\mathrm mod \; }}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%
% PARAGRAPHS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\newcounter{pphcounter}[section]
\renewcommand{\thepphcounter}{\arabic{pphcounter}}
\newcommand{\pph}{\bigskip \refstepcounter{pphcounter}
    \bf  \thepphcounter. \rm}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{pphcounter}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thepphcounter.\arabic{equation}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
% THEOREMS
%%%%%%%%%%%%


\newcommand{\coro}{\bf Corollary. \rm}
\newcommand{\defi}{\bf Definition. \rm}
\newcommand{\rema}{\bf Remark. \rm}
\newcommand{\propo}{\bf Proposition. \rm}
\newcommand{\theo}{\bf Theorem. \rm}

\renewcommand{\proof}{\bigskip \bf Proof. \rm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ENUMERATIONS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\benum}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\eenum}{\end{enumerate}}
\renewcommand{\theenumi}{{\roman{enumi}}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% OTHER COMMANDS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Af{{{\Bbb{A}}}}
\def\A1{{{\Bbb{A}}^1}}
\def\P1{{{\Bbb{P}}^1}}
\newcommand{\Qlbar}{{\overline{\Q} _l}}
\def\K{{\cal{K}}}
\def\Gm{{\bf G_m}}
\def\Ga{{\bf G_a}}
\def\PSL{{\mathrm PSL_2}}
\def\SL2{{\mathrm SL2}}
\def\d{\frac{\partial}{\partial z}}
\renewcommand{\P}{{\Bbb{P}}}


\renewcommand{\qedsymbol}{\rule{0.8em}{0.8em}}
\newcommand{\Lrr}{{\cal L}_{RR}}
\newcommand{\F}{{\cal F}}
\newcommand{\symb}[2]{\left( \frac{#1}{#2}\right)}
\newcommand{\tnsd}{T_{NS^\vee}}
\newcommand{\bdx}{{\mathbf x}}
\newcommand{\bdE}{{\mathbf E}}
\newcommand{\ab}{{\alpha, \beta}}
\newcommand{\Bab}{B_\ab}
\newcommand{\Baibi}{B_{\alpha_i,\beta_i}}
\newcommand{\lto}{\longrightarrow}
\newcommand{\tns}{T_{\mathrm{{NS}}^\vee}}
\newcommand{\Lint}{{\mathcal L_{\mathrm{int}}}}

\newcommand{\Hyp}{{\mathrm{Hyp}}}

\newcommand{\Hshriek}{\mathrm(\Hyp(!,\lambda, \chi_i's,\pi's))}
\newcommand{\Hstar}{\mathrm(\Hyp(\ast,\lambda, \chi_i's,\pi's))}
\newcommand{\Hint}{\mathrm(\Hyp(\mathrm{int},\lambda, \chi_i's,\pi's))}

\newcommand{\Dbc}{D^b_c(T)}
\newcommand{\equi}{\thicksim}
\newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}}
\newcommand{\mystrut}{{\rule[-10pt]{0pt}{30pt}}}
\newcommand{\ww}{\wedge ^2}
\newcommand{\bgam}{\mathbf{\Gamma}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\begin{document}


\raisebox{5em}[0em]{ УДК 512.732.6}

\begin{center}
\maketitle


\bigskip


%\large Draft \# 1

\bigskip

\end{center}

\bigskip

\parbox{340pt}{\small \bf Аннотация. \rm Мы связываем исключительные наборы
на грассманиане $G(k,N)$ и на проективном пространстве $\P ^{N-1}$.}

\bigskip
\bigskip
\bigskip

Пусть $F$ --- $m$--мерное
многообразие Фано индекса $d$ (так что
$-K_F=dH$), обладающее полным исключительным набором. Напомним,
что
объект
$E \in \mathrm{Ob}(\cD^b(F))$ называется {\it исключительным}, если для него
выполняется
$$
\Hom^i(E,E)=0\quad\text{при}\quad i \ne 0,\quad \Hom^0(E,E)=\C,
$$
что упорядоченный набор
$E_0,\dots \dots,E_n$ исключительных объектов называется
{\it исключительным} если для любого~$i$ выполняется
$
\Hom^i(E_j,E_k)=0\quad\text{когда}\quad j>k,
$
и что исключительный набор
{\it полон} если он порождает категорию $\cD^b(F)$. Матрица значений билинейной
формы
Римана--Роха
$\chi ([O_1],[O_2])=\sum (-1)^i \dimens \Hom ^i (O_1,O_2)$,
выраженной в базисе из  классов
элементов полного исключительного набора $K_0(F) \otimes \Q$ верхнетреугольна.

С другой стороны, рассмотрим матрицу $M_{-K_F}$ квантового умножения на $-K_F$.
Ее элементы лежат в
 $\Q[q_i,q_i^{-1}]$, где $q_i$ соответствуют, как обычно, образующим
 решетки численных классов кривых на $F$.
Обозначим через $h_i$  антиканоническую степень класса $q_i$.
Можно специализировать матрицу $M$ из $\mathrm{Mat }\,(\Q [t,t^{-1}])$
отобразив $q_i$  в $t^{h_i}$.
В этом нет нужды, когда $H^2(F)=\Z$, как и
будет в дальнейшем. Антиканонический квантовый D--модуль
на $\Gm$ задается связностью
$t\frac{\partial}{\partial t} \eta = \eta M$.





Согласно гипотезе, высказанной Дубровиным на конгрессе 1998 года
в Берлине \cite{Du},  матрица формы $\chi$
эйлеровой характеристики на  $K_0$ многообразия Фано $F$  с полным исключительным набором
должна совпасть с матрицей Стокса антиканонического квантового D--модуля
в бесконечности.





%
%A version of the statement can be found in our previous
%note \cite{Go-RMFT}
%where the cases of minimal Fano threefolds are treated.


О грассманиане $G(k,N)$  теорема Бертрама--Чиокан-Фонтанине--Кима--Сабба
\cite{BC-FK}, \cite{KS} говорит, что его антиканонический D--модуль по существу
изоморфен $k$--ой внешней степени антиканонического D--модуля проективного пространства
$\P ^{N-1}=G(1,N)$. В этой ситуации гипотеза Дубровина предсказывает, что
на грассманиане найдется
набор
$\mathbf{E}=\langle E_1,E_2,\dots,E_{C_N^k} \rangle$,
чья матрица эйлеровой характеристики  $\Chi$ есть
\emph{ $k$-ая внешняя степень} от матрицы $\chi$ некоторого набора
$\mathbf{e}=\langle e_1,e_2,\dots,e_N \rangle$ на
$G(1,N)=\P ^{N-1}$.
Теорема п. \ref{theorem} ниже показывает,
что элементы наборов Капранова, то есть результаты применения
допустимых функторов Шура к универсальным подрасслоениям на грассманиане
и на проективном пространстве,
\cite{Ka-GrRu}, связаны именно таким образом.







\pph \bf Теорема Капранова. \rm \cite[2.2]{Ka-GrRu}
Пусть $G(k,N)$ --- многообразие Грассмана $k$--плоскостей в $N$--мерном
пространстве $V$. Обозначим через $U$ тавтологическое подрасслоение. Назовем
диаграмму Юнга
$\lambda= \lambda_1, \dots, \lambda_k$ допустимой, если все $\lambda_i \le N-k$.
Векторные расслоения  $\Sigma^\lambda U$ с допустимыми  $\lambda$ образуют
исключительный набор $\mathbf{E}$
на $G(k,N)$. Между объектами нет высших Ext'ов. Hom может
быть
нетривиален только когда $\lambda \ge \mu$, и в этом случае имеется
изоморфизм
$$\Hom (\Sigma^\lambda U, \Sigma^\mu U) = \bigoplus_\nu \Sigma^\nu V^*,$$
где $\nu$ пробегает все полиномиальные слагаемые в разложении функтора
$$\Sigma ^{\lambda_1, \dots, \lambda_k}  \otimes \Sigma ^{-\mu_k, \dots, -\mu_1}  $$
на неприводимые.


\qed


%\medskip
%Нам понадобится следующее утверждение. Оно выглядит классическим
%фактом, однако нам не удалось найти его в литературе.


\pph \bf Лемма. \rm Пусть  $x=\diag(x_1, \dots, x_n)$ -- диагональная матрица
в $GL_n$, и пусть $E$ --- стандартное $n$--мерное представление
$GL_n$, так что $\mathop{\mathrm{char}}_E (x)= \sum x_i$. Тогда характер полиномиальной части
в разложении
$$\Sigma ^{-\mu_k, \dots, -\mu_1}  \otimes \Sigma ^{\lambda_1, \dots, \lambda_k}  $$
на неприводимые, вычисленный на $x$, есть косая функция Шура
$s_{\lambda/\mu}=s_{\lambda/\mu}(x_i)$.



{\bigskip \bf Доказательство. \rm} Можно доказать этот факт,
используя двойственность (см. \cite[I, 5.1]{Macdonald-SF}).
Мы, однако, будем  действовать, как в
\cite[I, 3, прим. 8]{Macdonald-SF}, чтобы попутно дать общую формулу
проектора на полиномиальную часть в кольце характеров и распространить
результат на Hom'ы между представлениями, не обязательно
являющиеся ковариантными.
Рассмотрим кольцо
$Q_n=\Q [x_1,x_1^{-1}, \dots,x_n,x_n^{-1}]$ многочленов от переменных $x_i$
и обратных к ним. Характеры и ко--, и контравариантных представлений лежат в $Q_n^{S_n}$.
Для всех $\alpha \in \Z^n$ одночлен
$x_\alpha=x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} $ порождает симметрическую функцию
$$m_\alpha=\sum_{w \in S_n} x^{w\alpha}$$
и функции $m_\alpha$, такие, что $\alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \dots \ge \alpha_n$,
образуют базис векторного пространства
 $Q_n^{S_n}$. Кроме того, антисимметризуя $x_\alpha$, получаем функцию
$$a_\alpha=\sum_{w \in S_n} (-1)^{\mathrm{sign} (w)} x^{w\alpha}.$$
В частности,
обозначим через $a_\delta$ результат антисимметризации многочлена $x_1^{n-1}\dots x_n^0$,
а через $a_{-\delta}$ результат антисимметризации многочлена $x_1^{-n+1}\dots x_n^0$.

Определим линейное отображение $\phi$ из  $Q_n^{S_n}$
в  кольцо полиномиальных симметрических функций от
$x_i$,
полагая
$\phi (m_\alpha)=h_\alpha$.  Здесь под $h$ мы понимаем полные симметрические функции.
Как всегда  $h_\alpha=0$,  если какое--нибудь $\alpha_i$ отрицательно.
По формуле Якоби--Труди для любого $j \in \Z$ имеем
$$s_\nu \cdot (x_1\dots x_n)^{-j} a_\delta=a_{\nu+\delta}\cdot (x_1\dots x_n)^{-j}=
 a_{\nu_1+n-1-j,\nu_2+n-2-j, \dots, \nu_n- j}.$$
Согласно прим. 8(a) там же,
для всех $\alpha, \, \beta \in \Z ^n$
$$\phi(a_\alpha a_\beta)= \det {(h_{\alpha_i+\beta_j})}_{1 \le i,j, \le n}.$$
Отсюда, во--первых, по формуле Джамбелли
$\phi(s_\nu a_\delta a_{-\delta})=s_\nu$ для любой функции Шура $s_\nu$,
а, во--вторых,
$\phi(s_\nu \cdot (x_1\dots x_n)^{-j} a_\delta a_{-\delta})=0$
при
$j > \nu_n$ (сходное рассуждение было предложено А. Меллитом).
 Таким образом, мы показали, что выражение
$\phi ( \ast \,\cdot  a_\delta a_{-\delta})$
определяет ``проектор пространства характеров
на полиномиальную часть''.

Теперь заметим, что (опять по формуле Якоби--Труди) характер $\mathrm{ch}_{\mu,\lambda}$
представления
$$(\Sigma ^{-\mu_k, \dots, -\mu_1}  \otimes \Sigma ^{\lambda_1, \dots, \lambda_k})  (E)$$
равен $ (a_{-\mu-\delta} / a_{-\delta})( a_{\lambda +\delta} / a_\delta)$. Итак, имеем
$$\phi (\mathrm{ch}_{\mu,\lambda}a_\delta a_{-\delta} )=
\phi (a_{-\mu-\delta}a_{\lambda+\delta})=
\det (h_{\lambda_i -\mu_j - i +j })_{1 \le i,j \le n}, $$
а последний детерминант равен
$s_{\lambda / \mu} $ по формуле Джамбелли для косых функций Шура
\cite[I, 5.4]{Macdonald-SF}.






\qed

%\newpage
\bigskip

В частном случае проективного пространства  ($k=1$) договоримся обозначать набор
Капранова через $\mathbf{e}$:
$$
\mathbf{e}= \left<\Sigma ^{N-1}U_{\P ^{N-1}}, \dots,\Sigma ^{0} U_{\P ^{N-1}} \right>
= \left<  \OO (-N+1), \dots, \OO  \right>.
$$
Напомним, что через $\mathrm{X}$ (соотв. $\chi$) мы обозначаем матрицу формы Римана--Роха
на грассманиане (соотв. на проективном пространстве).

\pph \label{theorem} \bf Теорема. \rm
Взаимнооднозначное
соответствие  $\iota$ между элементами набора $\mathbf{E}$ и подмножествами
набора  $\mathbf{e}$
мощности $k$, определямое формулой
$$\iota (\Sigma^\lambda U)=
 \{ \Sigma^{\lambda_1+k-1} U_{\P ^{N-1}},\dots, \Sigma^{\lambda_k} U_{\P ^{N-1}} \},$$
обладает следующим свойством:
$$\Chi (E_i,E_j) = \det M_{\iota (i),\iota (j)},$$
где определитель в правой части --- это минор
матрицы $\chi$ в базисе $\mathbf{e}$, определяемый
$k$-ми индексов $\iota (E_i)$ и $\iota (E_j)$.

{\bigskip \bf Доказательство. \rm}
Обозначим через $(1,\dots, 1)$
набор из $N$ единиц.
Из формулы для размерностей Hom'ов следует, что
$$\Chi (\Sigma^\lambda U, \Sigma^\mu U)=s_{\lambda / \mu} (1,\dots, 1).$$


Формула Джамбелли для косых функций Шура  \rm говорит,
что для допустимых $\lambda, \mu$
$$s_{\lambda / \mu} =
\det (h_{\lambda_i -\mu_j - i +j })_{1 \le i,j \le k}.$$


%From Kapranov's theorem applied to $\P ^{N-1}$
%it follows that
Поскольку
$$h_{p-r}(1,\dots, 1)= \chi(\OO_{\P^{N-1}} (-p), \OO_{\P^{N-1}}(-r))$$
для  $p \ge r$,
и утверждение теоремы выполнено.

\qed

\bigskip
Я благодарю А. Кузнецова, А. Меллита и А. Окунькова за полезные обсуждения, и С. Галкина
за помощь в работе над текстом.











\bigskip
\bigskip
\bigskip
\bigskip




%\bibliographystyle{amsalpha}
%\bibliography{a}


\begin{thebibliography}{BCFK05}

\bibitem[Кап84]{Ka-GrRu}
М.~М. Капранов, \emph{{О производной категории когерентных пучков на
  многообразиях Грассмана.}}, Изв. Акад. наук СССР, сер. мат. \textbf{48}
  (1984), 192--202.

\bibitem[BCFK05]{BC-FK}
Aaron Bertram, Ionu\c t Ciocan-Fontanine, and Bumsig Kim, \emph{{Two proofs of
  a conjecture of Hori and Vafa.}}, Duke Math. J. \textbf{126} (2005), no.~1,
  101--136 (English).

\bibitem[Dub98]{Du}
Boris Dubrovin, \emph{{Geometry and analytic theory of Frobenius manifolds.}}
  (English).

\bibitem[KS08]{KS}
Bumsig Kim and Claude Sabbah, \emph{{Quantum cohomology of the Grassmannian and
  alternate Thom-Sebastiani.}}, Compos. Math. \textbf{144} (2008), no.~1,
  221--246 (English).

\bibitem[Мак85]{Macdonald-SF}
 И. Г. Макдональд, \emph{{Симметрические функции и многочлены Холла}},
  {222 с. М. Мир 1985}


\end{thebibliography}

%
%\newpage
%
%Василий Викторович Голышев
%
%golyshev@mccme.ru
%
%+ 7 926 1200061
%
%\newpage
%\bf В. В. Голышев. Об исключительных наборах на грасссманианах.
%\rm
%\bigskip
%
%Мы связываем исключительные наборы
%на грассманиане $G(k,N)$ и на проективном пространстве $\P ^{N-1}$.
%

\end{document}
