\documentclass[10pt,leqno]{article}

\usepackage{amsmath,amsfonts,amscd,amssymb,theorem}

\long\def\comment#1\endcomment{}

%%%%%  Theorem style with a dot at the end of the header

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@dotted{\normalfont\itshape
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{dotted}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{corr}[theorem]{Следствие}
\newcommand{\dis}{{\displaystyle}}
%%%%%  Same for definitions

\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]}%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]}}
\endgroup
\makeatother

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{defn}[theorem]{Определение}
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}

%%%%% Redefinition of sections

\makeatletter
\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0pt}{-3ex
plus -1ex minus -0.2ex}{-2mm plus -0pt minus
-2pt}{\normalfont\bfseries}} \makeatother

%%%%% Odds and ends 

\newcommand{\warn}[1]{\typeout{#1}{\centerline{\bf\large #1}}}

\renewcommand{\thefigure}{\thesection.\arabic{figure}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}

\newcommand{\proof}[1][Proof.]{\smallskip\noindent{\em #1}}
\def\endproof{\hfill\ensuremath{\square}\par\medskip}

\renewcommand{\labelenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}
\renewcommand{\theenumi}{{\normalfont(\roman{enumi})}}

\def\eqref#1{\thetag{\ref{#1}}}

\let\latexref=\ref
\def\ref#1{{\normalfont{\latexref{#1}}}}

\newcommand{\wt}{\widetilde}
\newcommand{\wh}{\widehat}
\newcommand{\op}{\operatorname}
\newcommand{\ratto}{\dasharrow}     % rational map

\setlength{\unitlength}{1pt}
\newcommand{\idot}{{\:\raisebox{1pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% The dot which looks good as index for homology groups
%
\newcommand{\hdot}{{\:\raisebox{3pt}{\text{\circle*{1.5}}}}}
%
% Same for cohomology
%

%%%%% Letters and operators

\newcommand{\calo}{{\cal O}}

\newcommand{\pp}{\mathfrak{p}}
\newcommand{\m}{\mathfrak{m}}

\newcommand{\6}{\partial}

\renewcommand{\dim}{\operatorname{\sf dim}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{\sf codim}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{\sf Frac}}

%%%%% Begin document

\title{Нормализация пуассоновой алгебры пуассонова}

\author{Д. Каледин}

\date{{\em Василию Алексеевичу Исковских, в день 70-летия}}

\begin{document}

\maketitle

%\tableofcontents

\section*{Введение}

Хорошо известно, что функции на гладком симплектическом многообразии
$M$ снабжены канонической косолинейной операцией --- скобкой
Пуассона. Скобка некоторым образом согласована с умножением;
аксиоматизируя ситуацию, получаем понятия пуассоной алгебры
(см. определение~\ref{poi.def}).

Определение пуассоновой алгберы очень общее -- в частности, не
требуется никаких предположений о гладкости. В последнее время
возник интерес к изучению достточно общих пуассоновых алгебр. Они, в
частности, оказались весьма полезны в изучении так называемых
симплектических особенностей, введенных А. Бовилем \cite{B}.

Однако, в то время как нетривиальные пуассоновы структуры на гладких
многообразиях подробно изучаются уже более пятидесяти лет, общая
теория развита гораздо хуже. По-видимому, даже самые простые факт
или неизвестны, или затеряны в литературе.

Цель настоящей заметки -- доказать один такой простой факт; а
именно, мы доказываем, что, при некоторых естественных
предположениях, целое замыкание пуассоновой алгебры вновь пуассоново
(теорема~\ref{main}). Изложение в значительной степени замкнуто в
себе. Мы используем две предварительные леммы, которые, хотя
определенно не являются новыми результатами, все же не вполне
стандартны; для удобства читателя мы позволили себе их передоказать.

\section{Формулировки и определения.}

Зафиксируем раз и навсегда основное поле $k$ характеристики $\cchar
k = 0$.

\begin{defn}\label{poi.def}
{\em Пуассонова алгебра} над полем $k$ --- это коммутативная алгебра
$A$ над $k$, снабженная дополнительной косолинейной операцией
$\{-,-\}:A \otimes A \to A$, причем
\begin{equation}\label{poi}
\{a,bc\} = \{a,b\}c + \{a,c\}b\quad, \quad
0 = \{a,\{b,c\}\} + \{b,\{c,a\}\} + \{c,\{a,b\}\},
\end{equation}
для любых $a,b,c \in A$. Идеал $I \subset A$ называется {\em
пуассоновым} если $\{i,a\} \in I$ для любых $i \in I$, $a \in A$.
\end{defn}

Кроме того, мы всегда будем предполагать, что пуассонова алгебра $A$
имеет единичный элемент $1 \in A$, причем $\{1,a\}=0$ для любого $a
\in A$.

\begin{defn}
{\em Пуассонова схема} над $k$ --- это схема $X$ над $k$, снабженная
косолинейной скобкой в структурном пучке $\calo_X$, удовлетворяющей
\eqref{poi}.
\end{defn}

\begin{lemma}\label{loc}
Пусть $A$ --- пуассонова алгебра.
\begin{enumerate}
\item Для любой мультипликативной системы $S \subset A$, локализация
$A[S^{-1}]$ имеет каноническую структуру пуассоновой алгебры.
\item Любой ассоциированный простой идеал $\pp \subset A$ пуассонов.
\item Радикал $J \subset A$ алгебры $A$ --- пуассонов идеал.
\end{enumerate}
\end{lemma}

\proof{} В \thetag{i}, положим
\begin{align*}
\{a_1s_1^{-1},a_2s_2^{-1}\} &= \{a_1,a_2\}(s_1s_2)^{-1} -
\{a_1,s_2\}a_2\left(s_1s_2^2\right)^{-1}\\
&\quad - \{s_1,a_2\}a_1\left(s_1^2s_2\right)^{-1} +
a_1a_2\{s_1,s_2\}\left(s_1^2s_2^2\right)^{-1}.
\end{align*}
В \thetag{ii}, заметим, что $\pp \subset A$ есть ядро канонического
пуассоновоого отображение из пуассоновой алгебры $A$ в поле частных
$A_\pp$. В \thetag{iii}, заметим, что $J$ есть пересечение всех
ассоциированных простых идеалов.
\endproof

В частности, лемма~\ref{loc}~\thetag{i} означает, что спектр
пуассоновой алгебры --- пуассонова схема. Отметим также следующее
геометрическое следствие.

\begin{corr}
Пусть $X$ --- пуассонова схема над $k$. Тогда и соответствующая
приведенная схема $X_{red}$, и каждая из ее неприводимых компонент
являются пуассоновыми схемами.\endproof
\end{corr}

Сформулируем наш главный результат.

\begin{theorem}\label{main}
Пусть $A_0$ --- превосходная нетерова область целостности над $k$, и
пусть $A$ --- ее целое замыкание в своем поле частных.
\begin{enumerate}
\item Любое дифференцирование $\xi$ алгебры $A_0$ продолжается до
дифференцирования всей алгебры $A$.
\item Любая скобка Пуассона $\{-,-\}$ на алгебре $A_0$ проложается
до скоби Пуассона на алгебре $A$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

Заметим, что и дифференцирования, и пуассоновы скобки естественным и
единственным образом продолжаются на поле частных $\Frac A_0 = \Frac
A$. Смысл результата --- в том, что они сохраняют целое замыкание $A
\subset \Frac A$. Первое утверждение хорошо известно; тем не менее,
мы передоказываем его, т.к. оно нужно для докзательства \thetag{ii}.

Геометрическим следствием (а на самом деле, эквивалентной
геометрической переформулировкой) теоремы~\ref{main} является
следующее.

\begin{corr}\label{geom}
Пусть $X_0$ --- превосходная нетерова целая схема над $k$, и пусть
$X$ --- ее нормализация. Тогда любое векторное поле $\xi$ и любая
пуассонова структура на $X_0$ продолжаются на $X$.
\end{corr}

\section{Кольца дискретного нормирования.}

Чтобы доказать теорему~\ref{main}, мы изучаем сперва ситуацию в
коразмерности $1$. В этом разделе предполагаем, что дана
превосходная локальная нетерова алгебра $A_0$ над $k$ круллевской
размерности $1$. Пусть $K_0$ -- ее поле вычетов, а $A$ -- целое
замыкание $A_0$ в своем поле частных. Поскольку $A_0$ превосходна,
$A$ конечна над ней, и следовательно, представляет собой
полулокальное кольцо с конечным числом $l$ максимальных идеалов
$\m_i \subset A$, $1 \leq i \leq l$. Для любого $\m_i$, локализация
$A_{\m_i}$ -- нормальное локальное кольцо размерности $1$, а стало
быть, кольцо дискретного нормирования; его поле вычетов $K_i =
A/\m_i$ -- конечное расширение поля вычетов $K_0$. Обозначим
нормирование на $A_{\m_i}$ через $v_i$, и зафиксируем униформизующие
$\pi_i \in A_{\m_i}$, $v_i(\pi_i) = 1$. Кольцо $A$ регулярно и
совпадает с пересечением
\begin{equation}\label{cap}
A = \bigcap_{1 \leq i \leq l}A_{\m_i} \subset \Frac(A)
\end{equation}
в поле частных $\Frac(A) = \Frac(A_0)$.

\begin{lemma}\label{gen}
В этих предположения, алгебра $A_{\m_i}$ для любого $i$, $1 \leq i
\leq l$ порождена над $A_0$ одним элементом $x \in A_{\m_i}$.
\end{lemma}

\proof{} По теореме о примитивном образующем, поле $K_i$ порождено
над $K_0$ одним элементом, например $\overline{x}$. Пусть $P(x)$ --
минимальный полином $\overline{x}$ над $K_0$. Поднимем
$\overline{x}$ до элемента $x \in A_{\m_i}$, и рассмотрим
$$
y = P(x) \in A.
$$
По определению $y=0 \mod \pi_i$, так что $v_i(y) > 0$. Если $v_i(y)
= 1$, все доказано: $x$ и $y$ порождают $A$ над $A_0$, причем $y =
P(x)$. В противном случае заменяем $y$ на
$$
y' = P(x + \pi_i).
$$
По формуле бинома, имеем
$$
y' = P'(\overline{x})\pi \mod \pi^2.
$$
Поскольку полином $P$ минимальный, его производная $P'$
удовлетворяет $P'(\overline{x}) \neq 0$. Поэтому $v_i(y') = 1$, и
доказательство завершено: $A_{\m_i}$ порождено над $A_0$ элементом
$x + \pi_i$.
\endproof

\begin{lemma}\label{vf}
Любое дифференцирование $\xi_0:A_0 \to A_0$ алгебры $A_0$
продолжается до дифференцирования алгебры $A$.
\end{lemma}

\proof{} Рассмотрим алгебры формальных степенных рядов
$B = A[[t]]$ от одной переменной $t$. Поскольку $A$ конечна над
$A_0$, ее поле частных
$$
\Frac(B) \subset \Frac(A)((t)) = \Frac(A_0)((t))
$$
совпадает с $\Frac(A_0[[t]])$. Кроме того, $B$ --- регулярная
локальная алгебра, и в частности, она целозамкнута (см. например
\cite[Prop. 14]{AC}). Поэтому она совпадает с целым замыканием
алгебры степенных рядов $B_0=A_0[[t]]$. В силу функториальности
целого замыкания, любой автоморфизм алгебры $B_0$ продолжается до
автоморфизма $B$. Рассмотрим автоморфизм $\sigma_0:B_0 \to B_0$,
заданный равенством
$$
\sigma_0(t) = t \qquad \sigma_0(a) = \exp(t\xi)(a) \text{ for }a \in
A_0 \subset B_0.
$$
Продолжим его до автоморфизма $\sigma:B \to B$ алгебры $B$. Полагая
$$
\xi(a) = \frac{\6}{\6 t}\sigma(a) \mod t,
$$
получаем дифференцирование $\xi:A \to A=B/tB$, продолжающее данное
дифференцирование $\xi_0$.
\endproof

\begin{remark}
По-видимому, этот результат впервые доказал А. Зайденберг \cite{S} еще
в 1966 году (причем даже и без предположения о превосходности). 
Однако кажется, что это известно не всем. В частности,
и я благодарен М. Лену и Д. ван Стратену за сообщение об этом,
результат также появляется как Лемма~2.33 на странице 36 в SGA7.2 (с
примерно таким же доказательством, как в настоящей статье).
\end{remark}

\begin{lemma}\label{nrm}
Пусть на алгебре $A_0$ дана скоба Пуассона $\{-,-\}$. Тогда эта
скоба единственным образом продолжается на алгебру $A$.
\end{lemma}

\proof{} Продолжим скобку на поле частных $\Frac A$. Надо доказать,
что $\{f,g\} \in A$ для любых $f,g \in A$. В силу \eqref{cap},
достаточно доказать это для любой из алгебр $A_{\m_i}$. Пусть $x \in
A_{\m_i}$ --- образующая, построенная в лемме~\ref{gen}. Достаточно
доказать, что $\{x,x\} \in A_{\m_i}$ и $\{x,f\} \in A_{\m_i}$ для
любого $f \in A_0$. Но $\{x,x\} = 0$ по определению, а $\{x,f\} \in
A_{\m_i}$ по лемме~\ref{vf} (определяем $\xi_0:A_0 \to A_0$ как
$\xi_0(a) = \{a,f\}$ и замечаем, что любое дифференцирование $\xi:A
\to A$ сохраняет все локализации $A_{\m_i} \subset \Frac(A)$).
\endproof

\section{Доказательство теоремы.}

Докажем теперь теорему~\ref{main}. Удобнее сделать это в
геометрической форме следствия~\ref{geom}. Итак, пусть $X_0$ ---
превосходная нетерова целая схема, и пусть $X$ --- ее
нормализация. По лемме~\ref{vf} и лемме~\ref{nrm},
следствие~\ref{geom} выполнено на открытом дополнении $U \subset X$
к подсхеме $Z \subset X$ коразмерности $\codim Z \geq 2$. Поэтому
имеем дифференцирование и/или скобку Пуассона на структурном пучке
$\calo_U$. Индуцируем дифференцирование и/или скобу Пуассона на
пучке $j_*\calo_U$, где $j:U \hookrightarrow X$ ---
вложение. Поскольку $\codim Z \geq 2$, а $X$ нормально, имеем
$\calo_X \cong j_*\calo_U$.\endproof

\subsection*{Благодарности.} Очень приятно посвятить статью Василию 
Алексеевичу Исковских; надеюсь, что через десять лет возможность 
сделать это появится вновь. Хотел бы поблагодарить Е. Америк,
Р. Безрукавникова, А. Кузнецова, М. Ровинского и М. Вербицкого за
интересные обсуждения. Я особенно признателен М. Лену, который вновь
обратил внимание на эту статью спустя некоторое время после ее
появления на сети, указал мне на серьезные пробелы в рассуждениях, и
помог мне исправить их. Ссылка на статью А. Зайденберга была мне 
сообщена анонимным рецензентом в ``Функциональном анализе и 
приложениях'' (который статью отклонил, поскольку для этого журнала
одного нового результата на четыре страницы текста недостаточно).

\begin{thebibliography}{666}

\bibitem[AC]{AC} N. Bourbaki, {\em Alg\`ebgre Commutative, Ch. 5},
Hermann, Paris, 1964.

\bibitem[B]{B} A. Beauville, {\em Symplectic singularities}, Invent.
Math. {\bf 139} (2000), 541--549.

\bibitem[S]{S} A. Seidenberg, {\em Derivations and integral
  closure}, Pacific J. of Math. {\bf 116} (1966), 167--173.

\end{thebibliography}

\bigskip

\noindent
{\sc МИАН им. В.Стеклова\\
Мсоква, СССР}\\
{\em E-mail\/}: {\tt kaledin@mccme.ru}

\end{document}

