\documentstyle[amscd,amssymb,xypic,verbatim,russcorr,11pt]{amsart}
%\documentclass{amsart}

%\usepackage{amsmath}
%\usepackage{amscd}

%\usepackage{xypic}
\xyoption{all}
%\CompileMatrices

\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=-1cm
\evensidemargin=-.5cm
\textwidth=17.5cm
\textheight=23.5cm
%\renewcommand{\@evenhead}{}
%\renewcommand{\@oddhead}{}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}

\newcommand{\nc}{\newcommand}
\newcommand{\rnc}{\renewcommand}

\nc{\exto}[1]{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\nc{\dlim}{{\mathop{\lim\limits_{\longrightarrow}}}}
\nc{\lan}{\big\langle}
\nc{\ran}{\big\rangle}

\nc{\kk}{{\mathsf{k}}}
\nc{\ix}{{\mathsf{i}}}
\nc{\jx}{{\mathsf{j}}}

\nc{\C}{{\mathbb{C}}}
\nc{\HH}{{\mathbb{H}}}
\nc{\LL}{{\mathbb{L}}}
\nc{\PP}{{\mathbb{P}}}
\nc{\QQ}{{\mathbb{Q}}}
\nc{\RR}{{\mathbb{R}}}
\nc{\TT}{{\mathbb{T}}}
\nc{\ZZ}{{\mathbb{Z}}}

\nc{\CA}{{\mathcal{A}}}
\nc{\CB}{{\mathcal{B}}}
\nc{\CC}{{\mathcal{C}}}
\nc{\D}{{\mathcal{D}}}
\nc{\CE}{{\mathcal{E}}}
\nc{\CF}{{\mathcal{F}}}
\nc{\CG}{{\mathcal{G}}}
\nc{\CH}{{\mathcal{H}}}
\nc{\CJ}{{\mathcal{J}}}
\nc{\CK}{{\mathcal{K}}}
\nc{\CL}{{\mathcal{L}}}
\nc{\CM}{{\mathcal{M}}}
\nc{\CMF}{{\mathcal{MF}}}
\nc{\CMFI}{{\mathcal{MFI}}}
\nc{\CMFB}{{\mathcal{MFB}}}
\nc{\CN}{{\mathcal{N}}}
\nc{\CO}{{\mathcal{O}}}
\nc{\CQ}{{\mathcal{Q}}}
\nc{\CR}{{\mathcal{R}}}
\nc{\CS}{{\mathcal{S}}}
\nc{\CT}{{\mathcal{T}}}
\nc{\CU}{{\mathcal{U}}}
\nc{\CV}{{\mathcal{V}}}
\nc{\CW}{{\mathcal{W}}}
\nc{\CX}{{\mathcal{X}}}
\nc{\CY}{{\mathcal{Y}}}
\nc{\CZ}{{\mathcal{Z}}}
\nc{\CMo}{{\mathcal{M}^\circ}}
\nc{\Co}{{{C}^\circ}}

\nc{\BY}{{\overline{Y}}}
\nc{\BYD}{{\overline{Y}{}^{|D|}}}
\nc{\OZ}{{\overline{Z}}}
\nc{\bg}{{\bar{g}}}

\nc{\bq}{{\mathbf{q}}}
\nc{\BD}{{\mathbf{D}}}
\nc{\BG}{{\mathbf{G}}}
\nc{\BM}{{\mathbf{M}}}
\nc{\BP}{{\mathbf{P}}}
\nc{\BZ}{{\mathbf{Z}}}
\nc{\BPr}{{\mathsf{P}}}
\nc{\BR}{{\mathbf{R}}}
\nc{\BRO}[1]{{{\mathbf{R}}^{\circ}_{#1}}}
\nc{\BRD}[1]{{{\mathbf{R}}^{|D|}_{#1}}}
\nc{\BRP}[1]{{{\mathbf{R}}^{1}_{#1}}}
\nc{\BRTP}[1]{{{\mathbf{\tilde{R}}}{}^{1}_{#1}}}
\nc{\BS}{{\mathbf{S}}}
\nc{\BMS}{{{\mathbf{M}}^{{s}}}}
\nc{\BMSS}{{{\mathbf{M}}^{{ss}}}}
\nc{\BMZ}{{\mathbf{M}^{\circ}}}
\nc{\BCL}{{\mathbf{L}}}

\nc{\PCC}{{{}^\perp\CC}}

\rnc{\ch}{{\mathsf{ch}}}
\nc{\Cl}{{\mathsf{Cliff}}}
\nc{\Clev}{{\mathop{\mathsf{Cliff}}^{\circ}}}
%\nc{\Clev}{{\mathop{\mathsf{Cliff}}^{\mathbf{ev}}}}

\nc{\FA}{{\mathfrak{A}}}
\nc{\FB}{{\mathfrak{B}}}
\nc{\FF}{{\mathfrak{F}}}
\nc{\FI}{{\mathfrak{I}}}
\nc{\FZ}{{\mathfrak{Z}}}

\nc{\TFA}{{\tilde{\mathfrak{A}}}}
\nc{\TFB}{{\tilde{\mathfrak{B}}}}

\nc{\fa}{{\mathfrak{a}}}
\nc{\fg}{{\mathfrak{g}}}
\nc{\fp}{{\mathfrak{p}}}
\nc{\FD}{{\mathfrak{D}}}
\nc{\FE}{{\mathfrak{E}}}
\nc{\FL}{{\mathfrak{L}}}
\nc{\FM}{{\mathfrak{M}}}
\nc{\FR}{{\mathfrak{R}}}
\nc{\FS}{{\mathsf{S}}}

\nc{\sfc}{{\mathsf{c}}}
\nc{\sfch}{{\mathsf{ch}}}
\nc{\sfh}{{\mathsf{h}}}


\nc{\SK}{{\mathsf{K}}}
\nc{\SO}{{\mathsf{O}}}
\nc{\SQ}{{\mathsf{Q}}}
\nc{\SPV}{{\mathsf{S}^+\mathsf{V}}}
\nc{\SMV}{{\mathsf{S}^-\mathsf{V}}}
\nc{\SPMV}{{\mathsf{S}^\pm\mathsf{V}}}
\nc{\SX}{{S_X}}
\nc{\SY}{{S_Y}}
\nc{\phipsi}{{q}}
%\nc{\eps}{\varepsilon}

\nc{\pim}{{\pi_-}}
\nc{\pip}{{\pi_+}}

\nc{\BE}{{{\mathbf E}}}
\nc{\TD}{{\widetilde{\D}}}
\nc{\TFD}{{\widetilde{\FD}}}
\nc{\TE}{{\tilde{\CE}}}
\nc{\TQ}{{\tilde{Q}}}
\nc{\TCA}{{\tilde{\CA}}}
\nc{\TCF}{{\tilde{\CF}}}
\nc{\TCG}{{\tilde{\CG}}}
\nc{\TCH}{{\tilde{\CH}}}
\nc{\TCL}{{\tilde{\CL}}}
\nc{\TF}{{\tilde{F}}}
\nc{\TW}{{\tilde{W}}}
\nc{\TCB}{{\widetilde{\CB}}}
\nc{\TCC}{{\tilde{\CC}}}
\nc{\TCX}{{\tilde{\CX}}}
\nc{\TCY}{{\tilde{\CY}}}
\nc{\TPhi}{{\tilde{\Phi}}}
\nc{\OPhi}{{\bar{\Phi}}}
\nc{\txi}{{\tilde{\xi}}}
\nc{\tp}{{\tilde{p}}}
\nc{\tq}{{\tilde{q}}}
\nc{\tzeta}{{\tilde{\zeta}}}
\nc{\tpi}{{\tilde{\pi}}}

\nc{\HCB}{{\widehat{\CB}}}
\nc{\HCU}{{\widehat{\CU}}}
\nc{\HE}{{\widehat{\CE}}}
\nc{\HS}{{\widehat{S}}}
\nc{\HX}{{\hat{X}}}
\nc{\HY}{{\hat{Y}}}
\nc{\HZ}{{\hat{Z}}}
\nc{\hxi}{{\hat{\xi}}}

\nc{\UH}{{\mathcal{H}}}

\nc{\TM}{{\widetilde{M}}}
\nc{\TCM}{{\widetilde{\CM}}}
\nc{\TS}{{\widetilde{S}}}
%\nc{\TT}{{\widetilde{T}}}
\nc{\TU}{{\widetilde{U}}}
\nc{\TX}{{\widetilde{X}}}
\nc{\TY}{{\widetilde{Y}}}
\nc{\TZ}{{\widetilde{Z}}}
\nc{\TYO}{{{\widetilde{Y}}^\circ}}
\nc{\barf}{{\bar{f}}}
\nc{\te}{{\tilde{e}}{}}
\nc{\tf}{{\tilde{f}}}
%\nc{\tg}{{\tilde{g}}}
\nc{\ti}{{\tilde{\imath}}}
\nc{\tj}{{\tilde{\jmath}}}
\nc{\ty}{{\tilde{y}}}
\nc{\tphi}{{\tilde{\phi}}}
\nc{\hf}{{\hat{f}}}

\nc{\urho}{{\underline{\rho}}}

\nc{\LRA}{\Leftrightarrow}
\nc{\RA}{\Rightarrow}
\nc{\lotimes}{\mathbin{\mathop{\otimes}\limits^{\mathbb{L}}}}
\nc{\CEnd}{\mathop{\mathcal{E}\mathit{nd}}\nolimits}
\nc{\CExt}{\mathop{\mathcal{E}\mathit{xt}}\nolimits}
\nc{\CHom}{\mathop{\mathcal{H}\mathit{om}}\nolimits}
\nc{\RH}{\mathop{{\mathsf{R}}\Gamma}\nolimits}
\nc{\RGamma}{\mathop{{\mathsf{R}}\Gamma}\nolimits}
\nc{\RHom}{\mathop{\mathsf{RHom}}\nolimits}
\nc{\RCHom}{\mathop{\mathsf{R}\mathcal{H}\mathit{om}}\nolimits}
\nc{\RG}{\mathop{\mathsf{R\Gamma}}\nolimits}
\nc{\Hom}{\mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits}
\nc{\Ext}{\mathop{\mathsf{Ext}}\nolimits}
\nc{\End}{\mathop{\mathsf{End}}\nolimits}
\nc{\Tor}{\mathop{\mathsf{Tor}}\nolimits}
\nc{\Tordim}{\mathop{\mathsf{Tor}\text{\rm-}\mathsf{dim}}\nolimits}
\nc{\Hilb}{\mathop{\mathsf{Hilb}}\nolimits}
\nc{\Spec}{\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits}
\nc{\Proj}{\mathop{\mathsf{Proj}}\nolimits}
\nc{\Pic}{\mathop{\mathsf{Pic}}\nolimits}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathsf{Im}}\nolimits}
\nc{\Tw}{\mathop{\mathsf{Tw}}\nolimits}
\nc{\Cone}{\mathop{\mathsf{Cone}}\nolimits}
\nc{\Ker}{\mathop{\mathsf{Ker}}\nolimits}
\nc{\Coker}{\mathop{\mathsf{Coker}}\nolimits}
\nc{\codim}{\mathop{\mathsf{codim}}\nolimits}
\nc{\sing}{{\mathsf{sing}}}
\nc{\supp}{\mathop{\mathsf{supp}}}
\nc{\perf}{{\mathsf{perf}}}
\nc{\rank}{\mathop{\mathsf{rank}}}
\nc{\Pf}{{\mathsf{Pf}}}
\nc{\Gr}{{\mathsf{Gr}}}
\nc{\OGr}{{\mathsf{OGr}}}
\nc{\SGr}{{\mathsf{SGr}}}
\nc{\Flag}{{\mathsf{Fl}}}
\nc{\Kosz}{{\mathsf{Kosz}}}
\nc{\LGr}{{\mathsf{LGr}}}
\nc{\GTGr}{{\mathsf{G_2Gr}}}
\nc{\GT}{{\mathsf{G_2}}}
\nc{\GTF}{{\mathsf{G_2F}}}
\nc{\OF}{{\mathsf{OF}}}
\nc{\Fl}{{\mathsf{Fl}}}
\nc{\Bl}{{\mathsf{Bl}}}
\nc{\GL}{{\mathsf{GL}}}
\nc{\PGL}{{\mathsf{PGL}}}
\nc{\SL}{{\mathsf{SL}}}
\nc{\SP}{{\mathsf{Sp}}}
\nc{\Spin}{{\mathsf{Spin}}}
\nc{\Tot}{{\mathsf{Tot}}}
\nc{\ev}{{\mathsf{ev}}}
\nc{\od}{{\mathsf{odd}}}
\nc{\coev}{{\mathsf{coev}}}
\nc{\id}{{\mathsf{id}}}
\nc{\opp}{{\mathsf{opp}}}
\nc{\PS}{{{\PP^3}}}
\nc{\Qu}{{\mathsf{Q}}}
\nc{\tdim}{\mathop{\Tor\dim}}
\nc{\ecart}{{\fbox{$\scriptstyle\mathsf{EC}$}}}
\nc{\ad}{{\mathop{\mathsf ad}}}
\nc{\gr}{{\mathop{\mathsf gr}}}
\nc{\qgr}{{\mathop{\mathsf qgr}}}
\nc{\tor}{{\mathop{\mathsf tor}}}
\rnc{\mod}{{\mathop{\mathsf mod}}}
\nc{\Mod}{{\mathop{\mathsf Mod}}}
\nc{\Coh}{{\mathop{\mathsf Coh}}}
\nc{\Ab}{{\mathop{\mathcal{A}\mathit{b}}}}
\nc{\QCoh}{{\mathop{\mathsf QCoh}}}



\nc{\AAV}{{\mathcal{AAV}}}

\nc{\Rep}{{\mathsf{Rep}}}

\nc{\Cubics}{{{\mathcal{S}}_3}}
\nc{\VFT}{{{\mathcal{S}}_{14}}}
\nc{\VFTE}{{{\mathcal{N}}_{\mathrm{reg,sm}}}}
\nc{\MX}{{\CM_X}}
\nc{\MY}{{\CM_Y}}
\nc{\MYE}{{\CM_{Y,\CE}}}
\nc{\Yd}{{Y_d}}
\nc{\Yfive}{{Y_5}}
\nc{\Xg}{{X_{2g-2}}}
\nc{\Xtt}{{X_{22}}}
\nc{\Xst}{{X_{16}}}
\nc{\Xtw}{{X_{12}}}
\nc{\Xe}{{X_{8}}}
\nc{\Xf}{{X_{4}}}

\nc{\git}{{/\!\!/\!{}_\chi}}



\theoremstyle{plain}

\newtheorem{theo}{���६�}[]
\newtheorem{conj}[theo]{����⥧�}
\newtheorem{theorem}{���६�}[section]
\newtheorem{conjecture}[theorem]{����⥧�}
\newtheorem{lemma}[theorem]{�����}
\newtheorem{proposition}[theorem]{�।�������}
\newtheorem{corollary}[theorem]{�����⢨�}

\theoremstyle{definition}

\newtheorem{definition}[theorem]{��।������}
%\newtheorem{assumption}[theorem]{Assumption}
%\newtheorem{example}[theorem]{Example}

\theoremstyle{remark}

\newtheorem{remark}[theorem]{����砭��}

\newenvironment{proof}{\noindent{\sf ������⥫��⢮:}}{\qed\medskip}
\newenvironment{proofof}[1]{\noindent{\sf #1:}}{\qed\medskip}


\title{�ந������ ��⥣�ਨ ��嬥��� �������ࠧ�� ����}
\author{����ᠭ�� �㧭�殢}
\dedicatory{�.�.�᪮�᪨�, � �裡 � 70-��⨥�}
%\subjclass{14M15, 18E30}
\address{\sloppy
\parbox{0.9\textwidth}{
�⤥� �������, �� ��� ��.~�.�.~�⥪����,
��᪢�, 11991, �. �㡪��� �.~8.
\hfill\\[5pt]
�������� ���ᥫ�, ������ᨬ� ��᪮�᪨� ���������
\hfill\\[5pt]
}}
\email{akuznet@@mi.ras.ru}
\date{}
\thanks{%
��᫥������� �ந��������� �� ���筮� �����প� �࠭⮢
���� 05-01-01034, 07-01-00051 � 07-01-92211,
�࠭� INTAS 05-1000008-8118,
����� ᮤ���⢨� ����⢥���� ��㪥,
� �࠭� ��� ������.}

%I was partially supported by
%RFFI grants 05-01-01034, 07-01-00051 and 07-01-92211,
%INTAS 05-1000008-8118,
%the Russian Science Support Foundation,
%and gratefully acknowledge of the support of the Pierre Deligne fund based on his 2004
%Balzan prize in mathematics.}


\begin{document}

\begin{abstract}
� ࠡ�� ��ᬠ�ਢ����� �ந������ ��⥣�ਨ ����७��� ��窮�
�� ��嬥��� �������ࠧ��� ���� � �᫮� ����� $1$ � ����뢠���� ��࠭���
��� ����� �ந�����묨 ��⥣��ﬨ ࠧ����� �������ࠧ�� �⮣� ⨯�.
� �ਫ������ ���㦤����� ��� ����� �����ࠨ�᪨� 横��� �� �������
�஥�⨢��� �������ࠧ�� � ��㯯�� ��⥭���� ��� �ந������� ��⥣�ਨ.
\end{abstract}

\maketitle

\section{��������}

������� ᮡ�⢥���� �吝�� �����ࠨ�᪮� �������ࠧ�� $V$ ���뢠���� �������ࠧ���
����, �᫨ ��� ��⨪������᪨� ����� $-K_V$ ������. � ࠧ��୮�� $1$
�����⢥��� �������ࠧ��� ���� ���� �஥�⨢��� ��ﬠ� $\PP^1$.
� ࠧ��୮�� $2$ �������ࠧ�� ���� ������� ��� �����孮�� ���� ����.
������� 10 ���ଠ樮���� ����ᮢ ⠪�� �����孮�⥩ --- �஥�⨢��� ���᪮���
� �� ����� 祬 8 ࠧ���묨 �窠�� (� ��饬 ���������) � ����ਪ�.

����樮��� �ணࠬ�� �����䨪�樨 ��嬥��� �������ࠧ�� ���� �뫠 ���� ��.����
� ��砫� 20-�� ���� � �뫠 �� ����襩 ��� �����襭� �.�.�᪮�᪨� �~1979 ����~\cite{Is}.
��᫥���� ���� �� �������� �㪠� � �����ன � 1983 ����~\cite{MU}. � ����� ࠧ��୮����
�����䨪��� �� �����襭�.

����� �������ࠧ�ﬨ ���� ������� ������⢮ �������痢�, ��������� � ������ �����䨪�樨.
���ਬ��, ����௫�᪮� �祭�� $n$-��୮�� �������ࠧ�� ���� $V$ ���� �������ࠧ��� ����
ࠧ��୮�� $n-1$, �᫨ ��⨪������᪨� ����� $V$ �����筮 �����. �� �����⥫��⢮ ���쬠
������� ��� �����䨪�樨 �������ࠧ�� ���� � ����訬 ��⨪������᪨� ����ᮬ. � ��㣮� ��஭�,
�����⭮ ������⢮ ���樮������ �८�ࠧ������ ����� ࠧ�묨 �������ࠧ�ﬨ ���� ����������
ࠧ��୮��, �� ⮦� �����������. ���ਬ��, ��室�� ���室 � �����䨪�樨, �।������� ����
� ࠧࠡ�⠭�� �᪮�᪨�, �᭮��� �� ���祭�� ⠪�� �८�ࠧ������� (�������� ����� �� ������
���� ������� �஥��� �� ��אַ�).

���� �����饩 ࠡ��� --- �������� ����⢮����� �������痢� ����� ������묨 �������ࠧ�ﬨ ����
�� �஢�� �ந������� ��⥣�਩. �� ��ᬠ�ਢ��� � ����� ��஭� ��嬥�� �������ࠧ�� ���� ������~$2$
� �⥯��� $d$, � � ��㣮� ��஭�, ��嬥�� �������ࠧ�� ���� ������ $1$ � �⥯��� $4d + 2$.
� �� �ந������� ��⥣���� ����७��� ��窮� �� ��室�� �᪫��⥫�� ���� ������� ��᫮����
� ��ᬠ�ਢ��� ��������騥 �����⮣������ ࠧ�������. �᭮��� ��� ������� ��⮨� � ⮬,
�� ���ਢ����� ���������� ��� ࠧ������� ����뢠���� �����������.

�� ᠬ�� ����, �� ���㡫����� ��㫨஢��. ���� �����⭮, �� ��� �ࠢ��� �������ࠧ�� ����
������� ⨯� ��ࠬ��ਧ����� ���ਢ����� �������ࠧ��� ���㫥�, ���⮬� ��ᬠ�ਢ���� ����
���������� �� �ந������� ��⥣�਩ ����� ������ ⮦� ����������. ���⮬�, ��㫨஢�� ᫥���
��筨��, ᪠���, �� � �ந�������� �������ࠧ�� ���㫥� 㪠������ ⨯�� �������ࠧ�� ����
������� ᮮ⢥��⢨�, �窨 ���ண� ᮮ⢥������ ��ࠬ ��嬥��� �������ࠧ�� ����
� ����������묨 ���ਢ����묨 ��������⠬� �ந������� ��⥣�਩. ���祭�� �������� �⮣�
ᮮ⢥��⢨� �।�⠢��� ᮡ�� ������ �����. �� �।��������, �� ��� �������⭮
��� ������ �������ࠧ�ﬨ ���㫥� � �ਢ���� ������� ᮮ�ࠦ���� �� ������ ��� ���ன�⢠.

�஢�ઠ ���ᠭ��� ��� �裡 �ந������� ��⥣�਩ �����쭮 ᫮��� (�� ᠬ�� ����,
� �����騩 ������ ��� �஢����� ���� ��� $d = 3,4,5$, � � �६� ��� ��砩 $d = 1,2$
�� �� ��� ����ᮬ), �� ��ࠧ�� ����� ᫮��� ����ᮬ �।�⠢����� ������
{\em ��祬�}\/ ⠪��� த� ��� �������. �� ��⠥�, �� �� �த�������
� �⮬ ���ࠢ����� �㤥� ������� ��� ��������� �������� �������ࠧ�� ���� � ��
�����䨪�樨 � ����� ࠧ��୮����.




\section{�����䨪��� ��嬥��� �������ࠧ�� ����}

�����⥫�� ᮢ६���� ���������� �����䨪�樨 �������ࠧ�� ���� ���� ࠡ��~\cite{IP}.
�������� ����� �������� ����� ��� ��� १����� � �⮬ ���ࠢ�����.
�� �㤥� ࠡ���� ��� �����ࠨ�᪨ �������� ����� $\kk$ �㫥��� �ࠪ���⨪�.

�������� ����� ������ ����ਠ�⮬ �������ࠧ�� ���� $V$ ����
��� ��⪠ ����� $\Pic V$, ᭠������� �ମ� ����祭�� � �뤥����� ������⮬
(�������᪨� ����ᮬ). � ������ ࠡ�� �� �०�� �ᥣ� �����㥬�� (�������� �����)
��砥�, ����� $\Pic V = \ZZ$. � �⮬ ��砥 �뤥����� ������� ����뢠���� ������⥫��
�᫮� $i_V$, ⠪�� ��
$$
K_V = - i_V H,
$$
��� $H$ --- ������⥫쭠� ��ࠧ���� ��㯯� $\Pic V$,
� �ଠ ����祭�� ��������� ��।������ ������⥫�� �᫮�
$$
d_V = H^{\dim V}.
$$
�� ����ਠ��� ������� ��� {\sf ������} � {\sf �⥯���} �������ࠧ�� $V$ ᮮ⢥��⢥���.

�������� ��騬 १���⮬ �� ������ ���� ᫥�����

\begin{theorem}[\cite{Fu}]
�᫨ $V$ --- �������ࠧ�� ���� ������ $i_V$, � $i_V \le \dim V + 1$. ����� ⮣�,
\begin{itemize}
\item �᫨\/ $i_V = \dim V + 1$, �\/ $V = \PP^n$;
\item �᫨\/ $i_V = \dim V$, �\/ $V = Q^n \subset \PP^{n+1}$.
\end{itemize}
\end{theorem}

� ��⭮��, ��� ��䮫��� (� ���� ��嬥��� �������ࠧ��) ����, ����砥�

\begin{corollary}
�᫨ $V$ --- ��䮫� ����, � $i_V \le 4$. ����� ⮣�
\begin{itemize}
\item �᫨\/ $i_V = 4$, �\/ $V = \PP^3$;
\item �᫨\/ $i_V = 3$, �\/ $V = Q^3 \subset \PP^{4}$.
\end{itemize}
\end{corollary}

��䮫�� ���� ������ 2 ������� ��� {\sf ��䮫�� ���� ����}
(��� ⠪ ���뢠����� ��⮬�, �� �� ����௫�᪨� �祭�� �����
�����孮��ﬨ ���� ����).

\begin{theorem}
����� $V$ --- ��䮫� ���� � $\Pic V = \ZZ$ ������ $i_V = 2$ � �⥯��� $d_V$.
�����
$$
1 \le d_V \le 5
$$
� ��� ������� $1 \le d \le 5$ ������� �����⢥��� ���ଠ樮��� �����
��䮫��� ���� $Y_d$ � $\Pic Y_d = \ZZ$ ������ $2$ � �⥯��� $d$.
��� ����� ᫥���饥 �� ���ᠭ��:
\begin{itemize}
\item $Y_5 = \Gr(2,5) \cap \PP^6 \subset \PP^9$ --- �������� �祭�� ��ࠧ��୮�� $3$ � ���ᬠ����� $\Gr(2,5)$
�⭮�⥫쭮 ���஢� ��������;
\item $Y_4 = Q \cap Q' \subset \PP^5$ --- ����祣�� ���� $4$-����� ����ਪ;
\item $Y_3 \subset \PP^4$ --- �㡨�᪠� ����௮���孮���;
\item $Y_2 \to \PP^3$ --- ��㫨�⭮� �����⨥ ࠧ��⢫����� � ����⨪�;
\item $Y_1$ --- ����௢��孮��� �⥯��� $6$ �� ����襭��� �஥�⨢��� ����࠭�⢥ $\PP(3,2,1,1,1)$.
\end{itemize}
\end{theorem}

����� ⥯��� $V$ --- ��䮫� ���� ������ 1. ��� ��饥 ��⨪������᪮� �祭�� $S \subset V$ ---
K3-�����孮���, ��������� ����ਧ�樥� $H_S = H_{|S}$. �������⥫쭮
$$
d_V = H^3 = H_S^2 = 2g_V - 2
$$
��� �����ண� 楫��� �᫠ $g_V \ge 2$, �����⭮�� ��� {sf த}\/ $V$.

\begin{theorem}
����� $V$ --- ��䮫� ���� � $\Pic V = \ZZ$ ������ $i_V = 1$ � த� $g_V$.
�����
$$
2 \le g_V \le 12,\qquad
g_V \ne 11
$$
� ��� ������� �� ⠪�� $g$ ������� �����⢥��� ���ଠ樮��� �����
��䮫��� ���� $X_{2g-2}$ � $\Pic X_{2g-2} = \ZZ$ ������ $1$ � த� $g$.
��� ����� ᫥���饥 �� ���ᠭ��:
\begin{itemize}
\item $X_{22} \subset \PP^{13}$ --- �奬� �㫥� ������쭮�� �祭�� ����୮�� ��᫮����
$\Lambda^2\CU^* \oplus \Lambda^2\CU^* \oplus \Lambda^2\CU^*$ �� ���ᬠ����� $\Gr(3,7)$,
��� $\CU$ --- ⠢⮫����᪮� �����᫮���� ࠭�� $3$;
\item $X_{18} = \GTGr(2,7) \cap \PP^{11} \subset \PP^{13}$, ��� $\GTGr(2,7)$ --- �������쭮�
������⭮� ����த��� ����࠭�⢮ ���⮩ �����ࠨ�᪮� ��㯯� ⨯� $\GT$, ���஥ ॠ�������
��� �奬� �㫥� ������쭮�� �祭�� ����୮�� ��᫮���� $\CU^\perp(1)$ �� ���ᬠ����� $\Gr(2,7)$;
\item $X_{16} = \PP^{10} \cap \SGr(3,6) \subset \PP^{13}$ --- �������� �祭�� ��ࠧ��୮�� $3$
ᨬ������᪮�� ���࠭���� ���ᬠ����� $\SGr(3,6)$ �⭮�⥫쭮 ���஢� ��������;
\item $X_{14} = \PP^{9} \cap \Gr(2,6) \subset \PP^{14}$ --- �������� �祭�� ��ࠧ��୮�� $5$
���ᬠ���� $\Gr(2,6)$ �⭮�⥫쭮 ���஢� ��������;
\item $X_{12} = \PP^{8} \cap \OGr_+(5,10) \subset \PP^{15}$ --- �������� �祭�� ��ࠧ��୮�� $7$
�吝�� ���������� ��⮣����쭮�� ���࠭���� ���ᬠ����� $\OGr_+(5,10)$ �⭮�⥫쭮 ����ᯨ��୮�� ��������;
\item $X_{10} = \PP^7 \cap Q \cap \Gr(2,5) \subset \PP^9$ --- ������筮� �祭�� ��������� �祭��
��ࠧ��୮�� $2$ ���ᬠ����� $\Gr(2,5)$ �⭮�⥫쭮 ���஢� ��������; ���� $X_{10} \to Y_5$ ---
��㫨�⭮� �����⨥ ࠧ��⢫����� � ����ਪ�;
\item $X_8 = Q \cap Q' \cap Q'' \subset \PP^6$ --- ����祭�� ��� $5$-����� ����ਪ;
\item $X_6 = Q \cap F_3 \subset \PP^5$ --- ����祭�� ����ਪ� � �㡨��;
\item $X_4 \subset \PP^4$ --- ����⨪�; ���� $X_4 \to Q$ --- ��㫨�⭮� �����⨥ ����ਪ� $Q \subset \PP^4$,
ࠧ��⢫����� � ����祭�� $Q$ � ����⨪��;
\item $X_2 \to \PP^3$ --- ��㫨�⭮� �����⨥ ࠧ��⢫����� � ᥪ�⨪�.
\end{itemize}
\end{theorem}

��� ⠪�� ����������� ᫥���騩 १����, �ਭ������騩 �.~�㪠�.

\begin{theorem}[\cite{M}]\label{muth}
�।�������, �� த $g$ ��䮫�� ���� $X_{2g-2}$ �।�⠢����� � ���� �ந�������� $g = r\cdot s$
���� 楫�� �ᥫ. ����� �� $X_{2g-2}$ ������� �����⢥���� �⠡��쭮� ����୮� ��᫮���� $\CE_r$
࠭�� $r$ � $c_1(\CE_r) = -H$ � $c_2(\CE_r) = \frac12 H^2 + (r-s)L$, ��� $L$ --- ����� ��אַ� �� $X_{2g-2}$.
����� ⮣�, ��᫮���� $\CE_r$ �᪫��⥫쭮 � $H^\bullet(X,\CE_r) = 0$.
\end{theorem}

��।������ �᪫��⥫쭮�� ��᫮���� �㤥� ���� ���� (�. ��।������~\ref{de}).

\begin{remark}
�ਬ���� ⥮६� �㪠� � ��䮫�� ���� $X_{2g-2}$ � $g \ge 6$, �� ����稬
䥪�୮� ��᫮����, ��饥�� ��࠭�祭��� ⠢⮫����᪮�� ��᫮����
� ᮮ⢥�����饣� ���ᬠ�����.
\end{remark}




\section{���� �ந������� ��⥣�਩}

��� �����ࠨ�᪮�� �������ࠧ�� $V$ �१ $\D^b(V)$ �� ������砥� ��࠭�祭��� �ந�������
��⥣��� ����७��� ��窮� ��~$V$. ��������, �� ��⥣��� $\D^b(V)$ �ਠ��㫨஢���.
�� �ᥣ�� �㤥� �।��������, �� $V$ ������ � �஥�⨢��.

\begin{definition}[\cite{BK,BO1}]
{\sf �����⮣����쭮� ࠧ�������}\/ �ਠ��㫨஢����� ��⥣�ਨ $\CT$ --- �� ��᫥����⥫쭮���
������ �ਠ��㫨஢����� �����⥣�਩ $\CC_1,\dots,\CC_n$ � $\CT$, ⠪�� ��
$\Hom_{\CT}(\CC_i,\CC_j) = 0$ �� ��� $i > j$,
� ��� ��类�� ��ꥪ� $T \in \CT$ ������� 楯�窠 ���䨧���
$0 = T_n \to T_{n-1} \to \dots \to T_1 \to T_0 = T$, ⠪�� ��
����� ���䨧�� $T_k \to T_{k-1}$ ᮤ�ন��� � $\CC_k$ ��� ������� $k=1,2,\dots,n$.
\end{definition}

�� �㤥� ��������� �१ $\CT = \langle \CC_1,\CC_2,\dots,\CC_n \rangle$ �����⮣����쭮�
ࠧ������� �ਠ��㫨஢����� ��⥣�ਨ $\CT$ � ��������⠬� $\CC_1,\CC_2,\dots,\CC_n$.

\begin{definition}[\cite{B}]\label{de}
��ꥪ� $F \in \CT$ ���뢠���� {\sf �᪫��⥫��}, �᫨ $\Hom(F,F)=\kk$
� ��� ��� $p\ne 0$ $\Ext^p(F,F)=0$. ����� �᪫��⥫��� ��ꥪ⮢
$(F_1,\dots,F_m)$ ���뢥��� {\sf �᪫��⥫�� ����஬}, �᫨
$\Ext^p(F_l,F_k)=0$ �� ��� $l > k$ � ��� $p\in\ZZ$.
\end{definition}

\begin{proposition}[\cite{BO1}]
��直� �᪫��⥫�� ����� $F_1,\dots,F_m$ in $\D^b(V)$
���� �����⮣����쭮� ࠧ�������
$$
\D^b(V) = \langle \CC , F_1, \dots, F_m \rangle
$$
��� $\CC = \langle F_1, \dots, F_m \rangle^\perp = \{F \in \D^b(V)\ |\ \text{$\Ext^\bullet(F_k,F) = 0$ �� ��� $1 \le k \le m$}\}$,
� �� ��⠫�� ���������� --- �����⥣�ਨ � $\D^b(V)$ ��஦����� ��ꥪ⠬� $F_k$ {\rm(}������ �� ��� ���������⭠
$\D^b(\kk)$ --- �ந������� ��⥣�ਨ $\kk$-������� ����࠭��{\rm)}.
\end{proposition}

����� $V$ --- �������ࠧ�� ���� ������ $i = i_V$.
������騩 १���� ��� �����⥭.

\begin{lemma}
����� $V$ --- �������ࠧ�� ���� ������ $i = i_V$. ����� ����� �������� ��᫮���� $\CO_V,\CO_V(H),\dots,\CO_V((i-1)H)$
� $\D^b(V)$ ���� �᪫��⥫��.
\end{lemma}
\begin{proof}
����⨬, �� $H^p(V,\CO_V(-kH)) = 0$ �� $1 \le k \le i-1$ � ��� $p$ �� ⥮६� ������� � ���㫥���,
���⮬� $\Ext^\bullet(\CO_V(lH),\CO_V(kH)) = 0$ �� $0 \le k < l \le i-1$. �������筮,
$H^p(V,\CO_V) = 0$ �� ��� $p > 0$ �� ⥮६� ������� � ���㫥���, � $H^0(V,\CO_V) = \kk$
⠪ ��� $V$ �吝�. ���⮬� ��类� �������� ��᫮���� �� $V$ �᪫��⥫쭮.
\end{proof}

\begin{corollary}
��� ��类�� �������ࠧ�� ���� $V$ ������� ᫥���饥 �����⮣����쭮� ࠧ�������
$$
\D^b(V) = \langle \CB_V,\CO_V,\CO_V(H),\dots,\CO_V((i-1)H) \rangle,
$$
��� $i = i_V$ --- ������ $V$, � $\CB_V = \{F \in \D^b(V)\ |\ \text{$H^\bullet(V,F(-kH)) = 0$ �� ��� $0 \le k \le i-1$}\}$.
\end{corollary}

� ��⭮��, ��� ��䮫��� ���� $Y_d$ ������ $2$ �� ����砥� �����⮣����쭮� ࠧ�������
$$
\D^b(Y_d) = \langle \CB_{Y_d},\CO_V,\CO_V(H) \rangle.
$$

��� ��䮫��� ���� $X_{2g-2}$ ������ $1$ � �⭮�� த� $g = 2t$ ��ᬮ�ਬ ����୮� ��᫮���� $\CE_2$ ࠭��~$2$
����஥���� � ⥮६�~\ref{muth}. �������� १���⠬� �⮩ ⥮६�, ����砥�

\begin{lemma}
����� $X = X_{2g-2}$ --- ��䮫� ���� ������ $1$ � �⭮�� த� $g = 2t$.
����� $\CE = \CE_2$ --- ����୮� ��᫮���� ࠭��~$2$ �� $X$, ����஥����
� ⥮६�~$\ref{muth}$. ����� $(\CE,\CO_X)$ --- �᪫��⥫쭠� ��� �� $X$
� ������� �����⮣����쭮� ࠧ�������
$$
\D^b(X_{2g-2}) = \langle \CA_{X_{2g-2}}, \CE , \CO_{X_{2g-2}}\rangle,
$$
��� $\CA_{X_{2g-2}} = \{F \in \D^b(X_{2g-2})\ |\ H^\bullet(X_{2g-2},F) = \Ext^\bullet(\CE,F) = 0\}$.
\end{lemma}

������ �� ��⮢� ���㫨஢��� �᭮���� ����⥧�.

\begin{conjecture}\label{mainc}
������稬 �१ $\CMF^i_d$ �������ࠧ�� ���㫥� ��䮫��� ���� ������ $i$ � �⥯��� $d$.
����� ������ ᮮ⢥��⢨� $Z_d \subset \CMF^2_d \times \CMF^1_{4d+2}$, �������⭮� ��� �����
�� ᮬ����⥫��, ��祬 ⠪�, �� ��� ��类� �窨 $(Y_d,X_{4d+2}) \in Z_d$ ������� ���������⭮��� ��⥣�਩
$$
\CA_{X_{4d+2}} \cong \CB_{Y_d}.
$$
\end{conjecture}

�᭮��� १���⮬, ���⢥ত��騬 ����⥧� ����

\begin{theorem}\label{maint}
����⥧�~$\ref{mainc}$ ��ୠ �� $d = 3,4,5$.
\end{theorem}

������⥫��⢮ ⥮६�~\ref{maint} �ਢ������ � ᫥���饬 ࠧ����.
��� ��⮨� � ࠧ��� ������� �� ��砥�, �.~᫥��⢨�~\ref{cor5}, \ref{cor4} �~\ref{cor3}.
���� �� 㡥�����, �� �᫥��� ��㯯� ��⥭���� ��⥣�਩
$\CA_{X_{4d+2}}$ � $\CB_{Y_d}$ ��������.

��� �ਠ��㫨஢����� ��⥣�ਨ $\CT$ ������稬 �१ $K_0(\CT)$ �� ��㯯� ��⥭����.
�� ��� ��।����� ���������� �ଠ �����
$$
\chi([F],[G]) = \sum_p (-1)^p \dim\Ext^p(F,G).
$$
{\sf ��᫥���� ��㯯� ��⥭����}\/ $K_0(\CT)_{num}$ ��।������ ��� 䠪��
$K_0(\CT)_{num} := K_0(\CT)/\Ker\chi$.
�᫨ $\CT = \D^b(V)$ �� ��� ��⪮�� ��襬 $K_0(V)$ � $K_0(V)_{num}$ ����� $K_0(\D^b(V))$ � $K_0(\D^b(V))_{num}$.

\begin{proposition}\label{rr}
For all $1 \le d \le 5$ there is an isomorphism of numerical Grothendieck groups
$$
K_0(\CA_{X_{4d+2}})_{num} \cong K_0(\CB_{Y_d})_{num}
$$
compatible with the Euler bilinear forms.
\end{proposition}
\begin{proof}
���᫥���, �᭮������ �� ⥮६� ������--���.

����⨬, �� � ᨫ�~\ref{k0f3} �ࠪ�� ����� $\ch:K_0(X_{2g-2})_{num} \to \oplus_{p=0}^3 H^{2p}(X_{2g-2},\QQ)$
�⮦���⢫�� �᫥���� ��㯯� ��⥭���� $K_0(X_{2g-2})_{num}$ � ��⪮�, ��஦������ ������⠬�
$$
\ch(\CO_{X_{2g-2}}) = 1,\quad
\ch(\CO_H) = H - (g-1)L + \frac{g-1}3 P,\quad
\ch(\CO_L) = L + \frac12 P,\quad
\ch(\CO_P) = P,
$$
��� $P$ --- ����� �窨. �����, �� ⥮६� ������--��� ��� ����� ����� ������� � ����
$$
\chi(u,v) = \chi_0(u^*\cap v),
$$
��� $u \mapsto u^*$ --- �������� $\oplus_{p=0}^3 H^{2p}(X_{2g-2},\QQ)$, ��������� �� $H^{2p}(X_{2g-2},\QQ)$
㬭������� �� $(-1)^p$, � $\chi_0$ �������� ��㫮�
$$
\chi_0(x + yH + zL + wP) = x + \frac{g+11}6 y + \frac12 z + w.
$$
�஬� ⮣�, $\ch(\CO_{X_{2g-2}}) = 1$, � �������� ⥮६��~\ref{muth} ����� ���᫨��
$$
\ch(\CE) = 2 - H + \frac{g-4}2 L - \frac{g-10}{12} P.
$$
��� ᫥���, ��
$$
K_0(\CA_{X_{2g-2}})_{num} =
%\langle \ch(\CO_{X_{2g-2}}), \ch(\CE) \rangle^\perp =
\left\langle 1, 2 - H + \frac{g-4}2 L - \frac{g-10}{12} P \right\rangle^\perp\! =
\left\langle 1 - \frac g2 L + \frac{g-4}4P, H - \frac{3g - 6}2 L + \frac{7g - 40}{12} P \right\rangle.
$$
������ ��� $\chi$ � �⮬ �����, �����砥�, ��
$$
K_0(\CA_{X_{2g-2}})_{num} \cong \ZZ^2,
\qquad
\chi_\CA = \left(\begin{matrix} 1 - g/2 & - g/2 \\ 3-g & 1-g \end{matrix}\right).
$$
��� ��⪠ � ���������� �ମ�.

�������筮, � ᨫ�~\ref{k0f3} �ࠪ�� ����� $\ch:K_0(Y_d)_{num} \to \oplus_{p=0}^3 H^{2p}(Y_d,\QQ)$
�⮦���⢫�� 稫����� ��㯯� ��⥭���� $K_0(Y_d)_{num}$ � ��⪮�, ��஦������ ������⠬�
$$
\ch(\CO_{Y_d}) = 1,\quad
\ch(\CO_H) = H - \frac d2 L + \frac d6 P,\quad
\ch(\CO_L) = L,\quad
\ch(\CO_P) = P,
$$
� ����� ������, �� �ଠ $\chi_0$ � �⮬ ��砥 �������� ��㫮�
$$
\chi_0(x + yH + zL + wP) = x + \frac{d+3}3 y + z + w.
$$
�஬� ⮣�, $\ch(\CO_{Y_d}) = 1$, $\ch(\CO_{Y_d}(H)) = 1 + H + \frac d2 L + \frac d6 P$, ���⮬�
$$
K_0(\CB_{Y_d})_{num} =
\left\langle 1, 1 + H + \frac d2 L + \frac d6 P \right\rangle^\perp =
\left\langle 1 - L, H - \frac{d}2 L + \frac{d-6}{6} P \right\rangle.
$$
������ ��� $\chi$ � �⮬ �����, �����砥�, ��
$$
K_0(\CB_{Y_d})_{num} \cong \ZZ^2,
\qquad
\chi_\CB = \left(\begin{matrix} -1 & - 1 \\ 1-d & -d \end{matrix}\right).
$$
��� ��⪠ � ���������� �ମ�.

�����।�⢥���� �஢�ઠ �����뢠��, �� ��� �⮡ࠦ���� $\ZZ^2 \to \ZZ^2$, ����������� ����楩
$$
A = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{matrix}\right)
$$
�믮������
$$
A^T\cdot\chi_\CB\cdot A = \left(\begin{matrix} -d & -1-d \\ 1-2d & -1-2d \end{matrix}\right)
$$
�� �� $g = 2d+2$ ᮢ������ � ����楩 $\chi_\CA$. ����� �⮡ࠦ���� $A$
���� �᪮�� ������䨧� $K_0(\CB_{Y_d})_{num} \cong K_0(\CA_{X_{4d+2}})_{num}$
ᮣ��ᮢ���� � ��������묨 �ଠ��.
\end{proof}




\section{���砨 $d \ge 3$}

� ������ ࠧ���� �� ������� ⥮६�~\ref{maint}, ��ᬮ�ॢ �� ��砨 �� �⤥�쭮��.

\subsection{���砩 $d=5$.}

%We start with the case $d = 5$.
��������, �� ��䮫� $Y_5$ �⥯��� $5$ ���� ���⪨�, ⠪ �� �������ࠧ�� ���㫥� $\CMF^2_5$ ��⮨� �� ����� �窨.
����⨢, ��䮫�� $X_{22}$ த� $12$ ���������� � 6-��୮� �������ࠧ�� ���㫥� $\CMF^1_{22}$.
�������, �� ᮮ⢥��⢨� $Z_5 \subset \CMF^2_5 \times\CMF^1_{22}$ ᮢ������ � �ᥬ �ந���������.
��묨 ᫮����, �஢�ਬ, �� ��� ��� �������ࠧ�� $X_{22}$ � ��� �����⢥����� �������ࠧ�� $Y_5$
������� ���������⭮��� $\CA_{X_{22}} \cong \CB_{Y_5}$. ��� �⮣� �� ���襬 � ��ࠧ��
��� �� ��⥣�ਨ.

��� �������ࠧ�� $X_{22}$ ��� ����������� ᫥���騩 १����. ����� $\CE_2$ � $\CE_3$ --- ������
��᫮���� ࠭�� $2$ � $3$ �� $X = X_{22}$, ����஥��� � ⥮६�~\ref{muth} ��� ࠧ������� த�
$g_X = 12 = 2\cdot 6 = 3\cdot 4$. ����� $W = H^0(X,\CE_3^*)^* \cong \kk^7$, ⠪ �� $X \subset \Gr(3,W)$.

\begin{theorem}[\cite{K1,K2}]
���᫮���� $W/\CE_3\otimes\CO_X(-1),\CE_3^*\otimes\CO_X(-1),\CE_2,\CO_X$ ��ࠧ��� ����� �᪫��⥫�� �����, ⠪ ��
$$
\D^b(X_{22}) = \langle W/\CE_3\otimes\CO_X(-1),\CE_3^*\otimes\CO_X(-1),\CE_2,\CO_X \rangle.
$$
����� ⮣�, $\Hom(W/\CE_3\otimes\CO_X(-1),\CE_3^*\otimes\CO_X(-1)) = \kk^3$, $\Ext^{\ne 0}(W/\CE_3\otimes\CO_X(-1),\CE_3^*\otimes\CO_X(-1)) = 0$, ⠪ ��
$$
\CA_{X_{22}} \cong \D^b(\Qu_3),
$$
��� $\Qu_3 = \left(\xymatrix@1{ \bullet \ar[r] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \bullet }\right)$ --- ���砭 �஭���� � $3$ ��५����.
\end{theorem}

� ��㣮� ��஭�, ��� �������ࠧ�� $Y_5$ ���ᠭ�� �ந������� ��⥣�ਨ �뫮 ������� �.�૮\-��.
����� $\CU$ --- ��࠭�祭�� �� $Y = Y_5$ ⠢⮫����᪮�� ��᫮���� � ���ᬠ�����  $\Gr(2,5)$.
����� $W' = H^0(Y,\CU^*)^* \cong \kk^5$, ⠪ �� $Y \subset \Gr(2,W')$.

\begin{theorem}[\cite{Or}]
���᫮���� $W'/\CU\otimes\CO_Y(-1),\CU,\CO_Y,\CO_Y(1)$ ��ࠧ��� ����� �᪫��⥫�� �����, ⠪ ��
$$
\D^b(Y_5) = \langle W'/\CU\otimes\CO_Y(-1),\CU,\CO_Y,\CO_Y(1) \rangle.
$$
����� ⮣�, $\Hom(W'/\CU\otimes\CO_Y(-1),\CU) = \kk^3$, $\Ext^{\ne 0}(W'/\CU\otimes\CO_Y(-1),\CU) = 0$, ⠪ ��
$\CB_{Y_5} \cong \D^b(\Qu_3)$.
\end{theorem}

�������� �⨬� १���⠬�, ���������� ����砥� �᪮��� ���������⭮���.

\begin{corollary}\label{cor5}
��� ��类�� �������ࠧ�� $X_{22}$ த� $12$ � ��� �����⢥����� ���� ���� ��䮫�� $Y_5$ �⥯��� $5$
������� ���������⭮��� ��⥣�਩ $\CA_{X_{22}} \cong \D^b(\SQ_3) \cong \CB_{Y_5}$.
\end{corollary}


\subsection{���砩 $d=4$.}

��������, �� �������ࠧ�� ���㫥� $\CMF^2_4$ ��䮫��� ���� ���� $Y_4$ �⥯��� $4$ ������䭮 �������ࠧ�� ���㫥� $\CM_2$
�ਢ�� த� $2$. ������䨧� ��ந��� ᫥���騬 ��ࠧ��. ����� $Y = Y_4 = Q \cap Q' \subset \PP^5$.
���ᬮ�ਬ ��箪 ����ਪ $\{Q_\lambda\}_{\lambda\in\PP^1}$ ��஦����� ����ਪ��� $Q$ � $Q'$. �᫨ $Y$ ������, � ����
����ਪ� $Q_\lambda$ � ��窥 ������ � ������� ஢�� $6$ ࠧ����� �祪 $\lambda_1,\dots,\lambda_6 \in \PP^1$ ��� ������ ����ਪ� $Q_\lambda$ ��஦����.
���ᬮ�ਬ ��㫨�⭮� �����⨥ $C(Y) \to \PP^1$, ࠧ��⢫����� � �窠� $\lambda_i$. ����� $C(Y)$ --- ������� �ਢ�� த� $2$.

\begin{theorem}[\cite{BO1,K6}]
�⮡ࠦ���� $\CMF^2_4 \to \CM_2$, $Y \mapsto C(Y)$ ���� ������䨧���.
����� ⮣�, ������� ���������⭮��� ��⥣�਩ $\CB_{Y_4} \cong \D^b(C(Y_4))$.
\end{theorem}

��� 楫� --- ��������, �� �������ࠧ�� $X_{18}$ ����� ᥡ� �������筮.
� ᠬ�� ����, ��������, �� �� ��।������ $X = X_{18}$ --- �������� �祭��
��ࠧ��୮�� $2$ � $\GTGr(2,7)$. ����� $\{\CX_\lambda\}_{\lambda\in\PP^1}$ --- ��箪 ����௫�᪨� �祭��
���ᬠ����� $\GTGr(2,7)$, ��室��� �१ $X$. ��᪮��� �஥�⨢�� �����⢥��� �������ࠧ��� � $\GTGr(2,7)$
���� ����௮���孮��� �⥯��� $6$, ������� ஢�� $6$ ࠧ����� �祪 $\lambda_1,\dots,\lambda_6 \in \PP^1$,
��� ������ $\CX_\lambda$ �ᮡ�. ���ᬮ�ਬ ��㫨�⭮� �����⨥ $C(X) \to \PP^1$, ࠧ��⢫����� � �窠� $\lambda_i$.
����� $C(X)$ --- ������� �ਢ�� த� $2$. ��� ᠬ�, �� ����砥� �⮡ࠦ���� $\CMF^1_{18} \to \CM_2$, $X \mapsto C(X)$.

\begin{theorem}[\cite{K5}]
������� ���������⭮��� ��⥣�਩ $\CB_{X_{18}} \cong \D^b(C(X_{18}))$.
\end{theorem}

�������� �⨬� १���⠬�, ����砥� �᪮��� ���������⭮��� ��� $d = 4$.
����� $Z_4 \subset \CMF^2_4 \times\CMF^1_{18}$ --- ��䨪 ���䨧��
$\CMF^1_{18} \to \CM_2 \cong \CMF^2_4$.

\begin{corollary}\label{cor4}
��� ��类� ���� ��䮫��� $(Y_4,X_{18}) \in Z_4 \subset \CMF^2_4 \times\CMF^1_{18}$
������� ���������⭮��� ��⥣�਩ $\CA_{X_{18}} \cong \CB_{Y_4}$.
\end{corollary}

\subsection{���砩 $d=3$.}

� �।���� ���� ����� ��� 㤠���� � ������ �ࠢ������� ��⥣�ਨ.
� ��砥 $d = 3$ �� �� �।�⠢����� ��������. �����⢥����, �� 㤠���� ---
�������� ���������⭮���.

��������, �� �� ��।������ ��类� �������ࠧ�� $X = X_{14}$ ���� ������� �祭��� ��ࠧ��୮�� $5$ � $\Gr(2,6)$.
����� $W$ --- ��⨬�୮� ����୮� ����࠭�⢮, ⠪ �� $\Gr(2,6) = \Gr(2,W) \subset \PP(\Lambda^2W)$.
����� $X$ ��।������ $5$-���� �������࠭�⢮� $A \subset \Lambda^2W^*$ ���, ��묨 ᫮����,
��ꥪ⨢�� �⮡ࠦ����� $\alpha:A \to \Lambda^2W$, ��� $A$ --- 䨪�஢����� ����୮� ����࠭�⢮ ࠧ��୮�� $5$.
������稬 ᮮ⢥�����騩 ��䮫� $X_{14}$ �१ $X(\alpha)$.

� ��㣮� ��஭�, ��ᬮ�ਬ ����࠭�⢮ $\PP(\Lambda^2W^*)$ ���ᨬ�����᪨� �� �� $W$.
���ᬮ�ਬ � ��� ����௮���孮���, ������� �� ��஦������ ��. ���� �����⭮, �� �ࠢ�����
�⮩ ����௮���孮�� �������� ���䨠���. ��� �����, �� �� �㡨�᪠� ����௮���孮���.
�� �㤥� ��������� �� �१ $\Pf(W)$ � ���뢠�� ���䮢� �������ࠧ���.
����⢥���, ���䮢� �������ࠧ�� �ᮡ�, ��� ������⢮ �ᮡ�� �祪 ᮢ������ � ������⢮�
��� ���ᨬ�����᪨� �� ࠭�� $2$ �� $W$, � ���� � ���ᬠ������ $\Gr(2,W^*) \subset \Pf(W) \subset \PP(\Lambda^2W^*)$.
������, ��ࠧ��୮��� ������⢠ �ᮡ�� �祪 � $\PP(\Lambda^2W^*)$ ࠢ�� $14-8 = 6$, ���⮬� ��� ��饣� $\alpha$
�ம�ࠧ $\Pf(W)$ � $\PP(A)$ ���� ������� �㡨�᪮� ����௮���孮����, ������ �� ������稬 �१ $Y(\alpha)$.
�����, ᮯ��⠢��� ��஦������ ���ᨬ�����᪮� �ଥ �� ��, �� ����砥� �����᫮���� $K \subset W\otimes\CO$ ࠭�� 2
�� ������� ��� �������ࠧ�� $\Pf(W)$. ����� $E(\alpha) = \alpha^*K\otimes\CO_{Y(\alpha)}(1)$, ��� � �ࠢ�� ��� $\alpha$
��ᬠ�ਢ����� ��� �⮡ࠦ���� $Y(\alpha) \to \Pf(W)$, � $\CO_{Y(\alpha)}(1)$ --- ��࠭�祭�� ��窠 $\CO_{\PP(A)}(1)$.

\begin{theorem}[\cite{K3,K9}]\label{th3}
�⮡ࠦ���� $X(\alpha) \mapsto (Y(\alpha),E(\alpha))$ ������ ������䨧�
�������ࠧ�� ���㫥� $\CMF^1_{14}$ ��䮫��� ���� $X_{14}$ த� $8$
� �������ࠧ�� ���㫥� $\CMFI^2_3(2)$ ��� $(Y,E)$, ��� $Y$ --- ������� ��嬥ୠ� �㡨��,
� $E$ --- �⠡��쭮� ����୮� ��᫮���� �� $Y$ ࠭�� $2$, � $c_1(E) = 0$, $c_2(E) = 2L$ � $H^1(Y,E(-1)) = 0$.
��� ��类�� $\alpha$ ������� ���������⭮���
$\CB_{X_{14}(\alpha)} \cong \CA_{Y_3(\alpha)}$.
\end{theorem}

\begin{remark}
���᫮���� $E$, 䨣�����騥 � ��㫨஢�� ⥮६� ������� ��� ���뢠���� {\sf ���⠭⮭��� ��᫮���� ���鸞~$2$}.
\end{remark}

����� $Z_3 \subset \CMF^2_3 \times\CMF^1_{14}$ --- ��䨪 ���䨧��
$\CMF^1_{14} \cong \CMFI^2_3(2) \to \CMF^2_3$.

\begin{corollary}\label{cor3}
��� ��类� ���� ��䮫��� $(Y_3,X_{14}) \in Z_3 \subset \CMF^2_3 \times\CMF^1_{14}$ ������� ���������⭮��� ��⥣�਩ $\CA_{X_{14}} \cong \CB_{Y_3}$.
\end{corollary}


\subsection{��������᪨� ᮮ⢥��⢨�.}

�� ᠬ�� ����, � ࠡ��~\cite{K3} �������� �����, 祬 ���� ���������⭮���
��⥣�਩, �⢥ত������ � ⥮६�~\ref{th3}. ��� ����஥�� ��������᪮�
�⢥��⢨� ����� �������ࠧ�ﬨ $X(\alpha)$ � $Y(\alpha)$.

����� $\PP_{X(\alpha)}(\CE)$ --- �஥�⨢����� �᪫��⥫쭮�� ��᫮���� $\CE$ ࠭�� $2$ �� $X(\alpha)$.
��� ��� $\CE$ ���� ��࠭�祭��� ⠢⮫����᪮�� ��᫮���� � ���ᬠ����� $\Gr(2,W)$, �� ����砥�
����⢥���� �⮡ࠦ���� $\PP_{X(\alpha)}(\CE) \to \PP(W)$. � ��㣮� ��஭�, ����� 㡥������,
�� $H^0(Y(\alpha),E(\alpha)^*\otimes\CO_{Y(\alpha)}(1)) \cong W^*$, ���⮬� �������
⠪�� ����⢥���� �⮡ࠦ���� $\PP_{Y(\alpha)}(E(\alpha)) \to \PP(W)$.

\begin{theorem}[\cite{K3}]\label{d3geom}
��ࠧ� �������ࠧ�� $\PP_{X(\alpha)}(\CE)$ � $\PP_{Y(\alpha)}(E(\alpha))$ � $\PP(W)$ ᮢ������
� ����௮���孮���� $M \subset \PP(W)$ �⥯��� $4$, ����饩 �ᮡ������� ����� �ਢ�� $C \subset M$ த� $26$.
�⮡ࠦ���� $\PP_{X(\alpha)}(\CE) \to M$ � $\PP_{Y(\alpha)}(E(\alpha)) \to M$ ����� ���묨
������ﬨ � ��������� ������䨧�� ��� ����������� � $C$. ����� ⮣�, �����஢����
���樮����� ������䨧�
$\xymatrix@1{\PP_{X(\alpha)}(\CE)\  \ar@{-->}[r] & \ \PP_{Y(\alpha)}(E(\alpha))}$
���� 䫮���.
\end{theorem}

\begin{remark}
����௮���孮��� $M \subset \PP(W)$ �����⭠ ��� ���렭��� {\em ����⨪� �� ����⨭�}.
�ਢ�� $C$ ��ࠬ��ਧ�� ���� �� $X(\alpha)$ �, � � �� �६�, ���� ���᪮��
��᫮���� $E(\alpha)$ �� $Y(\alpha)$ (� ���� ���� $L \subset Y(\alpha)$, ��� ������
$E(\alpha)_{|L} \cong \CO_L(1) \oplus \CO_L(-1)$).
\end{remark}

���� �᭮����� �������, �� �������筮� ��������᪮� ᮮ⢥��⢨� ������� � ��� ��㣨� ���祭�� $d$.
���ਬ��, ������稬 �१ $\CMFB^1_{4d+2}(t)$ �������ࠧ�� ���㫥� ��� $(X,F)$,
��� $X$ --- ��䮫� ���� ������ $1$ � �⥯��� $4d + 2$, � $F$ --- �⠡��쭮�
����୮� ��᫮���� �� $X$ ࠭�� $2$ � $c_1(F) = -H$, $c_2(F) = (d + 2 + t)L$
(����⨬, �� �� $t = 0$ � ᨫ� ⥮६�~\ref{muth} ⠪�� ��᫮���� ⮫쪮 ���� ---
�᪫��⥫쭮� ��᫮���� $\CE_2$, ���⮬� $\CMFB^1_{4d+2}(0) = \CMF^1_{4d+2}$).
�������� ⥮६�� ������--��� (�.\ ������⥫��⢮ �।�������~\ref{rr})
����� �஢����, �� ��� ��直� $d$, $t$
%(that is for $d = 1,2,3$)
� �� ���� $(X,F) \in \CMF^1_{4d+2}(t)$ �믮�����
$$
\dim H^0(X,F^*) = d + 3 - t,
$$
᫥����⥫쭮 ������� �⮡ࠦ���� $\PP_{X}(F) \to \PP^{d+2-t}$. ����� ⮣�,
�� ⮣�, �� $c_1(F^*) = H$, $c_2(F^*) = (d+2-t)L$
᫥���, �� �⥯��� ��ࠧ� �������ࠧ�� $\PP_{X}(F)$ � $\PP^{d+2-t}$ ࠢ��
$$
\deg\PP_{X}(F) = c_1(F^*)^3 - 2c_1(F^*)c_2(F^*) = H^3 - 2(d+2-t)HL = (4d + 2) - 2(d+2-t) = 2d - 2 + 2t.
$$
�������筮, ����� $\CMFI^1_{d}(k)$ --- �������ࠧ�� ���㫥� ��� $(Y,E)$,
��� $Y$ --- ��䮫� ���� ������ $2$ � �⥯��� $d$, � $E$ ---
���⠭⮭��� ��᫮���� ���鸞 $k$ �� $Y$, � ���� �⠡��쭮�
����୮� ��᫮���� ࠭�� $2$ � $c_1(E) = 0$, $c_2(E) = kL$ � $H^1(Y,E(-1)) = 0$
(�.~\cite{K3}). �������� ⥮६�� ������--��� (�.\ ������⥫��⢮ �।�������~\ref{rr})
����� �஢����, �� ��� ��直� $d$, $k$ � �� ���� $(Y,E) \in \CMFI^2_d(k)$ �믮�����
$$
\dim H^0(Y,E^*(1)) = 2d - 2k + 4,
$$
᫥����⥫쭮 ������� �⮡ࠦ���� $\PP_{Y}(E) \to \PP^{2d-2k+3}$. ����� ⮣�,
�� ⮣�, �� $c_1(E^*(1)) = 2H$, $c_2(E(1)) = H^2 + kL$,
᫥���, �� �⥯��� ��ࠧ� �������ࠧ�� $\PP_{Y}(E)$ � $\PP^{2d-2k+3}$ ࠢ��
$$
\deg\PP_{Y}(E) = c_1(E^*(1))^3 - 2c_1(E^*(1))c_2(E^*(1)) = 8H^3 - 4H(H^2 + kL) = 8d - 4(d+k) = 4d - 4k.
$$
�⬥⨬, �� �� $d + 1 = 2k - t$ � ࠧ��୮��� � �⥯��� ᮢ������.

\begin{conjecture}
��� ��� $1 \le d \le 5$ �������� 楫� �᫠ $k,t \ge 0$, 㤮���⢮���騥 ࠢ����� $d + 1 = 2k - t$,
��� ������ ������� ������䨧� $\xi:\CMFI^2_d(k) \cong \CMFB^1_{4d+2}(t)$, ⠪�� �� �᫨
$(X,F) = \xi(Y,E)$, � ������� ������䨧� $h:H^0(Y,E^*(1)) \stackrel\sim\to H^0(X,F^*)$
� ���樮����� ������䨧�
$\theta:\xymatrix@1{\PP_{X}(F)\  \ar@{-->}[r] & \ \PP_{Y}(E)}$,
⠪ �� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
\PP_{X}(F)\  \ar@{-->}[rr]^-\theta \ar[d] && \ \PP_{Y}(E) \ar[d] \\
\PP(H^0(X,F^*)^*) \ar[rr]^-h_-\cong && \PP(H^0(Y,E^*(1))^*)
}
$$
������⨢��. ����� ⮣�, ������� ���������⭮��� ��⥣�਩ $\CA_X \cong \CB_Y$, ⠪ �� ᮮ⢥��⢨� $Z_d \subset \CMF^2_d\times\CMF^1_{4d+2}$ ---
��ࠧ ��䨪� ������䨧�� $\xi:\CMF^2_d(k) \to \CMFB^1_{4d+2}(t)$.
\end{conjecture}

\begin{remark}
�� $d = 3$ � ᨫ� ⥮६�~\ref{d3geom} ᫥��� ����� $k = 2$, $t = 0$.
�� $d = 5$ ���� �᭮����� �����, �� $k =4$, $t = 2$ ��������.
\end{remark}



\section{�ਫ������. ��㯯� ��⥭���� � �����ࠨ�᪨� 横��}

����� $X$ --- ������� �஥�⨢��� �������ࠧ�� ࠧ��୮�� $n$.
������稬 �१ $A^p(X)$ ��㯯� �����ࠨ�᪨� 横��� ��ࠧ��୮�� $p$ �� $X$ �� ������ �樮���쭮� ���������⭮��.
����� $A^\bullet(X) = \oplus_{p=0}^n A^p(X)$ --- ����� ����. �����, ������稬 �१ $K_0(X)$ ��㯯� ��⥭���� ��⥣�ਨ
����७��� ��窮� �� $X$ (���������⭮, �ந������� ��⥣�ਨ $\D^b(X)$).
���ᬮ�ਬ �⮡ࠦ����, ���������� �ࠪ�஬ ����� $\ch:K_0(X) \to A^\bullet(X)\otimes\QQ$.
���� �����⭮, �� $\ch$ �������� ������䨧� $\QQ$-������� ����࠭��
$K_0(X)\otimes\QQ \to A^\bullet(X)\otimes\QQ$.

� ��㣮� ��஭�, ��ᬮ�ਬ � ����� ����� �᫥���� ���������⭮���.
��������, �� �����ࠨ�᪨� 横� $a \in A^p(X)$ �᫥��� ��������⥭ ���,
�᫨ �� ����� � �� ���������� ��� ����祭��
$$
\xymatrix@1{A^\bullet(X)\otimes A^\bullet(X) \ar[r]^-\cdot & A^\bullet(X) \ar[r]^-{\mathrm{pr}} & A^n(X) \ar[r]^-\deg & \ZZ}.
$$
���� ������, �᫨ �� ���ᥪ����� �� ��� � ��� 横��� �� $A^{n-p}(X)$.
����� $A^\bullet(X)_{num} = \oplus A^p(X)_{num}$ --- ����� �����ࠨ�᪨� 横��� �� �����
�᫥���� ���������⭮��. ����⨬, �� �� ������� ���祭�� � $A^\bullet(X)$ �᫥���
�ਢ�����, ���⮬� $A^\bullet(X)_{num}$ �� ����� ���祭��.

�������筮, ����� $v \in K_0(X)$ �᫥��� ��������⥭ ���,
�᫨ �� ����� � �� ���������� ��� �����
$$
\chi:\xymatrix@1{K_0(X) \otimes K_0(X) \ar[r] & \ZZ},\qquad
\chi([F],[G]) = \sum_i (-1)^i\dim\Ext^i(F,G).
$$
����� $K_0(X)_{num} := K_0(X)/\Ker\chi$ --- �᫥���� ��㯯� ��⥭����.

���६� ������--��� �����뢠��, �� �� ��� ����� ᮢ������ � �ம�ࠧ��
�⭮�⥫쭮 �ࠪ�� ����� �������� � $A^\bullet(X)\otimes\QQ$, ���饣� �� �᫥���
�ਢ������ 横���. �������⥫쭮, $\ch$ �������� �⮡ࠦ����
$K_0(X)_{num} \to A^\bullet(X)_{num} \otimes\QQ$, ���஥ �� ⠪�� ������砥� $\ch$,
� �������� ������䨧� $\QQ$-������� ����࠭�� $K_0(X)_{num}\otimes\QQ \cong A^\bullet(X)_{num}\otimes\QQ$.

��� ��类�� $p$-横�� $Z = \sum a_iS_i$ ������� $[\CO_Z] := \sum a_i[\CO_{S_i}] \in K_0(X)$.
����⨬, �� $[\CO_Z]$ ����⢥��� ������ �� 横�� $Z$, � �� ⮫쪮 �� ��� ����� �樮���쭮�
��� �᫥���� ���������⭮��. ���� ���� �� �������, ��� ����� ��������� �� ⠪�� ����ᨬ���
(�.\ ����砭��~\ref{grpoz}).

\begin{definition}\label{AK}
�㤥� �������, �� ������� �஥�⨢��� $n$-��୮� �������ࠧ�� $X$ ���� {\sf AK-ᮣ��ᮢ���},
�᫨ ��� ��类�� ����� 横��� $Z_p^i$ �� $X$, $0 \le p \le n$, $1 \le i \le m_p$
⠪��� �� 横�� $\codim Z_p^i = p$ and $\{Z^p_1,Z^p_2,\dots,Z^p_{m_p}\}$ ��ࠧ��� ����� � $A^p(X)_{num}$,
������ $[\CO_{Z^p_i}]$, $0 \le p\le n$, $1 \le i \le m_p$ ��ࠧ��� $\ZZ$-����� � $K_0(X)_{num}$.
\end{definition}

�᫨ �����ࠨ�᪮� �������ࠧ�� $X$ AK-ᮣ��ᮢ���, � ��� �᫥���� ��㯯�
��⥭���� ����� ������. ��� �⮣� �����筮 ����� ������ � ��㯯�� �����ࠨ�᪨�
横��� � ��ᬮ���� �� �������� ��窨. ����᫮���, ⠪�� ���ᠭ�� ����� ���� ���쬠
�������. ���� �����饣� ࠧ���� --- ���� ����� �஢��塞� ���਩ AK-ᮣ��ᮢ�����.


��筥� � �ਣ�⮢�����. ���ᬮ�ਬ ��� 䨫���樨 �� $K_0(X)_{num}$.
��ࢠ� �����஢��� 䨫���樥� �� ��ࠧ��୮�� �� $A^\bullet(X)$:
$$
F^pK_0(X)_{num} = \ch^{-1}(\oplus_{q=p}^n A^q(X)_{num}\otimes\QQ).
$$
���� �����஢��� ��ࠧ��୮���� ���⥫�
$$
S^pK_0(X)_{num} = \langle\ [G]\ |\ \codim\supp(G) \ge p\ \rangle,
$$
��� $\langle\quad\rangle$ ������砥� �������� �������.
�㤥� ���뢠�� 䨫����� $F^\bullet$ {\sf �����஢����� 䨫���樥�},
� $S^\bullet$ --- {\sf 䨫���樥� �� ���⥫�}.
������稬 �१ $\gr_F^p K_0(X)_{num}$ � $\gr_S^p K_0(X)_{num}$ ��ᮥ������� �ࠤ�஢���� 䠪���
��� 䨫���権.

����⨬, �� ��� ��类�� $G \in \D^b(X)$ � $\codim\supp(G) \ge p$ ����� $\ch(G) \in \oplus_{q \ge p} A^q(X)_{num}\otimes\QQ$,
���⮬� $S^pK_0(X)_{num} \subset F^pK_0(X)_{num}$, � ��������� ᫥����� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
S^pK_0(X)_{num} \ar@{^{(}->}[r] &
F^pK_0(X)_{num} \ar[r]^-\ch &
\oplus_{q \ge p} A^q(X)_{num}\otimes\QQ \\
S^{p+1}K_0(X)_{num} \ar@{^{(}->}[r] \ar@{^{(}->}[u] &
F^{p+1}K_0(X)_{num} \ar[r]^-\ch \ar@{^{(}->}[u] &
\oplus_{q \ge p + 1} A^q(X)_{num}\otimes\QQ  \ar@{^{(}->}[u]
}
$$
���室� � ��ᮥ������� 䠪�ࠬ, ����砥� 楯��� �⮡ࠦ����
$$
%\gr^p_SK_0(X)_{num} \to \gr^p_FK_0(X)_{num} \stackrel{\ch_p}\to  A^p(X)_{num}\otimes\QQ
\xymatrix@1{
\gr^p_SK_0(X)_{num}\ \ar[rr]^{i_p} && \ \gr^p_FK_0(X)_{num}\ \ar[rr]^-{\ch_p} && \ A^p(X)_{num}\otimes\QQ
}
$$
����� $\ch_p$ --- $p$-� �����樥�� �ࠪ�� �����, � $i_p$ --- �⮡ࠦ����,
�����஢����� ⮦���⢥��� ��⮬��䨧��� $K_0(X)_{num}$. ��� ᫥���, ��
$\ch_p:\gr^p_FK_0(X)_{num}\otimes\QQ \to A^p(X)_{num}\otimes\QQ$ ���� ������䨧���.
�������, �� ���⭮� �⮡ࠦ���� ��।����� ��� $\ZZ$.

\begin{lemma}
������� ������� �⮡ࠦ���� $\SO_p:A^p(X)_{num} \to \gr_F^p K_0(X)_{num}$,
���⭮� � $\ch_p$. ����� ⮣�, $\SO_p(Z) = [\CO_Z] \bmod F^{p+1}K_0(X)_{num}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
��� ��类�� $p$-横�� $Z$ �� $X$ ��।���� $\SO_p(Z)$ ��� ��ࠧ ����� ��� ������୮�� ��窠 $[\CO_Z]$
� $\gr_F^p K_0(X)_{num}$. ��� ���
$$
\ch(\CO_Z) = Z + \text{童�� ����襩 祬 $p$ ��ࠧ��୮��},\eqno{(\dagger)}
$$
����� $[\CO_Z] \in F^pK_0(X)_{num}$ � $\ch_p(\SO_p(Z)) = Z$.
��� ��� $\ch_p$ ��ꥪ⨢��, �����砥�, �� $\SO_p$ ���४⭮ ��।����� � $\ch_p\circ\SO_p = \id$.
\end{proof}

\begin{remark}\label{grpoz}
�� �ਢ������� ����� ᫥���, �� ��ࠧ $[\CO_Z]$ � $\gr^p_FK_0(X)_{num}$ ������ ⮫쪮
�� ����� $Z$ �� ����� �᫥���� ���������⭮��.
\end{remark}

�����, ����� ��������, �� ��� ��类�� ����७⭮�� ��窠 $G$, ��।��祭���� � ��ࠧ��୮�� $p$,
��� $p$-� �����樥�� �ࠪ�� ����� ���� 楫�, $\ch_p(G) \in A^p(X)_{num}$. � ᠬ�� ����,
�᫨ $Z_1,\dots,Z_m$ --- ���������� ��ࠧ��୮�� $p$ ���⥫� $\supp G$, � $\ell_i$ --- ����� $G$
� ��饩 �窥 $Z_i$, � $\ch_p(G) = \sum\ell_iZ_i$. ����� ⮣�, ��� �� ᫥���, ��
�⮡ࠦ���� $\ch_p:\gr^p_SK_0(X)_{num} \to A^p(X)_{num}$ ���ꥪ⨢��.
�����, �� ����砥� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
A^p(X)_{num} \ar@{^{(}->}[rr] \ar@{^{(}->}[drr]^{\SO_p} && A^p(X)_{num}\otimes\QQ \\
\gr^p_SK_0(X)_{num} \ar[rr]^{i_p} \ar@{->>}[u]^{\ch_p} && \gr^p_FK_0(X)_{num} \ar@{^{(}->}[u]^{\ch_p}
}
$$

\begin{proposition}\label{equiv}
��� �������� �஥�⨢���� �������ࠧ�� $X$ ᫥���騥 ᢮��⢠ �����������:

\rnc{\theenumi}{\roman{enumi}}
\begin{enumerate}
\item
$\forall\ 0 \le p \le n$ $\SO_p$ --- ������䨧�;
\item
$X$ AK-ᮣ��ᮢ���;
%$\forall p$ $\SO_p$ is surjective;
\item
$\forall\ 0 \le p \le n$ $S^pK_0(X)_{num} = F^pK_0(X)_{num}$;
\item
$\forall\ 0 \le p \le n$ $\ch_p(\gr^p_FK_0(X)_{num}) \subset A^p(X)_{num}$.
%the $p$-th coefficient of the Chern character is integer on $\gr^p_FK_0(X)_{num}$, ;
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
(i) $\Rightarrow$ (ii):
�祢����� ����樮���� ���㦤���� �����뢠��, �� $\{[\CO_{Z_q^i}]\}_{q \ge p}^{1\le i\le m_q}$ --- ����� � $F^pK_0(X)_{num}$.
%Evident.
%$\SO_p$ is injective since when tensored with $\QQ$ it is an isomorphism.
%Hence surjectivity implies that it is an isomorphism.

(ii) $\Rightarrow$ (iii):
�����⨬, $X$ AK-ᮣ��ᮢ���. �롥६ ������ �� ��� $A^p(X)_{num}$ ��� � ��।������n~\ref{AK}
� �।�������, �� $v = \sum a_q^i[\CO_{Z_q^i}] \in F^pK_0(X)_{num}$ ��� �������� $a_q^i \in \ZZ$.
����� $q$ --- �������쭮� 楫�� �᫮, ⠪�� �� $a_q^i \ne 0$ ��� ������-���� $i$, � �����⨬, �� $q < p$.
�ਬ���� $\ch_q$, ����稬
$$
0 = \ch_q(v) =
\sum_i a_q^i \ch_q([\CO_{Z_q^i}]) =
\sum_i a_q^i \ch_q(\SO_q(Z_q^i)) =
\sum_i a_q^i Z_q^i,
$$
��㤠 ᫥���, �� $a_q^i = 0$ ��� ��� $i$. �����, $q \ge p$, � ����
$a_q^i = 0$ �� ��� $q < p$. �� ⮣��, �᭮, �� $v \in S^pK_0(X)_{num}$.
�⠪, �� ��������, �� $F^pK_0(X)_{num} \subset S^pK_0(X)_{num}$.


%Since $\ch_p:\gr^p_SK_0(X)_{num} \to A^p(X)_{num}$ and $\SO_p$ are surjective, it follows that $i_p$
%is surjective. Now we use the descending induction on $p$. It is clear that
%$S^{n+1}K_0(X)_{num} = F^{n+1}K_0(X)_{num} = 0$. And if $S^{p+1}K_0(X)_{num} = F^{p+1}K_0(X)_{num}$
%then the surjectivity of $i_p$ implies the surjectivity of the embedding $S^pK_0(X)_{num} \to F^pK_0(X)_{num}$,
%hence it is an isomorphism.

(iii) $\Rightarrow$ (iv):
�᫨ $S^pK_0(X)_{num} = F^pK_0(X)_{num}$, � $\gr^p_SK_0(X)_{num} = \gr^p_FK_0(X)_{num}$ �� ��� $p$,
����� $\ch_p(\gr^p_FK_0(X)_{num}) = \ch_p(\gr^p_SK_0(X)_{num}) \subset A^p(X)_{num}$.

(iv) $\Rightarrow$ (i):
��� ��� �⮡ࠦ���� $\ch_p$ � $\SO_p$ ������� ����� ������䨧�� ��㯯 $\gr^p_FK_0(X)_{num}\otimes\QQ$ �
$A^p(X)_{num}\otimes\QQ$, ��祬 ��࠭��騥 ��⪨ $\gr^p_FK_0(X)_{num}$ � $A^p(X)_{num}$,
� ��� ��������� ������䨧�� ��� ��⮪.
\end{proof}


%By definition the Chern character induces a map $\ch_p:\gr_F^p K_0(X)_{num} \to A^p(X)_{num}\otimes\QQ$
%such that $\ch_p\otimes\QQ:\gr_F^p K_0(X)_{num}\otimes\QQ \to A^p(X)_{num}\otimes\QQ$ is an isomorphism.

%\begin{lemma}
%Assume that any of the equivalent properties of Proposition~\ref{equiv} is satisfied.
%Assume that for each $0 \le p \le n$ we are given a collection $Z^p_1,Z^p_2,\dots,Z^p_{m_p}$
%of codimension $p$ subschemes of $X$ which forms a $\ZZ$-basis in $A^p(X)_{num}$. Then the classes
%of their structure sheaves $[\CO_{Z^p_i}]$, $0 \le p\le n$, $1 \le i \le m_p$
%form a $\ZZ$-basis in $K_0(X)_{num}$.
%\end{lemma}
%\begin{proof}
%An evident induction argument shows that $\{[\CO_{Z^q_i}]\}_{q \ge p}^{1\le i\le m_q}$ is a basis in $F^pK_0(X)_{num}$.
%
%It suffices to check that for each $p$ the images of the classes $[\CO_{Z^p_1}],[\CO_{Z^p_2}],\dots,[\CO_{Z^p_{m_p}}]$
%induce a $\ZZ$-basis in $\gr_F^p K_0(X)_{num}$. In other words, that
%$\SO(Z^p_1),\SO(Z^p_2),\dots,\SO(Z^p_{m_p})$ is a basis in $\gr_F^p K_0(X)_{num}\otimes\QQ$.
%But this is clear since $\SO_\QQ$ is inverse to $\ch_p$.
%%$$
%%\xymatrix{
%%& \QQ^{m_p} \ar[dl]_{([\CO_{Z^p_1}],[\CO_{Z^p_2}],\dots,[\CO_{Z^p_{m_p}}])\qquad} \ar[dr]^{\quad(Z^p_1,Z^p_2,\dots,Z^p_{m_p})} \\
%%\gr_F^p K_0(X)_{num}\otimes\QQ \ar[rr]^{\ch} && A^p(X)_{num}\otimes\QQ
%%}
%%$$
%%commutes.
%\end{proof}

%It is interesting when the same is true over $\ZZ$.
%We will going to establish the following sufficient condition.

������ �� �ਢ���� ��᪮�쪮 ���ਥ� AK-ᮣ��ᮢ������.

\begin{lemma}\label{ch012n}
��� ��类�� �������� �஥�⨢���� �������ࠧ�� $X$ ����� $\ch_p(\gr^p_FK_0(X)_{num}) \subset A^p(X)_{num}$ �� $p=0,1,2$ � $p=n$.
\end{lemma}
\begin{proof}
����⨬, �� $\ch_0(G)$ --- ࠭� $G$, � $\ch_1(G) = c_1(G)$, ��㤠 ����砥� �⢥ত���� ��� $p=0$ � $p=1$.
�� $p=2$ ����� $\ch_2(G) = c_1(G)^2/2 - c_2(G)$, ���⮬� �᫨ $c_1(G) = \ch_1(G) = 0$, � $\ch_2(G) = -c_2(G) \in A^2(X)_{num}$.
�������, �᫨ $G \in F^nK_0(X)_{num}$, � �� ⥮६� ������--��� ����� $\ch_n(X) = \chi(\CO_X,G) \in \ZZ$,
��� ��㯯� $A^n(X)_{num}$ �⮦���⢫��� � $\ZZ$ �⮡ࠦ����� �⥯���. �⨬ �������� �⢥ত���� ��� $p=n$.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{ak3}
�᫨ $\dim X \le 3$, � $X$ AK-ᮣ��ᮢ���.
\end{corollary}

��㣮� ᯮᮡ �஢����� AK-ᮣ��ᮢ������� ������ ᫥���饩 ������.

\begin{lemma}\label{k0}
�।�������, �� ᯠਢ���� ����祭�� $A^p(X)_{num} \otimes A^{n-p}(X)_{num} \to \ZZ$
�������� ������䨧� $A^p(X)_{num} \to A^{n-p}(X)_{num}^*$. ����� �⮡ࠦ����
$\SO_p:A^p(X)_{num} \to \gr_F^p K_0(X)_{num}$ ���� ������䨧���.
� ��⭮��, �᫨ ᯠਢ���� $A^p(X)_{num} \otimes A^{n-p}(X)_{num} \to \ZZ$
�������� ������䨧� $A^p(X)_{num} \to A^{n-p}(X)_{num}^*$ �� ��� $p$, � $X$ AK-ᮣ��ᮢ���.
%
%Assume that for each $0 \le p \le n$ the intersection pairing $A^p(X)_{num} \otimes A^{n-p}(X)_{num} \to \ZZ$
%induces an isomorphism $A^p(X)_{num} \to A^{n-p}(X)_{num}^*$. Then
%if for each $0 \le p \le n$ we are given a collection $Z^p_1,Z^p_2,\dots,Z^p_{m_p}$
%of codimension $p$ subschemes of $X$ which forms a $\ZZ$-basis in $A^p(X)_{num}$ then the classes
%of their structure sheaves $[\CO_{Z^p_i}]$, $0 \le p\le n$, $1 \le i \le m_p$
%form a $\ZZ$-basis in $K_0(X)_{num}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
����� $Z,W \subset X$ --- ����奬� ��ࠧ��୮�� $p$ � $(n-p)$ ᮮ⢥��⢥���.
����� ��~$(\dagger)$ � ⥮६� ������--��� ᫥���, ��
$$
Z\cdot W = (-1)^p\chi(\CO_Z,\CO_W),
$$
᫥����⥫쭮, ����� ������⨢��� ����ࠬ��
$$
\xymatrix{
A^p(X)_{num} \ar[rr]^{\SO_p} \ar[d]_\cdot && \gr_F^p K_0(X)_{num} \ar[d]^{(-1)^p\chi} \\
A^{n-p}(X)_{num}^* && \gr_F^{n-p} K_0(X)_{num}^* \ar[ll]_{\SO_{n-p}^*}
}
$$
����⨬, �� �� �⮡ࠦ���� � ����ࠬ�� ����� �������ﬨ ����筮�� ������.
���⮬�, �᫨ ����� ���⨪��쭠� ��५�� --- ������䨧�, � $\SO_p$ --- ⮦� ������䨧�.
\end{proof}

����祭�� � ������ ࠧ���� १����� ��������� ����� ������ ��㯯� $K_0(X)_{num}$
��� ��� ��䮫��� ����.

\begin{corollary}\label{k0f3}
����� $V$ --- ��䮫� ���� � $\Pic V \cong \ZZ$.
����� $H$ --- ��ࠧ���� � $\Pic V$, $L$ --- ��ﬠ� �� $V$, � $P$ --- �窠 �� $V$.
����� $K_0(X)_{num} = \langle [\CO_V], [\CO_H], [\CO_L], [\CO_P] \rangle$.
\end{corollary}
\begin{proof}
�� ᫥���⢨�~\ref{ak3} (��� �� �����~\ref{k0}) ᫥���, �� $V$ AK-ᮣ��ᮢ���.
�� ��।������ AK-ᮣ��ᮢ������, ����砥� �᪮�� �����.
%
%We have $A^0(V)_{num} = \ZZ V$, $A^1(V)_{num} = \ZZ H$,
%$A^2(V)_{num} = \ZZ L$ and $A^3(V)_{num} = \ZZ P$.
%Moreover, $V\cdot P = H\cdot L = 1$, hence the condition of Theorem~\ref{k0}
%is satisfied.
\end{proof}

\begin{remark}
��� �஢�ન AK-ᮣ��ᮢ������ ����� �������஢��� १����� �����~\ref{ch012n} � �����~\ref{k0}.
���� ������, �᫨ �����ࠨ�᪮� �������ࠧ�� $X$ 㤮���⢮��� �᫮��� �����~\ref{k0}
�� ��� $3 \le p \le n-1$, � $X$ AK-ᮣ��ᮢ���. � ᠬ�� ����, �� ������⥫��⢠ �।�������~\ref{equiv}
����� ������, �� ᢮��⢮ (iv${}_p$) ��� ������� $p$ ���� ᢮��⢮ (i${}_p$).

�� ᮮ�ࠦ���� ����� �ਬ�����, ���ਬ��, ��� ����嬥୮� �㡨��. � ᠬ�� ����,
�᫮��� �����~\ref{k0} �� $p = 3$ �믮�����, ���⮬� ����嬥ୠ� �㡨�� AK-ᮣ��ᮢ���.
\end{remark}

\begin{thebibliography}{XXXX}

\bibitem[B]{B} A. Bondal,
{\em Representations of associative algebras and coherent sheaves},
(Russian)  Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. {\bf 53} (1989), no. 1, 25--44;
translation in  Math. USSR-Izv. {\bf 34}  (1990),  no. 1, 23--42.

\bibitem[BK]{BK} A. Bondal, M. Kapranov,
{\em Representable functors, Serre functors, and reconstructions} ,
(Russian)  Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. {\bf 53} (1989), no. 6, 1183--1205, 1337;
translation in  Math. USSR-Izv. {\bf 35} (1990), no. 3, 519--541.

\bibitem[BO1]{BO1} A. Bondal, D. Orlov,
{\em Semiorthogonal decomposition for algebraic varieties},
preprint math.AG/9506012.

\bibitem[Fu]{Fu} Fujita T.,
{\em On the structure of polarized varieties with A-genera zero},
J. Fac. Sci. Univ Tokyo. Sec. IA. 22, 103--115.

\bibitem[Is]{Is} V. Iskovskikh,
{\em Anticanonical models of three-dimensional algebraic varieties},
Current problems in mathematics, VINITI, Moscow, 12, 59--157 (Russian);
translation in J. Soviet Math. 13 (1980) 745--814.

\bibitem[IP]{IP} V. Iskovskikh, Yu. Prokhorov,
{\em Fano varieties},
Algebraic geometry, V, 1--247,
Encyclopaedia Math. Sci., 47, Springer, Berlin, 1999.

\bibitem[K1]{K1} Kuznetsov A.,
{\em An exceptional collection of vector bundles on
$V_{22}$ Fano threefolds}, Vestnik MGU, Ser. 1, Mat. Mekh.,
1996, no. 3, p.~41--44 (in Russian).

\bibitem[K2]{K2} Kuznetsov A.,
{\em Fano threefolds $V_{22}$},
preprint MPIM/97-24.

\bibitem[K3]{K3} Kuznetsov A.,
{\em Derived categories of cubic and $V_{14}$ threefolds},
Proc. V.A.Steklov Inst. Math, V.~246 (2004), p.~183--207;
preprint math.AG/0303037.

\bibitem[K5]{K5} Kuznetsov A.,
{\em Hyperplane sections and derived categories},
Izvestiya RAN: Ser. Mat. 70:3 p.~23--128 (in Russian);
translation in Izvestiya: Mathematics 70:3 p.~447--547.

\bibitem[K6]{K6} Kuznetsov A.,
{\em Derived categories of quadric fibrations and intersections of quadrics},
Advances in Mathematics,  V.~218 (2008), N.~5, 1340-1369.

\bibitem[K8]{K8} Kuznetsov A.,
{\em Lefschetz decompositions and categorical resolutions of singularities},
Selecta Mathematica,  V.~13 (2008), N.~4, 661-696.

\bibitem[K9]{K9} Kuznetsov A.,
{\em Homological projective duality for Grassmannians of lines},
preprint math.AG/0610957.

\bibitem[M]{M} Mukai S.,
{\em Fano 3-folds},
London Math. Soc. Lect. Note Ser. 179, 255--263.

\bibitem[MU]{MU} S. Mukai, H. Umemura,
{\em Minimal rational threefolds},
Algebraic geometry (Tokyo/Kyoto, 1982), 490--518,
Lecture Notes in Math., 1016, Springer, Berlin, 1983.

\bibitem[Or]{Or} D. Orlov,
{\em Exceptional set of vector bundles on the variety $V_5$},
(Russian) Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh. 1991, no. 5, 69--71;
translation in  Moscow Univ. Math. Bull.  {\bf 46}  (1991), no. 5, 48--50.

\bibitem[O1]{O1} D. Orlov,
{\em Projective bundles, monoidal transformations, and derived categories of coherent sheaves},
(Russian)  Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. {\bf 56} (1992), no. 4, 852--862;
translation in  Russian Acad. Sci. Izv. Math. {\bf 41} (1993), no.~1, 133--141.



\end{thebibliography}

\end{document}
