\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsthm,amsfonts,amssymb,amscd}

\textwidth15cm \textheight22.5cm \hoffset=-14mm \voffset=-13mm


\begin{document}

\begin{flushleft}
��� 512.7
\end{flushleft}

\begin{center}
\large \bf �������������� ��������� ������ ������������ ����
\end{center}\vspace{0.5cm}

\centerline{�.�.��������}\vspace{0.5cm}

\parshape=1
3cm 10cm \noindent {\small \quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad
\quad\quad\quad {\bf }\newline �������� ��������������
������������ ����������������� � ������� ����������� ���� ������
��������� � ����������� �������������.} \vspace{1cm}

\section*{��������}

{\bf 0.1. ������� � ������ ������������� ����.} �������� [1], ���
����������� ������������ ���� $F$ (�. �. ������� ������������
���� �  $\mathop{\rm Pic}F={\mathbb Z}K_F$) ������������� �������
{\it �������������� ������������}, ��� ������� ($C$)
(��������������, ������� {\it �������������� ���-������������},
��� ������� ($L$)), ���� ��� ������ ������������ ��������
$D\in|-nK_F|$, $n\geq 1$, ����
\begin{equation}\label{i1}
(F,\frac{1}{n}D)
\end{equation}
����� ������������ (��������������, ���-������������)
�����������. ���� ���� (\ref{i1}) ����� ������������ �����������
��� ������ �������� $D\in \Sigma \subset|-nK_F|$ ����� {\it
���������} �������� ������� $\Sigma$, �� ������, ��� $F$
������������� ������� {\it ��������� ������������} ��� �������
($M$).

� ����� ����, ������� ($C$) ������������� ��������� �������: ���
������ ��������������� �������� $\varphi\colon \widetilde F\to F$
� ��������������� �������� $E\subset \widetilde F$ ����� �����
�����������
\begin{equation}\label{i2}
\nu_E(D)\leq na(E).
\end{equation}
����������� (\ref{i2}) �������������� ������������� {\it
����������� ������-����}, ��. [2, ��. II, \S 1] � ������������ �
���� ������. ������� ($L$) ������: ��������� ����������
�����������
\begin{equation}\label{i3}
\nu_E(D)\leq n(a(E)+1).
\end{equation}
� (\ref{i2}) � (\ref{i3}) ����� $a(E)$ --- ���������������
��������������� �������� $E\subset \widetilde F$ ������������
������ $F$. ����������� (\ref{i3}) �������������� {\it
���-����������� ������-����}. ������� ($M$) ��������, ���
(\ref{i2}) ����� ����� ��� ������ �������� $D$ ����� ���������
������� $\Sigma\subset |-nK_F|$ � ������ ����������� ������������
$\nu_E$.

� [1] ���� ��������

{\bf ������� 1}. {\it �����������, ��� ����������� ������������
���� $F_1,\dots,F_K$, $K\geq 2$, ������������� �������� ($L$) �
($M$). ����� �� ������ ������������
$$
V=F_1\times\dots\times F_K
$$
--- ������������� ������������ ������������. � ���������,

{\rm (i)} ��� ��������� ����������� �������� ���������� ��
������������ $V$ ���� �������� �� ������ �����������. ������,
����� $\beta\colon V^{\sharp}\to S^{\sharp}$
--- ����������� ������� ���������� � $\chi\colon V\dashrightarrow
V^{\sharp}$ --- �������������� �����������. ����� ����������
��������� ��������
$$
I=\{i_1,\dots,i_k\}\subset \{1,\dots,K\}
$$
� �������������� �����������
$$
\alpha\colon F_I=\prod\limits_{i\in I}F_i\dashrightarrow
S^{\sharp}
$$
�����, ��� ������������� ���������
$$
\begin{array}{rcccl}
& V &\stackrel{\chi}{\dashrightarrow} & V^{\sharp}&\\
\pi_I &\downarrow & &\downarrow &\beta\\
& F_I & \stackrel{\alpha}{\dashrightarrow}& S^{\sharp},&
\end{array}
$$
�.�. $\beta\circ\chi=\alpha\circ\pi_I$, ���
$$
\pi_I\colon\prod\limits^K_{i=1}F_i\to \prod\limits_{i\in I}F_i
$$
--- ������������ �������� �� ������ �����������.

{\rm (ii)} ����� $V^{\sharp}$ --- ��������� ������������ �
${\mathbb Q}$-�������������� ������������� �������������,
��������������� �������
$$
\mathop{\rm dim}\nolimits_{\mathbb Q}(\mathop{\rm
Pic}V^{\sharp}\otimes{\mathbb Q})\leq K,
$$
� $\chi\colon V\dashrightarrow V^{\sharp}$ --- ��������������
�����������. ����� $\chi$ ���� (������������) ����������.

{\rm (iii)} ������ �������������� � ������������ �������������
������������ $V$ ���������:
$$
\mathop{\rm Bir}V=\mathop{\rm Aut}V.
$$
� ���������, ������ $\mathop{\rm Bir}V$ �������.

{\rm (iv)} �� ������������ $V$ ��� �������� ���������� ��
����������� ������� ������������ ����������� ������ �������, ���
$\mathop{\rm min}\{\mathop{\rm dim}F_i\}$. � ��������� $V$ ��
����� �������� ��������� �� ������ � ������������ �����������.

{\rm (v)} ������������ $V$ �������������.}

������ ����������� (�����)���������, ���������� ��� ������� �
������ �������� ������������� (�����)������� ������������ ��. �
[2].

���� �������� � ���, ��� ������� $(C)$ ������ �������, ��� $(L)$:
����� �������� ������� ������������, �� ��������������� �������
$(C)$, ��, ��-��������, ��������������� $(L)$. ������ ���������
������� ������� ��������� (��� �������� ������������ ����)
���������� $(L)$ ������ ����� $(C)$, ������������ ����� �����
������� �������� (�� �������� ������������� ������� $(L)$ �
$(M)$).

������� �����, ��� ��������� ������������ $F$ ����������
�������������: ���������� ${\mathbb Q}$-���������������. ����
���� $(F,\frac{1}{n}D)$ ��������� ��� ������ ������������
�������� $D\sim-nK_F$ (�������������� � ��������� �� ��������� ��
��������� ����� ������������� �����), �� �� ������������ $F$
���������������� �������� ������� 1. � [1] ��� �������
�������������� � �������� � ������������� ��������� ������
������, ��� ��� ����� ����������� � ������� �������������. ������
� [1] �������������� �������� �������� ��� ${\mathbb
Q}$-������������� ������������ ����, ��������������� ��������
$(L)$ � $(M)$. ��� � ���������� ����� ��������������� ���
����������� ��������. \vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  section 0.2

{\bf 0.2. ������� ������������� ���������� ������������.} � [1]
���� �������� �������������� ������������ ���� �������
������������: ����� ������� ����������� ����������� ��� � ���� �
����� ����������������� ���� ������� 1 ����������� $\geq 5$.
��������, ��� ���������� ��� ��������� ���������.

������� �����
$$
F\stackrel{\sigma}{\to}{\mathbb P}^M
$$
--- ������� ������������ ����, ������������� ��� �������
����������������� $W=W_{2M}\subset {\mathbb P}^M$  ������� $2M$,
$M\geq 3$. ��� ����� $x\in W$ ����������� ������� ��������
��������� $z_1,\dots,z_M$ �� ${\mathbb P}^M$ � ������� � $x$ �
�����
$$
{w}= q_1+ q_2+\dots + q_{2M}
$$
--- ��������� ���������������� $W$, $q_i= q_i(z_*)$ ---
���������� ���������� ������� $\mathop{\rm deg}q_i=i$. ����������
��������� ��� ������: $M\geq 5$, $M=4$ � $M=3$. ��� ��������
����������� �������, ��� $q_1\equiv z_1$. ������� �����
$$
\bar q_i=\bar
q_i(z_2,\dots,z_M)=q_i|_{\{z_1=0\}}=q_i(0,z_2,\dots,z_M).
$$
��� $M\geq 5$ ������, ��� ������� ������������ ���� $F$ ���������
� ����� $x$, ���� ���� ������������ ����� $\bar q_2$ �� ������ 2.

����� $M=3$ ��� 4. � ���� ������ �� �������, ����� ������������
����� $\bar q_2$ ���� ������� �� ���� �, ����� ����,

(i) ���� $\mathop{\rm rk}{\bar q}_2\geq 2$ (��� ����),

(ii) ���� $\mathop{\rm rk}{\bar q}_2=1$ � ��������� ���������
�������������� �������. ��� ����������� �������� ������� � ����
������, ���
$$
\bar q_2= z^2_2.
$$
������ ��� $M=4$ �� �������, ����� ���������� ��������� ��
���������� $t$
$$
\bar q_3(0,1,t)= q_3(0,0,1,t)
$$
���� ����� ��� ��������� �����.

��� $M=3$ �� �������, ����� ���� �� ���� �� ���� ����������� ��
���������� $z_3$
$$
\bar q_3(0,z_3)\quad \mbox{���}\quad \bar q_4(0,z_3)
$$
(��� ����� ��� $\alpha z^m_3,\,\alpha\in{\mathbb C},\,m=3,4$) ���
������� �� ����.

�����
$$
{\cal W}={\mathbb P}(H^0({\mathbb P}^M,{\cal O}_{{\mathbb
P}^M}(2M)))
$$
--- ������������ ����������������� ������� $2M$. �����
${\cal W}_{\rm reg}\subset {\cal W}$ --- ��������� ���������
���������, ��������������� ������� ������������ � ������ �����.
��������� ���� ������� � [1].

{\bf ������� 2.} {\it ��������� ${\cal W}_{\rm reg}$ �������. ���
������ �������� ��������� $W\in {\cal W}_{\rm reg}$
��������������� ������� ������������ ���� $\sigma\colon
F\to{\mathbb P}^M$, ������������� ��� $W$, ������������� �������
$(C)$.}

����� ������
$$
F=F_{M+1}\subset{\mathbb P}={\mathbb P}^{M+1}
$$
--- ������� ���������������� ���� ������� $M+1$, $M\geq 5$. � �����
$x\in F$ ����������� ������� �������� ���������
$z_1,\dots,z_{M+1}$ � ������� � ����� $x$. �����
$$
f=q_1+q_2+\dots+q_{M+1}
$$
--- ��������� ���������������� $F$, $q_i=q_i(z_*)$ --- ����������
���������� ������� $\mathop{\rm deg} q_i=i$. �����
$$
f_i=q_1+q_2+\dots+q_{i}
$$
--- ����� �������� ���������� $f$, $i=1,\dots,M$. ������������
������� ������������.

(R1.1) ������������������
$$
q_1,q_2,\dots,q_{M}
$$
��������� � ������ ${\cal O}_{x,{\mathbb P}}$, �� ����, �������
���������
$$
q_1=q_2=\dots=q_{M}=0
$$
������ ���������� ������������ --- �������� ����� ������ �
${\mathbb P}$, ���������� ����� ����� $x$.

(R1.2) �������� �������� ����� ������������ ���������� ����������
��������������� ���������
$$
q_1=q_2=q_3=0
$$
� ${\mathbb C}^{M+1}$ ���� �������������� $q_1=0$ (�� ����,
����������� �������������� $T_xF$).

(R1.3) ��������� �������������� ���������
$$
\overline{\{f_1=f_2=0\}\cap F}=\overline{\{q_1=q_2=0\}\cap
F}\subset {\mathbb P}
$$
(����� $\bar {}$ �������� ��������� � ${\mathbb P}$) �����������
� ����� ������� ����� ��������� ��������� ��������������� $P\ni x$


\begin{itemize}

\item ���� ����� ����������� � ���������,

\item ���� ����������� �� ��� ������������ ���������� $B_1+B_2$,
��� $B_i=F\cap S_i$ ���� ������� $F$ ����������
$S_i\subset{\mathbb P}$ ������������� 3, �, ����� ����,
$\mathop{\rm mult}\nolimits_x B_i=3$,

\item ���� ����������� � ����� ��� $2B$, ��� $B=F\cap S$ ����
������� $F$ ���������� $S$ ������������� 3, �, ����� ����,
$\mathop{\rm mult}\nolimits_x B=3$.

\end{itemize}

�������
$$
{\cal F}={\mathbb P}(H^0({\mathbb P},{\cal O}_{\mathbb P}(M+1)))
$$
--- ������������ ����������������� ������� $M+1\geq 6$.
����� ${\cal F}_{\rm reg}\subset {\cal F}$ --- ���������
����������������� ����, ��������������� �������� (R1.1-R1.3) �
������ ����� (� ���������, ����� ���������������� $F\in {\cal
F}_{\rm reg}$ �������). ��������� ���� ������� � [1].

{\bf ������� 3.} {\it ��������� ${\cal F}_{\rm reg}$ �������.
����� ���������������� ���� $F\in{\cal F}_{\rm reg}$
������������� ������� $(C)$.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf 0.3. ������������ ��������� ����������.} ���� ���������
������ --- ��������, ��� ������������ ���� ������ �� ����
������������� ���� ����� ���������� ������������� ������� $(C)$,
���� ����������� ���������� �����������.

{\bf ������� 4.} {\it ������� ������������ $\sigma\colon
V\to{\mathbb P}^M$, $M\geq 3$, ������������� ��� �����������������
$W\subset{\mathbb P}^M$ ������� $2M$, ������� �������������
������������� ������������ ����������� � ��������������� ��������
������������ ������� 2 � ������ ������� �����, �������������
������� $(C)$}.

{\bf ��������������} ��������: ������� ����� ������� ��
����������� 1.3 (� ���� �����, ��� ��������� �������������
��������������� $Y$ � ����� ����� �� ��������� ���
���������������� ������� $(Y\cdot(-K_V)^{\rm dim Y})$. ������� [1]
����� ���������, ��� ����� ���������������� $W\in{\cal W}$,
������� ������������� ������ ����� $o\in{\mathbb P}^M$, � �����
������� ����� ���������, ��� ��� ������������, ��������� �
������� 4, ����������.

��������� ������ � ����������������� ����
$$
V=V_{M+1}\subset{\mathbb P}={\mathbb P}^{M+1}.
$$
������������, ��� $M=\mathop{\rm dim}V \geq 8$. ��� �����������
������� � �������� �������������� ������� 5: ��� ������� ���������
$M$ �������������� �� ��������. ������������ ������� ������������
� ������������� ������� ����� $o\in V$.

����� $z_1,\dots,z_{M+1}$ --- ������� �������� ��������� ��
������������ ${\mathbb P}$ � ������� � ����� $o$,
$$
f=q_2+q_3+\dots+q_{M+1}=0
$$
--- ��������� ���������������� $V$, ����������� �� ����������
����������, $q_2(z_*)$ --- ������������� ������������ �����.
������, ��� $V$ {\it ���������} � ����� $o$, ���� ���������
��������� ����������:

(R2.1) ������������������ $q_2,\dots,q_{M+1}$ ��������� � ${\cal
O}_{o,{\mathbb P}}$, �. �. ������� ���������
$$
q_2=\dots=q_{M+1}=0
$$
������ �������� ��������� ����� � ${\mathbb P}^M$
(��������������� ������ � ${\mathbb P}$, ���������� ����� �����
$o$ � ������� �� $V$),

(R2.2) ��� ������ $k\in\{2,3,4,5\}$ � ������ ���������
��������������� $P\subset{\mathbb P}$ ������������� ���,
����������� ����� $o$, ��������� �������������� ���������
\begin{equation}\label{i4}
V\cap P\cap\{q_2=0\}\cap\dots\cap\{q_k=0\}
\end{equation}
����������� � ����� ��������� ����� $(k+1)!$ � ����� $o$.

{\bf ��������� 0.1.} �������, ��� ��������� ��������� (\ref{i4}) �
����� $o$ ���� $(k+1)!$, � �������� ����������� $q_i$ ��������,
��� ����������� ���������� ���������
$$
\{q_2=0\}\cap\dots\cap\{q_{k+1}=0\}\subset{\mathbb P}^M
$$
� ����� �������� ���������������� ������������� ��� �����
������������� $k+2$ � ${\mathbb P}^M$ (� ������� $(k+1)!$).

������ [1] � ��������� � �������� [3] ��������� ��������, ���
����� ���������������� $V\subset{\mathbb P}$ � �������������
������� ������ $o\in{\mathbb P}$ ������������� ��������
(R1.1-R1.3) � ������ ����� $x\neq o$, $x\in V$. �������� ���� ---
�������������� ������� (R1.1) ���������� � [4]. ��������
�������������� ������� (R1.2-R1.3) ���������� ���������������:
������� ������������� ����������� �� ������ �� ����������� [1, �.
2.3]. �������, ��� ����, ��� ����� ���������������� $V\ni o$ �
������������ � ����� $o$ ������������� � ���� ����� ��������
(R2.1) � (R2.2), ��������. ����� �������, ����� ����������������
$V\in{\cal F}$ � ������������� ������� ������ $o\in{\mathbb P}$
��������� � ������ �����, � ������ ������� (R1.1-R1.3) ���
(R2.1-R2.2).

�������� ��������� ������ ---

{\bf ������� 5.} {\it �����������, ��� ���������������� ����
$V\subset{\mathbb P}$ ������� $M+1\geq 9$ ��������� � ������
�����, ������� ��� ������. ����� ������������ $V$ �������������
������� $(C)$.} \vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf 0.4. ��������� ������ � ����� ��������������.} ����� $X$ ---
�������������� ������������, $D$ --- ����������� ${\mathbb
Q}$-�������, $S\subset X$ --- ������������ ���������������, ��
������������ ������� �� ��������� ������ ����� $\mathop{\rm
Sing}X$. ������, ��� $S$ ���� {\it ������������� ����� ��
(���)������������ ����������� ����} $(X,D)$, ���� ���������� ��
(���)������������ ����������� ���� ����, ����� ������� �� $X$ ����
$S$ (�. �. ��� ���������� ���������� $\varphi\colon X^+\to X$ �
���������� �������� ��������������� �������� $E\subset X^+$ �����
����� ����������� ������-����
$$
\nu_E(D)>a(E)
$$
���, ��������������, � ���-��������,
$$
\nu_E(D)>a(E)+1,
$$
������ $\varphi(E)=S$), � ��� �� (���)������������ ������������
���� ����, ����� ������� �� $X$ ������ �������� $S$. ��������
����������� ����������, ������������ � ��������� ������ ���
�������� �� (���)������������ ������������ --- ���������

{\bf ����������� 0.1.} {\it �����������, ��� $\mathop{\rm
codim}S\geq 2$ � $S$ ���� ������������� ����� ��������������
����������� ���� $(X,D)$. ����� $\mu\colon\widetilde X\to X$ ---
�������� ����� $x\in S$ ������ ���������, $E_x\subset\widetilde
X$ --- �������������� �������. ��� ��������� ��������������
$B\subset E_x$ ��������� �����������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_xD+\mathop{\rm
mult}\nolimits_B\widetilde D> 2,
$$
��� $\widetilde D\subset\widetilde X$ --- ����������� ��������
�������� $D$ �� $\widetilde X$}.

{\bf ��������������} ��� ������, ����� $S=x$ --- �������� ����� ��
$X$, ���� � [1, ����������� 3]. ����� ������ �������� � �����
������������ ���� $(X,D)$ �� ����� ������� ������ $R\ni x$
����������� $\mathop{\rm codim}S$. �������������� ���������.

����� ������ $D\sim -nK_V$ --- ����������� ������� �� ������������
$V$ ������ �� ���� �����, ��������������� � ��������� ������.
������� 4 � 5 ����������, ��� ���� $(V,\frac{1}{n}D)$ ���������.
�����������, ��� ��� �� ���. � ���� ����������� 0.1 � ������,
���������� � [1], ������� �������������� ����������� ���� ����
����� ���� ������ ������ ����� $o\in V$. ���� ������ ����������
���������.

� \S 1 �������� (� ����� ����� ��������������, ��� �������������
������� ������������) �����������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD>2n,
$$
����������� ����� �������� ������� 4. � \S 2 �������� ���������
������ ���� $(V^+,\frac{1}{n}D^+)$, ��� $V^+$ --- �������� �����
$o$. �������� ��������� \S2 --- ������������� �������������
������� �������������� ��������, �������� ������� ���������
������������ �������� $D^+$ (������������ ��������� $D$ ��
$V^+$). ��� ��������� � \S 3 �������� ������� 5 � �������
����������� ���� $(V,\frac{1}{n}D)$ �� ������������ �������
������������ $V$, ��������������� ���������� � \S2 �������������
������� �������������� ��������. �������� ����������� ��
������������ ������� ���������� ��������� ������. �������� �����
�������������� ������� 5 --- ��� ����� ���������������� ���������,
������������ ������� ������������ (R2.1-R2.2), ��. [2, ��. III] �
������������ � ���� ������. \vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf 0.5. ���������.} �� ��� ��� �� �������� ���� �� ������
������� ������ ������������ ����, ��������������� �������
�������������� ������������, � ����������� $\geq 4$. �������
������ 4 � 5 �������� �������. � ����������� ��� ������� �������
[5]: ��� ���������� ���������������� ����; ������ ����� �������
���������������� ������� ���� ������������ �� �������� ��
�������� �������.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������� ��������� � ��� ������ ����������}


{\bf 1.1. ������� ���������.} ����� $X$, $Z$ --- ����������
����������� ��� ������������� ������������ � $h\colon X\to Z$ ---
����������� ������� �� �������� ������, � $D=\sum d_iD_i$ ---
$\mathbb Q$-������� �� $X$.

{\bf ������� 6 (������� ���������, [6, Theorem 17.4]).} {\it
�����������, ��� $D$ ���������� $(d_i\geq 0)$ � �����
$$
-(K_X+D)
$$
$h$-�������� ���������� � $h$-�������. �����
$$
f\colon Y\stackrel{h}{\to}X\stackrel{h}{\to}Z
$$
--- ���������� ������������ ���� $(X,D)$. �������
$$
K_Y=g^*(K_X+D)+\sum e_iE_i.
$$
�������� ${\mathbb Q}$-�������� $\sum\limits_{e_i\leq-1}e_iE_i$,
�. �. ��������� �������������� ���������
$$
\bigcup\limits_{e_i\leq-1}E_i,
$$
�������� ������� � ����������� ������ ���� �������� $f$}.

{\bf ��������������} ��. � [6, Ch.17].

� �������� ���������� �������� ��������� ���������� ������ $o\in
V$ ������������� ������������ ����������� �� ����������
����������. �����
$$
\varphi\colon V^+\to V
$$
--- �������� ����� $o$, $E=\varphi^{-1}(o)$ --- ������������
����������� �������������� �������. ������������ $V$, $V^+$ � $E$
����� ${\mathbb Q}$-������������� ������������ �����������. �����
$\delta=a(E,V)$
--- ��������������� $E$, $D$ --- ����������� ${\mathbb Q}$-�������
�� $V$, $D^+$ --- ��� ����������� �������� �� $V^+$. ���������
����� $\nu_E(D)$ ��������
$$
\varphi^*D=D^++\nu_E(D)E.
$$

{\bf ����������� 1.1.} {\it �����������, ��� ���� $(V,D)$ ��
��������� � ����� $o$, ������� �������� ������������� �������
�������������� ����������� ���� ����. ����������� �����, ��� ���
���������� ������ $k\geq 1$ ��������� �����������
\begin{equation}\label{a1}
\nu_E(D)+k\leq\delta
\end{equation}
����� ���� $(V^+,D^+)$ �� ��� ��������� � �������� �� ���
������������ ����������� $\widetilde E\subset\widetilde V$ ����
���� (��� $\widetilde V\to V^+$ --- ��������� ������), �����
�������
$$
\mathop{\rm centre}(\widetilde E,V^+)\subset E
$$
����� ����������� $\geq k$}.

{\bf ��������������.} ����������� $V\subset{\mathbb P}^N$
���������� ���������, ���������� {\it �����} ��������
��������������� $P\subset{\mathbb P}^N$ ������������� $k$,
���������� ����� $o$. ����� $\Lambda_P$ --- �������� �������
���������������, ���������� $P$, � $\Lambda$ --- ���������������
�������� ������� ������� ������������ $V$. ����� $\varepsilon>0$
--- ���������� ����� ������������ ����� ���� $\frac{1}{K}$ �
$$
\{ H_I\,|\,i\in I\}\subset\Lambda
$$
����� ����� ��������� � ����������  $\sharp I=Kk$. �������
$$
R=D+\sum_{i\in I}\varepsilon H_i,
$$
� ����� $R^+$ --- ����������� �������� $R$ �� $V^+$.

��������, ���� $(V^+,D^+)$ �� ��� ���������. ����� ����� �� ��
��� ������������ ����������� ���������� � $E$. �����, �� ���
������������ --- �������� ��������, ��� ���, ��������� ��������
������������ � $D$, ����� �������, ��� ��������� ������� ������
����������� (\ref{a1}), �. �. $\nu_E(D)+k<\delta$ (� �����������
��������� �������������).

���������� ������ ���� $(V^+,R^+)$ (�� ���������� ������� $V\ni
o$ �������, ��� ��� ��� ���������� �������� � ����������� �����
$o$). ��� �� ��� ���������, � ��� �� �� ��� ������������
����������� ���� �� ��� ������������ ����������� ����
$(V^+,D^+)$, �� ����������� ����� �������������� ����������� ---
������ $(P\cap V)^+$ ������� $V$ ���������� $P$, �. �. ���������
��������� ������� $\Lambda$. � ���� ������� ������ �����������
(\ref{a1}), ����� $-(K_{V^+}+R^+)$ ��������� �������
$\varphi$-�������� ���������� � $\varphi$-�������, ��� ���,
�������� ������� ��������� (� $X=V^+$, $Z=V$, $h=\varphi$,
$D=R^+$), ��������� ��� ����������� ������� �� ��� ������������
������������ ���� $(V^+,R^+)$ �� $V^+$ ������. � ���� ��������
$P$ ��� ��������, ������ ���� $(P\cap V)^+$ ���������� �����-��
����� �� ��� ������������ ����������� ���� $(V^+,D^+)$, �������
������ ����� ����������� �� ������ $k$. ���� ����������� ��������.

���������� ���� ����� ����������� � ������������� ��� ������
������������������ ����������� $o\in V$, � ������� ��������������
���������. \vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% subsection 1.2



{\bf 1.2. ����������� ��� �� ������� ����������������.} �����
$X\subset{\mathbb P}^N$ --- ������� ���������������� �������
$m\in\{2,\dots,N-1\}$, $D\in\,|\,lH_X\,|$ --- ����������� �������,
���������� �� $X$ ����������������� ������� $l\geq 1$. (��� ���
$H_X$ --- ����� ������������� ������� $X$.) ��������� ���� � ���
�������������� ������ �������� [3,7].

{\bf ����������� 1.2.} {\it ��� ������ $n\geq l$ ����
$$
(X,\frac{1}{n}D)
$$
��� ���������}.

{\bf ��������������.} ����� �������, ��� $n=l$. �����������
���������: ���� $(X,\frac{1}{n}D)$ �� ��� ���������. ���������
��� ����� ������ $C\subset X$ ����������� �����������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_CD\leq n
$$
(��. [2,4]), ������� �� ��� ������������ ����������� ����
$(X,\frac{1}{n}D)$ ����� ���� ������ �����. ����� $x\in X$ ---
����� �����. ���������� ����� �������� $\pi\colon{\mathbb
P}^N\dashrightarrow{\mathbb P}^{N-1}$. �� ����������� �� $X$ ����
�������� ������� $\pi_X\colon X\to{\mathbb P}^{N-1}$ ������� $m$,
������� �������� ������������� ������������ � ����� $x$, � �����
������������, ���
$$
\pi^{-1}_X(\pi_X(x))\cap\mathop{\rm Supp}D=\{x\}.
$$
������ �������, ��� ������ ���� $(X,\frac{1}{n}D)$ � ����� $x$ �
������ ���� $({\mathbb P}^{N-1},\frac{1}{n}\pi(D))$ � �����
$\pi(x)$ ������������ ���������. � ���������, ����� $\pi(x)$ ����
������������� ����� �� ��� ������������ ����������� ����
$({\mathbb P}^{N-1},\frac{1}{n}\pi(D))$. ������ ������ �� �����
����.

�� ��� ������������ --- �������� ��������, ��� ��� ���
������������� ����� $s<n^{-1}$, ���������� �������� � $n^{-1}$,
����
$$
({\mathbb P}^{N-1},s\pi(D))
$$
��� ��� ����� ����� $\pi(x)$ ������������� ������� �� ���
������������ �����������. ����� $P\subset{\mathbb P}^{N-1}$ ---
��������������, �� ���������� ����� $\pi(x)$. � ���� �����������
$$
smn+1<N
$$
${\mathbb Q}$-������� $-(K_{{\mathbb P}^{N-1}}+s\pi(D)+P)$ ������,
��� ��� ����� ��������� � ����
$$
({\mathbb P}^{N-1},s\pi(D)+P)
$$
������� ��������� ��������-������� (� ������������ ������� 6,
$X={\mathbb P}^{N-1}$, $Z$ --- �����, � �������� ${\mathbb
Q}$-�������� $D$ ������� $s\pi(D)+P$, ������� ������� 6 ���������
����������� ������� � ���� ����������) � �������� ������������:
����� $\pi(x)$ --- ������������� ����� �� ��� ������������
����������� � ������� $P$ ������ � $\mathbb Q$-�������
$s\pi(D)+P$ � ������������� �������, ������ $\pi(x)\not\in P$,
��� ��� ��������� ��������. ����������� 1.2 ��������.

���������� ���� ��������� ������ ��������� ����������
������������� ������������ ����������� $o\in V$ (�������
�����������, ���� � �������� ��������� �������� ��������� ���
������ $o\in V$, ���� ������� ������ ������ ��� ��������� � �����
$o$), �� �� ����� ����.\vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% subsection 1.3


{\bf 1.3. ������ ��������� �����������.} ����� $o\in V$ ---
������ ������������� ������������������ ������������ �����������.
������, ���� $\varphi\colon V^+\to V$ --- �������� ����� $o$,
$\varphi^{-1}(o)=E\subset V^+$ --- �������������� �������,
������������, ��� $V^+$ � $E$ --- �������, ������ $E$ ���������
������� ���������������� ������� $\mu=\mathop{\rm mult}_oV$ �
 ${\mathbb P}^M$.

�����, ����� $D\ni o$ --- ������ �������� ��������, $D^+\subset
V^+$ --- ��� ����������� ��������, $D^+\sim-\nu E$ ���
$\nu\in{\mathbb Z}_+$, ��� ��� ����� ����� ���������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD=\mu\nu.
$$

{\bf ����������� 1.3.} {\it �����������, ��� ����
$(V,\frac{1}{n}D)$ �� ��������� � ����� $o$, ������� ��������
������������� ������� �������������� ����������� ���� ����. �����
����� ����� ����������� }
\begin{equation}\label{a2}
\nu>n.
\end{equation}

{\bf ��������������.} ����������� ���������: $\nu\leq n$. �����
���� $(V^+,\frac{1}{n}D^+)$ �� ���������, ������ ����� �����
�������������� ����������� ���� ���� (�. �. ����� ������������
����������� �������� $D^+$) ���������� � �������������� ��������
$E$. � ���� ��������� ������������� ���� $(E,\frac{1}{n}D^+_E)$,
��� $D^+_E=D^+|_E$, �� ��� ���������. ����� $H_E=-E\,|\,_E$
--- ���������� ������ $\mathop{\rm Pic}E$, �. �. ������������
������� $E$ ������������ �������� $E\subset{\mathbb P}^M$. �����
$$
D^+_E\sim-\nu E\,|\,_E=\nu H_E.
$$
��������� $\nu\leq n$, �� ��� ������������ ����
$(E,\frac{1}{n}D^+_E)$ ������������ ����������� 1.2.
�������������� ���������.

{\bf ��������� 1.1.} �� ��������� ��������� �������������, �����
�������, ��� ����� �������� ������ ��������������� ��������, ����
� ��������� �������� ��������� ��� $E$, --- ��� �����������
$\nu>\frac{n}{2}$, ������� ������� ������, ��� (\ref{a2}).
�������, � ����������� (\ref{a2}) ������������ ��� ����������
������������ ������������ �� �������� ������������� ����.

{\bf �������������� ������� 4.} �����������, ��� ����
$(V,\frac{1}{n}D)$ �� ���������. � ���� ����������� � [1], �������
�� ������������ ����������� ����� ���� ������ ������ ����� $o$.
������� $D\sim-nK_V$ ����� ������� ������������. ��������
����������� 1.3, ����� �����������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD>2n,
$$
������ ���������������� ������� �������� $D$ ����
$$
\mathop{\rm deg}D=(D\cdot(-K_V)^{\rm dim V-1})=2n.
$$
����� �������, $\mathop{\rm mult}_oD>\mathop{\rm deg}D$, ���
���������� (��. ��������� ���������� � [2, ��. II]). ������������
���������� �������.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%         section 2


\section{��������� ������ �������� � ������������ �����}

{\bf 2.1. ����������� �������� �� ���������.} �����
$Q\subset{\mathbb P}^M$ --- ������������� ��������,
$H_Q\in\mathop{\rm Pic}Q$ --- ����� ������������� �������,
$B\subset Q$ --- ������������ ���������������.

{\bf ����������� 2.1.} ������, ��� ����������� ������� $D$ �� $Q$
������������� {\it �������} $H(n)$ ({\it ������������} $B$), ���
$n\geq 1$ --- ������������� ����� �����, ���� ��� ����� �����
������ ��������� $p\in B$ �������� �������������� $F(p)\subset
E_p$ � �������������� �������� $E_p=\varphi^{-1}_p(p)$ ��������
$\varphi_p\colon Q_p\to Q$ ����� $p$, ��� ������� ���������
�����������
\begin{equation}\label{b1}
\mathop{\rm mult}\nolimits_pD+\mathop{\rm
mult}\nolimits_{F(p)}\widetilde D> 2n,
\end{equation}
��� $\widetilde D\subset Q_p$ --- ����������� �������� ��������
$D$.

�������, ��� ������� $D$ �� �������������� ������������, � �����
$n$ �� ������� �� ����� $p$. �������������� $F(p)$ �������������
������� �� ����� $p$; ��� ����� ��������� ��������������� �
����������. ����� $l\geq 1$ --- ������� ���������������� �
${\mathbb P}^M$, ���������� $D$ �� $Q$, �. �.
$$
D\sim lH_Q.
$$

{\bf ����������� 2.1.} {\it ����� $\mathop{\rm dim}B\geq 3$.
�����������, ��� ����������� ������� $D$ ������������� �������
$H(n)$ ������������ $B$. ����� ����� ����� ��������� �����������:
����

{\rm 1) } ��������� ����������� $l> 2n$ (���� ������ �����
�������� �������), ����

{\rm 2) } ���������� ������������ ������� $Z\subset Q$, �������
���������� ��������������� $B$, �����, ��� ��� ����� ������
��������� $p\in B$ � �������� ������������
$$
F(p)=\widetilde Z\cap E_p,
$$
��� $\widetilde Z\subset Q_p$ --- ����������� ��������, ������
$Z$ ������ � ������� $D$ � ����������
$$
a>2n-l
$$
(�. �. ����� ����� ������������� $D=aZ+D^*$, ��� $D^*$ ��
�������� $Z$ �����������; ���� ������ ����� �������� �������)}.

{\bf ��������������.} ����� �����������, ��� ������� ������ ��
�����������, �. �.  $l\leq 2n$. � �������� ���� ������������ ���
����� ������ ��������� $p\in B$ ����� $\Lambda_p\subset |H_Q|$
--- ����� ������������ �������, ����������� ��������
$\widetilde\Lambda_p$ �������� �� $Q_p$ �������� �� $E_p$
�������������� $F(p)$, �. �.
$$
\widetilde\Lambda_p\cap E_p=F(p).
$$

�������������� ������� $E_p$ ���� �������������� ������������
������������ $T_pQ\cong{\mathbb C}^{M-1}$. �����
$$
[F(p)]\subset T_pQ
$$
--- ��������������, �������������� ������� ���� $F(p)$. ����������
������ $T_pQ$ ���  {\it ���������} ����������� ������������ (�
��������� �������� ����� ${\mathbb C}^M\subset{\mathbb P}^M$) �
����� $\overline{T_pQ}\subset{\mathbb P}^M$ --- ��� ���������
(�������������� � ${\mathbb P}^M$, ����������� � $Q$ � �����
$p$). ��������������, �����
$$
\overline{F(p)}=\overline{[F(p)]}\subset\overline{T_pQ}
$$
--- ��������� ��������������� $[F(p)]$. ��� --- ��������
��������������� � ${\mathbb P}^M$ ������������� ���. ��������
������, ��� �������� ������������ (� ��������) ����� $\Lambda_p$
����
$$
\mathop{\rm Bs}\Lambda_p =\overline{F(p)}\cap Q.
$$
��������� ��� ������������ �������� $\Theta(p)$. �������
$$
Z=\overline{\bigcup_{p\in B}\Theta(p)}
$$
(��� ����������� ������� �� ������ ���������� ���������
������������ $B$, � ����� ������ �������� ���������).

�������, ��� $\Theta(p)$ --- �������� � $\overline{F(p)}$,
�������, ����� �������, ���� ������ ����� $p$ �, ����� �������,
������ ������� ����� (���������� $p$). ��������� $\mathop{\rm
dim}B\geq 3$, ��� ���� ��������� ����� ������ ��������� $p_1\neq
p_2$ ����� $\Theta(p_1)\neq\Theta(p_2)$, ������ �������, ��� ����
$Z=Q$, ���� $Z$ --- ������� ������� �� $Q$.

����� $R\in\Lambda_p$ --- ����� ������� �����, $D_R=D\,|\,_R$ ---
����������� �������� $D$. � ���� ����������� (\ref{b1}) �����
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_pD_R>2n.
$$
������������ $R$ ������� � ����� $p$. ����� �������������
$$
D_R=a\Theta(p)+D^*_R,
$$
��� $D^*_R$ �� �������� $\Theta(p)$ �����������, $a\in{\mathbb
Z}_+$ --- ��������� ��������������� �����. ��������� $\Lambda_p$
�������� $\Theta(p)$ � ���������� �������, �����
$$
a=\mathop{\rm mult}\nolimits_{\Theta(p)}D.
$$
� ���������, ���� $a\geq 1$, �� $Z$ --- ������� �� $Q$.

{\bf ����� 2.1.} {\it ����� ����������� $a\geq 1$.}

{\bf ��������������.} ����������� ���������: $a=0$. ����� ������,
���
$$
\Theta(p)=R\cap T_pR.
$$
����������� $\Theta(p)\cap D_R$ ����� �� $R$ ������������� ���,
��� ��� ����������� ���� $(\Theta(p)\circ D_R)_R$ ���������
���������. �������
$$
2l=\mathop{\rm deg}(\Theta(p)\circ D_R)\geq\mathop{\rm
mult}\nolimits_p(\Theta(p)\circ D_R)>4n,
$$
��� ��� ������� ���������� ���� ������������� �����������
����������� $l>2n$. ������������ ���������� �����.

����� ������
$$
D=aZ+D^*,
$$
��� ������� $D^*$ �� �������� $Z$ �����������. �����
$$
Z\sim l_ZH_Q,\quad D^*\sim l^*H_Q,
$$
��� ��� ����������� ���������
$$
l=al_Z+l^*.
$$

{\bf ����� 2.2.} {\it $Z\subset Q$ ���� ������������ �������:
$l_Z=1$}.

{\bf ��������������.} ��������� $Z$ ���� ������� �������,
���������
$$
\Delta=\bigcup_{p\in B}\overline{F(p)}
$$
(����������� ������� �� ���������� ��������� ������������ $B$) ��
����� ���� ������ � ${\mathbb P}^M$. ��������� $\mathop{\rm
dim}B\geq 3$, � ���� ����������� ��������� �� ������� ����
��������� ��������� �������� �������������� ������������� ���. �
���� ��������� ������������ ����� ��������� $\Delta$ � ${\mathbb
P}^M$ ���� ��������������. ���� ����� ��������.

{\bf ����� 2.3.} {\it ���� ����������� $S\subset{\mathbb P}^3$
�������� ��������� ��������� ������, �� $S$ --- ���������}.

{\bf ��������������.} ����� ����� ����� ����������� $S$
(���������� ���� �� �����) �������� ���������� ��������� ������,
� ������ ������ ��������. ����� ��������.

� ���� ����� 2.2 ��� ����� ����� $p\in B$ �����
$$
\Theta(p)=Z\cap R
$$
(����� ����� ���������� � ������, ������ ������ ����� ������� $Q$
�������� ���������������� ������������� ���). �������
$D^*_R=D^*\,|\,_R$. ��������,
$$
\mathop{\rm deg}D^*_R=2(l-a)=2l^*.
$$
���������, ��� � �������������� ����� 2.1, �. �. ���������
$D^*_R$ � $Z$ (��� � $\Theta(p)$ ������ $R$), �������� ������
$$
2\mathop{\rm mult}\nolimits_pD^*_R\leq\mathop{\rm deg}D^*_R,
$$
��� ��� ����� ������������� ���������� ���� �����������
$$
2a+l^*=a+l>2n.
$$
������� $Z$ �������� $B$ � �����, ����� �������, ���� ������
�����. �������������, ��� ����� ����� $p\in B$ ������� $Z$ ������
� $p$ � ������
$$
F(p)=\widetilde Z\cap E_p,
$$
��� � ������������. ����������� 2.1 ��������� ��������.

{\bf ��������� 2.1.} ���� $\mathop{\rm dim}B\geq 4$, �� ��������
�� �� ����������� ���� ����������� ����������� 2.1 ��� ������,
����� $Q$ --- ����� ��� ������������� ���������. \vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    subsection 2.2


{\bf 2.2. ������������ ������� ������� ���������.} ����� $o\in V$
--- ������ ������������� ������������ �����������,
$\varphi\colon V^+\to V$ --- �������� ����� $o$,
$E=\varphi^{-1}(o)\subset V^+$ --- �������������� �������. �����
$D\ni o$ --- ������ ������������ ��������, ������ ����
$(V,\frac{1}{n}D)$ ����� ����� $o$ ������������� �������
�������������� �����������. ����� $D^+\subset V^+$ ---
����������� �������� $D$ �� $V^+$, $D^+\sim-lE$. �����������, ���
$l\leq 2n$, ��� ��� ���� $(V^+,\frac{1}{n}D^+)$ �� ��� ���������.
����� $S\subset E$ --- ����� �� ��� ������������ ����������� ����
����, ������� ������������ ����������� (� ���������, $S$ ---
������������� ����� �� ��� ������������ �����������),
$\mathop{\rm dim} S\geq 3$. � ���������, ��������� �����������
\begin{equation}\label{b2}
\mathop{\rm mult}\nolimits_SD^+>n.
\end{equation}
����� �����

{\bf ����������� 2.2.} {\it ����������� ���� �� ��������� ����
������������:

{\rm 1)} $S$ --- ������������ ������� �������� $E$,

{\rm 2)} �������� ������������ ������� $Z\supset S$ �������� $E$,
��������������� �����������}
\begin{equation}\label{b3}
\mathop{\rm mult}\nolimits_ZD^+>\frac{2n-l}{3}.
\end{equation}

{\bf ��������������.} ���� $S\subset E$ --- ������� �������, �� �
���� ����������� (\ref{b2}) ����� $l>nl_S$, ��� $S\sim l_SH_E$, �
$H_E=-E\,|\,_E$ --- ������������ ������� �������� $E$. ���������
�� ������������� $l\leq 2n$, ������ �������, ��� $l_S=1$, �. �.
$S$ --- ������������ ������� (������ 1)).

�����������, ��� $\mathop{\rm codim}_ES\geq2$, �. �. ������ 1) ��
�����������. ��������� ���� $(V^+,\frac{1}{n}D^+)$ �� ���
��������� � $S$, ��� ����� ����� $p\in S$ �������� ��������������
$\Pi(p)\subset E^+_p$ � �������������� ��������
$E^+_p=\varphi^{-1}_p(p)$ ��������
$$
\varphi_p\colon V^+_p\to V^+
$$
����� $p$, ��������������� �����������
\begin{equation}\label{b4}
\mathop{\rm mult}\nolimits_pD^+ +\mathop{\rm
mult}\nolimits_{\Pi(p)}D^+_p>2n,
\end{equation}
��� $D^+_p\subset V^+_p$ --- ����������� �������� ������������
�������� ����� $p$. ����� $E(p)\subset V^+_p$ --- �����������
�������� �������������� ��������.

{\bf ����� 2.4.} {\it ��� ����� $p$ ������ ���������}
$$
\Pi (p)\neq E(p)\cap E^+_p.
$$

{\bf ��������������.} � ��������� ������ ��� �����������
$D^+_E=(D^+\circ E)$ ����� �����������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_pD^+_E>2n,
$$
������������ ��� ����� ���� ����� $p\in S$. ��������� ����� $p$
��������� ��������� ������������� �����������, ��� ����� �����
������� $D^+_E$ �� �������� ������������ ������� $E\cap T_pE$
�����������. ������, ��� � �������������� ����� 2.1, ����������
�������, ��� $l>2n$ --- ������������. ����� ��������.

������� ��� ����� ������ ��������� $p\in S$
$$
F(p)=\Pi(p)\cap E(p).
$$
����� ����� �����������
\begin{equation}\label{b5}
\mathop{\rm mult}\nolimits_pD^+ +\mathop{\rm
mult}\nolimits_{F(p)}D^+_p>2n,
\end{equation}
����� ������, ��� (\ref{b4}), �
\begin{equation}\label{b6}
\mathop{\rm mult}\nolimits_pD^+_E+\mathop{\rm
mult}\nolimits_{F(p)}\widetilde D^+_E>2n,
\end{equation}
���������� �� (\ref{b5}), ��� $\widetilde D^+_E\subset E(p)$ ---
����������� ��������. ��� �������������� �������, ����������� �
����������� (\ref{b6}), ���������� � �������� �������� $E$, �. �.
�� ������� ��������� � $V^+$ � $V^+_p$.

�������� � �������� $D^+_E$ �� �������� $E$ ����������� 2.1. �
���� ��������� ������������� ������� ������ �� �����������, ���
��� ���������� ������������ ������� $Z\supset S$, ����������
�������������� $F(p)$ �� $E_p=E(p)\cap E^+_p$, �. �.
$F(p)=\widetilde Z\cap E_p$. ������� $Z$ ������ � ������� $D^+_E$
� ���������� ������ �������, ��� $2n-l$. � ���������,
$\mathop{\rm mult}_ZD^+>0$.\vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    subsection 2.3

{\bf 2.3. ������ ��������� ������������� �������.} �������
����������� (\ref{b3}). � �������������, � ��� �����������
����������� 2.2 �������� � ����� $o$. ������������� ������������
����������� ������������ ������������ ������ ��������
$$
\{z^2_1+\dots+z^2_{M+1}=0\}\subset{\mathbb C}^{M+1},
$$
��� ��� ����� �������, ��� ������� $D$ �������� ����������
$$
f=q_l(z_*)+q_{l+1}(z_*)+\dots,
$$
��� �������� $q(z_*)=\sum\limits^{M+1}\limits_{i=1}z^2_i$ �� �����
�� ���� �� ����������� $q_i$ (���� $q_i\neq 0)$. ��������
���������� $z_*$ ����� ������������� ��� ���������� ���������� ��
�������������� �������� �������� ������ ���������
$$
o=(0,\dots,0)\in{\mathbb C}^{M+1} ,
$$
� ����� $\{q=0\}\subset{\mathbb P}^M$ ���� � ��������
�������������� �������� $E$. ������� $D^+_E$ �������� ����������
$$
q_l\,|\,_E=0.
$$
����� $\lambda(z)=0$ --- ��������� ������������� �������
$Z\subset E$. � �������� ��������� $z_*$ ����������� 2.1
����������, ��� ��� ���������� $a_l>2n-l$
$$
q_l=\lambda^{a_l}g+qw,
$$
��� $g(z_*)$ � $w(z_*)$ --- ���������� ���������� ���������������
��������. ������� $q_l$ �� $q_l-qw$, ����� �������, ���
$\lambda^{a_l}$ ����� ��������� $q_l$. ������ �������, ���
����������� �������� $D^+_l$ ��������
$$
D_l=\{q_l\,|\,_V=0\}
$$
����� ����� $Z$ ��������� $\geq a_l>2n-l$. ������ ������� $D_l$
���� ����������� ������ $V$ � ������� $\{q_l=0\}$ (���������
$q_l$ ���������), ��� ��� �� ����������� (\ref{b6}) ���
$D^+_E=(D^+_l)\,|\,_E$ ������� ����������� (\ref{b5}) ��� $D^+_l$,
��� $D^+_l\subset V^+$ --- ����������� �������� $D_l$ �� $V^+$.
����� �������, ����������� ��������� �����������: \vspace{0.3cm}


{\it ��� �������� $D^+$ � $D^+_l$ ������������� �����������
(\ref{b5}) ��� ����� ������ ��������� $p\in S$.} \vspace{0.3cm}

� ���� ���������� ����������� (\ref{b5}) (� ���� ���������� �����,
���
$$
\mathop{\rm
mult}\nolimits_pD^+_l=\mathop{\rm
mult}\nolimits_p(D^+_l)\,|\,_E=\mathop{\rm
mult}\nolimits_pD^+_E\geq\mathop{\rm mult}\nolimits_pD^+,
$$
� ���������� ��� $F(p)$) �������
\begin{equation}\label{b7}
\varphi^*(f_{l+1}\,|\,_V=0)-lE,
\end{equation}
���
$$
f_{l+1}=q_{l+1}(z_*)+q_{l+2}(z_*)+\dots=f-q_l(z_*),
$$
�����
������������� ����� �����������. ����� $k\geq 1$ --- ������
������, ��� �������� $q_{l+k}(z_*)\,|\,_E\not\equiv 0$,
$$
D_{\geq l+k}=\{f_{l+k}\,|\,_V=0\},
$$
$f_{l+k}=\sum\limits^{\infty}_{i=l+k}q_i(z_*)$. ��� ������������
��������� $D^+_{\geq l+k}$ ����� $D^+_{\geq l+k}\sim-(l+k)E$.
����� ����, ��� �������� ����, ������� $D^+_{\geq l+k}+kE$
������������� ����������� (\ref{b5}) � ����� ������ ���������
$p\in S$. ���������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_pE=\mathop{\rm
mult}\nolimits_{F(p)}E(p)=1,
$$
������� $D^+_{\geq l+k}$ ��� �� ���� ������������� �����������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_pD^+_{\geq l+k}+\mathop{\rm
mult}\nolimits_{F(p)}(D^+_{\geq l+k})_p>2(n-k)
$$
(������ ������ $p$ � �������� ��������, ��� ������, �����������
�������� �� ������������ $V^+_p$).

��� ��������� �������� ����������� (\ref{b3}) ��������� ���������
�� $l\leq 2n$. ���� �������� --- ������ $l=2n$: � ���� ������ $Z$
������ � $D^+_E$ � ������������� ����������, �. �. $\mathop{\rm
mult}_ZD^+>0$, ��� � ������������ � 2) ��� $l=2n$.

����, � �������� ���� ������������, ����������� �����������
$$
l+k\leq 2(n-k),
$$
�� � ���� ������������� �������� �����
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_ZD^+_{\geq
l+k}>\frac{2(n-k)-(l+k)}{3}=\frac{2n-l}{3}-k,
$$
��� ��� ������� (\ref{b7}), ���������� ���������� �� ��������� $f$
��������� �������� $D^+_E$, �������� $Z$ � ���������� ������
�������, ���
$$
k+\mathop{\rm mult}\nolimits_ZD^+_{\geq l+k}>\frac{2n-l}{3}
$$
(��������� ������� (\ref{b7}) �������� � ���������� $k$
�������������� �������� $E$), ������, � ������ �����������
$\mathop{\rm mult}_ZD^+_l>2n-l$, �������� ������� �����������
(\ref{b3}).

���� ��������� �����������
$$
l+k>2(n-k),
$$
�� �� �� ����� ��������� ������������� ��������, ������
����������� ������
$$
k>\frac{2n-l}{3},
$$
��� ���, ��������� ��� ����, ����� �������� ����������� (\ref{b3})
������ ������, ��� ������� (\ref{b7}) �������� ��������������
�������� $E$ � ���������� $k$.

����������� 2.2 ��������� ��������.

{\bf ��������� 2.2.} ����������� ����������� 2.2 ��������
������������ ��� ������ ���������� ����������� ������������
�����������, ����� $E$ --- ����� ��� ������������� ���������, ����
������������, ��� $\mathop{\rm dim}S\geq 4$. ������� ��������� �
�������������� �� ���������. ����� ����������� ����� ������������
������� ������ $o\in V$ (���������� ���� ����� $o$) � ���������
����������� 2.2 � ����� �������.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    section 3

\section{���������� ������������ �����������}

{\bf 3.1 ������ ��������� �  ������� �����.} �����
$V\subset{\mathbb P}= {\mathbb P}^{M+1}$ --- ����������������
������� $M+1$, ��� $M\geq 8$, $o\in V$ --- �������������
������������ �����������, ��������������� �������� ������������
(R2.1-R2.2). �������
$$
\varphi\colon V^+\to V
$$
--- �������� ����� $o$, $E=\varphi^{-1}(o)$ --- ��������������
��������. �������� $H$ ���������� ����� ������������� �������
$V$. �� ���������� ������������� �. 0.3, � ���������, $q_2=0$ ����
��������� ������������ ������ � ����� $o$.

����� $D\sim nH$ --- ����������� �������, $D^+$ --- ���
����������� ��������, $D^+\sim nH-\nu E$ ��� ���������� $\nu\geq
1$.

{\bf ����������� 3.1.}  {\it ����� ����� �����������
$\nu\leq\frac32 n$}.

{\bf ��������������.} ����������� ������� �� �������� $D$, ���
��� ��� ����������� �������� ����� �������, ��� $D$ --- �������
�������. ����������� ���������: $\nu>\frac32n$. ��� �������
����������������� �������� $D_2=\{q_2\,|\,_V=0\}$ �����
$$
D^+_2\sim 2H-3E,
$$
��� ��� $D_2$ � $D$ --- ��������� ������� ��������.
�������������, ���������-������������� ����������� $D\cap D_2$
����� ������������� ��� � ��������� ��������� ����������� ����
$Y=(D\circ D_2)$ ������������� ���, ��������������� �����������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}_o}{\mathop{\rm
deg}}Y\geq\frac32\cdot\frac{2\nu}{n(M+1)}>\frac{9}{2(M+1)}.
$$
���������� ������ ����������� ���������������� �������
$$
\Lambda_k=\left |\sum^{k-2}_{i=0}s_if_{k-i}=0\right |,
$$
��� $f_j=q_2+\dots+q_j$ --- ����� ������� ��������� $V$ � �����
$o$, $s_i$ ��������� ��������� ���� ���������� ����������� ��
��������� $z_*$ ������� $i$. � ���� ������� ������������ (R2.1)
��� $r=2,\dots,M$ �����
$$
\mathop{\rm codim}\mathop{\rm Bs}\Lambda_k=k-1,
$$
��� ��� ������� �������� [2,4] ������ ������������������
������������ ���������������
$$
Y_2=Y,Y_3,\dots,Y_{M-1}
$$
������������� $\mathop{\rm codim}Y_i=i$, ��� $Y_{i+1}\subset Y_i$
���� ������������ ���������� ������������ ����� $(Y_i\circ
D_{i+2})$, $D_j\in\Lambda_j$ --- ���������������� ������� ������
���������, ������ � �������� $Y_{i+1}$ �������� ���������� �
������������ ���������� $\mathop{\rm mult}_o/\mathop{\rm deg}$.
����������� ���� $(Y_i\circ D_{i+2})$ ��������� ���������, ������
��� $\mathop{\rm codim}\mathop{\rm Bs}\Lambda_{i+2}=i+1$, ��� ���
����� ������� $D_{i+2}$ �� �������� $Y_i$. ����� ������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_{i+1}\geq\frac{i+3}{i+2}\cdot\frac{\mathop{\rm
mult}_o}{\mathop{\rm deg}}Y_i,
$$
��� ��� ��� ���������� ���������������, ������ $Y_{M-1}$,
�������� �����������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_{M-1}\geq\frac{\mathop{\rm mult}_o}{\mathop{\rm
deg}}Y\cdot\frac54\cdot\dots\cdot\frac{M+1}{M}>\frac98,
$$
���, �������, ����������. ���������� ������������ ����������
�����������. \vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  subsection 3.2


{\bf 3.2. �������� � ������������� �������.} ��������� � {\bf
�������������� ������� 5.} �����������, ��� ����
$(V,\frac{1}{n}D)$ ����� ����� $o$ ������������� �������
�������������� �����������. � ���� ���������� �����������
������-���� ����� ������������, ��� $D$ --- ������� �������.
�������� ������ ��� ����������� ����������� 3.1,
$\nu\leq\frac32n$, ��� ��� �� ��������� � �������� �. 2.2. ����
$(V^+,\frac{1}{n}D^+)$ �� ��� ���������, ���������
��������������� $S\subset E$ ���� ����� �� ��� ������������
����������� ���� ����. �������, ��� $S$ ����� ������������
����������� ����� ���� ������� ����� ������������, ��� ���
$\mathop{\rm dim} S\geq 4$.

{\bf ����������� 3.2.} {\it $S$ ����� ������������� �� ������ ����
� �������������� �������� $E$.}

{\bf ��������������.} ���� $S\subset E$ --- ������� �������, ��,
�������� ����������� 2.2, $S$ ���� ������������ ������� ��������
$E$. ����� $P\ni o$ --- ������������ �������������� � ${\mathbb
P}$, ���������� $S$ �� $E$, �. �.
$$
V^+_P\cap E=S,
$$
��� $V_P=V\cap P$, $V^+_P\subset V^+$ --- ����������� ��������.
����
$$
(V,V_P)
$$
���������, ��� ��� $D\neq V_P$ � ���������-�������������
����������� $D\cap V_P$ ����� ������������� ���. ��� ������������
����� $D_P=(D\circ V_P)$ ������������� ��� �����
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD_P=\mathop{\rm
mult}\nolimits_oD+2\mathop{\rm mult}\nolimits_SD^+>4n,
$$
��� ���, ��������� ��� ��� �������������� ����������� 3.1, ������
������������������ ������������ ���������������
$$
Y_2,Y_3,\dots,Y_{M-1},
$$
$\mathop{\rm codim}Y_i=i$, $Y_2$ --- ������������ ���������� �����
$D_P$, ��������������� �����������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_2\geq\frac{\mathop{\rm mult}_o}{\mathop{\rm
deg}}D_P>\frac{4}{M+1},
$$
� �������� ������������:
$$
\frac{\mathop{\rm mult}_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_{M-1}>\frac{4}{M+1}\cdot\frac54\cdot\dots\cdot\frac{M+1}{M}=1,
$$
��� ����������. ����������� ��������.

����, ����������� ������ ����������� ����������� 2.2: ��������
������������ ������� $Z\supset S$ �������������� �������� $E$,
��������������� ����������� (\ref{b3}). ����� $P\subset{\mathbb
P}$
--- ������������ ��������������, ���������� $Z$ �� $E$ (� ��� ��
������, ��� � � �������������� ����������� 3.2), $V_P=V\cap P\neq
D$. ��� ������������ ����� $D_P=(D\circ V_P)$ ������������� ���
�����
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD_P\geq\mathop{\rm
mult}\nolimits_oD+2\mathop{\rm
mult}\nolimits_ZD^+>\frac43(l+n)>\frac83n.
$$
� ���������, ���� ������ ������������ ��� ���������� ������������
����������� ����� �� ��������, ������� ������������� �
�������������� ����������� 3.1 � 3.2. (������ ������� ���
$(\mathop{\rm mult}_o/\mathop{\rm deg})Y_{M-1}$ ����������� ������
�������, ��� �� ��������� �������� ������������.) ������ �� �����
����������� ����
$$
(V_P,\frac{1}{n}D_P).
$$
� ���� ��������� ������������� �� ����������� ��������
$$
(V^+_P,\frac{1}{n}D^+_P)
$$
������������ �������� ����� $o$ �� ��� ���������, ������
��������������� $S\subset E_P=Z$ ���� ����� �� ��� ������������
����������� ���� ����. ����� �������, ���
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD^+_P\leq 4n,
$$
����� ������������ ���������� �������� ����� �� ������������, ���
� �������������� ����������� 3.2. ��� ����������� �������� �����
������� $S$ ������������ ������� �� ��� ������������ �����������
���� $(V^+_P,\frac{1}{n}D^+_P)$. �������� ��������� 2.2 (� � ����
����������� $\mathop{\rm dim}S\geq 4$) ����� ���������
����������� 2.2 � ��������� ���� � �������� ������������: ����

1) $S$ --- ������������ ������� �������� $E_P$, ����

2) �������� ������������ ������� $Z^*\supset S$ �������� $E_P$,
��������������� �����������
\begin{equation} \label{�1}
\mathop{\rm mult}\nolimits_{Z^*}D^+_P>\frac{2n-l^*}{3},
\end{equation}
��� $D^+_P\sim nH_P-l^*E_P$. ��������, ��� ����� ����� $l^*$
������������� �����������
$$
l^*>\frac23(l+n)>\frac43n.
$$
\vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% subsection 3.3


{\bf 3.3. ��������� ������������ �������.} ����� $R\subset
P={\mathbb P}^M$ --- ������������ ��������������, ���������� ��
$E_P$ � ������ 1) ��������������� $S$, � ������ 2) ---
��������������� $Z^*$.

�����������, ��� ����������� ������ 1). � ���� ����������
����������
\begin{equation}\label{c2}
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD_P>\frac83n \quad\mbox{�}\quad
\mathop{\rm mult}\nolimits_SD^+_P>n
\end{equation}
�� �������� $D_P$ � ���� �����, ��� ������� $V_R=V_P\cap R$ �� ��
�������������, ����� �������, ��� (��������, ����������) �������
$D_P$ �� �������� $V_R$ ����������� (����� ������ ��� ����������,
������ ��� ����������� (\ref{c2}) ����� ������ ���������).
 ������� ����������� $D_P\cap V_R$ ����� ������������� ��� ��
$V_P$ � ��������� ��������� ����������� �������������� ����
$$
D_R=(D_P\circ V_R),
$$
��������������� �����������
\begin{equation}\label{c3}
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD_R\geq\mathop{\rm
mult}\nolimits_oD_P+2\mathop{\rm
mult}\nolimits_SD^+_P>\frac{14}{3}n.
\end{equation}
� ���� ���������� ���������� ����������� ����� �������, ���
$D_R=Y$ --- ������������ ������������, �. �. ������� ������� ��
$V_R$. ������ $V_R$ ���� ������� ���������������� $V$ ��������
���������������� $R\subset{\mathbb P}$ ������������� ���. �����
$D_2\,|\,_R=\{q_2\,|\,_{V_R}=0\}$ --- ������ ����������������
������� ������������ $V_R$. �������� ������� ������������ (R2.2),
$D_2\,|\,_R$ ���������� � �� ������������� ����������� (\ref{c3}),
�. �.
$$
Y\neq D_2\,|\,_R
$$
� ������ $Y\not\subset D_2=\{q_2\,|\,_V=0\}$. ����� $Y_4$ ---
������������ ���������� ������������ ��������������� �����
$(Y\circ D_2)$, ������� ������������ ��������� $\mathop{\rm
mult}_o/\mathop{\rm deg}$. ����������� �����������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}\nolimits_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_4>\frac{7}{M+1}.
$$
������ ���������� ��� ����: ������ ������������������ ������������
���������������
$$
Y_4,Y_5,\dots,Y_{M-1},
$$
$\mathop{\rm codim}_VY_i=i$, $Y_{i+1}$ ���� ������������
���������� ������������ ����� $(Y_i\circ D_{i+2})$, ���
$D_{i+2}\in\Lambda_{i+2}$ --- ����� ���������������� �������. ���
$Y_{M-1}$ ����� ������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}\nolimits_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_{M+1}>\frac{7}{M+1}{\cdot\frac{M+1}{6}}=\frac76,
$$
��� ����������. ������������ ��������� ������ 1).

����������, �������, �������� ������� ������ 2). �����
������������� ����������� �������, ������� ������������� �������
$D_P$ �� $V_P$: �����������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD_P>\frac83n
$$
� ������������� �� ��� ������������ ����������� ����
$(V^+_P,\frac{1}{n}D^+_P)$ � ������� $S$. �������, ��� ����,
$V_R=V_P\cap R$. ��������� $\mathop{\rm mult}_oV_R=2<\frac83$ �
���� $(V^+_P,V_R)$ ��� ���������, ����� �������, ��� �������
$D_P$ �� �������� ������������ ������� $V_R$ �����������. �������
��������� ��������� ����������� ���� ������������� ���
(������������ $V_P$) $D_R=(D_P\circ V_R)$, ���������������
�����������
\begin{equation}\label{c4}
\mathop{\rm mult}\nolimits_oD_R\geq\mathop{\rm
mult}\nolimits_oD_P+\mathop{\rm
mult}\nolimits_{Z^*}D^+_P>\frac{28}{9}n.
\end{equation}
��� � � ������ 1), ����������� (\ref{c4}) ����������, ����� (�
���� ������� ������������ (R2.2)) ���������, ��� ����������
$Y=Y_3$ ����� $D_R$, ������� ������������ ��������� $\mathop{\rm
mult}_o/\mathop{\rm deg}$, �� ���������� � ��������
$D_2=\{q_2\,|\,_V=0\}$, ��� ��� ��������� ��������� �����������
����
$$
(Y_3\circ D_2),
$$
� ������� �������� ������������ ���������� $Y_4$, ���������������
�����������
\begin{equation}\label{c5}
\frac{\mathop{\rm mult}\nolimits_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_4>\frac{14}{3(M+1)}.
\end{equation}
� ���� ������� ������������ (R2.2) ��� ��������� ����� ���������
��� ��� ����. ���������� �������� ������ ���. ���������������
$$
W_{2\cdot 3}=\{q_2=0\}\cap\{q_3=0\}\cap V_R
$$
�����������, ����� ������� $\mathop{\rm deg}W_{2\cdot 3} =6(M+1)$
� ���������
$$
\mathop{\rm mult}\nolimits_oW_{2\cdot 3} =24,
$$
��� ��� $W_{2\cdot 3} \neq Y_4$. ��������� �� ����������
$$
Y_4\subset\{q_2=0\}\cap V_R,
$$
������ �������, ��� $Y_4\not\subset\{q_3=0\}$, ��� ���
$$
Y_4\not\subset D_3=\{(q_2+q_3)\,|_V=0\}
$$
� ��������� ��������� ����������� ���� $(Y_4\circ D_3)$
������������� 5, ��������� ������������ ���������� $Y_5$ ��������
������������� �����������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}\nolimits_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_5>\frac{56}{9(M+1)}.
$$
����� ����� �� ������� ���������� ������������ ���������������
$$
W_{2\cdot 3\cdot 4}=W_{2\cdot 3}\cap\{q_4=0\}
$$
� �������� ������������ ��������������� $Y_6\subset V$
������������� 6, ��������������� �����������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}\nolimits_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_6>\frac{70}{9(M+1)}.
$$
�������, ������������ ���������������
$$
W_{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=W_{2\cdot 3\cdot 4}\cap\{q_5=0\},
$$
�������� ������������ ��������������� $Y_7\subset V$
������������� 7, ��������������� �����������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}\nolimits_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_7>\frac{28}{3(M+1)}.
$$
���� $M=8$, �������� ������������. ���� $M\geq 9$, �� ���������
������� ���������������� ��������� � ������������ �������� (��� �
�������������� ����������� 3.1), ��������� $Y_7$ � ������
����������������� ���������� $D_9,\dots$. ��� ������������ ������
$Y_{M-1}$ �������� ������
$$
\frac{\mathop{\rm mult}\nolimits_o}{\mathop{\rm
deg}}Y_{M-1}>\frac{28}{3(M+1)}\cdot\frac{M+1}{9}=\frac{28}{27}.
$$
���������� ������������ ��������� ���������� ������ 2) �
�������������� ������� 5.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% references

{\small

\section*{����������}

\noindent 1. �������� �.�., �������������� ��������� ������
������������ ����. �������� ���, ���. �����. 2005. �. 69, no. 6,
153-186. \vspace{0.3cm}

\noindent 2. �������� �.�., ������������� ������� ������������. I.
������������ ����. ������ �����. ����. 2007. �. 62, ���. 5. �.
15-106. \vspace{0.3cm}

\noindent 3. �������� �.�., ������������� ������� ����������������
���� � �������������� �������������. �����. �������. 2002. �. 193,
no. 3. �. 135-160. \vspace{0.3cm}

\noindent 4. Pukhlikov A.V., Birational automorphisms of Fano
hypersurfaces, Invent. Math. {\bf 134} (1998), no. 2, 401-426.
\vspace{0.3cm}

\noindent 5. Cheltsov I.A., Fano varieties with many self-maps,
Adv. Math. {\bf 217} (2008), no. 1, 97-124. \vspace{0.3cm}

\noindent 6. Koll{\'a}r J., et al., Flips and Abundance for
Algebraic Threefolds, Asterisque 211, 1993. \vspace{0.3cm}

\noindent 7. ������� �.�. ���-������������ ������ ��
�����������������. �����. �������. 2001. �. 192, no. 8. �.
155-172. \vspace{0.3cm}}


\end{document}
