\documentclass[12pt,small]{ncc}
\usepackage{amssymb,amsmath,indentfirst,mathrsfs}
\usepackage[margin=2.5cm,nofoot]{geometry}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}

\pagestyle{myheadings}
\markboth{С. Г. ТАНКЕЕВ}{О СТАНДАРТНОЙ ГИПОТЕЗЕ}

\newcommand{\ab}{\operatorname{ab}}
\newcommand{\ad}{\operatorname{ad}}
\newcommand{\Alb}{\operatorname{Alb}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\an}{\operatorname{an}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\anti}{\operatorname{anti}}
\newcommand{\analytic}{\operatorname{analytic}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\cc}{\operatorname{c}}
\newcommand{\Card}{\operatorname{Card}}
\newcommand{\Cent}{\operatorname{Cent}}
\newcommand{\cd}{\operatorname{cd}}
\newcommand{\CH}{\operatorname{CH}}
\newcommand{\charr}{\operatorname{char}}
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\cont}{\operatorname{cont}}
\newcommand{\const}{\operatorname{const}}
\newcommand{\DC}{\operatorname{DC}}
\newcommand{\ddef}{\operatorname{def}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\DR}{\operatorname{DR}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\et}{\operatorname{et}}
\newcommand{\Ex}{\operatorname{Ex}}
\newcommand{\GG}{\operatorname{G}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\GHC}{\operatorname{GHC}}
\newcommand{\GHodge}{\operatorname{GHodge}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\gl}{\operatorname{gl}}
\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}
\newcommand{\Hg}{\operatorname{Hg}}
\newcommand{\Hodge}{\operatorname{Hodge}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Hilb}{\operatorname{Hilb}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\Imm}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Int}{\operatorname{Int}}
\newcommand{\isog}{\operatorname{isog}}
\newcommand{\Jac}{\operatorname{Jac}}
\newcommand{\sK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Km}{\operatorname{Km}}
\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}
\newcommand{\Lef}{\operatorname{Lef}}
\newcommand{\level}{\operatorname{level}}
\newcommand{\Lf}{\operatorname{Lf}}
\newcommand{\length}{\operatorname{length}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Norm}{\operatorname{Norm}}
\newcommand{\num}{\operatorname{num}}
\newcommand{\M}{\operatorname{M}}
\newcommand{\MT}{\operatorname{MT}}
\newcommand{\mult}{\operatorname{mult}}
\newcommand{\MumfordTate}{\operatorname{Mumford-Tate}}
\newcommand{\NS}{\operatorname{NS}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\pr}{\operatorname{pr}}
\newcommand{\Rad}{\operatorname{Rad}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Res}{\operatorname{Res}}
\newcommand{\sep}{\operatorname{s}}
\newcommand{\SO}{\operatorname{SO}}
\newcommand{\SSp}{\operatorname{Sp}}
\newcommand{\ttt}{\operatorname{t}}
\newcommand{\Td}{\operatorname{Td}}
\newcommand{\ttd}{\operatorname{td}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Sect}{\operatorname{Sect}}
\newcommand{\ssh}{\operatorname{sh}}
\newcommand{\Sim}{\operatorname{Sim}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\SL}{\operatorname{SL}}
\newcommand{\ssl}{\operatorname{sl}}
\newcommand{\smooth}{\operatorname{smooth}}
\newcommand{\sso}{\operatorname{so}}
\newcommand{\ssp}{\operatorname{sp}}
\newcommand{\Ssp}{\operatorname{Sp}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\ssss}{\operatorname{ss}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Tate}{\operatorname{Tate}}
\newcommand{\tors}{\operatorname{tors}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\un}{\operatorname{un}}
\newcommand{\Zar}{\operatorname{Zar}}
\newcommand{\Zariski}{\operatorname{Zariski}}

% Bourbaki letters
\renewcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\begin{document}

\title{О стандартной гипотезе
 типа Лефшеца\\
для
компактификации комплексной абелевой
схемы над аффинной кривой
\thanks{Работа выполнена при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
(грант N 06-01-00181).}}
\author{\textsc{С. Г. Танкеев}}
%

\maketitle

\begin{abstract}
Для компактификации $\pi:X\to C$ (с полустабильными слоями)
абелевой схемы $\pi':X'\to C'$ с главной поляризацией
и относительной размерности $n$ над аффинной кривой $C'\hookrightarrow C$
построен алгебраический изоморфизм
$H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,$
\newline
$H^1(C,R^i\pi_\ast\Q)$.
Если \,\, $\pi':X'\to C'$ имеет тривиальный след, то мы доказываем
стандартную гипотезу Гротендика $B^2(X)$ типа Лефшеца
об алгебраичности оператора $\Lambda^{n-1}:H^{2n}(X,\Q)\to H^2(X,\Q)$
при условиях, что для общего схемного слоя $X_\eta$
абелевой схемы $\End(X_{\overline\eta})=\End(X_\eta)$,
$\dim H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\neq 2,\quad\dim H^2(X,\Q)\neq 2$ и
$\End(X_\eta)$
содержится в мнимом квадратичном поле;
более того, $B^2(X)$ верна для компактификации
якобиевой схемы гладкого $1$-параметрического семейства (с сечением)
кривых рода $n$ над аффинной кривой с плохой редукцией
чисто мультипликативного типа в бесконечно удаленных точках.
Если $n=3$,
все слои минимальной модели Нерона якобиевой схемы над
бесконечно удаленными точками являются торами и $\End(X_{\overline\eta})=\Z$,
то $B(X)$ верна.

Библиография: 27 наименований.
\end{abstract}

\section*{Введение }

Для $d$-мерного комплексного гладкого проективного многообразия
$X$ и для целого числа $p\geq 0$ обозначим через
$H^{2p}_{\alg}(X,\Q)$ \quad $\Q$-подпространство в $H^{2p}(X,\Q)$,
порожденное классами когомологий $\cl_X(Z)\in
H^{2p}(X,\Q)$
алгебраических циклов $Z$ коразмерности $p$ на $X$.

Пусть $H$ -- обильный дивизор на $X$. Для $i\leq d$ каноническое
отображение
$$
L^{d-i}:H^i(X,\Q)\,\,\xrightarrow{x\mapsto x
\cup\,\cl_X(H)^{\cup\,d-i}}\,\,H^{2d-i}(X,\Q)
$$
является изоморфизмом согласно сильной теореме Лефшеца.
Обозначим через $\Lambda^{d-i}:
H^{2d-i}(X,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^i(X,\Q)$  изоморфизм, обратный к $L^{d-i}$.

{\bf Стандартная гипотеза Гротендика типа Лефшеца }
$B^i(X)$ \cite{1}.
{\it Для натурального числа $i\leq d$
изоморфизм $\Lambda^{d-i}:H^{2d-i}(X,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}
\,\,H^i(X,\Q)$
является алгебраическим}.

Если $B^i(X)$ верна для любого натурального числа $i$, то говорят,
что стандартная гипотеза $B(X)$ типа Лефшеца выполняется для $X$.

В терминах примитивного разложения Лефшеца
$$
x=\sum_{k\geq{\max}(0,j-d)}L^k\,x_{j-2k},
$$
где $x_{j-2k}\in P^{j-2k}(X)$,
\quad $P^i(X)=H^i(X,\Q)\,\cap\,\Ker\,L^{d-i+1}
\quad(i\leq d)$ \cite[\S \, 3, (3.3)]{2},
абстрактные операторы $\Lambda$ и $\ast$ определяются следующими формулами:
\begin{gather*}
\Lambda\,x=\sum_{k\geq{\max}(1,j-d)}L^{k-1}\,x_{j-2k};\\
\ast x=\sum_{k\geq{\max}
(0,j-d)}(-1)^{(j-2k)(j-2k+1)/2}L^{d-j+k}x_{j-2k}.
\end{gather*}

Хорошо известно, что $B(X)$
эквивалентна алгебраичности $\Lambda$ и $\ast$.
Она верна для многообразий Грассмана,
кривых, поверхностей и абелевых многообразий \cite{3},
для комплексного проективного трехмерного многообразия $X$ с голоморфным
1-пара\-метри\-че\-ским семейством $\pi:X\to C$, общий геометрический слой
которого является гладкой поверхностью размерности Кодаиры
$\varkappa\leq 0$ \cite{4}.

В этой статье
для компактификации $\pi:X\to C$ (с полустабильными слоями)
абелевой схемы $\pi':X'\to C'$ с главной поляризацией
и относительной размерности $n$ над аффинной кривой $C'\hookrightarrow C$
построен алгебраический изоморфизм
$H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}$
\newline
$H^1(C,R^i\pi_\ast\Q)$ (теорема 1.5).
Если \,\, $\pi':X'\to C'$ имеет тривиальный след, то мы доказываем
стандартную гипотезу Гротендика $B^2(X)$ типа Лефшеца
об алгебраичности оператора $\Lambda^{n-1}:H^{2n}(X,\Q)\to H^2(X,\Q)$
при условиях, что для общего схемного слоя $X_\eta$
абелевой схемы $\End(X_{\overline\eta})=\End(X_\eta)$,
$\dim H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\neq 2,\quad\dim H^2(X,\Q)\neq 2$ и
$\End(X_\eta)$
содержится в мнимом квадратичном поле;
более того, $B^2(X)$ верна для компактификации
якобиевой схемы гладкого $1$-параметрического семейства (с сечением)
кривых рода $n$ над аффинной кривой с плохой редукцией
чисто мультипликативного типа в бесконечно удаленных точках
(теорема 2.11).
Если $n=3$,
все слои минимальной модели Нерона якобиевой схемы над
бесконечно удаленными точками являются торами и $\End(X_{\overline\eta})=\Z$,
то $B(X)$ верна (теорема 3.4).

\section*{\bf \S \, 1.\ \
Построение алгебраического изоморфизма
$\pmb{H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,H^1(C,R^i\pi_\ast\Q)}$ для компактификации
абелевой схемы относительной размерности $\pmb{n}$ над аффинной
кривой\\}

{\bf 1.1.} Пусть $\pi':X'\to C'$ -- абелева схема с главной поляризацией
и относительной размерности $n$ над
комплексной гладкой алгебраической кривой $C'$, \quad
$\overset\vee{\pi'}:\overset\vee{X'}\to C'$ -- двойственная
абелева схема,
$\tau':X'\times_{C'}X'\to C'$ -- структурный морфизм,
$\mathcal P'$ -- нормализованное расслоение Пуанкаре на
$X'\times_{C'}\overset\vee{X'}\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
X'\times_{C'}X'$ \,\,\,\cite{5}.  Имеется сечение морфизма $\tau'$,
поэтому можно рассматривать
$\mathcal P'$ как элемент относительной группы Пикара
$H^0\left(C',R^1\tau'_\ast
\mathcal O^\times_{X'\times_{C'}X'}\right)=\Pic(X'\times_{C'}X')/\Pic(C')$.
Каноническая точная экспоненциальная последовательность
$$
0\to\Z\to\mathcal O_{X'\times_{C'}X'}\xrightarrow{f\mapsto e^{2\pi if}}
\mathcal O^\times_{X'\times_{C'}X'}\to 1
$$
дает каноническое отображение
$H^0\left(C',R^1\tau'_\ast
\mathcal O^\times_{X'\times_{C'}X'}
\right)\xrightarrow{\mathcal L\mapsto\cc_1(\mathcal L)}H^0(C',R^2\tau'_\ast\Z)$.
Следовательно, элемент $\cc_1(\mathcal P')\in H^0(C',
R^2\tau'_\ast\Q)$ корректно определен.

Мы утверждаем, что
\begin{gather*}
\cc_1(\mathcal P')\in H^0(C',R^1\pi'_\ast\Q\otimes
R^1\pi'_\ast\Q).
\tag{1.1}\label{1.1}
\end{gather*}

Действительно, поскольку
$\tau':X'\times_{C'}\overset\vee{X'}\to C'$ -- абелева схема
над кривой $C'$, то спектральная последовательность Лере
$E_2^{p,q}=H^p(C',R^q\tau'_\ast\Q)\,\,\Rightarrow\,\,H^\ast(X'\times_{C'}X',
\Q)$ вырождается
\cite{6}, так что мы имеем разложения
\begin{gather*}
H^2(X'\times_{C'}\overset\vee{X'},\Q)=
H^0(C',R^2\tau'_\ast\Q)\oplus
H^1(C',R^1\tau'_\ast\Q)\oplus
H^2(C',\Q)=\\
\left[\bigoplus_{a+b=2}H^0(C',R^a\pi'_\ast\Q\otimes
R^b\overset\vee{\pi'}_\ast\Q)\right]\oplus
H^1(C',R^1\pi'_\ast\Q)\oplus H^1(C',R^1\overset\vee{\pi'}_\ast\Q)\oplus
H^2(C',\Q)
\end{gather*}
\cite[(3.5)]{7}. По определению, $\mathcal P'$ нормализовано вдоль
$e'\times_{C'}\overset\vee{X'}$, где $e':C'\to X'$ --
нулевое сечение (другими словами,
$\mathcal O_{C'\times_{C'}\overset\vee{X'}}
\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,(e'\times_{C'}\overset\vee{X'})
^\ast(\mathcal P')$).
Поэтому
$$
0=\cc_1\left(\mathcal O_{C'\times_{C'}\overset\vee{X'}}\right)=
\cc_1((e'\times_{C'}\overset\vee{X'})
^\ast(\mathcal P'))=(e'\times_{C'}\overset\vee{X'})
^\ast(\cc_1(\mathcal P'))
$$
является
$[H^0(C',R^2\overset\vee{\pi'}_\ast\Q)\oplus
H^1(C',R^1\overset\vee{\pi'}_\ast\Q)\oplus H^2(C',\Q)]$-компонентой
класса Черна
\newline
$\cc_1(\mathcal P')$. Поскольку $\mathcal P'$ нормализовано
вдоль
$X'\times_{C'}\overset\vee{e'}$, то $[H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)\oplus$
\newline
$H^1(C',R^1\pi'_\ast\Q)\oplus H^2(C',\Q)]$-компонента
класса Черна $\cc_1(\mathcal P')$ тривиальна по той же причине.
Поэтому
утверждение \eqref{1.1} доказано.

Пусть $s\in C'$,
\quad $\mathcal P_s=\mathcal P'\vert_{X_s\times\overset\vee{X}_s}$
-- расслоение Пуанкаре на $X_s\times\overset\vee{X}_s=X_s\times X_s$ и
$\mu_s:X_s\times X_s\to X_s$ -- групповой закон для
$X_s$ (морфизм сложения). Напомним некоторые результаты Клеймана и
Либермана.

{\bf 1.2. Лемма} \cite[лемма 2A12]{3}. {\it
Пусть $X_s$ -- абелево многообразие, $Y_s$ -- произвольное
гладкое проективное многообразие и \,\, $u\in H^2(X_s\times Y_s,\Q)$
-- элемент типа $(1,1)$ в разложении Кюннета.
Тогда соответствие
$\exp(u)=\sum u^i/i!: H^\ast(X_s,\Q)\to H^\ast(Y_s,\Q)$
переводит произведение Понтрягина
$\alpha\vee\beta=\mu_{s\ast}\left(\alpha\otimes\beta\right)$
в  $\cup$-произведение.}

{\bf 1.3. Лемма} \cite[замечание 2A13]{3}. {\it
Пусть $X_s$ -- абелево многообразие, $\overset\vee{X}_s$
-- двойственное абелево многообразие и \,\,
$u\in H^2(X_s\times\overset\vee{X}_s,\Q)$ -- компонента типа
$(1,1)$ в разложении Кюннета
дивизора Пуанкаре.
Тогда соответствие
$\exp(u)=\sum u^i/i!: H^\ast(X_s,\Q)\to H^\ast(\overset\vee{X}_s,\Q)$
является алгебраическим изоморфизмом алгебры Понтрягина $H^\ast(X_s,\Q)$ на
алгебру
$H^\ast(\overset\vee{X}_s,\Q)$ с $\cup$-произведением}.

{\bf 1.4.} В рассматриваемом случае $X_s=
\overset\vee{X}_s$ \,\, и \,\, ${\cl}_{X_s\times X_s}(\mathcal P_s)$
имеет тип Кюннета $(1,1)$. В силу лемм 1.2 -- 1.3,
для любого натурального числа $i\leq n$ отображение
$H^{2n-i}(X_s,\Q)\to H^i(X_s,\Q)$,
определенное классом
$[{\cl}_{X_s\times X_s}(\mathcal P_s)]^{\cup\,i}=
{\cl}_{X_s\times X_s}(\mathcal P_s)\cup\dots\cup
{\cl}_{X_s\times X_s}(\mathcal P_s)\in H^{2i}(X_s\times X_s,\Q)$,
является алгебраическим изоморфизмом. Этот изоморфизм
является композицией следующих отображений:
\begin{gather*}
H^{2n-i}(X_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{{\pr}_{1s}^{\ast}}}
H^{2n-i}(X_s,\Q)\otimes H^0(X_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{x\mapsto x\cup\,[{\cl}_{X_s\times X_s}(\mathcal P_s)]^{\cup\,i}}}\\
H^{2n}(X_s,\Q)\otimes H^i(X_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{{\pr}_{2s\ast}}}H^i(X_s,\Q),
\tag{1.2}\label{1.2}
\end{gather*}
где ${\pr}_{ks}:X_s\times X_s\to X_s$
-- каноническая проекция.

{\bf 1.5. Теорема.}
{\it Пусть $X$ -- гладкое комплексное проективное $(n+1)$-мерное
многообразие,
$\pi:X\to C$
-- сюръективный морфизм на гладкую кривую $C$. Предположим, что
любой геометрический слой морфизма $\pi$ является объединением
гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями.

Если общий схемный слой $X_\eta$ морфизма $\pi$
является абелевым многообразием с главной поляризацией,
то существуют такие разрешение особенностей $\sigma:Y\to
X\times_CX$ подсхемы
$\iota:X\times_CX\hookrightarrow X\times X$
и алгебраический класс $\mathcal D_{\mathcal P'}\in H^2_{\alg}(Y,\Q)$, что
для любого натурального числа $i\leq n$ алгебраический класс
$(\iota\sigma)_\ast\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup i}\in H^{2i+2}_{\alg}(X\times X,\Q)$
определяет алгебраический изоморфизм}
$$
H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,H^1(C,R^i\pi_\ast\Q).
$$

{\it Доказательство.}
Можно считать, что $\pi$ гладкий над $C\setminus\Delta$,
где $\Delta\hookrightarrow C$ -- конечное замкнутое подмножество.
Пусть $C'=C\setminus\Delta$, \quad $X'=X\setminus\pi^{-1}(\Delta)$,
\quad $\pi'=\pi\vert_{X'}:X'\to C'$,
\quad $\tau':X'\times_{C'}X'\to C'$ -- структурный морфизм расслоенного
произведения.

Пусть
$$
\begin{matrix}
X\times_CX&\xrightarrow{p_1}&X\\
\downarrow^{p_2}&\searrow^{\tau}&\downarrow^\pi\\
X&\xrightarrow{\pi}&C
\end{matrix}
$$
-- каноническая диаграмма расслоенного произведения, и
$\sigma:Y\to X\times_CX$ -- разрешение особенностей $X\times_CX$.
Можно считать, что $\sigma$ индуцирует изоморфизм над $C'$. В частности,
$Y$ можно рассматривать как гладкую проективную компактификацию
многообразия $X'\times_{C'}X'$. Более того, можно считать, что
$(\tau\sigma)^{-1}(\Delta)$
является объединением (с некоторыми положительными кратностями) гладких дивизоров с нормальными пересечениями.
По теореме Делиня
канонический морфизм
$H^2(Y,\Q)\to H^0(C',R^2\tau'_\ast\Q)$
является сюръективным морфизмом $\Q$-структур Ходжа
\cite[теорема 4.1.1, доказательство следствия 4.1.2]{8}. Более того,
канонический морфизм
$H^2(Y,\Q)\to H^0(C,R^2(\tau\sigma)_\ast\Q)$
является сюръективным морфизмом $\Q$-структур Ходжа
\cite[следствие (15.14)]{9}.

В силу \eqref{1.1} имеем:
$\cc_1(\mathcal P')\in H^0(C',R^2\tau'_\ast\Q)$. С другой стороны,
$\cc_1(\mathcal P')$ является элементом типа Ходжа $(1,1)$. По теореме
Лефшеца для дивизоров на $Y$ существует такой алгебраический класс
$\cc_1(\mathcal O_Y(D))\in
H^2_{\alg}(Y,\Q)$, что его образ при каноническом сюръективном морфизме
$H^2(Y,\Q)\to H^0(C',R^2\tau'_\ast\Q)$ совпадает с $\cc_1(\mathcal P')$.

Рассмотрим каноническую диаграмму расслоенного произведения
$$
\begin{matrix}
X'\times_{C'}X'&\xrightarrow{p'_1}&X'\\
\downarrow^{p'_2}&\searrow^{\tau'}&\downarrow^{\pi'}\\
X'&\xrightarrow{\pi'}&C'.
\end{matrix}
$$

Для любого открытого подмножества $U\hookrightarrow (C')^{\an}$
собственный морфизм
$p'_k:$
\newline
$(\tau')^{-1}(U)\to
(\pi')^{-1}(U)$ определяет каноническое отображение
${p'_k}^\ast:H^q((\pi')^{-1}(U),\Q)
\to H^q((\tau')^{-1}(U),{p'_k}^\ast\Q)$
\cite[гл. II, 4.16]{10}. Поскольку
${p'_k}^\ast\Q=\Q$, то оно принимает вид
${p'_k}^\ast:H^q((\pi')^{-1}(U),\Q)
\to H^q((\tau')^{-1}(U),\Q)$. Следовательно,
разложения Кюннета на слоях $\tau'$ дают
каноническое инъективное отображение
$$
{p_k'}^\ast:R^q\pi'_\ast\Q\,\,
\hookrightarrow\,\,
R^q\tau'_\ast\Q=\bigoplus_{a+b=q}
R^a\pi'_\ast\Q\otimes
R^b\pi'_\ast\Q.
$$

С другой стороны, собственный морфизм
$p'_k:(\tau')^{-1}(U)\to
(\pi')^{-1}(U)$ определяет каноническое отображение
${p'_k}^\ast:H^q_{\cc}((\pi')^{-1}(U),\Q)
\to H^q_{\cc}((\tau')^{-1}(U),\Q)$
когомологий с компактными носителями \cite[гл. II, 4.16]{10}.

По теореме двойственности Пуанкаре для комплексного
многообразия $V$ комплексной размерности $d$
имеется канонический изоморфизм \cite[\S \, 2, теорема (2.8)]{11}
\newline
$H^{2d}_{\cc}(V,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,\Q$,
индуцирующий изоморфизм
$$
H^m_{\cc}(V,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\, H^{\cc}_{2d-m}(V,\Q)
$$
\cite[гл. I, \S \, 4, 4.3]{12};
\cite[7.8]{13};
\cite[с. 359]{3}; \cite[гл. VI, \S \, 11, следствие 11.2]{14}.
Следовательно, можно отождествить $H^{2d-m}(V,\Q)$
с двойственным к $H^m_{\cc}(V,\Q)$.

В силу теоремы двойственности Пуанкаре двойственное отображение к
$$
{p'_2}^\ast:H^{2(n+1)-i}_{\cc}((\pi')^{-1}(U),\Q)
\to H^{2(n+1)-i}_{\cc}((\tau')^{-1}(U),\Q)
$$
принимает вид
$p'_{2\ast}:
H^{2n+i}((\tau')^{-1}(U),\Q)\to H^i((\pi')^{-1}(U),\Q)$.
Оно дает каноническое отображение
$p'_{2\ast}:R^{2n+i}\tau'_\ast\Q\to
R^i\pi'_\ast\Q$.
Ограничение $p'_{2\ast}$ на подпучок
$R^{2n}\pi'_\ast\Q\otimes R^i\pi'_\ast\Q\hookrightarrow
R^{2n+i}\tau'_\ast\Q$ индуцирует канонический изоморфизм
$p'_{2\ast}:
R^{2n}\pi'_\ast\Q\otimes
R^i\pi'_\ast\Q
\,\,{\widetilde{\rightarrow}}\,\, $
\newline
$R^i\pi'_\ast\Q$.
В частности, глобализация \eqref{1.2} является композицией
\begin{gather*}
R^{2n-i}\pi'_\ast\Q{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{{p'_1}^{\ast}}}
R^{2n-i}\pi'_\ast\Q\otimes R^0\pi'_\ast\Q
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{\cup\,[\cc_1(\mathcal P')]^{\cup\,i}}}
R^{2n}\pi'_\ast\Q\otimes R^i\pi'_\ast\Q
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{{p'_2}_\ast}}R^i\pi'_\ast\Q.
\tag{1.3}\label{1.3}
\end{gather*}

Аналогично, для любого открытого подмножества $U\hookrightarrow C^{\an}$
коммутативная диаграмма
$$
\begin{matrix}
Y&\xrightarrow{\sigma}&X\times_CX&\xrightarrow{p_1}&X\\
\ &\ &\downarrow^{p_2}&\searrow^{\tau}&\downarrow^\pi\\
\ &\ &X&\xrightarrow{\pi}&C
\end{matrix}
$$
дает канонический собственный морфизм
$p_1\sigma:(\tau\sigma)^{-1}(U)\to
\pi^{-1}(U)$ и каноническое отображение
$(p_1\sigma)^\ast:H^q(\pi^{-1}(U),\Q)\to
H^q((\tau\sigma)^{-1}(U),\Q)$
\cite[гл. II, 4.16]{10}. Следовательно, имеется каноническое отображение
$(p_1\sigma)^\ast:R^q\pi_\ast\Q\to
R^q(\tau\sigma)_\ast\Q$ \,\, и
\begin{gather*}
(p_1\sigma)^\ast\vert_{C'}={p'_1}^\ast.
\tag{1.4}\label{1.4}
\end{gather*}

Имеется коммутативная диаграмма канонических отображений
$$
\begin{matrix}
H^2(Y,\Q)\\
\downarrow&\searrow\\
H^0(C,R^2(\tau\sigma)_\ast\Q)&\to&H^0(C',R^2\tau'_\ast\Q).
\end{matrix}
$$
Напомним, что $\cc_1(\mathcal P')$ -- образ $\cc_1(\mathcal O_Y(D))$ при
каноническом сюръективном отображении $H^2(Y,\Q)$
$\to H^0(C',R^2\tau'_\ast\Q)$.
Обозначим через
$\mathcal D_{\mathcal P'}$ образ алгебраического класса
$\cc_1(\mathcal O_Y(D))$ при
каноническом краевом морфизме $H^2(Y,\Q)\to H^0(C,R^2(\tau\sigma)_\ast\Q)$.
Поскольку $\tau\sigma:Y\to C$ является $1$-параметрическим семейством
с гладким общим слоем, то спектральная последовательность Лере
для $\tau\sigma$ вырождается \cite[следствие (15.15)]{9}:
$E_2^{p,q}=E_\infty^{p,q}$. В частности,
\begin{gather*}
H^2(Y,\Q)=H^2(C,\Q)\oplus H^1(C,R^1(\tau\sigma)_\ast\Q)\oplus
H^0(C,R^2(\tau\sigma)_\ast\Q).
\tag{1.5}\label{1.5}
\end{gather*}
Более того, каноническое отображение
$H^2(Y,\Q)\to
H^0(C,R^2(\tau\sigma)_\ast\Q)$
является сюръективным морфизмом $\Q$-структур Ходжа
\cite[следствие (15.14)]{9}.
С другой стороны,
$(\tau\sigma)^\ast:
H^2(C,\Q)\hookrightarrow H^2(Y,\Q)$
является морфизмом $\Q$-структур Ходжа.
Следовательно, $H^1(C,R^1(\tau\sigma)_\ast\Q)$
является $\Q$-подструктурой Ходжа в $H^2(Y,\Q)$ \, и \,
\eqref{1.5} является разложением
$\Q$-структур Ходжа.
В частности, компонента
$\mathcal D_{\mathcal P'}\in
H^0(C,R^2(\tau\sigma)_\ast\Q)\hookrightarrow H^2(Y,\Q)$
алгебраического класса $\cc_1(\mathcal O_Y(D))\in H^2_{\alg}(Y,\Q)$
имеет тип Ходжа $(1,1)$. Следовательно, она алгебраическая
по теореме Лефшеца.

Для любого открытого подмножества $U\hookrightarrow C^{\an}$
имеется каноническое отображение
$\cup$-произведения \cite[гл. II, 6.6]{10}
$$
H^p((\tau\sigma)^{-1}(U),\Q)\otimes_\Q H^q((\tau\sigma)^{-1}(U),\Q)\to
H^{p+q}((\tau\sigma)^{-1}(U),\Q),
$$
которое в свою очередь определяет канонические
отображения
\begin{gather*}
R^p(\tau\sigma)_\ast\Q\otimes_\Q R^q(\tau\sigma)_\ast\Q\to
R^{p+q}(\tau\sigma)_\ast\Q;\\
R^p(\tau\sigma)_\ast\Q\otimes_\Q H^0(C,R^q(\tau\sigma)_\ast\Q)
\xrightarrow{x\otimes y
\mapsto x\cup y}
R^{p+q}(\tau\sigma)_\ast\Q.
\end{gather*}
Второе отображение отражает совместимость $\cup$-произведений со
спектральной последовательностью Лере
$E_2^{p,q}=H^p(C,R^q(\tau\sigma)_\ast\Q)$
\cite[с. 143]{15}, и композиция
\begin{gather*}
R^{2n-i}\pi_\ast\Q\xrightarrow{
(p_1\sigma)^\ast}R^{2n-i}(\tau\sigma)_\ast\Q\xrightarrow{
\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}}
R^{2n-i}(\tau\sigma)_\ast\Q\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}\hookrightarrow
R^{2n+i}(\tau\sigma)_\ast\Q
\tag{1.6}\label{1.6}
\end{gather*}
корректно определена.

Для любого открытого подмножества $U\hookrightarrow C^{\an}$
канонический собственный морфизм
$p_2\sigma:(\tau\sigma)^{-1}(U)\to
\pi^{-1}(U)$ определяет каноническое отображение
$(p_2\sigma)^\ast:$
\newline
$H^{2(n+1)-i}_{\cc}(\pi^{-1}(U),\Q)
\to H^{2(n+1)-i}_{\cc}((\tau\sigma)^{-1}(U),\Q)$
когомологий с компактными носителями
\cite[гл. II, 4.16]{10}.
По теореме двойственности Пуанкаре двойственное к
$(p_2\sigma)^\ast$ отображение принимает вид
$(p_2\sigma)_\ast:
H^{2n+i}((\tau\sigma)^{-1}(U),\Q)\to H^i(\pi^{-1}(U),\Q)$.
Следовательно, имеется каноническое отображение
$(p_2\sigma)_\ast:
R^{2n+i}(\tau\sigma)_\ast\Q\to R^i\pi_\ast\Q$,
и можно продолжить \eqref{1.6} до композиции
\begin{gather*}
R^{2n-i}\pi_\ast\Q\xrightarrow{
(p_1\sigma)^\ast}R^{2n-i}(\tau\sigma)_\ast\Q\xrightarrow{
\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}}
R^{2n-i}(\tau\sigma)_\ast\Q\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}\hookrightarrow\\
R^{2n+i}(\tau\sigma)_\ast\Q\xrightarrow{
(p_2\sigma)_\ast}R^i\pi_\ast\Q.
\tag{1.7}\label{1.7}
\end{gather*}
Поскольку
$(p_2\sigma)_\ast\vert_{C'}=
p'_{2\ast}$, то легко видеть, что
\eqref{1.3}, \eqref{1.4} и \eqref{1.7} дают точную
последовательность пучков на $C^{\an}$
\begin{gather*}
0\to\mathcal E\to R^{2n-i}\pi_\ast\Q\xrightarrow{
x\mapsto(p_2\sigma)_\ast[(p_1\sigma)^\ast x
\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}]}R^i\pi_\ast\Q\to\mathcal G\to 0,
\tag{1.8}\label{1.8}
\end{gather*}
где $\mathcal E,\,\,\,\mathcal G$ сконцентрированы на $\Delta$.

Пусть
$\mathcal F=\Imm[
R^{2n-i}\pi_\ast\Q\xrightarrow{
x\mapsto(p_2\sigma)_\ast[(p_1\sigma)^\ast x
\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}]}R^i\pi_\ast\Q]$.
Тогда \eqref{1.8} дает точные последовательности
\begin{gather*}
0\to\mathcal E\to R^{2n-i}\pi_\ast\Q\to\mathcal F\to 0;
\tag{1.9}\label{1.9}\\
0\to\mathcal F\to
R^i\pi_\ast\Q\to\mathcal G\to 0.
\tag{1.10}\label{1.10}
\end{gather*}

Поскольку $H^1(C,\mathcal E)=H^2(C,\mathcal E)=0$, то из \eqref{1.9}
следует, что
\begin{gather*}
H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)
\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,H^1(C,\mathcal F).
\tag{1.11}\label{1.11}
\end{gather*}
С другой стороны, $H^1(C,\mathcal G)=0$,
поэтому \eqref{1.10} -- \eqref{1.11}
дают точную последовательность
\begin{gather*}
H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)\xrightarrow{
x\mapsto
(p_2\sigma)_\ast[(p_1\sigma)^\ast x\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}]}
H^1(C,R^i\pi_\ast\Q)\to 0.
\tag{1.12}\label{1.12}
\end{gather*}

Хорошо известно, что $\cup$-произведения совместимы со спектральной
последовательностью Лере $E_2^{p,q}=H^p(C,R^q\pi_\ast\Q)$
\cite[с. 143]{15}. В частности,
\begin{gather*}
H^i(C,R^p\pi_\ast\Q)\cup
H^j(C,R^q\pi_\ast\Q)\hookrightarrow
H^{i+j}(C,R^{p+q}\pi_\ast\Q).
\tag{1.13}\label{1.13}
\end{gather*}

Действительно, для любого открытого подмножества
$U\hookrightarrow C^{\an}$ имеется каноническое отображение
$\cup$-произведения \cite[гл. II,  6.6]{10}
$H^p(\pi^{-1}(U),\Q)\otimes_\Q H^q(\pi^{-1}(U),\Q)\to
H^{p+q}(\pi^{-1}(U),\Q)$,
которое в свою очередь определяет каноническое
отображение
\newline
$R^p\pi_\ast\Q\otimes_\Q R^q\pi_\ast\Q\to R^{p+q}\pi_\ast\Q$.
Поэтому \eqref{1.13} определяется композицией канонических
отображений
\cite[гл. II, 6.6]{10}
$$
H^i(C,R^p\pi_\ast\Q)\otimes_\Q H^j(C,R^q\pi_\ast\Q)\to
H^{i+j}(C,R^p\pi_\ast\Q\otimes_\Q R^q\pi_\ast\Q)\to
H^{i+j}(C,R^{p+q}\pi_\ast\Q).
$$

Каноническое спаривание
$H^{2n+1-i}(X,\Q)\times H^{i+1}(X,\Q)\xrightarrow{x\times y\mapsto x\cup y}
H^{2n+2}(X,\Q)$
невырождено по теореме двойственности Пуанкаре.
Поскольку $H^{2n+1}(X_s,\Q)=0$ для всех $s\in C\setminus\Delta$,
то пучок $R^{2n+1}\pi_\ast\Q$ сконцентрирован на $\Delta$.
С другой стороны,
когомологическая размерность $C$ равна $2$
\cite[гл. II, \S \, 5, теорема 5.13.1]{10}. Следовательно,
в силу \eqref{1.13} имеем:
\begin{gather*}
H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)
\cup H^0(C,R^{i+1}\pi_\ast\Q)\hookrightarrow
H^1(C,R^{2n+1}\pi_\ast\Q)=0,
\tag{1.14}\label{1.14}\\
H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)
\cup H^2(C,R^{i-1}\pi_\ast\Q)\hookrightarrow
H^3(C,R^{2n-1}\pi_\ast\Q)=0.
\tag{1.15}\label{1.15}
\end{gather*}
Хорошо известно, что спектральная последовательность Лере
$E_2^{p,q}=H^p(C,R^q\pi_\ast\Q)$
\newline
$\Rightarrow H^\ast(X,\Q)$
вырождается \cite[следствие (15.15)]{9}:
$E_\infty^{p,q}=E_2^{p,q}$.
Следовательно,
\begin{gather*}
H^k(X,\Q)=H^0(C,R^k\pi_\ast\Q)\oplus
H^1(C,R^{k-1}\pi_\ast\Q)\oplus
H^2(C,R^{k-2}\pi_\ast\Q);
\tag{1.16}\label{1.16}
\end{gather*}
более того, \eqref{1.16} является разложением $\Q$-структур Ходжа,
потому что каноническое отображение
$H^2(C,R^{k-2}\pi_\ast\Q)\to H^k(X,\Q)$
является морфизмом $\Q$-структур Ходжа \cite[теорема (15.11),
предложение (15.12)]{9}, каноническое отображение
$H^k(X,\Q)$
\newline
$\to H^0(C,R^k\pi_\ast\Q)$ является сюръективным морфизмом
$\Q$-структур Ходжа \cite[следствие
(15.14)]{9}, и ядро морфизма $\Q$-структур Ходжа является $\Q$-подструктурой
Ходжа.
Поэтому \eqref{1.14} - \eqref{1.16} дают невырожденность
канонического спаривания
$$
H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)\times H^1(C,R^i\pi_\ast\Q)\xrightarrow{
x\times y\mapsto x\cup y}
H^2(C,R^{2n}\pi_\ast\Q)=H^{2n+2}(X,\Q)
\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,\Q.
$$
В частности,
\begin{gather*}
\dim H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)=\dim H^1(C,R^i\pi_\ast\Q).
\tag{1.17}\label{1.17}
\end{gather*}
Из \eqref{1.12} и \eqref{1.17} следует, что
имеется канонический изоморфизм
\begin{gather*}
H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q){\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{x\mapsto
(p_2\sigma)_\ast[(p_1\sigma)^\ast x\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}]}}
H^1(C,R^i\pi_\ast\Q).
\tag{1.18}\label{1.18}
\end{gather*}

Пусть $\pr_k:X\times X\to X$ -- каноническая проекция.
Тогда
$\pr_k\iota\sigma=p_k\sigma$.
Поскольку $\pr_k$ и $\iota\sigma$ -- морфизмы гладких проективных
многообразий, то мы имеем в силу формулы проекции:
\begin{gather*}
(p_2\sigma)_\ast[(p_1\sigma)^\ast x\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}]=
[\pr_2\iota\sigma]_\ast
\left([\pr_1\iota\sigma]^\ast x\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}\right)=\\
\pr_{2\ast}(\iota\sigma)_\ast
\left((\iota\sigma)^\ast\pr_1^\ast x\cup\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}\right)=
\pr_{2\ast}\left(\pr_1^\ast x\cup(\iota\sigma)_\ast\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}\right).
\tag{1.19}\label{1.19}
\end{gather*}
Из \eqref{1.18} - \eqref{1.19} следует, что алгебраический класс
$(\iota\sigma)_\ast\mathcal D_{\mathcal P'}^{\cup\,i}\in H^{2i+2}_{\alg}(X\times X,\Q)$
определяет алгебраический изоморфизм
$H^1(C,R^{2n-i}\pi_\ast\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^1(C,R^i\pi_\ast\Q)$.
Теорема доказана.

\section*{\bf \S \, 2.\ \
Алгебраичность инвариантных циклов и $\pmb{B^2(X)}$
для компактификации абелевой схемы с полустабильными
вырождениями\\}

{\bf 2.1.}
В обозначениях и условиях теоремы 1.5 формула Кюннета и \eqref{1.16}
дают разложение
\begin{gather*}
(\iota\sigma)_\ast\mathcal D_{\mathcal P'}=\sum_{p+q+l+m=4}
u_{pqlm},
\tag{2.1}\label{2.1}
\end{gather*}
где
$u_{pqlm}\in
H^p(C,R^q\pi_\ast\Q)\otimes
H^l(C,R^m\pi_\ast\Q)$.

Фиксируем точку $s\in C'$.
По теореме Делиня \cite[4.1.1 - 4.1.2]{8} каноническое отображение
ограничения
$H^2(X,\Q)\to H^2(X_s,\Q)$
\quad $\Q$-структур Ходжа является композицией сюръективного
морфизма $H^2(X,\Q)\to
H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$
и канонических морфизмов $\Q$-структур Ходжа
$$
H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^2(X_s,\Q)^
{\pi_1(C',s)}\hookrightarrow H^2(X_s,\Q).
$$
Если \,\,
$H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$ является $\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$,
то по теореме Лефшеца $\Q$-пространство $H^2(X_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}$
инвариантных циклов порождается классами алгебраических циклов.

Канонический сюръективный морфизм $\Q$-структур Ходжа
$H^2(X,\Q)\to$
\newline
$H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$ \cite[теорема 4.1.1]{8}
является частью коммутативной диаграммы (с точной нижней строкой)
морфизмов смешанных $\Q$-структур Ходжа \cite[следствие 3.2.18,
доказательство теоремы 4.1.1]{8}
$$
\begin{matrix}
H^2(X,\Q)&\to&H^2(X',\Q)\\
\downarrow&\searrow&\downarrow\\
H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)&\to&H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)&\to &0.
\end{matrix}
$$
Поэтому
$$
\dim H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\geq\dim H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)\geq 1.
$$

{\bf 2.2. Лемма} \cite[лемма 3.2]{4}.
{\it Предположим, что $H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$
является $\Q$-струк\-ту\-рой Ходжа типа $(1,1)$. Тогда имеется каноническое вложение
\newline
$H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\hookrightarrow\NS_\Q(X)\,\,\overset{\ddef}=\,\,$
$\NS(X)\otimes\Q$.}

{\bf 2.3. Лемма.} {\it Предположим, что $H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$
является $\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$. Тогда}
$$
u_{1111}+\sum_{p+q+l+m=4\atop p+q\neq 2}u_{pqlm}\in H^4_{\alg}(X\times
X,\Q).
$$

{\it Доказательство.}
Прежде всего, в силу \eqref{1.16} имеем:
$u_{pqlm}\in H^4(X\times X,\Q)\cap H^{2,2}(X\times X,\C)$. С другой
стороны, $H^2(C,\Q)=\Q\cdot\cl_X(X_s)\hookrightarrow
\NS_\Q(X)$.
Теорема Лефшеца и лемма 2.2 дают
\begin{gather*}
u_{02lm}\in[H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\otimes H^2(X,\Q)]\cap H^{2,2}(X\times X,\C)
=\\
H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\otimes[H^2(X,\Q)\cap H^{1,1}(X,\C)]
\hookrightarrow\NS_\Q(X)\otimes\NS_\Q(X)
\hookrightarrow H^4_{\alg}(X\times X,\Q);\\
u_{1102}\in[H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)\otimes H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)]
\cap H^{2,2}(X\times X,\C)
=\\
[H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)\cap H^{1,1}(X,\C)]\otimes H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)
\hookrightarrow\\
\NS_\Q(X)\otimes\NS_\Q(X)
\hookrightarrow H^4_{\alg}(X\times X,\Q);\\
u_{1120}\in[H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)\otimes H^2(C,\Q)]
\cap H^{2,2}(X\times X,\C)
=\\
[H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)\cap H^{1,1}(X,\C)]\otimes H^2(C,\Q)
\hookrightarrow\NS_\Q(X)\otimes\NS_\Q(X)
\hookrightarrow H^4_{\alg}(X\times X,\Q);\\
u_{20lm}\in[H^2(C,\Q)\otimes H^2(X,\Q)]\cap H^{2,2}(X\times X,\C)=\\
H^2(C,\Q)\otimes[H^2(X,\Q)\cap H^{1,1}(X,\C)]
\hookrightarrow\NS_\Q(X)\otimes\NS_\Q(X)
\hookrightarrow H^4_{\alg}(X\times X,\Q).
\end{gather*}
Остается заметить, что
$(\iota\sigma)_\ast\mathcal D_{\mathcal P'}=\sum_{p+q+l+m=4}
u_{pqlm}\in H^4_{\alg}(X\times X,\Q)$.
Лемма доказана.

{\bf 2.4. Лемма.} {\it Если $p+q\neq 2$, то }
$\pr_{2\ast}\left(\pr_1^\ast H^{2n}(X,\Q)\cup u_{pqlm}\right)=0$.

{\it Доказательство.}
Очевидно, что $u_{pqlm}\in H^{p+q}(X,\Q)\otimes
H^{4-p-q}(X,\Q)$ \,\, и
\begin{gather*}
\pr_{2\ast}\left(\pr_1^\ast H^{2n}(X,\Q)\cup u_{pqlm}\right)=
\pr_{2\ast}\left([H^{2n}(X,\Q)\otimes H^0(X,\Q)]
\cup u_{pqlm}\right)\hookrightarrow\\
\pr_{2\ast}\left(H^{2n+p+q}(X,\Q)\otimes H^{4-p-q}(X,\Q)\right).
\end{gather*}
С другой стороны, выберем элемент $\sqrt{-1}\in\C$ и рассмотрим
отображение степени $<>:H^\ast(X,\Q)\to\Q$, определенное
изоморфимзмом ориентации $H^{2n+2}(X,\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,\Q$ на $H^{2n+2}(X,\Q)$ и нулем на $H^i(X,\Q)$
для $i<2n+2$. Теорема двойственности Пуанкаре утверждает, что отображение
$x\mapsto<\cdot\,\cup\,x>$
индуцирует изоморфизмы $H^{2n+2-i}(X,\Q)$
\newline
$\widetilde{\rightarrow}\,\,
H_i(X,\Q)$, которые будут рассматриваться как отождествления \cite[1.2]{3}.
Тогда для всех $\alpha\in H^{2n+p+q}(X,\Q),\,\,\,\beta\in H^{4-p-q}(X,\Q),
\,\,\,\gamma\in H^\ast(X,\Q)$ можно применить следующие стандартные
вычисления:
\begin{gather*}
<\alpha>=0;
\tag{2.2}\label{2.2}\\
<\pr_{2\ast}(\alpha\otimes\beta)\cup\gamma>=
<(\alpha\otimes\beta)\cup\pr_2^\ast\gamma>=\\
<(\alpha\otimes\beta)\cup(\cl_X(X)\otimes\gamma)>=
<\alpha\otimes(\beta\cup\gamma)>=
<\alpha>\cdot<\beta\cup\gamma>=0;
\tag{2.3}\label{2.3}\\
\pr_{2\ast}(\alpha\otimes\beta)=0.
\tag{2.4}\label{2.4}
\end{gather*}
Лемма доказана.

{\bf 2.5. Лемма.} {\it Предположим, что $H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$
является $\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$.
Тогда алгебраический класс
$$
u_{1111}+\sum_{p+q+l+m=4\atop p+q\neq 2}u_{pqlm}
$$
определяет алгебраический изоморфизм
$H^1(C,R^{2n-1}\pi_\ast\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)$. }

{\it Доказательство.}
В силу \eqref{1.13} имеем:
$$
[H^1(C,R^{2n-1}\pi_\ast\Q)\otimes H^0(C,\Q)]\cup
u_{pqlm}\hookrightarrow
H^{p+1}(C,R^{q+2n-1}\pi_\ast\Q)\otimes
H^l(C,R^m\pi_\ast\Q).
$$
Если $(p,q)\neq(1,1)$, то очевидно, что отображение степени $<>$
тривиально на пространстве $H^{p+1}(C,R^{q+{2n-1}}\pi_\ast\Q)$, так как
$H^{p+1}(C,R^{q+2n-1}\pi_\ast\Q)\neq H^2(C,R^{2n}\pi_\ast\Q)=H^{2n+2}(X,\Q)$.
Для всех $\alpha\in
H^{p+1}(C,R^{q+2n-1}\pi_\ast\Q)$,
\quad $\beta\in
H^l(C,R^m\pi_\ast\Q)$, \quad $\gamma\in$
\newline
$H^\ast(X,\Q)$
можно применить стандартные вычисления \eqref{2.2} - \eqref{2.4},
чтобы получить соотношение
$$
\pr_{2\ast}\left([H^1(C,R^{2n-1}\pi_\ast\Q)\otimes H^0(C,\Q)]\cup
u_{pqlm}\right)=0\quad{\text{для }}\quad(p,q)\neq(1,1).
$$
С другой стороны,
\begin{gather*}
[H^1(C,R^{2n-1}\pi_\ast\Q)\otimes H^0(C,\Q)]\cup
u_{11lm}\hookrightarrow
H^2(C,R^{2n}\pi_\ast\Q)\otimes H^l(C,R^m\pi_\ast\Q)=\\
H^{2n+2}(X,\Q)\otimes H^l(C,R^m\pi_\ast\Q);\\
\left[\pr_{2\ast}\left([H^1(C,R^{2n-1}\pi_\ast\Q)\otimes H^0(C,\Q)]\cup
u_{11lm}\right)\hookrightarrow H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)
\right]\,\,\Leftrightarrow\,\,(l,m)=(1,1).
\end{gather*}
Поэтому леммы 2.3, 2.4  и теорема 1.5 показывают, что
алгебраический класс
$$
u_{1111}+\sum_{p+q+l+m=4\atop p+q\neq 2}u_{pqlm}
$$
определяет алгебраический изоморфизм
$H^1(C,R^{2n-1}\pi_\ast\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)$. Лемма доказана.

{\bf 2.6.} Напомним определение класса Пуанкаре $\Q$-структуры Ходжа
геометрического происхождения \cite[1.5]{4}.

Пусть $W$ -- гладкое $d$-мерное проективное многообразие,
$V_\Q\hookrightarrow H^m(W,\Q)$ -- ненулевая $\Q$-подструктура Ходжа и \,\,
$\dim V_\Q\neq 2$ для четного $m$.
Отображение степени
$<>:H^{2d}(W,\Q)\,\widetilde{\rightarrow}\,\Q$ определяет
невырожденное спаривание
\begin{gather*}
\Phi:H^m(W,\Q)\times H^m(W,\Q)\to\Q\\
x\times y\mapsto\,\Phi(x,y)=<x\cup L^{d-m}y>
\end{gather*}
с невырожденным ограничением $\Phi\vert_{V_\Q\times V_\Q}\,\,
\overset\ddef{=}\,\,\Phi_{V_\Q}$. Из леммы Шура следует, что
$\left[V_\Q\otimes V_\Q\right]^{\Aut\left(\Phi_{V_\Q}\right)^0}$
является $1$-мерным подпространством, порожденным некоторым циклом Ходжа
$\wp(V_\Q)$.
Мы называем
$\wp(V_\Q)$ {\it классом Пуанкаре} подструктуры Ходжа $V_\Q$.

{\bf 2.7. Лемма.} {\it Предположим, что $H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$
является $\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$, \,\,\,
$\dim H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)\leq 1$ \,\, и \,\, $\dim H^2(X,\Q)\neq 2$.
Тогда гипотеза $B^2(X)$ верна.}

Действительно, в рассматриваемом случае $H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)=0$ или
$H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)$ является $\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$.
Согласно лемме 2.2, $H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)$
по\-рож\-дает\-ся алгебраическими классами.
Следовательно, по теореме Лефшеца
$H^2(X,\Q)=H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\oplus H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)\oplus H^2(C,\Q)$
порождается алгебраическими классами. Мы видим, что
$\wp(H^2(X,\Q))\in H^2(X,\Q)\otimes H^2(X,\Q)$ алгебраический.
Поскольку $\dim H^2(X,\Q)\neq 2$, то алгебраический класс
$\wp(H^2(X,\Q))$
определяет алгебраический изоморфизм
$H^{2n}(X,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\, H^2(X,\Q)$
в силу леммы 1.7 в \cite{4}. Следовательно, гипотеза $B^2(X)$ верна
\cite[1.8]{4}.
Лемма доказана.

{\bf 2.8. Лемма.} {\it Класс Пуанкаре
$\wp(H^2(C,\Q))$ определяет алгебраический изоморфизм}
$$
H^0(C,R^{2n}\pi_\ast\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^2(C,\Q).
$$

Случай $n=2$ разобран в \cite[лемма 3.7]{4}.
Доказательство дословно переносится на случай $n\geq 3$.

{\bf 2.9. Лемма.} {\it Предположим, что $H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$
является $\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$, \,\,
$\dim H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)\geq 2$
\,\, и \,\,\, $\dim H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\neq 2$. Тогда класс Пуанкаре
$\wp(H^0(C,R^2\pi_\ast\Q))$ определяет алгебраический изоморфизм
$H^2(C,R^{2n-2}\pi_\ast\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,$
\newline
$H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)$.}

Случай $n=2$ разобран в \cite[лемма 3.8]{4}.
Доказательство дословно переносится на случай $n\geq 3$.

{\bf 2.10. Лемма.} {\it Предположим, что $H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$
является $\Q$-структурой
\newline
Ходжа типа $(1,1)$, \,\,
$\dim H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)\geq 2$
\,\, и \,\,\, $\dim H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\neq 2$. Тогда алгебраический
класс
$$
w=u_{1111}+\sum_{p+q+l+m=4\atop p+q\neq 2}u_{pqlm}+
\wp(H^0(C,R^2\pi_\ast\Q))+\wp(H^2(C,\Q))
$$
определяет алгебраический изоморфизм
$H^{2n}(X,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^2(X,\Q)$, \,\, и \,\, гипотеза
\newline
$B^2(X)$ верна.}

{\it Доказательство.}
Прежде всего,
$u_{1111}$
\,\, и \,\, $\wp(H^0(C,R^2\pi_\ast\Q))$ аннулируют
\newline
$H^0(C,R^{2n}\pi_\ast\Q)
\otimes H^0(C,\Q)$. В силу лемм 2.3, 2.4 и 2.8 алгебраический класс $w$
определяет алгебраический изоморфизм
$H^0(C,R^{2n}\pi_\ast\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,H^2(C,\Q)$.

С другой стороны,
$\wp(H^0(C,R^2\pi_\ast\Q))$ \,\, и \,\, $\wp(H^2(C,\Q))$
аннулируют
\newline
$H^1(C,R^{2n-1}\pi_\ast\Q)\otimes H^0(C,\Q)$.
Из леммы 2.5 следует, что $w$ определяет алгебраический
изоморфизм
$H^1(C,R^{2n-1}\pi_\ast\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^1(C,R^1\pi_\ast\Q)$.

Наконец,
$u_{1111}$
\,\, и \,\, $\wp(H^2(C,\Q))$ аннулируют
$H^2(C,R^{2n-2}\pi_\ast\Q)\otimes
H^0(C,\Q)$;
в силу лемм 2.3, 2.4 и 2.9 элемент $w$ определяет
алгебраический изоморфизм
\newline
$H^2(C,R^{2n-2}\pi_\ast\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)$.
Остается использовать разложения \eqref{1.16} для $k\in\{2,2n\}$,
чтобы показать, что $w$ определяет алгебраический изоморфизм
$H^{2n}(X,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}$
\newline
$H^2(X,\Q)$.
Следовательно, гипотеза $B^2(X)$ верна \cite[1.8]{4}.
Лемма доказана.

{\bf 2.11. Теорема.}
{\it Пусть $X$ -- гладкое комплексное проективное $(n+1)$-мерное многообразие,
$\pi:X\to C$ -- сюръективный морфизм на гладкую кривую $C$,
любой геометрический слой морфизма $\pi$ является объединением
гладких неприводимых компонент кратности $1$ с нормальными пересечениями.

Предположим, что общий схемный слой $X_\eta$ морфизма $\pi$
является абелевым многообразием с главной поляризацией и тривиальным следом,
причем выполняется хотя бы одно из следующих условий}:

(i) {\it общий геометрический слой $X_{\overline\eta}$
не имеет нетривиальных эндоморфизмов
\newline
$($другими словами,
$\End(X_{\overline\eta})\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,\Z)$};

(ii) {\it $\End(X_\eta)\otimes\Q=
\End(X_{\overline\eta})\otimes\Q$ \,\, и \,\,
$\End(X_{\overline\eta})\otimes\Q$
-- мнимое квадратичное поле};

(iii) {\it $\pi:X\to C$ -- компактификация якобиевой схемы
$\pi':\Pic^0(Y'/C')\to C'$, ассоциированной с гладким семейством
$\tau':Y'\to C'$
$($с сечением$)$ кривых рода $n$ над аффинной кривой
$C'\hookrightarrow C$, и общий схемный слой морфизма \,\,
$\pi'$ имеет плохую редукцию чисто мультипликативного
типа в некоторой точке $\delta\in\Delta=C\setminus C'$}.

{\it Если \,\, $\dim H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\neq 2$ \, и \,
$\dim H^2(X,\Q)\neq 2$,
то оператор $\Lambda^{n-1}:H^{2n}(X,\Q)$
\newline
$\to H^2(X,\Q)$
алгебраический.}

{\it Доказательство.} Предположим сначала, что выполнено условие (i) или (ii).
Тогда
$\End_{C'}(X')\otimes\Q$
содержится в мнимом квадратичном поле.
Фиксируем точку $s\in C'$.
Представление монодромии $\rho:\pi_1(C',s)\to\GL(H^1(X_s,\Q))$
полупросто \cite[4.2.6]{8} и, следовательно, $\Q$-алгебра
$H=\End(R^1\pi'_\ast\Q)$ изоморфна прямой сумме матричных алгебр
вида $M_{n_i}(D_i)$, где $D_i$ -- некоторое тело. С другой
стороны, центр $Z$ алгебры $H$ имеет тип Ходжа $(0,0)$ и, следовательно,
содержится в подалгебре $\End_{C'}(X')\otimes\Q$
\cite[4.4.7]{8}.
Поэтому $H=M_n(D)$,
где $D$ -- некоторое тело, $Z=\Cent(D)$,\quad$[Z:\Q]\leq 2$.
Если $Z$ -- мнимое квадратичное расширение поля $\Q$, то
$\End_{C'}(X')\otimes\Q=\End(R^1\pi'_\ast\Q)$
\cite[предложение 4.4.11]{8}.
Если $Z=\Q$, то $D$ -- центральная алгебра с делением над $\Q$ и, следовательно,
$D\otimes_{\Q}\R$ -- матричная алгебра над $\R$ или матричная алгебра над
телом $\K$ классических кватернионов. Следовательно,
$\End_{C'}(X')\otimes\Q=\End(R^1\pi'_\ast\Q)$
\cite[предложение 4.4.11]{8}.
В любом из этих случаев имеем:
\begin{gather*}
\End_{C'}(X')\otimes\Q=\End(R^1\pi'_\ast\Q).
\tag{2.5}\label{2.5}
\end{gather*}
Более того,
$\End_{C'}(X')\otimes\Q$ является $\Q$-структурой Ходжа типа $(0,0)$
\cite[4.4.6]{8}. С другой стороны,
поляризация абелева многообразия $X_s$ ($s\in C'$)
определяет изоморфизм $\Q$-структур Ходжа
$H^1(X_s,\Q)^\vee\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,H^1(X_s,\Q)(1)$
\cite[4.2.3]{8}.
Поэтому
\begin{gather*}
\End(R^1\pi'_\ast\Q)
\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
\left[H^1(X_s,\Q)^\vee\otimes H^1(X_s,\Q)\right]^{\pi_1(C', s)}
\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,\\
\left[H^1(X_s,\Q)\otimes H^1(X_s,\Q)\right]^{\pi_1(C', s)}(1)
\end{gather*}
является $\Q$-структурой Ходжа типа $(0,0)$. Поскольку имеются
канонические морфизмы $\Q$-структур Ходжа
\cite[гл. VIII, \S \, 7, упражнение 11 (a)]{16}
$$
H^2(X_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
\left[\wedge^2H^1(X_s,\Q)\right]^{\pi_1(C', s)}
\hookrightarrow
\left[H^1(X_s,\Q)\otimes H^1(X_s,\Q)\right]^{\pi_1(C', s)},
$$
то мы видим, что
$H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)=H^2(X_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}$
является $\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$.

Наконец, предположим, что выполнено условие (iii). Пусть
$X'=\Pic^0(Y'/C')$, \quad
$$
\begin{matrix}
Y'&\hookrightarrow&Y\\
\downarrow^{\tau'}&\ &\downarrow^\tau\\
C'&\hookrightarrow&C
\end{matrix}
$$
-- диаграмма расслоенного произведения, определенная компактификацией,
\quad $Y$ --
\newline
гладкая проективная поверхность, \quad $\mathcal J\to C$
-- минимальная модель Нерона общего схемного слоя канонического морфизма
$\pi':X'\to C'$.

Используя хорошо известные результаты Делиня и Мамфорда о вырождениях
кривых и якобианов \cite[\S \, 2]{17},
можно легко показать, что следующие условия эквивалентны:

(a) геометрический слой морфизма $\tau:Y\to C$ над $\delta$ является
объединением рациональных кривых кратности 1 с нормальными пересечениями;

(b) геометрический слой морфизма
$\mathcal J\to C$ над $\delta$ является расширением
линейного тора с помощью конечной группы;

(c) общий схемный слой морфизма $\pi': X'\to C'$ имеет плохую
редукцию чисто мультипликативного типа в точке $\delta$.

Используя (если необходимо) моноидальное преобразование
$\widetilde{Y}\to Y$ поверхности $Y$
вдоль множества всех особых точек неприводимых компонент слоя $Y_\delta$,
мы можем считать, что $Y_\delta$
является объединением {\it гладких} рациональных кривых
кратности 1 с нормальными пересечениями.

Если $t$ -- локальная голоморфная координата в окрестности точки
$\delta\in C$ (так что $\delta$ определена уравнением $t=0$), то
можно считать, что $\tau:Y\to C$ локально задается равенством
$t=z_i$ или $t=z_1z_2$, где $z_1,z_2$ -- локальные голоморфные
координаты на $Y$.

Фиксируем особую точку $y_0\in\Sing(Y\times_CY)$. Тогда
$y_0=y_{12}\times y_{34}$, где $y_{12},y_{34}\in Y_\delta$,
\quad $y_{12}\in F_1\cap F_2$ для подходящих гладких
рациональных кривых $F_i\hookrightarrow Y_\delta,\quad F_1\neq F_2$,
\quad
$F_i$ локально определяется уравнением $z_i=0$ на первой копии $Y$,
\quad
$y_{34}\in F_3\cap F_4$ для подходящих гладких рациональных
кривых $F_j\hookrightarrow Y_\delta,\quad F_3\neq F_4$,
\quad $F_j$ локально определяется уравнением $z_j=0$ на второй копии $Y$.
Ограничение канонического вложения $Y\times_CY\hookrightarrow Y\times Y$
на малую окрестность точки $y_0$ аналитически эквивалентно
вложению аффинного конуса $W=\{z_1z_2=z_3z_4\}\hookrightarrow
\C^4$.

Легко видеть, что моноидальное преобразование $\C^4$ вдоль
плоскости $\{z_1=z_3=0\}$ дает разрешение особенности
$W_{\text{strict}}\to W$ конуса $W$.
Следовательно, моноидальное преобразование вложенного подмногообразия
$Y\times_CY\hookrightarrow Y\times Y$ вдоль $F_1\times F_3$ дает
разрешение особенности $Y\times_CY$ в точке $y_0$.
Поэтому последовательность моноидальных преобразований вложенного
подмногообразия
$Y\times_CY\hookrightarrow Y\times Y$ вдоль подходящих точных
образов неприводимых компонент $Y_\delta\times Y_\delta$
дает разрешение особенностей $Y\times_CY$ над некоторой
окрестностью точки $\delta\in C$. Пусть $\sigma:V\to
Y\times_CY$ -- рассматриваемое разрешение особенностей.
По построению, геометрический слой $V_\delta$
является объединением гладких рациональных поверхностей
кратности $1$ с нормальными пересечениями. Можно считать,
что все слои канонического морфизма $V\to C$ являются дивизорами
с нормальными пересечениями.

Пусть $\tau'\times_{C'}\tau':Y'\times_{C'}Y'\to C'$ -- структурный
морфизм.
Поскольку $V$ -- гладкая компактификация $Y'\times_{C'}Y'$,
то из результатов Делиня следует, что каноническое отображение
$$
H^2(V,\Q)\to H^0(C',R^2(\tau'\times_{C'}\tau')_\ast\Q)=
H^2(Y'_s\times Y'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}
$$
является сюръективным морфизмом $\Q$-структур Ходжа
\cite[следствие 4.1.2]{8}. С другой стороны,
$H^2(V,\mathcal O_V)$
совпадает с компонентой типа $(0,2)$ разложения Ходжа пространства
$H^2(V,\Q)\otimes\C$.

Мы утверждаем, что
\begin{gather*}
\forall\alpha\in H^2(V,\mathcal O_V)\qquad\forall s\in C'
\qquad\alpha_s\,\,\overset\ddef{=}\,\,\alpha\vert_{V_s}=0.
\tag{2.6}\label{2.6}
\end{gather*}

Действительно, в силу классической теории Ходжа $\alpha=\overline\beta$
для голоморфной $2$-формы $\beta\in
H^0(V,\Omega^2_V)$.
Если $z_1,z_2$ -- локальные голоморфные координаты на $V_s$, то мы имеем:
\begin{gather*}
\beta_s
\,\,\overset\ddef{=}\,\,
\beta\vert_{V_s}=b(z_1,z_2)\,dz_1\wedge dz_2,\\
\beta_s\wedge\overline{\beta_s}=\vert b(z_1,z_2)\vert^2 dz_1\wedge
dz_2\wedge d\overline{z_1}\wedge d\overline{z_2}.
\end{gather*}
Поэтому
\begin{gather*}
\int_{V_s}\beta_s\wedge\overline{\beta_s}=0\quad\Leftrightarrow\quad\beta_s=0.
\tag{2.7}\label{2.7}
\end{gather*}
Так как
$$
\int_{V_s}\beta_s\wedge\overline{\beta_s}=\int_{V_s}\beta\wedge\overline
\beta,
$$
то \eqref{2.7} принимает вид
\begin{gather*}
\int_{V_s}\beta\wedge\overline\beta=0\quad\Leftrightarrow\quad\beta_s=0.
\tag{2.8}\label{2.8}
\end{gather*}
Любая неприводимая компонента геометрического слоя
$V_\delta=\bigcup_{i=1}^nE_i$ является гладкой рациональной поверхностью.
Следовательно, $H^0(E_i,\Omega^2_{E_i})=0$
\,\, и \,\, $\beta\vert_{E_i}=0$ для всех $i$,
\begin{gather*}
\int_{V_\delta}\beta\wedge\overline\beta=\sum_{i=1}^n\int_{E_i}\beta\wedge
\overline\beta=
\sum_{i=1}^n\int_{E_i}\beta\vert_{E_i}\wedge
\overline{\beta\vert_{E_i}}=0.
\tag{2.9}\label{2.9}
\end{gather*}
Поскольку $V_\delta$ гомологичен $V_s$ на $V$,
\, и \, $\beta\wedge\overline\beta$ является $d$-замкнутой формой,
то мы имеем по теореме Стокса:
$$
\int_{V_\delta}\beta\wedge\overline\beta=
\int_{V_s}\beta\wedge\overline\beta.
$$
Поэтому \eqref{2.8} - \eqref{2.9} дают $\alpha_s=
\overline\beta_s=0$.
Утверждение \eqref{2.6} доказано.

Из \eqref{2.6} следует, что $H^2(Y'_s\times Y'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}$
является $\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$. В силу
формулы Кюннета имеем:
\begin{gather*}
[H^1(Y'_s,\Q)\otimes H^1(Y'_s,\Q)]^{\pi_1(C',s)}=
[H^1(\Pic^0(Y'_s),\Q)\otimes H^1(\Pic^0(Y'_s),\Q)]^{\pi_1(C',s)}\\
{\text{является }}\Q-{\text{структурой Ходжа типа }}(1,1).
\tag{2.10}\label{2.10}
\end{gather*}
Поскольку имеются канонические морфизмы $\Q$-структур Ходжа
\cite[гл. VIII, \S \, 7, упражнение 11 (a)]{16}
\begin{gather*}
H^2(X_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
\left[\wedge^2H^1(\Pic(Y'_s),\Q)\right]^{\pi_1(C', s)}
\hookrightarrow\\
\left[H^1(\Pic^0(Y'_s),\Q)\otimes H^1(\Pic^0(Y'_s),\Q)\right]^{\pi_1(C', s)},
\end{gather*}
то мы видим, что
$H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)=H^2(X_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}$ является
$\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$.

Следовательно, если выполнено хотя бы одно из условий (i) -- (iii), то
\newline
$H^0(C',R^2\pi'_\ast\Q)$ является $\Q$-структурой Ходжа типа $(1,1)$.

Если \,\, $\dim H^0(C,R^2\pi_\ast\Q)\neq 2$ \, и \,
$\dim H^2(X,\Q)\neq 2$, то
оператор $\Lambda^{n-1}:H^{2n}(X,\Q)$
\newline
$\to H^2(X,\Q)$
алгебраический в силу лемм 2.7 \, и \, 2.10.
Теорема доказана.

\section*{\bf \S \, 3.\ \
О $\pmb{B(X)}$ для компактификации якобиевой схемы относительной размерности
3 над аффинной кривой с плохими редукциями чисто мультипликативного типа\\}

{\bf 3.1. Лемма.} {\it Пусть
$\tau:Y\to C$ -- морфизм гладкой проективной поверхности $Y$
на гладкую кривую $C$. Предположим, что все особые слои
являются объединениями гладких
рациональных кривых кратности $1$ с нормальными
пересечениями. Тогда имеется такое разрешение особенностей
$\sigma:[Y\times_CY\times_CY]^{\smooth}\to Y\times_CY\times_CY$, что
все особые слои композиции
$$[Y\times_CY\times_CY]^{\smooth}\xrightarrow{\sigma}
Y\times_CY\times_CY\to C$$
являются объединениями гладких неприводимых компонент $E'_i$
кратности $1$ с нормальными пересечениями, и \, $E'_i$ получается из
$\mathbb P^1\times\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ композицией раздутий точек и
гладких рациональных кривых. В частности,
$H^3(E'_i,\Q)=0$. }

{\it Доказательство.}
Если $t$ -- локальная голоморфная координата в окрестности
точки $\delta\in C$ (так что $\delta$ определяется уравнением $t=0$),
то можно считать, что $\tau:Y\to C$ локально задается формулами
$t=z_i$ или $t=z_1z_2$, где $z_1,z_2$ -- локальные голоморфные координаты
на $Y$.

Пусть $z_1,\dots,z_6$ -- локальные голоморфные координаты на
$X\,\,\overset\ddef{=}\,\,Y\times Y\times Y$. Можно считать, что
подмногообразие $V\,\,\overset\ddef{=}\,\,
Y\times_CY\times_CY\hookrightarrow Y\times Y\times Y=X$
локально определяется одной из следующих систем уравнений:
\begin{gather*}
z_1z_2=z_3z_4=z_5z_6;
\tag{3.1}\label{3.1}\\
z_1=z_3z_4=z_5z_6;
\tag{3.2}\label{3.2}\\
z_1=z_3=z_5z_6;
\tag{3.3}\label{3.3}\\
z_1=z_3=z_5.
\tag{3.4}\label{3.4}
\end{gather*}

Пусть
$D\hookrightarrow\C^6$ --  полидиск с координатами $z_1,\dots,z_6$,
\quad $W=V\cap D$
-- открытое подмножество в $V^{\an}$.

Мы утверждаем, что
\begin{gather*}
\dim\Sing(W)=
\begin{cases}
\,\,\,\,1,\quad{\text{ если }}\,\,\, W=
\{z_1z_2=z_3z_4=z_5z_6\};\\
\,\,\,\,1,\quad{\text{ если }}\,\,\, W=
\{z_1=z_3z_4=z_5z_6\};\\
-1,\quad{\text{ если }}\,\,\, W=
\{z_1=z_3=z_5z_6\};\\
-1,\quad{\text{ если }}\,\,\, W=
\{z_1=z_3=z_5\}.
\end{cases}
\tag{3.5}\label{3.5}
\end{gather*}

Действительно, предположим сначала, что
$W=\{z_1z_2=z_3z_4=z_5z_6\}$. Поскольку $W$ -- множество нулей голоморфных
функций $f_1=z_1z_2-z_3z_4,\quad f_2=z_1z_2-z_5z_6$, то мы имеем в силу
\cite[гл. 0, \, \S \, 2]{18}:
$$
\Sing(W)=\{(z_1,\dots,z_6)\in W\,\,\vert\,\,
\rank\mathcal J(f_1,f_2)<2\},
$$
где $\mathcal J=\mathcal J(f_1,f_2)$ -- матрица Якоби
\begin{gather*}
\mathcal J=
\left(
\begin{matrix}
\partial f_1\over\partial z_1&\partial f_1\over\partial z_2&
\partial f_1\over\partial z_3&\partial f_1\over\partial z_4&
\partial f_1\over\partial z_5&\partial f_1\over\partial z_6\\
\partial f_2\over\partial z_1&\partial f_2\over\partial z_2&
\partial f_2\over\partial z_3&\partial f_2\over\partial z_4&
\partial f_2\over\partial z_5&\partial f_2\over\partial z_6
\end{matrix}
\right)=
\left(
\begin{matrix}
z_2&z_1&-z_4&-z_3&0&0\\
z_2&z_1&0&0&-z_6&-z_5
\end{matrix}
\right).
\end{gather*}
Поэтому
\begin{gather*}
\Sing(W)=
\{(z_1,\dots,z_6)\in W\,\,\vert\,\,
z_1z_3=z_1z_4=z_1z_5=z_1z_6=\\
z_2z_3=z_2z_4=z_2z_5=z_2z_6=
z_3z_5=z_3z_6=
z_4z_5=z_4z_6=0\};\\
\Sing(W)=
\{(z_1,\dots,z_6)\in D\,\,\vert\,\,z_2=z_3=z_4=z_5=z_6=0\}\,\,\cup\\
\{(z_1,\dots,z_6)\in D\,\,\vert\,\,z_1=z_3=z_4=z_5=z_6=0\}\,\,\cup\dots\cup\\
\{(z_1,\dots,z_6)\in D\,\,\vert\,\,z_1=z_2=z_3=z_4=z_5=0\};
\tag{3.6}\label{3.6}
\\
\dim\Sing(W)=1.
\end{gather*}

Аналогично для $W=\{z_1=z_3z_4=z_5z_6\}$ имеем:
\begin{gather*}
\mathcal J=
\left(
\begin{matrix}
1&0&-z_4&-z_3&0&0\\
1&0&0&0&-z_6&-z_5
\end{matrix}
\right),\\
\Sing(W)=\{(z_1,\dots,z_6)\in W\,\,\vert\,\,
z_3=z_4=z_5=z_6=0\}=\\
\{(z_1,\dots,z_6)\in D\,\,\vert\,\,
z_1=z_3=z_4=z_5=z_6=0\};
\tag{3.7}\label{3.7}
\\
\dim\Sing(W)=1.
\end{gather*}

Наконец, для $W=\{z_1=z_3=z_5z_6\}$ имеем:
$$
\mathcal J=
\left(
\begin{matrix}
1&0&-1&0&0&0\\
1&0&0&0&-z_6&-z_5
\end{matrix}
\right), \qquad \rank\mathcal J=2,
$$
поэтому $W$ не имеет особенностей. Это же верно для
$W=\{z_1=z_3=z_5\}$. Утверждение \eqref{3.5} доказано.

Из \eqref{3.5} -- \eqref{3.7} следует, что
\begin{gather*}
\Sing(Y\times_CY\times_CY)=\bigcup_{\delta\in\Delta,
\quad F\hookrightarrow Y_\delta
\atop{a,b\in\Sing(Y_\delta)}}
[F\times a\times b]\cup
[a\times F\times b]\cup
[a\times b\times F]
\tag{3.8}\label{3.8}
\end{gather*}
-- объединение гладких рациональных кривых,
где $F$ пробегает неприводимые компоненты $Y_\delta$ (являющиеся
гладкими рациональными кривыми),
и $a,b$ пробегают особые точки слоя $Y_\delta$.

Рассмотрим моноидальное преобразование $f:X'\to X$ вдоль
гладкой рациональной компоненты $E_i\hookrightarrow V_\delta$.
Очевидно, что $E_i\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,\mathbb P^1\times
\mathbb P^1\times\mathbb P^1$. По формуле Кюннета имеем:
\begin{gather*}
H^3(E_i,\Q)=0.
\tag{3.9}\label{3.9}
\end{gather*}

Канонический морфизм $\varphi:V_{\text{strict}}\to V$
точного образа подмногообразия $V\hookrightarrow X$
при моноидальном преобразовании $f$ является моноидальным
преобразованием многообразия $V$ вдоль $E_i$
\cite[гл. 0, \S \, 2]{19}. По той же причине канонический морфизм
$\varphi_{E_j}:
(E_j)_{\text{strict}}\to E_j$ является моноидальным преобразованием
$E_j$ вдоль $E_i\cap E_j\quad(j\neq i)$.
Поскольку $E_i,E_j$ -- произведения гладких рациональных кривых,
то легко видеть, что возможны следующие случаи:
\begin{gather*}
E_i\cap E_j=
\begin{cases}
{\text{ конечное множество точек}};\\
{\text{ несвязное объединение гладких рациональных кривых}};\\
{\text{ несвязное объединение произведений гладких рациональных кривых}}
\end{cases}
\tag{3.10}\label{3.10}
\end{gather*}
(в последнем случае $\varphi_{E_j}$ -- изоморфизм).

Во всех случаях любая неприводимая компонента
$E'\hookrightarrow (V_{\text{strict}})_\delta$ гладкая. Более того,
мы имеем:
\begin{gather*}
H^3(E',\Q)=0.
\tag{3.11}\label{3.11}
\end{gather*}

Действительно, пусть
$$
\begin{matrix}
B'&\overset j{\hookrightarrow}&E'\\
\downarrow^g&\ &\downarrow^{\varphi_E}\\
B&\overset i{\hookrightarrow}&E
\end{matrix}
$$
-- каноническая диаграмма моноидального преобразования
$\varphi_E:E'\to E$ гладкого рационального трехмерного многообразия $E$
вдоль замкнутого гладкого рационального центра $B$ коразмерности $r\geq 2$,
\quad $N$ -- конормальный пучок на $B$ \cite[13.3]{20}.
Тогда имеется каноническое разложение $\Q$-структур Ходжа
\begin{gather*}
H^3(E',\Q)=\varphi_E^\ast H^3(E,\Q)\bigoplus
\left[\bigoplus_{p=0}^{r-2}
j_\ast[g^\ast H^{3-2p-2}(B,\Q)\cup\cc_1(\mathcal O_{\mathbb P(N)}(1))^{\cup p}]
\right]
\tag{3.12}\label{3.12}
\end{gather*}
\cite[предложение 13.1]{21}. Поскольку $H^1(B,\Q)=0$, то \eqref{3.12}
принимает вид
$$
H^3(E',\Q)=\varphi_E^\ast H^3(E,\Q),
$$
поэтому \eqref{3.11} следует из \eqref{3.9}.

Можно считать, что неприводимая компонента $E_i$ особого слоя $V_\delta$
локально определяется как $\{z_1=z_3=z_5=0\}$.
Хорошо известно, что моноидальное преобразование полидиска $D$
с координатами $z_1,\dots,z_6$
вдоль трехмерного многообразия $\{z_1=z_3=z_5=0\}$
является канонической проекцией подмножества
\begin{gather*}
\widetilde{D}=\{(z_1,z_2,z_3,z_4,z_5,z_6)\times(w_0:w_1:w_2)\,\,
\vert\,\,\\
z_1w_1=z_3w_0;\quad z_1w_2=z_5w_0;\quad z_3w_2=z_5w_1\}
\hookrightarrow D\times\mathbb P^2
\end{gather*}
на $D$. Пусть $D_+(w_i)=\{(w_0:w_1:w_2)\in\mathbb P^2\,\,
\vert\,\,w_i\neq 0\}$,\quad
$u_1=w_1/w_0,\quad u_2=w_2/w_0$
-- локальные координаты на $D_+(w_0)$, \quad
$u_3=w_0/w_1,\quad u_4=w_2/w_1$
-- локальные координаты на $D_+(w_1)$, \quad
$u_5=w_0/w_2,\quad u_6=w_1/w_2$
-- локальные координаты на $D_+(w_2)$.

Предположим сначала, что
$W$
определяется системой уравнений
$z_1=z_3z_4=z_5z_6$ типа \eqref{3.2}.
Поскольку $\widetilde{D}$ задается в открытом множестве
$U_0=D\times D_+(w_0)$ как
$\widetilde{D}\cap U_0=\{z_3=z_1u_1;\quad
z_5=z_1u_2\}$,
то точный образ $W_{\text{strict}}$ многообразия $W$ определяется
в локальных координатах $z_1,z_2,z_4,z_6,u_1,u_2$ на
$\widetilde{D}\cap U_0$ уравнениями
$1=u_1z_4=u_2z_6$.
Ранг соответствующей матрицы Якоби
$$
\mathcal J=
\left(
\begin{matrix}
0&0&-u_1&0&-z_4&0\\
0&0&0&-u_2&0&-z_6
\end{matrix}
\right)
$$
равен $2$, потому что $u_1u_2\neq 0$ на $W_{\text{strict}}$. Следовательно,
$W_{\text{strict}}$ не имеет особых точек на $\widetilde{D}\cap U_0$.
С другой стороны,
$\widetilde{D}$ задается в открытом подмножестве
$U_1=D\times D_+(w_1)$ как
$\widetilde{D}\cap U_1=
\{z_1=z_3u_3;\quad z_5=z_3u_4\}$,
следовательно, $W_{\text{strict}}$ определяется в
локальных координатах
$z_2,z_3,z_4,z_6,u_3,u_4$ на
$\widetilde{D}\cap U_1$ уравнениями
$u_3=z_4=u_4z_6$,
$$
\rank\mathcal J=
\rank\left(
\begin{matrix}
0&0&-1&0&1&0\\
0&0&0&-u_4&1&-z_6
\end{matrix}
\right)=2,
$$
и $W_{\text{strict}}$ не имеет особых точек в $\widetilde{D}\cap U_1$.
Наконец,
$\widetilde{D}$ задается в открытом подмножестве
$U_2=D\times D_+(w_2)$ как
$\widetilde{D}\cap U_2=
\{z_1=z_5u_5;\quad z_3=z_5u_6\}$,
следовательно, $W_{\text{strict}}$ определяется в локальных координатах
$z_2,z_4,z_5,z_6,u_5,u_6$ на $\widetilde{D}\cap U_2$ уравнениями
$u_5=u_6z_4=z_6$,
$$
\rank\mathcal J=
\rank\left(
\begin{matrix}
0&-u_6&0&0&1&-z_4\\
0&0&0&-1&1&0
\end{matrix}
\right)=2,
$$
и $W_{\text{strict}}$ не имеет особых точек на $\widetilde{D}\cap U_2$.

Предположим теперь, что
$W$
определяется системой уравнений $z_1z_2=z_3z_4=z_5z_6$ типа \eqref{3.1}.
Поскольку $\widetilde{D}$ задается в открытом подмножестве
$U_0=D\times D_+(w_0)$ как
$\widetilde{D}\cap U_0=\{z_3=z_1u_1;\quad
z_5=z_1u_2\}$,
то точный образ
$W_{\text{strict}}$ многообразия $W$ определяется в локальных
координатах $z_1,z_2,z_4,z_6,u_1,u_2$ на
$\widetilde{D}\cap U_0$ системой уравнений
$z_2=u_1z_4=u_2z_6$ типа \eqref{3.2}.
Из приведенных выше вычислений следует, что
моноидальное преобразование $W_{\text{strict}}\cap
[\widetilde{D}\cap U_0]$ вдоль $\{z_2=z_4=z_6=0\}$ дает разрешение
особенностей
$W_{\text{strict}}\cap
[\widetilde{D}\cap U_0]$.
С другой стороны,
$\widetilde{D}$ задается в открытом подмножестве
$U_1=D\times D_+(w_1)$ как
$\widetilde{D}\cap U_1=
\{z_1=z_3u_3;\quad z_5=z_3u_4\}$,
следовательно, $W_{\text{strict}}$ определяется в локальных
координатах $z_2,z_3,z_4,z_6,u_3,u_4$ на
$\widetilde{D}\cap U_1$ системой уравнений
$u_3z_2=z_4=u_4z_6$ типа \eqref{3.2}. Поэтому
моноидальное преобразование
$W_{\text{strict}}\cap
[\widetilde{D}\cap U_1]$ вдоль $\{z_2=z_4=z_6=0\}$
дает рарешение особенностей $W_{\text{strict}}\cap
[\widetilde{D}\cap U_1]$.
Наконец,
$\widetilde{D}$ задается в открытом подмножестве
$U_2=D\times D_+(w_2)$ как
$\widetilde{D}\cap U_2=
\{z_1=z_5u_5;\quad z_3=z_5u_6\}$,
поэтому $W_{\text{strict}}$ определяется в локальных координатах
$z_2,z_4,z_5,z_6,u_5,u_6$ на
$\widetilde{D}\cap U_2$ системой уравнений
$u_5z_2=u_6z_4=z_6$ типа \eqref{3.2},
и моноидальное преобразование $W_{\text{strict}}\cap
[\widetilde{D}\cap U_2]$ вдоль $\{z_2=z_4=z_6=0\}$
дает разрешение особенностей $W_{\text{strict}}\cap
[\widetilde{D}\cap U_2]$.

Пусть $E_1,E_2,\dots, E_m$ -- все неприводимые компоненты
особых слоев канонического морфизма $V=Y\times_CY\times_CY\to C$.
Легко видеть из приведенных выше вычислений и \eqref{3.11}, что
последовательность моноидальных преобразований $X=Y\times Y\times Y$
вдоль точных образов гладких рациональных трехмерных
многообразий $E_i\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,\mathbb P^1\times
\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ позволяет нам построить разрешение
особенностей вложенного подмногообразия
$Y\times_CY\times_CY\hookrightarrow
Y\times Y\times Y$, удовлетворяющее заключениям леммы 3.1.

{\bf 3.2. Лемма.} {\it Пусть $\tau:Y\to C$ удовлетворяет
условиям леммы
$3.1$,
и $\mu:V\,\,\overset\ddef{=}\,\,
[Y\times_CY\times_CY]^{\smooth}\to C$ -- канонический
структурный морфизм.
Если существует хотя бы один особый слой морфизма $\tau$, \quad
$\End(\Pic^0(Y_{\overline\eta}))=\Z$
для общего геометрического слоя $Y_{\overline\eta}$ морфизма $\tau$,
и род \,\, $Y_{\overline\eta}$ \,\, равен $3$,
то}
\begin{gather*}
H^5(V,\Q)=H^1(C,R^4\mu_\ast\Q);\\
H^3(V,\Q)=H^1(C,R^2\mu_\ast\Q).
\end{gather*}

{\it Доказательство.} Можно считать, что $\tau$ гладкий над
непустым открытым аффинным подмножеством $C'\,\,\overset\ddef{=}\,\,
C\setminus\Delta\hookrightarrow C$.
Рассмотрим диаграмму расслоенного произведения
$$
\begin{matrix}
Y'&\hookrightarrow&Y\\
\downarrow^{\tau'}&\ &\downarrow^\tau\\
C'&\hookrightarrow&C.
\end{matrix}
$$
Пусть $V'=\mu^{-1}(C')$.
Тогда $\mu'=\mu\vert_{\mu^{-1}(C')}:V'\to C'$ гладкий. По лемме 3.1
можно считать, что $V_\delta\quad(\delta\in\Delta)$
является объединением гладких рациональных трехмерных
многообразий $E'_i$ кратности 1
с нормальными пересечениями, и $H^3(E'_i,\Q)=0$.

Используя аргументы доказательства \eqref{1.16}, получим
каноническое разложение $\Q$-структур Ходжа
\begin{gather*}
H^m(V,\Q)=H^0(C,R^m\mu_\ast\Q)\oplus
H^1(C,R^{m-1}\mu_\ast\Q)\oplus
H^2(C,R^{m-2}\mu_\ast\Q).
\tag{3.13}\label{3.13}
\end{gather*}

Пусть
$$
f:Z\to\mu^{-1}(\Delta)
$$
-- нормализация дивизора $\mu^{-1}(\Delta)$. Тогда $Z$ --
несвязное объединение гладких неприводимых компонент дивизора
$\mu^{-1}(\Delta)$.
Поскольку $f$ -- разрешение особенностей замкнутой подсхемы
$i_\Delta:\mu^{-1}(\Delta)\hookrightarrow V$,
то имеется точная последовательность
смешанных $\Q$-структур Ходжа
\cite[следствие (8.2.8)]{22}:
$$
H^3(Z,\Q(-1))\xrightarrow{(i_\Delta f)_\ast}
H^5(V,\Q)\to H^5(V',\Q).
$$
Поэтому
\begin{gather*}
(i_\Delta f)_\ast
H^3(Z,\Q(-1))=
\Ker\left[H^5(V,\Q)\to H^5(V',\Q)\right].
\tag{3.14}\label{3.14}
\end{gather*}
С другой стороны,
любая неприводимая компонента $E\hookrightarrow Z$ является гладким
рациональным трехмерным многообразием с $H^3(E,\Q)=0$.
Из \eqref{3.14} следует, что имеется каноническое вложение
$H^5(V,\Q)\hookrightarrow H^5(V',\Q)$.
Заметим, что канонический сюръективный морфизм $\Q$-структур Ходжа
$H^5(V,\Q)\to H^0(C',R^5\mu'_\ast\Q)$ \cite[теорема 4.1.1]{8}
является частью коммутативной диаграммы (с точными строками и столбцами)
морфизмов смешанных $\Q$-структур Ходжа \cite[следствие 3.2.18,
доказательство теоремы 4.1.1]{8}
$$
\begin{matrix}
H^5(V,\Q)&\hookrightarrow&H^5(V',\Q)\\
\downarrow&\searrow&\downarrow\\
H^0(C,R^5\mu_\ast\Q)&\to&H^0(C',R^5\mu'_\ast\Q)&\to &0\\
\downarrow&\ &\downarrow\\
0&\ &0.
\end{matrix}
$$
Поляризация позволяет нам отождествить $H^0(C',R^5\mu'_\ast\Q)$
с $\Q$-подструктурой Ходжа в
$H^0(C,R^5\mu_\ast\Q)\hookrightarrow H^5(V,\Q)$.
Следовательно, каноническое разложение \eqref{3.13} для $m=5$ дает
отождествление
$H^0(C,R^5\mu_\ast\Q)=H^0(C',R^5\mu'_\ast\Q)$. С другой стороны,
$H^0(C',R^5\mu'_\ast\Q)=H^5(V'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}$ для точки $s\in C'$.
По теореме двойственности Пуанкаре
$H^5(V'_s,\Q)$ двойственно $H^1(V'_s,\Q)$. Следовательно,
$H^0(C,R^5\mu_\ast\Q)$ двойственно
\begin{gather*}
H^1(V'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}=H^1(Y'_s\times Y'_s\times Y'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}.
\tag{3.15}\label{3.15}
\end{gather*}

Очевидно, что след абелевой схемы $\Pic^0(Y'/C')\to C'$
тривиален (так как специальный слой минимальной модели Нерона
схемы $\Pic^0(Y'/C')\to C'$ над бесконечно удаленной точкой
$\delta\in\Delta$ является расширением конечной группы с
помощью тора, и хорошо известно, что
это свойство стабильно относительно замены базы),
поэтому
\begin{gather*}
H^1(Y'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}=0.
\tag{3.16}\label{3.16}
\end{gather*}
Действительно, это равенство доказано в
\cite[лемма 2.6 и замечание 2.7]{7} для абелевых схем
над полными кривыми, и доказательство дословно переносится
на рассматриваемый случай.
Поэтому \eqref{3.15} --
\eqref{3.16} и формула Кюннета дают
\begin{gather*}
H^0(C,R^5\mu_\ast\Q)=0.
\tag{3.17}\label{3.17}
\end{gather*}

Мы утверждаем, что
\begin{gather*}
H^2(C,R^3\mu_\ast\Q)=0.
\tag{3.18}\label{3.18}
\end{gather*}

Действительно, имеется следующий аналог \eqref{1.13}:
\begin{gather*}
H^i(C,R^p\mu_\ast\Q)\cup
H^j(C,R^q\mu_\ast\Q)\hookrightarrow
H^{i+j}(C,R^{p+q}\mu_\ast\Q).
\tag{3.19}\label{3.19}
\end{gather*}
Каноническое спаривание
$H^5(V,\Q)\times H^3(V,\Q)\xrightarrow{x\times y\mapsto x\cup y} H^8(V,\Q)$
невырождено по теореме двойственности Пуанкаре и,
в силу \eqref{3.19}, имеем:
\begin{gather*}
H^2(C,R^3\mu_\ast\Q)
\cup H^1(C,R^2\mu_\ast\Q)\hookrightarrow
H^3(C,R^5\pi_\ast\Q)=0,\\
H^2(C,R^3\mu_\ast\Q)
\cup H^2(C,R^1\mu_\ast\Q)\hookrightarrow
H^4(C,R^4\mu_\ast\Q)=0.
\end{gather*}
Поэтому каноническое спаривание
$$
H^2(C,R^3\mu_\ast\Q)\times H^0(C,R^3\mu_\ast\Q)\xrightarrow{
x\times y\mapsto x\cup y}
H^2(C,R^6\mu_\ast\Q)=H^8(V,\Q)
\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,\Q
$$
невырождено.
В частности,
\begin{gather*}
\dim H^2(C,R^3\mu_\ast\Q)=\dim H^0(C,R^3\mu_\ast\Q).
\tag{3.20}\label{3.20}
\end{gather*}
Используя аргументы доказательства \eqref{3.14}, получаем:
\begin{gather*}
(i_\Delta f)_\ast
H^1(Z,\Q(-1))=
\Ker\left[H^3(V,\Q)\to H^3(V',\Q)\right].
\tag{3.21}\label{3.21}
\end{gather*}
С другой стороны,
каждая неприводимая компонента $E\hookrightarrow Z$ является
гладким рациональным трехмерным многообразием. Следовательно,
$H^1(E,\Q)=0$, потому что $2\dim_\C\Alb(E)=
\dim H^1(E,\Q)$ и любой морфизм рационального многообразия $E$
в его многообразие Альбанезе постоянный. Из \eqref{3.21}
следует, что имеется каноническое вложение
$H^3(V,\Q)\hookrightarrow H^3(V',\Q)$, индуцирующее отождествления
$$
H^0(C,R^3\mu_\ast\Q)=H^0(C',R^3\mu'_\ast\Q)=
H^3(V'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}=
H^3(Y'_s\times Y'_s\times Y'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}
$$
для точки $s\in C'$.
В силу \eqref{3.16} имеем:
$$
[H^2(Y'_s,\Q)\otimes H^1(Y'_s,\Q)]^{\pi_1(C',s)}\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,H^1(Y'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}=0.
$$
Чтобы доказать \eqref{3.18}, остается проверить, что
$$
[H^1(Y'_s,\Q)\otimes H^1(Y'_s,\Q)\otimes H^1(Y'_s,\Q)]^{\pi_1(C',s)}=0.
$$

Заметим, что
\begin{gather*}
[H^1(Y'_s,\Q)\otimes H^1(Y'_s,\Q)\otimes H^1(Y'_s,\Q)]^{\pi_1(C',s)}=\\
\Hom_{\pi_1(C',s)}(H^1(Y'_s,\Q),H^1(Y'_s,\Q)\otimes H^1(Y'_s,\Q)).
\tag{3.22}\label{3.22}
\end{gather*}

Поскольку $\End(\Pic^0(Y_{\overline\eta}))=\Z$ по предположению
леммы,
то для общей точки $s\in C'$ (в смысле А.Вейля)
$\Hg(H^1(Y'_s,\Q))=\Hg(H^1(\Pic^0(Y'_s),\Q))$ является простой
алгебраической $\Q$-группой типа $C_3$ \,\, \cite{23}.

Для замкнутой точки $u\in C'$ обозначим через
$\rho_u:\pi_1(C',u)\to\GL(H^1(Y'_u,\Q))$
каноническое представление монодромии.
По теореме Делиня существует такое счетное подмножество
$\Delta'_\infty\hookrightarrow C'$, что для всех
$v\in C'\setminus\Delta'_\infty$ замыкание $\rho_v(\pi_1(C',v))$
в топологии Зариского группы $\GL(H^1(Y'_v,\Q))$ является
полупростой алгебраической $\Q$-группой $G$, и
связная компонента единицы $G^0$ группы $G$ является нормальной
подгруппой в $\Hg(H^1(Y'_v,\Q))$
\cite[теорема 7.3]{24}.  В частности,
$G^0=1$ или $G^0$ -- простая алгебраическая $\Q$-группа
типа $C_3$.

Если $G^0=1$, то $\Pic^0(Y'/C')\to C'$ -- изотривиальная абелева схема
\cite[(4.1.3.3), 4.4.3]{8},
что противоречит тривиальности следа этой абелевой схемы.
Поэтому
$G^0$ -- простая алгебраическая $\Q$-группа типа $C_3$.

В силу \eqref{3.22} достаточно показать, что
$$
\Hom_{G^0}(H^1(Y'_s,\Q),H^1(Y'_s,\Q)\otimes H^1(Y'_s,\Q))=0.
$$
Поскольку $H^1(Y'_s,\C)=E(\omega_1)$ -- стандартное представление
комплексной простой алгебры Ли $g$ типа $C_3$ со старшим весом
$\omega_1$, то остается показать, что
\begin{gather*}
\Hom_g(E(\omega_1),E(\omega_1)\otimes E(\omega_1))=0.
\tag{3.23}\label{3.23}
\end{gather*}
Заметим, что
$E(\omega_1)\otimes E(\omega_1)=\Sym^2E(\omega_1)\oplus\wedge^2E(\omega_1)$
-- представление степени 36, содержащее неприводимое
подпредставление $E(2\omega_1)$ \cite[гл. VIII, \S \, 7,
упражнение 17]{16} степени 21 в силу формулы Г.Вейля \cite[2.7]{25}.
Напомним, что $\wedge^2E(\omega_1)=E(\omega_2)\oplus E(0)$
\cite[гл. VIII,
13.3, лемма 2]{16}, \,\, $\dim E(\omega_2)=14$. Поэтому
имеется каноническое разложение $g$-модулей
$E(\omega_1)\otimes E(\omega_1)=E(2\omega_1)\oplus E(\omega_2)\oplus E(0)$.
Следовательно,
лемма Шура дает \eqref{3.23}. Мы видим, что верно \eqref{3.18}.

Из \eqref{3.18} и \eqref{3.20} следует, что
\begin{gather*}
H^0(C,R^3\mu_\ast\Q)=0.
\tag{3.24}\label{3.24}
\end{gather*}
С другой стороны, \eqref{3.13} для $m=5$ и
\eqref{3.17} -- \eqref{3.18} дают
\begin{gather*}
H^5(V,\Q)=H^1(C,R^4\mu_\ast\Q).
\tag{3.25}\label{3.25}
\end{gather*}

Каноническое спаривание
$H^5(V,\Q)\times H^3(V,\Q)\xrightarrow{x\times y\mapsto x\cup y} H^8(V,\Q)$
невырождено по теореме двойственности Пуанкаре и,
согласно \eqref{3.19}, имеем:
$H^1(C,R^4\mu_\ast\Q)\,\,\cup\,\,$
\newline
$H^2(C,R^1\mu_\ast\Q)$
$\hookrightarrow
H^3(C,R^5\mu_\ast\Q)=0$.
Поэтому \eqref{3.25} дает $H^2(C,R^1\mu_\ast\Q)=0$
и, в силу \eqref{3.13} для $m=3$ и
\eqref{3.24}, имеем:
$H^3(V,\Q)=H^1(C,R^2\mu_\ast\Q)$.
Лемма доказана.

{\bf 3.3. Лемма.} {\it Пусть $Y_s$ -- гладкая проективная кривая
рода
$3$, и $V_s=Y_s\times Y_s\times Y_s$. Тогда имеется такой канонически
определенный алгебраический класс $\omega_s\in $
\newline
$H^1(V_s,\Q)\otimes
H^1(V_s,\Q)$, что алгебраическое соответствие
$\omega_s^{\cup\,2}$ дает алгебраический изоморфизм
$H^4(V_s,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}
\,\,H^2(V_s,\Q)$.}

{\it Доказательство.} Каноническое спаривание
$$
\Phi:H^1(Y_s,\Q)\times H^1(Y_s,\Q)\xrightarrow{x\times y\mapsto x\cup y}H^2(Y_s,\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,\Q
$$
кососимметрично и невырождено.
Напомним, что матрица $\Phi$ относительно базиса Витта
$e_1,e_2,e_3,e_{-3},e_{-2},e_{-1}$ пространства $H^1(Y_s,\Q)$ равна
$\left(
\begin{matrix}
0&s\\
-s&0
\end{matrix}
\right)$,
где
$s=$
\newline
$\left(
\begin{matrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{matrix}
\right)$
\cite[гл. VIII, \S \, 13, n$^0$ 3]{16}.
Фиксируем точку $p\in Y_s$. Тогда
\begin{gather*}
e_i\cup e_j=
\begin{cases}
\cl_{Y_s}(p)\qquad{\text{для }}i=-j=1,2,3;\\
-\cl_{Y_s}(p)\quad{\text{для }}i=-j=-1,-2,-3;\\
0\,\,\qquad\qquad{\text{для }}i\neq-j.
\end{cases}
\tag{3.26}\label{3.26}
\end{gather*}
Можно отождествить алгебру Ли $\ssp(\Phi)$ с алгеброй Ли
матриц вида
$a=$
\newline
$\left(
\begin{matrix}
A&B\\
C&-s\,\,^tA\,\,s
\end{matrix}
\right)$,
где $A,B,C$ -- матрицы типа $3\times 3$, и $B$, $C$ -- симметрические
матрицы относительно побочной диагонали
\cite[гл. VIII, \S \, 13, n$^0$ 3]{16}.
Легко доказать прямыми вычислениями, что $1$-мерное пространство
$[H^1(Y_s,\Q)\otimes H^1(Y_s,\Q)]^{{\Ssp}(\Phi)}$
порождается классом Пуанкаре
\begin{gather*}
\wp(H^1(Y_s,\Q))=
e_1\otimes e_{-1}+e_2\otimes e_{-2}+e_3\otimes e_{-3}
-e_{-3}\otimes e_3-e_{-2}\otimes e_2-e_{-1}\otimes e_1.
\tag{3.27}\label{3.27}
\end{gather*}
Поскольку
$\wp(H^1(Y_s,\Q))$ -- цикл Ходжа \cite[1.5]{4},
то он алгебраический по теореме Лефшеца.

Рассмотрим алгебраический класс
\begin{gather*}
\omega_s=\wp(H^1(Y^{(1)}_s,\Q))+
\wp(H^1(Y^{(2)}_s,\Q))+
\wp(H^1(Y^{(3)}_s,\Q))=\\
e_1^{(1)}\otimes e_{-1}^{(1)}+e_2^{(1)}\otimes e_{-2}^{(1)}+
e_3^{(1)}\otimes e_{-3}^{(1)}
-e_{-3}^{(1)}\otimes e_3^{(1)}-e_{-2}^{(1)}\otimes e_2^{(1)}-e_{-1}^{(1)}
\otimes e_1^{(1)}+\\
e_1^{(2)}\otimes e_{-1}^{(2)}+e_2^{(2)}\otimes e_{-2}^{(2)}+
e_3^{(2)}\otimes e_{-3}^{(2)}
-e_{-3}^{(2)}\otimes e_3^{(2)}-e_{-2}^{(2)}\otimes e_2^{(2)}-e_{-1}^{(2)}
\otimes e_1^{(2)}+\\
e_1^{(3)}\otimes e_{-1}^{(3)}+e_2^{(3)}\otimes e_{-2}^{(3)}+
e_3^{(3)}\otimes e_{-3}^{(3)}
-e_{-3}^{(3)}\otimes e_3^{(3)}-e_{-2}^{(3)}\otimes e_2^{(3)}-e_{-1}^{(3)}
\otimes e_1^{(3)},
\end{gather*}
где
$e_1^{(k)},e_2^{(k)},e_3^{(k)},e_{-3}^{(k)},e_{-2}^{(k)},e_{-1}^{(k)}$
-- базис Витта $k$-й копии $H^1(Y^{(k)}_s,\Q)$ пространства
\newline
$H^1(Y_s,\Q)$ в разложении Кюннета
$$
H^1(V_s,\Q)=H^1(Y_s\times Y_s\times Y_s,\Q)=
H^1(Y^{(1)}_s,\Q)\oplus
H^1(Y^{(2)}_s,\Q)\oplus
H^1(Y^{(3)}_s,\Q).
$$

Хорошо известно, что алгебраическое соответствие
$\wp(H^1(Y^{(k)}_s,\Q))$ на $Y^{(k)}_s\times Y^{(k)}_s$
определяет канонический изоморфизм
$$
H^1(Y^{(k)}_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{[\wp(H^1(Y^{(k)}_s,\Q))]_\ast
}}H^1(Y^{(k)}_s,\Q),
$$
где
\begin{gather*}
[\wp(H^1(Y^{(k)}_s,\Q))]_\ast(\alpha)=\pr^{(k)}_{2s\ast}([\alpha
\otimes\cl_{Y^{(k)}_s}(Y^{(k)}_s)]\cup
\wp(H^1(Y^{(k)}_s,\Q)))
\end{gather*}
для $\alpha\in H^1(Y^{(k)}_s,\Q)$, и $\pr^{(k)}_{2s}:Y^{(k)}_s\times
Y^{(k)}_s\to Y^{(k)}_s$ -- каноническая проекция \cite[лемма 1.7]{4}.
С другой стороны, из \eqref{3.26} - \eqref{3.27} следует, что
\begin{gather*}
[\wp(H^1(Y^{(k)}_s,\Q))]_\ast(e^{(k)}_j)=
\pr^{(k)}_{2s\ast}(
[e^{(k)}_j\otimes\cl_{Y^{(k)}_s}(Y^{(k)}_s)]\,\,\cup\\
[e^{(k)}_1\otimes e^{(k)}_{-1}+e^{(k)}_2\otimes
e^{(k)}_{-2}+e^{(k)}_3\otimes e^{(k)}_{-3}
-e^{(k)}_{-3}\otimes e^{(k)}_3-e^{(k)}_{-2}\otimes e^{(k)}_2-e^{(k)}_{-1}
\otimes e^{(k)}_1])
=\\
\pr^{(k)}_{2s\ast}(
[-\cl_{Y^{(k)}_s}(p)\otimes e^{(k)}_j])=-e^{(k)}_j;
\tag{3.28}\label{3.28}\\
[\wp(H^1(Y^{(k)}_s,\Q))]^{\cup\,2}=
-6\cl_{Y^{(k)}_s}(p)\otimes\cl_{Y^{(k)}_s}(p).
\tag{3.29}\label{3.29}
\end{gather*}

Прежде всего, алгебраическое соответствие
\begin{gather*}
\omega_s^{\cup\,2}=
-6\cl_{Y^{(1)}_s}(p)\otimes\cl_{Y^{(1)}_s}(p)
-6\cl_{Y^{(2)}_s}(p)\otimes\cl_{Y^{(2)}_s}(p)
-6\cl_{Y^{(3)}_s}(p)\otimes\cl_{Y^{(3)}_s}(p)\\
-2e_1^{(1)}\cup e_1^{(2)}\otimes e_{-1}^{(1)}\cup e_{-1}^{(2)}-
\dots
+2e_1^{(1)}\cup e_{-3}^{(2)}\otimes e_{-1}^{(1)}\cup e_3^{(2)}+
\dots
-2e_{-1}^{(2)}\cup e_{-1}^{(3)}\otimes e_{1}^{(2)}\cup e_1^{(3)}
\end{gather*}
индуцирует канонический изоморфизм
\begin{gather*}
H^2(Y^{(1)}_s,\Q)\otimes
H^2(Y^{(2)}_s,\Q)
\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^2(Y^{(3)}_s,\Q).
\tag{3.30}\label{3.30}
\end{gather*}

Действительно, в силу \eqref{3.26} - \eqref{3.29},
\,\, $\Q$-пространство $H^2(Y^{(1)}_s,\Q)\otimes
H^2(Y^{(2)}_s,\Q)=\Q\,\,
e_{1}^{(1)}\cup e_{-1}^{(1)}\otimes
e_{1}^{(2)}\cup e_{-1}^{(2)}$ аннулируется (относительно
$\cup$-произведения)
всеми слагаемыми в $\omega_s^{\cup\,2}$, кроме
$-6\cl_{Y^{(3)}_s}(p)\otimes\cl_{Y^{(3)}_s}(p)$; с другой стороны,
обозначая через $\pr_{2s}:V_s\times V_s\to V_s$ каноническую
проекцию,
мы видим, что
$\cl_{Y^{(3)}_s}(p)\otimes\cl_{Y^{(3)}_s}(p)$ определяет
изоморфизм \eqref{3.30}, потому что
\begin{gather*}
\pr_{2s\ast}([H^2(Y^{(1)}_s,\Q)\otimes
H^2(Y^{(2)}_s,\Q)\otimes\cl_{V_s}(V_s)]\cup\omega_s^{\cup\,2})=\\
\pr_{2s\ast}(\Q\,\,
[\cl_{Y^{(1)}_s}(p)\cup\cl_{Y^{(2)}_s}(p)\cup
\cl_{Y^{(3)}_s}(p)]\otimes\cl_{Y^{(3)}_s}(p))=\\
\pr_{2s\ast}(\Q\,\,
\cl_{V_s}(p\times p\times p)\otimes
\cl_{Y^{(3)}_s}(p))=
\Q\,\,
\cl_{Y^{(3)}_s}(p)=
H^2(Y^{(3)}_s,\Q).
\end{gather*}

Наконец, пусть
$$
[\omega_s^{\cup 2}]_{\overset\wedge{3}}=
[\wp(H^1(Y^{(1)}_s,\Q))]^{\cup\,2}+
2\,\,\wp(H^1(Y^{(1)}_s,\Q))\cup
\wp(H^1(Y^{(2)}_s,\Q))+
[\wp(H^1(Y^{(2)}_s,\Q))]^{\cup\,2}
$$
-- сумма всех слагаемых в $\omega_s^{\cup\,2}$, не содержащих
множителей типа $e_j^{(3)}$. Поскольку $e_j^{(3)}$
аннулирует $H^2(Y^{(3)}_s,\Q)$, то из \eqref{3.28} можно вывести, что
$[\omega_s^{\cup\,2}]_{\overset\wedge{3}}$ и $\omega_s^{\cup\,2}$
индуцируют алгебраический изоморфизм
$$
H^1(Y^{(1)}_s,\Q)\otimes
H^1(Y^{(2)}_s,\Q)\otimes H^2(Y^{(3)}_s,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^1(Y^{(1)}_s,\Q)\otimes
H^1(Y^{(2)}_s,\Q).
$$
Остается применить формулу Кюннета.
Лемма доказана.

{\bf 3.4. Теорема.} {\it Пусть
$\tau:Y\to C$ -- морфизм $($с сечением$)$ гладкой проективной
поверхности $Y$ на гладкую кривую $C$. Предположим, что общий слой
является гладкой кривой рода $3$ и все особые слои
являются объединениями рациональных кривых кратности $1$ с нормальными
пересечениями.

Если существует хотя бы один особый слой морфизма $\tau$ и
$\End(\Pic^0(Y_{\overline\eta}))=\Z$
для общего геометрического слоя $Y_{\overline\eta}$ морфизма $\tau$,
то стандартная гипотеза $B(X)$ типа Лефшеца верна для компактификации
$X$ полуабелевой схемы $\Pic^0(Y/C)\to C$.}

{\it Доказательство.}
Используя (если необходимо) моноидальное преобразование
$\widetilde{Y}$
\newline
$\to Y$ поверхности $Y$
вдоль множества всех особых точек неприводимых компонент
особых слоев $Y_\delta\quad(\delta\in\Delta)$,
можно считать, что все особые слои $Y_\delta$
-- объединения {\it гладких} рациональных кривых кратности 1 с
нормальными пересечениями. Действительно,
поскольку $B(S)$ верна для гладких проективных кривых и поверхностей,
то для любого гладкого проективного четырехмерного многообразия
$\widetilde{X}$, бирационально изоморфного $X$, гипотезы
$B(\widetilde{X})$ и $B(X)$ эквивалентны в силу результатов Хиронаки
(\cite{19}, \cite{26}),
теоремы 1.6 в \cite{7} и совместимости стандартной гипотезы типа Лефшеца
с моноидальными преобразованиями \cite[теорема 4.3]{27}.

Очевидно, что класс когомологий
$\cl_{V\times V}(\Delta_V)\in H^8(V\times V,\Q)$ диагонали
определяет алгебраический изоморфизм
$H^4(V,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\, H^4(V,\Q)$.
В частности, $B^4(V)$ верна
\cite[1.8]{4}.

По лемме 3.3,
для любой точки $s\in C'$ имеются канонические изоморфизмы
\begin{gather*}
H^4(V_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{\pr^\ast_{1s}}}
H^4(V_s,\Q)\otimes H^0(V_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{x\mapsto x\,\cup\,
\omega_s^{\cup\,2}}}\\
H^6(V_s,\Q)\otimes H^2(V_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{\pr_{2s\ast}}}
H^2(V_s,\Q).
\end{gather*}
Семейство $(\omega_s)_{s\in C'}$ дает канонически определенный
элемент $\omega'\in H^0(C',R^1\mu'_\ast\Q\otimes R^1\mu'_\ast\Q)
\hookrightarrow H^0(C',R^2(\mu'\times_{C'}\mu')_\ast\Q)$
типа Ходжа $(1,1)$, который в свою очередь определяет
композицию изоморфизмов
\begin{gather*}
R^4\mu'_\ast\Q
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{{p'_1}^\ast}}
R^4\mu'_\ast\Q\otimes R^0\mu'_\ast\Q
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{x\mapsto x\cup\,
[\omega']^2}}
R^6\mu'_\ast\Q\otimes R^2\mu'_\ast\Q
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{p'_{2\ast}}}
R^2\mu'_\ast\Q,
\tag{3.31}\label{3.31}
\end{gather*}
где $p'_i:V'\times_{C'}V'\to V'$ -- каноническая проекция.

Имеется такое разрешение $\sigma:[V\times_CV]^{\smooth}\to V\times_CV$
особенностей подмногообразия
$\iota:V\times_CV\hookrightarrow V\times V$, что любой геометрический
слой $[V\times_CV]^{\smooth}_\delta\quad(\delta\in\Delta)$
является объединением (с некоторыми положительными кратностями) гладких неприводимых компонент с нормальными
пересечениями и $\sigma$ -- изоморфизм над $C'$. По теореме Делиня
каноническое отображение
$H^2([V\times_CV]^{\smooth},\Q)\to H^0(C',R^2(\mu'\times_{C'}\mu')_\ast\Q)$
является сюръективным морфизмом $\Q$-структур Ходжа
\cite[теорема 4.1.1, доказательство следствия 4.1.2]{8}.
В частности, существует дивизор $\mathcal D_{\omega'}$ на
$[V\times_CV]^{\smooth}$ (с коэффициентами из $\Q$),
индуцирующий $\omega'$.

Используя алгоритм доказательства теоремы 1.5,
можно легко вывести из \eqref{3.31}, что алгебраический класс
$(\iota\sigma)_\ast\cl_{[V\times_CV]^{\smooth}}(\mathcal D_{\omega'})^{\cup\,2}
\in H^6_{\alg}(V\times V,\Q)$
определяет алгебраический изоморфизм
$$
H^1(C,R^4\mu_\ast\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,H^1(C,R^2\mu_\ast\Q).
$$
По лемме 3.2 алгебраический класс
$(\iota\sigma)_\ast\cl_{[V\times_CV]^{\smooth}}(\mathcal D_{\omega'})^{\cup\,2}$
определяет алгебраический изоморфизм
$H^5(V,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,
H^3(V,\Q)$.
Следовательно, $B^3(V)$ верна \cite[1.8]{4}.

Легко вывести из \eqref{3.26}, \eqref{3.28} -
\eqref{3.29} и формулы Кюннета, что
для любой точки $s\in C'$ имеются канонические изоморфизмы
\begin{gather*}
H^5(V_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{\pr^\ast_{1s}}}
H^5(V_s,\Q)\otimes H^0(V_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{x\mapsto x\cup\,
\omega_s}}\\
H^6(V_s,\Q)\otimes H^1(V_s,\Q)
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{\pr_{2s\ast}}}
H^1(V_s,\Q).
\end{gather*}
Следовательно, имеются изоморфизмы
\begin{gather*}
R^5\mu'_\ast\Q
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{{p'_1}^\ast}}
R^5\mu'_\ast\Q\otimes R^0\mu'_\ast\Q
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{x\mapsto x\cup\,
\omega'}}
R^6\mu'_\ast\Q\otimes R^1\mu'_\ast\Q
{\xrightarrow
[\widetilde{\quad}]
{p'_{2\ast}}}
R^1\mu'_\ast\Q.
\tag{3.32}\label{3.32}
\end{gather*}
Используя алгоритм доказательства теоремы 1.5,
легко вывести из \eqref{3.32}, что алгебраический класс
$(\iota\sigma)_\ast\cl_{[V\times_CV]^{\smooth}}(\mathcal D_{\omega'})
\in H^4_{\alg}(V\times V,\Q)$
определяет алгебраический изоморфизм
\begin{gather*}
H^1(C,R^5\mu_\ast\Q)\,\,
\widetilde{\rightarrow}\,\,H^1(C,R^1\mu_\ast\Q).
\tag{3.33}\label{3.33}
\end{gather*}

Имеется точная последовательность смешанных $\Q$-структур Ходжа
\cite[следствие (8.2.8)]{22}
$$
H^0(Z,\Q(-1))\xrightarrow{(i_\Delta f)_\ast}
H^2(V,\Q)\to H^2(V',\Q).
$$
Поэтому
\begin{gather*}
\Ker\left[H^2(V,\Q)\to H^2(V',\Q)\right]\quad {\text{является }}
\Q-{\text{структурой Ходжа типа }}(1,1).
\tag{3.34}\label{3.34}
\end{gather*}
Канонический сюръективный морфизм $\Q$-структур Ходжа
$H^2(V,\Q)\to$
\newline
$H^0(C',R^2\mu'_\ast\Q)$ \cite[теорема 4.1.1]{8}
является частью коммутативной диаграммы (с точными столбцами и строками)
морфизмов смешанных $\Q$-структур Ходжа \cite[следствие 3.2.18,
доказательство теоремы 4.1.1]{8}
$$
\begin{matrix}
H^2(V,\Q)&\to&H^2(V',\Q)\\
\downarrow&\searrow&\downarrow\\
H^0(C,R^2\mu_\ast\Q)&\to&H^0(C',R^2\mu'_\ast\Q)&\to &0\\
\downarrow&\ &\downarrow\\
0&\ &0.
\end{matrix}
$$
Поляризация позволяет отождествить $H^0(C',R^2\mu'_\ast\Q)$
с $\Q$-подструктурой Ходжа
\newline
$H^0(C,R^2\mu_\ast\Q)\hookrightarrow H^2(V,\Q)$.
Следовательно, существует коммутативная диаграмма (с точными
строками)
канонических морфизмов смешанных $\Q$-структур Ходжа
\begin{gather*}
\begin{matrix}
\Ker\left[H^2(V,\Q)\to H^2(V',\Q)\right]&\to&
H^2(V,\Q)&\to&H^2(V',\Q)\quad\\
\bigcup&\ &\bigcup&\ &\bigcup\quad\\
K
&\to &H^0(C,R^2\mu_\ast\Q)&{\to\atop\hookleftarrow}&H^0(C',R^2\mu'_\ast\Q)\to
0,
\end{matrix}
\tag{3.35}\label{3.35}
\end{gather*}
где
$K=\Ker\left[H^0(C,R^2\mu_\ast\Q)\to H^0(C',R^2\mu'_\ast\Q)\right]$.

Мы утверждаем, что
\begin{gather*}
H^0(C',R^2\mu'_\ast\Q)\quad{\text{является }}\Q-{\text{структурой
Ходжа типа }}(1,1).
\tag{3.36}\label{3.36}
\end{gather*}

Действительно,
$H^0(C',R^2\mu'_\ast\Q)=H^2(V'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}$ для точки $s\in C'$.
Поскольку
$$
H^2(V'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)}=H^2(Y'_s\times Y'_s\times Y'_s,\Q)^{\pi_1(C',s)},
$$
то остается применить формулу Кюннета и \eqref{2.10}.

С другой стороны, формула Кюннета дает
\begin{gather*}
\dim H^0(C',R^2\mu'_\ast\Q)\geq 3.
\tag{3.37}\label{3.37}
\end{gather*}

Из \eqref{3.34} -- \eqref{3.37} следует, что
\begin{gather*}
H^0(C,R^2\mu_\ast\Q)\quad{\text{является }}\Q-{\text{структурой Ходжа типа }}
(1,1);
\tag{3.38}\label{3.38}\\
\dim H^0(C,R^2\mu_\ast\Q)\geq 3.
\tag{3.39}\label{3.39}
\end{gather*}
Следовательно \eqref{3.33}, \eqref{3.37} - \eqref{3.39},
и алгоритм, описанный в пунктах 2.1 -- 2.10, позволяют
построить алгебраический изоморфизм
$H^6(V,\Q)\,\,\widetilde{\rightarrow}\,\,H^2(V,\Q)$.
В частности, $B^2(V)$ верна.
Поскольку $B^0(V)$ тривиально выполняется и $B^1(V)$
хорошо известна \cite[следствие 1.10]{4}, то мы видим, что
$B(V)$ верна в силу предложения 2.3 в
\cite{3}.

Пусть $e:C\to Y$ -- сечение морфизма $\tau:Y\to C$.
Хорошо известно, что существует доминантное рациональное
отображение $V-\to X$,
индуцирующее сюръективный морфизм
\begin{gather*}
Y_s\times Y_s\times Y_s\to\Pic^0(Y_s)=X_s\\
y^{(1)}_s\times
y^{(2)}_s\times
y^{(3)}_s\mapsto\mathcal O_{Y_s}(y^{(1)}_s+y^{(2)}_s+y^{(3)}_s-3e(s))
\end{gather*}
для любой точки $s\in C'$.
Поскольку $B(S)$ верна для гладких проективных
кривых и поверхностей,
то мы видим, что $B(X)$ следует из $B(V)$, из существования
разрешения неопределенностей рационального отображения $V-\to X$
по Хиронаке (\cite{19}, \cite{26}),
теоремы 1.6 в \cite{7} и совместимости стандартной
гипотезы типа Лефшеца с моноидальными преобразованиями
(\cite[теорема 4.3]{27}. Теорема доказана.

\hbox{}
\newpage

\begin{thebibliography}{9}

\bibitem{1}
{\it Grothendieck A. }
Standard conjectures on algebraic cycles
// Algebr. Geom., Oxford Univ. Press, London, 1969. P. 193-199.

\bibitem{2}
{\it Чжэнь Шэн-шэнь.}
Комплексные многообразия. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

\bibitem{3}
{\it Kleiman S.L.} Algebraic cycles and the Weil conjectures //
Dix expos\' es sur la cohomologie des sch\' emas. Amsterdam: North-Holland,
1968. P. 359-386.

\bibitem{4}
{\it Танкеев С.Г.} О стандартной гипотезе типа Лефшеца для
комплексных проективных трех\-мер\-ных многообразий //
Изв. РАН. Сер. матем. (в
печати).

\bibitem{5}
{\it Faltings G. and Chai Ch.-L.}
Degeneration of
Abelian varieties. Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete (3), vol. 22. Berlin: Springer-Verlag, 1990.

\bibitem{6}
{\it Deligne P.}
Th\' eor\` eme de
Lefschetz et crit\` eres de d\' eg\' en\' erescence des suites spectrales
// Publ. Math. IHES. 1968. V. 35. P. 259-278.

\bibitem{7}
{\it Танкеев С.Г.} О стандартной гипотезе для комплексных абелевых
схем над гладкими проективными кривыми // Изв. РАН. Сер. матем.
2003. Т. 67. N 3. С. 183-224.

\bibitem{8}
{\it Делинь П.} Теория Ходжа. II
// Математика (сб. перев.). 1973. Т. 17. N 5. С. 3-56.

\bibitem{9}
{\it Zucker S.}
Hodge theory with degenerating coefficients $:$ $L_2$ cohomology
in the Poincar\' e metric
// Ann. Math. 1979. V. 109. P. 415-476.

\bibitem{10}
{\it Годеман Р.}
Алгебраическая топология и теория пучков. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

\bibitem{11}
{\it Deligne P.} La conjecture de Weil. I
// Publ. Math. IHES. 1974. V. 43. P. 273-307.

\bibitem{12}
{\it Хирцебрух Ф.}
Топологические методы в алгебраической геометрии. М.: Мир, 1973.

\bibitem{13}
{\it Borel A., Haefliger A.}
La classe d'homologie fondamentale d'un espace analytique
// Bull. Soc. math. France. 1961. V. 89. P. 461-513.

\bibitem{14}
{\it Милн Дж.}
Этальные когомологии. М.: Мир, 1983.

\bibitem{15}
{\it Bredon G.}
Sheaf theory. New York: McGraw-Hill, 1967.

\bibitem{16}
{\it Бурбаки Н.}
Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1976. Гл. 1-3; 1972. Гл. 4-6; 1978. Гл. 7-8.

\bibitem{17}
{\it Делинь П. и Мамфорд Д.}
Неприводимость многообразия кривых заданного рода
// Ма\-те\-ма\-ти\-ка (сб. перев.). 1972. Т. 16. N 3. С. 13-53.

\bibitem{18}
{\it Гриффитс Ф., Харрис Дж.}
Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982.

\bibitem{19}
{\it Hironaka H.}
Resolution of singularities of an algebraic variety over
a field of characteristic zero: I, II //
Ann. Math. (2). 1964. V. 79. P. 109-326.

\bibitem{20}
{\it Манин Ю.И.} Лекции о $K$-функторе в алгебраической
геометрии
// УМН. 1969. Т. 24. N 5. С. 3-86.

\bibitem{21}
{\it Lewis J.D.}
 A survey of the Hodge conjecture.
 2nd ed., CRM Monograph Series. V. 10. Montr\'eal: CRM, 1999.

\bibitem{22}
{\it Deligne P.} Th\'eorie de Hodge. III
// Publ. Math. IHES. 1974. V. 44. P. 5-77.

\bibitem{23}
{\it Танкеев С.Г.}
Циклы на простых абелевых многообразиях простой
размерности // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1982. Т. 46. N 1. С. 155-170.

\bibitem{24}
{\it Зархин Ю.Г.} Веса простых алгебр Ли
в когомологиях алгебраических многообразий
// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48. N 2. С. 264-304.

\bibitem{25}
{\it Танкеев С.Г.}
Алгебраические циклы на абелевом многообразии без комплексного умно\-же\-ния
 // Изв. РАН СССР. Сер. матем. 1994. Т. 58. N 3. С. 103-126.

\bibitem{26}
{\it Bierstone E. and Milman P.D.}
Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the
maximum strata of a local invariant
// Invent. math. 1997. V. 128. P. 207-302.

\bibitem{27}
{\it Танкеев С.Г.} Моноидальные преобразования и гипотезы
об алгебраических циклах
// Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71. N 3. С. 197-224.

\end{thebibliography}

\textsc{Владимирский государственный университет}

\emph{E-mail address}: \texttt{tankeev@vpti.vladimir.ru}

\end{document}

