 \documentclass[12pt]{article}
 \usepackage{amsmath,amsfonts,theorem}
\input epsf
\pagestyle{myheadings}
 \newcommand{\ntag}[1]{} %\tag{#1}}
\numberwithin{equation}{section}
 \newtheorem{proof}{������⥫��⢮}
 \newtheorem{prop}{�।�������}
 \newtheorem{pro}{Proposition}
 \renewcommand{\thepro}{}
 \newtheorem{cor}{Corollary}
 \newtheorem{co}{Corollary}
 \renewcommand{\theco}{}
 \newtheorem{thm}{���६�}
 \newtheorem{lem}{Lemma}

 \theorembodyfont{\rmfamily}
 \newtheorem{dfn}{��।������}
 \newtheorem{mcdn}{Main Condition}
 \newtheorem{warning}{Warning}
 \renewcommand{\thewarning}{}
 \newtheorem{rmk}{Remark}
 \renewcommand{\thermk}{}

 \newenvironment{pf}{\paragraph{Proof}}{\par\bigskip}
 \newcommand{\qed}{\ifhmode\unskip\nobreak\fi\quad\ensuremath\square}

\newenvironment{digr}[1]{\subsubsection*{#1}}{\quad$\diamondsuit$\par\bigskip}

 \newcommand{\Span}[1]{\left< #1 \right>}
 \newcommand{\half}{\textstyle\frac12}
 \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\ind}{\operatorname{ind}}
 \newcommand{\pr}{\operatorname{pr}}
 \newcommand{\ch}{\operatorname{ch}}
 \newcommand{\td}{\operatorname{td}}
 \newcommand{\hF}{\operatorname{hF}}
 \newcommand{\KH}{\mathrm{KH}}
 \newcommand{\LC}{\mathrm{LC}}
 \newcommand{\CLRep}{\mathrm{CLRep}}
 \newcommand{\II}{\mathrm{II}}
 \newcommand{\gen}{\mathrm{gen}}
 \newcommand{\can}{\mathrm{can}}
 \newcommand{\irr}{\mathrm{irr}}
 \newcommand{\res}{\mathrm{res}}
 \newcommand{\red}{_{\mathrm{red}}} % reduced subscheme
% \newcommand{\mi}{_{\mathrm{min}}} % minimal surface
 \newcommand{\rest}[1]{_{{\textstyle{|}}#1}} % restriction of map to


 \newcommand{\op}{\overline{\partial}}
 \newcommand{\ubar}{\overline{u}}
 \newcommand{\Ibar}{\overline{I}}
  \newcommand{\p}{\partial}
 \newcommand{\w}{\widetilde}
 \newcommand{\tensor}{\otimes}
 \newcommand{\ov}{\overline}

% Script letters
 \newcommand{\sA}{\mathcal A} % sheaf of algebras A
 \newcommand{\sB}{\mathcal B} % conductor ideal
 \newcommand{\sG}{\mathcal G} % sheaf G
 \newcommand{\sD}{\mathcal D}
 \newcommand{\sJ}{\mathcal J} % sheaf J
 \newcommand{\sI}{\mathcal I}
 \newcommand{\sC}{\mathcal C}
\newcommand{\sU}{\mathcal U}
 \newcommand{\sH}{\mathcal H}
 \newcommand{\sK}{\mathcal K}
 \newcommand{\sL}{\mathcal L}
 \newcommand{\sM}{\mathcal M}
 \newcommand{\Oh}{\mathcal O}
 \newcommand{\sR}{\mathcal R}
 \newcommand{\sS}{\mathcal S}
 \newcommand{\sF}{\mathcal F}
 \newcommand{\sE}{\mathcal E}
 \newcommand{\sP}{\mathcal P}

% short Greeks
 \newcommand{\al}{\alpha}
 \newcommand{\be}{\beta}
 \newcommand{\de}{\delta}
 \newcommand{\ep}{\varepsilon}
 \newcommand{\fie}{\varphi}
 \newcommand{\ga}{\gamma}
 \newcommand{\ka}{\kappa}
 \newcommand{\om}{\omega}
 \newcommand{\si}{\sigma}
 \newcommand{\De}{\Delta}
 \newcommand{\Ga}{\Gamma}
 \newcommand{\La}{\Lambda}
 \newcommand{\Om}{\Omega}
 \newcommand{\la}{\lambda}
 \newcommand{\Si}{\Sigma}
 \newcommand{\na}{\nabla}

 \newcommand{\PP}{\mathbb P}
 \newcommand{\C}{\mathbb C}
 \newcommand{\HH}{\mathbb H}
 \newcommand{\Q}{\mathbb Q}
 \newcommand{\R}{\mathbb R}
 \newcommand{\Z}{\mathbb Z}

% \mathops
 \newcommand{\ad}{\operatorname{Ad}} % adjoint bundle
% \newcommand{\PP}{\operatorname{\mathcal P}}
% \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
% \newcommand{\res}{\operatorname{res}}
 \newcommand{\rk}{\operatorname{rank}}
 \newcommand{\hcf}{\operatorname{hcf}}
 \newcommand{\mir}{\operatorname{mir}}
 \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} % codimension
% \newcommand{\diff}{\operatorname{diff}}
 \newcommand{\topo}{\operatorname{top}}
% \newcommand{\var}{\operatorname{var}}
% \newcommand{\vcodim}{\operatorname{v.codim}}
 \newcommand{\vdim}{\operatorname{v.dim}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}}
\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}
% \newcommand{\Grass}{\operatorname{Grass}} % Grassmann variety
% \newcommand{\Mod}{\operatorname{Mod}}
% \newcommand{\Mon}{\operatorname{Mon}}
 \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} % Picard scheme
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
 \newcommand{\End}{\operatorname{End}}
 \newcommand{\GFT}{\operatorname{GFT}}
 \newcommand{\sGFT}{\operatorname{sGFT}}
 \newcommand{\LaGr}{\operatorname{\La_{\uparrow}\!}}
% \newcommand{\orGr}{\operatorname{Gr_{\uparrow}\!}}
 \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
% \newcommand{CLRep}{\operatorname{CLRep}}
 \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
 \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
 \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
% \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
 \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
% \newcommand{\Stab}{\operatorname{Stab}} % Stabiliser group
 \newcommand{\Conj}{\operatorname{Conj}}
\newcommand{\CL}{\operatorname{CL}}
% Lie groups
 \newcommand{\SL}{\operatorname{SL}}
 \newcommand{\SO}{\operatorname{SO}}
%\newcommand{U(1)}{\operatorname U(1)} % unitary group
 \newcommand{\PU}{\operatorname{PU}}
 \newcommand{\SU}{\operatorname{SU}}
 \newcommand{\fsl}{\operatorname{\mathcal{\frak{sl}}}}
 \newcommand{\fsu}{\operatorname{{\frak{su}}}}
% \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
% \newcommand{\SP}{\operatorname{Sp}}
% \newcommand{\odd}{\mathrm{odd}}
 \newcommand{\pt}{\mathrm{pt}}

 \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}



\begin{document}

 \title{ ���樮����� �⮡ࠦ���� � ᯥ樠��� ���࠭���� ᫮����}

 \author{�.�. ��ਭ\footnote{��� ��.�.�. ������� ���� (�㡭�) � ��� ��,
e-mail: ntyurin@theor.jinr.ru}}

\date{}

\maketitle






%\begin{abstract}
%\end{abstract}

�����ࠨ�᪨� �������ࠧ�� �������� �᪫��⥫쭮 ������ ���� �� ⮫쪮 �
��⥬�⨪�, �� � � ⥮���᪮� 䨧���. � � �६� ��� ��� �����ࠨ�᪮�
������ਨ ��᫥������� �����ࠨ�᪨� �������ࠧ�� ���� ������� ����祩,
�� �� �������ࠧ�� ����� ����㯠�� � ����⢥ ������� � 䨧��᪨� ⥮���,
��� ������᪨� ⠪ � ����⮢��. �� ��������� �६��� "������᪨�" �
"����⮢�" ���室� � ������ਨ �������ࠧ�� �뫨 �।��⭮ ࠧ������ ---
���� �������� � ࠬ��� ᨬ������᪮� ������ਨ � �ਫ������ �
ᨬ������᪨� ��� ���ᮭ��� �������ࠧ��, � ��ன � ࠬ��� �������᭮�
������ਨ. ������ �����ࠨ�᪮� �������ࠧ�� �������� ���� ��魮��ﬨ --- ���
����� ��ᬠ�ਢ����� � ��� ᨬ������᪮�, � ��� �������᭮� �������ࠧ��. �
��� �� ��魮�� ����뢠���� ����묨 �ࠪ�ਧ��騬�.

 ���
�����䨪�樨 �����ࠨ�᪨� �������ࠧ�� ����� ���� ��ᬮ�७� �ந������
��ꥪ��, ��⥪��騥 ��� �� �������᭮� ������ਨ �����ࠨ�᪮�� �������ࠧ��
(⠪��, ��� �������ࠧ�� ���㫥� �⠡����� ��᫮���� ��� �ந������
��⥣�ਨ ����७��� ��窮�), ⠪ � �� ᨬ������᪮� (����ਠ��� �஬��� --
���⥭�, ��⥣�ਨ �㪠� -- �����).  ������ᥭ樥� ⠪�� ���⮬�� ����
����⥧� ��ઠ�쭮� ������ਨ, �⢥ত���� �����⢥������ ��� ��魮�⥩.
�����᭮ �⮩ ����⥧�, � ������� �����ࠨ�᪮�� �������ࠧ�� �������
��ઠ��� ���⭥�, ⠪�� �� �������᭠� �������� ��ࢮ�� ���������⭠
ᨬ������᪮� ������ਨ ��ண� � �������. ������ � ⠪�� �����饬 ����
��ઠ�쭠� �������� �뫠 �।�⠢���� �.�. ������.

   ��室��  ���� � �������� ���祭�� �
������� ��砥� ���� ��砩 ��嬥��� �������ࠧ�� ������ -- ��.
������� ��᪮�쪮 ���室��, �ਢ����� � ࠧ㬭� �⢥⠬ � �������� �����,
������ �� ������ ��⠥��� ���᪨�, ��� ���ண� ����ॢ� �뫠 �।������
��������� ��ઠ�쭮�� ���⭥�, � ��஬����஬, �� � ��᫮�� �뫨
�।�⠢���� ���᫥���, ����뢠�騥 䨧����� ��⠢������. ������ � ⮩ ��
䨧��᪮� �窨 �७�� ��騩  ��砩 ������ -- �� ����뢠���� �祭� ��㤭�
--- ��� ����஥��� ��饩 ⥮ਨ ����室��� ����ࠪ⭮� �㬬�஢���� �� �ᥬ
⮯������᪨� ⨯�� ��嬥��� �������ࠧ�� ������ -- ��, �� �� �� ���
�������⭮, ���� �� �� ������⢮ ������. �� ᥣ����譨� ���� ��� �����
���� ������ � �������� ��� ��������� 䨧����� �����ࠨ�᪨�
 ������ࠬ. �������� ���⮬� ����� 䨧���� �����࠭���� �����,
�� ᫥���騩 ����� ��騩 ��砩 �����ࠨ�᪨� �������ࠧ�� --- ��砩
�������ࠧ�� ����.

�������ࠧ�� ���� �뫨, ���� � ���� ������� ⥬�� ���筮� ����� �����⥫쭮��
���᪮�� ��⥬�⨪� ��ᨫ�� ����ᥥ��� �᪮�᪨�, ����襣� ��� �����
�������ࠧ�� � �।�⠢��襣� �����䨪��� �᭮���� �ਨ ⠪�� �������ࠧ��
(� ��⭮��, �� �����䨪�樨 ��⥪��� ����筮��� ⨯��, �� �祭� ����� ���
䨧���). ��������� ࠡ�⠬ 誮�� �. �. �᪮�᪨� ������ - ��������᪠� ����
��ઠ�쭮� ������ਨ ��� �������ࠧ�� ���� "��⮢� � 㯮�ॡ�����", � ���� ��
ᨬ������᪮� ��஭��, ����饩�� �� ᥣ���� �������� ����� ��⥭ � ���묨
��࠯����ﬨ १���⮢, ����祭��� �� ����襩 ��� ��� ���᪨�
�������ࠧ�� ����. ������ ����, ࠧ�������� �ਬ���⥫쭮 � ᨬ������᪮� �
���࠭����� �������� �������ࠧ�� ����, �� ������� �������� �. ���, [1],
��७��訬 �� ��砩 �������ࠧ�� ���� ������ ᯥ樠�쭮�� ���࠭���� ᫮����,
����饣� 業�ࠫ��� ஫� � ��ઠ�쭮� ������ਨ �������ࠧ�� ������ -- ��.
��� �������ࠧ�� ���� $X$ �롨ࠥ��� �ந������ ������� �� ��⨪������᪮�
�������� ��⥬� $D \in \vert K^{-1}_X \vert$ � ����� ���࠭���� ᫮���� $X -
D \to B$, �������饥 ᯥ樠��� ᢮��⢮� �⭮�⥫쭮 ���襩 �������䭮�
��� � ����ᮬ �� $D$. ���㫨 ���᪨� �������� �吝��⥩ ��� ᫮ﬨ ⠪���
ᯥ樠�쭮�� ���࠭���� ᫮���� ���⠢���� ��ઠ�쭮�� ���⭥� ��� ��室����
�������ࠧ�� $X$. ��������� �� ������ ������� �� �롮� ������� �
��⨪������᪮� ��⥬�, �� 祣� �ந�⥪��� ����⥧� � ����⢮�����
ᯥ樠���� ���࠭����� ᫮���� ��� ��� ������⮢ ��⨪������᪮� ��⥬�. �
[1] �।�⠢��� �ਬ�� ᯥ樠�쭮�� ���࠭���� ᫮���� �� $\C \PP^2$
�⭮�⥫쭮 ��⨪������᪮�� ������� $D = Q_2 \cup l$ (������ � ��ﬠ�) �
����� ��஦����� ᫮�� (��� �ਬ�� �祭� ����� � � �窨 �७�� ���祭��
���࠭����� ������ਨ �஥�⨢��� ���᪮��).

����� ��ࠧ��, ��⠥� ����� ����஥��� ᯥ樠���� ���࠭����� ᫮����
�������ࠧ�� ���� � ��஦����ﬨ �� ������� ��⨪������᪮�� �����. �ਬ��,
����஥��� ���, �����뢠��, ��᪮�쪮 ��䥪⨢�� �����ࠨ�᪠� �������� �
�襭�� ����� ������ਨ ���࠭�����. ���� �� �ਢ���� ���⮩ �ਬ��, � ���஬
���樮���쭮� �⮡ࠦ���� ��ॢ���� ᯥ樠�쭮� ���࠭���� ᫮����  �
ᯥ樠�쭮� ���࠭���� ᫮����. �� ���� � ���쭥�襬 ����� ������� ��ந��
ᯥ樠��� ���࠭���� ᫮���� �������ࠧ�� ����, �ᯮ���� ��஥ ���⠭���
��㦨� �����ࠨ�᪮� ������ਨ.

���ᬮ�ਬ ����ਪ� $Q \subset \C \PP^3$, �롥६ �ந������� ��� $p \subset
Q$ � ���᪮��� $\pi \subset \C \PP^3$. ��஥���㥬 ����ਪ� $Q$ �� $\pi$ ��
�窨 $p$, ����稢 ���樮���쭮� �⮡ࠦ���� $\phi: Q \to \pi$ (�, ����.,
[GH]). �� $Q$ ����� ����ந�� ᯥ樠�쭮� ���࠭���� ᫮���� ᫥���騬 ��ࠧ��:
⠪ ��� $Q = \C \PP^1 \times \C \PP^1$, � �롥६ ᯥ樠��� ���࠭����
᫮���� �஥�⨢��� ����� ⠪, �⮡� $p$ �뫠 ���設�� ॣ��୮�� ��஦�����.
����� ���䨣���� ��஦����� �⮣� ᫮���� �� $Q$ �㤥� ������ �� �����
����� $\{ l_i^{\pm}, i = 1,2 \}$, �� ��� �� ������� ᥬ���⢠, ��� �� ������,
᪠���, $l_1^{\pm}$, �室���� � $p$. ����� ��ࠧ��, ���������� $Q - \{l_i^{\pm}
\}$ ��᫮��� �� ���࠭���� ���, ᯥ樠��� �� ���. �� �஥�⨢��� ���᪮��
$\pi$ ������� �뤥������ ��� �祪 $a_{\pm} = l_1^{\pm} \cap \pi \subset \C
\PP^3$, � ��室��� �१ ��� ��ﬠ� $l_a \subset \pi$ � ��饩 ᢮�� �窥 ��
����� �ம�ࠧ� � $Q$ �⭮�⥫쭮 $\phi$. ��ࠧ��� ����� $l_2^{\pm}$ ����
���� $l^{\pm} \subset \pi$. ���������� $\pi - \{l_a, l^{\pm} \}$ ��᫮��� ��
������� ���, ��᪮��� $\phi': Q - \{l_i^{\pm} \} \to \pi - \{l_a, l^{\pm}$
���� ������䨧���. ����㤭� ������, �� �� ��� {\it ���ࠦ��� }. �����
⮣�, �� ��� {\it ᯥ樠��� ���࠭���� } �⭮�⥫쭮 ������� ��
��⨪������᪮� ��⥬� $D = l_a + l^+ + l^-$. ����筮, �� ���� �⠭���⭮�
�����म�� ᫮����.

������ � ������� �⮡ࠦ���� $\phi$ ����� ����ந�� � ����� ���࠭���� ᫮����
�� ����ਪ� $Q$. � ������, ��ᬮ�ਬ ᯥ樠�쭮� ���࠭���� ᫮����,
����஥���� � [1], ⠪ �⮡� ������� ��஦����� �� $\pi$ ���� �� �� ��אַ�
$l_a$ � ������, ��饩�� ����祭��� $Q \cap \pi$ � ��室�饩 �१ �窨
$a_{\pm}$. ����� ����㤭� ������, �� ᯥ樠�쭮� ���࠭���� ᫮���� ���
����᪠�� ���ꥬ �� ���࠭���� ᫮���� �� ����ਪ� $Q$ � ��⨪������᪨�
������஬ $D = Q \cap \pi + l_+ + l_-$. ��� � ��室��� ᫮����, ��� �㤥�
ᯥ樠��� ���࠭���� �� $Q$. 









\begin{thebibliography}{99}




\bibitem [1]{1}  D. Auroux, "Mirror symmetry and T - duality in the complement
 of an anticanonical divisor", J. Gokova Geom. Topol. 1 (2007), pp. 51 - 91; arXiv: 0706.3207.

\bibitem [2]{2} P. Griffits, J. Harris, "Principles of algebraic geometry", NY Wiley 1978.

\end{thebibliography}




\end{document}
