\documentclass{amsart}
%\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsfonts, amsmath, amsthm}

\usepackage[russian]{babel}

\DeclareMathSymbol{\twoheadrightarrow}  {\mathrel}{AMSa}{"10}
        \def\GG{{\mathcal G}}
\def\HH{{\mathcal H}}
\def\H{{\mathbb H}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\CC{{\mathfrak C}}

\def\W{{\mathbb W}}

\def\D{{\mathbb D}}


                         \def\cc{{\mathfrak c}}
                   \def\sp{{\mathfrak{sp}}}
                   \def\sL{{\mathfrak{sl}}}
\def\RR{{\mathbb R}}
\def\F{{\mathbb F}}
\def\P{{\mathbb P}}
\def\X{{A}}
\def\Y{{B}}
\def\f{{\tilde F}}
                     \def\f0{{\mathfrak f}}
%\def\W{{V}}
\def\U{{V'}}
\def\i{{i}}
\def\ii{\mathrm{i}}
             \def\K{\mathrm{K}}
             \def\IT{\mathrm{id}}
\def\Sn{{\mathbf S}_n}
\def\An{{\mathbf A}_n}
\def\A8{{\mathbf A}_8}
\def\Alt{\mathrm{Alt}}
                       \def\alg{\mathrm{alg}}
                       \def\tr{\mathrm{tr}}
                       \def\Ad{\mathrm{Ad}}
\def\RR{{\mathfrak R}}
\def\Perm{\mathrm{Perm}}
\def\Gal{\mathrm{Gal}}
\def\Pic{\mathrm{Pic}}
\def\NS{\mathrm{NS}}
\def\End{\mathrm{End}}
\def\Aut{\mathrm{Aut}}
\def\div{\mathrm{div}}
\def\Hom{\mathrm{Hom}}
\def\lcm{\mathrm{lcm}}
                  \def\cl{\mathrm{cl}}
\def\Qu{\mathrm{Quart}}
\def\I{{\mathrm{Id}}}
                               \def\MT{{\mathrm{MT}}}
                               \def\mt{{\mathrm{mt}}}
\def\II{{{\mathcal I}}}
\def\J{{\mathcal J}}
              \def\L{{\mathcal L}}
\def\s{{\mathfrak S}}
\def\ST{{\mathbf S}}
\def\r{{\mathfrak G}}
\def\fchar{\mathrm{char}}
             \def\red{\mathrm{red}}
\def\GL{\mathrm{GL}}
\def\SL{\mathrm{SL}}
\def\Sp{\mathrm{Sp}}
            \def\Gp{\mathrm{Gp}}
               \def\Lie{\mathrm{Lie}}
\def\M{\mathrm{M}}
\def\A{\mathbf{A}}

\def\T{{\mathcal T}}
\def\B{{\mathcal B}}
\def\wr{\mathrm{wr}}
\def\OO{\mathrm{O}}
            \def\SO{\mathrm{SO}}
\def\dim{\mathrm{dim}}
\def\Oc{{\mathcal O}}
\def\n{{n}}
       \def\ZZ{{\mathcal Z}}
       \def\PGL{\mathrm{PGL}}
                            \def\PSL{\mathrm{PSL}}
\def\invlim{{\displaystyle{\lim_{\leftarrow}}}}
\def\q{{\mathfrak q}}
      \def\g{{\mathfrak g}}
\def\a{{\mathfrak a}}
            \def\m{{\mathfrak m}}
\def\bmu{\boldsymbol \mu}

                         \def\AA{\mathrm{A}}
                         \def\BB{\mathrm{B}}
                         \def\CC{\mathrm{C}}
                         \def\DD{\mathrm{D}}
\newtheorem{thm}{Theorem}[section]


\newtheorem{Thm}[thm]{Теорема}

\newtheorem{lem}[thm]{Лемма}
\newtheorem{cor}[thm]{Следствие}

\newtheorem{prop}[thm]{Предложение}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}[thm]{Определение}
\newtheorem{ex}[thm]{Пример}
\newtheorem{rem}[thm]{Замечание}
\newtheorem{question}[thm]{Вопрос}
\newtheorem{rems}[thm]{Замечания}
        \newtheorem{sect}[thm]{}
\hyphenation{equi-var-i-ant}

\title[Абсолютно простые примианы]{Абсолютно простые примианы тригональных кривых}

\author[Ю.Г. Зархин]{Ю.Г. Зархин}
\address{Pennsylvania State University, Department of Mathematics,
University Park, PA 16802, USA}
\address{Институт Математических Проблем Биологии РАН, Московская обл., г. Пущино}

\email{zarhin\char`\@math.psu.edu}

\dedicatory{Посвящается В.А. Исковских  в связи с его семидесятилетием}



\begin{document}
\maketitle

\section{Введение}
Как обычно, через  $\Z,\Q,\C$ обозначаются кольцо целых чисел, поле рациональных чисел
и поле комплексных чисел соответственно. Выберем примитивный кубический корень из единицы
  $\zeta_3=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\in \C$. Пусть
$\Q(\zeta_3)=\Q(\sqrt{-3})$ - третье круговое поле и
$\Z[\zeta_3]=\Z+\Z\cdot \zeta_3$ - кольцо всех его целых алгебраических чисел. Мы
обозначаем через $\lambda$ (главный) максимальный идеал $(1-\zeta_3)\cdot\Z[\zeta_3]$ кольца
 $\Z[\zeta_3]$.

Известно \cite[Теорема 5 на с. 176]{Shimura2} (см. также \cite{Oort}),
что для всех натуральных чисел $m$, отличных от двойки, существует
 $m$-мерное комплексное абелево многообразие с кольцом эндоморфизмов
 $\Z[\zeta_3]$. Доказательство Шимуры является чисто комплексно-аналитическим:
грубо говоря, он работает с точками соответствующего пространства модулей, не принадлежащими
счетному объединению подмногообразий положительной коразмерности. В этой работе мы обсуждаем
геометрический подход к явному построению подобных абелевых многообразий, использующий
якобианы, примианы и теорию Галуа.


Чтобы объяснить наш подход, начнем со следующих определений.
Пусть $f(x)\in\C[x]$ - многочлен без кратных корней и степени  $n\ge 4$.
Пусть $C_{f,3}$ - гладкая проективная модель гладкой аффинной кривой
$y^3=f(x)$. Хорошо известно (\cite{Koo}, с. 401-402, \cite{Towse}, Предложение. 1 на
с. 3359, \cite{Poonen}, с. 148), что род $g(C_{f,3})$  кривой $C_{f,3}$ равен
$n-1$ если $3$ не делит $n$ и $n-2$ если делит. В обоих случаях род
$g(C_{f,3})\ge 3$  {\sl не} сравним с $2$ по модулю $3$.

Отображение $(x,y)\mapsto (x,\zeta_3 y)$ задает нетривиальный бирациональный автоморфизм
 $\delta_3:C_{f,3}\to C_{f,3}$ периода $3$. По функториальности,
$\delta_3$ индуцирует линейный оператор в пространстве дифференциалов первого рода
$$\delta_3^{*}: \Omega^1(C_{f,3}) \to \Omega^1(C_{f,3}).$$
Спектр этого оператора состоит из собственных чисел $\zeta_3^{-1}$ и $\zeta_3$; если $3$
не делит $n$, то их кратности равны $[n/3]$ и $[2n/3]$ соответственно
\cite{ZarhinCamb}.

 Пусть $J(C_{f,3})$ - якобиан кривой $C_{f,3}$; это абелево многообразие размерности
 $g(C_{f,3})$. Обозначим через $\End(J(C_{f,3}))$ кольцо всех эндоморфизмов абелева многообразия
 $J(C_{f,3})$. По функториальности Альбанезе, $\delta_3$ индуцирует автоморфизм якобиана
 $J(C_{f,3})$, который мы по-прежнему обозначаем через $\delta_3$; известно
 ([11], с. 149, [14], с. 448) что $\delta_3^2+\delta_3+1=0$ в
$\End(J(C_{f,3})$. Это дает нам вложение колец
$$\Z[\zeta_3]\cong \Z[\delta_3]\subset \End(J(C_{f,3})), \ \zeta_3 \mapsto \delta_3$$
(\cite[с. 149]{Poonen}, [14], \cite[с. 448]{Schaefer}).

Если $f(x)$  нечетный многочлен нечетной степени $n$ то на кривой $C_{f,3}$
 имеется  инволюция
$$\delta_2:C_{f,3} \to C_{f,3}, (x,y) \mapsto (-x,-y),$$
коммутирующая с  $\delta_3$. (У этой инволюции ровно две неподвижные точки
 если $n$ не делится на $3$.) По функториальности Альбанезе, $\delta_2$ индуцирует
 автоморфизм якобиана $J(C_{f,3})$, который мы по-прежнему обозначаем через
  $\delta_2$ и который
(по-прежнему) коммутирует с автоморфизмом  $\delta_3$ якобиана $J(C_{f,3})$. Имеем
$\delta_2^2=1$ в $\End(J(C_{f,3}))$.


 Пусть $K$ - подполе поля $\C$, содержащее  $\sqrt{-3}$ и все коэффициенты многочлена
  $f(x)$, т.е.,
$$f(x)\subset K[x]\subset \C[x].$$
Пусть $\RR_f\subset \C$ - множество всех корней многочлена $f(x)$ и $K(\RR_f)$ -
 поле разложения многочлена $f(x)$ над полем  $K$. Ясно, что поле  $K(\RR_f)$ - конечное
 расширение Галуа поля
 $K$. Обозначим через  $\Gal(f)$ (конечную) группу Галуа
$\Gal(K(\RR_f)/K)$. Можно рассматривать $\Gal(f)$ как определенную подгруппу перестановок
 в группе $\Perm(\RR_f)$ всех перестановок множества $\RR_f$. Если мы (выберем
порядок на множестве
$\RR_f$, т.е.,) обозначим корни многочлена  $f(x)$ через $\{\alpha_1, \dots , \alpha_n\}$,
то мы получим изоморфизм между группой
 $\Perm(\RR_f)$ и полной симметрической группой
group $\ST_n$,  а $\Gal(f)$ окажется определенной подгруппой в $\ST_n$.

В работах \cite{ZarhinCrelle,ZarhinMZ} доказано, что если $\Gal(f)=\ST_n$ то
$$\End(J(C_{f,3}))=\Z[\delta_3]\cong \Z[\zeta_3].$$
В частности, это позволяет нам явно построить   $g$-мерные главнополяризованые
 абелевы многообразия с кольцом эндоморфизмов  $\Z[\zeta_3]$ для всех $g\ge 3$, для которых
  $3$ не делит
divide $g-2$. Например, если  $f(x)=x^{g+1}-x-1$ то $J(C_{f,3})$ -
$g$-мерное главнополяризованое
 абелево многообразие, то
$\End(J(C_{f,3}))=\Z[\zeta_3]$.  (Известно \cite[с. 42]{SerreGalois}, что
группа Галуа многочлена  $x^n-x-1$ над $\Q$ совпадает с $\ST_n$ для всех
натуральных $n$.)





Цель этой работы - дать {\sl явную} конструкцию
$m$-мерных главнополяризованых абелевых многообразий с кольцом эндморфизмов
 $\Z[\zeta_3]$ для всех нечетных $m \ge 5$, сравнимых с $2$ по модулю
$3$. Мы построим их (используя нечетные  $f(x)$ степени
$n=2m+1$) как антиинвариантную часть (многобразие Прима)  якобиана  $J(C_{f,3})$
относительно инволюции $\delta_2$, предполагая, что   $\Gal(f)$ совпадает с группой Вейля
$\W(\D_m)$ системы корней
 $\D_m$ в следующем смысле. Поскольку $f(x)$ нечетен и без кратных корней,
  найдутся
$m$ различных ненулевых корня $\{\beta_1, \dots , \beta_m\}$ многочлена  $f(x)$, такие, что
($\beta_i \ne \pm \beta_j$ если $i\ne j$ и)
$\RR_f$  совпадает с $\{0\} \cup \{\pm \beta_1, \dots , \pm \beta_m
\}\subset \bar{K}$. Тогда можно определить $\W(\D_m)$ как группу всех перестановок множества
 $\RR_f$, имеющих вид
 $$0\mapsto 0, \ \beta_i \mapsto \epsilon_i \beta_{s(i)}, \ -\beta_i \mapsto -\epsilon_i \beta_{s(i)}$$
 где $s \in \ST_m$ - произвольная перестановка, а знаки
$\epsilon_i=\pm 1$ удовлетворяют условию $\prod_{i=1}^m \epsilon_i =1$. Рассмотрим
 $m$-мерное векторное пространство над  $\F_3$  всех {\sl нечетных}функций
$$V_f^{-}:=\{\phi:\RR_f \to \F_3\mid \phi(-\alpha)=-\phi(\alpha) \ \forall
\alpha\in \RR_f\},$$
снабженное естественной структурой модуля Галуа.

Нашим основным результатом следующее утверждение.


\begin{Thm}
\label{main0} Пусть $k$ - неотрицательное целое число,  $m=6k+5\ge 5, n=2m+1=12k+11$.
Пусть $f(x)$ - нечетный многочлен степени  $n$ и без кратных корней. Тогда:

\begin{itemize}
\item[(i)]
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item[(A)]
Образ
$P(C_{f,3}):=(1-\delta_2)J(C_{f,3})$ является $m$-мерным $\delta_3$-инвариантным
абелевым подмногообразием в $J(C_{f,3})$. В частности, вложение
$\Z[\delta_3]\subset \End(J(C_{f,3}))$ индуцирует вложение
$$\Z[\zeta_3]\cong \Z[\delta_3]\hookrightarrow \End(P(C_{f,3})).$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[(B)]
Если ограничить каноническую главную поляризацию якобиана
  $J(C_{f,3})$ на его абелево подмногообразие
$P(C_{f,3})$,
то индуцированная поляризация является главной поляризацией на
$P(C_{f,3})$, умноженной на два, и эта
 главная поляризация
 является $\delta_3$-инвариантной.
\item[(C)]
Главнополяризованное абелево многообразие
$P(C_{f,3})$ не изоморфно канонически поляризованному
 якобиану какой-либо гладкой проективной кривой.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{itemize}


\item По функториальности, $\delta_3$ индуцирует линейный оператор
$$\delta_{3,P}^{*}: \Omega^1(P(C_{f,3})) \to \Omega^1(P(C_{f,3}))$$
в пространстве дифференциалов первого рода на
$P(C_{f,3})$. Его спектр состоит из собственных чисел
 $\zeta_3^{-1}$ кратности $2k+1$ и $\zeta_3$ кратности  $4k+4$ соответственно.
\end{enumerate}
 \item[(ii)] Пусть $K$ - подполе в
 $\C$, содержащее  $\sqrt{-3}$ и все коэффициенты многочлена a $f(x)$. Тогда:
\begin{itemize}
\item[(a)]
 Абелево многообразие $P(C_{f,3})$ и его автоморфизм $\delta_3$ определены над
$K$. Вдобавок, подмодуль Галуа  $P(C_{f,3})^{\delta_3}$ всех
$\delta_3$-инвариантов в $P(C_{f,3})(\bar{K})$ канонически изоморфен
модулю Галуа
 $V_f^{-}$.
  \item[(b)]
 Предположим дополнительно, что группа
 $\Gal(f)$ совпадает с $\W(\D_m)$. Тогда:
\begin{itemize}
\item[(b1)] $\End(P(C_{f,3}))=\Z[\zeta_3]$. В частности, $P(C_{f,3})$ -
абсолютно простое абелево многообразие.

 \item[(b2)]  Комплексное абелево многообразие
$P(C_{f,3})$ не изоморфно ни якобиану какой-либо гладкой проективной кривой ни
произведению якобианов  гладких проективных кривых (даже если не учитывать поляризации).
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{Thm}





\begin{ex}
\label{elkin} Пусть $m=5$ и $f(x):= x(x^{10} - x^2 -1)$. Можно проверить (см.
Пример \ref{magma} below), что группа Галуа многочлена $f(x)$ над
$K=\Q(\sqrt{-3})$ совпадает с $\W(\D_5)$. Отсюда вытекает, что
$$\End(P(C_{f,3}))=\Z[\zeta_3].$$
\end{ex}


\begin{rem}
При $m=5$ пятимерные многообразия Прима  $P(C_{f,3})$
реализуются как промежуточные якобианы некоторых трехмерных кубик
\cite{MT}. (См. также \cite{ZarhinMF}.)
\end{rem}

\begin{rem}
Полный список (обобщенных)  многообразий Прима,
которые изоморфны (как главнополяризованные абелевы многообразия)
якобианам гладких проективных кривых или их произведениям был получен
В.В. Шокуровым \cite{SlavaInv,SlavaIzv}. При доказательстве Теоремы
\ref{main0}(b2)
мы используем другой подход, основанный на изучении действия автоморфизма периода
 $3$ на дифференциалы первого рода
\cite{ZarhinMF}.
\end{rem}


Статья организована следующим образом. В параграфе
 \ref{group} мы обсуждаем пермутационные модули, связанные с группами Галуа
 нечетных многочленов. В параграфе
  \ref{geom}  мы изучаем тригональные якобианы и примианы и доказываем основной результат.

Я признателен В.В. Шокурову за полезные обсуждения. Моя особая благодарность -
 доктору Арсену Елкину, выполнившему вычисления с системой MAGMA, связанные с Примером
  \ref{magma}.

\section{Группы Галуа нечетных полиномов м пермутационные модули}
\label{group}



Пусть $K$ - поле нулевой характеристики , $\bar{K}$  - его алгебраическое замыкание
и  $\Gal(K)=\Aut(\bar{K}/K)$ - его абсолютная группа Галуа. Пусть $\gamma\in
K$ - примитивный кубический корень из единицы.

\begin{sect} {\bf  Группы Галуа нечетных полиномов}.
Пусть  $n=12k+11$ - натуральное число, сравнимое с  $11$ по модулю $12$,
$f(x)\in K[x]$ - {\sl нечетный} многочлен степени $n$  {\sl без кратных корней}
и с {\sl ненулевым} постоянным членом. Положим $m=6k+5$.  Тогда найдутся
$m$  различных ненулевых корней $\{\beta_1, \dots , \beta_m\}$ многочлена $f(x)$, такие, что
the $n$-элементное множество $\RR_f$ всех корней многочлена $f(x)$ совпадает с $\{0\} \cup \{\pm
\beta_1, \dots , \pm \beta_m \}\subset \bar{K}$ of all roots of $f(x)$.
Ясно, что множество $\RR_f$ переводится в себя автоморфизмами Галуа.
Через $\Perm(\RR_f)$  обозначается группа всех перестановок
 $n$-элементного множества $\RR_f$. Пусть $\Gal(f)$  - образ группы
$\Gal(K)$ в $\Perm(\RR_f)$ относительно естественного действия группы Галуа на корни многочлена $f(x)$.
 Если $K(\RR_f)$ - поле разложения многочлена $f(x)$, получаемое присоединением к
 $K$ всех элементов множества $\RR_f$, то $K(\RR_f)/K$ - конечное расширение Галуа и группа
  $\Gal(f)$  канонически изоморфна группе Галуа
$\Gal(K(\RR_f)/K)$. Пусть $\Perm_0(\RR_f)$ - подгруппа группы $\Perm(\RR_f)$, которая состоит из всех
перестановок вида
 $$0\mapsto 0, \ \beta_i \mapsto \epsilon_i \beta_{s(i)}, \ -\beta_i \mapsto -\epsilon_i \beta_{s(i)}$$
 где $s \in \ST_m$ - произвольная перестановка, а
$\epsilon_i=\pm 1$. Ясно, что
$$\Gal(f)\subset \Perm_0(\RR_f) \subset \Perm(\RR_f).$$
Обозначим через $\W(\D_m)$ подгруппу индекса $2$ группы $\Perm_0(\RR_f)$,
элементы которой характеризуются условием
$\prod_{i=1}^m \epsilon_i =1$. Имеем
$$\W(\D_m)\subset \Perm_0(\RR_f) \subset \Perm(\RR_f).$$
\end{sect}


Поскольку $0$ - простой корень для $f(x)$, то мы имеем $f(x)=x\cdot  h (x)$ где $h(x)$ -
 {\sl четный}  многочлен четной степени $2m$, а множество всех его корней $\RR_{h}$
совпадает с $\{\pm \beta_1, \dots , \pm \beta_m\}$; в частности, $h(0)\ne 0$.

\begin{rem}
 Ясно,  что $(\prod_{i=1}^m \beta_i)^2 = -h(0)$ (напомним, что
 $m$ нечетно). Отсюда вытекает, что
 $\Gal(f)=\Gal(h)\subset \W(\D_m)$  если и только если $-h(0)$
квадрат в $K$.
\end{rem}

\begin{ex}
\label{magma} Пусть $$m=5, h(x)=x^{10}-x^2-1 \in \Q[x], f(x)=x \cdot h(x)= x
(x^{10}-x^2-1).$$ Поскольку $1=-h(0)$ квадрат в  $\Q$, группа Галуа
$\Gal(h/\Q)$ многочлена $h(x)$ над $\Q$  является подгруппой в $\W(\D_5)$. Используя систему Magma
\cite{MAGMA},  можно получить, что порядок группы $\Gal(h/\Q)$ равен $2^4 \cdot 5!$.
Поскольку порядок группы $\W(\D_5)$ также равен $2^4 \cdot 5!$, мы заключаем, что
$\Gal(h/\Q)=\W(\D_5)$. Можно проверить, что коммутант
$G_1:=(\W(\D_5),\W(\D_5))$ - {\sl совершенная} (нормальная) подгруппа индекса $2$ в
$W(\D_5)$.
Отсюда вытекает, что поле разложения
 $\Q(\RR_h)$ для $h(x)$ над $\Q$ содержит ровно одно квадратичное подполе.
  Чтобы определить это подполе, заметим, что если
 $\{\pm \beta_1, \dots , \pm \beta_5\}$  - множество всех корней многочлена
$h(x)=x^{10}-x^2-1$ то $\{\beta_1^2, \dots \beta_5^2\}$ - множество всех корней многочлена
$x^5-x-1$. Используя систему Magma \cite{MAGMA},
получаем, что дискриминант многочлена
$x^5-x-1$ равен $19 \times 151$ и следовательно, $\Q(\RR_h)$ содержит $\Q(\sqrt{19
\times 151})$.  Отсюда вытекает, что $\Q(\RR_h)$  {\sl не}  содержит
$K=\Q(\sqrt{-3})$  и следовательно, $\Q(\RR_h)$ и $K$
линейно разделены над
$\Q$.  Отсюда вытекает, что группа Галуа многочлена $h(x)$  над  $K$
также совпадает с
$\W(\D_5)$
и следовательно, группа Галуа многочлена
$f(x)$ над $K$  также совпадает с
 $\W(\D_5)$.
\end{ex}



\begin{defn}
Пусть $\Perm(\RR_h)$ - группа всех перестановок  $2m$-элементного множества
$\RR_h$.
 Пусть  $\GG$ - подгруппа перестановок в $\ST_m$. Обозначим через $2^m \cdot \GG\subset \Perm(\RR_h)$
подгруппу, состоящую из всех перестановок вида
$$(s; \epsilon_1, \dots , \epsilon_m):
\beta_i \mapsto \epsilon_i \beta_{s(i)}, \ -\beta_i \mapsto -\epsilon_i
\beta_{s(i)}$$
 где $$s \in \GG, \ \epsilon_i=\pm 1 .$$ Обозначим через $2^{m-1} \cdot \GG$ подгруппу индекса $2$
 группы $2^m \cdot \GG$,
элементы которой характеризуются условием
 $\prod_{i=1}^m \epsilon_i =1$.
\end{defn}

\begin{ex}
\item[(i)] Группа $2^m \cdot \{1\}$
 совпадает с группой всех перестановок вида
$$\beta_i \mapsto \epsilon_i \beta_{i}, \ -\beta_i \mapsto -\epsilon_i
\beta_{i}$$  где $ \epsilon_i=\pm 1$, в то время как $2^{m-1} \cdot \{1\}$ отвечает ее подгруппе
индекса $2$,  элементы которой характеризуются условием
 $\prod_{i=1}^m \epsilon_i =1$. Группы $2^m \cdot \{1\}$ и  $2^{m-1} \cdot
 \{1\}$  коммутативны и имеют экспоненту $2$, их порядки  - $2^m$ и $2^{m-1}$
 соответственно.
 \item[(ii)]
 Отождествим $\Perm(\RR_h)$ со стабилизатором (корня) $0$ в $\Perm(\RR_f)$. Тогда группа
$2^m\cdot \ST_m$ совпадает с $\Perm_0(\RR_f)$, а (под)группа $2^{m-1}\cdot \ST_m$
 совпадает с $\W(\D_m)$.
\end{ex}

\begin{rem}
Ясно, что естественное отображение $(s; \epsilon_1, \dots , \epsilon_m)\mapsto s$
задает сюръективные гомоморфизмы групп
$$\kappa^{0}_h: 2^m \cdot \GG \twoheadrightarrow \GG,
\ \kappa_h: 2^{m-1} \cdot \GG \twoheadrightarrow
\GG,$$ w ядра которых суть группы $2^m \cdot \{1\}$ и $2^{m-1} \cdot \{1\}$
соответственно.
\end{rem}

\begin{rems}
\label{orbits}
Предположим, что найдется группа подстановок
$\GG \subset
\ST_m$, такая, что   $\Gal(h) =2^{m-1} \cdot \GG$.
 Тогда:

\begin{itemize}
\item[(i)]
 Ядро сюръективного гомоморфизма  $\kappa_h:
\Gal(h)=2^{m-1} \cdot \GG  \twoheadrightarrow \GG$ - коммутативная (нормальная) подгруппа
 $2^{m-1} \cdot \{1\}$ экспоненты $2$.
 \item[(ii)]
 Пусть $G_1$  {\sl нормальная} подгруппа группы $\Gal(h)$  {\sl нечетного индекса}  $r$. Тогда
 $G_1$ содержит $2^{m-1} \cdot \{1\}$ и сюръективность гомоморфизма $\kappa_h$ влечет за собой то, что
 $$\kappa_h(G_1) \cong G_1/(2^{m-1} \cdot \{1\})$$ - нормальная подгруппа индекса $r$ в $\GG$. Отсюда
 вытекает, что если группа $\GG$ не содержит нормальную подгруппу
нечетного индекса (за исключением самой
 $\GG$) то  группа $\Gal(h)$ также не содержит нормальную подгруппу
нечетного индекса (за исключением самой $\Gal(h))$.

\item[(iii)]
\begin{enumerate}
\item Если $\GG$ транзитивная подгруппа в $\ST_m$ то $2^{m-1} \cdot \GG$
 транзитивная подгруппа в $\Perm(\RR_h)$. Это означает, что $\Gal(h)$ -
  транзитивная подгруппа в
 $\Perm(\RR_h)$, т.е., многочлен $h(x)$ неприводим над  $K$.

 \item
  Предположим, что $\GG$
дважды транзитивная подгруппа в
  $\ST_m$ и пусть
$\GG_1$ - стабилизатор элемента $1$ в $\GG$. Тогда у $\GG_1$
 имеется ровно две орбиты в
in $\{1, \dots , m\}$: а именно, $\{1\}$ и все остальное.
 Пусть $\Gal(h)_1$  - стабилизатор корня
$\beta_1$ в $\Gal(h)$.
Тогда легко убедиться в том, что у группы
$\Gal(h)_1$ ровно три орбиты в
$\RR_h$: а именно, $\{\beta_1\}$, $\{-\beta_1\}$ и все остальное.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{rems}

\begin{sect}
{\bf  Пермутационные модули}. Пусть $V_{{f}}$ -
 $2m$-мерное векторное пространство над  $\F_3$ всех функций $\phi:{\RR}_{f}\to
 \F_3$, удовлетворяющих условию  $\sum_{\alpha\in {\RR}_{{f}}}\phi(\alpha)=0$.
 Пространство $V_{{f}}$ снабжено естественной структурой модуля Галуа, индуцированное
 действием группы Галуа на множество ${\RR}_{{f}}$.


 Пусть $\F_3^{\RR_h}$ -
 $2m$-мерное векторное пространство над  $\F_3$ всех функций
 $\phi:{\RR}_{h}\to
 \F_3$. Пространство $\F_3^{\RR_h}$ снабжено естественной структурой модуля Галуа.
   Обозначим через  $1_{\RR_h}$ постоянную
  (Галуа-инвариантную) функцию $1$.

   Отображение, сопоставляющее любой
  $\F_3$-значной функции на $\RR_f$   ее ограничение на $\RR_h$
задает изоморфизм модулей Галуа
   $V_f \to \F_3^{\RR_h}$. (Можно продолжить любую функцию
  $\phi$ на $\RR_h$ до функции на $\RR_f=\{0\}\cup \RR_h$, полагая
 $$\phi(0):=-\sum_{\alpha\in \RR_h}\phi(\alpha).)$$
 Модуль Галуа $V_{{f}}$ расщепляется в прямую сумму модулей Галуа четных и нечетных функций
$$V_{{f}}=V_{{f}}^{-}\oplus V_{{f}}^{+}$$
где
$$V_{{f}}^{+}=\{\phi:{\RR}_{f}\to \F_3, \sum_{\alpha \in \RR_f} \phi(\alpha)=0, \ \phi(\alpha)= \phi(-\alpha) \ \forall \alpha\},$$
$$V_{{f}}^{-}=\{\phi:{\RR}_{f}\to \F_3, \ \phi(\alpha)= -\phi(\alpha) \ \forall \alpha\}.$$
(Сумма всех значений нечетной функции всегда равна нулю.)
Ясно, что
 $\phi(0)=0$  для всех $\phi \in V_{{f}}^{-}$.  Отсюда вытекает, что
$$\dim_{\F_3}(V_{{f}}^{-})=m.$$
\end{sect}


\begin{lem}
\label{centralizer}
Предположим, что существует дважды транзитивная группа перестановок
$\GG \subset \ST_m$, такая, что
$\Gal(h)=2^{m-1}\cdot\GG$.
 Тогда $\End_{\Gal(K)}(V_{{f}}^{-})=\F_3$.
\end{lem}


\begin{proof}
 Согласно Замечанию \ref{orbits}(iii)(1), группа $\Gal(h)$
 транзитивно действует на множество $\RR_h$.

 Пусть $W_h^{+}$ and $W_h^{-}$ - подпространства пространства $\F_3^{\RR_h}$,
 состоящие из всех четных и нечетных функций соответственно.
Ясно, что оба подпространства являются подмодулями Галуа в $\F_3^{\RR_h}$, а также
 $$W_h^{-}\oplus W_h^{+} =\F_3^{\RR_h}.$$ Также ясно, что модули Галуа
 $W_h^{-}$ и $V_{{f}}^{-}$ изоморфны. Поэтому, нам достаточно проверить, что
$$\End_{\Gal(K)}(W_{{h}}^{-})=\F_3.$$
Для этого заметим, что натуральное число
 $\#(\RR_h)=2m=n-1=12k+10$  {\sl не} делится на
 $3$.
Отсюда вытекает, что подмодуль
 $\F_3 \cdot 1_{\RR_h}$ постоянных функций
 является прямым слагаемым в
 $W_h^{+}$, а модуль Галуа $\F_3^{\RR_h}$ расщепляется в прямую сумму модулей Галуа
$$\F_3^{\RR_h}=W_h^{-}\oplus W_h^{+}=W_h^{-}\oplus \F_3 \cdot 1_{\RR_h}
\oplus W_h^{+,0}$$ где $W_h^{+,0}$ - (под)модуль Галуа всех четных функций, для которых
  сумма всех значений равна нулю. Ясно, что
$$\dim_{\F_3}\End_{\Gal(K)} (\F_3^{\RR_h})\ge $$
$$\dim_{\F_3}\End_{\Gal(K)}(W_h^{-}) + \dim_{\F_3}\End_{\Gal(K)}(\F_3 \cdot
1_{\RR_h}) + \dim_{\F_3}\End_{\Gal(K)}(W_h^{+,0}) \ge $$
$$\dim_{\F_3}\End_{\Gal(K)}(W_h^{-}) +1 +1.$$ Таким образом,
если мы докажем, что
$\dim_{\F_3}\End_{\Gal(K)} (\F_3^{\RR_h})=3$ то доказательство будет завершено.
Поскольку образ группы
 $\Gal(K)$ в $\Aut_{\F_3}(\F_3^{\RR_h})$ совпадает с
$$\Gal(h)\subset \Perm(\RR_h)\subset \Aut_{\F_3}(\F_3^{\RR_h}),$$
мы имеем равенство.
$$\End_{\Gal(K)} (\F_3^{\RR_h})=\End_{\Gal(h)} (\F_3^{\RR_h}).$$
Таким образом, для доказательства нашей Леммы достаточно убедиться в том, что
$$\dim_{\F_3}(\End_{\Gal(h)} (\F_3^{\RR_h}))=3.$$
Согласно Лемме 7.1 книги \cite{Passman}, размерность $\dim_{\F_3}(\End_{\Gal(h)} (\F_3^{\RR_h}))$
совпадает с числом орбит в множестве
 $\RR_h$ относительно действия стабилизатора любого фиксированного корня многочлена  $h(x)$
 в $\Gal(h)$. Но это число орбит равно тройке
(см. Замечание \ref{orbits}(iii)). Доказательство окончено.
\end{proof}


\section{ Циклические накрытия, якобианы и примианы}
\label{geom}

Если $X$  - абелево многообразие над $\bar{K}$ то через $\End(X)$
 обозначается кольцо всех его
 $\bar{K}$-эндоморфизмов, а через  $\End^0(X)$ - соответствующая
$\Q$-алгебра $\End(X)\otimes\Q$. Если $X$ определена над $K$ то через
 $\End_K(X)$ обозначается кольцо всех его $K$-эндоморфизмов.

Как и выше $f(x)=x\cdot h(x)\in K[x]$
  - нечетный многочлен нечетной степени
$n=2m+1=12k+11$ и без кратных корней. Мы сохраняем все обозначения предыдущего параграфа.


\begin{sect}
{\bf  Тригональные кривые}.
Здесь и далее мы предполагаем, что поле $K$  содержит $\sqrt{-3}$. Рассмотрим
гладкую проективную кривую $C_{f,3}$, являющуюся моделью аффинной тригональной
 кривой
$$y^3=f(x);$$
ее род равен $n-1=12k+10$. На кривой $C_{f,3}$ действуют коммутирующие периодические
автоморфизмы
$$\delta_2:(x,y)\mapsto (-x,-y)$$
и
$$\delta_3:(x,y)\mapsto (x,\gamma y,)$$
имеющие период
 $2$ и $3$ соответственно.

 Регулярное отображение кривых
$$\pi:C_{f,3}\to \P^1, \ (x,y)\mapsto x$$
имеет степень $3$ и разветвлено в точности в  $0$,  $2m$-элементном множестве
$\{\alpha\mid \alpha\in \RR_f\}$ и $\infty$. (Отметим, что $3$  {\sl не}
делит $2m+1$.) Ясно, что все точки ветвления отображения $\pi$ в $C_{f,3}$ являются
$\delta_3$-инвариантными. Мы позволим себе обозначить $\pi^{-1}(\infty)$ через
$\infty$. Положим
$$B=\pi^{-1}(\RR_f)=\{(\alpha,0)\mid \alpha\in \RR_f\}\subset C(\bar{K}).$$
Ясно, что все элементы множества $B$ являются $\delta_3$-инвариантными.
С другой стороны, если
$P= (\alpha,0)\in B$ то $\delta_2(P)=(-\alpha,0)\in B$.


 У автоморфизма  $\delta_2:C_{f,3} \to C_{f,3}$
 ровно две неподвижные точки, а именно,
 $\pi^{-1}(0)$ и $\pi^{-1}(\infty)$.
 Легко проверяется, что фактор
 $\tilde{C}_{f,3}=C_{f,3}/(1,\delta_2)$
- гладкая (неприводимая) проективная кривая
(сравните с Леммой 1.2, ее доказательством и Следствием 1.3 в работе
\cite{ZarhinMF}) и естественное регулярное отображение $C_{f,3}\to \tilde{C}_{f,3}$
является двойным накрытием, разветвленным ровно в двух точках, а именно в образах точек
 $\pi^{-1}(0)$ and
$\pi^{-1}(\infty)$. Из формулы Гурвица вытекает, что род кривой
$\tilde{C}_{f,3}$ равен $m$.

Поскольку
$$[n/3]=4k+3, \  [2n/3]=8k+7,$$
из результатов работ \cite{ZarhinCrelle} и \cite[Замечания 3.5 and 3.7]{ZarhinCamb}
вытекает, что  $(n-1)$-мерное векторное пространство
 $\Omega^1(C_{f,3})$ (над $\bar{K}$) дифференциалов первого рода на
 $C_{f,3}$ допускает в качестве базиса множество
$$\left\{ x^i \frac{dx}{y}, \ 0\le i \le 4k+2; \ x^j \frac{dx}{y^2}, \ 0\le j \le
8k+6 \right\}.$$ Если
$$\delta_2^{*}:\Omega^1(C_{f,3})\to \Omega^1(C_{f,3}), \ \delta_3^{*}:\Omega^1(C_{f,3})\to
\Omega^1(C_{f,3})$$
- автоморфизмы, индуцированные
 $\delta_2$ и $\delta_3$ соответственно, то
$$\delta_3^{*}(x^i \frac{dx}{y})=\gamma^{-1}x^i \frac{dx}{y}, \ \delta_3^{*}(x^j
\frac{dx}{y^2})=\gamma^{-2}x^j \frac{dx}{y^2}=\gamma x^j \frac{dx}{y^2},$$
$$\delta_2^{*}(x^i \frac{dx}{y})=(-1)^i x^i \frac{dx}{y}, \ \delta_2^{*}(x^j
\frac{dx}{y^2})=(-1)^{j+1}x^j \frac{dx}{y^2};$$
в частности, этот базис состоит из собственных векторов линейных операторов
 $\delta_2^{*}$ and $\delta_3^{*}$.
 Отсюда вытекает, что подпространство
$\Omega^1(C_{f,3})^{-}$ всех
$\delta_2$-антиинвариантов имеет размерность  $m$ и допускает в качестве базиса множество
$$\left\{ x^{2i+1} \frac{dx}{y}, \ 0\le i \le 2k; \ x^{2j} \frac{dx}{y^2} \ 0\le j \le
4k+3 \right\}.$$
\end{sect}

\begin{sect}
{\bf Тригональные якобианы}. Пусть $J(C_{f,3})$
- якобиан кривой $C_{f,3}$: это
 $(n-1)$-мерное абелево многообразие, определенное над $K$. По функториальности Альбанезе,
 $\delta_2$ и $\delta_3$   индуцируют $K$-автоморфизмы якобиана
 $J(C_{f,3})$, которые мы по-прежнему обозначаем через
   $\delta_2$ и $\delta_3$  соответственно.
  Имеем
 $$\delta_2^2=1, \ \delta_3^2+\delta_3+1=0$$ где все равенства имеют место в кольце
  $\End(J(C_{f,3}))$. Последнее равенство позволяет определить вложение

 $$\Z[\zeta_3] \hookrightarrow \End_K(J(C_{f,3})), \ \zeta_3 \mapsto
 \delta_3$$ кругового кольца
  $\Z[\mu_3]$  в кольцо всех $K$-эндоморфизмов абелева многообразия  $J(C_{f,3})$.


 Пусть $j:C_{f,3} \hookrightarrow J(C_{f,3})$
 - каноническое вложение кривой $C_{f,3}$ в ее якобиан, нормализованное условием
  $j(\infty)=0$, т.е., $j$  переводит точку
 $P \in C_{f,3}(\bar{K})$ в класс линейной эквивалентности дивизора
 $(P)-(\infty)$. Ясно, что $j$ является $\delta_3$-эквивариантным и
 $\delta_2$-эквивариантным.

Напомним описание (под)модуля Галуа
  $J(C_{f,3})^{\delta_3}$ всех
 $\delta_3$-инвариантов в  $J(C_{f,3})(\bar{K})$.  Модули Галуа
$V_{{f}}$ и $J(C_{f,3})^{\delta_3}$  канонически изоморфны
\cite{Schaefer} (см. также \cite{ZarhinMiami}). А именно, пусть
$$\Z_B^0=\{\sum_{P\in B}a_P(P)\mid a_P\in \Z, \ \sum_{P\in B}a_P=0 \}$$ -
 группа всех  дивизоров нулевой степени на кривой
 $C_{f,3}$ с носителем в $B$. Свободная коммутативная группа
 $\Z_B^0$ обладает естественной структурой модуля Галуа.
 Ясно, что модуль Галуа $\Z_B^0/3 \Z_B^0$  канонически изоморфен модулю
$V_{{f}}$: дивизор $\sum_{P\in B}a_P(P)$  задает функцию $\alpha
\mapsto a_P \mod 3$ где $P=(\alpha,0)$. Поскольку множество $B$ является $\delta_2$-инвариантным,
отображение
$$D_2: \sum_{P\in B}a_P(P)\mapsto \sum_{P\in B}a_P(\delta_2 P)$$
 - автоморфизм модуля Галуа
 $\Z_B^0$, индуцирующий автоморфизм модуля Галуа
   $\Z_B^0/3 \Z_B^0=V_{{f}}$, который переводит функцию $\alpha \to
\phi(\alpha)$ в функцию $\alpha \to \phi(-\alpha)$.
(Мы сохраняем обозначение $D_2$ для этого автоморфизма модуля Галуа
 $V_{{f}}$.)  Заметим, что
$$V_{{f}}^{-}=(1-D_2)V_{{f}}, \ V_{{f}}^{+}=(1+D_2)V_{{f}}$$
(напомним, что $V_f$ - векторное пространство над  $\F_3$.) Другими словами, $V_{{f}}^{+}$
и $V_{{f}}^{-}$ - собственные подпространства оператора $D_2$,
отвечающие собственным значениям $1$ и
 $-1$ соответственно.

 Рассмотрим естественное отображение
$$\cl: \Z_B^0 \to J(C_{f,3})(\bar{K},)$$
которое переводит любой дивизор вида
 $\sum_{P\in B}a_P(P)$ в (его класс линейной эквивалентности,
т.е., в) $$\sum_{P\in B}a_P j(P) \in J(C_{f,3})(\bar{K}).$$
Оказывается,
$\cl(\Z_B^0)=J(C_{f,3})^{\delta_3}$ и ядро гомоморфизма $\cl$ совпадает с
$3\cdot \Z_B^0$. Это позволяет определить естественный изоморфизм модулей Галуа
$\Z_B^0/3 \Z_B^0$ и $J(C_{f,3})^{\delta_3}$  и мы получаем
естественный изоморфизм модулей Галуа
$$\overline{\cl}: V_{{f}}=\Z_B^0/3 \Z_B^0\cong J(C_{f,3})^{\delta_3}.$$
 Поскольку $\delta_2$  коммутирует с $\delta_3$,  подмодуль Галуа
$J(C_{f,3})^{\delta_3}$ является $\delta_2$-инвариантным. Из явного описания гомоморфизмов
 $\cl$ и $D_2$ вытекает, что если $\bar{\cl}(\phi)=P \in
J(C_{f,3})^{\delta_3}$ то $\delta_2 P$ - образ (при отображении $\overline{\cl}$)
 функции $\alpha \to \phi(-\alpha)$.  Другими словами,
$$\overline{\cl}(D_2 \phi)=\delta_2 \overline{\cl}(\phi) \ \forall \phi \in
V_f.$$
Отсюда вытекает, что ограничение гомоморфизма
$\overline{\cl}$ на подмодуль $V_{{f}}^{-}$
дает нам изоморфизм модулей Галуа
$$\overline{\cl}: V_{{f}}^{-} \cong \{P \in J(C_{f,3})^{\delta_3}\mid
\delta_2 P=-P\}.$$ Отсюда следует, что
$$\{P \in J(C_{f,3})^{\delta_3}\mid
\delta_2 P=-P\}=\overline{\cl}(V_{f}^{-})=\overline{\cl}((1-D_2)V_{f})
 =(1-\delta_2)J(C_{f,3})^{\delta_3}.$$
\end{sect}

\begin{sect}
\label{Triprym} {\bf   Тригональные примианы}.
  Рассмотрим многообразие Прима
 $$P(C_{f,3})=(1-\delta_2)J(C_{f,3})\subset J(C_{f,3}).$$
 Если ограничить каноническую главную поляризацию якобиана
  $J(C_{f,3})$ на его абелево подмногообразие
$P(C_{f,3})$,
то индуцированная поляризация является главной поляризацией на
$P(C_{f,3})$, умноженной на два \cite[Параграф  3, Следствие 2]{MumfordP}.
 Ясно, что "индуцированная" главная поляризация на
$P(C_{f,3})$ является $\delta_3$-инвариантной.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Также ясно \cite[Параграф 3,
 Следствие 2]{MumfordP}, что  $P(C_{f,3})$ совпадает со связной компонентой единицы
естественного сюръективного гомоморфизма якобианов
 $J(C_{f,3})\to J(\tilde{C}_{f,3})$; в частности, $P(C_{f,3})$ -
 $m$-мерное абелево многообразие, определенное над $K$. Ясно, что абелево подмногообразие
 $P(C_{f,3})$ is $\delta_3$-инвариантно. Следовательно, мы можем и будем рассматривать
 $\delta_3$ как $K$-автоморфизм абелева многообразия  $P(C_{f,3})$. По-прежнему,
$\delta_3^2+\delta_3+1=0$ в $\End(P(C_{f,3}))$. Как и выше, это равенство задает вложение колец
 $$\Z[\zeta_3] \hookrightarrow \End(P(C_{f,3})), \ \zeta_3 \mapsto
 \delta_3.$$
 С другой стороны, $1+\delta_2$ kills $P(C_{f,3})$, потому что
$$0=1-\delta_2^2=(1+\delta_2)(1-\delta_2)\in \End(J(C_{f,3}))$$ и
$P(C_{f,3})(\bar{K})=(1-\delta_2)(J(C_{f,3}))$. Отсюда вытекает, что
$$\delta_2 P = -P \ \forall P \in P(C_{f,3})(\bar{K}).$$
Рассмотрим (под)модуль Галуа
 $P(C_{f,3})^{\delta_3}$ всех
$\delta_3$-инвариантов в    $P(C_{f,3})(\bar{K})$. Ясно, что
$$P(C_{f,3})^{\delta_3}\subset \{P \in J(C_{f,3})^{\delta_3}\mid
\delta_2 P=-P\}.$$ Поскольку последняя группа совпадает с
$(1-\delta_2)J(C_{f,3})^{\delta_3}$,  мы заключаем, что
$$P(C_{f,3})^{\delta_3}= \{P \in J(C_{f,3})^{\delta_3}\mid
\delta_2 P=-P\}.$$
 Отсюда вытекает, что модули Галуа  $P(C_{f,3})^{\delta_3}$
and $V_f^{-}$ канонически изоморфны.

Положим $$\Oc=\Z[\mu_3], \ \lambda=(1-\gamma)\Oc, \ E=\Oc\otimes\Q=\Q(\zeta_3)=\Q(\sqrt{-3}).$$
Тогда поле вычетов
 $$\Oc/\lambda=\F_3.$$   Напомним, что имеется естественный
 гомоморфизм
$$\Oc=\Z[\mu_3]\hookrightarrow \End_K(P(C_{f,3})), \zeta_3\mapsto \delta_3.$$
Это дает нам равенство
$$P(C_{f,3})^{\delta_3}=P(C_{f,3})_{\lambda}$$
и, следовательно, модули Галуа
  $P(C_{f,3})_{\lambda}$ и $V_{f}^{-}$ канонически изоморфны. В частности,
$$\dim_{\F_3}P(C_{f,3})_{\lambda}=m.$$
С другой стороны, хорошо известно
\cite{Shimura,Ribet2,ZarhinMZ}, что $P(C_{f,3})_{\lambda}$ - свободный
$\Oc/\lambda$-модуль ранга  $2\dim(P(C_{f,3}))/[E:\Q]$.  Поскольку
$\Oc/\lambda=\F_3$ and $[E:\Q]=2$, мы получаем другое доказательство равенства
$\dim(P(C_{f,3}))=m$.
 Заметим, что
 $$\dim(P(C_{f,3}))=m=\dim_{\F_3}(\Omega^1(C_{f,3})^{-}).$$
\end{sect}

\begin{rem}
\label{multprime}
Принимая во внимание то, что
  $\dim(P(C_{f,3}))=m$  и применяя Теорему  3.10 работы \cite{ZarhinMiami} к
$$ Y=J(C_{f,3}), Z=P(C_{f,3}), \delta=\delta_2, P(t)=1-t,$$ мы находим, что
гомоморфизм абелевых многообразий  $1-\delta_2:J(C_{f,3})\twoheadrightarrow P(C_{f,3})\subset
J(C_{f,3})$ индуцирует  (на дифференциалах первого рода)
изоморфизм векторных пространств
$$(1-\delta_2)^{*}:\Omega^1(P(C_{f,3}))\cong \Omega^1(C_{f,3})^{-}\subset
\Omega^1(J(C_{f,3})),$$ и изоморфизм этот
  $\delta_3$-эквивариантен. Отсюда легко вытекает, что
 $\delta_3$ индуцирует линейный оператор в пространстве
$\Omega^1(P(C_{f,3}))$, спектр которого состоит из собственных чисел
 $\gamma^{-1}$ кратности
 $2k+1$ и $\gamma=\gamma^{-2}$ кратности $4k+4$. Ясно, что числа
 $2k+1$ and $4k+4$  {\sl  взаимно просты}.
\end{rem}


\begin{Thm}
\label{main}
Предположим, что существует дважды транзитивная группа перестановок
  $\GG \subset
 \ST_m$, удовлетворяющая следующим условиям:

 \begin{itemize}
 \item[(i)]
 Группа $\GG$ не содержит нормальную подгруппу с индексом, делящим
 $m$ (за исключением себя самой).
\item[(ii)] Группа $\Gal(h)$ содержит $2^{m-1}\cdot \GG$.
 \end{itemize}
  Тогда  $\End(P(C_{f,3}))=\Z[\zeta_3]$.
   В частности, $P(C_{f,3})$ - абсолютно простое абелево многообразие.

\end{Thm}


\begin{proof}
Заменяя в случае необходимости поле
 $K$ на его расширение,
 мы можем и будем предполагать, что $\Gal(h)= 2^{m-1}\cdot
\GG$.   Отождествляя  группу $\Perm(\RR_h)$ со стабилизатором корня
 $0$ в $\Perm(\RR_f)$, мы получаем, что
$$\Gal(f)=\Gal(h)=2^{m-1}\cdot\GG.$$
 Поскольку модули Галуа $P(C_{f,3})_{\lambda}$ и $V_f^{-}$  изоморфны,
  из Леммы \ref{centralizer} вытекает, что
$\End_{\Gal(K)}(P(C_{f,3})_{\lambda})^{\delta_3})=\F_3$.
  Теперь Теорема \ref{main} вытекает из Замечания \ref{multprime}  и Теоремы
3.12(ii)(2) работы \cite{ZarhinMZ}, примененных к $X=P(C_{f,3}), E=\Q(\sqrt{-3}),
\Oc=\Z[\mu_3], \lambda=(1-\gamma)\Oc$.
\end{proof}

\begin{ex}
 Пусть  $m=6k+5$ - натуральное число, сравнимое с  $5$ по модулю $6$.
   Пусть $L$ - поле рациональных функций  $\C(t_1, \dots , t_m)$ от $m$
независимых переменных
   $t_1, \dots , t_m$ over $\C$.
 Можно реализовать группу $2^{m}\cdot\ST_m$ как группу всех линейных преобразований
 поля $L$ вида
 $$(s; \epsilon_1, \dots , \epsilon_m):
t_i \mapsto \epsilon_i t_{s(i)}, \ i=1, \dots m$$
 где $$s \in \ST_m, \ \epsilon_i=\pm 1 .$$
 Пусть $K$  - подполе всех $2^{m}\cdot\ST_m$-инвариантов в $L$. Ясно, что  $L/K$ -
конечное расширение Галуа с группой Галуа
 $2^{m}\cdot\ST_m$.  В частности, $\bar{L}=\bar{K}$.
Поскольку $m \ge 5$,  список нормальных подгрупп в  $\ST_m$
исчерпывается подгруппой
 $\{1\}$  четного индекса
$m!$,  знакопеременной подгруппой $\A_m$  индекса $2$   и самой группой $\ST_m$.

Многочлен
 $$h(x) =\prod_{i=1}^m (x^2-t_i^2)=\prod_{i=1}^m (x-t_i) \prod_{i=1}^m (x+t_i)$$
  четной степени $2m$ лежит в
 $K[x]$, а его поле разложения  совпадает с  $L$. Отсюда вытекает, что  $\Gal(h)=2^{m}\cdot\ST_m$.
 Применяя Теорему
  \ref{main}  к многочлену
$$f(x):= x \cdot h(x)=x \cdot \prod_{i=1}^m (x^2-t_i^2)$$
 нечетной степени $(2m+1)$, мы заключаем, что кольцо эндоморфизмов
 (над $\bar{L}$)  $m$-мерного примиана   $P(C_{f,3})$  совпадает с
   $\Z[\zeta_3]$.
\end{ex}


\begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{main0}]
Все утверждения (i)  и(ii)(a) за исключением (i)(1)(C)  уже доказаны в разделах  \ref{Triprym} и
Замечании \ref{multprime}.  Поскольку $\ST_m$ - дважды транзитивная группа перестановок,
 не имеющая нормальных делителей нечетного индекса (за исключением себя самой) и
$\W(\D_m)=2^{m-1}\cdot\ST_m$, то утверждение
 (ii)(b1) вытекает из Теоремы
 \ref{main}, примененной к  $\GG=\ST_m$.

Для доказательства утверждения (i)(1)(C), заметим, что
$$3\cdot \mid (2k+1)-(4k+4)\mid =6k+9>(6K+5)+2=m+2=\dim(P(C_{f,3}))+2.$$
Теперь утверждение (i)(1)(C)) вытекает из утверждения (i)(2), благодаря
Теореме 1.1 работы \cite{ZarhinMF}.

Для доказательства утверждения (ii)(b2), заметим, что мы уже знаем
(благодаря уже доказанному утверждению
  (ii)(b1) ), что  $\End(P(C_{f,3}))=\Z[\delta_3]\cong\Z[\zeta_3]$.
 Отсюда вытекает, что  $P(C_{f,3})$  абсолютно просто и имеет ровно одну главную
 поляризацию, которая  $\delta_3$-инвариантна. Таким образом, если  $P(C_{f,3})$
изоморфно якобиану гладкой проективной прямой, то этот изоморфизм переводит друг в друга
соответствующие главные поляризации.

Теперь утверждение (ii)(b2) вытекает из утверждения (i)(1)(C).

%(i)(2), благодаря
%Теореме 1.1 работы \cite{ZarhinMF}.
\end{proof}

\begin{thebibliography}{99}



\bibitem{MAGMA} W.~Bosma, J.~ Cannon, C. Playoust, {\em  The Magma Algebra System I: The User
Language}. J. Symb. Comp. {\bf 24} (1997), 235--265;
http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/ .

\bibitem{Koo} J. K. Koo, {\sl On holomorphic differentials of some algebraic function field
of one variable over C}. Bull. Austral. Math. Soc. {\bf 43} (1991), 399-405.

\bibitem{MT} K. Matsumoto, T. Terasoma,  {\sl Theta constants
associated to cubic threefolds}.  J. Algebraic Geom. {\bf 12} (2003), 741--775.

\bibitem{MumfordP} D. Mumford, {\sl Prym varieties} I. In: Contributions to
Analysis, pp. 325--350. Academic Press 1974.


\bibitem{Oort} Oort, F.  {\sl Endomorphism algebras of abelian varieties}. In:
 Algebraic geometry and commutative algebra, Vol. II,  469--502, Kinokuniya, Tokyo, 1988.

\bibitem{Passman} D.S. Passman, Permutation groups. W.A. Benjamin, Inc., New
York and Amsterdam, 1968.

\bibitem{Poonen} B. Poonen, E. Schaefer, {\sl Explicit descent for Jacobians of cyclic covers
of the projective line}. J. reine angew. Math. {\bf 488} (1997), 141-188.

 \bibitem{Ribet2} Ribet, K.: Galois action on division points of Abelian varieties with real
 multiplications. Amer. J. Math. {\bf 98}, 751--804 (1976)


\bibitem{Schaefer} E. Schaefer,  {\sl Computing a Selmer group of a Jacobian using functions on the curve}.
Math. Ann. {\bf 310} (1998),  447--471; Erratum,  Math. Ann.  {\bf 339} (2007),
1.

\bibitem{SerreGalois} J.-P. Serre, Topics in Galois Theory.
 Jones and Bartlett Publishers, Boston-London (1992).



 \bibitem{Shimura2} Shimura, G.
{\sl On analytic families of polarized abelian varieties and automorphic
functions}. Ann. of Math. (2) 78 1963 149--192.

 \bibitem{Shimura}  Shimura,  G.,  Introduction to the arithmetic
theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton (1971).

\bibitem{SlavaInv} Shokurov, V. V., {\sl Distinguishing Prymians from Jacobians}.  Invent. Math.  {\bf 65}
(1981/82), no. 2, 209--219.

 \bibitem{SlavaIzv} Шокуров В.В., Многообразия Прима: теория и приложения.
 Известия АН СССР сер. матем.  {\bf 47} (1983), no. 4, 785--855; Math. USSR-Izv. {\bf 23} (1984), no. 1,
 83--147.

\bibitem{Towse} C. Towse, {\sl Weierstrass points on cyclic covers of the projective line}.
  Trans. AMS {\bf 348} (1996), 3355-3377.

\bibitem{ZarhinCrelle} Yu. G. Zarhin, {\sl Cyclic covers, their jacobians and endomorphisms}.  J. reine
angew.  Math. {\bf 544} (2002), 91--110.

 \bibitem{ZarhinCamb} Yu. G. Zarhin, {\sl   The endomorphism rings of jacobians of cyclic covers of the
projective line}. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. {\bf 136} (2004),
257--267.

\bibitem{ZarhinMiami} Yu. G. Zarhin, {\sl Endomorphism algebras of superelliptic Jacobians}.
 In: Geometric methods in algebra and number theory (F. Bogomolov, Yu. Tschinkel, eds),
 339--362, Progr. Math., 235, Birkh\"auser Boston, Boston, MA, 2005.

 \bibitem{ZarhinMZ} Yu. G. Zarhin, {\sl Endomorphisms of superelliptic jacobians}. Math. Z.,  DOI:
10.1007/s00209-008-0342-5; Erratum, DOI: 10.1007/s00209-008-0377-7 .

\bibitem{ZarhinMF} Yu. G. Zarhin, {\sl Cubic surfaces and cubic threefolds,
 jacobians and intermediate jacobians}. In: Algebra, Arithmetic
 and Geometry (Manin Festschrift), Progress in Math., Birkh\"auser, 2008, to
 appear;  arXiv:math/0610138v3 [math.AG] .






\end{thebibliography}
\end{document}
