Алгебраические кривые

Алгебраические кривые

Осень 2019 г.

Курс в этом семестре закончен. Для сдачи экзамена нужно набрать 10 баллов.

Планируется продолжение в следующем семестре.

Краткое содержание лекций.

18/09 Алгебраические кривые. Римановы поверхности. Определения. Регулярные функции. Рациональные функции. Мероморфные функции. Ростки функций. Локальное кольцо. Дивизоры (Вейля и Картье). Линейная эквивалентность. Группа Пикара. Пример $\mathbb{P}^1$ . Пучок функций, ассоциированный с дивизором.
25/09 Дивизоры и линейные расслоения. Дифференциальные формы. Рациональные дифференциальные формы. Канонический класс.
2/10 Дивизоры. Точная последовательность вырезания. Отображения $f^*$ и $f_*$ для дивизоров. Отображения $f^*$ для дифференциальных форм. Канонический класс. Формула присоединения. Канонический класс произведения. Кривые на $\mathbb{P}^2$ и $\mathbb{P}^1\times \mathbb{P}^1$ . Ветвления. Формула Гурвица. Род и топологический род.
9/10 Поля рацинальных функций на кривых. Точки и дискретные нормирования. Построение кривой по полю. Гиперэллиптические кривые (точки ветвления и существование). Рациональные линейчатые поверхности (определение, группа Пикара, канонический класс, обильные дивизоры).
16/10 Рациональные линейчатые поверхности: линейные системы, неособые кривые, конуса над рациональными кривыми. Теоремы Бертини. Поверхности минимальной степени. Эллиптические кривые. Линейные системы на эллиптических кривых. Дивизориальные алгебры. Дивизориальная алгебра дивизора степени 1 на эллиптической кривой.
23/10 Дивизориальные алгебры эллиптических кривых и проективное вложение. Взвешенные проективные плоскости. Групповой закон на эллиптической кривой и группа $\mathrm{Pic}^0$ (E). Факторы алгебраических многообразий по конечным группам. Автоморфизмы эллиптических кривых. Группы Aut(E,0). Эллиптические кривые над полем комплексных чисел как факторы $\mathbb{C}$ / $Λ$
6/11 j-инвариант и суперсингулярные кривые.
13/11 Суперсингулярные кривые (группа точек p-кручения), оценка Гурвица, теорема Макбета (оценка Гурвица достигается для бесконечного числа родов).
27/11 Описание кривых малого рода ( $g=1,2,3,4,5$ ). Описание гиперэллиптических кривых. Кривые на линейчатых поверхностях $\mathbb{F}_n$ . Тригональные кривые. Линейный ряд $\mathfrak{g}^1_3$ на кривой. Характеризация тригональных кривых.
4/10 Теорема М. Нётера о проективной нормальности канонических кривых.

Задачи (пополняемый список).