Алгебра 141 группа (МФиФМ),  осень 2021 г.
Лектор: Прохоров Юрий Геннадьевич

Колоквиум состоялся 27-го  октября.    Вопросы к коллоквиуму.



Краткое cодержание прочитанных лекций.
  1. Матрицы. Операции сложения и умножения на число. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Следствия. Системы однородных уравнений.
  2. Умножение матриц.  Свойства. Ассоциативность. Матричная запись систем линейных уравнений. Связь однородных и неоднородных систем линейных уравнений. Понятие кольца. Примеры. Умножение на диагональные матрицы. Умножение треугольных матриц. Матричные единицы. Их произведения. Элементарные матрицы. Умножение произвольной матрицы на элементарную. Подстановки. Их произведение. Ассоциативность. Транспозиции.  Разложение подстановки в произведение транспозиций.
  3. Запись подстановок. Обратная и единичные подстановки. Понятие группы. Примеры. Число подстановок. Неподвижные элементы. Независимые подстановки коммутируют. Циклы. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Применение подстановки к перестановке. Четность. Корректность определения четности (как меняется число инверсий при применении транспозиции).
  4. Четность произведения подстановок. Четность обратной подстановки. Число четных и нечетных подстановок. Группа A_n. Понятие подгруппы.  Определители. Определитель треугольной матрицы. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление определителя при помощи элементарных преобразований. Полилинейные и кососимметрические функции. Полилинейность и кососимметричность определителя.
  5. Эквивалентное определение определителя (как полилинейной кососимметрической формы). Опрелитель с углом нулей. Разложение определителя по строке (и фальшивое разложение). Определитель Вандермонда. Теорема Крамера.
  6. Определитель произведения матриц. Обратная матрица. Единицы и обратные элементы в ассоциативном кольце (единственность). Критерий существования обратной матрицы. Формула для обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Делители нуля в кольце. Делители нуля в кольце матриц.
  7. Группы GL_n и SL_n.  Векторные пространства. Линейная зависимость. Критерий невырожденности матрицы. Базис. Координаты. Размерность пространства и подпространства. Лемма о линейной зависимости. Следствия.
  8. Ранг матрицы. Ранг суммы матриц. Теорема о ранге. Алгоритм нахождения базиса. Ранг произведения матриц.
    Критерий совместности системы линейных уравнений. Решения однородной системы линейных уравнений.
    Фундаментальная система решений. Задание подпространства системой линейных уравнений.
  9. Морфизмы алгебраических структур (случай групп, колец, векторных пространств). Примеры.  Понятие алгебры.
    Изоморфизмы. Примеры. Изоморфизм векторных пространств одной размерности. Ядро и образ гомоморфизма.
  10. Поля. Определение, свойства, примеры. Конечномерная ассоциативная алгебра без делителей нуля является телом. Поле комплексных чисел. Аксиоматическое определение, существование, единственность. Алгебраическая запись. Вещественная и мнимая части. Комплексное сопряжение. 
  11. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Решения уравнения z^n=w. Группа _n корней из 1. Первообразные  корни. Циклические группы. Кольца вычетов. Делители нуля и обратимые элементы. Поля F_p. Конечное ассоциативное кольцо без делителей 0 является телом. Изоморфизм Z/nZ и _n.
  12. Теорема Вилсона. Характеристика поля.  Примеры. Умножения целых чисел на элементы аддитивной абелевой группы и элементы кольца. Бином Ньютона. Свойсва полей характеристики р. Отображение Фробениуса. Малая теорема Ферма. Кольцо многочленов. Доказательство единственности.
  13. Кольцо многочленов. Доказательство существования. Кольцо формальных степенных рядов. Степень многочлена. Делители нуля в кольце многочленов. Подстановка элемента в многочлен. Восстановление многочлена по его значениям. Функциональное равенство многочленов. Пример для конечных полей. Корни многочленов.  Интерполяционная формула Лагранжа. Схема Горнера. Теорема Безу.  AlgI-13.pdf
  14. Кратность корня. Деление многочленов над полем с остатком. Делимость в кольцах. Неприводимые многочлены.  Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Факториальность кольца многочленов над полем. Факториальные и евклидовы кольца. Дифференцирования. Дифференцирования кольца многочленов над полем. AlgI-14.pdf
  15. Дифференцирования. Понижение кратности при дифференцировании.Формула Тейлора. Основная теорема алгебры(формулировка). Сходимость последовательностей комплексных чисел. Лемма  о возрастании модуля многочлена. AlgI-15.pdf
  16. Лемма Даламбера. Основная теорема алгебры (доказательство). Следствия. Неприводимые многочлены над C и R. Поле частных целостного кольца. Поле рациональных функций. AlgI-16.pdf
  17. Поле рациональных функций. Простейшие дроби. Многочлены над факториальным кольцом. Лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. AlgI-17.pdf
  18. Многочлены от нескольких переменных. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене. AlgI-18.pdf
  19. Симметрические многочлены. Основная теорема и симметрических многочленах. Формулы Виета. Дискриминант. Результант (определение и свойства).


Краткие записки лекций (pdf)

Задачи.

Литература.
Дополнительная литература.