Краткое содержание прочитанных лекций

1. Системы линейных уравнений. Матрицы. Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений. Следствия.  [4 сентября] 
2. Подстановки. Запись подстановок. Число подстановок. Произведение подстановок. Свойства. Обратная и единичные подстановки.
   Понятие группы. Примеры. Симметрическая группа.   Транспозиции. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Применение подстановки к перестановке. Четность. Корректность определения четности (как меняется число инверсий при применении транспозиции). [11 сентября] 
   
3. Четность произведения подстановок. Четность обратной подстановки. Число четных и нечетных подстановок. Группа $A_n$. Понятие подгруппы.
   Неподвижные элементы. Орбиты. Независимые подстановки коммутируют. Циклы. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Операции сложения и умножения матриц на число. Свойства. Умножение матриц. [12 сентября]
4. Умножение матриц. Свойства. Умножение на диагональные матрицы. Умножение треугольных матриц. Ассоциативность. Матричная запись систем линейных уравнений. Связь однородных и неоднородных систем линейных уравнений. Понятие кольца. Примеры.   Определители. Определитель треугольной матрицы. Определитель транспонированной матрицы. Лемма: если в матрице две строки совпадают, то определитель равен 0. [14 сентября]   
5.  Полилинейные и кососимметрические функции. Полилинейность и кососимметричность определителя.  Матричные единицы. Их произведения. Элементарные матрицы. Умножение произвольной матрицы на элементарную. Вычисление определителя при помощи элементарных преобразований. Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда. Определитель произведения матриц. [19 сентября]  
6. Разложение матрицы в произведение элементарных.  Эквивалентное определение определителя (как полилинейной кососимметрической формы). Разложение определителя по строке (и фальшивое разложение).  Теорема Крамера. [21 сентября]  
7. Единицы и обратные элементы в ассоциативном кольце.  Делители нуля в кольце. Обратная матрица.  Критерий существования обратной матрицы. Формула для обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Делители нуля в кольце матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы. Группы   $GL_n(\mathbb{R})$  и   $SL_n(\mathbb{R})$.  [25 сентября]  
8. Векторные пространства. Примеры. Линейная зависимость. Критерий невырожденности матрицы. Базис. Координаты. Лемма о линейной зависимости. Следствия. Размерность и ранг.  Ранг строк и столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях. [2 октября] 
9. Теорема о ранге. Алгоритм нахождения базиса. Ранг суммы и произведения матриц. Критерий совместности системы линейных уравнений. Решения однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Задание подпространства системой линейных уравнений. [9 октября] 
10. Линейные отображения векторных пространств. Ядро и образ. Изоморфизмы. Изоморфизм векторных пространств одной размерности. Матрица  линейного отображения. Гомоморфизмы групп. Примеры. Ядро и образ гомоморфизма групп. Изоморфизмы. Гомоморфизмы колец. Примеры. Ядро и образ гомоморфизма колец. Изоморфизмы. [12 октября] 
11. Поля. Определение, свойства, примеры. Изоморфизм полей.  Поле комплексных чисел. Аксиоматическое определение, существование, единственность. Алгебраическая запись. Вещественная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. [17 октября] 
12. Решения уравнения  $z^n=w$. Группа $\mathbold{\mu}_n$ корней из 1. Первообразные корни. Порядок элемента в группе.  Циклические группы. Примеры. Подгруппа циклической группы.  Кольца вычетов. Делители нуля и обратимые элементы в $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Конечное ассоциативное кольцо без делителей 0 является телом. [20 октября] 
13. Поля  $\mathbb{F}_p$. Теорема Вильсона. Характеристика поля. Свойства полей характеристики $p$. Отображение Фробениуса. Алгебры над полем. Конечномерная ассоциативная алгебра без делителей 0 является алгеброй с делением. Кольцо многочленов. Универсальное свойство.  Кольцо формальных степенных рядов. Подстановка элемента кольца в многочлен.  [23 октября] 
14. Степень многочлена. Делители нуля в кольце многочленов.  Деление многочленов над полем с остатком. Схема Горнера. Теорема Безу. Корни многочленов. Кратность корня.   Функциональное равенство многочленов. Пример для конечных полей. Интерполяционная формула Лагранжа. Делимость в кольцах. Евклидовы кольца. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.  [26 октября] 
15. Неприводимые многочлены.  Факториальность кольца многочленов над полем. Факториальные  кольца. Дифференцирования. Дифференцирования кольца многочленов над полем. Понижение кратности при дифференцировании. Формула Тейлора. [13 ноября] 
16. Основная теорема алгебры. Сходимость последовательностей комплексных чисел. Лемма о возрастании модуля многочлена. Лемма Даламбера. Основная теорема алгебры (доказательство). Неприводимые многочлены над $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$. Поле частных целостного кольца. [20 ноября] 
17. Поле рациональных функций. Простейшие дроби. Многочлены над факториальным кольцом. Лемма Гаусса.  Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. [23 ноября] 
18. Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Лексикографический порядок.  [27 ноября] 
19.  Симметрические многочлены. Основная теорема и симметрических многочленах. Формулы Виета. Дискриминант. Результант (определение и свойства).  Связь результанта и дискртминанта. [30 ноября] 
20. Вычисление результанта. Исключения неизвестных в системах алгебраических уравнений. Неприводимость дискриминанта. Кольцо многочленов инвариантных относительно знакопеременной группы. [4 декабря] 
21. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Малая теорема Ферма. Нормальные подгруппы. Свойства. Примеры. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме групп. [12 декабря] 
22. Идеалы в кольцах. Примеры. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме колец. Факторпространства. Факторалгебры. [14 декабря] 

Записки лекций (pdf)