Классическая алгебраическая геометрия
Прохоров Ю. Г.
осенний семестр 2015 г.
1/2 года (возможно продолжение на весенний семестр)


Курс закончен. Экзамен состоится 16 декабря (среда). Для сдачи экзамена нужно решить 4 задачи из списка.

Прочитанные лекции.

• Квадрики. Вырожденные квадрики. Линейные пространства в квадриках.  Пример: грассманиан Gr(2,4).
• Кольцо когомологий квадрики. Линейные пространства в квадриках (продолжение). Пучки квадрик. Пучки квадрик и гиперэллиптические кривые. Пример: эллиптические кривые в P^3 степени 4.
  
• Эллиптические кривые в P^3.  Пересечения двух квадрик: автоморфизмы, существование линейных подпространств, рациональность, когомологии.
  
• Линейные подпространства в квадриках: исчисление Шуберта. Пересечения двух квадрик размерности 2r: линейные подпространства размерности r, их количество и действие на них группы автоморфизмов.
• Линейные подпространства половинной размерности в пересечении двух квадрик: количество, действие на них группы автоморфизмов, группа симметрий. Системы корней типа D_n. Серединные когомологии пересечения двух квадрик пороождаются алгебраическими циклами (плоскостями).
• Поверхности дель Пеццо степени 4: прямые и особые квадрики в пучке. Нормальные пучки прямых в пересечении двух квадрик. Схема Гильберта прямых (неособость).  Универсальное семейство прямых и его отображение в многобразие. Трехмерное пересечение двух квадрик. Типы прямых. Поверхность прямых. Ее гиперплоское сечение и кривые инцидентности. Проекция из прямой.
  
• Неприводимость семейства парямых А на X_4\subset P^5. Кривые C_L. Бирациональный тип А.  О симметрическом квадрате кривой рода 2. Абелевы поверхности. Кривые рода 0 и 1 на абелевой поверхности. Главная поляризация. Ее симметричность. Типы главной поляризации (абелевой поверхности). Отображение линейной системой |2\Theta| и точки порядка 2.
  
• Семейство парямых А на X_4\subset P^5 является абелевой повержностью. Куммеровы поверхности. Немного о поверхностях типа К3. Максимальное число особых точек на квартике в P^3.
• Действае группы (Z/2Z)^5 на абелевой поверхности - семействе прямых. Ассоциированная куммерова поверхность. Разрешение ее особенностей.
  

Список задач.


Видеозаписи лекций.


Литература.

1. Шафаревич, И. Р. Основы алгебраической геометрии Наука, 1988
2. Гриффитс, Ф. & Харрис, Д. Принципы алгебраической геометрии.  Т. 1 & 2  Мир, 1982
3. Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия Мир, 1981
4. Харрис Дж.  Алгебраическая геометрия. Начальный курс МЦНМО 2005
5. Атья, М. & Макдональд, И. Введение в коммутативную алгебру

back to my homepage