Ведение в алгебраическую геометрию

Спецкурс для начинающих.
Понед. 16:45-18:20, ауд. 14-05, мех-мат МГУ.

Экзамен состоялся 9 & 16 декабря, следующий раз:  23  декабря 16:00-19:00.

 Список задач

Прочитанные лекции.

1. Многообразия в математике: топологические, дифференцируемые, комплексные. Отображения между ними. Понятие пучка. Пучки функций на многообразиях. Топология Зарисского на A^n. Разложение на неприводимые компоненты. Теоремы Гильберта о базисе и о нулях (без доказательств). Аффинные алгебраические многообразия. Пример: гиперповерхности.
2. Соответствие между замкнутыми подмножествами в аффинном пространстве и идеалами в кольце многочленов. Аффинные алгебраические многообразия и простые идеалы. Кольцо регулярных функций. Поле рациональных функций. Размерность (как степень трансцендентности). Примеры. Геометрический смысл (планируется передоказать). Размерности вложенных многообразий.  Размерность гиперповерхности.
3. Геометрический смысл размерности (проекции). Образ аффинного многообразия при проекции. Произведение аффинных многообразий. Локальные кольца. Локальное кольцо точки на многообразии. Регулярные функции.  Снова о пучках. Пучок регулярных функций.
4. Постоянные пучки. Глобальные сечения пучка регулярных функций. Касательное пространство. Особые и неособые точки. Интерпретация над С. Множество особых точек (случай гиперповерхности). Аффинные схемы: топология Spec(A). Примеры.
5. Spec(A). Кольца частных. Локализация. Пучок колец регулярных функций. Снова о пучках. Индуктивные пределы. Слой пучка в точке.  Морфизмы пучков. Ядро и образ.
6. Пучок, ассоциированный с предпучком. Ядро и образ морфизмов пучков (как предпучки и пучки). Примеры. Точные последовательности пучков. Окольцованные пространства. Морфизмы окольцованных пространств.
7. Toпология аффинных схем. База топологии (главные открытые множества). Отображения спектров, индуцированные отображениями колец.  Нетеровы пространства. Неприводимость. Разложение на неприводимые компоненты. Размерность.
8. Различные свойства схем (неприводимость, приведенность, целость). Общая точка схемы. Вычисления ростков и сечений над главными открытыми множествами структурного пучка аффинной схемы. Категория аффинных схем двойственна категории коммутативных колец. Определение произвольной (необязательно аффинной) схемы. Произведения схем. Слой морфизма.
   

Литература

Алгебра и коммутативная алгебра

• Ленг, С. Алгебра Мир, 1968
• Атья, М. & Макдональд, И. Введение в коммутативную алгебру Факториал Пресс, 2003

Комплексный анализ

• Ганнинг, Р. & Росси, Х. Аналитические функции многих комплексных переменных Мир, 1969

Ввведение в алгебраическую геометрию

• Рид, М. Алгебраическая геометрия для всех  “Мир”, 1991

Более серьезные учебники

• Шафаревич, И. Р. Основы алгебраической геометрии Наука, 1988
• Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия Мир, 1981
• Гриффитс, Ф. & Харрис, Д. Принципы алгебраической геометрии Мир, 1982, 1, 2
• Манин, Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии. Часть 1. Аффинные схемы МГУ, 1970/1971
• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах  МЦМНО 2007
• Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия, Мир, 1979
• Харрис Дж.  Алгебраическая геометрия. Начальный курс МЦНМО 2005

back to my homepage