Проблемы рациональности в алгебраической геометрии
Прохоров Ю. Г.
осенний семестр 2016 г.
1/2 года (возможно продолжение на весенний семестр)

Курс в этом семестре закончен. Продолжение следует.

Экзамен можно сдавать 8, 13, 14, 15 декабря.
Для сдачи экзамена необходимо решить по крайней мере 4 задачи не все по одной теме.


Список задач.

Прочитанные лекции.

• Рациональность. Стабильная рациональность. Унирациональность. k-точки. Лемма Нишимуры. Примеры конструкций рациональности (квадрики и кубики). Существование прямой на кубической поверхности. Рациональность кубической поверхности над алгебраически замкнутым полем.
• Рациональность кубической поверхности над алгебраически замкнутым полем (повторение). Рациональные кривые над функциональным полем. Унирациональность кубических гиперповерхностей. Спуск Вейля. Формы многообразий. Первые некоммутативные когомологии. Примеры. Длинная точная последовательность (не закончено).
  
• Длинная точная последовательность некоммутативных когомологий групп (граничное отображение). Когомологии Галуа. Примеры. Теорема Гильберта 90. K/k-формы. Классификация форм (без доказательства сюръективности.) Многообразия Севери-Брауэра. Примеры.
• Многообразия Севери-Брауэра. Свойства. Группа Пикара многообразия над алгебраически незамкнутым полем. Вторая группа когомологий Галуа. Расширения групп. Центральные простые алгебры. Группа Брауэра поля. Связь с H^2(G,K^*). Пример: квадратичные расширения.
• Кватернионные алгебры. Инволюции. Нормы и следы. Расщепимость. Многообразия Севери-Брауэра размерности 1 и кватернионные алгебры.
• K/k-формы. Классификационная теорема (с доказательством).  Фактормногообразия. Свойства. Примеры. Длинная точная последовательность когомологий групп (с некоммутативными членами). Многообразия Севери-Брауэра и H^2(G,K^*).
• Кубические поверхности. Кубические поверхности, содержащие прямую. Проекция из прямой. Расслоения на коники. Стягивание прямой на кубической поверхности (отображение на пересечение двух квадрик). Поверхности над R. Число компонент связности множества вещественных точек - бирациональный инвариант.  Число компонент связности для кубической поверхности. Кубические поверхности с двумя компонентами связности. Кубические поверхности с числом Пикара 1.
• Кубические поверхности с числом Пикара 1.  Пермутационные и индуцированные модули. Инвариант H^1(G,Pic(\bar X). Вычисление H^1(G,A) для случая циклической группы G. Случай кубической поверхности  с числом Пикара 1. Стабильная рациональность. Пример кубической поверхности с ненулевым  инвариантом H^1(G,Pic(\bar X).
• Нерациональность кубических поверхностей с числом Пикара 1.  Взвешенные проективные пространства. Поверхности дель Пеццо степени 2.  Инволюция Гейзера.
• Бирациональные отображения между минимальными кубическими поверхностями. Поверхности дель Пеццо степени 1.  Инволюция Бертини. Группа бирациональных автоморфизмов минимальных кубических поверхностей.
  

Видеозаписи лекций.


Литература.

1. Шафаревич, И. Р. Основы алгебраической геометрии Наука, 1988
2. Гриффитс, Ф. & Харрис, Д. Принципы алгебраической геометрии.  Т. 1 & 2  Мир, 1982
3. Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия Мир, 1981
4. Харрис Дж.  Алгебраическая геометрия. Начальный курс МЦНМО 2005
5. Манин, Ю. И. Кубические формы: Алгебра, геометрия, арифметика Наука, 1972
6. Прохоров, Ю. Г. Рациональные поверхности МИАН, 2015, 24, 78
   

back to my homepage