Рациональные поверхности

Курс предназначен для студентов и аспирантов уже знакомых с основаниями алгебраической геометрии.
Курс читается в МИАН по средам, комн. 540, 18:00-20:00.

Экзамен состоялся 18 декабря, следующий раз:   26 декабря, 15-30, комн. 540.
Записки лекций

Список задач

Программа курса:

Введение. Особенности линейных систем. Рациональные поверхности, их бирациональная классификация (арифметический и геометрический случаи). Минимальные рациональные поверхности. Неравенство Нетера-Фано. Разложение бирациональных преобразований минимальных поверхностей в элементарные. Классификация элементарных преобразований. Теорема М. Нетера о порождающих двумерной группы Кремоны.
Случай алгебраически незамкнутого поля. Бирациональная жесткость минимальных рациональных поверхностей малой степени. Другие бирациональные инварианты.

Прочитанные лекции.
  1. Введение. Рациональные поверхности. Линейчатые поверхности. Простейшие свойства. Дивизоры. Элементарные преобразования. Поверхности дель Пеццо. Простейшие свойства.
  2. Поверхности дель Пеццо. Индекс Фано. Существование хорошей кривой. Антиканоническое отображение.
  3. Поверхности дель Пеццо. Проективные модели. Существование (-1)-кривых. Бирациональное описание.
  4. Конус Мори. Теорема о конусе (без доказательства). Двумерный случай. Деформации кривых.
  5. Техника расщепления рациональных кривых. Набросок доказательства теоремы о конусе. Приложения: критерий рациональности Кастельнуово и обращение в нуль H^1(X,O_X) на поверхностях дель Пеццо. G-поверхности. Минимальные модели (без доказательства).
  6. Минимальные модели G-поверхностей. G-эквивариантная программа минимальных моделей. Рациональность поверхностей степени \ge 5 (доказательство не окончено).
  7. Критерий бирациональной тривиальности G-поверхностей. Формулировка и доказательство одной импликации. Минимальность расслоений на коники.
  8. Особенности линейных систем. Канонические пороги. Максимальная особенность. Неравенство Нетера-Фано (доказана первая часть). Следствие: бирациональная жесткость поверхностей дель Пеццо степени 1. 
  9. Полное доказательство неравенства Нетера-Фано. Расслоения на коники с K_X^2\le 0. Линки Саркисова. Примеры. Формулировка основной теоремы. 
  10. Программа Саркисова (основная теорема).  Бирациональная жесткость поверхностей дель Пеццо степени 2 и 3 (теорема Сегре-Манина). 
  11. Программа Саркисова. Бирациональные отображения минимальных поверхностей степени \le 4. Группа Кремоны. Примеры элементов и подгрупп. Преобразования де Жонкъера.
  12. Конечнае подгруппы в группе Кремоны. Классификация элементов порядка 2. Теорема Нётера о порождающих группы Кремоны. Разложение в композицию преобразований де Жонкъера.




back to my homepage