Математическая биография

Главная страница
Математическая биография
Ученики
Список математических трудов
Доклад И. Р. Шафаревича на семинаре в МИАН 17 июня 2008 г.
Выступление на торжественном заседании сотрудников МИАН, посвященном 75-летию института, 5 июня 2009 г.
Интервью И. Р. Шафаревича для сборника "Мехматяне вспоминают 2", 2009 г.
К общему собранию РАН 9 сентября 2013 г.
Отрывок из фильма «Самый молодой ученый СССР», 1946 (И.Р. Шафаревич и Б.Н. Делоне)
Igor Rostislavovich Shafarevich: in Memoriam
Игорь Ростиславович Шафаревич — великий математик и Учитель
Доклад Н. А. Тюрина "Две дороги к одной вершине"

Влияние И. Р. Шафаревича на отечественную и мировую математику огромно. Оно измеряется не только его личным вкладом в алгебру, теорию чисел и алгебраическую геометрию, но и тем магнетическим влиянием, которое он оказывал на молодежь в течение многих десятилетий своими университетскими лекциями, семинарами, книгами, неповторимым умением раскрыть талант. Каждый из его многочисленных учеников может вспомнить путь, пройденный рядом с Игорем Ростиславовичем, как счастливейший этап в своем творческом становлении.

Яркие математические способности Шафаревича проявились уже в школьные годы. Его родители Ростислав Степанович (выпускник МГУ, преподаватель теоретической механики) и Юлия Яковлевна (филолог по образованию) не могли нарадоваться успехам сына, окончившего в 1939 г. школу. Из семьи и сохранившихся ещë от деда книг приобрел любовь к русской литературе, сказкам, былинам. Немного позже – к истории. Следующим увлечением была математика. Учась в школе, сдавал экстерном экзамены на механико-математическом факультете МГУ, который окончил в 1940 г. С 1944 г., уже после окончания аспирантуры, И. Р. Шафаревич становится преподавателем МГУ, а с 1946 г., после защиты докторской диссертации, сотрудником Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Однако активная преподавательская деятельность в МГУ, уже в качестве профессора, не прерывалась вплоть до 1975 г., когда она была прекращена в связи с его общественной деятельностью. Шафаревич был вынужден перенести свой семинар в Стекловку, где он действует и поныне, неизменно привлекая большое число участников.

Собственно научные исследования И. Р. Шафаревича были начаты работой по нормированным топологическим кольцам (кандидатская диссертация), а затем на целое десятилетие областями его научных интересов стали теория Галуа и теория алгебраических чисел. к этому периоду относятся такие замечательные достижения, как решение обратной задачи теории Галуа (сначала для $p$ -расширений локальных полей, а затем для полей алгебраических чисел и разрешимых групп Галуа) и решение проблемы Гильберта о нахождении общего закона взаимности. Каждый из этих результатов был доказан при помощи техники, основанной на привлечении тонких арифметических свойств полей. Так, эффективное построение полей с заданной разрешимой группой Галуа проходит по этапам, а согласованность результатов каждого этапа (первое и второе препятствия в сопутствующей задаче погружения) требует поистине филигранной отделки каждой детали конструкции. в свою очередь, общий закон взаимности, частные аспекты которого связаны с именами Гаусса, Якоби, Куммера, в интерпретации И. Р. Шафаревича базируется на аналогии между символом норменного вычета $\bigl(\frac{\alpha, \beta}{\frak p}\bigr)$ в поле алгебраических чисел и вычетом абелева дифференциала $\alpha\,d \beta$ в точках римановой поверхности. Найденный им самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел явился в известной мере завершающим этапом в 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Эйлеру и Гауссу. Общий закон взаимности позволил более естественно построить теорию полей классов, как локальную, так и глобальную.

в начале 60-х годов И. Р. Шафаревич возвращается к изучению групп Галуа $p$ -расширений, изложив заманчивые идеи и новые результаты в обзорном докладе на Международном математическом конгрессе в Стокгольме [40]. в частности, им было сообщено об оценке $r \leq d + \rho$ , где $\rho$ – число образующих группы единиц поля алгебраических чисел $k$ , $d$ – минимальное число образующих, а $r$ – число соотношений группы Галуа $G(p)$ максимального неразветвленного $p$ -расширения поля $k$ . И. Р. Шафаревич обратил внимание на то, что из этой оценки вытекает решение известной проблемы башни в теории полей классов, если число соотношений $r = r(G)$ конечной $p$ -группы $G$ с необходимостью достаточно велико по сравнению с числом образующих $d = d(G)$ при $d \to\infty$ . Вскоре им вместе с Е. С. Голодом было показано [43], что в действительности $r > [(d - 1)/2]^{2}$ . Это и дало решение проблемы башни почти пятидесятилетней давности. Полученное решение, а главное – техника его доказательства имеют много следствий в теории чисел и алгебре. Достаточно упомянуть доказательство существования полей алгебраических чисел, не вложимых в одноклассные, точные оценки роста дискриминанта числового поля в зависимости от его степени, отрицательное решение ряда проблем бернсайдовского типа в теории $p$ -групп и алгебр Ли. Статья [43] вызвала настолько острый резонанс, что ее основной результат (вместе с немного измененным доказательством, дающим неравенство $r >d^{2}/4$ ) вошел почти сразу же в монографическую и учебную литературу.

Несколько ранее, в середине 50-х годов, И. Р. Шафаревич начинает заниматься алгебраической геометрией, более точно задачами, находящимися на стыке теории чисел и геометрии. Первые идеи были высказаны в докладе на 3-м Всесоюзном математическом съезде [25], где указывалось на аналогию между задачей погружения в теории Галуа полей алгебраических чисел и задачей классификации эллиптических кривых, определенных над такими полями. Две основные гипотезы в этой области были доказаны в работах 1957 г. [26], [27], что явилось одним из первых шагов в новом разделе алгебраической геометрии – теории главных однородных пространств. Построив локальную теорию главных однородных пространств, И. Р. Шафаревич обратился к глобальной ситуации. Введенное им ядро естественного гомоморфизма локализации, состоящее из локально тривиальных однородных пространств, в честь автора обозначается в мировой математической литературе русской буквой Ш. Его вычисление и, в частности, доказательство предполагаемой конечности являются одними из труднейших и интереснейших проблем теории диофантовых уравнений. Лишь в последние годы были получены первые примеры эллиптических кривых с конечной группой Ш. Наиболее сильные результаты здесь получены учеником И. Р. Шафаревича В. А. Колывагиным.

Большое влияние на исследования алгебраических поверхностей во всем мире оказала монография [49], явившаяся результатом активной работы небольшого коллектива энтузиастов во главе с И. Р. Шафаревичем и долгое время служившая единственным систематическим изложением теории поверхностей, соединяя красоту классических геометрических методов итальянской школы с мощью новейших аналитических и топологических методов. Одним из ярких феноменов теории алгебраических поверхностей являются поверхности типа К3, для которых И. Р. Шафаревичем (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро) был доказан аналог знаменитой теоремы Торелли о римановых поверхностях, а в цикле работ конца 70-х – начала 80-х годов (совместно с А. Н. Рудаковым) исследованы поверхности типа К3 над полями конечной характеристики. Развитая здесь техника изучения векторных полей на алгебраических поверхностях в положительной характеристике имеет многочисленные применения.

Среди других исследований по алгебраической геометрии: изучение группы автоморфизмов аффинной плоскости, построение оснований теории бесконечномерных алгебраических многообразий, теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация.

В конце 80-х годов И. Р. Шафаревич обратил внимание на то, что остается совершенно открытым вопрос об описании рациональных отображений поверхностей типа К3, в то время как теорема Торелли дает полное описание самих поверхностей. Иначе говоря, вопрос стоит в выяснении того, как восстановить категорию поверхностей типа К3 из категории решеток периодов и морфизмов между ними. Более точно, рациональное отображение поверхностей определяет ортогональный морфизм (изогению) рациональных структур Ходжа, соответствующих трансцендентным циклам, и задача состоит в определении тех изогений, которые отвечают рациональным отображениям исходных поверхностей. Ранг соответствующих $\mathbb{Q}$ -пространств может принимать значения от 2 до 21. Для случаев ранга 2 и 3 было показано (совместно с В. В. Никулиным), что отображения поверхностей описываются изогениями рациональных структур Ходжа.

Другая большая область интересов И. Р. Шафаревича – это теория алгебр, как алгебр Ли, так и, в последнее время, ассоциативных алгебр.

К середине 60-х годов в широких кругах математиков пробудился интерес к классификации Э. Картана простых транзитивных псевдогрупп преобразований. В МИАНе некоторое время (1964–1966) функционировал семинар под руководством И. Р. Шафаревича, на котором обсуждались разные работы по псевдогруппам Ли. Отчасти результатом этой деятельности явились две работы [51], [62], определившие на четверть века программу классификации простых конечномерных алгебр Ли над полями конечной характеристики. Эти работы цитируются практически в каждом исследовании, посвященном модулярным простым алгебрам Ли (более подробный обзор математических работ И. Р. Шафаревича, написанных до 1983 г., см. в УМН, 1984, Т. 39, № 1, C. 167–174).

В последние годы внимание И. Р. Шафаревича было привлечено к изучению структуры многообразия неполупростых коммутативных алгебр. Наличие в этой задаче непрерывных параметров делает естественным использование методов алгебраической геометрии. Все коммутативные и ассоциативные законы умножения на данном $n$ -мерном векторном пространстве определяют алгебраическое многообразие. В работе [101] автор ограничивается рассмотрением первого нетривиального случая, когда изучаемые алгебры $N$ имеют класс нильпотентности 2 (т.е. $N^{3} = 0$ ). Изучаются неприводимые компоненты в многообразии таких алгебр, найдены их размерности и особые точки. Оказывается, что компоненты определяются рангом $r$ квадрата $N^{2}$ алгебры $N$ . Все компоненты можно разделить на два класса – устойчивые и неустойчивые. Если $d$ – число образующих алгебры, то доказано, что компоненты, соответствующие значениям $2 < r\leq (d - 1)(d - 2)/6 + 2$ , являются устойчивыми, кроме, быть может, случая $d = 5$ , $r = 4$ , а компоненты с $r \geq (d^{2} - 1)/3$ и $r =1,2$ неустойчивы. Так как всегда $r \leq d(d + 1)/2$ , то интервал возможных значений для $r$ разделяется на три примерно равные части (асимптотически по $d$ ), причем часть меньших значений для $r$ соответствует устойчивым компонентам, часть больших значений – неустойчивым, а для средней части ответ остается неизвестным. Каждая алгебра класса два определяет $r$ симметрических матриц, в терминах которых формулируется критерий устойчивости. Для $r = 3$ он тесно связан с известным в теории векторных расслоений на проективной плоскости условием Барта. Все эти конструкции и результаты являются первыми шагами в новой теории классификации коммутативных алгебр.

Помимо работ и личного общения, И. Р. Шафаревич оказывает большое влияние и своими монографиями и учебниками. Созданные на основе многократно читавшихся им курсов, они вошли в золотой фонд математики. Прозрачность и ясность изложения, обилие неформальных примеров и мотивировок (так обожаемых студентами), постепенный переход от простейших ситуаций к более сложным – характерные черты книг И. Р. Шафаревича.

Это в полной мере относится к обзорам [91], [93], [99], написанным Шафаревичем для "Энциклопедии математических наук", начавшей выходить у нас в 80-е годы стараниями Р. В. Гамкрелидзе. И. Р. с самого начала принял активное участие в формировании общих принципов этого издания, по существу совпадающих с приведенными выше особенностями его книг. Редактируя выпуски по алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии, он оказал определяющее влияние на содержание и стиль вошедших в них обзоров. Написанный на едином дыхании обзор основных понятий алгебры [91] сразу же приобрел широкую известность и не только в математических кругах. Почти 80 выпусков этого издания, в появлении которого роль И. Р. Шафаревича весьма велика, дают панораму почти всей современной математики.

Математический институт им. В. А. Стеклова, 2009